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Complementi di Matematica E e Matematica C
per Ingegneria delle Telecomunicazioni,
dell’Automazione, Elettronica e Biomedica,
a.a. 2005-6
Martino BardiDipartimento di Matematica Pura ed Applicata
Universita di Padovavia Belzoni 7, I-35131 Padova
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1 Superfici parametriche 4
2 Piano tangente e versore normale 6
3 Area di una superficie e integrali superficiali 7
4 Baricentri e insiemi generati da rotazioni. 9
5 Flusso di un campo e teorema della divergenza. 13
6 Formule di Gauss-Green nel piano. 15
7 Superfici con bordo e teorema del rotore. 21
8 Esercizi di autoverifica: Integrali multipli 23
9 Esercizi di autoverifica: Integrali curvilinei e forme differen-ziali 25
10 Esercizi di autoverifica: Integrali superficiali. 28
11 Esercizi di autoverifica: Funzioni implicite e estremi vinco-lati 29
12 Temi d’esame di Matematica E 2002 30
13 Temi d’esame di Matematica C 2002 37
14 Temi d’esame di Matematica E 2003 39
15 Esercizi risolti di probabilita dai temi d’esame di Matema-tica C 2003 45
16 Temi d’esame di Matematica E 2004 50
17 Temi d’esame di Matematica C per Ingegneria Elettronica2004 e 2005 57
18 Temi d’esame di Matematica C per Ingegneria Biomedica2004 ed alcune soluzioni 61
19 Risultati dei temi d’esame 76
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Queste note presentano alcuni argomenti di calcolo differenziale e integralein piu variabili che completano il testo
[BDP] M. Bertsch, R. Dal Passo : Elementi di analisi matematica, Aracne,Roma, 2001.Il lettore trovera su quel libro tutte le notazioni e definizioni che non sonoesplicitamente richiamate qui. La materia e presentata in maniera stringataed essenziale, come richiesto dai programmi delle nuove lauree triennali. Perapprofondimenti il lettore e rimandato a un buon testo di Analisi Matemati-ca II delle vecchie lauree quinquennali (tra quelli usati a Padova negli ultimianni ricordiamo il Pagani - Salsa, il Fusco - Marcellini - Sbordone, il Gilardi,il Barozzi - Gonzalez e il classico Chiffi).
Nelle sezioni 8, 9, 10 e 11 presentiamo anche esercizi di autoverifica pergli studenti su tutti gli argomenti di analisi matematica dei corsi MatematicaE e C. Ulteriori esercizi, anche svolti, su questi argomenti si trovano nei testicitati di Analisi II e in
P. Marcellini, C. Sbordone : Esercitazioni di Matematica, 2o Volume, parteseconda, Liguori, Napoli, 1995.
La sezione 12 contiene i testi di tutte le prove scritte d’esame di Mate-matica E dell’a.a. 2001-2002; la meta circa degli esercizi di tali prove eranopresenti anche nei temi d’esame del corso di Matematica C dello stesso anno,quelli mancanti sono presentate nella sezione 13 scritta dal prof. Colombo.La sezione 14 contiene le prove d’esame di Matematica E dell’a.a. 2002-2003.Nella sezione 15 scritta dal prof. Ferrante si trovano gli esercizi di probabilitadi tre appelli di Matematica C del 2003 con le soluzioni. La sezione 16contiene le prove d’esame di Matematica E dell’a.a. 2003-2004; vari esercizierano presenti anche nei temi di Matematica C per Ingegneria Elettronica,quelli mancanti sono nella sezione 17 scritta dal prof. Colombo. La sezione18, dovuta al prof. Ferrante e al dott. Monti, contiene tutti gli appelliMatematica C per Ingegneria Biomedica del 2004 con alcune soluzioni, siadi esercizi di analisi che di probabilita. Infine, la sezione 19 da i risultatidi tutti gli esercizi delle sezioni 12, 13, 14, 16 e 17. Ringrazio vivamente icolleghi Colombo, Ferrante, Monti e Sartori per la collaborazione.
Padova, aprile 2006
3
1 Superfici parametriche
Definizione 1 Si dice superficie (parametrizzata e regolare) un in-sieme S ⊂ R3 con una sua parametrizzazione r : D → R3, dove D ⊂ R2
e la chiusura di un aperto connesso, S = im(r) = r(D), r e una funzionecontinua in D tale che
(i) la restrizione di r aD (l’interno di D) e iniettiva e di classe C1,
(ii) la matrice jacobiana Jr(u, v) ha rango massimo, cioe 2, per ogni (u, v) ∈D.
Sottolineiamo che una superficie parametrizzata e una coppia (S, r), doveS e il sostegno della superficie e r ne e la parametrizzazione, e talvolta siparla anche della superficie S di equazione (x, y, z) = r(u, v).
Si noti l’analogia con le curve parametrizzate che descrivono insiemidove ci si puo muovere con un solo grado di liberta, e sono descritte comeimmagine di una funzione di un parametro che varia in R. Le superficidescrivono invece insiemi dello spazio tridimensionale sui quali ci si puomuovere con due gradi di liberta.
Un esempio di superficie studiato in Matematica B e un piano assegnatomediante equazioni parametriche. Altri esempi intuitivi di superfici sono lasfera e i grafici delle funzioni di due variabili di classe C1, di cui si conoscegia una descrizione analitica come insieme delle soluzioni di un equazionein 3 incognite, cioe come insiemi dei punti in cui si annulla una funzioneR3 → R. La descrizione in forma parametrica e completamente diversa,perche S e data come immagine della funzione r : R2 ⊃ D → R3. Vedremotra poco come i tre esempi citati si scrivano in forma parametrica.
Indicheremo spesso le componenti di r, oltre che con ri, i = 1, 2, 3, con
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Ricordiamo che Jr(u, v) e la matrice 3 × 2 che ha per colonne le derivateparziali di r, cioe
ru(u, v) = (xu(u, v), yu(u, v), zu(u, v)), rv(u, v) = (xv(u, v), yv(u, v), zv(u, v)).
Pertanto la condizione di rango massimo (ii) dice che i vettori ru e rv sono
linearmente indipendenti per ogni (u, v) ∈D.
I determinanti dei tre minori di Jr si indicano con
∂(y, z)∂(u, v)
:=∣∣∣∣yu zu
yv zv
∣∣∣∣ , ∂(z, x)∂(u, v)
:=∣∣∣∣zu xu
zv xv
∣∣∣∣ , ∂(x, y)∂(u, v)
:=∣∣∣∣xu yu
xv yv
∣∣∣∣4
e sono le tre componenti del vettore ru ∧ rv, il prodotto esterno dei vettoriru e rv . Pertanto la condizione (ii) equivale a
‖ (ru ∧ rv)(u, v) ‖> 0 ∀ (u, v) ∈D.
Fissato vo e un intervallo I tale che I × vo ⊂ D, la funzione
I → R3, v 7→ r(u, vo)
definisce una curva regolare (cioe di classe C1 e con vettore tangente mainullo) con sostegno γ1 ⊂ S. Analogamente, se J e un intervallo e uo ×J ⊂ D, la funzione J → R3, u 7→ r(uo, v) definisce una curva regolarecon sostegno γ2 ⊂ S. Queste sono le linee coordinate sulla superficie Spassanti per il punto r(uo, vo). Si noti che i vettori tangenti a γ1 e γ2 in talepunto sono, rispettivamente, ru(uo, vo) e rv(uo, vo).
Esempio 2 (Superfici cartesiane) Se f : D → R e continua in D e di
classe C1 inD, il grafico di f con la parametrizzazione
r : D → R3, r(u, v) = (u, v, f(u, v))
e una superficie regolare. Infatti r e chiaramente iniettiva in D, e
∂(x, y)∂(u, v)
=∣∣∣∣1 00 1
∣∣∣∣ = 1 6= 0
in tuttoD, quindi Jr ha rango 2 ovunque. Nel trattare le superfici cartesiane
risulta naturale chiamare x, y i parametri, anziche u, v. Il lettore disegni lelinee coordinate.
Esempio 3 (La sfera) Per R > 0 fissato, la parametrizzazione
r(θ, ϕ) = (R sinϕ cos θ, R sinϕ sin θ, R cos ϕ),
con (θ, ϕ) ∈ [0, 2π] × [0, π], definisce una superficie che ha per sostegno lasfera di centro l’origine e raggio R. Il significato geometrico dei parametri θe ϕ e lo stesso che nelle coordinate sferiche di R3 (almeno nella convenzionepiu comune, che e pero l’opposto di quello scelto in [BDP]!), cioe θ e lalongitudine a partire dal piano xz e ϕ la colatitudine (lo studente si facciaun disegno!). Il lettore calcoli ‖ rθ ∧ rϕ ‖= R2 sinϕ e verifichi che valgonole condizioni (i) e (ii) della Definizione 1. Si osservi che in questo esempiole linee coordinate γ1 e γ2 sono, rispettivamente, i paralleli e i meridiani.
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Esempio 4 (Cono circolare retto) Per k ∈ R fissato, si consideri la pa-rametrizzazione
r(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, kρ),
con (ρ, θ) ∈ [0, R] × [0, 2π], R > 0 fissato. Il lettore calcoli ‖ rρ ∧ rθ ‖2=ρ2(1+k2) e verifichi che valgono le condizioni (i) e (ii) della Definizione 1. Ilsostegno di questa superficie e un cono circolare retto di vertice nell’originee contenuto nel semispazio (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0 se k > 0, nel semispazioz ≤ 0 se k < 0.
Esempio 5 (Cono a due falde) Consideriamo la parametrizzazione pre-cedente ma con i parametri (ρ, θ) che variano in un insieme piu grande,precisamente D = [−R,R]× [0, 2π]. Questo non definisce piu una superficieregolare perche i punti del segmento 0×]0, 2π[ sono interni a D e ven-gono tutti mandati da r nell’origine, quindi non vale la condizione (i) delleDefinizione 1. Il lettore verifichi che in tali punti fallisce anche la condizionedi rango massimo della jacobiana. L’immagine di questa parametrizzazionee il cono a due falde di equazione
k2x2 + k2y2 − z2 = 0, −R ≤ z ≤ R,
che invitiamo il lettore a disegnare.
Esercizio 6 Estendendo l’esempio della sfera, si dia una parametrizzazioneregolare dell’ellissoide di equazione
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1,
con a, b, c > 0.
Esercizio 7 Si dia una parametrizzazione regolare della superficie lateraledel cilindro a base ellittica di equazione
x2
a2+
y2
b2= 1, z ∈ I,
dove I ⊆ R e un intervallo, limitato o illimitato.
2 Piano tangente e versore normale
Abbiamo gia osservato che i vettori ru(uo, vo) e rv(uo, vo) sono linearmenteindipendenti e tangenti alle linee coordinate sulla superficie γ1 e γ2 pas-santi per Po = (xo, yo, zo) = r(uo, vo); ricordiamo anche che il vettore
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ru ∧ rv(uo, vo) e ortogonale ad essi. Questo ci motiva a dare la seguentedefinizione.
Definizione 8 Se (S, r) e una superficie e (uo, vo) ∈ D, si dice piano tan-gente a S in Po = r(uo, vo) il piano passante per Po e individuato daivettori ru(uo, vo) e rv(uo, vo). Inoltre N := (ru ∧ rv)(uo, vo) si dice vettorenormale e n := ru∧rv
‖ru∧rv‖ versore normale a S in Po.
Poiche N e ortogonale al piano tangente in Po, l’equazione di tale piano sipuo scrivere
ru(uo, vo) ∧ rv(uo, vo) · (P − Po) = 0,
dove P = (x, y, z), ovvero, denotate con
ao :=∂(y, z)∂(u, v)
(uo, vo), bo :=∂(z, x)∂(u, v)
(uo, vo), co :=∂(x, y)∂(u, v)
(uo, vo)
le tre componenti di N,
ao(x− xo) + bo(y − yo) + co(z − zo) = 0,
dove (xo, yo, zo) = Po.
Esercizio 9 Si scriva l’equazione del piano tangente alla superficie carte-siana definita dalla funzione f (Esempio 2) e si verifichi che tale piano co-incide con il piano tangente al grafico di f definito nel corso di MatematicaB.
Si puo dimostrare che il piano tangente a S in Po e il piano che meglioapprossima la superficie in un intorno di Po, in un senso che si puo precisarecome gia fatto per i grafici cartesiani nel corso di Matematica B.
Esercizio 10 Si scriva l’equazione del piano tangente a ciascuna delle su-perfici degli esempi 3, 4, 5, e degli esercizi 6 e 7.
3 Area di una superficie e integrali superficiali
Per motivare la definizione di area che daremo tra poco consideriamo ilrettangolo R in D individuato dai punti (u, v) e (u + ∆u, v + ∆v), e lasua immagine r(R) ⊆ S. Approssimiamo l’area di r(R) con l’area delparallelogramma contenuto nel piano tangente a S in r(u, v) e avente unvertice in r(u, v) e lati i vettori ru(u, v)∆u e rv(u, v)∆v applicati in tale
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punto (il lettore si faccia un disegno). L’area di questo parallelogramma e‖ (ru ∧ rv)(u, v) ‖ |∆u||∆v|. Grazie alle proprieta del piano tangente taleapprossimazione e tanto migliore quanto piu piccoli sono gli incrementi ∆ue ∆v. L’idea e quindi di sommare tutte le aree di questi parallelogrammie di fare poi tendere |∆u| e |∆v| a zero. Questo si realizza mediante unintegrale doppio e giustifica la seguente definizione.
Definizione 11 Sia (S, r) una superficie (regolare) con dominio dei para-metri D limitato e misurabile. Si dice area di S il numero
A(S) :=∫∫
D‖ (ru ∧ rv)(u, v) ‖ du dv
=∫∫
D
√(∂(y, z)∂(u, v)
)2
+(
∂(z, x)∂(u, v)
)2
+(
∂(x, y)∂(u, v)
)2
du dv ;
se f : S → R e continua l’integrale di f sulla superficie S e∫∫S
f dσ :=∫∫
Df(r(u, v)) ‖ (ru ∧ rv)(u, v) ‖ du dv.
Il simbolodσ =‖ (ru ∧ rv)(u, v) ‖ du dv
viene chiamato elemento infinitesimo d’area, in virtu del fatto che A(S) =∫∫S dσ. Si noti che nel lato destro della definizione di
∫∫S f dσ l’integranda
e una funzione continua in D, quindi l’integrale doppio esiste poiche D elimitato e misurabile.
Si osservi anche che se S e contenuta in un piano la definizione di integralesu S si riduce alla formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi.Infatti, se scegliamo gli assi cartesiani in modo che il piano che contiene S siaz = cost., si ha ‖ (ru ∧ rv)(u, v) ‖= |∂(x,y)
∂(u,v) |, che e il fattore di ingrandimentodelle aree nei cambiamenti di variabili per gli integrali doppi.
Esempio 12 (Area di sottoinsiemi di una sfera) Consideriamo il pezzoΣ di sfera di centro l’origine e raggio R racchiuso tra i meridiani θ = θ1 eθ = θ2 e i paralleli ϕ = ϕ1 e ϕ = ϕ2, con θ1 < θ2 e ϕ1 < ϕ2 (la parametriz-zazione e quella dell’Esempio 3). Non e difficile calcolare
‖ (rθ ∧ rϕ)(θ, ϕ) ‖= R2 sinϕ,
e quindi
A(Σ) =∫ θ2
θ1
dθ
∫ ϕ2
ϕ1
R2 sinϕ dϕ = R2(θ2 − θ1)(cos ϕ1 − cos ϕ2).
8
In particolare, la buccia di uno spicchio ha area 2R2(θ2−θ1), la calotta sfericaattorno al polo nord e sopra il parallelo ϕ = ϕ ha area 2πR2(1 − cos ϕ), el’intera sfera ha area 4πR2.
Esempio 13 (Area dei grafici cartesiani) Nel caso particolare di unasuperficie cartesiana r(x, y) = (x, y, f(x, y)) si calcola facilmente che
A(S) =∫∫
D
√1 + (fx)2 + (fy)2 dx dy =
∫∫D
√1+ ‖ ∇f ‖2 dx dy,
e se g : S → R e continua∫∫S
g dσ :=∫∫
Dg(x, y, f(x, y))
√1+ ‖ ∇f ‖2 dx dy.
Esercizio 14 Si ricalcoli l’area di una calotta sferica parametrizzandolacome superficie cartesiana.
Esercizio 15 Si verifichi che l’area del pezzo di paraboloide z = x2 + y2
con x2 + y2 ≤ R2 e π[(1 + 4R2)3/2 − 1]/6.
4 Baricentri e insiemi generati da rotazioni.
Sia (γ, s), s : [a, b] → R3, una curva regolare, e µ : γ → [0,+∞) sia unafunzione continua che rappresenta la densita lineare di massa di γ. Allorala massa totale di γ e definita da
M :=∫
γµds =
∫ b
aµ(s(t))‖s′(t)‖ dt
=∫ b
aµ(x(t), y(t), z(t))
√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 dt.
Si chiama baricentro della curva γ il punto (xB, yB, zB) le cui coordinatesono la media su γ, pesata da µ, rispettivamente di x, y e z, cioe
xB :=1M
∫γxµ(x, y, z) ds, yB :=
1M
∫γyµ(x, y, z) ds,
zB :=1M
∫γzµ(x, y, z) ds.
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Se la densita µ e una costante e l(γ) indica la lunghezza della curva, alloraM = l(γ)µ, il baricentro e
xB :=1
l(γ)
∫γx ds, yB :=
1l(γ)
∫γy ds, zB :=
1l(γ)
∫γz ds,
e si chiama anche centroide (si noti che dipende solo da γ e non da µ).
Esempio 16 Consideriamo una semicirconferenza omogenea di raggio Re calcoliamone il baricentro (ovvero il centroide). Prendiamo l’origine nelcentro della semicirconferenza e gli assi in modo che stia nel semipiano y ≥0, tutti gli altri casi si possono ottenere da questo mediante traslazioni erotazioni. Una parametrizzazione della curva e s(t) = (R cos t, R sin t) pert ∈ [0, π]. Poiche la lunghezza e πR e ‖s′(t)‖ = R troviamo
xB =1
πR
∫ π
0R2 cos t dt = 0, yB =
1πR
∫ π
0R2 sin t dt =
2R
π.
Il fatto che l’ascissa fosse 0 si poteva vedere facilmente anche dalla simmetriadella curva rispetto all’asse y. Lo studente calcoli per esercizio il baricentrodi archi di circonferenza di apertura diversa da π.
Sia ora Ω ⊂ R2 un insieme misurabile del piano e µ : Ω → [0,+∞) siauna funzione continua che rappresenta la densita superficiale di massa di Ω.Allora la massa totale di Ω e definita da
M :=∫∫
Ωµ(x, y) dx dy,
e il baricentro di Ω, (xB, yB), da
xB :=1M
∫∫Ω
xµ(x, y) dx dy, yB :=1M
∫∫Ω
yµ(x, y) dx dy.
Per µ costante otteniamo il centroide di coordinate
xB :=1|Ω|
∫∫Ω
x dx dy, yB :=1|Ω|
∫∫Ω
y dx dy.
Esempio 17 Se Ω e l’insieme dei punti del piano sotto la retta y = 1 esopra la parabola y = x2, si calcola facilmente |Ω| = 4/3 e∫ 1
−1
∫ 1
x2
x dy dx = 0,
∫ 1
−1
∫ 1
x2
y dy dx =45,
quindi il centroide e (0, 3/5). Il fatto che l’ascissa fosse 0 si poteva vederefacilmente anche dalla simmetria di Ω rispetto all’asse y.
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Nel caso di una superficie (S, r), µ : S → [0,+∞) rappresenta di nuovola densita superficiale di massa, la massa totale di S e definita da
M :=∫∫
Sµdσ,
e il baricentro di S da
xB :=1M
∫∫S
xµ(x, y, z) dσ, yB :=1M
∫∫S
yµ(x, y, z) dσ,
zB :=1M
∫∫S
zµ(x, y, z) dσ.
Infine, sia E ⊂ R3 un insieme misurabile dello spazio tridimensionalee µ : E → [0,+∞) una funzione continua che ora rappresenta la densitatridimensionale di massa di E. Allora la massa totale di E e definita da
M :=∫∫∫
Eµ(x, y, z) dx dy dz,
il baricentro di E, (xB, yB, zB), da
xB :=1M
∫∫∫E
xµ(x, y, z) dx dy dz, yB :=1M
∫∫∫E
yµ(x, y, z) dx dy dz,
zB :=1M
∫∫∫E
zµ(x, y, z) dx dy dz,
e per µ costante otteniamo il centroide di coordinate
xB :=1|E|3
∫∫∫E
x dx dy dz, yB :=1|E|3
∫∫∫E
y dx dy dz,
zB :=1|E|3
∫∫∫E
z dx dy dz.
Un insieme di rotazione si ottiene a partire da un insieme A con-tenuto in un semipiano di R3 delimitato da una retta r, facendolo ruotareattorno all’asse r di un angolo non superiore a 2π. Per una descrizione ana-litica precisa prendiamo A nel semipiano x ≥ 0 del piano xz e facciamoloruotare attorno all’asse z. L’insieme ottenuto R(A) si descrive facilmente incoordinate cilindriche x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z, come l’insieme tale che(ρ, z) ∈ A e θ ∈ [0, θ], dove θ ≤ 2π indica l’ampiezza dell’angolo di rotazione.Ci interessano in particolare i solidi di rotazione, ottenuti a partire da un
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insieme piano A misurabile e con area positiva, di cui calcoleremo il volume,e le superfici di rotazione, generate da un curva piana rettificabile γ, dicui calcoleremo l’area.
Per calcolare il volume del solido di rotazione R(A) sfruttiamo la rap-presentazione in coordinate cilindriche e otteniamo
|R(A)|3 =∫∫∫
R(A)dx dy dz =
∫ θ
0
(∫∫A
ρ dρ dz
)dθ
= θ
∫∫A
x dx dz = θxB|A|2,
dove xB indica l’ascissa del baricentro di A e |A|2 l’area di A. Si noti cheθxB e la lunghezza dell’arco di circonferenza percorsa dal baricentro di Adurante la rotazione attorno all’asse z. Abbiamo quindi dimostrato un casoparticolare del seguente classico teorema.
Teorema 18 (di Pappo) . Il volume del solido di rotazione generato daun insieme piano A e dato dall’area di A per la lunghezza della curva per-corsa dal baricentro di A.
Il lettore puo verificare per esercizio questo teorema nel caso di rotazioniattorno all’asse x o all’asse y.
Esempio 19 (Volume racchiuso dal toro) Si consideri il cerchio di cen-tro (R, 0) e raggio r, con r < R, nel semipiano x ≥ 0 del piano xz. Ilsolido generato dalla rotazione di ampiezza 2π e il solido racchiuso dallasuperficie del toro. Poiche il baricentro del cerchio ha ascissa R, e l’area delcerchio e πr2, il volume del solido di rotazione e 2π2r2R.
Teorema 20 (di Guldino) . L’area della supeficie di rotazione generatada una curva piana γ e data dalla lunghezza di γ per la lunghezza della curvapercorsa dal baricentro di γ.
Esempio 21 (Area del toro) Il toro e la superficie generata dalla ro-tazione di ampiezza 2π attorno all’asse z della circonferenza di centro (R, 0)e raggio r, con r < R, nel semipiano x ≥ 0 del piano xz. Poiche il bari-centro della circonferenza ha ascissa R, e la lunghezza della circonferenza e2πr, il volume del solido di rotazione e 4π2rR.
Esercizio 22 Tra i solidi di cui si e gia calcolato il volume si riconoscanoquelli che sono di rotazione rispetto a qualche asse e se ne ricalcoli il volumecon il teorema di Pappo.
12
Esercizio 23 Si usi il teorema di Guldino per ricalcolare le aree dgli Esercizi12 e 15.
Esercizio 24 Data una parametrizzazione di una curva contenuta nel semip-iano x ≥ 0 del piano xz, si usino le coordinate cilindriche per parametriz-zare la superficie di rotazione R(γ) e per calcolarne l’area, verificando ilteorema di Guldino in questo caso.
5 Flusso di un campo e teorema della divergenza.
Sia (S, r) una superficie e n : S → R3 il campo dei versori normali ad S(vedi Definizione 8). Dato un campo vettoriale continuo F : S → R3, si diceflusso Φ di F attraverso S l’integrale su S della componente normale F ·n,cioe
∫∫S F · n dσ. Dalle definizioni segue immediatamente che
Φ =∫∫
SF · n dσ =
∫∫D
F(r(u, v)) · (ru ∧ rv)(u, v) du dv.
La motivazione del nome viene dalla dinamica dei fluidi: se F e il campo divelocita di un fluido, il flusso rappresenta la massa che attraversa la superficienell’unita di tempo nella direzione e verso di n.
Per una superficie cartesiana r(x, y) = (x, y, f(x, y)) la formula per ilflusso diventa
Φ =∫∫
DF(x, y, f(x, y)) · (−fx,−fy, 1) dx dy,
di cui lasciamo la verifica al lettore.Chiamiamo dominio (con frontiera) regolare in R3 un insieme Ω ⊂
R3 che e la chiusura di un aperto limitato e la cui frontiera ∂Ω e sostegnodi una superficie (parametrizzata e regolare). Data una parametrizzazioner : D → R3 di ∂Ω, e definito il versore normale n(P ), almeno per ogni
P ∈ r(D). Diciamo che la normale n e orientata verso l’esterno di Ω se
P + tn(P ) /∈ Ω per tutti i t > 0 sufficientemente piccoli.Le superfici il cui sostegno S e la frontiera ∂Ω di un dominio regolare
si chiamano superfici chiuse. Si noti che l’aggettivo “chiuse” ha qui unsignificato simile a quello di “curva chiusa” e completamente diverso daquello di “insieme chiuso”. Esempi di superfici chiuse sono sfere e ellissoidi,invece nessuna superficie cartesiana e chiusa. Il flusso di un campo attraversouna superficie chiusa S = ∂Ω si dice uscente da Ω se la normale e orientataverso l’esterno.
13
Esercizio 25 Si calcoli il flusso del campo F(x, y, z) = (x, 0, y) uscentedalla superficie sferica di centro l’origine e raggio R, sia parametrizzandola superficie in coordinate sferiche, sia scrivendola in forma cartesiana comeunione di due semisfere. Il risultato e 4πR3/3.
Esempio 26 SiaE = kq
r‖r‖3
con r = (x, y, z) e k costante, il campo elettrostatico generato da una caricapuntiforme q posta nell’origine. Calcoliamo il flusso di E uscente dalla sferadi centro l’origine e raggio R. La normale esterna e
n =r‖r‖
=rR
,
dunque
F · n = kqr · r‖r‖3R
=kq
R2.
Quindi
Φ =kq
R2
∫∫SR(0)
dσ = 4πkq.
Si noti che il flusso e proporzionale alla carica q e la costante non dipendedal raggio della sfera, un fatto collegato al cosiddetto Teorema di Gaussdell’elettrostatica.
Si chiama divergenza di un campo vettoriale di classe C1 in R3, F(x, y, z)= (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)), il campo scalare
div F = ∇ · F :=∂F1
∂x+
∂F2
∂y+
∂F3
∂z.
Teorema 27 (della divergenza, o di Gauss) . Sia Ω un dominio rego-lare in R3 con normale n alla frontiera ∂Ω orientata verso l’esterno di Ω.Se F : Ω → R3 e un campo vettoriale di classe C1, allora∫∫∫
Ωdiv F dx dy dz =
∫∫∂Ω
F · n dσ, (1)
cioe l’integrale in Ω della divergenza di F e uguale al flusso del campo Fuscente da Ω.
14
Per ricordare che nella formula (1) n e orientata verso l’esterno di Ω, lasi indica talvolta con ne e il flusso uscente con
∫∫ ∫∫∂Ω F · ne dσ. Se invece
la parametrizzazione di ∂Ω ha normale che punta verso l’interno di Ω, , cioeP + tn(P ) ∈ Ω per t > 0 piccoli, allora si indica la normale con ni e vale laformula ∫∫∫
ΩdivF dx dy dz = −
∫∫∂Ω
F · ni dσ.
Il teorema della divergenza vale ancora per domini con frontiera rego-lare a pezzi, cioe tali che ∂Ω sia l’unione di un numero finito di superficiSi, i = 1, ..., n tali che Si ∩ Sj ha area nulla per ogni i 6= j (per esempio evuoto, o e una curva regolare). In tal caso si definisce∫∫
∂Ωf dσ :=
n∑i=1
∫∫Si
f dσ.
Ad esempio un parallelepipedo e un dominio con frontiera regolare a pezziche non e regolare (per via degli spigoli...), e sono domini con frontieraregolare a pezzi tutti i domini semplici rispetto a uno degli assi definiti dafunzioni di classe C1.
La dimostrazione del teorema della divergenza si puo trovare su quasiogni libro di Analisi Matematica II, almeno nel caso di domini con qualcheproprieta supplementare. Nella prossima sezione dimostreremo la sua ver-sione bidimensionale.
Esercizio 28 Si ricalcoli il flusso dell’Esercizio 25 usando il teorema delladivergenza.
Esercizio 29 Si calcoli il flusso del campo F = (x3, y3, z3) uscente dallasfera unitaria centrata nell’origine. Il risultato e 12π/5.
6 Formule di Gauss-Green nel piano.
Sia D ⊂ R2 un dominio semplice rispetto a uno dei due assi. La sua frontiera∂D e il sostegno di una curva chiusa, che e regolare a tratti se le due funzioniche delimitano D sono di classe C1. Se prendiamo una parametrizzazionedi tale curva che la percorre in senso antiorario, diremo che la frontieradi D e orientata positivamente, e indicheremo la curva parametrica con∂+D. Possiamo quindi calcolare l’integrale di una forma differenziale ω =F1 dx + F2 dy su ∂+D. Se, ad esempio, D e semplice rispetto all’asse y, cioedella forma
D = (x, y) : a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)
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con φ1, φ2 ∈ C1([a, b]), risulta∫∂+D
ω =∫
∂+DF1 dx + F2 dy =∫ b
a
(F1(x, φ1(x)) + F2(x, φ1(x))φ′1(x)
)dx +
∫ φ2(b)
φ1(b)F2(b, y) dy
−∫ b
a
(F1(x, φ2(x)) + F2(x, φ2(x))φ′2(x)
)dx−
∫ φ2(a)
φ1(a)F2(a, y) dy. (2)
Teorema 30 (Formule di Gauss-Green) . Se f ∈ C1(D), allora∫∫D
∂f
∂ydx dy = −
∫∂+D
f dx , (3)
∫∫D
∂f
∂xdx dy =
∫∂+D
f dy . (4)
Dimostrazione. Proviamo solo la prima formula per D y-semplice. La for-mula di riduzione degli integrali doppi e il teorema fondamentale del calcolodanno∫∫
D
∂f
∂ydx dy =
∫ b
a
(∫ φ2(x)
φ1(x)
∂f
∂ydy
)dx
=∫ b
a(f(x, φ2(x))− f(x, φ1(x))) dx.
D’altra parte, il secondo membro di (3) e l’opposto dell’integrale su ∂+Ddella forma ω = f dx che ha la seconda componente F2 ≡ 0, quindi (2)diventa in questo caso∫
∂+Df dx =
∫ b
af(x, φ1(x)) dx−
∫ b
af(x, φ2(x)) dx ,
e mettendo insieme le ultime due formule si ottiene (3). Lo studente dimostriper esercizio la (4) per D x-semplice.
Le formule di Gauss-Green valgono per domini piu generali di quelli sem-plici rispetto a un asse. Diremo che D ⊂ R2 e un dominio con frontieraregolare a pezzi se e l’unione di un numero finito di domini y o x-semplici adue a due privi di punti interni in comune (cioe che si intersecano al piu sulla
16
frontiera). Per un tale dominio la frontiera e unione di un numero finito dicurve regolari a tratti, γ1, γ2, ..., γN . Come esempio di dominio con fron-tiera regolare a pezzi si pensi a una corona circolare BR(xo, yo) \Br(xo, yo),R > r > 0; il lettore lo decomponga come unione di domini semplici e os-servi che la frontiera e l’unione delle due circonferenze γ1 = SR(xo, yo) eγ2 = Sr(xo, yo). Dobbiamo definire l’orientamento positivo delle curve γj
che compongono ∂D, fatto cio l’integrale su ∂+D di una forma differenzialeω sara naturalmente ∫
∂+Dω :=
N∑j=1
∫γj
ω .
Intuitivamente, l’orientamento positivo e quello che deve seguire un osser-vatore che si trova in piedi sul piano, con la testa dalla parte del versoree3 = e1 ∧ e2, per percorrere la curva vedendo il dominio D alla propria sin-istra. Si noti che questo e coerente con l’orientamento positivo gia definitoper i domini semplici, e che nell’esempio della corona cicolare significa chela circonferenza piu grande SR(xo, yo) e percorsa in senso antiorario e quellapiu piccola Sr(xo, yo), invece, in senso orario. Questa definizione si rendepiu precisa associando a una curva regolare a tratti γ di parametrizzaziones : [a, b] → R2 il versore normale n che si ottiene ruotando di π/2 insenso orario il versore tangente T = s′/‖s′‖. Se scriviamo s(t) = (x(t), y(t)),lo studente puo facilmente calcolare il versore normale alla curva nel puntos(t) ∈ γ
n =(
y′(t)‖s′(t)‖
,−x′(t)‖s′(t)‖
), ‖s′(t)‖ =
√(x′(t))2 + (y′(t))2. (5)
Si noti che, dei due versori normali a T, n e quello con la proprieta che
n ∧T = e3.
Poiche ∂D e l’unione delle curve chiuse regolari a tratti γj , j = 1, ..., N ,in ogni suo punto, tranne al piu un numero finito, essa ammette versoretangente T e versore normale n.
Definizione 31 Se D ⊂ R2 e un dominio con frontiera regolare a pezzi, sidice che la frontiera e orientata positivamente se il versore normale n ediretto in ogni punto P ∈ ∂D verso l’esterno di D, cioe P + tn(P ) /∈ D pertutti i t > 0 abbastanza piccoli.
Si noti che, nel caso particolare in cui ∂D e il sostegno di un’unica curvachiusa, questa definizione coincide con quella data all’inizio della sezione,
17
perche in tal caso il versore n punta verso l’esterno di D se la curva epercorsa in senso antiorario. Si verifichi anche che l’orientamento positivonell’esempio della corona circolare e proprio quello gia descritto con consid-erazioni intuitive.
Teorema 32 Le formule di Gauss-Green (3) e (4) restano valide per dominiD con frontiera regolare a pezzi orientata positivamente.
Dimostrazione. L’idea della dimostrazione e di decomporre D in dominisemplici Di, applicare le formule a ciascun Di e sommarle. Si concludeosservando che gli integrali su pezzi di curve contenute nella frontiera di dueDi diversi si annullano a vicenda perche tali curve sono percorse due voltein senso opposto.
Corollario 33 (Calcolo di aree.) Se D e un dominio con frontiera rego-lare a pezzi orientata positivamente ∂+D, allora
|D| :=∫∫
Ddx dy = −
∫∂+D
y dx =∫
∂+Dx dy
=12
∫∂+D
(−y dx + x dy). (6)
Dimostrazione. La prima uguaglianza e la definizione di area, la seconda siottiene da (3) prendendo f(x, y) = y, la terza si ottiene da (4) prendendof(x, y) = x, infine l’ultima e la media delle due precedenti.
Esempio 34 L’area racchiusa da un’ellisse si puo ottenere prendendo la pa-rametrizzazione r(θ) = (a cos θ, b sin θ), θ ∈ [0, 2π], di ∂+D e usando l’ultimauguaglianza in (6):
|D| = 12
∫ 2π
0
(ab sin2 θ + ab cos2 θ
)dθ = πab.
Esempio 35 La cicloide e la curva descritta dal tappo di una ruota di bi-cicletta di raggio unitario durante un giro completo della ruota, partendodalla posizione piu vicina a terra. Se si sceglie l’origine degli assi cartesianinella posizione iniziale del tappo, con un semplice argomento di trigonome-tria si trova la parametrizzazione r(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π].Il lettore disegni questa curva. Usiamo la seconda uguaglianza in (6) percalcolare l’area dell’insieme D compreso tra la cicloide e l’asse x. Per avere
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l’orientamento positivo della frontiera l’asse x e percorso da sinistra a destrae la cicloide in senso opposto alla parametrizzazione scritta sopra. Poichey ≡ 0 sull’asse x abbiamo
|D| = −∫
∂+Dy dx =
∫ 2π
0(1− cos t)2 dt = 3π.
Esercizio 36 Calcolare∫∫
D 2y dx dy, dove D e l’insieme descritto nell’e-sempio precedente. Suggerimento: si usi la prima formula di Gauss-Green(3) per la funzione f(x, y) = y2. Il risultato e 5π.
Esercizio 37 Calcolare∫∫
D x dx dy, dove D e l’insieme dell’ultimo esempio.Il risultato e 3π2.
Mediante le formule di Gauss-Green possiamo dimostrare la versione bi-dimensionale del teorema della divergenza di Gauss. Per domini nel pianoil flusso uscente di un campo e espresso mediante un integrale curvilineo,anziche superficiale.
Teorema 38 (della divergenza nel piano) . Sia D un dominio con fron-tiera regolare a pezzi, n = ne il versore normale esterno a D, e F : D → R2
un campo vettoriale di classe C1. Allora∫∫D
divF dx dy =∫
∂DF · n ds. (7)
Dimostrazione. Scriviamo (4) con f = F1, (3) con f = F2, e le sommiamoper ottenere∫∫
DdivF dx dy =
∫∫D
(∂F1
∂x+
∂F2
∂y
)dx dy =
∫∂+D
−F2 dx + F1 dy.
Ora ci limitiamo al caso particolare di un dominio con frontiera un’unicacurva, che supponiamo orientata in senso antiorario dalla parametrizzaziones(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Il versore normale esterno e allora dato dallaformula (5). Le definizioni di integrale curvilineo di 1a e 2a specie danno∫
∂DF · n ds =
∫ b
a
(F1(s(t))
y′(t)‖s′(t)‖
− F2(s(t))x′(t)‖s′(t)‖
)‖s′(t)‖ dt
=∫ b
a
(F1(s(t))y′(t)− F2(s(t))x′(t)
)dt =
∫∂+D
−F2 dx + F1 dy.
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Mettendo insieme queste due formule otteniamo la (7).
Ricordiamo che il rotore di un campo vettoriale F in R3 e rotF := ∇∧F.Un campo vettoriale nel piano F : D → R2, D ⊆ R2, si puo considerare uncampo in R3 con la terza componente nulla e le altre indipendenti da z. Intal caso
rotF =(
0, 0,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
).
Il prossimo risultato, conseguenza immediata delle formule di Gauss-Green,afferma che il flusso di rotF attraverso D nella direzione di e3 = e1 ∧ e2
e uguale al lavoro compiuto da F percorrendo ∂D secondo l’orientazionepositiva; quest’ultima quantita si chiama circuitazione di F lungo ∂+D.Questa formula e un caso particolare del teorema del rotore per superficiche vedremo nella prossima sezione.
Teorema 39 (del rotore nel piano, o formula di Stokes) . Sia D ⊂R2 un dominio con frontiera regolare a pezzi, F : D → R2 un campo diclasse C1. Allora∫∫
DrotF · e3 dx dy =
∫∂+D
F1dx + F2dy =∫
∂DF ·T ds, (8)
dove T e il versore tangente alla frontiera ∂D orientata positivamente.
Dimostrazione. La seconda uguaglianza segue subito dalle definizioni di inte-grali curvilinei di 1a e 2a specie. La prima uguaglianza si ottiene sommandola formula di Gauss-Green (3) con f = −F1 e la (4) con f = F2.
Osservazione 40 La formula di Stokes permette di fare calcoli di inte-grali di forme differenziali chiuse (cioe ω = F1dx + F2dy per un campoF irrotazionale, ∂F1/∂y = ∂F2/∂x) del genere fatto nel Teorema 10.6 onell’Esercizio 10.7 di [BDP], p. 443, ma senza usare l’omotopia. Conside-riamo due curve chiuse semplici regolari a tratti γ1 e γ2, chiamiamo D1 eD2 rispettivamente i domini limitati che le hanno come frontiera, e supponi-amo che γ2 sia contenuta nell’interno di D1. Detto D = D1 \D2 il dominioracchiuso tra esse e dato un campo vettoriale F : D → R2 di classe C1
irrotazionale, se γ1 e γ2 hanno la stessa orientazione allora∫γ1
F1dx + F2dy =∫
γ2
F1dx + F2dy.
20
Infatti la differenza di questi due integrali e, per la formula (8), uguale a+ o − l’integrale
∫∫D rotF · e3 dx dy (a seconda dell’orientazione oraria o
antioraria delle due curve, il lettore si faccia un disegno), e quest’ultimo ezero per un campo irrotazionale.
7 Superfici con bordo e teorema del rotore.
Definizione 41 Siano D ⊂ R2 la chiusura di un aperto connesso e A ⊂ R2
un aperto che contiene D. Se r : A → R3 e di classe C1, soddisfa lecondizioni
(i) r e iniettiva in D,
(ii) Jr(u, v) ha rango 2 per ogni (u, v) ∈ D,
e S = r(D), la coppia (S, r) si dice superficie (regolare) con bordo.L’insieme r(∂D) si dice bordo della superficie S.
E chiaro che una superficie con bordo e anche una superficie nel senso dellaDefinizione 1. Il viceversa non e vero in generale, ad esempio le superficichiuse non sono superfici con bordo, lo si verifichi come esercizio nel casodella sfera. Spesso il bordo di S viene indicato con ∂S, ma questa notazioneva trattata con molta attenzione perche e la stessa usata per la frontieradi S, che nel caso di una superficie coincide con S stessa ed e quindi bendiversa dal bordo.
Esempio 42 Se f : A → R e di classe C1 con A aperto, A ⊃ D, D comesopra, allora la superficie cartesiana
D → R3, r(x, y) = (x, y, f(x, y))
e una superficie regolare con bordo, e il bordo e il grafico di f ristretta a∂D, cioe (x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ ∂D.
Per il prossimo teorema e necessario orientare il bordo di S positivamenterispetto all’orientamento della superficie definito dal versore normale
n :=ru ∧ rv
‖ru ∧ rv‖.
Intuitivamente, l’orientamento positivo e quello che deve percorrere un os-servatore che si trova in piedi sul bordo di S, con la testa dalla parte di n,per vedere la superficie S alla propria sinistra. Cominciamo a definirlo nelcaso piu semplice in cui il dominio dei parametri e l’insieme racchiuso dauna singola curva regolare.
21
Definizione 43 Sia (S, r) una superficie con bordo tale che la frontiera ∂Ddel dominio dei parametri e il sostegno di una curva chiusa regolare a trattipercorsa in senso antiorario dalla parametrizzazione s : [a, b] → R2. Si dicebordo orientato positivamente ∂+S di S la curva chiusa regolare a trattiparametrizzata da r s : [a, b] → R3.
Piu in generale, se la frontiera ∂D del dominio dei parametri e l’unione deisostegni di un numero finito di curve chiuse regolari a tratti γi, parametriz-zate da si : [ai, bi] → R2, i = 1, ..., n, in modo da ottenere l’orientamentopositivo ∂+D (v. Def. 31), si dice bordo orientato positivamente ∂+Sdi S l’insieme delle curve parametrizzate da r si : [ai, bi] → R3, i = 1, ..., n.Si noti che l’unione dei sostegni di tali curve e il bordo r(∂D) di S. Natural-mente l’integrale su ∂+S di una forma differenziale ω = F1dx+F2dy+F3dz,∫∂+S ω, si definisce sommando gli integrali di ω sulle curve appena definite.
Questo integrale, che rappresenta il lavoro del campo di forze F lungo ∂+S,si chiama anche circuitazione di F intorno al bordo di S.
Ricordiamo che il rotore di un campo vettoriale F = (F1, F2, F3) di classeC1 in R3 e il campo vettoriale
rotF = ∇∧ F :=(
∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
).
Teorema 44 (del rotore, o di Stokes) . Sia E ⊂ R3 un insieme apertoche contiene il sostegno della superficie con bordo (S, r), e F : E → R3 uncampo vettoriale di classe C1. Allora∫∫
SrotF · n dσ =
∫∂+S
F1dx + F2dy + F3dz, (9)
cioe il flusso del rotore di F attraverso S e uguale alla circuitazione di Fintorno al bordo di S.
La dimostrazione di questo teorema si puo trovare in quasi tutti i libri diAnalisi Matematica II. Nel caso particolare di una superficie S contenutain un piano, si possono scegliere gli assi in modo che tale piano sia il pianoxy e la normale n sia il versore e3 dell’asse z. In tal caso il Teorema 44del rotore si riduce al Teorema 39 che abbiamo dimostrato con le formuledi Gauss-Green. Come nel Teorema 39, anche in tre dimensioni possiamoscrivere la circuitazione come un integrale di 1a anziche di 2a specie. Bastarichiamare il versore tangente alla curva ∂+S, cioe T := (r s)′/‖(r s)′‖, eosservare che ∫
∂+SF1dx + F2dy + F3dz =
∫∂+S
F ·T ds.
22
Allora il Teorema di Stokes si puo anche scrivere∫∫S
rotF · n ds =∫
∂+SF ·T ds,
e spesso in questa formula si scrive∫∂S invece di
∫∂+S perche l’informazione
sull’orientamento del bordo e gia contenuta nel vettore T.Concludiamo la sezione con una versione del teorema del rotore che vale
per superfici chiuse invece che con bordo.
Teorema 45 (del rotore per le superfici chiuse) . Sia E ⊂ R3 un in-sieme aperto che contiene il sostegno della superficie chiusa (S, r), e F :E → R3 un campo vettoriale di classe C1. Allora∫∫
SrotF · n ds = 0, (10)
cioe il flusso del rotore di F attraverso una superficie chiusa e nullo.
Dimostrazione. Poiche S e una superficie chiusa, c’e un aperto limitato Ωtale che S = ∂Ω. Ci limitiamo al caso di campi definiti in un insieme apertoE′ che contiene tutto Ω, non solo ∂Ω, e F di classe C2 in E′. In tal casopossiamo applicare il Teorema 27 della divergenza, e il lato sinistro di (10)risulta allora uguale a ∫∫∫
Ωdiv rotF dx dy dz.
Ma quest’ultimo integrale e nullo per l’ identita
div rotF = 0,
che si verifica esplicitando le derivate e osservando che, per il Teorema diSchwarz sulle derivate seconde miste, tutti i termini si cancellano a due adue. Si raccomanda al lettore di fare questo calcolo.
8 Esercizi di autoverifica: Integrali multipli
1. Si calcoli ∫∫I
1(3− y)2
dxdy
23
dove I e l’insieme limitato del piano (x, y) compreso fra le curve di equazioni|x| = y3 e y = 2− x2, rispettivamente.2. Si trovi il volume dell’intersezione tra il cono dato da x2 + y2 < z2 e lasfera data da x2 + y2 + z2 < 2az.3. Si trovi il volume del solido compreso fra le superfici di equazioni y =x2, x = y2, z = 0, z = y − x2 + 12.
4. Calcolare il volume del solido S cosı definito:
S = (x, y, z) ∈ R3 | 2x2 + 3y2 + z2 ≤ 1, 2x2 + 3y2 ≤ 1/2.
[ Risultato: π(2√
2− 1)/3√
3 ]5. Sia T = (x, y) ∈ R2 | a ≤ x + y ≤ b, y > 0, x > 0. Dire se l’integrale∫∫
T
tan(x + y)x + y
dxdy
e un integrale generalizzato, se converge, e in caso affermativo calcolarlo, neitre casi (i) a = π/6, b = π/3; (ii) a = 0, b = π/3; (iii) a = π/6, b = π/2.[ Si consiglia un cambiamento di variabili lineare. Risultato: (i) log(
√3),
(ii) log(√
3/2), (iii) diverge. ]6. Calcolare il volume dell’insieme compreso tra il cilindro di equazionex2 + y2 = 1, il piano z = 0 e la superficie z = |x|.7. Calcolare il volume dell’insieme compreso tra la sfera x2 + y2 + z2 ≤ 4 eil cilindro (x− 1)2 + y2 = 1.8. Sia A l’insieme dato dalle limitazioni 0 ≤ y ≤ x2, −1 ≤ x ≤ 1. Calcolarel’integrale ∫∫
A(x2 + y2)dxdy.
9. Calcolare il volume dei solidi ottenuti ruotando attorno all’asse z iseguenti insiemi F1 e F2:
F1 = (x, z) ∈ R2 | 1 < z < 2, 0 < x < logz,
F2 = (x, z) ∈ R2 | 0 < z < 2, 0 < x < min(z,√
2− z).
10. Determinare il volume del solido
E = (x, y, z) ∈ R3 | z2 > x2 + y2, x2 + y2 + z2 < a2 (a ∈ R).
11. Si disegni l’insieme
C = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ −x2 + y2
3, x2 + y2 + z2 ≤ 4
24
e si calcoli ∫∫∫C
z dxdydz .
12. (28.5.2002) Disegnare l’insieme
T = (x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2, y ≥ x
e calcolarne il baricentro (con densita costante = 1).[Risultato:
((2√
2− 8)/3π, (8− 2√
2)/3π)]
13. (29.1.1996) Calcolare l’integrale∫∫∫A
dx dy dz
(x2 + y2 + z2)4/3,
dove A = (x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4. [ Risultato: 9π41/3/2 ]
9 Esercizi di autoverifica: Integrali curvilinei eforme differenziali
1. Trovare l’ascissa del baricentro della curva piana cosı definita in coordi-nate polari: ρ = ekθ, 0 < θ < π, (k > 0).
2. Data la curva di equazionix = R sin t
y = R cos t
z = ht
dove 0 < t < 2, determinare l’integrale su tale curva della funzione f(x, y, z) =xyz.3. Calcolare ∫
γ
x2
(x2 − y2)1/2dx +
xy
x2 + y2dy,
dove γ e la curva data da y = x2 con 1/2 ≤ x ≤ 1/√
3 con l’orientamentodelle x crescenti.4. Calcolare ∫
γ
x2
ydx +
y
x2 + y2dy,
dove γ e la curva data dalle equazioni parametriche x = cos t, y = sin t conπ/4 ≤ t ≤ π/2.
25
5. Dire se la seguente forma differenziale e esatta e, in caso affermativo,calcolare un potenziale:
ω = [1 + cos (x + y)] dx + cos (x + y) dy.
Calcolare poi l’integrale di ω sulla curva definita come segue: x = cos47 t, y =sin47 t, con 0 ≤ t ≤ π/2.
6. Dire se la seguente forma differenziale e esatta se ristretta al primoquadrante e, in caso affermativo, calcolare in tale insieme una sua primitiva(nota: primitiva = potenziale, cioe una funzione U tale che dU = ω):
ω(x, y) =x + 2y
x3ydx +
1x y2
dy.
7. Dire se la seguente forma differenziale e esatta, nel suo insieme didefinizione, e in caso affermativo calcolare una sua primitiva:
ω(x, y) =x
x2 + y2dx +
y
x2 + y2dy.
Calcolare poi l’integrale di ω esteso alla curva γ definita, in coordinate polari,nel modo seguente: ρ = 2− cos θ, con −π ≤ θ ≤ π.
8. Dire se le seguenti forme differenziali lineari in tre variabili sono differen-ziali esatti e, in caso affermativo, calcolarne una primitiva:i)
x
x2 + y2 + z2dx +
y
x2 + y2 + z2dy +
z
x2 + y2 + z2dz;
ii)
− y + z
(x− y − z)2dx +
x
(x− y − z)2dy +
x
(x− y − z)2dz.
9. Per ogni k ∈ R si consideri la forma differenziale ωk definita in Ω =(x, y) ∈ R2 | y > 0 da
ωk(x, y) =(
2x
x2 + y2+ 2xykex2y
)dx +
(2y
x2 + y2+ x2ex2y
)dy.
Determinare i valori di k per i quali ωk risulta esatta in Ω. Per tali valoricalcolare
∫Γ ωk dove Γ e parametrizzata da φ : [0, π/2] → R2,
φ(t) =
(arctg
[t1/3sin
( t− π
2
)+√
3− 1π
+ 5]; (sint)3/2 + 1
).
26
10. Calcolare l’integrale∫γ ω dove
ω(x, y) = y2 x−1 dx + 2y logx dy
e γ e la curva parametrizzata da
γ(t) =(t, arctg[2(2− sin2t)−1cos(3t) ]
), t ∈ [π/2, π] .
11. Si calcoli l’integrale della forma differenziale
ω(x, y) = y2 dx + (x2 + y2) dy
lungo l’ellisse di equazioni x2 + y2/4 = 1 orientata in senso antiorario epercorsa una sola volta.12. (5.9.96) Trovare una funzione g(x, y) in modo tale che la forma differen-ziale
ω = xz dx + (2yz + cos y) dy + g(x, y) dz
sia esatta in R3. Trovare poi una primitiva di ω.13. Stabilire in quali regioni del piano la forma differenziale
2(y − x)1− (y − x)2
dx +2(x− y)
1− (y − x)2dy
e esatta. Calcolare poi il suo integrale lungo la curva parametrizzata da
r(t) =(
t,sin(πt)2 + cost
+32
+ t
)t ∈ [0, 1].
14. Sia data la forma differenziale
ω(x, y) =y(log y − 1)
x2 + 1dx + arctanx log y dy,
definita in Ω = (x, y) ∈ R2 | y > 0.i. Si dica se ω e chiusa.ii. Si dica se ω e esatta e se ne trovino tutte le eventuali primitive.iii. Fra tutte le primitive si trovi quella che vale π nel punto (−1, 1).iv. Si calcoli
∫γ ω dove γ e la curva di equazione y = −x3 + 3, x ∈ [−1, 1].
27
10 Esercizi di autoverifica: Integrali superficiali.
1. Calcolare l’area di S = (x, y, z) ∈ R3 | z2/4− x2 − y2 = 1, |z| ≤ 4.2. Abbozzare il disegno e calcolare l’area delle seguenti superfici:i)
x = cos u
y = sinu
z = v
con 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1.ii)
z =√
x2 + y2, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2.
3. Sia γ l’arco di cicloide di equazioni parametriche:x = a(t− sin t)y = a(1− cos t)
dove 0 ≤ t ≤ 2π e a > 0. Calcolare l’area della superficie data dalla rotazionedi γ attorno all’asse y. [ Risultato: 16π2a2 ]4. Calcolare l’area della superficie di equazioni
x = eu sinv
y = eu sinv
z = cosv
dove 0 ≤ u ≤ log4, π2 ≤ v ≤ π.
5. Si calcoli il flusso del campo vettoriale V : R3 → R3, V (x, y, z) =(2x, 2y, z) attraverso la porzione di piano π = (x, y, z) ∈ R3
∣∣x + y + z =0, x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 orientata dal vettore normale n = (−1,−1,−1).6. (20.6.1996) Calcolare il flusso del campo vettoriale
F(x, y, z) = xye1 + xe2 + e3
uscente dalla superficie Σ = (x, y, z) : z = 1 − x2/2 − y2, x2/2 + y2 < 1nel verso delle z negative (si scelga cioe l’orientamento ν di Σ che in (0, 0, 1)coincide con −e3). [ Risultato: −π
√2. ]
7. (11.6.98) Si disegni la superficie Σ di equazioni parametriche
r(ϑ, y) = (√
y2 + 1 cos ϑ, y,√
y2 + 1 sinϑ) , ϑ ∈ [0, 2π], |y| < 1
28
e si calcoli il flusso del campo vettoriale
F(x, y, z) = x2e1 + y/2e2 + xe3
uscente da Σ, orientata in modo che nel punto (1, 0, 0) il versore normalecoincida con e1. [ Risultato: −2π/3. ]
11 Esercizi di autoverifica: Funzioni implicite eestremi vincolati
1. Si consideri la funzione g : R2 → R, g(x, y) = −xey + 2y − 1.i) Sia Po = (xo, yo) ∈ R2, con xo ≤ 0, un punto tale che g(Po) = 0.E vero che l’equazione g(x, y) = 0 definisce implicitamente, in un intorno diPo, un’unica funzione continua y = f(x) ?ii) Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione y = f(x) definitaimplicitamente dall’equazione g(x, y) = 0 in un intorno di (0, 1
2).iii) Trovare tutti i punti Q = (x1, y1) ∈ R2 tali che g(Q) = 0 e g non soddisfain Q le ipotesi del teorema di Dini per l’esplicitabilita di y in funzione di x.2. Si consideri la funzione
g : R2 → R; g(x, y) = xy2 + y + sinxy + 3(ex − 1).
i) Verificare che in un intorno di (0, 0) l’equazione g(x, y) = 0 definisce im-plicitamente una funzione y = φ(x). ii) Calcolare, giustificando la risposta,
limx→0φ(x)+3x
x .3. Si consideri la funzione f(x, y) = logy + xy − logx definita nell’insiemeQ = (x, y) |x > 0, y > 0 e sia L l’insieme degli zeri di f in Q. (Si accetti,senza dimostrarlo, che L 6= ∅). Si verifichi che per ogni (xo, yo) ∈ L l’insiemeL coincide localmente col grafico di una funzione della sola x. Si trovino poii punti (xo, yo) ∈ L per i quali tale funzione ha derivata prima nulla in xo.4. Si verifichi che l’equazione
F (x, y) = ex−y + x2 − y2 − e(x + 1) + 1 = 0
definisce implicitamente, in un intorno di x = 0 una funzione y = y(x) taleche y(0) = −1. Si dimostri che x = 0 e di minimo per y(x).5. Si consideri la funzione f : R2 → R definita da
f(x, y) = 5(x2+3y2).
29
Calcolare massimo e minimo assoluti di f nell’insieme
D = (x, y) ∈ R2∣∣ x2 +
(y + 2)2
4≤ 1.
6. Sia f(x, y) = exy e sia E = (x, y) ∈ R2 | x2
2 + y2 ≤ 1. Trovare massimoe minimo assoluti di f su E e i punti in cui sono assunti.7. Sia L = (x, y) ∈ R2 |x + y = 3, x ≥ 0, y ≥ 0. Data la funzione
f : L → R f(x, y) =(1 +
x
2
) (1 +
y
2
),
trovarne i massimi e minimi assoluti e i punti di massimo e minimo assoluti.8. Trovare la minima distanza del punto (0, 0) dall’insieme Γ = (x, y) ∈R2 | (x− 1)3 − y2 = 0.9. Data la curva di equazione polare ρ = e−θ, 0 ≤ θ ≤ 2π, scriverel’equazione della retta tangente nel punto di arrivo (θ = 2π).
[Alcune soluzioni: 1. i) si; ii) f(x) = 1/2 + e1/2x/2 + ex2/4 + o(x2) ; iii)(2e−3/2, 3/2).3. ii) (e1/2, e−1/2).6. maxE f = e1/
√2 in (1, 1/
√2) e (−1,−1/
√2), minE f = e−1/
√2 in
(−1, 1/√
2) e (1,−1/√
2).8. la minima distanza e 1.]
12 Temi d’esame di Matematica E 2002
Il tempo concesso per gli appelli ufficiali e due ore e 30 minuti.
Primo compitino – 28.5.2002 – Tema 4 (Tempo: un’ora e 30 minuti)
1) Tizio e Caio, ubriachi, devono tornare alle loro case in autobus e non siricordano quale sia la linea giusta. Si trovano ad un capolinea dove sostano12 autobus e ognuno di loro ne prende uno a caso indipendentemente dallascelta dell’ altro. Sapendo che 1 autobus va bene per Tizio e 4 per Caio,calcolare la probabilita che almeno uno prenda l’autobus giusto.
2) Due utenti di Internet richiedono (indipendentemente l’uno dall’altro e adintervalli regolari di tempo) accesso alla medesima pagina web. E noto chela probabilita di successo e del 60%, e che l’accesso viene concesso indipen-dentemente dai tentativi precedenti di entrambi gli utenti. Sia Xi (i = 1, 2)la v.a. che conta il numero di tentativi necessari perche l’utente i-esimoabbia accesso per la prima volta alla pagina.
30
a. Calcolare P (Xi = k), per k = 1, 2, . . .
b. Calcolare le probabilita condizionate P (X2 ≤ X1 |X2 = k), per k =1, 2, ...
c. Calcolare P (X2 ≤ X1).
(Ricordiamo la formula∑k−1
n=0 qn = (1− qk)/(1− q)).
3) Disegnare l’insieme
T = (x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 3, y ≤ x
e calcolarne il baricentro (con densita costante = 1).
4) Data la funzione f(x, y) = 0 per y ≤ 0,
f(x, y) = ce−2|x|e−y/3 per y > 0,
(i) si determini c in modo che f sia la densita di una variabile aleatoriacontinua vettoriale Z = (X, Y );
(ii) si calcolino le densita marginali fX e fY ;
(iii) si calcolino media e varianza di X e Y e Cov(X, Y ).
5) Si diano le definizioni di densita e di funzione di ripartizione di unavariabile aleatoria discreta e si mostri il collegamento tra le due.
6) Si dia la definizione di densita normale N(2, 12) e se ne scriva la funzione
di ripartizione.Facoltativo: Se ne calcolino media e varianza.
7) Facoltativo: Si fa una prova di trasmissione di un canale di telecomu-nicazioni. Lo strumento T trasmette con uguale probabilita il simbolo 0ed il simbolo 1 allo strumento R. La linea e disturbata. Siano Ti l’evento“T trasmette i” e Ri l’evento “R riceve i”, i = 0, 1. Siano date le seguentiprobabilita di errore: P (R1 |T0) = 0.025, P (R0 |T1) = 0.015. Sapendo cheR ha ricevuto 0, calcolare la probabilita che da T sia stato trasmesso 0.
Secondo compitino e primo appello– 2.7.2002 – Tema 1
Il secondo compitino consiste negli esercizi 3, 4, 5, 6, 7; l’appello consistenegli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 7, l’esercizio 6 e facoltativo. Tempo: un’ora e 30minuti per il compitino; due ore e 30 minuti per l’appello.
1) Siano X e Y due v.a. indipendenti, con X ∼ N(0, 1) e Y ∼ N(1, 4).
31
a. Qual e la probabilita che Y assuma valore positivo?
b. Qual e la probabilita che entrambe le variabili assumano valore positivo?
c. Qual e la probabilita che almeno una delle variabili assuma valore posi-tivo?
d. Sapendo che almeno una delle due ha assunto valore positivo, qual e laprobabilita che X abbia valore negativo?
NOTA: si chiede di dare la soluzione in termini di Φ, funzione di ripartizionedella legge normale standard, e se il tempo lo permette di usare le tavolefornite dal docente per calcolare il valore numerico approssimato.
2) I clienti di due sportelli postali arrivano indipendentemente ad intervallidi tempo la cui durata e una variabile esponenziale e il tempo si misura inminuti. Il parametro della variabile esponenziale e 2 per lo sportello A, 5per lo sportello B.
a. Calcolare la probabilita che entrambi gli sportelli restino senza clientiper i primi 30 min. della giornata.
b. Detto X il tempo di arrivo del primo cliente allo sportello A e Y quelloallo sportello B, si calcoli la densita della variabile aleatoria min(X, Y ).E’ una variabile nota?
3) Si consideri il campo vettoriale
F(x, y) = e2y cos(xe2y) i + bxe2y cos(xe2y) j;
a. si determini b in modo che F sia conservativo;
b. per tale b si calcoli un potenziale di F;
c. per tale b si calcoli il lavoro di F lungo la curva γ di equazioni polariρ = cos2(eϑ), ϑ ∈ [log π, log(3π/2)].
4) Si disegni il tronco di cono
S = (x, y, z) : (z − 2)2 = 16x2 + 16y2, 0 ≤ z ≤ 2
e si calcoli il flusso del campo vettoriale
F(x, y, z) = (5y, 5x, 6x2 + 6y2)
32
attraverso la superficie S orientata in modo che il vettore normale puntiverso l’alto. Facoltativo: svolgere l’esercizio anche con un secondo metododiverso.
5) Sia f(x, y) = x3 + 3xy + y3.
a. Nell’insieme E = (x, y) : f(x, y) = 0 si trovi il sottoinsieme N deipunti che non soddisfano le ipotesi del teorema di Dini per l’esplicita-bilita di y in funzione di x.
b. In E \N si trovino i punti stazionari della funzione implicita y = g(x).
c. Facoltativo: Si trovino gli eventuali punti di estremo locale di g.
6) Date due variabili aleatorie X e Y si dia la definizione di densita con-dizionale e di speranza condizionale di X dato Y = y.
7) Si dia la definizione di divergenza di un campo vettoriale e si enunci ilteorema della divergenza (o di Gauss); facoltativo: lo si dimostri in uncaso particolare.
Secondo appello– 17.7.2002 – Tema 1
1) Un giocatore gioca ogni settimana al lotto l’ambo 1, 90 su una singolaruota (ricordiamo che vengono estratti 5 numeri senza reimbussolamento daun’urna che ne contiene 90).
a. Qual e la probabilita p di vincere in una singola estrazione?
b. Qual e la probabilita di vincere almeno una volta nelle prime 100 es-trazioni?
c. Qual e il numero atteso di tentativi necessari per vincere la prima volta?
2) Sia X una variabile aleatoria uniforme su [−14 , 3
4 ] e consideriamo la v.a.Y = −1
3 log(X + 14).
a. Quanto vale la probabilita PY ≤ 0?
b. Calcolare la funzione di ripartizione e la densita di Y . E’ una densitanota?
3) Sia
D = (x, y, z) ∈ R3 : (x−√
2)2 + y2 ≤ 2, x + y + 2z ≤ 6√
2, z ≥ 0.
33
a. Abbozzare un disegno del solido D.
b. Calcolare il volume di D.
c. Dato il campo vettoriale F(x, y, z) = 2xe1 +ze2, si calcoli con il teoremadella divergenza il flusso di F uscente da D.
d. Calcolare il versore normale n uscente da D in ogni punto di ∂D doveesso esiste, e indicare i punti dove n non esiste.
e. Calcolare l’area di ∂D.
4) Calcolare il massimo di f(x, y) = −xy nell’insieme
E = (x, y) : x2/3 + y2/3 = 4, x > 0, y < 0.
Proporre un’interpretazione geometrica del problema e del risultato trovato.5) Si dia la definizione di variabile aleatoria e di v.a. discreta.
6) Si dia la def. di campo vettoriale conservativo e se ne indichi qualcheproprieta.
Prova scritta del 4.9.2002 – Tema 1
1) Ad una stazione ricevente arriva un messaggio binario e non si sa seproviene dall’emittente A (evento A) o dall’emittente B (evento B). Siattribuisce la stessa probabilita agli eventi A e B. I singoli bit del messaggioprendono i valori 0 o 1 a caso e in maniera indipendente; se il messaggioproviene da A ogni singolo bit prende il valore 1 con probabilita 2/3, seinvece proviene da B tale probabilita e 1/6. Poniamo Ei = lo i-esimo bite uguale a 1 .
a. Quanto vale la probabilita di Ei?
b. Se il primo bit e uguale a 1, qual e la probabilita che anche il secondobit sia 1?
c. Provare che gli eventi E1 e E2 non sono indipendenti.
d. Detta Y la variabile aleatoria che conta il numero di bit uguali a 1tra i primi tre caratteri del messaggio, si trovi la distribuzione di Ycondizionata all’evento A e quella condizionata a B, e si calcoli laprobabilita che Y = 2.
34
e. Sapendo che tra i primi 3 bit uno e 0 e gli altri due sono uguali a 1, sicalcoli la probabilita che il messaggio provenga da A.
N.B.: le domande d ed e possono essere affrontate anche senza aver risoltoa, b e c.
2) Si consideri la funzione f(x) = aex+3 per x ≤ 2, f(x) = 0 per x > 2.
a. si determini a in modo che f sia la densita di una v.a. continua X;
b. per tale a si calcolino la funzione di ripartizione ed il valore atteso di X.
3) Dato il campo vettoriale
F(x, y) = µ(x)2− 3x
y2e1 + µ(x)
2x(x− 1)y3
e2
a. trovare una funzione µ (diversa dalla costante 0) tale che F sia conser-vativo in un semipiano che contiene (0, 1),
b. calcolare un potenziale U tale che U(0, 1) = 4.
4) Si consideri il solido D intersezione dell’ellissoide S1 = (x, y, z) : x2 +y2 + z2/4 ≤ 1 e del paraboloide S2 = (x, y, z) : z/2 ≥ x2 + y2 − 1/4.
a. Determinare l’intersezione della frontiera di S1 con quella di S2 e ab-bozzare un disegno di D;
b. calcolare il volume di D.
5) Si scrivano le formule di Gauss-Green nel piano e se ne ricavi una formulaper il calcolo di aree.
Prova scritta – 24.9.2002 – Tema 1
1) Una macchina produce dei pezzi. In condizioni normali, il 5% dei pezziprodotti e guasto. Tuttavia, nella produzione possono subentrare degli in-convenienti; precisamente, se si verifica un inconveniente di tipo A la prob-abilita di produrre pezzi guasti diventa del 15%, se invece si verifica uninconveniente di tipo B la probabilita di produrre pezzi guasti diventa del25%. L’inconveniente A di verifica con probabilita 1/3, mentre B con prob-abilita 1/4.
a. Calcolare la probabilita di produrre pezzi guasti.
35
b. Calcolare la probabilita che, dato che un pezzo guasto sia stato prodotto,cio sia avvenuto a causa dell’inconveniente di tipo B.
2) Ad un passaggio a livello, una macchina e in attesa che si alzino le sbarre.Ci sono due binari, indipendenti, denominati binario N e binario S. De-notiamo con X e, rispettivamente, con Y il tempo di attesa misurato inminuti per l’arrivo del treno sul binario N e, rispettivamente, sul binarioS. Supponiamo che X e Y siano variabili esponenziali di parametro 1/5 e2/5 rispettivamente. Si consideri la variabile aleatoria T = maxX, Y e siosservi che essa descrive il tempo di attesa per l’apertura del passaggio alivello. Si calcoli:
a) la funzione di ripartizione di T ;
b) la probabilita che il passaggio a livello si apra entro due minuti e laprobabilita che resti chiuso per piu di dieci minuti;
c) il tempo medio di attesa per l’apertura del passaggio a livello.
3) Datag(x, y) = x2 + y2 + 6x
si consideri l’insieme E = (x, y) : g(x, y) = 0.a. Provare che in ogni punto di E valgono le ipotesi del teorema di Dini
sull’esistenza della funzione implicita;
b. trovare gli estremi della funzione f(x, y) = x+y vincolati all’insieme E.
4) Sia S l’intersezione dell’ellissoide di equazione
z2
4+ x2 + y2 = 1
con il semispazio (x, y, z) : z ≥ 0. Calcolare il flusso del campo vettoriale
F(x, y, z) = x√
1− x2 − y2 i + z2√
1− x2 − y2 j + xy k
attraverso la superficie S, orientata in modo che il versore normale a S abbiaprodotto scalare ≥ 0 con k. (Suggerimento: si usi la formula per il flussoattraverso superfici in forma cartesiana).
5) Si dia la definizione di convergenza in legge di una successione di variabilialeatorie e si enunci il Teorema Limite Centrale.
6) Si diano le definizioni di integrale curvilineo di un campo vettoriale, dicampo conservativo e di campo irrotazionale, e si illustrino i collegamentitra questi concetti.
36
13 Temi d’esame di Matematica C 2002
Sono riportati qui sotto solo gli esercizi che non compaiono nelle proved’esame di Matematica E.
1) (28.5.2002) Si fa una prova di trasmissione di un canale di telecomuni-cazioni. Lo strumento T trasmette con uguale probabilita il simbolo 0 edil simbolo 1 allo strumento R. La linea e disturbata. Siano Ti l’evento “Ttrasmette i” e Ri l’evento “R riceve i”, i = 0, 1. Siano date le seguentiprobabilita di errore:
P (R1 |T0) = 0.01, P (R0 |T1) = 0.02.
Sapendo che R ha ricevuto 1, calcolare la probabilita che da T sia statotrasmesso 1.
2) (2.7.2002) Un tecnico collauda 50 pezzi usciti da una linea di produzionecon uno strumento che identifica il 90% dei pezzi difettosi, mentre sui pezzinon difettosi e preciso al 100%. Se un pezzo supera il collaudo (cioe non vieneidentificato come difettoso), il tecnico lo sottopone ad un secondo collaudo.L’esito di ogni collaudo e indipendente da quello di tutti gli altri.
a. Sapendo che il 15% dei pezzi e difettoso, calcolare il numero atteso deipezzi che non superano il primo collaudo.
b. Sapendo che un pezzo ha superato il primo collaudo, calcolare la prob-abilita che non sia difettoso.
c. Supponiamo ora che tutti i pezzi siano difettosi e chiamiamo X1 la v.a.che conta i pezzi che non superano il primo collaudo e X2 la v.a. checonta quanti tra i pezzi sottoposti al secondo collaudo (cioe che hannosuperato il primo) non lo superano. Calcolare, per k = 1, . . . , 50 ladensita di X2 condizionata all’evento X1 = k; calcolare poi il valoreatteso condizionato E (X2 |X1 = k) ed il valore atteso di X2.
3) (2.7.2002) Si calcoli il volume del solido
T = (x, y, z) : x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4, z ≤ 4− (x2 + y2).
4) (2.7.2002) Si calcoli il flusso del campo vettoriale
F(x, y, z) = ex+y i + (x− y) j + (z + 1)k
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attraverso la porzione di piano
S = (x, y, z) : x− 2y − z = 1, 0 ≤ x + y ≤ 1, 0 ≤ x− y ≤ 2orientato concordemente al versore −k.
5) (17.7.2002) In una fabbrica ci sono cinque macchine indipendenti cheproducono lo stesso tipo di pezzo. Quattro di queste hanno una probabilitadel 5% di fornire un pezzo difettoso, mentre per la quinta – guasta – lamedesima probabilita e del 40%. Calcolare la probabilita che un pezzodifettoso provenga
a. dalla macchina che si e guastata;
b. da una delle quattro macchine sane.
6) (17.7.2002) Calcolare un potenziale del campo vettoriale
F(x, y) =−2x(1− e2y)
(1 + x2)2i +(
1− 2e2y
1 + x2
)j
7) (17.7.2002) Sia
D = (x, y, z) ∈ R3 : (x−√
2)2 + y2 ≤ 2, x + y + 2z ≤ 6√
2, z ≥ 0.a. Abbozzare un disegno del solido D.
b. Calcolare il volume di D.
c. Dato il campo vettoriale F(x, y, z) = 2xi+ zj, calcolare con il teoremadella divergenza il flusso di F uscente da D.
8) (4.9.2002) Si consideri il campo vettoriale
F(x, y) =−x√
−1 + y − x2i +
(1
2√−1 + y − x2
− 1y
)j;
a. si determini un aperto Ω ⊂ R2 in cui esso e conservativo;
b. si calcoli un potenziale di F in Ω.
9) (24.9.2002) Si consideri il campo vettoriale
F(x, y) = e2y cos(xe2y) i + xϕ(y) cos(xe2y) j.
a. Determinare una funzione ϕ : R → R in modo che F sia conservativo;
b. per tale ϕ calcolare un potenziale di F;
c. calcolare il lavoro di F lungo la curva di equazioni parametriche r(t) =(t cos(t2), sin(t2)), t ∈ [0, π].
38
14 Temi d’esame di Matematica E 2003
Il tempo concesso per gli appelli ufficiali e due ore e 30 minuti.
Primo compitino – 26.5.2003 –Tema 1 (Tempo: un’ora e 30 minuti)
1) Si abbozzi un disegno dell’insieme
E =
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + (z − 2√
2)2 > 5 , x2 + y2 < z2 , 0 ≤ z ≤ 1√2
,
e se ne calcoli il volume.Facoltativo: Si dica se E e aperto o se e chiuso, e se ne trovino interno efrontiera.
2) Da un’urna contenente 4 palline bianche e 4 nere si estraggono 4 palline.Si calcoli
a. la probabilita che vengano estratte 2 palle bianche e 2 nere (evento A);
b. la probabilita che almeno una delle palle estratte sia bianca (evento B);
c. la probabilita dell’evento A condizionata all’evento B;
d. (facoltativo) la probabilita che si estraggano piu palle nere che bianche,e la probabilita di tale evento condizionata all’evento B.
3) Un padre gioca ogni giorno 2 partite a dadi, una con ciascuno dei suoidue figli. Ciascun figlio vince se realizza 5 o 6 lanciando una volta un dado.Si calcoli
a. la probabilita che nei primi 3 giorni nessuno dei due figli vinca;
b. la probabilita che nessuno dei due figli vinca nei primi k giorni, k ∈ Ne k ≥ 1. Se T ed S indicano il giorno della prima vittoria di ciascunfiglio, si esprima il risultato appena calcolato in termini di T ed S.
c. Si calcoli la densita della variabile aleatoria min(T, S). E una variabilenota?
4) Tizio si mette in coda per il taxi e ha davanti a se 10 persone. Dopo30 minuti le 10 persone sono state caricate da altrettanti taxi e Tizio e ilprimo della coda. Ora calcola quanti minuti X dovra aspettare l’arrivo delsuo taxi, supponendo che X sia una variabile esponenziale di parametro λ.
39
(i) Si determini λ in modo che E[X] sia uguale al tempo medio che hannoaspettato i precedenti 10 passeggeri.
(ii) Quanto e la probabilita che Tizio aspetti piu di 2 minuti?
(iii) Se dopo 1 minuto il taxi non e ancora arrivato, quanto e la probabilitadi aspettare almeno altri 2 minuti?
5) Si dia la definizione di covarianza di due variabili aleatorie X e Y , euna formula per calcolarla a partire dalle densita, o nel caso di X e Y v.a.discrete o in quello di X e Y v.a. continue.
6) Si scriva la densita della variabile aleatoria binomiale B(5, 15).
Facoltativo: Se ne calcolino media e varianza.
Primo appello e secondo compitino – 1.7.2003 – Tema 1
Il secondo compitino consiste negli esercizi 2 (con la parte 3 della domandab facoltativa), 3, 4, 5. Tempo: un’ora e 30 minuti per il compitino; due oree 30 minuti per l’appello.
1) Una scatola contiene 10 monete: 5 hanno entrambe le facce di colorerosso e 5 una faccia nera ed una rossa. Si estraggono due monete senzareinserimento e X e la variabile aleatoria che conta il numero di monete conuna faccia nera presenti tra le due monete estratte. Dopo l’estrazione lemonete sono appoggiate su un tavolo in modo che se ne possa vedere solo lafaccia superiore. Si calcolino
a. la densita discreta di X,
b. il valore atteso e la varianza di X,
c. la probabilita che le due facce visibili siano rosse, condizionata all’averestratto una sola moneta con una faccia nera.
d. Qual e la probabilita che le due facce visibili siano rosse?
e. Sapendo che le due facce visibili sono rosse, qual e la probabilita cheesattamente una delle facce nascoste sia nera?
N.B.: il punto b non e necessario per risolvere i successivi.
2) Un call center ha 121 telefoni che ricevono chiamate indipendentementeuno dall’altro. Il numero di chiamate ricevute in un giorno dall’i-esimo tele-fono e una variabile aleatoria Xi con distribuzione di Poisson di parametro25, i = 1, ..., 121.
40
a. Si scrivano il valore atteso e la varianza di Xi, e si calcoli il valore attesodel numero totale di chiamate ricevute in un giorno dall’intero callcenter.
b. Detto Y = X1 + ... + X121 il numero giornaliero totale di chiamate alcall center, si usi l’approssimazione normale (cioe il Teorema LimiteCentrale) per calcolare
1. la probabilita che Y sia inferiore al valore atteso,
2. la probabilita che Y ≤ 3080,
3. la probabilita che Y sia inferiore ai 54/55 del valore atteso.
N.B.: si dia la soluzione in termini della funzione di ripartizione Φ dellalegge normale standard, e se il tempo lo consente si usino le tavolefornite dal docente per trovare il valore numerico approssimato.
3) Date
F1(x, y) = g(y)− y cos x, F2(x, y) = x cos y − sin x,
a. si determini la funzione g in modo che la forma differenziale ω = F1dx+F2dy sia esatta e g(0) = 0,
b. si calcolino tutti i potenziali di ω.
Dati poi l’insieme S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 + 2z = 3, z ≥ 0 e ilcampo vettoriale
F : R3 → R3, F = (F1, F2, F3), F3(x, y, z) = 7x + arctan z,
con la funzione g trovata al punto a,
c. si riconosca che S e una superficie nota e la si disegni,
d. si calcoli il flusso Φ del rotore di F, rotF, attraverso S orientata in modoche il versore normale n abbia la 3a componente positiva. Facolta-tivo: ricalcolarlo con un secondo metodo diverso.
4) Si trovino i valori e i punti di massimo e minimo relativo ed assoluto dellafunzione f(x, y) = (x + 4y)2 condizionati al vincolo x2 + 9y2 − 9 = 0.
41
5) Si definisca l’orientamento positivo di un dominio nel piano con frontieraregolare a pezzi e si enuncino le formule di Gauss-Green; facoltativo: se nedimostri una.
Secondo appello – 15.7.2003 – Tema 1
1) Sia (X, Y ) la variabile aleatoria discreta bidimensionale che assume ivalori nell’insieme
E = (i, j) ∈ Z2 : i ≥ 0, j ≥ 0, i + j ≤ 2
con densita uniforme.
a. Si disegni E e si calcolino le densita marginali di X e Y ;
b. si calcolino il valore atteso e la varianza di X e Y ;
c. si stabilisca se X e Y sono indipendenti;
d. si stabilisca se X e Y sono non correlate;
e. si calcolino il valore atteso e la varianza della variabile aleatoria X +2Y .
2) Un trasmettitore invia un messaggio x ∈ −1, 1. Il canale e disturbatoe il messaggio ricevuto e R = x + Y , dove Y e una variabile aleatoria condistribuzione N(0, 1/4). Il messaggio viene decodificato “1” se R ≥ 0, “−1”se R < 0.
a. Si calcoli la probabilita di errore, cioe che il messaggio decodificato siadiverso da quello inviato, quando il messaggio di partenza e x = 1 equando e x = −1.
b. Supponendo ora che il messaggio inviato sia una variabile aleatoria Xche assume il valore 1 con probabilita 1/3 e il valore −1 con probabilita2/3, e posto quindi R = X + Y , si calcoli
1. la probabilita di errore della decodifica;
2. la probabilita di errore con la seguente regola: fisso una soglias ∈ R e decodifico “1” se R ≥ s, “−1” se R < s;
3. il valore di s che minimizza la probabilita di errore (che e quindila “soglia ottima” di decodificazione).
N.B.: qualche risultato va dato in termini della funzione di ripartizione Φdella legge normale standard; se il tempo lo consente si usino le tavolefornite dal docente per trovare il valore numerico approssimato.
42
3) Sia γ la curva chiusa contenuta nel 4o quadrante del piano x y e formatadai segmenti che congiungono Po = (1, 0) con P1 = (1 +
√3,−1) e con
P2 = (3, 0) e dall’arco di circonferenza centrata in Po e avente per estremiP1 e P2. Sia D l’insieme piano limitato che ha per frontiera γ. Si disegninoγ e D e si calcoli
a. l’area della superficie ottenuta ruotando γ attorno all’asse y di un angolodi ampiezza 2π;
b. il volume del solido ottenuto ruotando D attorno all’asse y dello stessoangolo.
4) Data la funzione
g(x, y) = arctan(xy)− x(y2 + y) + x + 2,
a. si verifichi che l’equazione g(x, y) = 0 definisce una funzione implicitax = h(y) in un intorno del punto (−2, 0),
b. si calcoli h′(0) e si scriva lo sviluppo di Taylor di ordine 1 di h intornoa 0.
5) Dato uno schema di Bernoulli con probabilita di successo 1/7 si scrivala densita della variabile aleatoria binomiale di parametro n = 5 e dellav.a. T che conta il numero di prove necessarie per ottenere il 1o successo;facoltativo: si dimostri una delle due formule.
6) Si dia la definizione di piano tangente a una superficie.
Terzo appello – 4.9.2003 – Tema 1
1) Due amici iniziano un partita di lanci ripetuti di una moneta non truccata(testa o croce) che dovrebbe terminare quando uno dei due ha totalizzato10 successi (non necessariamente consecutivi). La partita viene interrottaprima della fine. Al momento dell’interruzione il giocatore A ha totalizzato9 successi e il giocatore B ne ha 7. La posta in gioco deve essere divisain base alla probabilita di ciascun giocatore di vincere la partita, se questapotesse continuare fino al termine. Calcolare tale probabilita.
2) Sia X = (X1, X2) una variabile aleatoria vettoriale le cui componenti X1
e X2 sono indipendenti ed hanno distribuzione, rispettivamente, N(1, 1/4)e N(−2, 1/4).
a. Si scriva la densita congiunta f(x, y) di X1 e X2;
43
b. si calcoli PX ∈ C, dove C e il cerchio di centro (1,−2) e raggio 3;
c. si scriva la funzione di ripartizione congiunta di X1 e X2;
d. si calcoli PX1 ≤ 1 , X2 ≤ −1 in termini della funzione di ripartizioneΦ della legge normale standard, e se il tempo lo consente si usino letavole fornite dal docente per trovarne il valore numerico approssimato.
3) Dato il campo vettoriale nel piano F = (F1, F2) di componenti
F1(x, y) =x
x2 + y2 + 2+
6x
(y − 3x2 + 1)52
,
F2(x, y) =y
x2 + y2 + 2− 1
(y − 3x2 + 1)52
+ 6
a. se ne trovi il dominio di definizione E e lo si disegni;
b. si dica se F e conservativo in E e, in casi affermativo, se ne trovi unpotenziale U ;
c. si calcoli∫γ F1 dx+F2 dy, dove γ e la curva parametrica r(t) = (0, et−1),
t ∈ [0, log 2].
4) Si trovino i valori e i punti di massimo e minimo relativo ed assolutodella funzione f(x, y) = x3 + y3 condizionati al vincolo x4 + y4 = 16.
5) Si dia la definizione di variabile aleatoria discreta, della sua densita, edella densita condizionale di una v.a. discreta X dato Y = y, dove Y e unav.a..
6) Si dia la definizione di superficie parametrizzata e di flusso di un campovettoriale attraverso una superficie.
Quarto appello – 18.9.2003 – Tema 1
1) In una fabbrica 6 macchine indipendenti producono lo stesso pezzo elo stesso numero di pezzi ogni giorno. Cinque macchine producono pezzidifettosi con probabilta del 5%, la sesta e guasta e produce pezzi difettosicon probabilita del 60%. Calcolare la probabilita che un pezzo difettosoprovenga
a. dalla macchina guasta,
b. da una delle 5 macchine sane.
44
2) Due amici, Mario e Giorgio, giocano ogni sabato al lotto il numero 18, unosulla ruota di Venezia e l’altro su quella di Roma (ricordiamo che su ciascunaruota vengono estratti 5 numeri senza reimbussolamento da un’urna che necontiene 90, e le ruote sono indipendenti).
a. Qual e la probabilita p che Mario vinca in una singola estrazione?
b. Qual e la probabilita che nessuno dei due vinca nelle prime 4 estrazioni?
c. Calcolare la probabilita che i due amici ottengano la prima vittoria lostesso giorno.
3) Si abbozzi un disegno dell’insieme
E =(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 − y ≤ 0 , z ≤ 3− x2 − y2 , z ≥ 0
,
e se ne calcoli il volume.
4) Sia S la superficie parametrizzata da
r(u, v) = (eu sin v, 3eu sin v, cos v)
per 0 ≤ u ≤ log 5 e π ≤ v ≤ 3π2 . Si calcoli
a. l’area di S,
b. il flusso attraverso S del campo vettoriale
F(x, y, z) =(z, 0, cos x + y2 − z
).
5) Si diano le definizioni di media, varianza e covarianza per variabile aleato-rie continue.
6) Si enunci il teorema delle funzioni implicite.
15 Esercizi risolti di probabilita dai temi d’esamedi Matematica C 2003
1) (1 luglio 2003) Una scatola contiene 10 monete: 5 hanno entrambe le faccedi colore rosso e 5 una faccia rossa ed una nera. Estraiamo due monete senzareinserimento e, senza guardarle, le disponiamo su un tavolo (in modo chesi possa vedere solo la faccia superiore).
45
1. Detta X la variabile aleatoria che conta il numero di monete con unafaccia nera ed una rossa presenti tra le due monete estratte, se nedetermini lo spettro, la funzione di probabilita, il valore atteso e lavarianza;
2. Sapendo che ho pescato una sola moneta con una faccia nera ed unarossa, qual e la probabilita che le due facce visibili siano rosse?
3. Qual e, in generale, la probabilita che le due facce visibili siano rosse?
Soluzione.
1. X e una variabile ipergeometrica e facilmente si ha:
X =
0 2/91 5/92 2/9
Immediatamente si ottiene che E[X] = 1 e Var[X] = 4/9.
2. Sia B l’evento “entrambe le monete mostrano una faccia rossa”. Si haP[B|X = 1] = 1/2.
3. P[B] = P[B|X = 0]P[X = 0] + P[B|X = 1]P[X = 1] + P[B|X =2]P[X = 2] = 1 · 2/9 + 1/2 · 5/9 + 1/4 · 2/9 = 5/9.
2) (1 luglio 2003) Una ditta di patatine inserisce in una scatola ogni dieciun regalo per bambino (A) o per bambina (B) in uguale proporzione (cioeogni 100 pacchetti 5 avranno il regalo A e 5 il regalo B).
1. Quanti pacchetti di patatine in media dobbiamo comprare per avere idue regali?
2. Se nei primi 30 pacchetti acquistati non ho trovato alcun regalo, quale la probabilita di trovare almeno un regalo nelle successive 10 con-fezioni?
Soluzione.
1. Definiamo le variabili X1 che conta quanti pacchetti dobbiamo ac-quistare per ottenere il primo regalo e X2 il numero di ulteriori pac-chetti che dobbiamo acquistare per ottenere il secondo regalo. E’facile vedere che X1 si distribuisce come una variabile Geometrica
46
di parametro 1/10, mentre X2 si distribuisce come una variabile Ge-ometrica di parametro 1/20. Allora il numero medio di pacchetti daacquistare sara:
E[X1] + E[X2] = 10 + 20 = 30 .
2. Essendo ogni acquisto indipendente dai precedenti, la probabilita dell’evento C richiesto non dipendera dalle prime 30 prove e varra:
P[C] = 1− (9/10)10 ∼ 0.6513 .
3) (15 luglio 2003) Sia (X, Y ) il vettore aleatorio discreto definito sui punti(x, y) ∈ IN2, x + y ≤ 3 con funzione di probabilita uniforme.
1. Si determini la funzione di probabilita delle variabili aleatorie marginaliX e Y ;
2. X e Y sono incorrelate?
3. X e Y sono indipendenti?
4. Si calcoli lo spettro e la funzione di probabilita della variabile aleatoria2X + Y .
Soluzione.
1. X e Y hanno la medesima legge e si ha:
X =
0 4/101 3/102 2/103 1/10
2. Immediatamente si ottiene che E[X] = E[Y ] = 1 e E[XY ] = 0 · 7/10+1·1/10+2·2/10 = 1/2. Da questo si ottiene che Cov[X, Y ] = 1/2−1 =−1/2 e quindi X e Y sono correlate.
3. Due variabili correlate non possono essere indipendenti (non vale in-vece il viceversa).
47
4.
Z =
0 1/101 1/102 2/103 2/104 2/105 1/106 1/10
4) (15 luglio 2003) Prendiamo sei carte numerate dall’1 al 6, le mescoliamoe le distribuiamo a 3 giocatori, dandone 2 a testa.
1. Detta X2 la variabile aleatoria definita dalla somma dei valori delle duecarte date al secondo giocatore, se ne calcoli lo spettro, la funzione diprobabilita, il valore atteso e la varianza;
2. Le variabili aleatorie X1 e X3, definite come la precedente, ma, rispet-tivamente, per il primo ed il terzo giocatore, hanno la medesima leggedi X2? sono X1, X2 e X3 indipendenti? (si giustifichino le risposte)
3. La variabile X1 +X3 si puo esprimere in funzione di X2? (si giustifichila risposta) Si calcoli P[X1 + X3 = 12].
Soluzione.
1. X2 e una variabile discreta cosi’ distribuita:
X2 =
3 1/154 1/155 2/156 2/157 3/158 2/159 2/1510 1/1511 1/15
Immediatamente si ottiene che E[X2] = 7 e Var[X2] = 14/3.
2. X1 e X3 hanno chiaramente la medesima legge di X2, mentre le 3variabili non sono indipendenti (0 = P[X1 = 3 ∩ X2 = 3] 6= P[X1 =3] · P[X2 = 3] = 1/225).
48
3. X1 + X2 + X3 = 21, quindi (X1 + X3 = 12) = (X2 = 9) da cuiotteniamo P[X1 + X3 = 12] = P[X2 = 9] = 2/15.
5) (4 settembre 2003) Una scatola (A) contiene 4 palline numerate dall’1 al4. Una seconda scatola (B) contiene invece 3 palline bianche e 5 palline nere.Estraiamo una pallina da A, che avra il numero aleatorio X, e inseriamo inB esattamente X palline bianche. Facciamo quindi una estrazione da B di2 palline senza reinserimento.
1. Detta Y la variabile che conta il numero di palline bianche tra le 2estratte dalla scatola B, se ne determini lo spettro, la funzione diprobabilita e il valore atteso;
2. Sapendo che da B abbiamo estratto 2 palline bianche (e quindi Y = 2),qual e la probabilita che la pallina inizialmente estratta da A fosse il2 (cioe X = 2)?
Soluzione.
1. Per i = 0, 1, 2 si ha P[Y = i] =∑4
j=1 P[Y = i|X = j]P[X = j]. Quindi
Y =
0 1
4
(59
48 + 5
1049 + 5
11410 + 5
12411
)1 1
4
(24
958 + 2 5
1059 + 2 6
11510 + 2 7
12511
)2 1
4
(49
38 + 5
1049 + 6
11510 + 7
12611
)Si ha E[X] =
∑2i=0
(iP[Y = i]
);
2. P[X = 2|Y = 2] = P[Y =2|X=2]P[X=2]
P[Y =2]
6) (4 settembre 2003) Siano X e Y due variabile aleatorie Binomiali in-dipendenti di parametri, rispettivamente, (1, 1/4) e (5, 1/4).
1. Calcolare le probabilita che X e Y siano uguali;
2. Calcolare P[X + Y e un numero dispari].
Soluzione.
1. P[X = Y ] =∑1
j=0 P[X = j, Y = j] =∑1
j=0 P[X = j]P[Y = j];
2. X + Y e una variabile Binomiale di parametro (6, 1/4).
P[X +Y e un numero dispari] = P[X +Y = 1]+P[X +Y = 3]+P[X +Y = 5].
49
7) (4 settembre 2003)Presi A, B e C tre eventi, si provi che
P[A ∪B ∪ C] ≤ P[A] + P[B] + P[C] .
Soluzione. Si ha che
(A ∪B ∪ C) = A ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B ∩ C)
dove la seconda unione e tra eventi disgiunti. Quindi
P[A∪B∪C] = P[A∪(A∩B)∪(A∩B∩C)] = P[A]+P[A∩B]+P[A∩B∩C]
≤ P[A] + P[B] + P[C]
essendo (A ∩B) ⊂ B e (A ∩B ∩ C) ⊂ C.
16 Temi d’esame di Matematica E 2004
Il tempo concesso per gli appelli ufficiali e due ore e 30 minuti.
Primo compitino – 24.5.2004 –Tema 1 (Tempo: un’ora e 30 minuti)
1) Una scuderia ha tre cavalli in gara nella stessa giornata. I cavalli parteci-pano a tre corse diverse e le loro prestazioni sono considerate indipendenti.Gli allibratori assegnano a ciascun cavallo le seguenti quote (cioe probabilitadi vittoria): 1/4 al cavallo A, 1/9 al cavallo B, 1/16 al cavallo C. Calcolarela probabilita che vinca almeno un cavallo di questa scuderia.
2) In un test con n domande Giovanni risponde esattamente a ciascunadomanda con probabilita 1/2, Marco con probabilita 2/3. Tutte le rispostesono indipendenti.
a) Per n = 3 si calcoli la probabilita che Marco risponda correttamente apiu domande di Giovanni.
b) Per n = 72 si supera il test con almeno 49 risposte esatte. Si calcoli laprobabilita che Marco superi l’esame, usando l’approssimazione nor-male (cioe il Teorema limite di DeMoivre-Laplace). Si raccomandal’uso della correzione di continuita. Il risultato va dato in terminidella funzione Φ; se il tempo lo consente si usino le tavole fornite daldocente per dare un valore numerico approssimato.
50
3) Dato l’insieme E := (x, y) ∈ R2 : x(x+y) < 0 e la funzione f(x, y) = 0per (x, y) /∈ E
f(x, y) = c/8, (x, y) ∈ E, x2 + y2 ≤ 2f(x, y) = c(x2 + y2)−3, (x, y) ∈ E, x2 + y2 > 2,
a. si disegni E e si dica se e aperto, chiuso, connesso;
b. si determini la costante c in modo che f sia la densita congiunta di duevariabili aleatorie X e Y ;
c. si calcoli E[XY ].
4) Sono date due urne, A e B. Nell’urna A ci sono 3 palline numerate da1 a 3; nell’urna B ci sono 2 palline bianche e 3 nere. Si estrae una pallinadall’urna A e, se X e il numero con il quale la pallina e contrassegnata, siinseriscono X palline bianche nell’urna B. Dall’urna B si estraggono poidue palline a caso. Sia Y il numero di palline bianche estratte da B. Sideterminino:
a) la probabilita condizionata PY = 1 |X = i ;
b) la probabilita PY = 1;
c) facoltativo: il valore atteso condizionato E[X |Y = 1].
Da svolgersi per ultimi, terminati gli esercizi
5) Si dia la definizione di variabile aleatoria geometrica.
6) Sia X una v.a. continua tale che X ∼ Exp(0.3). Si scriva la sua funzionedi ripartizione e si calcoli E[X]. Facoltativo: si metta in relazione la leggeesponenziale con la legge di Poisson.
1o appello e 2o compitino – 24.6.2004 – Tema 1
Il secondo compitino consiste negli esercizi 3, 4, 5, 6. Tempo: un’ora e 30minuti per il compitino; due ore e 30 minuti per l’appello.
1) In una linea di produzione ci sono due macchine indipendenti che pro-ducono lo stesso tipo di pezzo. La fabbricazione di ogni pezzo e indipendenteda quella degli altri. La prima macchina produce il 70% dei pezzi, e la proba-bilita che ciascuno di essi sia guasto e di 1/14. La seconda macchina produceil 30% dei pezzi, e la probabilita che ciascuno di essi sia guasto e di 1/6. Sicalcoli:
51
a. la probabilita che un pezzo non sia guasto;
b. la probabilita che un pezzo guasto provenga dalla seconda macchina;
c. il numero atteso di pezzi guasti tra 400 prodotti;
d. la probabilita che tra 400 pezzi prodotti ce ne siano almeno 42 guasti(si usi l’approssimazione normale con la correzione di continuita; per ivalori approssimati di Φ si possono usare le tavole fornite dal docente).
2) Costruiamo un cilindro aleatorio nel seguente modo: il cerchio di baseha raggio una variabile aleatoria X che si distribuisce con legge uniformesull’intervallo [0, 1], mentre l’altezza e una variabile aleatoria Y che si dis-tribuisce con legge uniforme sull’intervallo [0, 2], indipendentemente dallaprecedente variabile. Detta V la variabile aleatoria che da il volume delcilindro, si trovino
(i) il valore atteso di V ,
(ii) la densita congiunta di X e Y ,
(iii) la probabilita che il volume sia inferiore a π,
(iv) facoltativo: la funzione di distribuzione di V .
3) Sia Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 + xy > 0 e si consideri la forma differenziale
ω =3 + 2xy
1 + xy
(ydx + xdy
).
(i) Si disegni Ω nel piano. Ω e semplicemente connesso?
(ii) Si mostri che ω e chiusa in Ω.
(iii) Si trovi il potenziale U di ω in Ω tale che U(0, 0) = 0.
(iv) Sia γ la curva parametrizzata da r(t) = (t2, t), t ∈ [0, 1]. Si calcolil’integrale
∫γ ω.
4) Si consideri il solido
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 4x2 + 4z2 − 1 < y2, 0 < y < 2.
a. Si disegni Ω;
52
b. se ne calcolino volume e baricentro.
c. Si consideri la superficie
S = (x, y, z) ∈ ∂Ω : 4x2 + 4z2 − 1 = y2,
la si parametrizzi con r(θ, y) = (φ(y) cos θ, y, φ(y) sin θ) per una oppor-tuna funzione φ, e si calcoli il vettore normale associato alla parametriz-zazione;
d. si calcoli il flusso attraverso S del campo vettoriale F(x, y, z) = (3z, y2, x2),avendo orientato il versore normale in modo che in (0, 0, 1/2) sia e3.
Da svolgersi dopo aver terminato gli esercizi precedenti.
5) Si enunci il teorema di Dini delle funzioni implicite.
6) Facoltativo. Sia f : [0,+∞) → R una funzione continua. Si provi chela forma differenziale ω = xf(x2 + y2) dx + yf(x2 + y2) dy e esatta in R2 ese ne calcoli un potenziale.
2o appello – 13.7.2004 – Tema 1
1) Un giocatore di golf ha nella sua sacca tre mazze differenti: con laprima scaglia la pallina a una distanza (in metri) che si distribuisce conlegge (discreta) uniforme sull’insieme 100, 101, . . . , 149, con la seconda auna distanza che si distribuisce con legge (discreta) uniforme sull’insieme125, 126, . . . , 174, e con la terza a una distanza che si distribuisce conlegge (discreta) uniforme sull’insieme 150, 151, . . . , 199. All’inizio del giocosceglie a caso una mazza e scaglia la pallina, poi fa un secondo colpo, dalpunto in cui e arrivata la pallina, scegliendo nuovamente una mazza a casodopo aver rimesso la prima mazza usata nella sacca.
1. (a) Dette Y1 e Y2 le lunghezze del primo e del secondo lancio, se nedetermini la densita discreta;
2. (b) si determini la densita discreta congiunta di (Y1, Y2) (si suggeriscedi fare un disegno del piano sul quale indicare i valori assunti dalladensita discreta p(n, m));
3. (c) detta D la distanza totale raggiunta dalla pallina dopo i due lanci,si calcolino la probabilita che D ≤ 202 e la probabilita che D ≥ 398;
4. (d) facoltativo: PD ≤ 248.
53
2) Un trasmettitore invia un segnale X che assume i valori 2, 3 e 4 conprobabilita, rispettivamente, 1/5, 1/5 e 3/5. Il segnale ricevuto e X + Y ,dove Y e un disturbo indipendente con distribuzione N(1/10, 9). Si calcolino
(i) il valore atteso e la varianza del segnale ricevuto;
(ii) PX + Y ≤ t |X = i per i = 2, 3, 4 e t ∈ R;
(iii) la funzione di distribuzione di X + Y ,
(iv) la densita di X + Y .
N.B.: le risposte alle domande (ii) e (iii) vanno date in termini dellafunzione di distribuzione Φ della normale standard.
3) Sia D = (u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 2 e sia S ⊂ R3 la superficie parametriz-zata da r : D → R3, r(u, v) = (u + v, u− v, u2 + v2). Calcolare l’integrale disuperficie ∫∫
S(x2 + y2)
√1 + 2z dσ.
4) Si considerino le funzioni
f(x, y) = 2xy, g(x, y) = x2 +y2
9− xy
3− 4.
a. Accettando che l’insieme L = (x, y) : g(x, y) = 0 e limitato, si proviche f ammette massimo e minimo in L;
b. si trovino gli estremi e i punti di estremo di f vincolati a L;
c. si trovino gli estremi di f in E = (x, y) : g(x, y) ≤ 0, accettando cheE e limitato;
d. facoltativo: si provi che L ed E sono limitati.
5) Si enunci il teorema limite centrale.
6) Si enunci il teorema di integrazione per strati.
3o appello – 7.9.2004 – Tema 1
1) Un’urna contiene 4 palline bianche, 3 rosse e 3 verdi. Si estraggono trepalline senza reimmissione. Si calcolino
54
a. la probabilita che esattamente due tra le palline estratte siano bianchee la probabilita che esattamente due siano rosse,
b. la probabilita che esattamente due tra le palline estratte abbiano lostesso colore.
Supponiamo ora di ripetere l’esperimento varie volte e consideriamo un suc-cesso l’evento “in un’estrazione, esattamente due palline hanno lo stessocolore”.
c. Si calcoli la probabilita che il secondo successo accada al settimo tenta-tivo, sapendo che entro i primi tre tentativi ce n’e stato esattamenteuno;
d. usando l’approssimazione normale e la correzione di continuita, si diaun valore approssimato della probabilita che in 400 tentativi ci sianoalmeno 247 successi (il risultato va dato in termini della funzione Φ)
2) Sia Y una variabile aleatoria discreta cosı distribuita: P (Y = 1) = 1/2,P (Y = 2) = 1/4, P (Y = 3) = 1/4. Sia X una variabile aleatoria continuatale che la legge di X condizionata a Y = k (k = 1, 2, 3) sia la legge uniformesull’intervallo [0, k]. Calcolare:
a. P (X ∈ [0, 1] |Y = k) e E[X |Y = k], per k = 1, 2, 3;
b. P (X ∈ [0, 1]) e E[X] ;
c. P (Y = 1 |X ∈ [0, 1]).
3) Data la funzione
g(x, y) = ey2x2 − log
(2y
x
)− e
a. se ne disegni il dominio di definizione D e si verifichi che (2, 1) e unpunto interno a D,
b. si verifichi che l’equazione g(x, y) = 0 definisce in un intorno di (2, 1) siauna funzione implicita y = f(x) che una funzione implicita x = h(y),
c. si calcolino f ′(2) e h′(1) e si scriva lo sviluppo di Taylor di ordine 1 dif intorno a 2.
4) Si consideri il solido T = (x, y, z) : x ≥ 1, x2 + y2 + 2z2 ≤ 4.
55
a. Si abbozzi un disegno di T ;
b. si calcoli il volume di T ;
c. si calcoli il flusso di F(x, y, z) = (y, x, 2z) attraverso ∂T uscente da T .
5) Si dia la definizione di densita discreta congiunta di due variabili aleatoriee si scriva la formula per ricavarne le densita discrete marginali.
6) Si dia la definizione di integrale curvilineo di una funzione (integrale di 1a
specie) e se ne descrivano le proprieta rispetto ai cambi di parametrizzazionedella curva.
4o appello – 21.9.2004 – Tema 1
1) Marco e Paolo lanciano contemporaneamente e ripetutamente un dadociascuno con lo scopo di ottenere un numero maggiore o uguale a 5. Vincechi realizza lo scopo prima dell’altro; se invece entrambi lo realizzano allostesso lancio il gioco termina in parita. Si calcolino
a. la probabilita che Marco vinca al terzo lancio;
b. la probabilita che il gioco termini in parita al secondo lancio;
c. la probabilita che il gioco termini in parita.
2) Un atleta junior di salto in lungo effettua due prove consecutive. Lelunghezze dei due salti sono v.a. (continue) indipendenti X1 e X2 entrambeuniformi nell’intervallo [3, 4] (l’unita di misura e il metro). Si calcolino
a. la probabilita che entrambi i salti siano piu corti di 3,6 metri;
b. la funzione di distribuzione della la v.a. Y = maxX1, X2 e la suadensita ;
c. il valore atteso e la varianza di Y .
3) Si consideri la forma differenziale
ω =−y
x2 + 2y2dx +
x
x2 + 2y2dy.
a. Si provi che ω e chiusa in R2 \ (0, 0) e che e esatta in Ω = (x, y) ∈R2 : x > 0, y > 0.
56
b. Se ne calcoli un potenziale in Ω.
c. Sia γ la circonferenza unitaria centrata nell’origine. Si provi che∫γ ω >
0; ω e esatta in R2 \ (0, 0)?
4) Sia D = (u, v) ∈ R2 : |u− 2v| < 1, |u + 2v| < 1.
a. Utilizzando un opportuno cambio di variabili, si calcoli l’integrale∫∫D
u2 dudv.
b. Sia S la superficie parametrizzata da r : D → R3, r(u, v) = (uv, u −2v, u + 2v). Si calcoli il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y + z, 0)attraverso S.
5) Si dia la definizione di v.a. normale e si enunci il teorema limite centrale.
6) Si descriva una condizione necessaria e/o sufficiente affinche un punto siadi minimo vincolato per una funzione.
17 Temi d’esame di Matematica C per IngegneriaElettronica 2004 e 2005
Sono riportati qui sotto solo gli esercizi che non compaiono nelle proved’esame di Matematica E con la stessa data.
1) (24.5.2004) Si consideri la funzione
F (x) =
0 per x < 4,
a(1− e4−x) per x ≥ 4.
Si determini a in modo che F sia la funzione di ripartizione di una v.a.assolutamente continua X. In tal caso si determini Var(X).2) (24.6.2004) In un ufficio postale, ci sono due sportelli che si occupanodi conti correnti. L’impiegato del primo sportello e piu lento di quello delsecondo: nell’unita di tempo di un minuto, il numero di conti correnti cheriesce a portare a termine e descritto da una v.a. aleatoria di Poisson dimedia 1/3. Il numero di conti correnti che il secondo impiegato porta atermine nello stesso tempo e una v.a. di Poisson di media 1/2. Il lavoro perogni conto corrente e indipendente da quello di tutti gli altri.
57
a. Si calcoli la probabilita che il secondo cassiere, in un tempo di 18 minuti,porti a termine almeno 12 conti correnti;
b. supponiamo che un cliente, con un solo conto corrente, si presenti con-temporaneamente a ciascuno sportello; si calcoli la probalilita che al-meno uno dei due sportelli si liberi entro 6 minuti;
c. si calcoli la probablilita che il numero totale di conti correnti completatodai due sportelli in 18 minuti sia 20.
3) (24.6.2004) Sia Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 − xy0 e si consideri la formadifferenziale
ω =xy
xy − 1(ydx + xdy
).
(i) Si disegni Ω nel piano. Ω e semplicemente connesso?
(ii) Si mostri che ω e chiusa in Ω.
(iii) Si trovi il potenziale U di ω in Ω tale che U(0, 0) = 0.
(iv) Sia γ la curva parametrizzata da r(t) = (t2,−t), t ∈ [0, 1]. Si calcolil’integrale
∫γ ω.
4) (24.6.2004) Si consideri il solido
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 9x2 + 9z2 − 1 < y2,−1 < y < 0.
a. Si disegni Ω;
b. se ne calcoli il volume;
c. se ne calcoli il baricentro.
5) (24.6.2004) Si calcoli l’integrale curvilineo∫γ
√x ds, dove γ e la curva
parametrizzata da r(t) = (t2, cos t, sin t), t ∈ [0, 1].6) (24.6.2004) Facoltativo. Sia f : [0,+∞) → R una funzione continua. Siprovi che la forma differenziale ω = xf(x2 + y2) dx+ yf(x2 + y2) dy e esattain R2 e se ne calcoli un potenziale.7) (13.7.2004) Il sistema di alimentazione di un satellite artificiale e guasto,ed il satellite manda a Terra un segnale ad intervalli casuali. Suddividiamoun certo intervallo di tempo in sottointervalli successivi, ciascuno della stessadurata. La probabilita che il segnale arrivi una volta nell’intervallo i-esimo,i = 1, . . . , N e di 2−i; quella che arrivi piu di una volta nello stesso intervalloe 0; i segnali sono tutti indipendenti. Calcolare:
58
a. la probabilita che il segnale arrivi almeno una volta nei primi tre inter-valli;
b. la probabilita che il segnale arrivi esattamente tre volte nei primi quattrointervalli;
c. la probabilita che il segnale arrivi per la prima volta al terzo intervallo;
d. il numero atteso di segnali arrivati negli N intervalli;
e. e lecito usare una variabile di Poisson per approssimare il numero disegnali arrivati? (giustificare la risposta).
8) (13.7.2004) Sia a un numero reale e si consideri la forma differenziale
ω =ay2
(3y − x)2dx +
x2
(3y − x)2dy.
Si determini a in modo che ω sia esatta nel semipiano S = (x, y) ∈ R2 :3y > x e per tale a si calcoli un potenziale di ω in S.9) (13.7.2004) Sia D = (u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1 e sia S ⊂ R3 la superficieparametrizzata da r : D → R3, r(u, v) = (u + v, u − v, u2 + v2). Calcolarel’integrale di superficie ∫∫
S(x2 + y2)
√1 + 2z dσ.
10) (7.9.2004) Sia Y una variabile aleatoria discreta cosı distribuita: P (Y =1) = 1/3, P (Y = 2) = 1/6, P (Y = 3) = 1/2. Sia X una variabile aleatoriacontinua tale che la legge di X condizionata a Y = k sia la legge uniformesull’intervallo [0, k]. Calcolare:
a. P (X ∈ [1, 2] |Y = k) e E[X |Y = k], per k = 1, 2, 3;
b. P (X ∈ [1, 2]) e E[X]
c. P (Y = 3 |X ∈ [1, 2]).
11) (7.9.2004) Si consideri la curva γ parametrizzata da
r(t) =
(t3, t2/2) per t ∈ [0, 1/2]((1− t2)/6, (1− t2)/6
)per t ∈ [1/2, 1].
a. Si abbozzi un disegno di γ e se ne calcoli la lunghezza;
59
b. date le forme differenziali
ω1 = x dx + x dy
eω2 = (2xy2 − y)ex2y2−xy dx + (2x2y − x)ex2y2−xy dy,
si calcolino∫γ ω1 e
∫γ ω2.
12) (7.9.2004) Si consideri il solido T = (x, y, z) : y > 1, x2+y2+z2/3 < 9.
a. Si abbozzi un disegno di T ;
b. si calcoli il volume di T ;
c. si calcoli il flusso (uscente) di F(x, y, z) = (2z, y, 2x) attraverso ∂T .
13) (21.9.2004) Un atleta junior di salto in lungo effettua due prove con-secutive. Le lunghezze dei due salti sono v.a. (continue) indipendenti X1 eX2 entrambe uniformi nell’intervallo [2, 3] (l’unita di misura e in metri). Sicalcolino
a. la probabilita che entrambi i salti siano piu corti di 2.6 metri;
b. la funzione di distribuzione della la v.a. Y = maxX1, X2 e la suadensita ;
c. il valore atteso e la varianza di Y .
14) (21.9.2004) Marco e Paolo lanciano contemporaneamente e ripetuta-mente un dado ciascuno con lo scopo di ottenere uno fra i numeri 1,2,3,4.Vince chi realizza lo scopo prima dell’altro, mentre se invece entrambi lorealizzano allo stesso lancio il gioco termina in parita. Si calcolino
a. la probabilita che Paolo vinca al secondo lancio;
b. la probabilita che il gioco termini in parita al terzo lancio;
c. la probabilita che il gioco termini in parita.
15) (21.9.2004) Si consideri la forma differenziale
ω =−y
3x2 + y2dx +
x
3x2 + y2dy.
60
a. Si provi che ω e chiusa in R2 \ (0, 0) e che e esatta in Ω = (x, y) ∈R2 : x > 0, y > 0.
b. Se ne calcoli un potenziale in Ω.
c. Sia γ la circonferenza unitaria centrata nell’origine. Si provi che∫γ ω >
0; ω e esatta in R2 \ (0, 0).
16) (21.9.2004) Sia D = (u, v) ∈ R2 : |3u− v| < 1, |3u + v| < 1.
a. Utilizzando un opportuno cambio di variabili, si calcoli l’integrale∫∫D
u2 dudv.
b. Sia S la superficie parametrizzata da r : D → R3, r(u, v) = (uv, 3u −v, 3u + v). Si calcoli il flusso del campo F(x, y, z) = (x, y + z, 0) at-traverso S.
17) (26.6.2005) Sia data la superficie in R3
(x, y, z) : x2 + y2 = 1
e si denoti con Σ la parte di essa tale che 0 ≤ z ≤ x +√
3y.a) Si disegni Σ e la si parametrizzi;b) se ne calcoli l’area.18) (19.9.2005) Si determini l’area della parte della superficie conica
S = (x, y, z) : z = 1−√
x2 + y2, z ≥ 0, y ≥√
2/2.
18 Temi d’esame di Matematica C per IngegneriaBiomedica 2004 ed alcune soluzioni
Primo appello, 24 giugno 2004
1) Sia Ω = (x, y) ∈ R2 : 1 + xy > 0 e si consideri la forma differenziale
ω =−xy
1 + xy
(ydx + xdy
).
(i) Si disegni Ω nel piano. Ω e semplicemente connesso?
(ii) Si mostri che ω e chiusa in Ω.
61
(iii) Si trovi il potenziale U di ω in Ω tale che U(0, 0) = 0.
(iv) Sia γ la curva parametrizzata da r(t) = (t2, t), t ∈ [0, 1]. Si calcolil’integrale
∫γ ω.
2) Si consideri il solido
Ω = (x, y, z) ∈ R3 : 4y2 + 4z2 − 1 < x2,−1 < x < 0.
(i) Si disegni Ω;
(ii) se ne calcoli il volume;
(iii) se ne calcoli il baricentro.
3) Si dia un enunciato chiaro e completo del teorema della divergenza inR3.4) Costruiamo un cilindro aleatorio nel seguente modo: il cerchio di baseavra centro l’origine degli assi (0, 0, 0) e raggio (aleatorio) R, che si dis-tribuisce con legge uniforme sull’intervallo (0, 2), mentre l’altezza (anch’essaaleatoria) sara un valore H che si distribuisce con legge uniforme sull’intervallo(0, 1), indipendentemente dalla precedente variabile.
1. Si determini il volume aleatorio V e la superficie aleatoria S del cilin-dro;
2. Si determini il volume e la superficie media del cilindro;
3. Si determini la funzione di distribuzione della variabile aleatoria V .
Soluzione
1. Il volume aleatorio vale V = πR2H e la superficie aleatoria vale S =2πR2 + 2πRH;
2. Il volume atteso vale
E[V ] = E[πR2H] = πE[R2]E[H]
= π43× 1
2=
2π
3.
La superficie attesa vale
E[S] = E[2πR2 + 2πRH] = 2πE[R2] + 2πE[R]E[H]
= 2π43
+ 2π1× 12
=11π
3.
62
3. La funzione di distribuzione della variabile aleatoria V vale:
FV (v) =
0 v < 0
∫ √ vπ
0
(∫ 1
0
12dh
)dr +
∫ 2
√vπ
(∫ vπr2
0
12dh
)dr 0 ≤ v < 4π
1 v ≥ 4π
5) In una linea di produzione ci sono due macchine che producono lo stessotipo di pezzo in maniera indipendente. La fabbricazione di ogni pezzo eindipendente da quella degli altri. La prima macchina produce il 45% deipezzi, e la probabilita che ciascuno di essi sia guasto e di 1/90. La secondamacchina produce il 55% dei pezzi, e la probabilita che ciascuno di essi siaguasto e di 1/100. Si calcoli:
1. La probabilita che un pezzo non sia guasto;
2. La probabilita che un pezzo sia stato prodotto dalla seconda macchina,sapendo che e guasto;
3. Il numero atteso di pezzi guasti tra 5000 prodotti;
4. La probabilita che tra 400 pezzi prodotti ce ne siano almeno 25 guasti(si usi l’approssimazione normale).
Soluzione. Definiamo per ogni i le seguenti variabili: Xi vale 1 se il pezzoi-esimo e prodotto dalla macchina 1 e 0 altrimenti e Yi vale 1 se il pezzoi-esimo e guasto e 0 altrimenti.
1. La probabilita che un pezzo non sia guasto e uguale a
P[Y1 = 0] = P[Y1 = 0|X1 = 0]P[X1 = 0] + P[Y1 = 0|X1 = 1]P[X1 = 1]
=1
10055100
+190
45100
2. La probabilita che un pezzo sia stato prodotto dalla seconda macchina,sapendo che e guasto
P[X1 = 0|Y1 = 1] =
P[Y1 = 1|X1 = 0]P[X1 = 0]P[Y1 = 1|X1 = 0]P[X1 = 0] + P[Y1 = 1|X1 = 1]P[X1 = 1]
63
3. Il numero atteso di pezzi guasti tra 5000 prodotti
E[Y1 + . . . Y5000] = 5000× E[Y1] = 5000× P[Y1 = 1]
4. La probabilita che tra 400 pezzi prodotti ce ne siano almeno 25 guasti(si usi l’approssimazione normale)
P[Y1+. . .+Y400 ≥ 25] = P
[Y1 + . . . + Y400 − 400E[Y1]√
400Var[Y1]≥ 25− 400E[Y1]√
400Var[Y1]
]
∼ 1− Φ(25− 400E[Y1]√
400Var[Y1])
Secondo appello, 13 luglio 2004
1) Sia b un numero reale e si consideri la forma differenziale
ω =y2
(y − 2x)2dx +
bx2
(y − 2x)2dy.
Si determinino tutti i b per cui ω e esatta nel semipiano Ω = (x, y) ∈ R2 :y > 2x e per tali b si calcoli un potenziale di ω in Ω.
Soluzione. Ω e convesso e quindi e semplicemente connesso. Ne segueche se ω e chiusa in Ω, allora e anche esatta in Ω. Determiniamo b – sepossibile – in modo tale che ω sia chiusa in Ω. Affinche ω sia chiusa deveessere
∂
∂y
y2
(y − 2x)2=
∂
∂x
bx2
(y − 2x)2.
Si calcola
∂
∂y
y2
(y − 2x)2=
−4xy
(y − 2x)3
∂
∂x
bx2
(y − 2x)2=
2bxy
(y − 2x)3.
Confrontando queste derivate incrociate, si vede che sono uguali per b = −2.Dunque la forma ω e chiusa (e quindi anche esatta) in Ω se e solo se b = −2.
Per trovare un potenziale U di ω risolviamo il sistema di equazioniUx =
y2
(y − 2x)2,
Uy =−2x2
(y − 2x)2.
(*)
64
(Abbiamo posto b = −2). Integriamo la prima equazione fra 0 e x per yfissato. Si trova
U(x, y) = U(0, y) +∫ x
0
y2
(y − 2t)2dt = U(0, y) +
[y2
2(y − 2t)
]t=x
t=0
= U(0, y) +y2
2(y − 2x)− y
2= U(0, y) +
xy
y − 2x.
Derivando quest’ultima identita nella variabile y si ottiene
Uy(x, y) = Uy(0, y)− 2x2
(y − 2x)2.
Confrontando questa equazione con la seconda equazione del sistema (*) sideduce che Uy(0, y) ≡ 0 e quindi deve essere U(0, y) =costante= C. Dunqueun potenziale di ω e
U(x, y) =xy
y − 2x+ C,
dove C e una costante arbitraria.2) Sia D = (u, v) ∈ R2 : u2 +v2 < 1 e sia S ⊂ R3 la superficie parametriz-zata da r : D → R3, r(u, v) = (u + v, u− v, u2 + v2). Calcolare l’integrale disuperficie
I =∫∫
S(x2 + y2)k
√1 + 2z dσ,
dove k ≥ 0 e un numero fissato.Soluzione. Le derivate direzionali della parametrizzazione sono:
ru = (1, 1, 2u), rv = (1,−1, 2v).
Dunque, il loro prodotto vettoriale e:
ru∧rv =
∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3
1 1 2u1 −1 2v
∣∣∣∣∣∣ = 2(u+v)e1+2(u−v)e2−2e3 = 2(u+v, u−v,−1).
Ci serve la norma di questo prodotto vettoriale:
‖ru ∧ rv‖ = 2√
(u + v)2 + (u− v)2 + 1 = 2√
1 + 2(u2 + v2).
La “misura di superficie” dσ ha l’espressione
dσ = ‖ru ∧ rv‖dudv = 2√
1 + 2(u2 + v2)dudv.
65
Infine, nelle coordinate u, v, la funzione da integrare e
(x2 + y2)k√
1 + 2z = 2k(u2 + v2)k√
1 + 2(u2 + v2).
Ora possiamo calcolare l’integrale di superficie
I =∫
D2k(u2 + v2)k
√1 + 2(u2 + v2) ‖ru ∧ rv‖dudv
= 2k+1
∫D
(u2 + v2)k(1 + 2(u2 + v2))dudv.
(Le radici sono scomparse). Nell’ultimo integrale, siccome D e un cerchio esiccome l’integrando e una funzione che dipende da u2+v2, conviene passarealle coordinate polari u = r cos θ, v = r sin θ, dudv = rdrdθ. Si trova
I = 2k+1
∫ 2π
0
∫ 1
0r2k(1 + 2r2)rdrdθ
= 2k+2π
∫ 1
0(r2k+1 + 2r2k+3)dr
= 2k+2π( 1
2k + 2+
22k + 4
)= 2k+1π
( 1k + 1
+2
k + 2
)=
(3k + 4)2k+1
(k + 1)(k + 2)π.
Ora si puo sostituire a k il valore desiderato.3) Un giocatore di golf ha nella sua sacca due mazze differenti: con laprima scaglia la pallina a una distanza (in metri) che si distribuisce con legge(discreta) uniforme sull’insieme 90, 91, . . . , 109, mentre con la seconda auna distanza che si distribuisce con legge (discreta) uniforme sull’insieme100, 101, . . . , 119. All’inizio di una buca sceglie a caso una mazza, scagliala pallina e rimette la mazza nella sacca. Quindi fa un secondo colpo, dalpunto in cui e arrivata la pallina, scegliendo nuovamente una mazza a casodalla sacca.
1. Dette Z1 e Z2 le lunghezze del primo e del secondo lancio, se ne de-termini la densita discreta e il valore atteso;
2. Si determini la densita discreta congiunta di (Z1, Z2);
3. Si calcoli la probabilita che la distanza totale raggiunta dalla pallinadopo i due lanci sia minore o uguale a 185 metri.
Soluzione:
66
1. Dette Z1 e Z2 le lunghezze del primo e del secondo lancio, esse hannola medesima densita discreta. Definiamo con Xi, i = 1, 2, due variabilialeatorie che varranno 1 se viene scelta la prima mazza e 2 se vienescelta la seconda mazza, rispettivamente al primo e al secondo lancio.La densita discreta di Z1 e data da
p(k) = P[Z1 = k] = P[Z1 = k|X1 = 1]P[X1 = 1]+P[Z1 = k|X1 = 2]P[X1 = 2]
=
0 se k < 90
140 se k = 90, . . . , 99
120 se k = 100, . . . , 109
140 se k = 110, . . . , 119
0 se k > 119
e il valore atteso 104.5.
2. Grazie all’indipendenza, la densita discreta congiunta di (Z1, Z2) none altro che il prodotto delle due densita marginali (calcolate sopra);
3. La probabilita che la distanza totale raggiunta dalla pallina dopo i duelanci sia minore o uguale a 185 metri vale
P[Z1+Z2 ≤ 185] = P[Z1 = 90∩Z2 = 90]+ . . .+P[Z1 = 95∩Z2 = 90]+
+P[Z1 = 90 ∩ Z2 = 91] + . . . + P[Z1 = 94 ∩ Z2 = 91] + · · · =
=21
1600
4) Durante una compito scritto non siete sicuri della risposta che avete datoalla prima domanda. Intorno a voi sono seduti 2 colleghi con i quali, anchese in realta non lo vorreste fare, avete la possibilita di scambiarvi i risultati.Supponiamo che la prima domanda abbia due possibili risposte e che ognunodegli studenti abbia risposto in maniera esatta, indipendentemente daglialtri, con probabilita pari a p.
1. Se comunicate con un vostro collega, qual e la probabilita che i vostririsultati non coincidano?
67
2. Quanto vale la probabilita (condizionata) che la vostra risposta siacorretta, sapendo che i vostri risultati non coincidono? Per quali valoridi p e aumentata (rispetto alla probabilita iniziale p che fosse corretta)?
3. Se comunicate con tutti e due i vostri colleghi e il vostro risultatodifferisce dal loro (che quindi sara lo stesso per entrambi), quanto valeora la probabilita (condizionata) che la vostra risposta sia corretta?Per quali valori di p e aumentata?
4. (Facoltativo) Se uno dei vostri due colleghi e considerato piu “affid-abile” e quindi stimate che abbia risposto giustamente con probabilitapari a (p + 1)/2 e la vostra risposta e uguale alla sua, ma differisceda quella dell’altro, quanto vale la probabilita (condizionata) che lavostra risposta sia corretta?
Soluzione: Definiamo le tre variabili X1, X2, X3 che valgono, rispettiva-mente, 1 se lo studente i-esimo ha risposto correttamente e 0 altrimenti esupponiamo che voi siate lo studente numero 1.
1. Se comunicate con un vostro collega (supponiamo il 2), la probabilitache i vostri risultati non coincidano vale P[X1 6= X2] = 2p(1− p);
2. La probabilita (condizionata) che la vostra risposta sia corretta, sapendoche i vostri risultati non coincidono, vale
P[X1 = 1|X1 6= X2] =P[X1 = 1 ∩X1 6= X2]
P[X1 6= X2]=
=P[X1 = 1 ∩X2 = 0]
P[X1 6= X2]=
p(1− p)2p(1− p)
=12
Se p e minore di 1/2, allora la probabilita e aumentata.
3. Se comunicate con tutti e due i vostri colleghi e il vostro risultato dif-ferisce dal loro (che quindi sara lo stesso per entrambi), la probabilita(condizionata) che la vostra risposta sia corretta vale ora
P[X1 = 1|X1 6= X2 = X3] =P[X1 = 1 ∩X1 6= X2 = X3]
P[X1 6= X2 = X3]=
=P[X1 = 1 ∩X2 = 0 ∩X3 = 0]
P[X1 6= X2 = X3]=
p(1− p)2
p(1− p)2 + p2(1− p)= 1− p
Se p e minore di 1/2, allora di nuovo la probabilita e aumentata.
68
4. (Facoltativo) Se uno dei vostri due colleghi (supponiamo 3) e consid-erato piu “affidabile” e quindi stimate che abbia risposto giustamentecon probabilita pari a (p + 1)/2 e la vostra risposta e uguale alla sua,ma differisce da quella dell’altro, la probabilita (condizionata) che lavostra risposta sia corretta vale
P[X1 = 1|X1 = X3 6= X2] =P[X1 = 1 ∩X1 = X3 6= X2]
P[X1 = X3 6= X2]=
=P[X1 = 1 ∩X2 = 0 ∩X3 = 1]
P[X1 = X3 6= X2]=
p + 12
che e sempre maggiore di p.
Terzo appello, 7 settembre 2004
1) Sia Ω = (x, y) ∈ R2 : 0 < yx2 < 1, 1 < y/x < 2. Calcolare l’integrale∫∫Ω
y2
xeyx2
dxdy.
Suggerimento: con un appropriato cambio di variabile trasformare Ω in unrettangolo.
Soluzione. Si noti che la funzione integranda e continua e limitata inΩ e quindi e integrabile su Ω. Osserviamo anche che se (x, y) ∈ Ω allorax, y > 0. Introduciamo le nuove variabili u, v mediante
u = yx2
v = y/x,
ed esprimendo x, y in funzione di u, v si trovax = u
13 v−
13
y = u13 v
23 .
Dunque la funzione del cambio di variabile e (x, y) = Φ(u, v) = (u13 v−
13 , u
13 v
23 ).
Si osserva che la funzione Φ : (0, 1)× (1, 2) → Ω e iniettiva e suriettiva.La matrice Jacobiana di Φ e
JΦ(u, v) =
13u−
23 v−
13 −1
3u
13 v−
43
13u−
23 v
23
23u
13 v−
13
,
69
e quindi
|det JΦ(u, v)| = 13u−
13 v−
23 .
Per il Teorema del cambio di variabile
I =∫∫
Ωxαy1−αeyx2
dxdy
=∫∫
(0,1)×(1,2)u
α3 v−
α3 u
1−α3 v2 1−α
3 eu 13u−
13 v−
23 dudv
=13
(∫ 1
0eudu
)(∫ 2
1v−αdv
).
Si ha ∫ 1
0eudu = e− 1,
e inoltre ∫ 2
1v−αdv =
[ v1−α
1− α
]v=2
v=1=
21−α − 11− α
se α 6= 1
Riassumendo, per i parametri proposti si ha∫∫Ω
y2
xeyx2
dxdy =12(e− 1) con α = −1∫∫
Ω
x2
yeyx2
dxdy =16(e− 1) con α = 2.
2) Si consideri il solido T = (x, y, z) ∈ R3 : x > 1, x2 + y2 + 2z2 < 4.
1. Si abbozzi un disegno di T ;
2. si calcoli il volume di T ;
3. si calcoli il flusso (uscente) del campo F (x, y, z) = (y, x, 2z) attraverso∂T .
Soluzione. L’insieme T e la parte di un ellissoide contenuta nella“striscia” dei punti dello spazio (x, y, z) ∈ R3 tali che 1 < x < 2.
Per calcolare il volume si usa il Teorema di riduzione. Conviene integrarealla fine in x fra 1 e 2, e prima in y e z sull’insieme piano dei punti tali chey2 + 2z2 < 4− x2. Questo insieme e un’ellisse per ogni x ∈ (1, 2) fissata, ede facile calcolare la sua area in dipendenza da x. Precisamente
Vol(T ) =∫∫∫
T1 dxdydz =
∫ 2
1
(∫∫y2+2z2<4−x2
1 dydz
)dx.
70
Con il cambio di variabile z = 1√2t (da cui dz = 1√
2dt) si trova∫∫
y2+2z2<4−x2
1 dydz =1√2
∫∫y2+t2<4−x2
1 dydt =π√2(4− x2).
L’ultima uguaglianza e semplicemente la formula per l’area del cerchio, chesi puo trovare ad esempio con le coordinate polari.
Dunque
Vol(T ) =π√2
∫ 2
1(4− x2)dx =
5π
3√
2.
Il modo piu veloce per rispondere alla terza domanda e osservare che peril Teorema della divergenza vale
Flusso uscente =∫∫
∂T〈F,N〉dσ =
∫∫∫T
divFdxdydz,
dove N indica la normale esterna a ∂T . Nel nostro caso divF = 2 e quindi
Flusso = 2Vol(T ) =5√
2π
3.
3) Si dia un enunciato chiaro e completo del teorema che caratterizza leforme differenziali esatte mediante integrali curvilinei.4) Un’urna contiene 4 palline bianche, 3 rosse e 3 verdi. Si estraggono trepalline senza reimmissione.
1. Si calcoli la probabilita che esattamente due tra le palline estratteabbiano lo stesso colore.
2. Supponiamo ora di ripetere l’esperimento varie volte e consideriamoun successo l’evento “in un’estrazione, esattamente due palline hannolo stesso colore”. Si calcoli la probabilita che il terzo successo accadaal nono tentativo, sapendo che entro i primi quattro tentativi ce n’e’stato esattamente uno;
3. Usando l’approssimazione normale, si dia un valore approssimato dellaprobabilita che in 400 tentativi ci siano almeno 240 successi.
Soluzione.
71
1. La probabilita che esattamente due tra le palline estratte abbiano lostesso colore e pari a
p =
(42
)(61
)(
103
) + 2
(32
)(71
)(
103
) =1320
2. La probabilita (condizionata) che il terzo successo accada al nono ten-tativo, sapendo che entro i primi quattro tentativi ce n’e’ stato esatta-mente uno, e uguale alla probabilita (non condizionata) che in 5 ten-tativi si abbia il secondo successo alla quinta prova. Questo e pari allaprobabilita che una variabile binomiale negativa di parametri (13
20 , 2)assuma il valore 5, ovvero(
42
)(1320
)2( 720
)3
3. Si usino le approssimazioni normali.
5) Sia Y una variabile aleatoria discreta cosı distribuita: P (Y = 1) = 1/4,P (Y = 2) = 1/2, P (Y = 3) = 1/4. Sia X una variabile aleatoria continuatale che la legge di X condizionata a Y = k (k = 1, 2, 3) sia la legge uniformesull’intervallo [0, k]. Calcolare:
1. P (X ∈ [0, 1/2] |Y = k) e E[X |Y = k], per k = 1, 2, 3;
2. P (X ∈ [0, 1/2]) e E[X] (sugg.: usare il teorema della probabilita to-tale);
3. P (Y = 1 |X ∈ [0, 1/2]).
Soluzione.
1.P (X ∈ [0, 1/2] |Y = k) =
12k
E[X |Y = k] =k
2;
72
2.
P (X ∈ [0, 1/2]) =3∑
k=1
P (X ∈ [0, 1/2] |Y = k)P (Y = k) =724
E[X] =3∑
k=1
E(X |Y = k)P (Y = k) = 1 ;
3.
P (Y = 1 |X ∈ [0, 1/2]) =P (X ∈ [0, 1/2] |Y = 1)P (Y = 1)
P (X ∈ [0, 1/2])=
37.
6) Si definisca la proprieta di indipendeza di n eventi e si provi che se dueeventi sono indipendenti, allora lo sono anche i loro complementari.
Quarto appello, 21 settembre 20041) Sia D = (u, v) ∈ R2 : |u− αv| < 1, |u + αv| < 1, con α > 0. (Scegliereα = 2 nel Compito A e α = 1
2 nel Compito B).
i) Calcolare l’integrale doppio ∫∫D
u2dudv.
Suggerimento: operare un opportuno cambiamento di variabile.
ii) Sia S ⊂ R3 la superficie parametrizzata da r : D → R3, r(u, v) =(uv, u− αv, u + αv). Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, y +z, 0) attraverso S.
Soluzione. i) Un modo per calcolare l’integrale doppio e fare il cambi-amento di variabile
s = u− αv
t = u + αvovvero
u =s + t
2v =
t− s
2α.
Osserviamo che il dominio delle nuove variabili e dato semplicemente da|s| < 1 e |t| < 1. Posto (u, v) = Φ(s, t) =
(s+t2 , t−s
2α
), il determinante della
matrice Jacobiana di Φ e
det JΦ = det
12
12
− 12α
12α
=12α
.
73
Dunque, con il Teorema del cambio di variabile negli integrali doppi troviamo∫∫D
u2dudv =∫∫
|s|<1,|t|<1
(s + t
2
)2 12α
dsdt =18α
∫ 1
−1
∫ 1
−1
(s + t
)2dsdt
=1
24α
∫ 1
−1
[(s + t
)3]s=1
s=−1dt =
124α
∫ 1
−1
(t + 1
)3 − (t− 1)3
dt
=1
96α
[(t + 1
)4 − (t− 1)4]t=1
t=−1=
13α
.
ii) Il flusso e per definizione
Flusso =∫∫
S〈F,N〉dσ =
∫∫D〈F (r(u, v)), ru ∧ rv〉dudv,
dove N = ru∧rv‖ru∧rv‖ e la normale a S ed ru, rv sono le derivate parziali della
parametrizzazione r, e precisamente
ru = (v, 1, 1), rv = (u,−α, α).
Il prodotto vettoriale di questi due vettori e
ru ∧ rv =
∣∣∣∣∣∣i j kv 1 1u −α α
∣∣∣∣∣∣ = (2α, u− αv,−u− αv).
Siccome F (r(u, v)) = (uv, 2u, 0), si trova 〈F (r(u, v)), ru ∧ rv〉 = 2αuv +2u(u− αv) = 2u2. Dunque
Flusso = 2∫∫
Du2dudv =
23α
.
2) Consideriamo in R2 \ (0, 0) la forma differenziale
ω = − y
x2 + α2y2dx +
x
x2 + α2y2dy,
dove α > 0, (Scegliere α = 12 nel Compito A e α = 2 nel Compito B.)
i) Mostrare che ω e chiusa in R2 \ (0, 0)
ii) Calcolare un potenziale di ω nel semispazio (x, y) ∈ R2 : x > 0.
iii) Mostrare che l’integrale di ω lungo la circonferenza unitaria centratanell’origine e diverso da 0.
74
iv) ω e esatta in R2 \ (0, 0)?
Soluzione. i) E sufficiente controllare che
∂
∂y
(− y
x2 + α2y2
)=
∂
∂x
(x
x2 + α2y2
).
Un breve conto mostra che
∂
∂y
(−y
x2 + α2y2
)=−(x2 + α2y2) + 2α2y2
(x2 + α2y2)2=
α2y2 − x2
(x2 + α2y2)2
∂
∂x
(x
x2 + α2y2
)=
(x2 + α2y2)− 2x2
(x2 + α2y2)2=
α2y2 − x2
(x2 + α2y2)2.
Quindi ω e chiusa.ii) Siccome il semipiano x > 0 e semplicemente connesso, la forma ω e
esatta in questo insieme. Fissiamo un punto (x, y) ∈ R2 tale che x > 0. Con-sideriamo la curva γ composta dai due seguenti tratti rettilinei: il segmentoorizzontale (t, 0) ∈ R2 : t compreso fra 1 e x e di seguito il segmento ver-ticale (x, t) ∈ R2 : t compreso fra 0 e y. La curva γ parte da (1, 0) e arrivain (x, y). Se U e un potenziale di ω, allora
U(x, y) = U(1, 0) +∫
γω = U(1, 0) +
∫ y
0
x
x2 + α2t2dt,
infatti l’integrale di ω lungo il tratto orizzontale e zero. Quindi basta calco-lare l’integrale∫ y
0
x
x2 + α2t2dt =
[t =
x
αs]
=1α
∫ αyx
0
11 + s2
ds =1α
arctan(αy
x
).
Il potenziale e dunque
U(x, y) = U(1, 0) +1α
arctan(αy
x
)con U(1, 0) che puo essere scelto a piacere. Osserviamo che il potenziale Ue ben definito nel semipiano x > 0.
iii) Sia ora γ la circonferenza parametrizzata da r(t) = (cos t, sin t) cont ∈ [0, 2π]. Si trova ∫
γω =
∫ 2π
0
1cos2 t + α2 sin2 t
dt > 0.
75
Non occorre calcolare l’ultimo integrale. Esso e certamente un numero pos-itivo perche la funzione integranda e sempre positiva.
iv) Dal punto iii) segue che ω non e esatta in R2 \ (0, 0).3) In un centro commerciale un carrello ogni 5 ha problemi di locomozioneed uno ogni 10 manca di una ruota (cioe, su 10 carrelli, 2 si muovono confatica e uno non ha una ruota e non si muove del tutto).
1. Si calcoli la probabilita che in 10 visite al centro commerciale, si sianoscelti per 2 volte dei carrelli “sfortunati”;
2. Si calcoli la probabilita (approssimata) che in 1000 visite al centrocommerciale, si siano scelti almeno 350 volte dei carrelli “sfortunati”;
3. Supponiamo ora che quando si prende il carrello, se esso manca diuna ruota lo mettiamo da parte e ne prendiamo un altro ed inoltreche nel centro commerciale in tutto ci sono 200 carrelli. Si calcoli laprobabilita che per trovarne uno integro se ne debbano scartare prima2 senza una ruota.
4) Costruiamo un cono retto aleatorio nel seguente modo: il cerchio di baseavra raggio (aleatorio) R, che si distribuisce con legge uniforme sull’intervallo(0, 2), mentre l’altezza (anch’essa aleatoria) sara un valore H che si dis-tribuisce con legge uniforme sull’intervallo (0, 1), indipendentemente dallaprecedente variabile.
1. Si determini il volume aleatorio V e la superficie aleatoria S del cono;
2. Si determini il volume medio del cono;
3. Si determini la funzione di distribuzione della variabile aleatoria V .
19 Risultati dei temi d’esame
Primo compitino – 28.5.20021) 7/18 .2) a. 3
5
(25
)k−1; b.(
25
)k−1; c. 5/7 .
3)(√
6π −
√2
3π ,−√
6π +
√2
3π
).
4) (i) c = 1/3;(ii) fX(x) = e−2|x|, fY (y) = 0 per y ≤ 0 e fY (y) = 1
3e−y/3 per y > 0;(iii) E[X] = 0, E[Y ] = 3, Var(X) = 1/2, Var(Y ) = 9, Cov(X, Y ) = 0.7) 195/198 .
76
Secondo compitino e primo appello – 2.7.2002
1) a. Φ(12); b. 1
2Φ(12); c. 1
2 + 12Φ(1
2); d. Φ(12)/(1 + Φ(1
2)).2) a. e−210;b. f(t) = 0 per t ≤ 0 e f(t) = 7e−7t per t > 0, e una variabile esponenziale.3) a. b = 2; b. sin(xe2y);c.∫γ F · ds = − sin(cos(log π)e2 sin(log π)).
4) 3π/16.5) a. N = (0, 0), (− 3
√4,− 3
√2); b. (− 3
√2,− 3
√4);
c. il punto stazionario trovato e di minimo locale.Secondo appello – 17.7.2002
1) a. p = 2/801; b. 1− (799/801)100; c. 400,5 .2) a. 0 ; b. Y e una variabile esponenziale di parametro λ = 3.3) b. 5
√2π; c. 10
√2π;
d. n non esiste nei punti di (x −√
2)2 + y2 = 2 e z = 0 oppure x +y + 2z = 6
√2, in z = 0 n = (0, 0,−1), in x + y + 2z = 6
√2 n =
(1/√
6, 1/√
6, 2/√
6), in (x−√
2)2 + y2 = 2 n = (x/√
2− 1, y/√
2, 0);e. π(12 +
√6).
4) Il massimo e 8 ed e raggiunto nel punto (√
8,−√
8); poiche f(x, y) e l’areadel rettangolo con due lati sugli assi cartesiani e un vertice in (x, y) ∈ E, ilproblema equivale a trovare tra tali rettangoli quello di area massima, e ilrisultato trovato dice che il rettangolo di area massima e quello con x = |y|,cioe l’unico che e un quadrato.Prova scritta – 4.9.20021) a. 5/12 ; b. 17/30 ; c. P (E2|E1) = 17/30 6= 5/12 = P (E2) ; d.P (Y = 2) = 37/144; e. P (A|Y = 2) = 32/37.2) a. a = e−5 ; b. F (t) = et−2 per t ≤ 2 e F (t) = 1 per t > 2, E(X) = 1.3) a. µ(x) = x ; b. U(x, y) = (x2 − x3)/y2 + 4.4) a. ∂S1 ∩ ∂S2 = x2 + y2 = 3/4, z = 1 ; b. 47π/48.Prova scritta – 24.9.20021) a. 2/15 ; b. 15/32.2) a. FT (t) = 0 per t ≤ 0 e FT (t) = 1− e−t/5 − e−2t/5 + e−3t/5 per t > 0;b. P (T ≤ 2) = 1− e−2/5 − e−4/5 + e−6/5 , P (T > 10) = e−2 + e−4 − e−6;c. 35/6.3) a. Il gradiente di g si annulla solo in (−3, 0) /∈ E;b. il massimo e 3
√2 − 3, raggiunto in (−3 + 3/
√2, 3/
√2), il minimo e
−3√
2− 3 raggiunto in (−3− 3/√
2,−3/√
2).4) π/2.
Matematica C 2002
77
1) 98/992) a) 27/4 ; b) 170/173 ; c) P (X2 = j |X1 = k) =
(N−k
j
)pj(1 − p)N−k−j ,
con p = 9/10; E[X2 |X1 = k] = (N − k)p; E[X2] = Np(1− p) = 9/2 .3) 37/6π .4) e− 17/45) a) 2/3; b) 1/36) U(x, y) = (1− e2y)/(1 + x2) + y7) Volume = 5
√2π; flusso = 2· Volume
8) Ω = y > 1 + x2; in Ω, U(x, y) =√
y − 1− x2 − log y9) ϕ(y) = 2e2y; U(x, y) = sin(xe2y); lavoro = differenza del potenziale agliestremi = sin(π cos(π2)e2 sin π2
).Primo compitino – 26.5.2003
1) π(32−√
1000)/3√
22) a. 18/35 ; b. 69/70 ; c. 12/23.3) a. (2/3)6 ; b. (2/3)2k ; c. geometrica di parametro 5/9.4) (i) 1/3 ; (ii) e−2/3 ; (iii) e−2/3.Primo appello e secondo compitino – 1.7.2003
1) a. p(0) = 2/9, p(1) = 5/9, p(2) = 2/9 ; b. 1, 4/9 ; c. 1/2 ; d. 5/9 ; e.1/2.2) a. 3025 ; b1. 1/2 ; b2. Φ(1) ; b3. 1− Φ(1).3) a. sin y ; b. x sin y − y sinx + c ; c. calotta sferica ; d. 0.4) min = 0 in (12/5,−3/5), (−12/5, 3/5), max = 25 in (9/5, 4/5), (−9/5,−4/5)Secondo appello – 15.7.2003
1) a. pX(0) = 3/6, pX(1) = 2/6, pX(2) = 1/6, pY = pX ; b. 2/3, 5/9 ; c.no; d. no ; e. 2, 5/3.2) a. 1−Φ(2) e 1−Φ(2) ; b. 1−Φ(2) ; c. Φ(2s− 2)/3+2(1−Φ(2s+2))/3;d. (log 2)/8.3) a. 2π(8 +
√3 + π/3) ; b. 2π2/3 + 8π/3.
4) a. ∂g/∂x(−2, 0) = 1 6= 0 ; b. 0, −2 + o(y).Terzo appello – 4.9.2003
1) 7/8, 1/8.2) b. 1− e−18 ; c. Φ(2x− 2)Φ(2y + 4) ; d. Φ(2)/2.3) a. y > 3x2 − 1 ; b. log(x2 + y2 + 2)/2 + 2(y − 3x2 + 1)−3/2/3 + 6y ; c.log√
3/2 + 1/3√
2 + 16/3.4) max=213/4 in (81/4, 81/4), min=−213/4 in (−81/4,−81/4).Quarto appello – 18.9.2003
1) a. 12/17 ; b. 5/17.
78
2) a. 1/18 ; b. (17/18)8 ; c. 1/35.3) 21π/32.4) a. π
√10 ; b. 4.
Primo compitino – 24.5.20041) 3/8 .2) a. 55/108 ; b. 0.45 .3) a. aperto, non chiuso, sconnesso ; b. 32/(3π) ; c. 2/π .4) a. 3/5 per i = 1, 4/7 per i = 2, 15/28 per i = 3 ; b. 239/420 .Primo appello e 2o compitino – 24.6.20041) a. 9/10 ; b. 1/2 ; c. 40 ; d. 0.4013 .2) i. π/3 ; ii. 1/2 in [0, 1]× [0, 2], 0 altrove ; iii.
√2− 1/2 ; iv. F (t) = 0 per
t < 0, F (t) = 2√
t2π −
t2π per 0 < t < 2π, F (t) = 1 per t ≥ 2π.
3) i. si ; iii. log(1 + xy) + 2xy ; log 2 + 2.4) b. 7π/6 , (0, 9/7, 0) ; c.
(−1
2
√y2 + 1 cos θ, y
4 ,−12
√y2 + 1 sin θ
); d.
−2π.Secondo appello – 13.7.20041) (a) PY1 = n = PY2 = n = 1/150 per 100 ≤ n ≤ 124 e 175 ≤ n ≤ 199,1/75 per 125 ≤ n ≤ 174 ; (b) poiche le due variabili sono indipendentip(n, m) = PY1 = nPY2 = m, e ci sono 9 casi da considerare e disegnarecome suggerito dal testo, ad es. p(n, m) = 1/1502 per 100 ≤ n ≤ 124 e100 ≤ m ≤ 124, p(n, m) = 2/1502 per 125 ≤ n ≤ 174 e 100 ≤ m ≤ 124, ecc.;(c) PD ≥ 398 = 1/1502, PD ≤ 202 = 6/1502 = 1/3750.2) (i) 7/2 e 241/25 ; (ii) Φ
(10(t−i)−1
30
);
(iii) Φ(
10(t−2)−130
)/5 + Φ
(10(t−3)−1
30
)/5 +3Φ
(10(t−i)−1
30
)/5 ;
(iv)(
e−(10t−21)2
1800 + e−(10t−31)2
1800 + 3e−(10t−41)2
1800
)/15
√2π.
3) 88π/3.4) a. si controllano le ipotesi del teorema di Weierstrass; b. il max e 24,raggiunto in (2, 6) e (−2,−6), il min e −8 in (−2/
√3, 2
√3) e (2/
√3,−2
√3);
c. come in b.Terzo appello – 7.9.20041) a. 3/10 e 7/10 ; b. 13/20 ; c. (13/20)(7/20)3 = 1911/16000 ; d.Φ(13.5/
√91).
2) a. P (X ∈ [0, 1]|Y = 1) = 1, P (X ∈ [0, 1]|Y = 2) = 1/2, P (X ∈ [0, 1]|Y =3) = 1/3, E[X|Y = 1] = 1/2, E[X|Y = 2] = 1, E[X|Y = 3] = 3/2 ; b.17/24 e 7/8 ; c. 12/17.
79
3) b. ∂g/∂x(2, 1) = (e + 1)/2, ∂g/∂y(2, 1) = 2e− 1 ; c. f ′(2) = (e + 1)/(2−4e), h′(1) = −(4e− 2)/(e + 1), f(x) = 1 + e+1
2−4e(x− 2) + o(x− 2).4) b. 5π
3√
2; c. 5π
√2/3.
Quarto appello – 21.9.20041) a. 32/729 ; b. 4/81 ; c. 1/5 .2) a. 9/25=0.36 ; b. FY (t) = 0 per t ≤ 3, FY (t) = (t − 3)2 per 3 ≤ t ≤ 4,FY (t) = 1 per t > 4, fY (t) = 2t − 6 per 3 < t < 4, fY (t) = 0 altrove ; c.E[Y ] = 3.6, Var(Y ) = 1/18.3) b. − 1√
2arctan
(x√2y
)+ c ; c.
∫γ ω =
∫ 2π0
1cos2 t+2 sin2 t
dt > 0 perchel’integranda e positiva, la forma non e esatta perche tale integrale non enullo.4) a. 1/6 ; b. 1/3.
Matematica C per Ingegneria Elettronica 2004 e 2005
1) E[X] = 5, Var(X) = 1.2) a) P (Y2 ≥ 12) = 1−
∑11k=0 e−99k/k!, b) 1− e−5, c) e−151520/20!;
3) U(x, y) = xy + log |xy − 1|,∫γ ω = log 2− 1;
4) Vol(Ω) = 4π/27, yb = −9/16;5) (53/2 − 1)/12.7) a) 43/64, b) 26/1024, c) 3/64, d) 1− 2N , e) no8) a = −3, U(x, y) = −xy/(3y − x)9) 21π/310) a) P (X ∈ [1, 2] |Y = 1) = 0, E[x | y = 1] = 1/2, P (X ∈ [1, 2] |Y = 2) =1/2, E[X |Y = 2] = 1, P (X ∈ [1, 2] |Y = 3) = 1/3, E[X |Y = 3] = 3/2; b)P (X ∈ [1, 2]) = 1/4, E[X] = 13/12, c) 2/3.11) lungh(γ) =
√2/4 + 2/27
[(1 + 9/4)3/2 − 1
],∫γ ω1 = −1/160,
∫γ ω2 = 0.
12) b) Vol=5π/3√
2, flusso=5√
2π/5.13) a) 0.16, b) P (Y ≤ t) = 0 se t ≤ 2, = 1 se t ≥ 3, = (t− 2)2 se t ∈ (2, 3),c) E[Y ] = 8/3, Var(Y ) = 1/18.14) a) 2/81, b) 4/729, c) 1/2.15) U(x, y) = −1/
√3 arctan
(√3x/y
)16) a) 1/81, b) 2/9.17) area = 4.
18) area = π√
24 −
√2
2 .
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