Congruencia de figuras geométricas

William Reyes Pérez (Prof. Academia César Vallejo - ICH)

Dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, es

como si a una figura la cambiaramos de posición.

: Se lee es congruente

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Definición. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos interiores respectivamente

igual medida y sus lados homólogos correspondiente de igual longitud.

(Lados homólogos. Son dos lados que se oponen ángulos de la misma medida en dos

triángulos)

CRITERIOS PARA IDENTIFICAR A DOS TRIÁNGULOS CONGRUENTES

Para que dos triángulos sean congruentes, se deben cumplir ciertas condiciones, las cuales

son:

CRITERIO 1: lado – ángulo – lado

Un triángulo es congruente a otro, si ambos tienen un ángulo de igual medida y además los

lados que determinan dicho ángulo son de igual longitud respectivamente.

Si a=n y c=m ABC PQR

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CRITERIO 2: ángulo – lado – ángulo

Un triángulo es congruente a otro, si ambos tienen un lado de igual longitud y además los

ángulos adyacentes a dicho lado son de igual medida respectivamente.

Si b= ABC PQR

CRITERIO 3: lado – lado – lado

Un triángulo es congruente a otro, si ambos tienen sus lados de igual longitud

respectivamente.

Si a=n, b=m y c= ABC PQR

Nota:

Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa de igual longitud y un

cateto de uno de ellos a un cateto del otro tienen igual longitud.

Si b=m y a= ABC PQR

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APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Teorema de la bisectriz de un ángulo

Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de este.

Si : bisectriz del AOB

Se cumple = y =

Teorema de la mediatriz de un segmento

Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de este.

Si : mediatriz del

Se cumple =

Teorema de la base media

En todo triángulo la base media respecto a un lado es paralela a dicho lado y su longitud es

igual a la mitad de la longitud de dicho lado.

(Base media. Es el segmento de recta cuyos extremos son los puntos medios de dos lados de

un triángulo)

Si es base media respecto a

Se cumple // y =

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Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa

En todo triángulo rectángulo se cumple que la longitud de la mediana relativa a la

hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa.

Si : mediana relativa a

Se cumple =

Notas:

1. En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a la base, es también bisectriz

interior, mediana y una parte de la mediatriz.

Si = y : es altura

Es mediana

Es bisectriz interior

2. En un triángulo al trazar por el punto medio de un lado una recta paralela a otro

lado, entonces interseca al tercer lado en su punto medio.

Si = y //

=

3. En un triángulo, si la mediana relativa a un lado es la mitad de dicho triángulo,

entonces es un triángulo rectángulo.

Si = =

mABC=90°

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TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

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PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 1

(Examen de admisión U.N.M.S.M 1991)

De todos los triángulos, dos de cuyos lados

miden 2cm y 4cm. Halle los que poseen la

propiedad de que su tercer lado tenga por

longitud un numero entero y señale Usted

a que es igual la suma de perímetros de los

triángulos hallados.

A) 28cm

B) 30cm

C) 24cm

D) 26cm

E) 25cm

Resolución

Piden la suma de los perímetros de : S

De la figura aplicando el teorema de la

existencia

4–2< x <4+2 2 < x <6

Como del dato x es entero, entonces x

puede ser 3,4 ó

5

Cuando x=3 2p = 2+4+3=9

Cuando x=4 2p = 2+4+4=10

Cuando x=5 2p = 2+4+5=11

Sumando: S= 2p +2p +2p

S=30cm

Ejemplo 2

(Examen de admisión U.N.M.S.M 1992)

De la figura es la altura del triángulo

ABC y es bisectriz del ángulo ABC.

Calcular el valor de x.

A) 2α

B) α

C) α/2

D) 2α/3

E) α/3

Resolución

Piden x

Sea: mABD= mCBD= (dato)

AHB: 3α + – x=90°… (1)

CHB: α + + x=90°.... (2)

Como podemos notar (1)=(2)

3α + - x=α + + x

2α=2x x= α

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Ejemplo 3

(examen de admisión U.N.M.S.M 2000)

PQR es un triángulo equilátero de lado 16.

Por A punto medio de se traza

perpendicular a ; por B se traza

perpendicular a ¿Cuánto mide ?

A)

B)

C)

D) 6

E) 9

Resolución

Piden =x

Dato: = = =16

ABP: notable 30°, 60°

PB=4

BCR: notable30°, 60°

= =

Como =16= + = 4+

x= 6

Ejemplo 4

(Examen de admisión U.N.M.S.M 2011-1)

En la figura =2cm y =7cm. Halle .

A) 6cm

B) 5cm C) 7cm D) 4cm E) 3cm

Resolución

Piden =x

Por sugerencia, se traza , tal que

mLQR = mLRQ =α =

Del PQL: se puede notar = =x

Además = =x y = =2

Ahora

= + +

7= 2+2+x x=3cm