Cours de Calcul Integral. Licence 3. Annee 2009/2010.

Richard Zekri.

11 janvier 2010

2

Table des matieres

1 Tribus et mesures. 5

1.1 Tribus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Applications mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Integrale de Lebesgue. 9

2.1 Approximation des fonctions mesurables par des fonctions etagees. . . . . 9

2.2 Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Theoreme de convergence dominee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Mesure produit et theoreme de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Espaces Lp. 19

3.1 Inegalites et convexite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Les semi-normes ‖.‖p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Les espaces Lp(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Convolution et series de Fourier. 25

4.1 Les espaces Lp(T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Convolution et approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Noyaux de Dirichlet et series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Changements de variables dans Rn. 31

5.1 Diffeomorphismes et Jacobien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Formule de changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 Quelques exemples de changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Exercices supplementaires. 35

3

4

Chapitre 1

Tribus et mesures.

1.1 Tribus.

Definition 1.1.1 Soit X un ensemble. Un clan (ou algebre de Boole), C, sur X, estune famille de parties de X, telle que

1. φ ∈ C, X ∈ C.

2. C est stable par passage au complementaire.

3. C est stable par reunions finies.

Definition 1.1.2 Une tribu τ , sur un ensemble X, est un clan sur X, qui est stablepar reunion denombrable. Les elements de τ sont appeles des parties τ -mesurables deX (ou simplement des parties mesurables de X). Le couple (X, τ) est appele un espacemesurable.

Remarque 1.1.3 Par passage au complementaire, on voit que τ est egalement stablepar intersections denombrables (∩nPn = X − (∪nPn)), et par differences symetriques(P14 P2 = P1 ∪ P2 − P1 ∩ P2 = P1 ∪ P2 ∩ (X − P1 ∩ P2)).

Exemple 1.1.4 1- τ = φ,X est une tribu sur X (appelee tribu grossiere de X.) Dememe, l’ensemble des parties de X est une tribu de X (appelee tribu triviale ou tribudiscrete de X.)2-Si X est une espace topologique, la tribu borelienne, B(X), de X est la plus petite tribucontenant les ouverts de X (on dit aussi la tribu engendree par les ouverts de X). Leselements de B(X) sont appeles les sous-ensembles boreliens de X.3- Tout intervalle ouvert est un borelien de R (par definition), tout intervalle ferme estun borelien de R, car [a, b] = ∩n>0]a − 1/n, b + 1/n[. En particulier, chaque singletonest un borelien de R. L’ensemble Q, des nombre rationnels, et un borelien de R. Toutintervalle semi-ouvert est egalement un borelien de R (par exemple, [a, b[= [a, b]∩ (R−b).) On peut montrer que la tribu borelienne de R est engendree par les intervalles]−∞, a[, avec a ∈ R.

Definition 1.1.5 Soient (X, τ) un espace mesurable, et Y ⊂ X une partie quelconquede X. Alors τ|Y = T ∩Y, / T ∈ τ est une tribu sur Y , appelee tribu trace de τ , sur Y .

5

1.2 Applications mesurables.

Definition 1.2.1 Soient (X, τ) et (Y,V) deux espace mesurables. Une application f :X → Y est dite mesurable, si ∀V ∈ V , f−1(V ) ∈ τ . Si X et Y sont deux espacestopologiques, et si τ et V sont les tribus boreliennes de X et Y , une application mesurablede X dans Y est appelee aussi application borelienne.

Proposition 1.2.2 La composee de deux applications mesurables est mesurable. Si f :X → Y est mesurable, et X ′ ⊂ X est une partie de X, la restriction de f a X ′ estegalement mesurable (pour la tribu trace sur X ′.)

Theoreme 1.2.3 Soient (X, τ) et (Y,V) deux espaces mesurables. Soit F ⊂ V unefamille de parties de Y engendrant V. Une application f : X → Y est mesurable si etseulement si pour tout P ∈ F , f−1(P ) ∈ τ .

Demonstration: Si f est mesurable, il est clair que la preimage de toute partie P ∈ Fest mesurable. Inversement, supposons que pour tout P ∈ F , f−1(P ) ∈ τ . Toutepartie mesurable, C, de Y est obtenue par reunion denombrable et/ou passage aucomplementaire d’elements de F . La preimage f−1(C) est donc obtenue par reuniondenombrable et/ou passage au complementaire de preimages d’elements de F . Commeτ est stable par ces operations, f−1(C) est mesurable, f est donc mesurable.

•

Corollaire 1.2.4 Si X et Y sont deux espaces topologiques, toute application continue,f : X → Y est borelienne.

Demonstration: Comme f est continue, la preimage par f d’un ouvert de Y est unouvert de X, donc une partie mesurable de X. Il suffit alors d’appliquer le theoremeprecedent.

•

Remarque 1.2.5 La reciproque de ce corollaire est en general fausse. Dans la suite ducours, on s’interessera principalement aux espaces Rn. Dans la pratique, toutes les appli-cations rencontrees seront mesurables. (La construction d’applications non mesurables,dans ce cas-la est complexe, et necessite l’utilisation de l’axiome du choix.)

Proposition 1.2.6 Soit (X, τ) un espace mesurable. Soit X = ∪i∈NEi une partition deX en sous-ensembles mesurables. Une application f : (X, τ)→ (Y,V) est mesurable siet seulement si chacune des restrictions f |Ei

: (Ei, τ |Ei)→ (Y,V) est mesurable.

Demonstration: Notons τi la restriction de la tribu τ a chacune des Ei. Si P estune partie V-mesurable de Y , f |−1

Ei(P ) = f−1(P ) ∩ Ei est τi-mesurable, car f−1(P )

est une partie mesurable de X. Inversement, Soit P une partie mesurable de Y . Ona f−1(P ) = ∪i(f−1(P ) ∩ Ei). Par hypothese, chacune des parties f−1(P ) ∩ Ei est τi-mesurable. On peut donc trouver, pour chacun des i, une partie τ -mesurable Ai, deX, telle que f−1(P ) ∩ Ei = Ai ∩ Ei. Pour chaque i, Ai ∩ Ei est τ -mesurable. Alorsf−1(P ) = ∪i(Ai ∩ Ei) est une reunion denombrable de parties τ -mesurables, elle estdonc τ -mesurable..

6

1.3 Mesures.

Definition 1.3.1 Soit (X, τ) un espace mesurable. On appelle mesure sur (X, τ) touteapplication :

µ : τ → R+ ∪ +∞

T → µ(T )

telle que :

1. µ(φ) = 0

2. Si (Tn)n∈N est une famille denombrable de parties mesurables deux a deux disjointesde X, µ(

⋃n∈N Tn) =

∑n∈N µ(Tn).

Un espace mesurable (X, τ), muni d’une mesure µ, est appele un espace mesure, et note(X, τ, µ).

Le seconde propriete est aussi appelee σ-additivite de µ.

Exemples 1.3.2 1. La mesure de Dirac, δ, sur R, definie par δ(P ) = 1 si 0 ∈ P ,δ(P ) = 0, si 0 /∈ P , pour tout borelien, P , de R.

2. Mesure de comptage sur N. Ici, N est muni de la tribu discrete, et µ(P ) = card(P ),pour toute partie P ⊂ N.

3. La mesure de Borel sur R, muni de la tribu borelienne, est l’unique mesure λ, telleque λ([a, b[) = b− a, pour tous a ≤ b, a, b ∈ R.

Definition 1.3.3 Soit (X, τ, µ) un espace mesure. Soit P une partie mesurable de X.On dira que P est µ-negligeable (ou simplement negligeable), si µ(P ) = 0.

Exemple 1.3.4 Chaque singleton x ⊂ R est λ- negligeable. En effet, x = ∩n≥1[x, x+1/n[. On a donc λ(x) = limnλ([x, x + 1/n[) = limn(1/n) = 0. Par σ-additivite,toute partie denombrable de R est egalement λ-negligeable. En particulier, l’ensembledes nombres rationnels est une partie dense de R, de mesure nulle.

7

Tribus et mesures - Exercices

Exercice 1 Soit X = a, b, c, d. Soit F = φ, b, c, d. Decrire explicitement la tribuτ(F), engendree par F .

Exercice 2 Soit X un ensemble. Verifier que l’ensemble τ , des parties de X, qui sontdenombrables, ou dont le complementaire est denombrable, est bien une tribu sur X.Montrer que τ est la tribu engendree par les singletons de X.

Exercice 3 Montrer que les applications, de R dans R sont boreliennes :

1. E(x) = maxm ∈ Z /m ≤ x.2. f(x) = ex si x ∈ Q, f(x) = x si x /∈ Q

Exercice 4 Soient X un ensemble non denombrable, et τ la famille des parties de X quisont denombrables, ou dont le complementaire est denombrable. Montrer que l’applicationµ(P ) = 0 si P ∈ τ est denombrable, µ(P ) = 1 si P ∈ τ est non denombrable est unemesure sur X.

Exercice 5 Montrer qu’il n’existe pas de mesure non nulle sur Z, finie, et invariantepar translation. (Z est muni de la tribu discrete.)

Exercice 6 Soit (X, τ, µ) un espace mesure. Soient A et B deux parties mesurables deX. Montrer que l’on a µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B),avec egalite si et seulement si A ∩ Best negligeable.

Exercice 7 Soient A1, A2, . . . Ap ⊂ [0, 1] des parties boreliennes de R, dont la reunionest l’intervalle [0, 1]. Montrer qu’il existe i ∈ 1, 2, . . . p, tel que µ(Ai) ≥ 1/p.

Exercice 8 Soit (xn)n∈N une suite dense de points de R (par exemple, les nombresrationnels). On definit U = ∪n]xn − 1/2n, xn + 1/2n[. Montrer que U est un ouvert deR, de mesure de Lebesgue finie. En deduire que R − U est un ferme de R, d’interieurvide, mais de mesure non nulle.

8

Chapitre 2

Integrale de Lebesgue.

2.1 Approximation des fonctions mesurables par des

fonctions etagees.

Definition 2.1.1 Soient X un ensemble, et f : X → R une fonction a valeurs reellessur X. On dit que f est une fonction etagee (ou fonction simple) si f(X) est un sous-ensemble fini de R.

Definition 2.1.2 Si E ⊂ X est un sous-ensemble quelconque de X, on notera χE lafonction indicatrice (ou fonction caracteristique) de E, definie par :

χE : X → R

χE(x) = 1 si x ∈ E

χE(x) = 0 si x /∈ E

Remarque 2.1.3 Si f est une fonction etagee sur X, et si f(x) = a1, a2, . . . , an, onpose Ei = f−1(ai), pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n. Alors f =

∑ni=1 aiχEi

. Cette decompositionde f sera appelee la decomposition canonique de f . Autrement dit, une fonction etageesur X est une combinaison lineaire finie de fonction indicatrices de sous-ensembles de X.Si X est mesurable, et R est muni de la tribu borelienne, il est facile de voir qu’une tellefonction f est mesurable si et seulement si chacun des Ei est mesurable. (Le verifier !)

Theoreme 2.1.4 [Approximation par des fonctions etagees.] Soient f une fonctionreelle positive sur un espace mesure (X, τ). Alors f est limite simple d’une suite crois-sante (fn)n∈N de fonction etagees positives. Si f est mesurable, les fonctions (fn)n∈Npeuvent etre choisies mesurables.

Demonstration: Soit n ∈ N. On definit, pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n2n, E(n, i) =f−1([(i− 1)/2n, i/2n[), et : Fn = f−1([n,+∞[). On pose= fn =

∑n2n

i=1(i− 1)/2n.χE(n,i) +n.χFn .

•On remarque que si f est bornee, la convergence est uniforme.

9

Note 2.1.5 On rappelle qu’une fonction f , definie sur un ensemble X, est dite limitesimple d’une suite de fonctions (fn)n∈N, definies sur X, si pour tout point x ∈ X,fn(x)→ f(x), n tendant vers l’infini.

2.2 Integration.

2.2.1 Integration des fonctions etagees positives.

Definition 2.2.1 1. Soient (X,µ) un espace mesure, et soit f une fonction etagee,mesurable, a valeurs reelles positives sur X. Soit f =

∑ni=1 aiχEi

la decompositionde f en combinaison lineaire de fonctions caracteristiques. On suppose ai ≥ 0, ∀i ∈1, 2, . . . , n. On definit l’integrale de f sur X, relativement a la mesure µ par :

∫X

fdµ =n∑i=1

aiµ(Ei) ∈ R ∪ +∞.

Si∫Xfdµ est finie, on dira que f est integrable sur X.

2. Plus generalement, si P ⊂ X est une partie mesurable de X, et f est comme au(1), on definit : ∫

P

fdµ =n∑i=1

aiµ(P ∩ Ei) ∈ R ∪ +∞.

Remarque 2.2.2 Si f est comme ci-dessus, et si (Fi)1≤i≤m est une autre partition de Xen parties mesurables, telle que la restriction de f a chacune de Fi est constante (f(x) =bi, ∀x ∈ Fi, i ∈ 1, 2, . . . ,m), alors on a aussi

∫Xfdµ =

∑mi=1 biµ(Fi) ∈ R ∪ +∞.

Cela provient de la propriete d’additivite de la mesure µ.

Proposition 2.2.3 Soient f et g deux fonctions etagees, mesurables, a valeurs positivessur X.

1. Si f ≤ g, alors,∫Xfdµ ≤

∫Xgdµ.

2. Si λ est un reel positif ou nul, alors∫Xλfdµ = λ

∫Xfdµ (avec la convention

0.∞ = 0).

3.∫X

(f + g)dµ =∫Xfdµ+

∫Xgdµ.

Demonstration: (1) provient de (3), en ecrivant g = f + (g − f) ; (2) est evident.Montrons (3). Soient f =

∑aiχEi

, et g =∑bjχFj

les decompositions canoniques def et g respectivement. Pour chaque couple (i, j), posons Gi,j = Ei ∩ Fj. Alors Gi,jest une partition de X, en sous ensembles mesurables, sur chacun desquels f + g estconstante. On a donc

∫X

(f + g)dµ =∑

i,j(f + g)|Gi,j=∑

i,j f|Gi,j+∑

i,j +g|Gi,j=∑

i(∑

j f|Gi,j) +∑

j(∑

i g|Gi,j) =

∑i f|Ei

+∑

j g|Fj) =

∫Xfdµ+

∫Xgdµ.

•

10

2.2.2 Integration des fonctions mesurables positives.

Definition 2.2.4 [Integrale de Lebesgue.] Soit f une fonction mesurable a valeurs reellespositives sur l’espace mesure (X,µ). On definit :∫

X

fdµ = Sup∫X

gdµ,

le Sup etant pris sur l’ensemble des fonctions mesurables, etagees, positives g, qui sontmajorees par f . On dira que f est integrable (sur X) si

∫Xfdµ <∞.

Theoreme 2.2.5 [Theoreme de convergence monotone de Lebesgue, ou de Beppo-Levi.]Soit (fn)n∈N une suite croissante de fonctions mesurables, positives sur (X,µ), conver-geant simplement vers une fonction f . On a :∫

X

fdµ = Supn∫X

fndµ.

Demonstration: Soit n ∈ N. Toute fonction etagee majoree par fn est aussi majoreepar f , ce qui montre que

∫Xfdµ ≥

∫Xfndµ. Par passage au Supn, on a :

∫Xfdµ ≥

Supn∫Xfndµ. Il suffit donc de montrer l’inegalite inverse. Soit s une fonction etagee,

mesurable, positive, majoree par f . Soit 0 < c < 1 un reel quelconque. Pour chaquen ∈ N, definissons En = x ∈ X/fn(x) ≥ c.s(x). Comme (fn)n∈N est une suitecroissante, qui converge simplement vers f , on a : En ⊂ En+1, et : ∪n∈NEn = X. De plus,∫Xfndµ ≥

∫Enfndµ ≥

∫Enc.sdµ. D’ou : Supn

∫Xfndµ ≥ Supn

∫Enc.sdµ = c

∫Xsdµ.

Comme cette inegalite est vraie pour tout reel 0 < c < 1, on a : Supn∫Xfndµ ≥

∫Xsdµ.

Enfin, en passant au Sup sur les fonctions etagees s, majorees par f , on obtient leresultat.

•

Corollaire 2.2.6 On a : ∫X

fdµ = Sup∫X

fndµ,

les (fn)n∈N etant une suite croissante quelconque de fonctions etagees, mesurables, posi-tives, convergeant simplement vers f . (On peut, par exemple, utiliser la suite construitedans la demonstration du theoreme 2.1.4.)

On verifie alors facilement :

Corollaire 2.2.7 Les proprietes de l’integrale enumerees dans la proposition 2.2.3 res-tent vraies pour des fonctions f et g, mesurables, a valeurs positives.

2.2.3 Integration des fonctions mesurables a valeurs complexes.

Definition 2.2.8 Soient (X,µ) un espace mesure. Soit f une fonction mesurable surX, a valeurs reelles (pas necessairement positives.) On definit :

∀x ∈ X, f+(x) = maxf(x), 0, f−(x) = −minf(x), 0.

11

Les fonctions f+ et f− sont mesurables, a valeurs positives (voir exercices). On les appellerespectivement partie positive et partie negative de f . On a : ∀x ∈ X, f(x) = f+(x) −f−(x).

Theoreme 2.2.9 Soit f une fonction mesurable sur (X,µ), a valeurs reelles. Les pro-prietes suivantes sont equivalentes :

1. La fonction |f | : x→ |f(x)| est integrable sur X.

2. Les fonctions f+ et f− sont integrables sur X

Demonstration: On remarque que |f | = f+ + f−.

Definition 2.2.10 Si f est une fonction mesurable sur (X,µ), on dit que f est integrablesur X, et l’on definit : ∫

X

fdµ =

∫X

f+dµ−∫X

f−dµ.

Definition 2.2.11 Plus generalement, si f est une fonction sur X a valeurs complexes,on decompose f en parties reelle et imaginaire : f = Re(f) + i.Im(f). On dit que f estmesurable (resp. integrable) si Re(f) et Im(f) sont mesurables (resp. integrables.) Si fest integrable, on pose :∫

X

fdµ =

∫X

Re(f)dµ+ i.

∫X

Im(f)dµ.

Remarque 2.2.12 On verifie facilement qu’une fonction a valeurs complexes est integrablesi et seulement si |f | est integrable (le faire !).

2.3 Theoreme de convergence dominee.

2.3.1 Rappels sur limite sup.

Definition 2.3.1 Soit (an)n∈N une suite de nombres reels.

1. On appelle limite superieure de la suite (an)n∈N, la quantite :

lim sup(an) = limn→∞(Supam /m ≥ n) = Infn≥0(Supam /m ≥ n).

2. On appelle limite inferieure de la suite (an)n∈N, la quantite :

lim inf(an) = limn→∞(Infam /m ≥ n) = Supn≥0(Infam /m ≥ n).

Si la suite (an)n∈N converge vers a ∈ R∪+∞, −∞, on a lim sup(an) = lim inf(an) =a. On remarque egalement que lim sup(an) = −lim inf(−an). Enfin, si les an sont touspositifs, et lim sup(an) ≤ 0, alors lim sup(an) = 0, ce qui implique an → 0, pour n→∞.

Exemple 2.3.2 Si an = (−1)n, lim sup(an) = 1, et lim inf(an) = −1.

12

2.3.2 Lemme de Fatou.

Lemme 2.3.3 [Lemme de Fatou.] Soit (fn)n∈N une suite de fonctions mesurables avaleurs reelles, positives, sur un espace mesure (X,µ). On a :∫

X

(lim inf(fn))dµ ≤ lim inf(

∫X

fndµ)

Demonstration: Pour chaque entier k ≥ 1, definissons gk(x) = Infi≥kfi(x), x ∈ X.La suite (gk)k est une suite croissante, convergeant vers lim inf(fn). En appliquant letheoreme de convergence monotone, on obtient limk

∫Xgkdµ =

∫X

(lim inf(fn))dµ. Ona, pour tout i ≥ k :

∫Xgkdµ ≤

∫Xfidµ, et donc :

∫Xgkdµ ≤ Infi≥k

∫Xfidµ. On obtient

le resultat en passant a la limite sur k.•

Theoreme 2.3.4 [Theoreme de convergence dominee de Lebesgue.] Soit (fn)n∈N unesuite de fonctions mesurables a valeurs complexes sur un espace mesure (X,µ). Onsuppose :

1. La suite (fn)n converge simplement vers une fonction f .

2. Il existe une fonction g, integrable, sur X, telle que ∀n ∈ N, ∀x ∈ X, |fn(x)| ≤g(x).

Alors, f est integrable, et : ∫X

fdµ = limn→∞

∫X

fndµ.

Demonstration: Comme |f | ≤ g, et que g est integrable, |f | est integrable, donc f estintegrable. Posons hn = 2g − |fn − f |. La suite hn est une suite de fonctions a valeurspositives, qui converge simplement vers 2g. On peut donc appliquer le lemme de Fatou,pour obtenir :

∫X

2gdµ ≤ lim infn∫X

(2g − |fn − f |)dµ =∫X

2gdµ+ lim infn∫X

(−|fn −f |)dµ =

∫X

2gdµ − lim supn∫X

(|fn − f |)dµ. Comme g est integrable, on en deduit, enretranchant

∫X

2gdµ de chacun des membres de l’inegalite : lim supn∫X

(|fn−f |)dµ ≤ 0.Comme

∫X

(|fn−f |)dµ est positif pour tout n, il s’ensuit que lim supn∫X

(|fn−f |)dµ = 0,et donc limn

∫X

(|fn − f |)dµ = 0. Enfin, comme |∫Xfndµ−

∫Xfdµ| ≤

∫X|fn − f |dµ, on

a le resultat.•

Remarque 2.3.5 [Proprietes vraies presque partout.] Soient (X,µ) un espace mesure,et f une fonction sur X. Soit P (x) une propriete, definie pour chaque x ∈ X. On ditque f satisfait P µ−presque partout si l’ensemble E = x ∈ X/f ne verifie pas P (x)est de mesure nulle. (On dit alors que P (x) est verifiee presque pour tout x ∈ X.) Parexemple, on dira qu’une suite (fn)n converge simplement vers f , µ− presque partout,si x ∈ X/fn(x) ne converge pas vers f(x) est de mesure nulle. On peut formuler letheoreme de convergence dominee de maniere un peu plus generale :

Theoreme 2.3.6 [Theoreme de convergence presque partout dominee de Lebesgue.] Soit(fn)n∈N une suite de fonctions mesurables a valeurs complexes sur un espace mesure(X,µ). On suppose :

13

1. La suite (fn)n converge simplement presque partout vers une fonction f .

2. Il existe une fonction g, integrable, sur X, telle que, presque pour tout x ∈ X,∀n ∈ N, |fn(x)| ≤ g(x).

Alors, f est integrable, et : ∫X

fdµ = limn→∞

∫X

fndµ.

Demonstration: Soit E l’ensemble des x ∈ X tels que les hypotheses 1 ou 2 nesont pas verifiees. C’est un ensemble de mesure nulle. Soit χ la fonction indicatrice ducomplementaire de E. Il suffit de remplacer chacune des fonctions fn et f par ϕn = fn.χ,et ϕ = f.χ, respectivement. Les hypotheses du theoreme sont verifiees par ϕn, et ϕ,pour tout x ∈ X. On est alors ramenes a la demonstration precedente. De plus, on a∫Xϕndµ =

∫Xfndµ, pour tout entier n, et

∫Xϕdµ =

∫Xfdµ. La conclusion reste donc

identique.•

2.4 Mesure produit et theoreme de Fubini.

2.4.1 Tribu produit et mesure produit.

Definition 2.4.1 Soient (X, τ) et (Y,V) deux espaces mesurables.

1. On appelle rectangle mesurable dans X×Y tout ensemble de la forme A×B, avecA ∈ τ , et B ∈ V.

2. On appelle tribu produit, et l’on note τ ⊗V, la tribu sur X × Y engendree par lesrectangles mesurables.

Definition 2.4.2 Soit (X, τ, µ) un espace mesure. On dit que la mesure τ est σ−finiesi X est reunion d’une suite croissante de sous ensembles mesurables, de mesure finie.

Theoreme 2.4.3 Soient (X, τ, µ) et (Y,V , ν) deux espaces mesures. Supposons que lesmesures µ et ν sont σ−finies. Il existe alors sur (X×Y, τ⊗V) une unique mesure, noteeµ⊗ ν, telles que (µ⊗ ν)(A× B) = µ(A)ν(B), pout tout rectangle mesurable A× B, deX × Y .

Demonstration: Soit E ∈ τ ⊗ V . Pour tout y element de Y , notons Ey = x ∈X / (x, y) ∈ E. On definit alors (µ⊗ ν)(E) =

∫Yµ(Ey)dν. Montrons que µ⊗ ν est bien

une mesure : On a (µ ⊗ ν)(φ) = 0. Si (En)n∈N est une suite de parties mesurables deX×Y , deux a deux disjointes, alors pour chaque y ∈ Y , les parties (En)y, n ∈ N sontegalement deux a deux disjointes. Soit E =

⋃n∈N. On a (µ ⊗ ν)(E) =

∫Yµ(Ey)dν =∫

Y

∑n µ((En)y)dν =

∑n

∫Yµ((En)y)dν =

∑n(µ ⊗ ν)(En). (la derniere egalite etant

obtenue par le theoreme de convergence monotone.) On verifie facilement la propriete(µ⊗ ν)(A× B) = µ(A)ν(B). Enfin, si β est une mesure sur X × Y verifiant egalementcette propriete, β coincide avec µ ⊗ ν sur les rectangles mesurables de X × Y , doncegalement sur les parties de mesure finie de X×Y . Comme µ⊗ν est σ−finie, β = µ⊗ν.

•

14

2.4.2 Integration dans un espace produit.

Soient (X, τ, µ) et (Y,V , ν) deux espaces mesures. On suppose dans ce numero, que lesmesures µ et τ sont σ−finies.

Theoreme 2.4.4 [Theoreme de Fubini.]

1. Soit f : X × Y → R une fonction mesurable. Soit y ∈ Y . On definit l’appli-cation partielle fy, sur X, par fy(x) = f(x, y), pour tout x ∈ X. Alors fy estτ−mesurable.

2. Soit f une fonction mesurable sur X × Y , a valeurs positives. Alors la fonctiony →

∫Xfy(x)dµ est V−mesurable, et l’on a :∫

Y

(

∫X

fydµ)dν =

∫X×Y

fd(µ⊗ ν).

Demonstration: 1- Soit P une partie mesurable de R. Alors f−1(P ) est une partiemesurable de X × Y . Si y ∈ Y est fixe, on a f−1

y (P ) = (f−1(P ))y, qui est egalementmesurable.2- Supposons d’abord que f = χE, avec E partie mesurable de X × Y . Soit y ∈ Y ,fixe. On a :

∫Xfydµ =

∫XχEydµ = µ(Ey). En integrant cette egalite sur Y , on obtient

le resultat. Par linearite, le resultat est egalement vrai pour les fonctions etagees. Letheoreme d’approximation par des fonctions etagees, et le theoreme de convergence mo-notone donnent le resultat pour une fonction mesurable sur X × Y , a valeurs positives,quelconque.

•

Corollaire 2.4.5 Soit f une fonction integrable sur X × Y , a valeurs reelles. On a :∫Y

(

∫X

fydµ)dν =

∫X×Y

fd(µ⊗ ν).

Demonstration: On ecrit f = f+ − f−, ou f+ et f− sont les parties respectivementpositive et negative de f . Comme ces fonctions sont integrables, on a :

∫X×Y fd(µ⊗ν) =∫

X×Y f+d(µ ⊗ ν) −∫X×Y f−d(µ ⊗ ν). Le theoreme de Fubini s’applique a f+ et f−, et

donne le resultat.•

Remarque 2.4.6 On peut intervertir les espaces X et Y dans ces deux resultats. Onobtient alors des egalites permettant d’intervertir l’ordre d’integration de la fonction f ,sous les hypotheses correctes.

15

Integrale de Lebesgue - Exercices

Exercice 9 Soient f1 et f2 deux fonctions mesurables a valeurs reelles sur X. On poseM(x) = maxf1(x), f2(x), et m(x) = minf1(x), f2(x)pour tout point x ∈ X.

1. Soit a ∈ R. Exprimer M−1(]−∞, a[) et m−1(]−∞, a[) au moyen de f1 et f2.

2. En deduire que M et m sont mesurables.

3. Montrer que si f est une fonction mesurable a valeurs reelles sur (X,µ), alors f+

et f− sont egalement mesurables.

Exercice 10 Soit f : R → R la fonction definie par : f(x) = 1, si x ≥ 0, f(x) =−1 si x < 0. Soient a, r ∈ R. Calculer (au moyen d’une primitive de f) l’integraleIa(r) =

∫ a+r−a f(x)dx, puis lima→∞Ia(r). Peut-on, dans ces conditions, donner un sens

non ambigu a l’expression∫∞−∞ f(x)dx ?

Exercice 11 Soit f : R → R la fonction caracteristique de l’ensemble des rationnels.Calculer

∫Rfdλ. (ou λ est la mesure de Lebesgue sur R.)

Exercice 12 On munit R+ de la tribu borelienne, et on note λ la mesure de Lebesgue.On definit, pour tout entier n > 0, fn(x) = 1/n, si x ∈ [n, 2n], et fn(x) = 0 si x /∈ [n, 2n].

1. Montrer que chacune des fonctions fn est integrable, et calculer sont integrale.

2. Montrer que la suite de fonctions (fn)n>1 converge vers 0 uniformement, mais quela suite (

∫R+

fndλ)n>0 ne converge pas vers 0

Exercice 13 Soit X = [0, 1], muni de la mesure de Lebesgue. On definit, pour toutentier n > 0, fn(x) = n, si x ∈ [1/n, 2/n], et fn(x) = 0 si x /∈ [1/n, 2/n].

1. Verifier que chacune des fonctions fn est integrable.

2. Montrer que la suite de fonctions (fn)n>1 converge simplement vers 0, mais que lasuite (

∫Xfndλ)n>0 ne converge pas vers 0

Exercice 14 Calculer, de deux manieres differentes, l’integrale I =∫ 1

0(∑∞

n=0 xn/n!) dx.

(Utiliser une primitive de ex, puis le theoreme de Beppo-Levi.)

Exercice 15 Soit (fn)n∈N une suite decroissante de fonctions continues, a valeurs po-

sitives, definies sur [0, 1], convergeant simplement vers 0. Calculer limn→∞∫ 1

0e−fn(x) dx.

Justifier votre reponse.

Exercice 16 Verifier le lemme de Fatou avec les suites des exercices 12 et 13.

Exercice 17 Calculer limn→∞∫ 1

0(1− x/n)ndx.

16

Exercice 18 Soient (X,µ) un espace mesure, f une fonction mesurable sur X, a valeursreelles, et (fn)n∈N une suite de fonctions mesurables, a valeurs reelles positives sur X,convergeant simplement vers f .

1. Verifier l’egalite, pour n quelconque : |fn − f | = fn + f − 2.min(fn, f).

2. En deduire que si f est integrable, ainsi que toutes les fonctions (fn)n∈N, et si∫Xfndµ→

∫Xfdµ, alors

∫X|fn − f |dµ→ 0.

Exercice 19 Soit X =]0, 1], muni de la mesure de Lebesgue λ. Soit f la fonction definiesur X, par f(x) = 1/x. Soit (fn)n>0 la suite :

fn(x) = n si x ∈]0, 1/n]

fn(x) = f(x) si x ∈ [1/n, 1]

1. Montrer que la suite (fn)n converge simplement vers f .

2. Montrer que limn(∫Xfndλ) =

∫Xfdλ.

3. Montrer que l’on n’a cependant pas∫X|fn − f |dλ → 0. Pourquoi le resultat de

l’exercice precedent ne s’applique-t-il pas ici ?

Exercice 20 Soit f la fonction definie sur [0, 1] × [0, 1] par f(0, 0) = 0, et f(x, y) =(x2− y2)/(x2 + y2)2. Calculer

∫(∫fdx)dy, et

∫(∫fdy)dx. Ces deux integrales sont-elles

egales ?Indication : on pourra remarquer que (x2 − y2)/(x2 + y2)2 = Re(1/(x+ iy)2).

Exercice 21 En utilisant le theoreme de Fubini, calculer l’aire du disque Dr, de rayonr, centre en l’origine. (Utiliser les coordonnees cartesiennes.)

Exercice 22 Soit µ la mesure sur R2, produit de la mesure de Lebesgue par la mesureδ = δ1 + 2δ2. Explicitement, dµ(x, y) = dλ(x)(δ1(y) + 2δ2(y)).

1. Calculer la mesure du disque ferme, centre en l’origine, de rayon 2.

2. Soit f(x, y) = y/(1 + x2 + y2). Calculer∫R2 fdµ.

Exercice 23 Soient a > 0, et f : [0, a] → R une fonction integrable. On definit, pourtout 0 < x < a : g(x) =

∫ axf(t)/tdλ(t). Montrer que

∫]0,a]

g(x)dλ(x) =∫

[0,a]f(x)dλ(x).

17

18

Chapitre 3

Espaces Lp.

3.1 Inegalites et convexite.

3.1.1 Inegalite de Holder.

Definition 3.1.1 Une fonction ϕ, a valeurs reelles, definie sur un intervalle ]a, b[⊆ Rest dite convexe, si pour tout x ∈]a, b[, et pour tout 0 ≤ t ≤ 1, on a :

ϕ((1− t)a+ tb) ≤ (1− t)ϕ(a) + tϕ(b).

Une fonction ϕ, reelle et differentiable est convexe, si et seulement si la derivee de ϕ estmonotone croissante.

Definition 3.1.2 Soient p et q deux nombres reels strictement positifs. On dit que (p, q)est un couple d’exposants conjugues si 1/p + 1/q = 1. On etend cette definition au casou l’un des deux nombres p ou q vaut 1, en posant l’autre egal a +∞. Ainsi, (1,+∞)est egalement un couple d’exposants conjugues.

Theoreme 3.1.3 [Inegalite de Holder.] Soient p et q deux exposants conjugues, avec1 < p < ∞. Soit (Xµ) un espace mesure. Soient f et g deux fonctions mesurables surX, a valeurs reelles positives. On a :∫

X

fg dµ ≤ (

∫X

fp dµ)1/p (

∫X

gq dµ)1/q

Demonstration: Posons A = (∫Xfp dµ)1/p, et B = (

∫Xgq dµ)1/q. On peut supposer

que 0 < A,B < ∞, les autres cas etant evidents. Soient F = f/A, et G = g/B. On a :∫XF p dµ =

∫XGq dµ = 1. Soit x ∈ X, tel que f(x) 6= 0, et g(x) 6= 0. On peut trouver

deux reels s, et t, tels que F (x) = es/p, et G(x) = et/q. Comme la fonction exponentielleest convexe, on a : es/p+t/q ≤ es/p + et/q, c’est a dire : F (x)G(x) ≤ F (x)p/p +G(x)q/q.En integrant sur X, on obtient :

∫XFGdµ ≤ 1/p + 1/q = 1, ce qui implique le resultat.

•

19

3.1.2 Inegalite de Minkowski.

Theoreme 3.1.4 [Inegalite de Holder.] Soit p tel que 1 ≤ p <∞. Soit (X,µ) un espacemesure. Soient f et g deux fonctions mesurables sur X, a valeurs reelles positives. Ona :

(

∫X

(f + g)p dµ)1/p ≤ (

∫X

fp dµ)1/p + (

∫X

gp dµ)1/p

Pour p = q = 2, cette inegalite est egalement appelee inegalite de Schwarz.

Demonstration: Si p = 1, le resultat est evident. Supposons p > 1. Soit q l’exposantconjugue de p. L’inegalite de Holder donne :

∫Xf(f + g)p−1 dµ ≤ (

∫Xfp dµ)1/p(

∫X

(f +

g)(p−1)q dµ)1/q, et :∫Xg(f + g)p−1 dµ ≤ (

∫Xgp dµ)1/p(

∫X

(f + g)(p−1)q dµ)1/q. En addition-

nant ces deux inegalites, on obtient :∫X

(f+g)p dµ ≤ [(∫Xfp dµ)1/p+(

∫Xgp dµ)1/p](

∫X

(f+

g)(p−1)q dµ)1/q. Comme (p − 1)q = p, cette derniere inegalite devient :∫X

(f + g)p dµ ≤[(∫Xfp dµ)1/p + (

∫Xgp dµ)1/p](

∫X

(f + g)p dµ)1/q. Enfin, comme 1/p+ 1/q = 1, on obtient

le resultat en divisant les deux membres de l’inegalite par (∫X

(f + g)p dµ)1/q.•

3.2 Les semi-normes ‖.‖p.

3.2.1 Le cas 1 ≤ p <∞.

Definition 3.2.1 Soit 1 ≤ p < ∞. Soit (X,µ) un espace mesure. Pour toute fonctionf , mesurable sur X, a valeurs complexes, on pose :

‖f‖p = (

∫X

|f |p dµ)1/p

Definition 3.2.2 On notera Lp(X) l’ensemble des fonctions mesurables f , sur X, tellesque ‖f‖p <∞. (On dit qu’une telle fonction est de puissance p integrable.)

Proposition 3.2.3 Soient 1 < p, q < ∞ deux exposants conjugues. Soit (X,µ) unespace mesure. Soient f et g deux fonctions mesurables sur X. On a :

1. Si f ∈ Lp(X), et g ∈ Lq(X), alors fg ∈ L1(X), et : ‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q.2. Si f ∈ Lp(X), et g ∈ Lp(X), alors f + g ∈ Lp(X), et : ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Demonstration: (1) est une reecriture de l’inegalite de Holder pour |f | et |g|. (2)Provient, de la meme maniere, de l’inegalite de Minkowski, et de |f + g| ≤ |f | + |g|.On remarque, d’apres (2) de cette proposition, que Lp(X) est un espace vectoriel. (Lastabilite de Lp(X) par multiplication par un scalaire est evidente.) De plus, ‖.‖p verifieles proprietes definissant une norme, sauf ‖f‖p = 0 ⇒ f = 0 (on a seulement f = 0presque partout). On definira par la suite des espaces Lp(X), quotients de Lp(X), surlesquels ‖.‖p est bien une norme.

20

3.2.2 L’espace L∞(X)

Definition 3.2.4 Soit f ne fonction mesurable sur (X,µ). On appelle supremum es-sentiel de f le reel :

Supp− ess(f) = InfC/|f(x)| < C, pour presque tout x ∈ X.

On note egalement ‖f‖∞ le supremum essentiel de f . On definit L∞(X) = f, mesurable sur X /‖f‖∞ <∞.

Les inegalites de Holder et de Minkowski se generalisent au cas p =∞ :

Proposition 3.2.5 Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ deux exposants conjugues. Soit (X,µ) unespace mesure. Soient f et g deux fonctions mesurables sur X. On a :

1. Si f ∈ Lp(X), et g ∈ Lq(X), alors fg ∈ L1(X), et : ‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q.2. Si f ∈ Lp(X), et g ∈ Lp(X), alors f + g ∈ Lp(X), et : ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Demonstration: 1) Il reste a considerer le cas p = 1, q =∞. Par definition du supre-mum essentiel, |fg(x)| ≤ ‖g‖∞.|f(x)|, pour presque tout x ∈ X. Le resultat s’ensuit.2) Supposons p = ∞. Soit E1 = x ∈ X/|f(x) > ‖f‖∞, et E2 = x ∈ X/|g(x) >‖f‖∞. Soit x ∈ X − (E1 ∪ E2). On a |f + g(x)| ≤ |f(x) + |g(x)| ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.Comme E1 et E2 sont de mesure nulle, E1 ∪ E2 est egalement de mesure nulle. On abien ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

•

3.3 Les espaces Lp(X).

Definition 3.3.1 Soient f et g deux fonctions mesurables sur un espace mesure (X,µ).On definit la relation R par : fRg si f et g sont presque partout egales.

Proposition 3.3.2 La relation R est une relation d’equivalence.

Demonstration: La reflexivite et la symetrie sont evidente. Montrons que R est tran-sitive. Soient f , g, h trois fonctions mesurables sur (X,µ). Supposons que fRg, et gRh.Soient E1 = x ∈ X/f(x) 6= g(x), et E2 = x ∈ X/g(x) 6= h(x). Soit x ∈ X−(E1∪E2).On a f(x) = g(x) = h(x). Comme E1 ∪ E2 est de mesure nulle, la transitivite de R estdemontree.

•

Definition 3.3.3 Soit 1 ≤ p ≤ ∞. L’espace Lp(X) est le quotient de Lp(X) par larelation d’equivalence R. Si f ∈ Lp(X), on notera [f ] sa classe d’equivalence dansLp(X).

On rappelle que [f ] = f + g / g(x) = 0 pour presque tout x ∈ X. Si aucune confusionn’est a craindre, on fera souvent l’abus de notation consistant a noter de la meme maniereune fonction f ∈ Lp(X), et sa classe d’equivalence dans Lp(X).

21

Theoreme 3.3.4 Soit 1 ≤ p ≤ ∞. La semi-norme ‖.‖p, definie sur Lp(X) passe auquotient, et definit une norme sur Lp(X).

La demonstration de ce theoreme est laissee en exercice. Les espace Lp(X) sont desespaces vectoriels normes, complets. De tels espaces sont appeles des espaces de Banach.

22

Espaces Lp - Exercices

Exercice 24 En calculant de deux facons l’integrale : I =∫R+×R+

1/(1+x)(1+xy2) dλ(x, y),

trouver la valeur de l’integrale∫∞

0ln(t)/(t2− 1) dt. (On pourra utiliser la decomposition

en elements simples : 1/(1 + x)(1 + xy2) = (1/(1 + x)− y2/(1 + xy2))/(1− y2).)

Exercice 25 Montrer que pour tout a > 0, on a :∫ a

0x−1/2e2xdx ≤ 3a1/6e2a/2. (Utiliser

l’inegalite de Holder pour p = 3/2, et q correctement choisi.)

Exercice 26 Soit f une fonction de carre integrable sur [0, 1]. Montrer que l’on ne peut

pas avoir en meme temps :∫ 1

0(f(x)−ex)2dx ≤ 1/4, et :

∫ 1

0(f(x)−e−x)2dx ≤ 1/4 (Utiliser

l’inegalite de Holder pour montrer que sous ces hypotheses, on a∫ 1

0|f(x) − ex|dx ≤

1/2, et :∫ 1

0|f(x) − e−x|dx ≤ 1/2. Puis, l’inegalite triangulaire pour montrer qu’alors :∫ 1

0|ex − e−x|dx ≤ 1. Conclure a une contradiction.

Exercice 27 Soit (X,µ) un espace mesure. On suppose que µ(X) < ∞. Soient p et qdeux reels, avec 1 ≤ q ≤ p. Montrer que Lp(X) ⊂ Lq(X). (On pourra distinguer les casp =∞, et p <∞.)

Exercice 28 1. Soit (X,µ) un espace mesure. On suppose q ≤ p. Montrer queLq(X) ∩ L∞(X) ⊂ Lp(X).

2. On munit N de la mesure de comptage. Deduire de la question precedente queLq(N) ⊂ Lp(N), si 1 ≤ q ≤ p.

Exercice 29 Trouver une fonction f , qui soit integrable sur R, mais pas de carreintegrable. Trouver une fonction g, qui soit de carre integrable sur R, mais pas integrable.

Exercice 30 Soient f1(t) = e−t, et f2(t) = 1/√t(1+ |ln(t)|), definies sur R+. Dire pour

quelles valeurs de p ∈ [1,∞], f1, respectivement f2 sont dans Lp(R+).

Exercice 31 Soit (X,µ) un espace mesure. On suppose que µ(X) = 1. Soit f une fonc-tion mesurable sur X, a valeurs reelles et strictement positives. Montrer que (

∫Xfdµ)(

∫X

(1/f)dµ) ≥1. La valeur 1 peut-elle etre atteinte ?

Exercice 32 Soient f et g deux fonctions integrables sur R. On definit, pour tout t ∈R : f ?g(t) =

∫Rf(s)g(t−s)ds. Montrer que f ?g est integrable sur R, et que ‖f ?g‖1 ≤

‖f‖1 ‖g‖1.

23

24

Chapitre 4

Convolution et series de Fourier.

4.1 Les espaces Lp(T).

4.1.1 Definition et proprietes elementaires.

Definition 4.1.1 On notera T le cercle unite dans R2, et θ la mesure de Lebesguenormalisee sur T. On a alors :

∫Tdθ = 1.

Soit 1 ≤ p ≤ ∞ on note Lp(T) l’espace des (classes de) fonctions mesurables, f , sur T,telles que ‖f‖p <∞.

Proposition 4.1.2 1. Soit p un reel quelconque, 1 ≤ p <∞ ; Lp(T) est le completede C(T) pour la norme : ‖f‖pp =

∫T|f(θ)|pdθ.

2. Pour tous p, q, tels que 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. Pour toute fonction f ∈ C(T), ‖f‖∞ ≥‖f‖p ≥ ‖f‖q.

3. Pour tous reels p, q, tels que 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞, C(T) ⊂ Lp(T) ⊂ Lq(T) ⊂ L1(T).Les inclusions sont continues.

Demonstration: (1) sera demontre dans la suite du chapitre.(2) Si p = ∞, le resultat est evident. Supposons donc p < ∞. Soient F = |f |q, et 1la fonction constante sur le cercle, partout egale a 1. Soient P = p/q, et Q l’exposantconjugue de P . L’inegalite de Holder donne :

∫TF.1dθ ≤ (

∫TF Pdθ)1/P , c’est a dire :∫

T|f |qdθ ≤ (

∫T|f |pdθ)q/p, d’ou le resultat.

(3) est une consequence de (2).•

4.2 Convolution et approximation.

Definition 4.2.1 Soient f et g deux fonctions dans L1(T). On definit le produit deconvolution de f et g par :

f ? g(θ) =

∫T

f(θ′)g(θ − θ′)dθ′.

25

Proposition 4.2.2 1. On a : ‖f ? g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1.2. Si g ∈ C(T), alors f ? g ∈ C(T), et : ‖f ? g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖∞.

Demonstration: 1- On calcule : ‖f ? g‖1 =∫dθ|∫dθ′f(θ)g(θ′ − θ)| ≤

∫ ∫|f(θ)g(θ′ −

θ)|dθ′dθ = ‖f‖1‖g‖1.2- Montrons d’abord que f ?g est continue : Soient θ1, et θ2 deux points du cercle. On a :|f ?g(θ1)−f ?g(θ2)| ≤

∫|f(θ)||g(θ1−θ)−g(θ2−θ)|dθ ≤ ‖f‖1Maxθ(|g(θ1−θ)−g(θ2−θ)|.

Cette derniere quantite tend vers 0 quand θ1 − θ2 tend vers 0, car g est uniformementcontinue. Enfin, pour tout point θ ∈ T, |f ? g(θ)| ≤

∫|f(θ − θ′)g(θ′)|dθ′ ≤ ‖f‖1‖g‖∞.

•

Remarque 4.2.3 Le (1) de la proposition ci-dessus montre que L1(T), munie du pro-duit de convolution, est une algebre de Banach.

Proposition 4.2.4 Soit (φn)n∈N une suite de fonctions dans L1(T), telle que :

1. ∀n ∈ N, φn ≥ 0 et∫φn(θ)dθ = 1.

2. ∀ε > 0, limn→∞∫θ∈[−π,π]/|θ|>ε φn(θ)dθ = 0.

Alors : ∀g ∈ C(T), φn ? g converge uniformement vers g

Demonstration: Soit g ∈ C(T), soit α > 0. Soit ε > 0, tel que |g(θ1) − g(θ2)| < α,des que |θ1 − θ2| < ε. On a : |φn ? g(θ) − g(θ)| ≤

∫ π−π φn(θ′)|g(θ − θ′) − g(θ)|dθ′ =∫

θ′∈[−π,π]/|θ′|>ε φn(θ′)|g(θ−θ′)−g(θ)|dθ′+∫ ε−ε φn(θ′)|g(θ−θ′)−g(θ)|dθ′ = I1(n, ε)+I2(n, ε).

L’integrale I1(n, ε) est majoree par 2‖g‖∞∫θ′∈[−π,π]/|θ′|>ε φn(θ′)dθ′, qui tend vers 0 quand

n tend vers l’infini. L’integrale I2(n, ε) est plus petite que α.•

Definition 4.2.5 Une telle suite de fonctions (φn)n∈N sera appelee une unite approcheede convolution.

4.3 Noyaux de Dirichlet et series de Fourier.

Definition 4.3.1 1. Pour tout entier n ∈ Z, on note en la fonction continue sur lecercle definie par : en(θ) = einθ, θ ∈ [−π, π].

2. Pour tout entier n ∈ Z, on definit l’operateur Pn : L1(T)→ L1(T), par : Pn(f) =f ? en, f ∈ L1(T).

Proposition 4.3.2 1. Pour tous m, n ∈ Z, em ? en = enδm,n.

2. Pour tous m, n ∈ Z, Pn est une application continue, de L1(T) dans L1(T),‖Pn‖ = 1, et Pm Pn = Pnδm,n.

3. Soient f, g ∈ L1(T), et n ∈ Z. On a : Pn(f ? g) = Pn(f) ? Pn(g).

4. Pour tout f ∈ L1(T), Pn(f) = cn(f)en, avec cn(f) =∫f(θ)e−inθdθ. Le coefficient

cn(f) est appele le n-ieme coefficient de Fourier de la fonction f .

Ici, δm,n = 1 si m = n, δm,n = 0 si m 6= n.

26

Demonstration: 1 et 4- Il suffit d’effectuer les calculs.2- On a, pour tout f ∈ L1(T), ‖Pn(f)‖1 ≤ ‖en‖∞‖f‖1 = ‖f‖1. L’operateur Pn est doncbien continu, et de norme plus petite ou egale a 1. Comme Pn(en) = en, on a ‖Pn‖ = 1.Enfin, Pm Pn(f) = em ? (en ? f) = (em ? en) ? f = en ? fδm,n = Pn(f)δm,n.3- Pn(f ? g) = f ? g ? en = f ? g ? en ? en = (f ? en) ? (g ? en) = Pn(f) ? Pn(g).

•

Corollaire 4.3.3 Soient f, g elements de L1(T).

1. On a, pour tout n ∈ Z : cn(f ? g) = cn(f)cn(g).

2. cn(f)→ 0 quand |n| → ∞.

Demonstration: 1- On a cn(f ? g)en = Pn(f ? g) = Pn(f) ?Pn(g) = cn(f)cn(g)en ? en =cn(f)cn(g)en, d’ou le resultat.2-Posons fk(x) = f(x+ π

k). On remarque, en utilisant un changement de variables simple,

que ck(fk) = −ck(f). On en deduit : 2|ck(f)| = |ck(f)− ck(fk)| ≤ ‖f − fk‖1 → 0 (k →∞) (Utiliser encore la convergence dominee.)

•

Le (2) du corollaire ci-dessus est appele le lemme de Riemann-Lebesgue.

Definition 4.3.4 Soit n ∈ N.

1. On appelle noyau de Dirichlet d’ordre n la fonction :

Dn =n∑

k=−n

ek.

2. On note Dn? l’operateur defini sur L1(T), par Dn ? (f) = Dn ? f.

3. On appelle la fonction Dn ? f la somme partielle d’ordre n de la serie de Fourierde f .

Proposition 4.3.5 1. Pour tout entier positif n,∫Dn(θ)dθ = 1.

2. Pour tout entier positif n, et θ ∈ T, Dn(θ) = sin((n+1/2)θ)sin(θ/2)

.

3. Pour tous m ≥ n ≥ 0, Dm ? Dn = Dn.

Demonstration: 1- Provient de l’egalite∫en(θ)dθ = δn (Ou δ est le symbole de Kro-

necker.)

2- On aDn(θ) = e−n(θ)∑2n

k=0 ek(θ) = e−n(θ) e2n+1(θ)−1e1(θ)−1

= sin((n+1/2)θ)sin(θ/2)

. (Diviser numerateur

et denominateur par eiθ/2.)3- S’etablit en utilisant (2) de la proposition precedente.

Proposition 4.3.6 Soit f ∈ C1(T). Alors Dn ? f → f , uniformement, quand n tendvers l’infini.

27

Demonstration: Soit θ ∈ T. On a Dn ? f(θ)− f(θ) =∫

(f(θ − θ′)− f(θ))Dn(θ′)dθ′ =∫ f(θ−θ′)−f(θ)sin(θ′/2)

(sin(nθ′)cos(θ′/2)+cos(nθ′)sin(θ′/2))dθ′. Posons gθ(θ′) = f(θ−θ′)−f(θ)

sin(θ′/2)cos(θ′/2),

et hθ(θ′) = (f(θ− θ′)− f(θ)). On a : |f(θ)−Dn ? f(θ)| ≤ |cn(gθ)|+ |c−n(gθ)|+ |cn(hθ)|+

|c−n(hθ)|. La fonction hθ est continue, donc integrable. Comme f est C1, la fonctiongθ est egalement continue, donc integrable. Le lemme de Riemann-Lebesgue permet deconclure pour la convergence simple. Montrons maintenant que la suite (Dn ? f)n∈Nest equicontinue. Posons chn(θ) = cn(hθ). Soit α ≥ 0. On a : |chn(θ + α) − chn(θ)| ≤∫

(|f(θ − θ′) − f(θ + α − θ′)| + |f(θ + α) − f(θ)|)dθ′. Cette quantite est independantede n, et tend vers 0, uniformement par rapport a θ, quand α tend vers 0 (car f estuniformement continue.) Posons de meme cgn(θ) = cn(gθ). On a : |cgn(θ + α) − cgn(θ)| ≤2∫| 1sin(θ′/2)

[(f(θ−θ′)−f(θ))−(f(θ+α−θ′)−f(θ+α))]|dθ′. Comme f est C1, l’integraleest une fonction continue de θ, donc uniformement continue. Comme l’integrale estindependante de n, on conclut a l’equicontuinite de la suite (Dn ? f)n∈N .

•

La premiere partie de la demonstration ci-dessus permet egalement d’enoncer :

Proposition 4.3.7 Soit f une fonction continue sur T. Si f est derivable en θ0 ∈ T,alors, (Dn ? f)(θ0)→ f(θ0), quand n tend vers l’infini.

Une autre variante est le theoreme de Dirichlet, dont la demonstration sera traitee enexercices :

Theoreme 4.3.8 [Theoreme de Dirichlet.] Soit f une fonction continue par morceauxsur T. Soit θ0 un point du cercle, en lequel f admet une derivee a droite et une deriveea gauche. Alors (Dn ? f)(θ0)→ (f(θ0+) + f(θ0−))/2, quand n tend vers l’infini.

28

Convolution et series de Fourier - Exercices

Exercice 33 Soit f ∈ C1(T). Soit n ∈ Z. Calculer cn( ddθf) en fonction de cn(f).

Exercice 34 Soient f, g ∈ L2(T). On note (•|•) le produit scalaire dans L2(T). Expli-citement, pour toutes f, g ∈ L2(T), on a (f |g) =

∫Tf(θ)g(θ)dθ.

1. Montrer que les fonctions (en)n∈N constituent un systeme ortho-norme, c’est adire : (en|em) = δm,n.

2. Soit k ∈ Z. Montrer que (Pkf |g) = (f |Pkg) = (Pkf |Pkg).

3. En deduire |ck|2 = (Pkf |Pkf) = (Pkf |f), pour tout k ∈ Z.

4. Soit n ∈ N. Montrer que ‖Dn ? f‖22 =∑n

k=−n ‖Pkf‖2.5. En utilisant l’inegalite de Cauchy-Schwarz et la question precedente, montrer que‖Dn ? f‖22 ≤ ‖Dn ? f‖2‖f‖2.

6. En deduire ‖Dn ? f‖2 ≤ ‖f‖2., pour tout entier naturel n.

7. En deduire que si f ∈ L2(T), la suite (ck(f))k∈Z est de carre sommable.

Note : On verra par la suite que ‖f‖22 =∑

k |ck|2.

Exercice 35 Soit k un entier naturel. En utilisant les deux exercices precedents, mon-trer que si f ∈ Ck(T), la suite (nkcn)n∈Z est de carre sommable.

Exercice 36 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions convergeant vers f dans L1(T). Mon-trer que ck(fn) tend vers ck(f), quand n tend vers l’infini, et que la convergence estuniforme par rapport a k. En deduire que (φn)n∈N est une unite approchee de convolu-tion, et k ∈ Z est fixe, alors ck(φn)→ 1, quand n tend vers l’infini.

Exercice 37 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions sur le cercle, convergeant simplementvers une fonction f . On suppose que ‖fn‖∞, n ∈ N est borne. Montrer que ck(fn)tend vers ck(f), quand n tend vers l’infini.

Exercice 38 1. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f , definie par :f(θ) = 0 si x ∈ −π, 0

f(θ) = −1 si x ∈]− π, 0[

f(θ) = 1 si x ∈]0, π[

2. En deduire :∑∞

n=0(−1)n

2n+1= π

4.

Exercice 39 Soit f(θ) = π2 − θ2, θ ∈]− π, π].

1. Calculer les coefficients de Fourier de f .

2. En deduire les valeurs de∑∞

n=11n2 ,∑∞

n=01

(2n+1)2,∑∞

n=11n4 .

Exercice 40 Soit f(θ) = π − |θ|, θ ∈]− π, π].

29

1. Calculer les coefficients de Fourier de f .

2. En deduire la valeur de∑∞

n=01

(2n+1)2.

Exercice 41 Soient f une fonction continue par morceaux sur T, et τ un point ducercle, en lequel f admet une derivee a droite et une derivee a gauche.

1. On pose, pour tout θ ∈ T :

ϕ+(θ) =f(τ + θ)− f(τ+)

2sin(θ/2), ϕ−(θ) =

f(τ − θ)− f(τ−)

2sin(θ/2).

Soit n ∈ N. Montrer que i[(Dn ?f)(τ)− 12(f(τ+)+f(τ−))] = [

∫ π0ϕ+(θ)ei(n+ 1

2)θdθ−∫ π

0ϕ+(θ)e−i(n+ 1

2)θdθ] + [

∫ π0ϕ−(θ)ei(n+ 1

2)θdθ −

∫ π0ϕ−(θ)e−i(n+ 1

2)θdθ].

2. Conclure en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue.

Exercice 42 Soit f(θ) = π2 − θ2, θ ∈]− π, π].

En calculant∫ π/2−π/2 f(t)dt, trouver la somme de la serie

∑n≥0

(−1)n

(2n+1)3. (Justifier la methode

employee.) Peut-on, en integrant 2 fois la fonction f , calculer∑

n>01n4 ? (Faire le calcul,

et comparer aux resultats des exercices precedents.) Pourquoi ?

30

Chapitre 5

Changements de variables dans Rn.

Dans ce chapitre, on travaillera avec l’espace Rn (n entier positif quelconque, non nul).On suppose choisi un repere orthonorme R, de Rn, et l’on notera x = (x1, x2, . . . , xn)les coordonnees d’un point x ∈ Rn, dans ce repere. L’espace Rn sera muni de la mesureborelienne, notee λ.

5.1 Diffeomorphismes et Jacobien.

Definition 5.1.1 Soient U et V deux ouverts de Rn. Soit ϕ une application de U dansV . On notera ϕ(x) = (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn(x)) l’image d’un point x ∈ Rn. On dit que :

1. ϕ est un homeomorphisme, si ϕ est bijective, continue, et si ϕ−1 est egalementcontinue.

2. ϕ est de classe C1, si les derivees partielles ∂ϕi/∂xj, i, j ∈ 1, 2, . . . n existent etsont continues sur U . (Noter que ϕ est alors differentiable sur U .)

3. ϕ est un diffeomorphisme, si ϕ est bijective de classe C1, et son inverse estegalement de classe C1

Exemples 5.1.2 Les translations sont des diffeormorphisme de classe C1. L’applicationϕ(x) = x2, x ∈ R, n’est pas un diffeomorphisme de R sur R (elle n’est pas bijective),mais est un diffeomorphisme, de ]0, 1[, sur ]0, 1[, ou de R∗+ sur mui-meme, par exemple.

Definition 5.1.3 Soit ϕ une application de classe C1 sur un ouvert U , de Rn. Onappelle Jacobien de ϕ, et l’on note Jϕ la matrice de fonctions :

(Jϕ)i,j(x) =∂ϕi∂xj

(x), pour tout x ∈ Rn.

5.2 Formule de changement de variables.

Theoreme 5.2.1 Soient U et V deux ouverts de Rn. Soit ϕ un diffeomorphisme, de Usur V . Soit f une fonction mesurable, definie sur V .

31

1. Si f est a valeurs positives, on a :∫V

f(v)dλ(v) =

∫U

f ϕ(u) |Jϕ(u)|dλ(u).

2. Si f est de signe quelconque, et absolument integrable sur V , la formule du (1)rest vraie.

Demonstration: (Idee generale.) On demontre d’abord le theoreme dans le cas ou f estla fonction indicatrice d’un pave de Rn, puis, par additivite, pour les fonctions etageespositives. On utilise ensuite le theoreme d’approximation vu dans le chapitre 2. Pour fde signe quelconque, on applique (1) aus parties positive et negative de f , puis on utilisea nouveau l’additivite de l’integrale. L’hypothese ”f est absolument integrable” assureque l’on aboutira a la difference de deux quantites finies.

•

Remarque 5.2.2 On utilise en general les notations memotechniques suivantes : v =ϕ(u), dv = dv1dv2 . . . dvn = |Jϕ(u)|du1du2 . . . dun = |Jϕ(u)|du. Ces notations se jus-tifient par les hypotheses faites pour la formule de changement de variables. Celles-cipermettent en effet, d’appliquer le lemme de Fubini, et donc de decomposer l’integralesur V en une integrale multiple, par rapport aux variables ui et vi.

5.3 Quelques exemples de changement de variables.

5.3.1 Coordonnees polaires dans le plan.

Ici, U = V = R2. On utilise habituellement les notations u1 = r, u2 = θ, et v1 = x, v2 =y. L’application ϕ est definie par x = ϕ1(r, θ) = r cos(θ), y = ϕ1(r, θ) = r sin(θ). Lejacobien est donne par

Jϕ(r, θ) =

(cos(θ) −rsin(θ)sin(θ) rcos(θ)

).

On retrouve la formule connue dxdy = rdrdθ.

5.3.2 Coordonnees spheriques.

Le changement de variables est : x = rcos(θ)sin(φ), y = rsin(θ)sin(φ), z = rcos(φ). Ona : dxdydz = r2sin(φ)drdθdφ. (Ici, ϕ est la colatitude, variant de 0 a π.) Verifier cela enexercice !

32

Changements de variables dans Rn - Exercices

Exercice 43 Calculer l’aire circonscrite par l’ellipse d’equation x2

a2 + y2

b2= 1. Ici, a, b

sont deux reels non nuls quelconques.

Exercice 44 Soit f une fonction absolument integrable sur l’intervalle [−1, 1]. Montrer

que∫

[−π/2,π/2]f(sinx)dx =

∫]−1,1[

f(t)√1−t2dt. Le changement de variable utilise est-il valable

pour x ∈ [0, 2π] ? Pourquoi ? Contre-exemple ?

Exercice 45 Soient a, b, α, β quatre reels, avec a et b strictement positifs, et β > α ≥ 0.On considere le domaine D, du plan, defini par les inegalites :

x > 0, y > 0,1

4<x2

a2+y2

b2< 1, α <

y

x< β.

Faire un dessin representant D. Calculer I =∫Db2x2−a2y2

x2 dxdy. (On pourra utiliser,apres l’avoir justifie, le changement de variables en coordonnees polaires (ρ, θ) : (x, y) =(aρcosθ, bρsinθ).

33

34

Chapitre 6

Exercices supplementaires.

Exercice 46 Soient (X,µ) et (Y, ν) deux espace mesures. Soit f une fonction mesurablesur X × Y .Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes :

1. f est integrable sur X × Y .

2.∫X

(∫Y|f |dν)dµ <∞

3.∫Y

(∫X|f |dµ)dν <∞

Montrer qu’alors :∫X

(∫Yfdν)dµ =

∫Y

(∫Xfdµ)dν.

Exercice 47 Calculer et justifier : limn→∞∫ 1

01

1+x+x2+...+xn

Exercice 48 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions, definies sur un intervalle [a, b] ⊂ R,

convergeant uniformement vers une fonction f . Montrer que :∫ baf(x)dx = limn→∞

∫ bafn(x)dx.

Exercice 49 Soit Ω un ouvert de R. Soient t1, t2 deux reels quelconques. Soit f unefonction continue sur Ω × [t1, t2]. On definit F (x) =

∫ t2t1f(x, t)dt, x ∈ Ω. Montrer que

F est continue sur Ω.

Exercice 50 Soit Ω un ouvert de R. Soit f une fonction continue sur Ω×R. On supposequ’il existe g, integrable sur R, telle que |f(x, t)| ≤ g(t), pour tout (x, t) ∈ Ω ×R. Ondefinit F (x) =

∫Rf(x, t)dt. Montrer que F est continue sur Ω.

Exercice 51 Soit Ω un ouvert de R. Soient t1, t2 deux reels quelconques. Soit f unefonction continue sur Ω × [t1, t2]. On suppose que la derivee partielle ∂f/∂x existe,et est continue sur Ω × [t1, t2]. On pose F (x) =

∫ t2t1f(x, t)dt, x ∈ Ω. Montrer que

∂F∂x

(x) =∫ t2t1

∂f∂x

(x, t)dt.

Exercice 52 Soit Ω un ouvert de R. Soit f une fonction continue integrable sur Ω×R.On suppose que la derivee partielle ∂f/∂x existe, est continue sur Ω×R, et qu’il existeune fonction integrable g, sur R, telle que |∂f

∂x(x, t)| ≤ g(t), pour tout (x, t) ∈ Ω × R.

On definit F (x) =∫Rf(x, t)dt. Montrer que ∂F

∂x(x) =

∫R∂f∂x

(x, t)dt.

35