M A T E M T I C A E C U L T U R A : D E C I M A I S ,M E D I D A S E S I S T E M A M O N E T R I O

Cristiano Alberto Muniz

Carmyra Oliveira Batista

Erondina Barbosa da Silva

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Estado do AcreGovernadorArnbio Marques de Almeida JniorVice-GovernadorCarlos Csar Correia de MessiasSecretaria de Estado de Educao do AcreMaria Corra da SilvaCoordenadora de Ensino Superior da SEEAMaria Jos Francisco Parreira

Fundao Universidade de Braslia FUB/UnBReitorTimothy Martin MulhollandVice-ReitorEdgar Nobuo MamiyaDecano de Ensino e GraduaoMurilo Silva de CamargoDecano de Pesquisa e Ps-graduaoMrcio Martins Pimentel

Faculdade de Educao FE/UnBDiretoraIns Maria Marques Zanforlin Pires de AlmeidaVice-Diretora e Coordenadora GeralLaura Maria CoutinhoCoordenadora PedaggicaSlvia Lcia SoaresCoordenador de TecnologiasLcio Frana TelesCoordenao PedaggicaMaria Madalena TorresSecretaria do CursoAntonilde Gomes BomfimMaria Cristina Siqueira MelloAdministrao da PlataformaJoviniano Rabelo JacobinaSetor FinanceiroFrancisco Fernando dos Santos SilvaCoordenao IntermediriaAureclia Paiva RuelaJos Ferreira da SilvaMaria Lucilene Belmiro Melo AccioNilzete Costa de MeloRobria Vieira Barreto Gomes

Professores (as) Mediadores (as)Adima Jafuri MaiaAdriana Arajo de FariasAdriana Martins de OliveiraAleuda Soares Dantas TumaAna Cludia de Oliveira SouzaAna Maria Agostinho FariasAntonio Auclio A de AlmeidaAntonio do Socorro da Silva CostaArtemiza Barros PimentelAulenir Souza de ArajoCarmem Cesarina Braga PereiraCtia Maria da Silva SilvanoCristiano Almeida BarrosDomingas Pereira da Costa FerreiraEliana Maia de LimaElizete Maia de Limarica MedeirosGeania Mendona da Costa

Gercineide Maria da Silveira FernandesHevellin de Figueiredo FlixHilda Jordete MarinhoIvanir Oliveira de LimaJocileia Braga de SouzaJorge Gomes PinheiroJos Ribamar Gomes AmaralLeidissia Alves de CastroLuciana M Rodrigues de LimaLuciene Nunes CalixtoLucilene de Andrade MoreiraLuiz Augusto da Costa dos SantosMrcia da Silva QueirozMrcia Maria de Assis AlencarMaria Cirlene Pontes de PaivaMaria de Nazar Ferreira PontesMaria do Carmo de Lima GomesMaria do Rosrio Andrade SenaMaria Itamar Isdio de Almeida

Maria Izaunira N.da silvaMaria Mirnes Soariano OliveiraMaria Zenilda de Lima CorreiaMarilza da Silva RodriguesMiraclia M Freire de MouraMirna Suelby MartinsNadir Silva de SouzaNorma M da Silva Norma Maria Vasconcelos BaladoPedro Lopes da SilvaRenilda Moreira ArajoRita de Cssia Machado MommeratSmia Gonalves da SilvaSonja Priscila Vale de F. FernandesUilians Correia CostaVnia Maria Maciel TaveiraVanucia Nunes Valente CalixtoVera M de Souza Moll

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Mo694 Mdulo IV: Matemtica e Cultura: Decimais, Medidas e Sistema Monetrio / Cristiano Alberto Muniz, Carmyra Olivei-ra Batista, Erondina Barbosa da Silva. Braslia : Universidade de Braslia, 2008. 109 p. 1. Educao a distncia. 2. Matemtica. 3. Sistema Mobetrio. 4. Nmeros Decimais. I. Muniz, Cristiano Alberto. II. Batista, Car-myra Oliveira. III. Silva, Erondina Barbosa da IV. Universidade de Braslia.

CDD 574ISBN: 978-85-230-0957-5

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Sumrio

Conhecendo os autores _____________ 8

Apresentao _____________________ 10

1 Nmeros Decimais _______________ 15

Adio e Subtrao de Decimais _______________________ 22

Mistrio na Escola ____________________________________ 22

Caixa de dcimos ____________________________________ 24

Agora hora da pesquisa _____________________________ 25

Representando preos ________________________________ 28

Simulando mercadinho _______________________________ 28

Substituindo o material concreto por dinheiro ___________ 28

Introduzindo a idia de metro, decmetro e centmetro ____ 28

Hora de subir na balana ______________________________ 28

Observando o odmetro do carro ______________________ 29

Medindo temperaturas _______________________________ 29

Pesquisando peso de animais _________________________ 29

Brincando com boliche de decimais ____________________ 29

Salto em distncia ___________________________________ 29

Mercadinho _________________________________________ 31

Registro de Valores __________________________________ 34

Resoluo de Problemas ______________________________ 35

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Multiplicao e Diviso de Nmeros Decimais ___________ 35

O Material Dourado __________________________________ 36

Confeccionando uma caixa de 1 decmetro cbico ________ 37

baco Horizontal ____________________________________ 38

Representando medidas de capacidade no baco ________ 40

Composio nutricional de alimentos ___________________ 40

Medindo estatura e partes do corpo ____________________ 41

Pesando produtos ___________________________________ 41

Construindo um baco _______________________________ 41

baco Vertical _______________________________________ 41

Multiplicao de Decimais ____________________________ 42

Natural: Natural _____________________________________ 44

Decimal: Natural _____________________________________ 47

2 Medidas ________________________ 53

Medidas no Currculo de Matemtica no Ensino Fundamental ____________________________________________________ 58

Medidas de Comprimento_____________________________ 65

Construindo o campo de queimada ou golzinho _________ 66

Confeccionando bandeirolas para a festa junina _________ 66

Medindo os palmos __________________________________ 67

Medindo objetos e distncias em grupo _________________ 68

Medindo a estatura dos estudantes Medindo a estatura dos es-tudantes ____________________________________________ 70

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Construindo rguas __________________________________ 71

Construindo a percepo do quilmetro ________________ 72

Construindo o decmetro _____________________________ 73

3 Medidas de Massa ________________ 77

Pesquisando tipos de balana _________________________ 80

Pesando objetos em sala de aula _______________________ 80

Construo de pesos com areia ________________________ 81

Medidas de Capacidade ______________________________ 82

Transvasamento _____________________________________ 84

Graduando recipientes _______________________________ 84

Explorando o copo de 200 ml como unidade de medida ___ 85

Medida de Superfcie _________________________________ 87

Construindo e brincando de quebra-cabea _____________ 89

Construindo o TANGRAN ______________________________ 91

Brincando com o geoquadro __________________________ 93

Brincando com malhas _______________________________ 93

Explorando a superfcie de quadrados e retngulos ______ 95

Medindo superfcies com quadradinhos de papel quadricula-do _________________________________________________ 95

Construo do metro quadrado ________________________ 95

Descobrindo a medida de superfcies com o metro quadrado ____________________________________________________ 96

Pesquisando em classificados de jornais ________________ 96

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Medindo o quadro de giz com o metro quadrado _________ 96

Descobrindo quantos decmetros quadrados tem o metro qua-drado ______________________________________________ 97

Medidas de Volume __________________________________ 97

Construindo e criando com caixas ______________________ 98

Construindo e criando com cubinhos do material dourado 98

Construindo cubos com cubinhos do material dourado ___ 99

Medindo com gua _________________________________ 100

Medindo com o fogo ________________________________ 100

Medindo o tempo com o sol __________________________ 100

Construindo ampulhetas ____________________________ 101

Construindo o relgio digital _________________________ 102

Concluso _______________________ 106

Referncias ______________________ 108

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Conhecendo os autores Oi, eu sou Cristiano, professor de matemtica, paulista, mas

criado em Braslia, onde fiz toda minha escolarizao, desde os pri-meiros anos (antigas sries) na FEDF at bacharel e licenciado pela UnB, em Matemtica. Lecionei da Alfabetizao (Projeto Minerva) ao Ensino Mdio em escolas particulares, Colgio Militar de Braslia (onde fui coordenador) de escolas pblicas do DF. Na FEDF fui pro-fessor (Ceilndia e Sobradinho) e coordenador central de Matem-tica, na dcada de 80, quando coordenei a mudana curricular de Matemtica, ocorrida a partir de 1985.

Assim que conclu a graduao na UnB, a ela voltei a convite da prof Nilza E. Bertoni para participar do grupo de pesquisa em educao matemtica.

Desde ento realizo estudos e pesquisas buscando melhor compreender a criana, o jovem e o adulto como seres matemti-cos, para, ento, repensar a nossa atuao enquanto professores e educadores.

Aps o mestrado em Educao Brasileira pela UnB, realizei es-tudos de doutorado (financiado pelo CNPq) na Universit de Paris Nord como pesquisador integrante do Groupe de Recherche sur les Ressources Educatives et Culturelles, sob a direo do professor Dr. Gilles Brougre. Na tese, realizei, atravs de um estudo etnogrfico de atividades ldicas, uma anlise das atividades matemticas es-pontneas de grupo de crianas de 6 a 14 anos de vrias origens tnicas. Essa tese, Jogos de sociedade e atividade matemtica na criana, foi apontada como tese destaque pelo Le Monde de lEducation de julho de 1999. A tese foi integralmente publicada em 2001, em francs, pela Press Universitaire du Septentrion.

Atualmente, desenvolvo pesquisa-ao em escola pblica do DF (Escola Classe 304 Norte) buscando estudar a Mediao do Co-nhecimento Matemtico junto a professores e crianas em situa-o de dificuldade. Invisto, sendo professor adjunto da Faculdade de Educao/FE UnB, na formao inicial e continuada de educa-dores matemticos, atuando na graduao e ps-graduao. Publi-quei pela UnB o livro Fundamentos de Educao Matemtica para anos iniciais, mdulo do curso PIE da FE-UnB.

camuniz@brturbo.com

Ol! Meu nome Erondina Barbosa da Silva. Nasci em Goi-s, mas mudei-me, aos 9 anos de idade, para Braslia a fim de dar continuidade aos estudos. Minha paixo pela matemtica nasceu da minha relao com o meu pai nos meus primeiros anos de vida, mas esta uma longa histria... Cursei os anos finais e o ensino m-dio em escolas da rede pblica de ensino do DF. Sou licenciada em Matemtica e Cincias pelo Centro de Estudos Unificados de Bras-lia CEUB.

Em 1989, ingressei na Secretaria de Educao do Distrito Federal como Professora de Matemtica. Minha primeira incurso pelo magistrio aconteceu numa cidade da periferia de Braslia, chamada Ceilndia, onde permaneci at 1993, quando passei a tra-balhar em cidades mais prximas do centro. De 1995 a 1998 exer-

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ci o cargo de Assistente da Diviso Regional de Ensino do Ncleo Bandeirante, perodo em que participei da construo, implantao e implementao do Projeto Poltico-Pedaggico Escola Candanga Uma Lio de cidadania.

De 2001 a 2005 tive a imensa alegria de atuar como coor-denadora administrativa, coordenadora de mediao, professora-mediadora e co-autora do presente mdulo do Curso de Pedagogia para Professores em exerccio no inicio de Escolarizao PIE.

Sou especialista em Administrao da Educao e em Fun-damentos Educativos para Formao de Professores da Educao Bsica pela UnB. Em 2004, conclu meu mestrado em educao com a dissertao O impacto da formao nas representaes sociais da Matemtica O caso de graduandos do Curso PIE.

erondina@gmail.com

Ol! Sou Carmyra, mulher nordestina e brasileira. Toda a mi-nha vida escolar aconteceu em escolas pblicas do Distrito Fede-ral. Fiz o curso Normal na Escola Normal de Braslia, sou habilitada em Estudos Sociais, especialista em Formao de Professores pela Universidade de Braslia-UnB, especialista em Educao Matemti-ca pela Universidade de Santa Catarina e Mestre em Educao pela UnB.

Trabalho com o ensino fundamental h 29 anos. Sou profes-sora dos anos iniciais, mas lecionei Matemtica em 5 e 6 anos da Rede Pblica do Distrito Federal na dcada de 1990. No Curso Peda-gogia para Professores em Exerccio no Incio de Escolarizao, meu querido Curso PIE, fiz parte da coordenao pedaggica de 2001 a 2003 e tambm fui professora mediadora no perodo de 2003 a 2005.

Participo de dois grupos de pesquisa aqui no Distrito Federal. Um deles o Grupo de Estudo e Pesquisa em Avaliao GEPA; o outro: Grupo de Estudo e Pesquisa em Educao Matemtica Dis-trito Federal, GEPEMDF.

Atualmente, trabalho com anos iniciais na rede pblica, e em curso de graduao, na rede privada do Distrito Federal.

Ser co-autora deste fascculo foi para mim motivo de alegria e de muita aprendizagem porque, como professora de anos iniciais, pude vivenciar a importncia da Medida Cultural juntamente com as crianas.

carmyra.batista@terra.com.br

Agradecemos o carinho e a competncia de nossa amiga Cssia Spnola pelo excelente trabalho grfico realizado neste fas-cculo.

Cristiano, Carmyra e Erondina

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Apresentao

Eu queria uma escola que lhes ensinasse a pensar, a raciocinar, a procurar solues.

Eu queria uma escola que desde cedo, usasse mate-riais concretos para que vocs pudessem ir formando corretamente os conceitos matemticos, os conceitos de nmeros, as operaes...

Usando palitos, tampinhas, pedrinhas... s porcarii-nhas!!!...fazendo vocs aprenderem brincando...

Carlos Drummond de Andrade

COMEANDO NOSSO DILOGO

Regras do Jogo

Caro professor(a) cursista,Antes de comear as nossas atividades propriamente ditas,

pensamos que talvez fosse importante esclarecer o que preten-demos, a que viemos e onde queremos chegar. Toda aula deveria ser assim, voc no acha? Todo professor deveria deixar bem claro quais so os seus objetivos e tambm solicitar que seus estudantes explicitassem quais so as suas expectativas.

Nos fascculos anteriores de Educao e Linguagem Matem-tica, tentamos lev-lo a refletir sobre o ensino da matemtica e seus significados. Voc deve ter percebido que falar sobre o ensino e, so-bretudo, sobre a aprendizagem matemtica pode ser apaixonante se tivermos uma perspectiva de contextualizao do saber mate-mtico com o nosso dia-a-dia.

No primeiro fascculo tnhamos como objetivo resgatar o seu papel, enquanto educador matemtico, produtor de conhecimen-to, que por meio da sua ao mediadora faz com que o estudante se constitua, tambm, ser matemtico e produtor de conhecimento.

Neste fascculo buscaremos concretizar esse resgate do ser matemtico tratando da importncia de nmeros com vrgulas e das medidas. Seja na prtica sociocultural, seja na construo do pensamento matemtico.

Tivemos a oportunidade de discutir e reconhecer que a mate-mtica est presente em toda a nossa trajetria de vida, em todos os nossos momentos sociais e culturais. Vamos, ento, pensar em algumas situaes do nosso dia-a-dia? Quando vamos ao merca-do, quando pagamos uma passagem de nibus, quando contamos objetos, quando vamos padaria comprar po, quando separamos as roupas, quando jogamos futebol e tantas outras mais. J imagi-naram quanta matemtica est presente em cada uma dessas situa-es e de tantas outras que nosso olhar acostumado no nos deixa perceber?

No podemos desconsiderar que temos estudantes trabalha-dores ou que partilham com a famlia dessa dinmica scio-eco-nmica. Em que medida o ensino da matemtica pode ajud-los

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a compreender melhor o contexto do mundo do trabalho e suas grandes transformaes?

Agora que voc j sabe que vamos trabalhar com os nmeros decimais e as medidas, pare e pense quais so as suas expectativas com relao a este fascculo. Quais so as suas necessidades? Pro-cure lembrar como voc aprendeu estes contedos quando era es-tudante da escola bsica e, se voc j ensinou decimais e medidas, como voc o fez? Nesse exerccio de reflexo importante que voc no se esquea do eixo transversal cidadania, educao e letramen-to e da importncia da escola como instituio social.

Voc, professor (a), j deve ter notado que a matemtica do cotidiano no est dividida em sries, contedos, captulos e uni-dades. Pois , o estudante quando chega escola tem toda uma vivncia matemtica que no pode ser desprezada e ns sabemos disso. Todavia, muitas vezes ficamos perdidos e amarrados aos cur-rculos, ou at nossa formao, que no nos ensinou a considerar que esse estudante tambm executa um trabalho pedaggico e co-autor da produo de conhecimento que acontece na escola e fora dela, na relao com seus amigos, com sua famlia e at com voc.

Voc j percebeu que, quando se consegue sair do esquema da aula tradicional, do quadro, giz, caderno, lpis e borracha, e tra-balha com situaes prximas realidade na qual o estudante est inserido, ele responde de maneira mais positiva aula? Voc notou que mesmo nessas situaes pode haver formalizao do conheci-mento matemtico? Por que ser que isso acontece?

Segundo o Professor Ubiratan DAmbrsio:

Admitindo que a fonte primeira de conhecimentos a realidade na qual estamos imersos, o conhecimento se manifesta de maneira total, holisticamente e no seguindo qualquer diferenciao disciplinar... Esse procedimento disciplinar leva a perda da viso global da realidade, e a histria do conhecimento feito nes-se esquema internalista naturalmente pouco eluci-dativa do que efetivamente representa a disciplina em questo na evoluo intelectual da humanidade.(DAMBRSIO, 1998, p. 8)

Enquanto nenhuma religio se universalizou, ne-nhuma lngua se universalizou, nenhuma culinria ou medicina se universalizaram, a matemtica se univer-salizou. (DAMBRSIO, 1998, p. 10)

Neste fascculo, pretendemos construir com voc novas pos-sibilidades de trabalhar os nmeros decimais e as medidas. Voc deve estar se perguntando: mas decimais antes das fraes?! , an-tes das fraes. Coisa de louco? Nem tanto. Para romper com alguns paradigmas cristalizados em nossa prtica pedaggica, muitas ve-zes vamos ter que ousar fazer o novo, o diferente, no de maneira irresponsvel como quem submete o estudante a uma experincia de laboratrio, mas de forma dialogada e reflexiva.

importante que esse fazer pedaggico no seja artificial.Bem, o convite est feito. Vamos embarcar nessa viagem pelo

mundo dos decimais e das medidas?

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E por falar em medidas, vamos acertar nossos ponteiros?

Caro(a) professor(a), vamos acertar nossos ponteiros? im-portante que estabeleamos alguns acordos de trabalho. Estamos considerando que voc, enquanto professor(a) cursista, desenvolve um trabalho pedaggico que tem por objetivo promover a refle-xo, ampliao e mudana da sua prtica pedaggica.

Queremos que a leitura desse fascculo seja uma viagem pela matemtica, mais precisamente pelo mundo dos nmeros deci-mais e das medidas. No queremos que seja uma viagem qualquer, daquelas que, quando voc termina, tem boas lembranas e um lbum de belas fotografias. Queremos que voc embarque nesta viagem de um jeito e termine de outro. Como? simples, quere-mos que de fato este fascculo o leve a pensar sobre a sua prtica pedaggica. Para tanto, no preciso sobressaltos e sofrimentos, queremos lhe proporcionar apenas agradveis surpresas.

Gostaramos de convidar voc a fazer conosco uma viagem pelo mundo fascinante da descoberta, da aprendizagem prazerosa e instigante. Para comear nossa caminhada, gostaramos de pro-por que voc no fosse um simples leitor. Queremos que voc seja um participante ativo de todas as construes possveis. A nossa proposta que, durante esta jornada, voc participe e compre-enda uma educao matemtica que respeita as descobertas do estudante e as suas prprias descobertas. Que coloca voc e seus estudantes como seres matemticos, produtores de conhecimento matemtico.

No pretendemos que este fascculo, que voc recebe agora, esteja pronto e acabado. Alis, um texto nunca est terminado. O texto que construmos est aberto a acrscimos, supresses e cr-ticas.

Faa uso de todos os espaos e socialize todas as alteraes que julgar pertinente. Faa com que ele tenha a sua cara, o seu jeito. Adapte-o sua realidade e encaminhe sugestes para os nossos endereos eletrnicos. De nossa parte, s gostaramos de solicitar que voc estivesse aberto s novas propostas da educao mate-mtica. Acreditamos que esta nova proposta lhe convide a cons-truir um novo olhar para a matemtica, um olhar menos voltado matemtica cincia pura e mais comprometida com as dimen-ses cultural, social, instrumental, comunicativa e esttica. Tal pro-posio nos convida a trabalhar com uma matemtica na qual nun-ca trabalhamos no contexto de nossa prtica pedaggica (MUNIZ: 2000, p. 87).

Em cada uma das sees, voc encontrar ATIVIDADES, RE-FLITA e/ou PESQUISE. Voc ver tambm que, em todas as sees, estamos propondo diversas atividades para serem desenvolvidas com os estudantes. Entenda que estas atividades so apenas pro-postas que voc criticamente deve analisar, avaliar e, como j disse-mos, adaptar sua realidade. No estamos pensando em exigir que voc execute todas as atividades com os seus estudantes. Portanto, no se trata de uma oficina ou de um receiturio. Julgamos ser per-tinente e necessrio lhe mostrar que atividades podem ser criadas a partir do contexto sociocultural do estudante. Temos certeza de que voc, como ser criativo, ir propor muitas outras. No fascculo

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h espao para registros e no deixe de faz-los. Este fascculo deve ser fonte de consultas futuras, por isso, enriquea-o ao mximo para que voc faa bom uso de nossas sugestes e principalmente das suas prprias.

O objetivo deste curso no se esgota nele mesmo. Preten-demos fazer uma profunda reflexo sobre o seu fazer pedaggico, por isso no se trata de estudar decimais e medidas por estudar, mas estudar para construir novos caminhos, novas possibilidades a partir das vivncias dos estudantes em seu contexto sociocultu-ral. Estudar para construir aquilo que desde o incio chamamos de ao-reflexo-ao, a to falada unio teoria-prtica.

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1 Nmeros Decimais

Objetivos: propiciar a construo da notao de nmeros decimais a partir dos nmeros naturais; reconhecer o uso sociocultural de nmeros com vrgulas no Sistema Monetrio Brasileiro e no Sistema Legal de Medidas; desenvolver a contagem e a representao de nmeros decimais; resolver situaes aditivas significativas com os nmeros decimais; resolver situaes multiplicativas significativas com os nmeros decimais; e representar, de mltiplas formas, um nmero decimal no material concreto, com repre-sentao pictrica, com escrita matemtica e na utlizao de instrumentos de medidas.

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Caro(a) cursista, Na Seo 1 trabalharemos com o que consideramos a base

dos nossos estudos, que a construo do conceito de nmero de-cimal. Mas ateno! Nossa discusso no sentido de comear o es-tudo dos nmeros racionais pela representao decimal e no pela representao fracionria como historicamente temos visto.

Propomos que a construo do nmero decimal esteja vin-culada s medidas e ao sistema monetrio brasileiro, por meio da resoluo de situaes-problema.

A principal atividade desta seo ser construir e manipular o material de apoio. Alm disso, voc deve elaborar e/ou recriar ativi-dades, com o material de apoio, utilize-o.

NMEROS DECIMAISPara comear, que tal brincarmos de OFICINA DA MEMRIA?

Para isso vamos fazer uma perguntinha fcil. Responda sem demo-ra:

Quantas vezes durante o ltimo ms, em sua vida prtica, na sua casa, no mercado, ou no clube voc precisou somar 1/2 mais 2/3?

(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)Tudo bem. Vamos tentar novamente. Quem responder essa

pergunta em 10 segundos vai ganhar um chocolate.(Ningum respondeu?)Por que ser que ningum respondeu esta pergunta? Pode-

ramos ento dizer que no sabemos fraes ou ser que o conhe-cimento de fraes tem poucas aplicaes prticas?

A questo, professor(a), bem mais fcil de explicar e enten-der do que voc imagina. Historicamente podemos perceber que h uma nfase muito grande no ensino de fraes, enquanto que o ensino de decimais e medidas quase sempre fica relegado a um segundo plano, de tal forma que chegamos a destinar dois ou trs meses do ano letivo para fraes e quando chega l, no finalzinho do ano, destinamos algumas poucas semanas para decimais e me-didas. A o caldo j est entornado, no d para desenvolver quase nada do que pretendamos sobre estes dois contedos. Dois?! No, sobre este contedo, afinal, podemos dar um nico tratamento a decimais e medidas.

Voc j parou para pensar porque h esta nfase no estudo de fraes nos anos iniciais, 5 e 6 anos?

Em verdade h uma explicao histrico-cultural. Tradicional-mente o nosso currculo recebeu influncias de culturas diferentes das nossas, especialmente da cultura americana e inglesa. Voc se lembra da histria da matemtica moderna, do lanamento da Spu-tnik? Pois , no caso das fraes foi exatamente isto que aconteceu. Copiamos o modelo americano e ingls de ensino, sem questiona-mentos. O que ocorre que nas culturas americana e inglesa o uso das fraes rotineiro, como exemplo: uma polegada e meia, uma libra e meia, um quarto de dlar, uma hora e um quarto, etc.

Em nossa cultura temos por hbito usar decimais bem mais que as fraes: no dinheiro, nas medidas de comprimento, massa,

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capacidade, superfcie, volume. Basta que olhemos nossa volta para constatar a grande quantidade de nmeros com vrgula que aparece. Nos jornais, revistas, anncios, nos encartes, rtulos, em-balagens e nos prprios jogos das crianas, a presena de nmeros com vrgulas comum.

preciso que fique claro para todos ns que grupos culturais

diferentes tm maneiras diferentes de proceder em seus esquemas lgicos. O manejo de quantidades e, conseqentemente, de n-meros e medidas, obedece a direes muito diferentes, ligadas ao modelo cultural ao qual pertence o estudante. Cada grupo cultural tem suas formas de matematizar (DAMBRSIO, 1998, p.17). Entre-tanto, podemos observar invariantes entre culturas distintas, que se renem em torno de procedimentos matemticos semelhantes.

Ento vamos conversar sobre nossa prtica pedaggica? Sempre comeamos o ano letivo trabalhando com o sistema de nu-merao decimal, valorizando a organizao numrica por ordens e classe e enfatizando principalmente os agrupamentos de dez em dez. J at vimos porque usamos o sistema decimal. Esto lembra-dos? O fato de termos um currculo baseado em culturas diferentes da nossa faz com que o nosso ensino seja carente de significado, principalmente quando tratamos dos nmeros racionais.

Muitas vezes nossa ao pedaggica ou nossas opes meto-dolgicas tornam-se verdadeiros obstculos aprendizagem. Nas anos iniciais e at no 5 ano, sempre comeamos o ano letivo traba-lhando como dissemos anteriormente, depois, trabalhamos com as quatro operaes na base 10 durante metade do ano letivo, rompe-mos com toda essa estrutura mental construda no campo num-rico decimal e passamos a descrever partes do inteiro, em termos no de dcimos, mas de meios, teros, vigsimos, etc.

Podemos perceber facilmente que o trabalho com essas par-tes diferentes do dcimo traz algumas dificuldades para o estudan-te. Assim, operar com duas fraes por exemplo, somar meios e teros pode significar tratar com duas quantidades numricas que se referem a partes conceitualmente diferentes da unidade, portan-to, a operao com tais nmeros implica numa mediao via redu-o a uma parte comum sextos entre as duas quantidades. Este um obstculo epistemolgico suficientemente significativo para justificar, no mnimo, a busca de outros caminhos metodolgicos.

Precisamos compreender que essa ruptura no processo de construo de estruturas numricas, presente na maioria dos cur-

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rculos brasileiros, no possui uma base epistemolgica e antro-polgica significativa para justificar a sua perpetuao. Epistemo-logicamente, no h sentido em romper com o sistema decimal, para depois retornar ao mesmo. Podemos afirmar que a estrutura numrica existente nos nmeros naturais continua preservada nos decimais. Na notao decimal, o agrupamento, o valor posicional, a contagem, os algoritmos operatrios acabam por se constiturem em extenso homognea e harmnica dos naturais. Antropologica-mente, esta ruptura despreza nossa cultura, nosso sistema monet-rio e nosso sistema legal de medidas.

Tal proposta evidencia a necessidade de se criar uma base epistemolgica consistente para o estudo mais significativo do con-ceito e das representaes do nmero racional positivo. Trata-se, portanto, de opo metodolgica de cunho poltico-pedaggico: necessrio buscar inicialmente trabalhar os contedos de maior significado aos estudantes numa seqncia lgica que facilite a construo de conhecimentos.

Antropologicamente, esta ruptura despreza nossa cultura, nosso sistema monetrio, nosso sistema legal de medidas que tam-bm so de base 10.

Vamos apresentar agora um material ps-moderno e revolu-cionrio para o estudo de decimais.

Vai ser CHOCOLATE!Aqui est!

Ufa! E agora? Como vamos fazer? Aprendemos assim e es-tamos ensinando assim a algum tempo. O que vamos fazer?

Como vamos tra-balhar com decimais antes de fraes?

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Partindo deste material que simples e de fcil reproduo, podemos iniciar o estudo de decimais com nossos estudantes sem fazer ruptura com o que ele j vinha estudando. No vamos parar e dizer: agora vamos aprender decimais. Simplesmente podemos apresentar o material para o estudante e deixar que ele, por meio do manuseio, explore as possibilidades, crie, invente.

hora de guardar cadernos, livros, lpis e borracha. Inicial-mente, no podemos ter a preocupao de fazer registros. Esse pri-meiro momento crucial para que o estudante internalize a ao desenvolvida. Assim, extremamente importante criar um ambien-te colaborativo, respeitoso e amistoso para que as idias possam brotar. o momento de deixar nascer as vrias hipteses e algo-ritmos dos estudantes que fundamentaro a sistematizao poste-rior.

Voc, professor(a), ser o mediador(a) que propiciar este momento de criao. No caia na tentao imediata de oferecer o algoritmo pronto e acabado para o estudante. Sua postura deve ser investigativa. Questione, pergunte, instigue, faa o estudante per-ceber que toda e qualquer idia importante para a construo do conhecimento e que essa construo coletiva. Permita a plena troca e o confronto.

Vamos comear?Pegue o retngulo sem divises e pea a seus estudantes que,

usando a criatividade, digam o que . Aproveite para observar a re-presentao de cada um. Tente lev-los a ver alm do pedao de papel. Dentre as vrias representaes: chocolate, rapadura, bolo, p de moleque e outras, escolha com a turma aquela com a qual iro trabalhar.

Imaginando que a escolha tenha sido chocolate, proponha o seguinte problema: Tenho 11 chocolates e quero dividi-los entre 10 amigos. Cada estudante deve ter na mo o material equivalente, ou seja, 11 retngulos inteiros ou 11 chocolates inteiros.

hora de retomar o sentido de diviso como partilha. O que repartir? O estudante deve perceber que repartir figurinhas dife-rente de repartir chocolate. No primeiro caso pode haver resto, pois a figurinha partida ao meio no tem o mesmo valor, no segundo

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caso, possvel fazer partilha democrtica, pois uma barra de cho-colate pode ser dividida em partes sem perder as caractersticas de chocolate. Portanto, sobrar resto ou no, depende da natureza do que se est repartindo.

Voltemos ao problema. Neste momento, os registros sero feitos no quadro para que o estudante manuseie com liberdade o material, sem a preocupao de sistematizar.

Sobrou um chocolate inteiro. O que fazer com ele? Questione os estudantes sobre as possibilidades at que eles percebam que podemos dividir o chocolate. Em quantas partes? Deixe que eles percebam que, se so 10 amigos, a diviso tem que ser em 10 par-tes. Proponha neste momento a troca do chocolate inteiro por um dividido em 10 partes, e pea que eles recortem as partes com a tesoura. Ento, agora vejamos como fica nosso problema:

Observe que, enquanto a simbologia estiver amarrada, em-butida, atada ao concreto, no h problema, porque o concreto fala por si mesmo. O desafio como escrever esta resposta com algaris-

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mos e distante da situao concreta. Deixe os estudantes criarem as suas possibilidades e v registrando no quadro. At agora, nada no caderno. Dentre os vrios registros, possvel que surjam estes:

possvel que, se estivermos trabalhando com adultos ou es-tudantes de 3 e 4 anos, aparea a notao com vrgula ou ponto indicando o resultado da diviso. bom que tenhamos claro, que, se tivermos trabalhando com crianas menores, a tendncia delas trabalhar com o pictrico, o que deve ser respeitado, j que ela produtora do seu prprio conhecimento e a matemtica, enquanto linguagem, notao e interpretao de signos.

Eleja, junto com a turma, uma das notaes. Motive os estu-dantes a escolher o jeito mais legal de registrar. Vamos supor que a turma tenha escolhido a notao 11 (um grande e um pequeno). Podemos, a partir desta escolha, fazer um ditado para que o estu-dante perceba que o nmero grande representa inteiro e o peque-no representa parte ou partes do inteiro.

Ditado legal

Cada estudante deve ter sobre sua carteira o material (retn-gulo inteiro e retngulo dividido em 10 partes) e uma tesoura. Voc dita um nmero, registra no quadro e o estudante deve representar com o material.

Exemplos:

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Explore este ditado at que voc observe que os estudantes se sintam seguros com a notao escolhida.

Ao explorar esta notao voc pode trocar a ordem de regis-tro no quadro. Por exemplo: 36 (trs pedaos e seis inteiros). Observe se deu certo e porqu deu certo. importante deixar claro que o tamanho do algarismo que vai definir o inteiro e o pedao. Observe atentamente se todos representaram corretamente a quantidade numrica com a notao criada.

Estamos aqui possibilitando que os estudantes matemati-zem a partir de uma notao criada e proposta por eles mesmos.Isso pode permitir que eles compreendam que os decimais tratam-se de uma notao socialmente criada e utilizada. importante dar valor capacidade de os estudantes criarem, eles prprios, uma lin-guagem matemtica vlida e til.

Adio e Subtrao de Decimais

Quando voc perceber que, seguramente, os estudantes esto trabalhando com o material a partir da notao criada, pro-ponha uma situao-problema de desafio, como, por exemplo, a descrita abaixo. Voc deve ir contando a situao-problema e re-gistrando no quadro. Os estudantes devem representar a situao com o material.

Mistrio na Escola

Levei para a escola 32 chocolates (faa a representao no quadro) e guardei no meu armrio. Como o armrio no tinha cha-ve, um chocolate desapareceu. Quanto ficou?

Mas o mistrio no acabou por a. Um ratinho muito esperto passou pelo armrio e comeu um pedao que havia ficado desem-brulhado. Quanto sobrou?

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Um dos chocolates eu levei para uma colega que estava fa-zendo aniversrio e o dei na hora do intervalo. E agora, sobrou al-guma coisa?

Como era a hora do intervalo, comi um chocolate. Ainda tem sobra?

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A sobra um. Um o qu? Um pedao e nenhum inteiro. Para ter certeza do registro, no quadro represente o 0 grande e o 1 pe-queno. O estudante precisa saber que a representao grande e pe-queno uma relao de ordem.

Neste momento, professor(a), importante voc trabalhar com ele a composio e a decomposio do inteiro. Pergunte quan-tos pedaos so necessrios para formar um chocolate inteiro ou quantos pedaos preciso comer para saborear um chocolate intei-ro. Pergunte tambm, o que o pedao do inteiro. Para obter o pe-dao, dividimos o inteiro em dez partes, logo, o pedao a dcima parte do inteiro. O pedao o dcimo do chocolate.

Observe que, partindo das opes mais simples dos estudan-tes, podemos avanar e partir para construo de conhecimentos maiores. O conhecimento cientfico e acadmico, se previamente dado, no permite que o estudante faa suas prprias construes. Note que, com a construo do estudante, podemos alar vo. Na situao-problema acima, sem que fosse dado algoritmo algum, o estudante realizou operaes e construiu a idia do inteiro e do dcimo. Agora, para consolidar esta construo, podemos sistema-tizar uma atividade que faa o estudante trabalhar a notao de inteiros e dcimos. Esse processo pode ser constitudo no importa qual seja a opo de representao utilizada pelos estudantes.

Caixa de dcimos

Nesta atividade voc precisa de uma tampa de caixa de sa-patos e cada estudante deve ter em mos inteiros e dcimos. A atividade consiste em passar a tampa de estudante em estudante e cada um acrescenta um dcimo e, oralmente, dizer quantos d-cimos tem na tampa. Quando completar 10 dcimos, o estudante que tiver com a tampa deve trocar os 10 dcimos por 1 inteiro e ficar em p. hora de lembrar que, quem come 10 pedaos de chocola-te, come 1 chocolate inteiro. A caixa permanece rodando na sala at que todos tenham participado. importante que o estudante que fez a troca permanea em p at a concluso da atividade, a fim de que todos percebam que, se na sala tiver 32 estudantes, teremos 3 inteiros (estudantes em p) e 2 dcimos. Neste momento o estu-dante pode concluir que o equivalente a 32 dcimos.

Ao longo de toda a atividade, voc deve estimular a verbaliza-o da ao do estudante. Especialmente nos momentos de troca, chamar a ateno de toda a turma para o fato. Observe que logo aps a primeira troca o estudante pode falar, por exemplo, um intei-ro e um dcimo ou onze dcimos. O professor deve buscar mediar a leitura provocando que ora seja dito, por exemplo, 16 dcimos e ora 1 inteiro e 6 dcimos. Desse trabalho depende a segurana do estu-dante ver, por exemplo, 2 inteiros e 5 dcimos como 25 dcimos.

E a? J deu para perceber que possvel estudar nmeros decimais antes de trabalhar com as fraes? Ns s estamos no co-meo da nossa conversa. Pensa que esquecemos as medidas?

Agora voc vai conhecer o instrumento da mais alta tecnolo-gia para o estudo de decimais. Trata-se de um recurso de fcil ma-nuseio e de baixo custo. Este instrumento comumente chamado de...

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RGUA centimetrada. Isto mesmo, a nossa velha e boa amiga um recurso auxiliar importante no estudo de decimais, tanto do ponto de vista do contedo em si, como tambm pelo fato de que sempre subutilizada.

Voc pode desenvolver a seguinte atividade: solicite que, com a rgua, o estudante desenhe uma casinha com as seguintes medidas: altura 43 e largura 51. Deixe que o estudante descubra o que o grande e o pequeno na rgua. Pergunte ao estudante o que o pequeno do grande ou quantos pequenos so necessrios para formar o grande. preciso que saiba que o pequeno a dcima parte do grande, portanto, a relao a mesma que no material que j vinha sendo utilizado. importante lembrar que mesmo que os estudantes j saibam lidar com centmetros e milmetros, o pro-fessor deve buscar explorar os inteiros (centmetros) e os pedaos (milmetros) na rgua para realizar pequenas construes geom-tricas.

E voc professor, usa a rgua com freqncia? Ento vamos parar um pouquinho e propor uma atividade para voc. Desenhe um tringulo no espao abaixo cujos lados tenham as seguintes medidas: 12, 23, e 55.

Conseguiu? O que voc descobriu? Como podemos justificar tal fato? Por que isso importante?

No possvel desenhar um tringulo com estas medidas, pois o lado maior deve ser sempre menor que soma dos lados menores (lei da formao do tringulo).

Agora hora da pesquisa

Pea aos seus estudantes que pesquisem em revistas, jornais, encartes, rtulos, embalagens, calculadora, nmeros em que apare-a a vrgula ou o ponto. Reflita com eles sobre o porqu da vrgula ou do ponto. Tm o mesmo significado? Como esto representados os nmeros? So grandes ou pequenos? Existe alguma notao pa-recida com aquela escolhida pela turma?

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hora de discutir com eles a funo e o significado da vrgula. Ao final desta atividade, o estudante deve perceber que, do mesmo jeito que eles elegeram uma notao para representar inteiros e os pedaos, a sociedade brasileira escolheu a vrgula para separar o inteiro do dcimo. importante lembrar que nem todas as socie-dades optaram pela vrgula, alguns pases usam o ponto e por isso que na calculadora o ponto representa a vrgula. Assim, o uso da vrgula uma das notaes institucionais com a qual nosso pas optou para representar os nmeros decimais.

Nas situaes encontradas pelos estudantes, podem surgir nmeros que possuem mais de uma casa decimal, ou mais de um algarismo depois da vrgula. Isso vai gerar discusso. Deixe que os estudantes manifestem as suas opinies sobre este fato. Procure in-vestigar as hipteses dos estudantes para, em seguida, propor uma nova atividade a fim de introduzir a idia do centsimo. Esta ativi-dade deve ser uma situao-problema similar a anterior, para que ele d continuidade ao seu raciocnio. Como estvamos trabalhan-do com chocolate, vamos continuar.

Da mesma forma que a situao-problema anterior, voc deve ir registrando no quadro e o estudante vai acompanhando com o material.

Veja:Tenho 13 chocolates e dois pedaos e quero repartir com os

meus 10 melhores amigos.

Observe o quadro acima. Sobraram dois pedaos de choco-late ou dois dcimos de chocolate. Podemos continuar a dividir?

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Neste momento temos que apresentar o material dos centsimos para que ele veja que cada pedao pode ser dividido em novos pe-dacinhos ainda menores. Vamos ter dcimos inteiros ou vamos ter dcimos de dcimos? O estudante deve ser convidado a verbalizar o que representa este pedacinho. O que a dcima parte do d-cimo em relao ao inteiro? A dcima parte do dcimo o cent-simo, pois para comer um chocolate inteiro, precisaramos comer cem pedacinhos.

Outra situao-problema que pode ser proposta para o estu-dante ainda para trabalhar a idia de centsimos a seguinte:

Na situao acima, repartirmos cada pedao em 10 partes. Cada pedacinho representa a dcima parte do dcimo, isto , um centsimo.

Apresentamos as duas situaes-problema, j utilizando a vrgula e no a notao escolhida pela turma. Contudo, a notao anterior deve ser relembrada caso voc julgue necessrio, mas sem-pre na perspectiva de j estar sistematizando o uso da vrgula como notao oficial.

Professor(a), a esta altura voc deve estar se perguntando: e o registro no vai acontecer nunca? O estudante no vai usar o ca-derno?

Apresentaremos a voc vrias atividades que podem ser utili-zadas em sala de aula para fixao da aprendizagem. Durante estas atividades, o estudante deve iniciar pela utilizao do material e aos poucos ir fazendo registros no caderno. importante que todas as atividades de registros estejam vinculadas s situaes-problema vivenciadas pelo estudante por meio do material. Esta contextuali-zao importante para que o estudante prossiga no desenvolvi-mento de seus esquemas mentais.

Veja quantas situaes voc pode explorar com seus estu-dantes, lembrando que no estamos s trabalhando na perspec-tiva matemtica.Todas as situaes envolvem produo de texto,

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pesquisa em revistas, encartes, jornais, etc. Ao mesmo tempo, po-demos trabalhar a questo de alimentos, produtos industrializados ou no. Alm do mais, as situaes devem estar contextualizadas quanto aos aspectos geogrficos, sociais e econmicos.

A escola , pois, o local de trabalho do professor e do aluno; o espao onde se organizam e desenvolvem as atividades de apren-dizagem e que possibilita a criao, pelo aluno, dos sentimentos de pertencer ao grupo e de ser proprietrio daquilo que constri. (VILLASBOAS: 2002, p. 204 - grifos da autora)

Como j falamos anteriormente, apresentaremos abaixo v-rias atividades que elegemos como exemplos das possibilidades de se trabalhar com nmeros decimais de forma contextualiza-da. Entenda que so apenas exemplos e que, portanto, devem ser adaptados sua realidade e ao seu contexto. Observe que algumas atividades se aplicaro apenas o 3 e 4 anos, outras podem ser vi-venciadas at com 1 e 2 anos. Voc no pode se esquecer tambm que a matemtica no uma caixinha fechada, busque nestas ativi-dades as relaes com outras reas do conhecimento.

Representando preos

Solicite aos estudantes que representem com o material con-creto os preos de produtos e/ou servios do seu contexto dirio, como por exemplo: o preo do po; o preo do leite; o valor da pas-sagem de nibus; o preo de figurinhas, gibis, etc.

Simulando mercadinho

Voc pode simular em sala de aula um mercadinho com vendas de produtos e pagamento com o material concreto. Nesta atividade, envolva a pesquisa dos preos dos produtos que pode ser feita em estabelecimentos comerciais prximos escola e em situaes de venda, nas quais o estudante possa somar produtos, subtrair e passar troco.

Esta atividade ficar muito mais interessante se for feita com embalagens vazias que os estudantes podem trazer de casa.

O registro da atividade no caderno s ocorre aps a utilizao do material concreto.

Substituindo o material concreto por dinheiro

Voc pode solicitar que o estudante faa dinheirinho (notas e moedas) para substituir o material de apoio. As notas e moedas j prontas podem ser utilizadas no mercadinho.

Aqui o estudante confeccionar todo o material juntamente com voc e demais colegas. hora de observar cdulas e moedas, cheques para reproduzi-los. Veja que aula de arte, de observa-o...

Introduzindo a idia de metro, decmetro e centmetro

Utilizando fitas mtricas, voc pode medir a altura dos estu-dantes ou partes do corpo (p, palmo, perna, brao, dimetro da cabea, cintura, etc.) e pedir que eles representem primeiro com o

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material, para depois registrar no caderno. Usando a vrgula para separar os metros e centmetros do metro.

No se esquea de explorar a fita mtrica. Deixe que os es-tudantes manuseiem a fita e descubram a dcima parte do metro, ou o dcimo de metro, o decmetro. A dcima parte do dcimo de metro, ou a centsima parte do metro o centmetro.

Hora de subir na balana

Voc pode pedir ao estudante que v at a farmcia mais pr-xima de casa e verifique seu peso. Nas farmcias existem balanas digitais (a massa apresentada em notao decimal com ponto) e analgicas (a notao apresentada em kg e de 100 em 100 gra-mas). Fazer a representao com o material e em seguida fazer re-gistro.

Observando o odmetro do carro

Solicite ao estudante que consulte a quilometragem do carro de algum familiar ou de algum conhecido. Investigue com ele se possvel representar este dado com o material. Pea-o que faa o registro.

Esta tambm uma oportunidade de verificar o preo do l-cool e da gasolina em alguns postos de combustvel. Neste caso vai aparecer a terceira casa decimal.

Medindo temperaturas

Leve um termmetro para a sala de aula e mea a tempera-tura dos estudantes. Mostre para eles como se faz a medio. Cada um deve representar com o material a sua prpria temperatura e, em seguida, fazer o registro no caderno explorando a temperatura expressa por nmero decimal

Pesquisando peso de animais

Solicite aos estudantes que pesquisem em livros peso de ani-mais. Faa questionamentos sobre a validade deste peso. O que sig-nifica a frase um elefante adulto pesa em mdia...? No ser pos-svel pesquisar o peso de todos os animais solicitados, neste caso, pea aos estudantes que faam estimativas. Ex: O peso da vaca adulta aproximadamente.... O que significa aproximadamente? Todos os pesos devem ser representados com o material e, em se-guida, devem ser registrados no caderno.

Brincando com boliche de decimais

Construa com os estudantes um boliche decimal, as garrafas devem conter nmeros decimais variados (0,5; 1,25; 2,3, etc.).

Ao jogar, o estudante deve ir computando os seus pontos numa tabela. Ao final, o estudante deve representar com o material a sua pontuao e fazer o registro correspondente.

Observe que, ao mesmo tempo, estamos possibilitando aos estudantes a vivncia de descobertas interessantes, e isso exige de ns, mediadores, a percepo da dinamicidade do que estamos nos

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propondo fazer.

Salto em distncia

Para esta atividade, voc s vai precisar de fita de vdeo estra-gada e corretivo base dgua ou esmalte branco. Esta uma ativi-dade para ser realizada fora da sala de aula, em um ptio, gramado ou quadra de esportes.

Divida a turma em pequenos grupos e d a cada grupo um pedao de 3m da fita de vdeo. Cada grupo deve construir sua pr-pria fita mtrica, seguindo as orientaes:

a fita deve ser marcada de metro em metro

o primeiro metro deve estar marcado de decmetro em de-cmetro

o primeiro decmetro deve estar marcado de centmetro em centmetro

Cada grupo deve fazer a marca inicial para o salto em distn-cia. Todos os estudantes do grupo devem saltar e o grupo deve me-dir a distncia pulada com a fita construda e registrar as medidas no papel.

Ganhar a equipe que tiver o somatrio maior. Voc deve me-diar a totalizao, comparando resultados. Qual a equipe que pulou mais? Quanto a mais? Quem foi o campeo de pulo?

Agora a sua vez, professor(a). Crie duas atividades em que o estudante use o material de apoio e faa o registro.

Sistema Monetrio BrasileiroO sistema monetrio brasileiro um espao privilegiado para

o estudo de nmeros decimais. O manuseio de moedas e cdulas, a vivncia com valores so procedimentos fundamentais para o de-senvolvimento das habilidades relativas ao trabalho com decimais e devem comear desde a alfabetizao.

Se tiver oportunidade, promova uma visita virtual ao Museu de Valores do Banco Central do Brasil, no site www.bcb.gov.br, no link cdulas e moedas. Ser muito interessante que os estudantes vejam a evoluo da humanidade em relao s trocas, ao surgi-mento do dinheiro e tambm as vrias moedas que nosso pas j teve. (Uma dica! Ao clicar sobre as cdulas, elas aparecero em ta-manho maior para uma melhor visualizao)

Professor(a), as vivncias monetrias de compra, venda e tro-ca devem ser recriadas dentro da escola. Sua ao pedaggica deve privilegiar este espao de construo. Isto no significa que a escola vai virar mercado ou render-se aos encantos do capitalismo. Estes ambientes de aprendizagem no devem se constituir em espaos de alienao, e sim de reflexo. No fugindo dessas vivncias mo-netrias que a escola construir um pensamento crtico em relao

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ao capitalismo.

A simulao, voltada para jogos simblicos (Piaget1), nas quais vivncias de pagamento, dvidas, dbito, crdito e seus respectivos registros constituem situaes do dia-a-dia (a-didticas) transpos-tas para situaes didticas (Brousseau 2)

fundamental que voc estude e investigue a noo de valor que seu estudante possui. Quanto custa um lpis? Por que esse o preo? Por que tem lpis mais caro e lpis mais barato? sempre melhor comprar o mais barato? Em relao renda familiar qual o valor do lpis? Por que as coisas tm preo? Foi sempre assim? importante explorar as noes de troca (escambo) e de valor onde no h mais a relao biunvoca elemento-elemento.

Investigue tambm a noo de custo de um servio. Por que o trabalho tem um custo? Quem trabalha na famlia? Por que traba-lham? O que um salrio? O que o salrio representa?

Dependendo do nvel de maturidade, o estudante pode no ter a noo de valor monetrio. Crianas pequenas podem perfeita-mente trocar uma nota de R$5,00 por trs de R$1,00. Estas crianas tambm podem no entender que a operao de compra resulta de operao matemtica, ela pode achar que sempre tem que ter troco. Neste caso, para a criana o troco garantia da permanncia da posse de dinheiro para futuras compras.

A questo monetria impe alguns problemas. Crianas com nvel econmico e social mais elevado podem ser protegidas pela famlia e no ter experincia cultural com o manuseio de dinheiro, com situaes de compra e venda; e crianas das camadas popula-res podem ter esta experincia. Veja que isto no uma regra geral, estamos apenas chamando a ateno para o fato de que impor-tante que voc saiba qual a experincia que seus estudantes tm com as relaes de compra e venda e manuseio de dinheiro. Numa primeira avaliao, diramos que isto est diretamente vinculado ao desenvolvimento da autonomia intelectual da criana: quanto mais experincias prprias, maior capacidade de tomar decises por si mesma.

So essas situaes a-didticas, da experincia cultural do es-tudante, do seu dia-a-dia, que levam os estudantes a pensar mate-maticamente. A escola deve trazer para si esse contexto sociocul-tural.

Apresentamos a seguir uma srie de atividades de transpo-sio de situaes do contexto cultural dos estudantes para situa-es didticas.

Mercadinho

Dando continuidade a esta atividade de simulao de um mercadinho ou de uma vendinha voc pode trabalhar agora com cdulas e moedas construdas pelos prprios estudantes ou mode-los que podem ser facilmente encontrados no site do Banco Central (www.bcb.gov.br).

1PIAGET. A formao do smbolo na criana. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1975.

2FREITAS. Situaes Didticas. In: MACHADO et al. Educao Matemtica: uma introduo. So Paulo: EDUC, 1999. (Srie Trilhas)

bom lembrar que no so apenas moe-das e cdulas que tm valor monetrio. Voc, professor(a), pode en-contrar estudantes que fazem outra relao de valor, estudantes que juntam latinhas para trocar por algo. Como transpor isto?

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Nesta simulao importante que os prprios estudantes fi-xem os preos dos produtos. De que forma? Aleatoriamente? No. Esta uma tima oportunidade para a pesquisa de campo. Lembre-se: qualquer pesquisa de campo, por mais simples que seja, exige um planejamento. Cada estudante pode construir a sua lista de compras. Depois, coletivamente, pode discutir e negociar a lista de compras da turma. Lista na mo, a turma pode ser dividida em v-rios grupos para fazer a pesquisa de preo.

Na visita planejada ao mercado, voc pode introduzir o uso da calculadora (seria interessante que esta calculadora fosse o baco). O comprador, de lista em punho, vai precisar saber quanto pode gastar, logo ter que fazer clculos para no gastar alm do com-binado.

Este um momento muito importante de comparao de preos. Seria muito interessante que tanto a pesquisa como a com-parao de preos fossem divulgadas para os donos dos estabele-cimentos comerciais e toda a comunidade escolar.

A partir deste contexto, pode ser simulada a vendinha na sala de aula. Defina que tipo de estabelecimento vocs vo criar, que produtos vo vender, que papis cada um desempenhar.

No se esquea de que o cidado que compra exige a nota fiscal. Por que a nota fiscal importante? O que uma nota fiscal? Ser que a turma consegue produzir sua prpria nota fiscal? Como preencher a nota fiscal?

E para pagar? Vamos utilizar apenas dinheiro? O que o che-que? Podemos ter o nosso prprio cheque? O carto de crdito substitui o dinheiro? Como?Banco

Se pudermos usar cheques para pagamento, ento precisa-mos de um banco para efetuar as operaes de crdito, de dbito e emitir talonrios de cheques. Como o banco faz isso? Os estudantes tm noo da organizao do sistema bancrio?

Professor(a), investigue quais dos estudantes conhecem um banco. Voc pode organizar uma excurso a uma agncia bancria para verificar de perto o seu funcionamento. Que pessoas traba-lham em um banco? O que elas fazem? Quais documentos o cliente utiliza? Como se trabalha com a matemtica no banco?

A partir desta pesquisa e da necessidade da turma, poss-vel montar uma agncia bancria na turma. Os papis de cada um nesta agncia devem ser definidos e negociados com a turma para que a atividade seja uma simulao do mundo das finanas. Vamos juntos reproduzir os documentos bancrios.

Simule situaes de pagamento de contas, de depsito, de saque nas contas individuais dos estudantes.

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Voc pode definir com os estudantes situaes de custos de servios, por exemplo, pode haver multa para quem joga papel no cho. Quem pega um livro na biblioteca pode receber um paga-mento. Cada estudante pode pagar a merenda escolar com tque-tes-refeio. Para ir ao banheiro, o estudante poder precisar com-prar um vale-transporte.

As situaes simuladas devem garantir o uso de cheques e de dinheiro. importante que este processo seja democrtico, portan-to, cada estudante pode ter uma ordem de crdito no mesmo valor emitida por voc. Ele precisa saber quanto pode gastar.Custo de vida

A origem do salrio mnimo e da cesta bsica so assuntos bastante interessantes. Os estudantes de 3 e 4 anos ou adultos poderiam fazer uma bela pesquisa sobre este assunto. Aqui nosso trabalho dar pano para manga, pois ser um momento rico em reflexo no s no contexto da matemtica no interior da escola, mas da possibilidade de extrapolar os muros da escola e ajudar a refletir a situao socioeconmica do nosso pas. Voc ter oportu-nidade de avaliar o grau de interao dos estudantes com os afaze-res familiares, com a realidade social. Construir a cesta bsica com os estudantes e comparar depois com a cesta bsica oficial e ao mesmo tempo conversar sobre salrio mnimo, coloca o estudante diante de uma realidade que muitas vezes ele vive, mas nunca re-fletiu sobre ela.

A msica Comida de Arnaldo Antunes, Marcelo Fromer e Srgio Brito proporciona a reflexo sobre as necessidades bsicas de um cidado.

Comida

Bebida guaComida pastoVoc tem sede de qu?Voc tem fome de qu?A gente no quer s comidaA gente quer comida, diverso e arteA gente no quer s comidaA gente quer sada para qualquer parteA gente no quer s comidaA gente quer bebida, diverso, balA gente no quer s comidaA gente quer a vida como a vida querBebida guaComida pastoVoc tem sede de qu?Voc tem fome de qu?A gente no quer s comerA gente quer comer e quer fazer amorA gente no quer s comerA gente quer prazer para aliviar a dorA gente no quer s dinheiroA gente quer dinheiro e felicidade

Reflita com seus estu-dantes sobre o que custo de vida. O que salrio? Quais so os gastos de uma famlia? O que salrio mnimo? O que cesta bsica?

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A gente no quer s dinheiroA gente quer inteiro e no pela metadeBebida guaComida pastoVoc tem sede de qu?Voc tem fome de qu?

Veja que a letra da msica bastante rica para anlise e com-preenso da realidade social. Com ela voc pode desenvolver um belssimo trabalho de produo de texto, pesquisar, em jornais e revistas, reportagens que mostrem todo esse contexto social, pode pesquisar com eles a Constituio Brasileira, no Captulo II Dos Direitos Sociais, que trata do salrio mnimo, pode ligar alimenta-o, sade, produo de lixo e poluio ambiental, partilha de-sigual de alimentos no mundo, no Brasil e tantas outras coisas que surgiro dos prprios estudantes e de voc, ao iniciar esse trabalho que no se esgota, e vai se ampliando sempre.

Se voc fez a atividade do mercadinho, hora de comparar a lista da turma com a cesta bsica oficial. Discuta com os estudantes quais produtos so essenciais e no essenciais numa cesta bsica. Proponha turma a criao da cesta bsica ideal. Tais atividades requerem evidentemente a mobilizao de nmeros decimais nas representaes dos valores, nos custos, com comparao dos mes-mos, somando, ordenando, registrando, etc. Cabe ao professor estar atento para os aprofundamentos devidos, com cada grupo, sempre questionando e dando suporte para que cada um consiga chegar s respostas aos desafios encontrados pelo caminho.

Estas situaes de transposies podem ser feitas ao mesmo tempo em sala de aula. Os estudantes devem, ao longo das ativida-des, vivenciar vrios papis.

Nestas atividades, voc deve observar os algoritmos utiliza-dos pelos estudantes ao passar troco, pois nem sempre ser o algo-ritmo da subtrao, pode ser, por exemplo, pelo processo aditivo ou outros. Faa um trabalho de mediao, investigue as hipteses dos estudantes, pergunte o caminho percorrido por eles at chegar ao resultado. No imponha o seu algoritmo.

Deixe que as primeiras simulaes sejam livres, sem registros. As atividades devem ser mais soltas para permitir a construo de estruturas mentais importantes a partir da representao concreta.V estimulando aos poucos os clculos mentais, processo que foi sendo deixado de lado ao longo da histria da matemtica.

O registro dos valores com o uso das vrgulas deve surgir na-turalmente e valorizado pela escola e, ainda, ser incorporado na atividade de simulao. Por exemplo, estimular os estudantes a criarem as cadernetas de despesas de cada cliente, documentos de controle de estoque, livros-caixa, etc. Tais registros podero depois servir como fonte para a produo de situaes-problema.

Aqui voc pode introduzir o uso da calculadora, mas lembre-se de que essa introduo deve ser bastante planejada. Investigue com as crianas quem j utilizou a calculadora e voc ver que mui-tas delas j tiveram acesso a ela (ou no). Observe que, ao trazer a calculadora para a escola, o estudante sentir bastante curiosidade para ver seu uso na escola. Inicialmente, momento de explorao

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do teclado da mquina, descobrir funes de algumas teclas, fazer comparaes.

Registro de Valores

hora de comear o registro de valores monetrios. No en-sine como registrar. Pea que eles faam no caderno registros de valores monetrios e verifique quais foram as notaes utilizadas.

Ex:

A partir das vrias notaes surgidas na turma que voc vai discutir qual a correta. A ltima notao pode aparecer se voc es-tiver trabalhando com crianas maiores ou com adultos. Uma inves-tigao realizada por Sueli Britto3 levantou essas e outras hipteses sobre como as crianas acham que se registra valores monetrios. importante que cada um de ns observemos quais so as hipte-ses de nossos estudantes. E no caso do estudante jovem ou adulto, quais so suas hipteses? Por certo devem ser bem diferentes das crianas e mais prximo do sistema oficial em funo de sua vivn-cia.

Sistematizar utilizando o material concreto: 50 centavos + 50 centavos = 100 centavos = 1 real.

A sapateira estendida pode ser utilizada para a soma e subtra-o de valores e atividades pontuais dirigidas por voc.

___________3 Professora da Escola Classe 304 Norte, mestre em Educao pela UnB.

Sueli Brito desenvolveu um projeto de pesquisa envolvendo o Sistema Monetrio Brasileiro e a avaliao no 2 ano do ensino fundamental. Esse trabalho mereceu o reconhecimento da Secretaria de Estado de Educao do Distrito Federal e de pesquisadores da rea de Educao Matemtica do Centro-Oeste e foi apresenta-do em congresso cientfico, alm do Ciclo de Oficinas promovido pela Sociedade de Educao Matemtica do Distrito Federal.

Ser que os algoritmos construdos e utilizados com os nmeros deci-mais so os mesmos tra-balhados com nmeros naturais?

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Resoluo de problemas

Em todas as atividades propostas, voc utilizou material con-creto, fez registros. Ao partir para a resoluo de problemas, no es-quea de tudo que foi construdo at aqui. Em vez de criar situaes mirabolantes e descontextualizadas, voc PODE e DEVE se utilizar das situaes que apareceram nas simulaes com os estudantes. Volte brincadeira e dela tire as situaes-problema para registro.

Multiplicao e Diviso de Nmeros Decimais

Vimos at agora que possvel trabalhar a representao, o registro e at a adio e subtrao de nmeros decimais por meio de material concreto e com atividades ldicas. Voc deve ter perce-bido que nas atividades o estudante no era informado: agora ns vamos fazer isto e depois vamos fazer aquilo. Atravs de situaes simuladas a partir da realidade do estudante ns podemos siste-matizar o conhecimento matemtico. Precisamos agora introduzir a multiplicao e diviso de nmeros decimais. Algum tem algu-ma idia?

Ao tratar de multiplicao e diviso de nmeros decimais, precisamos ter a clareza de que no devemos trabalhar nos anos iniciais todos os graus de dificuldade de multiplicao e diviso. No caso da multiplicao, quando o multiplicador um decimal, o sen-tido foge do nvel da compreenso do estudante dos anos iniciais. Esta situao deve ser trabalhada nos anos finais do ensino funda-mental. Da mesma forma, a diviso cujo divisor um nmero deci-mal, por vezes, requer que o estudante trabalhe com o conceito de medida na diviso que pode ainda no estar bem sedimentado. Por outro lado, tais situaes, sobretudo o da multiplicao com multi-plicador no inteiro, so de uso quase que nulo para o estudante de incio de escolarizao.

Em princpio, bom registrar que o nosso material de apoio o chocolate, a rapadura ou o doce impe algumas limitaes.

O Material Dourado

possvel trabalhar a multiplicao e a diviso de decimais com o Material Dourado. Veremos quais so as possibilidades e li-mites do uso deste material. Teremos que fazer uma transposio no material para que seja possvel trabalhar os decimais, o cubo a unidade, a placa o dcimo, o palito o centsimo e o cubinho o milsimo.

Podemos associar o material dourado s medidas de capaci-dade, como veremos a seguir:

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Confeccionando uma caixa de 1 decmetro cbico

Professor(a), como estamos associando o material dourado s medidas de capacidade, gostaramos que voc construsse com seus estudantes uma caixinha com cartolina, papelo, emborracha-do ou madeira, com as mesmas dimenses do cubo do material dourado, ou seja 10cm de comprimento, 10cm de largura e 10cm de altura (Aqui s para voc! Um segredinho: esta caixinha tem 1 decmetro cbico = 1 litro).

Agora, faa a seguinte experincia: mea 1 litro de gua, ser-ragem ou areia e despeje na caixinha. O que aconteceu? O que po-demos concluir?

Ateno, professor(a), NO JOGUE ESTA CAIXINHA FORA. Quando formos trabalhar Medidas de Capacidade e Volume, voc precisar dela.

Pea aos seus estudantes que tragam de casa recipientes di-versos: copos, garrafas, latas, etc. Com estas embalagens e utilizan-do a caixa de 10cm x 10cm x 10cm voc pode fazer diversas ativi-dades. Pergunte aos estudantes: quantos copos de 200 ml cabem dentro da caixa de 1 litro? 200 ml, ento, que parte do litro?

Gostaramos de ressaltar que, se o estudante desconhece to-talmente o material dourado, as possibilidades e dificuldades sero diferentes daquelas surgidas com estudantes que j conhecem e trabalham com esse material. importante que voc professor(a) avalie e redimensione o uso do material em funo das caractersti-cas da turma. Voc deve se perguntar: Ser que o estudante j est preparado para fazer esta mudana com o material? Ser que ele j tem esta elasticidade?

Voc pode conhecer mais sobre o material dourado procurando na internet em sites de busca (www.google.com.br; www.altavista.com ou http://pt.www.wikipedia.org). Um site, em especial, chamou a nossa ateno, trata-se do http://educar.sc.ups.br/matematica/l2t3htm

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Como essa representao com o material dourado sofre crti-cas de alguns educadores matemticos em funo das dificuldades que podem surgir desta nova representao (at que ponto o es-tudante ter pensamento flexvel para operar essa mudana sim-blica? Todos eles tm?), achamos que prefervel trabalhar com o transvasamento.

Podemos utilizar para o transvasamento garrafas de refrige-rante e outros recursos de medida como a seringa, conta-gotas, embalagens graduadas, etc.

Como vimos no primeiro fascculo, aprender matemtica no significa trabalhar somente com uma forma de representao de um mesmo objeto matemtico. O que garante a aprendizagem ma-temtica a coordenao das diversas formas de representao de um mesmo objeto.

Professor(a), neste sentido conveniente que voc retome o material de apoio, a barra de papel representar o litro (aqui uma representao forada que voc, como professor-pesquisador, po-der investigar averiguando as possibilidades). Estaremos fazendo um resgate das relaes de fraes com decimais como, por exem-plo, ao nos referirmos ao meio litro, etc. Aqui bom investigar com os estudantes vrias formas de representao da mesma medida, como por exemplo: meio litro = 500 ml = 0,5 l, etc.

Ao trabalhar com o transvasamento comparando recipientes de 500 ml, de 250 ml e de 200 ml com o litro, se o estudante respon-der que 500 ml representam meio litro, que 250 ml representam um quarto de litro e que 200 ml representam um quinto de litro, no tem porqu desprezar estas representaes fracionrias. Voc, professor(a), pode fazer este registro, afinal, esta sistematizao faz parte do processo de construo de esquemas mentais do estudan-te, absolutamente necessria para o posterior estudo de fraes.

Agora vamos apresentar um material muito importante...Professor(a), outro material que existe na maioria das esco-

las e, que se no existe de fcil confeco e de baixo custo, o BACO. Normalmente este material subtilizado na escola, ficando dentro de armrios, longe do alcance dos estudantes. Voc pode tirar este material das sombras para trabalhar operaes com n-meros decimais e medidas.

Para utilizar o baco nas situaes aqui propostas, o estudan-te j deve estar familiarizado com o seu uso, ou que, pelo menos, este seja um bom pretexto para que voc faa esta iniciao. No podemos esquecer que o baco uma poderosa mquina de cl-culo.

Ns temos dois tipos de baco: o vertical e o horizontal. Po-demos trabalhar tanto com o baco horizontal, aquele mais conhe-cido, como com o baco vertical. Veja abaixo a diferena entre os dois.

Voc pode conhecer um pouco mais sobre a histria dos bacos, sua construo e so-bre como utiliz-lo nos seguintes sites: www.m a t h e m a . c o m . b r , http://educar.sc.ups.br/matematica/l2t3htm, www.soroban.org/.

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baco Horizontal

Voc ainda se lembra como se trabalha com baco? Cada n-vel uma ordem. O primeiro nvel representa as unidades, o segun-do as dezenas, o terceiro as centenas, etc. Cada 10 contas de um nvel so trocadas por 1 conta do nvel seguinte.

Para trabalharmos nmeros decimais e medidas com o baco, ns vamos operar uma pequena transformao neste instrumento, da mesma forma que fizemos com o material dourado para favore-cer o estudo de decimais. O baco um material muito possante para o estudo de decimais, talvez at mais possante que o material dourado. O baco uma verdadeira mquina de calcular mecni-ca.

Mas que transformao esta? Bem, com fita adesiva colorida ou mesmo com o corretivo base dgua vamos fazer uma peque-na marca no baco no terceiro ou quarto nvel para separar a parte inteira da parte decimal. Acima da marca teremos unidade, dezena, centena, unidade de milhar, dezena de milhar e assim por diante. Abaixo da marca, teremos dcimos, centsimos, milsimos. Veja:

Professor(a), a marca feita no baco representa a vrgula, mas no diga isso aos seus estudantes. Procure agir como tem feito at agora, procure investigar se eles percebem isto. Indague, questione e simule situaes para que eles percebam que entre a parte de-cimal e a parte inteira existe a vrgula e que, portanto, os registros sero feitos com a vrgula. Pergunte a eles como poderamos, agora com essa marca, representar preos no baco e utiliz-lo para nos-sas simulaes de compra e venda.

Se considerarmos que o baco uma potente mquina de calcular e se fizermos com que o estudante se familiarize com ela, ns poderemos utiliz-la em diversas situaes. Podemos inclusive imaginar que naquela excurso ao mercadinho da quadra, o estu-

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dante, em vez de levar uma calculadora eletrnica, pode levar um baco para efetuar os clculos das situaes de compra e venda.

Vamos representar no baco a seguinte situao: Daniela to-mou, no sbado, 1litro e 250 ml de refrigerante, no domingo, ela tomou mais meio litro. Quanto de refrigerante ela tomou no final de semana inteiro?

Propomos a seguir, uma srie de atividades para serem feitas no baco horizontal. importante que os estudantes tenham em mos o baco para manuse-lo. Relembramos que todas as situ-aes devem ser contextualizadas. As atividades devem envolver, por exemplo, soma de quantidade de refrigerante, copos de gua, litros de combustvel, enfim, aquilo que for da realidade do estu-dante.

Representando medidas de capacidade no baco

Solicite aos seus estudantes que levem, para a sala de aula, garrafas, latas ou caixas e explore com eles a forma dos recipien-tes, os rtulos e veja como so representadas as capacidades (litros, mililitros). Em seguida, proponha que eles representem no baco estas quantidades.

Refrigerante retornvel 1litro e 250 mlRefrigerante 600 mlRefrigerante pet 2 litrosLata de leo 900 ml

Composio nutricional de alimentos

Ainda com embalagens vazias, voc pode explorar com os es-tudantes a composio nutricional dos alimentos comparando os seus valores calricos. Neste momento, a turma pode pensar sobre a importncia de uma alimentao balanceada. A partir desta dis-cusso pea que cada estudante construa o seu prprio cardpio, registrando a sua alimentao durante uma semana.

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Voc pode tambm discutir os hbitos alimentares das regi-es brasileiras e at de outros pases e como temos importado estes hbitos. Veja que este trabalho pode e deve ser integrado com Ci-ncias Naturais, Portugus, Histria e Geografia.

E onde entra a matemtica? Os clculos e as comparaes so prprios do fazer matemtico. Neste momento, use os rtulos e car-dpios para representar no baco quantos Kcal, quantos gramas e miligramas tm os alimentos.

Medindo estatura e partes do corpo

Aqui voc pode criar situaes bastante agradveis com os estudantes, uns medindo, outros comparando, e voc tambm pode entrar na dana, a coordenadora, o porteiro, os funcionrios da cantina, a direo, os pais. Quanto mais os estudantes medirem, melhor.

Pesando produtos

Nesta atividade, voc com os estudantes podem pesar sacos de feijo e muitos outros produtos da prpria merenda. Proponha uma entrevista com o pessoal da cantina para explorar o uso das medidas na preparao do lanche. Monte com os estudantes o questionrio da entrevista e verifique como so tratados os nme-ros com vrgula.

Os estudantes vo verificar que na cozinha h diversos tipos de medidas (copos, litros, gramas, colher, mo, pitada, etc.).

Aps a coleta destes, faa com os estudantes a representao no baco.

Construindo um baco

Caso a escola no tenha baco para todos os estudantes, voc pode propor a construo de bacos usando molduras velhas de quadro ou similar, contas ou objetos alternativos e linha de pesca.

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Agora a sua vez. Crie uma atividade de utilizao do baco com medidas de massa, comprimento e capacidade.

baco Vertical

O baco mais conhecido nas escolas o vertical, ele uma potente e gil mquina de calcular. Voc, professor(a), muito pro-vavelmente j o utilizou em alguma atividade de clculo com seus estudantes. Ainda no? Ento no perca esta oportunidade.

Apesar de pouco presente em nossas escolas, existe um outro baco bastante utilizado, especialmente no ensino especial, que o baco vertical 41 . Este baco menos gil, mas mais livre pois pos-sibilita as trocas de maneira mais simples e mais concretas, uma vez que o estudante vai manusear as contas ao efetuar estas trocas.

O baco vertical tem uma configurao muito prxima do QVL, veja:

Salientamos aqui que o uso do baco para o ensino de deci-mais e medidas deve acontecer apenas no 3 e 4 anos e, na educa-o de jovens e adultos, recomendamos que a ponte seja o sistema monetrio o manuseio de dinheiro.

Multiplicao de Decimais

No 3 e 4 anos s vamos trabalhar a multiplicao de decimais quando o multiplicador for um nmero natural. As multiplicaes de decimais por decimais devem ser remetidas aos anos seguintes do ensino fundamental. H, hoje, uma discusso que aponta que determinados clculos com decimais e fraes devem acontecer apenas no 7 ano.

importante que voc trabalhe situaes como estas abaixo:

2 de 1.5 Kg

3 de 1,75 m

2 de 1,250 m

4 O programa de alfabetizao matemtica do Projeto de Ensino Especial da UnB/FE tem pesquisado e validado vrias experincias com a utilizao do soroban.

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4 de 1,700 km

5 de R$ 0,25

Em outras palavras, voc deve privilegiar situaes multiplica-tivas concretas da realidade do estudante e que envolva o sistema legal de medidas e o sistema monetrio brasileiro. Voc j percebeu que estamos sempre falando de medidas sem sistematizar. Este exatamente o gancho que precisamos para trabalhar com as medi-das posteriormente. Aguarde!

Observe que em todas as situaes acima usamos a preposi-o de. Esta preposio uma importante ferramenta da formao de grupos (Vigotski).

Situao 1 Tomemos como exemplo a situao 5 de R$ 0,25. Como podemos representar esta situao? Com que mate-rial?

Isto ser muito fcil se percebermos as diversas possibilida-des e a importncia de correlacionar estas vrias formas de repre-sentao. Voc pode e deve pedir aos estudantes que representem esta situao no material de chocolate, no material dourado, com o baco e at com o QVL estendido. esta mudana de representa-o que vai garantir a compreenso e a apreenso do objeto.

Ei, professor(a), hora de acordar. Se estamos trabalhando com dinheiro, natural que o estudante tambm queira representar com moedas. uma boa oportunidade de voltar a mexer nas moedinhas que a turma criou.

Agora que voc trabalhou as diversas formas de representa-o, que tal se comearmos a sistematizar os registros?

importante que voc crie situaes com embalagens e en-cartes. Mas no se esquea, sempre que criar uma situao-proble-ma, faa com que os estudantes utilizem, pelo menos, duas formas de representao concreta.

Agora a sua vez. Represente com pelo menos dois tipos de material a seguinte situao: Comprei 3 garrafas de refrigerante re-tornvel de 1l e 250 ml. Quantos litros comprei?

No se esquea de fazer o registro nos espaos laterais e co-mentar com seus colegas e professor. No precisamos mais dizer que as situaes devem ser variadas e em quantidade suficiente para as formulaes mentais dos estudantes.

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Diviso com DecimaisNosso trabalho com decimais no incio deste mdulo come-

ou com a diviso de chocolates. Voc se lembra qual foi o conceito de diviso utilizado? Vamos relembrar? Para dividir 11 chocolates entre 10 amigos usamos a idia de repartir ou partilhar. Existe outra idia de diviso. o que veremos a seguir.

O primeiro conceito ou idia de diviso est associado par-tilha, por exemplo, tenho 6 bales e quero repartir entre duas crian-as. Nesta situao eu j sei quantos grupos vou formar. Tenho 2 grupos. Neste conceito, o divisor sempre ser um nmero natural.

O segundo conceito ou idia de diviso o de medida. Utili-zando o mesmo exemplo, podemos propor, tenho 6 chocolates e quero dividi-los de dois em dois. Em termos numricos a mesma coisa, entretanto, a idia que est embutida nesta situao a se-guinte: quantas vezes o 2 cabe no 6?

Na situao de partilha, o divisor indica sempre o nmero de grupos, enquanto que, na medida, o divisor diz quantos objetos h por grupo. Na partilha, buscamos saber quantos elementos dare-mos para cada grupo, enquanto que, na medida, buscamos saber quantos grupos poderemos formar.

Assim:

na partilha: sabemos quantos ganharo, mas no quan-to cada um ganhar. Ex: repartir as balas entre 2 crianas, quanto cada uma receber?

na medida: sabemos quantos cada um ganhar, mas no sabemos quantos ganharo. Ex: repartir as balas dando 2 balas para cada criana. Para quantas crianas poderei dis-tribuir os bales?

Vamos representar estes dois conceitos de diviso:

No nosso estudo de decimais vamos trabalhar com o conceito de partilha e o conceito de medida, todavia bom que voc saiba que existe um questionamento sobre a viabilidade de se trabalhar o conceito de medida na diviso de decimais nos anos iniciais. importante que voc observe o potencial dos seus estudantes para decidir por essa explorao ou no.

Vamos trabalhar juntos duas situaes: natural dividido por natural e decimal dividido por natural. Poderamos trabalhar atra-vs da idia de medidas a diviso de natural por decimal e de deci-

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mal por decimal, entretanto, achamos pertinente deixar esta noo para o 5 ano.

Vamos voltar ao nosso material de apoio. Estaremos a partir de agora retornando ao nosso chocolate. Em todas estas situaes preciso que o estudante tenha o material de apoio e a tesoura em mos.Natural: Natural

Nesta primeira situao, queremos dividir 5 chocolates por 2 crianas. Vamos pegar o material e observar o registro?

Neste momento o estudante pode dizer 5 chocolates dividi-dos por 2 crianas d 2 chocolates e meio. Voc deve desconsiderar isto? De maneira alguma. Esta uma bela maneira de voc comear a construir com seu estudante a noo de frao.

Professor(a), voc no pode e nem deve ser econmico no desenvolvimento de algoritmos. Cada manipulao do material concreto deve corresponder a um registro. Se assim no ocorre, sobretudo em se tratando da educao de jovens e adultos, o es-tudante no vai exteriorizar seu pensamento. Entretanto, a ausn-cia de registro no papel no significa a ausncia de pensamento. O estudante ao no fazer o registro esperado, reproduzindo aqueles algoritmos tradicionais, os quais estamos to acostumados, est apenas demonstrando que seu raciocnio percorreu caminhos dife-rentes e nesse momento sua mediao importante para entender esse caminho, j que o olhar de cada um diferente!

Vejamos outra situao: Tenho 5 chocolates e agora quero di-vidir entre 4 pessoas.

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Podemos fazer esta mesma operao assim:

Estamos sempre repetindo a mesma questo. Voc j deve es-tar se enjoando disto, mas extremamente importante que o estu-dante manipule o material, que corte e recorte o material. Voc no pode prescindir desta manipulao concreta, a partir dela que a criana estar construindo estruturas mentais de pensamento para a internalizao da ao.

Vejamos agora uma outra situao. Comprei 10 chocolates e quero dividi-los igualmente entre meus 8 sobrinhos.

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Agora sua vez. Resolva passo a passo a situao abaixo. No se esquea de utilizar o material.

Tenho 9 chocolates e quero dividi-los entre 8 pessoas.Ns queremos que isso fique bastante fixado, por isso vamos

lhe propor uma outra situao. No interrompa os seus estudos at que a finalize. Divida 10 chocolates por 9 pessoas. No se esquea, no pode sobrar chocolate, nem uma migalhinha. No espao abai-xo faa os registros correspondentes diviso feita com o material. E ateno, voc s vai largar este fascculo quando chegar ao fim desta diviso.

Enquanto voc no termina o exerccio anterior, vamos dividir 4 chocolates para 5 crianas? Opa! E agora no d chocolate inteiro para as crianas. Como vamos fazer? Do mesmo jeito. Ou seja:

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Decimal: Natural

Professor(a), at aqui dividimos apenas natural por natural. Agora vamos ver as situaes em que tenho que dividir um decimal por um natural, ou melhor dizendo, vamos dividir 2,4 por 2.

Na situao acima, ser que no esquecemos nada? O que voc acha?

Opa! Estamos esquecendo de contextualizar as situaes. Va-mos ento refazer a mesma situao. Tenho 2 chocolates e 4 peda-os ou 2 inteiros e 4 dcimos (mostrar no material) e quero dividir entre 2 crianas.

Vamos repetir a mesma operao, s que agora vamos propor uma outra forma. Que tal voc test-la para ver a receptividade dos estudantes. Veja:

Vamos testar esta nova forma com outras situaes:1. Tenho 4,86 m de tecidos para fazer 2 vestidos iguais. Quan-

to vou gastar em cada vestido?

DC.

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2. Em um rolo de fita adesiva, restam 3,12m. Preciso dividi-la igualitariamente entre 2 professores. Quanto cada um receber?

3. A Escola Monteiro Lobato tem um espao de 5,14m de largura para fazer um jardim. Uma turma quer plantar 4 tipos de flores diferentes. Que largura ocupar cada uma das flores?

CEN

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At aqui voc pode estar se questionando: por que tantas atividades prticas e no listas de exerccios? Sua dvida procede, porm s podemos pensar na construo de conceitos a partir da AO.

A necessidade do uso do material concreto indiscutvel em qualquer situao de aprendizagem matemtica nos anos iniciais. Aqui cabe ateno especial aos professores do Ensino Especial que sabem que, em caso de comprometimento de qualquer funo cerebral, o manuseio de material ajuda as funes cerebrais em sua reorganizao, isto , habilidades semelhantes quela perdida passam a ser elaboradas por outra parte do crebro. a utilizao constante do material concreto que desenvolve potencialidades por estar trabalhando com estruturas mentais poderosas. Assim, as atividades propostas so vlidas para estudantes do ensino regular, mas assumem importncia maior quando envolve o estudante por-tador de necessidade especial.

Vygotsky (1997, p.49-50) afirma que a dificuldade gerada pela ausncia de determinado sentido desenvolve a estrutura psquica. Exemplifica que, no caso das pessoas cegas, h um aumento de memria, de ateno e das atitudes verbais. O autor considera que a compensao de qualquer defeito no se limita a perda de uma funo, mas que esta situao a fora propulsora de uma reorga-nizao radical de toda a personalidade que pe em vigor novas foras psquicas, impondo-lhe novas direes.

Recentemente, observando um estudante da rede pblica do DF vimos que, apesar de ter a viso muito comprometida, ele no deixou de praticar esportes (voleibol e futebol) com os colegas da turma. Indagado sobre como jogava sem enxergar nitidamente a bola, a menos que estivesse muito prxima, ele disse que sentia a bola chegando.

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2 Medidas

Objetivos: conceituar a medida como processo de quantificao; discutir habilidades ligadas s medidas no currculo dos anos iniciais; conceber uma proposta metodolgica de construo da noo de medida, definio de unidades, confeco e utilizao de instrumentos; desenvolver uma proposta integradora de ensino de medidas e nmeros decimais; reconhecer a presena das medidas nas situaes cotidianas do estudante e em situa-es de seu contexto sociocultural; e aplicar os princpios norteadores do trabalho com medidas no currculo nas diferentes grandezas de medidas: comprimento, massa e capacidade.

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Caro(a) Cursista, Na Seo 2 trabalharemos a medida como processo de quan-

tificao e discutiremos os princpios norteadores das habilidades a serem desenvolvidas no currculo dos anos iniciais.

Ao final, voc deve compreender como construir os concei-tos de medidas de comprimento, massa e capacidade de forma sig-nificativa.

A principal atividade da seo 2 ser pesquisar a histria do sistema legal de medidas e, em especial, a sua adoo pelo Brasil. Alm disso, voc dever construir atividades para a sala de aula que possibilitem o uso de instrumentos de medidas e que leve o estu-dante a medir.

MEDIDAS

Agora entraremos num ponto delicado da Matemtica! Vocs podem estar se perguntando: MATEMTICA DELICADA? Sim, esta-mos mergulhando na seara dos sentimentos e percepes.

Mas a coisa sria. Ao trabalharmos com a medida de espao e tempo estamos trabalhando com a dimenso psicolgica que ns, professores, no podemos negar est presente em toda atividade matemtica, ou seja, a ao matemtica nunca exclusivamente de domnio da cognio, pois a afetividade sempre desempenha papel preponderante nas aes matemticas desempenhadas pelo estudante, notadamente aquelas relacionadas autoconfiana, s percepes espaciais, temporais e espao-temporais, percepes sobre as quantidades, etc. Especialmente quando a atividade ma-temtica envolve noes, conceitos ligados ao espao e ao tempo. As noes de espao e de tempo tm forte influncia de domnios outros que no o da cognio. Essas medidas esto permeadas de emoes.

Quantas vezes todos ns, ao passarmos por situaes de ris-co, medo, constrangimento, achamos que durou uma eternidade, ao contrrio de situaes prazerosas que parecem ter voado? Essa dimenso psicolgica do tempo muito importante, j que a cons-truo do ser humano perpassa as dimenses matemtica, psico-lgica, afetiva, j que as aprendizagens so construes do sujeito histrico. Por isso, questionamos at que ponto a definio de ensi-no correta. O que podemos ensinar? Construmos o aprendizado internamente com as nossas percepes, com administrao pr-pria de tempo permeando esse aprender com nossas vivncias de contexto social.

Para alguns matemticos, como o francs Poincar, o conhe-cimento algbrico se constri olhando para dentro (construo de ordem interna). J a Geometria e a noo de tempo so construdas com o olhar para fora (construo de ordem externa) e essa diferen-a epistemolgica fundamental para aquele que quer ser media-dor na construo do conhecimento do estudante. Como organizar os espaos de aprendizagem quando se trata de medidas de espa-o e tempo, se tais objetos mate