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INTRODUCCIONMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE DISPERSION

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL YMEDIDAS DE DISPERSION

RELACIONES LABORALESESTADISTICA

16 de noviembre de 2009

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE DISPERSION



1 INTRODUCCION

2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIASMEDIANAMODA

3 MEDIDAS DE DISPERSIONRANGO O RECORRIDO (Re)

VARIANZA (S2X ). DESVIACION TIPICA (SX )

COEFICIENTE DE VARIACION CVX




INTRODUCCION

Pasos Realizados

Recogida de datos:{Ordenacion 99K TABLAS DE FRECUENCIAS

Sıntesis Visual 99K REPRESENTACIONES GRAFICAS

Siguiente Paso

Resumir la informacion contenida en las Tablas de Frecuencias.




Objetivos

Obtener ciertos valores que nos den la informacion contenida en elconjunto de datos.

Se consigue

Informacion resumida.

Comparar series estadısticas.




MEDIDAS ESTADISTICAS

Medidas de Tendencia Central

1 Medias

Media AritmeticaMedia Aritmetica PonderadaMedia ArmonicaMedia Geometrica

2 Mediana

3 Moda





Medidas de Dispersion

1 Recorrido

2 Desviaciones

3 Varianza y Desviacion Tıpica

4 Coeficiente de Variacion





Medidas de Posicion

1 Cuartiles

2 Deciles

3 Centiles




OTRAS MEDIDAS ESTADISTICAS

1 Medidas de FormaSimetrıaApuntamiento

2 Medidas de ConcentracionCurva de LorenzIndice de Gini




MEDIASMEDIANAMODA

1 INTRODUCCION

2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIASMEDIANAMODA

3 MEDIDAS DE DISPERSIONRANGO O RECORRIDO (Re)

VARIANZA (S2X ). DESVIACION TIPICA (SX )

COEFICIENTE DE VARIACION CVX




MEDIASMEDIANAMODA

Introduccion

Objetivo

Proporcionan valores representativos del conjunto de datos. Sepretende promediar, con determinados criterios, las seriesestadısticas.

Ejemplo

1, 3, 5, 7, 9 99K 5

Ejemplo

22, 33, 50, 50, 90 99K 50




MEDIASMEDIANAMODA

Consideraremos, a partir de ahora, solo variables cuantitativas.

Las definiciones se realizaran sobre variables discretas y segeneralizaran, posteriormente, a variables continuas.




MEDIASMEDIANAMODA

Media Aritmetica (X )

Media Aritmetica Ponderada (X p)

Media Armonica (X a)

Media Geometrica (X g )




MEDIASMEDIANAMODA

Media Aritmetica (X )

Criterio

Repartir el total de las observaciones de forma equitativa.

Notacion

Supongamos la variable estadıstica X , su media serepresentara por:

X

Definicion

Se define la media aritmetica como la suma de las observacionesdividida por el numero total de observaciones.




MEDIASMEDIANAMODA

Ejemplo 1

3, 5, 5, 9, 10

X =3 + 5 + 5 + 9 + 10

5=

32

5= 6,4

Ejemplo 2. Calcular X =?

xi ni

xini

3 5

3 · 5

4 10

4 · 10

6 8

6 · 8

8 2

8 · 2

25

119

X =3 · 5 + 4 · 10 + 6 · 8 + 8 · 2

25= 4,76




MEDIASMEDIANAMODA

Ejemplo 1

3, 5, 5, 9, 10

X =3 + 5 + 5 + 9 + 10

5=

32

5= 6,4

Ejemplo 2. Calcular X =?

xi ni xini

3 5 3 · 54 10 4 · 106 8 6 · 88 2 8 · 2

25 119

X =3 · 5 + 4 · 10 + 6 · 8 + 8 · 2

25= 4,76




MEDIASMEDIANAMODA

Expresion

x =x1n1 + x2n2 + · · ·+ xknk

n=

k∑i=1

xini

n

x =x1n1

n+

x2n2

n+ · · ·+ xknk

n=

k∑i=1

xi fi




MEDIASMEDIANAMODA

Media en Variable Continua

Se calculan las marcas de clase y se procede como en el caso devariable discreta.

Ejemplo

(Li−1, Li ] ni

0− 10 1510− 20 1520− 40 2040− 60 50

100




MEDIASMEDIANAMODA

Solucion

(Li−1, Li ] xi ni xini

0− 10 5 15 5 · 1510− 20 15 15 15 · 1520− 40 30 20 30 · 2040− 60 50 50 50 · 50

100 3400

X =3400

100= 34




MEDIASMEDIANAMODA

Media Aritmetica Ponderada (X p)

¿Que puntuacion le darıas a cada empleado?

Empleado 1

Secciones Horas Puntuacion

S 1 2 8

S 2 4 5

S 3 2 8

Empleado 2

Secciones Horas Puntuacion

S 1 3 7

S 2 3 7

S 3 2 6

No todas las observaciones tienen la misma importancia. Lasobservaciones viene acompanadas de unas cantidades,denominadas pesos, que establecen la importancia que se le asignaa cada observacion.




MEDIASMEDIANAMODA

Observaciones X1 X2 · · · Xn

Pesos W1 W2 ... Wn

Definicion

X p =X1W1 + X2W2 + · · ·+ XnWn

W1 + W2 + · · ·+ Wn=

n∑i=1

XiWi

n∑i=1

Wi

Variable Continua: Marca de Clase

Ejemplos

“Horas semanales y notas”, “notas en teorıa, problemas ypracticas”, “problemas de mezclas”...




MEDIASMEDIANAMODA

Ejercicio

X Xp

Empleado 1 8+5+83 = 7 8·2+5·4+8·2

2+4+2 = 6,5

Empleado 2 7+7+63 = 6,6667 7·3+7·3+6·2

3+3+2 = 6,75




MEDIASMEDIANAMODA

Media Armonica (X a)

Ejemplo

Un automovil realiza un viaje de ida y vuelta, en un tramo 120 deKilometros, la ida a 120 Km/h y la vuelta a 60 Km/h. Calcule lavelocidad media en el viaje.

Definicion

El cociente entre el numero de observaciones y la suma de losinversos de las observaciones.




MEDIASMEDIANAMODA

1, 2, 6 −→

X a =3

1

1+

1

2+

1

6

= 1,8

xi ni

2 105 20

10 10−→

X a =40

1

210 +

1

520 +

1

1010

= 4




MEDIASMEDIANAMODA

1, 2, 6 −→ X a =3

1

1+

1

2+

1

6

= 1,8

xi ni

2 105 20

10 10−→

X a =40

1

210 +

1

520 +

1

1010

= 4




MEDIASMEDIANAMODA

1, 2, 6 −→ X a =3

1

1+

1

2+

1

6

= 1,8

xi ni

2 105 20

10 10−→ X a =

401

210 +

1

520 +

1

1010

= 4




MEDIASMEDIANAMODA

Definicion

X a =n

1

x1n1 +

1

x2n2 + · · ·+ 1

xknk

=n

k∑i=1

1

xini


Observaciones

No tiene sentido si un valor es nulo.




MEDIASMEDIANAMODA

Problema

Supongamos que semanalmente dedicamos 10e en algun tipo deapuesta:

La primera semana lo invertimos en apuestas que nos cuesta,cada una, 2e

La segunda semana lo invertimos en apuestas que nos cuesta,cada una, 1e

La tercera semana lo invertimos en apuestas que nos cuesta,cada una, 2.5e

¿Cual es el gasto medio por apuesta a lo largo de las tres semanas?




MEDIASMEDIANAMODA

Media Geometrica (X g)

Definicion

La raız n-esima del producto de las observaciones.

1, 8, 27 −→

X g = 3√

1× 8× 27 = 6

xi ni

1 42 38 2

−→

X g =9√

14 · 23 · 82 = 2




MEDIASMEDIANAMODA


Definicion


1, 8, 27 −→ X g = 3√

1× 8× 27 = 6

xi ni

1 42 38 2

−→

X g =9√

14 · 23 · 82 = 2




MEDIASMEDIANAMODA


Definicion


1, 8, 27 −→ X g = 3√

1× 8× 27 = 6

xi ni

1 42 38 2

−→ X g =9√

14 · 23 · 82 = 2




MEDIASMEDIANAMODA

Expresion

X g = n

√xn1

1 · xn22 · · · x

nkk


Para que tenga sentido de forma general las observaciones tienenque ser positivas.




MEDIASMEDIANAMODA

Ejemplos

Suelen utilizarse en promedios relacionados con intereses,proporciones, ındices...

Problema

Una persona tiene invertido dinero en dos tipos de accionesA y B. Un determinado ano la relacion entre el precio de laaccion A y el precio de la accion B (Precio de A/Precio deB) fue de 1.25, el siguiente ano dicha relacion paso a 3.2.Supongamos que calculamos la media de dichas relaciones yla media de las relaciones inversas (Precio de B/Precio deA).¿Que tipo de media (X , Xa o Xg ) serıa la adecuada para que severificase que una de las medias fuese la inversa de la otra?




MEDIASMEDIANAMODA

Comparacion de medias

Calcule las diferentes medias para las observaciones: 1, 4

Se verifica de forma general en valores positivos:

X a ≤ X g ≤ X




MEDIASMEDIANAMODA

Mediana (Me)

Observacion

Supuesta las observaciones ordenadas en sentido creciente.

Definicion

1 El valor que ocupa el lugar central de la distribucion.

2 El valor que deja el mismo numero de observaciones a suizquierda que a su derecha.

3 El valor que deja la mitad de las observaciones (50 %) a suizquierda y la otra mitad (50 %) a la derecha.




MEDIASMEDIANAMODA

Variable discreta

Impares

1, 3, 6, 9, 11 99K Me = 6

Posicion Central: E (n2 ) + 1

Pares

12, 16, 18, 26 99K Me =16 + 18

2= 17

Posicion Central: n2 y n

2 + 1




MEDIASMEDIANAMODA

Calcule las medianas de las siguientes distribuciones discretas.

Impares

xi ni Ni

3 41 415 60 101

11 50 15116 40 19120 10 201

201

P. central → 101⇒ Me = 5

Pares

xi ni Ni

5 40 407 60 100

11 50 15014 40 19025 10 200

200

P. centrales → 100 y 101⇒Me = 7+11

2 = 9




MEDIASMEDIANAMODA

Mediana Variable Discreta

Me =

xi si Ni−1 < n

2 < Ni

xi + xi+1

2si n

2 = Ni




MEDIASMEDIANAMODA

Obtener la mediana de la siguiente distribucion:

xi ni

Ni

10 3

3

12 7

10← n

2 = 14

15 8

18

18 6

24

21 4

28

28

1 Calcular la columna de las Ni

2 Obtenern

2= 14

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Determinar la mediana:Me = 15




MEDIASMEDIANAMODA


xi ni Ni

10 3 3

12 7 10

← n2 = 14

15 8 18

18 6 24

21 4 28

28


2 Obtenern

2= 14

3 Localizarn

2el la columna Ni





MEDIASMEDIANAMODA


xi ni Ni

10 3 3

12 7 10← n

2 = 1415 8 18

18 6 24

21 4 28

28


2 Obtenern

2= 14

3 Localizarn

2el la columna Ni





MEDIASMEDIANAMODA


xi ni

Ni

30 10

10

40 5

15

70 10

25 ← n2 = 25

90 10

35

100 15

50

50


2 Obtenern

2= 25

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Determinar la mediana:

Me =70 + 90

2= 80




MEDIASMEDIANAMODA


xi ni Ni

30 10 10

40 5 15

70 10 25

← n2 = 25

90 10 35

100 15 50

50


2 Obtenern

2= 25

3 Localizarn

2el la columna Ni


Me =70 + 90

2= 80




MEDIASMEDIANAMODA


xi ni Ni

30 10 10

40 5 15

70 10 25 ← n2 = 25

90 10 35

100 15 50

50


2 Obtenern

2= 25

3 Localizarn

2el la columna Ni


Me =70 + 90

2= 80




MEDIASMEDIANAMODA

Mediana Variable Continua

Ejemplo

(Li−1, Li ] ni Ni

0− 10 15 1510− 20 15 3020− 40 20 5040− 60 50 100

100

Me =

40

Si coincide, es el extremosuperior del intervalo.

Ejemplo

(Li−1, Li ] ni Ni

0− 30 5 530− 60 10 1560− 90 15 30

90− 120 20 50

50

Me =?




MEDIASMEDIANAMODA

Mediana Variable Continua

Ejemplo

(Li−1, Li ] ni Ni

0− 10 15 1510− 20 15 3020− 40 20 5040− 60 50 100

100

Me = 40

Si coincide, es el extremosuperior del intervalo.

Ejemplo

(Li−1, Li ] ni Ni

0− 30 5 530− 60 10 1560− 90 15 30

90− 120 20 50

50

Me =?




MEDIASMEDIANAMODA

30 60 90 120

5

15

30

50

n2 = 25

Me




MEDIASMEDIANAMODA

Ni−1

Ni

Li−1 Li

n2

Me

x

Ai

Ni − Ni−1 = nin2− Ni−1

n2− Ni−1

Me = Li−1 + xx

Ai=

n2 − Ni−1

ni




MEDIASMEDIANAMODA

Ni−1

Ni

Li−1 Li

n2

Me

x

Ai


n2− Ni−1

Me = Li−1 + x

x

Ai=

n2 − Ni−1

ni




MEDIASMEDIANAMODA

Ni−1

Ni

Li−1 Li

n2

Me

x

Ai

Ni − Ni−1 = ni

n2− Ni−1

n2− Ni−1

Me = Li−1 + x

x

Ai=

n2 − Ni−1

ni




MEDIASMEDIANAMODA

Ni−1

Ni

Li−1 Li

n2

Me

x

Ai


n2− Ni−1

Me = Li−1 + x

x

Ai=

n2 − Ni−1

ni




MEDIASMEDIANAMODA

Ni−1

Ni

Li−1 Li

n2

Me

x

Ai


n2− Ni−1

Me = Li−1 + xx

Ai=

n2 − Ni−1

ni




MEDIASMEDIANAMODA

Mediana Variable continua

Me = Li−1 + x

x

Ai=

n2 − Ni−1

ni

Expresion

Me = Li−1 +n2 − Ni−1

niAi




MEDIASMEDIANAMODA

(Li−1, Li ] xi ni

Ni

Ai

0− 10 5 10

10

10

10− 20 15 5

15

10

← n2 = 30

20− 30 25 40

55

10

30− 35 32,5 3

58

5

35− 40 37,5 2

60

5

60

1 Calcular la columna Ni

2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me =

20

+

30

−

15

4010

=

23,75




MEDIASMEDIANAMODA

(Li−1, Li ] xi ni Ni Ai

0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10

← n2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me =

20

+

30

−

15

4010

=

23,75




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10← n

2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me =

20

+

30

−

15

4010

=

23,75




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10← n

2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me = 20 +

30

−

15

4010

=

23,75




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10← n

2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me = 20 +30−

15

4010

=

23,75




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10← n

2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me = 20 +30− 15

4010

=

23,75




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10← n

2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me = 20 +30− 15

40

10

=

23,75




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10← n

2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me = 20 +30− 15

4010 =

23,75




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 10

10− 20 15 5 15 10← n

2 = 30

20− 30 25 40 55 10

30− 35 32,5 3 58 5

35− 40 37,5 2 60 5

60


2 Obtenern

2= 30

3 Localizarn

2el la columna Ni

4 Intervalo mediano

5 Calcular Mediana

Me = 20 +30− 15

4010 = 23.75




MEDIASMEDIANAMODA

Moda (Mo)

Definicion

Es el valor que lleva asociado mayor frecuencia absoluta, es decir elvalor que mas se repite.

Tiene sentido en cualquier tipo de variable.

Variable discreta

2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8 99K Mo = 4

Puede existir mas de una moda.Distribuciones bimodales, trimodales...




MEDIASMEDIANAMODA

Ejemplo 1

Nacionalidad de las personas quese encuentran en un aeropuerto.

xi ni

Fran. 40Alem. 80Ital . 40Ing . 30Esp. 10

200

Mo = Alem.

Ejemplo 2

xi ni

5 407 60

11 5014 4025 10

200

Mo = 7




MEDIASMEDIANAMODA

Moda Variable continua

Ejemplo

(Li−1, Li ] ni Ai

hi

0− 10 10 10

1

10− 20 20 10

2

20− 30 30 10

3

30− 50 30 20

1,5

90

Mo =?

Ver Excel: Moda




MEDIASMEDIANAMODA

Moda Variable continua

Ejemplo

(Li−1, Li ] ni Ai hi

0− 10 10 10 110− 20 20 10 220− 30 30 10 330− 50 30 20 1,5

90

Mo =?

Ver Excel: Moda




MEDIASMEDIANAMODA

10 20 30 50

1

1,5

2

3

M0




MEDIASMEDIANAMODA

10 20 30 50




MEDIASMEDIANAMODA

Li−1 Li

hi−1

hi+1

hi

M0

x

Ai

hi − hi−1

hi − hi+1Ai − x

Mo = Li−1 + xx

hi − hi−1=

Ai − x

hi − hi+1




MEDIASMEDIANAMODA

Li−1 Li

hi−1

hi+1

hi

M0

x

Ai

hi − hi−1

hi − hi+1Ai − x

Mo = Li−1 + x

x

hi − hi−1=

Ai − x

hi − hi+1




MEDIASMEDIANAMODA

Li−1 Li

hi−1

hi+1

hi

M0

x

Ai

hi − hi−1

hi − hi+1

Ai − x

Mo = Li−1 + x

x

hi − hi−1=

Ai − x

hi − hi+1




MEDIASMEDIANAMODA

Li−1 Li

hi−1

hi+1

hi

M0

x

Ai

hi − hi−1

hi − hi+1Ai − x

Mo = Li−1 + x

x

hi − hi−1=

Ai − x

hi − hi+1




MEDIASMEDIANAMODA

Li−1 Li

hi−1

hi+1

hi

M0

x

Ai

hi − hi−1

hi − hi+1Ai − x

Mo = Li−1 + xx

hi − hi−1=

Ai − x

hi − hi+1




MEDIASMEDIANAMODA

Moda Variable Continua

Mo = Li−1 + x

x

hi − hi−1=

Ai − x

hi − hi+1

Expresion

Mo = Li−1 +hi − hi−1

hi − hi−1 + hi − hi+1Ai




MEDIASMEDIANAMODA

Distribuciones de amplitud constante

Formula alternativa

Mo = Li−1 +ni − ni−1

ni − ni−1 + ni − ni+1Ai




MEDIASMEDIANAMODA

(Li−1, Li ] xi ni Ai

hi

0− 10 5 10 10

1

10− 20 15 5 10

0,5

20− 30 25 40 10

4

30− 35 32,5 3 5

0,6

35− 40 37,5 2 5

0,4

60

1 Calcular la columna hi

2 Intervalo Modal⇒Mayor altura

3 Calcular Moda

Mo =

20

+

4− 0,5

4− 0,5

+

4− 0,610

=

Mo =

25,0725




MEDIASMEDIANAMODA

(Li−1, Li ] xi ni Ai hi

0− 10 5 10 10 1

10− 20 15 5 10 0,5

20− 30 25 40 10 4

30− 35 32,5 3 5 0,6

35− 40 37,5 2 5 0,4

60



3 Calcular Moda

Mo =

20

+

4− 0,5

4− 0,5

+

4− 0,610

=

Mo =

25,0725




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 1

10− 20 15 5 10 0,5

20− 30 25 40 10 4

30− 35 32,5 3 5 0,6

35− 40 37,5 2 5 0,4

60



3 Calcular Moda

Mo = 20+

4− 0,5

4− 0,5

+

4− 0,610

=

Mo =

25,0725




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 1

10− 20 15 5 10 0.5

20− 30 25 40 10 4

30− 35 32,5 3 5 0,6

35− 40 37,5 2 5 0,4

60



3 Calcular Moda

Mo = 20+4− 0,5

4− 0,5

+

4− 0,610

=

Mo =

25,0725




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 1

10− 20 15 5 10 0.5

20− 30 25 40 10 4

30− 35 32,5 3 5 0,6

35− 40 37,5 2 5 0,4

60



3 Calcular Moda

Mo = 20+4− 0,5

4− 0,5 +

4− 0,610

=

Mo =

25,0725




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 1

10− 20 15 5 10 0,5

20− 30 25 40 10 4

30− 35 32,5 3 5 0.6

35− 40 37,5 2 5 0,4

60



3 Calcular Moda

Mo = 20+4− 0,5

4− 0,5 + 4− 0,6

10

=

Mo =

25,0725




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 1

10− 20 15 5 10 0,5

20− 30 25 40 10 4

30− 35 32,5 3 5 0,6

35− 40 37,5 2 5 0,4

60



3 Calcular Moda

Mo = 20+4− 0,5

4− 0,5 + 4− 0,610 =

Mo =

25,0725




MEDIASMEDIANAMODA


0− 10 5 10 10 1

10− 20 15 5 10 0,5

20− 30 25 40 10 4

30− 35 32,5 3 5 0,6

35− 40 37,5 2 5 0,4

60



3 Calcular Moda

Mo = 20+4− 0,5

4− 0,5 + 4− 0,610 =

Mo = 25.0725




MEDIASMEDIANAMODA

Distribuciones simetricas

Calcular X , Me y Mo

(Li−1, Li ] xi ni

0− 10 510− 20 1020− 30 1530− 40 1040− 50 5

En distribuciones simetricas coinciden X y Me y, si es unimodal,coinciden las tres. Se corresponden con el punto medio de ladistribucion.




RANGOVARIANZA Y DESVIACION TIPICACOEFICIENTE DE VARIACION

Medidas de Dispersion

Introduccion

Medias1 1 99 99 → 50

49 50 50 51 → 50

La representatividad de las medidas de tendencia central nosiempre se consiguen.

Serıa interesante acompanar estas medidas de otras que nosindicara en cual de las situaciones nos encontramos.





Dispersion Baja

20 40 60 80 100

102030405060708090

100

10 30 50 70 90

102030405060708090

100

Dispersion Alta

20 40 60 80 100

102030405060708090

100

10 30 50 70 90

102030405060708090

100





Definicion

Caracterizan la forma en la que se reparten los datos, unos conrespecto a otros, o todos con respecto a un valor central.

Aparecen relacionada con:

Representatividad de las medidas de tendencia central.

Proximidad o lejanıa

Separacion

Variabilidad

Homogeneidad y heterogeneidad





Recorrido (Re)

Definicion

Se define como la diferencia entre la mayor y la menor observacion.

Variable Discreta:

5, 7, 8, 9

Re = 9− 5 = 4

Variable continua:

(Li−1, Li ] ni

5-10 410-15 615-20 820-25 5

Re = 25− 5 = 20





¿Como cuantificarıas el grado de dispersion de los datos 1, 3, 4, 5, 7con respecto a su media?

×1 3 4 5 7

X

MediasObservaciones 1 3 4 5 7 4Desviaciones 1-4 3-4 4-4 5-4 7-4

-3 -1 0 1 3 0Distancias |1− 4| |3− 4| |4− 4| |5− 4| |7− 4|

3 1 0 1 3 1.6

Desv. (1− 4)2 (3− 4)2 (4− 4)2 (5− 4)2 (7− 4)2

Cuadrado 9 1 0 1 9 4





Desviacion Media (DX )

La media de las distancias de las observaciones a la media.

DX =

k∑i=1

|xi − x |ni

n





Varianza (S2X )

Definicion

La media de los cuadrados de las desviaciones.

S2X =

k∑i=1

(xi − x)2ni

n

Formula Alternativa

S2X =

k∑i=1

x2i ni

n− x2

Observaciones

S2X ≥ 0. En Variable Continua ⇒ Marcas de Clase.





Desviacion Tıpica

La varianza no tiene las mismas unidades que las observaciones, sedefine para ello una nueva medida.

Desviacion Tıpica (SX )

La determinacion positiva de la raız cuadrada de la varianza.

SX = +√

S2X

SX = +

√√√√√√k∑

i=1

x2i ni

n− x2

Ver interpretacion Excel





Ejercicios

Calcule la X , S2X y SX en las siguientes distribuciones.

xi ni

1 55 107 10

11 5

30

(Li−1, Li ] ni

0-5 55-10 10

10-15 1515-20 20





Ejercicio 1

xi ni xini (xi − x)2ni x2i ni

1 5 5 (1− 6)2 · 5 = 125 12 · 5 = 55 10 50 (5− 6)2 · 10 = 10 52 · 10 = 2507 10 70 (7− 6)2 · 10 = 10 72 · 10 = 490

11 5 55 (11− 6)2 · 5 = 125 112 · 5 = 605

30 180 270 1350

x =180

30= 6

S2x =

270

30=

1350

30− 62 = 9

Sx = +√

9 = 3





Ejercicio 2

(Li−1, Li ] xi ni xini x2i ni

0-5 2.5 5 2,5·5 2,52 · 55-10 7.5 10 7,5 · 10 7,52 · 10

10-15 12.5 15 12,5 · 15 12,52 · 1515-20 17.5 20 17,5 · 20 17,52 · 20

50

625 9062,5

x =625

50= 12,5

S2x =

9062, 5

50− 12,52 = 25

Sx = +√

25 = 5





Ejercicio 2

(Li−1, Li ] xi ni xini x2i ni

0-5 2.5 5 2,5·5 2,52 · 55-10 7.5 10 7,5 · 10 7,52 · 10

10-15 12.5 15 12,5 · 15 12,52 · 1515-20 17.5 20 17,5 · 20 17,52 · 20

50 625 9062,5

x =625

50= 12,5

S2x =

9062, 5

50− 12,52 = 25

Sx = +√

25 = 5





Interpretacion de la Desviacion Tıpica

80 86 70 76 73 36 98 85 93 80 58 101 82 7575 82 57 109 71 27 111 79 88 82 64 60 85 7356 64 83 62 84 111 75 91 64 74 40 82 57 5782 62 75 46 59 50 46 96 62 70 52 65 47 7376 18 94 52 27 53 73 54 74 82 67 76 70 6355 50 43 64 22 51 85 65 69 85 54 107 67 6798 75 88 50 48 82 80 104 64 78 73 82 71 7777 63 67 89 54 80 72 67 94 75 82 73 64 7797 45 77 120 60 138 94 78 105 48 27 88 68 6033 80 76 58 42 89 95 101 56 62 59 69 34 4744 62 69 49 72 62 79 85 57 71 87 56 56 6750 94 52 101 71 79 77 105 62 51 67 102 54 5881 39 81 65 57 49 65 86 77 48 39 77 69 4378 58 50 56 79 90 52 59 77 24 60 65 69 7774 73 56 61 80 54 58 85 81 67 79 65 81 65

x = 69,5 S = 18,8

(x − kS, x + kS)

k (x − kS ,x + kS) N0 Observaciones % % Teorico % Normal1 (50,8; 88,3) 121 57.6 - 682 (32; 107) 193 91.9 75 953 (13,2; 126) 209 99.5 89 99





Coeficiente de Variacion

Supongamos cantidades en Euros:

1, 7, 9, 15

Su media es 8 y su desviacion tıpica es 5.

Si estuviese en centimos:

100, 700, 900, 1500

Su media es 800 y su desviacion tıpica es 500.





La desviacion tıpica depende de las unidades, lo que implica, queno sirven para comparar distribuciones cuyas variables estenmedidas en distintas unidades. Se define una medida adimensional;el coeficiente de variacion. Es una medida de dispersion relativa.

Coeficiente de Variacion de Pearson (CVX )

CVX =SX

|x |× 100





Proporciona el porcentaje con respecto a la media que lecorresponde a la desviacion tıpica.

En el caso anterior:

Valores Medias D. Tıpicas CV

1, 7, 9, 15 8 5 58 · 100 = 62,5 %

100, 700, 900, 1500 800 500 500800 · 100 = 62,5 %





TransformacionesVariable Valores Medias D. Tıpicas

X 1, 7, 9, 15

X = 8 SX = 5

X + 5 6, 12, 14, 20

X + 5 = 13 = X + 5 SX+5 = 5 = SX

10X 10, 70, 90, 150

10X = 80 = 10X S10X = 50 = 10SX

10X + 5 15, 75, 95, 155

10X + 5 = 85 = 10X + 5 S10X+5 = 50 = 10SX

X + a = X + a SX+a = SX

bX = bX SbX = |b|SX

a + bX = a + bX Sa+bX = |b|SX






X 1, 7, 9, 15 X = 8 SX = 5

X + 5 6, 12, 14, 20

X + 5 = 13 = X + 5 SX+5 = 5 = SX

10X 10, 70, 90, 150

10X = 80 = 10X S10X = 50 = 10SX

10X + 5 15, 75, 95, 155

10X + 5 = 85 = 10X + 5 S10X+5 = 50 = 10SX

X + a = X + a SX+a = SX

bX = bX SbX = |b|SX







X 1, 7, 9, 15 X = 8 SX = 5

X + 5 6, 12, 14, 20 X + 5 = 13 = X + 5 SX+5 = 5 = SX

10X 10, 70, 90, 150

10X = 80 = 10X S10X = 50 = 10SX

10X + 5 15, 75, 95, 155

10X + 5 = 85 = 10X + 5 S10X+5 = 50 = 10SX

X + a = X + a SX+a = SX

bX = bX SbX = |b|SX







X 1, 7, 9, 15 X = 8 SX = 5

X + 5 6, 12, 14, 20 X + 5 = 13 = X + 5 SX+5 = 5 = SX

10X 10, 70, 90, 150 10X = 80 = 10X S10X = 50 = 10SX

10X + 5 15, 75, 95, 155

10X + 5 = 85 = 10X + 5 S10X+5 = 50 = 10SX

X + a = X + a SX+a = SX

bX = bX SbX = |b|SX







X 1, 7, 9, 15 X = 8 SX = 5

X + 5 6, 12, 14, 20 X + 5 = 13 = X + 5 SX+5 = 5 = SX

10X 10, 70, 90, 150 10X = 80 = 10X S10X = 50 = 10SX

10X + 5 15, 75, 95, 155 10X + 5 = 85 = 10X + 5 S10X+5 = 50 = 10SX

X + a = X + a SX+a = SX

bX = bX SbX = |b|SX



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