deficiency penaksir parameter pada distribusi gamma

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA

oleh

ANIS TELAS TANTI

M0106003

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2012


commit to user

ii

SKRIPSI

DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA

yang disiapkan dan disusun oleh

ANIS TELAS TANTI

M0106003

dibimbing oleh

Pembimbing I

(Drs. Sugiyanto, M.Si) NIP. 19611224 199203 1 003

Pembimbing II

(Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom) NIP. 19750120 200812 2 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari kamis, tanggal 5 Januari 2012

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Dr. Sri Subanti, M.Si 1.

NIP. 19581031 198601 2 001

2. Drs. Sutrima, M.Si 2.

NIP. 19661007 199302 1 001

Surakarta, Januari 2012 Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan

Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc, (Hons)., Ph.D.

NIP. 19610223 198601 1 001

Ketua Jurusan Matematika

Irwan Susanto, DEA.

NIP. 19710511 199512 1 001


commit to user

iii

ABSTRAK

Anis Telas Tanti, 2012. DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA

DISTRIBUSI GAMMA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Sebelas Maret.

Sebuah penaksir merupakan fungsi dari sampel data yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Ada dua jenis penaksir yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Tingkat keakurasian penaksir titik dalam menaksir bergantung pada besarnya ukuran sampel. Deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel besar, yang digunakan untuk membandingkan dua buah penaksir yang berbeda. Deficiency dicari dengan menggunakan MSE dari kedua penaksir. Penaksir yang dipilih adalah maximum likelihood estimator (MLE) dan uniformly minimum variance unbiased (UMVUE). Hal ini dikarenakan kedua penaksir dapat diasumsikan identik jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah �.

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan deficiency pada distribusi gamma, yang merupakan anggota dari distribusi keluarga eksponensial pada sampel berukuran besar.

Untuk menentukan deficiency penaksir pada distribusi gamma, langkah-langkah yang ditempuh adalah menentukan taksiran parameter dengan menggunakan MLE dan UMVUE. Kemudian menentukan MSE dari MLE dan UMVUE. Selanjutnya mengurangkan MSE dari MLE terhadap MSE dari UMVUE sehingga diperoleh deficiency penaksir parameter pada distribusi gamma.

Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh deficiency penaksir dari MLE terhadap UMVUE pada distribusi gamma. Deficiency yang diperoleh merupakan hasil selisih MSE pada MLE dan UMVUE. Nilai deficiency bergantung pada nilai parameter dari distribusi gamma.

Kata kunci: Deficiency, Distribusi Gamma, MLE, UMVUE.


commit to user

iv

ABSTRACT

Anis Telas Tanti, 2012. DEFICIENCY OF PARAMETER ESTIMATION IN

GAMMA DISTRIBUTION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret

University.

Estimator is a function of sample data that used to estimate unknown parameter of population. There are two kinds of estimator, it is point estimator and interval estimator. In point estimation, level of accuracy depend on sample size. Deficiency is a part of large-sample theory, that used to compare of two different estimator. Deficiency can be found using MSE from two estimators. Estimators that selected are maximum likelihood estimator (MLE) and uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE). They are selected because they can be assumed identic if natural parameter of exponential family distribution is θ.

The purpose of this research is to determine deficiency on gamma distribution, which a kind of an exponential family distribution on large sample.

Determining deficiency of estimator on gamma distribution will be solved using 3 steps. First, estimating parameter for gamma distribution using MLE and UMVUE. Second, determining MSE from MLE and UMVUE. The last step is determining different value from MSE of MLE with MSE of UMVUE, such that it can be obtained deficiency of estimator on gamma distribution.

The result shows that it can be obtained deficiency of MLE with UMVUE on gamma distribution. It is obtained from different value of MLE and UMVUE. Deficiency value depend on parameter value from gamma distribution.

Keywords: deficiency, gamma distribution, MLE, UMVUE.


commit to user

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan hidayahNya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si, sebagai dosen pembimbing I yang telah

memberikan bimbingan, nasehat dan pengarahan dalam penyusunan

skripsi ini.

2. Ibu Titin Sri Martini, S.Si, M.Kom, sebagai dosen pembimbing II yang

telah memberikan bantuan dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

3. Kedua orang tua dan kakak penulis atas doa dan dukungannya sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

4. Nugroho Arif Sudibyo dan Lee Jemy yang telah membantu dan memberi

semangat penulis menyelesaikan skripsi ini.

5. Seluruh rekan-rekan angkatan 2006 yang telah menemani berjuang

menyelesaikan skripsi ini.

6. Semua pihak yang telah membantu dan mendukung terselesaikannya

skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Januari 2012

Penulis


commit to user

vi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

PENGESAHAN .................................................................................................. ii

ABSTRAK .......................................................................................................... iii

ABSTRACT .......................................................................................................... iv

KATA PENGANTAR ........................................................................................ v

DAFTAR ISI ....................................................................................................... vi

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 2

1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 2

1.5 Manfaat Penelitian .................................................................................. 2

BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 3

2.1 Tinjauan Pustaka ..................................................................................... 3

2.2 Teori-Teori Penunjang ............................................................................ 3

2.2.1 Konsep Dasar Statistika ................................................................ 4

2.2.2 Konsep Big-O dan Little-o ............................................................ 4

2.2.3 Distribusi Gamma ......................................................................... 5

2.2.4 Maximum Likelihood Estimator .................................................... 6

2.2.5 UMVUE ........................................................................................ 7

2.2.6 Momen .......................................................................................... 8

2.2.7 Distribusi Keluarga Eksponensial ................................................. 8

2.2.8 Ekspansi Taylor ............................................................................. 9

2.2.9 Konsep Deficiency ........................................................................ 9

2.3 Kerangka Pemikiran ................................................................................ 10

BAB III METODE PENELITIAN ............................................................ 11

BAB IV PEMBAHASAN .................................................................................. 12


commit to user

vii

4.1 Deficiency Penaksir pada Distribusi Keluarga Eksponensial ................. 12

4.1.1 Penentuan MSE pada Penaksir Maksimum Likelihood ................. 16

4.1.2 Penentuan MSE pada UMVUE ...................................................... 19

4.1.3 Deficiency dari MLE terhadap UMVUE ....................................... 21

4.2 Estimasi Parameter pada Distribusi Gamma ........................................... 22

4.3 Deficiency Penaksir pada Distribusi Gamma ......................................... 26

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 29

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 29

5.2 Saran ........................................................................................................ 29

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 30

DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................... 31


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sampel data

observasi yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak

diketahui. Ada dua jenis penaksir yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Dalam

penaksiran titik, suatu parameter ditaksir dengan menggunakan satu bilangan saja.

Misalnya menaksir parameter-parameter �, �, dan � dengan menggunakan

statistik-statistik �̅, �, atau ��.

Pada umumnya, probabilitas suatu penaksiran titik untuk tepat sekali sangat

kecil dan ketidakakurasian sebuah penaksir dalam menaksir disebut fungsi resiko.

Fungsi resiko dalam setiap penaksiran besarnya berbeda-beda, bergantung pada

ukuran sampel. Biasanya semakin besar ukuran sampel yang digunakan maka

resikonya pun akan semakin kecil. Hal ini dikarenakan semakin besar ukuran

sampel maka informasi yang diperlukan untuk menaksir semakin tersedia.

Pembahasan deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel

besar yaitu membandingkan dua metode penaksir pada sampel berukuran besar.

Konsep deficiency sendiri diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann (1970), konsep

ini diperluas oleh Gudi & Nagnur (2004) yang meneliti deficiency antara penaksir

tak bias yang saling asymptotically efficient pada distribusi keluarga eksponensial

satu parameter. Penaksir yang dipilih adalah maximum likelihood estimator

(MLE) dan uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE).

Menurut Greenwood & Nikulin (1996), secara umum MLE dan UMVUE

merupakan dua buah penaksir yang berbeda, namun kedua penaksir ini dapat

diasumsikan identik jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial

adalah . Karena adanya asumsi identik tersebut, maka dapat ditentukan

deficiency dari kedua penaksir dengan membandingkan nilai MSE-nya. Menurut


commit to user

2

Gudi & Nagnur (2004), MSE dari kedua penaksir diperoleh pada order di atas

��, dimana n adalah ukuran sampel.

Peneliti tertarik untuk melanjutkan hasil dari Gudi & Nagnur (2004), yaitu

menentukan deficiency penaksir pada distribusi gamma yang merupakan anggota

dari distribusi keluarga eksponensial. Ide dari penentuan deficiency tersebut

adalah menentukan MSE dari MLE dan UMVUE. Selanjutnya MSE dari kedua

penaksir dibandingkan sehingga diperoleh deficiency.

1.2.Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah dapat disusun rumusan masalah yaitu

bagaimana menentukan deficiency dari MLE dan UMVUE pada distribusi

gamma.

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah menentukan deficiency

dari MLE dan UMVUE pada distribusi gamma.

1.4. Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini secara teoritis, dapat

menambah pengetahuan tentang fungsi resiko dalam setiap penaksiran sampel

berukuran besar, serta pengetahuan tentang estimasi parameter pada anggota

distribusi keluarga eksponensial. Secara praktis, diharapkan dapat menentukan

penaksir yang sesuai dengan distribusi data yang ada, serta dapat membandingkan

fungsi resiko dari penaksir yang digunakan sehingga menghasilkan suatu

kesimpulan yang bermanfaat.


commit to user

3

BAB II

LANDASAN TEORI

Bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi

penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini. Guna

mendukung penulisan skripsi ini penulis menyajikan teori-teori penunjang pada

bagian kedua yang berisi definisi-definisi sebagai dasar pengertian untuk

mempermudah pembahasan selanjutnya. Kerangka pemikiran yang menjelaskan

alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini diberikan pada bagian ketiga.

2.1 Tinjauan Pustaka

Konsep deficiency pertama kali diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann

pada tahun 1970. Kemudian, konsep ini diperluas oleh Gudi & Nagnur (2004)

yang meneliti deficiency antara penaksir tak bias yang saling asymptotically

efficient pada distribusi keluarga eksponensial satu parameter. Pada tahun 1920,

Rao menjelaskan tentang konsep deficiency pada estimator best asymptotically

normal (BAN).

Nomachi & Yamato (2001) juga melakukan penelitian terhadap perbedaan

asymptotic antara LB-stat, V-stat, dan U-stat dengan menggunakan deficiency.

Selanjutnya, Yuniar (2008) melakukan penelitian terhadap deficiency pada

distribusi geometris yang merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial

satu parameter.

2.2 Teori - Teori Penunjang

Pada bagian ini diberikan definisi dan teori yang mendukung dalam

mencapai tujuan penelitian. Berikut ini diberikan gambaran singkat mengenai

konsep dasar statistik, distribusi keluarga eksponensial, distribusi gamma,

UMVUE, MLE, momen, ekspansi Taylor, konsep deficiency, dan konsep little-oh

dan big-oh.


commit to user

4

2.2.1 Konsep Dasar Statistik

Konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam penelitian

ini adalah ruang sampel, variabel random, fungsi kepadatan peluang dan harga

harapan. Lima definisi dan teorema dibawah ini diambil dari Bain & Engelhardt

(1992).

Definisi 2.2.1. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil observasi yang

mungkin dari suatu percobaan.

Definisi 2.2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan ruang

sampel S ke bilangan real, �� dengan e merupakan hasil yang mungkin

dalam S.

Definisi 2.2.3. Variabel random X dikatakan variabel random kontinu jika

terdapat fungsi densitas probabilitas �� sehingga fungsi distribusi kumulatif

dapat dinyatakan sebagai �� .

Teorema 2.2.1. Suatu fungsi �� disebut fungsi kepadatan peluang untuk

variabel random kontinu X jika dan hanya jika memenuhi sifat

1. �� 0 untuk setiap x

2. � �� 1.

Definisi 2.2.4. Diberikan X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas

probabilitas ��. Harga harapan dari X dinyatakan dengan

�� .��

Definisi 2.2.5. Variansi dari variabel random X yang mempunyai harga harapan

�� adalah

�� ! �� "��

� �� ! �� "�.

2.2.2 Konsep Big-O dan Little-o

Menurut Binmore (1977), Big-O & Little-o merupakan hubungan kedua

fungsi ketika nilai kedua fungsi tersebut menuju tak hingga. Keduanya digunakan

untuk membandingkan nilai rata-rata dari dua fungsi yaitu �� dan #��, dimana


commit to user

5

� mendekati ∞ atau 0. Penentuan Big-O & Little-o bergantung pada dua kasus

yang mendasari yaitu ketika � mendekati ∞ dan � mendekati 0. Binmore (1977)

memberikan definisi Big-O sebagai berikut

Definisi 2.2.6. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → ∞,

fungsi f merupakan O(g) jika terdapat konstanta ' % 0 dan �( % 0 sedemikian

hingga |*��|+�� , ' untuk semua � % �(.

Definisi 2.2.7. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → 0,

fungsi f merupakan O(g) jika terdapat konstanta ' % 0 dan �( % 0 sedemikian

hingga |*��|+�� , ' untuk semua � , �(.

Selanjutnya, Binmore (1977) juga menuliskan definisi tentang Little-o seperti

dalam definisi 2.2.8 dan definisi 2.2.9.

Definisi 2.2.8. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → ∞,

fungsi f merupakan o(g) jika -./�→� |*��|+�� 0.

Definisi 2.2.9. Apabila g adalah nilai positif dan � % 0 maka untuk kasus � → 0,

fungsi f merupakan o(g) jika -./�→�0|*��|+�� 0.

2.2.3 Distribusi Gamma

Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan distribusi gamma

yang mengacu pada Bain & Engelhardt (1992).

Definisi 2.2.10. Variabel random X yang berdistribusi gamma mempunyai fungsi

kepadatan peluang

�� 1 2345�6� �6�2�� 37 ; � % 00; �:�#-�.; (2.1)

dengan < % 0 dan = % 0.

Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang diformulasikan pada definisi

berikut

Definisi 2.2.11. Fungsi gamma didefinisikan sebagai

Γ�<� � � �6�2��, @A@B< % 0.�( (2.2)


commit to user

6

Menurut Bain & Engelhardt (1992), fungsi gamma memiliki 3 sifat penting

yaitu

1. Γ�C� � �C ! 1�Γ�C ! 1�, C % 1, 2. Γ�� ! 1�! , � 1,2, …, 3. Γ G2

�H � √Π. Berdasar 3 sifat penting tersebut dapat digunakan untuk menentukan harga

harapan dan variansi dari distribusi gamma yaitu

1. � �" � <=, 2. �� " � <=�.

2.2.4 Maximum Likelihood Estimator (MLE)

Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan maximum

likelihood estimator (MLE) yang mengacu pada Lehmann (1983).

Definisi 2.2.12. Jika fungsi kepadatan peluang bersama pada x1,....,xn

dinotasikan dengan ��2, ��, … , �� maka fungsi likelihood dari himpunan

pengamatan x1,....,xn dinyatakan sebagai

K�� ∏ ��M; � ��MN2 ��2; ��; � …��; �

dengan parameter yang tidak diketahui.

Definisi 2.2.13. Misalkan K�� merupakan fungsi likelihood suatu himpunan

pengamatan �2, ��, … , ��, dengan merupakan parameter yang tidak diketahui,

maka harga O dalam ruang parameter P yang memaksimumkan K�� disebut

sebagai MLE dari dan dinyatakan sebagai

�Q�2, ��, … , ��; OR � /�B�S∈U ��2, ��, … , ��; �.

Untuk memaksimumkan K�� harus ditentukan nilai - K�� yang

merupakan fungsi naik. Sehingga

- KQO; �2, ��, … , ��R �/�B�S∈U - K�; �2, ��, … , ��.

MLE dari diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

� - K�� 0.


commit to user

7

Jika ada k parameter yang tidak diketahui, maka MLE dari M diperoleh

dengan menyelesaikan

V - K�2, �, … , W�VM � 0; . � 1,2,3, … , B. Definisi 2.2.14. Jika O adalah suatu MLE dari suatu sampel acak �2, ��, … , ��

maka penaksir tersebut dikatakan Asymptotically Efficient pada ukuran sampel

tak hingga dan memenuhi kondisi

√QO ! R → Y G0, 2Z�S�H

dimana [�� adalah informasi Fisher yang memenuhi 0 , [�� , ∞.

Teorema 2.2.2. Sifat invarians dari MLE adalah jika O adalah MLE dari dan

jika g() adalah fungsi dari maka #�O� adalah MLE dari #��.

2.2.5 Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator (UMVUE)

Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan uniformly minimum

variance unbiased estimator (UMVUE) yang mengacu pada Lehmann (1983).

Definisi 2.2.15. Misalkan #�� adalah suatu fungsi yang terestimasi (estimable)

dari suatu sampel acak 2, �, … , � iid �S, ∈ Ω. Penaksir tak bias

]� 2, �, … , �� dari #�� disebut UMVUE jika ∀ ∈ Ω, berlaku

_��Q]� 2, �, … , ��R ` _�� G]a� 2, �, … , ��H

untuk setiap penaksir tak bias ]a lainnya.

UMVUE dapat ditentukan dengan mencari statistik cukup untuk keluarga

�S, ∈ Ω dan mengkondisikan setiap penaksir tak bias padanya seperti yang

ditunjukkan oleh definisi berikut

Definisi 2.2.16. Misalkan ]� 2, �, … , �� adalah tak bias untuk suatu fungsi

#�� dan T adalah statistik cukup untuk keluarga �S, ∈ Ω, maka

b� 2, �, … , �� ]� 2, �, … , ��|c�

adalah UMVUE untuk #��.


commit to user

8

2.2.6 Momen

Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan momen yang

mengacu pada Bain & Engelhardt (1992).

Definisi 2.2.17. Misalkan 2, �, … , � merupakan sebuah sampel acak

berukuran n dan didefinisikan k buah momen sekitar rata-rata sampel pertama

sehingga

/dA � 1 e�Mf�

MN2 , A � 1,2, … , B.

Penentuan k buah momen sekitar rata-rata populasi pertama dirumuskan

sebagai berikut

�dA � �� f�. Secara umum, momen populasi �dA merupakan fungsi dari k buah parameter

yang tidak diketahui. Dengan menyamakan momen sampel dan momen populasi

akan menghasilkan k buah persamaan dalam k buah parameter yang tidak

diketahui f, yaitu

/dA � �dA; A � 1,2, … , B. Solusi dari persamaan di atas dinotasikan dengan O2, O�, … , OW menghasilkan

penaksir momen untuk 2, �, … , W .

2.2.7 Distribusi Keluarga Eksponensial

Berikut ini diberikan penjelasan yang berhubungan dengan distribusi

keluarga eksponensial yang mengacu pada Lehmann (1983).

Suatu fungsi kepadatan peluang (fkp) termasuk ke dalam distribusi keluarga

eksponensial, jika fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk

f�x; θ� � exp ∅2�θ�T�x� n ∅��θ� n Q�x�" ; x ∈ p, θ ∈ Ω (2.3)

dengan, θ adalah parameter natural dan Ω adalah ruang parameter.

Berdasar persamaan (2.3) di atas, T(x) merupakan statistik cukup untuk

distribusi keluarga eksponensial. Persamaan (2.3) tidak unik karena nilai T(x)

dapat diganti dengan T(x)/c atau secara umum dapat dibuat transformasi linear

dari T(x).


commit to user

9

2.2.8 Ekspansi Taylor

Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan ekspansi Taylor

yang mengacu pada Purcell (2003).

Definisi 2.2.18. Misalkan f(x) sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval

terbuka a, maka f analitik pada a jika �W�� ada untuk semua k, ekspansi Taylor

didefinisikan sebagai berikut

�� ∑ *r�s�W! �� ! ��W�WN( .

Aproksimasi Taylor ke-n secara umum dapat dituliskan

�� ∑ *r�s�W! �� ! ��W�WN( , untuk semua x mendekati a.

Jadi aproksimasi Taylor orde pertama dapat dituliskan

�� n �d�� ! �� , untuk semua x mendekati a.

Dan aproksimasi Taylor orde kedua dapat dituliskan

�� n �� ! ��d�� n ��s�t�! �dd��, untuk semua x mendekati a.

2.2.9 Konsep Deficiency

Berikut ini diberikan penjelasan yang berhubungan dengan konsep

deficiency yang mengacu pada Lehmann (1970).

Metode A adalah penaksir titik yang memiliki ukuran sampel n dan

expected squared errors yang dinotasikan ��. Sedangkan metode B adalah

penaksir titik yang memiliki ukuran sampel besar yaitu B� dan expected squared

errors yang dinotasikan ��′. Ukuran sampel n pada metode A dianggap ekuivalen

dengan ukuran sampel B � B� pada metode B sedemikian hingga �W′ sama

dengan ��. Secara identik �� dan ��′ berbentuk

�� v�w n s

�wxy n z� 2�wxy� (2.4)

dan

��′ � v�w n {

�wxy n z� 2�wxy� (2.5)

dengan r > 0.


commit to user

10

Diberikan kn adalah penyelesaian persamaan �W|d � �� dimana → ∞,

�� → 0 maka �W|′ → 0 dan B� → ∞, dengan persamaan (2.4) dan (2.5)

ditunjukkan bahwa

2�w }1 n s~��2�

v� � � 2W|w 1 n {~��2�

vW| " sedemikian hingga,

B�/ → 1 (2.6)

dengan, B� � n �� maka persamaan (2.6) dapat ditulis kembali menjadi

1 n �|� � }1 n {~��2�v� �2/� }1 n s~��2�

vW| �2/� � 1 n {�v� ! {

�vW| n z G2�H. (2.7)

Berdasarkan persamaan (2.7) dapat ditunjukkan bahwa

�� → {�sv� . (2.8)

Persamaan (2.8) dinamakan asymptotic deficiency.

2.3 Kerangka Pemikiran

Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun kerangka pemikiran untuk

menyelesaikan masalah yang telah dirumuskan, tingkat keakurasian sebuah

penaksir dalam menaksir bergantung pada ukuran sampel. Jika semakin besar

ukuran sampel yang digunakan maka tingkat keakurasiannya semakin tepat.

Secara matematis, hasil dari penaksiran sampel besar berupa nilai limit. Oleh

karena itu diperlukan metode penaksir yang tepat. Deficiency merupakan bagian

dari pembahasan teori sampel besar. Deficiency dicari dengan menggunakan MSE

dari kedua buah penaksir. Penaksir yang dipilih adalah MLE dan UMVUE. Kedua

penaksir tersebut merupakan penaksir yang berbeda, namun dapat diasumsikan

identik, jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah .

Karena adanya asumsi identik dari kedua penaksir ini, maka dapat dibandingkan

mana dari kedua penaksir tersebut yang lebih deficient.


commit to user

11

BAB III

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur yaitu

dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku dan jurnal

yang dapat mendukung pembahasan tentang deficiency penaksir parameter.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam menentukan deficiency penaksir

parameter adalah

1. Menentukan taksiran parameter dari distribusi gamma.

2. Menentukan MSE dari MLE pada distribusi gamma.

3. Menentukan MSE dari UMVUE pada distribusi gamma.

4. Menentukan deficiency pada distribusi gamma dengan menggunakan hasil

pengurangan dari langkah 3 terhadap langkah 4.


commit to user

12

BAB IV

PEMBAHASAN

Pembahasan deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel

besar. Konsep deficiency sendiri diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann.

Menurut Hodges & Lehmann (1970), deficiency adalah hasil dari membandingkan

mean square error (MSE) dari MLE dan UMVUE yang diperoleh pada order di

atas ��. Pembahasan disini mengacu pada Gudi & Nagnur (2004).

4.1 Deficiency Penaksir pada Distribusi Keluarga Eksponensial

Suatu fungsi kepadatan peluang (fkp) termasuk ke dalam distribusi keluarga

eksponensial jika fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk

��; � � exp ∅2��c�� n ∅�� n ��" , � ∈ �, ∈ Ω

dengan adalah paramater natural dan Ω adalah ruang parameter. Menurut Gudi

& Nagnur (2004), jika #�� adalah fungsi yang terestimasi (estimable) dari

variabel random 2, �, … , � iid terhadap distribusi keluarga eksponensial, maka

berlaku asumsi

b��C2′ �� n C�′ �� 0 (4.1)

dengan C2′ �� % 0, untuk setiap ∈ Ω dan b�� adalah fungsi dari .

Jika c�� adalah statistik cukup untuk distribusi keluarga eksponensial

maka fungsi b�� diasumsikan sama dengan ��O�. Nilai c�� dapat berupa O

dengan O � 2� ∑ c��M��MN2 .

Menurut Zehna (1966), fungsi log likelihood pada distribusi keluarga

eksponensial adalah unimodal dan MLE yang merupakan fungsi dari O adalah

unik. Hal ini menyatakan bahwa #�O� adalah MLE dari #��, sedangkan ��O�

adalah UMVUE dari #��.

MLE #�O� dan UMVUE ��O� dapat diasumsikan identik yaitu #QOR ≡��O�, apabila parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah .

Hal ini diuraikan oleh Greenwood & Nikulin (1966). MLE dan UMVUE

merupakan penaksir yang saling asimtotically efficient sehingga berlaku √QO !


commit to user

13

� → Y G0, 2Z�S�H, dengan [�� adalah informasi Fisher yang memenuhi 0 ,

[�� , ∞. Berdasarkan hasil dari Gudi & Nagnur (2004), nilai √QO ! R adalah

√QO ! R � ��S�√�Z n ��S��S~�Z�

��/tZt n ��S�t��S��/tZ� n ��S�t}��S��S��

��/tZ� nz G��tH. (4.2)

Jika dimisalkan ekspektasi dari matrik informasi Fisher yaitu

�M� � � �� *��;S��S �M ��t ��*��;S�

�S n [�� (4.3)

maka,

��-d��M-dd� n [�� M� .

Ekspektasi dari turunan ketiga fungsi log likelihood -�� adalah

� -ddd��" � !3� -d��-dd� n [�" ! � -d��"�. (4.4)

Menurut Gudi & Nagnur (2004), nilai 2Z memiliki turunan terhadap yaitu

��S G2

ZH � ��yy~��0Zt sehingga persamaan (4.4) menjadi

� -ddd��" � !�3�22 n ��(�. (4.5)

Selanjutnya, persamaan (4.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.2) dan

diperoleh

√QO ! R � ��S�√�Z n ��S��S~�Z�

��/tZt n ��S�t��yy~��0��/tZ� n z G��tH.

Dari persamaan di atas dapat dicari pendekatan momen dari √QO ! R

pada order ke ��. Misalkan �M � ��O ! �M untuk . � 1,2,3,4 dan menggunakan

hasil pada Gudi (2004) diperoleh

1. �( � 1

2. �2 � ��O ! � � {�S�� ! �yy~��0��Zt n z�� (4.6)

3. �� O ! �� 2�Z n �{��S�

�tZ n ��S��t n {�S�"t

�t n z�� (4.7)

4. �� O ! �� ! ��yy~��0��tZ� n z�� (4.8)

5. � � ��O ! � � ��tZt n z�� (4.9)


commit to user

14

dengan �2, ��, ��, � adalah momen pusat dari O, {�S�

� adalah order bias pertama

dari penaksir O, ¡′�� adalah turunan dari ¡�� terhadap , ¢�� adalah koefisien

dari �� pada varians dari penaksir O dan diberikan

¢�� }��Z�0t��yyt�~ �yy~��0"t�Z£ �

sehingga,

_��QOR � �QO ! R� ! G�QO ! RH�. (4.10)

Selanjutnya, persamaan (4.6) dan (4.7) disubstitusikan ke dalam persamaan

(4.10) dan diperoleh variansi dari penaksir O yaitu

_��QOR � 2�Z n �{��S�

�tZ n ��S��t n z��. (4.11)

Berdasarkan definisi MSE oleh Johnson (2004) diketahui bahwa

¤¥�QOR � _��QOR n G¦.��QO, RH�. (4.12)

Persamaan (4.7) dan (4.11) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.12) diperoleh

¤¥�QOR � 2�Z n �{��S�

�tZ n ��S��t n {�S�"t

�t n z��.

4.1.1 Penentuan Mean Square Error dari MLE

Jika terdapat turunan dari #�O� dan ��O� pada ekspansi Taylor, maka dapat

diperlihatkan bahwa rangkaian ekspansi Taylor dari #�O� sebagai berikut

#QOR � #�� n +��S�QS§�SR2! n +��S�QS§�SRt

�! n +��S�QS§�SR��! n

+��S�QS§�SR£

! n ⋯ (4.13)

dengan #M��, . � 1,2,3, … adalah turunan ke-i dari #�� terhadap . Menurut

Gudi & Nagnur (2004), order bias yang pertama, varians, dan MSE dari MLE

#QOR dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (4.13).

Lemma 4.1.1.

Order bias yang pertama dari penaksir #QOR adalah

��#QOR ! #�� #d�� }! �yy��0��Zt � n #dd�� } 2��Z�

Bukti. Langkah pertama adalah mengambil ekspektasi pada kedua sisi dari

persamaan (4.13) diperoleh


commit to user

15

��#QOR� � #�� n +��S��QS§�SR�2! n +��S��}QS§�SRt�

�! n +��S��}QS§�SR��! n

n +��S�� QS§�SR£" ! n ⋯. (4.14)

Dengan mensubtitusi persamaan (4.6) hingga persamaan (4.9) pada

persamaan (4.14) yaitu

��#QOR� � #�� n #d�� }! ��yy~��0��Zt � n +��S�

� } 2�Z n �{��S�

�tZ n ��S��t n

{�S�"t�t � n +��S�

© }! ��yy~��0��tZ� � n +��S�

� } ��tZt� n z��. (4.15)

Suku dengan order kurang dari z��2� pada persamaan (4.15) diabaikan

sehingga diperoleh

��#QOR� � #�� ! #d�� }��yy~��0��Zt � n +��S�

� } 2�Z� n z��. (4.16)

Sehingga, order bias pertama dari #QOR adalah

��#QOR ! #�� {�+�S��

��#QOR ! #�� #d�� }! ��yy~��0��Zt � n #dd�� } 2

��Z�. (4.17)

Untuk selanjutnya ��#QOR ! #�� ditulis {�+�S��

� .

Teorema 4.1.2.

Varians dari penaksir maksimum likelihood adalah

_��#QOR� � #d��_��QOR� ! #d��#dd�� }� �yy~��0��tZ� � n #dd�� } 2

��tZt� n#d��#ddd�� } 2

�tZt� n z��.

Bukti. Berdasar definisi varians yang dijelaskan oleh Bain & Engelhardt (1992)

diketahui bahwa

_��#QOR� � � }#QOR ! ��#QOR��.

Setelah diketahui rumus varians secara umum, langkah pertama yang harus

dilakukan adalah mengurangi persamaan (4.13) oleh persamaan (4.16) yaitu

}#QOR ! ��#QOR��=�+��S�QS§�SR2 n +��S�QS§�SRt

� n +��S�QS§�SR�© n +��S�QS§�SR£

� n⋯� n #d�� }��yy~��0�

��Zt � ! +��S�� } 2

�Z� n z��. (4.18)


commit to user

16

Selanjutnya mengambil ekspektasi pada kedua sisi pada persamaan (4.18),

dan diperoleh

� }#QOR ! ��#QOR��=�+��S�� QS§�SR"2 n +��S�� QS§�SRt"

� n +��S�� QS§�SR�"© n

+��S�� QS§�SR£"� n ⋯� n #d�� }��yy~��0�

��Zt � ! +��S�� } 2

�Z� n z��. (4.19)

Kemudian persamaan (4.19) dikuadratkan kedua sisinya dan dilakukan

penyederhanaan, dengan mensubstitusi nilai-nilai �M, . � 1,2,3,4, …, yang

merupakan pendekatan momen pada order di atas �� sehingga persamaan (4.19)

menjadi

_��#QOR� � #d�� } 2�Z n �{��S�

�tZ n ��S��t � ! #d��#dd�� }� �yy~��0�

�tZ� � n#dd�� } 2

��tZt� n #d��#ddd�� } 2�tZt� n z��. (4.20)

Menurut definisi MSE oleh Johnson (2004) diperoleh nilai MSE dari #QOR yaitu

¤¥��#QOR� � _��#QOR� n G{�+�S�� H�

¤¥��#QOR� �#d�� } 2

�Z n �{��S��tZ n ��S�

�t n ��yy~��0�t �tZt � ! Q#d��#dd��R }� �yy~��0�

�tZ� n��yy~��0�

��tZ� � n #dd�� } 2��tZt n 2

�tZt� n #d��#ddd�� } 2�tZt� n z��. (4.21)

4.1.2 Penentuan Mean Square Error dari UMVUE

Misalkan �QOR adalah UMVUE dari #��, dengan asumsi �QOR konvergen

terhadap ekspansi Taylor, sehingga

�QOR � �� n ª��S�QS§�SR2! n ª��S�QS§�SRt

�! n ª��S�QS§�SR��!

n ª��S�QS§�SR£ ! n ⋯ (4.22)

dengan �M��, . � 1,2,3, … adalah turunan ke-i dari �� terhadap . Menurut

Gudi & Nagnur (2004), perhitungan MSE dari �QOR dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan (4.22).


commit to user

17

Teorema 4.1.3.

Mean Square Error (MSE) dari �QOR adalah

¤¥��QOR� � #d�� G 2�Z n ��S�

�t H ! #d��#dd�� G�yy~��0�tZ� H n #dd�� G 2��tZtH n

z��. Bukti. Mean Square Error (MSE) dari �QOR adalah

¤¥��QOR� � _��QOR� � ��QOR ! #��

� ��Q�QOR ! ��R n Q�� ! #��R��. (4.23)

Karena �QOR adalah penaksir tak bias dari #��, sehingga persamaan (4.23)

menjadi

¤¥��QOR� � � �G�QOR ! ��H�� ! �� ! #��"�. (4.24)

Berdasar hasil pengurangan dari persamaan (4.22) terhadap �� diperoleh

��QOR ! �� ª��S�QS§�SR2 n ª��S�QS§�SRt

� n ª��S�QS§�SR�©

n ª��S�QS§�SR£� n ⋯. (4.25)

Selanjutnya, kedua sisi pada persamaan (4.25) dikuadratkan dan diambil

ekspektasinya. Sehingga diperoleh nilai dari ��QOR ! �� adalah

��QOR ! �� d�� n �d��dd�� n Gª��S�t n ª��S�ª��S�

� H � nz��. (4.26)

Karena �QOR adalah penaksir tak bias dari #��, maka dengan mengambil

ekspektasi pada kedua sisi dari persamaan (4.25) diperoleh

#�� ! ��" � �d��2 n ª��S�� n ª��S�QS§�SR�

© �� n ª��S��

nz��. (4.27)

Persamaan (4.27) disubstitusi dengan persamaan (4.6) hingga persamaan

(4.9) yaitu


commit to user

18

#�� ! ��" � �d�� G{�S�� H n ª��S�

� G 2�Z n �Q{��S�R

�tZ n ��S��t n �{�S��t

�t H nª��S�

© «!G��yy~��0��tZ� H¬ n ª��S�� G 2

�tZtH n z��. (4.28)

Langkah selanjutnya adalah menurunkan persamaan (4.28) dan

mengabaikan order diatas z�� diperoleh

#′�� ! �′��" � �d�� G{d�S�� H n �dd�� G{�S�

� ! ��yy~��0��Zt H n �ddd�� G 2

��ZH nz�� (4.29)

dengan catatan, ��S G2

ZH � ! ��yy~��0�Zt .

Berdasar persamaan (4.25) nilai dari {�S�

� adalah ! ��yy~��0��Zt n z��,

maka persamaan (4.29) menjadi

�d�� #d�� n �dd�� 3�22 n 2��(�2[� ® ! �ddd�� « 1[¬ ! �d��¡d��

nz��. (4.30)

Persamaan (4.30) diturunkan terhadap sehingga diperoleh

�dd�� #dd�� n z��2� (4.31)

�ddd�� #ddd�� n z��2�. (4.32)

Kemudian persamaan (4.28) dikuadratkan menjadi

#�� ! ��"� � #d�� G��yy~��0�t �tZ£ H n +��S�t

�tZt ! #d��#dd�� G�yy~��0��tZ� H nz��. (4.33)

Hasil dari (4.30) hingga (4.32) disubstitusi dengan hasil pada (4.6) hingga

(4.9) maka persamaan (4.26) menjadi

��QOR ! �� #d�� G 2�Z n ��S�

�t n �{�S��t�t H n +��S�+��S�

��tZ� Q!3��22 n��(�R n #dd�� G �

�tZtH n z��. (4.34)

Selanjutnya persamaan (4.33) dan (4.34) disubstitusi ke dalam persamaan

(4.24) menjadi

¤¥��QOR� � #d�� G 2�Z n ��S�


nz��. (4.35)


commit to user

19

4.1.3 Deficiency dari MLE terhadap UMVUE

Setelah diperoleh hasil ¤¥��#QOR� dan ¤¥��QOR� maka dapat dicari nilai

dari deficiency. Berikut akan ditunjukkan nilai deficiency dari MLE terhadap

UMVUE yang dinyatakan oleh Gudi & Nagnur (2004).

Teorema 4.1.4.

Deficiency dari MLE #QOR terhadap UMVUE �QOR ditunjukkan sebagai berikut

��#QOR, �QOR� � ! }��yy~¯��0�Zt � +��S�+��S� n 2

Z �+��S�+��S� n 2

�+��S�+��S��

n 2¡d�� n [ ¡��"�".

Bukti. Menurut Gudi & Nagnur (2004), deficiency dari MLE terhadap UMVUE

dapat dicari dengan cara mengurangkan ¤¥��#QOR� pada persamaan (4.21)

dengan ¤¥��QOR� pada persamaan (4.35), sehingga diperoleh

��#QOR, �QOR� � ¤¥��#QOR� ! ¤¥��QOR� ��#QOR, �QOR� � ! }��yy~¯��0�

�Zt � +��S�+��S� n 2

Z �+��S�+��S� n 2

�+��S�+��S�� n �2¡d�� n

[ ¡��"�. (4.36)

Deficiency MLE terhadap UMVUE dapat disimpulkan dari persamaan (4.36)

yaitu

��#QOR, �QOR� � ! }��yy~¯��0�Zt � +��S�+��S� n 2

Z �+��S�+��S� n 2

�+��S�+��S��

n 2¡d�� n [ ¡��"�". (4.37)

Jika,

#2�� +��S�+��S��

#�� +��S�+��S� n 2

�+��S�+��S�� }+��S�

+��S� n 2 °#2��±��

dan

#�� 2¡d�� n [ ¡��"�" maka persamaan (4.37) dapat ditulis sebagai berikut

��#QOR, �QOR� � ! }��yy~¯��0�Zt � #2�� n +t�S�Z n #��. (4.38)

Berdasarkan persamaan (4.38), #�� menunjukkan bias pada penaksir

maksimum likelihood.


commit to user

20

4.2 Estimasi Parameter pada Distribusi Gamma

Para peneliti ingin membuat keputusan yang berkaitan dengan nilai numerik

suatu parameter populasi untuk mendapatkan keputusan tentang besar nilai-nilai

parameter populasi berdasarkan data sampel, oleh karena itu digunakan sebuah

proses yang disebut penaksiran.

Suatu estimasi titik dari suatu parameter populasi adalah suatu nilai

tunggal dari suatu titik O. Sehingga dapat dilakukan estimasi dengan berbagai

metode yang telah tersedia. Metode yang digunakan dalam estimasi parameter

dari distribusi gamma adalah MLE dan UMVUE. MLE adalah suatu metode

statistik yang populer digunakan untuk menentukan estimasi titik sebuah

parameter. Sedangkan dalam statistik yang disebut UMVUE adalah penaksir tak

bias yang memiliki nilai variansi paling kecil jika dibandingkan penaksir tak bias

lainnya untuk semua nilai yang mungkin dari parameter.

Fungsi kepadatan peluang dari distribusi gamma dinyatakan dalam bentuk

sebagai berikut

��|, <� � 2S45�6� �6�2�� S7 .

Parameter dalam persamaan tersebut diestimasi dengan menggunakan MLE.

Estimasi terlebih dahulu dilakukan dengan membentuk fungsi likelihood yang

menyatakan fungsi probabilitas bersama dari M. Jika diberikan n buah pengamatan untuk setiap grup i, misalkan � M� untuk

. � 1,2, … , , maka fungsi densitas probabilitas untuk setiap pengamatan pada

setiap grup i dari distribusi gamma dinyatakan sebagai

��M|, <� � 16Γ�<� �M6�2��² S7 . Setiap pengamatan pada setiap grup i diasumsikan saling independen.

Fungsi likelihood diperoleh dari perkalian masing-masing fungsi kepadatan

peluang setiap pengamatan. Hal ini dinyatakan dengan

K��M|, <� � ³��M|, <��

MN2

� ∏ �²4´yµ´¶²/·S45�6��MN2


commit to user

21

� Γ�<�"��6 exp G! ∑ �²|²¸yS H∏ �M6�2�MN2

dan fungsi log likelihoodnya adalah

-�, <� � ln K��M|, <� � ln » Γ�<�"��6 exp!∑ �M�MN2 ®³�M6�2�

MN2¼

-�, <� � ! ln Γ�<� ! < ln n �< ! 1�∑ ln �M�MN2 ! ∑ �²|²¸yS . (4.39)

Persamaan (4.39) memuat parameter yang akan diestimasi. Parameter

tersebut adalah dan <. Estimasi yang dilakukan pertama adalah estimasi

terhadap parameter . Langkah awal untuk mengestimasi adalah mencari

turunan pertama dari persamaan (4.39) terhadap , yaitu

��S,6�

�S � ��S,6��S }! ln Γ�<� ! < ln n �< ! 1�∑ ln �M�MN2 ! ∑ �²|²¸yS �

� ! �6S n ∑ �²|²¸ySt . (4.40)

Langkah selanjutnya adalah memaksimumkan fungsi log likelihood pada

persamaan (4.39) dengan menyamakan persamaan (4.40) dengan 0 yakni

V-�, <�V � 0

! �6S n ∑ �²|²¸ySt � 0

sehingga,

∑ �²|²¸ySt � �6

S

∑ �²|²¸y�6 � O. (4.41)

Setelah mengestimasi parameter , estimasi dilakukan untuk parameter <

dengan MLE. Langkah awal untuk mengestimasi parameter < adalah mencari

turunan pertama dari persamaan (4.39) terhadap <, yaitu

��S,6�

�6 � ��S,6��6 }! ln Γ�<� ! < ln n �< ! 1�∑ ln �M�MN2 ! ∑ �²|²¸yS �

� ! 5��6�5�6� ! ln n ∑ ln �M�MN2 . (4.42)

Langkah selanjutnya adalah memaksimumkan fungsi turunan pada

persamaan (4.42) dengan menyamakan persamaan tersebut dengan 0, yakni


commit to user

22

! 5��6�5�6� ! ln n ∑ ln �M�MN2 � 0. (4.43)

Fungsi 5��6�5�6� pada persamaan tersebut sulit untuk diselesaikan sehingga

metode yang digunakan untuk menyelesaikannya adalah dengan mensubstitusikan

persamaan (4.41) ke dalam persamaan (4.43) yakni

! 5��6�5�6� ! ln ∑ �²|²¸y�6 n ∑ ln �M�MN2 � 0

! 5��6�5�6� ! ln∑ �M�MN2 ! ln < n ∑ ln �M�MN2 � 0

5��6�5�6� n ln < � ∑ ln �M�MN2 ! ln∑ �M�MN2 . (4.44)

Persamaan (4.41) merupakan hasil estimasi dari distribusi gamma dengan

menggunakan MLE dimana nilai <½ diperoleh dari penyelesaian persamaan (4.44).

Setelah diperoleh estimasi O dengan MLE, selanjutnya akan dicari UMVUE

untuk parameter . Penentuan UMVUE dari , yang terlebih dahulu dilakukan

adalah menentukan nilai dari

�+��S��t

�� ¾t¾·t �¿ *��|S,6�� (4.45)

kemudian dibuktikan bahwa estimator O adalah estimator tak bias.

Jika estimator O adalah estimator tak bias maka langkah selanjutnya adalah

menentukan variansi dari estimator O. UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak

bias mencapai batas bawah variansi.

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), batas bawah Rao Cramer atau Cramer

Rao Lower Bound (CRLB) untuk variansi O adalah

_��QOR � �+��S��t�� ¾t

¾·t �¿*��|S,6�� , #�� , #d�� 1. (4.46)

Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan turunan kedua dari

fungsi log likelihood pada persamaan (4.39), diperoleh

�t�St -�, <� � 6

St ! ��S�. (4.47)

Kedua sisi pada persamaan (4.47) diambil ekspektasinya dan diperoleh

� } �t�St -�, <�� } 6

St ! ��S��


commit to user

23

� } �t�St -�, <�� ! 6

St. (4.48)

Selanjutnya adalah mensubstitusikan persamaan (4.48) ke dalam persamaan

(4.45), dimana nilai #d�� 1 ,sehingga diperoleh

�+��S��t

�� ¾t¾·t �¿ *��|S,6�� 2

��G� 4·tH � St�6.

Berdasarkan persamaan (4.41), akan dilakukan pembuktian terhadap

ketakbiasan estimator O. Estimator O dikatakan tak bias apabila �QOR � yaitu

�QOR � � G∑ �²|²¸y�6 H � 26 � G∑ �²|²¸y� H � . (4.49)

Karena �QOR � memenuhi syarat estimator tak bias maka O adalah

estimator tak bias. Langkah selanjutnya adalah membuktikan bahwa estimator tak

bias O mencapai batas bawah variansi yaitu

_��O� � �+��S��t�� ¾t

¾·t �¿*��|S,6��

dengan, nilai _��QOR � _�� G∑ �²|²¸y�6 H � 26t _��̅� � St

�6 sehingga dapat

dibuktikan bahwa

_��O� � �+��S��t�� ¾t

¾·t �¿*��|S,6��

St�6 � St

�6. (4.50)

Berdasarkan pembuktian yang diperoleh pada persamaan (4.49) dan

(4.50), terbukti bahwa estimator O � ∑ �²|²¸y�6À merupakan UMVUE dari .

4.3 Deficiency Penaksir pada Distribusi Gamma

Anggota distribusi keluarga eksponensial yang digunakan dalam penulisan

ini adalah distribusi gamma. Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi

gamma jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk

��; , <� � 2S45�6� �6�2�� S7 , � % 0, < % 0, % 0. (4.51)


commit to user

24

Distribusi gamma merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial bila

fungsi kepadatan peluang distribusi gamma pada persamaan (4.51) dapat

dinyatakan sebagai berikut

��; , <� � exp }! �S n �< ! 1� log � ! < log ! log Γ�<�� . (4.52)

Berdasarkan persamaan (4.52) diketahui statistik cukup yang lengkap

berdasar pada suatu sampel berukuran n untuk distribusi keluarga eksponensial

adalah c � ∑ M�MN2 dengan

∅2�� ! 2S; ∅�� !< log ! log Γ�<�; c�� ; �� < ! 1� log �

dan,

∅2′�� 2St;∅�′�� ! 6

S;∅2dd�S� � ! �S�. (4.53)

Selanjutnya, persamaan (4.53) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1) sehingga

diperoleh

b�� }! ∅td�S�∅yd�S�� Ã! �4·y·t Ä � <; bd�� < ; bdd�� 0. (4.54)

Ekspektasi dari statistik cukup T(x) yaitu,

� c��" � �c�� exp ∅2��c�� n ∅�� n ��" ��

� b�� <

� c��"� � �c�� exp ∅2��c�� n ∅�� n ��" ��

� b�� n Å��S�∅yd�S� � <�� n 6y·t � <�� n <�

� c��"� � �c�� exp ∅2��c�� n ∅�� n ��" ��

� b�� n �Å�S�Å��S�∅yd�S� ! Å��S�∅ydd�S�

Q∅yd�S�R� n Å��S�Q∅yd�S�Rt

� <�� n 3<�� n 2<�

� �<� n 3<� n 2<��

dan,

[ � � Ã! �t�St log ��; , <�"Ä � ∅2d�S�Å��S� � 6

St. (4.55)

Persamaan sebelumnya disubstitusikan ke dalam persamaan (4.4) diperoleh

�M� � Q∅2′��RMQ∅2′′��R�� c�� ! b��"M~�, untuk setiap nilai i dan j (4.56).


commit to user

25

Berdasar persamaan (4.56) diperoleh,

�22 � Q∅2′��R2Q∅2′′��R2� c�� ! b��"�

� ∅2′′��bd�� ! �6S� (4.57)

�(� � Q∅2′��R(Q∅2′′��R�� c�� ! b��"�

� ∅2′′�� Å��S�∅yd�S� � ! �6

S

��( � Q∅2′��R�Q∅2′′��R(� c�� ! b��"�

� !∅2′′��"bd�� n ∅2′��bdd��

� �22 n ∅2d�S�Å��S� � �6S�. (4.58)

Seperti telah disebutkan sebelumnya, deficiency ditentukan dari nilai MSE kedua

penaksir. Langkah berikut adalah menentukan nilai MSE dari kedua buah

penaksir. Langkah pertama adalah menentukan MSE dari penaksir maksimum

likelihood. Berdasar persamaan (4.21), MSE dari penaksir maksimum likelihood

adalah

¤¥��#QOR� �#d�� } 2

�Z n �{��S��tZ n ��S�

�t n ��yy~��0�t �tZt � ! Q#d��#dd��R }� �yy~��0�

�tZ� n��yy~��0�

��tZ� � n #dd�� } 2��tZt n 2

�tZt� n #d��#ddd�� } 2�tZt� n z��. (4.59)

Karena penaksir maksimum likelihood tak bias maka nilai ¡d�� dan ¢�� sama

dengan nol sehingga persamaan (4.59) menjadi

¤¥��#QOR� � #d�� } 2�Z n ��yy~��0�t

�tZt � ! Q#d��#dd��R }� �yy~��0��tZ� n

��yy~��0��tZ� � n #dd�� } 2

��tZt n 2 �tZt� n #d��#ddd�� } 2

�tZt� n z��. (4.60)

Selanjutnya persamaan (4.55),(4.57) dan (4.58) disubstitusikan ke dalam

persamaan (4.60) diperoleh,

¤¥��#�O�� #d�� }St�6� ! Q#d��#dd��R } �S�

�t6t� n #dd�� } �S£ �t6t� n

#d��#ddd�� } S£�t6t� n z�� (4.61)


commit to user

26

persamaan (4.61) merupakan MSE dari MLE pada distribusi gamma. Setelah

ditentukan MSE dari MLE, langkah selanjutnya adalah menentukan MSE dari

UMVUE. Berdasar persamaan (4.35), MSE dari UMVUE adalah

¤¥��QOR� � #d�� G 2�Z n ��S�


z��. UMVUE merupakan penaksir tak bias sehingga nilai ¢�� sama dengan nol

dan dengan menggunakan persamaan (4.58) maka persamaan (4.35) menjadi

¤¥��QOR� � #d�� G 2�ZH n #dd�� G 2

��tZtH n z��. Persamaan (4.55) disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut diperoleh

MSE dari penaksir UMVU yaitu

¤¥��QOR� � #d�� GSt�6H n #dd�� G S£

��t6tH n z��. (4.62)

Berdasar persamaan (4.61) dan (4.62) telah diketahui MSE dari MLE dan

MSE dari UMVUE pada distribusi gamma. Penentuan deficiency pada distribusi

gamma dicari dengan mengurangkan ¤¥��#�O�� pada persamaan (4.61) dengan

¤¥��QOR� pada persamaan (4.62) yaitu

��#QOR, �QOR� � ¤¥��#�O�� ! ¤¥��QOR� ��#QOR, �QOR� � 2�" +��S�

+��S� n " �+��S�+��S� n 2

�+��S�+��S��. (4.63)

Jika,

#2�� +��S�+��S� ;

#�� +��S�+��S� n 2

�+��S�+��S��

dan

#�� 2¡d�� n [ ¡��"�" maka persamaan (4.63) dapat ditulis sebagai berikut

��#QOR, �QOR� � 2�"#2�� n "#�� n #��. (4.64)

Karena penaksir maksimum likelihood tak bias maka #�� bernilai nol dan

persamaan (4.64) menjadi

��#QOR, �QOR� � 2�"#2�� n "#��. (4.65)


commit to user

27

Jika fungsi yang terestimasi (estimable) adalah

#�� 1 ! <�� (4.66)

maka dari persamaan (4.66) diperoleh,

#d�� !<�1 ! <��2

#dd�� <��1 ! <��

#ddd�� !<��1 ! <��. (4.67)

Berdasarkan persamaan (4.67) diperoleh nilai #2�� dan #�� sebagai berikut,

#2�� +��S�+��S� � �6t�2�S6�|´t

��6�2�S6�|´y

� !<�1 ! <��~2

� !<�1 ! <��2

� ! 6�2�S6�

#�� +��S�+��S� n 2

�+��S�+��S�� 6t

�2�S6�t n 6t �2�S6�t � ¯6t

�2�S6�t. Persamaan #2�� dan #�� disubstitusikan ke dalam persamaan (4.65) diperoleh

deficiency dari MLE dan UMVUE pada distribusi gamma sebagai berikut

��#QOR, �QOR� � 2�" G! 6�2�S6�H n " G ¯6t

�2�S6�tH � ¯S£6t �2�S6�t ! �S�6

�2�S6�.


commit to user

28

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Deficiency merupakan selisih antara MSE dari MLE dan UMVUE.

Deficiency penaksir pada distribusi keluarga eksponensial diberikan oleh

persamaan

��#QOR, �QOR� � ! }�Wyy~¯W�0�Zt � #2�� n +t�S�Z n #��

dengan #�� menunjukkan bias pada penaksir maksimum likelihood.

2. Distribusi gamma merupakan anggota dari distribusi keluarga

eksponensial. Deficiency penaksir pada distribusi gamma yaitu

��#QOR, �QOR� � ¯S£6t �2�S6�t ! �S�6

�2�S6�. Nilai deficiency tersebut bergantung pada parameter < dan .

5.2 Saran

Dalam tulisan ini penulis memberikan teori tentang deficiency pada

distribusi keluarga eksponensial, oleh karena itu dapat dilakukan penelitian

dengan menerapkan teori ini dalam studi kasus. Distribusi yang digunakan pada

tulisan ini adalah distribusi gamma sedangkan penaksir yang digunakan dalam

tulisan ini adalah penaksir maksimum likelihood dan UMVUE. Oleh sebab itu

dapat dilakukan penelitian dengan menggunakan distribusi dan penaksir yang

berbeda.

deficiency penaksir parameter pada distribusi gamma

Documents