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Prof. Carlos R. Paiva

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Maio de 2008

1Álgebra Geométrica do Espaço: Introdução

At first sight it may seem absurd to add two directed numbers with different grades.

That may have delayed Grassmann from considering it. For centuries the notion that

you can only add “like things” has been relentlessly impressed on the mind of every

schoolboy. It is a kind of mathematical taboo – its real justification unknown or

forgotten. It is supposedly obvious that you cannot add apples and oranges or feet and

square feet. On the contrary, it is only obvious that addition of apples and oranges is

not usually a practical thing to do – unless you are making a salad.

David Hestenes†

1. Vectores, produto geométrico e bivectores Estes apontamentos destinam-se a fazer uma breve introdução à álgebra geométrica do

espaço ordinário tridimensional radicada no espaço linear 3 . Designaremos por 3C

esta álgebra geométrica. Comecemos por considerar um vector 3∈r . O seu

comprimento é dado pelo respectivo módulo r . Tem-se, usando a métrica euclidiana

associada ao produto interno habitual,

23métrica euclidiana de → = ⋅r r r .

† New Foundations for Classical Mechanics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2nd ed., p. 30, 1999.

Carlos R. Paiva 2

O nosso ponto de partida é o seguinte: pretende-se introduzir um novo produto entre

vectores – a que chamaremos produto geométrico – que permita recuperar 2r . Como

notação a adoptar far-se-à ( ) 2, =r r r r r , i.e., não se utiliza qualquer espécie de

símbolo para designar este novo produto.

Axioma básico: Considera-se, por definição,

22produto geométrico → = = ⋅ =r r r r r r .

Não impondo, à partida, qualquer restrição algébrica no que respeita à comutatividade

do novo produto, façamos = +r a b com 3, ∈a b . Virá então

( )( )( ) ( ) ( )

2 2 2

2 22 2

= = + + = + + +

= ⋅ = + ⋅ + = + + ⋅

r r r a b a b a b ab ba

r r r a b a b a b a b

pelo que, atendendo a que 22 =a a e 22 =b b , se infere

( )relação entre o produto 1

interno e o produto geométrico 2α→ ⋅ = + = ∈a b ab ba

respeitando-se, deste modo, a simetria inerente ao produto interno, i.e., ⋅ = ⋅a b b a .

Exercício: Mostre que, se α ∈ e 3, , , ∈a b c x , então a solução da equação

( )α + ⋅ =x x a b c

é o vector

1α α

⋅⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠c ax c b

a b.


Exemplo: Vejamos, desde já, uma aplicação geométrica deste resultado. Consideremos

o triângulo da Fig. 1 como sendo a expressão da soma vectorial 0+ + =a b c . Então

, ,a b c= = =a b c

( )( )

( )

2 2 2

2 2 2

2

lei dos2 cos

co-senosc a b ab γ

= − +

= + + ⋅

→ = + −

c a b

c a b a b

Um caso particular desta lei da trigonometria plana corresponde ao teorema de

Pitágoras: 2 2 22 c a bγ π= ⇒ = + .

Exemplo: Mostremos que o ângulo inscrito numa semi-circunferência é um ângulo recto

(Fig. 2). Note-se que basta, para esse efeito,

mostrar que o vector −b a é ortogonal ao vector

−b c , i.e., que ( ) ( ) 0− ⋅ − =b a b c .

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

0

− ⋅ − = − ⋅ += −=

b a b c b a b ab a

É portanto possível, desde já, definir o inverso do vector r que se designará por 1−r .

Com efeito, sendo r̂ o correspondente vector unitário, tem-se

β γ

α

a

b

c

Figura 1 Triângulo correspondente à

soma vectorial 0+ + =a b c .

a c

b

Figura 2 O ângulo inscrito numa

semi-circunferência é recto.

Carlos R. Paiva 4

12

2

ˆˆ

inverso de um vectorˆ 1

−

⎧ =⎪⎪→ ⇒ = =⎨⎪ =⎪⎩

rrr r rr

r rr.

Tentemos, agora, averiguar qual a verdadeira natureza do resultado do produto

geométrico entre dois vectores 3, ∈a b .

( ) ( )1 1produto geométrico2 2

u

α

→ = = + + −ab ab ba ab ba

B

O primeiro termo α = ⋅ ∈a b é conhecido: trata-se de um escalar pertencente ao corpo

onde o espaço linear 3 está definido. O segundo termo, resultado de uma nova

operação – designada produto exterior (não confundir com produto externo) –

( )1produto exterior2

→ = ∧ = −B a b ab ba

é, por enquanto, de natureza desconhecida. Adopta-se a notação = ∧B a b para designar

o produto exterior de dois vectores. No entanto é óbvio que

( )1anti-simetria2

→ ∧ = − = − ∧ = −b a ba ab a b B

donde decorre imediatamente que

0∧ = − ∧ ⇒ ∧ =a a a a a a .

Definamos, agora, o reverso do objecto (por enquanto não identificado) u = ab e que

designaremos por u = ba (trata-se do produto geométrico dos mesmos dois vectores

mas em ordem inversa). Tem-se, portanto, sucessivamente


uu= = ⋅ + ∧ ⇒ ∧ = − ⋅= = ⋅ − ∧ ⇒ ∧ = ⋅ −

ab a b a b a b ab a bba a b a b a b a b ba

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )

2

2

2 22

= ∧ ∧ = − ⋅ ⋅ −

∴= ⋅ + − ⋅ −

⋅

B a b a b ab a b a b ba

a b ab ba a b abbaa ba b

( ) ( )2 22 2 2= ∧ = ⋅ −B a b a b a b .

Mas, em 3 , existe uma interpretação geométrica para o produto interno em termos do

ângulo ( ),θ = a b .

( )

( ) ( )2 3 2 222 2 2 2

cossignificado de em sin 0

θ

θ

⋅ =→

= ⋅ − = − ≤

a b a bB B a b a b a b

Como, quando 0θ ≠ , se tem 2 0<B , infere-se que o objecto geométrico B não pode

ser nem um escalar nem um vector. É um objecto de tipo novo que designaremos por

bivector e que resulta do produto exterior de dois vectores.

Conclusão importante: Em 3 o quadrado de um bivector é sempre um número

negativo. O bivector nulo, para 0θ = , é um caso trivial cujo quadrado é também nulo.

23

produto geométrico multivector

notação produto interno escalar

produto exterior bivector

α

→ = ⋅ + ∧ →

→ → ⋅ = ∈ →

→ ∧ = ∈ →

ab a b a b

a b

a b B ∧

( )área de um paralelogramo sinβ θ→ = =B a b

Assim β representa a área do paralelogramo da figura anexa. Podemos portanto

concluir que o bivector B codifica um plano orientado cuja área é dada por β .

Carlos R. Paiva 6

Figura 2 O bivector = ∧B a b representa uma área orientada. Nesta figura mostra-se

como B corresponde à área do paralelogramo cuja diagonal é +a b . Tem-se

( )2 2 2 2+ = + + ⋅a b a b a b .

Nota: Apesar de ser ter considerado que o bivector B corresponde ao paralelogramo

orientado da figura, a forma exacta é irrelevante: apenas interessa o plano em causa, a

orientação e a área. Um círculo orientado com a mesma área pode, também, representar

o mesmo bivector. O paralelogramo orientado é, contudo, mais sugestivo.

Figura 3 O bivector = ∧B a b é anti-simétrico: ∧ = − ∧b a a b . Na figura da esquerda

representa-se B e, na da direita, o bivector −B . Será 0=B quando a b .

θ

a

b

a

( )cos θb

( )sin θb = ∧B a b

( )sinβ θ= = ∧ =B a b a b

a

b= ∧B a b b − = ∧B b a

a


Assim como foi possível definir o inverso de um vector, é agora possível introduzir o

inverso de um bivector B que se designará por 1−B . Sendo B̂ o correspondente

bivector unitário, tem-se

12

2

ˆˆ

inverso de um bivectorˆ 1

−

⎧ =⎪⎪→ ⇒ = = −⎨⎪ = −⎪⎩

BBB B BB

B BB.

Nota importante: Este resultado mostra que 1−B tem a orientação oposta à de B .

Fica, assim, clarificada a natureza do objecto u = ab que será designado (como, de

resto, qualquer elemento genérico da nossa álgebra 3C ) por multivector: trata-se da

soma (graduada) de um escalar com um bivector.

soma graduada

multivectorescalar bivectorproduto

geométrico

u→ = = ⋅ + ∧ab a b a b

3ˆ ˆu C

αα β

β⎧ = ⋅∧ ⎪= → ⇒ = = + ∈⎨ = ∧∧ ⎪⎩

a ba bB ab Ba ba b

1

1

invertibilidade doproduto geométrico

uu

u

−

−

=→ = ⇒

=a b

abb a

Assim, é possível calcular facilmente 1u− para u = ab . Vem

( )( )1 1 1 1

1

1u u u u uu

− − − −

−

= ⇒ = ⇒ =ab b a b a

1 1 12 2 2 2u− − − ⋅ − ∧

∴ = = =ba a b a bb a

a b a b.

Carlos R. Paiva 8

Podemos introduzir a operação projecção de grau r de um multivector 3u C∈ e

designar o respectivo resultado por r

u .

( )( )

00 2

2

escalar grau zerobivector grau dois

uu u u

uα⎧ → = = ⋅⎪= = + → ⎨ → = = ∧⎪⎩

a bab

B a b

Nota: O produto interno diminui o grau dos vectores intervenientes (objectos de grau

um) para o grau zero uma vez que dá origem a um escalar. O produto exterior, por sua

vez, eleva o grau ao produzir um objecto de grau dois (um bivector).

Dados dois multivectores 3,u v C∈ , a respectiva soma deve respeitar a estrutura

graduada de cada um dos intervenientes.

( ) ( )1 1 11 2 1 1 2 1

2 2 2

ˆˆ ˆ

ˆescalar bivector

uu v

v

α βα α β β

α β

= +⇒ + = + + +

= +

BB B

B

0 0 0

2 2 2

u v u vu v u v+ = +

∴+ = +

Numa base ortonormada { }1 2 3, ,e e e do espaço linear 3 , tem-se

1,

delta de Kronecker0,i j i j

i ji j

δ=⎧

→ ⋅ = = ⎨ ≠⎩e e

pelo que

i j i j i j i j i j

j i j i j i i j i j

δδ

= ⋅ + ∧ = + ∧= ⋅ + ∧ = − ∧

e e e e e e e ee e e e e e e e

3 2base ortonormada de

2i j j i i j

i j j i i j

δ+ =→

− =e e e ee e e e e

onde se fez


convenção i j i j→ = ∧e e e .

Exemplo: Consideremos o caso de 12 1 2= ∧e e e . Vem sucessivamente

12 1 2 1 2 1 2 1 2

0= ∧ = ⋅ + ∧ =e e e e e e e e e

2

12 2 1 2 2 1 2 12

2 12 2 1 2 2 2 1 2 1 1

= = =∴

= = − = − = −e e e e e e e ee e e e e e e e e e e

( ) ( )2 22 2 212 1 2 1 2 1 2 1= ∧ = ⋅ − = −e e e e e e e .

●

A invertibilidade do produto geométrico tem uma clara interpretação geométrica.

Suponhamos, em tudo o que se se segue, que o vector 3∈a é um vector conhecido.

Consideremos, em primeiro lugar, que também se conhece o escalar α ∈ tal que

α⋅ =r a , sendo r um vector qualquer desde que satisfaça esta equação. Então, fazendo

α = ⋅b a , vem ainda ( ) 0− ⋅ =r b a . Facilmente se verifica que o afixo dos possíveis

vectores r que observam esta equação se encontra no plano π (visto de perfil) na Fig. 4.

Isto significa que o vector r , tal que α⋅ =r a , não fica caracterizado univocamente:

qualquer ponto em π é solução deste primeiro problema.

Figura 4 O plano π é o lugar geométrico

dos afixos dos vectores r tais que α⋅ =r a ,

i.e., tais que ( ) 0− ⋅ =r b a em que se

introduziu um vector b com α = ⋅ = ⋅b a a b .

O a

b

r −r b

plano π

Carlos R. Paiva 10

Consideremos, em segundo lugar, que (além do vector a ) se conhece o bivector 2

3∈B ∧ tal que ∧ =r a B , sendo r um vector qualquer desde que satisfaça esta

equação. Então, fazendo = ∧B b a , vem ainda ( ) 0− ∧ =r b a . Facilmente se verifica

que o afixo dos possíveis vectores r que observam esta equação se encontra na linha

recta da Fig. 5. Novamente, isto significa que o vector r , tal que ∧ =r a B , não fica

caracterizado univocamente: qualquer ponto em é solução deste segundo problema.

Figura 5 A linha recta é o lugar

geométrico dos afixos dos vectores r

tais que ∧ =r a B , i.e., tais que

( ) 0− ∧ =r b a em que se introduziu um

vector b com = ∧B b a .

Ou seja: nem o produto interno nem o produto exterior são invertíveis. Porém, ao

considerar o produto geométrico = ⋅ + ∧r a r a r a , somos conduzidos à intersecção do

plano π com a linha recta , i.e., ao ponto P da Fig. 5. Portanto, neste caso, somos

univocamente conduzidos a um único vector r tal que =r b . Isto mostra a

invertibilidade do produto geométrico: a solução representada pelo vector r é, agora,

uma solução única.

O a

br

−r b

plano π

linha ponto P


2. Trivectores, contracções e duais de Clifford Assim como o produto geométrico gera a álgebra geométrica, inventada por Clifford,

também o produto exterior gera uma álgebra – a álgebra exterior de Grassmann. O

produto exterior gera objectos denominados lâminas. As lâminas representam os

subespaços da álgebra geométrica.

Definição: Uma lâmina é um multivector que resulta do produto exterior de r vectores.

Um bivector é, assim, uma lâmina de grau dois; um vector é uma lâmina de grau um;

um escalar pode ser entendido como uma lâmina de grau zero. Podemos, agora, analisar

as lâminas de grau três: os trivectores.

Notação: As lâminas são representadas a negrito por letras maiúsculas. É o caso do

bivector (lâmina-2) = ∧B a b . As excepções são: (i) os vectores (lâminas-1), que são

representados por letras minúsculas a negrito: (ii) os escalares (lâminas-0), que são

representados por letras gregas, e.g., α = ⋅a b .

Os trivectores resultam do produto exterior de três vectores. Sejam 3, , ∈a b c . O

trivector = ∧ ∧V a b c pode ser entendido de duas formas distintas: (i) definindo o

bivector 1 = ∧B a b , vem 1= ∧V B c ; (ii) definindo o bivector 2 = ∧B b c , vem

2= ∧V a B . Está-se, naturalmente, a admitir a associatividade do produto exterior, i.e.,

que se tem 1 2∧ = ∧B c a B .

( ) ( )associatividade do produto exterior → ∧ ∧ = ∧ ∧a b c a b c

Assim como um bivector codifica uma área orientada num determinado plano, um

trivector codifica um determinado volume orientado. Note-se que se podem definir

triedros com duas orientações distintas: triedros direitos e triedros esquerdos. Na figura

anexa mostra-se como o trivector V se pode obter: (i) através de 1= ∧V B c , fazendo

deslizar o bivector 1 = ∧B a b ao longo do vector c (figura da esquerda); (ii) através de

Carlos R. Paiva 12

2= ∧V a B , fazendo deslizar o bivector 2 = ∧B b c ao longo do vector a (figura da

direita). A associatividade é óbvia através da observação da figura.

Figura 6 O trivector = ∧ ∧V a b c é representado geometricamente por um volume

orientado. Na figura da esquerda V obtém-se fazendo deslizar o bivector ∧a b ao

longo do vector c . Na figura da direita V obtém-se fazendo deslizar o bivector ∧b c

ao longo do vector a .

A anti-simetria e a associatividade do produto exterior garantem que:

.

∧ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧= − ∧ ∧ = − ∧ ∧ = − ∧ ∧

a b c b c a c a bc b a a c b b a c

Uma lâmina de grau r (uma lâmina- r ) rA pode dar origem a duas novas lâminas

através de dois tipos de involuções: (i) involução de grau; (ii) reversão.

( )( ) ( )2 2

involução de grau: 1involuções da lâmina

reversão: 1

rr r r

r r rr r r

−

= −→

= −

A A AA

A A A

Note-se que, deste modo, = −a a . O reverso de uma lâmina corresponde a inverter a

ordem dos vectores, i.e.,

∧a b a

b c

a

c ∧b c

b


( )( )

~

~exemplos de reversão

∧ = ∧ = − ∧→

∧ ∧ = ∧ ∧ = − ∧ ∧

a b b a a b

a b c c b a a b c

tendo-se, obviamente, =a a . Estamos, agora, em condições de apresentar a álgebra

geométrica 3C como a soma directa dos subespaços onde residem as suas lâminas.

2 3

3 3 33álgebra geométrica do espaço C→ = ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧

3

233

33

subespaço dos escalares:

subespaços da álgebra subespaço dos vectores:geométrica subespaço dos bivectores:

subespaço dos trivectores:

C→

∧

∧

3

30 1 2 30

multivector genérico da álgebrar

ru u u u u u C

=

→ = = + + + ∈∑

0

31

3 323

23

33

lâminas de

u

uC u C

u

u

α

α

= ∈

= ∈→ ⇒ = + + + ∈

= ∈

= ∈

aa B V

B

V

∧

∧

Tem particular relevância o trivector unitário que se representa por 123e . Numa base

ortonormada { }1 2 3, ,e e e do espaço linear 3 , tem-se

123 1 2 3

123 3 2 1 1 2 3 123

trivector unitárioreverso do trivector unitário

→ = ∧ ∧→ = ∧ ∧ = − ∧ ∧ = −

e e e ee e e e e e e e

.

0 1 2 3

3 0 1 2 3

0 1 2 3

involução de grau:involuções em reversão:

conjugação de Clifford:

u u u u uC u u u u u

u u u u u

= − + −→ = + − −

= − − +

Carlos R. Paiva 14

Vamos agora investigar qual é a natureza do produto geométrico de um vector a com

um bivector = ∧B b c .

( ) 3u C= = ∧ ∈a B a b c

Vem sucessivamente

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 12 2 21 12 22 2

1 .2

∧ = − = −

= ⋅ − − ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅ − ⋅ − −

a b c a bc cb ab c ac b

a b ba c a c ca b

a b c a c b bac cab

Mas, por outro lado,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 12 2 2

1 12 22 2

1212

− = −

= ⋅ − − ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅ − ⋅ − −

= ⋅ − ⋅ − −

= ⋅ − ⋅ − ∧

bac cab b ac c ab

b a c ca c a b ba

a c b a b c bca cba

a c b a b c bc cb a

a c b a b c b c a

pelo que, após substituir esta última expressão no resultado precedente, vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∧ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a b c a b c a c b a c b a b c b c a

( ) ( ) ( ) ( )2 2∴ ∧ − ∧ = ⋅ − ⋅a b c b c a a b c a c b .

( ) ( ) 3conclusão 2 2→ − = ⋅ − ⋅ ∈aB Ba a b c a c b .

Define-se, então, a contracção à esquerda


( )1contracção à esquerda2

→ = −a B aB Ba .

Desta definição resulta imediatamente

( ) ( ) ( )regra fundamental dacontracção à esquerda

→ ∧ = ⋅ − ⋅a b c a b c a c b .

Existe uma forma alternativa de deduzir esta regra fundamental e que será importante

para a sua generalização. Esta forma alternativa consiste na aplicação sucessiva de

( )2= ⋅ −ab a b ba .

Consideremos, então, o produto geométrico 1 2aa a de três vectores 31 2, , ∈a a a . Virá

sucessivamente

( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2

22 2

= ⋅ −= ⋅ − ⋅ +

aa a a a a a aaa a a a a a a a a

( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 12 2∴ − = ⋅ − ⋅aa a a a a a a a a a a .

Mas, por outro lado, tem-se por definição

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 212

∧ = ∧ − ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a a a a a a a a a .

Admitindo agora que 1 2 0⋅ =a a , vem 1 2 1 2= ∧a a a a . Logo

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2− = ∧ − ∧ = ⋅ − ⋅aa a a a a a a a a a a a a a a a a

donde se infere efectivamente a regra fundamental da contracção à esquerda

( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1∧ = ⋅ − ⋅a a a a a a a a a .

Carlos R. Paiva 16

Este tipo de dedução permite facilmente a generalização para o produto geométrico

1 2 3aa a a de quatro vectores 31 2 3, , , ∈a a a a . Vejamos.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 1 3 1 2 3

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3

22 22 2 2

= ⋅ −= ⋅ − ⋅ += ⋅ − ⋅ + ⋅ −

aa a a a a a a a aa aa a a a a a a a a a aaa a a a a a a a a a a a a a a a

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 22 2 2∴ + = ⋅ − ⋅ + ⋅aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a .

Admitamos, agora, que 1 2 0⋅ =a a , 1 3 0⋅ =a a e 2 3 0⋅ =a a . Vem então

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 2 3 2 1 3 3 1 2

2 2 22 2 2

+ = ∧ ∧ + ∧ ∧= ⋅ − ⋅ + ⋅= ⋅ ∧ − ⋅ ∧ + ⋅ ∧

aa a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3

contracção à esquerda1de um trivector2

com um vector→ ∧ ∧ = ∧ ∧ + ∧ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a a a a a a a a a a a a

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2∴ ∧ ∧ = ⋅ ∧ − ⋅ ∧ + ⋅ ∧a a a a a a a a a a a a a a a a .

Facilmente se verifica a seguinte identidade de Jacobi:

( ) ( ) ( )identidade de Jacobi 0→ ∧ + ∧ + ∧ =a b c b c a c a b .

Uma outra consequência importante desta regra é que, em relação à base ortonormada

{ }1 2 3, ,e e e do espaço linear 3 , se pode inferir que

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 3 2 0

0 0

∧ = ⋅ − ⋅ =e e e e e e e e e .


Analogamente define-se uma contracção à direita

( )1contracção à direita2

→ = −B a Ba aB

anti-simetria entre a contracção

à esquerda e a contracção à direita∴ → = −a B B a .

Consideremos a seguinte decomposição em partes par e ímpar:

( ) ( )produto geométrico de 1 1

um vector com um bivector 2 2parte ímpar parte par

u→ = = − + +aB aB Ba aB Ba .

O produto geométrico de um vector a por um bivector B é, em geral, a soma

(graduada) de um vector com um trivector. Para entender esta afirmação basta

considerar a decomposição ⊥= +a a a em que a se encontra no plano definido por B .

Então, considerando um vector b perpendicular a a ( )0⋅ =a b e também localizado

em B , tal que = ∧ =B a b a b , vem 2=a B a b que é um vector. Mas, por outro lado,

( )⊥ ⊥ ⊥= ∧ =a B a a b a a b é o produto de três vectores ortogonais entre si e,

consequentemente, é um trivector. Ou seja, ( ) 2⊥ ⊥= + = + ∧ ∧aB a a B a b a a b é

efectivamente a soma de um vector com um trivector (Fig. 7).

( ) ( )3

3 31 12 2

vector trivector

u = = − + + ∈ ⊕a B a B Ba a B Ba ∧

( )

( )

3

33

1212

− = ∈∴

+ = ∧ ∈

aB Ba a B

aB Ba a B ∧

Carlos R. Paiva 18

= = ∧B a b a b

⊥= +a a a

a

⊥a

b

Figura 7 O vector a pode ser decomposto numa componente paralela, a , ao bivector

B e numa componente perpendicular, ⊥a . É possível definir um vector b , ortogonal a

a mas também paralelo a B , tal que = = ∧B a b a b .

simetria do produto exteriorde um vector com um bivector

produto geométrico deum vector por um bivector

→ ∧ = ∧

= + ∧→

= + ∧

a B B a

aB a B a BBa B a B a

Verifica-se, deste modo, que se tem:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

123 123 123

123 123 123 123

123

121212

∧ = +⎡ ⎤⎣ ⎦

= + ∴ ∧ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

a be a be be a

ab e ba e a be a b e

ab ba e


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

123 123 123

123

123

123 123

1212

∧ ∧ = ∧ − ∧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ∧ − ∧⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= ∧⎣ ⎦

∴ ∧ ∧ = ⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a b c e a b c e b c ae

a b c b c a e

a b c e

a b c e a b c a c b e

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

121 12 212

∧ ∧ = ∧ + ∧⎡ ⎤⎣ ⎦

= − ⋅ + ⋅ − ∴ ∧ ∧ = −⎡ ⎤⎣ ⎦

= −

a b c a b c b c a

a bc b c b c cb a a b c abc cba

abc cba

( )

( ) ( ) ( )

( )

131 1 1 13 2 2 2

16

∧ ∧ = ∧ ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧

⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∴ ∧ ∧ = + + − − −

a b c a b c b c a c a b

abc cba bca acb cab bac

a b c abc bca cab cba acb bac

Clarifiquemos a interpretação geométrica associada às duas contracções. Notemos, para

esse efeito, que

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1− − − −

⊥

= = = + ∧a a B B a B B a B B a B B

a a

( ) ( )( ) ( )

1

11

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ1 ˆ ˆˆˆ ˆ

−⊥

−−⊥

⊥

=⎧ = = ∧⎪ = = −⎪∴ → ⇒⎨== ∧ = − ∧⎪ = −

⎪⎩ = ∧

a B a BB B B a B a Ba a B B a B B

a B a Ba a B B a B BB BB a B a B

( ) ( )1 ˆ ˆ−= =a a B B B Ba .

Carlos R. Paiva 20

Na Fig. 8 mostra-se a decomposição do vector 3∈a em duas componentes:

• uma componente a contida no bivector B ;

• uma componente ⊥a perpendicular ao bivector B .

Note-se que o vector ⊥b a é a contracção à esquerda =a B a B sendo, portanto,

diametralmente oposto à contracção à direita = −B a a B .

Figura 8 Representação geométrica do vector = =b a B a B a partir de um vector

⊥= +a a a arbitrário. Tem-se ( ) 1−=a a B B e ( ) 1−⊥ = ∧a a B B .

Nota importante: Quando ⊥=a a (i.e., o vector a é perpendicular a B ) vem 0=a B .

Quando =a a (i.e., o vector a encontra-se no plano definido por B ) vem 0∧ =a B .

Voltando novamente à base ortonormada { }1 2 3, ,e e e do espaço linear 3 , obtém-se

sucessivamente

a⊥a

a

= =b a B a B

12

− =a

aa

1 1− −= = ∧B a b a b


( ) ( ) ( )

( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

123

0

.

= = ⋅ + ∧ = ∧

= ∧ + ∧ ∧

= ∧ ∧

=

e e e e e e e e e e e e e e

e e e e e e

e e e

e

Conclusão importante: O trivector unitário 123e é tal que

123 1 2 3 1 2 3trivector (ou pseudoescalar) unitário → = ∧ ∧ =e e e e e e e .

Em geral, para qualquer trivector, é então possível escrever

123123 123

123 123

== − ⇒

= = −V V e

e eV V e V e

( )( )2 2 2 3123 123 123 123 123 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1= = − = − = − = −e e e e e e e e e e e e e e

2 22 2123∴ = = −V V e V

1 1232inverso de um trivector −→ = = −

eVVV V

.

Uma outra operação importante é a dualidade na álgebra geométrica que faz

corresponder a cada multivector 3u C∈ o seu dual de Clifford 123 3u C∈e . O dual de

um escalar é um trivector (também designado por pseudoescalar). O dual de um vector é

um bivector.

123dual de Clifford u u→ e

Consideremos uma base ortonormada { }1 2 3, ,e e e do espaço linear 3 . Vem

Carlos R. Paiva 22

1 1 2 2 3 3

31 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1,vectores de

0,i j i j

a a ai j

b b bi j

c c cδ

= + +⎧=⎧ ⎪⋅ = = → = + +⎨ ⎨≠⎩ ⎪ = + +⎩

a e e ee e b e e e

c e e e

1 123 23 23 123 1

2 123 31 31 123 2 123 123

3 123 12 12 123 3

duais de Clifford 1= = −

→ = = − = −= = −

e e e e e ee e e e e e e ee e e e e e

1 1 2 2 3 3

12 1 223 31 12 2

23 2 3 31 2 3

31 3 11 2 3

123 1 2 31 2 3 3

31 2 3 123

1 2 3

escalar

bivector

trivector

a b a b a b

a a ab b b

a a ab b bc c c

→ ⋅ = + + ∈

= ∧= ∧

→ → ∧ = ∈= ∧= ∧ ∧

→ ∧ ∧ = ∈

a b

e e ee e e

e e ea b

e e ee e e e

a b c e

∧

∧

Figura 9 Base dos bivectores de 3C . Qualquer bivector B é uma combinação linear

dos três bivectores de base: { }12 23 31, ,e e e . Por exemplo, tem-se 31 3 1 3 1= ∧ =e e e e e .

1e

2e

3e

23 2 3= ∧e e e

12 1 2= ∧e e e


Figura 10 Qualquer trivector V pode ser escrito na forma 123γ=V e , com γ ∈ .

Nesta figura representa-se o trivector unitário 123 1 2 3 1 2 3= ∧ ∧ =e e e e e e e .

Apresenta-se, de seguida, a tabela multiplicativa da álgebra geométrica 3C .

3TABELA MULTIPLICATIVA DE C

1e 2e 3e 12e 23e 31e 123e

1e 1 12e 31−e 2e 123e 3−e 23e

2e 12−e 1 23e 1−e 3e 123e 31e

3e 31e 23−e 1 123e 2−e 1e 12e

12e 2−e 1e 123e 1− 31−e 23e 3−e

23e 123e 3−e 2e 31e 1− 12−e 1−e

31e 3e 123e 1−e 23−e 12e 1− 2−e

123e 23e 31e 12e 3−e 1−e 2−e 1−

Exemplo: Calculemos o quadrado do multivector 123u = +a be . Vem

( ) ( )( )

( ) ( )

22123 123 123

2 2 2 2123 1232 .

u = + = + +

= − + + = − + ⋅

a be a be a be

a b ab ba e a b a b e

2e

3e

1e

123 1 2 3= ∧ ∧e e e e

Carlos R. Paiva 24

Nota: Na álgebra 3C existem divisores de zero, i.e., multivectores 3,p q C∈ tais que

0p q = mas onde 0p ≠ e 0q ≠ . Com efeito, basta considerar q p= ( p é o conjugado

de Clifford de p ) com ( 3ˆ ∈n é um vector unitário, com 2ˆ 1=n )

( )

( )

1 ˆ12divisores de zero 01 ˆ12

pp p p p

p

= +→ ⇒ = =

= −

n

n.

Os paravectores (chama-se paravector ao multivector que resulta da soma de um escalar

com um vector) considerados são idempotentes, i.e., tem-se 2p p= e 2p p= . Note-se

que 1p p+ = e ˆp p− = n . Além disso, introduzindo o bivector unitário 123ˆ ˆ=B ne

ortogonal a n̂ (i.e., com ˆˆ 0=n B pelo que ˆ ˆˆ ˆ=n B Bn ), vem

( )2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆp p p p p p p p p p+ = − + − = − =B B B n

o que mostra que um vector pode ter raízes quadradas. Logo

( ) ( )2 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1k kk k+= − ⇒ = − ⇒ = −B B B B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 1

1231 1

ˆ ˆ ˆexp exp 1 1 12 2 ! 2 1 !

ˆ1 cos 1 sin 1 2

k kk k

k k

p p pk k

p p p

π π ππ

π π

+∞ ∞

= =

⎡ ⎤− = = + − + −⎢ ⎥ +⎣ ⎦

= + − + = −⎡ ⎤⎣ ⎦

∑ ∑B e B B

B

( ) 123ˆ ˆexp 12π⎡ ⎤∴ − =⎢ ⎥⎣ ⎦

n e n

o que mostra que se pode, também, calcular o logaritmo de um vector.


Vejamos, agora, qual é a dimensão da álgebra geométrica do espaço.

123 123 123

2 2123 123 123

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 1

uu

α β γγ β α

= = + + +→

= − − + += − =

B ue a ue ee u ae eu B

1 2 3 12 23 31 1233

1base de

escalar vectores bivectores pseudoescalarC

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

e e e e e e e

0 1 1 2 2 3 3 23 23 31 31 12 12 123 123 3

0 1 2 3

multivector u u u u u u u u u Cu u u u

→ = + + + + + + + ∈e e e e e e e

11 1

1 2 11 3 3 1

( )332 8 dim 8C→ = → =

Atendendo a que se tem

( ) ( )

2 2 2 1

2 2 2 1123 123 123 123

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1

1 1 1

k k

k kk k

+

+

= ⇒ = ⇒ =

= − ⇒ = − ⇒ = −

u u u u

e e e e

infere-se que

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

123123

0

2 2 1123 123

0 0

2 2 1

1230 0

123

ˆˆ êxp exp!

ˆ ˆ2 ! 2 1 !

ˆ1 12 ! 2 1 !

ˆcos sin

k

k

k k

k k

k kk k

k k

k

k k

k k

θθ θ

θ θ

θ θ

θ θ

∞

=

+∞ ∞

= =

+∞ ∞

= =

= =

= ++

= − + −+

= +

∑

∑ ∑

∑ ∑

ueB ue

ue ue

ue

u e

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )123 123ˆ êxp cos singeneralizações geométricas da

fórmula de Euler ˆ êxp cos sin

θ θ θ

θ θ θ

= +→

= +

ue ue

B B.

Carlos R. Paiva 26

( ) ( )

( )

( )( )123

ˆcosˆ ˆˆ cos sin

sinˆexp

u α βα θ

θ θβ θ

θ

= = ⋅ + ∧ = += ⋅ =∧

= = → = + →= ∧ =∧

=

ab a b a b Ba ba bB ue Ba ba b

B

( )( ) ( )

1 1

2 2

tan tan ,ˆcos sinu

βθα

θ θ

α β

− − ⎛ ∧ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤→ = = +⎣ ⎦= + =

a ba b

a bab a b B

a b

.

Nota: Confirma-se, deste modo, que o produto geométrico de dois vectores é

comutativo quando estes são paralelos e anti-comutativo quando estes são

perpendiculares.

0 0

02

θ

πθ

= ⇒ ⇒ ∧ = ⇒ =

= ⇒ ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ = −

a b a b ab ba

a b a b ab ba

Nas duas figuras anexas (Fig. 11) representam-se graficamente: (i) o bivector que é o

dual (de Clifford) de um vector; (ii) o vector que é o dual (de Clifford) de um bivector.

23 3

1232

3 3123

dual (de Clifford) de um vector:

dual (de Clifford) de um bivector:

∈ = ∈

∈ = ∈

a A ae

B b Be

∧

∧

Consideremos um multivector genérico 3u C∈ . Vejamos como calcular o respectivo

inverso 13u C− ∈ . Sendo 3u C∈ o respectivo reverso e 3u C∈ o conjugado de

Clifford, vem sucessivamente

123 123

123 123

123 123

uuu

α βα βα β

= + + += + − −= − − +

a be ea be ea be e


Figura 11 O dual de um vector é um bivector e o dual de um bivector é um vector. Na

figura da esquerda representa-se o vector a e o seu dual de Clifford 123=A ae . Na

figura da direita representa-se o bivector B e o simétrico do seu dual de Clifford

123− = −b Be .

( )3

2 2 2 2 31232u u u u α β αβ= = − − + + − ⋅ ∈ ⊕a b a b e ∧

13inverso de um multivector de uC u

u u−→ =

( )

1 1 1123 1232 2 2 2

123

12

u u u u uα βα β αβ

− − −− − += ⇒ = =

− − + + − ⋅a be e

a b a b e.

Por outro lado, tem-se

( )2 2 2 2 31232u u α β α β= + + + + + − ∧ ∈ ⊕⎡ ⎤⎣ ⎦a b a b a b e

2 2 2 20

0u u α β= + + + ≥a b

2 2 2 20

3

norma (ou comprimento)de um multivector de

u u u uC

α β→ = ∴ = + + +a b .

Mostra-se que

3, 2u v C u v u v∈ ⇒ ≤ .

a

123=A ae

123− = −b Be

B

Carlos R. Paiva 28

Em geral, pode-se escrever (com 3,u v C∈ )

( )

( )123 123

3 123 123

definições geraisdas contracções em

u v u vC u v u v

= − ∧⎡ ⎤⎣ ⎦→= − ∧⎡ ⎤⎣ ⎦

e e

e e

e ainda, com 3∈a ,

u u u

u u u= + ∧= + ∧

a a aa a a

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )u v u v u v

u v u v u v

∧ = ∧ + ∧

∧ = ∧ + ∧

a a a

a a a

tendo-se, em particular,

( )

( )

13

31

3

1 121 12

kkk

kk

u u uu

u u u

−

+

⎡ ⎤= − − ∈⎣ ⎦∈ →

⎡ ⎤∧ = + − ∈⎣ ⎦

a a a

a a a

∧∧

∧

( )

( )

13

31

3

1 121 12

kkk

kk

u u uu

u u u

−

+

⎡ ⎤= − − ∈⎣ ⎦∈ →

⎡ ⎤∧ = + − ∈⎣ ⎦

a a a

a a a

∧∧

∧

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3

3

1

1

k k

k k

u u v u v u v

v u v u v u v

∈ ⇒ ∧ = ∧ + − ∧

∈ ⇒ ∧ = ∧ + − ∧

a a a

a a a

∧

∧

uma vez que, ( )1 ku u= − quando 3k

u∈∧ (i.e., quando u é uma lâmina- k ). Note-se

ainda que, no caso em que 2

3∈B ∧ é um bivector, vem (com 3u C∈ )


( )

( )

1212

u u u u u

u u u u u

= + − + ∧

= + − + ∧

B B B B B

B B B B B.

Estas equações reduzem-se às fórmulas já conhecidas

= + ∧= + ∧

a B a B a BBa B a B a

.

Exemplo: Facilmente se determinam as componentes , ,α β γ da decomposição de um

vector 3∈r em termos de outros três vectores conhecidos 3, , ∈a b c . Pretende-se,

portanto, resolver o sistema de equações lineares

sistema linear α β γ→ = + +r a b c

em ordem a , ,α β γ . Vem sucessivamente

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

β γ γα γ αα β β

∧ = ∧ + ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧⎧ ⎧⎪ ⎪∧ = ∧ + ∧ ⇒ ∧ ∧ = ∧ ∧⎨ ⎨⎪ ⎪∧ = ∧ + ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧⎩ ⎩

r a b a c a r a b c a br b a b c b r b c a b cr c a c b c r c a b c a

solução , ,α β γ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧→ = = =

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧r b c r c a r a ba b c a b c a b c

.

Esta é a expressão da regra de Cramer em álgebra geométrica.

Exercício: Sabendo que o vector x é tal que ∧ =a x B e α⋅ =c x , mostre que

α +

=⋅

a c Bx

c a.

Sugestão: Note que ( ) ( ) ( )∧ = ⋅ − ⋅c a x c a x c x a .

Carlos R. Paiva 30

Exemplo: Sabendo que 3ˆˆ, ∈a b são dois vectores unitários (i.e., com 2 2ˆˆ 1= =a b ) tais

que ( )ˆ ˆˆ exp θ=ab B e onde B̂ é um bivector unitário (i.e., com 2ˆ 1= −B ), tem-se

( )

( )

2 2

2 2

ˆˆ 4 cos2

ˆˆ 4 sin2

θ

θ

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

a b

a b.

Notando que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1+ = + + = + + = + +a b a b a a b a b aa a b ba ab , vem

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

ˆ ˆ ˆˆ 1 exp 1 exp

ˆ ˆ ˆ ˆ1 exp exp exp 1 exp2 2

ˆ ˆexp exp2 2

ˆ4 cos .2

θ θ

θ θθ θ

θ θ

θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a b B B

B B B B

B B

B

Problema: Determinar a solução da equação α + =x x B a .

Solução: Notando que ( ) 0∧ =x B B , vem ( )α ∧ = ∧x B a B . Logo, de

α + − ∧ =x xB x B a , resulta ( )1α α −+ − ∧ =x x B a B a , ou seja,

( ) ( ) 11 αα

−⎡ ⎤= + ∧ +⎢ ⎥⎣ ⎦x a a B B

( )( ) ( ) 12 22 2

αα α α αα

− −+ − = − ⇒ + =

−BB B B BB

( ) ( )2

2 2

α αα

+ − ∧∴ =

−

a a B a B Bx

B.


Nota final: Facilmente se demonstra que não existem lâminas-4 em 3C . Ou seja, dados

quatro vectores 3, , , ∈a b c d tem-se necessariamente 0∧ ∧ ∧ =a b c d . Com efeito, em 3 só três vectores é que podem ser linearmente independentes. Isto significa que, e.g.,

o vector d é necessariamente uma combinação linear dos outros três

, ,α β γ α β γ∈ → = + +d a b c .

Mas então, com efeito, tem-se

( )( ) ( ) ( )

0 .

α β γα β γ

∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ + += ∧ ∧ ∧ + ∧ ∧ ∧ + ∧ ∧ ∧=

a b c d a b c a b ca b c a a b c b a b c c

Carlos R. Paiva 32

3. Produto externo

O produto externo não faz parte da álgebra geométrica 3C . Porém, atendendo à sua

grande utilização quer em física quer em engenharia, vai-se agora estabelecer a sua

definição bem como a sua relação com os objectos de 3C .

Definição: Sejam 3, ∈a b . Define-se um vector 2× ∈a b , denominado produto

externo dos vectores a e b , que observa as seguintes propriedades:

( ) ( )

( )( )

ortogonalidade: ,comprimento igual à área: sintriedro dextrorso (ou direito): , ,

θ× ⊥ × ⊥× =

×

a b a a b ba b a ba b a b

Ou seja, o comprimento ×a b é igual à área do paralelogramo correspondente ao

bivector ∧a b . Na figura anexa mostra-se a relação geométrica entre o vector ×a b e o

bivector ∧a b .

Figura 12 O bivector = ∧B a b e o vector ×a b . O produto externo necessita de uma

métrica (neste caso, a métrica euclidiana). O produto exterior é independente de qualquer

métrica.

( ) ( ) 22 2 2 2∧ = ⋅ − = − ∧a b a b a b a b

( )2 2 2 2 2∴ × = ∧ = − ⋅a b a b a b a b

×a b

b

a

= ∧B a b


Nota: Esta última equação pode ser considerada como uma simples expressão do

teorema de Pitágoras.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 22 2

2 2

2 2 22

2

cos sin

teorema desin cos 1

Pitágoras

cos , sin

teorema dePitágoras

θ θ

θ θ

θ θ

= +

→ + =

⋅ = × =

× + ⋅ =

⋅ ⋅→ × =

⋅ ⋅

a a a

a b a b a b a b

a b a b a b

a a a ba b

b a b b

Verifica-se, deste modo, que existe uma relação de dualidade entre o produto externo e

o produto exterior.

( )

( )

3123

23

123

dualidade entre o produtoexterno e o produto exterior

× = − ∧ ∈→

∧ = × ∈

a b a b e

a b a b e ∧

Numa base ortonormada { }1 2 3, ,e e e do espaço linear 3 , com a orientação direita,

pode obter-se o produto externo de acordo com o determinante formal

( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

1 2 3

produtoexterno

a a a a b a b a b a b a b a bb b b

→ × = = − + − + −e e e

a b e e e .

Tal como o produto exterior o produto externo é anti-simétrico mas, ao contrário deste,

não é associativo.

( ) ( )

anti-simetria:não associatividade:

× = − ×× × ≠ × ×

a b b aa b c a b c

( )cos θ=b a

( )sin θaa

θ

Figura 13 Teorema de Pitágoras.

Carlos R. Paiva 34

Comentário: Na definição do vector ×a b é necessária uma métrica para determinar a

direcção perpendicular ao bivector ∧a b . O bivector ∧a b , porém, é independente de

qualquer métrica.

O espaço linear 3 dotado do produto externo consitui uma álgebra de Lie: o produto

externo não é abeliano (ou comutativo), não é associativo, não tem elemento neutro e

obedece à identidade de Jacobi.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

anti-simetria:álgebra de Lie distributividade:

identidade de Jacobi: 0α β α β

× = − ×→ × + = × + ×

× × + × × + × × =

a b b aa b c a b a ca b c b c a c a b

A distributividade no primeiro argumento resulta da anti-simetria:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α β α β α β α β+ × = − × + = − × − × = × + ×a b c c a b c a c b a c b c .

Usando a regra ( ) ( ) ( )123 123∧ ∧ = ⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦a b c e a b c a c b e deduzida anteriormente e

tendo em consideração a dualidade, vem sucessivamente

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ }123 123 123

123 123

× × = − × ∧ = ∧ ∧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

a b c a b c e a b c e e

a b c a c b e e

( ) ( ) ( )regra fundamentaldo produto externo

→ × × = ⋅ − ⋅a b c a c b a b c .

Usando esta regra é fácil verificar quer a não associatividade (no caso geral)

( ) ( ) ( )não associatividadedo produto externo

→ × × − × × = × ×a b c a b c b c a

quer a identidade de Jacobi


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

× × = ⋅ − ⋅⎧⎪

× × = ⋅ − ⋅ ⇒ × × + × × + × × =⎨⎪ × × = ⋅ − ⋅⎩

a b c a c b a b c

b c a a b c b c a a b c b c a c a b

c a b b c a a c b

.

A identidade de Jacobi é, de certa forma, a propriedade que substitui a associatividade

numa álgebra de Lie.

Nota: Usando a regra fundamental do produto externo é também possível escrever o

produto interno de dois vectores exclusivamente em termos do seu produto externo –

desde que estes dois vectores não sejam paralelos. Vejamos.

( ) ( ) ( ) ( )( )2× × = ⋅ − ⇒ × × ∧ = ⋅ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a a b a b a a b a a b b a b a b

( ) ( )× × ∧ × × ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∴ ⋅ = ⇒ ⋅ =∧ ×

a a b b a a b ba b a b

a b a b

O produto externo tem, numa reflexão especular, um comportamento peculiar

relacionado com o facto de um triedro orientado ser um objecto quiral: numa reflexão

face a um espelho, um objecto quiral não coincide com a sua imagem. Com efeito, um

triedro dextrorso (ou direito) tem, como imagem num espelho, um triedro sinistrorso

(ou esquerdo). Na figura anexa da página seguinte o triedro ( ), ,′ ′ ′a b c é a imagem

especular do triedro ( ), ,a b c ; porém, enquanto que = ×c a b , tem-se ′ ′ ′= − ×c a b .

●

Mas o produto externo padece de uma dificuldade mais grave: só existe, como tal, em

três dimensões. Em duas dimensões não é possível sair do plano para introduzir um

vector perpendicular ao plano; em quatro dimensões a direccção ortogonal ao plano não

está univocamente determinada. Todas estas dificuldades podem ser superadas se, em

vez da álgebra de Lie associada ao produto externo, se adoptar uma nova álgebra – a

álgebra geométrica proposta por Clifford.

Carlos R. Paiva 36

Figura 14 Produto externo = ×c a b . As imagens no espelho 1 2X X dos vectores a , b e c

são os vectores ′a , ′b e ′c . Contudo, ′ ′ ′= − ×c a b , i.e., o produto externo não se comporta

bem numa reflexão espacial. Note-se que o produto exterior tem o comportamento correcto

uma vez que a imagem de = ∧B a b é ′ ′ ′= ∧B a b .

Nota: Além do dual de Clifford é também usual definir o dual de Hodge. O dual de

Hodge de um vector a é o bivector aø e o dual de Hodge de um bivector B é o vector

Bø , tais que

( )( )

123

123

duais de Hodge= ∧ = ×

→ ⇒= − × = ∧

a ae a b a bB Be a b a b

ø ø

ø ø.

1X

2X

a ′a

= ×c a b

b′b

′ ′ ′= − ×c a b

c

′c


Nota importante: O produto externo, tal como aqui definido, só existe em 3 . Com

efeito, este é o único espaço onde o dual de um bivector é um vector. É, no entanto,

possível generalizar o conceito de produto externo para espaços de maior dimensão: é o

caso do espaço 7 onde é possível tal generalização para o produto externo de dois

vectores como se mostra nas páginas 96-98 do livro

Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors (Cambridge: Cambridge

University Press, 2nd ed., 2001).

Porém, em 7 , tal generalização do produto externo não verifica a identidade de Jacobi

e, consequentemente, não permite construir uma álgebra de Lie (ao contrário de 3 ).

O produto externo tem, tradicionalmente, relevância no chamado produto misto de três

vectores 3, , ∈a b c e que se representa por α = ⋅ ×a b c .

Nota: Não existe ambiguidade na escrita adoptada para o produto misto já que a única

alternativa exequível é ( )α = ⋅ × = ⋅ ×a b c a b c uma vez que ( )⋅ ×a b c não tem sentido.

No âmbito de 3C tal relevância desaparece dado que

( )

( ) ( )

( )

123

123

123

1produto misto2

α = ⋅ × = − ⋅ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦

→ = − ∧ + ∧⎡ ⎤⎣ ⎦

= − ∧ ∧

a b c a b c e

a b c b c a e

a b c e

( ) 123

o dual do produtomisto é um trivector

→ ∧ ∧ = ⋅ ×a b c a b c e

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a ab b bc c c

∴ ⋅ × =a b c .

Carlos R. Paiva 38

Ou seja, ⋅ ×a b c corresponde ao volume do paralelepípedo formado pelos três

vectores (Fig. 6).

●

Vamos agora analisar uma aplicação do produto externo: a rotação de um vector ′r r .

Fazendo

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2 2 21 2 3

x y z

a a a

a a aα

= + +

= + +

= = + +

r e e e

a e e e

a

verifica-se facilmente que

3 2

3 1

2 1

00

0

a a xA a a y

a a z

A

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟× = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

a r r

r

.

A equação característica da matriz A é ( )det 0I Aλ − = que conduz a 3 2 0λ α λ+ = . De

acordo com o teorema de Cayley-Hamilton, qualquer matriz quadrada satisfaz a sua

equação característica. Portanto

3 2 3 20 0A Aλ α λ α+ = ⇒ + = .

Daqui infere-se que

( )( )

2 2 2 2

2 1 2

1 , 1, 2, 3,

1 , 0,1, 2,

kk k

kk k

A A k

A A k

α

α

−

+

⎧ = − − =⎪⎨

= − =⎪⎩

…

…

donde


( ) ( ) ( )2 2 1

0 0 0exp

! 2 ! 2 1 !

k k k

k k k

A A AAk k k

+∞ ∞ ∞

= = =

= = ++∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 1

0 01 sin

2 1 ! 2 1 !

k kk

k k

A A Ak k

α αα α

+ +∞ ∞

= =

= − =+ +∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 2

20 1

2 2 2

2 20

2

2

12 ! 2 !

12 !

1 cos

k kk

k k

kk

k

A AIk k

A AIk

AI

αα

αα α

αα

∞ ∞

= =

∞

=

= − −

= + − −

= + −⎡ ⎤⎣ ⎦

∑ ∑

∑

( ) ( ) ( )2

2exp sin 1 cosA AA I α αα α

∴ = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Agora, notando que

2 22 3 1 2 1 3

2 2 21 2 1 3 2 3

2 21 3 2 3 1 2

a a a a a aA a a a a a a

a a a a a a

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

infere-se, ainda, que se tem

( ) ( )2 2A = × × = ⋅ −r a a r a r a a r .

É então possível definir a seguinte rotação espacial

( )rotação exp A′→ =r r r

que se ilustra na Fig. 15.

Carlos R. Paiva 40

Figura 15 Rotação do vector r para ( )exp A′ =r r . A matriz A descreve a rotação

cujo eixo é o vector ˆα=a a . A componente paralela de r , r , roda um ângulo α no

plano do bivector 123=B ae .

Com efeito, tem-se sucessivamente

( ) ( ) ( ) ( )2

2

sin 1 cosA A

α αα α

−′ = + +r r r r

( ) ( ) ( ) ( )2

sin 1 cosα αα α

−′ = + × + × ×⎡ ⎤⎣ ⎦r r a r a a r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

sin 1 coscos

α αα

α α−

′∴ = + × + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦r r a r a r a .

Convenhamos que não se trata de uma expressão nem muito concisa nem muito transparente.

Mais adiante veremos como é possível usar o conceito de rotor em 3C de forma a permitir

tornar este tipo de operação muito mais simples de escrever. Ver-se-à, nomeadamente, que se

pode escrever simplesmente (ver Fig. 19)

123=B ae

r ′r

αr ′r

ˆα=a a


1231exp2

R R

R

′ =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

r r

ae.

●

Finalmente, é necessário estabelecer uma precisão importante: o produto externo (usual, i.e., tal

como se definiu no início desta secção) não corresponde exactamente ao dual de Clifford de um

produto exterior como se escreveu atrás. Na verdade a dualidade inscrita nas equações

( )

( )

3123

23

123

dualidade entre o produtoexterno e o produto exterior

× = − ∧ ∈→

∧ = × ∈

a b a b e

a b a b e ∧

não respeita a regra da formação do produto externo numa involução espacial em que se

altera a orientação do espaço fazendo

1 1 1

2 2 2 123 1 2 3 123

3 3 3

involução espacial′ = −′ ′ ′ ′ ′→ = − ⇒ = ∧ ∧ = −′ = −

e e ee e e e e e e ee e e

( ) ( )123 123simetria ímpar ′ ′ ′ ′ ′ ′→ = × = − ∧ = ∧ = − × = −c a b a b e a b e a b c .

Nota: Uma involução espacial coincide, na álgebra 3C , com uma involução de grau, i.e.,

tem-se ′ =a a .

Com efeito, de acordo com esta involução espacial, deveria ter-se

( ) ( )simetria par ′ ′ ′→ = × = − × − =c a b a b c

de acordo com (a interpretação passiva)

Carlos R. Paiva 42

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

a a a a a a a a ab b b b b b b b b

′ ′ ′ ′ ′ ′= × = = − − − = =′ ′ ′ − − −

e e e e e e e e ec a b c .

Nota importante: Estas considerações mostram que a definição

( ) 123× = − ∧a b a b e

não está de acordo com a definição tradicional do produto externo. Nesta nova

definição (dentro da álgebra geométrica e baseada na dualidade de Clifford) o produto

externo tem uma simetria ímpar numa involução espacial; na definição tradicional o

produto externo tem uma simetria par numa involução espacial.

Devido a este tipo de comportamento assimétrico do produto externo (definido

tradicionalmente), há autores que falam de “vectores polares” ou “vectores verdadeiros”

e de “vectores axiais” ou “pseudovectores”. Na realidade, tal distinção só é necessária

devido à assimetria do produto externo numa involução espacial. Ao eliminar a

definição tradicional tal ambiguidade desaparece: na álgebra geométrica todos os

vectores são “polares”. Note-se, contudo, que as considerações da Fig. 14 continuam

válidas, i.e., permanece uma assimetria intrínseca (ou quiral) relacionada com as

reflexões especulares em ambas as definições de produto externo.

Nota: Facilmente se verifica que a simetria par da definição tradicional de produto

externo coincide com a simetria (também) par dos bivectores numa involução espacial.

Isto mostra que o papel tracionalmente reservado aos “vectores axiais” deve ser

desempenhado pelos correspondentes bivectores. O “pseudoescalar” tradicional (não

confundir com o trivector da álgebra 3C ) associado ao produto misto α = ⋅ ×a b c deve

agora ser desempenhado pelo trivector = ∧ ∧V a b c . No âmbito da nova definição de

produto externo, com efeito, o produto misto tem uma simetria par (numa involução

espacial) – o que mostra que se trata de um escalar verdadeiro; só na definição

tradicional de produto misto é que, numa involução espacial, se observa uma simetria

ímpar.


4. Reflexões e rotações A álgebra geométrica permite analisar, de forma muito elegante e concisa, as reflexões e

as rotações. É o que, agora, iremos ver. Comecemos por determinar a reflexão de um

vector r em relação a um dado vector a : ′r r . Os três vectores r , a e ′r pertencem

ao mesmo plano.

⊥

⊥

= +′ = −

r r rr r r

( )( )

( )( )

1

1 1

1

1

−

− −⊥

−

−

= ⋅

= − = − ⋅= − ⋅= ∧

r r a a

r r r r aa r a ar a r a ar a a

( ) ( )

( )

1 1

1 1

− −⊥

− −

′ = − = ⋅ − ∧= ⋅ + ∧ =

r r r r a a r a aa r a r a ar a

1reflexão do vector em relação ao vector

−′→ =r

r r ar aa

Figura 17 Rotação de uma vector ′′r r como o resultado de duas reflexões

sucessivas: primeiro em relação ao vector a , 1−′ =r r ar a , depois em relação ao

vector b , 1−′ ′′ ′=r r br b .

r

′r

a

r ⊥r

⊥−r

a

b

O

P

P′

P′′

r

′′r

′r

Figura 16 Reflexão do vector rem relação ao vector a .

Carlos R. Paiva 44

Uma rotação do vector r para o vector ′′r pode ser analisada como a combinação de

duas reflexões sucessivas – tal como se indica na Fig. 17. Note-se que

( )2 cos 2α′⋅ =r r r e ( )2 cos 2β′ ′′⋅ =r r r . Logo, fazendo ( )cos 2θ⋅ =a b a b , vem

2θ α β= + . Infere-se, deste modo, que

( ) ( )22o ângulo entre e é ocos 2 2 cos

dobro do ângulo entre e α β θ

′′′′→ ⋅ = + =

r rr r r r

a b.

A rotação ′′r r de um ângulo θ , em que ( )2 ,θ = a b , é então tal que

( ) ( ) ( )

1 1

11 1

− −

−− −

′ ′′ ′= =

′′∴ = =

r r ar a r br b

r b ar a b ba r ba

uma vez que ( ) 1 1 1− − −=ba a b . No caso de os vectores a e b serem vectores unitários,

i.e., ˆ=a a e ˆ=b b com 2 2ˆˆ 1= =a b , vem 1ˆ ˆ− =a a e 1ˆ ˆ− =b b . Mas então

ˆ ˆ

ˆˆR

R RR

=′′⇒ =

=

bar r r

ab

ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ cos sin expˆ 2 2 2ˆ

θ θ θ∧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = ⋅ + ∧ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∧

a bB ab a b a b B Ba b

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆexp exp2 2

R Rθ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ab B ba B .

Ao multivector R , tal que 1R R = e que permite determinar ′′r a partir de r , dá-se o

nome de rotor.

rotação de para

ˆ ˆatravés do rotor R R

R

′′′′→ =

=

r rr r r

ba


Nota importante: Como o vector r se encontra no plano definido pelo bivector B̂ ,

verifica-se que r anti-comuta com B̂ . Com efeito,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0

= + ∧ = = − = − − ∧ = −r B r B r B r B B r B r B r Br

R R∴ =r r .

Mas então, ainda se pode escrever,

( )2 ˆexpR θ′′ = = −r r r B r .

Tal como se determinou a reflexão de um vector em relação a um eixo (vector), é

também possível determinar a reflexão de um vector em relação a um plano (bivector) –

tal como se indica na Fig. 18.

Figura 18 Reflexões do vector r em relação ao eixo caracterizado pelo vector a

( )′r r e em relação ao plano caracterizado pelo bivector 123=B ae ( )′′r r . Tem-se

′′ ′= −r r .

Neste caso, em que ⊥′′ = − +r r r r , vem sucessivamente

a

r1−′ =r ar a

1−′′ = −r ar a

123=B ae

Carlos R. Paiva 46

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

11123 123

1 1 1123 123 123 123

1

−−

− − −

−

′′ = − = −

= − =

= −

r ar a Be r Be

Be r e B Be r e B

Br B

1

123

reflexão do vector emrelação ao bivector

−′′→ = −=r

r r Br BB ae

.

Note-se que, fazendo ˆβ=B B em que 2ˆ 1= −B , ainda vem

1ˆ ˆ ˆ ˆ− ′′= − ⇒ =B B r r Br B .

Figura 19 Rotação do vector r para R R′ =r r . O rotor ( )ˆexp 2R θ= −B descreve a

rotação directamente em termos do plano e do ângulo. O sentido da rotação é

determinado pelo bivectror unitário B̂ .

Na Fig. 19 descreve-se a rotação R R′ =r r r em que o rotor R , tal que 1RR = , é

dado por

B

r ′r

θr ′r

123= −u Be


2ˆ ˆ ˆ1 exp cos sin2 2 2

R θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − → = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B B B .

Nota: A demonstração de que 1RR = é imediata. Vem

( )( )~ 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1R R R= ⇒ = = = =ba ba ba baab a b .

As rotações conservam o comprimento dos vectores rodados. A prova é imediata:

suponhamos que 1 1 1R R′ =r r r e 2 2 2R R′ =r r r . Vem sucessivamente

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

1 2

1 12 21 12 2

.

R RR R R RR R

R R R R R R RR

′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ = + = +

= + = + = ⋅

= ⋅

r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r

r r

O rotor ˆ ˆR = ba pode ser determinado com base na expressão

( )

22

construção do rotor ˆ ˆ1ˆ ˆˆ ˆ a partir de ˆ ˆ2 1

R RR R

+→ = ⇒ =

= + ⋅

nmnmnm n m

.

Com efeito, dado que 1RR = , vem ( ) 2 1R R R R+ = + . Mas, por outro lado, é

02R R R+ = . Assim, vem efectivamente

( )( )2

2 20 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 12 2 4 2

RR RRR R R R

+ ++ + + ⋅= = ⇒ = = =

nm mnnm n m

( )0

ˆ ˆ ˆ ˆ1 12 ˆ ˆ2 1

R R+ ⋅ +∴ = ⇒ =

+ ⋅

n m nmn m

.

Logo, tem-se

Carlos R. Paiva 48

( )

ˆ ˆ1 ˆ ˆ ˆˆ exp cos sin2 2 2ˆ ˆ2 1

R θ θ θ+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⋅

nm ba B Bn m

( )

( )

ˆ ˆ1cos2 ˆ ˆ2 1

ˆ ˆˆ sin2 ˆ ˆ2 1

θ

θ

+ ⋅⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ + ⋅

∴∧⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ + ⋅

n mn m

m nBn m

.

Nota: A expressão

( )

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆˆ cos2 2ˆ ˆ2 1θ + ⋅ + ⋅⎛ ⎞⋅ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + ⋅

n m n ma bn m

não é mais do que uma variante de

( )1 coscos

2 2θθ +⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

uma vez que ( )ˆ ˆ cos θ⋅ =m n . Por outro lado, a expressão

( )ˆ ˆˆ sin

2 ˆ ˆ2 1θ ∧⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ + ⋅

m nBn m

não é mais do que uma variante de

( )

ˆˆ ˆ ˆˆsinsin

2θ θ

∧ ∧= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a b m nB .


5. Considerações finais

A álgebra geométrica do espaço, a álgebra 3C , foi desenvolvida a partir do produto

geométrico de dois vectores. Existe uma relação entre a álgebra geométrica (de Clifford)

3C e a álgebra exterior (de Grassmann) – a álgebra

2 3

3 3 3 3= ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧ ∧ .

Hermann Günter Grassmann (1809-1877)

William Kingdon Clifford (1845-1879)

Essa relação é que ambas as álgebras são associativas e os respectivos subespaços são

os mesmos. Contudo, apenas se define o produto exterior na álgebra de Grassmann, i.e.,

nesta álgebra não se define o produto geométrico. Isto significa, por exemplo, que não é

possível definir o inverso de um vector a em 3∧ , embora – tal como se viu – isso

seja possível em 3C . A diferença tem essencialmente a ver com o seguinte:

Carlos R. Paiva 50

( )sin θ∧ = ≤

= ⋅ + ∧ =a b a b a bab a b a b a b

.

Com efeito, em 3C tem-se

2 2 2 22 20 0

uu u u

u=

⇒ = = = = = ==

abab abba abba a b a b

ba.

A contrapartida é que o produto geométrico depende da métrica através do produto

interno; o produto exterior não depende de qualquer métrica. Ou seja: a álgebra 3C

depende da métrica (euclidiana); 3∧ é independente da métrica definida em 3 , i.e.,

pode ser estabelecida mesmo que sobre 3 não esteja definida sequer uma métrica.

A álgebra de Gibbs, i.e., a álgebra usual do espaço tridimensional é, por sua vez, uma

álgebra de Lie: trata-se da álgebra onde se define o produto externo de dois vectores.

Josiah Willard Gibbs (1839-1903)

Como se viu, a álgebra de Gibbs não é associativa e, assim, não pode ser isomórfica a

uma qualquer álgebra matricial. Além disso, a álgebra de Gibbs é – tal como a álgebra

geométrica – dependente de uma métrica (a métrica euclidiana). A álgebra geométrica

3C também depende da métrica euclidiana mas é possível construir outras álgebras

geométricas com métricas não euclidianas. Por exemplo: para estudar a teoria da

relatividade restrita no espaço-tempo de Minkowski, é possível (e até desejável)

considerar a álgebra geométrica 1,3C com uma métrica lorentziana semi-definida


(negativa, neste caso). O estudo da teoria da relatividade restrita no âmbito da álgebra

de Gibbs não é natural: em primeiro lugar, porque se trata de uma álgebra

exclusivamente tridimensional (não é possível definir o produto externo usual sem ser

em três dimensões); em segundo lugar, porque é recomendável que seja estabelecida

uma diferença clara entre vectores relativos (a um dado observador) e vectores próprios

(independentes de qualquer observador) e tal distinção só é possível no âmbito da

álgebra geométrica.

Nota: É possível estudar a teoria da relatividade restrita usando a álgebra 3C sem

haver necessidade de recorrer à álgebra 1,3C . Esta é a perspectiva adoptada por Baylis

no livro

William E. Baylis, Electrodynamics – A Modern Geometric Approach (Boston:

Birkhäuser, 1999).

Um acontecimento é descrito como um paravector (designa-se por paravector o

multivector que resulta da soma graduada de um escalar com um vector). Com efeito,

seja a o paravector

31 2 3a c t c t x y z= + = + + + ∈ ⊕r e e e .

Então, introduzindo o seu conjugado de Clifford

31 2 3a c t c t x y z= − = − − − ∈ ⊕r e e e ,

obtém-se o invariante fundamental (que corresponde à invariância do intervalo entre

dois acontecimentos no espaço de Minkowski) ( )( )2s a a c t c t= = + −r r .

2 2 2 2 2 2 2 2 2invariante fundamentalda relatividade restrita

s c t c t x y z→ = − = − − − ∈r

Carlos R. Paiva 52

Vejamos, agora, um isomorfismo entre a álgebra 3C e uma álgebra matricial.

Consideremos a álgebra matricial ( )2 (esta designação significa que se trata de uma

álgebra de matrizes 2 2× definida sobre o corpo ) baseada nas matrizes de spin de

Pauli. Vai-se mostrar o isomorfismo ( )3 2C . As matrizes de Pauli são

1 2 3

0 1 0 1 0, ,

1 0 0 0 1i

iσ σ σ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Estas matrizes observam as seguintes propriedades

1 2 3

3 1 2

2 3 1

2 ,j k k j jk

iI i

i

σ σ σσ σ σ σ δ σ σ σ

σ σ σ

=+ = =

=

onde I é a matriz identidade de segunda ordem. O isomorfismo ( )3 2C pode ser

estabelecido com base nas seguintes correspondências:

1 1 2 2 3 3, ,σ σ σe e e .

Nestas circunstâncias, vem então:

Note-se, porém, que existe uma diferença essencial entre estas duas álgebras: na álgebra

3C distigue-se um subespaço particular, o espaço linear (ou vectorial) 3 , no qual o

quadrado de um vector é igual ao quadrado do seu comprimento, i.e., 22 =r r . Esta

( )2

I

1σ 2σ 3σ

2 3σ σ 3 1σ σ 1 2σ σ

1 2 3σ σ σ

3C

1

1e 2e 3e

23e 31e 12e

123e


propriedade fundadora da álgebra geométrica não tem paralelo na álgebra matricial

( )2 cuja característica distintiva é ser constituída por matrizes hermitianas com traço

nulo.

A álgebra geométrica do espaço, 3C , compreende dois subespaços importantes:

• O subespaço par 3C + , cujos elementos resultam do produto geométrico de um

número par de vectores.

• O subespaço ímpar 3C − , cujos elementos resultam do produto geométrico de um

número ímpar de vectores.

3 3 3C C C+ −= ⊕

Chama-se o centro da álgebra e representa-se por ( )3Cen C , o subespaço constituído

pelos elementos de 3C que comutam com quaisquer elementos de 3C .

( ) { }

{ }

{ }

33

3 1232

33 23 31 12

33 3

3 1 2 3 123

centro da álgebra Cen | ,

subespaço par | , , ,

subespaço ímpar | , , ,

C x y x y

C w x y z w x y z

C x y z w x y z w

+

−

→ = ⊕ = + ∈

→ = ⊕ = + + + ∈

→ = ⊕ = + + + ∈

e

e e e

e e e e

∧

∧

∧

Quer o centro da álgebra quer o seu subespaço par constituem, também, subálgebras.

Como é fácil de verificar o subespaço ímpar não constitui uma álgebra: por exemplo, o

produto geométrico de dois vectores dá, no caso geral, um multivector que contém um

escalar e um bivector e que pertencem à subálgebra par. O corpo (dos complexos) e

o anel de divisão H (dos quaterniões de Hamilton) são isomórficos a subálgebras

específicas de 3C : ( )3Cen C e 3C +H .

( )

33

3

23

3

Cen C

C +

= ⊕

= ⊕H

∧

∧

Carlos R. Paiva 54

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3dim 2, dim 4, dim dim dim 8C= = = =H H

Nota: No âmbito da álgebra geométrica 3C é portanto possível designar qualquer

multivector 3u C +∈ como um quaternião já que este subespaço par é uma subálgebra

isomófica ao anel (de divisão) constituído pelos quaterniões. Analogamente, é possível

designar qualquer multivector ( )3Cenu C∈ como um número complexo. Embora os

matemáticos, regra geral, prefiram atribuir o nome de «spinor» a objectos matemáticos

muito específicos que, historicamente, estão relacionados com o conceito de spin em

mecânica quântica, é correcto advogar que a subálgebra 3C + é, também, a álgebra dos

spinores (ou álgebra spinorial) da álgebra geométrica do espaço. Identifica-se, deste

modo, o conceito de spinor com o de quaternião, não obstante o conceito de quaternião

estar mais associado a uma quantidade enquanto a de spinor a um operador.

( )3Cen C

1 1

i 123e

H 3C +

1 1

i 23−e

j 31−e

k 12−e


Nota: Na literatura matemática é comum a identificação entre «espaço linear» e «espaço

vectorial». Em álgebra geométrica, porém, impõe-se uma distinção entre os dois

conceitos uma vez que o produto geométrico entre vectores vem alterar, de forma

radical, o próprio conceito de vector tornando-o mais específico do ponto de vista

geométrico. Assim, em álgebra geométrica, considera-se que um espaço vectorial é um

espaço linear de vectores. O termo espaço linear fica reservado, apenas, para o conceito

mais geral. Neste sentido a álgebra 3C é um espaço linear mas não é um espaço

vectorial; o subespaço 33C⊂ é um espaço vectorial mas não é uma subálgebra. A

álgebra geométrica do plano, a álgebra 2C , é um espaço linear de dimensão quatro

( )2

2 2 22 2dim 2 4C C= ⊕ ⊕ → = =∧

mas não é um espaço vectorial. Note-se, porém, que o subespaço ímpar 22C − = é o

espaço vectorial dentro do espaço linear constituído pela álgebra geométrica do plano;

não constitui, porém, uma subálgebra. Já o subespaço par 2

22C + = ⊕∧ é uma

subálgebra mas não é um espaço vectorial. No caso da álgebra 2C , o subespaço 2C +

constitui a álgebra spinorial respectiva e que é identificável à álgebra dos complexos

através da identificação 12i e . O elemento 12 1 2 1 2 1 2 1 2= ∧ = ⋅ + ∧ =e e e e e e e e e é o

pseudoescalar (ou bivector) unitário da álgebra. Note-se, porém, que existe uma

distinção importante entre enquanto corpo e 2C + enquanto álgebra real (i.e,

definida sobre o corpo ): dado um vector 2∈a , enquanto que i i=a a já, por outro

lado, 12 12= −ae e a . Note-se que ( )2Cen C = . Com efeito,

( )

( )12 1 1 2 2 12 2 1 1 2

1 1 2 212 12 1 1 2 2 2 1 1 2

a a a aa a

a a a a= + = − +

= + →= + = −

ae e e e e ea e e

e a e e e e e.

Carlos R. Paiva 56

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)

Adenda: Os quaterniões de Hamilton Hamilton inventou os quaterniões em 1843. Os quaterniões são números

hipercomplexos da forma

( ) { }dim 4 1, , , baseq w ix j y zk i j k= + + + ∈ → = ← ←H H

em que , , ,w x y z∈ e as unidades imaginárias generalizadas i , j , k satisfazem as

relações

2 2 2 1

, ,i j ki j ji k jk k j i ki ik j

⎧ = = = −⎨

= − = = − = = − =⎩.

A multiplicação é, por definição, não comutativa – embora seja associativa: H é um

anel de divisão mas não é um corpo (um corpo é um anel de divisão abeliano ou

comutativo). As regras de multiplicação anteriores podem ser sintetizadas na forma

2 2 2 1i j k i jk= = = = − .

Definição:

quaternião conjugadoq w ix j y zk q w ix j y zk= + + + ∈ = − − − ∈ ←H H


( ) ( )2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

12 2 2 2 2

22

2

1

2 0

q w x y z w ix j y k z

q qq w x y zq w ix j y k zq

w ix j y k z w x y zq

q wq q

−

= − − − + + +

= = + + +

− − −= = =

+ + + + + +

∴ − + =

Define-se a parte real ( )Re q w= ∈ e a parte pura ( ) 3Pu q ix j y k z= + + ∈ .

( ) ( ) 30 0notação , Re , Puq q q q q→ = + ∈ = = ∴ = ⊕q qH H

00 0 0 0

0

a aa b a b a b

b b= + ∈⎧

⇒ = − ⋅ + + + ×⎨ = + ∈⎩

aa b b a a b

bHH

( ) ( ) ( )

( )

1 2 30 0

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

0 quaterniões puros

Pu produto externo de Gibbs

a a aa b

b b b

a b a b a ba b a b a b a b a b a b

= + + ⎫⎧ ⎪= = ⇒ ←⎨ ⎬= + + ⎪⎩ ⎭⋅ = + +⎧⎪

⎨ × = − + − + −⎪⎩∴

= − ⋅ + × ⇒ × = ←

a i j kb i j k

a ba b i j k

ab a b a b a b ab

Nota histórica: O produto externo foi introduzido por

Gibbs em 1901. A escrita usual das equações de

Maxwell (1831-1879) é, portanto, posterior ao próprio

Maxwell.

Carlos R. Paiva 58

Hamilton’s choice of the name quaternion is unfortunate, for the name merely refers to

the comparatively insignificant fact that the quaternions compose a linear space of four

dimensions. The name quaternion diverts attention from the key fact that Hamilton had

invented a geometric algebra. (…) Quaternions today reside in a kind of mathematical

limbo, because their place in a more general geometric algebra is not recognized. The

prevailing attitude toward quaternions is exhibited in a biographical sketch of Hamilton

by the late mathematician E. T. Bell. The sketch is titled “An Irish Tragedy”, because

for the last twenty years of his life, Hamilton concentrated all his enormous

mathematical powers on the study of quaternions in, as Bell would have it, the quixotic

belief that quaternions would play a central role in the mathematics of the future.

Hamilton’s judgement was based on a new and profound insight into the relation

between algebra and geometry. Bell’s evaluation was made by surveying the

mathematical literature nearly a century later. But union with Grassmann’s algebra

puts quaternions in a different perspective. It may yet prove true that Hamilton looking

ahead saw further than Bell looking back. (…) By the end of the 19th century a lively

controversy had developed as to which system was more suitable for the work of

theoretical physics, the quaternions or vector algebra. A glance at modern textbooks

shows that the votaries of vectors were victorious. However, quaternions have

reappeared disguised as matrices and proved to be essential in modern quantum

mechanics. The ironic thing about the vector-quaternion controversy is that there was

nothing substantial to dispute. (…) The whole controversy was founded on the failure of

everyone involved to appreciate the distinction between vectors and bivectors. Indeed,

the word “vector” was originally coined by Hamilton for what we now call a bivector.

Gibbs changed the meaning of the word to its present sense, but no one at the time

understood the real significance of the change he had made.

David Hestenes‡

‡ New Foundations for Classical Mechanics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2nd ed., pp. 59-61 1999.


P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors (Cambridge, UK: Cambridge

University Press, 2nd ed., 2002)

C. Doran and A. Lasenby, Geometric Algebra for Physicists (Cambridge, UK:

Cambridge University Press, 2003)

D. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics (Dordrecht, The

Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2nd ed., 1999)

D. Hestenes and G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified

Language for Mathematics and Physics (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,

1984)

L. Dorst, D. Fontijne, and S. Mann, Geometric Algebra for Computer Science

(Amsterdam: Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007)

B. Jancewicz, Multivectors and Clifford Algebra in Electrodynamics (Singapore:

World Scientific, 1988)

David Orlin Hestenes (1933-)

http://modelingnts.la.asu.edu/GC_R&D.html

http://physics2.asu.edu/faculty.php?name=hestenes&sort

departamento de engenharia electrotécnica e de ...14... · departamento de engenharia...

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