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Modelo MatematicoControl

PlataformaTrabajo Futuro

Diseno de un Avion Hıbrido(Segundo Avance)

Alan Solıs Quiroz

UMI-LAFMIA 3175 CNRS-CINVESTAVCentro de Investigacion y Estudios Avanzados del Instituto Politecnico Nacional

Directores de Tesis:Rogelio Lozano Leal y Eduardo Steed Espinoza

Alan Solıs Quiroz Diseno de un Avion Hıbrido (Segundo Avance) 1 / 24



Indice

1 Modelo Matematico

2 Control

3 Plataforma

4 Trabajo Futuro




Ecuaciones de Cuerpo RıgidoModelo VerticalModelo Horizontal

Ecuaciones de Cuerpo Rıgido

Dado que la aeronave se modela como un cuerpo rıgido, el modelomatematico que aquı se expone, es valido para cualquierconfiguracion. La unica condicion es considerar los vectores deposicion de cada una de las fuerzas y momentos que intervienendentro del modelo. Las ecuaciones que describen el movimiento deun cuerpo rıgido estan dadas por:

ξ = V Bc.g.

mV Bc.g . = RF B

E

R = RΩ

IΩ = −Ω × IΩ + Γ BE

(1)





Modelo Vertical

La orientacion del cuerpo rıgido esta dada por la matriz R IB , la cual es

modelada utilizando los angulos de Euler en el orden z − y − x . Ası, parapasar del marco inercial I al marco del cuerpo B, primero se debe rotaralrededor de z1 un angulo ψ (yaw). Despues, se rota un angulo θ (pitch)alrededor del eje y1 y finalmente, se hace una tercera rotacion de unangulo φ (roll) alrededor del nuevo eje de x2, por lo que matriz a utilizarresulta en:

R =

cθcψ sφsθcψ − cφsψ cφsθcψ + sφsψcθsψ sφsθsψ + cφcψ cφsθsψ − sφcψ−sθ sφcθ cφcθ

(2)

Donde cx = cos(x) y sx = sin(x).





Modelo Vertical

La dinamica traslacional respecto al marco inercial esta dada por lasiguiente expresion:

ξ = V I

mV I = RF BE

(3)

Las ecuaciones mencionadas anteriormente (ecuaciones 3) incluyen lasfuerzas propulsivas, aerodinamicas y gravitacionales que actuan en laaeronave en este modo.

La dinamica rotacional en terminos de coordenadas generalizadas estadada por:

η = (IWη)−1(−IWη η −Ω×IΩ + ΓB

)(4)





Modelo No Lineal

Finalmente el modelo no lineal obtenido mediante la formulacion de Newton-Euler en vuelo estacionario(α = 0, β = 0) para el modo vertical es:

x =X

mcθcψ +

Y

m

(sφsθcψ − cφsψ

)+

Z + Tc

m

(cφsθcψ + sφsψ

)y =

X

mcθsψ +

Y

m

(sφsθsψ + cφcψ

)+

Z + Tc

m

(cφsθsψ − sφcψ

)z = −

X

msθ +

Y

msφcθ +

Z + Tc

mcφcθ − g

ψ =sφ

Iyy cθ

−Iyy

[ψ(φcθcφ − θsθsφ

)− θφsφ

]+ pr (Izz − Ixx ) + ΓBy

+

cφ

Izz cθ

Izz

[ψ(θsθcφ + φcθsφ

)+ θφcφ

]+ pq

(Ixx − Iyy

)+ ΓBz

θ =

cφ

Iyy

−Iyy


)− θφsφ


−

sφ

Izz

Izz


)+ θφcφ

]+ pq

(Ixx − Iyy

)+ ΓBz

φ =

1

Ixx

[Ixx ψθcθ + qr

(Iyy − Izz

)+ ΓBx

]+

sθsφ

Iyy cθ

−Iyy


)− θφsφ


+

sθcφ

Izz cθ

−Izz


)+ θφcφ

]+ pq

(Ixx − Iyy

)+ ΓBz

(5)





Modelo Horizontal

Una segunda matriz de rotacion para los angulos de Euler horizontales seobtiene para la aeronave en el modo horizontal. La matriz de rotacionH I

B , la cual es modelada utilizando los angulos de Euler en el ordenx − y − z (φ, θ y ψ) . Ası, para pasar del marco inercial I al marco delcuerpo B, primero se debe rotar alrededor de x1 un angulo φ (yaw).Despues, se rota un angulo θ (pitch) alrededor del eje y1 y finalmente, sehace una tercera rotacion de un angulo ψ (roll) alrededor del nuevo ejede z2, quedando la matriz de rotacion:

H =

cθcψ −cθsψ sθcφsψ + sφsθcψ cφcψ − sφsθsψ −sφcθsφsψ − cφsθcψ sφcψ + cφsθsψ cφcθ

(6)




Control Vuelo EstacionarioControl de la Maniobra de TransicionControl en Crucero

Subsistema Longitudinal

El subsistema longitudinal se obtiene al controlar el angulo de cabeceo(pitch), por lo que se considera que φ = 0, ψ = 0 y como el movimientoen guinada (yaw) es estable, el momento giroscopico Γgyro es cero. Por loque el subsistema esta dado por:

x =X

mcθ +

Z + Tc

msθ

z = −X

msθ +

Z + Tc

mcθ − g

θ =ΓByIyy

(7)





Subsistema Lateral

El subsistema lateral se obtiene al controlar el angulo de alabeo (roll),por lo que se considera que θ = 0, ψ = 0. El movimiento en cabeceo(pitch) es estable, por lo que el momento giroscopico Γgyro es cero. Deesta forma el subsistema esta descrito por:

y =Y

mcφ −

Z + Tc

msφ

φ = uφ

(8)





Subsistema Direccional

El subsistema direccional o axial se obtiene al controlar el angulo deguinada (yaw), por lo que se considera que φ = 0, θ = 0. El movimientoen alabeo (roll) es estable, por lo que el momento giroscopico Γgyro escero. El subsistema se describe como:

ψ =sφ

IyycθΓBy +

cφIzzcθ

ΓBz (9)





Control Subsistema Longitudinal

Se utilizo la estrategia de control de backstepping para controlar tanto elsubsistema longitudinal como el lateral, quedando:

uθ = − 1

l1

(δv2 −

k3

k4e3 − e4 + l2x

24

)(10)

donde:

l =D

mtx3cx3 +

D

mt2x3sx3 − g

(t2x3

+ 1)

l =D

mtx3sx3 +

D

mcx3 +

2D

mt2x3cx3 +

2D

mt3x3sx3 − 2gt3

x3− 2gtx3





Control Subsistema Longitudinal

Sustituyendo los errores en el control propuesto (10) se obtiene el controlsiguiente:

uθ = −1

l1

−[

2k1

k2

+2k2

k3

+2k3

k4

+ 4

] (x2 − xd2

)−[k1

k2

+k2

k3

+k3

k4

+k1

k2

k3

k4

+ 1

] (x1 − xd1

)+ l2x

24

(11)

donde se considero que x2, x2 → xd2 , x

d2 , xd

2 , xd2 ,

...x d

2 → 0, cuando t → ∞





Control Subsistema Lateral

Se empleo misma tecnica de backstepping que el subsistema anterior, porlo que la ley de control obtenida esta dada por:

uφ =1

t1

−[

2k1

k2

+2k2

k3

+2k3

k4

+ 4

] (x2 − xd2

)−[k1

k2

+k2

k3

+k3

k4

+k1

k2

k3

k4

+ 1

] (x1 − xd1

)− t2x

24

(12)

donde:

t = − Y

msx3 − gcx3

t = − Y

mcx3 + gsx3





Control Subsistema Direccional

Se propone la siguiente ley de control para la estabilizacion del sistema enla dinamica de ψ:

uψ =Izz cθ

cφ

[−kψ1

(ψ − ψd ) − kψ2

(ψ − ψd

)−

sφ

Iyy cθΓBy

]−

cφ

Izz cθN (13)

Sustituyendo 13 en la dinamica de 9, se tiene:

ψ = −kψ1 (ψ − ψd)− kψ2

(ψ − ψd

)(14)

donde las constantes kψ1 , kψ2 > 0, de tal manera que sea Hurwitzestable, y garantiza que ψ → 0, ψ → 0, ∀ t > 0.





Simulaciones Vuelo Estacionario

Se muestran a continuacion los resultados de simulacion de las dinamicasde actitud y posicion del vehıculo obtenidos por el metodo debackstepping anterior. Para ello se obtuvieron los coeficientesaerodinamicos mediante la utilizacion de dos softwares de dinamica defluidos y tambien con la comparativa de valores fijos obtenidos de tablas(Ver Tabla 1).

Sımbolo Coeficiente Aerodinamico Valor

CD Coeficiente de Resistencia (drag) 0.07

CY Coeficiente de Fuerza Lateral (sideforce) 0.01

CL Coeficiente de Sustentacion (lift) 0.15

Cl Coeficiente de Momento de Balanceo (rolling) 0.01

Cm Coeficiente de Momento de Cabeceo (pitching) 0.01

Cn Coeficiente de Momento de Guinada (yawing) 0.005

Tabla 1: Coeficientes tomados de Tablas.





Simulaciones Vuelo Estacionario

Figura 1: Resultados de Simulacion en Vuelo Estacionario.





Maniobra de Transicion

Se diseno una ley no-lineal de control para controlar la trayectoriadeseada en el momento de la transicion. Esta dinamica incluye las fuerzasy momentos actuando en el vehıculo durante la maniobra de transicion,por lo que se considera que y = 0, φ = 0, ψ = 0 y β = 0, quedando lasecuaciones:

x =X

mcθ +

Z + Tc

msθ

z = −X

msθ +

Z + Tc

mcθ − g

θ =ΓByIyy

(15)





Maniobra de Transicion

xd =

x0 + vxi t si 0 ≤ t ≤ tt

vxf t si tt ≤ t ≤ tf

zd =

z0 + vzi t −gt2

2ttsi 0 ≤ t ≤ tt

zf si tt ≤ t ≤ tf

θd =

π

4si 0 ≤ t ≤ tt

π

2si tt ≤ t ≤ tf

(16)

donde (x0, z0) y (vxi , vzi ) son las posiciones y velocidades inicialesrespectivamente, zf es la posicion final, vzf es la velocidad final, tt es el tiempode transicion y tf es el tiempo final.





Control de Maniobra de Transicion

Para el control del avion hıbrido durante la maniobra de transicion, seemplea la tecnica de saturaciones anidadas al tratarse de ser un sistemalineal por lo que se obtuvo la siguiente ley de control:

uθ(δ) = −σ1

(x4 + σ2

(x4 + x3 + σ3

(x4 + 2x3 +

x2

g+ σ4

(x4 + 3x3 + 3

x2

g+

x1

g

))))(17)





Control en Crucero

Las ecuaciones longitudinales del avion hıbrido obtenidas a partir de lasecuaciones de Newton-Euler (ecuaciones 3 y 4) dadas por la matriz derotacion H I

B en vuelo horizontal y considerando que y = 0, φ = 0, ψ = 0,β = 0 y ε = 0 estan descritas por el siguiente sistema:

x =X + T5

mcθ +

Z − T5 + Tc

msθ

z = −X + T5

msθ +

Z + Tc

mcθ

θ =ΓByIyy

(18)





Control en Crucero

Por lo que el control en saturaciones anidadas del subsistema simplificadopara vuelo en crucero quedo:

uθH(δ) = −σ1

(x4 + σ2

(x4 + x3 + σ3

(x4 + 2x3 −

x2

g+ σ4

(x4 + 3x3 − 3

x2

g−

x1

g

))))(19)




Sistema Embebido

Plataforma Experimental

El avion hıbrido desarrollado para validar los resultados obtenidos por lassimulaciones, se presenta en la Figura 2:

Figura 2: Avion Hıbrido desarrollado como plataforma experimental.




Sistema Embebido

Hardware

La avionica del vehıculo incluye principalmente al RCM4200 y a su tarjeta de expasion que permitira hacerla interface con los actuadores (ver Figura 3). La tarjeta de comunicacion contiene el puerto I 2C paraenviar las senales de control de los motores electronicos sin escobillas (brushless) y tambien para leer elsensor ultrasonico SRF510, 3 puertos de comunicacion serial asıncrona UART que permiten realizar lacomunicacion de forma serial, la central inercial y el puerto de consola.

LAPTOP

Estación Suelo

CI 2

Figura 3: Avionica del Avion Hıbrido.




Trabajo Futuro

Pruebas de vuelo utilizando el Radio ControlImplementacion del control dentro de la aeronave.Pruebas aerodinamicas en un tunel de viento.Validacion de resultados y mejoras en las pruebas de vuelo.


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