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ECONOMIA APPLICATA

DISPENSA 3Prof.ssa Mariarosaria Agostino

STIMA FUNZIONI DI PRODUZIONE

E DI COSTO

Varian, Analisi Microeconomica cap.12, pagg. 212-218;

Ackerberg, Caves, and Frazer (2005), Structural Identification of Production Functions, http://www.fep.up.pt/investigacao/cempre/actividades/macro2/adv_eco_analysis_05-06/Daniel%20Ackerberg/Ackerberg_paper_semin%C3%A1rio.pdf

Griliches and Mairesse (1995), Production Functions, the Search for Identification, NBER WorkingPaper 5067

Mishra, SK (2007) A Brief History of Production Functions,, MPRA Paper No. 5254, 2007

Luciano Gutierrez: La funzione di produzione e l’isoquanto di produzione, caso studio: Moore M., Gollehon N. Negri D.H., Alternative Forms of Production Functions of Irrigated Crops, The Journal of Agricultural Economics Research, vol.44, n.3 pg.16-32.

Nerlove, M. (1963) “Returns to Scale in Electricity Supply”, reprinted in Nerlove, M (1965) Estimationand Identification of Cobb-Douglas Production Functions, North-Holland Publishing Co., Amsterdam

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Griliches and Mairesse (1995)

• Perché si può essere interessati alla stima di FP? Nella maggiorparte dei casi la FP è uno strumento, un framework per risponderead altre questioni, collegate alla funzione di produzione. Peresempio, si può essere interessati a comprendere:

• se esistono economie o diseconomie di scala (per suggerire unadimensione ottima di produzione),

• se esistono differenze nella produttività causate dalla qualità delfattore lavoro (qualità che può essere misurata dal livello diistruzione)

• se le produttività marginali degli input sono uguali ai prezzi degliinput, qual è la struttura di mercato in varie industrie e quanto altisiano i mark-up

Tali questioni richiedono stime di funzioni di produzione o di costo e sono troppointeressanti per rinunciare a rispondervi anche se …

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ProblemiNella stima delle funzioni di produzione si incontrano numerosiproblemi (sia concettuali che concernenti i dati a disposizione):

• La forma funzionale che assumiamo (esempio C-D) ha senso nellarealtà? Descrive il processo produttivo di diverse imprese, in periodidiversi di tempo?

• Consideriamo tutti gli input e gli output dell’impresa? li stiamomisurando correttamente? stiamo permettendo che ci sianodifferenze nella qualità degli input (ad es. del lavoro) per le impreseche osserviamo? stiamo permettendo che ci siano differenzenell’utilizzazione del capitale?

• Come è stato generato il campione? È rappresentativo dellapopolazione di interesse?

• La procedura di stima è appropriata? Possiamo considerare levariabili esplicative come esogene?? (Griliches and Mairesse,1995,si concentrano su quest’ultima questione)

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Ackerberg et al. (2005)

• I metodi di stima di cui ci si serve presentanotutti dei problemi.

• Come anche Ackerberg e altri (2005)sottolineano, “Production functions are afundamental component of all economics. Assuch, estimation of production functions has along history in applied economics, starting in theearly 1800’s. Unfortunately, this history cannotbe deemed an unqualified success, as many ofthe econometric problems that hamperedearly estimation are still an issue today”

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Ackerberg et al. (2005)

• Production functions relate productive inputs(e.g. capital, labor, materials) to outputs.Perhaps the major econometric issueconfronting estimation of production functions isthe possibility that some of these inputs areunobserved. If this is the case, and if theobserved inputs are chosen as a function ofthese unobserved inputs (as will typically bethe case for a profit-maximizing or cost-minimizing firm), then there is an endogeneityproblem and OLS estimates of thecoefficients on the observed inputs will bebiased.

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Varian, Analisi Microeconomica, pag. 212-214

• Supponiamo di disporre di un campione di fattorie e assumiamo chela produzione di grano della fattoria i dipenda solo da duevariabili: il grano seminato ed il numero di giorni di sole nellastagione della crescita

• assumiamo che la funzione di produzione di grano sia una COBB-DOUGLAS

Ci=KiαSi

1- α

C = produzione di granoK= grano seminatoS= giorni di sole nella stagione della crescitaPrendendo i log

ln Ci= α lnKi+(1- α)lnSiSupponiamo che l’agricoltore non osservi S quando decide quanto

seminare e che l’ econometrico non disponga di dati su S in ciascunappezzamento di terreno

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l’ econometrico, quindi, considera il seguente modello di regressione

ln Ci= α lnKi+ei (1)

dove il termine di errore ei =(1- α)lnSi

Una stima OLS consentirà di ottenere delle stime non

distorte se lnKi ed ei non sono correlati. Siccomel’ipotesi che l’agricoltore non osservi S quando decidequanto seminare è plausibile, l’OLS sarà una stimaappropriata (se valgono tutte le altre assunzioni su cui sibasa)

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Supponiamo ora che la quantità di granoprodotta dipenda anche dalla qualità della terra,cosicchè Ci=QiKi

αSi1- α

ln Ci= lnQi+α lnKi+(1- α)lnSiCome prima, assumiamo che né gli agricoltoriné l’econometrico osservino S.Supponiamo, però che gli agricoltori, ma non l’econometrico, osservino Q. L’econometrico,quindi, continua a considerare il modello diregressione (1)

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• Dal momento che ciascun agricoltore osserva Q,la sua scelta di K dipenderà da Q.

• K sarà correlato col termine di errore (nel qualeè ricompreso Q, in quanto non osservabiledall’econometrico), per cui è probabile che siottengano stime distorte di alfa.

• In sintesi: esiste una terza variabile omessa, Q,che influisce sia su C che sulla scelta di K.

(in questi casi sarebbe necessario disporre di un modello strutturaleche esprima le scelte in funzione di variabili autenticamenteesogene).

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Quali sono state le risposte della letteratura a questo problema?• Ignorare il problema o sostenere che non si applica ai dati che

si utilizzano (esempio: in alcuni studi sulla produzione agricola,condotti utilizzando dati microeconomici, si sostiene che il temine dierrore contiene variabili non osservabili o comunque non prevedibilidall’agricoltore, come le condizioni atmosferiche e la presenza diparassiti, che non determinano quindi la scelta dei fattori produttivi,(scelta che, peraltro, è in larga parte predeterminata, si pensi allavoro familiare nelle imprese agricole di piccole dimensioni)

• Cercare di risolvere il problema (sfruttando soprattutto ladisponibilità di dati panel), riconoscendo che la “wheather story”appare poco appropriata per lo studio della produzione industriale eche, comunque, anche nel caso della produzione agricola possonosussistere variabili come la qualità della terra che possonoinfluenzare la scelta degli input

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Ackerberg et al. (2005)

• Much of the literature in the past half century has beendevoted to solving this endogeneity problem.

• Two of the earliest solutions to the problem areinstrumental variables (IV) and fixed effectsestimation (Mundlak (1961)). IV estimation requiresfinding variables that are correlated with observed inputchoices, but uncorrelated with the unobserved inputs.Fixed-effects estimation requires the assumption that theunobserved input or productivity is constant across time.

• Unfortunately, for a variety of reasons, thesemethodologies have not been particularly successful atsolving these endogeneity problems. As such the searchhas continued for reliable methods for identifyingproduction function parameters.

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• The past fifteen years has seen the introduction of acouple of new techniques for identification of productionfunctions. One set of techniques follows the dynamicpanel data literature, e.g. Chamberlain (1982), Arellanoand Bover (1995), Blundell and Bond (1999).

• A second set of techniques, advocated by Olley andPakes (1996) and Levinsohn and Petrin (2003), aresomewhat more structural in nature - using observedinput decisions to control for unobservedproductivity shocks. This second set of techniques hasbeen applied in a large number of recent empiricalpapers, including Pavcnik(2002), Sokoloff (2003),Sivadasan (2004), Fernandes (2003), Ozler and Yilmaz(2001), Criscuolo and Martin (2003), and Topalova(2003).

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Caso studio: stima funzione di produzione di prodotti agricoli irrigati

http://www.gutierrezluciano.net/Default_files/contents_data/case_1.PDF

• Articolo di riferimento: Moore M., Gollehon N. Negri D.H., AlternativeForms of Production Functions of Irrigated Crops, The Journal ofAgricultural Economics Research, vol.44, n.3 pg.16-32.

• Questione empirica: si analizza, tramite la stima di unafunzione di produzione e l’analisi degli isoquanti diproduzione, la possibilità di sostituire l’usodell’irrigazione con l’impiego di altri fattori produttivi,

• In questa lezione ci soffermeremo esclusivamente sulgrado di sostituibilità dell’uso del fattore produttivo acquacon il fattore produttivo terra.

FP Cobb-Douglas

Q=BWαRβCγNΦ (1)in cuiQ = quantità di output del prodotto specifico prodotta.

B =costante.W = quantità di acqua distribuita tramite irrigazione.

R =quantità di pioggia.

C = temperatura media giornaliera.

N =quantità di terra.

· La somma degli esponenti α+β+γ+Φ offre un’indicazione dei

rendimenti di scala.

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Assumendo i log, i coefficienti α β γ Φ sono

parametri e possono essere interpretati comeelasticità dell’output agli input inseriti nella (1).

Al fine di convertire la funzione di produzione inuna relazione tra rese e quantità di input persuperficie agricola utilizzata procediamo comesegue: dividiamo entrambi i membri della (1) perN

Q/N=BWαRβCγNΦ-1 (2)15

• A sinistra dell’espressione abbiamo ora la resa,cioè la quantità di output prodotta per unità disuperficie. Le variabili a destra sono inveceancora espresse in livelli.

• Per esprimere anche queste variabili in terminidi quantità per unità di superficie agricolautilizzata, dividiamo e moltiplichiamo ciascunfattore a destra dell’equazione (2) per i seguentirapporti:

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1−= φγ

γ

α

α

α

γ

β

β

β

NNN

CN

N

RN

N

WB

N

Q

Possiamo ora definire la funzione diproduzione in termini di quantità per unitàdi superficie agricola utilizzata (variabili inminuscolo)

q=BwαrβcγNδ

Dove δ= α+β+γ+Φ-1, per cui• se δ=0 rendimenti costanti di scala • se δ>0 rendimenti crescenti di scala• se δ<0 rendimenti decrescenti di scala 18

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Dati, campioni

• I dati di base si riferiscono ad osservazionicross-section, per un totale di 8000aziende.

• Stime separate per ogni tipo di prodottoagricolo.

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Risultati stime

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Risultati stime

• Le diverse produzioni presentano differenzepiuttosto sensibili dei valori delle elasticità.

• L’elasticità dell’output a modifiche nell’impiego diacqua a scopi irrigui varia dal livello massimo0.1382 per il fieno alfalfa al valore minimo di0.0201 dell’orzo.

• I valori dell’elasticità del fattore produttivo terrasono maggiori di quelli del fattore produttivoirrigazione. Essi sono compresi entro un rangedi 1.19 e 0.15.

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Rendimenti di scala

• I rendimenti di scala (evidenziati dai valoridel parametro δ ) sono diversi a seconda

delle produzioni.• I valori del parametro indicano per il fieno

alfalfa, l’orzo, il grano insilato, il cotone, ilmais, il sorgo, le patate e il frumento lapresenza di rendimenti di scala crescenti,mentre per gli altri prodotti si riscontranorendimenti di scala decrescenti.

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• E’ possibile ora calcolare il saggio marginale disostituzione (SMS), cioè l’inclinazionedell’isoquanto di produzione, tra i fattoriproduttivi utilizzando i valori dei parametri stimatinelle tabelle 1-2-3.

• Concentriamo l’attenzione sulla sostituibilità trairrigazione e quantità di superficie. In questocaso il SMS è dato dal rapporto tra produttivitàmarginale del fattore terra e la produttivitàmarginale dell’irrigazione.

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Calcoliamo le produttività marginali utilizzando l’espressione (1)

• δQ/ δN = ΦBWαRβCγNΦ-1= ΦQ/N• δQ/ δW= αBWα-1RβCγNΦ = αQ/W

SMS= (ΦW)/(α N)

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• I parametri Φ e α sono stati stimati e

presentati nelle tabelle 1-2-3.

• Al fine di calcolare il SMS dobbiamointrodurre i valori delle superfici edell’acqua per irrigazione somministrata (Ne W). Possiamo utilizzare i valori mediriscontrati nel lavoro di MGN per leaziende del campione

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Il SMS è compreso tra il valore minimo di-1092.2 del sorgo e quello massimo di –39.65del cotone. Nel primo caso il SMS ci dice checoltivando un acro di superficie in più possiamodistribuire in meno 1092.2 pollici-acro di acquamantenendo lo stesso livello di produzione. Nelcaso del cotone, incrementando la superficiecoltivata di cotone di un acro risparmiamo 39.65pollici-acro di acqua.

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Isoquanti relativi al sorgo

• Dato che il SMS assume valori elevati gliisoquanti devono essere piuttosto inclinati.

• L’inclinazione degli isoquanti consente diapprezzare visivamente come per laproduzione di sorgo sia possibile,incrementando la superficie coltivata,ridurre in misura apprezzabile la quantitàdi acqua

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• La definizione della quantità ottima impiegabile di acquae la quantità ottima di terra coltivata dipendono dal livellodei prezzi dei due fattori (SMS = rapporto tra i prezzi)

• Purtroppo, nel lavoro non sono presentate queste ultimegrandezze per cui non è possibile proseguire nell’analisie confrontare le quantità dei fattori produttivieffettivamente utilizzate e quelle deducibili dal processo

di minimizzazione dei costi nell’uso dei fattori produttivi.

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Stima di una funzione di costo C-B

Da una funzione di produzione Cobb-Douglas

q = k α l β

si ricava la seguente funzione di costo

βαββαα

βαββααβα

βαβα +−+−

+++

+=

=+=

//

///1

)(

**),,(

B

dove

wBvqwlvkqwvC

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STIMA DI UNA FUNZIONE DI COSTO C-B

• Generalizzando, da una funzione di produzione Cobb-Douglas

Q= A · x1a1 · x2

a2· x3a3

si ricava la seguente funzione di costoCT = k· Q1/r· P1

a1/r · P2a2/r· P3

a3/r

dove : P rappresenta il prezzo di un inputk= r [A·a1a1·a2a2·a3a3]-1/r

• a1+a2+a3=r indica la presenza di rendimenti di scala costanti (r=1), crescenti (r>1) o decrescenti (r<1)

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• Il fatto che a1/r + a2/r + a3/r=1 implica chese tutti i prezzi degli input venisseroraddoppiati il costo totale verrebbeesattamente raddoppiato (omogeneità diprimo grado rispetto ai prezzi degli input).

• Esprimendo l’equazione in logaritmi èpossibile stimare:

ln CT = ln k + (1/r) ln Q + (a1/r) ln P1 + (a2/r) ln P2 + (a3/r) ln P3 +e

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Due alternative

• E' possibile stimare la seguente relazione

ln CT = β0 + βQ ln Q + β1 ln P1 + β2 ln P2 + β3 ln P3 +e

imponendo come restrizione che β1+β2+β3 = 1

• Oppure si possono dividere tutte le variabili(escluso Q) per P3 imponendo quindidirettamente nella stima che β3 = 1- β1-β2

ln (CT/P3)= β0 + βQ ln Q + β1 ln (P1/P3)+ β2 ln (P2/P3) +eln CT - ln P3= β0 + βQ ln Q + β1 (ln P1-ln P3)+ β2 (ln P2-ln P3) +eln CT = β0 + βQ ln Q + β1 ln P1 + β2 ln P2 + (1- β1-β2) ln P3 +e

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In entrambe le ipotesi i rendimenti di scala e le elasticità dei singoli fattori si ricavano nel seguente modo:

• r = 1/ βQ

• a1= β1 / βQ

• a2= β2 / βQ

• a3= β3 / βQ= (1- β1-β2) / βQ

(Le elasticità di costo rispetto ai P dei singoli fattorisono rappresentate dai coefficienti β1, β2, β3)

Applicazione con i dati sulle imprese

elettriche di Nerlove

• Funzione di costo stimata per 145 impreseelettriche nel 1955: 1 output (KWH di elettricità)e tre inputs (lavoro, combustibile e capitale)

ln (CT/P3)= β0 + βQ ln Q + β1 ln (P1/P3)+ β2 ln (P2/P3) +e

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• Risultati:ln(CT/P3)= -4.69 + 0.721 ln Q + 0.593 ln

(P1/P3)-0.007 ln (P2/P3)

r=1.39, a1=0.822, a2=-0.0097, a3=0.574

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Nel caso in cui si stimi la seguente relazioneln CT = β0 + βQ ln Q + β1 ln P1 + β2 ln P2 + β3 ln P3 +e

imponendo come restrizione che β1+β2+β3 = 1

si ottengono gli stessi risultati

ln CT = -4.69 + 0.72 ln Q + 0.593 ln P1 –0.007 ln P2 + 0.414 ln P3

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• Dalla funzione di costo Cobb-Douglas èpossibile ottenere una indicazione delleeconomie di scala (rendimenti crescenti)che vale per tutte le imprese delcampione. Altre forme funzionali piùflessibili (quadratica, translogaritmica)ammettono invece la possibilità che leeconomie di scala possano variare aseconda del tipo di impresa.

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