dissertao renata magarinus

8/18/2019 Dissertao Renata Magarinus

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM

REDE NACIONAL – PROFMAT

UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÕESATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE OBJETOS DE

APRENDIZAGEM

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Ren! M"#$n%&

Sn! M#$' RS' B#&$()*+,


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UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE FUNÇÕES

ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE OBJETOS DE

APRENDIZAGEM

Ren! M"#$n%&

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissionalem Matemática em Rede Nacional – PROFMAT, dani!ersidade Federal de "anta Maria #F"M, R"$,

como re%uisito parcial para o&tenção do 'rau deMe&!#e e- M!e-.!$/

O#$en!01#2 P#1345 D#4 L$0$ne B%($"1n

C11#$en!01#2 P#134 D#4 M.#/$1 M#6%e& M#!$n&

Sn! M#$' RS' B#&$()*+,


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Un$7e#&$00e Fe0e#( 0e Sn! M#$Cen!#1 0e C$8n/$& N!%#$& e E9!&

P#1"#- 0e P:&;G#0%


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DEDICAT?RIA

À minha mãe, que além dos primeiros passos

me ensinou os verdadeiros valores da vida.


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AGRADECIMENTOS

Ao meu compan2eiro Márcio 3arella, pelo amor, paci4ncia, compreensão e incenti!o durantetodos os momentos do curso, meu sincero muito o&ri'ada1

5 min2a fam6lia pelo apoio e compreensão, principalmente nos momentos em %ue me fi7ausente1

5 professora 8idiane 3uli'on, pelo carin2o e atenção a mim dedicados e por compartil2ar desua sa&edoria na orientação deste tra&al2o1

Ao professor Márcio Mar%ues Martins, pela cola&oração e por suas ideias nodesen!ol!imento de nossa proposta1

Aos professores do curso Profmat, pela ami7ade, paci4ncia e pelos con2ecimentoscompartil2ados1

5 professora Carmen 9ieira Mat2ias, pela atenção, dedicação e compet4ncia demonstrada emrelação : coordenação do curso1

5 Capes pelo au)6lio financeiro concedido nesses dois anos1

Aos meus cole'as de mestrado, pela ami7ade e momentos de con!i!4ncia, em especial pelacole'a e ami'a Ana 8ui7a ;essler, %ue 'entilmente me acol2eu em sua casa1

5 professora Rosane Rossato 3inotto %ue aceitou o con!ite para fa7er parte da &ancae)aminadora deste tra&al2o1


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RESUMO

Dissertação de Mestrado

Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional – PROFMATni!ersidade Federal de "anta Maria

UMA PROPOSTA PARA O ESINO DE FUNÇÕESATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE OBJETOS DE APRENDIZAGEM

ATORA< R(NATA MA=AR>N"OR>(NTADORA< 8>D>AN( 38>=ON

Data e 8ocal da Defesa< "anta Maria, - de a&ril de ./01

O presente tra&al2o tem como o&?eti!o apresentar uma proposta para a introdução ee)ploração dos principais conceitos presentes no estudo de funç@es afins e %uadráticas1 (sta

proposta foi ela&orada a partir da constatação, atra!s de estudos preliminares, da e)ist4nciade dificuldades em relação : compreensão e aprendi7a'em dos conceitos relacionados a estetema1 Considerando a importBncia do estudo de funç@es no curr6culo escolar e nacompreensão de fenmenos relacionados a di!ersas áreas do con2ecimento, as ati!idades %uecomp@em esta proposta estão fundamentadas nas ideias de %ue a aprendi7a'em se dá atra!sde um processo de construção do con2ecimento e pela interação social1 Alm disso,acreditando %ue a conte)tuali7ação dos contedos e a interdisciplinaridade corro&oram para aaprendi7a'em si'nificati!a da matemática, nosso tra&al2o prop@e uma se%u4ncia de

ati!idades %ue, a partir de pro&lemas reais, pretende e)plorar os principais conceitos presentesno estudo de funç@es afins e %uadráticas1 Para au)iliar os alunos na resolução dos pro&lemas ena e)ploração destes conceitos, utili7amos os o&?etos de aprendi7a'em, mais especificamente,os softEares Tracer e =eo=e&ra1 Acreditamos %ue esta proposta poderá contri&uir para amel2oria da %ualidade do ensino da matemática e mais especificamente para o ensino defunç@es1 Alm disso, este tra&al2o poderá ser!ir como inspiração aos professores dematemática para a criação de no!as metodolo'ias de ensino1

P(7#&;/>7e< (nsino e aprendi7a'em da matemática1 (nsino de funç@es1 Resolução de pro&lemas1 O&?etos de aprendi7a'em1


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ABSTRACT

Master Course DissertationProfessional Masters in Mat2ematics in National NetEor – PROFMAT

ni!ersidade Federal de "anta Maria

A PROPOSAL FOR T@E TEAC@ING OF FUNCTIONS T@ROUG@ T@EUSE OF LEARNING OBJECTS

ATGOR< R(NATA MA=AR>N"AD9>"(R< 8>D>AN( 38>=ON

Defense Place and Date< "anta Maria, April -t2, ./01

T2e present Eor aims to present a proposal for t2e introduction and e)ploration of t2e mainconcepts in t2e studH of affine and %uadratic functions1 T2is proposal Eas de!eloped from t2ereali7ation, t2rou'2 preliminarH studies, t2e e)istence of difficulties in relation to learnin' andunderstandin' of concepts related to t2is topic1 Considerin' t2e importance of t2e studH offunctions in t2e sc2ool curriculum and understandin' of p2enomena related to different areasof noEled'e, t2e acti!ities t2at mae up t2is proposal are &ased on t2e ideas t2at learnin'occurs t2rou'2 a process of noEled'e construction and social interaction1 Furt2ermore,

&elie!in' t2at conte)tuali7ation of content and interdisciplinaritH to corro&orate t2e si'nificantlearnin' of mat2ematics, our Eor proposes a se%uence of acti!ities from, real pro&lems Eille)plore t2e main concepts in t2e studH of affine and %uadratic functions1 To assist students insol!in' pro&lems and e)plorin' t2ese concepts and use t2e learnin' o&?ects, more specificallH,softEares Tracer and =eo=e&ra1 Ie &elie!e t2at t2is proposal Eill contri&ute to impro!in't2e %ualitH of mat2ematics teac2in' and more specificallH for teac2in' functions1 Moreo!er,t2is Eor could ser!e as inspiration for mat2 teac2ers to create neE teac2in' met2odolo'ies1

e1#0&< Teac2in' and learnin' of mat2ematics1 Teac2in' functions1 Pro&lems sol!in'18earnin' O&?ects1


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LISTA DE TABELAS

Ta&ela – Juantidade de á'ua desperdiçada em função do tempo11111111111111111111111111111111111111 KLTa&ela . – Juantidade de din2eiro em função do tempo111111111111111111111111111111111111111111111111111111 L


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LISTA DE FIGURAS

Fi'ura – >ma'em inicial de um dos !6deos111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 LFi'ura . – Definindo o in6cio e o trmino do mo!imento a ser analisado1111111111111111111111111111 LFi'ura 0 – Cali&rando a fita11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Fi'ura – Pontos sendo marcados so&re a &ola em %ueda111111111111111111111111111111111111111111111111111 Fi'ura - – Análise do mo!imento do !6deo 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Fi'ura K – =ráfico da posição da &ola em função do tempo de %ueda, !6deo 1111111111111111111 -Fi'ura L – =ráfico da !elocidade em função do tempo, referente ao !6deo 01111111111111111111111 -.Fi'ura – Mo!imento o&l6%uo da &ola de t4nis1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 -KFi'ura – =ráfico da componente ) 'erado pelo mo!imento o&l6%uo da &ola111111111111111111 -LFi'ura / – Ta&ela de !alores referentes ao mo!imento o&l6%uo da &ola11111111111111111111111111111 -LFi'ura – =ráfico do mo!imento da &ola em relação a componente H111111111111111111111111111111 -

Fi'ura . – =ráfico da !elocidade em função do tempo111111111111111111111111111111111111111111111111111111 KFi'ura 0 – Ta&ela contendo tam&m a componente !elocidade111111111111111111111111111111111111111111 KFi'ura – Apresentação de al'uns campos importantes do =eo=e&ra111111111111111111111111111111 KFi'ura - – Reta passando pelos pontos A e 3111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 K-Fi'ura K – Construção do 'ráfico de %.t111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 KFi'ura L – Reta passando pelos pontos #/,-/$ e #.,/$111111111111111111111111111111111111111111111111111 KFi'ura – "e'mento de reta A311111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 L/Fi'ura – Pontos no plano1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 L/Fi'ura ./ – "e'mentos de retas11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 L/Fi'ura . – Confi'uração 'ráfica da função f#)$)Q111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 LFi'ura .. – Fam6lia de funç@es do tipo f#)$a)Q para diferentes !alores de a111111111111111111 L

Fi'ura .0 – Fam6lia de funç@es do tipo f#)$ ) Q & para diferentes !alores de b11111111111111111 L-Fi'ura . – Representação 'ráfica das funç@es 2orárias de posiç@es dos carros A e 31111111 LKFi'ura .- – =ráfico da função H.)Q./), para )S/111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 LFi'ura .K – Função H.)Q./) e reta passando pelos pontos A e 3111111111111111111111111111111111111 LFi'ura .L – =ráfico da função H.)Q./), cu?o dom6nio o con?unto dos nmeros reais11 /Fi'ura . – =ráfico das funç@es custo e receita1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 .Fi'ura . – Pontos de interseção dos 'ráficos de c#)$ e r#)$1111111111111111111111111111111111111111111111 1Fi'ura 0/ – =ráfico da função c#)$11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 -Fi'ura 0 – =ráficos da função c#)$ !ariando o !alor do coeficiente c1111111111111111111111111111111 KFi'ura 0. – Determinação do !rtice da pará&ola atra!s de análise 'ráfica11111111111111111111111 LFi'ura 00 – =ráfico da função l#)$11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Fi'ura 0 – Confi'uração 'ráfica da função f#)$)Q)Q1111111111111111111111111111111111111111111111111111 /Fi'ura 0- – Fam6lia de funç@es do tipo f#)$a)Q)Q para diferentes !alores

do coeficiente a11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 /Fi'ura 0K – Fam6lia de funç@es do tipo f#)$)Q&)Q para diferentes !alores

do coeficiente & 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Fi'ura 0L – Fam6lia de funç@es do tipo f#)$+)Q&)Q para diferentes !alores

do coeficiente & 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 .Fi'ura 0 – Fam6lia de funç@es do tipo f#)$)Q)Qc para diferentes !alores de c111111111111111 .Fi'ura 0 – =ráficos das funç@es c#)$ e l#)$1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 0Fi'ura / – =ráficos das funç@es c#)$, l#)$ e '#)$1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111


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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 + ALGUNS APORTES TE?RICOS11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 -+4+ E71(%


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INTRODUÇÃO

A Matemática possui um papel importante no desen!ol!imento da sociedade, e sua presença na educação escolar torna+se cada !e7 mais necessária para a e!olução cient6fica e

produção de no!os sa&eres1

Dentre os contedos matemáticos estudados na educação &ásica, o estudo de funç@es

, sem d!ida, um dos mais importantes1 "ua rele!Bncia pode ser ?ustificada pelo fato de %ue

o conceito de função esta&elece relaç@es com !ários outros conceitos matemáticos e pode ser

aplicado no estudo de fenmenos em di!ersas áreas do con2ecimento1

No Bm&ito matemático, o estudo de funç@es relaciona+se diretamente com a ál'e&ra,no %ue se refere :s e)press@es al'&ricas presentes nas leis de formação de funç@es e na

relação entre !ariá!eis, e com a 'eometria anal6tica, %ue utili7a de um sistema de ei)os

coordenados para a representação de seus 'ráficos1

A tri'onometria tem &oa parte de seu estudo e aplicaç@es fundamentados nas funç@es

tri'onomtricas e seus 'ráficos1 Pro'ress@es aritmticas e 'eomtricas tam&m podem ser

analisadas atra!s de relaç@es funcionais1 (, na matemática financeira, podemos relacionar as

'rande7as en!ol!idas no cálculo de ?uros simples ou compostos atra!s de funç@es1

Partindo para uma a&orda'em mais aprofundada da matemática, encontram+se os

estudos do Cálculo Diferencial e >nte'ral, cu?o o&?eto de estudo são as relaç@es funcionais1

Podemos citar ainda as cone)@es esta&elecidas entre o estudo de funç@es e as outras

áreas do con2ecimento1 No ensino da F6sica, !ários fenmenos são descritos atra!s de

funç@es, como, por e)emplo, no estudo dos mo!imentos, onde a distBncia percorrida por um

m!el pode ser dada em função do tempo, e no estudo da eletricidade, onde a resist4ncia de

um condutor dada em função de suas caracter6sticas, tais como diferença de potencial e

intensidade da corrente1

Na Ju6mica e na 3iolo'ia tam&m são inmeras as situaç@es onde as funç@es podem

a?udar a descre!er e compreender seus fenmenos1 A decomposição de al'umas su&stBncias

radioati!as e o crescimento de uma população de &actrias podem ser representadas atra!s de

funç@es e)ponenciais1

Na área das ci4ncias sociais, econmicas e 'eo'ráficas, as relaç@es funcionais são

teis para descre!er fenmenos, criar modelos %ue representem a realidade e %ue podem, por

!e7es1 simular situaç@es futuras1

(stas &re!es consideraç@es nos mostram o %uanto o estudo de funç@es importante


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.

tanto para o desen!ol!imento da prpria Matemática como ci4ncia como para a compreensão

de !ários fenmenos naturais, econmicos ou sociais1

Presente no curr6culo de Matemática da educação &ásica, o ensino de funç@es de!e,

se'undo os ParBmetros Curriculares do (nsino Mdio,

UVW 'arantir %ue o aluno ad%uira certa fle)i&ilidade para lidar com o conceito defunção em situaç@es di!ersas e, nesse sentido, atra!s de uma !ariedade desituaç@es+pro&lema de matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incenti!ado a

&uscar a solução, a?ustando seus con2ecimentos so&re funç@es para construir ummodelo para interpretação e in!esti'ação em Matemática1 #3RA">8, .///, p1 .-L$

Contudo, nossa prática como professora de matemática no ensino fundamental emdio demonstra %ue, apesar da possi&ilidade de conte)tuali7ação e interdisciplinaridade, o

ensino de funç@es não !em 'arantindo aos alunos sua efeti!a aprendi7a'em ou a fle)i&ilidade

esperada para a resolução de pro&lemas di!ersos1 Muitos alunos demonstram dificuldades em

tra&al2ar com funç@es e poucos parecem compreender seu conceito1

Atra!s de uma &re!e re!isão terica so&re o ensino e aprendi7a'em de funç@es,

encontramos ind6cios de %ue as dificuldades apresentadas pelos alunos do ensino mdio

tam&m são !erificadas por estudantes do ensino superior1 "e'undo Costa, A1 #.//, p1.$,Xmuitas das dificuldades apresentadas pelos estudantes no %ue se refere ao conceito de limite,

deri!ada e inte'ral reca6am na compreensão do conceito de função1Y

"urpreendentemente, Costa, C1 #.//, p1 0$, in!esti'ando o con2ecimento do

professor de Matemática so&re o conceito de função, !erificou %ue este, %uando confrontado

com %uest@es en!ol!endo funç@es %ue 'eralmente são a&ordadas no ensino &ásico, Xapresenta

um fraco desempen2o, demonstrando limitaç@es incompat6!eis com o seu 'rau de formação,

ora produ7indo os erros dos alunos desta etapa da educação, ora reprodu7indo em sala de aulaerros de a&orda'em e de conceito1Y

A partir de tais constataç@es, !erificamos, atra!s de uma pes%uisa, o %ue os alunos do

ensino mdio compreendem dos conceitos matemáticos presentes no estudo de funç@es1 Tal

pes%uisa ori'inou o tra&al2o final do curso de (speciali7ação em (ducação Matemática, de

min2a autoria #MA=AR>N", .//K$1

Nossa pes%uisa foi reali7ada com estudantes %ue ?á 2a!iam estudado funç@es em anos

anteriores1 Atra!s da coleta de dados em entre!istas indi!iduais e a aplicação de al'umas

ati!idades referentes ao estudo de funç@es, constatamos %ue a maioria dos alunos demonstra

dificuldade em e)pressar suas ideias so&re o %ue representa uma função e %ual o seu


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0

si'nificado, tendo dificuldade inclusi!e em esta&elecer as condiç@es necessárias para %ue uma

relação se?a definida como uma função, &em como na análise de 'ráficos funcionais, e não

fa7em %ual%uer refer4ncia a aplicaç@es práticas1

Os resultados da pes%uisa nos le!aram a acreditar %ue o estudo de funç@es não

proporcionou o desen!ol!imento co'niti!o dos alunos e a construção do con2ecimento, alm

de ser reali7ado de maneira desconte)tuali7ada e pouco si'nificati!a1

Como implicaç@es peda''icas, nossa pes%uisa apresentou como uma das

possi&ilidades para a aprendi7a'em dos conceitos relacionados ao estudo de funç@es a

conte)tuali7ação dos contedos e a reali7ação de ati!idades %ue propiciem a construção do

con2ecimento1 Nessa perspecti!a, acreditamos %ue, ati!idades interdisciplinares ?untamente

com a&orda'ens metodol'icas diferenciadas e a utili7ação de recursos didáticos !ariados,

possam possi&ilitar uma maior si'nificação dos conceitos estudados e, conse%uentemente, sua

efeti!a aprendi7a'em1

Aps a leitura de !ários tra&al2os ?á desen!ol!idos relacionados : aprendi7a'em de

conceitos matemáticos e, em especial, aos conceitos presentes no estudo de funç@es, pudemos

no!amente constatar a importBncia dada : construção do con2ecimento, conte)tuali7ação dos

contedos e : interdisciplinaridade1

"e'uindo esta lin2a de pensamento, nosso tra&al2o consiste em apresentar uma

proposta para a introdução e e)ploração dos principais conceitos presentes no estudo de

funç@es afins e %uadráticas, atra!s de uma se%u4ncia de ati!idades %ue serão e)ploradas a

partir de pro&lemas reais1

Para au)iliar os alunos na resolução dos pro&lemas e na e)ploração dos conceitos

matemáticos neles en!ol!idos, !amos utili7ar os o&?etos de aprendi7a'em Tracer e

=eo=e&ra1 O softEare Tracer será utili7ado nas primeiras ati!idades cu?o principal o&?eti!o e)plorar intuiti!amente o conceito de função e a relação entre as !ariá!eis1 O softEare

=eo=e&ra será utili7ado para a&ordar, alm do conceito de função, outros elementos presentes

no estudo de funç@es afins e %uadráticas a partir de uma análise 'ráfica1

O presente tra&al2o constitui+se de %uatro cap6tulos1 No cap6tulo , estão descritos os

aportes tericos desse tra&al2o, iniciando com um &re!e estudo so&re o desen!ol!imento

2istrico de funç@es e suas definiç@es, a forma como o ensino de funç@es apresentado nos

li!ros didáticos, al'umas consideraç@es a respeito do ensino e aprendi7a'em da matemática eso&re o ensino de funç@es1 No cap6tulo ., descre!emos o camin2o para a reali7ação da


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proposta, da escol2a metodol'ica aos recursos didáticos utili7ados, dos o&?eti!os das

ati!idades, os pr+re%uisitos para a aplicação das mesmas, o p&lico+al!o e outras

recomendaç@es metodol'icas, alm das dificuldades pre!istas1 No terceiro cap6tulo,

apresentamos a se%u4ncia de ati!idades %ue comp@em nossa proposta para o ensino de

funç@es1 Por fim, no cap6tulo são apresentadas as consideraç@es finais e al'umas su'est@es

%ue possam complementar e contri&uir para o ensino+aprendi7a'em de funç@es1


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+ ALGUNS APORTES TE?RICOS

+4+ E71(%dade Mdia, onde !isuali7amos as noç@es funcionais e)pressas so&

forma 'eomtrica e mecBnica, em %ue cada caso concreto de depend4ncia entre duas

%uantidades eram representadas preferencialmente atra!s de um 'ráfico ou por uma

descrição !er&al1 (, por fim, o per6odo Moderno, no %ual começam a pre!alecer e)press@es

anal6ticas de funç@es, sendo, no final do sculo \9>>, o momento mais intenso no

desen!ol!imento da noção de função, apro)imando da %ue atualmente con2ecemos1

"e'undo [uffi #.//$, na =rcia Anti'a, a noção de função aparece em estudos

li'ados a fenmenos naturais, como por e)emplo, entre os pita'ricos %ue estuda!am a

interdepend4ncia %uantitati!a de diferentes %uantidades f6sicas1 Nesta poca, cada pro&lema

era tratado de maneira particular o %ue e)i'ia uma no!a análise, não 2a!endo preocupação

com 'enerali7aç@es1

De acordo com 3oHer #L$, no per6odo Ale)andrino, em estudos da astronomia, foi

desen!ol!ida uma tri'onometria completa de cordas e calculadas ta&elas de %uantidades %ue

são similares :s atuais ta&elas de seno1 ]á entre re'istros &a&ilnicos, cerca de ./// anos a1C1,

e!id4ncias de relaç@es funcionais estão presentes nas ta&elas se)a'esimais de %uadrados,

cu&os, ra67es, multiplicaç@es, entre outras1

Apesar destas manifestaç@es, não 2á re'istros de %ue os po!os anti'os ten2am criado

uma noção 'eral de %uantidade !ariá!el ou de função1

Durante a >dade Mdia, a noção de função amadurecia 'radati!amente na c2amada

filosofia natural, principalmente em relação aos fenmenos f6sicos1 Nesta poca a noção de

função aparece numa forma mais 'enrica1


17/100

K

"e'undo 3oHer #L, p1 0$, Nicole Oresme #0.0+0.$, matemático franc4s,

desen!ol!eu a teoria das latitudes e lon'itudes para descre!er os diferentes 'raus de

intensidade das !ariá!eis !elocidade e tempo relacionados durante o mo!imento de um corpo

%ue se desloca com aceleração constante1 Oresme contri&uiu de maneira si'nificati!a para o

desen!ol!imento do conceito de função e foi o precursor na representação 'ráfica de uma

função1

(m [uffi #.//$, =alileu =alilei #-K+K.$, em seus estudos so&re o mo!imento de

corpos em %ueda a partir do repouso, introdu7iu o aspecto %uantitati!o nas representaç@es

'ráficas, e)pressando relaç@es funcionais atra!s da relação entre causas e efeitos e em

lin'ua'em de proporção1 Para a autora, a partir dos estudos reali7ados no campo al'&rico, o

desen!ol!imento da noção de função foi então impulsionado1 François 9i^te #-/+K/0$, ao

propor a representação sim&lica de uma %uantidade descon2ecida, possi&ilitou e)primir

relaç@es atra!s de frmulas al'&ricas1 No entanto, seu maior interesse esta!a em o&ter a

solução de pro&lemas espec6ficos, onde não 2a!ia a ideia de relacionar duas 'rande7as %ue

!ariam1

De acordo com (!es #.//$, cou&e a Descartes #KK+L-/$, em seus estudos so&re

e%uaç@es indeterminadas, introdu7ir a ideia de %ue uma e%uação em ) e H uma forma de

e)pressar uma relação de depend4ncia entre %uantidades1 Nesta poca, as cur!as eram o

principal o&?eto de estudo na Matemática1 Al'uns fenmenos passaram a ser representados

por cur!as e estas passaram a ser e)pressas por e%uaç@es1

"e'undo 3oHer #L$, >saac NeEton #K.+L.L$ utili7ou o termo XfluentesY para

apresentar al'uma relação entre !ariá!eis1 (, em KL0, 8ei&ni7 utili7a a pala!ra XfunçãoY em

seu manuscrito intitulado XMet2odus tan'entium in!ersa, seu de fonctioni&usY para se referir

: %uantidade !ariando ponto a ponto de uma cur!a1 Al'uns anos mais tarde, em K, ]ean3ernoulli utili7a a pala!ra XfunçãoY ao se referir a %uantidades %ue dependem de uma !ariá!el

e prop@e a primeira definição e)pl6cita de uma função como e)pressão anal6tica, sem

esta&elecer, no entanto1 o modo de construir uma função a partir da !ariá!el independente1

8eon2ard (uler, no sculo \9>>>, foi o primeiro a tratar o cálculo como uma teoria

das funç@es1 A definição de função proposta por ele, distin'ue %uantidades !ariá!eis das

%uantidades constantes, no entanto, não e)plicita o %ue seria uma Xe)pressão anal6ticaY, termo

presente em sua definição1 Passado al'um tempo, (uler prop@e uma no!a definição ondeestende seu conceito de função


18/100

L

"e certas %uantidades dependem de outras %uantidades de maneira %ue, se as outras

mudam, estas %uantidades tam&m mudam, então temos o 2á&ito de c2amar estas%uantidades de funç@es destas ltimas1 (sta denominação &astante e)tensa econtm nela mesma todas as maneiras pelas %uais uma %uantidade pode serdeterminada por outras1 Conse%uentemente, se ) desi'na uma %uantidade !ariá!el,então todas as outras %uantidades %ue dependem de ), de %ual%uer maneira, ou %uesão determinadas por ), são c2amadas de funç@es de )1 #(8(R apud ROJ(,P>TOM3(>RA, ./., p1 .0.+.00$1

(uler tam&m define função cont6nua e função descont6nua, no entanto seu

entendimento de continuidade &em diferente do %ue temos 2o?e1 Para ele, uma função seria

cont6nua se, ao lon'o de todo seu dom6nio, fosse representada apenas por uma e)pressãoanal6tica1 Mais tarde, Cauc2H prop@e um e)emplo %ue contrap@e esta definição1

"e'undo ;leiner #$, 8ouis 8a'ran'e #L0K+0$, em seus estudos so&re funç@es,

desen!ol!eu a notação atual para deri!adas de !árias ordens de uma função1 (m sua definição

de funç@es, prop@e %ue estas representam uma com&inação de operaç@es distintas so&re

%uantidades con2ecidas a fim de se o&ter os !alores de %uantidades descon2ecidas1

Durante todo o sculo \9>>>, o&ser!amos uma despreocupação em formali7ar o

conceito de função1 Mas, no sculo se'uinte, a fundamentação ri'orosa da Análise passou a

fa7er parte dos tra&al2os de !ários matemáticos da poca1

De acordo com [uffi #.//$, o matemático franc4s Au'ustin Cauc2H #L+-L$

estudou e aprofundou a concepção de função, desen!ol!endo uma teoria so&re !ariá!eis

comple)as1 No entanto, sua definição para funç@es ainda era imprecisa1

Das definiç@es para funç@es propostas na%uela poca, a %ue mais se apro)ima da

aceita atualmente foi apresentada, em 0L, por Peter =usta! 8e?eune Diric2let<

UVW se uma !ariá!el H está relacionada com uma !ariá!el ) de tal modo, %ue sempre%ue dado um !alor numrico a ), e)iste uma re'ra se'undo a %ual um !alor nicode H fica determinado, então di7+se %ue H função da !ariá!el independente )1#3OZ(R,L, p1 /-$

Ainda era necessário esta&elecer o conceito de Xcon?untoY e de Xnmeros reaisY, mas

falta!a pouco para %ue o conceito de função fosse definiti!amente esta&elecido1

Durante o ano de L., muitos a!anços foram feitos em relação : noção de nmero

real e de con?unto infinito1 (ntre os matemáticos cola&oradores esta!am 3ern2ard 3ol7ano

#L+$, ;arl Ieierstrass #-+L$ e ]ulius Dedeind #0+K$1 O matemático

italiano =iuseppe Peano #-+0.$, alm de sua contri&uição : noção de nmero, props


19/100

redu7ir o conceito de função ao conceito de relação un6!oca #">(RP>N";A apud [FF>,

.//, p1 $1

(m meados do sculo \\, um 'rupo de matemáticos franceses, entre eles Andr Ieil

e ]ean Dieudonn, %ue adotou o pseudnimo de Nicolas 3our&ai, pu&licou !ários tra&al2os

apresentando a matemática moderna, %ue te!e como conse%u4ncia a redefinição de conceitos

&ásicos na lin'ua'em de con?untos1 (m 0, em uma de suas pu&licaç@es, este 'rupo prop@e

a se'uinte definição de função<

"e?am ( e F dois con?untos, distintos ou não1 A relação entre uma !ariá!el ) de ( e

uma !ariá!el H de F, c2amada de uma relação funcional em H se, para todo )∈

(,e)iste um nico H ∈ F %ue está associado, na relação dada, com )1 Damos o nome defunção para a operação %ue, de al'uma forma, associa a cada elemento ) ∈ ( oelemento H ∈ F %ue associado a ) pela relação esta&elecida_ di7+se %ue H o !alorda função relati!o ao elemento ), e %ue a função está determinada pela relaçãofuncional dada1 Duas relaç@es funcionais e%ui!alentes determinam a mesma função1#;8(>N(R, , p1 , tradução nossa$1

(ste &re!e panorama 2istrico nos mostra como foi comple)o o camin2o percorrido

pelos matemáticos em relação ao desen!ol!imento 2istrico do conceito de função1 De acordo

com [uffi #.//$, os pro&lemas %ue ocuparam os matemáticos no decorrer dos tempos

e)erceram forte influ4ncia na ela&oração do conceito de função1 No in6cio, %uando as

preocupaç@es eram descre!er e compreender os fenmenos naturais, identificamos a

depend4ncia entre !ariá!eis de uma maneira %ualitati!a_ posteriormente, e!idenciamos o

aparecimento das representaç@es 'ráficas e descriç@es !er&ais_ mais tarde, com o

desen!ol!imento da matemática moderna, sur'em as funç@es sendo representadas como

e)press@es anal6ticas e, finalmente, como uma relação entre con?untos1

A autora tam&m destaca %ue, entre os professores do ensino mdio, a lin'ua'em

matemática utili7ada para e)pressar suas prprias concepç@es so&re o conceito de função

apresenta !is@es coincidentes com os momentos 2istricos detal2ados anteriormente1 Assim,

na formali7ação do conceito de função estão muito presentes as ideias apresentadas nas

definiç@es de Diric2let e 3our&ai e, no tratamento informal, ou e)emplos e resoluç@es de

pro&lemas, as ideias se assemel2am : definição de (uler1

+4) A 0e3$n$


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didáticos, inclu6mos, na se%u4ncia, as definiç@es propostas por tr4s li!ros, sendo o primeiro

Conceitos fundamentais da matemática, de 3ento de ]esus Caraça #$_ o se'undo A

Matemática do (nsino Mdio, de (lon 81 8ima, Paulo C1 P1 de Car!al2o, (duardo Ia'ner e

Au'usto C1 Mor'ado #.//K$_ e, por ltimo, m Curso de Cálculo, de Gamilton 8ui7

=uidori77i #.//$1 (stes li!ros, 'eralmente, são fontes de estudo de !ários estudantes de

cursos de 'raduação e tam&m refer4ncia para professores de matemática1

Caraça #$ prop@e a definição de função atra!s de uma srie de refle)@es l'icas a

respeito da utili7ação de instrumentos matemáticos, a fim de in!esti'ar fenmenos naturais

%ue de al'um modo e!idenciam uma relação de depend4ncia1 Alm disso, procura um modo

de %uantificar as !ariaç@es %ualitati!as destes fenmenos1 Resumidamente, o autor e)plica

como sur'iu a necessidade de criar um instrumento matemático %ue estudasse a !ariação de

%uantidade, ou se?a, a lei %uantitati!a, cu?a ess4ncia fosse a correspond4ncia entre dois

con?untos1

"e'undo o autor, o conceito de função apareceu no campo matemático para ser!ir de

instrumento prprio para o estudo destas leis1 (m se'uida, prop@e a definição de função como

uma correspond4ncia de con?untos< X"e?am ) e H duas !ariá!eis representati!as de con?untos

de nmeros_ di7+se %ue H função de ) e escre!e+se H f#)$, se entre as duas !ariá!eis e)iste

uma correspond4ncia un6!oca no sentido ) ` H1 A ) c2ama+se !ariá!el independente, a H

!ariá!el dependente1Y #, p1 .$1

O li!ro tra7 ainda uma representação anal6tica e 'eomtrica para função1 A primeira

representação consiste Xem dar um con?unto de operaç@es de modo tal %ue, por meio delas, se

possa fa7er corresponder a cada !alor de a de ) um !alor b de H1Y#, p1 0/$1 Para a

representação 'eomtrica, considera um sistema de refer4ncia cartesiano e uma cur!a

%ual%uer de modo %ue esta não se?a intersectada em mais de um ponto por uma reta traçada paralela ao ei)o !ertical1 Desta forma, a correspond4ncia un6!oca no sentido ) ` H, o %ue

si'nifica %ue, para cada a de ), encontramos somente um b de H1 #, p1 00+0$1

O se'undo li!ro analisado prop@e a se'uinte definição para função<

Dados os con?untos \, Z, uma função f< \` Z #l4+se< Xuma função de \ e ZY$ uma re'ra #ou con?unto de instruç@es$ %ue di7 como associar a cada elemento ) ∈ \um elemento H f#)$ ∈ Z1 O con?unto \ c2ama+se o domínio e Z o contra-domínio da função f1 Para cada ) ∈ \, o elemento f#)$ ∈ Z c2ama+se imagem de )

pela função f, ou valor assumido pela função f no ponto ) ∈ \1 (scre!e+se ) ` f#)$ para indicar %ue f transforma #ou le!a$ ) em f#)$1 #8>MA, et al1, .//K, p1 0$


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./

O&ser!amos %ue a definição acima apresenta a relação de correspond4ncia entre

con?untos, a necessidade de uma lei %ue defina como associar os elementos destes con?untos,

os conceitos de dom6nio, contradom6nio e ima'em e, implicitamente, a noção de !ariá!el1

Na se%u4ncia, os autores fa7em al'umas recomendaç@es em relação : lin'ua'em

matemática ade%uada no trato de funç@es e destacam %ue uma função constitu6da de tr4s

partes< dom6nio, contradom6nio e a lei de correspond4ncia ) ` f#)$, sendo %ue as duas

primeiras podem ficar su&entendidas ao definirmos Xa função fY1

=uidori77i #.//, p1 .K$, em seu li!ro de cálculo, define função como sendo uma terna

#A, 3, a ` &$, Xonde A e B são dois con?untos e a b uma re'ra %ue nos permite associar a

cada elemento a de A um !nico b de B.Y1 Define o dom6nio da função como sendo o con?unto

A, o contradom6nio como sendo o con?unto 3 e e)plicita a relação entre os con?untos como

sendo un6!oca de A para 31

(m relação a representação 'ráfica, o autor define como sendo um su&con?unto do

con?unto de todos os pares ordenados #), H$ de nmeros reais e, tomando o plano de um

sistema orto'onal de coordenadas cartesianas, o 'ráfico da função pode ser considerado como

o lu'ar 'eomtrico descrito pelos pontos #), f#)$$, onde ) pertence ao dom6nio da função1 (m

se'uida, o autor apresenta e)emplos %ue en!ol!em diferentes formas de representar relaç@es

funcionais, como ta&elas, 'ráficos e e)press@es al'&ricas1

Ao apresentar o contedo matemático em sala de aula, muito pro!á!el %ue os

professores do ensino mdio utili7em como refer4ncia os li!ros didáticos da educação &ásica

adotados por seus alunos1 Partindo deste pressuposto e acreditando %ue um fator a interferir na

aprendi7a'em do conceito de função a maneira como este apresentado aos alunos, faremos

uma &re!e descrição e al'uns comentários so&re as definiç@es de função apresentadas por dois

dos li!ros didáticos mais solicitados pelos professores &rasileiros ao Ministrio da (ducaçãono ano de ./..1

O li!ro para o ensino mdio Matemática< conte)tos e aplicaç@es, do autor 8ui7

Ro&erto Dante #./$, inicia o estudo de funç@es com uma &re!e descrição da importBncia do

estudo de funç@es em outras áreas do con2ecimento e de al'uns aspectos do seu

desen!ol!imento 2istrico1 Depois, e)plora intuiti!amente a noção de função atra!s de

al'uns pro&lemas matemáticos e, então, apresenta a noção de função por meio de con?untos<

m e)emplo dado pelos autores a função *), %ue está su&entendido %ue seu dom6nio dado pelosnmeros reais com e)ceção do nmero 7ero1

. "e'undo o relatrio do PN8D #Pro'rama Nacional do li!ro didático$ os li!ros mais solicitados pelos professores no ano de ./. e %ue serão ad%uiridos pelo M(C no ano de ./01


22/100

.

XDados dois con?untos não !a7ios A e 3, uma função de A em 3 uma re'ra %ue indica como

associar cada elemento ) ∈A a um nico elemento H ∈ 31Y #DANT(, ./, p1 L-$1

Aps definir uma função, o autor apresenta a notação f< A`3, e!idenciando %ue a

função f transforma ) de A em H de 3, escre!endo então H f#)$1 Na se%u4ncia, apresenta os

conceitos de dom6nio, contradom6nio e ima'em atra!s de con?untos1

Outro li!ro de ensino mdio analisado Matemática< ci4ncia e aplicaç@es, de =elson

>e77i Uet alW, #.//$1 Neste, os autores tam&m prop@em a introdução do estudo de funç@es

atra!s da resolução de pro&lemas, os %uais en!ol!em %uest@es de F6sica, 3iolo'ia e outros

temas pr)imos ao cotidiano do aluno1 8o'o depois, introdu7em a noção de função como

relação entre con?untos e a definem do se'uinte modo< XDados dois con?untos não !a7ios A e

3, uma relação #ou correspond4ncia$ %ue associa a cada elemento ) ∈ A um nico elemento H

∈ 3 rece&e o nome de função de A em 31Y # >([[> et al, .//, p1 L$1

Num se'undo momento, o li!ro apresenta a notação f< A`3, onde f representa um

con?unto de pares ordenados #), H$ %ue caracteri7a uma função de A em 31 Depois, tra7 a

definição de funç@es por frmulas e apresenta o conceito de dom6nio, contradom6nio e

ima'em por meio de con?untos1

A a&orda'em utili7ada nos li!ros analisados, ao introdu7ir o estudo de funç@es feita

atra!s de pro&lemas conte)tuali7ados com aspectos interdisciplinares, e!idenciando a

!ariação e a depend4ncia entre 'rande7as, o %ue poderá facilitar a compreensão do %ue uma

função1 (ntretanto, no momento de definir formalmente uma função, os autores a fa7em por

meio de con?untos e esta a&orda'em nos parece totalmente des!inculada da anterior, como se

não se tratasse do mesmo conceito1 (sta o&ser!ação pode indicar um poss6!el o&stáculo na

aprendi7a'em deste conceito por parte dos estudantes1

+4, O e&!%01 0e 3%n


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..

'rande di!ersidade de situaç@es da !ida cotidiana, ser!indo, tam&m, como instrumento de

in!esti'ação e apoio a outras áreas do con2ecimento1 Neste sentido, os parBmetros

curriculares destacam %ue<

Aprender Matemática de uma forma conte)tuali7ada, inte'rada e relacionada aoutros con2ecimentos tra7 em si o desen!ol!imento de compet4ncias e 2a&ilidades%ue serão essencialmente formadoras, : medida %ue instrumentali7am e estruturam o

pensamento do aluno, capacitando+o para compreender e interpretar situaç@es, parase apropriar de lin'ua'ens espec6ficas, ar'umentar, analisar e a!aliar, tirarconclus@es prprias, tomar decis@es, 'enerali7ar e para muitas outras aç@esnecessárias : sua formação1 #3RA">8, .///, p1 $1

(m relação ao estudo de funç@es, o documento o considera como articulador de

diferentes contedos, dentro e fora da prpria matemática1 Alm disso, afirma %ue o ensino de

funç@es permite ao aluno o desen!ol!imento da lin'ua'em al'&rica, indispensá!el para

e)pressar a relação entre as 'rande7as e modelar situaç@es pro&lemas1 Desta maneira, os

pro&lemas de aplicação de!em introdu7ir o estudo de funç@es, ser!indo de conte)to e

moti!ação para a aprendi7a'em dos conceitos en!ol!idos neste tema1

Os PCN(M tam&m c2amam a atenção para o fato de %ue, aps a definição de função,

o estudo de con?untos e relaç@es a&andonado, uma !e7 %ue para a análise dos diferentestipos de função este estudo desnecessário1 Portanto, destacam %ue Xo ensino pode ser

iniciado diretamente pela noção de função para descre!er situaç@es de depend4ncia entre duas

'rande7as, o %ue permite o estudo a partir de situaç@es conte)tuali7adas, descritas al'&rica e

'raficamente1Y #3RA">8, .///, p1 .$1 Alm disso, salientam %ue a lin'ua'em

e)cessi!amente formal de!e ser moderada e, em determinados momentos, dei)ada de lado1

+4H A("%-& /1n&$0e#


24/100

.0

(sta realidade fe7 sur'ir inmeras pes%uisas e tra&al2os relacionados ao ensino e

aprendi7a'em da Matemática1 Como resultado destes estudos, sur'iram !árias propostas

peda''icas %ue se op@em ao ensino tradicional, o %ual enfati7a a transmissão do sa&er ?á

constru6do e onde o aluno um mero espectador1

O desen!ol!imento do construti!ismo, iniciado pelas teorias estruturalistas de

aprendi7a'em de Pia'et, e a tend4ncia sociointeracionista, &aseada nas teorias de 8e!

9i'otsH, reforçam a ideia de %ue a aprendi7a'em do aluno de!a ser um processo de

construção do con2ecimento pela interação social1

Alm das reformulaç@es curriculares propostas nos ltimos anos, passou+se a discutir e

considerar o processo pelo %ual o aluno aprende1 Neste sentido, aspectos psicol'icos e as

formas de comunicação passaram a desempen2ar papis importantes na definição das

metodolo'ias de ensino, !isando : aprendi7a'em dos conceitos matemáticos1

O&ser!amos %ue !ários fatores interferem no processo de ensino e aprendi7a'em dos

contedos matemáticos1 Portanto, al'uns aspectos de!em ser o&ser!ados no momento do

plane?amento e e)ecução de uma proposta peda''ica1 Na se%u4ncia, !amos dissertar so&re

al'uns tpicos %ue ?ul'amos importantes neste processo1

11 Transposição didática e a conte)tuali7ação do sa&er

Juando um determinado sa&er cient6fico, criado atra!s da e!olução da prpria

ci4ncia, selecionado para transformar+se em sa&er escolar, passa por uma srie de

transformaç@es, a fim de ade%uar+se a uma lin'ua'em mais acess6!el ao n6!el escolar1 (sse

processo rece&e o nome de transposição didática, termo usado, pela primeira !e7, em L-,

por Mic2el 9erret e %ue na dcada de / foi inserido em um conte)to mais espec6fico pelomatemático Z!es C2e!allard1

"e'undo Pais #.//.$, entende+se por sa&er cient6fico a%uele associado : produção

acad4mica, apresentado atra!s de arti'os, teses, li!ros e relatrios, e sa&er escolar a%uele

!inculado ao ensino &ásico, ou se?a, o con?unto de contedos presentes no curr6culo escolar

%ue se apresenta &asicamente atra!s dos li!ros didáticos1

Para o autor, o estudo da transposição didática permite !isuali7ar suas fontes de XU111W

influ4ncias %ue contri&uem na redefinição de aspectos conceituais e tam&m na reformulaçãode sua forma de apresentaçãoY1 #PA>", .//., p1 $1


25/100

.

A dinBmica da transposição didática acontece, se'undo a definição de C2e!allard,

atra!s de dois momentos1 O primeiro transforma o sa&er cient6fico em sa&er a ensinar e o

se'undo transforma o sa&er a ensinar em sa&er ensinado1 No primeiro momento, o sa&er passa

por influ4ncias de a'entes do processo educati!o como cientistas, pes%uisadores,

especialistas, professores, pol6ticos e autores de li!ros1 ]á no se'undo momento, o&ser!a+se

uma maior influ4ncia do meio escolar, no %ual o professor e os alunos estão inseridos1

Desta forma, podemos di7er %ue o sa&er ensinado está lon'e de ser tal %ual se

apresenta o sa&er cient6fico e tampouco de!e ser conce&ido como uma mera simplificação

deste1

o professor %uem adapta o sa&er escolar em sa&er ensinado1 Assim, de posse do

sa&er, o professor, a partir de seu con2ecimento so&re o assunto, define a mel2or forma de

apresentá+lo ao aluno, le!ado em consideração seus o&?eti!os em ensinar tal contedo e sua

importBncia no curr6culo escolar1

Acreditamos %ue o con2ecimento do professor em relação aos contedos matemáticos,

tanto no %ue di7 respeito a seu conte)to 2istrico como sua importBncia cient6fica, são

fundamentais para a ela&oração de sua ação peda''ica1 Alm disso, a postura cr6tica e

%uestionadora de!e acompan2ar o professor, não somente durante a ela&oração de suas aulas,

mas tam&m nos momentos das a!aliaç@es1

A fim de contri&uir na estruturação de uma educação mais si'nificati!a e %ue

proporcione a aprendi7a'em efeti!a dos contedos matemáticos, encontra+se, no conte)to da

análise da transposição didática, a noção de conte)tuali7ação do sa&er1

"e'undo Pais #.//., p1 0.$, da prática do matemático apresentar o sa&er de modo

'enerali7ado, eliminando as condiç@es conte)tuais de sua pes%uisa1 O professor, no entanto,

Xde!e reconte)tuali7ar o contedo, tentando relacioná+lo a uma situação %ue se?a maiscompreens6!el para o alunoY1

Micotti #$ tam&m alerta para o fato de %ue o ele!ado n6!el de a&stração, a

lin'ua'em sim&lica e o ri'or do racioc6nio com %ue o sa&er matemático comunicado nos

li!ros, podem oferecer dificuldades : compreensão dos conceitos matemáticos por parte dos

estudantes1

A respeito disso, a autora destaca %ue

O sa&er matemático compreende o dom6nio do sistema de representação e tam&mdas re'ras %ue re'em aç@es a&stratas1 A leitura #compreensão$ de escritas


26/100

.-

matemáticas re%uer o con2ecimento do sistema de notação1 "em este con2ecimento,torna+se dif6cil li'ar as e)press@es sim&licas com os seus si'nificados1 #M>COTT>,, p1 K0$1

O&ser!amos, de acordo com a autora, %ue em muitos momentos a compreensão dos

sa&eres matemáticos &aseada em racioc6nios %ue e)i'em instrumentos co'niti!os refinados1

(ntendemos, desta forma, %ue imprescind6!el %ue o professor compreenda as formas como

o aluno se apropria do sa&er para, a partir da6, traçar suas estrat'ias de ensino1

Acreditamos %ue o aluno terá maiores condiç@es de apropriar+se dos sa&eres

matemáticos %uando for estimulado a pensar e fa7er infer4ncias so&re o o&?eto de estudo, ou

se?a, %uando ele participar ati!amente do processo de construção do con2ecimento1 Nestesentido, importante, sempre %ue poss6!el, possi&ilitar em sala de aula situaç@es en!ol!entes,

desafiadoras e si'nificati!as para o aluno1

Na &usca por estas situaç@es %ue fa!oreçam, antes de mais nada, a aprendi7a'em dos

conceitos matemáticos, !isuali7amos na conte)tuali7ação do sa&er uma tima alternati!a1

Muitos professores e estudiosos defendem a conte)tuali7ação do sa&er matemático,

considerando esta como uma das mais importantes noç@es peda''icas da atualidade1 No

entanto, de!e+se ter o cuidado de não redu7ir a conte)tuali7ação do ensino a uma nicarefer4ncia, ou então acreditar %ue todos os contedos matemáticos rele!antes de!am estar

presentes no cotidiano do aluno ou ter uma aplicação prática1 O aluno tam&m de!e perce&er

a importBncia de certos conceitos para o desen!ol!imento da Matemática como ci4ncia1

Muitos conceitos matemáticos tem ra7ão de e)istir na prpria matemática e mostrar estas

poss6!eis cone)@es entre os contedos matemáticos tam&m uma forma de conte)tuali7ar1

Para Fonseca #-$, um aspecto importante em relação : conte)tuali7ação do sa&er

a falsa ideia de %ue esta prática ne'a a importBncia da compreensão e e)clui a necessidade de

tcnicas1 A conte)tuali7ação &usca possi&ilitar uma mel2or compreensão dos contedos

estudados, permitindo ao aluno a utili7ação das tcnicas e instrumentos matemáticos de modo

si'nificati!o e não mecanicamente como comum ocorrer no ensino tradicional1

(ntendemos, tam&m, %ue o ensino da Matemática de!e contemplar situaç@es

conte)tuali7adas e si'nificati!as ao introdu7ir um no!o contedo e, na se%u4ncia de seu

estudo, possi&ilitar uma 'radati!a formali7ação dos conceitos matemáticos1

Para MoHss #L$, o ensino conte)tuali7ado da matemática de!e pri!ile'iar

situaç@es em %ue a si'nificação dos conceitos matemáticos se?a constru6da mediante um

processo de interação social, de trocas de e)peri4ncias1 A autora ainda destaca %ue, no


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.K

processo de aprendi7a'em, a conte)tuali7ação do con2ecimento permite %ue o aluno ten2a um

racioc6nio cont6nuo ao resol!er um pro&lema matemático, alm de estar mais apto a transferir

para no!as situaç@es o con2ecimento %ue foi constru6do na prática1

A conte)tuali7ação poderá contri&uir no processo de ensino e aprendi7a'em da

matemática, uma !e7 %ue

UVW a?uda a desen!ol!er no aluno a capacidade de relacionar o apreendido com oo&ser!ado e a teoria com suas conse%u4ncias e aplicaç@es práticas1 A?uda tam&m aarticular a Matemática com temas atuais da ci4ncia e da tecnolo'ia, &em como fa7ercone)@es dentro da prpria Matemática1 #DANT(, .//-, p1 L$

Contudo, entendemos %ue conte)tuali7ar fa!orecer, em sala de aula, um am&iente em

%ue o aluno se?a estimulado a resol!er pro&lemas %ue ten2am sentido para ele, e %ue de al'um

modo seus con2ecimentos pr!ios possam ser mo&ili7ados na &usca por soluç@es e na

'eração de no!os sa&eres1

11. Formação dos conceitos e a lin'ua'em matemática

Pes%uisas reali7adas por 8e! 9H'otsH #apud O8>9(>RA, $ su'erem %ue o

desen!ol!imento psicol'ico do ser 2umano está diretamente li'ado :s relaç@es interpessoais

e socioculturais do indi!6duo1 Principalmente a partir das relaç@es pessoais %ue o indi!6duo

começa a construir conceitos e dar si'nificado a tudo a%uilo %ue o rodeia1

Desde %ue nascemos desen!ol!emos nossas capacidades psicol'icas, %ue nos

possi&ilitarão pensar, ima'inar, analisar, comparar, memori7ar e relacionar os fatos1 claro

%ue este processo de desen!ol!imento não al'o %ue se finda, %ue ten2a um ponto de

c2e'ada, mas sim um processo cont6nuo, pois o ser 2umano inaca&ado e está sempre em

transformação no %ue se refere a sua 2a&ilidade psicol'ica e intelectual1

Para Oli!eira #$, a construção de si'nificados e)tremamente importante para o

aprendi7ado e, conse%uentemente, para o desen!ol!imento mental do aluno1 Como afirma

9H'otsH, o desen!ol!imento do indi!6duo &aseado no aprendi7ado1 Juando nos

relacionamos com as pessoas e com o mundo, estamos trocando e)peri4ncias e informaç@es,

podendo aprender al'o no!o e, desta forma, construir conceitos e si'nificados, desen!ol!endo

nossas capacidades psicol'icas, tornando+as cada !e7 mais comple)as1Para 9H'ostH #.//$, e)iste uma diferença entre o desen!ol!imento dos conceitos


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.L

espontBneos e cient6ficos1 Os primeiros são aprendidos de maneira informal, pela interação

social do dia a dia1 ]á os conceitos cient6ficos são a%ueles aprendidos de forma sistemática e

intencional1

>sto posto, temos %ue o processo de ensino e aprendi7ado %ue ocorre no Bm&ito escolar

propicia o desen!ol!imento dos conceitos cient6ficos1 A respeito disso, 9H'otsH afirma %ue

XOs conceitos cient6ficos, com seu sistema 2ierár%uico de inter+relaç@es, parecem ser o meio

em %ue primeiro se desen!ol!em a consci4ncia e o dom6nio do o&?eto, sendo mais tarde

transferidos para outros conceitos e outras áreas do pensamento1Y #9Z=OT";Z, .//, p1 .$1

Considerando, então, o fato de %ue o desen!ol!imento do aluno &aseado no seu

aprendi7ado e %ue este está intimamente li'ado :s relaç@es interpessoais, podemos di7er %ue a

lin'ua'em e a metodolo'ia utili7adas em sala de aula são dois aspectos importantes na

formação dos conceitos cient6ficos1 Alm disso, MoHss #L$ ainda destaca a necessidade

de relacionar os conceitos cient6ficos com seus conceitos espontBneos1

O ensino tradicional da matemática tende a priori7ar, em e)cesso, a memori7ação de

frmulas, re'ras, definiç@es, teoremas e demonstraç@es1 (sta prática não proporciona

compreensão conceitual, !isto %ue são !oltados, na maioria das !e7es, : reprodução de

modelos pr+esta&elecidos #PA>", .//.$1

"e'undo Mi'uel #.//K$, a formação de conceitos matemáticos de!e considerar, como

teses importantes da ação peda''ica, as perspecti!as de< conte)tuali7ação, onde são

!alori7ados aspectos socioculturais_ 2istoriali7ação, e!idenciando a e!olução das ideias

matemáticas e mostrando a Matemática como um processo de construção_ e enredamento,

onde as ideias são or'ani7adas em articulação com as di!ersas áreas do con2ecimento1

Pais #.//.$ tam&m destaca %ue um dos principais o&stáculos didáticos enfrentados no

ensino da matemática, refere+se : forma simplificada e formal como os contedos sãoapresentados nos li!ros didáticos1 "e'uindo as ideias do autor, o ensino da matemática de!e

priori7ar a construção e a compreensão dos conceitos, proporcionando ati!idades

si'nificati!as e possi&ilitando aos alunos fa7er inda'aç@es, o&ser!aç@es, comparaç@es e

constataç@es so&re o o&?eto em estudo para, finalmente, c2e'ar :s definiç@es formais1

A matemática possui uma lin'ua'em espec6fica, &aseada na utili7ação de s6m&olos %ue

!isam facilitar a comunicação de ideias e con2ecimento matemático1 No entanto, em sala de

aula, o uso e)cessi!o de sim&olo'ia e formalismo matemático ri'oroso, %ue muitas !e7es não familiar aos alunos, pode comprometer a aprendi7a'em de conceitos ou at mesmo impedir


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.

%ual%uer compreensão dos mesmos #[CG>, .//$1

A Teoria 9H'otsHana, considera %ue a lin'ua'em 2umana sur'iu como um sistema

sim&lico de mediação das relaç@es pessoais1 (ssa lin'ua'em passou a au)iliar a

comunicação e a relação entre o 2omem e seu o&?eto de con2ecimento, tendo duas funç@es< a

de relação social e de pensamento 'enerali7ante1 Desta maneira, a lin'ua'em 2umana tem

tam&m a função de classificar um o&?eto ou situação em relação aos seus atri&utos, numa

determinada cate'oria conceitual, fa!orecendo, assim, a a&stração1

Mediante tais consideraç@es, perce&e+se a importBncia da lin'ua'em e da metodolo'ia

utili7adas em sala de aula para a formação dos conceitos cient6ficos do aluno1 De acordo com

[uc2i #.//$, o professor, ao comunicar+se com os alunos, de!e fa7er uso de uma lin'ua'em

si'nificati!a, a fim de promo!er a compreensão dos conceitos e mostrar %ue o uso de

s6m&olos tem por finalidade facilitar a comunicação do con2ecimento matemático1

110 A resolução de pro&lemas e as tecnolo'ias no ensino da matemática

A resolução de pro&lemas uma tend4ncia no ensino da matemática e sua importBncia

indiscut6!el, uma !e7 %ue se trata de uma especificidade desta área do con2ecimento1 A

prpria e!olução da Matemática sempre te!e como pano de fundo a &usca de soluç@es para

pro&lemas1

Muitos atri&uem o sucesso do indi!6duo no campo matemático : sua capacidade de

raciocinar e pensar ade%uadamente1 Comumente se acredita %ue o aluno %ue desen!ol!e estas

capacidades está mais apto a compreender e resol!er pro&lemas matemáticos1

m dos o&?eti!os ao a&ordar conceitos matemáticos a partir da resolução de

pro&lemas contri&uir para o desen!ol!imento intelectual do aluno1 De acordo com Po7o#$ XU111W %uando um aluno ou %ual%uer pessoa enfrenta uma tarefa do tipo %ue

denominamos problema, precisa colocar em ação uma ampla srie de 2a&ilidades e

con2ecimentosY #PO[O, , p1 $1

Na dcada de sessenta, =eor'e PolHa começa!a a in!esti'ar sistematicamente o ensino

atra!s da resolução de pro&lemas e a partir da6 esta tend4ncia se esta&eleceu en%uanto campo

de pes%uisa na (ducação Matemática1 Atualmente, esta prática &astante difundida no 3rasil

em todas os n6!eis da (ducação 3ásica e !árias pes%uisas le'itimam sua importBncia no processo de ensino e aprendi7a'em1


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.

Onuc2ic enfati7a %ue

Juando os professores ensinam matemática atra!s da resolução de pro&lemas, elesestão dando a seus alunos um meio poderoso e muito importante de desen!ol!er sua

prpria compreensão1 5 medida %ue a compreensão dos alunos se torna mais profunda e mais rica, sua 2a&ilidade em usar matemática para resol!er pro&lemasaumenta considera!elmente1 #, p1 ./$

O&ser!amos nas pala!ras da autora influ4ncias do construti!ismo e a relação e)istente

entre a compreensão da matemática e a capacidade de resol!er pro&lemas, na %ual uma

depende da outra1

A autora defende ainda %ue XU111W o ponto de partida das ati!idades matemáticas não a

definição mas o pro&lema_ UVW %ue a Resolução de Pro&lemas não uma ati!idade para ser

desen!ol!ida em paralelo ou como aplicação da aprendi7a'em, mas como orientação para a

aprendi7a'em1Y #ONCG>C, , p1 .-$1

Os PCN(M tam&m su'erem %ue a resolução de pro&lemas se?a o ponto de partida do

tra&al2o docente aliado : conte)tuali7ação do sa&er1

A metodolo'ia de resol!er pro&lemas pre!4 muito mais %ue apenas le!ar o aluno a

encontrar soluç@es1 O importante, neste processo, o camin2o percorrido at se c2e'ar asolução de um pro&lema, pois neste momento %ue muitos conceitos matemáticos poderão

ser e)plorados e no!os sa&eres constitu6dos1

De acordo com "c2roeder e 8ester # apud ONCG>C, $, podemos a&ordar a

resolução de pro&lemas a partir de tr4s diferentes concepç@es< ensinar so&re resolução de

pro&lemas, ensinar a resol!er pro&lemas e ensinar matemática atra!s da resolução de

pro&lemas1

A primeira concepção &aseia+se no modelo proposto por PolHa #-$, %ue descre!eum con?unto de %uatro fases interli'adas no processo de resolução de pro&lemas matemáticos1

Neste modelo, primeiramente preciso compreender o pro&lema, depois criar um plano, na

se%u4ncia e)ecutar o plano e finalmente e)aminar a solução o&tida1

Ao ensinar a resol!er pro&lemas, o principal o&?eti!o fa7er com %ue os alunos se?am

capa7es de mo&ili7ar seus sa&eres para encontrar soluç@es1 Neste caso, o contedo

matemático ensinado para esse fim1

Na ltima concepção, os pro&lemas são !istos como o primeiro passo para se aprendermatemática1 O pro&lema considerado Xcomo um elemento formador de um processo de

construção do con2ecimento matemático, ou se?a, essa metodolo'ia !em a contri&uir na


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0/

formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação em lin'ua'em a&strata1Y #8(bO,

3>"O=N>N, .//, p1 0/$1

De acordo com Onuc2ic, ensinar matemática mediante a resolução de pro&lemas a

a&orda'em mais ade%uada com os o&?eti!os e recomendaç@es dos PCNs, uma !e7 %ue<

UVW conceitos e 2a&ilidades matemáticas são aprendidos no conte)to de resoluçãode pro&lemas1 O desen!ol!imento de processos de pensamento de alto n6!el de!eser promo!ido atra!s de e)peri4ncias em resolução de pro&lemas, e o tra&al2o deensino de matemática de!e acontecer numa atmosfera de in!esti'ação orientada emresolução de pro&lemas1 #, p1 ./L+./$

Alm disso, nesta a&orda'em o aluno não s aprende resol!endo pro&lemas comoaprende a matemática para resol!4+los1

9isando au)iliar nesta tarefa, a utili7ação de tecnolo'ias no ensino de matemática está

se tornando uma tend4ncia peda''ica muito difundida no Bm&ito educacional1

Nas ltimas dcadas, o desen!ol!imento acelerado da tecnolo'ia transformou a !ida

das pessoas e seus refle)os foram sentidos tam&m na prática escolar1 A escola passou a se

preocupar com a preparação dos alunos para as no!as e)i'4ncias do mercado de tra&al2o e da

!ida em sociedade1Assim, a %uestão %ue passou a in%uietar os educadores como fa7er uso das

tecnolo'ias no conte)to escolar, a fim de cola&orar para a aprendi7a'em de no!os sa&eres1

Muitas iniciati!as ?á sur'iram para 'arantir o acesso de professores e alunos : esses

recursos e tam&m oferecer su&s6dios para %ue se faça o mel2or uso destes entes tecnol'icos

na promoção de uma educação de %ualidade1 m desses recursos c2ama+se o&?etos de

aprendi7a'em, %ue se'undo Audino e Nascimento, Xpodem ser encarados como materiais

importantes no processo de ensino e aprendi7a'em, pois nos fornecem a capacidade desimular e animar fenmenos, entre outras caracter6sticas U111WY #.//, p1 0$1

No in6cio, muitos professores manifestaram resist4ncia a esta no!a tend4ncia

peda''ica, em ra7ão do sentimento de despreparo em relação ao uso de computadores1 Com

o passar do tempo e a familiari7ação com os recursos computacionais, este sentimento foi

diminuindo1 No entanto, são muitos os docentes %ue, tendo o acesso, ainda não fa7em uso de

la&oratrios de informática e muitos %ue o fa7em não utili7am para outro fim senão para

pes%uisas na internet1

Os computadores, por e)emplo, não podem apenas ser!ir como facilitadores de uma

prática %ue antes era feita com lápis e papel1 necessário e)plorar suas potencialidades para


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%ue possam, efeti!amente, ser!ir na construção de no!os sa&eres1

9árias são as possi&ilidades de se promo!er a aprendi7a'em da matemática atra!s da

informática, calculadoras ou outras tecnolo'ias1 (ntretanto, para %ue isso aconteça,

necessário %ue o professor se sinta moti!ado e preparado1

A ferramenta computacional tem papel de desta%ue nas orientaç@es e)pressas nos

PCN(M #3RA">8, .///$1 O documento afirma %ue seu uso pode moti!ar os alunos na

reali7ação de ati!idades e)ploratrias e de in!esti'ação1 Alm disso, as aulas podem tornar+se

mais dinBmicas ao promo!er uma maior participação dos alunos durante a reali7ação das

tarefas1

No ensino da matemática são !ários os aplicati!os %ue possi&ilitam uma maior

e)ploração do cálculo numrico, da ál'e&ra, da 'eometria, matemática financeira, do estudo

de funç@es, entre outros1 Al'uns pro'ramas procuram criar am&ientes de in!esti'ação

matemática a fim de contri&uir na construção do con2ecimento por parte dos alunos1

=eralmente, os alunos 'ostam de intera'ir com o computador pois se sentem mais

confiantes e capa7es de reali7ar certas ati!idades1 (ste fato pode despertar neles, alm da

curiosidade, o 'osto por aprender1

Neste processo de inserção de no!as tecnolo'ias no ensino da matemática, o professor

considerado peça fundamental1 "ua orientação, no decorrer de uma ati!idade, poderá

determinar o sucesso ou o fracasso de sua prática1 "e'undo Cláudio e Cun2a #.//, p1 L$,

XDidaticamente, o professor pode optar entre dois perfis diante do uso do computador no

ensino< usá+lo como má%uina transmissora dos con2ecimentos para o aluno, ou como um

au)iliar na construção desses con2ecimentos pelo aluno1Y

No primeiro perfil, se estaria, simplesmente, informati7ando a educação tradicional,

onde a criati!idade, o pensamento cr6tico e a autonomia serão muito pouco desen!ol!idas1 ]áno se'undo perfil, o professor le!ará o aluno, atra!s de seus constantes %uestionamentos,

refletir a respeito do %ue fa7em, desen!ol!endo, desta forma, o pensamento cr6tico e

estimulando a curiosidade e a criati!idade1

Para Cláudio e Cun2a #.//$, o professor, ao utili7ar as ferramentas computacionais,

de!e, acima de tudo, possi&ilitar ao aluno a participação ati!a na construção de seu

con2ecimento1 Neste sentido, o professor de!e ter clare7a de seus o&?eti!os, pleno

con2ecimento dos contedos %ue serão e)plorados, ela&orar seu plano peda''ico, con2ecer o pro'rama %ue será utili7ado, identificando suas potencialidades e limitaç@es1


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0.

A utili7ação das tecnolo'ias em sala de aula pode facilitar tam&m a a&orda'em de

conceitos matemáticos importantes, possi&ilitar a resolução de pro&lemas ela&orados,

construir os mais di!ersos tipos de 'ráficos e efetuar cálculos numricos de maneira rápida e

%ue muitas !e7es s se tornariam poss6!eis com o uso destas ferramentas1 No entanto, este não

de!e ser o principal o&?eti!o ao se propor ati!idades desta nature7a1

Cláudio e Cun2a #.//$ destacam ainda %ue, para tornar o tra&al2o em sala de aula

si'nificati!o, necessário %ue as ati!idades se?am acompan2adas, ou finali7adas, com a

formali7ação dos conceitos en!ol!idos nas ati!idades1

Contudo, concordamos com Penteado, 3or&a e =racias #$, ao afirmarem %ue a

introdução das tecnolo'ias na escola irre!ers6!el e necessária e %ue Xo potencial de

mudanças %ue as no!as tecnolo'ias poderão tra7er para a (ducação dependerá da forma como

estes Xno!os atores informáticosY se relacionarão com os atores 2umanos e não+2umanos %ue

comp@em a ecolo'ia de uma dada escola1Y #, p1 $1

+4 A("%n& &e/!1& e #11&!& # 1 en&$n1 0e 3%n


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uma descrição anal6tica1 (ste fato pode e!idenciar um ensino %ue possi!elmente ten2a

priori7ado a representação al'&rica no estudo de funç@es1

Podemos representar funç@es atra!s da relação entre dois con?untos mediante

dia'rama de flec2as, ta&elas, 'ráficos, al'e&ricamente ou atra!s da representação !er&al1

"ierpinsa, destaca %ue os professores de!em possi&ilitar aos alunos o contato com estas

!árias formas de representar funç@es e articulá+las permanentemente1

>sso !em de acordo com a teoria de Du!al #.//0$, na %ual a apreensão dos conceitos

matemáticos está relacionada : noção de representação1 Para ele, necessário %ue o indi!6duo

ten2a contato com diferentes formas de representar um mesmo o&?eto de estudo e transitar por

elas1

Para Trindade e Moretti #.///$, alm da transição entre as di!ersas formas de

representar uma função, o professor de!e e)plorar a representação !er&al de funç@es1

Os alunos de!em ser estimulados a descre!erem em lin'ua'em corrente a lei %uere'e um fenmeno e a apresentarem ar'umentos %ue ?ustifi%uem a !alidade da lei

para %ual%uer caso, para então representá+la em lin'ua'em al'&rica ou 'eomtrica1U111W A utili7ação da lin'ua'em oral e escrita au)ilia o aluno a or'ani7ar o prprioracioc6nio, a fa7er a passa'em de uma forma de representação para a outra e

e)plicitação das noç@es de !ariá!el, depend4ncia, re'ularidade e 'enerali7aç@es1#TR>NDAD( e MOR(TT>, .///, p1 0+$1

Juanto : representação 'ráfica, os mesmos autores c2amam atenção para seu 'rande

potencial para o aprendi7ado do conceito de função, e alm disso destacam %ue al'uns

aspectos são mel2or e)plorados por este tipo de representação1 Comumente, na prática em

sala de aula, os alunos, a partir da representação al'&rica de uma função, constroem uma

ta&ela de !alores e finalmente traçam, no plano cartesiano, o 'ráfico da função1 No entanto, a

passa'em in!ersa deste processo não e)plorada1As ta&elas constituem um timo instrumento para o estudo das relaç@es funcionais,

uma !e7 %ue seus !alores podem iniciar a in!esti'ação de depend4ncia entre as !ariá!eis,

possi&ilitando a ela&oração de 2ipteses so&re seu comportamento, sua representação 'ráfica

e al'&rica1

3rito e Almeida #.//-$ su'erem, ao introdu7ir o estudo de funç@es, %ue este se?a feito

atra!s de situaç@es %ue e!idenciem seu caráter dinBmico, %ue permitam ao aluno

compreender o conceito de !ariá!el, e)pressar a relação de depend4ncia entre duas !ariá!eis eidentificar entre elas a !ariá!el dependente e independente1

A fim de 'arantir a aprendi7a'em do conceito de função, dos diferentes tipos de


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função e dos conceitos %ue se relacionam com o estudo de funç@es, sur'iram nos ltimos anos

al'umas propostas metodol'icas1 Das propostas atualmente defendidas por especialistas e

pes%uisadores, destacamos a modela'em matemática, a resolução de pro&lemas e a utili7ação

de recursos tecnol'icos1

Na modela'em matemática, as ati!idades são constitu6das por um con?unto de aç@es,

desen!ol!idas a partir de uma situação+pro&lema, onde os alunos permanecem ati!amente

en!ol!idos durante todo o processo1 3rito e Almeida #.//-$, a partir de uma pes%uisa com

alunos do ensino mdio, desen!ol!eram situaç@es de modela'em para o ensino de funç@es1

"e'undo os autores, os estudantes perce&eram o !alor instrumental da matemática e

constru6ram uma !isão dinBmica do conceito de função, perce&endo+o no seu aspecto

!ariacional, como relação entre !ariá!eis e não somente como um con?unto de pares

ordenados1

A resolução de pro&lemas possi&ilita aos alunos dedicarem+se, de maneira

independente, na &usca de ideias e estrat'ias para alcançar a solução ade%uada1 CBndido

#.///$, ao pes%uisar so&re a resolução de pro&lemas relacionado ao estudo de funç@es, afirma

%ue esta metodolo'ia le!ou os alunos a pensar so&re as situaç@es a partir de seus prprios

con2ecimentos e possi&ilitou sua participação na construção do conceito de função de

maneira si'nificati!a e conte)tuali7ada1

"ou7a e "il!a #.//K$ pes%uisaram a contri&uição da informática no ensino de funç@es

e destacam %ue os computadores, alm de facilitar o es&oço de 'ráficos funcionais,

possi&ilitaram maior escol2a das funç@es a serem tra&al2adas1 Alm disso, os autores afirmam

%ue a utili7ação de softEares incenti!ou os alunos a descre!er os fatos o&ser!ados,

estimulando a representação !er&al, a comparação direta dos 'ráficos com os resultados

al'&ricos e interaç@es mais intensas e afeti!as entre aluno+aluno e aluno+professor1


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) A TRAJET?RIA NA ELABORAÇÃO DA PROPOSTA

)4+ N1&& -1!$7N", .//K$1Os dados da referente pes%uisa foram o&tidos atra!s de entre!istas e aplicação de

al'umas ati!idades so&re o estudo de funç@es, desen!ol!idas com alunos do ensino mdio de

duas escolas estaduais %ue ?á 2a!iam estudado este assunto em anos anteriores1

Atra!s da análise dos dados, !erificou+se %ue os alunos não tin2am assimilado 'rande

parte dos con2ecimentos referentes ao estudo de funç@es e demonstraram dificuldade em

e)pressar suas ideias so&re o %ue representa uma função e %ual o seu si'nificado1

Diante desta realidade, nos sentimos desconfortá!eis em relação a nosso modo de

ensinar1 Aps !árias leituras, perce&emos %ue nossas constataç@es tam&m eram comuns a

outras pes%uisas reali7adas a respeito dos con2ecimentos de alunos e tam&m de professores

so&re o estudo de funç@es1# [FF>_ PACCA, .///_ CO"TA, A1, .//_ MAR>AN>, .//_

CO"TA, C1, .//$

Os resultados da pes%uisa e os estudos reali7ados ser!iram para um repensar mais

cuidadoso de nossa prática1 Afinal um tema tão importante da Matemática não esta!a sendo

de!idamente aprendido pelos alunos, alunos estes a!aliados e apro!ados nesta disciplina1

Acreditando %ue o tra&al2o reali7ado não poderia ser!ir apenas como mais um

dia'nstico do ensino da matemática, nos sentimos moti!ados a ela&orar uma proposta para a

introdução do estudo de funç@es para alunos do ensino mdio1 Portanto, a partir das

constataç@es da pes%uisa anteriormente reali7ada, ela&oramos o presente tra&al2o a fim de

proporcionar aos cole'as professores uma no!a alternati!a para o ensino de funç@es1

)4) A 6%e- &e 0e&!$n #11&! e 01& /1n>e/$-en!1& #7$1& ne/e&&.#$1&

Nossa proposta foi ela&orada para alunos do ano do ensino mdio1 (sta escol2a se


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?ustifica pelo fato do estudo de funç@es estar presente no contedo pro'ramático desta srie e

ser tra&al2o de maneira mais sistemática1

=eralmente, durante o ensino fundamental e mais especificamente no ltimo ano desta

etapa, os alunos t4m contato com al'um con2ecimento de funç@es, mesmo %ue de forma

superficial1 No ensino mdio, o aprendi7ado de funç@es !isa ao aprofundamento e o estudo

mais detal2ado deste assunto1 Alm disso, &oa parte de todo contedo desen!ol!ido nesta

srie relati!o :s funç@es1 Nesta etapa, os alunos começam a ter contato com uma lin'ua'em

mais sim&lica e formal, presente nas definiç@es e teoremas1 O n6!el de a&stração tam&m

maior e os alunos de!em mo&ili7ar !ários sa&eres na resolução de pro&lemas cada !e7 mais

comple)os e na aprendi7a'em de no!os con2ecimentos1

Desta forma, esta proposta foi desen!ol!ida especialmente para atender a estes alunos,

%ue a partir deste momento serão cada !e7 mais desafiados e necessitarão de uma &oa &ase

so&re o estudo de funç@es1

Todas as ati!idades poderão ser desen!ol!idas com o m6nimo de con2ecimento so&re

funç@es, %ue possi!elmente o aluno ten2a ad%uirido no ensino fundamental1 Alm disso, os

con2ecimentos mais importantes são relacionados aos con?untos numricos, representação de

pontos no plano cartesiano e re'ras &ásicas de ál'e&ra1

Juanto aos con2ecimentos referentes aos recursos tecnol'icos, sa&er manusear o

mouse, a&rir e fec2ar ?anelas, são suficientes para e)ecutar os comandos necessários para

desen!ol!er as ati!idades1 ]á as principais ferramentas dos softEares poderão ser facilmente

aprendidas antes de iniciadas as ati!idades ou mesmo durante estas, e de!erão ser

apresentadas pelo professor %ue irá aplicá+las1

O professor, por sua !e7, de!erá aprender os principais comandos destes softEares, o

%ue poderá ser feito atra!s da leitura de al'uns tutoriais dispon6!eis na internet e %ue serãoreferenciados mais adiante1

)4, N1&&1& 1Ke!$71&' e&/1(>& -e!101(:"$/& e 1#$en!


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aluno acompan2a passi!o a transmissão dos contedos matemáticos pelo professor, ainda são

&astante utili7adas no ensino da matemática1 Comumente, esta prática se'ue sempre a mesma

se%u4ncia< o professor passa a teoria no %uadro, dá al'uns e)emplos de aplicação e fa7 al'uns

e)erc6cios modelo_ o aluno, por sua !e7, os copia e reprodu7, atra!s de e)erc6cios, a%uilo %ue

l2e foi ensinado1 Desta forma, o professor passa aos alunos uma 'rande %uantidade de

informaç@es, em um curto espaço de tempo, de forma o&?eti!a e rápida1 Reforçando esta

ideia, DAm&rsio #.//0$ destaca a necessidade de su&stituir o ensino %ue priori7a a

e)posição, onde o aluno rece&e passi!amente o contedo, não estimulado : participação e

conce&e a Matemática como um produto aca&ado1

Neste tipo de metodolo'ia, o professor pode não perce&er as dificuldades dos alunos

em relação : compreensão dos conceitos tra&al2ados em sala de aula, uma !e7 %ue resol!er

corretamente os e)erc6cios atra!s da aplicação de frmulas ou memori7ação de macetes não

'arantia de aprendi7a'em1

Nesta perspecti!a, &uscamos encontrar nas atuais tend4ncias metodol'icas de ensino

da matemática, %ue se op@em ao ensino tradicional e conteudista, refer4ncias para ela&orar

uma proposta !isando tornar o ensino de funç@es mais si'nificati!o e compreens6!el aos

alunos1 Alm disso, pretendemos fa7er com %ue o aluno realmente participe do processo de

construção do seu con2ecimento, tendo a oportunidade de refletir, inda'ar, discutir, formular

2ipteses e e)por suas ideias em relação ao o&?eto de estudo1 (ncontramos nas metodolo'ias

de ensino, atra!s da resolução de pro&lemas, a utili7ação de tecnolo'ias aliadas :

conte)tuali7ação e a interdisciplinaridade, uma possi&ilidade para o ensino de funç@es1

A partir dos resultados de al'umas pes%uisas, da reali7ação de uma re!isão terica

so&re o estudo de funç@es e dos estudos oportuni7ados por este curso de mestrado, delineamos

al'uns aspectos %ue ?ul'amos importantes e %ue de!er6amos nos ater na ela&oração dasati!idades1

O primeiro aspecto di7 respeito ao prprio conceito de função1 Nossos estudos

indicam %ue a compreensão deste conceito determinante para o aprendi7ado dos demais

conceitos matemáticos relacionados ao estudo de funç@es1

"e'undo nossa pes%uisa, os alunos XU111W t4m uma !isão estática do conceito de função,

tendo a ideia de %ue uma função s tem ra7ão de e)istir na prpria matemática, U111W ficando

e!idente %ue os alunos associam a função a uma e%uação ou frmula, cu?o o&?eti!o desco&rir os !alores de ) e H para construir 'ráfico1Y #MA=AR>N", .//K, p1 K.+K0$1


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O&ser!amos %ue os alunos não desen!ol!em a noção de !ariação e depend4ncia, %ue

a &ase do conceito de função, e não perce&em a importBncia deste conceito fora do Bm&ito

matemático1 Outras pes%uisas tam&m destacam %ue os alunos apresentam defici4ncias no

campo conceitual de função #O8>9(>RA, L, p1 -L_ MAR>AN>, .//, p1 _ CO"TA,

.//, p1 -.+-0$1

Apesar dos alunos in!esti'ados relacionarem o conceito de função : construção de

'ráficos, %uando solicitados a representar uma função, descre!em primeiro sua representação

al'&rica, 'eralmente fa7endo o uso de monmios ou polinmios1 Para estes alunos, a

representação 'ráfica de uma função esta&elecida como o produto final de um processo %ue

se'ue a se'uinte dinBmica< função na forma al'&rica ` construção de uma ta&ela de !alores

correspondentes ̀ representação 'ráfica no plano cartesiano1

9erificamos %ue na representação al'&rica os alunos tam&m não esta&elecem a

relação entre as !ariá!eis e demonstram dificuldades em diferenciar e%uação de uma função1

Para eles, %ual%uer e%uação, desde %ue ten2a duas letras, um e)emplo de função1

#MA=AR>N", .//K, p1 ._ MAR>AN>, .//, p1 -/_ [FF>, .//, p1 -$

(m relação : representação 'ráfica, !erificamos, em nossa pes%uisa #MA=AR>N",

.//K$, %ue os alunos demonstram não ter clare7a do %ue define uma função e das condiç@es

necessárias para %ue um 'ráfico represente uma relação funcional #p1 K$1 ]á em relação :

construção de 'ráficos de funç@es afins e %uadráticas, os alunos procedem sempre da mesma

forma< Xconstroem uma ta&ela, atri&uindo a ) os !alores +., +, / , e ._ su&stituem a !ariá!el

) por esses !alores, encontrando, assim, o !alor de H_ marcam no plano cartesiano os pontos

encontrados e, finalmente, traçam o 'ráfico da função1Y #p1 -+-.$1

"o&re estes aspectos, o&ser!amos %ue o estudo dos 'ráficos de relaç@es funcionais não

foi potencialmente e)plorado e parece não ter contri&u6do para a compreensão do conceito defunção1 Para Trindade e Moretti

O estudo das representaç@es 'ráficas de funç@es , tam&m, de fundamentalimportBncia para o aprendi7ado desse conceito1U111W e a maneira mais ade%uada paraapresentar informaç@es so&re linearidade, inter!alos de crescimento edecrescimento, má)imos e m6nimos, ta)a de !ariação, re'ularidade, continuidade1U111WAprendendo 'ráficos, eles se preparam para relacionar di!ersos tipos de funç@es1#.///, p1 -$

A partir de tais constataç@es, !erificamos %ue o estudo de funç@es de!e res'atar os

componentes de !ariação e relação de depend4ncia e, alm disso, de!e+se tra&al2ar o conceito


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de função de modo dinBmico, proporcionando aos alunos uma noção intuiti!a de função a

partir de pro&lemas práticos1

A 'rande %uestão para ela&orarmos nossa proposta passou a ser< como tra&al2ar com

os alunos a relação funcional a partir de uma situação prática de modo a en!ol!4+los neste

processo

Pensamos, então, na possi&ilidade de tra&al2ar al'umas %uest@es relacionadas :

fenmenos f6sicos e mais especificamente ao mo!imento dos corpos, uma !e7 %ue este

assunto tam&m estudado no ano do ensino mdio1 >niciar o estudo de funç@es atra!s de

%uest@es da F6sica mostra aos alunos o aspecto dinBmico deste conceito e sua importBncia

para outras áreas do con2ecimento, alm de cumprir com uma das e)pectati!as do ensino

atual %ue a interdisciplinaridade1

Parte da %uestão anterior esta!a respondida1 Falta!a esta&elecer como se daria o

en!ol!imento dos alunos neste processo1 Aps de&ates entre orientador, coorientador e aluno,

decidimos tra&al2ar com o softEare Tracer1

Acreditá!amos %ue, atra!s deste pro'rama, poder6amos en!ol!er os alunos durante

todo o processo de reali7ação das ati!idades e a partir da6 construirmos o conceito de função1

No entanto, t6n2amos ainda %ue definir como o pro'rama iria Xentrar em cenaY1 Pensamos em

propor, inicialmente, uma situação+pro&lema1 A utili7ação do pro'rama sur'e, então, como

uma ferramenta til para a resolução de pro&lemas1 ( estes, por sua !e7, ser!irão como Xpano

de fundoY para a e)ploração dos conceitos &ásicos relacionados ao estudo de função1

Na proposta didática, o Tracer possi&ilitará a análise dos mo!imentos filmados pelos

alunos, fornecendo ta&elas de !alores e di!ersos tipos de 'ráficos relacionando a posição do

m!el no decorrer do tempo e a !elocidade em função do tempo, entre outros1

Desta maneira, su'erimos a análise do mo!imento de uma &ola de t4nis em duassituaç@es< sendo lar'ada de uma determinada altura e arremessada para o alto1 Dependendo do

'rau de en!ol!imento da turma, poderão sur'ir outras ideias em relação : filma'em e ao

o&?eto utili7ado1

As duas primeiras ati!idades t4m &asicamente a intenção de construir, com os alunos,

uma noção intuiti!a de função1 Não nos preocupamos, neste primeiro momento, em

esta&elecer uma definição formal1

O desen!ol!imento da primeira ati!idade com o uso do Tracer tem como o&?eti!osconstruir a noção intuiti!a de função, %ue se dará atra!s da relação de depend4ncia entre as


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!ariá!eis_ introdu7ir seu aspecto !ariacional atra!s da análise 'ráfica_ estudar aspectos

'ráficos de uma função, como crescimento e decrescimento, a partir das caracter6sticas do

mo!imento estudado1

Para a reali7ação da se'unda ati!idade, propomos outra situação+pro&lema1 Nesta

situação, a análise do mo!imento do o&?eto terá como o&?eti!os< a&ordar no!amente a noção

de função, e!idenciando a relação entre as !ariá!eis dependentes e independentes_ introdu7ir a

ideia de função afim e %uadrática_ identificar diferentes maneiras de representar uma relação

funcional, atra!s de 'ráficos e ta&elas, mostrando a possi&ilidade de transitar entre elas_ a

partir dos aspectos 'ráficos fa7er o aluno perce&er as diferenças entre uma função afim e

%uadrática_ le!ar o aluno a con?ecturar a representação 'ráfica de determinados mo!imentos_

atra!s da análise 'ráfica, introdu7ir os conceitos de ponto má)imo e ponto m6nimo, inter!alo

de crescimento e decrescimento, simetria da pará&ola_ e)plorar o conceito de função in?eti!a a

partir da análise do comportamento das funç@es afim e %uadrática1

Para dar continuidade ao estudo de funç@es afins e %uadráticas, decidimos fa7er uso de

mais um recurso computacional, o softEare =eo=e&ra1 Nossa intenção para as pr)imas

ati!idades tra&al2ar mais especificamente com estes dois tipos de funç@es, suas definiç@es,

caracter6sticas, formas de representação, entre outros elementos %ue ?ul'amos importantes1

A terceira ati!idade será desen!ol!ida com o intuito de e)plorar e introdu7ir o estudo

da função afim1 Para tanto, propomos inicialmente duas situaç@es+pro&lema1 Acreditamos %ue

situaç@es mais simples, onde os alunos podem facilmente ima'inar a cena, o primeiro passo

para en!ol!4+los na ati!idade1 Juando um pro&lema muito comple)o apresentado aos

alunos, &em comum %ue 'rande parte deles desista de resol!4+lo, uma !e7 %ue não

conse'uem se%uer ima'inar a situação1

Nos dois primeiros pro&lemas, os alunos terão a oportunidade de discutir so&re arepresentação 'ráfica das situaç@es e desen!ol!er desta forma sua criati!id

dissertao renata magarinus

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