แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 1
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ใชประกอบการจดกจกรรมการเรยน
การสอนรายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค32202 ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ในการใช
แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน ครผสอนควรปฏบตตามขนตอน ตอไปน
1. ศกษาแบบฝกทกษะและท าความเขาใจกบเนอหาสาระกอนน าไปใชจดกจกรรม
การเรยนสอน
2. ชแจงขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรนใหนกเรยนเขาใจและ
เนนย าความซอสตยไมดเฉลยกอน หรอไมลอกเพอน เพอใหนกเรยนเขาใจบทบาทตวเองใน
การเรยนโดยใชแบบฝกทกษะ
3. ทดสอบความรกอนเรยนของนกเรยนโดยการท าแบบทดสอบกอนเรยน เพอ
ประเมนความรพนฐาน ของนกเรยน
4. แจงผลการเรยนรและจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ
5. ด าเนนการสอนตามกจกรรมการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน
ควบคกบแผนการจดการเรยนร
6. สงเกต ดแล ชวยใหค าแนะน าแกนกเรยนเมอมปญหามขอสงสยซกถาม
7. เมอนกเรยนท าแบบฝกทกษะเสรจแลว ใหเปลยนกนตรวจค าตอบภายในกลม
จากเฉลยแบบฝกทกษะ
8. ประเมนผลการเรยนของนกเรยนอยางตอเนองและใหแรงเสรมในการปฏบต
กจกรรมของนกเรยน
9. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน เมอศกษาเนอหาจากใบความรและท า
แบบฝกทกษะเสรจสน เพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน
ค าชแจงการใชแบบฝกส าหรบคร
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 2
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตรเรองจ านวนเชงซอนใชประกอบการจดกจกรรมการเรยน
การสอนรายวชาคณตศาสตร รหสวชา ค32202 ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ในการใช
แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนนกเรยนควรปฏบตตามขนตอนตอไปน
1. อานค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะส าหรบนกเรยนใหเขาใจกอนศกษา
2. ท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอประเมนความรพนฐานของนกเรยน
3. ศกษาเนอหาในใบความรและท ากจกรรมในแบบฝกทกษะดวยตนเองถาท า
แบบฝกทกษะไมไดใหกลบไปศกษาเนอหาใหมอกครงหรอปรกษาครผสอน
4. ท าแบบทดสอบหลงเรยนเมอศกษาเนอหาจากใบความรและท าแบบฝกทกษะ
เสรจสนเพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน
5. การท ากจกรรมในแบบฝกทกษะแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนให
นกเรยนตงใจท าและมความซอสตยโดยไมเปดดเฉลยกอน
ค าชแจงการใชแบบฝกส าหรบนกเรยน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 3
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
จดประสงคการเรยนร
เมอเรยนจบเรองนแลวนกเรยนสามารถ
1. บอกไดวาคอนดบ (a, b) เปนจ านวนเชงซอน
2.เขยนจ านวนเชงซอน (a, b) ในรป a + bi และเขยน
จ านวนเชงซอน a + bi ในรป (a, b)ได
3. ระบสวนจรงและสวนจนตภาพของจ านวนเชงซอน
ทก าหนดใหได
4. ค านวณจ านวนเชงซอนทอยในรปของ ki เมอ k
เปนจ านวนเตมบวกได
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 4
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
1. ขอใด ไม ถกตอง
ก. 2 4 = 4i ข. 3 16 = 12i
ค. 20 = 2 5 i ง. 4 12 = 24i
2. 813 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 3 – 9i ข. 3 + 9i
ค. -27i ง. 27i
3. ขอใดไมใชจ านวนเชงซอน
ก. (2, 3 ) ข. (0, 1)
ค. (5, 9- ) ง. (2
3,π )
4. ขอใด ไม ถกตอง
ก. 5 ไมเปนจ านวนเชงซอน
ข. คาของ i ในจ านวนเชงซอน คอ 1
ค. จ านวนเชงซอน (1, 3) มสวนจรงเปน 1 และสวนจนตภาพเปน 3
ง. 2 + 6i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 6
แบบทดสอบกอนเรยน
ค าชแจง ใหนกเรยนอานค าถามตอไปนทละขอ แลวกาเครองหมาย ลงในชองใตตวอกษร
ก ข ค และ ง ทนกเรยนเหนวาถกตองทสดเพยงขอเดยว
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 5
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
5. คาของ i2520 + i2553 + i2012 เทากบจ านวนในขอใด
ก. 1 ข. i – 1
ค. 2 + i ง. 3
6. จ านวนเชงซอน (–8, –7) เขยนใหอยในรป a + bi ไดดงขอใด
ก. 8 + 7i ข. 8 – 7i
ค. –8 – 7i ง. –8 + 7i
7. คาของ i + i2 + i3 + i4 + … + i2501 + i2502 เทากบจ านวนในขอใด
ก. 1 ข. i – 1
ค. 2 + i ง. 3
8. 5 + 225 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 5 – 15i ข. 5 + 15i
ค. -20i ง. 20i
9. 50 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 50i ข. 5 + 10i
ค. 25i ง. 2i5
10. ขอใดมคาเปนจ านวนจรง
ก. 9i6 ข. 2i11
ค. 4i17 ง. 7 – 5i
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 6
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ในระบบจ านวนจรงสมการพหนามบางสมการ เชน x2 + 1 = 0 ไมมค าตอบเนองจาก
ก าลงสองของจ านวนใดๆจะมากกวาหรอเทากบศนยเสมอจงไมมจ านวนจรงใดเปนค าตอบของ
สมการแตนกคณตศาสตรตองการสรางระบบจ านวนซงขยายออกไปเพอใหหาค าตอบของ
สมการพหนามไดเสมอและเรยกจ านวนในระบบทสรางขนใหมนวา “จ านวนเชงซอน”
(Complex number) ซงเซตของจ านวนในระบบใหมนตองเปนเซตทมเซตของจ านวนจรงเปน
สบเซต
บทนยาม ส าหรบจ านวนเชงซอน z = (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรง
เรยก a วาสวนจรง( real part ) ของ Z และแทนดวย Re(z)
เรยก b วาสวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ Z และแทนดวย Im(z)
จากบทนยามนอาจกลาวไดวาจ านวนจรงกคอจ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปน
ศนยจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปนศนยแตสวนจนตภาพไมใชศนยเรยกวาจ านวนจนตภาพแท
(purely imaginary number)
ใบความรท 1.1
เรอง ความหมายของจ านวนเชงซอน
บทนยาม จ านวนเชงซอนคอคอนดบ (a, b) เมอ a และ b เปนจ านวน
จรงและก าหนดการเทากนการบวกและการคณของจ านวนเชงซอนดงน
ส าหรบจ านวนเชงซอน (a, b) และ (c, d)
1. การเทากน (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d
2. การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)
3. การคณ (a, b) (c, d) = (ac - bd , ad + bc)
อาจแทน (a, b) (c, d) ดวย (a, b)(c, d) กได
เซตของจ านวนเชงซอนเขยนแทนดวยสญลกษณ C
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 7
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
จ านวนเชงซอนทอยในรป (0, b) สามารถเขยนในรปหนวยจนตภาพไดเปน bi
จ านวนเชงซอนทอยในรป (a, b) เขยนในรปหนวยจนตภาพไดเปน a + bi
สามารถสรปลกษณะตางๆของจ านวนเชงซอน z = (a, b) = a + bi ไดดงน
1. ถา a = 0 และ b ≠ 0 จะได z = bi ซงเปนจ านวนจนตภาพและเรยก
จ านวนเชงซอนนวาจานวนจนตภาพแท
2. ถา a ≠ 0 และ b = 0 จะได z = a ซงเปนจ านวนจรง a นนคอจ านวนจรงทก
จ านวนเปนจ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปน 0
3. ถา a ≠ 0 และ b ≠ 0 จะได z = a + bi ซงเปนจ านวนเชงซอนทมทงสวนจรง
และสวนจนตภาพ
1. จ านวนเชงซอน (4, 1) คอ 4 + i
2. จ านวนเชงซอน (0, –9) คอ –9i
3. จ านวนเชงซอน (–3, 8) คอ –3 + 8i
4. จ านวนเชงซอน (–4, –3) คอ –4 – 3i
5. จ านวนเชงซอน (5, –1) คอ 5 – i
1. จ านวนเชงซอน (5, 8) มสวนจรงRe(z) คอ 5 สวนจนตภาพIm(z) คอ 8
2. จ านวนเชงซอน (8, –2) มสวนจรงRe(z) คอ 8 สวนจนตภาพIm(z) คอ –2
3. จ านวนเชงซอน –7 – 4i มสวนจรงRe(z) คอ –7 สวนจนตภาพIm(z) คอ –4
4. จ านวนเชงซอน 1 – 9i มสวนจรงRe(z) คอ 1 สวนจนตภาพIm(z) คอ –9
5. จ านวนเชงซอน 5 + 3i มสวนจรงRe(z) คอ 5 สวนจนตภาพIm(z) คอ 3
การเขยนจ านวนเชงซอนในรปของหนวยจนตภาพ
ตวอยางท 1 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยรปของ a + bi
ตวอยางท 2 จงบอกสวนจรง Re(z) และสวนจนตภาพIm(z) ของจ านวนเชงซอนตอไปน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 8
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ โจทย จ านวนเชงซอน
เหตผล เปน ไมเปน
1 (5, 8)
2 ( 3 , 1)
3 (-7, 25)
4 (0 , π )
5 (-2.5, 4.8)
6 (-1 , 2 )
7 (-5 , 5 )
8 ( 3 + 5, 2)
9 (1 , 4 )
10 ( 9 , 3
2
1)
สรป จ านวนเชงซอน(Complex number) คอ
แบบฝกทกษะท 1.1
ค าชแจง จงพจารณาคอนดบในตารางตอไปนแลวตอบค าถาม
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 9
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 (6, -3)
2 (4, 3 )
3 (0, 8)
4 (-5, 0)
5 (2, π )
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 12
2 i3
3 -9i
4 4 + 3i
5 -2 – 2i
สรป จ านวนเชงซอน (a, b) สามารถเขยนแทนดวย …………………..
เรยก ………… วาสวนจรง( real part ) ของ z และแทนดวย Re(z)
เรยก ………… วาสวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ z และแทนดวยIm(z)
แบบฝกทกษะท 1.2
ตอนท 1 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ a + bi
ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ (a + b)
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 10
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 3 + 0i (3, 0)
2 (–2, 0)
3 9 + 0i
4 –5 – i
5 –4 + 6i (–4, 6)
6 (–2 , –3)
7 3 + i
8 8i
9 (0, -7)
10 (0, -1)
สรป จ านวนเชงซอนทอยในรปของ (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi
เรยก a วา................................... เรยก b วา........................................
1. ถา b = 0 จะได (a, 0) เขยนแทนดวย a เรยกจ านวนเชงซอนนวา
จ านวน........................... (ดงปรากฏในขอ ....................)
2. ถา b 0 และ a = 0 จะได (0, b) เขยนแทนดวย bi เรยกจ านวนเชงซอนนวา
จ านวน........................... (ดงปรากฏในขอ .............)
แบบฝกทกษะท 1.3
ค าชแจง ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 11
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
1. (3, 8)
2. (i, 8)
3. (0, 2 )
4. (–5, π )
5. (- 2 , -3i)
6. 9 + 3 i
7. -6 + 5
8. -8i
9. 2
1+
3
2i
10. (4, 25)
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 (–3, –5)
2 (–7, 6)
3 2 + 3i
4 4i
5 15
แบบฝกทกษะท 1.4
ตอนท 2 ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง
ตอนท 1 จงพจารณาจานวนตอไปนแลวขดเครองหมาย หนาขอทเปนจ านวนเชงซอนหรอ
ขดเครองหมาย หนาขอทไมเปนจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 12
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
เมอ
i = 1
i2
= 21 = -1
i3 = i2i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i9 = (i4)2i = (-1)2i = i
i14 = (i4)3i2 = i2 = -1
i23 = (i4)5i3 = i3 = -i
i24 = (i4)6 = 16 = 1
สรป ถา n เปนจานวนเตมบวกจะได
in = 1
i4n+1 = i
i4n+2 = -1
i4n+3 = -i
ใบความรท 1.2
เรอง หนวยจนตภาพ (Imaginary unit)
บทนยาม จ านวนเชงซอน (0,1) เขยนแทนดวยสญลกษณ 1 หรอ i
โดยท i2 = – 1 เรยก i วาหนวยจนตภาพ ( imaginary unit )
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 13
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
1. i12 มคาเทากบ 1
เนองจากจดในรป i4(3)+0 หรอ 4
12 จะได 3 เหลอเศษ 0
2. i17 มคาเทากบ 1
เนองจากจดในรป i4(4)+1 หรอ 4
17 จะได 4 เหลอเศษ 1
3. i22 มคาเทากบ 1
เนองจากจดในรป i4(5)+2 หรอ 4
12 จะได 5 เหลอเศษ 2
4. i23 มคาเทากบ 1
เนองจากจดในรป i4(5)+3 หรอ 4
23 จะได 5 เหลอเศษ 3
1. 81 = 181
= i99 (จาก 1 = i)
= 9i
2. 3 + 50 = 3 + 150
= 3 + i552 (จาก 1 = i)
= 3 + 5 2 i
การเขยนจ านวนเชงซอนในรปของหนวยจนตภาพ
ตวอยางท 1 จงหาคาของ ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน
ตวอยางท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนใหอยในรปหนวยจนตภาพ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 14
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ ik จดรป ik ใหอยในรป i4n+r
เมอ r คอเศษและ n I+ ผลลพธ
1 i8 i4(2) 1
2 i13 i4(3)+1 i
3 i26 i4(6)+2 -1
4 i31
5 i32
6 i43
7 i21
8 i38
9 i99
10 i100
สรป คาของ ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกจะมคาแตกตางกนเพยง 4 คาเทานน
คอ 1 , i , –1 , –i ทงนขนอยกบคาของ k เนองจากเมอ k หารดวย 4 จะได
k = 4n + r โดยทr = 0 , 1 , 2 , 3 เทานน( r คอเศษ)ดงนน
คาของ ik หาไดจาก
1. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 0 ik = ………….
2. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1 ik = ………….
3. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2 ik = ………….
4. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 ik = ………….
แบบฝกทกษะท 1.5
ตอนท 1 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 15
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ ik วธท า (4
k) เศษ ผลลพธ
1 i20
2 i78
3 i99
4 i248
5 i555
6 i561
7 i1992
8 i2802
9 i4303
10 i5513
ตอนท 2 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 16
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
1. 9
วธท า 9 =
=
=
แต 1 = i
ดงนน 9 =
2. 64
วธท า 64 =
=
=
แต 1 = i
ดงนน 64 =
3. 252
วธท า 252 =
=
=
แต 1 = i
ดงนน 252 =
แบบฝกทกษะท 1.6
ตอนท จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 17
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวนเชงซอน วธท า เขยนใหอยในรป
หนวยจนตภาพ
1 4
2 50
3 100
4 121
5 83
6 32
7 54-
8 2-7
9 495
10
3
29
ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 18
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวน
ชนดของจ านวน
จ านวน
เชงซอน
จ านวนจนต
ภาพแท
จ านวน
จรง
จ านวน
ตรรกยะ
จ านวน
อตรรกยะ
จ านวน
เตม
1 3
2 -9
3 5
4 -6i
5 3 + 2i
6 0
7 2
8 4
9 π
10 -2 - i
1. (-1, 9 ) ไมเปนจ านวนเชงซอน 9
2. 3 ไมเปนจ านวนเชงซอน
3. คาของ i ในจ านวนเชงซอนแทนคารากทสองของ 1
4. 5 – 7iเขยนเปนจ านวนเชงซอนในรปคอนดบคอจ านวนเชงซอน (5, 7)
5. จ านวนเชงซอน (a, b) และ b = 0 นนคอจ านวนจรง a
6. 2 + 4i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 4
แบบฝกทกษะท 1.7
ค าชแจง จงขดเครองหมาย ลงในชองวางตามชนดของจ านวนนนทก าหนดให
ตอนท 2 จงขดเครองหมาย หนาขอทถกตองและขดเครองหมาย หนาขอทผด
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 19
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
จ านวนเตม จ านวนตรรกยะ จ านวนเชงซอน
จ านวนจนตภาพ จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม
จ านวนจรง จ านวนเตมลบ จ านวนเตมบวก ศนย
โครงสรางของระบบจ านวนเชงซอน
ตอนท 3 จงเตมค าในชองวางเพอสรปแผนผงแสดงความสมพนธของโครงสรางจ านวน
เชงซอนใหถกตองโดยเลอกจากค าตอไปน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
1. ขอใดไมใชจ านวนเชงซอน
ก. (2, 3 ) ข. (0, 1)
ค. (5, 9- ) ง. (2
3,π )
2. จ านวนเชงซอน (–8, –7) เขยนใหอยในรป a + bi ไดดงขอใด
ก. 8 + 7i ข. 8 – 7i
ค. –8 – 7i ง. –8 + 7i
3. ขอใดมคาเปนจ านวนจรง
ก. 9i6 ข. 2i11
ค. 4i17 ง. 7 – 5i
4. ขอใด ไม ถกตอง
ก. 2 4 = 4i ข. 3 16 = 12i
ค. 20 = 2 5 i ง. 4 12 = 24i
5. ขอใด ไม ถกตอง
ก. 5 ไมเปนจ านวนเชงซอน
ข. คาของ i ในจ านวนเชงซอน คอ 1
ค. จ านวนเชงซอน (1, 3) มสวนจรงเปน 1 และสวนจนตภาพเปน 3
ง. 2 + 6i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 6
แบบทดสอบหลงเรยน
ค าชแจง ใหนกเรยนอานค าถามตอไปนทละขอ แลวกาเครองหมาย ลงในชองใตตวอกษร
ก ข ค และ ง ทนกเรยนเหนวาถกตองทสดเพยงขอเดยว
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 21
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
6. 5 + 225 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 5 – 15i ข. 5 + 15i
ค. -20i ง. 20i
7. 813 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 3 – 9i ข. 3 + 9i
ค. -27i ง. 27i
8. 50 เขยนใหอยในรปของหนวยจนตภาพไดอยางไร ก. 50i ข. 5 + 10i
ค. 25i ง. 2i5
9. คาของ i2520 + i2553 + i2012 เทากบจ านวนในขอใด
ก. 1 ข. i – 1
ค. 2 + i ง. 3
10. คาของ i + i2 + i3 + i4 + … + i2501 + i2502 เทากบจ านวนในขอใด
ก. 1 ข. i – 1
ค. 2 + i ง. 3
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 22
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอท แบบทดสอบกอนเรยน
ขอท แบบทดสอบหลงเรยน
ก ข ค ง ก ข ค ง
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
กระดาษค าตอบ
ชอ นามสกล ชน เลขท
เตม 10 คะแนน
ได ..................... คะแนน
เตม 10 คะแนน
ได ..................... คะแนน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 23
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ โจทย จ านวนเชงซอน
เหตผล เปน ไมเปน
1 (5, 8) 5 และ 8 R
2 ( 3 , 1) 3 R
3 (-7, 25) -7 และ 25 R
4 (0 , π ) 0 และ π R
5 (-2.5, 4.8) -2.5 และ 4.8 R
6 (-1 , 2 ) 2 R
7 (-5 , 5 ) -5 และ 5 R
8 ( 3 + 5, 2) 3 + 5 และ 2 R
9 (1 , 4 ) 4 R
10 ( 9 , 3
2
1) 9 R
สรป จ านวนเชงซอน(Complex number) คอ คอนดบ (a,b) เมอ a และ b เปนจ านวนจรงใดๆ
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1
ค าชแจง จงพจารณาคอนดบในตารางตอไปนแลวตอบค าถาม
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 24
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 (6, -3) 6 – 3i 6 -3
2 (4, 3 ) 4 + 3 i 4 3
3 (0, 8) 8i 0 8
4 (-5, 0) -5 + 0i -5 0
5 (2, π ) 2 + π i 2 sπ
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 12 (12, 0) 12 0
2 i3 (0, 5 ) 0 5
3 -9i (0, -9) 0 -9
4 4 + 3i (4, 3) 4 3
5 -2 – 2i (-2, -2) -2 -2
สรป จ านวนเชงซอน (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi
เรยก a วาสวนจรง( real part ) ของ z และแทนดวย Re(z)
เรยก b วาสวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ z และแทนดวยIm(z)
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2
ตอนท 1 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ a + bi
ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของ (a + b)
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 25
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 3 + 0i (3, 0) 3 0
2 -2 + 0i (–2, 0) -2 0
3 9 + 0i (9, 0) 9 0
4 –5 – i (-5, -1) -5 -1
5 –4 + 6i (–4, 6) -4 6
6 -2 – 3i (–2 , –3) 2 -3
7 3 + i ( 3 , i) 3 + 11
8 8i (0, 8) 0 8
9 -7i (0, -7) 0 -7
10 -i (0, -1) 0 -1
สรป จ านวนเชงซอนทอยในรปของ (a, b) สามารถเขยนแทนดวย a + bi
เรยก a วาสวนจรง เรยก b วาสวนจนตภาพ
1. ถา b = 0 จะได (a, 0) เขยนแทนดวย a เรยกจ านวนเชงซอนนวา
จ านวนจรง a (ดงปรากฏในขอ 1 - 3)
2. ถา b 0 และ a = 0 จะได (0, b) เขยนแทนดวย bi เรยกจ านวนเชงซอนนวา
จ านวนจนตภาพแท (ดงปรากฏในขอ 8 - 10)
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.3
ค าชแจง ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 26
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
1. (3, 8)
2. (i, 8)
3. (0, 2 )
4. (–5, π )
5. (- 2 , -3i)
6. 9 + 3 i
7. -6 + 5
8. -8i
9. 2
1+
3
2i
10. (4, 25)
ขอ จ านวนเชงซอนในรป
a+ bi
จ านวนเชงซอนในรป
(a, b)
สวนจรง
a
สวนจนตภาพ
b
1 -3 – 5i (–3, –5) -3 -5
2 -7 + 6i (–7, 6) -7 6
3 2 + 3i ( 2 , 3) 2 + 3
4 4i (0, 4) 0 4
5 15 (15, 0) 15 0
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.4
ตอนท 2 ก าหนดจ านวนเชงซอนตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบทถกตองลงในชองวาง
ตอนท 1 จงพจารณาจานวนตอไปนแลวขดเครองหมาย หนาขอทเปนจ านวนเชงซอนหรอ
ขดเครองหมาย หนาขอทไมเปนจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 27
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ ik จดรป ik ใหอยในรป i4n+r
เมอ r คอเศษและ n I+ ผลลพธ
1 i8 i4(2) 1
2 i13 i4(3)+1 i
3 i26 i4(6)+2 -1
4 i31 i4(7)+3 -i
5 i32 i4(8) 1
6 i43 i4(10)+3 -i
7 i21 i4(5)+1 I
8 i38 i4(9)+2 -1
9 i99 i4(24)+3 -i
10 i100 i4(25) 1
สรป คาของ ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกจะมคาแตกตางกนเพยง 4 คาเทานน
คอ 1 , i , –1 , –i ทงนขนอยกบคาของ k เนองจากเมอ k หารดวย 4 จะได
k = 4n + r โดยทr = 0 , 1 , 2 , 3 เทานน( r คอเศษ)ดงนน
คาของ ik หาไดจาก
1. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 0 ik = 1
2. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1 ik = i
3. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2 ik = 1
4. เมอ k หารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 ik = i
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.5
ตอนท 1 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 28
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ ik วธท า (4
k) เศษ ผลลพธ
1 i20
4
20 0 1
2 i78 4
78 2 -1
3 i99 4
99 3 -i
4 i248 4
248 0 1
5 i555 4
555 3 -i
6 i561 4
561 1 i
7 i1992 4
1992 0 1
8 i2802 4
2802 2 -1
9 i4303 4
4303 3 -i
10 i5513 4
5513 1 i
ตอนท 2 จงหาคา ik เมอ k เปนจ านวนเตมบวกตอไปน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 29
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
1. 9
วธท า 9 = 1)(9
= 133
= 1-3
แต 1 = i
ดงนน 9 = 3i
2. 64
วธท า 64 = 1)(64
= 188
= 1-8
แต 1 = i
ดงนน 64 = 8i
3. 252
วธท า 252 = 1)(252
= 1552
= 1-52
แต 1 = i
ดงนน 252 = 10i
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.6
ตอนท จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 30
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวนเชงซอน วธท า เขยนใหอยในรป
หนวยจนตภาพ
1 4 122 2i
2 50 1552 5 2 i
3 100 11010 10i
4 121 11111 11i
5 83 12223 6 2 i
6 32 132 2 + 3 i
7 54- 154- -4 + 5 i
8 2-7 127 7 - 2 i
9 495 1775 5 +7i
10
3
29 133
32
2i
ตอนท 2 จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปของหนวยจนตภาพ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 31
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
ขอ จ านวน
ชนดของจ านวน
จ านวน
เชงซอน
จ านวนจนต
ภาพแท
จ านวน
จรง
จ านวน
ตรรกยะ
จ านวน
อตรรกยะ
จ านวน
เตม
1 3
2 -9
3 5
4 -6i
5 3 + 2i
6 0
7 2
8 4
9 π
10 -2 - i
1. (-1, 9 ) ไมเปนจ านวนเชงซอน 9
2. 3 ไมเปนจ านวนเชงซอน
3. คาของ i ในจ านวนเชงซอนแทนคารากทสองของ 1
4. 5 – 7iเขยนเปนจ านวนเชงซอนในรปคอนดบคอจ านวนเชงซอน (5, 7)
5. จ านวนเชงซอน (a, b) และ b = 0 นนคอจ านวนจรง a
6. 2 + 4i เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปน 2 และสวนจนตภาพเปน 4
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.7
ค าชแจง จงขดเครองหมาย ลงในชองวางตามชนดของจ านวนนนทก าหนดให
ตอนท 2 จงขดเครองหมาย หนาขอทถกตองและขดเครองหมาย หนาขอทผด
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 32
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
จ านวนเตม จ านวนตรรกยะ จ านวนเชงซอน
จ านวนจนตภาพ จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม
จ านวนจรง จ านวนเตมลบ จ านวนเตมบวก ศนย
โครงสรางของระบบจ านวนเชงซอน
ตอนท 3 จงเตมค าในชองวางเพอสรปแผนผงแสดงความสมพนธของโครงสรางจ านวน
เชงซอนใหถกตองโดยเลอกจากค าตอไปน
จ านวนเชงซอน
จ านวนจรง จ านวนจนตภาพ
จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ
จ านวนเตม จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม
จ านวนเตมลบ
ศนย
จ านวนเตมบวก
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 33
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
เฉลยแบบทดสอบ
แบบทดสอบ
กอนเรยน
ขอ 1 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 4 ขอ 5
ง ง ค ก ค
ขอ 6 ขอ 7 ขอ 8 ขอ 9 ขอ 10
ค ข ข ง ก
แบบทดสอบ
หลงเรยน
ขอ 1 ขอ 2 ขอ 3 ขอ 4 ขอ 5
ค ค ก ง ก
ขอ 6 ขอ 7 ขอ 8 ขอ 9 ขอ 10
ข ง ง ค ข
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 20
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง จ านวนเชงซอน ชนมธยมศกษาปท 5 34
เลมท 1 การสรางจ านวนเชงซอน
กนกวล อษณกรกล และรณชย มาเจรญทรพย. (2550). แบบฝกหดและประเมนผลการ
เรยนรคณตศาสตรเพมเตม ม.5 เลม 2. กรงเทพฯ : เดอะบคส.
กระทรวงศกษาธการ. (2549). คมอครสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร
กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ : สถาบนสงเสรมการสอน
วทยาศาสตรและเทคโนโลย.
. (2551). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551.
กรงเทพฯ : ชมชนสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.
ทรงวทย สวรรณธาดา. (มปป.). หนงสอเรยนเสรมมาตรฐานแมค คณตศาสตรเพมเตม
ชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ : แมค จ ากด.
สถาบนกวดวชา เดอะเบรน (2548). เอกสารประกอบการเรยน คอรส ENTRANCE สาย
วทย วชาคณตศาสตร 1 เลม 4. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงเรยนเดอะเบรน.
สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2553). หนงสอเรยนรายวชา
เพมเตมคณตศาสตร ม. 4 – 6 เลม 4. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงพมพ
สกสค.
. (2551). คมอครรายวชาเพมเตมคณตศาสตร เลม 4 ชนมธยมศกษาปท
4 – 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษา
ขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : สกสค.
สมย เหลาวานชย และพวพรรณ เหลาวานชย. (มปป.). คณตศาสตร ม.5 เลม 4.
กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง จ ากด.
สมย เหลาวานชย. (มปป.) คมอคณตศาสตร ม. 4 – 5 – 6. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง
จ ากด.
บรรณานกรม