earthquake design of buildings

8/12/2019 Earthquake Design of Buildings

1/178

Vanja Alendar

PROJEKTOVANJE SEIZMIKI OTPORNIHARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA

KROZ PRIMERE

Deo A - Osnovi teorije i uvod u propise

Vebe u okviru kursaProjektovanje i gra#enje betonskih konstrukcija 2

na IX semestru odseka za konstrukcije

Gra#evinski fakultet Univerziteta u BeograduInstitut za materijale i konstrukcije

Beograd, novembar 2004.


2/178

PREDGOVORdrugom izdanju

Pet godina je prolo od objavljivanja prvog izdanja ovih skripti. Ako je i godinu dana trebaloza odmor od napora da se prvo izdanje pripremi, u naredne $etri godine moglo je puno toga dase uradi, ali nije. A onda nam se pridruio na mladi asistent Ivan Ignjatovi&, koji se ponudio da

prekuca delove teksta pisane rukom. Takva se ponuda ne odbija, njemu ne. Kada je odlu$eno dase nastavi sa radom, ispostavilo se da je kasno da se ceo tekst preradi kako bi valjalo, naravno.

Nastava je u toku, pa je kao prvi - prolazni cilj usvojeno da se Deo B - Primeri prebaci u'elektronsku formu', tako da ceo materijal studenti dobiju na CD-u. Ni to nije bio mali posao,trebalo je pripremiti dosta skica, ilustracija.

ta je novo? Prvi deo je nepromenjen. Osim to je prekucan, tekst drugoga dela -Primerije

i izmenjen, nadam se na bolje. Stare skice su prera#ene, dodate su i nove, kao i fotografije kojeilustruju efekte dogo#enih zemljotresa, ili rezultate eksperimentalnih ispitivanja na modelima.Uz fotografije na alost nije naveden izvor, to je osnovni red. Izvinjavam se autorima, bi&eura#eno u slede&em izdanju. Deo teksta koji se odnosi na hale, a koji nije ni pripadao skriptama,

potpuno je prera#en, dopunjen i uklju$en u tekst kao Primer 4.Kako se koristi tekst? Obim originalnog teksta bio je prilago#en raspoloivom vremenu od

$etrnaest nedelja nastave. U me#uvremenu, izmenjen je program predmeta, pa se ravnopravno,po sedam nedelja, studentima izlau problemi prethodnog naprezanja, odnosno zemljotresa.Tako#e, deo problema koji je ranije izlagan na vebama, sada je deo predavanja. Tekst skriptiipak nije skra&en, ali se moe $itati na razne na$ine. Obavezni deo obuhvata:

- Deo A - Osnovi teorije, kao dopunski tekst predavanjima, ali bez poglavlja 6 - Uvod uEvrokod 8;

- Deo - B - Primeripro&i ceo, ali bez poglavlja Pitanja i odgovori u Primerima 1-3, kojazahtevaju poznavanje koncepta propisa Evrokod 8.

To je minimun, koji jo uvek ima smisla. Time se naruava prvobitna koncepciju, ali jedovoljno, ako je jedini cilj da se savlada primena vae#ih doma#ih propisa iz ove oblasti.Godinji zadatak i pismeni ispit se ionako rade isklju$ivo prema vae&im doma&im propisima.ta jo pro$itati, stvar je dogovora sa predmetnim nastavnikom. Toplo se preporu$uje da se iostali delovi pro$itaju, bar kao pri$a. Koncept skripti je da se preko Evrokoda 8 objanjavasutina doma&ih propisa i filozofija projektovanja.

Na kraju, elim da se zahvalim asistentu Ivanu Ignjatovi&u, koji me je doveo u situaciju da

ne smem da ga izneverim. Ivane, da sredimo i prvi deo?

Beograd, novembar 2004. Vanja Alendar


3/178

PREDGOVOR prvom izdanju

U podnaslovu teksta koji sledi, stoji da je u pitanju materijal za ve`be na IX-om, zavr{nom

semestru studenata odseka za konstrukcije. Tako je i po~elo, iz èlje da studenti sa fakulteta ponesuvi{e "papira" i znanja nego {to se to moè zapisati kredom na tabli, u 14 nedelja nastave. @elja datekst mo`da bude interesantan i inènjerima u praksi, nadam se da je doprinela samo kvalitetu, ne ipreteranom obimu.

Pisanje i pravljenje mno{tva skica zapo~eo sam po~etkom septembra 1999., nebi li se stigloza po~etak nastave. Kasno, naravno. U tih mesec dana, pripremljen je ovaj prvi deo, nadam se daima glavu i rep, a da nema grubih previda. Ovih sedamdesetak strana je program prve polovinekursa, sedam nedelja. Drugi deo, koji treba da sadrì probrane primere sa razradom pojedinihdelova iznetih ovom prilikom, treba da bude gotov do po~etka drugih sedam nedelja nastave. Akome ne{to spre~i u tome, ovaj prvi deo je u svakom slu~aju celina za sebe, i najva`niji.

Tekst je koncizan i obiman u isto vreme. Izneti su i ilustrovani osnovni pojmovi, bez ~ijeg serazumevanja nebi trebalo upu{tati u odgovorno projektovanje seizmi~ki otpornih AB konstrukcija.

Ako su neki pojmovi ve} usvojeni na drugim predmetima, ovde se ipak ponavljaju, jedino iz èlje dase na jednom mestu poveù u zaokruèn koncept.

Pri skiciranju sinopsisa, po{ao sam od ~injenice da na{i vaè}i "seizmi~ki propisi" deluju vrlojednostavno, "ni{ta lak{e nego uraditi projekat sloène konstrukcije uz pomo} nekog od softvera izove oblast". Me|utim, propisi su pisani 1981. godine, kada nije bilo ra~unara u praksi, a oaseizmi~kom projektovanju je bilo vrlo malo re~i u redovnoj nastavi. U me|uvremenu su senepovoljno preklopile tri stvari: formalno jednostavni propisi, nedovoljno obrazovanje inènjera upraksi i pojava atraktivnih softvera koji "sve re{avaju"- najgora mogu}a kombinacija. Otuda ikoncept teksta, iz namere da se objasni su{tina, da se pojasne na{i propisi i da se da uvod u budu}eevropske propise, ~iji se prednacrt u me|uvremenu pojavio.

Od studenata se o~ekuje normalno predznanje, kao ipriprema unapred. Na ~asovima }e se

prvenstveno ukazati na bitne stvari sadràne u tekstu a dokle }e se sti}i, zavisi od inspiracije izlaga~ai zainteresovanosti studenata. Sve {to je potrebno sadràno je u tekstu, tabla }a sluìti samo za ad-hok diskusije, prema tome, studenti treba pred sobom da imaju tekst. Nakon nekih od poglavlja,studenti }e dobiti zadatke koje treba sami da urade. Zadaci se rade kod ku}e, predaju, prihvataju iline, ali su obja{njenja eventualnih zabluda kolektivna, jer su gre{ke obi~no sistematske.

O~igledno je da u ovakvom sistemu nedostaje li~no upoznavanje, kontakt, rad sa svakimpojedina~no. Prednost je data konceptu "svi sve ~uju", kako obja{njenja tako i odgovore napojedina~na javna pitanja. Koga materija bude posebno zainteresovala, vrata kabineta su muotvorena, pa }emo to nadoknaditi, u kamernom okruènju.

Dugujem zahvalnost svima kojima sam eventualno bio potreban ovih mesec dana, nadam seda nisu digli ruke od mene. Predmetnom nastavniku prof.M.A}i}u zahvaljujem na podr{ci pri

pisanju teksta. Posebnu zahvalnost izraàvam Branku Milosavljevi}u koji je ~itavu stvar inicirao,podsticao da bi na kraju i pa`ljivo pro~itao tekst. Prihvatio sam sve njegove primedbe, posebno onuda mu se sve ovo dopada i da smatra da je u pitanju "jedna korisna i dobra knjiga". Ko se ne sloì,neka kaè, bi}e pomenut, u slede}em, "pravom" izdanju.

Beograd, oktobar 1999. Vanja Alendar


4/178

SADR@AJ uz Deo A

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA 1-1

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA 1-1

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI 1-3

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-1

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 2-1

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2-5

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-1

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA 3-1

3.2 OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-2

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-4

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA 3-6

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORAÛNA SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-7

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA 3-8

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTIÂN SISTEMU ARMIRANOM BETONU 4-1

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE 4-1

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA 4-3

4.3 POÊTNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA 4-6

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJAPRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA 4-7

4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA 4-8

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-1

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 5-1

5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA 5-2

5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-5

5.4 OBEZBE\ENJE POUZDANOSTI @ELJENOG MEHANIZMA KONSTRUKCIJE -"PROGRAMIRANO PONA[ANJE" 5-6

5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM 5-75.6 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA PRI "ZAMRZNUTIM POMERANJIMA" 5-8


5/178

6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA- UVOD U EVROKOD 8 (EC8) 6-1

6.1 OP[TI ALGORITAM PROPISA 6-1

6.2 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 6-2

6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA 6-26.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA 6-3

6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA

- FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8 6-4

6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA 6-5

6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE 6-6

6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE 6-7

6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI 6-7

6.10 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU 6-8

6.11 PRORAÛNSKA KRUTOST ELEMENATA 6-9

6.12 PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA 6-11

6.13 PRORAÛN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA 6-12

6.14 EFEKTI DRUGOGA REDA 6-12

6.15 PRERASPODELA UTICAJA 6-13

6.16 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI 6-13

6.17 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA

I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI 6-14

6.18 PROGRAMIRANO PONA[ANJE 6-146.18.1 Faktor preoptere}enja 6-146.18.2 Zidovi 6-156.18.3 Grede 6-156.18.4 Stubovi 6-166.18.5 vorovi okvira 6-166.18.6 Konstrukcijski sistem 6-17

6.19 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE 6-18

6.20 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI ? 6-20

6.21 OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM 6-20

6.22 MONTA@NE KONSTRUKCIJE 6-20

6.23 FUNDIRANJE 6-20

7. SEIZMI^KI PRORAÛN PREMA YU PROPISIMA 7-1

7.1 ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 7-1

7.2 ELEMENTI PRORAÛNA SEIZMI^KIH UTICAJA 7-1

7.3 PORE\ENJE EC8 I YU81 7-3

8. LITERATURA uz Deo A


6/178

1-1

1. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA

O ZEMLJOTRESIMA

UVOD

U uvodnom delu izloèni su osnovniseizmolo{ki pojmovi: opis zemljotresa u pro-storu,ja~ina zemljotresau epicentru - magnutuda,povratni periodzemljotresa kao i opisefekata zemljotresa na objekte i okolinu na nekoj lokaciji - intenzitet. U nastavku, defini-{u se merljive fizi~ke veli~ine koje su podloga za inènjerski opis zemljotresa na nekojlokaciji: ubrzanje, brzina i pomeranje tla, postupak registrovanja - akcelerogrami kao injihove empirijske veze sa magnitudom i rastojanjem lokacije od epicentra. Na kraju, dat

je primer efekata zemljotresa u Mionici 1998. na lokaciji teritorije Beograda.

1.1 OPIS ZEMLJOTRESA

Zemljotres predstavlja kretanje tla usled naglih tektonskih poreme}aja u deluzemljine kore -àri{tu (hipocentar), na dubiniH- àri{na dubina, slila 1.1 Zemljotresi saàri{nom dubinom H


7/178

1-2

Maljen-Mionica 1998. M=5,6 ). Smatra se da je najve}a mogu}a magnituda M=9(Lisabon 1755.M=8,6 ).

Prose~an vremenski interval Tp(godina) izme|u pojave dva zemljotresa iste ja~inenaziva se povratni period zemljotresa sa magnitudom M. Ja~i zemljotresi doga|aju sere|e, sa duìm povratnim periodom. Za zemljotres sa povratnim periodom od Tp=50

godina o~ekuje se da se pojavi jedanput u 50 godina, dva puta u 100 godina itd.Recipro~na vrednost povratnog perioda,P=1/Tp, predstavlja verovatno}u pojave

zemljotresa odre|ene ja~ine u jednoj - teku}oj godini.Ocena merodavnog zemljotresa za projektovanje konstrukcija vr{i se prema

prihvatljivom rizikuza odre|eni objekat /2/ :P=0,02 (Tp=50 godina)- o{te}enja koja ne zahtevaju popravku,P=0,002 (Tp=500 godina)- o{te}enja koja se mogu popraviti, tzv.projektni

zemljotres,P=0,0002 (Tp=5000 godina)- nepopravljiva o{te}enja.

Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom Tp u vremenskom

intervalu od Tgodina iznosiPt=1-(1-P)T

. Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnimperiodom Tp=500 godina u narednih T=10 godina iznosi P10=1-(1-1/500)10 = 0,02 =

1/50. U periodu od T=Tpgodina, verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodomTpiznosiPTp= 0,63 (P50=P500=P5000).

Mera efekata, posledica zemljotresa na objekte i okolinu naziva se intenzitetzemljotresa- I na odre|enoj lokaciji. Gradacija posledica izraàva seskalama intenziteta,koje mogu da budu opisne(..."padaju dimnjaci, zvone crkvena zvona, otpada malter"...)ili kvantitativne (ubrzanje, brzina, pomeranje tla, ili kombinacija ovih veli~ina). Naosnovu opisnih skala procenjuje se o~ekivana ili dogo|ena{teta, ali za analizu efekatazemljotresa na konstrukcije podatak da "zvone zvona" je neupotrebljiv.

U Jugoslaviji se koristiMSK-64skala, sa dvanaeststepeni intenzitetazemljotresa.Zemljotresi intenziteta do {est stepeni ne smatraju se {tetnim, dok na teritorijiJugoslavije najve}i o~ekivani intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom Tp=500godina iznosi devet stepeni. Mada izme|u o~ekivane {tete i ubrzanja tla postoji slabakorelacija, ako ne postoje pouzdaniji podaci obi~no se za vezu intenziteta I i gornjegranice najve}eg o~ekivanog ubrzanja tla ag pretpostavlja:

intenzitet VII-og stepena: ag0,10 g (zona niskog seizmi~kog intenziteta)

intenzitet VIII-og stepena: ag0,20 g

intenzitet IX-og stepena: ag0,40 g

gde je g=9,81 m/s 2ubrzanje zemljine teè. Pove}anju intenziteta za jedan stepen odgo-

vara dva puta ve}e ubrzanje tla. Prema Siko{eku /1/, za vezu magnitudeM

i intenzitetazemljotresaI u epicentru, za teritoriji Jugoslavije moè da se usvoji relacija

I = 1,5M - 0,5 (1.2)

Za odre|enu lokaciju - teritoriju, ocena o~ekivanog intenziteta zemljotresa sarazli~itim povratnim periodima Tp vr{i se na osnovu seizmi~ke rejonizacije - analizelokalnih geolo{kih uslova, kao i o~ekivanih magnituda, àri{nih dubina i epicentralnihrastojanja zemljotresa koji mogu da se pojave u potencijalnim àri{tima. Rejonizacijamoè da bude prose~na - makro-rejonizacija (globalna podela teritorije Jugoslavije,prema kojoj se u Beogradu moè o~ekivati zemljotres intenziteta I=VIII sa povratnimperiodom Tp=500 godina), ili detaljna - mikro-rejonizacija. Podaci se sistematizuju u

obliku seizmolo{kih karata, koje prikazuju intenzitet ili neki merljiv podatak, kao {to jeubrzanje tla. Za potrebe izgradnje stanice "Beograd - Centar" u Prokopu, nakon


8/178

1-3

seizmi~ke mikrorejonizacije, za maksimalno o~ekivano ubrzanje tla pri zemljotresu sapovratnim periodom Tp=500godina usvojeno je ag= 1,18 m/s

2= 0,12g , {to je znatnomanje od navedene gornje granice ubrzanja tla za VIII-u seizmi~ku zonuod0,20g.

1.2 ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI

Zemljotres izaziva prostorno kretanje temeljnog tla, koje se moè opisati sa tritranslacije i tri rotacije tla - "{est stepeni slobode". U zoni epicentra jakih zemljotresaobi~no su izraène sve komponenete kretanja, dok se za ocenu odgovora konstrukcijeudaljenijih objekata rotacije tla obi~no mogu zanemariti. Kako se pouzdanostkonstrukcija ionako proverava za efekte gravitacionih optere}enja, to se naj~e{}ezanemaruju i vertikalna ubrzanjatla usled zemljotresa.

Mada zemljotres u su{tini izaziva "prinudna pomeranja"konstrukcija, naj~e{}e senjegovi efekti opisuju preko ubrzanja mase konstrukcije, kao jo{ jedan slu~aj

horizontalnog optere}enja, analogno dejstvu vetra.Podaci o o~ekivanim ubrzanjima tla zasnivaju se, izme|u ostalog, i na zapisima

ubrzanja tla u toku trajanja zemljotresa -akcelerogramima, koji se registruju pomo}uure|aja akcelerografa. Za ocenu efekatazemljotresa na konstrukcije zna~ajni su podaci:

maksimalno registrovano ubrzanje tla - max ag(nadalje - ag ), trajanje jakog dela zemljotresa - tD ,

predominantni period oscilovanja tla - Tg , slika1.2. Na osnovu registrovanih ubrzanja, analiti~kise mogu dobiti zapisi promene brzine tla - vgodnosnopomeranja tla - dgu toku vremena, slika

1.3b-c. Ra~unska apsolutna pomeranja tla su problemati~an podatak, jer se dobijajunakon dvostruke integracije dijagrama ubrzanja tla, kome obi~no nedostaje po~etni deo,dok se akcelerograf automatski ne uklju~i. Zapisi ubrzanja obi~no se koriguju, pa kakopostupci korekcije vremenom napreduju, menja se i ra~unsko pomeranje tla zemljotresaEl Centro iz 1940. godine.

Prema Naumoskom /1/, maksimalno ubrzanje tla ag (cm/s2)zemljotresa magni-

tude M, na lokaciji sa àri{nim rastojanjem R- atenuacijska formula, moè da se oceniprema relaciji

ag= 654e0,54 M/(R+20) 1,33 (1.3)

maksimalna o~ekivana brzina tla vg

(cm/s)iznosi

vg= 4,43e0,94 M/(R+20) 1,38 (1.4)

a maksimalno o~ekivano pomeranje tla dg(cm)moè da se oceni pomo}u relacije

dg= 0,060e1,20 M/(R+20) 1,34 (1.5)

Prema Paulay /2/, veza maksimalnog ubrzanja tla ag(m/s2) i intenziteta zemljo-

tresaIna jednoj lokaciji moè da se prikaè u obliku

ag= 10- 2,40 + 0,34 I odnosno (1.6)

I = (log10ag + 2,40)/0,34 (1.7)

max ag

Tg

tDUbrzanjetla-ag(t)

Vreme - t (s) Slika 1.2 Karakteristike zapisa

ubrzanja tla


9/178

1-4

Prema Watabe-u /1/, trajanje jakog dela zemljotresa tD (s) moè da se proceni

prema relacijitD= 10

(M-2,5)/ 3,23 (1.8)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30Ubr

zanje(g

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30Ubrzanje(g)

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30

Vreme - (s)

Ubrzanje(g)

Petrovac '79a

g=0,30g

Ulcinj '79a

g=0,24g

Beograd '98

ag=0,023g

d.

e.

f.

-0.4

-0.20.0

0.2

0.4

0 5 10 15 20 25 30Ubrzanje(g)

-400

-200

0

200

400

0 5 10 15 20 25 30Brzina(mm/s)

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

Pomeranje(mm)

El Centro '40a

g=0,32g

El Centro '40v

g=361mm/s

El Centro '40d

g=214mm

a.

b.

c.

Slika 1.3 Zapisi zemljotresa: a)El Centro (zemljotres Imperial Walley, California, 1940.,

komponenta EW, M=6,6), b-c) El Centro - brzina i pomeranje tla, d)Petrovac (Crna Gora

1979., komponenta EW, M=7,0), e)Ulcinj (Crna Gora 1979., komponenta EW, M=7,0),f)Beograd (Mionica 29.09.1998., komponenta EW, M=5,6, epicentralno rastojanje Re=74

km, dubina àri{ta H=16 km). Zapis "Beograd" registrovan je na sarmatskim kre~njacima

("lokalno tlo"), na stanici Ta{majdan Republi~kog seizmolo{kog zavoda u Beogradu.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 50 100 150 200

R (km)

ag(g)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 100 200 300R (km)

PeriodTg(s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5 6 7 8 9Intenzitet - I

ag(g)

M=6

M=7

M=8

a. b. c.

M=8

M=7

M=6

70 km70 km

Slika 1.4 (a) atenuacijska kriva prema (1.3); (b) ubrzanje tla - intenzitet prema (1.6); (c)

predominantni period oscilovanja tla T u zavisnosti od magnitude i àri{nog rastojanja /1/


10/178

1-5

Prema Seed-u /1/, predominantni period sopstvenih oscilacija tla Tg na nekojlokaciji raste sa porastom magnitudeM, ali i sa pove}anjem àri{nog rastojanjaR, slika1.4.c - "tlo filtrira" visoke frekvence sopstvenih oscilacija.

Navedene empirijske relacije treba shvatiti kao kvalitativne, izme|u ostaloga i

zbog toga {to su preuzete od razli~itih autora, pa je mogu}a neusagla{enost veli~ina,intenziteta na primer.

Primer 1.1..........

Na osnovu ocenjene magnitude M=5,6 i dubine àri{ta H=16 km zemljotresa u

Mionici 1989. godine, analiti~ki odrediti parametre kretanja tla u epicentru i na lokaciji

Beograd, R~Re=74 km.

Prema (1.2), intenzitet zemljotresa u epicentralnom podru~ju Mionice 1998.godine iznosio je

I= 1,5x5,6-0,5 = 7,9

{to se dobro slaè sa registrovanim o{te}enjima na terenu.

Prema (1.3), maksimalno prose~no ubrzanje tla u Beogradu iznosi

ag= 654e0,54x5,6/(74+20)1,33=31,9cm/s 2= 0,032g

dok je na stanici Ta{majdan, na kre~njacima, registrovano ubrzanje od 0,023g, slika1.3.f.

Prema (1.4), maksimalna brzina tla u Beogradu iznosi

vg= 4,43e0,94x5,6/(74+20)1,38 = 1,62 cm/s

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost vg = 0,85 cm/s.Prema (1.5), maksimalno pomeranje tla u Beogradu iznosi

dg=0,060e1,20x5,6/(74+20)1,34 = 0,11 cm

dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost dg = 0,07 cm.Prema (1.7), ra~unski intenzitet zemljotresa u Beogradu iznosi

I=(log100,032x9,81+ 2,40)/0,34 = 5,6

dok se ocene kre}u u granicamaI=5-5,5.Prema (1.8), trajanje jakog dela zemljotresa iznosi

tD= 10 (5,6-2,5)/3,23 = 9,1 s

{to se slaè sa merenjima.Prema slici 1.4c, predominantni period sopstvenih oscilacija tla je u granicama

Tg = 0,25 - 0,30 s, {to ukazuje da je ovaj zemljotres bio najopasniji za krutekonstrukcijske sisteme, sa niskim periodom sopstvenih oscilacija.

Ukupni utisak je da predloèni izrazi prihvatljivo opisuju merene i osmatraneveli~ine. I pored niskog intenziteta registrovanog u Beogradu, zemljotres sa epicentromu Mionici izazvao je prili~no uznemirenje u Beogradu, pa i mala o{te}enja na pojedinimstarijim objektima. Prema re~ima svedoka, na pojedinim lokacijama pojavila se i panikau visokim objektima.


11/178

1-6

Generalno, zemljotresi ~ija je duìna trajanja jakog dela tD 1).

Prema vaè}oj rejonizaciji teritorije Jugoslavije, Beograd se nalazi u VIII-oj, a

Mionica u IX-oj zoni seizmi~kog intenziteta, prema skali MSK-64. Utisak je pojedinihgra|evinaca kao i seizmologa da su o~ekivani efekti zemljotresa na teritoriji Beogradaprecenjeni. Ako je àri{te u podru~ju Mionice, pri zemljotresu magnitude M=5,6, uBeogradu izazvalo ubrzanje od samo 0,02gna steni, postavlja se pitanje koje je to àri{te,i kolika je energija potrebna da se iniciraju ubrzanja od oko 0,2g, sa povratnim periodomod Tp=500godina?

Beograd je podru~je sa najve}om koncentracijom stanovni{tva i materijalnihdobara u Jugoslaviji, pa pri dono{enju budu}ih propisa i utvr|ivanju karata ubrzanja tlatreba izvr{iti ozbiljne analize.

Izneta dilema ni u kom slu~aju nije prilog pau{alnim procenama tipa "ma kakav

zemljotres!". [ta moè da se dogodi na teritoriji Beograda prvenstveno treba da proceneseizmolozi. Za gra|evince je to jedno od dejstava na konstrukcije, ma koliko iznosilo. Islab zemljotres moè da bude opasan za lo{a konstrukcijska re{enja.


12/178

2-1

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIHSISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

UVOD

Poznavanje pona{anja konstrukcije, uz pretpostavku njenog elasti~nog odgovora na kretanjetlapri zemljotresu je osnovni podatak za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije. Realnekonstrukcije naj~e{}e imaju vi{e stepeni slobode, ali je prvi ton oscilacija naj~e{}edominantan, i predstavlja osnovu ve}inepropisau ovoj oblasti. Nakon definisanja osnovnihpojmova iz dinamike konstrukcija, prikazan je odgovor dva elasti~na sistema sa jednimstepenom slobode, na dva karakteristi~na zapisa ubrzanja tla - akcelerograma. U nastavku,re{enje se generalizuje na ceo opseg sopstvenih perioda realnih gra|evinskih konstrukcija,formulisanjem elasti~nih spektara ubrzanja i pomeranja.

2.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA

IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJAZa opisivanje kretanja jedne mase konstrukcije u prostoru u op{tem slu~aju

potrebno je {est komponenti pomeranja, tri translacije i tri rotacije mase. Zavisno oddispozicije konstrukcije,rasporeda masakao i pravca dejstva dinami~ke pobude - kretanja tla,broj nezavisnih komponentipomeranja koji je dovoljan da se opi{e kretanje se smanjuje, inaziva se broj stepeni slobode. U slu~aju dominantnog horizontalnog kretanja jedne mase uravni, govori se o sistemu sa jednim stepenom slobode - nepoznatim horizontalnimpomeranjem mase d(t)u toku vremena, slika 2.1.

Pri dejstvu spoljnestati~kesileF, horizontalno pomeranje dmase u op{tem slu~ajuposledica je vi{e komponenti pomeranja: pomeranja d usled klizanja temelja, pomeranjaaHusled rotacije temelja za ugao a, pomeranje d1i d3usled deformacija savijanja i smica-nja i pomeranja d2usled aksijalnog optere}enja pojedinih delova konstrukcije, slika 2.1

d = D+ aH + d1+ d2+ d3= dF = F/k (2.1)

Ukupno pomeranje dusled jedini~ne sile F=1 , naziva se fleksibilnost konstrukcije("matrica fleksibilnosti"), dok se inverzna vrednost k=1/d naziva krutost konstrukcije na

pomeranje ("matrica krutosti"). U ve}ini slu~ajeva, fleksibilnost odnosno krutost konstruk-

W W W W

d1 d2 d3

Dh

bh

aH

d = + a d1+ +a

H

d

W

k

FW

D

d2

d3

+

M,Q N M,Q

Slika 2.1 Komponente pomeranja sistema sa jednim stepenom slobode


13/178

2-2

cije mogu dovoljno ta~no da se odrede samo iz deformacija savijanja, na osnovukrutosti EIpreseka na savijanje.

Pri kretanju tla sa zna~ajnijim ubrzanjem d"g(t), problem postaje dinami~ki, jer se ukonstrukciji javljaju i inercijalne sile. Osnovne dinami~ke karakteristike sistema su period

sopstvenih oscilacija sistema

T=2p(m/k) = 2p(md) (2.2)

odnosnokru`na frekvencasopstvenih oscilacija

w = 2p/T = (k/m) (2.3)

gde je m -masasistema.

Ukupno pomeranjedt

mase u odnosu na po~etni poloàj u prostoru jednako je zbirupomeranja dg konstrukcije kaokrutog telazajedno sa tlom, slika 2.1.b, irelativnog pomeranjad mase u odnosu na temelj, slika 2.1.c. Totalno, apsolutno ubrzanjemase u prostoru iznosid t" = d"g+ d".

Odgovor konstrukcije na kretanje tla sa promenljivim ubrzanjem d"g(t) moè da seodredi na osnovu re{enja problema relativnog kretanjamase konstrukcije sa nepomerljivimtemeljom, optere}ene efektivnom dinami~kom silomu centru masePef =-md"g slika 2.1.d.

U svakom trenutku vremena t , rezultanta horizontalnog "spoljnog opetre}enja" -zbir efektivnePef i inercijalne sile FI = md" usled relativnog ubrzanja, u ravnoteì je saunutra{njim silamakonstrukcije, otporuelasti~ne konstrukcije pomeranjima - FK=kd, i sili

prigu{enjakretanjaFC=cd', gde je c - viskozno prigu{enjaa d'-relativna brzinakretanja, slika2.1.d

Pef - FI - Fk - Fc = 0 odnosno (2.4)

md" + cd' + kd = -md"g (2.5)

Podeljena sa masomm, jedna~ina (2.5) glasi

d" + 2xwd' + w 2d = -d"g (2.6)

gde je x=c/2mwkoeficijent prigu{enja, a A(t)=w 2d "pseudo ubrzanje" mase. Za veli~inekoeficijenta prigu{enja x


14/178

2-3

U slu~aju kretanja tla, re{enjejedna~ine (2.6) moè da se odredi u oblikuDuhamel-ovog integrala, ili se primenjujunumeri~ke metode, kao {to je Njumarkovametoda sa konstantnim ubrzanjem /3/, /4/.

Ulazni podatak je promena ubrzanja tla utoku vremena d"g(t), definisana zapisimaubrzanja tla - akcelerogramima, slika 1.3.

êsto se umesto registrovanih vred-nosti ubrzanja koriste skalirane vrednostiubrzanja tla. Oblik zapisa se zadràva, ali

se sve ordinate akcelerograma multiplikuju odnosom ag / maxd"g(t) , tako da maksimalnora~unsko ubrzanje tla bude jednako eljenoj vrednosti ag .

Rezultati analize se tradicionalno prikazuju u obliku sile elasti~nog otporakonstrukcije Fk(t)=mA(t)=mw

2d(t) - koncept"zemljotresa kao spoljnog optere}enja", slika

2.3.a. Danas je trend da se efekti zemljotresa interpretiraju kao "prinudno relativnopomeranje" konstrukcije, dok je sila F(t)=kd(t) u op{tem slu~aju funkcija krutosti kkonstrukcije, slika 2.3.b.

d(t)F

K(t)=Kd(t)

d(t)

FK(t)

a. b.

Slika 2.3 Interpretacija rezultata analize

-60

-40-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje t la

Pomeranje konstr.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25 30

a.

b.

c.

d.

e.

f.

T=0,5s T=1,5s

T~1,5sT~0,5s

El Centroag=0,2g

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje tla

Pomeranje konstr.

Apsolutnopome

ranje(mm)

Relativnopomeranje(mm)

Ubrzanje(g)

0,58

35,7

66,2

0,12

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanje

Ubrzanje tla

Slika 2.4 Odgovor elasti~ne konstrukcije na zapis El Centro


15/178

2-4

Primer 2.1......

Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom

slobode na uticaj zapisa El Centro prema slici 1.3.a, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla

ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s

odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti x=5%.

Na slici 2.4 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde:ukupna - apsolutna pomeranja tla odnosno mase konstrukcije (sl.2.4.a i d), relativnapomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.4.b i e) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosnopseudo ubrzanja mase konstrukcijeA(t)/g, (sl.2.4.c i f).

Tlo sa sobom "nosi" konstrukciju, inizom impulsa ubrzanjau toku vremena izazivasopstvene oscilacije i relativna pomeranja mase. Nepravilan niz impulasa u oba slu~ajaizaziva oscilacije konstrukcije sa periodama prakti~no jednakim sopstvenim periodimaoscilovanja T=0,5 odnosno T=1,5s. Konstrukcija sa ni`om periodom T=0,5s ima manjarelativna pomeranja u odnosu na mek{u konstrukciju, {to je op{ti trend i za druge zapise,ali ne i pravilo.

U oba slu~aja maksimalno ubrzanje tla je naravno 0,2g, ali se kod kru}e konstrukcije,sa ni`om periodom ubrzanja mase dodatno uve}avaju, amplifikujuna iznos 0,58g, dok je uslu~aju "mek{e" konstrukcije pseudo ubrzanja od 0,12g manje od ubrzanja tla. Vrednost

faktora amplifikacije- odnos maksimalnog ubrzanja konstrukcije i tla iznosi b0= 0,58g/0,2g= 2,9 (T=0,5s)odnosnob0= 0,12g/0,2g = 0,6 (T=1,5s).

Primer 2.2.....

Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom

slobode za uticaj zapisa Petrovac prema slici 1.3.d, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla

ag=0,2g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s

odnosno T=1,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti x=5%.

-80

-60-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

-80

-60-40

-20

0

20

40

60

0 5 10 15 20 25

a.

b.

c.

d.

T=0,5 s T=1,5 sPetrovacag=0,2g

Relativn

opomeranje(mm)

Ubrzanje(g)

60,5

30,3

0,054

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

0,97

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20 25

Vreme t (sec)

Pseudo ubrzanjeUbrzanje tla

Slika 2.5 Odgovor konstrukcije na zapis Petrovac


16/178

2-5

Na slici 2.5 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,02 sekunde:relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl.2.5.a i c) kao i vrednosti ubrzanja tlaodnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcijeA(t)/g, (sl.2.5.b i d).

U ovom slu~aju konstrukcija sa niòm periodom ima ve}a relativna pomeranja.Ubrzanja kru}e konstrukcije se amplifikuju 4,85 puta na iznos od ~ak 0,97g, dok u slu~aju

mek{e konstrukcije, pseudo ubrzanje iznosi samo 0,054g.

Dva navedena primera pokazuju da za odgovor konstrukcije nije bitan samo iznosmaksimalnog ubrzanja tla nego i predominantni period oscilacija tla Tg , slika 1.4.c kao i

frekventne karakteristike zemljotresa - tok promene ubrzanja u vremenu. Sa druge strane, zaisti zapis, odgovor konstrukcija sarazli~itim periodamasopstvenih oscilacija se razlikuje.

2.2 SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE KRETANJA

Za isti zapis ubrzanja tla d"g(t), svi elasti~ni sistemi sa istim periodom T, odnosno

kru`nom frekvencom sopstvenih oscilacija w (m/k=const) i prigu{enjem x pona{aju seidenti~no u toku trajanja zamljotresa, i dostiù iste ekstremne vrednosti relativnihpomeranja, relativnih brzina odnosno totalnih - pseudo ubrzanja. Ukoliko se ordinateubrzanja tla pomnoè, normalizuju faktorom a, u istom odnosu promeni}e se iodgovoraju}e ekstremne vrednosti.

Projektante u praksi obi~no interesuju upravo ove ekstremne vrednosti, jer defini{umaksimalno naprezanje i pomeranje konstrukcije, ali za o~ekivani zemljotres na datojlokaciji, za koji se eventualno zna o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag , ali ne i tok,frekventne karakteristike zemljotresa. Zbog toga se za analizu naj~e{}e koriste zapisidogo|enih zemljotresa, ili se matemati~ki formiraju simulacije -sintetizovani zapisiubrzanja

tla, skalirani na o~ekivano maksimalno ubrzanje tla ag .Postupkom prikazanim u prethodnim primerima, efekti pojedinih zapisaZubrzanjatla na konstrukcije sa razli~itim priodama Ti mogu da se sistematizuju u obliku spektraodgovora, koji prikazujumaksimalni odgovor konstrukcije - pomeranje, brzinu ili ubrzanje, ~iji

je algoritam prikazan na slici 2.6.

Za izabrani zapis Z(El Centro na primer), numeri~kom integracijom sra~unava seodgovor konstrukcija sa razli~itim periodama T1 -Tn. Za svaku od perioda Ti, registruje se

d(t)

T1

Ti

Tnx=5%

D=max d(t)

V=wDA=w2DNovi zapis ubrzanja tla - Z

D1(T

1)

Di(Ti)

Dn(T

n)

Period T

Pom

eranjeD

Z1

Zj

Zm

Start

Slika 2.6 - Algoritam formiranja spektra odgovora


17/178

2-6

maksimalno sra~unato pomeranje sistemaD=maxd(t), na osnovu ~ega se formira dijagram,spektar pomeranja D(T) za zapis Z. Umesto sra~unatih maksimalnih relativnih brzina itotalnih ubrzanja, obi~no se koriste pseudo vrednosti brzina - V=wD odnosno pseudoubrzanjaA=w 2D, za koja je re~eno da su prakti~no jednaka totalnim ubrzanjima mase.Postupak se ponavlja sa novim zapisima ubrzanja tla (Petrovac na primer), ~ime se dobija

familija spektra odgovora, koji se obi~nonormalizujuili na ubrzanje zemljine teè g, ili namaksimalno o~ekivano ubrzanje tla ag .

Primer 2.3.....

Za zapise ubrzanja tla El Centro, Petrovac, Ulcinj i Beograd, formirati elasti~ne spektre

pseudo ubrzanja i relativnih pomeranja u intervalu perioda T=0,02 - 3,0s, prigu{enje x=5%.

Na slici 2.7 prikazani su rezultati prora~una, normalizovani na maksimalno ubrzanjetla ag . Na dijagramima su ozna~ene i prethodno dobijene vrednosti iz primera 2.1 i 2.2.

Op{ti trend je da sa produènjem perioda oscilacija konstrukcije opada vrednost

maksimalnih ubrzanjaali i raste vrednostmaksimalnih pomeranjakonstrukcije.Zapisi Petrovac i Ulcinj registrovani su istovremeno, pri istom zemljotresu, ali narazli~itim lokacijama. Razlike spektara odgovora ukazuju na zna~aj lokalnih efekata tla, kojimogu znatno da izmene frekventni sastav oscilacija tla koje poti~u iz istog izvora - àri{tazemljotresa.

Primer 2.4.....

Za elasti~nu konstrukciju sa periodom oscilovanja T=1,5s, odrediti maksimalno

relativno pomeranje i ubrzanje za efekte zemljotresa "tipa" El Centro sa maksimalnim

ubrzanjem tla ag= 0,2g.Prema slici 2.7.b, maksimalno pomeranje iznosi

D = agD(ag) = 0,2g x 0,034 = 0,2x9810x0,034 = 66,7 mm.

Prema slici 2.7.a, maksimalno ubrzanje iznosiA = agA(ag) = 0,2g x 0,59 = 0,118g (=w

2D /g = (2p/1,5) 2x66,7/9810)

0

1

2

3

4

5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Period (s)

A(ag)=A

/ag

El Centro

Petrovac

Ulcinj

Beograd Petrovac

Beograd4,85

2,87

1,972,18

0,59

0,27

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Period (s)

D(ag)=D

/ag(s)

Ulcinj

Petrovac

El Centro

Beograd0,015

0,034

0,124

0,031 0,018 0,012

Slika 2.7 Spektar odgovora: a) pseudo ubrzanja i b) relativnog pomeranja elasti~nog sistema


18/178

2-7

Za sistem sa masom m, maksimalna vrednost reakcije konstrukcije - ra~unskogseizmi~kog optere}enjaFiznosi

F = mA = 0,118mg

Transverzalna sila i moment uklje{tenja konzole visine H iznose Q=F odnosno

M=FH.

Primer 2.5.....

Za konzolu visine H=6,67m, sa te`inom konstrukcije na vrhu W=300 kN, odrediti

potreban moment inercije I stuba punog kvadratnog popre~nog preseka, tako da pri zemljotresu

El Centro, sa maksimalnim ubrzanjem tla od ag=0,2g pomeranje vrha konzole D bude

jednako 1% od visine konzole H. Moduo elasti~nosti beton E=250 GPa.Masa konstrukcije iznosi

m = W/g=300/9,81 = 30,58 kNs 2/m

Dozvoljeno pomeranje vrha konstrukcije iznosi

maxD=1%H = 0,01 x 6,670 m = 0,0667 m odnosno

maxD/ag= 0,0667/0,2x9,81 = 0,034 s

Prema slici 2.7.b, za zapis El Centro i vrednostD(ag)= 0,034 s, sledi da konstrukcijatreba da ima period oscilovanja od T=1,15s. Kako je T=2p(md), to pomeranje vrhakonzole usled stati~kog dejstva jedini~ne sile d=1H 3/3EI treba da iznosi

d= (T/2p) 2/m = (1,5/2p) 2/30,58 = 1,86 10 -3m pa je

potI = H 3/3Ed= 6,67 3/3 x 2,5 10 7x 1,86 10 -3= 2,12 10 -3m4.

Potrebna dimenzija bstuba kvadratnog popre~nog preseka iznosi

b=(12 x potI) 1/4= (12 x 2,12 10 -3) 1/4= 0,40 m.


19/178

3-1

3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIHSISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

UVOD

Nivo optere}enja elasti~ne konstrukcije usled zemljotresa moè, u slu~aju izuzetnozna~ajnih objekta da se usvoji kao projektno optere}enjekonstrukcije pri zemljotresu, ili dase kontrolisano smanji. Klasi~ni koncept smanjenja nivoa optere}enja zasniva se nadopu{tanju nelinearnog odgovora konstrukcije, uz pojavu kontrolisanih o{te}enja

konstrukcije. Nakon obja{njenja osnovnih pojmova dinamike elasto-plasti~nih sistema,ilustruje se postupak formiranja nelinearnog spektra ubrzanja, uspostavljanjem veze

raspoloìve duktilnosti pomeranja konstrukcije i dozvoljenog nivoa redukcije seizmi~kogoptere}enja. Polaze}i od nelinearnog spektra ubrzanja, izloèn je op{ti algoritamprojektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija, koji je osnova svih propisa. Na kraju, osim

jednostavnog kriterijuma iscrpljenja konstrukcije dostizanjem kapaciteta deformacija primonotonom stati~kom optere}enju, formulisan je i kombinovani kriterijum, kao podloga zadefinisanje ekvivalentne duktilnosti pomeranja, ~ime se obuhvata i cikli~na istorijadeformacija konstrukcije pri zemljotresu.

3.1 TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJAOD ZEMLJOTRESA

Nivo seizmi~kog optere}enja pri elasti~nom odgovoru konstrukcijaobi~no je izuzetnovisok, i te{ko ga je konstrukcijskim merama prihvatiti. Pri tome, ve} je uvo|enje viskoznogprigu{enja od x = 5% zna~ajno, ali ne i dovoljno ublaìlo efekte zemljotresa, slika 3.1 -pseudo ubrzanje konstrukcije normalizovano na ubrzanje zemljine teè.

Problem ima i svoju ekonomsku stranu, kao iuvek - uloìti sredstva pri gra|enju za ne{to {to se mo`da ne}e ni desiti, ili prihvatiti riziko{te}enja i eventualnih popravki? Pri razmi{ljanju kako da se konstrukcija racionalnoadaptira zemljotresu, da se za{titi od preoptere}enja usled prinudnih pomeranja izazvanihpomeranjem tla koje ne moèmo da spre~imo, treba imati u vidu da su pri dinami~kimpojavama mogu}i ikonstrukcijski sistemi- privremeni mehanizmikoji su "stabilni" dok trajekretanje, slika 3.2. Kod realnih konstrukcija, potrebno je ipak obezbediti stabilnost sistemapre i nakon prestanka kretanja, kao i ograni~iti mogu}u trajnu deformacijusistema.

Tradicionalni koncept smanjenja efekata zemljotresa zasniva se na umanjenjuseizmi~kog optere}enja putem adaptacije krutosti osnovne nose}e konstrukcije pomeranjima

Slika 3.2 "Stabilan sistem" prikretanju

-4-3-2-101234

0 5 10 15 20 25

Vreme (s)

Ubrzanje(g)

Prigu{enje 0%Prigu{enje 5%Prigu{enje 20%

Slika 3.1 Efekat viskoznog prigu{enja, T=0,5s


20/178

3-2

usled zemljotresa, slika 3.3, {to podrazumeva pojavu odre|enog nivoa o{te}enjakonstrukcije - neelasti~an tj. nelinearan odgovor konstrukcije. Usvojeni iznos prigu{enja od5% tako|e podrazumeva pojavu nagla{enijih prslina.

Deluje kao paradoks da konstrukcija sa manjim optere}enjem F


21/178

3-3

kineti~ke i potencijalne energi-je. Ukoliko nema prigu{enja,amplitude oscilacija jednake supo~etnom pomeranju dm- elas-ti~an sistem "se se}a" stanja iz

koga je izveden i reaguje"koleri~no".

Pretpostavimo da je ela-sti~ni nivo optere}enja Fe kon-strukcijski neprihvatljiv, i da`elimo da ga smanjimo na iz-nos Fy = Fe/R, gde je R usvo-

jena vrednost faktora redukcijeelasti~nog optere}enja. Pri prinudnom pomeranju dm, elasto-plasti~an sistem (EP - sistem)sa istom inicijalnom kruto{}u k "sti}i }e" u ta~ku 3 na slici 3.5.b.

Akumulirana potencijalna energija EP sistema jednaka je povr{iniEe2 , jer je znatandeo unete energije Eh nepovratno izgubljen proizvo|enjem trajne deformacije dp .Osloba|anjem od oslonca, EP sistem }e da osciluje u "pomerenom polo`aju", sa smanjenimubrzanjem i amplitudom, po pravoj 3-4 odnosno izme|u ta~aka M-EP na slici 3.5.a. Kakosu masa i inicijalna krutost isti, to je i period oscilovanja EP sistema jednak perioduoscilovanja elasti~ne konstrukcije.

Zavisno od nosivosti Fy odnosno stepena redukcije optere}enja R, EP sistemakumulira manje potencijalne energije - delimi~no "zaboravlja odakle je krenuo", adaptirase trajnim deformacijama, reaguje relativno "flegmati~no".

Ukoliko je u pitanju monotoni stati-

~ki opitcikli~nih deformacija, pri "rastere}e-nju", pomeranju iz ta~ke 3 u suprotnomsmeru, odgovor EP sistema opisan je"putem" 3-4-5-6 itd.

Primer 3.1.....

Za sistem sa jednom masom i perio-

dom oscilovanja T=0,5s, odrediti odgovor sis-

tema na impuls ubrzanja tla koji linearno

raste od ag(t=0)=0 do ag (t=0,1s)=0,2g ,

slika 3.6.a. Za vrednosti faktore redukcije

usvojiti R=1 (elasti~an sistem), 2,5, 5 i 10, a

za prigu{enje x= 0.Za re{enje nelinearnog dinami~kog

problema upotrebljen je program DIANA -TNO Delft /5/. Zadatak je re{en primenomNjumarkove metode integracije i modifi-kovane Njutn-Rapsonove iterativne proce-dure /3/,/4/. Na slici 3.6.a prikazana su rela-tivna pomeranja, a na slici 3.6.b optere}enjeodgovaraju}e konstrukcije, normalizovanona proizvod mase i maksimalnog ubrzanja

tla - pseudo ubrzanje konstrukcije. Kao {toje i nagove{teno, nakon prestanka kretanja

ME EP

dm

dp

k (=0)

d

F

dm

-dm

dp

Fe

Fy

-Fe

-Fy

k

k

1

II

3

4

dy

Eh

Ee1

Ee2

2

I

5

6

a. b.

Slika 3.5 Dinamika elasto-plasti~nog - EP sistema

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Vreme (s)

Pomeranje(mm)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0F/(mag)

R=1,0R=2,5R=5,0

R=10

R=1,0R=2,5R=5,0

R=10Fy=maxFe/R

0,2g

0,1s

a.

b.

Slika 3.6 Odgovor EP sistema na impulsubrzanja tla


22/178

3-4

tla (t=0,1s), EP sistemi osciluju u pomerenom - deformisanom polo`aju, sa smanjenimubrzanjem odnosno optere}enjem sistema, limitiranim usvojenom nosivo{}u sistemaFy.

3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIHSISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Pretpostavimo da je poznat odgovor elasti~ne konstrukcije sa kruto{}u k na datizapis ubrzanja tla, maksimalno seizmi~ko optere}enjeFei relativno pomeranje de, slika 3.7.Potrebno je odrediti tok i maksimalnu vrednost pomeranja dm EP sistema sa istominicijalnom kruto{}u k , ali sa redukovanom nosivo{}u Fy=Fe /R i odgovaraju}im

pomeranjem dy na granici dostizanja nosivosti tj.granici elasti~nosti.

Odnos md= dm/dynaziva se potrebnaduktilnostpomeranja sistema. Da bi se obezbedila stabilnost kon-strukcije, kapacitet pomeranja konstrukcije du treba da

je ve}i od o~ekivanog maksimalnog pomeranja dm pri

zemljotresu. Cilj nelinearnih dinami~kih analiza naj~e{-}e je utvr|ivanje potrebne duktilnosti pomeranja priusvojenoj redukciji nosivosti sistema.

Jedna~ine kretanja (2.6) i dalje va`e napo~etnom delu 1-2, dok na delu 2-3 glasi

md" + cd' + Fy= -md"g (3.1)

a na delu 3-4, slika 3.5.b

md" + cd' + k(d-dp)= -md"g (3.2)

Primer 3.1

Za zapise El Centro, Petrovac i Ulcinj, analizirati odgovor elasto - plasti~nih sistema sa

periodom oscilovanja T=0,5, 1,5 i 3,0 sekunde, za vrednosti faktora redukcije R=2,5, 5 i 10.

Za sva tri zapisa, za maksimalno ubrzanje tla usvojiti ag=0,2g.U prvom koraku odre|eno je maksimalno optere}enje elasti~nog sistema Fe , i

potom su formirani elasto-plasti~ni sistemi sa redukovanom nosivo{}u u odnosu nazahtevanu nosivost elasti~nog sistema Fe . U Tabeli 1 dat je prikaz rezultata analiza za svezapise i periode oscilovanja, dok je na slici 3.8 prikazan vremenski odgovor konstrukcije saperiodom T=0,5 sekundi usled zemljotresa El Centro. Kriva R=1 predstavlja odgovorelasti~ne konstrukcije, koji je prethodno prikazan i na slici 2.4.

d

F

de

dm

=ddy

Fe

Fy=

Fe/R

k

1 dy

2

I

3

md

R

EP

E

4

Lom

du

Slika 3.7 Osnovni parametri EP

modela

Tabela 1 Period T0.50 0.50 0.50 0.50 1.50 1.50 1.50 1.50 3.00 3.00 3.00 3.00

R A/ag D/ag md DM A/ag D/ag md DM A/ag D/ag md DM1.0 2.87 0.018 0.00 0.59 0.034 0.00 0.39 0.088 0.00

El Centro 2.5 1.15 0.013 1.76 0.96 0.24 0.032 2.40 1.21 0.15 0.073 2.08 1.055.0 0.58 0.014 3.89 1.35 0.12 0.037 5.42 1.77 0.08 0.054 3.03 0.9210.0 0.29 0.017 9.31 2.05 0.06 0.055 16.30 2.85 0.04 0.078 8.88 1.351.0 4.85 0.031 0.27 0.015 0.11 0.024

Petrovac 2.5 1.95 0.019 1.54 0.92 0.11 0.022 3.61 1.68 0.04 0.019 2.02 0.985.0 0.97 0.012 1.88 0.90 0.05 0.011 3.57 1.42 0.02 0.014 2.85 0.9010.0 0.49 0.015 4.75 1.12 0.03 0.010 6.42 1.88 0.01 0.016 6.85 1.29

.0 .97 0.0 2 2. 8 0. 24 0.34 0. 5

Ulcinj 2.5 0.79 0.029 5.91 3.01 0.87 0.100 2.02 0.98 0.20 0.125 2.72 1.235.0 0.40 0.052 20.80 6.64 0.44 0.098 3.94 1.06 0.10 0.087 3.80 0.970.0 0.20 0.07 57.30 9.43 0.22 0. 27 0.20 .40 0.05 0.062 5.42 0.9


23/178

3-5

Relativna pomeranja EP sistema u granicama su pomeranja koja dosti`e elasti~ansistem (35,6mm), pri ~emu je najmanje pomeranje sistema sa faktorom redukcije R=2,5(25,0mm = 70% pomeranja elasti~nog sistema), slika 3.8.a.

Kao {to je i zadato, maksimalno optere}enje EP sistema ne prelazi propisanunosivost u odnosu na elasti~an sistem, slika 3.8.b, normalizovano namag.

Deljenjem pomeranja d(t)u nekom trenutku vremena sa odgovoraju}om vredno{}upomeranja na granici elasti~nosti dyza svaki od EP modela, dobija se tok promene faktoraduktilnosti pomeranja md(t), slika 3.8.c. Karakteristi~no je da maksimalna potrebnaduktilnostpomeranjaEP sistema raste sa veli~inom faktora redukcije elasti~nog optere}enja

R. Smanjenje nosivosti "pla}a se" pove}anim zahtevima za obezbe|enje post-elasti~nihdeformacija konstrukcije. Zahtevane vrednosti potrebne duktilnosti pomeranja mdrelativnosu bliske usvojenim vrenostima faktora redukcije optere}enjaR, razlike su do 30%.

U Tabeli 1, prikazane su maksimalne vrednosti odgovora konstrukcija, maksimalno

pseudo ubrzanjeA/agi pomeranjeD/agnormalizovani na maksimalno ubrzanje tla

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25 30

R=1R=2,5R=5R=10

-3

-2

-10

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

-10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

0 5 10 15 20 25 30

35,6

25.0

33,1

9,31 R=10

3,89 R=5

El Centroag=0,2g T=0,5s

Pomeranje (mm)

a.


Sila/mag

1,76 R=2,5


Duktilnost pomeranja md

Trajna deformacija27,7

2,87

2,87/2,5

b.

c.

Slika 3.8 Odgovor EP sistema na zemljotres El Centro


24/178

3-6

ag= 0,2g. Pored maksimalne potrebne duktilnosti pomeranja md, prikazane su i vrednostiindeksa o{te}enja DMkonstrukcije, koji }e biti komentarisan kasnije, u poglavlju 3.6.

Na slici 3.9.a prikazana je zavisnost pseudo ubrzanja A(ag)konstrukcije u funkcijiperioda oscilovanja i faktora redukcijeRza zapis El Centro. Kroz sra~unate vrednosti za triperioda oscilovanja provu~ena je regresiona kriva. Maksimalno ubrzanje pa i optere}enje

konstrukcije opadaju sa porastom faktora redukcijeRkao i sa porastom perioda T.

Na slici 3.9.b prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti pomeranja md u funkciji

faktora redukcijeRi perioda oscilovanja Tza zapis El Centro. U podru~ju perioda duìh odt=0,5 sekundi, trend je da potrebna duktilnost ne zavisi od perioda oscilovanja, kao i da

vrednost potrebne duktilnosti pomeranja teì usvojenoj vrednosti faktora redukcijeR.Izneta zapaànja vaè i za zapis Petrovac, Tabela 1, dok odgovor konstrukcije sa

periodom T=0,5sna zapis Ulcinj pokazuje potpuno odstupanje.

3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA

U praksi je obi~no poznata obezbe|ena vrednost faktora duktilnosti pomeranjamd , atraì se dozvoljena vrednost faktora redukcijeoptere}enjaR, inverzan problem.

Analogno prethodnoj analizi, ali uz malo vi{e truda, mogu da se formiraju inverzne

kriveR(md,T), crtkaste linije na slici 3.10.a. Sistematskom parametarskom analizom razli~i-tih EP sistema podvrgnutih razli~itim zapisima ubrzanja tla, mogu}e je ustanoviti pogodneaproksimacije ove zavisnosti, od kojih je jedna, mo`da i najpoznatija prikazana na slici3.10.a, puna linija, za vrednosti faktora duktilnosti pomeranja konstrukcije md =2,5, 5 i 10.

U podru~ju izrazito kratkih perioda oscilovanja, ispod vrednosti T1 , vrednost faktoraredukcije iznosiR=1, za sve obezbe|ene duktilnosti pomeranja. To je tzv. oblast "jednakihubrzanja konstrukcije i tla ", karakteristi~na za izrazito krute konstrukcije koje se morajuprojektovati na prakti~no elasti~an odgovor konstrukcije.

2.08

3.89

5.42

3.03

9.31

16.30

8.88

1.76

2.40

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

d

R=2,50

R=5,00

R=10,0

2.87

0.39

1.15

0.24

0.58

0.12 0.08

0.29

0.59

0.15

0.040.060.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A(ag)

R=1,00

R=2,50

R=5,00

R=10,0

a. b.

Slika 3.9 Zapis El Centro: a) pseudo ubrzanje, b) potrebna duktilnost pomeranja


25/178

3-7

U podru~ju kra}ih i srednjih perioda T=T1 -T2 , dozvoljena vrednost faktoraredukcijeRmoè da se aproksimira izrazom

R=(md -1)1/2 (3.3)

U podru~ju duìh perioda, T>T2 , za vrednost faktora redukcije moè da se usvoji daje jednaka vrednosti obezbe|enog faktora duktilnosti pomeranja

R = md(3.4)

Ukoliko se vrednosti elasti~nog spektra ubrzanja(R=1)podele odgovaraju}im vrednostima faktora redukcije

R(md ,T), dobija se nelinearni spektar pseudo ubrzanjakonstrukcije , primer za zapis El Centro na slici 3.10.b.

Na slici 3.11 prikazana je uobi~ajena interpretacijanavedenih veza. Iz sli~nosti trouglova dijagramaF-d, moè dase zaklju~i da identitet R=md ustvari zna~i da je pomeranje

EP sistema jednako pomeranju elasti~nog sistema sa istom

po~etnom kruto{}u, fundamentalni zaklju~ak na kome }e sezasnivati propisi, slika 3.11.a.

Prema slici 3.11.b, relacija R=(md -1)1/2 moè da se

interpretira kao uslov jednakih povr{ina ispod dijagramaF-delasti~nog i EP sistema, otuda i naziv "uslov jednakih energija

deformacija".

3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORAÛNA SISTEMASA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

Na osnovu rezultata dosada{njih analiza, moè da se uspostavi koncept prora~unaodgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, koji se zasniva na poznatim nelinearnim

spektrima odgovorakonstrukcija na dejstva zemljotresa, prema algoritmu na slici 3.12.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3Period (s)

R

md=2,5

md=5

md=10

T1 T20

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

A

(ag

)

md=1,0

md=2,5

md=5,0

md=10

a.

b.

a.

Slika 3.10 a) Zavisnost faktora redukcije R od obezbe|ene duktilnosti pomeranja;b) nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije

Fe

Fy=

Fe/R

dy d=de=mddy

R=md

d

Fe

Fy=

Fe/R

dy d=mddy

R=(md-1)1/2

de

d

a.

b.

Slika 3.11 Interpretacija

faktora redukcije R


26/178

3-8

Sa poznatim podacima o geometriji, materijalu, optere}enju konstrukcije kao imaksimalnom o~ekivanom ubrzanju tla ag , projektant moè da sra~una period oscilovanjaT1 . Na osnovu tipa konstrukcijskog sistema, nivoa aksijalnog optere}enja i predvi|enihdetalja armiranja, usvaja se obezbe|ena duktilnost pomeranjamd , recimo md =5. Na osnovusra~unatog perioda i duktilnosti, sa referentnog nelinearnog spektra ubrzanja o~itava se

vrednost ubrzanja konstrukcijeA(ag), pa je projektno optere}enje jednako proizvodu mase,ubrzanja tla i normalizovanog ubrzanja,Fd =(Fy)=magA.

Sa projektnim optere}enjem vr{i se "stati~ki prora~un", odre|uju se naprezanjadelova konstrukcije, dimenzioni{u preseci i proverava stvarno pomeranje konstrukcije prizemljotresu, polaze}i od pomeranja na granici elasti~nosti. Kona~no, vr{i se konstruisanjedetalja tako da se obezbedi pretpostavljena vrednost duktilnosti pomeranja konstrukcije.

U prethodnom poglavlju, nelinearni spektar ubrzanja konstrukcije konstruisan jerazmatraju}i elasto-plasti~ni model odgovora konstrukcije. Izloèni algoritam seprincipijelno ne menja i ako se odgovor konstrukcije modelira na neki drugi na~in, kojibolje opisujerealni odgovorkonstrukcija od armiranog betona, na primer. Osnov koncepta

je da, za poznatu duktilnost pomeranjakonkretne konstrukcije,nosivost nelinearnog sistemamoè da se redukuje u odnosu namaksimalni odgovor elasti~nog sistema.

3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA IEKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA

Rezultat dosada{njih razmatranja je da je definisan odgovor elasti~ne, kao i elasto-

plasti~ne konstrukcije na zemljotres - pomeranje dmodnosno potrebna duktilnost pomera-nja md , definisana kao odnos maksimalnog pomeranjadmnelinearnog sistema pri zemljo-

W

H

m=W/g

b,d,MB kT1=2p(m/k)

1/2

Procenad(= 5,0)

0

1

2

3

0.0 1.0 2.0 3.0

Period (s)

md=1,0

md=2,5

md=5,0

md=10

Projektno seizmi~kooptere}enje

Fd = (Fy) = m agA

ag

W

Stati~ki

prora~un

Fd

M,Q,N,d

Dimenzionisanje

presekaKontrola pomeranja

Konstruis.detalja

Obezbe|enjed

T1

A

(ag

)

Slika 3.12 Koncept prora~una konstrukcija na bazi nelinearnog spektra

ubrzanja konstrukcije


27/178

3-9

tresu i pomeranja dypri dostizanju nosivostinelinearnog sistema. Me|utim, koliki treba dabude kapacitet pomeranjakonstrukcije dupri monotonom stati~kom optere}enju, da bi nivoo{te}enja konstrukcije nakon zemljotresa bio u prihvatljivim, èljenim granicama? - nijedefinisankriterijum prihvatljivog odgovora nelinearne konstrukcijepri zemljotresu.

Kao najjednostavniji kriterijum moè da se usvoji odnosmaksimalnog pomeranja dmpri zemljotresu i obezbe|enog kapaciteta pomeranjadukonstrukcije primonotonomstati~komprinudnom pomeranju, slika 3.13. Tada indeks o{te}enja konstrukcije DM iznosi

DM=dm/du= md/mu< 1 (3.5)

gde je mu=du /dy duktilnost pomeranja pri dostizanju loma, iscrpljenja nosivostikonstrukcije. Ako je pri zemljotresu indeks o{te}enja dostigao vrednostDM=1, konstrukcijaje dovedena u stanje kolapsa. Projektant moè da uti~e na nivo za{tite konstrukcije odo{te}enja izborom odgovaraju}e ve}e vrednosti du .

Kriterijum (3.5) prihvatljiv je u slu~aju odgovora konstrukcija sa jednim izraènimpomeranjem preko granice elasti~nosti dy , i sa zanemarljivom akumulacijom o{te}enjazbog

ve}eg broja ciklusa post-elasti~nih deformacija.Me|utim, u situacijama kada konstrukcija trpi ve}i broj zna~ajnijih ciklusa post-elasti~nih deformacija, akumulacija o{te}enja u toku duèg trajanja jakog dela zemljotresamoè da "iscrpi" konstrukciju. U takvim slu~ajevima, kao mera o{te}enja konstrukcije ~estose usvajakombinovana vrednostindeksa o{te}enja u obliku

DMd

d

E

F d

m

u

h

y u

= +bS

(3.6)

gde je SEh integral potro{ene energije -histerezisne kriveEP sistema, slika 3.13, ~ija vred-

nost raste sa duìnom trajanja zemljotresa odno-sno sa brojem ciklusa,Fy je nosivost sistema, dokje prvi ~lan dm/du ve} definisan izrazom (3.5.).Vrednost faktora butvr|uje se eksperimentalno,a za kvalitativnu analizu odgovora AB konstruk-

cija moè da se usvojib=0,15/6/.Kao i ranije, vrednostDM=1defini{e potpuno iscrpljenjenosivosti konstrukcije.Primer 3.2.......

Na slici 3.14 prikazan je tok promene vrednosti indeksa o{te}enja DM u toku

d

F

de

-du

Fe

-Fy

k

1

Eh

2 "Lom"

dy dm

3

45

6

du

Fy

Monotoni opit

Slika 3.13 Indeks o{te}enja DM

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=0,5;R=10

T=1,5;R=5

T=3,0;R=5

T=3,0;R=2,5T=0,5;R=2,5

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=1,5;R=5

a. b.

Slika 3.14 Zapis El Centro, indeks o{te}enja DM: a) du= de; b) du> de


28/178

3-10

trajanja zemljotresa El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla ag=0,2g. Dijagram 3.14.a do-bijen je uz pretpostavku da jekapacitet pomeranja dupri monotonom optere}enju upravo jed-nak maksimalnom ostvarenom pomeranju deodgovaraju}e elasti~ne konstrukcije, du= de .U tom slu~aju je mu=R, slika 3.7. Po~etna vrednost indeksa, DM(t=0), pretstavlja ustvari

izraz (3.5), da bi potom vrednost indeksaDMrasla u toku trajanja zemljotresa.

Predvi|eni kapacitet pomeranja je nedovoljan (DM>1), po pravilu u slu~ajevimave}ih stepena redukcije optere}enjaR, kada je zna~ajan udeo akumilacije o{te}enja, drugi~lan izraza 3.6, slika 3.13. Za dati zapis zemljotresa, kapacitet deformacija konstrukcije duuovom slu~aju treba korigovati.

Na slici 3.14.b prikazana je promena indeksa DMza korigovanu konstrukciju, kodkoje je za kapacitet pomeranja du pri monotonom optere}enju usvojeno: du = 1,5de uslu~aju R=2,5, du = 1,8de u slu~aju R=5 i du = 2,4de u slu~aju R=10. Kao {to se vidi,

vrednosti indeksaDMprakti~no su svedene u graniceDM=1, osim za slu~aj konstrukcije saperiodom T=1,5 za koju je vrednost faktora redukcije optere}enja R=10u ovom slu~ajuprevelika.

Tok akumulacije o{te}enja u toku trajanja zemljotresa Petrovac i Ulcinj prikazan je

na slikama 3.15 odnosno 3.16. Za konstrukciju sa periodom T=0,5 sekundi "lociranu" uUlcinju "nema spasa", ako bi se stvarno pona{ala prema primenjenim modelima.

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=10

T=3,0;R=10T=1,5;R=5

T=1,5;R=2,5

T=0,5;R=10

0

1

2

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=1,5;R=2,5

a.

b.

Slika 3.15 Zapis Petrovac, indeks o{te}enja DM: a) du= de; b) du> de

0

1

2

3

45

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25Vreme (s)

DM

T=0,5;R=10

T=0,5;R=5,0

T=0,5;R=2,5

a. b.

Slika 3.16 Zapis Ulcinj, indeks o{te}enja DM: a) du= de; b) du> de


29/178

3-11

Rezultati izvr{enih analiza ukazuju da je u znatnom broju slu~ajeva potrebnoobezbediti ne{to ve}ipotreban kapacitet duktilnosti pomeranja mupri monotonom optere}enjuod zahtevane duktilnosti pomeranja mdpri zemljotresu - tzv. ekvivalentnu duktilnost, na~elno

m m amu d dDM= +( )1 (3.7)

gde se za vrednost faktora a mo`e kvalitativnousvojiti a=0,10. Za vrednost DM=1,0, relacija 3.7prikazana je na slici 3.17, za dve vrednosti parametra a.

^emu vrednost DM u izrazu 3.7? Kvalitativno,smatra se da su u slu~aju kada je DM


30/178

4-1

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEMU ARMIRANOM BETONU

UVOD

U prethodnim razmatranjima analiziran je odgovor konstrukcije sa elasto-plasti~nom vezomsile i pomeranja vrha. U ovom poglavlju, analiza silazi na nivo popre~nogpreseka i razmatraju se zahtevi koji se postavljaju u pogledu potrebnih krivina presekaodnosno veza napon - dilatacija na nivou materijala. U nastavku, razmatra se kapacitetnelinearnih deformacija uobi~ajenih betonskih preseka i konstrukcija, kao i konstrukcijskemere za pove}anje kapaciteta - utezanje betonskih preseka uzengijama. Na kraju je datprikaz jednog ispitivanjakao i savremenih postupakamodeliranjaAB konstrukcija.

4.1 KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE

Ako su rezultati prethodnih analiza zadovoljavaju}i, postavlja se pitanje kakorealizovati EP model pomeranje-sila u realnim konstrukcijama sa jednim stepenomslobode, konzola na slici 4.1.a.

Da bi se postigla elasto-plasti~na vezasila-pomeranje F-d, neophodan uslov je da jebar na delu visine konstrukcije mogu}e realizovati elasto-plasti~nu vezu moment-krivina

preseka M-k , slika 4.1.b.

Primer 4.1........

Odgovor elasti~ne konstrukcije na dejstvo sile F u vrhu konzole je moment Me=FH u

uklje{tenju, pomeranje vrha dm i krivina preseka u uklje{tenju ke slika 4.1.a-b. Za zahtevanu

vrednost duktilnosti pomeranja md i uz pretpostavku da je faktor redukcije optere}enja R=md,

potrebno je konstruisati konstrukciju za koju }e moment u uklje{tenju imati vrednost My=Me/R. Krutost konstrukcije na pomeranje odrediti prema krutosti preseka na savijanje EI .

Sa poznatom vredno{}u momenta u uklje{tenju - nosivosti preseka My=Me /R

odre|ena je ikrivina na granici elasti~nostiky=My/EI, slika 4.1.b. Prema Morovoj analogiji,pomeranje dyvrha konzole na granici elasti~nosti iznosi

d H H Hy yy

= =0 5 23 3

2

,k k (4.1)

W

Krivina

Pomeranje

km

=mkk

y

ky

H

Hp

mk

dm

=mdd

ydy

ke

EP

E

md

b.

F

Me

My=M

e/R

R

EP

E

a.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2Du`ina plast. zgloba - Hp/H

Potrebnadukt.krivine-mk

md=2,5

md=5,0

md=10

c.

Slika 4.1 Obezbe|enje elasto-plasti~ne veze sila-pomeranje


31/178

4-2

Ostatak pomeranja vrha do zahtevanog iznosa dm realizova}e se konstruisanjemplasti~nog zgloba u oblasti uklje{tenja. Sve elasto-plasti~ne deformacije konstrukcije bi}ekoncentrisane na duìni plasti~nog zgloba Hp , sa nepoznatom maksimalnom vredno{}u

krivine presekakm= mk ky, slika 4.1.b. Za ostali deo konstrukcije pretpostavlja se da ostajeu oblasti elasti~nog odgovora materijala. Za duìnuHpplasti~nog zgloba okvirno moè da

se usvoji polovina dimenzije dpreseka elementa u ravni savijanja.Pomeranje dvrha konzole usled pove}anih krivina preseka preko granice elasti~nosti

na duìni plasti~nog zglobaHpiznosi

d k k k m = - - = - -( ) ( ) ( ) ( , )m y pp

y k p

p

H HH

HH

H21 0 52 (4.2)

Da bi se obezbedilo zahtevano pomeranje vrha konzole dm , treba da je zadovoljen uslov

d= dm - dy= dy(md -1) (4.3)

Uvr{}enjem (4.1) i (4.2) u (4.3) dobija se veza potrebne duktilnosti krivine mk na duìni

plasti~nog zglobaHpi zahtevane duktilnosti pomeranja vrha konzole md

mk

k

mk

m

y

d

p pH

H

H

H

= = +-

-

11

3 1 0 5( , )

(4.4)

Na slici 4.1.c prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti krivine mku funkciji duìne

plasti~nog zglobaHpi zahtevane duktilnosti pomeranja md . Veza vaì za bilo koji materijal,~elik, beton, druga je stvar da li se potrebne duktilnosti krivina mogu, i pod kojim uslovima

realizovati. Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja md = 5i duìni plasti~nog zgloba Hp/H =

0,10, potrebna duktilnost krivine iznosi mk=15, {to uop{te nije malo, u slu~aju AB

konstrukcija.

Primer 4.2.........

Na slici 4.2 prikazan je okvir sa beskona~no krutom riglom - "smi~u}i okvir". Pri

pomeranju vrha od dm, na slici 4.2.b prikazana je raspodela krivina, koja se moè interpretirati

kao dve ekvivalentne konzole visine H. U ovom slu~aju, relacija (4.4) glasi

mk

k

mk

m

y

d

p pH

H

H

H

= = +-

-

10 5 1

3 1 0 5

,

( , )

(4.5)

Pri zahtevanoj duktilnosti

pomeranja md =5, i duìni plas-ti~nog zgloba Hp /2H = 0,10,potrebna duktilnost krivine izno-

si mk=3,8 {to je u slu~aju ABkonstrukcija lako ostvarljivo.

Da bi se ostvarilapotrebna duktilnost pomeranjakonstrukcije, i konstrukcijski

sistem igra zna~ajnu ulogu.

dm

H

H

Hp

ky

km

Ekvivalentnakonzola

a. b.d

m/2

dm/2

Slika 4.2 EP smi~u}i okvir


32/178

4-3

4.2 NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA

U armirano betonskim konstrukcijama, krivina preseka k posti`e se dilatacijama

skra}enja usled pritiska u betonu - ec i izdu`enja ~elika es, slika 4.3.a

k= (ec+ es)/h (4.5)

Da bi se u zoni plasti~nog zgloba uop{te realizovale nelinearne deformacije betona iarmature, armatura mora da bude pouzdano usidrena u temelj, uz efikasno fundiranje koje}e da obezbedi da se pomeranje vrha konzole realizujekrivinama preseka, a ne rotacijom ili"skakutanjem" temelja.

Primer 4.3.........Pri dimenzionisanju nosivostipreseka za uticaje uobi~ajenih optere}enja, dilatacije su

propisima ograni~ene na ec


33/178

4-4

Za kvadratni presek stuba prikazani su dijagramiM-n-k (n=N/b 2bB) sa dilatacijama~elika ograni~enim na 0,010 odnosno 0,040, "mimo propisa". Sa porastom aksijalnogoptere}enja, opada grani~na vrednost krivine preseka pri lomu. Dopu{tanje ve}ih dilatacija~elika pove}ava grani~nu vrednost krivine preseka, ali samo pri niìm nivoima aksijalnogoptere}enja, u slu~ajevima "loma po armaturi". Duktilnost krivine pri ~istom savijanju iznosi

4 - 5 (es< 0,010)odnosno 8 - 10 (es< 0,040), {to ne obe}ava, slika 4.1.c.Poku{aj da se pri nivou aksijalnog optere}enjan = 0,20duktilnost krivine preseka

pove}a pove}anjem procenta armiranja m, slika 4.3.c ili marke betona, slika 4.3.d ne}e datizadovoljavaju}e rezultate.

Postavlja se pitanje moè li se onda uop{te ne{to posti}i u armiranom betonu, moguli se u slu~aju zemljotresa obezbediti pove}ane dilatacije armature i betona, makar i uzsmanjenu nosivost preseka?

Na slici 4.4 uobi~ajeni "radni dijagrami" betona i ~elika prikazani su linijom 1, doklinije 2 prikazuju "poèljne" dijagrame, odgovor materijala u slu~aju zemljotresa. Na

dijagramu s-e~elika, linija 3 je u slu~aju zemljotresa nepoèljna, ~elik treba da poseduje

osobinu oja~anja- linija 2, kako bi se obezbedila ve}a duìna plasti~nog zgloba, postepenimpropagiranjem dilatacijate~enja armature du` elementa.

Na slici 4.5 prikazani su rezultati jednoaksijalnih opita betona i ~elika. Dok se uslu~aju rebrastih ~elika mogu dopustiti pove}ane dilatacije ~ak i do 10%, slika 4.5.b, dotle

su dilatacije pritiska betonskih cilindara sa ~vrsto}om fc' u granicama definisanim propisma.

"Lom"

0,2 0,35

bb

e(%)

s

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

1,5?

12

bbu

"Lom"

1,0

fy

e(%)

s

"Lom"

"g+p"

Zemljotres

6,0?

1

2

3

ft

a. b.

Slika 4.4 Radni dijagrami a) betona i b) ~elika

Dilatacija (%)

Napon(M

Pa)

0

10

20

30

40

50

60

70

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Dilatacija

Nap

on

(MPa

)

fc'=60

fc'=50

fc'=40

fc'=30

fc'=20 a. b.

0,0035

Slika 4.5 Rezultati jednoaksijalnih opita: a) betona i b) ~elika /8/


34/178

4-5

Pove}anje duktilnosti krivine dopu{tanjem pove}anih dilatacija ~elika nije dovoljno,potrebno je da se nekako pove}a i kapacitet deformacija betona.

Opiti na slici 4.5.a su naravno izvedeni na nearmiranim betonskim prizmama. Narezultatima ovih opita jednoaksijalne ~vrsto}e zasnivaju se uobi~ajeni algoritmi prora~unapreseka na savijanje sa normalnom silom, u kom slu~aju se jednoaksijalno stanje napona

prostire na delu ukupne povr{ine popre~nog preseka. U realnim konstrukcijama,"jednoaksijalna ~vrsto}a preseka elementa" je ve}a, jer se bo~nom {irenju betona pripove}anim dilatacijama pritiska, sa pojavom podu`nih prslina u pravcu optere}enjasuprotstavljaju uzengije preseka - preseci su "popre~no utegnuti", slika 4.6.b-c.

Bo~nom {irenju betona opire se ustvari "omota~" od podu`ne armature i uzengija.

Efikasnost utezanja zavisi od koli~ine i podu`nog razmaka uzengija, granice razvla~enja~elika ali i od razmaka podu`nih {ipki koje su "bo~no pridràne - poduprte" uzengijama,slika 4.6.c. Ovaj omota~ defini{e utegnutojezgro presekadimenzija b0prema slici 4.6.b.

Primer 4.4.......Za opisivanje efekata utezanja betona na pove}anje jednoaksijalne nosivosti i

deformabilnosti postoje razli~iti predlozi,jedan od njih ilustrovan je na slici 4.6.a /2/.Kriva B1 predstavlja paraboli~nu aproksi-maciju rezultata opita sa slike 4.5.a zafc'=25

MPa, a linija B2 se odnosi na isti beton, aliutegnut uzengijama Rf10/10 prema slici4.6.b. Pove}anje nosivosti je zna~ajno, i {to je

va`nije, kapacitet dilatacija - deformabilnostije pove}an.

Za dalje ra~unske analize, pret-postavljen je ne{to niì efekat utezanja -betonB3 , sa pove}anom ~vrsto}om odfc'=35

MPa koja se dostiè pri dilataciji betona od0,004, slika 4.6.a.

Na slici 4.7 prikazani su rezultatiprora~una moment - krivina preseka prema

bw

lw

B3

B1-B

3?

B1

0.0

10.1

25.0

39.7

19.9

0

5

10

1520

25

30

35

40

45

0 0.005 0.01 0.015

Dilatacija

Nap

on

(MPa)

B1

B2

B3

0,0022

0,004

F=fus

v

34

b0=34

B3

B1

a.

c.

b.

d.

40

Slika 4.6 Utezanje AB preseka uzengijama

0

50

100

150

200

250

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Krivina (1/m)

Moment(kNm)

Neutegnut presek - (B1)

Utegnut ceo presek - (B3)

Utegnuto jezgro preseka

- jezgro (B3)

- za{titni sloj (B1)

1

2

3

Slika 4.7 Efekat utezanja betona


35/178


36/178

4-7

odgovaraju}om krivinom od 0,00051/m, efektivna krutostpreseka iznosiEIeff = 1,2 107kNm

2, {to je 5,5puta manje od krutostiEI0 brutoI- preseka zida.

Primer 4.6.......

U praksi ~est slu~aj usvajanja karakteristika samo rebra za prora~un krutosti preseka

sloènih zidova, zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona nazatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutostipreseka, osim armature u ovom zonama.

Me|utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida koji nemaflan{e tako|e usvojiti prora~unsku vrednost efektivne krutostiEIef , manju od krutosti brutopresekaEI0, {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj.

Na slici 4.9 prikazani su dijagramimoment-krivina pravougaonog zida, rebrazida na slici 4.8.a, sa istim normalnimnaponom od gravitacionog optere}enja i

istim minimalnim procentom armiranja.Efektivna krutost preseka iznosi EIef

= 2,8 10 6kNm 2, linija 2, {to je ~ak 4,1 putamanje od krutosti bruto pravougaonogpresekaEI0 , linija 1 na slici 4.9.

Usvajanje sniène krutosti zida I -preseka i pune krutosti zida pravougaonogpreseka za posledicu ima poreme}ajrelativnih krutosti elemenata konstrukcije,{to ima uticaja na prora~unske uticaje

sloènih sistema, poglavlje 6.11.

4.4 REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIHKONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA

Elasto-plasti~ni model jeste jednostavan za obja{njenje problema, dovoljno ta~noopisuje pona{anje betonskih preseka pri monotonim optere}enjima u istom smeru, ukoliko

je lom po ~eliku, koji i daje karakter krive. Me|utim, pri cikli~nim deformacijama usledzemljotresa, fenomeni su sloèniji i modeliraju se drugim, sloènijim vezama moment -krivina ili sila - pomeranje.

Zbog poznatog Bau{ingerovog efekta, ni sam ~elik ne pokazuje idealan elasto-

plasti~an odgovor na cikli~ne deformacije, dolazi do zaobljenjakrive odgovora, sa povr{inom histerezisne krive manjom odelasto-plasti~nog odgovora, slika 4.10.

Pri formulisanju racionalnih modela pona{anja ABkonstrukcija pri zemljotresu, nezamenljivu ulogu imajulaboratorijski eksperimenti kao i osmatranja pona{anja realnihkonstrukcija pri zemljotresu. Kao primer, na slici 4.11 prikazana

je dispozicija opita na modelima AB trospratnih zidova izvedenihna ETH - Cirih /8/.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

Krivina (1/m)

Momen

t(kNm

)

0,75My = 1800kNm

0,00065

EIef

=1800/0,00065 =2,8 106 kNm2

My=2400 kNm

1

2

EI0=4,1EIef

Slika 4.9 Krutost pravougaonog preseka zida

s

e

1 2

3

4

5

6

7

Slika 4.10 Cikli~ne

deformacije ~elika


37/178

4-8

Model zida trospratne zgradeu razmeri 1:3, sa tri mase od po 120kN, testiran je zadavanjem ubrzanja

vibracionoj platformi pomo}u prese- aktuatora, prema sintetizovanom

akcelerogramu. Efekat gravitacionogoptere}enja simuliran je vertikalnimprethodnim naprezanjem.

Na slici 4.12 prikazani surezultati opita cikli~nog monotonogoptere}enja dva zida, razli~itoarmirana. Zid na slici 4.12.b poka-zuje dobar - poèljan odgovor za ABkonstrukcije. Elasto- plasti~ni

dijagram monotonog opita je anvelopa cikli~nih deformacija, ali histerezis znatno odstupa

od elasto-plasti~nog modela (EP), suèn je i pokazuje tendenciju pada krutosti u tokuciklusa. Povr{ina histerezisa je manja nego u slu~aju teorijskog elasto-plasti~nog modela,samim tim i koli~ina potro{ene energije.

Zid na slici 4.12.a pokazuje nepoèljnu, ali sasvim mogu}u situaciju u praksi. Osimpada krutosti preseka, prisutan je i pad nosivosti sa pove}anjem broja ciklusa, i definitivnilom pri relativno malom broju ciklusa.

4.5 MODELIRANJE ABKONSTRUKCIJA

Sve do pojave rezultata opita namodelu realne AB konstrukcije iz prethodnogpoglavlja, teorija zasnovana na elasto-

plasti~nom modelu odgovora konstrukcije je"lepo napredovala". Budu}i da se konstrukcijeod betona stvarno izvode, i to uglavnomprema Propisima, zna~i da re{enje ipakpostoji. Pre napu{tanja razmatranja efekatazemljotresa na primeru najjednostavnijekonstrukcije, konzole sa jednom masom,potrebno je bar nagovestiti kako }e to "beton"

"Mase"3x120 kN

"N-sila"Kablovi

"AB zid"R=1:3

Vibracionaplatforma

Aktuator

Slika 4.11 Dispozicija opita /8/

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

aa

uaora

M omentuuklje{tenj u

(kNm)

S

ilaaktuatora(kN)

Mom

entuuklje{tenj u

(kNm)

Horizontalno pomeranje vrha (mm)

Monotoni opit Monotoni opit

Pad nosivosti

Pad krutosti

a. b.

EP

Beton

Slika 4.12 Histerezisne krive /8/

Fy

Fy

d

k0

dydy

kn

kr

1 2

3

4

56

7

8

910

Slika 4.13 Model F-d sa uticajemakumulacije o{te}enja na krutost


38/178

4-9

sa slike 4.12.b da se uklopi u op{ti algoritam iz poglavlja 3.5.Ako elasto-plasti~ni modelF(sila, moment)- d(pomeranje, krivina preseka)ne opisuje

korektno odgovor realnih AB konstrukcija, onda treba "smeniti" model. Na slici 4.13kvalitativno je prikazanra~unski model odgovorakakvi se danas koriste u nelinearnoj analizi

AB konstrukcija izloènih dejstvu zemljotresa. Inicijalna krutost k0 kao i nosivost Fy (pri

~emu plato ne mora da bude horizontalan) odre|enimonotonim opitom formiraju kosturkrive. Zavisno od trenutnog iznosa deformacije d, ali i od istorije deformacija, krutostsistema se menja u toku cikli~nih deformacija pri zemljotresu. Pravila po kojima seodre|uju krutostikn, kritd. pojedinih grana,histerezisna pravila,utvr|uju se usagla{avanjemsa eksperimentalno utvr|enim rezultatima, prema slici 4.12 na primer.

Osim {to je formulacija matemati~ki komplikovanija,princip analize je isti kao i u slu~aju EP modela. Ako su ukonstrukciji definisane zone plasti~nih zglobova, odgovor tihzona moè da se opi{e prethodnim modelom, dok se za ostaledelove konstrukcije moè usvojiti da se pona{aju elasti~no -

koncept "koncentrisanog nelinearnog odgovora" u ~vorovima{tapova modela konstrukcije.

Danas je popularan koncept "makroskopskogmodeliranja", gde se deo zida visine h, na primer, modeliravi{eslojnim sistemom nelinearnih opruga, od kojih svaka, k1 -knmoè da ima svojehisterezisno pravilo, tako da ukupni efekatbude usagla{en sa rezultatima eksperimenata, slika 4.14.

Za razliku od prethodnih, "makroskopskih modela",koji su trenutno jedino racio-

nalno re{enje za modeliranjekonstrukcija objekata u celini,metod kona~nih elemenata seuglavnom koristi zanelinearnu seizmi~ku analizudelova ili detalja AB kon-strucija - "mikroskopsko mo-deliranje".

Na slici 4.15 prikazanje model sedmospratnogarmiranobetonskog sloènogzida, kod koga su prva dvasprata, beton i sva armaturamodelirani nelinearno, a zaostatak konstrukcije je usvo-

jen idealno elasti~an model/11/. Ukupna masa konstruk-cije koncentrisana je u visinipetoga sprata, nivou "rezul-tante" seizmi~kog optere}e-nja. Napon u betonu usled

k1

k2

k3

Konzola

h

Slika 4.14 Vi{eslojni model

nelinearnih opruga

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4

fcm=38

fc=30

fctm=2.9-1

C30/37

2.2

Ecm

=31935

f (MPa)

e (0/00)

c.)

14x200=2800

13x200=2600

3000

2800

F1 R1

F2 R2

e=200

b.)

Strana 1

Strana 2

1

2

3

4

5

6

7

Neelasti~no

Elasti~no

7x

3000=21000

+Pomeranje

W/2

W/2

a.)

Strana 1 Strana 2

F1

R1

Slika 4.15 "Mikroskopsko modeliranje": a) model zida,b)presek i raspored armature, c) jednoaksijalni model betona


39/178

4-10

gravitacionog opetere}enja u ovom slu~aju iznosi 2,0MPa, dok ujedna~eni procenatarmiranja vertikalnom armaturom iznosi 1,2%. Nelinearna stati~ka i dinami~ka analizaura|ene su programom DIANA-TNO /5/.

Pomeranjem oslonca u nivou masa, prema shemi ciklusa na slici 4.16, prvo jedefinisan stati~ki odgovor konstrukcije, sila-pomeranje u nivou masa, pri monotonomcikli~nom optere}enju, slika 4.16. Prora~un je zavr{en pri maksimalnom pomeranju od250mm i duktilnosti pomeranja q

d

=4,2, znatno iznad prognoziranog pomeranja od 150mm,prema elasto-plasti~nom modelu prethodno analiziranom, slika 4.18.

Pre dinami~ke analize utvr|en je period oscilovanja sistema sa jednom masom. Sabruto kruto{}u celog I-preseka zida, period iznosi T=0,6s, dok se sa efektivnom kruto{}uperiod produ`ava na T=1,2s. Seizmi~ka analiza ura|ena je za sekvencu od prvih osam

sekundizapisa El Centro, normalizovanom na maksimalno ubrzanje tla ag=0,40g. U slu~ajuelasti~ne konstrukcije, u toku ovekarakteristi~ne sekvence trajanja pojavljujuse ekstremi svih veli~ina - pomeranja iubrzanja. Odgovor sistema prikazan je naslici 4.17, dok je tok pomeranja za tri

razli~ita koncepta modeliranja prikazan naslici 4.18.

Na kraju ovog informativnog pregle-da, poenta: eksperimenti, osmatranje objekata

posle zemljotresa, sofisticirani ra~unski modeli

uz silan trud entuzijasta, treba projektantima u

praksi da defini{u vezu dozvoljenog faktora

redukcije optere}enja i obezbe|ene duktilnosti

pomeranja - nelinearni spektar ubrzanja za

AB konstrukcije prema "jednostavnom"

algoritmu na slici 3.15.

a2.)-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Pomeranje (mm)

Sila

(kN)

ZID Z3-2El Centro-0,4g

F=1500

d=-75.3

BAB87

Slika 4.17 Odgovor sila-pomeranje pri zapisuEl Centro du`ine 8 sekundi

250

-250

d (mm)

0

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Pomeranje (mm)

Sila(kN)

DIANA

BAB87

ZID Z3-2

qd=1 qd=4.2

a.)

Numeri~ka

gre{ka

1

2 3 4

Slika 4.16 Odgovor sila-pomeranje primonotonom cikli~nom opitu

-1 6 0

-1 4 0

-1 2 0

-1 0 0

- 80

- 60

- 40

- 20

0

20

40

60

80

10 0

12 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Vreme (s) Pomeranje(mm)

DIANA

Elasti~no T=0,6sElasto-plasti~no

ZID Z3-2El Centro-0,4g

Slika 4.18 Pomeranje u toku zemljotresa


40/178

5-1

5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE

UVODSva dosada{nja razmatranja odnosila su se na sistem sa jednim stepenom slobode.

Sistemi sa vi{e masa - stepeni slobode su naravno naj~e{}i u praksi. Elasti~ni odgovor

ovakvih sistema obi~no se analizira primenom multi-modalne analize, koja se zasniva naprincipu superpozicije uticaja. Me|utim, u nelinearnim problemima princip superpozicijene vaì. U narednom poglavlju, prethodno razvijena re{enja za sistem sa jednim stepenomslobode se generalizuju i na sloènije sisteme, pod odre|enim uslovima. U nastavku,analiziraju se elasto-plasti~ni modeli sloènih konstrukcija - plasti~ni mehanizmi, kao ikoncept obezbe|enja pouzdanog mehanizma pri zemljotresu - koncept programiranog

pona{anja. Informativno, prikazani su i koncepti pojednostavljenih metoda nelinearnestati~ke analize.

5.1 REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ

DINAMIKE KONSTRUKCIJAU realnim konstrukcijama mase su raspodeljene u prostoru, formalno se moè

govoriti o beskona~nom broju stepeni slobode.Nakon {to je realna masa konstrukcijekoncentrisana u ~vorovima, dvoeta`ni okvir u

ravni na slici 5.1.a predstavlja model sa 12 stepeni slobode. Ako se elimini{unebitni stepenislobode -vertikalne oscilacije masa kao i njihova rotacija, dobija se sistem sa ~etri stepenaslobode - horizontalne translacije, slika 5.1.b.

Ukoliko su grede okvira i tavanicakruti u svojoj ravni, tada su pomeranja masa iste

etaè jednaka, pa se broj stepeni slobode svodi na dva nezavisna spratna pomeranja, slika5.1.c-d. Broj stepeni slobode jednak je broju etaàkonstrukcije.

U slu~aju prostornih konstrukcija zgrada, ukolikosu tavanice dovoljno krute u svojoj ravni, pomeranja svihelemenata vezanih sa tavanicom mogu da se izraze prekotri komponenete pomeranja, dve translacije i rotacija nekekarakteristi~ne ta~ke u ravni tavanice, obi~no centra maseCM, slika 5.2. Ukoliko objekat ima n - etaà, i ukoliko semasa objekta koncentri{e samo u nivou tavanica, ukupan

broj stepeni slobode prostorne konstrukcije iznosi samoN=3n.

ag

n=12 n=4 n=2 k1

k2

m1

m2

d1

d2

a. b. c. d.

Slika 5.1 Redukcija broja stepeni slobode

A

CM

A'

CM'

dXM

dYM

fM

R

Slika 5.2 Pomeranja krute

tavanice


41/178

5-2

Da broj stepeni slobode moè da zavisi i odpravca dejstva pobu|iva~a, ilustrovano jena slici 5.3. Ukoliko ubrzanje tla deluje u ravni simetrije, kretanje sistema moè da se opi{e

jednim pomeranjem dx , slika 5.3.a. Ukoliko je smer pobude u pravcu y - ose sistema, za

opisivanje kretanja potrebna su dve veli~ine, translacija dy i rotacija mase f. U op{temslu~aju, slika 5.3.c, za opisivanje kretanja jedne mase potrebne su tri komponenete

pomeranja - stepena slobode.

Elasti~ni sistemi sa vi{e stepeni slobode u praksi se naj~e{}e re{avaju primenommulti-modalne analize, sa uzimanjem u obzir uticaja vi{e relevantnih tonova oscilacija.Ukupni rezultati dobijaju se kombinovanjem rezultata uticaja pojedinih tonova, primenomSRSSmetode ("kvadratni koren sume kvadrata") na primer.

5.2 UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA

U slu~aju konstrukcija ~ija je dispozicija regularna kako u osnovi tako i po visini,ve}ina propisa pojednostavljuje problem dozvoljavanjem primene upro{}ene modalneanalize. Osnovna pretpostvaka je da ukupna masa sistema osciluje samo u prvom, osnovnomtonu, ~iji period i oblik oscilovanja dovoljno ta~no opisuju kretanje sistema, slika 5.4.a.

Realni sistem sa vi{e masa, teìna spratova Wi koji osciluje u prvom tonu, slika 5.4.a,moè da se zameni ekvivalentnim sistemom sa jednim stepenom slobode, ~ija je masa m

jednaka ukupnoj masi realnog sistema, i koji ima isti period oscilovanja T1 , slika 5.4.b.

x

y

dx

ag

m

n = 1(dx)

x

y

earthquake design of buildings

Documents