ecuatii cinetice si transport

Marian Negrea

Ecuatii cinetice si transport

Note de curs

May 13, 2009

Springer-VerlagBerlin Heidelberg NewYorkLondon Paris TokyoHongKong BarcelonaBudapest

1. Introducere

1.1 Stari, functii dinamice, evolutie

1.1.1 Consideratii generale

Obiectul principal al acestei monografii este studiul unor aspecteale evolutiei temporale a unui sistem dinamic. In literatura mod-erna consacrata fenomenelor neliniare sensul abstract al expresieisistem dinamic este urmatorul: sistemul dinamic este pur si sim-plu reprezentat de un set de ecuatii care definesc legile de evolutieale unor functii matematice care depind de timp. Materia incon-juratoare poate fi studiata la doua nivele diferite: macroscopic simicroscopic.La nivel macroscopic sistemul este descris intr-o forma accesi-

bila direct observatiilor noastre experimentale.Exemple: un gaz sau lichid intr-un vas sau o bucata de solid. La

nivel microscopic acelasi sistem fizic este descris ca un ansamblude atomi sau molecule care interactioneaza prin forte mecanice.Notiunile microscopica si macroscopica sunt insa notiuni relative,adica sunt corelate intre ele. Sa definim in cele ce urmeaza notiu-nile de stare, functie dinamica si lege de evolutie.Starea unui sistem fizic este determinata prin specificarea unui

set de baza de marimi fizice.Functia dinamica este o marime fizica diferita de cele care al-

catuiesc setul de baza dar care se exprima in funcie de acestea dinurma.Legea de evolutie determina transformarea in timp a starii sis-

temului si prin urmare si a functiilor dinamice. Aceasta lege sepoate exprima printr-o ecuatie diferentiala, o ecuatie cu derivatepartiale, o ecuatie cu diferente finite sau o ecuatie integrala.

4 1. Introducere

Scopul dinamicii statistice este determinarea legaturii dintrenivele microscopic si macroscopic.

1.1.2 Sisteme dinamice macroscopice

In context macroscopic fluidul este asimilat unui mediu continuu.Marimile fizice asociate sistemului trebuie definite in fiecare punctdin spatiul fizic si prin urmare ele vor fi campuri care depindde vectorul de pozitie x si timpul t. O stare hidrodinamica estedefinita daca se specifica urmatoarele marimi fizice:a) campul scalar ρ (x, t) care este densitatea de masa si campul

scalar T (x, t) care este temperatura.b) campul vectorial u (x, t) care este viteza locala.Ecuatiile de evolutie sau legile de evolutie reprezinta de fapt

ecuatiile de bilant pentru marimile ρ (x, t), ρ (x, t)u (x, t) re-spectiv ρ (x, t) e (x, t) unde ρ (x, t) e (x, t) este densitatea deenergie interna (e (x, t) este energia interna pe unitatea de masa,adica energia sistemului in care nu sunt incluse energia cinetica sienergia potentiala) care depinde de temperatura T (x, t). Acesteecuatii sunt urmatoarele:

∂ρ (x, t)

∂t= −∇ · (ρ (x, t)u (x, t)) (1.1)

∂ρ (x, t)u (x, t)

∂t= (1.2)

= −∇ · [ρ (x, t)u (x, t)u (x, t) + P (x, t)←→I +

←→Π (x, t)]

∂ρ (x, t) e (x, t)

∂t= −∇ · [ρ (x, t) e (x, t)u (x, t) + q (x, t)]−

(1.3)

−P (x, t)∇ · u (x, t)−←→Π (x, t) :∇u (x, t)]

1.1 Stari, functii dinamice, evolutie 5

unde P (x, t) este presiunea scalara, q (x, t) este fluxul de cal-dura,

←→Π (x, t) este tensorul presiunii iar

←→I este tensorul unitate.

Ecuatiile precedente scot in evidenta dificultatea hidrodinamiciimacroscopice si anume faptul ca ecuatiile (1.1-1.3) nu reprezintaun set inchis de ecuatii. Marimile P (x, t), q (x, t),

←→Π (x, t) si

e (x, t) trebuie exprimate in functie de ρ (x, t), T (x, t) si u (x, t)iar inchiderea setului de ecuatii se poate realiza prin luarea in con-sideratie a datelor experimentale si a simetriei specifice cazului destudiat. Unul dintre scopurile dinamicii statistice este acela de ajustifica definitiile si domeniul de aplicabilitate al ipotezei nece-sare inchiderii sistemului de ecuatii (1.1-1.3).

1.1.3 Ecuatii de transport

Tensorul presiunii↔π (x, t) si fluxul de caldura q (x, t) depind de

gradientul vitezei locale respectiv de gradientul temperaturii. Maiprecis, daca

(∇u (x, t))0 =∇u (x, t)+ (∇u (x, t))T − 23(∇ · u (x, t))←→I

(1.4)

este partea simetrica de urma nula a tensorului ∇u (x, t) (unde(∇u (x, t))T este transpusa matricii ∇u (x, t)), se poate pre-supune ca sunt valabile urmatoarele relatii

←→Π (x, t) = −η (∇u (x, t))0 − ζ (∇ · u (x, t))←→I (1.5)

respectiv

q (x, t) = −k∇T (1.6)

Pe componente relatiile (1.4-1.6) se scriu astfel:

(∇iuj (x, t))0 = ∇iuj (x, t)+(∇jui (x, t))−

2

3(∇kuk (x, t)) δij

(1.7)

Πij (x, t) = −η (∇iuj (x, t))0 − ζ (∇kuk (x, t)) δij (1.8)

6 1. Introducere

qi (x, t) = −k∇iT (1.9)

unde i, j = 1, 3. Ecuatiile de transport (1.5-1.6) stabilesc o relatieliniara intre raspunsurile la neechilibru ale sistemului, care suntmasurate de fluxurile

←→Π (x, t) si q (x, t) si fortele termodinamice

care caracterizeaza neomogenitatea spatiala a sistemului. Coefi-cientii care apar in aceste ecuatii sunt presupusi a fi constanti inspatiu si timp. Ecuatia (1.5) se numeste ecuatia Navier-Stokes iar(1.6) ecuatia Fourier. Coeficientii η si ζ sunt coeficientii de vasco-zitate iar k este coeficientul de conductivitate termica. Inlocuindecuatiile (1.5) si (1.6) in ecuatiile de bilant (1.1), (1.2) si (1.3)se obtin ecuatiile hidrodinamice pentru un fluid neutru unicom-ponent, ecuatii care reprezinta in aceste conditii un set inchis.Ecuatia de continuitate sau ecuatia de bilant pentru densitateamasica este

∂ρ (x, t)

∂t= −∇ · (ρ (x, t)u (x, t)) (1.10)

Ecuatia de bilant pentru viteza locala u (x, t) are forma

∂u (x, t)

∂t= −u (x, t) ·∇u (x, t)− 1

ρ

∂P (x, t)

∂ρ (x, t)∇ρ (x, t)−

− 1ρ

∂P (x, t)

∂T (x, t)∇T (x, t)+

+η

ρ∇2u (x, t) +

ζ + η/3

ρ∇ [∇ · u (x, t)] (1.11)

iar ecuatia de bilant pentru temperatura este

∂T (x, t)

∂t= − (u (x, t) ·∇)T (x, t)−

− T (x, t)

ρcV

µ∂P (x, t)

∂T (x, t)

¶ρ=const

(∇ · u (x, t))+

+η

ρcV(∇u (x, t))0 : (∇u (x, t))0+ (1.12)

+ζ − 2η/3

ρcV[∇ · u (x, t)]2 + k

ρcV∇2T (x, t)

1.2 Sisteme dinamice microscopice 7

unde cV =¡∂e∂T

¢ρ=const

. Se observa ca ecuatiile hidrodinamice(1.11-1.12) nu sunt invariante la inversia temporala (t → −t siu → −u) si prin urmare ele descriu un proces de evolutie ire-versibil. Numai ecuatia (1.10) este invarianta la inversia tempo-rala. Reversibilitatea este pierduta din cauza termenilor care con-tin coeficientii de transport (acestia se numesc termeni disipativi).

1.2 Sisteme dinamice microscopice

Presupunem ca moleculele care formeaza sistemul fizic sunt iden-tice si punctiforme iar numarul lor este N À 1. De aseme-nea presupunem ca ele se deplaseaza conform legilor mecaniciiclasice, cu toate ca acest fapt nu este chiar corect dar aproxi-matia este destul de buna in acest context. In fizica statisticaabordarea hamiltoniana este foarte bine adaptata. Fiecare par-ticula este indiciata cu indicele j (j = 1, N) si starea sistemu-lui este caracterizata de coordonatele generalizate (q1, ...,qN) side impulsurile generalizate (p1, .....pN) care impreuna determinaspatiul fazelor 6N dimensional si care simplificat se scrie astfel:(q1, ...,qN , p1, .....pN) ≡ (x1, ...xN) ≡ (q, p), unde xj ≡ (qj, pj)este un vector 6 dimensional. Orice functie dinamica depinde decoordonatele si impulsurile generalizate si se noteaza generic ast-fel: B(q, p). Un exemplu de functie dinamica este energia totala asistemului fizic in caz independent de timp si care este chiar hamil-tonianul sistemului H(q, p). In timpul deplasarii particulelor co-ordonatele generalizate si impulsurile generalizate se modifica intimp iar ecuatiile de evolutie ale acestora sunt ecuatiile canoniceHamilton (1.13)

·qj(t) =

∂H(q, p)

∂pj;

·pj(t) = −

∂H(q, p)

∂qj, j = 1, 3N (1.13)

Observatiia) q(t) si p(t) sunt functii dinamice care depind de timp si sunt

solutiile ecuatiilor Hamilton: q(t) = q(p, q; t) si p(t) = p(p, q; t)spre deosebire de (q, p) care sunt coordonate ale spatiului fazelorsi semnifica pozitia si impulsul la un anumit moment dat.

8 1. Introducere

b) setul de puncte (q(t), p(t)) pentru −∞ < t < ∞ definesteorbita sistemului fizic in spatiul fazelor.Fie functia dinamica arbitrara la b(q, p; t) ≡ b(q(t), p(t)).

Derivand partial in raport cu timpul si utilizand ecuatiile canon-ice Hamilton (1.13) precum si "conventia indicelui mut" a lui Ein-stein, obtinem:

∂tb(q, p; t) =∂b(q, p; t)

∂qj

dqjdt+

∂b(q, p; t)

∂pj

dpjdt= (1.14)

=∂b(q, p; t)

∂qj

dH

dpj− ∂b(q, p; t)

∂pj

∂H

∂qj= [b(q, p; t), H]p

unde [b(q, p; t),H]p este paranteza Poisson corespunzatoare func-tiilor dinamice b si H. Ecuatia (1.14) se poate scrie compact astfel

∂tb(q, p; t) = [H]b(q, p; t) (1.15)

unde

[H] =∂H

∂pj

∂

∂qj− ∂H

∂qj

∂

∂pj(1.16)

Solutia formala a ecuatiei (1.15) este:

b(q, p; t) =Xn

1

n!tnb(n)(0) =

Xn

1

n!tn[H]nb(q, p; t = 0) (1.17)

Prin urmare dezvoltarea in serie din ecuatia (1.17) corespundeexpresiei

b(q, p; t) = e[H]tb(q, p; t = 0) (1.18)

Operatorul e[H]t aplicat functiei dinamice la momentul initialb(q, p; t = 0) conduce la valoarea acesteia la momentul t > 0 side aceea se numeste propagator.

b(q, p; t) = e[H]tb(q, p; 0) = b(e[H]tq, e[H]tp; 0) = b(q(t), p(t); 0)


(1.19)

Un propagator care actioneaza asupra unui scalar definit in spatiulfazelor lasa scalarul neschimbat.Exemplu:Care este functia dinamica microscopica care descrie densitatea

de masa a unui sistem?- din punct de vedere macroscopic aceasta marime este ρ(x, t)

si este o functie continua- din punct de vedere microscopic, la momentul t = 0 aceasta

este definita astfel

ρ(q, p;x, 0) =NXj=1

mδ(qj − x) (1.20)

iar la orice moment de timp este obtinuta utilizand propagatorule[H]t

ρ(q, p;x, t) = e[H]tNXj=1

mδ(qj − x) =NXj=1

mδ(qj(t)− x)) (1.21)

deoarece e[H]t actioneaza asupra functiilor dinamice definite inspatiul fazelor iar x este un punct din spatiul fizic adica un scalarin spatiul fazelor.

1.2.1 Sisteme de particule in interactie

In aceasta monografie se vor studia sisteme de particule in inter-actie (molecule, atomi, electroni, ioni etc). Fie un sistem formatdin N particule identice de masa m care interactioneaza intreele in absenta unor campuri externe. In acest caz hamiltonianulsistemului se scrie sub forma

H = H0 +Hint (1.22)

undeH0 este hamiltonianul corespunzator miscarii libere (energiacinetica)

10 1. Introducere

H0 =NXj=1

H0j cu H0

j =p2j2m

(1.23)

iar Hint este hamiltonianul de interactie. In multe cazuri, acestadin urma poate fi scris sub forma sumei duble

Hint =X NXj<n=1

Vjn (1.24)

unde Vjn este energia de interactie dintre particulele j si n

Fjn = −∂Vjn∂qj

(1.25)

In teoria nerelativista potentialul de interactie Vjn depinde doarde qj si qn. In plus acesta depinde doar de distanta relativa aparticulelor, adica rjn = qj − qn, cu |rjn| ≡ rjn si satisface incazul particulelor identice relatia de simetrie Vjn = Vnj.

Vjn = V (|qj − qn|) = V (rjn) (1.26)

Potentialul de interactie Vjn satisface legea a III-a a lui Newton,adica

∂Vjn∂qj

= −∂Vjn∂qn

(1.27)

Uneori sunt necesare in calcule transformata Fourier directa

V (r) =

Zdkeik·reV (k) (1.28)

sau transformata Fourier inversa a potentialului Vjn(r)


eV (k) = (2π)−3 Z dre−ik·rV (r) (1.29)

Din relatia (1.26) rezulta caracterul real al transformatei Fourier

eV (k) = eV (−k) = eV (k) (1.30)

deoarece asa cum am precizat Vjn = V (rjn).Cateva exemple de potentiale.a) potentialul coulombian care corespunde interactiei partic-

ulelor incarcate electric cu sarcina e.

V C(r) =e2

r(1.31)

b) potentialul Lennard-Jones care corespunde interactiei par-ticulelor neutre.

V LJ(r) = V0[(r0r)12 − (r0

r)6] (1.32)

c) potentialul Debye, adica potentialul care corespunde primeiaproximatii a interactiei efective in plasma.

V D(r) = e2e−r/rD

r(1.33)

rD depinde de starea macroscopica a sistemului si are expresia

rD = (4πe2n

kBT)−1/2 (1.34)

unde n este concentratia particulelor, kB este constanta Boltz-mann iar T este temperatura. In cazul in care sistemul fizic esteintrodus intr-un camp extern caracterizat la nivel macroscopicde potentialul V ext(x, t) acest camp va genera un hamiltoniansuplimentar in expresia (1.22) care devine

12 1. Introducere

Fig. 1.1. Potentialul Lennard-Jones pentru V0 = 1 si r0 = 1

Fig. 1.2. Potentialul Coulomb din expresia (1.31) reprezentat cu linie continuasi potentialul Debye din expresia (1.33) reprezentat cu linie intrerupta. [e = 1 sirD = 1).


H = H0 +Hint +Hext (1.35)

unde

Hext =NXj=1

V ext(qj, t) (1.36)

2. Formalismul general al mecaniciistatistice

2.1 Functia de distributie in spatiul fazelor

Descrierile microscopica si macroscopica sunt in principiu echiva-lente pentru ca descriu aceeasi situatie reala. Expresiile matem-atice ale legilor corespunzatoare acestor doua descrieri sunt insadiferite si este necesara explicarea legaturii dintre acestea, ex-plicare care face obiectul mecanicii statistice. Sintetic, un obiectmatematic care reprezinta starea unui sistem format din foartemulte particule, nu mai este un punct in spatiul fazelor ci unansamblu de puncte, fiecare ansamblu fiind luat in calcul cu o an-umita pondere. Marimea fizica observabila la nivel macroscopiceste atunci o medie pe ansamble a functiei dinamice microscopicecorespunzatoare acelei marimi fizice.Obiectele fizicii macroscopice sunt reprezentate printr-o functie

continua in spatiul fizic pe care o vom nota cu B(x, t), si care esteun camp vectorial. Marimile dinamice microscopice corespunza-toare lui B(x, t) sunt functii care depind de variabilele spatiuluifazelor dar si de parametrii x, t (care sunt scalari in acest spatiu)si se vor nota b(q, p;x, t).Mecanica statistica realizeaza o legatura intre b→ B care este

o transformare a spatiului fazelor in spatiul fizic. Aceasta core-spondenta este o functionala.

B(x, t) ≡ hb(q, p;x, t)i ≡ hbi (2.1)

Daca β este un scalar in spatiul fazelor atunci prin operatia demediere acesta ramine neschimbat

16 2. Formalismul general al mecanicii statistice

hβi = β (2.2)

Operatia de mediere este distributiva fata de adunare (liniaritate)

hβb+ γci = βhbi+ γhci (2.3)

Media pe spatiul fazelor a functiei dinamice b este definita astfel

B(x, t) ≡ hbi =Z

dqdpb(q, p;x, t)F (q, p) (2.4)

unde F (q, p) este o functie definita in spatiul fazelor si in-deplineste conditia de normare

ZdqdpF (q, p) = 1 (2.5)

In plus, pentru a avea semnificatie fizica functia F (q, p) este nece-sar sa fie pozitiv definita

F (q, p) ≥ 0,∀q, p (2.6)

Functiile dinamice F (q, p) formeaza o categorie aparte in spatiulfazelor, se numesc functii de distributie si pot fi interpretate cafiind densitati de probabilitate. Marimea dqdpF (q, p) poate fi in-terpretata ca fiind probabilitatea de a gasi sistemul fizic in dome-niul infinitezimal din spatiul fazelor (q, q + dq) , (p, p + dp) iarrelatia (2.4) se numeste media pe spatiul fazelor a functiei dinam-ice b(q, p;x, t).

2.1.1 Postulatul de baza al mecanicii statistice clasice

Starea unui sistem este complet determinata in mecanica sta-tistica clasica prin specificarea functiei de distributie in spatiulfazelor F (q, p) si care satisface conditiile (2.5-2.6). Valoarea ob-servabila (macroscopica) corespunzatoare functiei dinamice mi-croscopice b(q, p;x, t) este campul B(x, t) definit anterior prin

2.1 Functia de distributie in spatiul fazelor 17

relatia (2.4). Alegerea lui F (q, p) nu este o problema cu un car-acter pur mecanic ci este un aspect statistic. Presupunem ca lat = 0, b(q, p;x, t = 0) = b(q, p;x) este o functie data si prinurmare marimea macroscopica corespunzatoare este

B(x, 0) =

Zdqdpb(q, p;x)F (q, p) (2.7)

Daca sistemul microscopic evolueaza dupa dinamica Hamiltoni-ana atunci b(q, p;x) devine la momentul t, b(q, p;x, t) si estedata de expresia b(q, p;x, t) = e[H]tb(q, p;x). Deci "reprezentareaHeisenberg" (in aceasta reprezentare in mecanica cuantica, in pro-cesul de mediere, starea unui sistem este mentinuta constanta intimp ce marimile dinamice evolueaza in timp) este

B(x, t) =

Zdqdp{e[H]tb(q, p;x)}F (q, p) (2.8)

si reprezinta legea de evolutie a marimilor macroscopice in spatiulfizic determinata de evolutia functiei dinamice b in spatiul fazelor.

Lema. Daca asupra celor doi factori din membrul drept al expre-siei

B(x, t)=

Zdqdpb(q, p;x)F (q, p)

este aplicata transformarea canonica e[G]r (generata de functia di-namicaG si parametrizata de r) atunci valoarea integralei ramaneneschimbata.Demonstratie:

Zdqdp{e[G]rb(q, p;x, t)e[G]rF (q, p)} =

Zdqdpb(qr, pr;x, t)F (qr, pr)

(2.9)

unde qr = e[G]rq; pr = e[G]rp.


Facem schimbarea de variabila qr → q; pr → p in membruldrept al expresiei (2.9). Deoarece jacobianul unei transformaricanonice este 1, lema este demonstrata.Utilizam acum lema pentru expresia (2.8) prin aplicarea trans-

formarii inverse a lui e[H]t ambilor factori si obtinem

B(x, t) =

Zdqdp

©e−[H]te[H]tb(q, p;x)

ªe−[H]tF (q, p)=

=

Zdqdpb(q, p,x)F (q, p, t) (2.10)

unde am definit functia de distributie dependenta de timp

F (q, p, t) =e−[H]tF (q, p) (2.11)

si astfel in aceasta "reprezentare Schrodinger" dependenta tem-porala a fost transferata functiei de distributie. Derivand partialin raport cu timpul ecuatia (2.11), tinand cont de ecuatiile canon-ice Hamilton (1.13) si de actiunea propagatorului (1.19) obtinemecuatia Liouville

∂tF (q, p, t) = −[H]F (q, p, t) =

= −{∂H∂pj

∂F

∂qj− ∂H

∂qj

∂F

∂pj} = {∂H

∂qj

∂F

∂pj− ∂H

∂pj

∂F

∂qj} =

= [H,F ] ≡ LF (2.12)

unde

L =∂H

∂qj

∂

∂pj− ∂H

∂pj

∂

∂qj, j = 1, 3N (2.13)

este un operator diferential liniar si se numeste Liouvilian. Ecu-atia (2.12) este o ecuatie diferentiala cu derivate partiale, de or-dinul intai, liniara si care se rezolva daca se cunosc ecuatiile salecaracteristice. In acest caz ecuatiile caracteristice sunt chiar ecu-atiile canonice Hamilton ceea ce presupune ca evolutia temporalaa mecanicii statistice este determinata de legile mecanicii clasice.Solutia ecuatiei Liouville (2.12) se poate scrie astfel:

2.1 Functia de distributie in spatiul fazelor 19

F (q, p; t) = F (q(−t), p(−t); 0)

unde q si p sunt coordonatele in spatiul fazelor (si nu depind detimp) iar q(−t) si p(−t) sunt functii dinamice de q, p si reprezintapozitia respectiv impulsul la momentul −t.Liouvillianul este generatorul evolutiei in mecanica statistica si

este omologul Hamiltonianului din mecanica clasica si actioneazaasupra functiei de distributie care este definita in spatiul fazelor.Sa scriem in continuare in mod explicit operatorul Liouville

in cazul sistemului format din N particule in interactie. Definimviteza particulei j

vj =pjm

(2.14)

si urmatoarele scrieri prescurtate

∇j ≡∂

∂qj; ∂j ≡

∂

∂pj; ∂jn ≡ ∂j − ∂n

Datorita liniaritatii, Liouvillianul corespunzator ecuatiilor (1.22-1.24) are forma:

L = L0 + Lint =NXj=1

L0j +X NXj<n=1

Lint

jn (2.15)

cu

L0j = −vj ·∇j, Lint

jn = (∇jVjn) · ∂jn (2.16)

cea de-a doua relatie fiind obtinuta tinand cont ca ∂Vjn∂qj

= −∂Vjn∂qn

(Vjn = V (|qj−qn|))). Daca este prezent si un camp extern, Liou-

villianul mai are un termen


Lext =NXj=1

Lextj =

NXj=1

(∇V extj ) · ∂j (2.17)

care se obtine utilizand Hext =NPj=1

V ext(qj; t). Ecuatia

B(x, t)≡ hbi =Z

dqdpb(q, p;x, t)F (q, p)

defineste o functionala adica o transformare a spatiului fazelor pespatiul fizic si prin urmare fiecarei functii dinamice microscopiceb(q, p) ii corespunde o singura marime macroscopicaB. Reciprocanu este valabila.Justificarea expresiilor din (2.16-2.17)

Lintjn = [Vjn, ..] =∇jVjn · ∂j +∇nVjn · ∂n = (2.18)

=∇jVjn · (∂j − ∂n) =∇jVjn · ∂jn

Prima linie din expresia (2.18) se obtine tinand cont ca Vjn de-pinde atat de qj cat si de qn dar nu depinde de impulsurile gen-eralizate iar cea de-a doua linie se obtine tinand cont de relatia(1.27).

L0j = [H0j , ..] =∇jH

0j · ∂j − (∂jH0

j ) ·∇j = −vj ·∇j (2.19)

Relatia (2.19) se obtine tinand cont de faptul ca hamiltonianulparticulei libere nu depinde de coordonatele generalizate (vezi re-latia (1.23)) iar viteza particulei a fost definita in relatia (2.14).

Lext = [V extj , ..] = (∇jV

extj ) · ∂j − (∂jV ext

j ) ·∇j = (∇jVextj ) · ∂j(2.20)

In cazul nostru potentialul extern V extj nu depinde decat de co-

ordonatele generalizate qj conform relatiei (1.36) si de aceea ter-menul al doilea din (2.20) este nul.

2.2 Functii de distributie reduse si functii de corelatie 21

2.2 Functii de distributie reduse si functii decorelatie

2.2.1 Functii de distributie reduse

Consideram un sistem fizic format din N particule identice demasam in interactie. Utilizam notatia compacta: xj ≡ (qj, pj), j =1, N . Hamiltonianul sistemului are forma

H(x1, ...xN) =NXj=1

H0(xj) +X NXj<k=1

V (xj, xk) (2.21)

unde H0(xj) ≡ H0j iar V (xj, xk) ≡ Vjk. Cu notatia actuala,

densitatea de particule se scrie astfel

ρ(x1, ...xN ;x) =NXj=1

mδ(qj − x) (2.22)

In analogie cu expresia (2.22) ne propunem sa exprimam o func-tie dinamica arbitrara care caracterizeaza un sistem format dinN particule identice. Notam aceasta functie cu b(x1, ...xN). Da-torita identitatii particulelor este valabila relatia de simetrie lainterschimbarea particulei j cu particula n:

b(x1, ...xj, ...xk, ...xN) = b(x1, ...xk, ...xj, ...xN) (2.23)

Orice astfel de functie se poate reprezenta unic sub forma sumeiurmatoare:

b(x1...xN) = b0 +NXj=1

b1(xj) +X NXj<k=1

b2(xj, xk) + (2.24)

+XX NX

b3j<k, n=1

(xj, xk, xn) + ...+ bN(x1, ..xN)


unde bs(x1...xs) sunt functii simetrice neaditive si se numesc func-tii dinamice ireductibile s - particula. Restrictiile de sumare inexpresia (2.24) sunt necesare si se explica astfel. De exemplu intermenul generic b2(xj;xk) trebuie ca j 6= k pentru ca in caz con-trar acest termen intra in categoria corespunzatoare termenuluigeneric b1. Restrictia j 6= k nu este insa suficienta deoarece fiecarepereche de particule ar fi considerata de doua ori. Pentru a evitaacest lucru se restrictia corecta la sumare este j < k. Sa pre-supunem ca N = 3. In acest caz suma dubla din (2.24) se scrieastfelX 3X

j<k=1

b2(xj, xk) = b2(x1, x2) + b2(x1, x3) + b2(x2, x3) (2.25)

Daca nu se tine cont de restrictia j < k atunci fiecare termen dinexpresia (2.24) trebuie impartit cu s! unde s este rangul termenu-lui si devine

b(x1...xN) = b0 +NXj=1

b1(xj) +1

2!

NX NXj 6=k=1

b2(xj, xk)+ (2.26)

+1

3!

NX NX NXb3

j 6=k 6=n=1(xj, xk, xn) + ...+ bN(x1...xN)

In cele mai frecvente cazuri, in expresia (2.26) nu sunt mai multde 2, 3 termeni nenuli. De exemplu, un potential de interactie deforma V (xj, xk, xn) ar reprezenta o interactie triparticula careeste in general foarte mica si neobservabila experimental. Prin ur-mare, practic orice functie dinamica corespunzatoare unei marimifizice importante contine in dezvoltarea de tip (2.26), in generalun numar finit si mic de functii dinamice ireductibile b0, b1, ...bScu S ¿ N , bs = 0 pentru s > S (cel mai adesea S = 2 sau 3).Starea statistica a sistemului caruia ii corespunde funcia dinamicab(x1...xN) este determinata complet daca se cunoaste functia dedistributie din spatiul fazelor care este in acest caz simetrica lapermutarea a doua argumente:


F (x1, ...xj, ...xk, ...xN) = F (x1, ...xk, ...xj, ...xN) (2.27)

Valoarea medie a functiei dinamice b(x1, ...xN) in dezvoltareaprecedenta se calculeaza utilizand relatia (2.4) pe care o rescriemaici:

B(x, t) ≡ hbi =Z

dqdpb(q, p;x, t)F (q, p) (2.28)

Contributia termenului uniparticula b1(xj) este:

Zdx1...dxN [

NXj=1

b1(xj)]F (x1...xN) =

= N

Zdx1...dxNb1(x1)F (x1...xN) (2.29)

deoarece din cauza simetriei fiecare termen de tipul b1(xj) con-tribuie la fel si astfel se obtine relatia (2.29). In aceasta relatie seobserva ca integrarea dupa variabilele xj cu j ≥ 2 se face doar cuintegrandul F (x1...xN) si prin urmare se poate introduce notiuneade functie de distributie redusa uniparticula astfel:

f1(x1) = N

Zdx2...dxNF (x1...xN) (2.30)

Expresia (2.29) se poate scrie in acest caz astfel

Zdx1...dxN [

NXj=1

b1(xj)]F (x1...xN) =

Zdx1b1(x1)f1(x1) (2.31)

Prin urmare pentru a calcula media lui b1(x1) nu este nevoie sacunoastem toata functia de distributie F (x1...xN) ci este suficientsa cunoastem functia f1(x1) definita in ecuatia (2.30).


Sa consideram acum termenul general:

Zdx1...dxN [

1

s!

NXj1 6=1

...NX

js=1

bs(xj1 ...xjs)]F (x1...xN) = (2.32)

=N !

s!(N − s)!

Zdx1...dxNbs(x1...xs)F (x1...xN)

Factorul N !s!(N−s)! reprezinta numarul de moduri prin care putem

alege s particule din numarul total N . Generalizand relatia (2.30)se poate defini functia de distributie s - particula astfel

fs(x1...xs) =N !

(N − s)!

Zdxs+1...dxNF (x1...xs, xs+1...xN) (2.33)

care pentru s = 1 se reduce la relatia (2.30). Semnificatia fizica afunctiei fs(x1...xs) este aceea de densitate de probabilitate (panala factorul N !

(N−s)!) de gasi simultan s particule in pozitiile x1...xs.Aceasta functie pastreaza proprietatea de simetrie specifica re-latiei (2.23)

fs(x1, ...xj, ...xk, ...xs) = fs(x1, ...xk, ...xj, ...xs) (2.34)

Este evident ca

f0 = 1

si Zdx1...dxsfs(x1...xs) =

N !

(N − s)!(2.35)

care rezulta din conditia de normare a functiei de distributie to-tale F (x1...xs, xs+1...xN) si relatia (2.33). Functiile de distributiereduse nu sunt independente. Intr-adevar daca

r < s ≤ N (2.36)


avem

fr(x1...xr) =

=N !

(N − r)!

Zdxr+1...dxsdxs+1...dxNF (x1...xs, xs+1...xN) =

=(N − s)!

(N − r)!

Zdxr+1...dxsfs(x1...xs) (2.37)

Ultima linie a fost obtinuta folosind relatia (2.33). Relatia (2.37)nu este inversabila deoarece informatiile continute in functia dedistributie fr(x1...xr) sunt mai putine decat cele continute infs(x1...xs). Din analiza anterioara rezulta expresia mediei peansamblele statistice a functiei dinamice bs(x1...xs) calculata cuajutorul functiei de distributie redusa fs(x1...xs in care pentrus = 0 nu avem integrare

hbi =NXs=0

1

s!

Zdx1...dxsbs(x1...xs)fs(x1...xs) (2.38)

ComentariiCunoasterea a doua sau trei functii de distributie reduse este

suficienta pentru calculul unor marimi macroscopice de interes.In mod normal aceste functii de distributie depind de numarultotal de particule N si de volumul ocupat de acestea V . In limitatermodinamica daca N → ∞ si V → ∞ atunci n = N/V =const. Pentru orice valoare a lui s si pentru orice configuratie(x1...xs) functia de distributie redusa fs(x1...xs, N, V ) tinde catreo valoare limita in limita termodinamica. Aceasta valoare limitadepinde doar de raportul N/V si nu depinde separat de N sau V .In cazul sistemelor fizice omogene functia de distributie redusaeste invarianta la translatii spatiale, adica

fs(q1 + a, ...qs + a, p1, ...ps) = fs(q1, ...qs, p1, ...ps) (2.39)

unde a este un vector constant. Din cauza constrangerii (2.39)functia de distributie fs depinde doar de s − 1 variabile. In par-ticular f1 depinde doar de p iar f2 de distanta relativa q1 − q2adica


f1(q, p) = nϕ(p) (2.40)

respectiv

f2(q1, q2, p1, p2) = f2(q1 − q2, p1, p2) (2.41)

Pentru a fi satisfacuta conditia de normare trebuie caZdpϕ(p) = 1 (2.42)

Functia ϕ(p) se numeste functia de distributie a impulsurilor sijoaca un rol important in teoria cinetica a sistemelor fizice omo-gene.

2.2.2 Evolutia functiilor de distributie reduse

Sa consideram ca analizam un sistem format dinN particule iden-tice care interactioneaza intre ele. Evolutia acestui sistem este de-scrisa de ecuatia Liouville (2.12) in care am introdus expresiile(2.15)

∂tF =NXj=1

L0jF +X NXj<n=1

Lintjn F (2.43)

Conservarea numarului de particule este echivalenta cu conditiade normare pentru functia de distributie globala si implica

Zdx1...dxNF (x1...xN ; t) = 1, ∀t (2.44)

Prin urmare derivata partiala in raport cu timpul a expresieiprecedente conduce la

∂t

Zdx1...dxNF (x1...xN ; t) = 0, ∀t (2.45)

si avem din ecuatia Liouville (2.43) si ecuatia (2.45)

2.2 Functii de distributie reduse si functii de corelatie 27Zdx1...dxN

(NXj=1

L0j +X NXj<n=1

Lintjn

)F = 0 (2.46)

in care fiecare termen din paranteza trebuie sa se anuleze separat,adicaZ

dx1...dxNL0jF (x1...xN ; t) = 0, ∀j ∀t (2.47)

respectivZdx1...dxNL

intjn F (x1...xN ; t) = 0, ∀j, n ∀t (2.48)

Expresiile (2.47-2.48) se justifica daca se tine cont de relatiile

Zdqj

∂F

∂qj= 0,

Zdpj

∂F

∂pj= 0 (2.49)

Derivatele partiale din ecuatiile precedente sunt generice si aparin urma actiunii operatorului Liouville (care contine derivari par-tiale in raport cu coordonatele si impulsurile generalizate) asuprafunctiei de distributie globale. Inmultim ecuatia Liouville (2.43)cu N !

(N−s)! , integram dupa variabilele xs+1...xN si obtinem

∂tfs(x1...xs) = ∂tN !

(N − s)!

Zdxs+1...dxNF (x1...xs, xs+1...xN) =

=N !

(N − s)!

Zdxs+1...dxN

(NXj=1

L0jF +X NXj<n=1

Lintjn F

)(2.50)

Primul termen din paranteza se poate descompune in doua sumesub forma

NXj=1

L0j =sX

j=1

L0j +NX

j=s+1

L0j (2.51)


In cazul in care j ∈ {1, ....s} atunci operatorul L0j poate fi scos infata integralei deoarece integrarea se face dupa j ∈ {s+ 1, ....N}.In cazul in care j ∈ {s+ 1, ....N} contributia operatorilor Liou-ville L0j este nula conform ecuatiilor (2.47) si a formei explicite aacestui operator

L0j = −vj ·∇j ≡ −vj ·∂

∂qj

Prin urmare, tinand cont de definitia functiei de distributie redusas - particula data in ecuatia (2.33) obtinem urmatoarea succesiunede expresii

N !

(N − s)!

Zdxs+1...dxN

sXj=1

L0jF =

=sX

j=1

L0jN !

(N − s)!

Zdxs+1...dxNF =

=sX

j=1

L0jfs(x1...xs) (2.52)

Expresia (2.52) reprezinta contributia operatorilor Liouville L0j lamembrul drept al ecuatiei (2.50).Sa analizam acum contributia termenilor care contin opera-

torii Liouville de interactie, si anume Lintjn . In acest caz exista trei

situatii distincte.a) Particulele j si n iau valori in multimea {1, ....s}. In acest

caz operatorul Lintjn poate fi scos in afara integralei procedand ca

in caul analizat anterior si obtinem o contributie de forma

X sXj<n=1

Lintjn fs(x1...xs) (2.53)

b) Particulele j si n iau valori in multimea {s+ 1, ....N}. Inacest caz contributia operatorului Lint

jn este zero conform ecuatiilor(2.47) si a formei explicite a lui Lint

jn


Lintjn =∇jVjn · ∂jn ≡

∂

∂qjVjn ·

µ∂

∂pj− ∂

∂pn

¶c) Particula j ia valori in multimea {1, ....s} iar particula n in

multimea {s+ 1, ....N} avem urmatoarea succesiune de expresii

N !

(N − s)!

Zdxs+1...dxN

sXj=1

NXn=s+1

Lint

jnF (x1...xN) =

=N !

(N − s)!

Zdxs+1...dxN

sXj=1

(N − s)Lintj,s+1F (x1...xN) =

=N !

(N − s− 1)!

Zdxs+1dxs+2...dxN

sXj=1

Lintj,s+1F (x1...xN) =

=sX

j=1

Zdxs+1L

intj,s+1

N !

(N − s− 1)!

Zdxs+2...dxNF (x1...xN) =

=sX

j=1

Zdxs+1L

intj,s+1fs+1(x1...xs+1) (2.54)

Linia a doua din expresiile (2.54) se obtine tinand cont de simetriafunctiei de distributie. Fiecare actiune a operatorului L

int

jn asuprafunctiei F (x1...xN) conduce la acelasi rezultat pentru orice n dinmultimea {s+ 1, ....N} si deoarece suma se efectueaza intre s+1si N se obtin N − s termeni identici iar dintre toti operatorii L

int

jn

se pastreaza doar Lintj,s+1. Linia a patra din (2.54) se obtine printr-

o rearanjare a factorilor astfel incat sa putem identifica, conformexpresiei (2.33), functia de distributie redusa s + 1 - particula.Prin urmare utilizand expresiile (2.52), (2.53) si (2.54) in (2.50)obtinem

∂tf1(x1) = L01f1(x1) +

Zdx2L

int12 f2(x1, x2) (2.55)


∂tfs(x1...xs) =sX

j=1

L0jfs(x1...xs)+X sXj<n=1

Lintjn fs(x1...xs)+ (2.56)

s

+Xj=1

Zdxs+1L

intj,s+1fs+1(x1...xs+1), s ≥ 2

∂tf0 = 0

Ecuatiile (2.55) si (2.56) formeaza un set deN ecuatii pentru func-tiile de distributie reduse si acest set se numeste lantul BBGKY(Bogoliubov - Born - Green - Kirkwood - Yvon ). Acest lant deecuatii are o structura speciala si a fost obtinut pentru prima oarade Yvon in 1932 si reobtinut de ceilalti mai tarziu. Determinarealui fs presupune cunoasterea lui fs+1 etc. ceea ce presupune re-zolvarea unui set infinit de ecuatii integro-diferentiale, lucru careeste practic imposibil. Anticipam in textul care urmeaza tehnicadiagramatica corespunzatoare ecuatiilor BBGKY. O functie dedistributie s - particula se va reprezenta printr-un set de s liniiorizontale punctate etichetate cu cifrele de la 1 la s. Operatorul L0jnu necesita o reprezentare grafica deoarece acesta semnifica propa-garea unor particule libere (independente). Pe de alta parte, in-teractiile influenteaza starea sistemului si necesita o reprezentaregrafica. Operatorul Lint

jn care caracterizeaza interactiile se poatereprezenta in doua moduri diferite. Daca acest operator apartinetermenului al doilea din ecuatia (2.56) atunci el reprezinta inter-actii intre particulele din acelasi grup si ca grafic va avea formaunui X numindu-se nod de tip X sau "vertex" de tip X. Acestaeste construit din doua linii punctate etichetate cu j si n carevin din dreapta, se intersecteaza intr-un punct (vertex) si apoi sevor duce spre stanga. In cele ce urmeaza vom utiliza notiunea devertex in loc de cea de nod. Daca operatorul Lint

jn apartine ter-menului al treilea din mebrul drept al ecuatiei (2.56) atunci sprestanga nu se vor mai duce doua linii punctate etichetate cu j si nci doar una etichetata cu litera dupa care nu se face integrarea intermenul considerat. In acest caz vertexul se numeste vertex detip Y . De exemplu in cazul caracterizat de termenul de interactie


Fig. 2.1. Diagrama corespunzatoare termenului care contine integrala din membruldrept al ecuatiei (2.55). Este o diagrama de tip Y .Z

dxs+1Lintj,s+1 (2.57)

dinspre dreapta vin doua linii punctate etichetate cu j si s+1, seintalnesc intr-un vertex de tip Y si spre stanga pleaca o singuralinie punctata etichetata cu j pentru ca in functie de variabilaxs+1 se integreaza. In figura (2.1) este reprezentat termenul deinteractie din expresia (2.55); integrala se face dupa variabila x2.In cazul general caracterizat de termenul

Lintjn

dinspre dreapta vin doua linii punctate etichetate cu j si n, seintalnesc intr-un punct (vertex de tip X) si spre stanga pleacatot doua linii etichetate cu j si n pentru ca acesti termeni nuse integreaza. In figura (2.2) este reprezentat termenul de formaLint12 din ecuatia de forma generala (2.56) scrisa pentru s = 2 si

j = 1 (singura varianta posibila daca s = 2). In figurile (2.3)si (2.4) sunt reprezentate diagramele de tip Y corespunzatoaretermenului general (2.57) scris pentru s = 2 si j = 1 [vezi figura(2.3)] respectiv s = 2 si j = 2 [vezi figura (2.4)].

Aceste diagrame stau la baza determinarii ecuatiei de evolutiepentru functiile de corelatie (vezi sectiunea urmatoare) si vor fireluate in cele ce urmeaza intr-0 sectiune consacrata sistematizariiacestora.


Fig. 2.2. Diagrama corespunzatoare primului termen din membrul drept al ecuatiei(2.56) scrisa pentru s = 2. Este o diagrama de tip X.

Fig. 2.3. Diagrama corespunzatoare termenului de forma dx3Lint13 f3 din membrul

drept al ecuatiei (2.56) scrisa pentru s = 2. Este o diagrama de tip Y .

Fig. 2.4. Diagrama corespunzatoare termenului de forma dx3Lint23 f3 din membrul

drept al ecuatiei (2.56) scrisa pentru s = 2. Este o diagrama de tip Y .


2.2.3 Functii de corelatie

Sa consideram un sistem de particule identice care nu interac-tioneaza intre ele In acest caz functia de distributie redusa s -particula, care se va numi necorelata, se poate scrie sub formaunui produs de functii de corelatie uniparticula astfel

fnecs (x1...xs; t) =sY

j=1

f1(xj; t) (2.58)

Se spune in acest caz ca starea fizica este necorelata si din punct devedere fizic particulele sunt statistic independente adica probabil-itatea de a gasi particule intr-un anumit punct nu depinde de ex-istenta celorlalte particule. In realitate particulele interactioneazamecanic si aceasta interactiune poate crea corelatii. Acestea insase pot neglija daca distanta dintre particule este suficient de mareastfel incat sa se poata neglija interactia dintre particule. Prin ur-mare corelatiile sunt caracterizate de o raza de actiune, raza careeste in general comparabila cu raza de interactiune intermolec-ulara. In cazul tranzitiilor de faza, raza de actiune a corelatiilordevine infinita chiar daca raza de interactiune moleculara estefinita. Interactiile intotdeauna produc corelatii dar corelatiile potfi produse si de prepararea externa a sistemului. Functiile de dis-tributie se pot scrie in functie de corelatii astfel:

fs(x1...xs) =sY

j=1

f1(xj) + gints (x1...xs) (2.59)

unde gints este abaterea lui fs (real) de la fnecs . Functia de corelatiegint2 nu poate fi analizata dar pentru s = 3 ne putem imagina caparticulele 1 si 2 sunt corelate iar particula 3 este necorelata cuacestea (fiind foarte departe de ele) sau toate cele 3 particule suntcorelate intre ele.In cazul general s ≥ 2 sunt valabile urmatoarele expresii de tip

"cluster" (ciorchine)


f2(x1, x2) = f1(x1)f1(x2) + g2(x1, x2) (2.60)

f3(x1, x2, x3) = f1(x1)f1(x2)f1(x3) + f1(x1)g2(x2, x3)+(2.61)

+ f1(x2)g2(x1, x3)+

+ f1(x3)g2(x1, x2) + g3(x1, x2, x3)

unde gs(xi1...xis) se numesc functii de corelatie ireductibile careau si proprietatea de simetrie

gs(...xj...xn...) = gs(...xn...xj...) (2.62)

Inmultind cu N−2 relatia (2.60) si integrand apoi dupa (x1, x2)obtinem

N−2Z

dx1dx2f2(x1, x2) =

=

∙N−1

Zdx1f1(x1)

¸ ∙N−1

Zdx2f1(x2)

¸+N−2

Zdx1dx2g2(x1, x2)

(2.63)

Pentru s fixat si in limita termodinamica, din relatia (2.35) rezultaexpresiaZ

dx1...dxsfs(x1...xs) =N !

(N − s)!≈ N s (2.64)

care aplicata corespunzator ecuatiei (2.63) conduce la expresia

N−2Z

dx1dx2g2(x1, x2) ≈ 0

a carei generalizare este

N−sZ

dx1dx2..dxsg2(x1, x2, ....xs) ≈ 0 (2.65)

Concluzia finala din acest paragraf este ca starea statistica a unuisistem este complet determinata daca se cunosc functiile de dis-tributie reduse uniparticula si setul de functii de corelatie gs datde sistemul de ecuatii (2.60)-(2.61).


2.2.4 Ecuatia de evolutie a functiilor de corelatie gs

Pentru a obtine informatii despre sistemul fizic este necesar saobtinem o ecuatie de evolutie si pentru functiile de corelatie. Unset de ecuatii de evolutie pentru functiile de corelatie gs se poateobtine utilizand lantul BBGKY (2.55)-(2.56) in care se inlocui-esc corespunzator expresiile (2.60)-(2.61). Aceste calcule sunt insadestul de dificile si pot fi suplinite daca se utilizeaza o tehnica di-agramatica. Ecuatiile de evolutie pentru functiile de distributiereduse s - particula pentru cazurile particulare s = 1 sau 2 suntscrise in cele ce urmeaza. Pentru s = 1 obtinem ecuatia

∂tf(x1)−L01f(x1) =Z

dx2[Lint12 f(x1)f(x2)+L

int12 g2(x1, x2)] (2.66)

In figura (2.5) este reprezentat termenulRdx2L

int12 f(x1)f(x2). Se

observa ca integrarea se face dupa variabila x2. In figura (2.6)este reprezentat termenul al doilea din membrul drept al ecuatiei(2.66). Acest termen contine corelatia bi-particula g2(x1, x2) siacest lucru se manifesta prin faptul ca liniile corespunzatoare celordoua particule sunt conectate intre ele.Pentru s > 2 calculele necesare obtinerii ecuatiei de evolutie

pentru corelatie sunt mai complicate. Pentru s = 2 obtinem ecu-atia

∂tf2(x1, x2)−[L01+L02]f2(x1, x2) = Lint12 [f1(x1)f1(x2)+g2(x1, x2)]+

+

Zdx3{Lint

13 [f1(x1)f1(x2)f1(x3) + f1(x1)g2(x2, x3)+

+f1(x2)g2(x1, x3)+f1(x3)g2(x1, x2)+g3(x1, x2, x3)]+(1⇐⇒ 2)}(2.67)

Introducem notatia:

D1...j = ∂t − [L01 + ...+ L0j ] (2.68)


Fig. 2.5. Reprezentarea primului termen de interactie din ecuatia (2.66).

Fig. 2.6. Reprezentarea celui de-al doilea termen de interactie din ecuatia (2.66)si anume Lint12 g2(x1, x2).


care utilizata in membrul stang al ecuatiei (2.67) conduce la ex-presia

D12f2(x1, x2) = D12[f1(x1)f1(x2) + g2(x1, x2)] =

= (D12f1(x1)f(x2) + f1(x1)D12f1(x2) +D12g2(x1, x2) =

= f1(x2)D1f1(x1)+f1(x1)D2f1(x2)+D12f1(x2)+D12g2(x1, x2)

(2.69)

unde Dj = ∂t − L0j .Important este sa descoperim care sunt termenii din ecuatia

(2.67) care contribuie la termenii din expresia (2.69). Pentru a re-aliza acest lucru vom utiliza practic aceleasi observatii cu privire lareprezentarea diagramatica folosite pentru ecuatia (2.56) din sec-tiunea precedenta. Pentru cazul s = 1 am schitat deja diagramelecorespunzatoare in figurile (2.5) si (2.6). In ecuatia (2.66) carecontine corelatia g2(x1, x2) diagrama corespunzatoare termenuluial doilea din membrul drept al acestei ecuatii il putem reprezentagrafic la fel ca pe cel corespunzator unei diagrame care contine unvertex de tip Y cu deosebirea ca cele doua linii care vin din dreaptasunt acum conectate intre ele (aceasta conexiune este legata deexistenta corelatiei g2(x1, x2), fapt care se explica prin existentainteractiunii intre particulele 1 si 2). Diagramele care contin core-latii se vor reprezenta prin linii continue spre deosebire de celecare reprezentau termeni din lantul BBGKY si care erau trasateprin linii punctate (vezi sectiunea precedenta). Primul termen dinmembrul drept al ecuatiei (2.66) se reprezinta tot printr-un vertexde tip Y dar in care cele doua linii care vin din dreapta nu suntconectate intre ele deoarece acest termen nu contine o corelatie.Acest procedeu se poate aplica si pentru ecuatia (2.67) si apoigeneraliza eventual pentru s > 2. Schema pentru cazul s = 2 esteurmatoareaa) se deseneaza toate diagramele care au forma reprezentata

in figurile (2.1), (2.2) si (2.3).b) se inlocuieste fiecare diagrama desenata anterior cu o suma

de diagrame care contin corelatiile bi sau triparticula.


Fig. 2.7. Diagrama corespunzatoare termenului Lint12 f(x1)f(x2) din expresia (2.70).

Fig. 2.8. Diagrama corespunzatoare termenului Lint12 g2(x1, x2) din expresia (2.70).

c) la ecuatia pentru g2(1, 2) nu contribuie diagramele disconexesi prin urmare acestea vor fi eliminate.d) diagramele ramase vor reprezenta termenii din membrul

drept al ecuatiei de evolutie pentru functia de corelatie. Termeniicare corespund diagramelor conexe si contribuie laD1...sgs(x1...xs)sunt urmatorii

Lint12 f(x1)f(x2) + Lint

12 g2(x1, x2) (2.70)

Termenilor din relatia (2.70) le corespund urmatoarele diagramerespectiv

Lint13 f(x1)g2(x2, x3) +Lint

13 f(x3)g2(x1, x2) +Lint13 g3(x1, x2, x3)

(2.71)

Termenilor din relatia (2.71) le corespund urmatoarele diagrame


Fig. 2.9. Diagrama corespunzatoare termenului Lint13 f(x1)g2(x2, x3) din expresia(2.71).


Fig. 2.11. Diagrama corespunzatoare termenului Lint13 g3(x1, x2, x3) din expresia(2.71).




Lint23 f(x2)g2(x1, x3) +Lint

23 f(x3)g2(x1, x2) +Lint23 g3(x1, x2, x3)

(2.72)

Termenilor din relatia (2.72) le corespund urmatoarele diagrame.Termenii (2.71) si (2.72) vor fi integrati dupa variabila x3.

Reprezentam in continuare si setul de diagrame disconexe, ad-ica acele diagrame care nu contribuie la determinarea ecuatiei deevolutie pentru functia de corelatie dar contribuie la alte core-latii corespunzatoare functiei de distributie. Le-am reprezentataici pentru a vizualiza astfel de diagrame.


Fig. 2.14. Diagrama corespunzatoare termenului Lint23 g3(x1, x2, x3) din expresia(2.72).

Fig. 2.15. Diagramele disconexe.

Prin urmare ecuatia de evolutie pentru corelatia biparticulag2(x1, x2) este

∂tg2(x1, x2)−(L01+L02)g2(x1, x2) = Lint12 f(x1)f(x2)+L

int12 g2(x1, x2)+

+

Zdx3{Lint

13 f(x1)g2(x2, x3) + Lint23 f(x2)g2(x1, x2)+


+(Lint13 + Lint

23 )[f(x3)g2(x1, x2) + g3(x1, x2, x3)]} (2.73)

Se observa ca ecuatia (2.73) este o ecuatie neliniara. Ecuatia deevolutie neliniara pentru functia de corelatie biparticula (2.73)si ecuatia de evolutie pentru functia de distributie uniparticula(2.66) pe care o rescriem aici

∂tf(x1)− L01f(x1) =

Zdx2[L

int12 f(x1)f(x2) + Lint

12 g2(x1, x2)]

formeaza setul complet de ecuatii care stau la baza deducerii ecu-atiilor cinetice clasice. Relatia neliniara intre functia de distributieredusa si functia de corelatie introduce complicatii de calcul dareste singura posibilitate de studiu a proceselor fizice ale sistemelorformate din foarte multe particule. In cele ce urmeaza vom reca-pitula regulile referitoare la tehnica diagramatica pentru functiilede distributie reduse si pentru functiile de corelatie.

2.2.5 Reguli de tehnica diagramatica pentru functii dedistributii reduse

Ecuatiile de evolutie pentru functiile de distributie f1, f2 si f3sunt urmatoarele

(∂t − L01)f1(x1) =

Zdx2L

int12 f2(x1, x2) (2.74)

(∂t − L01 − L02)f2(x1, x2) =

= Lint12 f2(x1, x2) +

Zdx3(L

int13 + Lint

23 )f3(x1, x2, x3) (2.75)

(∂t − L01 − L02 − L03)f3(x1, x2, x3) =

= (Lint12 + Lint

23 + Lint13 )f3(x1, x2, x3)+

+

Zdx4(L

int14 + Lint

24 + Lint34 )f4(x1, x2, x3, x4) (2.76)


a) Starea care caracterizeaza "s" particule se reprezinta prin"s" linii suprapuse, paralele care vin din dreapta.b) Operatorii L0j nu se reprezinta diagramatic pentru ca reprez-

inta propagarea unor particule libere (independente).c) Operatorii L

int

jn caracterizeaza interactia si se pot reprezentain doua moduri: sub forma de vertex de tipX sau/si prin vertex detip Y . Aceste aspecte au fost exemplificate in figurile (2.1) si (2.2).Pentru termenul din membrul drept al ecuatiei (2.74) diagramacorespunzatoare este cea din figura (2.1) iar pentru termenii dinecuatia (2.75) diagramele corespunzatoare sunt cele din figurile(2.2), (2.3) si (2.4). Ca exercitiu, propunem desenarea tuturordiagramelor corespunzatoare membrului drept al ecuatiei (2.76).

2.2.6 Reguli de tehnica diagramatica pentru corelatii

1. Se deseneaza diagramele corespunzatoare ecuatiei de evolutiepentru fs conform regulilor din sectiune precedenta.2. Se inlocuieste fiecare diagrama anterioara printr-o suma de

diagrame cu toate corelatiile posibile care conduc la aceeasi starefinala (reprezentata in partea stanga a diagramei).3. Se iau in considerare pentru ecuatia de evolutie a functiei

de corelatie doar diagramele care sunt conexe. Ecuatiile care core-spund evolutiei functiei de distributie f2(12) si functiei de corelatieg2(12) sunt urmatoarele

(∂t−L01−L02)f2(12) = (∂t−L01−L02)[f1(1)f1(2)+g2(12) (2.77)

respectiv

(∂t − L01 − L02)g2(12) = Lint12 f1(1)f1(2) + Lint

12 g2(12)+

+

Zdx3[L

int13 f1(1)g2(23) + Lint

13 f3g2(12) + Lint13 g3(123)+

+Lint23 f3g(13) + Lint

23 f3g3(12) + Lint23 g3(123)] (2.78)

unde am utilizat scrierea simplificata de tipul f2(12) in loc def2(x1, x2) etc. Diagramele conexe corespunzatoare membrului


drept al ecuatiei (2.78) au fost reprezentate in figurile (2.7) -(2.14). Cele disconexe care nu contribuie la evolutia functiei decorelatie g2(12) au fost reprezentate in figura (2.15).

3. Sistem cu cuplaj slab

3.1 Generalitati

In cele ce urmeaza vom aplica in cazuri particulare formalismuldezvoltat in sectiunile anterioare. In aceste cazuri particulare lan-tul infinit de ecuatii BBGKY poate fi simplificat deoarece functiade corelatie gs = 0 pentru s > S (fixat) iar pentru s ≤ S (fixat)functia de corelatie gs este o functionala care depinde de functiade distributie redusa uniparticula f1 in acest fel obtinandu-se oecuatie diferentiala inchisa pentru functia de distributie redusauniparticula.Atunci cand sunt realizate aceste conditii se spune ca sistemul

este in regim cinetic iar ecuatia se numeste ecuatie cinetica.Exista mai multe tipuri de ecuatii cinetice a caror forma depindede natura sistemului fizic (gaz, lichid, solid, plasma), de naturainteractiilor moleculare (forma potentialului, raza de actiune) side valorile parametrilor specifici starii macroscopice (densitate,temperatura). In teoria cinetica clasica este mai convenabil safixam ca variabile in spatiul fazelor vitezele in loc de impulsuri.Trecem de la (q, p) la (q, v) astfel:

f(q, p; t) = m3 bf(q, v; t) (3.1)

iar noua functie de distributie va fi bf(q, v; t) pentru care in cele ceurmeaza vom renunta la "b". In acest nou context avem notatiile:

xj = (qj, vj); ∂j = ∂/∂vj; ∂jn = ∂j − ∂n (3.2)

46 3. Sistem cu cuplaj slab

Toate ecuatiile cinetice de interes sunt obtinute printr-o teorieperturbativa. Pentru a aplica aceasta teorie este necesar sa existeun parametru mic, pe care il notam cu λ, care sa masoare abatereasistemului de la starea de referinta. Marimile fizice sunt apoi dez-voltate in serie de puteri ale acestui parametru λ. Prin urmare oetapa esentiala in aplicarea teoriei perturbative la rezolvarea ecu-atiilor cinetice consta in alegerea convenabila a parametrului mic.In cazul nostru consideram ca potentialul de interactie V (r) estemic pentru orice r. Aceasta presupunere o putem scrie matematicastfel

V (r) ≡ λv(r) (3.3)

unde λ este un parametru adimensional. Prin definitie, un cuplajslab se realizeaza daca sunt indeplinite conditiile

λ¿ 1;

¯̄̄̄v(r)

v(r0)

¯̄̄̄≤ O(1) ∀r (3.4)

unde r0este o distanta finita arbitrara. Conditiile din (3.4) se potscrie compact astfel

|V (r)| = O(λ) (3.5)

Conditia (3.5) trebuie completata cu conditia ca Hamiltonianulneperturbat H0 (care reprezinta de fapt energia cinetica) sa fie deordinul:

|H0(v)| = O(λ0) (3.6)

Sistemele cu cuplaj slab conduc la cele mai simple ecuatii cinet-ice. Chiar daca in realitate un potential nu indeplineste conditia(3.4) exista situatii reale care pot fi aproximate in sensul existen-tei unui cuplaj slab. La distante mici aproximatia cuplajului slabnu se poate aplica. Un exemplu de aplicabilitate al aproximatiecuplajului slab il reprezinta sistemele fizice caracterizate de in-teractii slabe cu raza lunga de actiune (potential de tip Coulomb

3.1 Generalitati 47

de exemplu) iar dintre acestea cel mai intilnit caz este plasmatotal ionizata in care interactiunea este de tip Coulomb. Relatiile(3.5) si (3.6) vor modifica in mod corespunzator diversii operatoriLiouville. Prin urmare restrictiile asupra operatorilor Liouville sescriu astfel:

L0j = O(λ0); Lintjn = O(λ) (3.7)

In continuare trebuie impuse restrictii care sa fie valabile pentru ∀tsi functiilor de distributie reduse precum si functiilor de corelatie.Pentru functia de distributie conditia este

f(x1, t) = O(λ0) (3.8)

si ea este ceruta de conditia de normare care trebuie satisfacutachiar in abesnta interactiilor. Pentru functiile de corelatie, carecaracterizeaza interactiile dintre particule este evident ca trebuiesa fie valabile conditiile

g2(x1, x2; t) = O(λ) (3.9)

respectiv

g3(x1, x2, x3; t) = O(λ2) (3.10)

In continuare este necesar sa stabilim si raza de actiune a marim-ilor caracteristice. Daca notam

r21 ≡ q2 − q1 (3.11)

atunci potentialul de interactie si functiile de corelatie satisfacrelatiile

V (q1, q2) = V (r21) (3.12)

respectiv


g2(x1, x2; t) = g2(q1, v1, q2, v2; t) = g2(q1, r21, v1, v2; t) (3.13)

Presupunem ca potentialul de interactie are raza finita de actiunel0 adica

V (r) ≈ 0 r >> l0 (3.14)

Si corelatiile au raze finite lc2, lc3,.. care in mod uzual au acelasiordin de marime cu l0 dar nu intotdeauna. Atunci definim lc =Max(l0, lc2, lc3...) ca fiind lungimea de corelatie unica, adica

g2(q1, r21,v1,v2; t) ' 0 r21 À lc (3.15)

3.2 Ecuatii de evolutie

3.2.1 Dinamica particulei libere

Sa consideram evolutia unui sistem de particule libere (care nuinteractioneaza). In acest caz parametrul λ = 0 si prin urmare op-eratorul Liouville de interactie Lint

jn = 0. Acest sistem ideal poatefi considerat ca sistem de referinta pentru teoria perturbativa cares-ar aplica la sisteme mai complicate.Ecuatiile (2.66) si (2.73) pentru acest sistem de referinta devin:

∂tf1(x1; t) = L01f1(x1; t) (3.16)

∂tg2(x1, x2; t) = (L01 + L02)g2(x1, x2; t)

Functiile de distributie reduse si corelatiile satisfac in acest cazecuatii decuplate asa cum se observa din (3.16). Introducemnotiunea de propagator neperturbat U0

1 (t), adica operatorul careactionand asupra functiei la momentul initial conduce la obtinereavalorii acestei functii la momentul t, adica

f(q1, v1; t) = U01 (t)f(q1, v1; 0) (3.17)

3.2 Ecuatii de evolutie 49

Propagatorul corespunzator primei relatii din ecuatiile (3.16) sescrie formal astfel

U01 (t) = exp(L

01(t)) (3.18)

care rezulta din integrarea primei ecuatii din (3.16) si comparareasolutiei obtinute cu expresia (3.17). Daca inlocuim in (3.18) formaconcreta a operatorului L01 adica

L01 = −v1 ·∇1 (3.19)

obtinem

U01 (t) = exp(−v1 ·∇1t) (3.20)

Pe de alta parte este binecunoscuta identitatea operatoriala subforma unidimensionala

exp(ad

dx)f(x) = f(x+ a) (3.21)

sau tridimensionala

ea·∇f(x) = f(x+ a) (3.22)

adica operatorul ea·∇ este un operator de translatie spatiala. Prinurmare, combinand ecuatiile (3.17), (3.20) si (3.22), obtinem

f(q1, v1; t) = exp(−v1 ·∇1t)f(q1, v1; 0) = f(q1− v1t, v1; 0)(3.23)

adica densitatea la momentul t in punctul (q1, v1) din spatiulfazelor este egala cu densitatea in spatiul fazelor la momentult = 0 in punctul in care particula a fost localizata la acel momentde timp.In cazul analizei celei de-a doua ecuatii din (3.16), adica ecua-

tia de evolutie pentru corelatia g2(x1, x2; t) definim propagatorulbiparticula


U012(t) = exp(L

01 + L02)t = U0

1 (t)U02 (t) (3.24)

care are aceasta forma deoarece operatorii L01 si L02 comuta, ei

reprezentand particule care nu interactioneaza intre ele. In con-secinta solutia ecuatiei are forma

g2(x1, x2; t) = U01 (t)U

02 (t)g(x1, x2; 0) (3.25)

3.2.2 Ecuatia Vlasov

In teoria cinetica suntem interesati in cunoasterea comportariisistemelor fizice pe intervale de timp mult mai mari decat timpiimicroscopici caracteristici. Pentru aceasta se va dezvolta in se-rie de puteri operatorul de evolutie si nu functia asupra caruiaacesta actioneaza. Prin urmare cand vom discuta despre o teoriecinetica de ordinul λn vom intelege ca in aceasta teorie operatoriide evolutie care apar in ecuatia cinetica sunt de ordinul λn. Saconsideram ecuatia (2.66) pe care o rescriem aici

∂tf(x1)−L01f(x1) =Z

dx2[Lint12 f(x1)f(x2)+L

int12 g2(x1, x2)] (3.26)

Tinand cont de conditiile necesare considerarii cuplajului slab,adica (3.5) si (3.6) precum si de consecintele acestora asupra or-dinelor de marime ale diferitelor functii si operatori care intervin(3.7), (3.8) si (3.9), in membrul drept al ecuatiei (3.26) termeniiau urmatoarele ordine de marimea) termeni de ordinul λ care sunt de forma (∼ Lintff) si da-

torita relatiilor (3.7) si (3.8) sunt de ordinul λ.b) termeni de ordinul λ2 care sunt de forma (∼ Lintg2) si da-

torita relatiilor (3.7) si (3.9) sunt de ordinul λ2.Prin urmare ecuatia cinetica in ordinul λ se obtine neglijand

termenii de ordinul λ2 si aceasta este

∂tf(x1; t) = L01f(x1; t) +

Zdx2L

int12 f(x1; t)f(x2; t) (3.27)


Fig. 3.1. Diagrama corespunzatoare ecuatiei Vlasov (3.27).

care se numeste ecuatie Vlasov si a carei diagrama este reprezen-tata in figura (3.1). Se observa ca ecuatia (3.27) este o ecuatieinchisa, ea necontinand corelatii de ordin superior.Semnificatia ecuatiei Vlasov se poate deduce daca analizam

ultimul termen al acesteia, pe care il rescriem succesiv astfel:

Zdx2L

int12 f(x1; t)f(x2; t) = m−1

Zdx2(∇1V12)·∂12f(x1; t)f(x2; t) =

= m−1{∇1

Zdq2dv2V12(q1 − q2)f(q1, v2, t)}·

·∂1f(q1, v1, t) = KV {f, f}, ∂1 ≡∂

∂v1

Deoarece L01 = −v1 ·∇1 ecuatia Vlasov devine

(∂t + v1 ·∇1)f(q1, v1; t) = KV {f, f} (3.28)

unde KV {f, f} se numeste termen de interactie Vlasov.


Notam

Vm(q1, t) =

Zdq2dv2V12(q1 − q2)f(q2, v2, t) (3.29)

si il vom numi potential mediu. Daca inlocuim potentialul mediuin ecuatia (3.28) obtinem

(∂t + v ·∇)f(q, v; t) = m−1[∇Vm(q, t)] · ∂f(q, v, t) (3.30)

ecuatia Vlasov care a fost dedusa semiempiric de fizicianul Vlasovin 1938. Ea are forma unei ecuatii Liouville pentru particule carenu interactioneaza intre ele si care se misca intr-un camp "extern"caracterizat de potentialul mediu Vm. In esenta doar forma ecu-atiei Vlasov este ca a ecuatiei Liouville (ecuatie liniara) deoareceeste o ecuatie neliniara (potentialul mediu depinde de functia dedistributie care la randul ei depinde de potentialul mediu). Ecu-atia Vlasov determina evolutia doar pentru sisteme neomogenedeoarece pentru sisteme omogene functia de distributie in ordinulλ este un invariant. Intr-adevar, in cazul unui sistem omogen spa-tial (invarianta la translatii spatiale) avem:

fs(q1 + a, ...qs + a,p1...ps) = fs(q1...qs, p1...ps)

unde a este un vector constant iar in cazul particular studiat denoi avem

f1(q, p) = nϕ(p); f2(q1, q2, p1, p2) = f2(q1− q2, p1, p2)(3.31)

cu n = NVdensitatea de particule.

In cazul unui sistem omogen, potentialul mediu Vm definit an-terior in (3.29), are forma urmatoare si este independent de coor-donatele spatiale:


Vm =

Zdv2

∙Zd(q1 − q2)V12(q1 − q2)

¸f(q1 − q2, v2, t) =(3.32)

=

Zdv

ZdrV (|r|)nϕ(v) = n

ZdrV (|r|)

unde am notat r ≡ q1 − q2, v2 ≡ v si am utilizat conditia denormare (2.42). Prin urmare, ∇Vm = 0 deoarece Vm nu depindede q. De asemenea, din acelasi motiv ∇f = 0. Ecuatia cineticadevine in acest caz:

∂tϕ(v, t) = 0 +O(λ2) (3.33)

ceea ce demonstreaza ca ϕ(v, t) este invarianta temporal panala un termen de ordinul doi in λ. Daca raza de actiune a inter-actiei este mare in comparatie cu raza caracteristica de variatiea gradientului densitatii, atunci termenul Vlasov este important,asa cum se intampla in cazul interactiei de tip Coulomb. Prin ur-mare ecuatia Vlasov este importanta pentru plasma, potentialulmediu care actioneaza asupra unei particule fiind datorat unuinumar mare de particule incarcate electric. Ecuatia Vlasov nu iain consideratie ciocnirile dintre particule. Acestea sunt luate inconsideratie in aproximatiile de ordin superior in parametrul micλ asa cum se va vedea in sectiunile urmatoare.Sa consideram o plasma total ionizata formata din N electroni

si N ioni pozitivi, cu conditia de neutralitate Nei + Nee = 0indeplinita. In acest caz o sa existe doua functii de distrib-utie reduse, fα(q, v, t) (α = e, i), trei functii de corelatiegαβ2 (x1, x2, t), (α = e, i; β = e, i) si ecuatia Vlasov corespun-zatoare se scrie astfel:

∂tfα(x1, t) = L01f

α(x1, t)+Xβ=e, i

Zdx2L

int αβ12 fα(x1, t)f

β(x2, t), α = e, i

(3.34)

cu potentialul de interactie coulombiana de forma

V αβ12 =

eαeβr

(3.35)


Termenul de interactie din ecuatia (3.34) devine,Xβ=e,i

Zdx2L

int αβ12 fα(x1, t)f

β(x2, t) =

=X

β=e,i

Zdq2dv2(∇1V

αβ12 )·(m−1

α ∂1−m−1β ∂2)·fα(x1, t)fβ(x2, t) =

= − eαmαE(q1, t) · ∂1fα(x1, t) (3.36)

unde E(q1, t) = −∇1Φ(q1, t) iar potentialul electrostatic esteidentificat din (3.36) ca fiind de forma

Φ(q1, t) =Xβ=e,i

eβ

Zdq2dv2

1

|q1 − q2|fβ(q2, v2, t) (3.37)

Potentialul Φ satisface ecuatia Poisson, adica

∇2Φ(q, t) = −4πσ(q, t)

deoarece [vezi demonstratia (4.88)]

∇2 1

|q1 − q2|= −4πσ(q1, q2) (3.38)

iar

σ(q2, t) =Xβ

eβ

Zdv2f

β(q2, v2, t)

este densitatea macroscopica de sarcina electrica. Urmatorul setde ecuatii diferentiale neliniare permite obtinerea functiei de dis-tributie reduse fα:


∂tfα(q, v, t) = −v ·∇fα(q, v, t)− eα

mαE(q, t) · ∂fα(q, v, t)

(3.39)

∇ ·E(q, t) = 4πXβ=e,i

eβ

Zdvfβ(q, v, t)

∇×E(q, t) = 0

In ecuatiile (3.39) campul electric total este suma dintre cam-pul electric mediu specific aproximatiei Vlasov E(q, t) si campulelectric extern sistemului E0(q, t), adica

E(q, t) = E(q, t) +E0(q, t) (3.40)

ConcluziiEcuatia de evolutie analizata are cateva caracteristici impor-

tante.a) este obtinuta ca aproximatie de ordinul intai a dezvoltarii

ecuatiei pentru functiile de distributii reduse in serie de puteri alelui λ.b) in acest ordin corelatiile sunt decuplate de functiile de dis-

tributii reduse.c) interactiile sunt self-consistente, produc un potential mediu

si prin urmare fiecare particula se misca sub actiunea unui campmediu care formal actioneaza ca un camp "extern".d) campul mediu are sens doar intr-un sistem care contine un

numar mare de particule iar limita termodinamica a fost consid-erata cu mult inainte de stabilirea lantului BBGKY.e) ecuatia Vlasov descrie aspecte colective ale interactiilor si

este importanta in particular pentru descrierea plasmei completionizate.f) pentru sistem spatial omogen se reduce la forma ∂tf = 0.g) ecuatia Vlasov nu contine o descriere a ciocnirilor partic-

ulelor. Acestea sunt luate in considerare in ordinele superioareale dezvoltarii in serie si de aceea ea nu este o ecuatie cinet-ica propriu-zisa si se numeste mai degraba ecuatia campuluimediu.


3.3 Ecuatia Prigogine-Resibois

Pentru a explica comportarea sistemelor multiparticula si in spe-cial evolutia ireversibila a acestora este necesar sa se ia in consid-eratie si ciocnirile dintre particule. Sa deducem ecuatia de evolutiepentru f(xi, t) in ordinul doi in λ.Prima ecuatie din lantul BBGKY (s = 1) este:

¡∂t − L01

¢f(x1) =

Zdx2L

int12 f(x1)f(x2) +

Zdx2L

int12 g2(x1, x2)

(3.41)

Al doilea termen din membrul drept este de ordinul doi in λ, adicaeste de ordinul λ2 deoarece Lint ∼ O(λ), g2 ∼ O(λ) si prin urmareprodusul Lintg2 ∼ O(λ2).Sa analizam acum ecuatia pentru corelatia biparticula g2:¡∂t − L01 − L02

¢g2(x1, x2) = Lint

12 f(x1)f(x2) + Lint12 g2(x1, x2)+

+

Zdx3{Lint

13 f(x1)g2(x1, x2) + Lint13 f(x3)g2(x1, x2)+

+Lint13 g3(x1, x2, x3) + Lint

23 f(x2)g2(x1, x3)+

+Lint23 f(x3)g2(x1, x2) + Lint

23 g3(x1, x2, x3)} (3.42)

In ecuatia (3.42), in membrul drept al acesteia termenii care aparau urmatoarele ordine de marime

Lintff ∼ O(λ)·O(λ0)·O(λ0) ∼ O(λ); Lintg2 ∼ O(λ)·O(λ) ∼ O(λ2)

(3.43)

Lintfg2 ∼ O(λ)·O(λ0)·O(λ) ∼ O(λ2); Lintg3 ∼ O(λ)·O(λ2) ∼ O(λ3)

(3.44)

si prin urmare in acesta ecuatie vom retine doar termenii in or-dinul λ in membrul drept. In aceasta aproximatie, din ecuatia deevolutie pentru g2(x1, x2) scrisa in (2.73) ramane

3.3 Ecuatia Prigogine-Resibois 57

¡∂t − L01 − L02

¢g2(x1, x2) ' Lint

12 f(x1)f(x2) (3.45)

care se numeste ecuatia de evolutie a functiei de corelatie g2inaproximatia cuplajului slab. Singura diagrama corespunzatoare aacestei ecuatii (scrisa in aproximatia cuplajului slab) este data infigura (2.7). Ecuatiile (3.41) si (3.45) formeaza un set inchis deecuatii pentru f si g2. Determinam intai pe g2 pe care il inlocuimin ecuatia pentru f . Termenul Lint

12 f(x1)f(x2) se numeste termensursa. Atunci in functie de propagatorul biparticula neperturbatsolutia pentru g2 este:

g2(x1, x2; t) = U0

12(t)g2(x1, x2; 0)+

tZ0

dτU0

12(τ)Lint12 f(x1; t−τ)f(x2; t−τ)

(3.46)

Aceasta solutie o inlocuim in ecuatia pentru f si obtinem:¡∂t − L01

¢f(x1; t) =

=

Zdx2L

int12 f(x1; t)f(x2; t)+

+

Zdx2L

int12 U

0

12(t)g2(x1, x2; 0)+

+

Zdx2

tZ0

dτLint12 U

0

12(τ)Lint12 f(x1; t− τ)f(x2; t− τ) (3.47)

Aceasta este ecuatia exacta de evolutie pentru sisteme cu cuplajslab si este un caz particular al ecuatiei master obtinuta de Pri-gogine si Resibois in 1961. Primul termen din membrul drept alecuatiei corespunde ecuatiei Vlasov. Al doilea termen este o func-tionala care depinde de valoarea initiala a functiei de corelatie g2


si semnifica faptul ca variatia lui f depinde de corelatia initiala aparticulelor.Al treilea termen semnifica faptul ca variatia lui f depinde

de intreaga "istorie" a lui f de la momentul 0 pana la momen-tul t si prin urmare ecuatia master este o ecuatie nemarkoviana(starea din trecutul apropiat lui t influenteaza evenimentele de lamomentul t).

3.4 Ecuatia Landau

In ordinul λ, evolutia sistemului este datorata succesiunii inter-actiilor care sunt localizate spatial si temporal. Interactia estelocalizata intr-o regiune a carei dimensiune spatiala este raza decorelatie lc si dureaza un timp τ c (durata ciocnirii). Dupa ciocnireparticula se deplaseaza liber pana la urmatoarea ciocnire pe o dis-tanta ld.l.m. care se numeste drum liber mediu si depinde de λ untimp τR numit timp de relaxare care este considerat a fi inversulfrecventei de ciocnire. Aceasta este cauzata de contributia func-tiei de corelatie la evolutia functiei de distributie redusa, adica deultimul termen din ecuatia (3.41).In plus, exista o lungime lH , numita lungime hidrodinamica,

care masoara variatia spatiala a functiei de distributie reduse intr-un sistem neomogen spatial si care este definita astfel:

l−1H ≈Max(1

f|∇f | (3.48)

Aceasta lungime hidrodinamica depinde de prepararea sis-temului si este in general de ordinul de marime al aparatelor (mm,cm) si ii este asociat un timp hidrodinamic care se noteaza cuτH . Prin urmare avem la dispozitie urmatoarele distante si timpispecifici:a) lungimea de corelatie lc si timpul caracteristic asociat care

este durata ciocnirii τ cb) drumul liber mediu ld.l.m. caruia ii este asociat timpul de

relaxare τR

3.4 Ecuatia Landau 59

c) lungimea hidrodinamica lH careia ii aste asociat timpulhidrodinamic τH .Este necesar sa stabilim care sunt ordinele de marime relative

ale acestor distante si timpi specifici:

lcld.l.m.

= O(λ2);τ cτR= O(λ2) (3.49)

ld.l.m.

lH≡ λH ¿ 1;

τRτH

= λH ¿ 1 (3.50)

Relatiile din (3.50) definesc regimul hidrodinamic care este stu-diat in cadrul teoriei transportului clasic. Acest regim nu esterealizat insa in plasme fierbinti care sunt caracteristice fuziuniitermonucleare controlate si in care temperaturile sunt de ordinulT ∼ 108K iar drumul liber mediu ld.l.m. este de ordinul metrilor.In concluzie, in aproximatia cuplajului slab, un regim hidrod-

inamic presupune realizarea urmatoarelor conditii:

lc ¿ ld.l.m. ¿ lH τ c ¿ τR ¿ τH (3.51)

In teoria cinetica suntem interesati in evolutii pentru care tÀ τ cadica intr-o descriere asimptotica a evolutiei. Cand studiem re-laxarea spre echilibru trebuie ca t ∼ τR iar cand studiem problemede transport t ∼ τH .Sa analizam in continuare ecuatia master Progine - Resibois

tinand cont de presupunerile specifice facute anterior. Sa analizammai intai termenul al doilea din membrul drept ale ecuatiei (3.47):

T2 =

Zdx2L

int12 U

0

12(t)g2(x1, x2; 0) (3.52)

Facem schimbul de variabila q2 → r21 = q2 − q1 si obtinem


T2 =

Zdr21

Zdv2L

int12 U

0

12(t)g2(q1, r21, v1, v2; 0) = (3.53)

=

Zdr21

Zdv2L

int12 g2(q1 − v1t, r21 − g21t, v1, v2; 0)

unde g21 = v2−v1 este viteza relativa a doua particule. Corelatiag2 → 0 pentru |r21 − g21t| À lc si prin urmare, in regim asimptoticobtinem:Z

dx2Lint12 U

0

12(t)g2(x1, x2; 0) ≈ 0 tÀ τ c

adica influenta corelatiilor initiale dureaza un timp finit care estede ordinul τ c. Acest termen a fost denumit de Prigogine si Re-sibois termen de distrugere deoarece descrie distrugerea efectuluicorelatiilor initiale asupra evolutiei functie de distributie redusa.Sa analizam acum ultimul termen din ecuatia (3.47):

T3 =

tZ0

dτ

Zdx2L

int12 U

0

12(τ)Lint12 f(x1; t− τ)f(x2; t− τ) (3.54)

Deoarece in integrand intervin deja doi factori de ordinul λ, adicadoi operatori Liouville de interactie, putem aproxima operatorulde evolutie U12(−τ) cu cel neperturbat U

0

12(−τ) pentru a pastraordinul de marime λ2 al acestui ultim termen. In aceasta situatieultimii doi factori din expresia precedenta devin

f(x1; t− τ)f(x2; t− τ) = U12(−τ)f(x1; t)f(x2; t) ≈

≈ U0

12(−τ)f(x1; t)f(x2; t)Introducand expresiile explicite ale operatorilor Liouville si vari-abilele relative r12 = q1 − q2 ≡ r, g12 = v1 − v2 ≡ g in expresia(3.54) obtinem

T3 = m−2Z

dv2

Zdr

tZ0

dτ∂12 · [∇1V (r)] [∇1V (r− gt)] · (3.55)


·U 0

12(τ)∂12U0

12(−τ)f(q1,v1; t)f(q1 − r, v2; t)Dar

U0

12(τ)∂12U0

12(−τ)f(x1; t)f(x2; t) = (∂12+ τ∇12)f(x1; t)f(x2; t)

(3.56)

unde ∇12 = ∇1 − ∇2, V (r) 6= 0 pentru r < lc; V (r − gt) 6=0 pentru 0 < τ < τ c. Prin urmare, fiind interesati in intervalede timp de ordinul t À τ c (limita asimptotica) putem extindeintegrarea dupa τ de la 0 la∞. Ordinul de marime al termenuluiτ∇ff se estimeaza astfel in comparatie cu termenul ∂ff

τ∇ff ≈ τ cl−1H ff ≈ τ cV

−1τ−1H ff ≈ V −1O(λ2)λH ¿ ∂ff ≈ V −1ff

(3.57)

unde V este o viteza tipica asimilata aici cu viteza termica, τ estede ordinul τ c deoarece suntem interesati de regimul asimptotic,∇este de ordinul l−1H ≡ V −1τ−1H , iar produsul rapoartelor temporaledin relatiile (3.49) si (3.50) este de ordinul

τ cτR· τRτH

= O(λ2)λH ¿ 1

Pe de alta parte

f(q2, v2; t) = f(q1−r, v2; t) ≈ (1−r·∇1)f(q1, v2, ; t) ≈ (3.58)

≈ (1− lclH)f(q1,v2, t) ≈ f(q1)

pentru ca din (3.49) si (3.50) rezulta ca

lclH≈ O(λ2)λH ¿ 1

iar r este de ordinul lungimii de corelatie lc. Ecuatia (3.58) senumeste aproximatie locala. Prin urmare, utilizand toate aceste


consideratii legate de ordinele de marime ale factorilor, termenulde interactie (3.55) devine

T3 = m−2Z

dv2

Zdr

Z ∞

0

dτ∂12 · [∇1V (r)][∇1V (r− gτ)]·

·∂12f(q1,v1; t)f(q1,v2; t) ≡ K{f f} (3.59)

Ecuatia cinetica pentru un sistem cu cuplaj slab, valabila in or-dinul λ2 are in acest caz forma

(∂t + v1 ·∇1)f(q1,v1; t) = KV {f f}+K{f f} (3.60)

si se numeste ecuatia cinetica Landau (sau Vlasov-Landau) iarK se numeste termen de ciocnire Landau. Aceasta ecuatie estemai simpla decat ecuatia master care este integro-diferentiala sinemarkoviana. Ecuatia Landau (3.60) este markoviana iar functiade distributie poate fi scoasa in fata integralei deoarece nu depindede vectorul de pozitie r. Simplificarea se datoreaza faptului cadorim sa studiem un regim asimptotic cauzat de cuplajul slabhidrodinamic exprimat prin ecuatiile (3.49) - (3.51). Procesul demarkovianizare presupune trecerea de la ecuatia (3.54) la ecuatia(3.59).Demonstratia expresiei (3.56)

U012(τ)∂12U

012(−τ)f(1)f(2) = (∂12 + τ∇12)f(1)f(2) (3.61)

unde

U012(τ) = e−(v1·∇1+v2·∇2)τ , U0

12(−τ) = e(v1·∇1+v2·∇2)τ (3.62)

si

∂12 =∂

∂v1− ∂

∂v2, ∇12 =∇1 −∇2 (3.63)

In rezolvare vom folosi notatia prescurtata


e±j ≡ e±vj ·∇jτ , j = 1, 2

fara sumare dupa j in exponentul din membrul drept si propri-etatea de grup e−1e1 = 1. Inlocuim in membrul stang al expresiei(3.61) relatiile (3.62) si (3.63) si avem

e−1e−2(∂1 − ∂2)e1e2f(1)f(2) =

= e−1e−2{(∂1e1)e2f(1)f(2)−e1(∂2e2)f(1)f(2)+e1e2∂12f(1)f(2)} == e−1e−2{+τ∇1e

1e2f(1)f(2)− e1(+τ∇2)e2f(1)f(2)+

+e1e2∂12f(1)f(2)} == e−1e−2e1e2∂12f(1)f(2) + e−1e−2(τ∇1)e

1e2f(1)f(2)−−e−1e−2e1(τ∇2)e

2f(1)f(2) =

= ∂12f(1)f(2) + τ(∇1−∇2)f(1)f(2) = (∂12 + τ∇12)f(1)f(2)

si relatia este demonstrata.

3.4.1 Forma explicita a termenului de ciocnire Landau

Termenul de ciocnire Landau K{f f} poate fi scris astfel

K{f f} = m−2Z

dv2∂12←→G (g) ·∂12f(q1,v1; t)f(q1,v2; t) (3.64)

unde marimea

←→G =

Zdr

Z ∞

0

dτ∇1V (r)∇1V (r− gτ) (3.65)

este tensorul Landau ale carui componente se pot calcula utilizandtransformata Fourier ale lui V (r) definita astfel

V (r) =

Zdkeik·reV (k) (3.66)

Corespunzator avem


V (r− gτ) =Z

dk0eik0·(r−gτ)eV (k0)

iar gradientul potentialului V (r) este

∇V (r) =

Zdkikeik·reV (k) (3.67)

∇V (r− gτ) =Z

dk0ik0eik0·(r−gτ)eV (k0)

Zdrei(k+k

0)·r = (2π)3δ(k+ k0) (3.68)

Inlocuind si integrand dupa r utilizand proprietatea de filtrare afunctiei δ obtinem

←→G = (2π)3

Zdk

Z ∞

0

dτeik·gτ [ikeV (k))][−ikeV (−k)] = (3.69)

= (2π)3Z

dk[πδ(k · g)+iP ( 1

k · g )][ikeV (k))][−ikeV (−k)]

In ecuatia precedenta am utilizat definitiaZ ∞

0

dτeik·gτ = πδ(k · g)+iP ( 1

k · g) ≡ πδ+(k · g) (3.70)

unde P ( 1k·g) se numeste partea principala a distributiei si este

o functie impara spre deosebire de δ(k · g) care este o functiepara. Deoarece factorul [ikeV (k))][−ikeV (−k)] este o functie paraintegrala care contine partea principala este nula si avem in final

←→G (g) = 8π4

Zdkδ(k · g)eV 2(k)kk (3.71)

Sa efectuam acum integrarea dupa k. In figura (3.2) sunt reprezen-tati vectorii g si k.


Fig. 3.2. Pozitia relativa a vectorilor g si k.

In aceste coordonate sferice componentele vectorului k sunturmatoarele

⎧⎨⎩ kz = k cos θky = k sin θ sinϕkx = k sin θ cosϕ

(3.72)

iar Jacobianul corespunzator este J = k2 sin θ. Prin urmare ten-sorul Landau are forma

←→G (g) = 8π4

Z ∞

0

dk

Z π

0

dθ

Z 2π

0

dϕk2 sin θeV 2(k)δ(kg cos θ)kk

(3.73)

iar produsul direct kk este

kk =

⎛⎝kxkx kxky kxkzkykx kyky kykzkzkx kzky kzkz

⎞⎠ (3.74)


Datorita integrarii dupa ϕ elementele nediagonale sunt zero iardatorita functiei delta δ(kg cos θ) componenta zz este zero. Prinurmare, forma generala a tensorului Landau devine

←→G =

⎛⎝G 0 00 G 00 0 0

⎞⎠ (3.75)

sau←→G = (

←→1 − ezez)G, ez ∙ Oz

deoarece componentele xx si yy ale tensorului Landau sunt egale.Deci,

G = 8π5Z ∞

0

dkeV 2(k)k4Z π

0

dθ sin θ sin2 θδ(kg cos θ) =B

g(3.76)

unde

B = 8π5Z ∞

0

dkeV 2(k)k3 (3.77)

iar componentele lui←→G sunt de forma

Grs = (δrs −grgsg2)B

g(3.78)

In deducerea expresiilor (3.76) si (3.78) am utilizat proprietatea(4.79), a carei aplicare o evidentiem aici.Z

f(x)δ [h(x)] dx =Xi

f(xi)

|h0(xi)|(3.79)

unde h (xk) = 0 iar h0 (x) ≡ dh(x)dx. De exemplu:

Z π

0

dϕ sin3 ϕδ(kg cosϕ) =sin3 3π

2

kg sin π2

=1

kg(3.80)


Termenul de ciocnire Landau devine

K{f f} = B

m2

Zdv2∂

r1

g2δrs − grgsg3

∂s12f(q1, v1, t)f(q1, v2, t)

(3.81)

unde ∂r12 a fost inlocuit cu ∂r1 prin utilizarea relatiei (2.49).ConcluziiEcuatia cinetica Landau a fost obtinuta din ecuatia Liouville,

din lantul BBGKY printr-o dezvoltare perturbativa, utilizand ur-matoarele presupuneriA. Limita termodinamica: N → ∞, V → ∞, N/V =

n =constantB. Interactii moleculare slabe: λ¿ 1C. Raza finita a interactiilor si corelatiilorD. Ordinea specifica lc ¿ ld.l.m. ¿ lH ; τ c ¿ τR ¿ τH .E. Tratarea asimptotica a ecuatiilor de evolutie : tÀ τ c.Conditiile A-E au permis aparitia unui termen de ciocnire in

ecuatia pentru functia de ditsributie redusa in acest fel obtinandu-se cea mai simpla ecuatie cinetica, ecuatia cinetica Landau.Modificand conditia B se poate obtine o clasa intreaga de ecu-

atii cinetice, corespunzand unor situatii diferite fizice diferite simai complicate. Proprietatile comune tuturor ecuatiilor cineticesunt continute in presupunerile A, C, D si E.

3.4.2 Definirea marimilor hidro si nehidrodinamice

Scopul cel mai important al dinamicii statistice este realizareaurmatorului program:1. Obtinerea ecuatiilor macroscopice (hidrodinamice, electrod-

inamice, etc.) din legile de evolutie microscopice, adica din ecu-atiile cinetice.2. Estimarea limitelor de valabilitate ale acestor ecuatii macro-

scopice, precum si posibila lor generalizare.3. Determinarea constantelor fenomenologice ale ecuatiilor hidro-

dinamice, adica a coeficientilor de transport, din proprietatile mi-croscopice ale moleculelor (particulelor) si legea lor de interac-tiune.


Marimile hidrodinamice sunt marimi locale (campuri) def-inite in fiecare punct x al spatiului si la fiecare moment de timpt. Prin definitie ele sunt densitati ale marimilor care se conserva:masa, impuls si energie.Oricare marime locala (densitate) este definita in mecanica sta-

tistica ca medie a unei functii dinamice:

B(x, t) =

Zdv

Zdqβ(v)δ(x− q)f(q, v, t) =

Zdvβ(v)f(x, v, t)

(3.82)

unde

f(x, v, t) =

Zdqδ(x− q)f(q, v, t) (3.83)

este functia de distributie redusa locala (camp de functii de dis-tributii reduse) si defineste starea sistemului.Densitatea de masa se noteaza ρ(x, t) si se defineste astfel in

functie de f(x, v, t)

ρ(x, t) = m

Zdvf(x, v, t) (3.84)

Densitatea de impuls ρ(x, t)u(x, t), unde u(x, t) este vitezalocala, are expresia

ρ(x, t)u(x, t) = m

Zdvvf(x, v, t) (3.85)

Densitatea de energie interna ρ(x, t)e(x, t) este definita astfel

ρ(x, t)e(x, t) =1

2m

Zdv|v− u|2f(x, v, t) (3.86)

Densitate numarului de particule (numarul de particule din uni-tatea de volum) n(x, t) are expresia


n(x, t) =

Zdvf(x, v, t) (3.87)

Flux de particule Γ (x,t)

Γ (x, t) ≡ n(x, t)u(x, t) =

Zdvvf(x, v, t) (3.88)

Presiunea P (x, t) si temperatura T (x, t)

P (x, t) = n(x, t)T (x, t) =1

3m

Zdv|v− u|2f(x, v, t) (3.89)

Comparand relatiile (3.86) si (3.89) se vede ca

ρ(x, t)e(x, t) =3

2n(x, t)T (x, t) =

3

2P (x, t) (3.90)

Tensorul disipativ al presiunii←→Π (x, t) are expresia

Πrs(x, t) = m

Zdv(vr−ur)(vs−us)f(v, x, t)−δrsP (x, t) (3.91)

iar fluxul de caldura q(x, t) este definit astfel

qr(x, t) =1

2m

Zdv(vr − ur)|u− v|2f(v, x, t) (3.92)

Marimile←→Π (x, t) si q(x, t) se numesc marimi nehidrodinam-

ice.

3.4.3 Invarianti colisionali pentru termenul de ciocnireLandau

Ecuatia cinetica pentru f(x, v, t), adica legea de evolutie a func-tiei de distributie reduse este


∂tf(x, v, t) = −v ·∇f(v, x, t) +K {f f} (3.93)

unde aici ∇ ≡ ∂/∂x. Invariantii colisionali sunt definiti astfel

ZdvK = 0;

ZdvvrK = 0, (r = x, y, z)

Zdvv2K = 0

(3.94)

Prin urmare starea unui sistem fizic este determinata de functiade distributie locala iar functiile dinamice depind de viteza. Fietermenul de ciocnire Landau de forma data in expresia (3.81) pecare o rescriem aici

K = m−2Z

dv2∂r12Grs∂

s12f(1)f(2) (3.95)

Ne propunem sa demonstram existenta invariantilor colisionali din(3.94). Sa ne ocupam de cea de-a doua expresie din (3.94) careeste legata de conservarea impulsului. Inmultim ecuatia (3.95) cucomponenta m a impulsului particulei 1, adica mv1m si integramegalitatea dupa viteza v1. Obtinem succesiv

Zdv1mv1mK = m−2

Zdv1mv1m

Zdv2∂

r12Grs∂

s12f(1)f(2) =

=1

2m−1

Zdv1

Zdv2(v1m + v2m)∂

r12 [Grs∂

s12f(1)f(2)] =

=1

2m−1

Zdv1

Zdv2 {∂r12 [(v1m + v2m)Grs∂

s12f(1)f(2)] −

− ∂r12 [(v1m + v2m)]Grs∂s12f(1)f(2)} =

= −12m−1

Zdv1

Zdv2(δrm − δrm)Grs∂

s12f(1)f(2) = 0 (3.97)

Linia a doua din expresia (3.97) a fost obtinuta prin adaugareain integrand a vitezei v2m. Contributia celor doi termeni, v1m si


v2m, fiind identica, pentru a nu modifica valoarea integralei a fostintrodus 1/2 in fata integralei. Operatorul ∂r12 actioneaza doarasupra produsului Grs∂

s12f(1)f(2). Utilizand integrarea prin parti

se obtin liniile trei si patru din expresia (3.97). Linia trei da ocontributie nula la valoarea integralei daca se tine cont de pro-prietatea (2.49). Linia patru se obtine din aplicarea operatorului∂r12 =

∂∂v1r− ∂

∂v2rasupra polinomului v1m+v2m. Din ecuatia prece-

denta rezulta clar

Zdv1mv1mK = 0 (3.98)

Pentru a demonstra expresia a treia din (3.94) vom proceda simi-lar cazului precedent. Inmultim ecuatia (3.95) cu energia cineticaa particulei 1, mv

21

2si apoi integram dupa viteza v1, obtinand suc-

cesiv expresiile

Zdv1

mv212

K = m−2Z

dv1mv212

Zdv2∂

r12Grs∂

s12f(1)f(2) =

= m−1 · 14

Zdv1

Zdv2(v

21 + v

22)∂

r1G

rs∂s12f(1)f(2) =

= −m−1

2

Zdv1

Zdv2(v1r − v2r)G

rs∂s12f(1)f(2) = 0 (3.100)

Explicatiile succesiunii de expresii din (3.100) sunt aceleasi ca indemonstratia precedenta a expresiei (3.98). Existenta invariantu-lui colisional (3.100) rezulta din urmatoarea identitate

gnGnm(g) =gnδmng

2 − gmgng3

=gmg

2 − gmg2

g3= 0 (3.101)

unde reamintim ca g = v1 − v2. Prin urmare avem

Zdv1

mv212

K = 0 (3.102)


Primul invariant din (3.94) este evident din aplicarea de doua oria proprietatii (2.49)Z

dv1K = m−2Z

dv1

Zdv2∂

r12Grs∂

s12f(1)f(2) = 0 (3.103)

3.5 Ecuatii de bilant hidrodinamice

Sa analizam acum ecuatia (3.60). Termenul Vlasov KV {f f} esteneglijabil deoarece in regim hidrodinamic lc

lH¿ 1 si in acest caz

potentialul mediu este foarte mic in comparatie cu termenul careia in consideratie contributia ciocnirilor. Acestea din urma con-duc practic sistemul spre o stare de echilibru termodinamic. Prinurmare, in regim hidrodinamic, ecuatia cinetica Landau (3.60)devine

∂tf(v, x, t) = −v ·∇fv, x, t) +K (3.104)

iar ecuatiile de bilant mentionate in prima sectiune a cursului sepot obtine din ecuatia cinetica (3.104). ρ,u,e se numesc momenteale functiei de distributie redusa, adica medii ale unor functii caresunt polinoame in componentele vitezei v.

3.5.1 Ecuatia de continuitate

Sa ne ocupam in primul rand de ecuatia de continuitate

∂tρ = −∇ · (ρu) (3.105)

pe care sa o deducem din ecuatia cinetica Landau (3.104).DemonstratieInmultim ecuatia cinetica (3.104) cu m, integram dupa viteza

v si tinem cont de primul invariant colisional din (3.94)

∂t

Zdvmf(v, x, t) = −

Zdvmvj∇jf(v, x, t) +

ZdvmK

3.5 Ecuatii de bilant hidrodinamice 73

(3.106)

Primul termen din membrul drept este∇j

Rdvmvjf(v, x, t) (op-

eratorul ∇j a fost scos in fata integralei deoarece viteza vj nu de-pinde de x) iar al doilea este zero (invariant colisional). Utilizanddefinitiile (3.84) si (3.85) se obtine

∂tρ = −∇ · (ρu) (3.107)

adica ecuatia (1.1).

3.5.2 Ecuatia de bilant pentru impuls

In continuare vom demonstra ecuatia de evolutie pentru impuls

∂tρu = −∇ ·hρuu+P

←→I +

←→Πi

(3.108)

DemonstratieInmultim ecuatia cinetica (3.104) cumvr, integram dupa viteza

v si tinem cont de al doilea invariant colisional din (3.94)

∂t

Zdvmvrf(v, x, t) = −

Zdvmvrvj∇jf(v, x, t)+

ZdvmvrK

(3.109)

Primul termen din membrul drept este −∇j

Rdvmvrvjf(v, x, t)

(operatorul ∇j a fost scos in fata integralei deoarece v nu de-pinde de x) iar al doilea este zero (invariant colisional). Adunamsi scadem viteza locala ur in integrandul din membrul stang sicorespunzator vitezele locale ur si uj in cel din membrul drept alecuatiei (3.109)

∂t

Zdvm(vr−ur)f(v, x, t)+∂t

Zdvmurf(v, x, t) = (3.110)

= −∇j

Zdvm(vr − ur + ur)(vj − uj + uj)f(v, x, t)


Efectuam calculele simple si separam urmatorii termeni

∂t

Zdvmvrf(v, x, t)− ∂tur

Zdvmf(v, x, t) + ∂t(ρur) =

= −∇j

Zdvm(vr−ur)(vj−uj)f(v, x, t)−∇j

Zdvm(vr−ur)ujf(v, x, t)−

−∇j

Zdvmur(vj − uj)f(v, x, t)−∇j

Zdvmurujf(v, x, t)

(3.111)

In membrul stang al expresiei (3.111) primul si al doilea termen sereduc datorita definitiilor (3.84) si (3.85). Din acelasi motiv ter-menii al doilea si al treilea din membrul drept se reduc si expresiafinala este

∂t(ρur) = −∇j

Zdvm(vr−ur)(vj−uj)f−∇juruj

Zdvm (3.112)

unde primul termen din membrul drept este −∇j (Πrj + δrjP )[vezi definitia (3.91)] iar ultimul este∇jρujur [vezi definitia (3.84)]si prin urmare se obtine ecuatia de bilant pentru impuls

∂tρu = −∇ ·hρuu+P

←→I +

←→Πi

(3.113)

3.5.3 Ecuatia de bilant pentru energia interna ρe

Sa ne ocupam in continuare de deducerea ecuatiei de bilant pentruenergia interna

∂tρe = −∇ · [ρeu+ q]− P∇ · u−←→Π :∇u (3.114)

DemonstratieInmultim ecuatia cinetica (3.104) cu m

2|v−u|2, integram dupa

viteza v si tinem cont de toti cei trei invarianti colisionali (3.94).

3.5 Ecuatii de bilant hidrodinamice 75

Din definitiile (3.89) si (3.90) rezulta ca membrul stang al ecuatieicinetice inmultite cu m

2|v − u|2 este chiar ∂t(ρe). Sa analizam in

detaliu acum termenul de ciocnire Landau. Acesta da contributienula datorita celor trei invarianti colisionali

Zdv

m

2|v− u|2K ≡

Zdv

m

2(vr − ur)(vr − ur)K = (3.115)

=

Zdv

m

2v2K +

Zdv

m

2u2K −

ZdvmvrurK = 0

Ne ocupam in continuare doar de termenul care a mai ramas siscriem urmatoarea succesiune de expresii

−Z

dvm

2|v− u|2vj∇jf =

−Z

dvm

2

©∇j[(v− u)2vjf ]−

−∇j[v− u]2vjf − |v− u|2(∇jvj)fª=

= −∇j

Zdv

m

2|v−u|2vjf−

Zdvm(vr−ur)(∇jur)vjf (3.116)

Dar prima integrala din membrul drept al expresiei (3.116) sepoate scrie adunand si scazand viteza uj astfel

Zdv

m

2|v− u|2vjf =

Zdv

m

2|v− u|2(vj − uj)f+ (3.117)

+

Zdv

m

2|v− u|2uj)f

Prin urmare, primul termen din membrul drept al expresiei (3.116)devine

−∇j

Zdv

m

2|v− u|2vjf = −∇j(qj + ρeuj) ≡ (3.118)


≡ −∇ · (q+ ρeu)

unde am utilizat definitiile (3.86) si (3.92). A doua integraladin membrul drept al expresiei (3.116) se poate scrie convenabiladunand si scazand uj vitezei vj si scotand in fata integralei fac-torul (∇jur) care nu depinde de viteza v. Obtinem succesiv ex-presiile

−Z

dvm(vr − ur)(∇jur)vjf =

= −(∇jur)

Zdvm(vr − ur)(vj − uj + uj)f =

= − (∇jur)

Zdvm(vr − ur)(vj − uj)f−

− (∇jur)

Zdvm(vr − ur)ujf ≡

≡ −∇jurΠrj −∇jurPδrj =

= −Πrj∇jur − P∇juj (3.119)

Expresia a patra din ecuatia (3.119) este identic nula datoritadefinitiilor (3.84) si (3.85) iar expresiile din ultimele doua linii din(3.119) se datoreaza definitiei (3.91). Prin urmare

Zdvm(vr − ur)(∇jur)vjf = −Πrj∇jur − P∇juj ≡ (3.120)

≡ ←→Π :∇u− P∇ · uIn final, tinand cont de (3.118) si (3.120) ecuatia de bilant pentruenergia interna devine

∂t(ρe) = −∇ · [q+ ρeu]− P∇ · u−←→Π :∇u (3.121)

membrul stang fiind direct ∂t(ρe).Observatii

3.6 Problema de baza a hidrodinamicii 77

- determinarea densitatii ρ necesita cunoasterea vitezei localeu.-determinarea vitezei locale u necesita cunoasterea tensorului←→

Π , s.a.m.d.Sa numim moment de ordinul n, valoarea medie a unui monom

de ordinul n in componentele vitezei v. Descoperim astfel urma-toarea structura:Ecuatia de evolutie a oricarui moment de ordinul "n" contine

un moment de ordinul "n+1"(structura ierarhica de lant infinit).-structura de tip BBGKY este determinata de interactii.-structura ecuatiilor hidrodinamicii este determinata de fluxul

liber care introduce un factor suplimentar v in medii (−v ·∇).-momentele de ordin superior nu mai sunt invarianti colisionali

si deci termenul de ciocnire introduce momente de ordin superiorin ecuatiile de evolutie.

3.6 Problema de baza a hidrodinamicii

Cum si in ce conditii se pot exprima momentele nehidrodinamice(←→Π , q) ca functionale de momente hidrodinamice ρ, u, T?La nivel macroscopic problema se rezolva utilizand argumente

de simetrie si relatii fenomenologice preluate din experimente ceeace conduce la ecuatiile de transport specificate in prima sectiunea cursului (cu introducerea unor coeficienti de transport constantinedeterminati).La nivel microscopic, teoria cinetica trateaza problema com-

plet si sistematic si permite obtinerea expresiilor coeficientilor detransport precum si limita de valabilitate a ecuatiilor de trans-port si eventuala generalizare a acestora. Aceasta formeaza obiec-tul disciplinei teoria transportului care reprezinta scopul final aldinamicii statistice. Ne propunem in continuare sa analizam unsistem fizic care este caracterizat dupa cum urmeaza:*Consideram un anumit numar de particule "test" care au o

distributie in spatiul fazelor putin diferita de restul particulelor(identice cu cele test) care formeaza asa numita "baie" de partic-ule.


*Ciocnirile dintre particulele "test" se neglijeaza.*Numarul particulelor "test" este ¿ decat numarul partic-

ulelor din "baie".*Particulele "test" se ciocnesc numai cu cele din "baie".*Echilibrul "baii" nu este perturbat de ciocnirile cu particulele

"test".Ecuatia cinetica a particulei "test" este de forma

∂tf + v ·∇f = K(f, fb) (3.122)

unde

fb(v, x, t) = nb(x, t)(m

2πT (x, t))3/2 exp[− mv2

2T (x, t)] (3.123)

este functie de distributie redusa a particulelor din "baie" (localasi maxwelliana) iar

f(v, x, t) = n(x, t)(m

2πT (x, t))3/2 exp[− mv2

2T (x, t)]{1+χ(v, x, t)}

(3.124)

este functie de distributie redusa a particulelor "test", care este odistributie de neechilibru.* Termenul de ciocnire K(f, fb) este liniarizat in f si nu mai

este simetric in raport cu cele doua specii de particule. Prin ur-mare singurul invariant colisional legat de particulele "test" estedensitatea numarului de particule. Impulsul si energia se conservadoar pentru ansamblul "baie-particule test". Scopul nostru este dea determina fluxurile (nehidrodinamice) de particule Γ si de cal-dura q prin metoda momentelor Hermite (exista si alte metode)care a fost introdusa de H. Grad.Ideea metodei este similara teoriei perturbatiei din mecanica

cuantica. Toate calculele referitoare la sistemele neomogene suntfacute presupunand existenta unui parametru mic λH =

ld. .m.

lH¿


1. Acesta defineste regimul hidrodinamic. Lungimea hidrodinam-ica lH = min(lT , ln) unde prin definitie, lungimile caracteristicegradientului de temperatura si densitatii de particule sunt

l−1T =|∇T |T

si l−1n =|∇n|n

(3.125)

De asemenea exista urmatoarele definitii ale timpilor asociatilungimilor caracteristice anterioare

τ−1T = (T

m)1/2

|∇T |T

; τ−1n = (T

m)1/2

|∇n|n; τH = min(τT , τn)

(3.126)

Ne propunem sa scriem in cele ce urmeaza ecuatiile de bilant incazul in care termenul de ciocnire Landau are forma nesimetricaK(f, fb). Vom neglija in ecuatiile de bilant contributia tensoruluidisipativ al presiunii

←→Π . Amintim ca temperatura T se masoara

in acest curs in Joule adica este de fapt kBT0unde T

0se masoara

in grade Kelvin.

3.6.1 Ecuatia de bilant pentru fluxul de caldura q

Pornim de la ecuatia cinetica Landau

∂tf(x, v, t) = −v ·∇f(x, v, t) +K(f, fb) (3.127)

Inmultim ecuatia (3.127) cu 12m(vr−ur)|v− u|2 si integram dupa

viteza v. In membrul stang obtinem

∂t

Z1

2m(vr − ur)|v− u|2 fdv

care este chiar ∂tqr(x, t) daca tinem cont de definitia (3.92).Sa analizam acum membrul drept al ecuatiei (3.127). Prin

definitie marimea


Zdv

m

2(vr − ur)|v− u|2K(f, fb) ≡ Q(3)

r (3.128)

se numeste forta de frecare generalizata. Indicele superior (3) sem-nifica faptul ca aceasta forta este un moment de ordinul trei. Amai ramas de analizat termenul

Zdv

m

2(vr − ur)|v− u|2vj∇jf (3.129)

Aplicand formula de derivare a unui produs de functii si tinandcont ca vj nu depinde de x, scoatem vj in fata operatorului ∇j siobtinem

ArBvj(∇jf) = ∇j(ArBvjf)− fvj{∇j(ArB)} =

= ∇j(ArBvjf)− fvj(∇jAr)B − fvjAr(∇jB) (3.130)

unde Ar ≡ vr − ur si B ≡ |v− u|2. Dar

∇jAr = ∇j(vr − ur) = −∇jur (3.131)

deoarece v nu depinde de x iar

∇jB = ∇j(vk − uk)2 = −2(vk − uk)∇juk (3.132)

Prin urmare termenul (3.129) devine succesiv utilizand expresiile(3.130), (3.131) si (3.132)

−Z

dvm

2(vr − ur)|v− u|2vj∇jf =

= −∇j

Zdv

m

2(vr − ur)|v− u|2vjf−


−∇jur

Zdv

m

2|v− u|2vjf−

−2∇juk

Zdv

m

2(vk − uk)(vr − ur)vjf =

= −∇j(Srj + ujqr)− (∇jur)(qj + uj(ρe))−−2(∇juk)qkrj − (∇juk)(Πkr + Pδkr)uj =

= −∇j(Srj + ujqr)− (qj +3

2Puj)∇jur−

−(2qkrj + (Πkr + Pδkr)uj)∇juk

Deci, pe componente, ecuatia de bilant pentru fluxul de calduraeste de forma

∂tqr = −∇j(Srj + ujqr)− (2qkrj + qjδrk)∇juk− (3.133)

−(32Pujδkr + Pkruj)∇juk +Q(3)

r

unde am introdus definitiile urmatoare:a) presiunea totala Pkr, care este un moment de ordinul doi si

tensor de rang doi

Pkr =m

Zdv(vr − ur)(vk − uk)f(x, v, t) (3.134)

b) qkrj care este un moment de ordinul trei si o marime tensorialade rang trei

qkrj =1

2m

Zdv(vk − uk)(vr − ur)(vj − uj)f(x, v, t) (3.135)

c) Srj care este moment de ordinul patru si o marime tensorialade rang doi

Srj =1

2m

Zdv(vr − ur)(vj − uj)|v− u|2f(x,v,t) (3.136)


3.6.2 Ecuatia de continuitate

Ecuatia de bilant (3.107) se mai poate scrie si in functie de fluxulΓ si de densitatea de particule n (ρ = mn). Aceasta se poate facedaca se tine cont de relatiile (3.87), (3.88) si se obtine expresia

∂tn = −∇ · (nu) ≡ −∇ · Γ (3.137)

la care nu exista contributie a termenului de ciocnire Landaudeoarece densitatea numarului de particule se conserva.

3.6.3 Ecuatia de bilant pentru fluxul Γ

Ecuatia de bilant (3.113) corespunzatoare sistemului fizic mixtpe care-l analizam se scrie de asemenea tinand cont de relatiile(3.87), (3.88) dar trebuie sa mai adaugam un termen, si anumeQ(1) termen care corespunde faptului ca impulsul particulelor testnu se mai conserva. In plus vom neglija in acest model contribu-tia tensorului disipativ al presiunii

←→Π . Ecuatia de bilant pentru

fluxul de particule Γ devine

∂tΓ =−∇ ·hΓu+m−1P

←→Ii+Q(1) (3.138)

undeZdv

m

2vK(f, fb) ≡ Q(1)

este termenul datorat neconservarii impulsului (deoarece termenulde ciocnire Landau nu mai este simetric).

3.6.4 Ecuatia de bilant pentru energia ρe

Ecuatia de bilant (3.121) se deduce analog ca ecuatiile precedentesi are forma

∂t(ρe) = −∇ · [q+ ρeu]− P∇ · u+Q(2)


sau

∂t(ρe) = −∇ · [q+ ρeu+ Pu]− u ·∇P +Q(2) (3.139)

in care daca inlocuim ρe cu 32nT (ecuatia termica de stare)

obtinem

∂t(3

2nT ) = −∇ · [q+ 3

2nTu+ Pu]− u ·∇P +Q(2) (3.140)

Deoarece P = nT iar Γ = nu ecuatia precedenta devine

∂t(3

2nT ) = −∇ · [q+ 5

2ΓT ]− u ·∇P +Q(2) (3.141)

Neglijand termenii care sunt de ordin λ2H in ecuatiile de evolutiepentru componentele Γr si qr (3.138) respectiv (3.133) obtinemexpresiile

∂tΓr = −m−1∇rP +Q(1)r (3.142)

∂tqr = −5

2nT

m∇rT +Q(3)

r (3.143)

Din aceste ecuatii se observa ca variatia in timp a fluxurilor Γr siqr se datoreaza gradientilor marimilor P si T precum si efectuluiciocnirilor continut in componentele fortelor de frecare general-izate Q(p)

r (p = 1, 3), forte care se datoreaza faptului ca termenulde ciocnire Landau nu mai este simetric, adica depinde de douafunctii de distributie reduse diferite, f, si fb, iar expresia sa esteK{f, fb}. Primii termeni din membrii drepti ai relatiilor prece-dente sunt proportionali cu τ−1H in timp ce ceilalti sunt propor-tionali cu τ−1R .In starea stationara (starea finala) aceste douacontributii trebuie sa se echilibreze si sa produca fluxurile de cal-dura si particule de echilibru. Pentru ca aceasta compensare saaiba loc trebuie ca Q

(P )r sa fie de ordinul τR

τH= λH , adica sa fie

marimi de ordinul unu in parametrul hidrodinamic λH .


3.7 Momente Hermite

Sa analizam acum pornind de la definitiile functiilor de distributie(3.123) si (3.124) momentele de diferite ordine care caracterizeazasistemul nostru. Pentru a incepe analiza sa introducem variabilaadimensionala

cr = (m

T (x, t))1/2vr (3.144)

si sa definim functia de distributie de referinta Φ0(c) astfel

Φ0(c) = (2π)−3/2e−c2/2 (3.145)

Aceasta functie satisface conditia de normare

ZdcΦ0(c) = 1 (3.146)

adica

Zdc(2π)−3/2e−c

2/2 = (2π)−3/2Z

dce−c2/2 = (2π)−3/2(2π)3/2 = 1

(3.147)

deoarece integrala Poisson corespunzatoare fiecarei componente avitezei adimensionale c are valoarea

Zdcre

−c2r/2 = (2π)1/2, r = 1, 2, 3 (3.148)

Atunci fb si f definite in (3.123) si (3.124) se scriu astfel

fb(v, x, t) = nb(x, t)(m

T)3/2Φ0(c) (3.149)

respectiv

3.7 Momente Hermite 85

f(v, x, t) = n(x, t)(m

T)3/2Φ0(c)[1+χ(c, x, t)] ≡ f0(v, x, t)(1+χ)

(3.150)

Functia χ a devenit acum necunoscuta (|χ| ∼ O(λH) este abatereade la echilibru). In starea de echilibru local marimile hidrodinam-ice locale n(x, t), (u(x, t)), T (x, t) coincid cu marimile hidrod-inamice exacte, ceea ce nu mai este adevarat in orice stare deneechilibru. Vom impune atunci urmatoarele constrangeri

Zdvf(v, x, t) =

Zdvf0(v, x, t) = n(x, t) (3.151)

1

3m

Zdv|v− u|2f(x, v, t) = 1

3

Zdv|v− u|2f0(x, v, t) =

(3.152)

= n(x, t)T (x, t)

Inlocuind in (3.151) si (3.152) functia de distributie f = f0(1+χ),obtinem urmatoarea forma a constrangerilor

ZdcΦ0χ = 0,

Zdcc2Φ0χ = 0 (3.153)

Ideea de a gasi o solutie χ a ecuatiei cinetice (problema care defapt este echivalenta cu problema transportului) se bazeaza pedezvoltarea functiei χ in serie de polinoame ortonormate in vari-abila adimensionala c. Baza ortonormata utilizata o reprezintapolinoamele Hermite tensoriale H(P )

rs ...(c):

χ(c;x, t) =∞Xn=0

©h2n(x, t)H(2n)(c)+h(2n+1)r (x, t)H(2n+1)

r (c)+

(3.154)


+h(2n+2)rs (x, t)H(2n+2)rs (c) + ...

ªunde polinoamele Hermite sunt definite astfel:a) polinom Hermite scalar

H(2n)(c)=P (n)(c2) (3.155)

b) polinom Hermite vectorial

H(2n+1)r (c)=crR

(n)(c2) (3.156)

c) polinom Hermite tensor simetric de urma nula

H(2n+2)rs (c)= (crcs −

1

3c2δrs)S

(n)(c2) (3.157)

Marimile de forma h(P )rs ...(x, t) care apar in definitia (3.154)

se numesc momente tensoriale Hermite iar marimile P (n)(c2),R(n)(c2), S(n)(c2) sunt polinoame in variabila scalara c2.Daca se determina un set finit de momente tensoriale Hermite

practic se poate determina functia χ. In practica seria infinitaeste taiata la un anumit nivel. In cazul nostru vrem sa determinammarimile vectoriale ale caror componente sunt Γr, qr. Intr-o teorieliniara, doar momentele vectoriale contribuie la determinarea flux-urilor Γr, qr:

χ(c, x, t) ' h(1)r (x, t)H(1)r (c) + h(3)r (x, t)H

(3)r (c) (3.158)

Polinoamele H(P )rs ...(c) au urmatoarele proprietati de ortogonali-

tate:

ZdcΦ0(c)H(2m)(c)H(2n)(c)=δmn (3.159)ZdcΦ0(c)H(2m+1)

r (c)H(2n+1)s (c)=δmnδrs (3.160)

3.7 Momente Hermite 87ZdcΦ0(c)H(2m)

rs (c)H(2n)pq =

1

2δmn(δrpδsq+δrqδsp−

2

3δrsδpq) (3.161)

Primele polinoame ale bazei ortonormate sunt

H0(c) = 1 (3.162)

H(2)(c) =1√6(c2 − 3) (3.163)

H(4)(c) =1

2√30(c4 − 10c2 + 15) (3.164)

H(1)r (c) = cr (3.165)

H(3)r (c) =

1√10

cr(c2 − 5) (3.166)

H(2)rs (c) =

1√2(crcs −

1

3δrsc

2) (3.167)

H(4)rs (c) =

1

2√7(crcs −

1

3δrsc

2)(c2 − 7) (3.168)

Inmultind ecuatia (3.154) cu Φ0(c)H(m)r1..rn(c), integrand dupa viteza

adimensionala c tinand cont ca h(m)r1...rn(x, t) nu depinde de c si

utilizand proprietatile de ortogonalitate ale polinoamelor Hermite,momentele Hermite au forma:

h(m)r1...rn(x, t) =

ZdcΦ0(c)χ(c, x, t)H(m)

r1..rn(c) (3.169)


De aici obtinem in cazul n = 1 si m = 1 momentul hermiticvectorial de ordinul unu

h(1)r (x, t) =

ZdcΦ0(c)χH(1)

r (c)=

ZdcΦ0(c)crχ (3.170)

Dupa un calcul relativ simplu, fluxul de particule Γr(x, t) se poateexprima in functie de momentul Hermite vectorial de ordinul unu

Γr(x, t) =

Zdvvrf(v, x, t) = (3.171)

=

Zdvvrf

0(1 + χ) =

Zdvvrf

0χ =

=

Zdvvr

hn(m

T)3/2Φ0(c)

iχ = n

Zdc(

T

m)1/2crΦ

0(c)χ =

= n(T

m)1/2

ZdccrΦ

0(c)χ ≡ n(T

m)1/2h(1)r (x, t)

In scrierea expresiei (3.171) am utilizat definitia functiei f0 data in(3.150), invariantul colisional corespunzator impulsului (calculatinsa cu functia de distributie f0) si schimbarea de variabila

cr = (m

T (x, t))1/2vr, dv = (

T

m)3/2dc

Marimea vectoriala Φ ale carei componente sunt

Φr = (T

m)3/2n

m

2

Zdccrc

2Φ0χ (3.172)

reprezinta suma dintre fluxul total de energie pe directia r ad-ica 5

2TΓr, care reprezinta fluxul conservativ de energie si fluxul

conductiv de caldura qr si o putem rescrie astfel:

Φr = (T

m)3/2n

m

2

√10

Zdc

½1√10

cr(c2 − 5) + 5√

10cr

¾Φ0χ =


= (T

m)3/2n

m

2

√10

Zdc

½H(3)

r (c) +5√10

H(1)r (c)

¾Φ0χ =

= (T

m)3/2n

m

2

√10

ZdcH(3)

r (c)Φ0χ+

+5

2nm(

T

m)3/2

ZdcH(1)

r (c)Φ0χ =

=

r5

2nm(

T

m)3/2h(3)r (c) +

5

2TΓr

Prin identificare obtinem relatia dintre fluxul de caldura qr si mo-mentul vectorial Hermite de ordinul trei

qr =

r5

2nm(

T

m)3/2h(3)r (3.173)

3.7.1 Determinarea legilor de evolutie pentru h(1)r si h(3)r

In continuare ne propunem sa gasim legile de evolutie pentrumarimile h(1)r si h(3)r care sunt momentele Hermite asociate fluxu-lui de particule (3.171) si fluxului de caldura (3.173). Ne ocupaminitial de momentul Hermite vectorial h(1)r . Prin definitie

h(1)r =1

n

Zdvf(v)H(1)

r

h(m

T)1/2v

i=1

n

Zdvf(v)vr(

m

T)1/2

(3.174)

deoarece

H(1)r (c) = cr, cr = (

m

T)1/2vr (3.175)

Derivand partial ecuatia (3.174) in raport cu timpul avem

∂th(1)r (c, t) = ∂t(

1

n(m

T)1/2)

Zdvvrf(v)+ (3.176)


+1

n(m

T)1/2

Zdvvr∂tf(x, v, t)

Primul termen din membrul drept al ecuatiei (3.176), adicaRdvvrf(v)

este zero deoarece s-a considerat cazul simplificat in care ρu ≡mRdvvf = 0.Inlocuind in integrandul nenul din membrul drept al ecuatiei

(3.176) derivata partiala in raport cu timpul din ecuatia Landau,obtinem

∂th(1)r (x,t) =

1

n(m

T)1/2

Zdvvr(−vj∇jf +K) =

= −1n(m

T)1/2∇j

Zdvvrvjf +

1

n(m

T)1/2

ZdvvrK =

= −1n(m

T)1/2

1

m∇j(Πrj + δrjP ) +

1

n

Zdv(

m

T)1/2vrK =

∼= −1n(m

T)1/2

1

m∇r(nT ) +Q(1)

r

≡ −(Tm)1/2

1

nT∇r(nT ) +Q(1)

r (3.177)

unde am neglijat contributia termenului care contine Πrj si amutilizat relatia P = nT . Forta de frecare generalizata are expresia

Q(2n+1)r =

1

n

ZdvH(2n+1)

r [(m

T)1/2v]K{f, fb} (3.178)

(in cazul nostru n = 1). A nu se confunda concentratia de partic-ule n cu indicele n al fortei de frecare generalizate!Calculul corespunzator momentului Hermite h(3)r este ceva mai

lung. Prin definitie

h(3)r =1

n

Zdvf(v)H(3)

r [(m

T)1/2v] (3.179)


H(3)r [(

m

T)1/2v] =

1√10(m

T)1/2vr[

m

Tv2−5] = 1√

10(m

T)3/2vr[v

2−5Tm]

(3.180)

Derivam partial in raport cu timpul ecuatia (3.179), tinand contca si n, T depind de timp si obtinem

∂th(3)r (x, t) =

= ∂t

½1√10

1

n(m

T)3/2

Zdvf(v)vr[v

2 − 5Tm]

¾=

= (∂t(nT3/2)−1)nT 3/2h(3)r −

1√10

1

n(m

T)3/2

5

m(∂tT )

Zdvfvr+

+1√10

1

n(m

T)3/2

Zdvvr(v

2 − 5Tm)(−vm∇mf +K) (3.181)

In obtinerea expresiei (3.181) am utilizat formula de derivare aunui produs de functii, conditia ρu ≡ m

Rdvvf = 0 si ecu-

atia Landau (3.127). Sa calculam acum derivata ∂t(nT3/2)−1

tinand cont de ecuatia de continuitate (3.137), de conditia ρu ≡mRdvvf = 0 precum si de ecuatia (3.141)

∂t(nT3/2)−1 = ∂t(

1

n)T−3/2 +

1

n∂t(

1

T 3/2) =

= − 1n2(∂tn)T

−3/2 − 1n

3

2T−5/2∂tT =

= −1n

3

2T−5/2(− 2

3n∇ · q) = 1

n2T−5/2∇ · q (3.182)

Dar prin definitie

qr =

r5

2m(

T

m)3/2nh(3)r (3.183)

Inlocuind avem


∂t(nT3/2)−1 =

1

n2T−5/2

r5

2m∇r[(

T

m)3/2nh(3)r ] = (3.184)

= (nT 3/2)−1r5

2

1

ρT∇r[ρT (

T

m)1/2h(3)r ]

deoarece n = ρm. Sa calculam in continuare (utilizand din nou

formula de derivare a unui produs de functii) termenul pe care ilnotam cu Tr

Tr ≡Z

dvvr(v2 − 5T

m)vn∇n = (3.185)

= ∇n

Zdvfvrvn(v

2 − 5Tm) +

5

m(∇nT )

Zdvvrvnf

Facem acum schimbarile de variabila

vr = (T

m)1/2cr; f = n(

m

T)3/2Φ0(c)(1 + χ) (3.186)

si o inlocuim in (3.185) obtinand

Tr = ∇n{n(T

m)2Z

dcΦ0(1 + χ)crcn(c2 − 5)}+ (3.187)

+5

m(∇nT )

T

mn

ZdcΦ0(1 + χ)crcn

Sa exprimam acum crcn(c2 − 5) in functie de polinoamele tenso-

riale Hermite H(2)rn si H

(4)rn . Avem succesiv

√2H(2)

rn = crcn −1

3δrnc

2 (3.188)

2√7H(4)

rn = (crcn −1

3δrnc

2)(c2 − 7)


2√2H(2)

rn = 2crcn −2

3δrnc

2 (3.189)

2√7H(4)

rn = (crcn −1

3δrnc

2)(c2 − 7) (3.190)

2√2H(2)

rn + 2√7H(4)

rn =

= (crcn −1

3δrnc

2)(c2 − 7)+

+2crcn −2

3δrnc

2 = crcn(c2 − 5) (3.191)

De asemenea, produsul crcn se poate exprima in functie de H(2)rn ,

H(2) si H(0) astfel

crcn =√2H(2)

rn (c) +1

3δrnc

2 =

=√2H(2)

rn +1

3δrn(√6H(2) + 3) =

=√2H(2)

rn +

r2

3H(2)δrn + δrnH

(0) (3.192)

Utilizand expresiile (3.191), (3.192) si definitia momentelor Her-mite (3.169) in (3.187), obtinem expresiile celor doi termeni carecompun Tr, astfel

∇n{n(T

m)2Z

dcΦ0(1 + χ)[2√2H(2)

rn + 2√7H(4)

rn ]} = (3.193)

= ∇n

½(T

m)2h2√7h(4)rn + 2

√2h(2)rn

i¾iar cel de-al doilea termen devine


5

m(∇nT )

T

mn

ZdcΦ0(1 + χ)crcn =

=5

m(∇nT )

T

mn

(√2h(2)rn +

r2

3h(2)δrn + h(0)δrn + δrn

)(3.194)

In scrierea ultimelor relatii am folosit definitia

h(m)r1...rn=

ZdcΦ0(1 + χ)H(m)

r1...rn− δm0 (3.195)

Din constrangerile impuse rezulta h(2) = h(0) = 0 si expresia celuide-al doilea termen din (3.194) devine

5

m(∇nT )

T

mn√2h(2)rn +

5

m(∇rT )

T

mn (3.196)

Inlocuind (3.184) si (3.185) in ecuatia (3.181) obtinem ecuatia deevolutie pentru momentul hermitic vectorial h(3)r

∂th(3)r = −

r5

2(T

m)1/2

1

T∇rT+

+(T

m)1/2

(−r14

5

1

ρT 2∇m(ρT

2h(4)rn ) +

r5

2h(3)r

1

ρT 3/2

· ∇m(ρT3/2h(3)m )−

2√5

1

T 7/2∇m(T

7/2h(2)rm)

¾+Q(3)

r (3.198)

Tinand cont de faptul ca retinem doar termenii in λH avem in finalurmatoarele ecuatii simplificate care corespund ecuatiilor (3.177)si (3.198)

∂th(1)r (x, t) = −(

T

m)1/2

1

nT∇r(nT ) +Q(1)

r (3.199)

∂th(3)r (x, t) = −

r5

2(T

m)1/2

1

T∇rT +Q(3)

r (3.200)

Este necesar sa calculam in continuare fortele de frecare general-izate Q(1)

r si Q(3)r .

3.8 Ecuatii de transport 95

3.8 Ecuatii de transport

3.8.1 Fortele de frecare generalizate

In ecuatia de evolutie (3.198) care corespunde momentului vecto-rial Hermite h(3)r avem urmatoarele tipuri de termeni:A) termenii sursa care contin gradienti ai marimilor hidrodi-

namice (in cazul acesta este vorba de temperatura T )B) termenii care contin operatorul (T/m)1/2∇m care actioneaza

asupra momentelor Hermite h(4)rm, h(2)rm

C) contributii ale termenului de ciocnire care au forma generala

Q(2k+1)r =

1

n

ZdvH(2k+1)

r [(m

T)1/2v]K {f, fb} (3.201)

care este o serie infinita ce contine termeni liniari si biliniari intoate momentele h(m)r1...rk . In cazul in care k = 1 se obtine Q

(3)r care

este contributia termenului de ciocnire din ecuatia (3.200)

Q(3)r =

1

n

ZdvH(3)

r [(m

T)1/2v]K {f, fb} (3.202)

iar pentru k = 0 se obtine Q(1)r care este contributia termenului

de ciocnire din ecuatia (3.199), pe care ne propunem sa-l calculamin cele ce urmeaza. Prin definitie

Q(1)r =

1

n

ZdvH(1)

r [(m

T)1/2v]K {f, fb} (3.203)

unde

fb = nb(m

T)3/2Φ0, f = n(

m

T)3/2Φ0(1 + χ) (3.204)

iar

Φ0 = (2π)−3/2e−c2/2

si


K {f, fb} =B

m2

Zdv2∂

r1

g2δrs − grgsg3

∂s12ffb (3.205)

Vom utiliza notatiile

γ = c1 − c2

c = (m

T)1/2v

χ = h(1)r H(1)r + h(3)r H(3)

r (3.206)

care introduse in expresia (3.203) conduc la

Q(1)r =

nbm1/3T 3/2

Zdc1dc2c1r∂1mGmn(γ)(∂1n − ∂2n)e

− 12(c21+c

22)×

(3.207)

×½1 + h(1)s c1s + h(3)s

1√10

c13(c21 − 5)

¾unde ∂1n = ∂

∂c1niar γmGmn = Gmnγn = 0. Integram prin

parti, tinem cont de lemele (2.49) enuntate anterior si efectuamderivatele (∂1n − ∂2n). Obtinem

Q(1)r = − nb

m1/3T 3/2

Zdc1dc2Grn(γ)e

−12(c21+c

22)× (3.208)

×½h(1)s δns + h(3)s

1√10[(c21 − 5)δns + 2c1nc1s]

¾Sa facem urmatoarea schimbare de variabile

(c1, c2)→µγ = c1 − c2, Γ =

c1 + c22

¶De aici rezulta urmatoarele relatiile utile


c1 = Γ +1

2γ, c2 = Γ − 1

2γ, c21 + c

22 = 2Γ

2 +1

2γ2 (3.209)

c21 = Γ 2+1

4γ2+γ ·Γ, c1nc1s = ΓnΓs+

1

4γnγs+

1

2(γnΓs+γsΓn)

(3.210)

iar elementul de integrare devine.Zdc1dc2 →

ZdΓdγ (3.211)

Inlocuind in (3.208) si efectuand calculele obtinem

Q(1)r =

nbm1/3T 3/2

ZdΓdγGrn(γ)e

−Γ 2−14γ2× (3.212)

× {h(1)s δns + h(3)s

1√10[(Γ 2 + γ · Γ + 1

4γ2 − 5)δns+

+ 2(ΓnΓs +1

2(γnΓs + γsΓn) +

1

4γnγs)]}

Se observa ca avem de calculat integrale de doua tipuri. Primultip de integrala contine in integrand componente ale vectoruluiΓ , adica au forma

ZdΓe−Γ

2

Γ 2,

ZdΓe−Γ

2

ΓnΓs (3.213)

iar cel de-al doilea tip contine in integrand componente ale vec-torului γ si componente ale tensorului Landau Grn(γ)Z

dγe−γ2/4Grn(γ),

Zdγe−γ

2/4Grn(γ)γnγs (3.214)

Sa calculam integrala generala de tipul

J (k)mnpq = (2π)−3/2

ZdΓe−Γ

2

Γ 2kΓmΓnΓpΓq (3.215)


Aceasta integrala este un tensor de rang 4 simetric in toti indicii.Expresia (3.215) ne sugereaza ca forma integralei J (k)mnpq este ocombinatie de tensori unitate (tensori Kronecker), adica

J (k)mnpq = B(k)(δmnδpq + δmpδnq + δmqδpn) (3.216)

Facem in (3.216) p = q ≡ r si obtinem

J (k)mnrr = B(k)(δmnδrr + δmrδnr + δmrδrn) = 5B(k)δmn (3.217)

deoarece δrr = 3. Egaland intre ei si indicii m si n, obtinem

J (k)rrss = B(k)(δrrδss + δrsδrs + δrsδrs) = B(k)3 · 5 (3.218)

Prin urmare integrala J (k)rrss devine

J (k)rrss = (2π)−3/2

ZdΓe−Γ

2

Γ 2kΓrΓrΓsΓs = (3.219)

= (2π)−3/2Z

dΓe−Γ2

Γ 2k+4 =

= (2π)−3/24π

Z ∞

0

dΓe−Γ2

Γ 2k+6 =3 · 5 · 7...(2k + 5)

2k+7/2

Ultima linie a fost obtinuta prin trecerea la coordonate sferice siintegrarea dupa unghiuri, adica

dΓ = 4πΓ 2dΓ

Prin inductie matematica rezulta formula generala

J (k)mnpq = B(k)(δmnδpq + δmpδnq + δmqδpn)5 · 7...(2k + 5)5 · 2k+7/2 (3.220)

Sa calculam acum integrala

L(k)rs/mn = (2π)

−3/2Z

dce−c2/2Grs(c)c

2kcmcn (3.221)


Aceasta este un tensor simetric in (rs) si (mn) si de rang 4 si inconsecinta are forma generala

L(k)rs/mn = B

(k)1 δmnδrs +B

(k)2 (δrmδsn + δrnδsm) (3.222)

Dar

L(k)rp/pn = L

(k)rp/mp = 0 (3.223)

deoarece Grscs = Grscr = 0. Prin urmare

L(k)pp/qq = B

(k)1 δppδqq +B

(k)2 (δpqδpq + δpqδpq) = 3(3B

(k)1 + 2B

(k)2 )

(3.224)

L(k)pq/pq = B

(k)1 δpqδpq+B

(k)2 (δppδqq+δpqδpq) = 0⇒ B

(k)1 = −4B(k)

2

(3.225)

L(k)pp/qq = 3(−12B

(k)2 + 2B

(k)2 ) = −30B

(k)2 (3.226)

L(k)pp/qq = (2π)

−3/2Z

dce−c2/2Gppc

2kcqcq = (3.227)

= (2π)−3/2Z

dce−c2/2c2k+1 =

= 4π(2π)−3/2Z ∞

0

dce−c2/2c2k+3 =

2k+3(k + 1)!

15√2π

Deci

B(k)2 = −2

k+3(k + 1)!

15 · 30√2π; B

(k)1 =

2k+5(k + 1)!

15 · 30√2π

(3.228)


si inlocuind (3.228) in (3.222) rezulta expresia generala L(k)rs/mn.Utilizand rezultatele anterioare obtinem urmatoarele expresii

pentru Q(1)r si Q(3)

r

Q(1)r = − Bnb

3√πm1/2T 3/2

[h(1)r −3

2√10

h(3)r ] (3.229)

Q(3)r = − Bnb

3√πm1/2T 3/2

[− 3

2√10

h(1)r +75

40h(3)r ] (3.230)

unde B = 8π5R∞0

dkeV 2(k)k3 si a fost definit in (3.77). NotamBnb

3√πm1/2T 3/2

' 1τ̂R(inversul timpului de relaxare sau frecventa de

ciocnire) si introducem de asemenea notatiile

g(1)r = −τ̂R(T

m)1/2

1

nT∇r(nT ); g(3)r = −τ̂R

r5

2(T

m)1/2

1

T∇rT

(3.231)

care se numesc termeni sursa si sunt marimi adimensionale. Cuaceste notatii ecuatiile de evolutie pentru h

(1)r si h

(3)r se scriu sub

forma

⎧⎨⎩ ∂th(1)r = g

(1)r

τ̂R− 1

τ̂R(h(1)r − 3

2√10h(3)r )

∂th(3)r = g

(3)r

τ̂R− 1

τ̂R(− 3

2√10h(1)r + 75

40h(3)r )

(3.232)

sau

(τ̂R∂th

(1)r + h

(1)r − 3

2√10h(3)r = g

(1)r

τ̂R∂th(3)r − 3

2√10h(1)r + 75

40h(3)r = g

(3)r

(3.233)

care este un sistem de ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti.Compact sistemul anterior se poate scrie astfel

τ̂R∂th(p)r +

Xq=1,3

cpqh(q)r = g(p)r , q, p = 1, 3 (3.234)


de unde prin identificare rezulta

c11 = −1; c13 = −3

2√10; c31 = −

3

2√10; c33 =

75

40(3.235)

si cpq sunt elementele matricii simetrice a operatorului de ciocnire.Simetria este datorata faptului ca operatorul de ciocnire este au-toadjunct, adica valorile sale proprii sunt reale (si negative). Prinurmare operatorul de ciocnire conduce la o relaxare monotona afunctiei de distributie catre valoarea sa de echilibru.

3.8.2 Deducerea ecuatiilor de transport

Solutia sistemului de ecuatii diferentiale cu coeficienti constantise obtine prin metoda propagatorului. Propagatorul sistemuluiomogen este Gpq(θ). Solutia generala este de forma

h(p)r (t) =Xq=1,3

Gpq(t)h(q)r (0)+1

τ̂R

Z ∞

0

dθGpq(θ)gqr(t− θ)] (3.236)

Aceasta este solutia completa a problemei transportului adica re-latia (3.236) ne permite sa calculam expresiile fluxurilor de par-ticule si de caldura in functie de fortele termodinamice, adica degradientii de temperatura si presiune.Observatii1) valoarea momentelor vectoriale h(p)r este determinata de in-

treaga istorie a fortelor (termeni sursa) gqr(t−θ) iar daca acestea seinlocuiesc in ecuatiile de bilant se obtine o ecuatie nemarkoviana;2) valoarea momentelor vectoriale h

(p)r depinde de valoarea

initiala h(p)r (0) care inlocuite in ecuatiile hidrodinamice pentru agasi solutia finala necesita cunoasterea initiala atat a marimilorhidrodinamice cat si a celor nehidrodinamice; acestea din urmanu sunt insa specificate in teoria hodrodinamica.Aceasta situatie este analoaga celei intalnite in deducerea ecu-

atiei cinetice:- rolul functiei de corelatie g2 il joaca aici diferite momente

nehidrodinamice.


-ecuatia pentru g2 este analoaga cu ecuatia pentru momentelevectoriale h(p)r .Solutia pentru a iesi din aceasta dificultate consta in a consid-

era ca suntem interesati in evolutia sistemului fizic pentru timpihidrodinamici adica tÀ τ̂R (limita asimptotica). In cazul ecuati-ilor cinetice tÀ τ̂ c.Markovianizarea se realizeaza parcurgand urmatoarele etape:-Primul termen al ecuatiilor pentru h

(p)r (t) este zero (vom ex-

plica aceasta dupa ce vom obtine forma elementelor de matriceale propagatorului).- g(q)(t− θ) ≈ g(q)(t) deoarece termenii sursa variaza pe scala

hidrodinamica τH À τ̂R. Deci variatia lor este neglijabila pentru0 < t < τ̂R.-limita superioara de integrare este ∞ deoarece propagatorul

este mic pentru t > τ̂R.Introducem constantele

Gpq=1

τ̂R

Z ∞

0

dθGpq(θ) (3.237)

Cu aceasta notatie solutia sistemului in regim asimptotic (marko-vianizat) devine

h(p)r (t) =Xq=1,3

Gpqgqr(t), p = 1, 3 (3.238)

iar

(h(1)r (t) = G

(11)g(1)r +G

(13)g(3)r

h(3)r (t) = G

(31)g(1)r +G

(33)g(3)r

(3.239)

sunt ecuatiile de transport sub forma adimensionala. Ele reprez-inta o legatura intre fluxurile termodinamice h(p)r (t) si fortele ter-modinamice g(p)r . G

pqeste matricea de transport ale carei elemente

se calculeaza utilizand expresia (3.237).


Calculul elementelor de matrice ale propagatoruluiGpq(t).Sistemul compact de ecuatii diferentiale (3.234) se mai scrie astfel

·h(p)

r = − (τ̂R)−1Xq=1,3

cpqh(q)r + (τ̂R)

−1 g(p)r q, p = 1, 3 (3.240)

si este un sistem de doua ecuatii diferentiale, neomogen cu coefi-cienti constanti. Pentru a rezolva sistemul omogen (fara functiileg(p)r ) vom utiliza metoda functiilor si valorilor proprii dupa carepentru a gasi solutia sistemului neomogen vom utiliza metodavariatiei constantelor. Ecuatia caracteristica a sistemului omogenare forma

det¯̄− (τ̂R)−1 cpq − λδpq

¯̄= 0 (3.241)

unde λ sunt valorile proprii. Notam

λi ≡ −riτ̂R

(3.242)

unde ri sunt solutiile ecuatiei caracteristice

r2 − (c11 + c33) r +¡c11c33 − c213

¢= 0 (3.243)

unde r1, r2 sunt reale si distincte si in plus

r1 + r2 = c11 + c33 > 0

r1r2 = c11c33 − c213 > 0 (3.244)

Vectorii proprii ξk corespunzatori valorilor proprii λ1, λ2 satisfacecuatia

∧Cξk = rkξk k = 1, 2 (3.245)

unde∧C este matricea ale carei elemente sunt cpq iar vectorii ξk

sunt ξ1 ≡ (ξ11, ξ12) respectiv ξ2 ≡ (ξ21, ξ22). In cazul vectoruluiξ1 ecuatia (3.245) devineµ

c11 − r1 c13c31 c33 − r1

¶µξ11ξ12

¶= 0 (3.246)


sau echivalent

(c11 − r1) ξ11 + c13ξ12 = 0

(c33 − r1) ξ12 + c31ξ11 = 0 (3.247)

cu necunoscutele ξ11, ξ12. Solutiile sunt de exemplu

ξ11 = β, ξ12 = −βc11 − r1c13

(3.248)

Analog, componentele vectorului ξ2 sunt

ξ21 = α, ξ22 = −αc11 − r2c13

(3.249)

Solutia generala este de forma urmatoarei combinatii liniare

ξ = C1ξ1 exp (λ1t) + C2ξ2 exp (λ2t) (3.250)

unde C1 si C2 sunt constante. Dar prin definitie

ξ1 = ξ11e1 + ξ12e2

respectiv

ξ2 = ξ21e1 + ξ22e2 (3.251)

unde e1 si e2 sunt versori. Inlocuind expresiile din (3.251) in ecu-atia (3.250) obtinem prin identificare

h(1)omogenr (t) = C1ξ11 exp (λ1t) + C2ξ21 exp (λ2t) =

= C1β exp (λ1t) + C2α exp (λ2t) ≡

≡ α1 exp

µ− r1τ̂R

t

¶+ α2 exp

µ− r2τ̂R

t

¶(3.252)

respectiv

h(3)omogenr (t) = C1ξ12 exp (λ1t) + C2ξ22 exp (λ2t) =

= C1

µ−β c11 − r1

c13

¶exp (λ1t) + C2

µ−αc11 − r2

c13

¶exp (λ2t) ≡


≡ α1−c11 + r1

c13exp

µ− r1τ̂R

t

¶+α2−c11 + r2

c13exp

µ− r2τ̂R

t

¶(3.253)

Solutiile date in expresiile (3.252) si (??) corespund sistemuluiomogen. Prin metoda variatiei constantelor se determina solutiiparticulare ale sistemului. Presupunem deci ca α1 si α2 depind detimp. In acest caz solutiile particulare au forma

h(1)partr (t) = α1 (t) exp

µ− r1τ̂R

t

¶+ α2 (t) exp

µ− r2τ̂R

t

¶

h(3)partr (t) = α1 (t)−c11 + r1

c13exp

µ− r1τ̂R

t

¶+α2 (t)

−c11 + r2c13

exp

µ− r2τ̂R

t

¶(3.254)

Derivam expresiile (3.254) si introducem derivatele obtinute insistemul neomogen (3.240). Obtinem sistemul algebric

·α1 (t) exp

µ− r1τ̂R

t

¶+

·α2 (t) exp

µ− r2τ̂R

t

¶= (τ̂R)

−1 g(1)r

·α1 (t) (−c11 + r1) exp

µ− r1τ̂R

t

¶+·α2 (t) (−c11 + r2) exp

µ− r2τ̂R

t

¶= c13 (τ̂R)

−1 g(3)r

(3.255)

din care se determina·α1 (t) si

·α2 (t) si anume

·α1 (t) =

(τ̂R)−1 exp r1

τ̂Rt

(r2 − r1)

£g(1)r (−c11 + r2)− c13g

(3)r

¤(3.256)

·α2 (t) =

(τ̂R)−1 exp r2

τ̂Rt

(r1 − r2)

£g(1)r (−c11 + r1)− c13g

(3)r

¤(3.257)

Integrand in raport cu timpul obtinem

α1 (t) =(τ̂R)

−1

r2 − r1

tZ0

dθ£g(1)r (θ) (−c11 + r2)− c13g

(3)r (θ)

¤exp

r1τ̂R

θ


(3.258)

respectiv

α2 (t) =(τ̂R)

−1

r1 − r2

tZ0

dθ£g(1)r (θ) (−c11 + r1)− c13g

(3)r (θ)

¤exp

r2τ̂R

θ

(3.259)

Solutia generala este de forma

h(p)r (t) = h(p)omogenr (t) + h(p)partr (t) p = 1, 3

care in cazul p = 1 este

h(1)r (t) = α1 exp

µ− r1τ̂R

t

¶+ α2 exp

µ− r2τ̂R

t

¶+

+(τ̂R)

−1

r1 − r2

tZ0

dθ

½£g(1)r (θ) (c11 − r2) + c13g

(3)r (θ)

¤exp

µ−r1τ̂R

(t− θ)

¶+

+£g(1)r (θ) (−c11 + r1)− c13g

(3)r (θ)

¤exp

µ−r2τ̂R

(t− θ)

¶¾(3.260)

Analog se determina si momentul hermitic h(3)r (t). Din conditiileinitiale rezulta

h(1)r (0) = α1 + α2

si

h(3)r (0) = α1−c11 + r1

c13+ α2

−c11 + r2c13

(3.261)

Introducand (3.261) in expresiile momentelor h(1)r (t) si h(3)r (t)

rezulta aceste momente complet determinate. Forma generala aacestora este

h(p)r (t) =Xq=1,3

©h(q)r (0)Gpq(t)+


+ (τ̂R)−1

tZ0

dθGpq(θ)g(q)r (t− θ)

⎫⎬⎭ (3.262)

De exemplu, h(1)r (t) are forma

h(1)r (t) = h(1)r (0)G11(t) + h(3)r (0)G13(t)+

+ (τ̂R)−1

tZ0

dθ£G11(θ)g(1)r (t− θ) +G13(θ)g(3)r (t− θ)

¤(3.263)

Comparand expresiile (3.260) cu (3.263) rezulta elementele de ma-trice ale propagatorului Gpq(t), si anume

G11(t) =1

r1 − r2

½(c11 − r2) exp

µ−r1tτ̂R

¶+ (−c11 + r1) exp

µ−r2tτ̂R

¶¾(3.264)

G13(t) = G31(t) =c13

r1 − r2

∙exp

µ−r1tτ̂R

¶− exp

µ−r2tτ̂R

¶¸(3.265)

respectiv

G33(t) =1

r1 − r2

½(−c11 + r1) exp

µ−r1tτ̂R

¶+ (c11 − r2) exp

µ−r2tτ̂R

¶¾(3.266)

Ca exercitiu, sa se arate ca elementele propagatorului Gpq(t) sat-isfac ecuatia

·Gpq

(t) = − (τ̂R)−1Xm

cpmh(q)r Gmq(t) (3.267)

unde Gmq(0) = δmq. Ecuatia (3.262) reprezinta solutia completa aproblemei transportului, adica exprimarea fluxurilor de particulesi caldura h

(p)r (t) in functie de fortele termodinamice g(p)r (t− θ)

(care sunt de fapt gradienti ai densitatii de particule si/sau tem-peratura). Se observa ca aceste forte depind de intreaga "istorie"a evolutiei sistemului fizic si prin urmare caracterul markovian


este evident asa cum am mentionat anterior. In plus solutia finaladepinde de valorile initiale ale momentelor hermitice, adica deh(p)r (0) ceea ce va necesita cunoasterea valorilor initiale nu numaipentru marimile hodrodinamice ci si nehidrodinamice, iar aces-tea din urma nu se cunosc in cadrul hidrodinamicii. Coeficientiimatricii de transport G

pqse calculeaza utilizand ecuatiile (3.237)

si (3.266) care conduc la urmatoarea forma echivalenta a ecuatiei(3.239)⎧⎨⎩ h

(1)r (t) = 1

c11c33−c213

hc33g

(1)r (t)− c13g

(3)r (t)

ih(3)r (t) = 1

c11c33−c213

h−c13g(1)r (t) + c11g

(3)r (t)

i (3.268)

Sa calculam, de exemplu G13utilizand relatia urmatoare in care

vom inlocui G13(θ) din ecuatia (3.265)

G13=1

τ̂R

Z ∞

0

dθG13(θ)

adica

G13=1

τ̂R

Z ∞

0

dtc13

r1 − r2

∙exp

µ−r1tτ̂R

¶− exp

µ−r2tτ̂R

¶¸Efectuand integrala rezulta

G13=

c13c11c33 − c213

unde am utilizat si relatia (3.244): r1r2 = c11c33 − c213. Analog sepot calcula si coeficientii ceilalti. Inlocuind valorile numerice alecoeficientilor matricii de ciocnire cpq date in (3.235) obtinem(

h(1)r (t) = 25

22g(1)r (t) +

√1011

g(3)r (t)

h(3)r (t) =

√1011

g(1)r (t) + 20

33g(3)r (t)

(3.269)

Pe de alta parte, intre momentele Hermite si fluxurile dimension-ale exista relatiile (3.171) si (3.183) pe care le rescriem aici

Γr = n(T

m)1/2h(1)r (3.270)


respectiv

qr =

r5

2m(

T

m)3/2nh(3)r (3.271)

Fortele adimensionale (termenii sursa) sunt definiti in ecuatia(3.231) si le rescriem aici

g(1)r = −τ̂R(T

m)1/2

1

nT∇r(nT ); g(3)r = −τ̂R

r5

2(T

m)1/2

1

T∇rT

(3.272)

Inlocuind (3.270), (3.271) si (3.272) in sistemul (3.269) obtinemecuatiile de transport sub forma dimensionala

Γr = −τRm∇r(nT )−

2

5nτRm∇r(T ) (3.273)

respectiv

qr = −2τR5m

T∇r(nT )−4

3nτRm

T∇rT (3.274)

unde am redefinit timpul de relaxare

τR =25

22τ̂R

Ecuatiile anterioare exprima o legatura liniara intre fluxurile no-tate generic cu JA si fortele termodinamice notate generic cu XA

unde A = 1, 2

JA =XB=1,2

LABXA (3.275)

in care a fost introdus tensorul LAB. Sistemul echivalent este

J1 = L11X1 + L12X2

J2 = L21X1 + L22X2 (3.276)

Fluxurile, respectiv fortele sunt definite astfel


J1 ≡ Γ, J2 ≡1

Tq (3.277)

X1 ≡ −∇ ln (nT ) , X2 ≡ −∇ lnT (3.278)

Introducand expresiile (3.277) si (3.278) in (3.276) si comparandcu sistemul (3.273)-(3.274) se obtine sistemul

J1r ≡ Γr = L11X1r + L12X2r = −L111

nT∇r(nT )− L12

1

T∇rT

J2r ≡qrT= L21X1r + L22X2r = −L21

1

nT∇r(nT )− L22

1

T∇rT

(3.279)

Notatiile fizice consacrate pentru elementele matricii LAB sunturmatoarele

L11 = nD (3.280)

unde D se numeste coeficient de difuzie

L22 = k (3.281)

unde k se numeste coeficient de conductivitate termica

L12 = α (3.282)

unde α se numeste coeficient de termodifuzie

L21 = α0

(3.283)

unde α0se numeste coeficient Dufour. Prin identificare, rezulta

urmatoarele relatii

L111

nT≡ τR

m≡ nD

nT=⇒ D =

τRT

m(3.284)

L121

T≡ 25nτRm≡ α

T=⇒ α =

2

5nT

τRm≡ α

0(3.285)

L221

T≡ 43nτRm≡ k

T=⇒ k =

4

3nT

τRm

(3.286)


In cazul sistemelor fizice la temperatura care nu depinde de co-ordonatele spatiale (∇r(T ) = 0) din ecuatia (3.273) rezulta legeadifuziei simple sau legea lui Fick

Γr = −TτRm∇rn ≡ −D∇rn (3.287)

In cazul in care presiunea (P = nT ) nu depinde de coordonatelespatiale (∇r(nT ) = 0) din ecuatia (3.274) se obtine legea conduc-tiei simple a caldurii sau legea lui Fourier

qr = −4

3nτRm

T∇r(T ) ≡ −k∇rT (3.288)

In general ecuatiile de transport dimensionale au forma vectorialaurmatoare

Γ = −nD∇ lnP − α∇ lnT (3.289)

respectiv

q

T= −α0∇ lnP − k∇ lnT (3.290)

Din aceste ecuatii se observa ca existenta unui gradient de temper-atura poate produce un flux de particule chiar daca presiunea esteconstanta; acest efect se numeste termodifuzie sau efect Sorret. Ungradient de presiune poate produce un flux de caldura chiar dacatemperatura este constanta; acest efect se numeste efect Dufour.Faptul ca α = α

0, adica L12 = L21 confirma principiul lui Onsager

care afirma ca matricea de transport este simetrica. Calculeleprecedente reprezinta cea mai simpla confirmare a principiului luiOnsager obtinuta in cadrul teoriei cinetice. Simetria Onsager estedatorata simetriei matricii de ciocnire cpq (c13 = c31 = − 3

2√10),

simetrie care exprima caracterul autoadjunct al operatorului deciocnire, proprietate care asigura evolutia monotona spre echili-bru a sistemului fizic. Simetria matricii de transport depinde insade alegerea fluxurilor si fortelor termodinamice. Timpul de re-laxare in cazul sistemelor cu cuplaj slab studiate pana acum areforma


(τ̂R)−1slab =

22Bnb75√πm1/2T 3/2

(3.291)

In cazul unui gaz diluat neutru expresia timpului de relaxare este

(τ̂R)−1diluat =

nbl2cT

1/2

m1/2(3.292)

unde lc este raza de interactiune iar in cazul plasmei timpul derelaxare este

(τ̂R)−1plasma =

e4nb lnΛ

m1/2T 3/2(3.293)

unde lnΛ este logaritmul Coulomb. Se observa ca dependentade masa si concentratia de particule este practic la fel in celetrei cazuri spre deosebire de dependenta de temperatura care estediferita in cele trei cazuri. In cazul unui gaz diluat timpul derelaxare scade cu cresterea temperaturii iar in cazurile plasmeisi al sistemului fizic cu cuplaj slab timpul de relaxare creste cucresterea temperaturii.

3.9 Diverse

3.9.1 Ecuatia Vlasov liniarizata

Sa consideram forma simplificata a ecuatiei Vlasov, obtinuta prinliniarizarea ecuatiei in jurul unei stari de referinta data si careeste omogena spatial. Presupunem ca:

fα(q, v, t) = nϕα0 (v) + δfα(q, v, t) (3.294)

cu conditia δfα(q, v, t)¿ nϕα0 (v).

In acest caz parametrul mic este "diferenta" dintre solutia realasi cea corespunzatoare starii de referinta date. Atunci

∂t[nϕα0 (v) + δfα(q, v, t)] + v ·∇[nϕα

0 (v) + δfα(q, v, t)] =

ecuatii cinetice si transport

Documents

t t ecuatia

t unde x

t respectiv x

temperatura t x

t si u x

t si q x

t si e x

t unde u x