eindhoven university of technology master het simuleren
TRANSCRIPT
Eindhoven University of Technology
MASTER
Het simuleren van hoogspanningslijnen in een transient netmodel
van Riet, M.J.M.
Award date:1979
Link to publication
DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
AFDELING DER ELEKTROTECHNIEK
Vakgroep Technieken van de Energievoorziening .
. TECHNISCHc HOGESCHOOLEl1~OHO\lEN
~. STUOIEBIBLlOTHEEK ~"", ELEKTROTECHN1EK ~;
Bet simuleren van hoogspanningslijnen in een transient netmodel.
M.J.M. van.RietEO. 79. A. 30 .
Afstudeerwerk verricht a.l.v.:
Ir. W.F.J. Kersen
Verantwoordelijk docent:
Prof. ir. G.A.L. van Hoek
maart 1979.
....
,-1 -
INHOUDSOPGAVE:
Hoofdstuk 1.
Inleiding
Hoofdstuk 2.
Analoge simulatie van een transmissie Iijn
2.1. Representatie van een hoogspanningslijn.
2.2. Voortplantingsgrootheden van een verdeelde
Iijn
2.3. Voortplantingsgrootheden van een rr-sektie
simulatie
2.4. VergeIijking rr-sektie met verdeelde Iijn.,..
BIz.
3
5
5
10
14
22
Hoofdstuk 3.
Gebruik van frequentie transformatie in de TNA. 26
3.1. Frequentie afhankeIijk verloop van de
impedanties. 27
3.2. Eigenschappen bestaande rr-sekties. 30
Hoofdstuk 4.
Simuleren van frequentie afhankeIijke impedanties
door middel van R-L kringen. 33
4.1. Theoretische beschouwingen 33
4.2. Resultaten numerieke berekeningen 37
Hoofdstuk 5.
Modellering 3-fase rr-sektie.
5.1. De bedrijfstoestand.
5.,2. De homopolaire toestand.
5.3. De uiteindeIijke 3-fase rr-sektie.
42
42
50
61
- 2 -
Blz.
Hoofdstuk 6.
Vergelijken van komputer berekeningen en TNA
metingen 66
6.1. Het vergelijken van transienten bij een
inschakelmoment. 66
6.2. Het vergelijken van statistische verdelingen
van de topwaarden van de overspanningen. 71
Hoofdstuk 7.
Conclusies.
Literatuurlijst
76
77
- 3 -
1. INLEIDING.
Transiente verschijnselen ZlJn overgangsverschijnselen
die optreden als een netsituatie van de ene stationaire toe
stand overgaat in een andere stationaire of quasistatio
naire toestand. Iedere verstoring in het net heeft tran
siente verschijnselen tot gevolg. De meest voorkomende
transiente verschijnselen zijn de overgangsverschijnselen
bij schakelhandelingen, atmosferische ontladingen en
kortsluitingen. Deze transiente verschijnselen gaan meestal
gepaard met flinke overspanningen ten opzichte van de
normale bedrijfstoestand van het net. Ret te kiezen iso
latie niveau van de elementen van een net moet duidelijk
afgestemd zijn op deze transiente overspanningen. De
elektriciteitsmaatschapp~jen stellen zich ten doel elek
triciteit te leveren waarbij de continulteit zo groot
mogelijk is. Enerzijds moet dan het isolatie niveau zo
hoog mogelijk zijn, zodat overspanningen geen vernielingen
aan kunnen richten; anderzijds geeft overdimensionering
aanleiding tot een te dure energievoorziening.
Een goede kennis van transiente verschijnselen is dan
ook van het grootste belang.
Om transiente verschijnselen te bestuderen staan twee
hulpmiddelen ter beschikking n.l. de komputer en een
transient netmodel (TNA). Berekeningen met de komputer
zijn gebaseerd op een mathematische beschrijving van het
elektrische gedrag van de afzonderlijke netelementen
door middel van differentie vergelijkingen.
De transiente verschijnselen worden via een rekenproces
berekend, waarbij de numerieke waarden in de volgende
rekenstap uit de,.in vorige rekenstappen berekende waarden,
bepaald wordt.
In een analoog netmodel worden de netelementen d.m.v.
- 4 -
analoge netwerken gesimuleerd. Zo worden 3-fase hoog
spanningslijnen gesimuleerd met behulp van 3-fase w-sekties.
Met digitale berekeningen kan een grote nauwkeurigheid wor
den bereikt. De rekenkosten kunnen echter aanzienlijk zijn.
nerhalve wordt de komputer vooral ingezet indien slechts
een beperkt aantal berekeningen met hoge nauwkeurigheid
verlangd wordt.
Voor studies waarbij vele variabelen beschouwd moeten wor
den, zoals bij het bepalen van overspanningsverdelingen
is de TNA meer geeigend. We moeten de TNA en de komputer
niet als concurrenten zien, maar als twee varianten die
ieder hun specifieke voordelen hebben.
nit afstudeerwerk is een studie naar de modellering van
hoogspanningslijnen door middel van 3-fase w-sekties.. .Er is in het bijzonder aandacht besteed aan de 3-fase
w-sekties waarmee de in de vakgroep aanwezige TNA is uit
gerust.
Bij het onderzoek is er naar gestreefd om de drie karak
teristieke golfgrootheden: karakteristieke impedantie,
fasesnelheid en dempingsexponent, van zowel de verdeelde
lijn (Ned. 380 kV net) als de w-sekties met elkaar in
overeensternrning te brengen.
In hoofdstuk 2 worden theoretisch de afwijkingen bepaald
die optreden als een verdeelde lijn gesimuleerd wordt met<
behulp van w-sekties. Vervolgens wordt in hoofdstuk 3 inge-
gaan op de toepasbaarheid van frequentie transformatie op
de TNA, zodat een vaste w-sektie voor varabele lijnlengten
gebruikt kan worden. In hoofdstuk 4 wordt via een speciale
newton methode de elementwaarden berekend van meerdere in
serie geschakelde R-L poorten. Dit heeft ten doel om met
behulp van die R-L poorten een betere simulatie van de
mutuele tak te realiseren. In hoofdstuk 5 wordt de model
lering van de verbeterde 3-fase TI-sekties gegeven. In hoofd
stuk 6 wordt een vergelijking gemaakt tussen komputerbereke
ningen en TNA metingen, waarna tens lotte in hoofdstuk 7 enige
conclusies volgen.
- 5 -
2. ANALOGE SIMULATIE VAN EEN TRANSMISSIE LIJN.
2.1. Representatie van een hoogspanningslijn.
Voor een normaal driefasen transmissie systeem als
getekend in fig. 1, qe~gen de volgende formules voor
de stromen en spanningen. De formules staan in de li
teratuur bekend als de telegraaf vergelijkingen.
ITII,
fUR
'
I ..--+__i....s~ _..Us
IIIII
R
o
s
T
I---" ~Fig. 1. Drie fasen transmissie systeem.
du [L] di [RJ i- = - +- -dx dt
di [c] du+ [G]- = - u-
dx dt
(2.1)
(2.2)
Hierin zlJn ~ en ! de geleider s~anningen en stromen.
[L], [R], [e] en [G] zijn matrices die achtereenvolgens
de induktiecoefficienten, de weerstanden, de capaciteiten
en de geleidingscoefficienten bevatten en wel per lengte
eenheid.
llJe nemen aan dat [G] = 0, dan krijgen we na Laplace
transformatie de betrekkingen:
dg[z]= I
dx -
dI-[~J-' U
dx
(2.3)
(2.4)
Met: [z] = [R] + j w [L][YJ = j W[c]
- 6 -
de impedantie matrix
de admittantie matrix.
Voor een systeem van 3 fasengeleiders die regelmatig van
positie wisselen (transponeren), zijn de [Z] en [yJ matri
ces volledig symmetrisch.
[ZJ
Indien er bliksemdraden in het spel zijn, geeft dit aanlei
ding tot extra differentiaal vergelijkingen.
De bliksemdraden zijn echter star met de masten verbonden
zodat hun spanningen nul zijn. Deze extra differentiaal ver-. .gelijkingen kunnen dan geelimineerd worden zodat er slechts
een relatie tussen fasen grootheden resteerd.
Schrijven we de vergelijkingen (2.3) en (2.4) uit voor een
lijnstuk ~x en passen we een andere rangschikking toe, dan
krijgen we:
~R=
~x
~Us- -- (Zn - ZI 2) Is + Z12 (IR + Is + IT)~x
~UT
- -- = (ZII- Z12) IT + Z12 (IR + Is + IT) (2.5)·f:)l.
fUR(Yi 1- Y12 ) UR + Yl 2 (UR + Us + UT)- -- =
~x
AIs = (Y 11-YI2 ) Us + Y12 (UR + Us + UT )- --~x
~IT
- -- = (Y 1 1- Y1 2) UT + Y12 (UR + Us + UT)AX
- 7 -
De formules (2.5.) kunnen schematisch in beeld gebracht
worden zoals in fig. 2 is weergegeven.
x
R Rll- Rl 2 Ll C L12
S Rl C!12 Lll- L12
TRl 1- R1 2 Ll C L12
x+&I
,.Fig. 2. Schematische representatie van een drie-fasen lijn.
met: -(CII-C12) (Cll+ 2C12)Cm = C12
De impedanties en admittanties hebben de volgende betekenis:
ZII Eigen impedantie gevormd door de kring: geleider plus
aardretour.
Zi2 Mutuele impedantie tussen kring 1 gevormd door een ge
leider en de aardretour en kring 2 gevormd door een
2e geleider en de aardretour.
Een meer fysisch beeld van de capaciteiten (admittanties)
geeft fig. 3.
R ~s
cP~1
Fig. 3. Lijn capaciteiten configuratie.
- 8 -
Uitgaande van Cp en Cg van fig. 3 geldt:
dIR
dx
(2.6)
Met (2.5.) voIgt nu:
Y12 = mutuele admittantie = - j wCpYll = eigen admittantie = j w(Cg + 2Cp )
De 3-fase lijnconfiguratie van fig. 2 kunnen we opsplitsen
in bedrijfs en homopolaire grootheden:
A. De bedPijfsgrootheden.
Hieronder verstaan we aie impedanties en admittanties
welke gelden voor een symmetrisch stroom- en spannings
stelsel.
Hiervoor ge ld t : IR + IS + IT 0
UR + Us + UT 0
Uit (2.5). krijgen we dan:
De bedrijfsimpedantie = Zb = Zll - Z12
De bedrijfsadmittantie = Yb = Y11 - Y12
Voor een symmetrisch stroom- en spanningsstelsel kunnen
we het 3-fase model van Cfig. 2 terugvoeren tot een een
fase model als weergegeven in fig. 4.
x Rb Lb:L ~ .flR,2Q.ee0r, Cb:JTI
Fig. 4. Eenfase bedrijfsconfiguratie.
Hiervoor geldt: De bedrijfsweerstand Rb = R 11 - R 12De bedrijfsinductie coefficient Lb = L 11 - L 12De bedrijfscapaciteit Cb = Cg + 3Cp
= (Y] J- Y J ijw
x
- 9 -
B. De homopoZaire grootheden.
Hieronder verstaan we die impedanties en admittanties
welke gelden voor een stroom- en spanningsstelsel waar
bij de 3 geleiders R, S en T allen dezelfde stroom en
spanning hebben.
Dus: IR = IS = IT
VR = Vs = VT
Uit (2.5 ) krijgen we dan:
De homopolaire impedantie Zo = Zll + 2Zl2
De homopolaire admittantie Yo= Yll + 2~2
We kunnen hierbij wederom het 3-fase model van fig. 2
terug voeren tot een eenfase model als weergegeven in
fig. 5.
Ra La x+~x
l-----,-----c:::=J--~WJt,.---,r-i'I
I 812 Eo. I__________2_IJFig. 5. Eenfase homopolaire configuratie.
Hiervoor geldt:
De homopolaire weerstand RO = Rll + 2R12
De homopolaire inductie coefficient LO = Lll + 2L 12
De homopolaire capacitei t Co = Cll + 2C12 = Cg
Deze bedrijfs- en homopolaire grootheden zijn freguentie
afhankelijk. Deze grootheden zijn voor het Nederlandse
380 kV net, waarbij het 2e circuit eenzijdig geaard ver-'-/
ondersteld is, uitgerekend door Birkholzer (Afstudeer-
verslag EO.77.A.26).
De uitkomsten daarvan zijn in onderstaande tabel weerge
geven.
- 10 -
freg. Rb Lb Cb * RO LO C01£Hz rn0/krn rnH/krn nF/krn n/krn rnH/krn nF/krn
50 24,4 0,896 12,87 0,105 2,47 7,28
100 25,6 0,896 0,146 2,41
200 29,7 0,895 0,238 2,36
400 39,6 0,891 0,442 2,29
800 55,6 0,888 0,864 2,22
1,6 K 80,2 0,885 1,72 2,15
3,2 K 122 0,882 3,41 2,07
6,4 K 196 0,881 6,66 2,0
12,8 K 332 0,879 12,7 1,92
25,6 K 591 0,877 23,2 1,85
51,2 K 1060 0,876 40,8 1,79.100 K 1880 0,875 67,5 1,74
.Tabel 1. Grootheden Nederlands 380 kV net.
* Opm.: Aangezien in de capaciteitenberekening niet het effect vande masten is verdisconteerd, worden in het vervolg de volgende waarden gehanteerd:Cb = 13.33 nF/kmCo = 7,36 nF/kmDeze twee capaciteitswaarden zijn gemiddelden van de door deS.E.P. in het ned. 380 kV gemeten waarden.
2.2. VoortpZantingsgrootheden van een verdeeZde Zijn.,
In deze paragraaf zal zowel voor de bedrijfstoestand als
voor de hornopolaire toestand de afleiding voor de dernping,
karakteristieke irnpedantie en fasesnelheid gegeven worden.
De bedrijfstoestand en de hornopolaire toestand zijn twee
van elkaar onafhankelijke toestanden. We kunnen derhalve
uitgaan van de eenfase rnodellen zoals die in de vorige para
graaf gegeven zijn.
- 11 -
Voor een eenfase lijn gelden de volgende vergelijkingen
in het frequentie domein.
dU- - = Z I
dx
dl- - = y Udx
Samengesteld voIgt dan:
&U--=ZYUdx 2
In geval wederom de geleiding wordt verwaarloosd geldt
algemeen:
Z = R + jwL
Y = j ux:::
Stel:
ZY = (R + j tAL) (j tlC) = y2
enZ =! =VR + jUL i
o Y jWc
(2.71.
(2.81.
(2.91.
(2.10)
(2.11)
De grootheid Y wordt de complexe voortplantingsexponent
en Zo de karakteristieke impedantie genoemd.
Een oplossing van U heeft dan de gedaante:
U(x)-Yx +Yx
=U'e +U"e (2.12)
Met (2.7.) voIgt dan voor I(x):
lex) = ....!- ( u'e-)'X - U' 'e+Yx )ZO
(2.13)
Deze stromen en spanningen zijn samengesteld uit twee
gedeelten, namelijk een in de positieve x-richting lopen
de golf en een in de negatieve x-richting lopende golf.
De complexe voortplantingsexponent kan worden gesplitst
in een reeel en een imaginair deel.
- 12 -
y = ex + j 8 .= .; (R+jwL) (jwC)
waarin: ex = dempingsexponent
8 = fase-exponent.
met:
ex 2= ~ (-w2r.,c + wc IR2 + JL2
')
82 = ~ (w1..C + WC I R2 + W\.2')
Beschouwen we dat gedeelte van U(x) dat zich in de
positieve x-richting beweegt dan geldt de relatie:-y x
U(x) = Ute
(2.14)
(2.15)
(2.18)
(2.19)
Bij voeding van de lijn met een enkelvoudige harmonische
spanning, geldt er voor de spanning op punt x ten tijde t:'wt
U(x,t) = Re(U(x)e J ) (2.16)
Combineren van (2.15) met (2.16) geeft:
'WtU(x,t) = Re(U'e-"P'eJ ) (2.17)
U' is een complexe grootheid waarvoor we ~unnen stellen:. 0
U' = Iu'l e J
(2.17) gaat dan over in:
I_ex x
U(x,t) = Iu' e Cos(wt - 8x + 0)
Vergelijken we nu de spanning ter plaatse x met die ter
plaatse x=O dan zien we de aanwezigheid van een dempings
term
e-exx (2.20)
De snelheid waarmee de golf zich voortplant komt te
voorschijn als we de punten met constante fase beschouwen:
wt - 8x + 0 = constant
wx = 8 t + constante
De fasesnelheid wordt nuW
v = 8
(2.21}
(2.22)
Aangezien voor de werkelijke lijn de impedanties frequen
tie afhankelijk zijn, zullen ook de grootheden die de golf
voortplanting karakteriseren frequentie afhankelijk zijn.
Uitgaande van de impedanties als weergegeven in Tabel 1,
- 13 -
komen we tot waarden voor karakteristieke impedantie,
fase snelheid en dempingsexponent als weergegeven in
Tabel 2.
Bedrijfstoestand homopolaire toestand
freq.dempings fase snel- karak. imp. dempings fase snel- karak.imp.exponent heid in n exponent heid in nper km km/sec. reeel imago per km km/sec. reeel imago
50 4.691 10-5 2,884 10 5 260,1 -11 ,2 9,042 10-5 2,340 10 5 580,6 -39,1
100 4,925 10- 5 2,886 10 5 259,9 - 5,88 1,274 10- 1t 2,372 10 5 572,9 -27,6
200 5,715 10-5 2,887 10 5 259,9 - 3,41 2,100 1O-1t 2,397 10 5 566,7 -22,7
400 7,625 10-5 2,887 10 5 259,9 - 2,27 3,959 1O-1t 2,434 10 5 558,2 -21,4
800 1,070 1O-1t 2,887 10 5 259,8 - 1,60 7,860 1O-1t 2,472 10 5 549,6 -21,3
1600 1,543 1O-1t 2,887 10 5 259,8 - 1,15 1,590 10- 3 2,512 10 5 540,9 -21,5
3200 2,348 1O-1t 2,887 10 5 259,8 - 0,88 3,212 10- 3 2,560 10 5 530,8 -21,;7
6400 3,772 1O-1t 2,887 10 5 259,8 - 0,70 6,383 10- 3 2,604 10 5 521,7 -21,6
12800 6,389 1O-1t 2,887 10 5 259,8 - 0,59 1,242 10- 2 7,658 10 5 511,2 -20,9
25600 1,137 10- 3 2,887 10 5 259,8 - 0,53 2,312 10- 2 2,708 10 5 501,7 -19,5
Tabel 2. Karakteristieke golfvoortplantings groothedenvoor een verdeelde lijn.
Uit Tabel 1 en Tabel 2 valt af te leiden dat de frequentie
afhankelijkheid voor de homopolaire toestand veel groter is
dan voor de bedrijfstoestand.
- 14 -
2.3. Voori;p"lantings grootheden van een Tf-sektie sirrruZatie.
Tot nu toe is de lijn beschouwd als een samenstel van
volledig verdeelde L, C en R elementen. In deze para
graaf zullen we evenals in de vorige paragraaf de dem
ping, karakteristieke golfimpedantie en fasesnelheid
bepalen, maar nu onder de conditie dat de lijn is samen
gesteld uit geconcentreerde elementen. De lijn wordt
daarbij voor een bepaalde lengte gesimuleerd door een
TI~sektie als weergegeven in fig. 2. We beschouwen be
drijfstoestand en homopolaire toestand weer volkomen
onafhankelijk zodat we voor beide toestanden hetzelfde
vervangingsschema van fig. 6. kunnen gebruiken.
Fig. 6. TI -sektie.
De berekeningen verderop zullen erg omslachtig lijken.
Een dergelijke aanpak is echter noodzakelijk vanwege het
complexe karakter van de TI-sektie.
We gaan uit van een universele tweepoort, welke zowel
een symmetrisch als weI een niet symmetrisch karakter kan
hebben.
Fig. 7. Tweepoort.
- 15 -
Een symmetrische tweepoort wordt gekarakteriseerd door
2 grootheden n.l.: De karakteristieke impedantie Zo en
de voortplantings exponent g.
De karakteristieke impedantie Zo is gedefinieerd alsi
Ie. De impedantie die aan de ingang van een symmetrische
tweepoort wordt gemeten indien deze aap de uitgang
met dezelfde impedantie is afgesloten.
of
2e. De impedantie die aan het begin van een oneindig lan
ge keten van dezelfde symmetrische tweepoorten wordt
gemeten.
Ingeval van karakteristieke afsluiting worden de relaties
tussen de beide spanningen en stromen tot uitdrukking ge
bracht door middel van de voorplantings exponent g over
eenkomstig:
e-g = :Yz.- =~VI II (2 .23)
Een niet symmetrische tweepoort wordt gekarakteriseerd
door twee spiegelbeeld impedanties ZOI en Z02, en een
voortplant{ngsexponent.
De spiegelbeeld impedantie aan de ingang van een niet
symmetrische tweepoort ZOI is de impedantie die aan de
ingang wordt gemeten indien de tweepoort aan de uitgang"
is afgesloten met diens spiegelbeeld impedantie Z02.
De spiegelbeeld impedantie aan de uitgang van een niet
symmetrische tweepoort Z02 is de impedantie die aan de
uitgang wordt gemeten indien de tweepoort aan de ingang
is afgesloten met diens spiegelbeeld impedantie ZOI'
De voortplantingsexponent g van een niet symmetrische
tweepoort'is gedefinieerd door de betrekking:
(2.24)
- 16 -
waarbij A, B, C en D grootheden zijn die een tweepoort
definieren volgens de volgende formules:
V1= AV 2 + BI 2
11= CV2 + DI 2
ofweI V2= DV I - BI 1
-12= CVI - All (2.25)
UituJerking van de definitie van de voortpZantings e::monent van de
niet symmetrische tuJeepoort:
Voor een reciproke tweepoort geldt de algemene verge
lijking:
AD - BC = 1 (2.26)
Fig. 8. Fig. 9.
Voor fig. 8. geldt met vergelijking (2.25)
Substitutie van V2 = 12Z02 geeft:
zOl = ~~~; : ~ , de spiegeIbeeId impedantie aan de ingang
Op dezelfde manier kunnen we uit fig. 9. plus verge-"
lijking (2.25) afleiden:
DZOl + Bz02 = CZOl + A ' de spiegeIbeeId impedantie aan de uitgang
Door (2.28) te combineren met (2.29) volgt:
(2.27)
(2.28)
(2.29)
AB:-
CD2 BD
Z02 = AC (2.30)
- 17 -
Indien overeenkomstig fig. 8 de uitgang is afgesloten
met de spiegeIbeeId impedantie Z02' geldt voor de ver
houding der Spanningen:
B= A +
z02(2.31)
Substitutie van (2.30) geeft voor de spanningsverhouding:
Y.1.. = A + I BAC' = ~ (/AD' + IBC) = /ZzOl' (!AD' + /BC') .V2 D D 02
Is daarentegen de ingang afgesloten met ZOl overeen
komstig fig. 9 dan kan de volgende vergeIijking worden
afgeleid voor de verhouding der Spanningen.
Y..2. -1£02' (lAD' + IBC' )vi ZOl
Definieren we de voortplantingsexponent g van een niet
symmetrische tweepoort door de betrekking ..
(2.32)
(2.33).
(2.24)
Dan komen we in geval ZOl = Z02 tot dezeIfde
als in geval van een symmetrische tweepoort.
Omwerken van vergeIijking (2.24) geeft:
e-g - 1 lAD - IBC'- lAD' + IBC' AD - BC
Met (2.26) voIgt:
e-g = lAD' - IBC'
Nu kunnen we afleiden:
e g + e-g= lAD'Cosh g = 2
eg - e-g = IBC~Sinh g = 2
definitie
e-g = ~~ •Vl
(2.34)
(2.35)
We kunnen nu met behulp van (2.30) A, B, C en D
oplossen:
A = A~U.1Z02
cosh g
- 18 -
1c=---{z01 Z02'
sinh g D = I Z02 I cosh gZOl
(2.36)
(2.38)
Uit de.algemene vergelijkingen voor een niet-symmetrische
tweepoort (2.25) zijn de zogenaamde nullast- en kortsluit
impedanties af te leiden.
Bomdat v2 0zkl = -
D
Bomdat vl 0Zk2 A
ZnlA
omdat 12 0- =C
Domdat 11 = 0 (2.37)zn2 = -
C
Met behulp van deze betre~kingen kunnen de spiegelbeeld
impedanties en de tanh g uitgedrukt worden in functies
van nullast en kortsluitimpedanties.
ZOl = IZk1 Zn l'
z02 = IZk2Zn t'
tanh g = /Zkl \ = /Zk2'Znl' Zn2
We beschikken thans over aIle formules en definities
om een asymmetrische tweepoort te beschrijven.
De symmetrische TI-sektie van fig. 6 zal worden geanalyseerd
door deze te beschouwen als een serieschakeling van twee
identieke, maar rug aan rug geschakelde, asymmetrische
tweepoorten. De ~sektie wordt aldus door midden gedeeld.
De asyrr~etrische tweepoort heeft derhalve de vorm als
weergegeven in fig. 10.
Zl 2I
Fig. 10. Halve ~sektie.
- 19 -
waarbij: Zl = R + jwL
1jw C
Met behulp van (2.38) worden Z01 en Z02 bepaaId:
ZOl = v'Zk1Zn1' =/Z2Z
J x 2Z2' =1zl z2 ( 1 )~+2Z2 1 +~L-
2 4Z2
Z02 = IZk 2Zn2' =/~ ( Z21
+ 2Z2) = !ZlZ2 (1+ 4~~ )'
Uit (2.36) voIgt met (2.40):
sinh g = C v'ZOlZ02'= C v' Zl Z2'
Uit (2.25): c=!.L) 0V2 I2 =
1dus: C = 2Z2
sinh g =/Z1 I
4Z2
evenzo uit (2.36) met (2.40):
cosh g =A/ Z02' = A /1+ ~ZOl 4Z2
(2.39)
(2.40)
(2.41)
Uit (2.25): o dus A = 1
I z •cosh g = 1+ ~~2
Schrijven we voor Z1 =
dan voIgt:
/r---w...,t..----c---J·-W-R-C---.'
sinh g = - ---- + ----4 4
/ W2LC jwRCcosh g ={1 - ---4- + 4
R + jwL1
j w.c
(2.42)
(2.43)
- 20 -
Stel: .12 =wILe
2en Ra. = ----,=---
~C
(2.44)
Substitutie in de vergelijkingen (2.43) geeft:
sinh g = 1_.122+ j 0..12'
cosh g =11- n~ jan'
Voor het bepalen van de dempingsexponent en fasesnel
heid van de halve ~sektie moeten we g oplossen uit
de vergelijkingen (2.45)
Stel: sinh g = a + jb
cosh g = c + jd
a, b, c en d oplossen met behulp van (2.45):
(2.45)
(2.46)
Di t geeft: a2- b2 = - .12
2
2 a 2n
22ab = an -7 a = """'41)7
2.122invullen: b2 a _ .122
- 4hZ -
oplossen: b2 = E\ ~ /nlf
+ 0.2
.122
'2 -
evenzo voor' a 2 :
2 0.2
.122
a- ~ =
oplossen:
(2.47)
oplossen van c en d verloopt
c = I (1-.122 ) + / (1_n 2 )2+a 2n2I j
2
identiek:
-(1-.122) + / (1_.122 )2+0.2 .122i I
2(2.48)
- 21 -
Uit (2.46) volgt:
sinh g + cosh g = eg = a + c + j(b+d)
stel: eg = x ej4>
dan is: x = l(a+c)2 + (b+d)2'
b+dtan 4>= --a+c
Uit (2.50) volgt dan de oplossing:
g = ln x ej4>= In x + j4>
De dempingsexponent van de hele TI-unit bedraagt 2x
dempingsexponent halve ~unit, dus:
dempingsexponent ~unit = 2x reeel g = 2 lnx
= 2 In( l(a+c)2+ (b+d)2'
Evenzo komt er een factor 2 voor de fasesnelheid:
(2.49)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
fasesnelheidlengte ~unit x W
2x imaginair g
lW- ------::-b-+-=-d-
2 arctan (--)a+c
=lW24>
(2.54),
Beschouwen we een keten van n asyrnrnetrische halve
~sekties die rug aan rug geschakeld zijn, dan is dit
identiek aan een keten n/2 hele syrnrnetrische ~sekties.
De golfimpedantie Zo die we dan alleen nog maar zien is
de Z01. Met (2.40) wordt de golfimpedantie van de ~sektie.
Zo = zOl =1Zl Z2 1 Z ('
(1+ 4Z12 )
invullen van Zl = R + jWL en z2
Zo =If ./1 - j=&--"""'j-WR-C---W""""'zr-
L-C--
1 + ~4---"-- - -4-
1= --
jWCgeeft:
(2.55)
Met behulp van (2.44) komen we tot de golfimpedantie:
(2.56)
- 22 -
Met de zojuist afgeleidde formules zijn voor een
TI-sektie de frequentieafhankelijke golfimpedantie,
fase snelheid en dempingsexponent berekend. nit
door bij een aantal frequenties de waarden van R,
L en C gelijk te kiezen aan de in tabel 1 gegeven
waarden voor lijnen van het Nederlandse 380 kV-net.
De equivalente lengte van de TI~ektie bedraagt 1,5
km. De berekende waarden zijn weergegeven in tabel 3.
Bedrijfstoestand homopolaire toestand
freq.dempings fase snel- karak.imp. dempings fase snel- karak. imp.exponent heid in n exponent heid in nper km km/sec. reeel imago per km !km/sec. reeel imago
50 4.691 10-5 2,885 105 260,1 -·11 ,2 9.042 10- 5 2,340 105 580,6 -39,1'
100 4.925 10-5 2,886 105 259,9 -5,98 1,274 10- 4 2,372 105 572,9 -27,6
200 5,715 10-5 2,887 105 259,9 -3,4 2,100 10- 4 2,397 105 566,7 -22,7
400 7,620 10- 5 2,887 105 259,9 -2,3 3,959 10- 4 2,434 105 558,2 -21,4
800 1,070 10- 4 2,887 10 5 259,9 -1,6 7,861 10- 4 2,472 105 549,7 -21,3
1600 1,544 10-4 2,887 105 259,9 -1,2 1,591 10- 3 2,512 105 541,2 -21,5
3200 2,351 10-42,8~6 105 260,2 -0,87 3,218 10- 3 2,558 105 531,7 -21,8
6400 3,792 10-4 2,882 10 5 . 261,3 -0,71 6,426 10- 3 2,598 105 525,2 -22,0
12800 6,533 10- 4 2,866 105 265,7 -0,63 1,275 10- 2 2,635 10 5 524,8 -22,7
25600 1,252 10- 3 2,799 105 286,0 -0,70 2,582 10- 2 2,613 105 560,0 -27,2
Tabel 3. Karakteristieke golfvoortplantings grootheden
voor de TI.sektie.
2.4. VergeZijking TIeektie met verdeeZde Zijn.
In paragraaf 2.2. en 2.3. zijn de 3 grootheden die het
voortplantingsgedrag bepalen n.l. karakteristieke impe
dantie, dempingsexponent en snelheid berekend voor zowel
een verdeelde lijn als weI voor een ~sektie. In beide ge
vallen zijn dezelfde frequentie-afhankelijke waarden
- 23 -
voor de langs impedantie gehanteerd. De vraag rijst
nu, hoe groot de afwijkingen in de karakteristieke
voortplantings grootheden zijn als we een verdeelde
lijn simuleren met behulp van rr-sekties.
Bij de 'berekening van de fouten is uitgegaan van de
frequentie afhankelijke grootheden zoals die voor een
verdeelde lijn in 2.1. gegeven zijn. De lengte van de
lijn die een rr~ektie representeerd is hierbij gesteld
op 1,5 km, omdat deze waarde overeenkomt met de bestaan
de, door Reyrolly afgeleverde rr-sekties. De fouten zijn
berekend met het komputerprogramma dat in hoofdstuk
3 en 5 wordt gebruikt om de rr~ekties te optimaliseren.
De grafische verwerking van de fouten in deze karak
teristieke voortplanting~ grootheden is weergegeven
in grafiek 1.
ConcZusies:
o Houden we een maximale afwijking van 10% aan dan ZlJn
de rr-sekties geschikt voor het simuleren van signalen
tot 25 kHz. Deze waarde komt overeen met de 500 e
harmonische van 50 Hz.
o Gebruiken we de TNA bij ~en andere bedrijfsfrequentie
dan 50 Hz b.v. 200 Hz, dan kunnen we veel minder ver
gaan in de frequentieband. In geval van 200 Hz slechts
tot 6kHz omdat:
50 '" 200 Hz dus 6kHz "" 24 kHz
6 kHz is echter nog altijd de 120e harmonische van
50 Hz. Voor meer informatie omtrent het schuiven met
de frequentie wordt verwezen naar hoofdstuk 3.
- 25 -
o Voor verdere beschouwinqen in dit verslag is er
van uitgegaan dat de n~ektie een exacte weergave
van de verdeelde lijn is indien maar aan de voor
waarde voldaan is, dat de frequentie afhankelijk
heid van de ~sektie onderdelen overeenkomt met die
van de verdeelde lijn.
- 26 -
3. GEBRUIK VAN FREQUENTIE TRANSFORMATIE IN DE TNA.
Frequentie transformatie binnen de TNA is erg aantrek
kelijk omdat we daarmee de vaste n-sekties voor meerdere
lijnlengten kunnen gebruiken. Hierdoor wordt de moge
lijkheid geschapen om de n-sekties universeel te gebrui
ken. De theorie van de frequentie transformatie zou
zonder de frequentie afhankelijkheid erg eenvoudig zijn.
We hebben echter weI degelijk met frequentie afhanke
lijkheid te maken.
We gaan uit van de grootheden voor lengte eenheden
van 1,5 km van een verdeelde lijn.
R(W), L(W) en C
De impedan tie: R(W) + jWL (w)
De admittantie: jWC (3.1)
De capaciteit is frequentie onafhankelijk yerondersteld.
Voor de TNA geldt eveneens:
Ra (Wa), La (Wa) en Ca (a= analyser)
De impedantie: Ra (wa ) + jWaLa (wa)
De admittantie: jwaCa (3.21
Willen we een lijn ter lengte van I lengte eenheden
door een TNA n-sektie representeren, dan dienen de impe
danties en admittanties aan elkaar gelijk te zijn.
lijn (1 x 1,5 km) '\i TNA n-sektie (3.3)
Dan geldt voor de impedan tie: lR(W) = Ra (wa )
lWL(W) = waLa(wa)
Voor admittantie: lwC = waca (3.4)
Kiezen we nu lw= wa dan gaan vergelijkingen (3.4) over in:
Ra (lw) = lR(W)
La (lw) = L(W)
Ca = C (3.5)
- 27 -
Indien de reactantie La ook nog frequentie onafhanke
Iijk was, dan was bij het verlengen van de lijn door
het verhogen van de frequentie, het aanpassen van de
weerstand voldoende. Dit komt omdat L en C automatisch
hun vergrotingsfaktor van de w meekrijgen. La is echter
weI degeIijk frequentie afhankelijk zodat de zaak niet
zo eenvoudig ligt. Aan de identiteitsrelatie (3.5)
dient voldaan te worden door de bedrijfimpedanties,
homopolaire impedanties en derhalve ook door de mutuele
ilupedanties.
".
3.1. Frequentie a[hankeUjk ver"loop van de impedanties.
De impedanties zoals die in paragraaf 2.1 voor de lijn
gegeven zijn, zijn ook g~meten aan de rr-sekties. De me
tingen zijn verricht aan een bestaande rr-sektie welke
een configuratie heeft als weergegen in f~g. 11.
J7
Fig. 12. Configuratie m.b.t. de bedrijfstoestand.
J._C_b2 C_b__ 2I
Fig. 11. Reyrolle rr-sektie.
Voor de bedrijfstoestand geldt de eenfase representatie
van fig. 12.
- 28 -
Rg is een gibbsweerstand en doet dienst om spontane
oscillaties die optreden bij een stapresponsie te dem
pen. De weerstand is geoptimaliseerd op 22 kQ. Hierop
zal in paragraaf 5.1 nader worden in gegaan. Deze gibbs
weerstanden kunnen we verdisconteren in Rb en Lb.
n.l .. impedantie:Rg// % + jWLb = Rg(Rb + jW~b) _ =
Rg + Rb + JWLb
= RgRb(I~g + %) + R¢f2 Lb2; j~Lb(Rg(Rg + Rb) - R<JRb)(Rb + Rg ) + w Lb
Stellen we de impedantie gelijk aan Rb' + jwLbi
dan geldt:
RgRb(Rg + Rb)' + ¥2 Lb2(Rb + Rg) 2 + WLb 2 .
•
Lb' = Lb (Rg(R~ + Rb) - RgRb) (3.6)(Rg+Rb) + W2Lb 2
Voor de bedrijfstoestand zijn, met Rg = 22kQ, de in tabel
4 gegeven frequentie afhankelijke waarden voor Rbi en
Lb' geme ten.
Freq.Rb' in Q Lb' in H Cb in FaradHz
50 0,054 1,376 10- 3 20 10- 9
100 0,055 1,377 10""3 20 10- 9...
200 0,056 1,377 10 .... 3 20 10- 9
400 0,060 1,377 10""3 20 10 -9
800 0,069 1,376 10""3 20 10""9
1600 0,087 1,375 10""3 20 10- 9
3200 0,139 1,373 10""3 20 10- 9
6400 0,294 1,372 10""3 20 10- 9
12800 0,858 1,374 10 .... 3 20 10- 9
25600 2,983 1,388 10- 3 20 10""9
Tabel 4. Gemeten bedrijfsimpedanties rr-sektie.
- 29 -
Voor de homopolaire toe stand geldt het vervangingsschema
van fig. 13.
TCO Co
~2 2I~Fig. 13. Configuratie m.b.t. de homopolaire toestand.
Aangezien de homopolaire grootheden samengesteld zijn
uit bedrijfsgrootheden en mutuele grootheden (zie par.
2.1), is het zinvoller enkel de mutuele grootheden te
beschouwen. Daartoe worden de volgende betrekkingen ge
bruikt.
Rm = RO - Rb3
L - Lo - Lbm - 3
. Cm
= __3C.J>b....C~O_Cb - Co (3.7)
Voor de mutuele tak geldj: dan het volgende vervangings-
schema: Lm
Cm2"
Fig. 14. Confi.guratie m.b.t. de mutuele toestand.
Ook de waarden van deze elementen zijn als functie van
de frequentie gemeten en weergegeven in tabel 5.
Freq. in Hz Rm in n I L m in H em in Farad
50 0,0613 0,760 10 - 3 74 10 -s
100 0,0625 0,760 10- 3 74 10- s
200 0,0638 0,760 10- 3 74 10--s
400 0,0660 0,758 10- 3 74 10- 9
800 0,0705 0,758 10- 3 74 10- 9
1600 0,0813 0,755 10- 3 74 10- s
3200 0,1008 0,755 10- 3 74 10- 9
6400 0,1693 0,753 10- 3 74 10- 9
12800 0,290 0,753 10""3 74 10""-9
25600 0,770 0,753 10- 3 74 -910.
Tabel 5. Gemeten mutuele impedanties rr-sektie.
- 30 -
3.2. Eigenschapoen bestaande TI-sekties.
Voor het berekenen en oDtimaliseren van de bestaande
TI-sekties is er een komputer programma ontwikkeld waar
mee de 3 grootheden golfimpedantie, fasesnelheid en
dempingsexponent volgens de formules van hoofdstuk 2
voor zowel de verdeelde lijn als TI-sektie berekend
worden. Tevens is het hierbij mogelijk om te schuiven
met de frequentie. Ret komputer programma gaat uit van
de TI-sektie:R
Rel
R
Fig. 15. TI-sektie komputer programma."
De weerstanden Rei; RCom en RC2 zijn bedoeld om extra
demping in respectievelijk de bedrijfstak en mutuele
tak aan te brengen.
Uit de berekeningen blijkt dat de afwijkingen van golf
impedantie en fasesnelheid tussen verdeelde lijn en
TI-sekties bij aIle berekeningen binnen een paar procent
blijven. AIleen voor de hoogste frequenties wordt de
afwijking groter. Dit is echter te wijten aan het ver
schil' tussen verdeelde lijn en TI-sektie.(zie par. 2.4).
- 31 -
Met de demping is het echter anders gesteld. Als we
daarmee niet oppassen hebben we meteen afwijkingen van
een paar honderd procent. In de Iiteratuur (zie referen
tie 3) worden waarden van,± 25 procent als streefwaarden
voor de dempingsexponentenverhouding aangegeven.
Bij het optimaliseren zijn we uitgegaan van een basis
TNA frequentie van 200 Hz, dit komt overeen met een
Iengte representatie van 6 km. (1 = 4)
De meest optimaIe toestand voor de verhouding van de
dempingsexponenten; dempingsexponent TNA/dempingsexpo
nent verdeelde Iijn; bereiken we bij:
RC1 0,1175 nRC2 0,100 nRCom= 500 nDe verhoudingen van de dempingsexponent als functie van
de Iijn frequentie is te zien in grafiek 2. We kunnen
steIIen dat de bedrijfstoestand tot 3,2 k~z goed aan de
in de Iiteratuur gestelde + 25% voldoet. De homopolaire
krijgen we echter niet beter dan + 60%. Deze afwijking
in de homopolaire toestand is te wijten aan de niet
goede frequentie afhankeIijke simulatie van de mutuele
tak.
1('\
- 33 -
4. SIMULEREN VAN FREQUENTIE AFHANKELIJKE IMPEDANTIES DOOR MIDDEL
VAN R-L KRINGEN.
Zeals we in het vorige hoofdstuk concludeerden is het
frequentie afhankeIijk verloop van de mutuele tak niet
geed te representeren met behulp van een spoel. In dit
hoofdstuk zuIIen we trachten om met behulp van afgestem
de R-L poorten weI tot een goede nabootsing van het fre
quentie afhankelijke verloop van de mutuele tak te komen.
4.1. De Theoretische beschouwing.
Ret uitgangspunt is een normale R-L tweepoort als weer
gegeven in fig. 16.
r~.J--W-~1Fig. 16. R-L tweepoort.
De impedantie van een dergeIijk tweepoort is:
RojwL RW 2L2 + jWLR2Z - -
- R+jwL - RL + W2LL
Deze impedantie is te herleiden tot een serie-schake.,..
ling van een spoel Ls met een weerstand Rs .
Stel dat we niet 1 maar n stuks R-L poorten in serie
schakelen. Dan voIgt:
(4.11
(4.2)
(4.3)
- 34 -
Neem aan dat Rs en wL s frequentie afhankelijke groot
heden zijn die we als functie van de frequentie kennen,
terwijl Rk en Lk onbekenden zijn die we graag willen
bepalen. Het aantal onbekenden is dan n x 2 = 2n. Willen
we 2n onbekenden oplossen, dan hebben we ook 2n verge
lijkingen nodig. Dit is mogelijk indien voor n frequen
ties bereikt wordt dat voor, j lopend van 1 tot n geldt:
(4.4)
Met (4.4) hebben we de beschikking over 2n vergelijkingen
met 2n onbekenden. Het iteratie proces van newton is een
bruikbare methode voor het oplossen van deze vergelijkingen.
Newton gaat uit van de op te lossen vector functie:
i = 1 .••.• n (4.5)
een betere x be-
Uitgaande van een start oplossing:
!'D c (~) WO~dt via een i teratie ?roces
paald die dichter bij de oplossing ligt. Daartoe wordt
de volgende formule gehanteerd (ke iteratie).
Fi(xf ••••• ~) +}".naFi(Xf a~· ~) If (xik+1)_ xf) = a (4.6lI?l 1
Door middel van dit iteratie proces zijn de niet lineaire
vergelijkingen van (4.41 terug te brengen tot lineaire
vergelijkingen. Om functies te krijgen die we naar nul
moeten regelen voeren we twee vector functies f en ! in.
Vergelijkingen (4.4)gaan dan bij een niet juiste oplos
sing van Rk en Lk over in:
- 35 -
L 2 2f j = RkWj Lk
RS (Wj)Rk 2+ W/Lk
2k=l j = 1 ... n
n 2
<Pj = k Rk WjLk- WjLs (Wj)R 2+ W,2Lk2k J
We krijgen dan de n iteratie vergelijkingen
n af'fj (RT ••• ~, Ltp ... L~) +~ aR~ (Rf+1 - R~) +
(4.7)
o j=1. •• n
j=1. •• nn
~a<pj +1(Lf - Lfg) = 0
= aLk
De afgeleiden in deze formules zijn te berekenen met
(4.7) en zijn gelijk aan:
(4.8)
r (4.9)
Door nu te starten met geschikte waarden voor de 2n waar
den van Rk en Lk kunnen we met formules (4.7) fj en ¢j
bepalen en vervolgens met de iteratie formules van (4.8t
nieuwe waarden voor Rk en Lk vinden. Dit proces voeren
we net zolang uit tot de waarden van fj en ¢j klein ge
noeg zijn, b.v. kleiner dan lO-6n.
Het enige probleem wat er nu nog is, is het vinden van
goede' startwaarden voor Rk en Lk . Zijn de startwaarden
niet goed dan divergeert het hele iteratie proces, zodat
- 36 -
de oplossing nooit gevonden wordt.
In eerste instantie is een komputer programma geschre
ven volledig overeenkomstig voorgaande theorie. Ret pro
bleem was echter dat we maar geen goede startwaarden
gevonden konden krijgen, om het iteratie proces naar
een oplossing te laten convergeren.
Daarom is in de programma bibliotheek van het rekencen
trum gezocht naar een beter iteratie proces.
Uiteindelijk is gekozen voor het COSPAA proces uit de
Nag bibliotheek. Dit proces is een aangepaste newton
methode welke altijd convergeert. Ret zorgt er n.l.
voor dat bij iedere iteratie stap de functie
( f.)2 +(~.)2 kleiner wordt.oJ . ~J
Weliswaar wordt met deze methode altijd een oplossing
gevonden,echter ook hier doet zich het propleem van goede
startwaarden voor, alhoewel minder kritisch dan bij de
newton methode. Want het proces zoekt bij slechte start-
waarden weI een lokaal minimum voor de functie (fj 2+ ~j21
maar dit hoeft beslist niet bij de nulpunten van de func
~ies fj en ~j te liggen.
De ervaring heeft geleerd dat het proces uitstekend werkt
als maar startwaarden ter beschikking staan die dicht ge
noeg bij de oplossing liggen.
- 37 -
4.2. ResuZtaten numerieke berekeningen.
In deze paragraaf zullen we een rekenvoorbeeld geven
hoe we een bepaald frequentie afhankelijk verloop van
I\n en Lm met behulp van 3 R-L poorten kunnen simuleren.
Voor de mutuele tak hebben we uitgaande van de theore
tische bedrijfs- en homopolaire impedanties voor het
Nederlandse 380 kV net, met behulp van formules (3.7)
het frequentie afhankelijke verloop van Rm en Lm bere
kend. Het resultaat is weergegeven in tabel 6.
freq. (Hz) Rm (mn/km) Lm (mH/km)
50 26,9 0,524.100 40,1 0,505
200 69,4 0,488 .400 134 0,466
800 269 0,444
1600 547 0,422
3200 1 1 K 0,396. ,6400 2,15 K 0,373
12800 4,1 K 0,347
25600 7,5 K 0,324
Tabel 6. Frequentie afhankelijk verloop vande impedantie van de mutuele tak.
Deze grootheden zijn in de grafieken 3 en 4 uitgezet
als functie van de frequentie. De frequentie afhanke
lijkheid wordt nu gesimuleerd door middel van 3 R-L
poorten. We moeten dan 3 frequenties kiezen waarbij
de R en L van de samengestelde poort gelijk zijn aan
de grafiek waarden van de grafieken 3 en 4.
Er is gekozen voor 50,500 en 5000 Hz. Uit de grafieken
- 38 -
3 en 4 volgen de volgende waarden:
freq. (Hz) Rm U2) Lm(mH)-
50 0,0269 0,524
500 0,165 0,457
5000 1,68 0,380
Met geschikte beginwaarden voor Rk en Lk vinden we met
het komputer programma de volgende oplossing voor Rk
en Lk:
Fig. 17. Serie schakeling 3 R-L poorten.
R1 = 0,03468 Q R2 =0,6098Q R3 = 132,9 Q
L1 = 1,814 10- 4H~ = 9,596 10- sH L3 3,792 10-4H
Wordt er vervolgens voor deze 3 R-L poorten de samen
gestelde R en L als functie van de frequentie uitgere
kend dan volgen daaruit de krommen, die ook in grafiek
3 en 4 zijn uitgezet. Uit vergelijking van de streef
krommen met de berekende krommen kan het volgende worden
opgemerkt:
o De streefwaarden en berekende waarden van Rm en Lmkomen bij de frequenties 50 Hz, 500 Hz en 5000 Hz exact
overeen.
o Ook elders in de frequentie band tot 10 kHz zlJn de
afwijkingen in het frequentie afhankelijk verloop erg
gering.
o Passen we dergelijke R-L poorten in de praktijk toe
dan komt er nog een effect bij n.l. de eigen weerstand
van de spoelen, zodat dan deberekende en gemeten fre
queAtie afhankelijkheid van de R-L poorten enigszins
o
0,
50
meetpapier - wormerveer
100 200
/
100000
800700600500
400
1009080706050
40 LV\.0
30
20
I 1 'I I I I I ~ I I I I I400 I 800 1600 3200 6400 12800 25600
500 500 frequen ieNo. 32 H X-as verdeeld in mm. Y-as log. verdeeld 1.10' Eenheid 50 mm.
- 41 -
zal afwijken. Dit effect is vooral merkbaar bij lage
frequenties.
Als gevolg van deze eigen weerstanden en het feit dat
de Ie R-L poort een zeer kleine parallel weerstand
heeft (43,8 mg) is het zinvoller bij depraktische
realisering slechts 2 R-L poorten toe te passen, even
tueel in combinatie met een extra serie weerstand.
o Door middel van R-L poorten kunnen we een goede simu
latie verwezenlijken van het frequentie afhankelijke
verloop van Rm en Lm.
- 42 -
5. MODELLERING VAN 3-FASE IT-SEK'l'lE.
Om te spreken van een optimale rr-sektie in relatie tot
een bepaalde basis frequentie moeten de 3 frequentie
afhankelijke karakteristieke voortplantingsgrootheden
voor de homopolaire als weI voor de bedrijfstoestand,
van zowel de verdeelde lijn, berekend met de frequentie
afhankelijke impedanties van het ned. 380 kV net, als weI
die van de TI-sektie, berekend uit de frequentie afhan
kelijke element waarden, echter verschoven in de fre
quentieband, aan elkaar gelijk zijn.
Uit de berekeningen met een komputer programma blijkt
dat de karakteristieke golfimpedantie en de fasesnel
heid van verdeelde lijn en rr-sektie, bij aIle mogelijke
verschuivingen in de frequentieband en bij de verschil
lende frequenties steeds maximaal maar een paar % afwij
king vertonen.
De demping zorgt echter steeds weer voor problemen.
Bij het optimaliseren van de rr-sektie spreken we dan
ook slechts over het optimaliseren van de frequentie
afhankelijke verhauding Dempingsexponent rr-sektie/Dem
pingsexponent verdeelde lijn.
Bij het optimaliseren van de rr-sektie streven we steeds
naar een optimale toestand gerelateerd aan een basis
TNA frequentie (van de rr-sektie) van 200 HZ, dus bij een
lengte representatie van 6 Km. Tevens wordt dan uitgaande
van de optimale toestand voor 200 HZ, door simpel weg
een 2-tal weerstanden te veranderen, getracht ook nog
een goed resultaat te verkrijgen voor basis TNA frequen
ties van 100 en 400 Hz.
5.1. De bedrijfstoestand.
In hoofdstuk 3 is reeds in de bedrijfstak een gibbsweer
stand van 22 kn opgenomen. Hier wordt in eerste instan
tie nader ingegaan op die gibbsweerstand en hoe we uit-
- 43 -
eindelijk op die 22 kn uitgekomen zijn.
Als een cascade schakeling van TI-sekties gebruikt wordt
om een lijn te simuleren, dan is de responsie op een
stapspanning, waar ook in de TI-sekties gemeten, een stap
spanning met daarop gesuperponeerd een oscillatie.
Deze hoogfrequente oscillatie die bij bijna aIle filters
optreedt staat bekend als gibbsoscillatie. Ret is van
belang op te merken dat deze oscillatie geen normale
gedempte oscillatie is, maar beschreven kan worden met
behulp van een hogere orde Besselfunctie. De oscillatie
gedraagt zichals een gedempte trilling met toenemende
frequentie.
De oscillatie is afhankelijk van de frequentie afhanke
lijke elementswaarden en van het aantal TI-sekties dat
in serie staat. Door middel van een gibbsweerstand, in
ons geval .een weerstand geplaatst over de ~b en Lb (zie
fig. 15), is deze oscillatie te dempen. Ret is zelfs
mogelijk om door het toepassen van een Kleine Rgibbs
te zorgen dat deze gibbsoscillaties geheel verdwijnen.
We moeten hierbij echter bedenken dat deze weerstand
een reductie van de doorlaatkarakteristiek van de TI-sek
tie tot gevolg heeft. Dit impliceert o.a. een grotere
demping.
In de literatuur wordt melding gemaakt van het toelaten
van ongeveer 6% overshoot in de stapresponsie.
Voor de bedrijfst6estand hebben we de gibbsoscillatie
gemeten aan een schakeling als fig. 18.R ibbs
Fig. 18. Schema meetopstelling voor het bepalen vangibbsoscillaties bij de bedrijfstoestand.
- 44 -
Via een weerstand, gelijk aan de karakteristieke impe
dantie van de ~-sekties, wordt een stapvormige spanning
aangelegd aan een cascade schakeling van ~-sekties. Ook
het uiteinde is daarbij afgesloten met eenzelfde weer
stand. Met behulp van een oscilloscope is de uitgangs
spanning ter plaatse A gemeten. De resultaten zijn op
de foto's 1 tim 3 weergegeven.
Foto 1.
Spanning op pun t A
als Rgibbs ~ 00 en
12 ~-sekties in serie.
Tijdbasis: 50 ~see/em.
gevoeligheid: 2 Volt/em.
Foto 2.
Spanning op punt A
als Rgibbs ~ 00 en
12 ~-sekties in serie.
tijdbasis: 20 ~see/em.
gevoeligheid: 100mV/crn.
- 45 -
Foto 3.
Spanning op ptmt A
als Rgibbs = ~ en
B-rr-sekties in serie
tijdbasis: 20 sec/em.
gevoeligheid: 100 mV/em
Verder zijn er een hele serie metingen gedaan naar de
procentuele overshoot in relatie tot de grootte van de
gibbsweerstand en het aantal in cascade geschakelde
7T-sekties.
De resultaten hiervan zijn weergegeven in grafiek 5.
Als we de 6% overshoot uit de literatuur als criterium
hanteren en- er van uit gaan dat we steeds 4 of meer
7T-sekties in serie hebben, dan hebben we in ons geval
helemaal geen gibbsweerstand nodig. In de literatuur
heeft men veel meer last van gibbsoscillaties. De waar
schijnlijke oorzaak hiervoor is de sterk afnemende kwa
liteitsfactor van de spoelen bij hogere frequentie als
gevolg van de toegepaste ~-kernen.
Als gevolg van de grote waarde van Rb bij hoge frequen
ties zorgt deze reeds voor voldoende demping.
We hebben uiteindelijk voor een Rgibbs = 22 kQ gekozen
omdat anders de frequentie karakteristiek van
Dempingsexponent n-sektie/Dempingsexponent verdeelde lijn
voor hogere frequenties (groter dan 1kHz) te laag zou
worden. Het gevolg van deze gibbswecrstand is nu echter
- 47 -
weI dat voor hoge frequenties (groter 3,5 kHz) de dem
ping van de rr-sektie weer te groot wordt. We bereiken
echter dat het tussen gebied (1 kHz ~ 3,5 kHz) goed bIijft.
De optimale toestand voor de dempingsexponenten verhou
ding bij een basis TNA frequentie van 200 Hz voor de
~ bedrijfstoestand verkrijgen we met de volgende waarden
der elementen:
Cb =; 20 nF
Rei = 0,1175 nRg =; 22 kn
Onder optimaal wordt die dimensionering van de elementen
verstaan waarbij de verhouding der dempingsexponent over
een zo groot mogelijk frequentie gebied binnen de 25%
afwijking bIijft. Zie ter'iIIustratie fig. 19.
.JC~Fig. 19. n-sektie m.b.t.
I
ide bedrijfstoestand.
De frequentie afhankeIijke meting van de impedantie ge
vormd door Rg , Rb en Lb.hebben we reeds in hoofdstuk 3 in,
tabel 4 gegeven.
Het resultaat van de berekening van de dempingsexponenten
verhouding als functie van defrequentie is weergegeven
in grafiek 6. Tevens is in deze grafiek de dempingsexpo
nenten verhouding voor TNA basisfrequenties van resp.
100 en 400 Hz weergegeven. Dit voor het geval we aan de
n-sektie niets veranderen.
1f"
- 50 -
Door het aanpassen van RCI kunnen we voor 100 en 400 Hz
basis TNA frequentie ook goede resultaten bereiken.
fTNA basis = 400 Hz + ReI = 0,2625 Q
fTNA basis = 100 Hz + RCI = 0,0375 Q
Dit is geillustreerd in grafiek 7.
ConcZusie:
Als we RCi goed aanpassen is voor f TNA basis van zowel
100, 200 en 400 Hz tot een redelijke frequentie de dem
pingsexponentenverhouding binnen de 25% nauwkeurig te
houden.Deze 25% wordt in de literatuur ook als streef
waarde aangegeven.
5.2. De homopoZaire toestand.
We gaan nu met de in hoofdstuk 4 behandelde methode de
mutuele tak opbouwen uit R-L poorten. De mutuele tak
wordt hierbij gevormd door een serie schakeling van
2 R-L poorten met een extra compensatie weerstand zoals
fig. 20 aangeeft.
Fig. 20. Samenstelling van de mutuele take
Om de waarden Rl, R2, L1 en L2 met de komputer te kunnen
bepalen moeten we van de mutuele tak de waarden van Rmen Lm als functie van de frequentie kennen. We zouden
hierbij wederom uit kunnen gaan van de theoretische mu
tuele waarden voor het ned. 380 kV net. Een beter resul
taat zal worden verkregen als we, uitgaande van de theo
retische waarden voor de homopolaire toestand van het
nederlandse 380 kV net en de aan de rr-sekties gemeten
- 51 -
waarden voor de bedrijfstoestand, de waarden voor de
mutuele tak bepalen.Aldus handelend spelen kleine af
wijkingen in de simulatie van de bedrijfstoestand niet
door tot de homopolaire toestand. De gemeten waarden
voor RbI en Lb l van tabel 4 voor een rr-sektie zijn hier
nogmaals weergegeven.
frequentie (Hz) RbI (n) L' (mH)b
50 0,054 1,376
100 0,055 1,377
200 0,056 1,377
400 0,060 1,377
800 0,069 ~,376.1600 0,087 1,375
3200 0,139 1,373
6400 0,294 ~,372
12800 0,858 1,374
25600 2,983 1,388
Tabel 4. Gemeten waarden van Rb' en Lb'
(Rgibbs = 22 Jill mee gerekend)
De bedrijfstoestand hebben we eerder al geoptimaliseerd
voor een basis frequentie van 200 Hz dus bij een lijn
lengte representatie van 6 "km. De ReI waarde wa3 daarbij
117,5 m(2. Derhalve moeten we bij tabel 4 ~17,5 mn opt.el
len.
Voor de op 200 Hz TNA basis frequentie geoptimaliseerde
rr-sektie hebben we dan een frequentie afhankelijke Rb"
en Lb" als weergegeven in tabel 7.
Door de optimalisatie is bereikt dat over een zo groot
mogelijk frequentie gebied voldaan wordt aan de in de
aanvang van hoofdstuk 3 afgeleide identiteitsrelaties
(3.5), zodat:
- 52 -
en
(5.1)
Dit voor 1 = 4 hetgeen een TNA basis frequentie van 200 Hz
impliceert. Opgemerkt moet worden dat Rb(w) en Lb(w)
de lijn grootheden voor een lengte eenheid van 1,5 km zijn.
Voor het bepalen van de mutuele impedantie van de n-sektie
als functie van de frequentie hanteren we wederom de
identiteitsrelaties (3.5), in combinatie met de relaties
tussen mutuele grootheden en bedrijfs- en homopolaire
grootheden.
Rm en Lm van de n-sekties dienen derhalve te voldoen
aan:
R (lW) = lRo(W) - lRb(w)-1ll 3
Lm(lw) = LU(W) ; Lb(W)
Substitutie van de betrekkingen (5.1) geeft:
Rm(lw) = lRo(W) ; Rb"(lw)
Lo(W) - Lb"(lw)3
(5.21
(5.3)
(5.4)
De lijnimpedanties lRO(wl, voor 1 = 4, en LO(W) ZlJn
eveneens in tabel 7 weergegeven. RO en LO hebben betrek
king op een lijn van 1,5 km lengte.
Voor de bepaling van b.v. Rm (200 Hz), moeten we de
4xRO (50 Hz) combineren met de Rb" (200 Hz). Vervolgens
4 RO (100 Hz) combineren met Rb" (400 Hz) etc.
Dit zelfde doeri \11e ook met LO en Lb"' We krijgen dan
als functie van de TNA frequentie tabel 8.
- 53 -
Gemeten waarden aan n-sekties Ned. 380 kV net. 1,5 km
TNA freq. Rb" IJb" lijnfreq. 4Ro LO(Hz) (Q) (mH) (Hz) (Q) (mH)
,
50 0,1715 1,376 50 0,630 3,70
100 0,1725 1,377 100 0,876 3,61
200 0,1735 1,377 200 1,43 3,54
400 0,1775 1,377 400 2,65 3,43
800 0,1865 1,376 800 5,18 3,33
1600 0,2045 1,375 1600 10,3 3,22
3200 0,2565 1,373 3200 20,5 3,10
6400 0,4115 1,372 6400 40,0 3,0
12800 0,9755 1,374 12800 76,2 2,88
25600 3,101 1,388 25600 139,2 2,77
Tabel 7. Gemeten TNA bedrijfstoestand en theoretische
homopolaire toestand.
berekende waarden de uiteindelijk gemetenwaarde voor:
freq. TNA Rm Lm ~ 1111(Hz) (Q) (roH) (m (mH)
50 0,1316 0,7374
100 0,1346 0,7364
200 0,152 0,776 0,1476 0,7352
400 0,233 0,746 0,1985 0,7322
800 0,415 0,721 0,385 0,7184
1600 0,815 0,687 0,8565 0,687
3200 1,64 0,652 1,697 0,641
6400 3,30 0,618 2,958 0,613
12800 6,51 0,577 6,498 0,598
25600 12,29 0,537 19,168 0,59
Tabel 8. Berekende waarde voor Rm en Lm•
- 54 -
Deze waarden voor Rm en Lm zijn in grafiek 8 en 9 uit
gezet. Voor het berekenen van Rl, R2' L l en L2 moeten
we nu 2 frequenties nemen waarvoor de totale impedantie
van de 2 R-L poorten bepaald is. We nemen 800 Hz en 8 kHz,
in plaats van 500 Hz en 5 kHz, omdat we dan een goede simu
latie van de mutuele tak tot + 12,5 kHz kunnen realiseren.
800 Hz R = 0,406n L = 0,721 mH
8 kHz R = 4,ln L 0,605 roB
We kiezen om praktische reden die nader zal worden
toegelicht:
800 Hz R = 0,250n L = 0,721 mH
8 kHz R = 3,4n L = 0,605 roB
Berekeningen met de komputer geven de volgende waarden
voor Rl, R2' Ll en L2:
R1 1,826n R2 = 535,9n
L1 0;1389 roB L2 = 0,5998 roB
Berekenen we voor deze 2 R-L poorten de totale impedantie
als functie van de frequentie, dan geeft dit de kro~~en
die ook in grafiek 8 en 9 gegeven zijn. Hierbij is echter
weI vergeten dat de spoelen in werkelijkheid weI degelijk
weerstand hebben. De spoelenDI en L2 zijn gemaakt van
het kernmateriaal FXC 3B7/3HI en zijn precies op de waar
den afgetrimd. Voor Rl is een weerstand van 1,8n genomen,
voor R2 twee weerstanden parallel n.l. 560n en 12 kn.
Als we dan vervolgens de impedantie als functie van de
frequentie meten, komen we op kvonmlen uit die ook in gra
fiek 8 en 9 te zien zijn.
Het resultaat nu is dat Lm goed voldoet, maar dat de Rmvoor lage frequenties te laag is. Dit laatste compenseren
we door het aanbrengen van een compensatie weerstand
RC2 van 67,5 mn. Uiteindelijk voldoet de Rm als functie
van de frequentie dan ook erg goed zoals grafiek 8 aangeeft.
U"lU"l
meetpapier - wormerveer No. 32 H X.as verdeeld in mm. V-as log. verdeeld 1-10] Eenheid 50 mm.
- 57 -
Deze gemeten waarden voor Rm en Lm zijn bovendien weer
gegeven in tabel 8.
Nu we de mutuele tak van de TI -sektie voor TNA basis fre
quentie = 200 Hz kennen, kunnen we net als in de vorige
paragraaf de 3 karakteristieke voortplantingsgrootheden
voor de homopolaire toestand gaan bepalen. Ten aanzien
van de karakteristieke impedantie en fasesnelheid van
de homopolaire toestand geldt wederom hetzelfde als voor
de bedrijfstoestand. Het verschil tussen TI-sektie met
R-L poorten en de verdeelde lijn bedraagt bij aIle moge
lijke verschuivingen en frequenties slechts een paar
procent.
De enige die weer voor problemen kan zorgen is de demping.
In grafiek 10 is de demp~ngsexponenten verhouding voor
de homopolaire toestand als functie van de frequentie
weergegeven voor de optimale toestand bij ue TNA basis
frequentie van 200 Hz.
Tevens is in deze grafiek 10 aangegeven wat de verhouding
bedraagt bij een TNA basis frequentie van 100 en 400 Hz;
waarbij RC1 en Rc2 de waarden houden van de optimale toe
stand voor 200 Hz. In grafiek 11 is dan vervolgens de op
timale toestand gegeven voor TNA basis frequenties van
100 en 400 Hz, als we de Rcl en Rc2 aanpassen:
Basis fTNA 400 Hz + Rel = 0,262Sn Rc2 0,117Sn
Basis f TNA 100 Hz + Rel 0,0375n Rc2 0,012Sn
We zien derhalve dat ook voor de homopolaire toestand
de dempingsexponenten verhouding tot een redelijke fre
quentie binnen de 25% afwijking kan blijven als we P~l
en RC2 maar goed aanpassen.
Ook van de homopolaire tak zijn er metingen verricht voor
het bepalen van gibbsoscillaties. De metingen zijn verricht
volgens het schema van fig. 21.
'" ,:?\~ ,:,. , ,. , ., ..•• 0-' .....". ,~.. • '''', '" . '",. . , .. , .." ,,, '", .... ," ." ...
- 60 -
180n
Schema voor het bepalengibbsoscillaties.
B
180n
De uitgangsspanning is gemeten met een oscilloscope
uitgerust met een differentiaal unit. Dit door zowel
spanning A als spanning B te meten en deze van elkaar
af te trekken. Voor het resultaat zie foto 4.
Foto 4.
gibbsoscillaties
homopolaire tak.
4 TI-sekties in serie
gevoeligheid 2 V/cm.
tijdbasis 10 ~sec/cm.
Tevens is een aantal metingen verricht naar de ~rocen
tuele overshoot als functie van het aantal cascade gescha
kelde TI-sekties. De meetresultaten zijn terug te vinden
in grafiek 5. Ook hierbij geldt weer dat als we de 6%
overshoot uit de literatuur toelaten en steeds 4 of meer
TI-sekties in serie hebben er geen problemen optreden.
- 61 -
5.3. De uiteindElijke 3-fase n-sektie.
De n-sekties zoals die momenteel op de TNA worden toe
gepast hebben de volgende gedaante:
Re1 % .Rg1
Rg1
C':1:L~C..h..
2 ~.--L. 2C..ui.... .
2
1-----'---.-1
. Ream2Ream1 •
Rm1 Lm1 Rm2 Lm2Fig. 22. De uiteindelijke n-sektie.
Met de volgende gegevens:
Rg-1 22kn
Rg2 = 68n
Cb = 20nF
cm = 74nF
Zie voor de gemeten waarden van Rb en Lb (inclusief
Rg1 ) als functie van de frequentie tabel 4.
Ream1 1,8 n
} gemeten hijLml 1,389 10- IiH 800 Hz
Rml 20ni1
Leam2 560n//12 kn
} gemeten hij 8 kHzLm2-Ii
5,998 10 H
Rm2 133 till
- 62 -
Ten aanzien van RCI en RC2 moet nog opgernerkt worden
dat deze per 4 TI-sekties gegroepeerd zijn. Dit uit prak
tisch oogpunt orndat 4 TI-sektles op een print unit zijn
ondergebrabht en bovendien standaard weerstanden kunnen
worden toegepast.
frequentie Rei Rei per 4 - Rc2 Rc2 per 4 -Basis TNA 1 TI-sektie sekties minus 1 TI-sektie sekties minus
bijdrage toevoer- bijdrage toe-leidingen. voerleidingen
100 Hz 42,5 ron 0,12n 12,5 mn On
200 Hz 117,5 ron O,42n 67,5 ron 0,22n
400 Hz 262,5 mn W 117,5 mn 0,420n
ConcZusies:
o Als we bij W1Jzlging van de TNA basis frequentie de
waarden van RC1 en RC2 goed aanpassen is het rnogelijk
om een goede sirnulatie van het ned. 380 kV net te
verwezenlijken.
o De karakteristieke irnpedanties en fasesnelheden zullen
hierbij slechts een paar procent afwijkingen vertonen.
De dernpingsexponent kan tot een redelijke frequentie
binnen de 25% nauwkeurig blijven. Een en ander is
voor de verschillende TNA basis frequenties te zien
in grafiek 12, 13 en 14.
o De TNA TI-sekties zijn nu universeel bruikbaar voor een
lengte representatie van 3, 6 en 12 krn. per TI-sektie.
Ook tussen waarden zijn toegestaan waarbij een vol
doende nauwkeurigheid wordt verkregen indien RCI en
RC2 overeenkornstig de dichtstbij gelegen TNA frequentie
va~ hetzij 100, 200 of 400 Hz worden gekozen.
- 66 -
6. VERGELIJKEN VAN KOMPUTER BEREKENINGEN EN TNA METINGEN.
Om de TNA op zijn juistheid te testen hebben we verge
lijkingsmateriaal nodig. In de literatuur komen spora
disch weI wat gegevens van komputer berekeningen en TNA
metingen voor, maar deze ,gaan steeds uit van een andere
lijnconfiguratie. Om de resultaten van de TNA te testen
zijn we dan ook aangewezen op ons ter beschikking staande
komputer progralnma's. Toussaint heeft tijdens zijn af
studeerwerk in 1978 een programma ontwikkeld waarmee tran
sienten in 3-fasen systemen berekend kunnen worden (re
ferentie 5). In dit hoofdstuk zullen we berekeningen van
dit komputerprogramma en de resultaten van metingen op
de TNA met elkaar vergelijken.
6.1. Bet vergeZijken van transienten bij een inschakeZmoment.
Voor het vergelijken van komputer bereken~ngen met de
TNA metingen zijn we uitgegaan van een eenvoudige net
configuratie zoals weergegeven is in fig. 23.
L s
..
lijn •A •
Fig. 23. Net configuratie.
De gegevens van dit net zijn:
Bronspanning = 380 kV
L = 0,4043 H
lijnlengte = 202,8 km
Schakelaar S met inschakelmomenten
msec.
msec.
R = 3,05
S = 8,05
T = 5,55 msec.
Deze tijden zijn gerefereerd aan de positieve nuldoorgang
- 67 -
van de generator spanning van de R-fase. Verder wordt
verondersteld dat op de lijn geen restlading aanwezig is.
We beschouwen aIleen de spanningen aan het einde van de
lijn (punt A) .
ZijnsimuZatie TNA:
Er wordt gebruik gemaakt van 20 rr-sekties, zodat de lijn
lengte representatie per rr-sektie 10,14 km is. De normale
lijnlengte van een rr-sektie bij een basis TNA frequentie
van 50 Hz is 1,5 km. In ons geval dient derhalve de basis
frequentie 338 Hz te zijn. Uit bestudering van grafiek 7
en 10 valt te constateren dat de optimale toestand voor
200 Hz (basis TNA frequentie) ook nog voldoet bij 338 Hz.
Zodat: ReI 117,5 m0
RC2 67,5 run
SimuZatie in het pekenppogpamma.
De digitale berekeningen worden uitgevoerd met 20 reken
stappen per looptijd van de luchtkomponent. De weegfuncties
ten behoeve van de homopolaire golfvoortplanting worden
in een voorprogra~ma bepaald tot 4 maal de looptijd. Verder
gaan we uit'van de lijngrootheden van het ned. 380 kV net:
~ = 0,89 rnH/krn
% 24,4 mn/krn
Cb 13 , 33 nF/krn
Co = 7,36 nF/krn
Voor RO en LO worden de frequentie afhankelijke waarden
van tabel 1 ingevoerd.
De optredende spanningen van de drie fasen in punt A van
fig. 23 zijn weergegeven in de grafieken 15, 16 en 17.
De transienten komen, wat de vorm betreft erg goed met
elkaar overeen. De topwaarden van de overspanningen liggen
-c
- 71 -
bij de komputer berekeningen wat hoger als bij de TNA
metingen.
Aangezien de freguenties van de oscillaties nauwkeurig
overeenstemmen moe ten de afwijkingen toegeschreven worden
aan een verschil in demping van de lopende golven.
6.2. Bet vergeUjken van statistische verdeUngen van de topwaarCkn van
de overspanningen.
a
Fig. 24. Statistisch verdelings modelt=O
Er zijn zowel met de komputer als met de TNA statistische
maximaIe overspannings berekeningen respectievelijk metingen
uitgevoerd. Deze overspan~ingen hebben weer be trekking op
de 202,8 km lange hoogspanningslijn, die random ingescha
keld wordt. (zie fig. 23).
We maken hierbij gebruik van de 100 schakel-momenten die
door de Cigre Werkgroep 13.05 (referentie 3) zijn toegepast.
Deze schakelmomenten zijn· gebaseerd op een statistisch
verdelingsmodel overeenkomstig fig. 24. De inschakelmomen-
ten zijn gerefereerd aan TO
de pos. nuldoorgang van
de R-fase van de genera-
tor. TO is random geko-
zen tussen a en 10 msec.,
wat wil zeggen dat TO
gekozen is uit de halve
periode van de voedende
spanning. Vervolgens
zijn de schakelmomenten
van de R, S en T fasen
via een gauss verdeling
bepaald. De'spreiding a
van deze gauss verdeling is 2,5 msec. De gauss verdelingen
z~jn afgebroken bij TO + a.
De metingen van de maximale overspanningen aan het einde
van de lijn zijn voor 2 soorten rr-sekties uitgevoerd.
- 72 -
1. De geoptimaliseerde TI-sekties met
ReI= 117,5 mQ en Re2 = 67,5 ron.2. De TI-sekties zoals weergegeven is in fig. 15.
Hierbij wordt dus geen gebruik gemaakt van de gemo
dificeerde mutuele take Verder is:
ReI = 117,5 ronRe2 = 100 mQ
Reom= 500 Q
Voor de komputer simulatie van de lijn gebruiken we
weer dezelfde gegevens als in de vorige paragraaf. Dus:
~ = 0,89 mH/km
Rb = 24,4 mQ/km
Cb 13,33 nF/km
Co = 7,36 nF/km
Met de komputer hebben we, vanwege de kosten, slechts
voor 50 inschakelmomenten de maximale overspanningen
berekend.
De resultaten van de be ide TNA metingen en die van de
komputer berekeningen zijn weergegeven in grafiek 18.
Hierin zijn, aIle maximale overspanningen in zowel de
R, S en T fase opgenomen. Uit grafiek 18 blijkt dat:
o de resultaten met de 2 verschillende uitvoerings
vormen van den-sekties nagenoeg met elkaar overeen
komen. Deze overeenkomst is waarschijnlijk mede een
gevolg van de geringe bijdrage van de homopolaire
komponent in de transienten van een 200 km lange lijn.
De juistheid van de nabootsing van de mutuele tak is
dan van minder belang.
o de komputer resultaten over het hele gebied een hogere
overspanningswaarde aangeven als de TNA. Bet verschil
met de TNA is over de hele linie ongeveer 0,1 p.u., wat
overeenkomt met 5%.
) 7.J-
:> ----. ..-
I- - ... -- - . - - - -- -- -- - - - - - - - - ... - -- -----Gra iek 8.
: \ Cum Iati 8ve overs! anni 19S v erde ing. aan het eindJ van een )02.8 kIn.
1 . ..
-\.L..L. J u.
---10 -- -- - - - '-- I- - ~- -- - ---- - - -- -- I-- - '-- --
• . ~ \\ -t- --
\) -\---
\~~J __-- ~ --~- -- - - ... - .... - ..... - - - - -- - -) I ~
'~ "',. ,~
~- "'
---.
~ ". ,0 , ~
\
0\
~\
\0 t ,
~ '" I
'"I
.-n -
~ "\~
~ \
0 -- ~ -~
=T--~~ \.... - - --- - ~- -- - - -- - - -- - - \- \- - 1---
\
0 1 -..,T~A met gemodi ieee de 7f sekt ies.
~,
\ ,- ~-
~ .....
"
~......
TNA 7f sekt es z bndex gem( difi ~eerd~ ...... ...,- mutu Ie t 'ik. \~- I- .- ... ~. - .... - - - -- -- -- - - - - -- - -- - - f-- \--
\- i-- - - 1< O!UPU er r ~sult :iten. ~\
, - \,,5 - -~-- --.
- i
--- '--- - .1--- - -- -- -- -- -- -- --- - I-- - f-- - -- --~ --I 1 -"'- -_. .'-"- --,--- --- - -_.---
:- -r-05 --
Nen~ann)ng i, p.ul~~__-
--L...!1 - - -- -.
- 74 -
Om de oorzaak van de verschillen tussen komputer- en
TNA resultaten te achterhalen, hebben we voor 5 schakel
momenten meerdere overspanningsberekeningen uitgevoerd.
De gemiddelde waarden van die maximale overspanningen
zijn weergegeven in tabel 9.
Gem. max. overspan-procentueel
Omschrijvingning van R,S en T
verschil metfase samen in p.u.waarden.
TNA
TNA met gemodificeerde2,067 °'1\-sekties.
Digitaal met:Lb :::: 0,89 mH/kmCb :::: 13,33 nF/kmCo :::: 7,36 nF/km
2,143 3,61%
Rb :::: 24,4 ron/km .Digitaal met:
4J :::: 0,92 mH/km .Cb :::: 13,33 nF/kmCo :::: 7,36 nF/km
2,151 4,03%
Rb :::: 24,4 mn/km
Digitaal met:Lb :::: 0,89 mH/kmCb :::: 12,87 n'F/kmCo :::: 7,28 nF/km
2,106 1,83%
% :::: 24,4 mQ/km
Digitaal met:Lb :::: 0,89 mH/kmCb :::: 13,33 nF/kmCo :::: 7,36 nF/km% :::: 29,7 ron/km 2,139 3,48%
Tabel 9. Gemiddelde maximale overspanning bij5 schakel momenten.
Door het hanteren van lagere capaciteitswaarden bij de
komputer berekeningen komen de resultaten erg dicht bij
de TNA resultaten te liggen. Dit uitgangspunt is echter
- 75 -
niet terecht omdat in de TNA weI degelijk gebruik gemaakt
wordt van de hogere capaciteitswaarden (Cb = 13,33 nF/km
Co = 7,36 nF/km).
Op zichzelf is een verschil tussen TNA en komputer van 5
procent in de praktijk niet onrustbarend; maar in ons ge
val waarbij het uitgangspunt van TNA en komputer hetzelfde
is, zou een betere overeenkomst wenselijk zijn. Dit onder
deel verdient dan ook nadere studie.
- 76 -
7. CONCLUSIES.
We beschikken thans over TI-sekties die voor meerdere
lijnlengte representaties van het ned. 380 kV. net
gebruikt kunnen worden. Hierbij zullen de verschillen
in de drie karakteristieke golfgrootheden tussen verdeel
de lijn en TI-sektie binnen de grenzen blijven, zoals die
door de Cigre Werkgroep 13.05 (zie referentie 3) opge
steld zijn.
De karakteristieke golfimpedantie en de fasesnelheid
van de TI-sektie en de verdeelde lijn vertonen maximaal
een paar procent afwijking. De afwijking van de dempings
exponent is ingeval van goede aanpassing van Rc l en Rc 2
voor een redelijk frequentie gebied binnen de 25 procent
te houden.
Uit de vergelijking met de komputerberekeningen blijkt
dat de TNA het verloop van de transienten getrouw weer
geeft. De maximale overspanningen gemeten met de TNA lig
gen over het algemeen 5 procent lager als die van de digi
tale berekeningen. Deze verschillen moeten toegeschreven
worden aan een afwijking in de demping van de lopende golven.
Voorgaande metingen en berekeningen hebben betrekking op
een enkel circuit verbi.nding. WeI is bij de bepaling van
de capaciteiten de aanwezigheid van een 2e , eenzijdig
geaard circuit, verdisconteerd. Op deze wijze wordt echter
geen rekening gehouden met de invloed die lopende golven,
op het 2e circuit geinduceerd, uitoefenen op het verloop
'van de transienten in het 1e circuit. Wenst men dit
effect in rekening te brengen dan moeten-dubbelcircuit
TI-sekties ontwikkeld worden. De in dit verslag gegeven
methoden bieden daartoe de mogelijkheden.
- 77 -
LITERATUURLIJST.
1. Ono, T. and Matsubara, H., "Number of sections necessary
for transmission line model used for transient network
analyser."
Electrical Engineering in Japan, Vol 95, No 5, 1975, pp 26-33.
2. Hoy, C., "Schaltungssynthese zur BerUcksichtigung der
frequenzabhangigen Freileitungsparameter bei der digitalen
und modelltechnischen Ermittlung von SchaltUberspannungen."
Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universitat
Dresden, 27 (1978) Heft 2, pp 391-397.
3. Cigr€, Werkgroep 13.05, "The calculations of switching
surges."
1. "A comparison of trans-ient network analyser results."
Electra no 19, 1971, pp 67-78.
2. "Network representation for energizatio.n and re-energi
zation studies on lines fed bij an inductive source."
Electra no 32, 1974, pp 17-42.
3. "Transmission line representation for energization and
re-energi zation s·tudies with complex feeding networks."
(nog niet gepubliceerd) .
4. BirkhBlzer, W.A., "Impedantie- en capaciteiten matrices van
hoogspanningsverbindingen voor een uitgebreid frequentie
gebied."
Afstudeerverslag THE maart 1977.
5. Toussaint, P., "Het digitaal berekenen van schakel verschijn
selen in driefasen transmissie-systemen".
Afstudeerverslag THE juni 1978.
- 79 -
6. Theoretische Elektrotechniek deel II door:
Prof. dr. ir. A.A.Th.M. van Trier
College diktaat THE april 1960.
7. Rlipfrnliller, R., "Einflihrung in die theoretische Elektro
technik."
Springer-Verlag Berlin. Heidelberg. New York, 1973.
8. Transrnissiesysternen door:
Ir. A.P. Verlijsdonk.
College diktaat THE nr. 5.512.
..