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EQUAÇÃO DE LAPLACE Aula 07
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL DE MINAS GERAIS Câmpus Inconfidentes
EQUAÇÃO DE LAPLACE
A teoria do potencial é devida a Laplace1 (1782) e desempenha importante papel na Geofísica, Geodésia e Física, entre outras áreas. A Geodésia utiliza-se da Teoria do Potencial como subsídio para o estudo do campo da gravidade e de suas vinculações com o problema da Forma da Terra. (ARANA, 2009)
1Marquês Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827). Matemático, astrônomo e físico francês, estabeleceu entre outras contribuições, a equação diferencial parcial de segunda ordem que leva seu nome e cujas soluções (funções harmônicas), ocorrem em diversos problemas da física
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EQUAÇÃO DE LAPLACE
A expressão acima é conhecida como equação de Laplace e é de grande utilidade na solução de problemas físicos através da Teoria do Potencial. Verifica-se que o potencial gravitacional é uma função harmônica, pois satisfaz a equação de Laplace, no exterior das massas.
EQUAÇÃO DE LAPLACE
De acordo com Catalão (2000), existe outra técnica para resolver o problema de valor de fronteira (resolver a equação de Laplace) que utiliza a separação de variáveis na solução do problema, designado método de Fourier. Para obter a solução na sua forma mais simples, é importante selecionar um sistema de coordenadas mais conveniente que o sistema cartesiano. Para tanto, são geralmente utilizados dois sistemas: o esférico e o elipsoidal.
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EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ESFÉRICAS
As funções harmônicas esféricas são importantes em soluções de problemas da Geodésia. No desenvolvimento, faz-se necessário expressar o potencial em coordenadas esféricas
Na figura a seguir, as coordenadas retangulares (x, y, z) estão relacionadas com as esféricas (r, θ, λ), mediante as expressões:
EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Sistema de Coordenadas Esférico Fonte: CATALÃO (2000).
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EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Para coordenadas genéricas r,θ eλ a equação de Laplace em coordenadas esféricas toma a seguinte forma:
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ESFÉRICAS
A equação acima é conhecida como o desenvolvimento do potencial gravitacional em harmônicas esféricas, ou o desenvolvimento da equação de Laplace em funções próprias utilizando coordenadas esféricas.
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EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ELIPSOIDAIS
No caso do sistema elipsoidal (u, Θ, λ) indicado pelas figuras 1a e 1b, a relação entre as coordenadas cartesianas e elipsoidais se da pelas seguintes formulas:
Em que E é a excentricidade linear dada por: E2 = a2 + b2
EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ELIPSOIDAIS
Figura 1a - Sistema de Coordenadas Elipsoidais
Figura 1b – Sistema de Coordenadas Elipsoidais no plano
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EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ELIPSOIDAIS
Para coordenadas genéricas (u, Θ, λ) a equação de Laplace em coordenadas elipsoidais toma a seguinte forma:
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE EM COORDENADAS ELIPSOIDAIS
A formula acima representa a solução da equação de Laplace em coordenadas elipsoidais e, é utilizada como solução para obtenção do potencial gravitacional em harmônicos elipsoidais. A constante b é o semieixo menor de um elipsoide arbitrário, porém fixo, designado elipsóide de referência.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – Presidente Prudente, 2009. CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa – Lisboa, 2000.
DÚVIDAS?
e-mail: [email protected]
Fonte: BOLSTAD P., 2012.