estabilidad estructural c_perez2015

UNIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA

Estabilidad Estructural

Maestría en Ingeniería Estructural

Ms.C. Carlos Andrés Pérez Eulate Mayo ‐ 2015

Estabilidad Estructural Carlos A. Pérez E.

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INDICE

CAPÍTULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................................... 3

1.1 MOTIVACIÓN ........................................................................................................................................................... 3 1.2 ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS .................................................................................................................................... 3

CAPÍTULO 2 MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS DE ESTABILIDAD ................................................................................ 5

CAPÍTULO 3 PANDEO DE COLUMNAS .................................................................................................................. 6

3.1 CARGA DE EULER ...................................................................................................................................................... 6 3.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VIGAS‐COLUMNAS ......................................................................................................... 8 3.3 EFECTO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO EN LA RESISTENCIA DE LA COLUMNA ................................................................ 12 3.4 EL MÉTODO DE LA ENERGÍA ....................................................................................................................................... 13 3.5 PANDEO INELÁSTICO DE COLUMNAS ........................................................................................................................... 15 3.5 CRITERIO DE DISEÑO DE COLUMNAS ........................................................................................................................... 22

CAPÍTULO 4 VIGAS‐COLUMNAS ......................................................................................................................... 24

4.1 EL CONCEPTO DE LA AMPLIFICACIÓN ........................................................................................................................... 24 4.2 VIGAS‐COLUMNAS CON CARGAS LATERALES CONCENTRADAS ........................................................................................... 25 4.3 VIGAS‐COLUMNAS CON CARGAS LATERALES DISTRIBUIDAS .............................................................................................. 26 4.4 DISEÑO DE VIGAS COLUMNAS ................................................................................................................................... 27

CAPÍTULO 5. ESTABILIDAD DE PÓRTICOS ........................................................................................................... 29

5.1 MODOS DE PANDEO DE LOS PÓRTICOS ........................................................................................................................ 29 5.2 ECUACIONES PENDIENTE‐DEFLEXIÓN .......................................................................................................................... 30 5.3 ECUACIONES PENDIENTE‐DEFLEXIÓN CONSIDERANDO COMPRESIÓN AXIAL ......................................................................... 32 5.3 CARGAS CRITICAS EN PÓRTICOS SEGÚN EL MÉTODO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ............................................................... 33 5.3 CARGAS CRITICAS EN PÓRTICOS SEGÚN EL MÉTODO DE LAS ECUACIONES PENDIENTE‐DEFORMACIÓN ........................................ 35 5.4 ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN DE UN PÓRTICO MEDIANTE EL MÉTODO DE LAS ECUACIONES PENDIENTE‐DEFORMACIÓN ............... 36 5.5 EFECTO DE LA FLEXIÓN PRIMARIA Y LA PLASTICIDAD EN EL COMPORTAMIENTO DE LOS PÓRTICOS ............................................. 41 5.6 DISEÑO DE ESTABILIDAD DE PÓRTICOS ......................................................................................................................... 42

BCAPÍTULO 6. PANDEO TORSIONAL ................................................................................................................... 44

CAPÍTULO 7. PANDEO LATERAL TORSIONAL ....................................................................................................... 47

7.1 VIGAS SUJETAS A MOMENTO UNIFORME ...................................................................................................................... 47 7.2 EL EFECTO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO ............................................................................................................ 52 7.3 EL EFECTO DE LAS CONDICIONES DE CARGA .................................................................................................................. 53 7.4 PANDEO LATERAL TORSIONAL DE SECCIONES SIMPLEMENTE SIMÉTRICAS ............................................................................. 53 7.4 PANDEO LATERAL INELÁSTICO .................................................................................................................................... 54

CAPÍTULO 8. PANDEO DE PLACAS ...................................................................................................................... 56

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................... 58


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Capítulo 1 Conceptos Básicos

1.1 Motivación No es necesario ser un ingeniero estructural para tener un concepto de lo que significa que una estructura sea estable. La mayoría de nosotros tenemos el entendimiento de la definición de inestabilidad – que un cambio pequeño de carga va a causar un desplazamiento grande. Si este cambio de desplazamiento es lo suficientemente grande, o si el miembro es un miembro crítico de la estructura, la inestabilidad puede causar el colapso de la estructura entera. El entendimiento de la teoría de estabilidad es un objetivo de vital importancia para los ingenieros que tienen como trabajo el diseño de estructuras.

La estabilidad de estructuras trata con el aspecto de la resistencia de las estructuras, más precisamente, examina las condiciones de carga bajo las cuales una estructura va a pasar de un estado estable a un estado inestable. La razón de este interés es que un ingeniero estructural, que conoce los límites de estabilidad, puede proporcionar un esquema estructural sin peligro con un margen adecuado en contra del colapso debido a la inestabilidad.

Seguridad absoluta no es un objetivo alcanzable, como es conocido por los ingenieros. Un diseño es seguro bajo circunstancias esperadas, pero puede convertirse en inestable bajo circunstancias no previstas (e.g. Colapso de las torres gemelas). Siempre existe una pequeña posibilidad de falla de la estructura.

El termino falla tiene varios significados. La falla puede ser tan obvia o y catastrófica como el colapso total, o puede ser más sutil como la excesiva deformación de una viga. En estabilidad estructural el término falla se refiere al comportamiento de la estructura cuando pasa un estado límite, es decir, cuando la estructura pasa de una condición estable a una condición inestable.

1.2 Estabilidad de estructuras Existen varias formas en las cuales una estructura o elemento estructural puede volverse inestable dependiendo de la geometría estructural y de las características de las cargas. La geometría estructural comprenden: la geometría espacial, los materiales y sus propiedades, tipo de conexiones y el tipo de soportes. Las características de las cargas son: la distribución espacial de las cargas, el comportamiento de las cargas (si son afectadas por la deformación de la estructura) y/o el sistema de fuerzas es conservativo.

El concepto de estabilidad puede ser explicado en base a la Fig. 1.1 El sistema consiste de una bola de peso W quieta en diferentes puntos de una superficie con curvatura cero. Puntos de cero pendiente en la superficie denotan posiciones de equilibrio estático (puntos A, B y C). Además, el tipo de equilibrio en estos puntos es muy diferente. En A, si el sistema es perturbado mediante perturbaciones infinitesimales (pequeños desplazamientos o pequeñas velocidades), simplemente oscilara alrededor


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del punto A de equilibrio estático. Este punto de equilibrio se denomina estable en lo pequeño. En el punto B, si el sistema es perturbado, tenderá a alejarse del punto B de equilibrio estático. Este punto se denomina inestable en lo pequeño. Finalmente en C, si el sistema es perturbado, tendera a mantenerse en la posición perturbada. Este punto es denominado neutral en lo pequeño (punto B Fig. 1.2a). Si las perturbaciones tienen magnitud entonces es posible para un sistema ser inestable en lo pequeño pero estable en lo largo o viceversa como se muestra en la Fig. 1.2b.

Figura 1.1 Tipos de equilibrio estático (Simitses y Hodger, 2006)

En la mayoría de las estructuras o elementos estructurales, la perdida de estabilidad está asociada con la tendencia de la configuración de pasar de un patrón de deformación a otro, por ejemplo una columna larga y esbelta cargada axialmente, en una condición crítica, pasa de la configuración vertical (compresión pura) al estado combinado de compresión y flexión. Esta característica ha sido reconocida por muchos años y ha sido usada para resolver problemas de estabilidad de estructuras elásticas. Este método permite reducir el problema a un problema de valor eigen (valor propio), muchos nombres se han dado a este enfoque como el método clásico o el método de bifurcación.

Figura 1.2 Tipo de equilibrio estático en lo largo (Simitses y Hodger, 2006)


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Capítulo 2 Métodos para el análisis de estabilidad Varios enfoques han sido usados satisfactoriamente para determinar condiciones críticas para estructuras elásticas sujetas a inestabilidades. El enfoque más usado tiene que ver con la respuesta a la siguiente pregunta. Si una causa externa es aplicada a una estructura elástica, existirá un nivel de la causa externa en la cual dos o más estados de equilibrio diferentes pero infinitesimalmente cercanos puedan existir? Por diferentes estados de equilibrio nos referimos a que la respuesta de la estructura es tal que el equilibrio puede ser mantenido con diferentes patrones de deformación. Un ejemplo de esto es nuevamente la columna larga cargada axialmente en compresión. A manera que la carga se aumente desde cero, la columna es comprimida pero se mantiene vertical. Pero en algún valor de la carga, una posición curvada de amplitud infinitesimal también representa una posición de equilibrio. Ya que en este valor de carga existen dos estados de equilibrio diferentes infinitesimalmente cercanos, un punto de bifurcación existe. Matemáticamente, en este enfoque, el problema es reducido a un problema de valor límite eigen. Este método es denominado método de la bifurcación, método clásico o método del equilibrio.

Otro enfoque es escribir las ecuaciones que gobiernan las vibraciones pequeñas de las estructuras elásticas en un nivel de causas externas y tratar de encontrar el nivel en el cual las causas externas el movimiento cesa de ser limitado en lo pequeño. Este enfoque es conocido como el método dinámico o cinético.

Otro enfoque se basa en que si un sistema es conservador, las fuerzas pueden ser derivadas de un potencial y el potencial total de todo el sistema puede ser expresado en términos generalizados de coordenadas y fuerzas externas. Las coordenadas generalizadas son los parámetros necesarios para expresar las formas de deflexión en los cuales la estructura elástica puede posiblemente asumir. En este caso, el equilibrio es estable en lo pequeño si el potencial total es un mínimo relativo. Este método es conocido como el método de energía.

Las siguientes secciones emplearan los métodos descritos anteriormente.


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Capítulo 3 Pandeo de Columnas

3.1 Carga de Euler Usando el método de bifurcación en el miembro axialmente cargado que se muestra en la Figura 3.1 Se asume que es prismático (área constante) y está compuesto de un material homogéneo además se realizan las siguiente asunciones:

1. Los extremos de los miembros son articulados. 2. El miembro es perfectamente vertical y la carga P es concéntrica. 3. El material obedece la ley de Hooke. 4. Las deformaciones en los miembros son tan pequeños que el término (y’)2 es despreciable en la

expresión de la curvatura y puede aproximarse a y’’.

Figura 3.1 Columna simplemente apoyada (Yoo & Lee, 2011)

Entonces tenemos que la expresión de la curvatura es la siguiente:

y (3.1)

Del diagrama de cuerpo libre de la Figura 3.1 b se obtiene:

(3.2)

La solución se obtiene reemplazando k2 = P/EI entonces la ecuación es:

0 (3.3)

La solución es del tipo y = αemx

(3.4)


7

Substituyendo tenemos:

0 (3.5)

La única posible solución no trivial es:

0, (3.6)

Substituyendo se tiene:

cos sin (3.7)

Donde A y B son constantes de integración que se obtienen de las condiciones de borde, donde:

y=0 en x=0 entonces A = 0

y=0 en x=l entonces Bsinkl = 0

Entonces la única solución no trivial es sinkl = 0 entonces kl=nπ

Por lo tanto

(3.8)

(3.9)

El modo menor de pandeo esta dado por n=1

(3.10)

La curva de la fuerza aplicada versus la deformación en un punto como la que se muestra en la Figura 3.2 se denomina trayectoria del equilibrio. Puntos a lo largo de la trayectoria primaria (vertical) representan configuraciones de la columna en compresión pero en forma recta; aquellos a lo largo de la trayectoria secundaria representan las configuraciones curveadas. La Ec. (3.8) determina el punto de bifurcación periódico. Como la ecuación no es una función de la deformación (y) la trayectoria secundaria es una línea horizontal.

Es necesario advertir que Pcr no es una solución única, es necesario recordar que la condición de equilibrio se basa en la geometría deformada de la estructura como se muestra en la Fig. 3.1. La teoría que considera la deflexión en la condición de equilibrio se denomina teoría del segundo orden.

⁄ ⁄ (3.11)

Donde l/r se denomina relación de esbeltez y r es el radio de giro de la sección. Note que el esfuerzo crítico es independiente del esfuerzo de fluencia del material. En la Fig. 3.2 b se muestra un valor Cc que umbral en el cual el pandeo elástico comienza.


8

Figura 3.2 La carga de Euler y los esfuerzos críticos (Yoo & Lee, 2011)

3.2 Ecuaciones diferenciales de VigasColumnas El pandeo tipo bifurcación es esencialmente un comportamiento a flexión. Por lo tanto el diagrama de cuerpo libre debe basarse en la configuración deformada ya que el análisis del equilibrio es realizado en las cercanías de la posición de equilibrio.

Figura 3.3 Diagramas de cuerpo libre de una viga – columna (Yoo & Lee, 2011)

Sumando las fuerza horizontales en la Figura 3.3 (a) se tiene:

∑ 0 (3.12)


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(3.13)

Sumando momentos en la parte superior del cuerpo libre tenemos.

∑ 0 (3.14)

Despreciando términos de segundo orden se obtiene.

(3.15)

Derivando ambos términos tenemos

(3.16)

Debido a que la parte convexa de la curva es opuesta del eje y positivo

(3.17)

Reemplazando Ec. 3.17 y 3.13 en 3.16 tenemos.

q x (3.18)

Para una columna prismática (EI constante) sujeta a una fuerza de compresión constante P, la ecuación se simplifica a.

(3.19)

La Ecuación 3.19 es la ecuación diferencial gobernante fundamental viga – columna.

Es posible llegar a la misma ecuación para las 4 condiciones mostradas en la Fig. 3.3. Por lo tanto la ecuación diferencial gobernante es independiente de la forma del diagrama de cuerpo libre asumido.

La solución homogénea de la Ecuación 3.19 gobierna el pandeo de la columna mediante el método de la bifurcación. El concepto de la imperfección geométrica, el material heterogéneo y la excentricidad es equivalente a tener un término para q(x).

Para las condiciones propuestas tenemos.

0 (3.20)

Asumiendo k2 = P/EI obtenemos.

0 (3.21)

Asumiendo que la solución es de la forma y=αemx entonces.


10

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Reemplazando en la ecuación homogénea simplificada tenemos.

0 (3.26)

0 (3.27)

Como α ≠ 0 y emx≠ 0 entonces

0 0 (3.28)

Entonces

(3.29)

Conociendo las siguiente identidades

1cos sincos sin

Obtenemos la solución general

sin cos (3.30)

Donde A, B, C y D son constantes de integración que pueden ser obtenidas únicamente aplicando condiciones de borde de la estructura.

Ejemplo 1 Considerar la columna empotrada en ambos extremos

Figura 3.4 Columna empotrada en ambos extremos (Yoo & Lee, 2011)


11

Las condiciones de contorno son:

0 00 0 00

Las funciones para aplicar las condiciones de contorno son.

sin cos

cos sin

Aplicando las condiciones de contorno

0sin cos 0

0cos sin 0

Para obtener una solución de A, B, C y D no trivial, la determinante de los coeficientes debe ser cero.

0 1 0 10 1 0

sin cos 1cos sin 1 0

0

La solución de la determinante es

2 cos 1 sin 0

Usando las siguientes identidades

sin 2 sin2cos

2

cos 1 2 sin2

Reemplazando en la solución se obtiene

sin2 2

cos2

sin2

0

Entonces

sin2

0 ó 2cos

2sin

2


12

Usando la primera solución

2

2

4

2

Si n=1 y Le = L/2

Donde le es denominado la longitud efectiva de pandeo de la columna. La función de desplazamiento es.

sin2

cos2

Usando las condiciones de contorno

cos2

1

3.3 Efecto de las condiciones de contorno en la resistencia de la columna La carga de pandeo en la misma columna puede ser incrementada de dos formas.

1. Cambiar las condiciones de borde de modo que las nuevas condiciones de borde hagan la longitud efectiva más corta. a. Articulado‐Articulado le = L b. Articulado‐Empotrado le=0.7L c. Empotrado‐Empotrado le=0.5L d. Empotrado‐Libre (voladizo) le=2.0L

2. Proveer arrastramientos intermedios de modo de que la columna se pandee en modos mayores (Fig. 3.5).

Figura 3.5 Segundo modo de pandeo (Yoo & Lee, 2011)


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3.4 El método de la energía La ventaja del método de la energía es la utilidad de obtener soluciones aproximadas en situaciones donde las soluciones exactas son difíciles o imposibles de obtener.

El método de la energía se basa en la primera ley de termodinámica. El trabajo que una fuerza externa realiza en un sistema más la energía calorífica que fluye en el sistema es igual al incremento de la energía interna del sistema más el incremento de la energía cinética del sistema. Para un sistema conservador (elástico) el incremento de la energía interna es igual al cambio de la energía.

La primera ley de termodinámica puede expresarse de la siguiente forma.

(3.31)

Donde δW es el trabajo de las fuerzas externas mientras el sistema se mueve de una configuración a otra, δH es la energía térmica añadida al sistema, δU es el cambio en la energía de deformación y δK corresponde al cambio de la energía cinética.

Consideremos una columna que está sometida a la carga crítica de pandeo donde un ligero disturbio causaría que la columna se pandee a una nueva posición de equilibrio. Dinámicamente la columna vibraría alrededor de la posición de pandeo indefinidamente. Esta vibración representa el incremento en la energía cinética. Sin embargo, para un desplazamiento infinitesimal, la variación energía cinética es despreciable en relación al trabajo o la energía de desplazamiento. Además que el sistema es un sistema adiabático es decir que no existe transferencia de energía térmica. Entonces la anterior relación se reduce a.

(3.32)

En el enfoque de la energía (Timoshenko & Gere, 1961) se asume que la columna puede pandearse cuando la carga alcanza la Ec. 3.32.

Ejemplo 2. Considerar la columna en voladizo que se muestra en la Fig. 3.6 bajo una carga de compresión.

ç

Figura 3.6 Geometría de columna en voladizo (Simitses y Hodger, 2006)

Mientras la carga se incrementa desde cero, el trabajo realizado por la carga P es almacenado en el sistema como energía de deformación. Si ahora permitimos una deformación de pandeo w(x) o y(x) que


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es muy pequeña de tal manera que no influye en la energía de deformación. El cambio en la energía potencial se expresa de la siguiente manera.

∆ ∆ ∆

Donde ∆ es la energía de deformación por flexión y ∆ es el cambio en el potencial de la fuerza

externa.

∆12

∆ ∆ ∆12

De acuerdo con Timoshenko, la configuración es estable si ∆ 0 e inestable cuando ∆ 0. La condición crítica se encuentra cuando ∆ 0. De esta forma se llega a la relación expresada en la Ec. 3.32.

El siguiente paso es asumir una forma de deformación y realizar las operaciones indicadas por el método. Asumiendo la siguiente función.

1 cos2

La función debe satisfacer las condiciones de contorno del problema para que la solución sea lo más aproximada posible.

Resolviendo la función obtenemos lo siguiente.

∆12 64

∆ ∆ ∆12 16

La carga de pandeo se obtiene cuando las dos relaciones anteriores se igualan y se obtiene lo siguiente.

4

Que resulta ser la solución exacta, esto es debido a que la función de deformación asumida es la función eigen exacta.

Consideremos una función diferente de deformación.

Entonces las variaciones en las energías son.


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∆12

2

∆ ∆ ∆12

23

Igualando las relaciones obtenemos.

3

Que es mayor que la solución exacta en 21% aproximadamente.

3.5 Pandeo inelástico de columnas En la discusión anterior se asumió que el material obedece la ley de Hooke. Para que esto sea valido los esfuerzos en la columna deben de estar debajo del límite proporcional del material. El análisis linear es correcto para columnas esbeltas pero es no conservador para columnas cortas. Por este motivo cuando Euler desarrollo la ecuación en 1744 no pudo probar porque las columnas cortas no tenían un esfuerzo crtico grande y la formula fue considerada errónea por casi 150 años. Fue recién en 1910, donde Von Kárman desarrollo una teoría de doble módulo, que la ecuación de Euler fue reivindicada. El error de Euler fue no considerar el comportamiento inelástico del material.

En orden de considerar el módulo inelástico en el comportamiento de la carga crítica de columnas se han propuesto dos métodos.

1. El método del modulo tangente que asume un modulo tangente Et que es función de la curva esfuerzo‐deformación y provee una solución que es el límite inferior de la solución de la carga de pandeo inelástica.

2. El modulo reducido que usa una rigidez basada en el material y las propiedades de la sección transversal.

El método del módulo reducido asume lo siguiente:

1. La teoría de los desplazamientos pequeños se cumplen. 2. La sección plana permanece plana. 3. Las relaciones entre el esfuerzo y deformación en cualquier fibra viene dado por el diagrama de

esfuerzo deformación del material. 4. El plano de pandeo es un plano de simetría. 5. La carga axial permanece constante mientras la columna se mueva de una posición recta a la

deformada.

En la teoría de los desplazamientos pequeños, la curvatura de una columna viene dada por la siguiente expresión.


16

(3.33)

Figura 3.7 Modelo del módulo reducido

De la misma manera de la relación de triángulos, las deformaciones se obtienen mediante las siguientes expresiones.

(3.34)

(3.35)

Los esfuerzos correspondientes son:

(3.36)

(3.37)

Reemplazando Ec. (3.34) y (3.35) en (3.36) y (3.37) obtenemos lo siguiente.

(3.38)

(3.39)

Donde es el módulo tangente, es el esfuerzo de la fibra en tensión y es el esfuerzo de la fibra en compresión.

Para la porción de solo en flexión (sin fuerza axial neta) se requiere.

0 (3.40)

Igualando el momento interno con el momento externo.


17

(3.41)

Expandiendo la ecuación (3.40) tenemos

0 (3.42)

La ecuación (3.41) puede expedirse de la siguiente manera.

(3.43)

Sabemos que las inercias de la zona en tensión y en compresión pueden expresarse de la siguiente manera.

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

Asumiendo que es el módulo reducido tenemos.

0 (3.48)

La ecuación (3.48) es la ecuación diferencial de una columna esforzada en el rango inelástico. Si asumimos que es constante la solución de la ecuación diferencial es la misma que la solución de la ecuación diferencial general previamente obtenida. La carga y el esfuerzo crítica se expresan de la siguiente manera.

(3.49)

(3.50)

Introduciendo

(3.51)

La ecuación diferencial basada en el modulo reducido es.

0 (3.52)

Entonces el esfuerzo crítico es.


18

(3.53)

El procedimiento para determinar el esfuerzo crítico es el siguiente.

1. Para el diagrama de preparar el diagrama de 2. Del resultado anterior preparar la curva 3. Del resultado anterior preparar la curva ⁄

En el caso del método del módulo tangente, las asunciones son las mismas que para el caso del módulo reducido excepto el punto 5. El esfuerzo de compresión se incrementa en todos los puntos y el módulo tangente gobierna en toda la sección.

Si el incremento es muy pequeño se puede considerar que.

0 (3.54)

Asumiendo que:

(3.55)

El esfuerzo crítico es:

(3.56)

Los pasos para determinar la curva de esfuerzo crítico es.

1. Para el diagrama de preparar el diagrama de 2. Del resultado anterior preparar la curva ⁄

Ejemplo 3. Una columna simplemente apoyada está hecha de acero estructural con las siguientes propiedades mecánicas E = 30x103ksi = 28.0 ksi, = 36.0 ksi y el módulo tangente viene dado en la

siguiente tabla.

o ksi ⁄28.0 1.00 29.0 0.98 30.0 0.96 31.0 0.93 32.0 0.88 33.0 0.77 34.0 0.55 35.0 0.31 35.5 0.16 36.0 0.00

Determinar lo siguiente:


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1) Los valores de ⁄ que divide el pandeo elástico y el pandeo inelástico. 2) El valor de y ⁄ para los valores de esfuerzo de la tabla la teoría de módulo reducido y

asumiendo que la sección es cuadrada de lado h. 3) El esfuerzo crítico para los valores de ⁄ de 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180 y 200 usando

el módulo tangente en el rango inelástico.

De los resultados anteriores dibujar.

4) El gráfico ⁄ para la teoría del módulo reducido 5) Las curvas ⁄ ⁄ para ambas teorías.

Hallar la ubicación de la línea neutra para los varios estados.

0

Como la sección es cuadrada de lado h.

2 2

De la misma forma

2

Reemplazando en la ecuación tenemos.

2 20

2 20

2 20

0 1 2 0

11

√1

Para calcular l/r elaboramos la siguiente tabla.


20

τ h1/h I1/I I2/I τ*I2/I τr σ σ/τ σ/τr l/r

1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.0000 28.0 28.000 28.000 102.8328

0.9800 0.4975 0.4925 0.5076 0.4975 0.9899 29.0 29.592 29.295 100.5339

0.9600 0.4949 0.4848 0.5155 0.4948 0.9797 30.0 31.250 30.622 98.3321

0.9300 0.4909 0.4733 0.5277 0.4908 0.9640 31.0 33.333 32.156 95.9575

0.8800 0.4840 0.4536 0.5495 0.4835 0.9371 32.0 36.364 34.147 93.1182

0.7700 0.4674 0.4084 0.6044 0.4654 0.8738 33.0 42.857 37.768 88.5421

0.5500 0.4258 0.3088 0.7572 0.4164 0.7253 34.0 61.818 46.877 79.4747

0.3100 0.3576 0.1830 1.0602 0.3287 0.5116 35.0 112.903 68.407 65.7902

0.1600 0.2857 0.0933 1.4577 0.2332 0.3265 35.5 221.875 108.719 52.1865

0.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 0.0000 36.0 inf inf ‐‐

1. El valor de l/r de 102.83 es el valor límite entre el rango elástico y el rango inelástico.

2. La tabla anterior muestra los valores de τr y l/r 3. El esfuerzo crítico se obtiene mediante las siguientes expresiones.

Para el rango elástico el modulo a considerar es el elástico (i.e. E)

Para el rango inelástico, usando el módulo tangente tenemos que.

Elaboramos la siguiente tabla:

l/r σ/τ, σ/τr σt σr

200.0 7.40 7.402 7.402

180.0 9.14 9.139 9.139

160.0 11.57 11.566 11.566

140.0 15.11 15.107 15.107

120.0 20.56 20.562 20.562

100.0 29.61 29.011 29.242

80.0 46.26 33.180 33.933

60.0 82.25 34.859 35.172

40.0 185.06 35.500 35.500

20.0 740.22 36.000 36.000

0 ‐‐ 36.000 36.000

El valor de στ y στr se obtuvieron mediante la interpolación lineal de los valores de relación modular obtenidos en la tabla inicial.


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4. La curva obtenida de (P/A ‐ τr).

5. Las curvas (P/A – l/r) para ambas teorías


22

Como se puede apreciar en la figura anterior el esfuerzo crítico obtenido mediante el módulo tangente es ligeramente menor al obtenido mediante el módulo reducido en la zona de transición.

3.5 Criterio de diseño de columnas Para validar las soluciones analíticas se desarrollaron intensas campañas de ensayos de laboratorio. La figura inferior presenta los resultados de los ensayos obtenidos por Beedle & Tall (1960).

Figura 3.8 Distribución de los resultados de los ensayos en columnas de acero (Galambos & Surovek, 2008)

La explicación tradicional de la discrepancia de los resultados es la excentricidad de la carga y las imperfecciones iníciales. Sin embargo, los ensayos realizados fueron cuidadosamente centrados y los especímenes eran verticales lo que hizo que la explicación tradicional no fuese suficiente para explicar la desviación de algunos ensayos.

Osgood (1952) finalmente fue capaz de probar que los esfuerzos residuales juegan un rol importante al momento de determinar la resistencia de las columnas. Liberando la sección de los esfuerzos residuales fue capaz de obtener resultados muy cercanos a la teoría.

De todas maneras, ecuaciones simples eran necesarias para permitir a los ingenieros estructurales cálculos rápidos y simples. Varios métodos fueron propuestos hasta que Bjorhovde (1978) realizó una serie de ensayos en columnas con diferentes configuraciones y mediante un análisis estadístico fue capaz de reproducir los resultados de forma precisa. Luego, fue capaz de reunir 112 resultados de columnas y organizarlos en tres categorías. El SSRC (Galambos, 1998) presento estas curvas y desde entonces con algunas modificaciones han sido usadas por la mayoría de las normas en todo el mundo. La Figura 3.9 muestra las curvas utilizadas por los diferentes códigos de diseño, es notable lo cercano de los resultados obtenidos.


23

Figura 3.9 Curvas obtenidas con varios métodos de diseño

Las curvas actualmente usadas por el AISC (2005) se encuentran expresadas de la siguiente forma.

b

Ejemplo 4. Calcular el esfuerzo crítico de pandeo del ejemplo anterior usando las ecuaciones del AISC y compare los resultados obtenidos con los métodos previamente expuestos.


24

Capítulo 4 Vigas‐Columnas

4.1 El concepto de la amplificación Un miembro esbelto que cumple con las hipótesis de Euler‐Bernoulli‐Navier bajo cargas transversales y una fuerza en compresión en el plano se denomina viga‐columna. Un análisis exacto de una viga‐columna solo puede ser obtenido resolviendo la ecuación diferencial gobernante.

Consideremos el caso simple de una viga‐columna que se muestra en la Fig. 4.1. La viga‐columna está sujeta simultáneamente a una carga transversal Q en el medio del vano y a una carga concéntrica P. Una viga‐columna bajo estas cargas ya no es lineal.

Figura 4.1 Viga‐Columna simple

Sumando los momentos en el punto x desde el origen tenemos.

20 0

2

Con además

(4.1)

La solución general de la ecuación diferencial es del tipo . La solución homogénea ha sido

resuelta anteriormente. La solución particular puede ser obtenida por el método de los coeficientes no determinados. Asumamos que la solución es de la forma.

donde y 0 (4.2)

Reemplazando en la ecuación diferencial obtenemos.

0 (4.3)

Debido a que C = 0 entonces y la solución particular es

(4.4)

La solución total es.


25

cos sin (4.5)

Donde las dos constantes de integración se hallan con las condiciones de borde

0 0 00 /2 (4.6)

cos , 0 cos (4.7)

Entonces la solución viene dada por.

(4.8)

A simple vista se puede observar que la máxima deflexión se da en l/2

tan sabiendo que

(4.9)

La deflexión cuando P=0 es

(4.10)

La expresión del desplazamiento se convierte en.

(4.11)

El factor en la Ec. 4.11 representa la influencia de la carga en el plano en la deflexión máxima de la viga‐columna.

4.2 VigasColumnas con cargas laterales concentradas En la anterior sección vimos que para una viga‐columna simple sujeta a una carga lateral la deflexión esta expresada por la Ec. 4.11.

Si invocamos la expansión de series del tan u tenemos.

tan (4.12)

Entonces.

1 (4.13)

Notando


26

2.46 (4.14)

Reemplazando en la serie obtenemos

1 0.984 0.998 1 (4.15)

De la suma de las series para 1 tenemos

(4.16)

Donde el término es denominado factor de amplificación o factor de magnificación.

El momento de flexión máximo es.

1.

(4.17)

Donde

. (4.18)

Es el factor de amplificación del momento a flexión debido a una carga concentrada.

4.3 VigasColumnas con cargas laterales distribuidas En el caso de una viga‐columna sujeta a una carga lateral uniforme, la deflexión en la mitad del vano es amplificada de forma similar.

(4.19)

. (4.20)

Donde

(4.21)

(4.22)


27

4.4 Diseño de Vigas Columnas Como pudimos observar en las anteriores secciones, el numerador del factor de amplificación del momento representa la variación del momento interno en el miembro. Actualmente el AISC (2005) usa la ecuación empírica propuesta por Austin (1961) donde el factor de amplificación viene dado por la siguiente expresión.

(4.23)

Donde el termino Cm es una ecuación empírica que depende solamente de la relación de los momento extremos .

0.6 0.4 0.4 (4.24)

Como se demostró anteriormente, el análisis de los miembros sujetos a la acción combinada de compresión axial y flexión es complicada. Comúnmente el diseño de dichos miembros se realiza mediante curvas de interacción que se obtienen con la información previamente obtenida.

Las curvas de interacción son normalizadas de modo que 1⁄ cuando 0⁄ y 1⁄ cuando 0⁄ . Entonces la curva deseada pasara por los puntos (1,0), (0,1). La curva más simple que satisface esta condición es una línea recta.

1 (4.25)

Donde P es la carga axial que actúa en el miembro. Pu es la carga última del miembro cuando solo compresión axial está presente. M es el momento que actúa en el miembro. Mu es el momento último de flexión cuando solo flexión existe.

A pesar que de la Ec. 4.23 es una relación razonable, representa un límite superior ya que los resultados obtenidos teoréticamente y experimentalmente caen bajo la curva. El momento utilizado en la Ec. 4.23 es un momento primario, pero como vimos en la sección anterior, la presencia de la fuerza de compresión axial amplifica el momento primario por un factor de amplificación. Si consideramos el factor tenemos.

1 (4.26)

De esta manera obtenemos otra curva que se muestra en la Fig. 4.3 que representa de mejor manera los puntos obtenidos.


28

Figura 4.3 Ecuación de interacción (Yoo & Lee, 2011)


29

Capítulo 5. Estabilidad de Pórticos En el estudio de columnas aisladas los extremos de los miembros son idealizados como articulados, empotrados o libres. Sin embargo, en una estructura con pórticos, los extremos de los miembros están elásticamente restringidos por los miembros adyacentes. En un pórtico, los miembros están rígidamente conectados en las juntas. Por lo tanto, ningún miembro puede pandearse independientemente de los miembros adyacentes.

5.1 Modos de pandeo de los pórticos Consideremos la Fig. 5.1 donde se muestran diferentes forma de pandeo de un pórtico.

Figura 5.1 Modos de pandeo (Yoo & Lee, 2011)

Para el caso donde el desplazamiento lateral no es permitido por arrastramientos. Está claro que el extremo superior de cada columna está restringido elásticamente por la viga y que la carga crítica de la columna depende no solo de la rigidez de la columna sino también de la rigidez de la viga. Consideremos que la viga o es infinitamente rígida o es infinitamente flexible ya que estos dos casos representan los


30

limites superior e inferior de la rigidez de la conexión. Cuando la viga se asume que es infinitamente rígida, la viga permanece recta mientras que el marco se deforma como se muestra en la parte (a) de la Fig. 5.1 bajo estas condiciones la columna se comporta como si estuviera empotrada en ambos extremos. En el caso opuesto cuando la viga se asume infinitamente flexible. El pórtico se deforma como se muestra en la parte (b) y la columna se comporta como si estuviera articulada en la parte superior. Por lo tanto la carga critica es las columnas está limitada como sigue.

4 2 (5.1)

De la misma forma para el caso donde el desplazamiento lateral es permitido en el pórtico. Si la viga es infinitamente rígida, el pórtico puede desplazarse pero no rotar la carga critica de la columna es igual a una columna articulada en ambos extremos. Por otro lado, si la viga es infinitamente flexible la columna es igual a una columna en voladizo. Para el caso del desplazamiento lateral permitido la carga crítica está limitada de la siguiente manera.

(5.2)

Entonces

(5.3)

Un pórtico siempre se pandeara del modo de desplazamiento lateral permitido a no ser que este arriostrado. Esta conclusión es válida para pórticos de varios niveles. La razón se debe a que la longitud efectiva de los miembros en compresión en los pórticos no arriostrados se incrementa debido a la acción del pórtico mientras que en un pórtico arriostrado es reducida.

5.2 Ecuaciones PendienteDeflexión Maney (1915) fue el primero en publicar las ecuaciones modernas de pendiente‐deflexión donde las deformación son tratadas como incógnitas en lugar de esfuerzos y reacciones. Para deducir las ecuaciones de pendiente deflexión consideremos la siguiente figura.

Figura 5.2 Deformación de una viga (Yoo & Lee, 2011)

De la vida deformada en la Fig. 5.2 el momento en x desde el origen puede ser expresado como.

(5.4)


31

Sabiendo que

(5.5)

Tomando derivadas sucesivas de la ecuación anterior tenemos.

0 (5.6)

La solución genera de la ecuación diferencial es.

(5.7)

2 3 (5.8)

2 6 (5.9)

Las condiciones de borde disponibles son

0 á 0 á (5.10)

Substituyendo las condiciones de borde obtenemos las siguientes constantes de integración.

, (5.11)

2 (5.12)

3 2 (5.13)

Reemplazando las constantes en Ec. 5.9 tenemos

23 2

62

Sabiendo que en los extremos los momentos son Mab y Mba tenemos

0 3 2 (5.14)

23 2

62

2 (5.15)

De las Ec. 5.14 y 5.15 obtenemos que.

2 (5.16)


32

2 (5.17)

Si existen momentos fijos.

22

3

22

3

5.3 Ecuaciones PendienteDeflexión considerando compresión axial De la misma forma que para el caso sin compresión axial, Yoo & Lee (2011) han derivado las ecuaciones pendiente‐deflexión para una viga con compresión axial. La Fig. 5.3 muestra la viga deformada usada para la demostración.

Figura 5.3 Viga‐Columna deformada (Yoo & Lee, 2011)

Las ecuaciones obtenidas para este caso son.

(5.18)

(5.19)

Donde

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Donde y son coeficientes de rigidez.

Cuando no existe carga axial en el miembro, lo valores de los coeficientes de rigidez son 4 y 2


33

5.3 Cargas criticas en pórticos según el método de la ecuación diferencial Dependiendo si el pórtico es arriostrado o no, el pandeo ocurrirá del modo simétrico o antisimétrico. Consideremos el caso simétrico.

La Fig.5.4 muestra el pandeo simétrico del pórtico a ser analizado. Basados en la deformación asumida en la Fig. 5.4 (a) el corte desarrollado en el miembro AB es.

(5.23)

Figura 5.4 Pórtico arriostrado

Por lo tanto el momento a la distancia x desde el punto A es.

0 (5.24)

Ó

1 (5.25)

Como ya sabemos la solución general de la ecuación es.

sin cos 1 (5.26)

Dos condiciones de borde son necesarias para determinar las constantes de integración.

0 0 (5.27)

Además

0 0 (5.28)

Reemplazando en la solución general tenemos.

sin cos 1 (5.29)


34

sin cos 1 sin (5.30)

Ya que el pórtico no puede desplazarse lateralmente y= 0 x= l1

sin cos sin 0 (5.31)

Aplicando las ecuaciones de pendiente‐deflexión en la viga, asumiendo que no existe fuerza axial, tenemos.

2 (5.32)

Ya que obtenemos que.

(5.33)

Compatibilidad de pendientes en la junta B requiere que del miembro horizontal sea igual a – en del miembro vertical consistente con la convención de signos adoptada. Además debe notarse

que por lo tanto.

cos sin cos (5.34)

Reemplazando la condición de borde en Ec. 5.33 tenemos

cos sin cos (5.35)

Que se reordena en.

cos sin 1 1 cos 0 (5.36)

Resolviendo el sistema compuesto por la Ec. 5.31 y la Ec.5.36, la solución no trivial se encuentra haciendo que la determinante de los coeficientes sea cero.

La ecuación resultante es la siguiente.

2 2 cos sin sin cos 0 (5.37)

Ajustando y , la raíz menor de kl = 5.018.

Entonces.

. (5.38)


35

5.3 Cargas criticas en pórticos según el método de las ecuaciones pendientedeformación A pesar que el procedimiento anterior es aplicable a cualquier pórtico se convierte muy complejo en pórticos con muchos grados de libertad. El mismo ejemplo anterior será evaluado con el método de las ecuaciones pendiente‐deflexión a fin de que se pueda evidenciar su versatilidad.

Asumiendo que la compresión axial en la viga BC es despreciable. Entonces debido a que 0, el momento en la junta superior del miembro AB es.

(5.39)

Donde

⁄ (5.40)

El momento en la viga es.

(5.41)

Como en la Fig.5.2 (a) la Ec. 5.41 se reduce a

(5.42)

Debido a que no existe fuerza axial en la viga BC, 4 y 2

Para que la junta este en equilibrio y tienen la misma magnitud y signos opuestos

∑ 0 0 (5.43)

Asumiendo y la Ec. 5.43 se reduce a.

4 2 2 (5.44)

Sabiendo que 2 resolvemos la ecuación del coeficiente lo que nos lleva a la una valor de 5.01

Sabiendo que.

. (5.45)

Generalizando el análisis manteniendo y como variables desconocidas. Los momentos en C son.

(5.46)

(5.47)

El equilibrio en B.


36

∑ 0 0 (5.48)

De donde

4 2 0 (5.49)

El equilibrio en C.

∑ 0 0 (5.50)

De donde

2 4 0 (5.51)

Ajustando los coeficientes de las variables desconocidas tenemos.

4 22 4 4 4 0 2, 6

Resolviendo para obtenemos dos soluciones 5.018 y 5.527 respectivamente.

La menor raíz da una carga critica de 25.18 / para el modo mostrado en la Fig. 5.4 (a), la segunda raíz da una carga critica de 30.55 / para el modo mostrado en la Fig. 5.4 (b). Es interesante notar que la carga crítica para el modo antisimétrico es mayor que para el simétrico en el mismo pórtico. Esto se puede explicar debido a que en el modo antisimétrico, la viga se deforma de tal manera que se crea un punto de inflexión en el medio del miembro, por lo tanto incrementa su rigidez. A su vez la mayor rigidez de la viga provee mayor rigidez a la columna lo que disminuye su longitud efectiva.

5.4 Análisis de segundo orden de un pórtico mediante el método de las ecuaciones pendientedeformación Actualmente el AISC especifica que cualquier análisis elástico de segundo orden que considere ambos

efectos P‐∆ y el P‐δ puede ser usado. Debido a que ambos P‐δ (rotación de la junta) y el P‐∆ (traslación de la junta) son considerados en el método de las ecuaciones pendiente‐deflexión con fuerza axial mediante las funciones de estabilidad S1 y S2, el uso del método de las ecuaciones pendiente‐deflexión es considerado aceptable como análisis de segundo orden.

Figura 5.5 Pórtico con carga horizontal


37

Como ilustración consideremos el pórtico de la Fig. 5.5. El pórtico está sujeto a una carga de 275 kips en cada columna y a una fuerza distribuida de 1kip/ft. Estas son cargas factoradas. La longitud de la

columna (W8x31) son 13 ft y la viga (W10x33) es 20 ft. Usando E=30000 ksi y σy =60 ksi. Se asume que el axial en la viga es despreciable. Sabiendo que Δ es el desplazamiento lateral de la viga. El equilibrio horizontal del pórtico es.

∑ 0 (5.52)

Donde Ha y Hd son las reacciones horizontales en la juntas A y D.

El equilibrio vertical del pórtico es.

∑ 0 2 (5.53)

Donde Ra y Rd son las reacciones verticales en las junta A y D

El equilibrio de momentos de todo el pórtico respecto de la junta A es.

Δ Δ 0 (5.54)

Despejando obtenemos

Δ Δ (5.55)

Del equilibrio vertical sabemos que.

2 2 Δ Δ (5.56)

El equilibrio en las juntas B y C es.

0 (5.57)

0 (5.58)

El equilibrio de momentos de columna de la izquierda respecto del nodo B es

Δ 0 (5.59)

El equilibrio de momentos de la columna de la derecha respecto del nodo C es

Δ 0 (5.60)

Sumando las dos ecuaciones anteriores tenemos.

Δ (5.61)


38

Reemplazando las ecuaciones de equilibrio horizontal en las ecuaciones anteriores tenemos.

2 Δ 0 (5.62)

De las ecuaciones pendiente‐deflexión con y sin fuerza axial sabemos que.

27530000 110

83.33 10 , 9.13 10

29.9.13 10 156

20.712,

3 tan1.035

El momento producido por la carga distribuida amplificada es.

123 tan

1 15612 12

1.035 175

Cabe notar los miembros deben ser evaluados considerando los efectos de amplificación. Considerando Δ⁄ tenemos.

ρ 175 (5.63)

ρ 175 (5.64)

Además sabemos que los momentos en la viga son.

4 2 (5.65)

4 2 (5.66)

Los momentos en la otra columna

ρ (5.67)

ρ (5.68)

Para usar sección W8x31 con A=9.12 in2 Py = A x σy=9.12x60=547 kips

0.00913 156 1.424

Resolviendo para S1 y S2

3.7221 2.0721

Substituyendo estos valores numéricos en las ecuaciones de momentos tenemos.


39

2.07421 5.7942 175 43833 12257 175 (5.69)

2.07421 5.7942 175 78737 122570 175 (5.70)

4 2 85500 42750 (5.71)

4 2 42750 85500 (5.72)

3.7221 5.7942ρ 78737 122570 (5.73)

2.0721 5.7942 43833 122570 (5.74)

Reemplazando los momentos en las ecuaciones de equilibrio de las juntas B y C Ec. 5.57 y Ec. 5.58. y la Ec. 5.62

164237 42750 122570 175

42750 164237 122570 0

122570 122570 404480 1014

Resolviendo el sistema tenemos

0.0009359 , 0.002376 , 0.00351 Δ 0.00351 156 0.5476

Substituyendo estos valores en las ecuaciones de momento obtenemos.

564.2 k‐in

181.53 k‐in

181.59 k‐in

243.16 k‐in

243.14 k‐in

326.07 k‐in

Como la carga de pandeo de bifurcación es independiente del momento primario, la determinante de los coeficientes de modificación puede ser igualada a cero para determinar Pcr. Las ecuaciones de momento para este caso son.

ρ 21153.8 21153.8 ρ (5.63)


40

ρ 21153.8 21153.8 ρ (5.64)

4 2 85500 42750 (5.65)

4 2 42750 85500 (5.66)

ρ 21153.8 21153.8 ρ (5.67)

ρ 21153.8 21153.8 ρ (5.68)

Substituyendo nuevamente estas ecuaciones en las ecuaciones de equilibrio Ec. 5.57, Ec. 5.58. y la Ec. 5.62

21153.8 85500 42750 21153.8 ρ 0

42750 21153.8 85500 21153.8 ρ 0

21153.8 21153.8 312 84615.2 ρ 0

La condición de estabilidad requiere que la determinante del sistema desaparezca.

21153.8 85500 42750 21153.842750 21153.8 85500 21153.8

21153.8 21153.8 312 84615.20

Resolviendo la determinante se obtiene

1003.15

Figura 5.6 Distribución de momentos y cortantes en el pórtico

El esfuerzo combinado máximo es.

2759.12

564.2 4110

30.15 20.52 50.67 60

Las reacciones verticales Ec. 5.55 y 5.56 son.


41

273.23

276.77

Considerar el cuerpo libre del miembro AB

1Δ

21156

273.23 0.5476 564.2 181.53 1014

10.32 10.32

2.68

10.32 13 2.68

Ejercicio. Elaborar una tabla comparando los valores obtenidos linealmente con RE amplificando por el factor de amplificación.

1

1

1

1 2751003.15

1.378

5.5 Efecto de la flexión primaria y la plasticidad en el comportamiento de los pórticos

Figura 5.7 Comportamiento de pórticos

Si el pórtico es cargado como en la Fig. 5.7 (a) ninguna flexión se desarrolla en ninguno de los miembros antes del pandeo y el pórtico permanece sin deformarse antes de que la carga crítica sea alcanzada como ser muestra en la curva (1) de la Fig. 5.7 (c). Pero si el pórtico es cargado como se muestra en (b) momentos primarios son desarrollados en los miembros y el pórtico se deforma como se indica en la curva (2). Pórticos con momentos primarios han sido investigados (Masur et al. 1961; Lu 1963) y se ha llegado a la conclusión de que los momentos primarios no reducen significativamente la carga crítica del pórtico mientras los esfuerzos se mantengan elásticos. Por lo tanto los momentos primarios pueden ser ignorados al momento de determinar la carga crítica del pórtico. Sin embargo los momentos primarios no pueden ser ignorados al momento de diseñar los miembros, los cuales deben diseñarse como viga‐columnas y los efectos deben amplificarse si la carga excede el 15% de la carga crítica.


42

Cabe notar que si la inestabilidad sería el único factor que lleva al colapso la falla se daría en la carga crítica o si el colapso se daría solo por efectos de la plasticidad, la falla ocurría con la formación de las rotulas plásticas. En un caso real ambos efectos se llevan a cabo al mismo tiempo y el colapso ocurre por una interacción de ambos efectos en una carga menor que la carga critica.

5.6 Diseño de estabilidad de pórticos Un miembro de un pórtico es muy probable que esté sometido a flexión y fuerzas axiales y debe ser diseñado como una viga‐columna usando las ecuaciones de interacción. Para el diseño, la carga crítica debe ser determinada. Para obtener dichos valores se debe realizar un análisis de estabilidad tridimensional de la estructura. Sin embargo dicho análisis es muy complicado para un diseño de rutina. Además incluso contando con el mejor de los modelos, el diseñador debe considerar demasiadas incertidumbres como la distribución de las cargas, la rigidez de los miembros, conexiones y fundaciones. Un forma habitual de obtener la carga critica de los miembros es estimando las restricciones en los extremos y utilizando los valores de las condiciones ideales como los que se muestran en la Fig. 5.8.

Figura 5.8 Valores de factor de longitud efectiva

Existen también formas de obtener valores más exactos. El AISC (2005) sugiere usar los nomogramas propuestos por Yura (1971) que han sido obtenidos mediante las ecuaciones pendiente – deflexión. El procedimiento para obtener los nomogramas esta detallado en libro de referencia de Yoo & Lee (2011).


43

Figura 5.9 Nomograma para la obtención de K (desplazamiento lateral no permitido)

Los valores de Ga y Gb se obtienen de la siguiente forma.

∑

∑ (5.69)

∑

∑ (5.70)


44

Capítulo 6. Pandeo Torsional En los capítulos anteriores asumimos que las columnas se pandean en el plano de un eje principal sin el acompañamiento de rotación de la sección transversal. Esta asunción fue realizada por Euler (1744), parece ser razonable para secciones doblemente simétricas pero es problemática cuando las secciones tienen solo un eje de simetría o ninguno. Durante el año 1930 cuando secciones abiertas de pared delgada se estaban usando en la industria de la aviación se evidencio que dichas secciones tenían la tendencia de flexionarse y torcerse simultáneamente bajo compresión axial. La naturaleza de este tipo de falla se basa en el hecho de que la carga crítica de dichas columnas es menor que la predicha por el método de Euler debido a las pequeñas rigideces torsionales. Varios autores han trabajado en el desarrollo de la teoría de pandeo torsional. Todos los autores hacen la asunción de que la sección transversal de la columna gira pero su geometría permanece constante.

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el pandeo torsional y del pandeo torsión flexión son.

0 (6.1)

0 (6.2)

0 (6.3)

Las tres ecuaciones son de cuarto orden, por lo tanto el sistema debe tener 12 (4 x 3) condiciones de contorno para determinar las constantes de integración.

Las ecuaciones generales son lineales y homogéneas y la solución general puede obtenerse mediante el enfoque del polinomio característico. Asumamos que la solución tiene las siguientes formas

sin , sin , sin (6.4)

Donde A, B y C son constantes arbitrarias. Sustituyendo las derivadas en las ecuaciones diferenciales y

reduciendo el factor común , se obtiene.

0 (6.5)

0 (6.6)

0 (6.7)

Donde ⁄

La solución no trivial para A, B y C se obtiene de la determinante.


45

00 0

Donde

, , (6.8)

Expandiendo la determinante tenemos.

0 (6.9)

La solución de la ecuación cúbica anterior da la carga crítica de la columna. Esta ecuación es la misma que E4‐6 en el AISC360.

Caso 1. Sección transversal doblemente simétrica. Entonces 0 entonces la ecuación se reduce.

0

Las raíces son.

Pandeo a flexión puro


Pandeo torsional puro

Caso 2. Sección transversal simétrica respecto del eje x. Entonces 0. La ecuación se reduce.

0

Las raíces son.


0 Pandeo a flexión y torsión.

Caso 3. Sección transversal asimétrica. En este caso es necesario resolver la ecuación general utilizando un método numérico. La carga crítica que se obtiene es menor que las cargas críticas separables.


46

Ejemplo. Consideremos una columna articulada (W14x43) de l = 280 in. Usar E = 29x103 ksi. Para la sección Ix= 428 in4, Iy = 45.2 in4 Kt = 1.05 in4 Iw = 1950 in6

165

1563

1505

Como se puede observa la carga critica está dada por el pandeo a flexión puro respecto del eje menor y no por el pandeo torsional.


47

Capítulo 7. Pandeo lateral torsional Este capítulo abarca el estudio de un tipo de inestabilidad denominado pandeo lateral torsional. En este tipo de inestabilidad el miembro es doble o simplemente simétrico cargado por fuerzas en el eje de simetría en el cual se deforma hasta, que en la carga crítica, el miembro se deforma fuera del plano de simetría y se tuerce. La Figura 7.1 muestra el pandeo lateral torsional de una viga.

Figura 7.1 Pandeo lateral torsional de una viga (Galambos & Surovek, 2008)

Pandeo lateral torsional es de importancia particular durante la erección de las estructuras antes de que el sistema lateral de arrastramiento es instalado.

Figura 7.2 Puente curvo con vigas maestras durante la instalación del sistema de arrostramiento lateral (Galambos & Surovek, 2008)

7.1 Vigas sujetas a momento uniforme Consideremos la viga que se muestra en la Figura 7.3. Las asunciones del presente caso son.

1. La viga se comporta elásticamente 2. La viga es simplemente apoyada 3. La viga está sujeta a un momento uniforme alrededor del eje mayor


48

4. La sección es doblemente simétrica 5. Flexión ocurre alrededor del eje mayor

Este caso es homologo al caso de la columna simplemente apoyada usada para determinar el efecto de pandeo en columnas. El momento Mo deforma la viga en la dirección del eje y mediante la deflexión v.

Figura 7.3 Pandeo lateral torsional en una viga (Galambos & Surovek, 2008)

El miembro continua deformándose mientras Mo es incrementado desde cero sin ningún movimiento fuera del plano, hasta que el momento crítico Mocr es alcanzado. Este momento representa el punto de bifurcación donde el equilibrio de la configuración con y sin pandeo es posible. En el caso de la columna la bifurcación es la transición de una configuración recta a una con deflexión lateral. Para una viga, la deflexión de pandeo cambia de una configuración en el plano a una fuera del plano representada por una deflexión lateral u y un ángulo de giro . Como la forma de pandeo incluye una deflexión lateral y un ángulo de giro, este caso de inestabilidad se denomina pandeo lateral torsional.

Figura 7.4 Sección transversal antes y después del pandeo (Galambos & Surovek, 2008)


49

La Fig. 7.4 ilustra la transición de la configuración sin pandearse a la ubicación de la sección transversal en el momento crítico. La sección transversal se ha movido del estado de pre‐pandeo con una deflexión , a una nueva ubicación con deflexión lateral y un ángulo de giro . El la derivación a continuación lo

siguiente es asumido.

• Las deflexiones y ángulos de giro son pequeños

• El material es elástico, homogéneo he isotrópico

Figura 7.5 Descomposición de Mx

La Fig. 7.5 muestra la descomposición del momento en la ubicación z en los componentes y . Para los desplazamientos asumidos cos 1 y sin

cos (7.1)

sin (7.2)

Figura 7.6 Momento en la ubicación z

De la Fig. 7.6 se sabe que por lo tanto.

(7.3)

(7.4)

El equilibrio requiere que estos dos momentos sean iguales a los momentos internos, lo que resulta en las siguientes ecuaciones diferenciales para flexión alrededor del eje x y y respectivamente.

0 Flexión en el plano (7.5)

0 Flexión fuera del plano (7.6)


50

Una ecuación diferencial adicional es derivada del componente torsional de en el eje z que se muestra como en la Fig. 7.7.

Figura 7.7 Componente torsional

sin sin (7.7)

El momento de torsión consiste de un componente de alabeo y un componente de torsión uniforme. G es el modulo de corte, Cw es la constante de alabeo y J es la constante de torsión de St. Venant.

(7.8)

0 (7.9)

Las dos ecuaciones donde participan los desplazamientos lateral y torsional u and son.

0 (7.10)

0 (7.11)

Diferenciando la segunda ecuación respecto de z y reemplazando tenemos.

0 (7.12)

Puede ser escrita de la siguiente manera.

0 (7.13)

0 (7.14)

Donde y


51

Las raíces de la ecuación diferencial son.

(7.15)

1122

Donde

1 (7.16)

2 (7.17)

La solución del ángulo de giro es.

ó

cosh 1 sinh 1 sin 2 cos 2 (7.18)

Conociendo que las condiciones de borde son 0 0 0

Sustituyendo en la solución general obtenemos.

1 0 0 11 0 0 2

cosh 1 sinh 1 sin 2 cos 21 cosh 1 1 sinh 1 2 sin 2 2 cos 2

0 (7.19)

La descomposición de la determinante lleva a la siguiente ecuación.

1 2 sinh 1 sin 2 0 (7.20)

Debido que le expresión antes de la multiplicación no puede ser cero, los valores eigen residen en la siguiente ecuación.

sin 2 0 2 , 1, 2, 3, …

Sustituyendo 2 obtenemos la siguiente expresión.

(7.21)

El valor eigen menor se obtiene con n = 1, reemplazado las expresiones de y obtenemos.


52

1 (7.22)

La anterior ecuación es la ecuación básica del pandeo lateral torsional y se denomina como el momento elástico de pandeo de una viga prismática simplemente apoyada sujeta a un momento uniforme alrededor de su eje mayor.

7.2 El efecto de las condiciones de contorno Las condiciones de borde de la viga articulada son.

0 0 (7.23)

Si consideramos una viga empotrada en los extremos las condiciones de borde son.

0 0 0 (7.24)

Las condiciones de contorno previenen a la viga de alabearse mediante una placa gruesa o mediante un rigidizador. La sustitución de las condiciones de contorno en la solución resulta en.

1 0 0 10 1 2 0

cosh 1 sinh 1 sin 2 cos 21sinh 1 2cosh 1 1cos 2 2sin 2

0 (7.25)

La descomposición de la determinante lleva a la siguiente ecuación que solo puede ser resuelta mediante un método numérico.

cosh 1 cos 2 1 sinh 1 sin 2 0 (7.26)

La necesidad de resolver estas ecuaciones mediante métodos numéricos hace de este enfoque dificultoso para el diseño. Para la mayoría de las condiciones de contorno para obtener una solución de la forma analítica es muy dificultosa o a veces imposible.

Para el uso de diseño, el AISC ha modificado la ecuación de pandeo lateral torsional por la siguiente ecuación.

1 (7.27)

En esta ecuación es el factor de longitud efectiva para el modo de pandeo lateral y es el factor efectivo para el pandeo torsional. Cuando ambos extremos están articulados 1, cuando ambos extremos están empotrados 0.5. Estos valores son solo aproximaciones suficientes para el diseño cotidiano.


53

7.3 El efecto de las condiciones de carga La mayoría de las vigas en una estructura no están sujetas a un momento uniforme y la mayoría no tiene soportes simplemente articulados. Las cargas y las condiciones de borda que son de relevancia tienen ecuaciones diferenciales que son muy complicadas o imposibles de resolver analíticamente. Para el ingeniero investigador existen soluciones numéricas aproximadas y una variedad de método disponibles (e.g. método de energía, etc.) existen mucha literatura donde existen soluciones para una gran numero de problemas de pandeo lateral torsional. Los ingenieros practicantes requieren enfoques más directos que las soluciones analíticas complicadas. Las normas de diseño han tratado con este problema mediante la inclusión de un factor denominado para considerar las posibles condiciones de carga.

1 (7.28)

Varias ecuaciones ser han desarrollado con el tiempo para la obtención de un factor aproximado. Actualmente todas las normas a nivel mundial usan la ecuación propuesta por Kirby & Nethercot (1979) y se presenta en la Fig. 7.8

Figura 7.8 Kirby & Nethercot fórmula para Cb

7.4 Pandeo lateral torsional de secciones simplemente simétricas El momento crítico para secciones simplemente simétricas se expresa de la siguiente manera.

1 1 (7.29)

Donde el término es el término que toma en cuenta el momento de giro adicional causado en las dos superficies alabeadas y se expresa como.

2 (7.30)

Donde x y y son ejes principales y es la distancia del centroide al centro de corte. Para secciones doblemente simétricas el factor 0y la ecuación se reduce a la forma general.


54

De la misma manera se han desarrollado soluciones aproximadas del factor para diferentes tipos de secciones. Kitipornchair & Thrahair (1980) propusieron la siguiente ecuación para secciones I.

0.9 1 1 (7.31)

Donde es la inercia del ala en compresión.

7.4 Pandeo lateral inelástico La ecuación del momento crítico fue obtenido para la asunción de que el material obedece la ley de Hooke, esto implica de que no puede ser aplicable directamente al pandeo lateral torsional inelástico.

Figura 7.9 Resistencia nominal a flexión de acuerdo con el AISC 360‐05

Galambos (1967) y luego Basa (1971) determinaron la longitud requerida de una sección para alcanzar el momento plástico .

1.76 (7.32)

La ecuación anterior es idéntica a la ecuación F2‐5 del AISC (2005). Además se estableció la longitud en la cual las vigas se pandean el rango elástico . En la presencia de esfuerzos residuales el máximo momento elástico crítico se define por.

(7.33)

Asumiendo que el esfuerzo residual es el 30% del esfuerzo de fluencia tenemos.

0.7 (7.34)

Combinando con la ecuación general de pandeo lateral torsional obtenemos la relación para el esfuerzo crítico.


55

1 (7.35)

Asumiendo una sección I doblemente simétrica y despejando la longitud obtenemos . (Ver Fig. 7.10) que es idéntica a la ecuación F2‐6 del AISC (2005). El cálculo del momento crítico en el rango inelástico es complejo, un ejemplo de dicho calculo se presenta en Galambos & Surovek (2008). Para el caso de diseño, el valor del momento crítico inelástico se obtiene mediante la interpolación entre el momento plástico y el momento elástico máximo (Galambos, 1998)

0.7 (7.36)

Figura 7.10. Resumen de las ecuaciones de diseño según el AISC (Ziemian, 2010)


56

Capítulo 8. Pandeo de placas El pandeo de placas cilíndricas ha sido analizado por varios autores como Timoshenko (1961), etc. La mayoría de las soluciones estaban basadas en pequeñas deformaciones. Donnell (1934) fue el primero en considerar que el método adecuando para el análisis de pandeo de placas es el de largas deflexiones. Ahora debido a la eficiencia de los elementos finitos el análisis de placas es realizado mediante computadoras digitales. En esos ambientes las ecuaciones gobernantes tiene poca importancia más allá del esfuerzo inicial de programación.

Para cuestiones de diseño es necesario tomar en cuenta que el esfuerzo critico de una placa circular depende de L/D, D/t y de las condiciones de borde de los extremos. Mientras L/D decrece, el esfuerzo crítico se aproxima al de una placa vertical de ancho unitario. Cilindros más largos se pandearan en una serie de diamantes y el esfuerzo critico depende de solo D/t. Cilindros aun más largos se pandean como columnas donde L/r es el parámetro.

La forma de determinar el comportamiento de un cilindro es calculando el siguiente parámetro.

2 √1 (8.1)

Si 2.85 el comportamiento del cilindro es como de una placa y el esfuerzo critico se determina mediante.

/ (8.2)

Donde

para ejes simplemente apoyados (8.3)

4 para ejes empotrados (8.4)

La demostración de los las relaciones de esfuerzo critico puede encontrarse en el libro de Yoo &Lee (2011).

Si 2.85 . / el pandeo de los cilindro se realiza mediante la forma de los diamantes y el

esfuerzo crítico puede determinarse de la siguiente manera.

/ (8.5)

Donde

Finalmente . /

el pandeo del cilindro es el de una columna donde el esfuerzo crítico es.


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/ (8.6)


58

Bibliografía Yoo, C. & Lee, S (2011). Stability of Structures Principles and Practices. Oxford: Elsevier Inc.

Simitses, G. & Hodges, D. (2006). Fundamentals of Structural Stability. Burlington: Elsevier Inc.

Timoshenko, S. & Gere, J. (1961). Theory of elastic stability. 2nd ed. London: McGraw‐Hill International.

Galambos, T. & Surovek, A. (2008). Structural Stability of Steel: Concepts and Applications for Structural Engineers. New Jersey: John Wiley & Sons.

Bibliografía para diseño

Ziemian, R. (2010). Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. 6th Ed. New Jersey: John Wiley & Sons.

estabilidad estructural c_perez2015

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