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FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE METODOLOGIA DE INVESTIGACION

TITULO:

“MODELO PROBABILISTICO Y REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS DEL RIO SANTA EN LA REGION ANCASH”

TESIS PARA OPTAR EL TITULO DE:

INGENIERO CIVIL

AUTOR:

Abelardo Manrique Díaz Salas

HUARAZ, FEBRERO DEL 2011

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE METODOLOGIA DE INVESTIGACION

2

TITULO:

“MODELO PROBABILISTICO Y REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS DEL RIO SANTA EN LA REGION ANCASH”

Aprobado por:

_______________________

PRESIDENTE DE JURADO

Ingº Rafael Asunción Seminario Vásquez

______________________ ________________________

MIEMBRO DE JURADO MIEMBRO DE JURADO

Ingº Gilberto Régulo Sánchez Gamarra Ingº Miguel Ángel Chang Heredia

Agradecimiento

A la Universidad los Ángeles de Chimbote por darme la

oportunidad de seguir la segunda profesionalización. A mis

padres Pablo y Teodora.

4

Dedicatoria

A nuestro Divino Creador.

A mi esposa Flor y a mis hijos Abelardo y Pablo, a quienes le he

sacrificado su tiempo.

6

INDICE

INTRODUCCION 12

1. PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACION 13

1.1. Planteamiento del problema 13

1.1.1 Problema 13

1.2. Objetivos de la investigación 13

1.2.1 Objetivo general 13

1.2.2 Objetivos específicos 13

1.3. Justificación de la investigación 14

2. MARCO TEORICO 15

2.1. Antecedentes 15

2.1.1 Antecedentes internacionales 17

2.1.2 Antecedentes nacionales 17

2.1.3 Antecedentes regionales 18

2.2. Bases teóricas de la investigación 18

2.2.1 Descarga 19

2.2.2 Descargas máximas 19

2.2.3 Evaluación de las descargas máximas 19

2.2.4 Modelos probabilísticos usados frecuentemente en el estudio

de las descargas máximas 19

a.i.1.a.i. Distribución normal 20

a.i.1.a.ii. Distribución log – normal 22

a.i.1.a.iii. Distribución exponencial 24

a.i.1.a.iv. Distribución Gamma 25

a.i.1.a.v. Distribución Pearson Tipo III 28

a.i.1.a.vi. Distribución Gumbel 30

2.2.5 Definición del modelo probabilístico adecuado en el estudio

de las crecidas 32

i. Prueba de ajuste de chi – cuadrado 33

i.1 Criterio de decisión 35

2.2.6 Tiempo de retorno 36

2.2.7 Relación entre el periodo de retorno y la probabilidad 39

2.2.8 Relación entre el periodo de retorno y función de distribución

acumulada 39

2.2.9 Modelo regional para las descargas máximas instantáneas 40

3. METODOLOGIA 44

3.1 Tipo y nivel de investigación 44

3.2 Diseño de investigación 44

3.3 Población y Muestra 45

3.3.1 Población 45

3.3.2 Muestra 45

3.4 Definición y operacionalización de variables 45

3.4.1 Definición de variables 45

i. Variables independientes 45

ii. Variables dependientes 45

3.4.2 Operacionalización de variables 45

3.5 Técnicas e instrumentos 47

3.5.1 Técnicas 47

3.5.2 Instrumentos 47

3.6 Procedimiento de recolección de datos 48

3.7 Procesamiento de la información recopilada 48

3.7.1 Algoritmo de cálculos 48

3.7.2 Diagrama de flujo 49

3.8 Modelo regional de las descargas máximas instantáneas Anuales 49

8

3.8.1 Parámetros regionales de la ecuación o modelo de Fuller 49

4. RESULTADOS 52

4.1 Descripción de la cuenca del río Santa 52

4.2 Información recopilada 52

4.3 Modelo probabilístico adecuado 57

4.3.1 Modelo regional para las descargas máximas 58

i. Estimación de parámetros del modelo de Fuller 56

5. DISCUSION 61

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 62

6.1 Conclusiones 62

6.2 Recomendaciones 62

7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 63

ANEXOS 64

INDICE DE CUADROS

N° DESCRIPCION PAG.

2.1 NUMERO DE PARÁMETROS DE LOS MODELOS (h) 36

2.2 RESUMEN DE FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA LA ESTIMACIÓN DE AVENIDAS

MÁXIMAS 42

3.1 DISEÑO DE INVESTIGACION 44

3.2 DISPONIBILIDAD DE INFORMACION HIDROMETRICA EN LA CUENCA DEL

RIO SANTA 46

3.3 OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES 47

4.1 ESTADO ACTUAL DE LAS ESTACIONES HIDROMETRICAS DE LA CUENCA

DEL RIO SANTA 55

4.2 DESCARGAS MAXIMMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA

DEL RIO SANTA 56

4.3 AREA DE LAS CUENCAS Y EL PROMEDIO DE LAS DESCARGAS MAXIMAS

INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA 57

4.4 RESULTADOS DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHI-CUADRADO 57

4.5 CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INTANTANTANEAS OBSERVADOS

10

Y ESTIMADAS 58

INDICE DE FIGURAS


3.1 ALGORITMO PARA OBTENER EL MODELO REGIONAL DE LAS DESCARGAS

MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES-MODELO DE FULLER 50

4.1 CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INSTANEAS ANUALES OBSERVADOS Y

ESTIMADOS 59

4.2 CAUDALES MAXIMOS INSTATANEOS ANUALES OBSERVADOS Y ESTIMADOS PARA

DIFERENTES PERIODOS DE RETORNO 59

12

INDICE DE PLANOS


4.1 CUENCA DEL RIO SANTA 53

4.2 RED DE ESTACIONES HIDROMETEOROLÓGICAS DE LA CUENCA DEL RÍO

SANTA 54

INDICE DE ANEX0S

N° DESCRIPCION

A1 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO NORMAL 65

A2 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO MODELO

LOG-NORMAL 69

A3 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO

EXPONENCIAL 73

A4 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO GAMMA 77

A5 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO

PEARSON III 81

14

A6 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO GUMBEL 86

INTRODUCCION

Para el diseño de las obras hidráulicas es necesario conocer el caudal de diseño. Existen

varios métodos para estimar el caudal de diseño como los métodos probabilísticos,

métodos hidrológicos, métodos empíricos etc., En el presente trabajo se ha determinado

un modelo regional usando métodos probabilísticos y empíricos. Mediante este modelo

regional se puede estimar el caudal de diseño conociendo el área de la cuenca y para un

periodo de retorno. Por las consideraciones indicadas el caudal de diseño en la cuenca del

río Santa se pude estimar en cualquier punto, mediante el modelo regional modificado de

Fuller.

El modelo probabilístico adecuado para interpretar el comportamiento de las descargas

máximas instantáneas anuales es el modelo de Gumbel, lo cual se ha definido mediante la

prueba de ajuste de Chi-cuadaro.

Para obtener el modelo regional se ha trabajado con las descargas máximas instantáneas

anuales proyectadas según la Ley de Guimbel y el promedio de las descargas máximas

instantáneas anuales proyectadas con la ecuación regional, que es una ecuación en

función del área de la cuenca.

En el presente trabajo se establece una metodología que permite hallar modelos empíricos

para estimar el caudal de diseño.

En el capítulo 2 se presenta el marco teórico relacionadas a la descargas máximas

instantáneas anuales, trabajos anteriores relacionadas al modelamiento, se describe los

principales modelos probabilísticos usados en la hidrología. En el capítulo 3 se desarrolla

la metodología para la obtención del modelo regional de las descargas máximas. Luego en

el capítulo 4 se presenta los resultados y la aplicación del estudio en la cuenca del río

Santa. En el capítulo 5 se discuten los resultados. Finalmente en el capítulo 6 se

presentan las conclusiones y recomendaciones.

16

1. PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACION

1.1. Planteamiento del problema

Para diseñar diferentes tipos de estructuras hidráulicas, es necesario

conocer las descargas máximas instantáneas para diferentes periodos de

retorno en un punto de un río o de una cuenca, donde no existen estaciones

de aforo. Para estimar la descarga máxima instantánea en puntos no

aforados de un río o quebrada es necesario tener modelos regionales de

descargas máximas.

En el presente trabajo de investigación se buscará el modelo o modelos

probabilísticos adecuados para los registros de las estaciones hidrográficas

de la cuenca del río Santa. Luego se buscará modelos regionales que

relacionen los parámetros físicos de la cuenca y periodo de retorno con las

descargas máximas instantáneas.

Utilizando el modelo o modelos regionales se puede estimar las descargas

máximas instantáneas en cualquier punto de la cuenca.

1.1.1 Problema

¿En qué medida el modelo regional o modelos regionales de las

descargas máximas instantáneas permitirán estimar las descargas

máximas en cualquier punto de la cuenca?

1.2. Objetivos de la Investigación

1.2.1. Objetivo general

Buscar el modelo regional adecuado para estimar las descargas

máximas instantáneas en la cuenca del río Santa.

1.2.2. Objetivos específicos

• Determinar el modelo o los modelos probabilísticos adecuados

para las descargas máximas instantáneas en la cuenca del río

Santa.

• Determinar el modelo regional de las descargas máximas

promedios en función del área de la cuenca.

• Determinar la descarga máxima instantánea anual en un punto de

la cuenca del río Santa, para un determinado periodo de retorno

con lo cual se podrá diseñar infraestructuras hidráulicas que no

fallen ante estos eventos como: puentes, obras de defensa

rivereña, presas para regular las avenidas, bocatomas, cunetas de

las carreteras, alcantarillado pluvial, vertederos de excedencias,

etc.

1.3. Justificación de la investigación

Las estructuras hidráulicas como puentes, bocatomas, vertedero de

demasías, etc. deben ser diseñadas para no fallar ante el suceso de las

descargas máximas instantáneas. Para estimar la ocurrencia de estos

eventos es necesario contar con un modelo regional que explique el

comportamiento espacial y temporal. Con la realización de este trabajo de

investigación se formulará un modelo regional que relacione las descargas

máximas instantáneas con uno o varios parámetros físicos de la cuenca y el

tiempo de retorno.

18

2. MARCO TEORICO

2.1. Antecedentes

2.1.1 Antecedentes internacionales

El caudal de diseño puede ser estimado empleando diversos métodos

que como son 1:

• Métodos probabilísticos: Distribución Gumbel, distribución Pearson

Tipo III, distribución exponencial, distribución gamma y distribución

log-normal.

• Métodos Hidrológicos: método racional, método del hidrograma

unitario y método del hidrograma unitario sintético.

• Métodos empíricos: fórmula de Creager, fórmula de Iskowski,

fórmula de Possenti, fórmula de Turazza, fórmula de Mac-Math y la

fórmula de Heras.

• Método de área - pendiente.

En el libro de Diseño Hidráulico 2 indica que hay diferentes métodos

para determinar las crecientes usando fórmulas empíricas como:

fórmula racional, fórmula de Myers, fórmula de Creager, fórmula de

Fuller, fórmula de Sokolvske, y la fórmula de INERHI,

1 Instituto Tecnológico de Costa Rica. Departamento de Ingeniería Agrícola. 1980. Estudios hidrológicos, págs. 179-276.

2 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, págs.365-367.

En el libro Hidrología en la Ingeniería 3: recomienda diferentes

métodos para la estimación de crecientes como son:

• Método de pronósticos de crecientes: Hidrograma unitario, fórmula

racional.

• Pronóstico mediante el uso de fórmulas empíricas: fórmula de

Barkli-Zigler, fórmula de Kresnick, fórmula de Creager, y la fórmula

de Baird y Mclllwrsith.

• Métodos de distribución de caudales máximos (distribución normal,

distribución log.-normal, distribución Gumbel, distribución Pearson

Tipo III, distribución Log-Pearson tipo III.)

• Método de Fuller. (modelo que permite regionalizar el

comportamiento de las descargas máximas).

El Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de

España en el año 1997 en la publicación de Guías Técnicas de

Seguridad de Presas en la guía N°4 presenta el estudio de Avenida

del Proyecto.4 donde recomienda los métodos de estimación y cálculo

de avenidas, basado en la aplicación del Reglamento Técnico Sobre

Seguridad de Presas y Embalses. En esta publicación se indica que

existen dos métodos de estimación de avenidas: los de tipo

determinístico y los del tipo probabilístico. En los del tipo

determinístico se calculan en forma unívoca los caudales de la

máxima avenida en base a los datos hidrometeorológicos y entre ellos

destaca el método de la “Avenida Máxima Probable”. En los métodos

de tipo probabilístico se realiza en base a datos disponibles (lluvias y/o

3 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, págs. 225-239.

4 Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto. Madrid, págs. 138 p.

20

caudales). Se ajustan diversas leyes extremas para determinar por

extrapolación estadística los caudales punta y los hidrogramas de

avenidas para diferentes periodos de retorno. Finalmente recomienda

el uso de métodos probabilísticos para calcular las avenidas del

proyecto en el estudio de presas y embalses. Los modelos

probabilísticos recomendadas para la estimación de avenidas son:

modelo de Gumbel, modelo de valor extremo tipo II, modelo log

Gumbel, modelo Gamma, modelo exponencial, modelo log normal de

2 parámetros, modelo de valor extremo general, modelo de Pearson

tipo III, modelo de Weibull, modelo log normal de 3 parámetros,

modelo loglogística, modelo logística generalizada, modelo log

Pearson tipo III y modelo de Wakeby.

En el libro de Hidrología 5, presenta métodos para el cálculo de caudal

máximo como son:

• Método directo: aplicación de la fórmula de Manning.

• Métodos empíricos: método racional, método de Mac Math

• Método de número de curva.

• Métodos estadísticos: método de Gumbel, método de Nash, método

de Lebediev.

2.1.2 Antecedentes nacionales

En el estudio de la Hidrología del Perú.6 . Trata de la evaluación de los

caudales máximos y de las escorrentías que pueden ocurrir en una

sección genérica para eventos de máxima intensidad con una

determinada probabilidad. Para el caso de la cuenca del río Santa no se

5 Villón Béjar,M. 2002. Hidrología. Lima,PE, págs. 241-304..

6 Servicio Nacional de Meteorologia e hidrologia, Instituto Italo – Latinoamericano y la Universidad Nacional de Ingenieria.1982 Estudio

de la Hidrología del Perú. Lima, PE. Volumen III, págs..111.

detallan los resultados ni modelos que permitan estimar las descargas

máximas.

Publidrat 7publicó el tema: Análisis de Máximas Avenidas, donde indica

que podrían usarse tres tipos de métodos para la determinación de la

descarga del proyecto de una obra, como son:

• Métodos estadísticos: distribución lognormal, distribución Gumbel,

distribución log Gumbel, distribución Pearson III, distribución log-

Pearson III, método de Foster y el método de Fuller.

• Uso de factores de frecuencia en el análisis de máximas avenidas.

• Métodos hidrometeorológicos: método racional, hidrograma unitario

sintético, hidrograma unitario SCS.

• Otros métodos, en este caso recomienda el uso de fórmulas

empíricas como: fórmula de Isakowski, Fómula de Barkli – Ziegler,

fórmula de George Ribeiro y la fórmula de Francisco Aguilar.

2.1.3 Antecedentes regionales

En el Estudio Integral Para el Aprovechamiento de la Cuenca del Río

Santa presenta los datos procesados de las descargas máximas

instantáneas en las diferentes estaciones hidrográficas de la cuenca

del río Santa 8.

En el presente trabajo la estimación de los caudales máximos se ejecutará

utilizando los métodos probabilísticos y empíricos.

7 Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional Agraria La Molina. Publidrat. Lima, PE. S.e. 28 p.

8 Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G, págs.

61-76.

22

2.2. Bases teóricas de la investigación

2.2.1. Descarga

La descarga o caudal, es el volumen de escorrentía superficial por unidad de

tiempo, Q=V/t, es la principal variable que caracteriza la escorrentía

superficial. Se expresa en o l/s.9

Las descargas son evaluadas usando diferentes métodos de aforo, con los

datos de aforo se obtienen las curvas de descargas los que a su vez son

utilizados para estimar las descargas para diferentes niveles de agua que ha

ocupado a través del tiempo en una determinada sección hidrométrica, éstos

datos al ser ploteados en coordenadas cartesianas se denominan como

hidrogramas. Un río presenta un régimen de descarga que puede expresarse

de diferentes formas, pudiéndose obtener los siguientes datos representativos:

máximas instantáneas, mínimas instantáneas, promedio de mínimas,

promedio de máximas, descarga promedio diario, descarga mensual

promedio, módulo anual, descarga mensual del año promedio, caudal

específico, etc.

En el presente estudio se evaluará las descargas máximas instantáneas

anuales, para la cual el año es considerado como el año hidrológico

comprendido del 1° de Setiembre hasta el 31 de Agosto del año calendario

siguiente. Para la obtención de las descargas máximas instantáneas anuales

es necesario contar con los datos limnigráficos.

2.2.2. Descargas máximas

Es el caudal de valor alto de un río en comparación a las descargas

habitualmente observadas. Estos caudales son causantes de daños a las

9 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, pág. 179

obras y propiedades. Para prevenir estos daños es que se hace necesario una

evaluación cuantitativa de las crecidas. Por eso es importante diseñar obras

hidráulicas que permitan el paso de las crecientes sin sufrir daño10.

2.2.3. Evaluación de las descargas máximas

Existen varios métodos para estimar las crecidas o las descargas

máximas; como son: métodos probabilísticos, métodos hidrológicos,

métodos empíricos, método de área-pendiente etc. El método a

emplear básicamente depende de los datos que se tienen a disposición

del proyectista. En el presente trabajo se va estudiar el comportamiento

de los caudales máximos instantáneas de la cuenca del río Santa

mediante métodos probabilísticos, luego se busca los modelos

regionales en función de los parámetros físicos de la cuenca.

En algunas aplicaciones prácticas de la Ingeniería Hidráulica es necesario

conocer el comportamiento espacial y temporal de los caudales de avenida

(Diseño de vertedero de la represa), en estos casos son empleados los

métodos de tránsito de avenidas. En otros casos la Ingeniería Hidráulica sólo

necesita conocer el comportamiento temporal de las crecidas anuales, es

decir es necesario conocer valores de las descargas máximas instantáneas

anuales. Con los datos de crecidas anuales se determinan el caudal de

avenida extraordinaria, también llamado como caudal de diseño.

2.2.4. Modelos probabilísticos usados frecuentemente en el estudio de

las de descargas máximas.

Los modelos probabilísticos consideran a las descargas máximas

instantáneas anuales, como variables aleatorias independientes en el tiempo,

es decir no se toma en cuenta la secuencia en el tiempo (serie histórica).

10 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, pág.363.

24

En los métodos estadísticos o probabilísticos se considera que el caudal es

una variable aleatoria que está sujeta al análisis frecuencial y que por lo tanto

puede ser estudiada mediante diversas leyes estadísticas de fenómenos

extremos11.

Al utilizar los modelos probabilísticos primero se busca el modelo

probabilístico adecuado para los datos de los caudales máximos instantáneos.

En este caso el análisis se hace en cada estación, la prueba estadística usada

para probar la bondad de ajuste es la prueba de Chi-cuadrado. Para estimar

los valores de los caudales estimados para una determinada probabilidad es

necesario estimar los parámetros de los modelos probabilísticos.

En el libro de Hidrología aplicada12. Indica una serie de modelos

probabilísticos o de distribuciones de probabilidad comúnmente

utilizados para variables hidrológicas, como son: distribución normal,

distribución lognormal, distribución exponencial, distribución gamma,

distribución Pearson tipo III, distribución log Pearson tipo III y

distribución de valor extremo tipo I.

Las leyes de probabilidad para explicar el comportamiento temporal de

caudales máximos son: distribución normal, distribución log normal,

distribución Gumbel, distribución log – Gumbel, distrución Pearson tipo

III y distribución log – Pearson tipo III 13.

i. Distribución normal

11 Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto. Madrid, pág. 33.

12 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, págs. 382-384

13 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, págs. 119-127.

La función densidad de la distribución está dada por la siguiente ecuación:

( ) ∞<<∞−=

−

−xexf

x 2

2

1

2

1 σµ

σπ (2.1)

Donde:

( ) =xf función densidad de probabilidad

=x variable aleatoria

desviación estándar de la población

media poblacional

En la ecuación (2.1) σµ y son parámetros de la distribución normal, los

cuales se estiman mediante el método de momentos o de máxima

verosimilitud y son iguales al promedio y desviación estándar de la

muestra (datos). Se estiman mediante las siguientes ecuaciones14 :

( ) µ== xEx (2.2)

( ) σµ =−= 2xEs (2.3)

Donde:

=x promedio aritmético de la muestra

=s desviación estándar de la muestra

La función acumulada de la distribución normal está dada por la siguiente

ecuación:

( ) ( )dxxfxFx

∫ ∞−=

(2.4)

14 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, págs. 383-384

26

Las ecuaciones (2.1) y (2.4) se simplifican definiendo una nueva variable

aleatoria llamada z (variable normal estándar) que se expresa mediante la

siguiente ecuación:

σµ−= x

z(2.5)

dzdx σ= (2.6)

La variable z, tiene media cero ( )0=µ , y la desviación estándar uno

( )1=σ . Reemplazando la ecuación (2.5) en (2.1) se obtiene, la función

de densidad de la variable normal estándar.

( )2

2

1

2

1 zezf

−=

π (2.7)

La función de distribución acumulada de la variable normal estándar se

expresa mediante la siguiente ecuación:

( ) ( )dzzfzFz

∫ ∞−=

(2.8)

La ecuación (2.8) como la ecuación (2.4) no es integrable analíticamente.

Los valores de la ecuación (2.8) se obtienen de tablas de distribución

normal estándar, o se pueden obtener mediante las técnicas de métodos

numéricos (integración numérica), o se pueden aproximar mediante el

polinomio de Abramowitz y Stugen, dada por la siguiente ecuación15:

[ ] 4432019527.0000344.0115194.0196854.01

2

1 −++++= zzzzB

(2.9)

Donde:

=zvalor absoluto de z

15 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, pág. 365

( ) BzF = para 0<z (2.10)

( ) BzF −= 1 para 0≥z (2.11)

Los valores de según el modelo probabilístico normal se obtiene

reemplazando el valor de z obtenido mediante la ecuación (2.10) o (2.11)

en la ecuación (2.5), dada por la siguiente expresión:

(2.12)

Donde:

valor ajustado a la distribución normal

=x promedio de la muestra

=xσdesviación estándar de la muestra

ii. Distribución log – normal

Las variables físicas de interés en hidrología (precipitación, evaporación y

otras) son generalmente positivas, por lo cual es usual que presenten

distribuciones de frecuencias asimétricas. Por ello, algunos investigadores

han propuesto aplicar una transformación logarítmica a la variable de

interés y luego utilizar el modelo de distribución normal para la variable

transformada. La distribución así obtenida se denomina logarítmico-

normal16.

Si X es una variable aleatoria, con funciones de densidad de probabilidad

asimétricas y si se define una nueva variable como LnXY = , que

presenta una distribución normal (simétrica) con media y y variancia 2yσ,

16 Varas C, E, et al. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.39.

28

entonces se afirma que la variable X tiene una distribución logarítmico-

normal. Las ecuaciones de esta distribución son:

LnXY = (2.13)

La función de densidad de y es:

( ) ∞<<=

−−

yeyf y

yy

y

02

12

2

1

σ

µ

σπ(2.14)

Donde:

Lnxy =µ(2.15)

Lnxy σσ =(2.16)

La función de densidad de x es:

( ) ∞<<=

−−

xex

xf y

yy

y

02

12

2

1

σµ

σπ(2.17)

La función distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:

( ) ( )( )

dyyfyFx

xLn∫ >=

0 (2.18)

La ecuación (2.17) analíticamente no es integrable. Las ecuaciones (2.17)

y (2.18) se simplifican definiendo una variable llamada z (variable normal

estándar) expresada mediante la siguiente ecuación

y

yyz

σµ−

=(2.19)

dzdy yσ=(2.20)

Esta variable como se ha indicado anteriormente tiene media cero y la

desviación estándar uno. Reemplazando la ecuación (2.19) y (2.20) y las

propiedades de ( )1,0→z en la ecuación (2.18) se obtiene la siguiente

ecuación:

( ) dzezFz

z

∫ ∞−

−

= 2

2

2

1

π (2.21)

La ecuación (2.21) es igual a la ecuación (2.8). Los valores de según la

distribución normal se obtiene de la ecuación (2.19):

(2.22)

donde:

valor ajustado a la distribución normal

=y promedio de los logaritmos (logaritmos de x) de la muestra

=yσdesviación estándar de los logaritmos (logaritmos de x) de la

muestra

Los valores de según el modelo probabilístico es obtenida a partir de la

ecuación (2.13).

(2.23)

Donde:

valor de la variable aleatoria ajustada a la distribución logarítmico normal.

iii. Distribución exponencial

Algunas secuencias de eventos hidrológicos como la ocurrencia de

precipitación, pueden considerarse como procesos de Poisson, en

los cuales los eventos ocurren instantánea e independientemente

en un horizonte de tiempo El tiempo entre tales eventos está

30

descrito por una distribución exponencial cuyo parámetro es la tasa

media de ocurrencia de los eventos 17

La función densidad de un modelo probabilístico exponencial está dada

por:

( )

<≥

=−

0,0

0,

x

xexf

xλλ

(2.24)

Donde:

=λ parámetro de la distribución exponencial

La función de distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:

( ) ∫ −− −==x xx edxexF

01 λλλ

(2.25)

El valor de (valor ajustado a la distribución exponencial) se obtiene a

partir de la ecuación (2.25).

(2.26)

Mediante el método de máxima verosimilitud o el método de momentos se

demuestra que el parámetro λ se estima mediante la siguiente ecuación:

X

1=λ(2.27)

Reemplazando la ecuación (2.27) en (2.26) se obtiene:

(2.28)

iv. Distribución Gamma

El tiempo que toma la ocurrencia de un número de eventos en un

proceso de Poisson está descrito por la distribución gamma, la cual es la

distribución de una suma de variables aleatorias independientes e

17 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, pág. 385.

idénticas, distribuidos exponencialmente. La distribución gamma es muy

útil para la descripción de variables hidrológicas asimétricas sin el uso de

la transformación logarítmica. La distribución gamma incluye la función

gamma .

La distribución Gamma, tiene la función de densidad definida por:

( ) ( ) 01

≥Γ

=−

−

xex

xf

x

αβ α

βα

(2.29)

Donde:

=βα , parámetros positivos

( ) =Γ α función gamma de α

( ) ∫∞ −− >=Γ0

1 0αα α paradxxe x

(2.30)

Integrando por partes la ecuación (2.30) se obtiene18:

( ) ( )ααα Γ=+Γ 1 (2.31)

Las propiedades principales de la función Gamma son:

a. (2.32)

b. ( ) ( ) 121 =Γ=Γ (2.33)

c. ( ) ( )πΓ=Γ 2/1 (2.34)

d. ( ) ∞=Γ 0 (2.35)

En general para calcular ( )αΓ , se pueden utilizar los siguientes criterios:

1. Para 0<α la función ( )αΓ se calcula transformando la ecuación

(2.31) a la siguiente ecuación:

18 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 195.

32

( ) ( )α

αα 1+Γ=Γ(2.36)

La función gamma establecida mediante la ecuación (2.30) para

0<x no converge; mediante la ecuación (2.36) se pueden calcular

la función gamma para todos números reales y complejos, excepto

para ,21,0n,n −−=−=α , en consecuencia la ecuación (2.36) es

válida sólo cuando n−≠α Para 10 ≤≤ α la función ( )1+Γ α se

calcula mediante la aproximación polinomial de octavo grado19.

( ) 88

77

66

55

44

33

2210!1 ααααααααααα aaaaaaaa ++++++++==+Γ

(2.37)

Donde:

=0a1.00

=3a-0.897056937

=6a0.482199394

=1a-0.577191652

=4a 0.918206857=7a

-0.193527818

=2a0.988205891

=5a-0.756704078

=8a0.035868343

2. Para 1>α la función ( )1+Γ α , se calcula mediante la ecuación

( ) ( ) ( )11 −Γ−=Γ ααα o mediante la aplicación del ajuste polinomial

por la serie asintótica de Sterling:

( )

+

α−

α−

α+

α+

απα=αΓ α−α

432 2488320

571

51840

139

288

1

12

11

2e

(2.38)

3. Para valores de α grande y positiva la función ( )1+Γ α se puede

calcular con la aproximación factorial de Sterling:

( ) αααπααα −≅=+Γ e2!1(2.39)

La función de distribución gamma acumulada está dada por la siguiente

ecuación:


( ) ( )dxex

xFx

x

∫ Γ=

−−

0

1

αβ α

βα

(2.40)

La ecuación (2.40) no es directamente integrable, sus valores se calculan

mediante las técnicas de integración numérica y existen tablas de esta

distribución denominadas “Función Gamma Incompleta”, llamada así

porque los valores en tabla son sólo para valores enteros positivos de .α

Sí α es un número natural, la función de distribución acumulada puede

determinarse mediante la siguiente ecuación:

( )( )

0;

!1

1

!3

1

!2

111

0,0

132 >

−

++

+

++−

≤

=

−−

xexxxx

x

xF

x

βα

βαβββ

(2.41)

Haciendo un cambio de variable se tiene:

βx

Y =(2.42)

Reemplazando la ecuación(2.42) en (2.40) se obtiene:

( ) ( ) dyeY

yGy

Y

∫ Γ=

−−

0

1

α

α

(2.43)

Reemplazando la ecuación (2.43) en la ecuación (2.41), se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;

!1

1

!3

1

!2

111

0,0

132 >

−

+++++−

≤= −

− xeYYYY

x

YG Yα

α

(2.44)

Los valores de ajustados a la distribución Gamma se obtiene de la

ecuación (2.42):

(2.45)

34

Los valores de Y se halla de la ecuación (2.44) para diferentes

probabilidades, los valores de β se estiman mediante el método de

momentos20:

( ) αβ== xEX (2.46)

αβ 22 =S (2.47)

v. Distribución Pearson tipo III

La distribución Pearson III posee la característica de ser asimétrica

y no negativa, lo que lo hace adecuada para describir los caudales

máximos. Es una distribución de tres parámetros 21.

La función densidad de probabilidades de la distribución Pearson Tipo III,

está definida por la siguiente ecuación:

( ) ( )( )

( )αβ α

βα

Γ−=

−−−

0

10

xx

exxxf

(2.48)

Para:

∞<<∞<<

∞<<∞−∞<≤

αβ

0

0

;

0

0

x

xX

(2.49)



21 Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional Agraria La Molina.

Lima, PE. S.e. pág. 13.

( ) ( )( )

( ) dxexx

xFx

x

xx

∫ Γ−=

−−−

0

0

10

αβ α

βα

(2.50)

Donde:


=0x origen de la variable x, parámetro de posición (valor inicial)

=β parámetro de escala

=α parámetro de forma

Haciendo cambio de variable se tiene:

( )β

0xxY

−=(2.51)

Reemplazando la ecuación (2.51) en (2.48) se obtiene:

( ) ( )αβ

α

Γ=

−− YeYyf

1

(2.52)


( ) ( ) dyeY

yFY

y

∫ Γ=

−−

0

1

α

α

(2.53)

La ecuación (2.53) tiene parámetro α cuya variable tiene origen en

.,0 0xxenóY ==

La ecuación (2.53) es igual a la ecuación (2.43) lo cual se resuelve

usando tablas o mediante métodos numéricos. La solución de la ecuación

(2.53) permite encontrar el valor de Y para diferentes valores de F(y).

Los parámetros de la distribución Pearson Tipo III estimados por el

método de momentos son22:


36

(2.54)

αβ 22 =S (2.55)

α2== gCs

(2.56)

Donde:

promedio de la muestra

=2s variancia de la muestra

=g coeficiente de sesgo de la muestra

Resolviendo las ecuaciones (2.54), (2.55) y (2.56) se obtiene23:

2

4

g=α

(2.57)

2

gS=β(2.58)

(2.59)

El valor de x̂

ajustado al modelo de Pearson Tipo III para una

probabilidad determinada se halla mediante la siguiente ecuación.

0xYx̂ +β=(2.60)

vi. Distribución Gumbel

Es también conocido con el nombre de distribución de valores extremos

tipo I. Este modelo representa la distribución límite del mayor valor de n


valores xi, independientes e idénticamente distribuidos con una

distribución de tipo exponencial a medida que n crece indefinidamente24.

Este modelo probabilístico es de la distribución de valores extremo, de

tipo doblemente exponencial, la función de densidad se expresa

matemáticamente por:

( )

αβ−−

−

αβ−−

α=

x

ex

ee1

xf(2.61)

( )

αβ−−

−

αβ−−

α=

x

ex

e1

xf(2.62)

Donde:


=βα , parámetro de la distribución de valores extremos Tipo I o

doblemente exponencial.

∞<<∞− x

=∞<< α0 parámetro de escala

=∞<<∞− β parámetro de posición, llamado como moda.

Haciendo cambio de variable se tiene:

αβ−= x

w(2.63)

dwdx α= (2.64)

(2.65)

24 Varas C, E, et al. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.47.

38

La función de distribución acumulada se obtiene integrando la ecuación

(2.64)

( ) ( ) www ew

ew e eeedxXPwF−−− −

∞−

−

∞−

− ===≤= ∫ (2.66)

Los estimadores de los parámetros de la distribución Gumbel obtenidos

mediante el método de momentos son25:

(2.67)

xσα 78.0=(2.68)

Donde:

=x̂ promedio de la muestra

=xσdesviación estándar de la muestra

El valor de x̂

ajustado al modelo Gumbel para una probabilidad

determinada se halla mediante la siguiente ecuación (ecuación obtenida de

2.63):

wx̂ α+β= (2.69)

2.2.5. Definición del modelo probabilístico adecuado en el estudio de

crecidas

El único procedimiento para verificar el comportamiento de un modelo

matemático, ya sea probabilístico o determinístico, es comparar las

predicciones efectuadas por el modelo con las observaciones de la

realidad. Si el modelo fuese determinístico, y no existiese error

experimental, entonces la comparación con los valores observados

sería simple y concluyente. Sin embargo en el caso de modelos


probabilísticos, debido a la naturaleza misma del modelo, las

observaciones son sólo una muestra de la realidad, y en consecuencia

una repetición del ensayo puede dar un resultado diferente. Resulta

pues poco probable encontrar una correspondencia exacta entre

modelos (datos generados) y la realidad (datos observados), aún

cuando las hipótesis sean válidas. Por ello, es necesario definir la

magnitud de la discrepancia que puede obtenerse sin que sea

necesario desechar la hipótesis estudiada26

Para la definición del modelo probabilístico adecuado para el estudio de

las descargas máximas instantáneas existen varias pruebas de bondad

de ajuste como las pruebas gráficas y estadísticas. Estas pruebas

consisten en comprobar gráficamente y estadísticamente, si la

frecuencia empírica de la serie analizada, se ajusta a una determinada

función de probabilidades teórica seleccionada a priori, con los

parámetros estimados a partir de los datos muestrales.27.

El modelo probabilístico adecuado para los datos de la muestra se define

mediante método gráfico y estadístico. En cada estación hidrográfica se hace

la prueba. En el método estadístico existen dos alternativas: la prueba de

bondad de ajuste de chi-cuadrado y la prueba de Kolmogorov – Smirnov. En el

presente trabajo se ha empleado el método estadístico de chi-cuadrado.

i. Prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado

En el presente estudio se describe este método porque es el método que

se ha optado dado que se puede programar de una forma sencilla y por

26 Varas C, E, et al Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.77.

27 Villón Béjar,M. 2002. Hidrología Estadística. Lima,PE, págs. 141-162.

40

tanto se simplifican el tiempo del proceso. La prueba de chi-cuadrado

consiste en comparar las frecuencias observadas y esperadas

(frecuencias teóricas), con la finalidad de comparar la bondad de ajuste de

la distribución empírica a una distribución teórica conocida. Existen dos

maneras de realizar esta prueba:

1. Estableciendo celdas (intervalos de clase) de igual tamaño, en la

que las frecuencias esperada (frecuencia teórica) de cada una

intervalo de clase son en general diferentes. El procedimiento para

realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, con celdas

con diferente frecuencia esperada es:

a. Dividir la serie de datos en k celdas (intervalos de clase), de

preferencia se debe escoger .5≥k El tamaño de la serie

histórica viene a ser el tamaño de la muestra.

b. Calcular la frecuencia observada. La frecuencia observada

( )ifo es el número de datos que están comprendidos en cada

intervalo de clase (de igual tamaño en este caso).

c. Calcular la frecuencia esperada (frecuencia teórica), en cada

intervalo de clase con la siguiente ecuación:

( )zPNfei *=(2.70)

Donde:

=N número de datos observados (tamaño de la muestra)

( ) =zP Probabilidad esperada o teórica para el límite superior

de cada intervalo de clase. El valor de ( )zP es

determinado para cada modelo probabilístico que se

está trabajando.

d. Calcular el chi-cuadrado calculado, con la siguiente ecuación:

( )∑=

−=m

i i

iic fe

fofeX

1

22

(2.71)

Donde

=2cX

Chi-cuadrado calculado

=fo frecuencia observada o empírica

=fe frecuencia esperada o teórica

=m número de intervalos de clase o número de celdas.

2. Otra manera de realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-

cuadrado es estableciendo que cada celda (intervalo de clase)

tenga la mis frecuencia esperada (frecuencia teórica), en este caso

los tamaños del intervalo de clase son diferentes. El procedimiento

para realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, con

celdas con igual frecuencia esperada es:

a. Dividir la serie de datos en k celdas (intervalos de clase), de preferencia se debe escoger .5≥k El

tamaño de la serie histórica viene a ser el tamaño de la muestra.

b. Calcular la probabilidad esperada de cada intervalo de clase mediante la siguiente ecuación:

kPi

1=(2.72)

c. Calcular la frecuencia esperada (frecuencia teórica), de cada

intervalo de clase con la siguiente ecuación:

=k

NNPi1

(2.73)

Donde:

=k número de intervalos de clase o número de celdas.

42

=N número de datos observados (tamaño de la muestra)

d. Identificar el valor de variable ajustada al modelo

^

iX para

las probabilidades acumuladas, de la relación siguiente:

( ) ( )dxxfXXPPxFiX

ii ∫ ∞−=

≤==

^^

(2.74)

e. Calcular la frecuencia observada ( )iN

. La frecuencia observada es el número de datos que está

comprendido entre dos valores de iX^

encontrados en el paso anterior.

f. Calcular el chi-cuadrado calculado mediante la siguiente ecuación:

( )∑=

−=m

i i

iic NP

NPNX

1

22

(2.75)

i.1 Criterio de decisión

Para definir el modelo probabilístico adecuado para los datos observados,

es necesario comparar el chi-cuadrado calculado con los valores de chi-

cuadrado tabular. El chi-cuadrado tabular se calcula de la distribución chi-

cuadrado a partir de las tablas. Para calcular el valor de chi-cuadrado

tabular 2tX

es necesario definir los siguientes criterios:

a. Calcular los grados de libertad (v), con la siguiente ecuación:

1−−= hkV (2.76)

Donde:

=V grados de libertad

=h número de parámetros del modelo

=k número de intervalos de clase o celdas

Los valores de h para los modelos usados en el presente estudio se

muestran en el siguiente cuadro:

CUADRO N° 2.1

NUMERO DE PARÁMETROS DE LOS MODELOS (h)

MODELO PROBABILISTICO PARAMETROSNUMERO DE

PARAMETROS

NORMAL σµ, 2

LOGARITMICO NORMALYY σµ , 2

EXPONENCIAL λ 1

GAMMA βα , 2

PEARSON TIPO III βα ,,0x 3

LOG-PEARSON TIPO III

GUMBEL βα , 2

LOG-GUMBEL

b. Asumir el nivel de significación de la prueba estadística.

Generalmente se asume 05.0=α . Con el nivel de

significación asumido y grados de libertad se encuentra el

valor de 2tX

en la tabla de distribución de 2X .

c. Establecer el criterio de aceptación del ajuste. La aceptación

del ajuste depende de:

Sí 2

05.02 XX c ≤

, se afirma que el modelo probabilístico es

adecuado para explicar el comportamiento de los datos

muestrales.

44

Sí 2

05.02 XX c >

, se afirma que el modelo probabilístico no es

adecuado para explicar el comportamiento de los datos

muestrales.

2.2.6. Tiempo de retorno

Es el tiempo promedio en años entre eventos o sucesos que igualan o

exceden a una magnitud dada, a este tiempo promedio se denomina como

tiempo o periodo de retorno.

Si X es una variable aleatoria, la probabilidad de igualar o exceder a un valor

determinado x se puede expresar matemáticamente mediante la siguiente

ecuación:

( ) pxXP =≥ (2.77)

Para cada observación o experimento existen dos posibilidades (proceso

Bernoulli).

• xX ≥ (éxito), su probabilidad es p

• xX < (falla) su probabilidad es p−1

Entonces p es la probabilidad de éxito y pq −= 1 es la probabilidad de

fracaso en cada ensayo. Entonces el primer éxito ocurrirá en t-ésima intervalo

de recurrencia si:

• Las primeras t-1 intervalos de recurrencias son fracasos que ocurre con

un probabilidad de ( ) 1tp1 −−

• Y la t-ésima intervalo de recurrencia es un éxito que ocurre con una

probabilidad de p.

Al multiplicar las dos probabilidades de dos eventos independientes se obtiene

la función masa de probabilidad de la distribución geométrica, por tanto la

probabilidad de un intervalo de recurrencia de duración t de obtener el primer

éxito es:

( ) ( ) 1,2, tpara pp1p,tf 1t =−= −

(2.78)

La ecuación (2.78) es la función masa de probabilidad de la distribución

geométrica y está dada por la siguiente ecuación:

( ) ( ) ,2,1xparap1pp,xg 1x =−= −

(2.79)

Donde la variable aleatoria es x=t.

En la ecuación (2.79) o en la ecuación (2.78) la función masa de probabilidad

tiene un solo parámetro p. Aplicando el criterio de máxima verosimilitud, se

puede hallar el valor esperado de la distribución geométrica. La función de

verosimilitud está dada por la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑−=−=−−−= =

−

=

−−−− ∏n

1iiin21 1xn

n

1i

1x1x1x1x p1pp1pp1pp1pp1pL (2.80)

El logaritmo de esta función está dad por la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑−+=

∑−=

−= ==

−−

=

−∏n

1ii

n

1ii 1xn1xn

n

1i

1x p1lnplnp1plnp1plnLln

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

−−+=−−+=n

1ii

n

1ii p1ln1xplnn p1ln1xplnnLln

( ) ( ) ( )p1ln nxplnnLlnn

1ii −

−+= ∑

= (2.81)

Aplicando los criterios de la estimación parámetros mediante el método de

máxima verosimilitud se obtienen las siguientes ecuaciones:

( )( ) ( )( ) ( ) 0p1ln nxp

plnnp

Llnp

n

1ii =

−

−

∂∂+

∂∂=

∂∂ ∑

=

( )( ) ( )( ) 0p1lnp

nxplnp

nn

1ii =−

∂∂

−+

∂∂ ∑

=

46

( )( ) ( )( )p1lnp

nxplnp

nn

1ii −

∂∂

−−=

∂∂ ∑

=

( )p1pp1

1 nx

p

1n

n

1ii −

∂∂

−

−−=

∑=

−

−=

∑= p1

1 nx

p

1n

n

1ii

−=− ∑

=

n

1ii nx

n

1

p

p1

n

n

n

x

p

p

p

1

n

1ii

−=−∑

=

n

x

p

1

n

1ii∑

==

p

1x =

(2.82)

Entonces el promedio o la esperanza de una distribución geométrica es 1/p.

Donde p es la probabilidad de que un evento sea superado o igualado. En la

ecuación (2.82) T es periodo o tiempo de retorno en años.

2.2.7. Relación entre el periodo de retorno y la probabilidad

Sea X una variable aleatoria. La probabilidad de igualar o exceder a un valor

determinado tx

puede expresar matemáticamente mediante la siguiente

expresión (ver ecuación 2.82):

( )txXPp ≥=(2.83)

( )p

TtE1==

(2.84)

La ecuación (2.84) significa que la probabilidad de ocurrencia en ser igualado

o excedido a un valor determinado de un evento en cualquier variable

hidrológica es el inverso de su periodo de retorno, lo cual matemáticamente se

representa mediante la siguiente ecuación:

( )T

xXP t

1=≥(2.85)

2.2.8. Relación entre el periodo de retorno y la función de distribución

acumulada

Las ecuaciones de la función de distribución acumulada ( )xF , se representan

mediante la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )dxxfxXPxFx

∫ ∞−=<=

(2.86)

La ecuación (2.86) expresa una probabilidad de que el suceso no ocurra. En

este caso el periodo de retorno (T) se calcula mediante la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )xFxXPXxPT

−=

>−=

≥=

1

1

1

11

(2.87)

En la ingeniería los diseños se hacen para soportar los eventos máximos es

decir que un determinado evento no sea superado, en un periodo de retorno

determinado, por lo tanto los diseños se realizan para periodos de retorno

dado por la ecuación (2.87). Es decir los valores de ( )xF , se estiman para un

tiempo de retorno dado mediante la siguiente ecuación:

( )T

xF1

1−=(2.88)

2.2.9. Modelo regional para las descargas máximas instantáneas

48

Hasta hace poco, los esfuerzos para pronosticar avenidas centraban su

interés únicamente en la descarga máxima de la avenida, relacionando la

ocurrencia del gasto pico con los parámetros meteorológicos y fisiográficos de

una cuenca. En la actualidad se cuenta con métodos más completos que

consideran la presencia de distintas condiciones meteorológicas. La principal

utilidad de los métodos para la predicción de avenidas, radica en que al tener

una idea anticipada de las avenidas que están por ocurrir, es posible

aprovechar al máximo los mecanismos de control, como en el caso de presas.

La avenida que más interesa conocer para la protección de las obras

hidráulicas y asentamientos en los valles que atraviesa un río, es la máxima

instantánea. Se entiende por forma de la avenida, la distribución de los

porcentajes respecto al gasto máximo de los gastos correspondientes a los

tiempos transcurridos a partir del momento en que se inicia la avenida, el

período de retorno (Tr), sirve para conocer el gasto máximo con el cual se

proyectarán las obras hidráulicas mencionadas a lo largo del curso, eligiendo

el período de retorno más adecuado tomando en cuenta la vida útil de la obra,

así como su aspecto económico. Para la estimación de una avenida máxima

se dispone de variadísimos métodos de cálculo, los mismos que pueden ser

agrupados en términos generales en orden de importancia creciente

(garantía), como sigue 28:

• Métodos Empíricos

• Métodos Históricos.

• Métodos de Correlación Hidrológica de Cuencas.

• Métodos Estadísticos o Probabilísticos.

El modelo regional para las descargas máximas instantáneas anuales se

estimará mediante fórmulas empíricas. Este método es más antiguo y consiste

en establecer un relación funcional entre la magnitud de una creciente y una o

más variables de las que depende29.

28 Pérez Morales, GB et al. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en

http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf

29 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, pág.365.


El inconveniente principal que presentan los resultados obtenidos de la

aplicación de las Fórmulas Empíricas, deriva del hecho de que éstas se están

utilizando en cuencas distintas a aquellas en las que fueron deducidas, por lo

que sus coeficientes deberían ser ajustados, lo cual resulta sumamente difícil.

Sin embargo, debido a la correlación que existe entre la magnitud de cuenca y

el gasto máximo, los resultados obtenidos con las fórmulas empíricas podrán

servir para acotar la magnitud de las Avenidas de Proyecto. De preferencia se

deben de utilizar todos aquellos que por sus restricciones, puedan ser

utilizados y de sus resultados, evidentemente diferentes y algunos hasta

absurdos, se concluirán los valores probables de las Avenidas de Proyecto, ya

que estos métodos sirven como un marco de referencia. En el siguiente

cuadro, se presenta un resumen de 15 fórmulas empíricas de los diversos

tipos que a continuación se describen30:

Las fórmulas empíricas pueden ser clasificadas en dos grandes grupos:

1. Fórmulas que incluyen el concepto de probabilidad. Se consideran

las mejores, por ejemplo Gete, Fuller, Creager, etc.

2. Fórmulas que no incluyen el concepto de probabilidad. Pudiéndose

dividir en los cuatro siguientes subgrupos:

i. Fórmulas de función monomio de la magnitud de la cuenca de

la forma: , por ejemplo Rynes, Valentini, Myer, etc.

ii. Fórmulas de función sencilla de la magnitud de la cuenca, es

decir de la forma: , por ejemplo Pagliaro, Giandotti, Kuichling,

etc. En gasto general sólo válidos para cuencas menores a

1000.

iii. Fórmulas de la función compleja de la magnitud de la cuenca

por ejemplo Creager, Hyderabad, Hoffman. Etc.


http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf.

50


iv. Fórmulas en función de la magnitud de la cuenca y de la lluvia

por ejemplo Posseni, Heras, etc.

CUADRO N° 2.2

RESUMEN DE FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA LA ESTIMACIÓN DE AVENIDAS MÁXIMAS31

N°AUTOR PAIS FORMULA

LIMITACIONES DE LAS

FORMULAS

1 GETEFórmula generalizada en

España.

2

MORGAN ESCOCIA C=1.000 Tr=500 años, C=0.464, Tr=50 años

C=0.585, Tr=100años, C=0.215, Tr= 5 años.

3

FULLER U.S.A

4BRANSBY

WILLIAMSINGLATERRA

Areas mayores a 26

5FRANCIA

Grandes lluvias,400

6FRANCIA

7RYVES INDIA

8VALENTINI ITALIA

9SCIMEMI ITALIA

Areas menores de 1000




10BARATTA ITALIA

Cuencas montañosas

11GIANDOTTI ITALIA

Cuencas montañosas

12FORTI ITALIA

Lluvias máximas de 200

mm en 24 horas

13KUICHLING U.S.A

Avenidas poco frecuentes

14HYDERABAD INDIA

Río Tungobhadra

15CREAGER U.S.A

Avenidas normales

En las fórmulas anteriores se tiene:

A= área de la cuenca en

Tr= periodo de retorno en años

Gasto de avenida máxima para un Tr, en

valor medio de los gastos medios instantáneos

q = valor medio de los gastos máximos diarios, en .

gasto de avenida máxima, en

Q= gasto de avenida normal, en

52

3. METODOLOGIA

3.1. Tipo y nivel de la investigación

Tipo: Explicativo, No experimental y de corte longitudinal pretérito.

Es no experimental porque son fenómenos que no se pueden manipular.

Es de corte longitudinal pretérito porque las descargas máximas instantáneas

son fenómenos que han sucedido a través del tiempo.

Es de nivel explicativo porque es una investigación cuantitativa que estudia el

comportamiento de las descargas máximas.

3.2. Diseño de investigación

El presente trabajo de investigación es por objetivos, el cual se desarrollará

mediante el siguiente diagrama de flujo.

M --------------- O ------------ A -------------- C

M - muestra O - observacion A - analisis C - comparacion

( Ver EL SIGUIENTE CUADRO)CUADRO N° 3.1

DISEÑO DE INVESTIGACION

54

3.3. Población y muestra

3.3.1. Población

Para el presente estudio se considerara como población al total de las

de descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca del río

Santa en cada estación de aforo (16 estaciones limnigraficas)

3.3.2. Muestra

Para el presente estudio se considera muestra el conjunto de datos

recopilados de cada estación de aforo. Estos datos son considerados

como muestreo aleatorio. Los datos a ser recopilados son las

descargas máximas instantáneas correspondientes a los años y

estaciones que se muestran en el cuadro N°3.2.

3.4. Definición y operacionalización de las variables

3.4.1. Definición de variables

i. Variables independientes.

• Características físicas de la cuenca: Estas características

como el área, altitud media, o la altitud de la estación de aforo

se obtienen de planos digitalizados por el Instituto Nacional

Geográfico que están digitalizados en Autocad.

ii. Variables dependientes.

• Descargas máximas instantáneas: Las descargas máximas

instantáneas son datos aleatorios que se recopilan de cada

estación de aforo de la cuenca en estudio. Estos datos son

variables en el tiempo y en el espacio.

3.4.2. Operacionalización de variables

La operacionalización de las variables, se muestra en el cuadro N°3.3:

56

CUADRO N° 3.2

DISPONIBILIDAD DE INFORMACION HIDROMETRICA EN LA CUENCA DEL RIO SANTA

Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa

CUADRO N° 3.3OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES

VARIABLES

DEFINICION CONCEPTUAL

DIMENSIONES

DEFINICIÓN OPERACIONAL

INDICADORES

Descargas

máximas

instantáneas

anuales y

descargas

promedios

anuales

Es el caudal de valor alto de un río en comparación a las descargas habitualmente observadas. Es el caudal máximo en un año

Volumen por unidad de tiempo

Se obtienen del SENAMHI registrados para cada estación de aforo hidrográfico o del estudio hecho por HIDROSERVICE

Area de la cuenca

Es el área plana (proyección horizontal) incluida entre su divisoria topográfica Unidades de

superficie

se obtienen empleando Autocad a partir de los planos digitalizados del Instituto Geográfico Nacional.

Tiempo de retorno

Intervalo de tiempo promedio, dentro del cual un evento de cierta magnitud, puede ser igualado o excedido por lo menos una vez en promedio.

Unidades de tiempo en años

Se obtienen de las leyes de probabilidad de excedencias.

Años

3.5. Técnicas e instrumentos

3.5.1. Técnicas

La técnica a emplear viene a ser la comparación de datos observados

con datos generados con los modelos probabilísticos teóricos para

eventos extremos. El modelo adecuado se definirá mediante la prueba

estadística de ajuste de chi-cuadrado. El modelo regional se buscará

correlacionando las descargas máximas instantáneas con los

promedios de las descargas máximas instantáneas anuales y el

periodo de retorno. El promedio de las descargas máximas

instantáneas anuales se correlacionará con el área de la cuenca.

3.5.2. Instrumentos

Equipo de cómputo implementado con software y hardware

especializado de análisis estadístico como el Excel, etc.

3.6. Procedimiento de recolección de datos

a) Recopilación de la información bibliográfica relacionado a los modelos

probabilísticos y modelos empíricos que permiten interpretar el

comportamiento de los eventos extremos.

b) Recopilación de datos de descargas máximas instantáneas anuales de

las estaciones de aforo en diferentes puntos de la cuenca del río Santa y

de sus afluentes.

c) Recopilación de los datos del área de cuenca aguas arriba de las

estaciones de aforo.

3.7. Procesamiento de la información recopilada.

3.7.1 Algoritmo de cálculos

a) Procesar la información recopilada, buscando el modelo

probabilístico adecuado para el conjunto de datos de cada

estación de aforo. El ajuste del modelo con los datos observados

se realizará a través de la prueba de ajuste de chi.cuadrado.

b) Con el modelo probabilístico adecuado se generan descargas

máximas instantáneas anuales para diferentes periodos de

retorno.

c) Definir modelos que relacionen el promedio de las descargas

máximas instantáneas anuales en función del área de la cuenca.

d) Se adimensionalizarán las descargas, dividiendo las descargas

máximas instantáneas anuales generadas para diferentes

periodos de retorno entre el promedio de las descargas máximas

instantáneas anuales. La adimensionalización se realiza en cada

estación.

e) Los valores adimensionalizados se correlacionan con el periodo

de retorno y el área de la cuenca. El grado de correlación se

define mediante el coeficiente de correlación. Se genera el

modelo regional para los valores adimensionalizados. Luego se

define el modelo regional para las descargas máximas

instantáneas anuales en función del promedio de las descargas

máximas instantáneas anuales, del periodo de retorno y del área

de la cuenca.

f) Generar descargas máximas instantáneas anuales con el modelo

regional.

g) Comparar las descargas máximas instantáneas anuales

correspondientes para diferentes periodos de retorno (acorde al

modelo probabilístico adecuado) y las descargas máximas

instantáneas anuales generadas mediante el modelo regional.

3.7.2 Diagrama de flujo

El diagrama de flujo para obtener el modelo regional de las descargas

máximas instantáneas anuales se muestran en la figura N°3.1.

3.8 Modelo regional de las descargas máximas instantáneas

El modelo regional de las descargas máximas instantáneas anuales se obtiene

estimando los parámetros o constantes de la ecuación de Fuller.

3.8.1 Parámetros regionales de la ecuación o del modelo de Fuller

Para definir las constantes regionales del modelo de Fuller que es un modelo

para las descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca del Río

Santa se ha seguido el siguiente procedimiento.

1. Encontrar los parámetros del modelo propuesto por Fuller dada por la

siguiente ecuación:

(3.1)

(3.2)

Donde:

=TQmax, descarga máxima instantánea anual para el periodo de retorno

(T) en ./3 segm

=MAXQpromedio de las descargas máximas instantáneas anuales en

./3 segm

FIGURA N° 3.1ALGORITMO PARA OBTENER EL MODELO REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS

INSTANTANEAS ANUALES-MODELO DE FULLER

OBTENCION DE MODELO REGIONALE QUE RELACIONE LAS LOS VALORES ADIMENSINALES DE LAS DESCARGAS CON EL

PERIODO DE RETOR

logaritmo en base a 10

=T periodo o tiempo de retorno en años

parámetros de los modelos

A = área de la cuenca en .

Los valores de son estimadas mediante la ecuación (3.2)

2. Generar los valores de según el modelo probabilístico adecuado.

3. Mediante el análisis de regresión se estiman los parámetros de la

ecuación (3.2) lo cual se decide por el coeficiente de correlación

significativa.

4. Generar los valores de mediante la ecuación (3.2)

5. Se adimensionalizan las descargas mediante la siguiente relación:

(3.3)

Correlacionar los valores adimensionalizados de la ecuación

(3.4)

6. Los parámetros de la ecuación (3.4) se obtienen mediante el análisis

de regresión, lo cual se decide por el coeficiente de correlación

significativa.

7. La ecuación (3.1) se puede expresar de la siguiente forma:

(3.5)

4. RESULTADOS

4.1 Descripción de la cuenca del río Santa

Políticamente la cuenca del río Santa está comprendida en los departamentos de Ancash

(provincias de Recuay, Huaraz, Carhuaz, Yungay, Huaylas, Corongo, Pallasca y Santa) y la

Libertad (provincias de Virú y Santiago de Chuco). Limita por el norte con parte de las

Cuencas de Chao, Virú, Moche y Crisnejas; por el Sur con parte de la cuenca Lacramarca,

Pativilca y Fortaleza, por el Este con la línea de cumbres de la Cordillera Blanca que

constituye la divisoria de las aguas con la cuenca del Marañón, y por el oeste con las

cuencas Nepeña, Casma, Huarmey y el océano Pacífico32. La cuenca del río Santa, tiene

una altitud máxima: 6768 m.s.n.m que es el nevado del Huascarán, altitud media de 2100

m s.n.m (Caraz) y mínima de 0,000 en la desembocadura en el mar. El río Santa tiene una

longitud aproximada de 294 km. La cuenca del río Santa está ubicada en el Norte del País

32 Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de

Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa, págs. 9, 11.

y forma parte de la Cordillera Blanca y Negra de la Vertiente Occidental del Pacífico. Sus

coordenadas geográficas están comprendidas entre los paralelos 10º08´ y 8º04´ latitud Sur

y los meridianos 78º38´ y 77º12´ longitud Oeste.

La cuenca del río Santa tiene una extensión de 12200 km² de la cual el 83 %, o sea 10 200

km² corresponden a la cuenca húmeda, denominada así por encontrarse encima de los

2000 m.s.n.m, cota fijada como límite del área de escurrimiento superficial. La topografía es

plana en la parte baja con pendientes menores al 15%, ondulado, empinado y/o escarpado

en la cordillera de los Andes con pendientes mayores del 15%, en los valles interandinos de

la parte media y alta existe áreas planas y colinosas con pendientes de 15% a 45%. En la

parte baja tiene un valle, denominado Santa, muy importante por su contribución a la

economía de la Región.

4.2 Información recopilada

La información recopilada son las descargas máximas instantáneas anuales de las

diferentes estaciones hidrográficas de la cuenca del río Santa procesadas por

HIDROSERVICE. El área de las cuencas, la ubicación de las cuencas se muestran

en los cuadros y planos siguientes:

PLANO N° 4.1 CUENCA DEL RIO SANTA

Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa.

Plano N° 4.2 Red de estaciones hidrometeorológicas de la cuenca del Río Santa.

Fuente: ELECTROPERU

CUADRO N° 4.1

ESTADO ACTUAL DE LAS ESTACIONES HIDROMETRICAS DE LA CUENCA DEL RIO SANTA

Nombre Tipo Nomb. Subcuenca Río Area km2 Ubi-Geog. Ubi-UTM Dpto Prov Dist Inicio Fin Dura- Estado_Ubic

ación

Observaciones

Cuenca Lat Long Alt Este Norte ción

CONDORCERRO LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 10413 8º 39´ 40´´ 78º 15´ 00´´ 450 802689.66 9041508.95 ANCASH SANTA SANTA 1956 2001 41 BUENA UBICACIÓN CORREGIDO / DATOS SENAMHI E INADE SON LOS

MISMOA, AQUELLOS DE LA DGA DISCREPAN

MUCHO.UTILIZAR SERIE INADEI 1956-1994. OPERATIVA

CHUQUICARA LIMNIGRAFICA SANTA CHUQUICARA 3192 8º 37´ 48´´ 78º 13´12´´ 500 806019.95 9044928.35 ANCASH PALLASCA SANTA ROSA 1954 1997 36UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

SIG PERO CONOCIDAPARALIZADA

QUITARACSA LIMNIGRAFICA SANTA QUITARACSA QUITARACSA 383 8º 46´ 48´´ 77º 51´ 00´´ 1480 846656.65 9028003.91 ANCASH HUAYLAS HUALLANCA 1953 1999 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

SIG PERO CONOCIDAOPERATIVA

LOS CEDROS LIMNIGRAFICA SANTA Q.LOS CEDROS LOS CEDROS 112 8º 51´ 00´´ 77º 49´ 12´´ 1990 849896.07 9020225.55 ANCASH HUAYLAS HUALLANCA 1954 2001 44 BUENA UBICACIÓN OPERATIVA

COLCAS LIMNIGRAFICA SANTA Q. YURAMACYO COLCAS 226 8º 55´ 12´´ 77º 49´ 48´´ 2050 848728.05 9012484.53 ANCASH HUAYLAS STA. CRUZ 1954 1998 42 BUENA UBICACIÓN OPERATIVA

BALSA LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 5124 8º 53´ 38´´ 77º 50´ 24´´ 1850 847651.38 9015384.98 ANCASH HUAYLAS HUALLANCA 1954 2001 43 BUENA UBICACIÓN OPERATIVA

PUENTE

CARRETERALIMNIMETRICA SANTA SANTA 11910 8º 57´ 58´´ 78º 37´ 12´´ 18 761719.06 9008035.89 ANCASH SANTA SANTA 1931 1997 67 BUENA UBICACIÓN

CORREGIDO / DATOS IGUALES. UTILIZAR SERIE SENAMHI

1931-1955. AGREGAR SERIE INADE 1956-1994 Y SERIE

DGA 1995-1997. PARALIZADA

PARON LIMNIGRAFICA SANTA PARON 8º 58´ 48´´ 77º 40´ 48´´ 4100 865190.7 9005695.15 ANCASH HUAYLAS CARAZ 1953 1995 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

SIG PERO CONOCIDAEN PROCESO DE REACTIVACION

LLANGANUCO LIMNIGRAFICA SANTA LLANGANUCO 9º 4´ 12´´ 77º 39´ 00´´ 3850 868403.4 8995698.52 ANCASH YUNGAY YUNGAY 1953 1997 43 BUENA UBICACIÓN EN PROCESO DE REACTIVACION

CHANCOS LIMNIGRAFICA SANTA Q.HONDA QDA. HONDA 210 9º 19´ 12´´ 77º 33´ 00´´ 2940 879148.85 8967907.56 ANCASH CARHUAZ MARCARA 1953 1999 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL


QUEROCOCHA LIMNIGRAFICA SANTA QUEROCOCHA 9º 40´ 12´´ 77º 30´ 00´´ 3980 884260 8929088.07 ANCASH RECUAY TICPAMPA 1953 1998 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL


PACHACOTO LIMNIGRAFICA SANTA PACHACOTO PACHACOTO 198 9º 49´ 48´´ 77º 24´ 00´´ 3700 895066.39 8911250.23 ANCASH RECUAY CATAC 1953 1997 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL

SIG PERO CONOCIDAPARALIZADA

RECRETA LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 10º 1´ 48´´ 77º 19´ 48´´ 3990 902514.9 8889010.92 ANCASH BOLOGNESI CHIQUIAN 1952 1996 44 BUENA UBICACIÓN PARALIZADA

MANTA LIMNIGRAFICA SANTA MANTA MANTA 543 8º 36´ 00´´ 77º 52´ 48´´ 1920 843515.6 9047960.12 ANCASH CORONGO LA PAMPA 1970 1997 28 BUENA UBICACIÓN PARALIZADA

OLLEROS LIMNIGRAFICA SANTA OLLEROS OLLEROS 175 9º 40´ 12´´ 77º 27´ 00´´ 3550 889757.6 8929031.21 ANCASH HUARAZ OLLEROS 1970 1998 26 BUENA UBICACIÓN EN PROCESO DE REACTIVACION

QUILLCAY LIMNIGRAFICA SANTA QUELLCAY QUILLCAY 249 9º 31´ 12´´ 77º 31´ 12´´ 3052 882229.73 8945724.05 ANCASH HUARAZ HUARAZ 1970 1998 26 UBICACIÓN INCORRECTA EN EL EN PROCESO DE REACTIVACION

HUANCA SIG PERO CONOCIDA

CHUQUICARA LIMNIGRAFICA SANTA TABLACHACA 8º 40´ 12´´ 78º 15´ 00´´ 2300 802682.53 9040525.14 ANCASH HUARAZ HUARAZ BUENA UBICACIÓN PARALIZADA

MIRAFLORES LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 9º 29´ 24´´ 78º 31´ 48´´ 3000 881163.11 8949057.74 1987 1998 9 BUENA UBICACIÓN PARALIZADA

Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa.

CUADRO N° 4.2DESCARGAS MAXIMMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA

AÑO

HIDROLOG

ICO

ESTACION

RECRETAPACHACO

TO

QUEROCO

CHAOLLEROS QUILLCAY CHANCOS

LLANGAN

UCOPARON COLCAS

LOS

CEDROSLA BALSA

QUITARAC

SAMANTA

CHUQUICA

RACONDORCERRO

1953 1954

1

8.

4 27 6.94 29 9.9 2.95 15.82 13.71 750.7 60.4 180

1954 1955

3

8.

2 41 7.95 7.2 2.54 17.2 8.58 1093.1 64 188

1955 1956

2

3.

5 23 6.5 6.2 2.34 18.4 8.7 574.54 55.36

1956 1957

2

3 26.3 6.77 37 8.8 14 6.57 376.04 60.24 119

1957 1958

2

1.

5 24.2 6.39 33.6 5.88 3.25 13.67 11.68 627.68 65.72

112.

86

1958 1959

3

8 23.5 6.26 28.5 6.4 3.75 14.72 11.55 257.6 69.44 887.5

1959 1960

2

5.

7

8 25.4 8.9 34.6 7.2 2.75 14.2 5.15 592 1110

1960 1961

2

1.

4

8 26.6 8 34.6 4.2 3.25 22.74 15.07 700 66.05 1330

1961 1962

3

7.

6 36 9.4 36.3 8.8 2.75 27.4 17.96 45.2

1962 1963

3

4.

1 34.96 7.56 40.5 8.28 2.45 23.4 14.24 562 60 1260

1963 1964

2

7.

0

1 24.4 5.88 27.7 5.45 3.35 16.85 570 45 588

1964 1965

2

1.

9

7 15.88 9.1 29.7 4.45 1.86 15.72 12.13 435 33.34

1965 1966

1

7.

0

8 23.6 6.52 22.3 5.45 2.37 18.7 9.1 324.8 38.6 482

1966 1967 2

9.

34 9.8 32.3 5.93 2.37 28.5 17.19 830 53 273 925

0

9

1967 1968

8.

8 17.9 4.93 21.22 4.45 2.2 18.7 8.41 218 38.4

93.

3 403.5

1968 1969

1

3.

2 18.16 3.98 27.2 5.45 2.91 27.2 11.04 272 84.4 93.2 922

1969 1970

3

9.

9 33 6.87 28.9 5.85 26.4 12.81 535.6 1186

1970 1971

4

0 31.28 6.7 24 60 5.86 3.06

270

.8

1971 1972

5

3.

5

5 57 8.9 38.4 31.1 37.22 5.57 2.85 10.25 404 63.2 61.15

266

.5

1972 1973

2

6.

9

6 23.58 5.8 28.8 19.68 34 8.63 3.53 22.67 19 392.2 59.8 41.56

285

.6

1973 1974

4

0.

3

5 41 7.48 42 31.16 4.45 2.36 34 9.5 688.6 81.6 75.4 230

1974 1975

2

7.

6

5 18.15 10.72 48 26 48 6.65 2.19 39 16 534.4 77 74 600 900

1975 1976 3 21.68 10.21 47.84 29 5.98 2.81 19 10.92 540 54.6 51.48 328

1.

2

6 .6

1976 1977

2

5.

1

9 26.7 8.97 30 5.86 2.83 26 10 458.3 48.14 60 396 1130

1977 1978

1

1.

9 21.5 8.13 26.42 17.04 45.72 6.4 3.11 30 7.88 360.8 40.84 17.92

95.

2

1978 1979

2

3.

1 27 8.96 37.76 26.5 44 6.76 4.23 24.4 21.56 618 62 43.78

291

.6 730

1979 1980

6.

1

7 17.16 4.89 31.88 56 3.88 11.62 5.56 205.5 30.4 36.44

110.

8 336.6

1980 1981

5

4.

7 52 9.4 30.8 40.3 42.4 8.97 3.82 23.53 11.16 72.2 440

1981 1982

3

8.

8 10.78 33.4 36.2 44.2 8.97 3.18 13.76 8.3 780 42.7

188

.74

PROMEDIO

QMAX

2

8

.

2

2 28.28 7.68

35.3

9 28.42 36.24 6.57 2.92 21.39 11.63 526.96 56.60 55.49

248

.33 870.76

N

2

9 28 29 11 9 25 28 27 27 27 26 26 10 18 14

S

1

1.

9

5

9 10.012 1.789 8.145 7.307 9.589 1.580 0.586 6.866 4.123

208.31

4 14.492 21.947

134

.39

1 321.952

alfa

9.

3

2

8 7.809 1.395 6.353 5.699 7.479 1.232 0.457 5.356 3.216

162.48

5 11.304 17.119

104

.82

5 251.122

beta

2

2.

8

3

4 23.779 6.874

31.72

6 25.136 31.930 5.860 2.660

18.30

3 9.775

433.21

5 50.080 45.617

187

.85

7 725.879

Fuente: Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G. 145 p.

CUADRO N° 4.3AREA DE LAS CUENCAS Y EL PROMEDIO DE LAS

DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA

ESTACION SUBCUENCA AREA (KM2)

QPROM MAX OBS

(M3/S)

CONDORCERRO SANTA 10413 870.76

CHUQUICARA TABLACHACA 3192 248.33

QUITARACSA QUITARACSA 383 56.60

LOS CEDROS LOS CEDROS 112 11.63

COLCAS COLCAS 226 21.39

BALSA SANTA 5124 526.96

PARON PARON 53.3 2.92

LLANGANUCO LLANGANUCO 89.4 6.57

CHANCOS QDA. HONDA 210 36.24

QUEROCOCHA QUEROCOCHA 62.7 7.68

PACHACOTO PACHACOTO 198 28.28

RECRETA SANTA 289.5 28.22

MANTA MANTA 543 55.49

OLLEROS OLLEROS 175 11.63

QUILLCAY QUILLCAY 249 28.42

4.3 Modelo probabilístico adecuado

El modelo probabilístico adecuado como se ha indicado ha sido definido mediante la

prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, cuyos resultados se muestran en el cuadro

N 4.4.

CUADRO N° 4.4

RESULTADOS DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHI-CUADRADO

MODELO

ESTACIONNORMAL LOG—NORMAL EXPONENCIAL GUMBEL GAMMA PEARSON TIPO III

RECRETA SI SI N0 SI NO NO

PACHACOTO SI SI N0 SI NO NO

QUEROCOCHA SI SI N0 SI SI NO

OLLEROS SI SI N0 SI SI SI

QUILLCAY SI SI N0 SI SI NO

CHANCOS SI SI N0 SI SI SI

LLANGANUCO N0 N0 N0 SI SI SI

PARON SI SI N0 SI SI NO

COLCAS SI SI N0 SI SI NO

LOS CEDROS SI SI N0 SI SI NO

LA BALSA SI SI N0 SI SI NO

QUITARACSA SI SI N0 SI SI NO

MANTA SI SI N0 SI SI NO

CHUQUICARA SI SI N0 SI SI NO

CONDORCERRO SI SI N0 SI SI NO

Del análisis estadístico de los datos de las descargas máximas instantáneas anuales se

asume que el modelo probabilístico adecuado es el modelo Gumbel.

Los cálculos respectivos se muestran en el anexo A-1.

4.3.1 Modelo regional para las descargas máximas

a.i. Estimación de parámetros del modelo de Fuller

Siguiendo la metodología descrita los parámetros estimas de la ecuación de

Fuller son:

(4.1)

76

(4.2)

Donde:

descarga máxima instantánea anual en para un periodo de retorno de T años.

promedio de las descarga máximas instantáneas anuales en

área de la cuenca en

periodo de retorno en años.

La correlación existente entre el caudal promedio de las máximas con el área

de la cuenca de muestra en la figura y cuadro siguiente:

CUADRO N° 4.5

CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INTANTANTANEAS OBSERVADOS Y ESTIMADAS

ESTACIONSUBCUENCA

AREA (KM2)

A

QPROM MAX OBS QPROMAX EST

CHUQUICARA TABLACHACA 3192 10188864 1.05774E+21 248.33 248.3

QUITARACSA QUITARACSA 383 146689 3.1564E+15 56.60 45.5

LOS CEDROS LOS CEDROS 112 12544 1.97382E+12 11.63 11.7

COLCAS COLCAS 226 51076 1.33245E+14 21.39 27.8

PARON PARON 53.3 2840.89 22927845901 2.92 2.5

LLANGANUCO LLANGANUCO 89.4 7992.36 5.10535E+11 6.57 8.2

CHANCOS QDA. HONDA 210 44100 8.57661E+13 36.24 25.7

QUEROCOCHA QUEROCOCHA 62.7 3931.29 60758248385 7.68 4.0

PACHACOTO PACHACOTO 198 39204 6.02547E+13 28.28 24.1

RECRETA SANTA 289.5 83810.25 5.88696E+14 28.22 35.5

MANTA MANTA 543 294849 2.5633E+16 55.49 58.5

OLLEROS OLLEROS 175 30625 2.87229E+13 11.63 20.9

QUILLCAY QUILLCAY 249 62001 2.3834E+14 28.42 30.7

El coeficiente de correlación de la ecuación (4.2) es:

0.9953339

para

Como la ecuación 4.2 es adecuada.

En la siguiente figura se muestran los valores de las descargas máximas

instantáneas obtenidas mediante el modelo probabilístico de Gumbel ( y los

valores de las descargas máximas instantáneas obtenidas mediante el modelo

regional de encontrado que es una modificación del modelo de Fuller (ecuación

4.1)

El coeficiente de correlación de las descargas adimensionalizadas y ) es:

0.647366393

para

Como la ecuación 4.1 es adecuada.

78

5 DISCUSION

1. Al realizar la prueba de bondad de ajuste de chi –cuadrado se ha encontrado datos

faltantes en algunas estaciones hidrográficas, en estos casos se ha considerado

como registro completo, considerando sólo los datos registrados.

2. En el análisis de ajuste de modelos se ha encontrado que el modelo probabilístico

de Gumbel es el modelo adecuado para explicar el comportamiento de las

descargas máximas instantáneas adecuadas de la cuenca del río Santa.

3. En el análisis de correlación de los promedios de las descargas máximas

instantáneas anuales con las áreas de las cuencas se ha descartado las cuencas

aguas arriba de las estaciones hidrográficas de la Balsa y Condorcerro ubicadas en

el cauce del río Santa, porque al considerar estos datos se cometen errores de

sobrestimación de descargas.

4. El periodo de retorno considerado como máximo es de 100 años dado que el

modelo regional es adecuado para calcular caudales de diseño para

infraestructuras medianas.

5. Se ha modificado el modelo original de Fuller, agregando un factor de influencia

directa que es el área de la cuenca.

6. El modelo regional encontrado es válido para periodos de retorno hasta de 100

años y áreas de las cuencas comprendidas entre 53 y 3192

6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 Conclusiones

• El modelo probabilístico de Gumbel es el modelo adecuado para explicar el

comportamiento de las descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca

del río Santa.

• El modelo regional modificado de Fuller permite hallar las descargas máximas

instantáneas anuales en cualquier punto de la cuenca del río Santa, para un

periodo de retorno fijado por el proyectista.

• El modelo regional de Fuller es aplicado para cuencas con área comprendas

entre 53 y 3192 y para periodo de retorno de 100 años como máximo.

• Para estimar las descargas máximas anuales en la cuenca del río Santa es

necesario conocer sólo el área de la cuenca y fijar el periodo de retorno de

diseño.

6.2 Recomendaciones

80

• Realizar trabajos relacionados con la obtención de las descargas máximas

instantáneas anuales para mayor número de años dado algunas estaciones de

aforo siguen registrando datos o que muchos de ellos han funcionado hasta el

año 2000.

• No usar el modelo de Fuller modificado fuera de los rangos indicados del área

y del tiempo de retorno. Es decir usar este modelo para áreas cuenca de 53 a

3192 y para periodos de retorno de hasta 100 años como máximo.

7 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto.

Madrid, ES. Vol. 4. 138 p.

2. Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, EC, 2 ed. S.l. S.e. 429 p.

3. Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la

cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G. 145 p.

4. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Departamento de Ingeniería Agrícola. 1980.

Estudios hidrológicos. Cartago, CR, S.e, 531p.

5. Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional

Agraria La Molina. Publidrat. Lima, PE. S.e. 28 p.

6. Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de

Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión

Santa. Lima PE, S.e. 2 volúmenes.

7. Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, CO.

Tercer Mundo Editores. 358 p.

8. Pérez Morales, GB y Rodríguez Castro, A. 2009. Hidrología Superficial (en línea).

Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en

http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf.

9. Servicio Nacional de Meteorologia e hidrologia, Instituto Italo – Latinoamericano y la

Universidad Nacional de Ingenieria.1982 Estudio de la Hidrología del Perú. Lima,

PE. S.e. Volumen III . 111 p.

10. Ven, TC; Maidment, DR; Ways, LW. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá,

CO.McGraw-Hill Interamicana. 584 p.

11. Varas C, E y Bois, P. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile.

156 p.

12. Villón Béjar, M. 2002. Hidrología. Lima, PE. 2ed. Villón. 433 p.

13. Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, PE. Villón. 377 p.

82

ANEXO A

CUADRO N A-1

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO

MODELO PROBABILISTICO NORMAL

α =0.05

G.L. =2.00

Xt2 = 5.99

ESTACION RECRETA

L.C.S. F.O. F.E. Xc2

18.14575382 5 5.8 0.110344828

25.18446908 7 5.8 0.248275862

31.24587574 6 5.8 0.006896552

38.28459101 5 5.8 0.110344828

85.55979172 6 5.8 0.006896552

0.482758621

Se Ajusta

ESTACION PACHACOT

O


19.85434755 5 5.6 0.064285714

25.74678514 9 5.6 2.064285714

30.82107201 5 5.6 0.064285714

36.71350959 5 5.6 0.064285714

76.2897901 4 5.6 0.457142857

2.714285714

Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC

HA

84


6.172664089 5 5.8 0.110344828

7.225597459 8 5.8 0.834482759

8.132333575 5 5.8 0.110344828

9.185266946 5 5.8 0.110344828

16.25724451 6 5.8 0.006896552

1.172413793

Se Ajusta

ESTACION OLLEROS


28.53323057 2 2.2 0.018181818

33.32687839 3 2.2 0.290909091

37.45493979 1 2.2 0.654545455

42.24858761 3 2.2 0.290909091

74.4448982 2 2.2 0.018181818

1.272727273

Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY


22.27223725 2 1.8 0.022222222

26.57274718 2 1.8 0.022222222

30.2761417 2 1.8 0.022222222

34.57665164 1 1.8 0.355555556

63.46082476 2 1.8 0.022222222

0.444444444

Se Ajusta

ESTACION CHANCOS


28.17127571 4 5 0.2

33.81482287 7 5 0.8

38.67477713 6 5 0.2

44.31832429 4 5 0.2

82.22294386 4 5 0.2

1.6

Se Ajusta

ESTACION LLANGANU

CO


5.2409879 4 5.6 0.457142857

6.170741604 10 5.6 3.457142857

6.971401253 5 5.6 0.064285714

7.901154957 2 5.6 2.314285714

14.14580207 7 5.6 0.35

6.642857143

No Se Ajusta

ESTACION PARON

86


2.430711002 7 5.4 0.474074074

2.775322285 4 5.4 0.362962963

3.072085123 6 5.4 0.066666667

3.416696405 5 5.4 0.02962963

5.731261907 5 5.4 0.02962963

0.962962963

Se Ajusta

ESTACION COLCAS


15.61147675 6 5.4 0.066666667

19.65258677 8 5.4 1.251851852

23.13259842 2 5.4 2.140740741

27.17370843 5 5.4 0.02962963

54.31563418 6 5.4 0.066666667

3.555555556

Se Ajusta

ESTACION LOS

CEDROS


8.158605715 4 5.4 0.362962963

10.58543529 8 5.4 1.251851852

12.67530545 6 5.4 0.066666667

15.10213503 4 5.4 0.362962963

31.40182198 5 5.4 0.02962963

2.074074074

Se Ajusta

ESTACION LA BALSA


351.5584812 5 5.2 0.007692308

474.164793 6 5.2 0.123076923

579.7475147 6 5.2 0.123076923

702.3538265 5 5.2 0.007692308

1525.833365 4 5.2 0.276923077

0.538461538

Se Ajusta

ESTACION QUITARACS

A


44.39897444 6 5.2 0.123076923

52.92853011 3 5.2 0.930769231

88

60.27377758 6 5.2 0.123076923

68.80333325 6 5.2 0.123076923

126.0916935 5 5.2 0.007692308

1.307692308

Se Ajusta

ESTACION MANTA


37.01379558 2 2 0

49.93111121 2 2 0

61.05488879 2 2 0

73.97220442 1 2 0.5

160.7307486 3 2 0.5

1

Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR

A


135.1781157 5 3.6 0.544444444

214.2757667 3 3.6 0.1

282.3909 4 3.6 0.044444444

361.4885509 3 3.6 0.1

892.7442112 3 3.6 0.1

0.888888889

Se Ajusta

ESTACION CONDORCE

RRO


599.6782599 4 2.8 0.514285714

789.167559 1 2.8 1.157142857

952.3467267 4 2.8 0.514285714

1141.836026 2 2.8 0.228571429

2414.532009 3 2.8 0.014285714

2.428571429

Se Ajusta

90

CUADRO N A-2


MODELO PROBABILISTICO LOGARITMO NORMAL

α =0.05

G.L. =2.00

Xt2 = 5.99

ESTACION RECRETA


16.62921739 4 5.8 0.55862069

22.35982507 5 5.8 0.110344828

28.85424176 8 5.8 0.834482759

38.79772469 6 5.8 0.006896552

283.4779101 6 5.8 0.006896552

1.517241379

Se Ajusta

ESTACION PACHACOT

O


20.48496589 5 5.6 0.064285714

24.74325805 8 5.6 1.028571429

29.11320494 6 5.6 0.028571429

35.16508383 4 5.6 0.457142857

125.0276732 5 5.6 0.064285714

1.642857143

Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC

HA


6.057925569 5 5.8 0.110344828

7.009948501 8 5.8 0.834482759

7.948845381 2 5.8 2.489655172

9.198032581 8 5.8 0.834482759

24.51641195 6 5.8 0.006896552

4.275862069

Se Ajusta

ESTACION OLLEROS


28.46292248 2 2.2 0.018181818

32.59261832 3 2.2 0.290909091

36.62597992 1 2.2 0.654545455

92

41.94005674 2 2.2 0.018181818

104.1893923 3 2.2 0.290909091

1.272727273

Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY


21.9014535 2 1.8 0.022222222

25.70660916 0 1.8 1.8

29.50915457 3 1.8 0.8

34.63607123 2 1.8 0.022222222

101.5791876 2 1.8 0.022222222

2.666666667

Se Ajusta

ESTACION CHANCOS


28.25677894 4 5 0.2

32.88072329 6 5 0.2

37.46461742 7 5 0.8

43.5953341 2 5 1.8

120.6447076 6 5 0.2

3.2

Se Ajusta

ESTACION LLANGANU

CO


5.23571688 4 5.6 0.457142857

6.020803232 10 5.6 3.457142857

6.790592689 5 5.6 0.064285714

7.80882988 2 5.6 2.314285714

19.95854057 7 5.6 0.35

6.642857143

No Se Ajusta

ESTACION PARON


2.422730781 7 5.4 0.474074074

2.72597022 2 5.4 2.140740741

3.017351088 7 5.4 0.474074074

3.39501577 6 5.4 0.066666667

7.496030064 5 5.4 0.02962963

3.185185185

Se Ajusta

94

ESTACION COLCAS


15.64742701 6 5.4 0.066666667

18.82898476 7 5.4 0.474074074

22.08257701 1 5.4 3.585185185

26.57258 7 5.4 0.474074074

92.11468731 6 5.4 0.066666667

4.666666667

Se Ajusta

ESTACION LOS

CEDROS


8.094091448 4 5.4 0.362962963

9.995709828 6 5.4 0.066666667

11.98765989 7 5.4 0.474074074

14.80402965 4 5.4 0.362962963

61.08194672 6 5.4 0.066666667

1.333333333

Se Ajusta

ESTACION LA BALSA


341.5325709 5 5.2 0.007692308

437.350187 5 5.2 0.007692308

541.1462654 4 5.2 0.276923077

692.9658854 7 5.2 0.623076923

3647.875736 5 5.2 0.007692308

0.923076923

Se Ajusta

ESTACION QUITARACS

A


43.5409909 6 5.2 0.123076923

51.08054458 3 5.2 0.930769231

58.61147461 3 5.2 0.930769231

68.76063175 9 5.2 2.776923077

200.9899331 5 5.2 0.007692308

4.769230769

Se Ajusta

96

ESTACION MANTA


34.2698971 1 2 0.5

45.18563668 3 2 0.5

57.33425026 1 2 0.5

75.5965095 4 2 2

484.2442918 1 2 0.5

4

Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR

A


136.6247091 5 3.6 0.544444444

188.5037137 2 3.6 0.711111111

248.7144257 2 3.6 0.711111111

343.1560309 6 3.6 1.6

2981.185806 3 3.6 0.1

3.666666667

Se Ajusta

ESTACION CONDORCE

RRO


556.6748454 3 2.8 0.014285714

720.2086267 1 2.8 1.157142857

899.0503313 2 2.8 0.228571429

1163.163397 5 2.8 1.728571429

6560.261478 3 2.8 0.014285714

3.142857143

Se Ajusta

CUADRO N A-3


MODELO PROBABILISTICO EXPONENCIAL

α =0.05

G.L. =3.00

Xt2 = 7.82

98

ESTACION RECRETA


6.296033773 1 5.8 3.972413793

14.41303305 3 5.8 1.351724138

25.85330098 10 5.8 3.04137931

45.41056819 13 5.8 8.937931034

324.839177 2 5.8 2.489655172

19.79310345

No Se Ajusta

ESTACION PACHACOT

O


6.311376267 0 5.6 5.6

14.44815546 0 5.6 5.6

25.91630161 14 5.6 12.6

45.52122696 12 5.6 7.314285714

325.6307615 2 5.6 2.314285714

33.42857143

No Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC

HA


1.713511636 0 5.8 5.8

3.92261235 0 5.8 5.8

7.036164934 13 5.8 8.937931034

12.35881823 16 5.8 17.93793103

88.40735765 0 5.8 5.8

44.27586207

No Se Ajusta

ESTACION OLLEROS


7.897253139 0 2.2 2.2

18.07858321 0 2.2 2.2

32.42836199 5 2.2 3.563636364

56.95947085 6 2.2 6.563636364

407.4528985 0 2.2 2.2

16.72727273

No Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY


6.342731477 0 1.8 1.8

14.51993456 0 1.8 1.8

26.045055 3 1.8 0.8

45.74737853 6 1.8 9.8

327.2485103 0 1.8 1.8

16

No Se Ajusta

100

ESTACION CHANCOS


8.087793389 0 5 5

18.51477257 0 5 5

33.21077432 10 5 5

58.33375525 14 5 16.2

417.2836809 1 5 3.2

34.4

No Se Ajusta

ESTACION LLANGANU

CO


1.466292215 0 5.6 5.6

3.356671661 0 5.6 5.6

6.021011848 14 5.6 12.6

10.57573148 14 5.6 12.6

75.65225558 0 5.6 5.6

42

No Se Ajusta

ESTACION PARON


0.652405627 0 5.4 5.4

1.493502768 0 5.4 5.4

2.678962606 9 5.4 2.4

4.705519585 18 5.4 29.4

33.66038282 0 5.4 5.4

48

No Se Ajusta

ESTACION COLCAS


4.773619083 0 5.4 5.4

10.92788446 0 5.4 5.4

19.60183432 14 5.4 13.6962963

34.43004956 12 5.4 8.066666667

246.291324 1 5.4 3.585185185

36.14814815

No Se Ajusta

ESTACION

102

LOS CEDROS


2.595242148 0 5.4 5.4

5.941091199 2 5.4 2.140740741

10.65680058 10 5.4 3.918518519

18.71835901 13 5.4 10.6962963

133.8995872 2 5.4 2.140740741

24.2962963

No Se Ajusta

ESTACION LA BALSA


117.5868676 0 5.2 5.2

269.182706 3 5.2 0.930769231

482.8450399 8 5.2 1.507692308

848.1032122 14 5.2 14.89230769

6066.806923 1 5.2 3.392307692

25.92307692

No Se Ajusta

ESTACION QUITARACS

A


12.63018248 0 5.2 5.2

28.91331972 0 5.2 5.2

51.86311268 9 5.2 2.776923077

91.09604289 17 5.2 26.77692308

651.6448655 0 5.2 5.2

45.15384615

No Se Ajusta

ESTACION MANTA


12.38290509 0 2 2

28.34724634 1 2 0.5

50.84772158 3 2 0.5

89.31253807 5 2 4.5

638.8867728 1 2 0.5

8

No Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR

A


104

55.41398191 0 3.6 3.6

126.8550299 5 3.6 0.544444444

227.5455317 3 3.6 0.1

399.6770816 8 3.6 5.377777778

2859.043157 2 3.6 0.711111111

10.33333333

No Se Ajusta

ESTACION CONDORCE

RRO


194.3038412 0 2.8 2.8

444.8050606 2 2.8 0.228571429

797.8666997 3 2.8 0.014285714

1401.429558 9 2.8 13.72857143

10024.96208 0 2.8 2.8

19.57142857

No Se Ajusta

CUADRO N A-4


MODELO PROBABILISTICO GAMMA

α =0.05

G.L. =2.00

Xt2 = 5.99

ESTACION RECRETA


25.71429088 6 5.8 0.006896552

26.22842391 7 5.8 0.248275862

26.8496643 1 5.8 3.972413793

32.94806783 5 5.8 0.110344828

105.9328207 10 5.8 3.04137931

7.379310345

No Se Ajusta

ESTACION PACHACOT

O


106

20.90905641 5 5.6 0.064285714

22.10683507 2 5.6 2.314285714

23.03435821 1 5.6 3.778571429

30.12185304 11 5.6 5.207142857

92.14193759 9 5.6 2.064285714

13.42857143

No Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC

HA


5.952802895 5 5.8 0.110344828

6.918740503 7 5.8 0.248275862

7.826806082 3 5.8 1.351724138

8.971805236 7 5.8 0.248275862

17.70067032 7 5.8 0.248275862

2.206896552

Se Ajusta

ESTACION OLLEROS


26.58961168 2 2.2 0.018181818

31.03916332 2 2.2 0.018181818

35.23135177 2 2.2 0.018181818

40.51776158 2 2.2 0.018181818

80.50755355 3 2.2 0.290909091

0.363636364

Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY


21.88841378 2 1.8 0.022222222

25.75760562 0 1.8 1.8

29.42944571 3 1.8 0.8

34.10089783 2 1.8 0.022222222

70.70180301 2 1.8 0.022222222

2.666666667

Se Ajusta

ESTACION CHANCOS


27.21315742 3 5 0.8

32.30551671 7 5 0.8

37.15047832 6 5 0.2

43.32665172 3 5 0.8

91.96629311 6 5 0.2

2.8

Se Ajusta

ESTACION LLANGANU

CO

108


5.091514867 4 5.6 0.457142857

5.939004658 9 5.6 2.064285714

6.7378552 5 5.6 0.064285714

7.747831772 3 5.6 1.207142857

15.5144643 7 5.6 0.35

4.142857143

Se Ajusta

ESTACION PARON


2.313463073 3 5.4 1.066666667

2.637828711 6 5.4 0.066666667

2.939383882 6 5.4 0.066666667

3.315374601 6 5.4 0.066666667

6.074063894 6 5.4 0.066666667

1.333333333

Se Ajusta

ESTACION COLCAS


13.71825423 2 5.4 2.140740741

17.36771032 8 5.4 1.251851852

20.93679746 4 5.4 0.362962963

25.5655353 5 5.4 0.02962963

63.41970824 8 5.4 1.251851852

5.037037037

Se Ajusta

ESTACION LOS

CEDROS


6.435702455 2 5.4 2.140740741

8.623759406 5 5.4 0.02962963

10.84745019 5 5.4 0.02962963

13.73894199 8 5.4 1.251851852

37.66283465 7 5.4 0.474074074

3.925925926

Se Ajusta

ESTACION LA BALSA


310.3071814 4 5.2 0.276923077

416.6999581 5 5.2 0.007692308

523.1480643 2 5.2 1.969230769

110

664.4285897 9 5.2 2.776923077

1906.035619 6 5.2 0.123076923

5.153846154

Se Ajusta

ESTACION QUITARACS

A


43.17981873 6 5.2 0.123076923

50.8950723 3 5.2 0.930769231

58.21091102 3 5.2 0.930769231

67.51026265 9 5.2 2.776923077

140.1707646 5 5.2 0.007692308

4.769230769

Se Ajusta

ESTACION MANTA


32.64508128 1 2 0.5

43.83368788 3 2 0.5

55.03491312 1 2 0.5

69.90871242 2 2 0

200.7225357 3 2 0.5

2

Se Ajusta

ESTACION CHUQUICAR

A


93.59187717 1 3.6 1.877777778

160.4650245 4 3.6 0.044444444

231.0088766 4 3.6 0.044444444

327.526576 5 3.6 0.544444444

1262.252941 4 3.6 0.044444444

2.555555556

Se Ajusta

ESTACION CONDORCE

RRO


551.8977352 3 2.8 0.014285714

716.3326957 1 2.8 1.157142857

879.2314664 1 2.8 1.157142857

1094.091602 4 2.8 0.514285714

2952.45035 5 2.8 1.728571429

112

4.571428571

Se Ajusta

CUADRO N A-5


MODELO PROBABILISTICO PEARSON III

α =0.05

G.L. =1.00

Xt2 = 3.84

ESTACION RECRETA


16.30623397 4 5.8 0.55862069

23.20646626 7 5.8 0.248275862

35.40964108 9 5.8 1.765517241

36.69763508 0 5.8 5.8

90.15304202 9 5.8 1.765517241

10.13793103

No Se Ajusta

ESTACION PACHACOT

O


18.69178554 5 5.6 0.064285714

22.98386249 2 5.6 2.314285714

27.78377281 12 5.6 7.314285714

34.81680663 3 5.6 1.207142857

113.340605 6 5.6 0.028571429

10.92857143

No Se Ajusta

ESTACION QUEROCOC

HA


114

ESTACION OLLEROS


27.704428 2 2.2 0.018181818

32.48548324 3 2.2 0.290909091

36.31659651 1 2.2 0.654545455

41.44118777 2 2.2 0.018181818

78.60842087 3 2.2 0.290909091

1.272727273

Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY


ESTACION CHANCOS


27.23611025 3 5 0.8

32.00690742 6 5 0.2

36.79625233 6 5 0.2

43.19221486 4 5 0.2

115.5531298 6 5 0.2

1.6

Se Ajusta

ESTACION LLANGANU

CO


4.939519092 4 5.6 0.457142857

5.788900692 4 5.6 0.457142857

6.597255743 9 5.6 2.064285714

7.626441032 4 5.6 0.457142857

15.66807099 7 5.6 0.35

3.785714286

Se Ajusta

ESTACION PARON


1.961508937 1 5.4 3.585185185

1.997789196 0 5.4 5.4

2.114513401 0 5.4 5.4

116

2.4151863 6 5.4 0.066666667

6.089197538 20 5.4 39.47407407

53.92592593

No Se Ajusta

ESTACION COLCAS


13.55742029 1 5.4 3.585185185

17.15763652 8 5.4 1.251851852

20.74042862 5 5.4 0.02962963

25.44450185 5 5.4 0.02962963

65.15324932 8 5.4 1.251851852

6.148148148

No Se Ajusta

ESTACION LOS

CEDROS


8.023154413 4 5.4 0.362962963

10.11900604 7 5.4 0.474074074

12.16983185 7 5.4 0.474074074

14.85016903 1 5.4 3.585185185

37.47508417 8 5.4 1.251851852

6.148148148

No Se Ajusta

ESTACION LA BALSA


301.5784343 4 5.2 0.276923077

412.4213299 5 5.2 0.007692308

519.9321215 2 5.2 1.969230769

658.776283 9 5.2 2.776923077

1784.198932 6 5.2 0.123076923

5.153846154

No Se Ajusta

ESTACION QUITARACS

A


118

ESTACION MANTA


ESTACION CHUQUICAR

A


83.77841678 0 3.6 3.6

152.0414622 5 3.6 0.544444444

224.7637133 3 3.6 0.1

323.1265633 6 3.6 1.6

1254.540422 4 3.6 0.044444444

5.888888889

No Se Ajusta

ESTACION CONDORCE

RRO


391.3246398 1 2.8 1.157142857

1081.288791 8 2.8 9.657142857

1104.894126 0 2.8 2.800000000

1257.563752 3 2.8 0.014285714

1525.245715 2 2.8 0.228571429

13.85714286

No Se Ajusta

120

CUADRO N A-6


MODELO PROBABILISTICO DE GUMBEL

α = 0.05

G.L. = 2.00

Xt2 = 5.99

ESTACION RECRETA


18.39444944 5 5.8 0.110344828

23.64904227 7 5.8 0.248275862

29.09951498 6 5.8 0.006896552

36.82518749 2 5.8 2.489655172

130.2274989 9 5.8 1.765517241

4.620689655

Se Ajusta

ESTACION PACHACO

TO


20.06254228 5 5.6 0.064285714

24.46140757 8 5.6 1.028571429

29.02425307 6 5.6 0.028571429

35.49177468 4 5.6 0.457142857

113.6832159 5 5.6 0.064285714

1.642857143

Se Ajusta

ESTACION QUEROCO

CHA


6.209866889 5 5.8 0.110344828

6.995910354 8 5.8 0.834482759

7.811255823 2 5.8 2.489655172

8.966952295 6 5.8 0.006896552

22.93916268 8 5.8 0.834482759

4.275862069

Se Ajusta

ESTACION OLLEROS


28.70260228 2 2.2 0.018181818

32.28119105 3 2.2 0.290909091

35.9931819 1 2.2 0.654545455

41.25467519 2 2.2 0.018181818

122

104.865401 3 2.2 0.290909091

1.272727273

Se Ajusta

ESTACION QUILLCAY


22.42418515 2 1.8 0.022222222

25.63463305 0 1.8 1.8

28.96475952 2 1.8 0.022222222

33.68498617 3 1.8 0.8

90.75187307 2 1.8 0.022222222

2.666666667

Se Ajusta

ESTACION CHANCOS


28.37067651 4 5 0.2

32.58373831 6 5 0.2

36.95385396 5 5 0

43.14819419 4 5 0.2

118.0369102 6 5 0.2

0.8

Se Ajusta

ESTACION LLANGAN

UCO


5.273838451 4 5.6 0.457142857

5.967924937 9 5.6 2.064285714

6.687885469 5 5.6 0.064285714

7.708380313 3 5.6 1.207142857

20.04602173 7 5.6 0.35

4.142857143

Se Ajusta

ESTACION PARON


2.442886991 7 5.4 0.474074074

2.700148708 2 5.4 2.140740741

2.967000586 7 5.4 0.474074074

3.345244883 5 5.4 0.02962963

7.918166088 6 5.4 0.066666667

3.185185185

Se Ajusta

ESTACION COLCAS


15.75425939 7 5.4 0.474074074

18.77105818 6 5.4 0.066666667

21.90031672 1 5.4 3.585185185

124

26.33582681 6 5.4 0.066666667

79.96052987 7 5.4 0.474074074

4.666666667

Se Ajusta

ESTACION LOS

CEDROS


8.244351744 4 5.4 0.362962963

10.05604618 7 5.4 0.474074074

11.93527668 6 5.4 0.066666667

14.59895746 4 5.4 0.362962963

46.80248942 6 5.4 0.066666667

1.333333333

Se Ajusta

ESTACION LA BALSA


355.8904724 5 5.2 0.007692308

447.4194265 5 5.2 0.007692308

542.3603826 4 5.2 0.276923077

676.9326983 6 5.2 0.123076923

2303.89337 6 5.2 0.123076923

0.538461538

Se Ajusta

ESTACION QUITARAC

SA


44.70034523 6 5.2 0.123076923

51.06789106 3 5.2 0.930769231

57.67280525 3 5.2 0.930769231

67.03481966 9 5.2 2.776923077

180.2202782 5 5.2 0.007692308

4.769230769

Se Ajusta

ESTACION MANTA


37.47019702 2 2 0

47.11332528 2 2 0

57.11592856 1 2 0.5

71.29393499 2 2 0

242.7040705 3 2 0.5

1

Se Ajusta

126

ESTACION CHUQUICA

RA


137.9728359 5 3.6 0.544444444

197.0213886 3 3.6 0.1

258.271144 1 3.6 1.877777778

345.0884856 6 3.6 1.6

1394.69813 3 3.6 0.1

4.222222222

Se Ajusta

ESTACION CONDORC

ERRO


606.3733964 4 2.8 0.514285714

747.8323237 1 2.8 1.157142857

894.5645347 1 2.8 1.157142857

1102.547414 3 2.8 0.014285714

3617.031642 5 2.8 1.728571429

4.571428571

Se Ajusta

estadistica + diaz

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