estadistica general

CURSO: ESTADISTICA GENERAL

LIC. MARTIN SATZ TOL ZARAGOZA, CHIMALTENANGO 2010

ESTADISTICA GENERAL

AUTOR.

Lic. MARTIN SATZ TOL



OBJETIVOS GENERALES

Al finalizar el curso, el estudiante de la universidad estar en la capacidad de:

1. Valorar la importancia de la estadstica, por su aplicabilidad, en todos los

aspectos de la vida.

2. Emplear tcnicas de estudio y de investigacin en trabajos especficos,

promoviendo as la investigacin cientfica con base en la estadstica.

3. Utilizar los principios y conocimientos estadsticos en la solucin de problemas

comerciales y cientficos.

4. Generar soluciones creativas para los distintos problemas nacionales que se le

presenten.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Al finalizar el curso el estudiante estar en la capacidad de:

1. Aplicar las etapas de la investigacin estadstica en la solucin de problemas

cotidianos.

2. Tabular con eficiencia una serie de datos simples y agrupados.

3. Elaborar e interpretar con eficiencia cualquier grfica que se le solicite.

4. Calcular e interpretar cualquier medida de tendencia central y des dispersin en

datos agrupados y sin agrupar.

5. Diferenciar una curva de otra, por su grado de agudez.

6. Utilizar el concepto de correlacin, su uso y resolver problemas mediante la

regresin,

7. Conocer, analizar y resolver problemas relativos a la teora de probabilidades.



PROGRAMA DE ESTUDIOS

UNVIERSIDAD GALILEO

FACULTAD DE EDUCACIN

ZARAGOZA, CHIMALTENANGO


LIC. MARTIN SATZ TOL

JUSTIFICACIN

Es importante reconocer el valioso aporte que la estadstica fundamental ofrece a

la investigacin cientfica, es por ello que el estudiante de cualquier carrera universitaria

debe incluir el inicio de su formacin profesional el estudio de los principios de la

estadstica fundamental. Durante el proceso de Aprendizaje-Enseanza de estadstica

descriptiva, el/la estudiante desarrollar la capacidad para plantear y resolver

problemas relacionados con la estadstica as como la interpretacin adecuada de los

enunciados y los resultados de los conceptos mas importantes por lo que se hace

nfasis en el manejo de la tecnologa a travs de paquetes estadsticos y su aplicacin

en investigaciones relacionados con el campo de la educacin

DESCRIPCION DEL CURSO

Este curso se apoya en la matemtica y es parte del lgebra con el fin de que

los y las estudiantes valoren el papel de la estadstica descriptiva reconociendo su

naturaleza multidisciplinaria y social, as como su utilidad en la labor docente.

Se orienta hacia la utilizacin de tcnicas elementales de recoleccin y

ordenamiento de datos para obtener informacin sobre fenmenos y situaciones de su

entorno, representarlos en forma grfica as como el anlisis de las distribuciones de

frecuencias y las medidas asociadas de tendencia central, dispersin, sesgo y curtosis.



COMPETENCIA INDICADORES DE LOGRO CONTENIDOS

1 Utiliza la informacin obtenida por medio de la aplicacin de diferentes procedimientos estadsticos descriptivos en la toma de decisiones.

1.1 Aplica los conceptos bsicos de la estadstica para tomar decisiones respecto a la recoleccin de informacin en su contexto o entorno. 1.2 Interpreta distintos tipos de grficos, cuadros y tablas

1.1.1 Definicin de estadstica, conceptos bsicos, poblacin, muestra, variables, censo, etc 1.1.2 Identificacin de conceptos bsicos en situaciones donde se aplica la estadstica (encuestas, peridicos, tesis, investigaciones, etc). 1.1.3 Identificacin de procedimientos adecuados para la recoleccin de informacin: Encuesta, entrevista, observacin, cuestionario, entre otras. 1.1.4 Elaboracin de instrumentos para recoleccin de informacin. 1.1.5 Recoleccin de informacin por medio de un instrumento. 1.2.1 Tabulacin de los resultados: distribucin de frecuencias para datos no agrupados y datos agrupados. 1.2.2 Elaboracin de tablas y cuadros para la presentacin de resultados estadsticos.



1.3 Aplica las medidas de tendencia central, dispersin y posicin, con la intencin de analizar un fenmeno estudiado para la interpretacin completa y de mayor validez.

1.2.3 Elaboracin de grficas: Barras, circular, columnas lineales, polgonos etc. 1.2.4 Elaboracin de diagramas, rbol de problemas etc. 1.2.5 Construccin de histogramas para frecuencia simple y frecuencias acumulada. 1.3.1 Seleccin de los procedimientos adecuados para la solucin de los diferentes problemas estadsticos. 1.3.2 Clculo de las diferentes medidas de tendencia central: MEDIA, MEDIANA, MODA,. 1.3.3 Clculo de las diferentes medidas de dispersin, rango, varianza y DESVIACIN ESTANDAR. 1.3.4 Clculo de las diferentes medidas e posicin, cuartil, decil y percentil. 1.3.5 Demostracin de tica y responsabilidad en el manejo de la informacin estadstica.

2. Interpreta la informacin estadstica de diferentes fuentes.

2.1 Utiliza diferentes mtodos para la interpretacin de resultados estadsticos.

2.1.1 Anlisis de los resultados de estadstica descriptiva.



2.2 Utiliza la informacin estadstica de diferentes fuentes para enriquecer su labor docente

2.1.2 Interpretacin de medidas de asimetra: sesgo de una distribucin, a la derecha y a la izquierda. 2.2.1 Lectura de cuadros, tablas, base o consolidados y censos elaborados por distintas entidades, INE, ONGS, MINEDUC ETC. 2.2.2 Anlisis crtico de la informacin estadstico de diferentes fuentes.

3. Utiliza la tecnologa existente en el anlisis estadstico

3.1 Selecciona la tecnologa adecuada para la elaboracin de estadsticas

3.1.1 Uso de Software para la elaboracin de cuadros, diagramas, grficos y tablas. 3.1.2 Elaboracin de estadstica descriptiva usando la tecnologa

EVALUACIN

4 Tareas a 5 puntos c/u 20 puntos

2 Parciales de 20 pts c/u 40 puntos

1 trabajo de investigacin comparativa 20 pts

Evaluacin final 20 puntos

TOTAL 100 PUNTOS



BIBLIOGRAFIA SUGERIDA

BERENSON, MARK Estadistica para la Administracin, editorial Prentice Hall.

LEVIN JACK. Fundamentos de estadstica en la investigacin social, edit Harla,

S.A, Mxico DF 1979.

DANIEL WAYNE W. Estadstica con aplicaciones a las ciencias sociales y la

Educacin, Mxico, Mc. Graw Hill, 1984

GUILFOD, JP FRUTCHER B. Estadstica aplicada. Edit Mc Graw Hill, Mxico DF 1984

BERNARDO OSTLE. Estadstica aplicada, tcnicas de la estadstica moderna cuando

y donde aplicarlas, centro regional de ayuda tcnica, AID Mxico 1965.

WALPOLE, RONAL E. Y MYERS RAYMOND H. Probabilidad y estadstica. Mxico D.F

Editorial McGraw/Interamericana de Mxico.



CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Entrega de trabajos y evaluaciones

TAREAS ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO

FECHAS DE ENTREGA

16 23

30 6 13 20 27 6 13 20 27 3 10 17 24 1 8 15 22 29 5 12

CLASE

INAUGURAL

TAREA 1

TAREA 2

TAREA 3

PARCIAL 1

TAREA 4

PARCIAL 2

ENTREGA DE

INVESTIGACI

N

PRUEBA

FINAL

Nota: no se aceptan trabajos fuera de tiempo ya que para eso, todo esta

calendarizado.



TEMATICA GENERAL DEL CURSO

Temtica I

1. Introduccin, generalidades, conceptualizacin bsica. 2. Razones por las que el investigador social emplea la estadstica. 3. Naturaleza de la investigacin educativa. 4. Por qu probar hiptesis. 5. las Etapas de una investigacin social o educativa. 6. Funciones de la estadstica 7. El uso de series nmeros en la investigacin

Temtica II

1 Organizacin de datos 2 Distribucin de frecuencias nominales 3 Comparacin de las distribuciones 4 Distribucin de frecuencias agrupadas de datos por intervalos 5 Distribuciones acumuladas 6 Rango percentil

Temtica III

1. Grficas de sectores 2. grfica de barras 3. polgono de frecuencia 4. construccin de barra y polgonos de frecuencia 5. la forma de una distribucin de frecuencia

Temtica IV

1 Medidas de tendencia central 2 Media Aritmtica 3 Mediana 4 Moda 5 Comparaciones entre ellas y la media de una distribucin de frecuencia

agrupada.



Temtica V

1. Medidas de dispersin o variabilidad

2. Rango

3. La desviacin media

4. La distribucin Estndar

Comparacin entre el rango, la desviacin media y la desviacin estndar

Clculo de rango.



1

Evolucin, concepto y aplicacin de la

estadstica

1.1 EVOLUCIN HISTRICA

La primera etapa de la estadstica nace, por la necesidad de hacer ciertos recuentos

de las riquezas que se posean o de los hombres que se tenan a la mano para

cualquier actividad de conquista o conservacin de los bienes.

Desde los comienzos de la civilizacin han existido formas sencillas de estadstica,

pues ya se utilizaban representaciones grficas y otros smbolos en pieles, rocas, palos

de madera y paredes de cuevas para contar el nmero de personas, animales o cosas.

Hacia el ao 3000 a.C. los babilonios usaban pequeas tablillas de arcilla para recopilar

datos sobre la produccin agrcola y sobre los gneros vendidos o cambiados mediante

trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las pirmides, los egipcios

analizaban los datos de la poblacin y la renta del pas. Los libros bblicos de Nmeros

y Crnicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadstica. El primero contiene dos

censos de la poblacin de Israel y el segundo describe el bienestar material de las

diversas tribus judas. En China existan registros numricos similares con anterioridad

al ao 2000 a.C. Los griegos clsicos realizaban censos cuya informacin se utilizaba

hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopil una gran cantidad de datos

sobre la poblacin, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la

edad media slo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa.



Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios

minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los aos 758 y 762 respectivamente.

Despus de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de

Inglaterra encarg la realizacin de un censo. La informacin obtenida con este censo,

llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y

defunciones comenz en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareci el

primer estudio estadstico notable de poblacin, titulado Observations on the London

Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defuncin en Londres).

Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania,

realizado en 1691, fue utilizado por el astrnomo ingls Edmund Halley como base para

la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalizacin del mtodo

cientfico para estudiar todos los fenmenos de las ciencias naturales y sociales, los

investigadores aceptaron la necesidad de reducir la informacin a valores numricos

para evitar la ambigedad de las descripciones verbales.

En nuestros das, la estadstica se ha convertido en un mtodo efectivo para

describir con exactitud los valores de datos econmicos, polticos, sociales,

psicolgicos, biolgicos o fsicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar

dichos datos. El trabajo del experto estadstico no consiste ya slo en reunir y tabular

los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretacin de esa informacin.

1.2 LA ESTADISTICA EN GUATEMALA

El nico testimonio de actividad estadstica que se encuentra Registrado en

Guatemala es el censo levantado por las autoridades eclesisticas en 1778, quienes lo

hicieron fue con fines religiosos y tributarios.

A partir de la independencia como consecuencia de ideas liberales procedentes

de Europa, Jos Cecilio del Valle, aparece como el primer intelectual preocupado por la

estructuracin de la estadstica en el istmo. Se nota primordialmente al publicar sus

escritos y uno de ellos el Semanario El amigo de la patria 1820 22 bajo el ttulo, La

estadstica Plataforma del enaltecimiento Social.



Pero el 15 de noviembre de 1823, se promulgo una ley sobre la manera de

formar la estadstica de las provincias unidas de Centroamrica.

EL 19 de mayo de 1824, se emiti el primer decreto que ordenaba los censos de

poblacin y al amparo de esta ley se ordena el levantamiento por decreto, los censos

de poblacin. Y el 13 de julio de 1825 se emite el acuerdo designando la primera

comisin nacional de estadstica.

En 1879, durante la administracin del General Justo Rufino Barrios, se fund la

primera seccin de estadstica (1880) que tuvo a su cargo el levantamiento del primer

censo oficial de poblacin de la repblica (segundo cronolgicamente).

En agosto de 1886 la seccin de estadstica se eleva a categora de Direccin

General de estadstica, quin en 1893 levant el tercer censo de poblacin general.

El 16 de marzo de 1936, por decreto No 1797, la Direccin General de

estadstica es adscrita al Ministerio de Hacienda y Crdito pblico, donde el 18 de mayo

del mismo ao, se promulg una ley de estadstica que estuvo en vigencia hasta 1955.

En diciembre de 1944 la Direccin General de Estadstica pas a la jurisdiccin

del Ministerio de Economa y Trabajo, creado por la junta Revolucionaria de Gobierno.

A partir de 1985, la Direccin General de Estadstica se convierte en el Instituto

Nacional de Estadstica (INE) . Mediante el decreto legislativo No. 385 ley de

estadstica, de fecha 15 de enero de 1985.1

1.3 CONCEPTO Y DEFINICIN

CONCEPTO: del latn STATUS que significa estado.

DEFINICIONES

Estadstica, rama de las matemticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numricos y que ayuda a resolver problemas como el diseo de experimentos y la toma de decisiones.

Es una ciencia que tiene por objeto la recoleccin, clasificacin y presentacin de los hechos, sujetos a una apreciacin numrica, con el fin de describir, explicar y comparar un fenmeno.

Es una ciencia que estudia los fenmenos colectivos, mediante la observacin numrica, el anlisis matemtico y la interpretacin lgica, investigando especialmente sus causas y sus leyes.

1 Fuente consultada para historia de la estadstica en Guatemala, los apuntes de Lic. Ren Arturo Orellana, (INE)



Es la metodologa para la recoleccin, anlisis, interpretacin, y extraccin de conclusiones de la informacin numrica.

Es la ciencia de la recopilacin, clasificacin, procesamiento, presentacin e interpretacin de datos.



2

CONCEPTOS BSICOS

1 tarea individual

investigar los siguientes conceptos. Valor 3 puntos

Poblacin

Muestra

Clases de muestra

Caractersticas de una muestra

Variables

Atributo.

Hiptesis

Tipos de hiptesis

Razones

Mtodo

Tcnica

Valor cualitativo

Valor cuantitativo.

Mtodo estadstico

2.1 POBLACIN

Se le da este nombre al conjunto de elementos con caractersticas comunes que

se incluyen en el estudio estadstico. Los elementos pueden ser personas, animales,

plantas u objetos. Las caractersticas pueden ser la edad, el sexo, la produccin, la

resistencia al calor, la reproduccin, adaptacin a un lugar, hbitos alimenticios, etc.

2.2 MUESTRA:

Se le denomina as a la seleccin de la variacin de una caracterstica

determinada en funcin de la muestra escogida. Estas pueden ser aleatorias o no

aleatorias



CLASES DE MUESTRAS

a) Muestra sacada al azar.

b) Muestra estratificada.

c) Muestra sacada intencionalmente.

CARACTERISTICAS DE UNA MUESTRAS

a) Que sea representativa.

b) Que tenga un tamao idneo.

c) Que intervenga al azar.

EJEMPLOS:

1. Si se fabrican 80,000 unidades de un producto Y

a) La poblacin, la constituyen las 80,000 unidades.

b) Una muestra mnima sera una cantidad de 350 unidades, que

deben ser tomadas al azar.

2. Varias veces al da un Ingeniero industrial, de control de calidad, en

una fabrica de textiles, selecciona diferentes muestras de yardas

cuadradas de tela, las examina y registra el nmero de imperfecciones

que encuentra.

a) La poblacin es: el total de yardas cuadradas producidas por la

fbrica de textiles en un da.

b) La muestra es: el total de yardas empleadas en la inspeccin.

c) La unidad de observacin es: cada una de las yardas

seleccionadas para la observacin.

d) La medicin es: Cuantitativa.



2.3 FENMENOS QUE ESTUDIA LA ESTADSTICA

El crecimiento de la poblacin

Edad promedio de vida de los seres segn condiciones.

Muertes a causa de enfermedades.

Probabilidad se supervivencia en los seres.

Problemas econmicos de una nacin, institucin o empresa.

Porcentaje de ventas por trabajadores.

Cantidad de poblacin atendida en educacin.

Condiciones habitacionales.

Aceptacin que puede tener un producto en el mercado.

TAREA INDIVIDUAL 2

Instrucciones:

Con lo expuesto anteriormente elabore un perfil de investigacin tomando en cuenta los

pasos sugeridos para investigar, (seleccin del tema a investigar, seleccin de la

muestra, tipo de mtodo a utilizar, tcnicas a utilizar y recursos a utilizar, no se le olvide

elaborar su cronograma de investigacin



3

ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y ESTADISTICA

INFERENCIAL

3.1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Llamada tambin DEDUCTIVA, es la parte de la estadstica qu analiza, estudia

y describe a la totalidad de individuos de una poblacin.

Su finalidad es obtener informacin, analizarla, elaborarla y simplificarla lo

necesario para que pueda ser interpretada cmoda y rpidamente y, por tanto, pueda

utilizarse eficazmente para el fin que se desee.

El proceso que sigue la estadstica descriptiva para el estudio de una cierta

poblacin consta de los siguientes pasos:

Seleccin de caracteres dignos de ser estudiados.

Mediante encuesta o medicin, se obtiene el valor de cada individuo en los caracteres

seleccionados.

Elaboracin de tablas de frecuencias, mediante la adecuada clasificacin de los

individuos dentro de cada carcter.

Representacin grfica de los resultados (elaboracin de grficas estadsticas).

Obtencin de parmetros estadsticos, nmeros que sintetizan los aspectos ms

relevantes de una distribucin estadstica.



3.2 ESTADISTICA INFERENCIAL

Llamada tambin estadstica INDUCTIVA es la parte de los mtodos estadsticos

que ayuda a conocer algn aspecto de la poblacin mediante el conocimiento de ciertos

aspectos de la muestra.

La estadstica descriptiva trabaja con todos los individuos de la poblacin. La

estadstica inferencial, sin embargo, trabaja con muestras, subconjuntos formados por

algunos individuos de la poblacin. A partir del estudio de la muestra se pretende inferir

aspectos relevantes de toda la poblacin. Cmo se selecciona la muestra, cmo se

realiza la inferencia, y qu grado de confianza se puede tener en ella son aspectos

fundamentales de la estadstica inferencial, para cuyo estudio se requiere un alto nivel

de conocimientos de estadstica, probabilidad y matemticas.

Los aspectos que generalmente deseamos conocer de una poblacin son: la

estimacin de un promedio o de un porcentaje, o la prueba de hiptesis. La estimacin

y la prueba de hiptesis son dos partes importantes de la estadstica inferencial. Los

procedimientos o porcentajes, que se desean conocer de una poblacin se llaman

parmetros; estos se calcularn con los datos de la muestra y se llaman estadsticos.



4

MTODO ESTADISTICO

mtodo. (Del lat. methdus, y este del griego. ). Camino a seguir m.

Modo de decir o hacer con orden algo.

El objetivo de la estadstica es hacer inferencias (predicciones, decisiones),

acerca de una poblacin, sobre la base de la informacin obtenida de una muestra.

En una investigacin estadstica, podemos definir las siguientes etapas:

1. PLANIFICACION

Nos vamos a plantear QU ES LO QUE VA A HACERSE, lo que nos conducir a

la investigacin o reafirmacin del problema que nos interesa. Si sabemos

claramente, qu es lo que vamos a hacer, tenemos que saber EL POR QU LO

VAMOS HACER? Esto debe estar de acuerdo con el equipo humano y recursos

materiales que tengamos disponibles. Debemos definir el DNDE, CUNDO,

QUINES Y CUNDO se har la INVESTIGACIN.

2. SELECCIN DE LA MUESTRA

El segundo elemento de un problema estadstico es decir cmo se va a

seleccionar la muestra, a esto se le conoce tambin con el nombre de diseo del

experimento o procedimiento de muestreo.

3. OBTENCIN DE LA INFORMACIN

La obtencin de la informacin, debe ser lo ms significativa posible, y debe ser

sobre lo que realmente investigamos. Para ello podemos utilizar: Cuestionarios,

censos, entrevistas, encuestas.



TAREA NUMERO 3

INVESTIGAR valor 3 puntos

1 Qu es el cuestionario? Sus caractersticas y tipos.

2. Qu es el censo

3. Qu es la encuesta.

4. Qu es una entrevista, tipos, ventajas y desventajas, caractersticas

4. ANLISIS O DEPURACIN DE LOS DATOS

Se debe revisar las boletas obtenidas en la investigacin para determinar si los

datos que se han obtenido se ajustan a la verdad y a la exactitud

5. ORDENACIN, CLASIFICACIN, TABULACIN Y REPRESENTACIN DE

LOS DATOS.

Despus de depurar los datos se procede a ordenarlos y clasificarlos, segn

determinadas caractersticas (sexo, edad, sueldo) enseguida se tabulan los

datos y despus se presentan, por medio de cuadros y grficas (barras, sectores,

polgonos, histogramas, pictogramas etc.)

6. CLCULO ESTADISTICO

Se deben hallar los valores o medidas que representan el conjunto de datos

obtenidos del fenmeno investigado (media, mediana, moda )

7. INFERENCIA ESTADISTICA

Este elemento debe responder a cun buena es la inferencia? para ilustrar.

cunta confianza puede usted poner en esta estimacin?

8. INTERPRETACIN DE LOS RESULTADOS

Esto debe hacerlo un especialista en forma especial el que haya cursado la

ESTADISTICA INFERENCIAL.



EJERCICIO NUMERO 4

MATEMTICA BSICA PARA LA ESTADISTICA

a) Redondeo de datos.

1) 98.6 aproximar a unidades.

2) 175.56 aproximar a dcimas.

3) 3,468 aproximar a centenas.

4) 4,6007 aproximar a unidades.

5) 68,967 aproximar a centsimas

b) Expresar en potencia de 10

1) 0.00869.

2) 0.000896.

3) 9678.96

4) 6897654

5) 0.8976

c) Pasar al sistema decimal

1) 4.56 x 10

2) 3.0456 x 10

3) 1.345 x 10 5

4) 8.67 x 10 -4.678 x 10

5) (5.8 x 10) / (4.8 x 10)

6) (4.63 x 10) (8.9 X 10)

5.467 x 10

d) Resuelve las siguiente operaciones

1) 45.5 + ( 45 -34)9 7

2) 67.5 + (456 + 4 98) 30 8

e) Represente grficamente las siguientes funciones

1) F(x) = x + 2

2) F(x) = 3x -1

3) F(x) = 3 + x

4) F(x) = x

5) F(x) = x + 2



5

EL PROCESO ESTADISTICO

Siendo la estadstica la ciencia que estudia los fenmenos colectivos con la

ayuda numrica, necesita por ello emplear mtodos, tcnicas y procedimientos que

garantice la confiabilidad y cientificidad de lo investigado.

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Una distribucin o tabla de frecuencias es una forma que el estadgrafo usa para

organizar y resumir sus datos. Por lo que podemos construir una tabla de frecuencias

con datos cualitativos o cuantitativos, pero ambos estarn agrupados en varias clases a

saber:

CRONOLGICA

CUALITATIVA

GEOGRFICA

CUANTITATIVA

EJEMPLOS:

Cronolgica

AOS INGRESOS

2005 12,000

2006 15,000

2007 25,000



Cualitativa

Estado Civil No de mujeres

solteras 54

casadas 80

divorciadas 20

Viudas 05

Clasificacin geogrfica

pas Ubicacin

El Salvador Centro Amrica

Argentina Sur Amrica

Espaa Europa

Israel Medio Oriente

Cuantitativa

Salarios No. De Empleados

2,000 a 2,500 08

2.500 a 3,000 10

3,000 a 3,500 20

3,500 a 4,000 05



AMPLITUD O INTERVALO DE CLASE

Cada clase o intervalo, debe poseer un tamao o amplitud. Para esto debemos

identificar las mediciones mayores o menores, encontrar su diferencia y dividirla entre el

nmero de clases que consideramos podemos tener.

FORMULA: AMPLITUD = (Xs Xi)

Nmero de clase deseado

No existe regla que determine la cantidad de intervalo que deben formar una serie de

datos, pero se aconseja que no pase de 20 ni sea menor de 5)

Ejemplo: Construir una tabla de frecuencias para los datos sobre las velocidades en

Km/h de varios ciclistas

TABLA 1

Lo primero que debemos hacer es identificar la cantidad mayor y la menor

Amplitud= 110 60 = 10

5

La distribucin de nuestros datos quedar de la siguiente manera:

Invervalo de clase (X)

Conteo (utilizar tarjado)

Frecuencia (f)

60 69 70 79 80 89 90 99

100 109 110 119

///// //////

////////////// ////////

/ /

5 6 14 8 1 1

90 62 85 92 75 80 82 95 85 84 70 80 60 90 91 76 88 94 95 70 80 85 60 76 68 95 82 110 74 88 64 100 82 80 85



OBSERVACIONES A TOMAR EN CUENTA

Cada clase esta determinado por dos nmeros llamados lmites aparentes el

menor 60 y el aparente superior 69

La distancia entre los lmites siempre debe ser la misma.

Existe lmites reales estos son del inferior 59.5 y el superior 69.5 y as

sucesivamente para cada intervalo.

NOTA: si aumenta el acho del intervalo, disminuye el nmero de intervalos, o

si disminuye el ancho de los intervalos, aumenta el nmero de los intervalos.

EJERCICIO NUMERO 4

Ejercicio Elabore la distribucin segn lo aprendido de los siguientes datos:

TABLA 2

TABLA 3

TABLA 4

61 55 60 58 62 64 66 68 70 75 76 70 51 55 60 65 70 73 80 75 78 66 68 70 75 76 78 80 79 68 53 54 56 58 60 64 68 70 75 80

16 20 30 25 35 55 62 64 84 96 26 74 26 35 97 87 28 34 35 46 76 86 26 28 38 45 56 66 76 96

65 70 62 63 71 70 75 73 74 75 70 78 80 84 85 71 70 75 70 73 81 82 83 85 68 70 75 77 80 84 85 85 85 87 86 85 81 84 40 87 90 90 50 50 99



6

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Un conjunto de datos lo podemos organizar de diferentes maneras. La forma

que se elegir depender de la naturaleza de los datos, la cantidad de datos o el

aspecto que se desea describir.

6.1 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA SIMPLE

Una distribucin de frecuencia simple es la que nos va a indicar la frecuencia

con que aparecen los nmeros, desde el menor del conjunto de los datos hasta el

mayor de ese conjunto o viceversa. Ejemplo.

TABLA 5

valores tarjado frecuencias

90 89 85 84 81 80 76 75 72 71 70 55

/ // / / / // // / / //

//// //// /

1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 9 1

90 80 70 70 70 70 85 75 70 70 55 70 89 84 70 70 71 76 80 76 71 72 81 89



EJERCICIO NUMERO 5

ELABORE LA DISTRIBUCIN SIMPLE DE LA TABLA 3

6.2 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA ACUMULADA

En una distribucin de frecuencias acumuladas (fa), escribiremos al principio de cada

posibilidad (x), el total de frecuencias correspondientes a esta x ms todas las

correspondientes a las x menores.

Ejemplo:

valores f fa

90 89 85 84 81 80 76 75 72 71 70 55

1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 9 1

1 3 4 5 6 8

10 11 12 14 23 24

= 24

6.3 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE VALORES AGRUPADOS EN

INTERVALOS DE AMPLITUD CONSTANTE.

Para calcular el nmero de filas a utilizar se aplican distintos criterios, muchos

investigadores se conforman con decir que no deben ser muy pocos (menos de cuatro)

o que no deben ser muchos (ms de doce) la regla mas aplicada es la de Sturges, que

hemos visto con anterioridad. VER FORMULA DE AMPLITUD.



Ejemplo: Hacer la distribucin de los siguientes datos agrupados en intervalos,

calculando su amplitud.

A= (Xs Xi)/N?

A= 110 60/ 5 (filas)= Amplitud = 10

X f

60 69 70 79 80 89 90 99

100 110

5 6

14 8 2

= 35

90 62 85 92 75 80 82 95 85 84 70 80 60 90 91 76 88 94 95 70 80 85 60 76 68 95 82 110 74 88 64 100 82 80 85



7

REPRESENTACIN GRAFICA

La representacin grfica nos permite presentar datos en na forma ms

esquemtica, ms directa, haciendo resaltar a simple vista y en forma rpida las

relaciones o cambios de la informacin

El trmino grfico se deriva de la voz griega (GRAPHIKOS) que significa

presentar todo por medio de dibujo.

Las grficas nos permiten hacer nuevas relaciones y su utilidad puede resumirse

en:

a) Sirven para realizar una sntesis.

b) Destacar caractersticas.

c) Mantener el control

d) Hacer comparaciones, confrontaciones etc.

Para la construccin de las grficas, en forma especial las de BARRAS Y LOS

POLIGONOS, debemos valernos del SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.

Este sistema consiste en dos rectas perpendiculares que se cruzan en un punto

llamado origen, de las cuales la horizontal se llama EJE DE LAS ABSCISAS (o eje de

las X-equis) y la vertical EJE DE LAS ORDENADAS ( o de las Y-yes), a partir del origen

se miden hacia la derecha VALORES POSITIVOS y hacia la izquierda VALORES

NEGATIVOS . el sistema tiene 4 cuadrantes que se enumeran en sentido inverso a las

manecillas del reloj, a partir del cuadrante de arriba a la derecha.

NOTA: conviene hacer la aclaracin que actualmente conviene conocer este

sistema aunque actualmente para la elaboracin de las grficas se hace a base de la

computadora y en especial utilizando el programa de MICROSOFT EXCEL, en

cualquiera de sus versiones.



EJERCICIO NUMERO 6

3. Encontrar en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos de

coordenadas siguientes:

a) (3,2) b) ( -1,2) c) (0.3)

d) (2,-1) e) (-2,-3) f) (-2.0)

g) (0,-2) h) (3,0) i) (-1,-4)

eje de las ordenadas

Y

2o. C (-X,Y)

1er C (X,Y)

x '

X

Eje de las abscisas

3er C (-X, Y)

4o C (X, -Y)

Y '



4. Representar la ecuacin Y = X + 2, para X = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Solucin:

a) Encontramos los valores de Y correspondientes a los valores de X.

X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -2 -1 0 1 2 3 4 5

TRAZAR LOS PUNTOS EN EL PLANO DE COORDENADAS.

5. Representar la ecuacin Y = x2 1, para X = -2, -1, 0, 1, 2.

a) Encontrar los valores de X

X

Y

TRAZAR LOS PUNTOS EN EL PLANO DE COORDENADAS.



CONSTRUCCIN DE LAS GRFICAS

Para hacer las grficas debemos tener en cuenta ciertas reglas:

a) El eje vertical que representar las frecuencias debe empezar en cero.

b) La parte ms alta de la grfica deber ser aproximadamente tres cuartos de su

ancho total. O sea que la altura debe ser menor que la base ( la altura debe tener

una longitud entre el 60 y 75% de la longitud de la base.

c) Todas las barras deben tener el mismo ancho.

1. GRAFICA O DIAGRAMA DE BARRAS.

Este tipo de grfica regularmente se construye en base al sistema de

coordenadas cartesianas. Dado que los valores siempre son positivos se usa el primer

cuadrante de este sistema.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4 5

Series1



2. POLGONO DE FRECUENCIAS

Un polgono de frecuencias es un grfico de lneas trazado sobre las marcas de

clase. Para construirlo, se marca cada clase de frecuencia correspondiente en el

punto medio de su clase. Los puntos marcados se unen despus por una serie de

segmentos rectilneos.

3. HISTOGRAMA

Es una representacin grfica de una tabla de frecuencias, que os muestra

datos cuantitativos. Tiene la caracterstica de que la superficie que comprenden las

barras es representativa de la cantidad de casos, o de la importancia relativa,

correspondiente a cada tramo o clase de valores medidos sobre el eje de las X. se

debe tener cuidado en que las clases tengan el mismo tamao

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6

Series1

0

1

2

3

4

5

6

Categora 1 Categora 2 Categora 3 Categora 4

Serie 1

Serie 2

Serie 3



4. PICTOGRAMAS

Los pictogramas o pictgrafas (tipo de diagrama de figuras) son utilizados a

menudo para representar datos estadsticos en una forma que llame la tencin a

todo el pblico. Este es un tipo de grfica muy llamativo, debido al uso de figuras en

su estructura. Con dichas figuras se le da el aspecto pictrico.

5. DIAGRAMA DE SECTORES O GRAFICAS CIRCULARES

La forma de construirla requiere de un comps y del uso de un transportador,

ms los clculos y procedimientos matemticos (uso de la regla de tres) para

obtener porcentajes y grados.

azul

caf

gris

beige

verde



EJEMPLO

= 212 100.00 360

Procedimiento:

1. Se suman las frecuencias

2. Se hace una regla de tres, tomando como 212 como el 100% para obtener el %

Azul 100 * 38/ 212 = 17.92

3. Para los grados se hace una regla de tres, tomando el 100% como 360 que tiene

la circunferencia, obteniendo as los grados que le corresponden a cada no de

los colores en la grfica de sectores.

Azul 360 * 17.92/100 = 65

As sucesivamente hasta obtener todos los datos.

color frecuencia % 0

Azul Caf Gris Beige Verde

38 52 72 40 10

17.92 24.53 33.96 18.87 04.72

65 88 122 68 17



EJERCICIO NMERO 7:

Elaborar un diagrama de sectores con los siguientes datos, calcular el % y los 0

DIVERSIFICADO CANTIDAD

CUARTO BACH QUINTO BACH CUARTO P.C QUINTO P.C SEXTO PC

45 70 25 80 20



8

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Se les llama medidas de Tendencia Central, porque todos los casos tienden hacia un valor que est en el centro., as decimos que la estatura media es de 1.63 m encontraremos que la mayor parte de las personas de una poblacin tienen esa estatura o un poco arriba de ese valor o abajo del mismo.

Medidas de centralizacin, parmetros estadsticos que marcan, bajo distintos criterios, los valores en torno a los cuales se disponen los datos de una distribucin. Tambin se llaman medidas de tendencia central, pues entorno a ellas se disponen los elementos de las distribuciones. Las ms importantes son la media, la mediana y la moda.

La media aritmtica, se obtiene al dividir la suma de las mediciones entre el nmero de ellos en el conjunto Por ejemplo, si las edades de 7 nios son 4, 6, 6, 7, 9, 11 y 13, la media es:

Formula: X = x N

X = 4+6+6+7+9+11+13 = 44.85 aproximando 45

7

MEDIA ARITMTICA

La media es el promedio aritmtico que se obtiene al dividir la suma de todos los datos entre la cantidad de casos que intervienen en la operacin.

Es un valor de una serie comprendido entre el valor mayor y el valor menor y el cual representa a todos los valores de la serie,



En una serie de datos agrupados en una distribucin de frecuencias simples.

Esta la calcularemos con la siguiente frmula

Ejemplo: calcular el promedio de las notas de un curso de estadstica.

valores f fx

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

3 4 2 4 3 2 5 6 4 3 2 2 3 1 2 5

195 264 134 272 207 140 355 432 292 222 150 152 231 78

158 400

f= 51 fx= 3682

X = fx N

X = fx

N

X = 3682 = 72.20

51



CALCULO DE MEDIA ARITMETICA AGRUPADOS EN INTERVALOS, utilizando puntos medio de clase.

FORMULA : En donde Xs representa el punto medio de cada clase.

Ejemplo:

X Xs f fxs

60 69 70 79 80 89 90 99

100 110

64.5 74.5 84.5 94.5 104.5

5 6

14 8 2

322.5 447.0

1183.0 756.0 209.0

f=35 fxs=2917.5

X= 2917.7/35= 83.35

CALCULO DE LA MEDIA ARITMTICA AGRUPADO EN INTERVALO, utilizando la desviacin.

FORMULA

Ejemplo:

X d f Fd

60 69 70 79 80 89 90 99

100 110

-1 0 1 2 3

5 6

14 8 2

-5 0

14 16 6

f=35 fd=31

X= 74.5 + (31/35)10 Respuesta: X= 74.5 + 8.86 = 83.35

X = fxs N

X = fxs

N

X = xs + fd i N



EJERCICIO NUMERO 8

CALCULAR LA MEDIA ARITMETICA EN LAS 3 FORMAS DE LOS SIGUIENTES DATOS

65 70 62 63 71 70 75 73 74 75 70 78 80 84 85 71 70 75 70 73 81 82 83 85 68 70 75 77 80 84 85 85 85 87 86 85 81 84 40 87 90 90 50 50 99



LA MEDIANA, Me o Md, es un nmero que supera a la mitad de los valores de la distribucin y es superada por la otra mitad. Tambin se le define como el valor tal, que abajo del l se encuentra el 50% del total de los datos y arriba el otro 50%.

Si el nmero de trminos de la distribucin es impar, la mediana es el valor del individuo que ocupa el lugar central cuando los datos estn ordenados de menor a mayor. Por ejemplo, en la distribucin de edades 4, 6, 6, 7, 9, 11, 13, la mediana es Me = 7, pues hay tres datos menores que 7 y tres mayores que 7.

Si el nmero de trminos de la distribucin es par, la mediana es el valor medio de los datos centrales. As, en la distribucin 4, 6, 6, 7, 8, 9, 11, 13, los valores 7 y 8 son los centrales. La mediana es Me = 7,5.

CLCULO DE LA MEDIANA EN UNA SERIE DE DATOS AGRUPADOS EN UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA SIMPLE.

valores f fa

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

3 4 2 4 3 2 5 6 4 3 2 2 3 1 2 5

3 7 9

13 16 18 23 29 33 36 28 40 43 44 46 51

Md= 51 + 1= 52 /2 = 26

Md= 72

Md = ( N + 1)

2



CLCULO DE LA MEDIANA DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

FORMULA

Md = mediana Li1 = Lmite real inferior del intervalo en donde est la mediana. fa = frecuencia acumulada del intervalo inmediato al intervalo en donde est la mediana. f = frecuencia del intervalo en donde est la mediana. i = Amplitud del intervalo.

X f fa

60 69 70 79 80 89 90 99

100 110

5 6

14 8 2

5

11 25 33 35

Md = 79.5 17.5 11 * 10 Md = 79.5 + 4.64 = 84.14

14

Md = Li1 + N/2 - fa i f



EJERCICIO NMERO 9

CALCULAR LA MEDIANA DE LOS SIGUIENTES DATOS EN LAS DOS FORMAS: SIMPLE Y DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS.

61 55 60 58 62 64 66 68 70 75 76 70 51 55 60 65 70 73 80 75 78 66 68 70 75 76 78 80 79 68 53 54 56 58 60 64 68 70 75 80



LA MODA, Mo, de una distribucin estadstica es el valor que ms se repite. Una distribucin puede tener ms de una moda o no tener ninguna. En la distribucin 4, 6, 6, 7, 9, 11, 13, la moda es Mo = 6.

Actualmente se conocen dos tipos de modas: MODA CRUDA Y MODA INTERPOLADA

MODA CRUDA

Con este nombre se identifica a la marca de clase del intervalo, correspondiente al

mayor valor de una distribucin de frecuencia. Ejemplo:

Xi f fa

28 36 37 45 46 54 55 63 64 72 73 81 82 90 91 99

5 11 12 19 14 12 6 1

5 16 28 47 61 73 79 80

f= 80

Mo = 55 + 63/2 = 59 Mo = 59

MODA INTERPOLADA EN INTERVALOS DE AMPLITUD

Mo= Li1 + 1 i

1 + 2

Mo = moda

Li1 = Limite real inferior del intervalo donde se localiza la frecuencia mayor

1 = Delta uno, corresponde a la diferencia entre la frecuencia mayor y la frecuencia anterior a

sta.

2 = Delta dos, corresponde a la diferencia entre la frecuencia mayor y la frecuencia posterior a

sta.

I = Amplitud de intervalo



EJEMPLO:

Xi f

28 36 37 45 46 54 55 63 64 72 73 81 82 90 91 99

5 11 12 19 14 12 6 1

f= 80

Frecuencia absoluta mayor = 19 Limite real inferior = 54.5 Amplitud de inrvalo = 9 Frecuencia anterior a la frecuencia modal = 12 Frecuencia posterior a la frecuencia modal = 14 Intervalo = 9

1 = 19 12 = 7

2 = 19 14 = 5

Mo = 54.5 + 7 9

7 + 5

Mo = 54.5 + 63 Mo = 59.75

12



EJERCICIO NUMERO 10

calcular la moda cruda e interpolada de los siguientes datos.

16 20 30 25 35 55 62 64 84 96 26 74 26 35 97 87 28 34 35 46 76 86 26 28 38 45 56 66 76 96



9

MEDIDAS DE DISPERSIN O DE VARIABILIDAD

Las medidas de dispersin o de varianza son muy necesarios en el anlisis

estadstico ya que sirven para determinar en que forma se distribuyen alrededor del

valor medio.

Existen varias medidas de dispersin entre las ms importantes estn: EL

RANGO, LA DESVIACIN MEDIA, LA DESVIACIN ESTANDAR, LA DESVIACIN

CUARTIL ETC.

1. RANGO

Llamado tambin amplitud, mide la extensin de un conjunto de datos y lo vamos

a calcular utilizando nicamente dos nmeros, al determinar la diferencia entre el

dato mayor y menor del conjunto.

R= Xs Xi

Ejemplo: en una compaa de seguros se han registrado los tiempos necesarios

para proceder en 7 demandas por seguro contra incendio. Los tiempos en das son:

2, 5, 4, 3, 8, 7, 5.

R= 8 2 = 6 das

EJERCICIO NUMERO 11

Hallar el rango de las siguientes series de nmeros:

a) 8, 10, 12, 15, 17, 20, 25, 28, 35

b) 89, 93, 65, 45, 67, 58, 68, 89, 76, 85

c) 456, 476, 480, 450, 466, 566, 550, 545.

d) 3456, 3000, 200, 3300, 3450, 3337, 3390, 3450, 3500, 3565



2 DESVIACIN MEDIA

La desviacin media, tambin llamada desviacin promedio, es la suma de las

desviaciones absolutas de las observaciones desde su media aritmtica, dividida

entre el nmero de observaciones o es el promedio de las distancias entre los datos

y la media.

FORMULAS A UTILIZAR

DM = f I x XI DM = f I d I

N N

Ejemplo: calcular la desviacin media de los siguientes datos:

PRIMERO se calcula la media de la distribucin. As:

N=51 fx= 3682

X = 3682 = 72.20 51

valores f fx

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

3 4 2 4 3 2 5 6 4 3 2 2 3 1 2 5

195 264 134 272 207 140 355 432 292 222 150 152 231 78

158 400

DM = f I x X I

N



SEGUNDO. Le restamos la media a cada puntaje, despus multiplicamos cada

frecuencia absoluta por la desviacin y sumamos el producto de todas las frecuencias

por las desviaciones.

N = 51 f I d I = 189.40 DM= 189.40/51 = 3.71 Este es el

promedio de las distancias entre los datos y la media

CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA, EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

EJEMPLO:

PRIMERO: calculamos la media de la distribucin

X xs f fxs

60 69 70 79 80 89 90 99

100 110

64.5 74.5 84.5 94.5 104.5

5 6 14 8 2

322.5 447.0

1183.0 756.0 209.0

N = 35 fxs=2917.5 X = 2917.5 / 35 = 83.35

valores f I d I = I x X I f I d I

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

3 4 2 4 3 2 5 6 4 3 2 2 3 1 2 5

7.20 6.20 5.20 4.20 3.20 2.20 1.20 0.20 0.80 1.80 2.80 3.80 4.80 5.80 6.80 7.80

21.20 24.80 10.40 16.80 9.60 4.40 6.00 1.20 3.20 5.40 5.60 7.60 14.40 5.80 13.60 39.00

DM = f I x X I

N



SEGUNDO: le restamos la media a cada punto medo de los intervalos, despus

multiplicamos cada frecuencia absoluta por el resultado o por la desviacin y sumamos

el producto de todas las frecuencias por las desviaciones.

X xs f I d I= Ix -XI f IdI

60 69 70 79 80 89 90 99

100 110

64.5 74.5 84.5 94.5 104.5

5 6 14 8 2

18.85 8.85 -1.15

-11.15 -21.15

94.25 53.1 16.1 89.2 42.3

N = 35 fxs=2917.5 X = 294.95 DM= 294.95/35 = 8.43

El resultado de la desviacin nos indica que 8.43 es el promedio de las desviaciones

entre los datos y la media.

EJERCICIO NUMERO 12

CALCULAR LA DESVIACIO MEDIA DE LOS SIGUIENTES DATOS, UTILIZANDO LAS

DOS FORMAS

16 20 30 25 35 55 62 64 84 96

26 74 26 35 97 87 28 34 35 46

76 86 26 28 38 45 56 66 76 96



3 DESVIACION ESTANDAR

sta es la principal medida de variabilidad por lo tanto es necesario calcularla

siempre.

La desviacin estndar representa la variabilidad promedio de una

distribucin, porque mide el promedio de las desviaciones de la media. Debemos tomar

en cuenta que mientras mayor sea la dispersin de la media en una distribucin, mayor

ser la desviacin estndar.

FORMULAS S = f(x X)2 S = fd2

N N

Ejemplo: CALCULAR LA DESVIACIN ESTNDAR DE LOS SIGUIENTES DATOS

SERIE SIMPLE

PRIMERO: Se calcula la media de distribucin en este caso es 72.20

SEGUNDO: le restamos la media a cada puntaje para obtener la desviacin

TERCERO: Elevamos cada desviacin al cuadrado, despus multiplicamos cada

desviacin elevada al cuadrado por la frecuencia absoluta y a continuacin sumamos

este producto, obteniendo as fd2.

CUARTO: dividimos la suma entre N y encontramos la raz cuadrada del resultado,

obteniendo as la desviacin estndar.

fd2= 1038.04

S = fd2 = 1038.04 S= 20.35 = 4.51

N 51

X f fx d= x X D 2=(x-X)2 fd2

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

3 4 2 4 3 2 5 6 4 3 2 2 3 1 2 5

195 264 134 272 207 140 355 432 292 222 150 152 231 78

158 400

7.20 6.20 5.20 4.20 3.20 2.20 1.20 0.20 0.80 1.80 2.80 3.80 4.80 5.80 6.80 7.80

51.84 38.44 27.04 17.64 10.24 4.84 1.44 0.04 0.64 3.24 7.84 14.44 23.04 33.64 46.24 60.84

155.52 153.76 54.08 70.56 30.72 9.68 7.20 0.24 2.56 9.72 15.68 28.88 69.12 33.64 92.48

304.20



DESVIACIO ESTANDAR EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

FORMULA = S = fxs X2

N

PRIMERO: se calcula la media de la distribucin. Aqu la media es 83.35

SEGUNDO: Elevamos la media al cuadrado 83.35 al cuadrado es 6947.22

TERCERO: multiplicamos cada punto medio por fxs y sumamos estos productos

CUARTO: sustituimos los valores encontrados en la frmula.

X f Xs fxs Fxs2

60 69 70 79 80 89 90 99 100 110

5 6

14 8 2

64.5 74.5 84.5 94.5 104.5

322.5 447.0

1183.0 756.0 209.0

20801.25 33301.50 99963.50 71442.00 21840.50

f=35 fxs=2917.5 =247348.75

S = 247348.75 6947.22 = 119.887 = 10.95

35



EJERCICIO NUMERO 13

Calcular la desviacin estndar en sus dos procedimientos de la siguiente tabla.

65 70 62 63 71 70 75 73 74 75 70 78 80 84 85 71 70 75 70 73 81 82 83 85 68 70 75 77 80 84 85 85 85 87 86 85 81 84 40 87 90 90 50 50 99



10

MEDIDAS DE ASIMETRIA Nos interesa conocer en estadstica, si una distribucin de frecuencias se aleja

ms o menos de la forma simtrica, para lo cual conocemos que existen tres tipos de

curvas. Las medidas de asimetra se utilizan para determinar la distribucin de valores

de una variable.

Simtrica o Normal

Es simtrica cuando todos los valores equidistan de otro valor al que se le

denomina valor central

ASIMETRA

Es lo contrario de la simetra, es decir que los valores no se distribuyen,

equitativamente respecto al otro valor central. La asimetra puede ser de dos tipos, una

hacia la derecha y otra hacia la izquierda.

Asimetra derecha (positiva) asimetra izquierda (negativa)

SESGO DE UNA DISTRIBUCIN



La distribucin asimtrica tambin se llama distribucin sesgada, si existe sesgo

para un lado, es decir que los puntajes se apilan en un extremo dejando una cola en el

otro, esta cola determina la direccin des sesgo, su formula es la siguiente:

SK = X Mo

Ejemplo: siendo la moda de una distribucin 50 y la media 55 calculamos el sesgo

SK= 55 50 = 5 asimetra positiva.

CORRELACIN, en estadstica, relacin entre las dos variables de una distribucin

bidimensional. Se mide mediante el coeficiente de correlacin, .(r)

Si los datos de la distribucin son (x1,y1), (x2,y2),, (xn,yn), el coeficiente de correlacin

se obtiene mediante la frmula:

r = 1 - 6D2

N(N2 1)

en donde xy es la covarianza, y x, y son las desviaciones tpicas de las dos

variables.

El valor del coeficiente de correlacin oscila entre 1 y 1 (-1 1). En cada caso

concreto, el valor de indica el tipo de relacin entre las variables x e y.

Cuando | |es prximo a 1, la correlacin es fuerte, lo que significa que las variaciones

de una de las variables repercuten fuertemente en la otra. Mientras que si | |es prximo

a 0, la correlacin es muy dbil y las variables estn muy poco relacionadas.



Correlacin estadstica

La correlacin estadstica determina la re lacin o dependencia

que existe entre las dos var iables que intervienen en una distribucin

bidimensional .

Es decir , determinar s i los cambios en una de las var iables inf luyen

en los cambios de la otra. En caso de que suceda, d iremos que las

var iables estn correlacionadas o que hay correlacin entre e l las.

Coeficiente de correlacin

El coeficiente de correlacin l ineal se expresa mediante la letra

r .

Propiedades

1. El coeficiente de correlacin no var a a l hacerlo la escala de

medicin.

Es decir , s i expresamos la a l tura en metros o en centmetros el

coef ic iente de correlacin no vara.

2. El s igno del coeficiente de correlacin es e l mismo que el de la

covarianza .

Si la covarianza es posi t iva, la correlacin es directa.

Si la covarianza es negat iva, la corre laci n es inversa.

Si la covarianza es nula, no existe correlacin.

3. El coeficiente de correlacin l ineal es un nmero real

comprendido entre menos 1 y 1.

1 r 1



4. Si e l coeficiente de correlacin lineal toma valores cercanos a

1 la corre lacin es fuerte e inversa , y ser tanto ms fuerte cuanto

ms se aproxime r a 1.


1 la corre lacin es fuerte y directa , y ser tanto ms fuerte cuanto ms

se aproxime r a 1.


0, la corre lacin es dbil .

7. Si r = 1 1, los puntos de la nube estn sobre la recta

creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia

funcional .

Ejercicios

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo

son:

Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

Calcular e l coeficiente de correlacin .

x i y i x i2 y i

2 x i y i

186 85 34 596 7 225 15 810

189 85 35 721 7 225 16 065

190 86 36 100 7 396 16 340

192 90 36 864 8 100 17 280

193 87 37 249 7 569 16 791

193 91 37 249 8 281 17563

198 93 39 204 8 649 18 414



201 103 40 401 10 609 20 703

203 100 41 209 10 000 20 300

205 101 42 025 10 201 20 705

1 950 921 380 618 85 255 179 971

Correlacin positiva muy fuerte .

Los valores de dos var iables X e Y se distr ibuyen segn l a tabla

s iguiente:

Y/X 100 50 25

14 1 1 0

18 2 3 0

22 0 1 2

Obtener e interpretar e l coeficiente de correlacin l ineal .

Convert imos la tabla de doble entrada en una tabla s imple.



x i y i f i x i f i x i2 f i y i f i y i

2 f i

x i y i

f i

100 14 1 100 10 000 14 196 1 400

100 18 2 200 20 000 36 648 3 600

50 14 1 50 2 500 14 196 700

50 18 3 150 7 500 54 972 2 700

50 22 1 50 2 500 22 484 1 100

25 22 2 50 1 250 44 968 1 100

10 600 43 750 184 3 464 10 600

Es una correlacin negativa dbil .



COOEFICIENTE DE CORRELACIN DE PEARSON

Para medir la relacin entre dos variables se calcula el coeficiente de correlacin

lineal r mediante la expresin siguiente:

r = N(XY) - X Y

NX2 (X)2 N (Y)2 (Y)2

Este cociente de correlacin lo podemos interpretar de acuerdo con los siguientes

casos:

1. Si r es positivo, la correlacin entre las variables es positiva.

2. Si r es negativo, la correlacin entre las variables es negativa.

3. Si r = 0 no existe relacin lineal entre las variables.

4. Si r = 1 la correlacin es positiva perfecta.

5. Si r = -1 la correlacin negativa es perfecta.

6. Si r = 0.95 la correlacin es negativa fuerte.

7. Si r = -0.50, la correlacin es negativa dbil.

8. Si r = -0.10, la correlacin es negativa dbil

9. Si r = 0.10 la correlacin es positiva dbil

10. Si r = 0.50, la correlacin es positiva moderada.

11. Si r = 0.95, la correlacin es positiva fuerte.

Ejemplo: con los siguientes datos, calcular el coeficiente de correlacin

X Y X y xy

2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 8

1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 3 5 5

4 9 9

16 16 16 16 25 25 25 36 36 64

1 4 9 1 4 9

16 4 9

16 9

25 25

2 6 9 4 8

12 16 10 15 20 18 30 40

59 38 297 132 190



Al sustituir los datos en la frmula del coeficiente, observamos que:

N=13, sumaxy=190, suma x=59,sumay=38, suma x=297, y sumay=132

r = N(XY) - X Y

NX2 (X)2 N (Y)2 (Y)2

r= 13(190) 59 (38)

13(297) (59)2 13 (132)2 (38)2

r= 2470 - 2242

3861 - 3481 1716 - 1444

r= 228 = r= 228 = 228 = 0.71

380 (272) 103360 321.5



BIBLIOGRAFIA

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