estadistica fundamental

8/18/2019 Estadistica Fundamental

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Estadística Fundamental

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Compreensión de la Variación

Walter Shewhart (1891-1967)

En el dia 16 de mayo de 1924, por medio deun memorando de aproximadamente una

página, Walter Shewhart, entonces trabajando en la Western Electric Co., fijó las bases del

control estadístico de la calidad.

Aunque todo proceso presente variación, algunos procesos exhibenvariación controlada, mientras que otros exhiben variación nocontrolada.


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Variación Controlada

• La variación controlada se caracteriza por un patrón consistente y estableen el tiempo.

• Puede atriburse la variación a las causas aleatorias/comunes, que

producen una distribución de salida del proceso estable en el tiempo

(previsible).

Variación No Controlada

• La variación no controlada se caracteriza por un patrón que cambia com el

tiempo de una forma imprevisible (inestable).

• Puede atriburse la variación a las causas especiales, que tienen un gran

impacto sobre el produto (ej. máquinas desajustadas, diferencias en el

material bruto, divergencias entre operadores).

Compreensión de la Variación


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Causas Comunes de Variación

• Las causas comunes de variación se refieren al resultado de la accióndel sistema de causas propio del proceso, compuesto por causas que,

por razones técnicas o económicas, no son individualizables.

• Las causas comunes de variación evidencian/denotan un patrón (decomportamiento) aleatorio.

• Un proceso bajo la acción de causas comunes de variación presenta lamenor variabilidad consistente con su configuración.

O

O

O

O

O

OO

OO

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

OO

O

O

O

l


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Causas Especiales de Variación

• Las causas especiales de variación resultan de la intervención decausas ajenas al proceso, evidenciadas por patrones no aleatorios.

• Las causas especiales de variación son técnica y economicamente

(por lo menos en principio) viables de identificar y tratar.

• La única forma de distinguir la variación por causas especiales de lavariación por causas comunes es a través de la aplicaciónapropiada de los gráficos de control.

0 20 40 60 80 100 120


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Causas Estructurales de Variación

• Las causas estructurales de variación son inherentes al proceso, asicomo las causas comunes, pero aparecen como si fueran causas

especiales.• Las causas estructurales de variación se caracterizan por patrones

no aleatorios, y por lo tanto, previsibles.

• Las causas estructurales son, en principio, viables de identificar,

pero para eliminarlas es necesario mudar el proceso.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50


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Procesos bajo control presentan unicamente la variación inherente a eles. Cuando

tales procesos no operan de modo satisfactorio, la mejoria puede ser alcanzada pormedio de mudanzas relevantes; meros ajustes no produzirán la mejoria necesaria.

Proceso Previsible (Bajo Control)

Tiempo

Límite Superior de Control (LSC)

Límite Inferior de Control (LIC)


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Proceso Imprevisible (Fuera de Control)

Procesos fuera de control presentan variación diferenciada, que no tiene relación

con lo que se espera del proceso. El primer paso para la mejoria es la

identificación de las causas de esa variación diferenciada. Si la causa tiene un

efecto negativo, se debe eliminar; de lo contrario, se debe incorporar al proceso.


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Predicción

Tiempo

??

Un proceso fuera de control se torna inestable, siendo, por lo tanto, imprevisible;

mismo que las entradas del proceso se mantengan invariables, las salidas

presentarán mudanzas imprevisibles.

Proceso Imprevisible (Fuera de Control)


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Los límites de variación natural del proceso están dentro del intervalo

definido por los límites deespecificación del producto.

El proceso es previsible y produce apenas unidades conformes.

Estado Ideal

Los límites de variación natural del proceso no están aliñados con el

intervalo definido por los límites deespecificación del producto.

El proceso es previsible, pero produce algunas unidades no-conformes.

Estado Umbral

El 100% de unidades conformespueden desaparecer a cualquier

momento como resultado de la acción de causas especiales.

El proceso no es estable, pero todaviaproduce unidades conformes.

Al borde del Caos

El proceso es imprevisible y produce unidades no-conformes.

Estado de Caos


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Matriz de Selección de Gráficos por Variables

Tipo dedatos

Gráfico de Control Condiciones Tamaño del Subgrupo

Variável

Medias y Rangos (XbarR)

un grupo de piezas evaluadas

una característica avaliada

alto volumen de producción

2 a 8 (indicado: 3 a 5)

Medias y Desvios Estándar (XbarS) idem anterior 2 o mayor

Individuos y Rangos Móviles (ImR)

una única pieza evaluada

una característica evaluada

bajo volumen de producción

1

Diferencias (target)

a) medias y rangos

b) medias y desvios estándar

c) indivíduos y rangos móviles

aplicaciones tipo corrida corta

várias piezas evaluadas

una característica evaluada

variación similar en las piezas

conforme anteriores

a) 2 a 8 (indicado: 3 a 5)

b) 2 o mayor

c) 1

tres vías (estados)

una única pieza evaluada

várias mediciones por pieza

variación similar en las piezas

1 o mayor

• Al usar datos tipo variable, posición y dispersión del proceso deben ser monitoradas simultaneamente.• Los límites de control deben estar basados en la variación natural del proceso (nunca con las especificaciones).


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Parámetros de Posición y Dispersión

( )∑=

−⋅

−

=

n

1i

2

i XX1n

1s

∑=

⋅=n

1i

iXn1X

( )∫ ⋅=µ

xalldxxfx

( ) ( )∫ ⋅µ−=σxall

22dxxfx

Media de f(x)

Varianza de f(x)

{5, 6, 6, 5, 9, 5, 4, 8}

{5, 6, 6, 5, 9, 5, 4, 8}

{5, 6, 6, 5, 9, 5, 4, 8}

Ejemplo Ecuación Parámetro

Media Aritmética

Rango

Desvio estándar muestral

mín máx X X R −=

0,64881X =⋅=

549R =−=

69,12018

1s =⋅

−

=


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Gráfico de las Medias y Rangos

• Gráfico de control para dados do tipo variable, usado para rastrearel comportamiento de la media (posición) e del rango (dispersión)del proceso de una característica individual.

• De aplicación potencial en casos donde es posible formarsubgrupos de tamaño 2 a 8 (especialmente en situaciones donde seobserva un elevado volumen de producción).

• Puede ser utilizado cuando las mediciones originales no sedistribuyem normal (teorema del límite central: la media se aproximade uma distribución normal a medida que el tamaño del subgrupoaumenta).

• Para evitar interpretaciones equivocadas, los límites deespecificación no deben ser exhibidos en el gráfico de control de lasmedias.


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48,2X = 60,2X =

Dispersión del proceso

Posición del proceso

Tiempo

Subgrupo 1

2,52,1

2,82,4

2,6

2,5

Subgrupo 2

2,7 2,3

2,72,6

2,9

2,4

Subgrupo 3

2,2 2,4

2,32,2

2,1

2,6

30,2X =

6,0R =7,0R = 5,0R =

Gráfico de las Medias y Rangos


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FórmulasGráfico de las Medias y Rangos

RAXLIC

RAXLSC

2X

2X

⋅−=

⋅+=

RDLICRDLSC

3R

4R

⋅=

⋅=

Media

Rango

Límite de Control Línea Media

∑=

⋅=

k

1i

iRk1R

Parámetro

lo.ihi.ii XXR −=

Gráfico

Desvio Estándar de los Valores Individuales

2

cd

Rs =

n: tamaño del subgrupo

k: número de subgrupos

n d2 A2 D3 D4

2 1,128 1,880 -- 3,268

3 1,693 1,023 -- 2,574

4 2,059 0,729 -- 2,282

5 2,326 0,577 -- 2,114

6 2,534 0,483 -- 2,004

7 2,704 0,419 0,076 1,924

8 2,847 0,373 0,136 1,864

9 2,970 0,337 0,184 1,816

10 3,078 0,308 0,223 1,777

11 3,173 0,285 0,256 1,744

12 3,259 0,266 0,283 1,717

13 3,336 0,249 0,307 1,693

14 3,407 0,235 0,328 1,672

15 3,472 0,223 0,347 1,653

16 3,532 -- -- --

17 3,588 -- -- --

18 3,640 -- -- --

19 3,689 -- -- --

20 3,735 -- -- --

∑=

⋅=

n

1 j

iji Xn

1X ∑

=

⋅=

k

1i

iXk

1X


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Subgrupo - 1 - - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 - - 12 - - 13 - - 14 - - 15 - - 16 - - 17 -

5045 4290 3980 3300 5100 4635 4410 4725 4790 4110 4790 4740 4170 4170 4175 2920 4090

4350 4430 3925 3685 4635 4720 4065 4640 4845 4410 4340 5000 3850 4255 4550 4375 5000

4350 4485 3645 3463 5100 4810 4565 4640 4700 4180 4895 4895 4445 4170 4450 4375 4335

3975 4285 3760 5200 5450 4565 5190 4895 4600 4790 5750 4255 4650 4375 2855 4355 5000

Media 4430.0 4372.5 3827.5 3912.0 5071.3 4682.5 4557.5 4725.0 4733.8 4372.5 4943.8 4722.5 4278.8 4242.5 4007.5 4006.3 4606.3

Rango 1070 200 335 1900 815 245 1125 255 245 680 1410 745 800 205 1695 1455 910

Subgrupo - 18 - - 19 - - 20 - - 21 - - 22 - - 23 - - 24 - - 25 - - 26 - - 27 - - 28 - - 29 - - 30 - - 31 - - 32 - - 33 - - 34 -

4640 4215 4615 4700 4095 4445 4560 5000 4850 4855 4100 4050 4430 3075 4425 4840 4700

4335 4275 4735 4700 3940 4000 4700 4575 4850 4160 4340 4050 4300 2965 4300 4310 4440

5000 4275 4215 4700 3700 4845 4310 4700 4570 4325 4575 4685 4690 4080 4430 4185 4850

4615 5000 4700 4095 3650 5000 4310 4430 4570 4125 3875 4685 4560 4080 4840 4570 4125

Media 4647.5 4441.3 4566.3 4548.8 3846.3 4572.5 4470.0 4676.3 4710.0 4366.3 4222.5 4367.5 4495.0 3550.0 4498.8 4476.3 4528.8

Rango 665 785 520 605 445 1000 390 570 280 730 700 635 390 1115 540 655 725

Subgrupo - 35 - - 36 - - 37 - - 38 - - 39 - - 40 - - 41 - - 42 - - 43 - - 44 - - 45 - - 46 - - 47 - - 48 - - 49 - - 50 - - 51 -

4450 3635 4340 5000 4770 4850 5000 5075 4925 5075 5600 4325 4500 4850 4625 4080 5150

4450 3635 4340 4850 4500 4700 4700 5000 4775 4925 5075 4665 4765 4930 4425 3690 5250

4850 3635 3665 4775 4770 5000 4500 4770 5075 5250 4450 4615 4500 4700 4135 5050 5000

4450 3900 3775 4500 5150 5000 4840 4570 4925 4915 4215 4615 4500 4890 4190 4625 5000

Media 4550.0 3701.3 4030.0 4781.3 4797.5 4887.5 4760.0 4853.8 4925.0 5041.3 4835.0 4555.0 4566.3 4842.5 4343.8 4361.3 5100.0

Rango 400 265 675 500 650 300 500 505 300 335 1385 340 265 230 490 1360 250

204 Mediciones d Resistencia de un Aislante Eléctrico [MΩ

]


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Conducción del Control Estadístico de Proceso

• El CEP debe ser conducido en dos fases que tienen

objetivos y formas de trabajo diferentes:

– Fase 1, o estudio inicial: conocer el proceso, usando la

información para llegar al estado de control o previsibilidad.

– Fase 2, o modo de supervissión: observación periódica del

proceso para evitar el retorno al estado de imprevisibilidad.


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Tiempo

Estabilización del procesoy cálculo de los límites de

control

Límites

calculadosFase 1

Control en tiempo real y

mejoria continua del proceso

Fase 2

Conducción del Control Estadístico de Proceso


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Fase 2 de CEP: Monitoreo del Proceso

• El objetivo de la fase 2 es evaluar de forma continua si el proceso

mantiene su comportamiento caracterizado en la fase 1.

• Para eso, cada nuevo subgrupo extraido es analizado en tiempo

real, buscando señales de inestabilidad que indiquen la acción de

causas especiales de variación.

• Los límites de control deben ser recalculados solamente después

que el proceso sufrir alguna mudanza significativa: ajuste del

proceso, remoción de causa especial.


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Interpretación de los Gráficos de Control

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

Regla 1: un punto está situadofuera de la región definida porlos límites de control

Regla 2: dos de los trespuntos sucesivos están en la

Zona A (±2σ) o más.

Regla 3: cuatro de cincopuntos sucesivos estánen la Zona B (±1σ) o más

Regla 4: ocho o máspuntos sucesivos en

el mismo lado de lalínea central

Western Electric Statistical Quality Control Handbook


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"... un estado de control perfecto, nunca se logra en unproceso real. El objetivo de los gráficos de control no es laperfección, sino un estado de control razonable yeconómico. A efectos prácticos, por lo tanto, un procesocontrolado, no es aquel cuyo gráfico está siempre bajo

control. Si un gráfico nunca ha estado fuera de control, sepodría cuestionar si la operación debe ser supervisada porun gráfico. En la práctica, un proceso bajo control es el quetiene sólo una pequeña fracción de los puntos fuera de

control, que son acompañados de acciones apropiadas ...“

Western Electric Co., Statistical Quality Control Handbook, 1956

Interpretación de los Gráficos de Control


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• Herramientas de Análisis

• Estadística Descriptiva;

• Histograma;

• Regresión;

• Funciones Estadísticas

• Distr.Norm;

• Distr.Norm.Inv;

• Instalación de las Herramientas.

5.5.

AnAn

áálisis Estadlisis Estad

í í stico constico con

Microsoft EXCELMicrosoft EXCEL


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INTRODUCCION

Microsoft Excel proporciona dos modalidades para realizar análisisestadísticos:

• Un conjunto de herramientas denominado Herramientaspara Análisis, que permiten ahorrar pasos y simplificar latarea.

•

Mediante el uso de funciones estadísticas. Este método esmenos sencillo que el anterior, pero utilizando el botón PegarFunción , no es necesario recordar los argumentos de cadafunción y esto facilita el uso.

A continuación se describe el uso de las Herramientas de Análisis y de

las funciones estadísticas para el cálculo de probabilidades condistribución normal. En caso que el menú herramientas de análisis nose encuentre disponible en su Excel, diríjase primero a la página EE -16.


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INSTALACION DE HERRAMIENTAS DE ANALISISEn general este paquete de herramientas no se activa automáticamente con lainstalación de Excel. En el caso que no disponga de la opción Análisis de Datos en elmenú de Herramientas siga los siguientes pasos:

1. En el menú Herramientas , seleccionar Complementos .

2. Si Herramientas para Análisis no aparecen en la lista del cuadro de diálogoComplementos , hacer clic en Examinar y localizar la unidad, la carpeta y el nombrede archivo de Herramientas para Análisis que normalmente estará ubicado en la

carpeta:

Archivos de Programa\Microsoft Office\Office\Macros\Analisis

Seleccionar el archivo: Analys32.xll. Si este archivo no estuvierainstalado, ejecutar el programa de instalación de Office.

3. Active la casilla de verificación Herramientas para Análisis .


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HERRAMIENTAS PARA EL ANÁLISISSe accede a ellas activando el menú Herramientas y seleccionando Análisis de Datos . Excel muestra una lista con las herramientasdisponibles (ver cuadro de diálogo abajo). Aunque la lista es amplia,

nosotros nos ocuparemos solamente de tres: Estadística Descriptiva ,Histograma y Regresión .

Para cada herramienta, Excel presenta un cuadro de diálogo con ítemsque debemos completar.


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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVAEsta herramienta de análisis proporciona información acerca de la tendenciacentral y dispersión de los datos. El cuadro de diálogo de EstadísticaDescriptiva es el siguiente:

Los detalles de cómo completar la información requerida por esta caja dediálogo se encuentran a continuación.


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Rango de entrada: Es la referencia a las celdas que contienen los datos quedeseamos analizar. La referencia deberá contener dos o más celdas adyacentesorganizadas en columnas o filas.

Agrupado por: Es el lugar para indicar como están organizados los datos del rangode entrada: en filas o en columnas.

Rótulos en la primera fila y rótulos en la primera columna: Es para indicar siel rótulo de los datos está incluido en el rango de entrada. Si esta casilla deverificación está desactivada, Microsoft Excel pone los rótulos automáticamente.

Rango de salida: Se debe indicar la celda superior izquierda de la tabla deresultados. Esta herramienta genera dos columnas de información por cada conjuntode datos. La columna de la derecha contiene los estadísticos calculados y la izquierdasus nombres. Microsoft Excel escribirá una tabla de estadísticos por cada columna ofila del rango de entrada, dependiendo de la opción que se haya seleccionado en elcuadro Agrupado por.

En una hoja nueva: Si se desea, se puede usar esta opción para insertar una hojanueva en el libro actual y pegar los resultados del análisis comenzando por la celda

A1 de la nueva hoja de cálculo. Para darle un nombre a la nueva hoja de cálculo, seescribe en el cuadro contiguo.


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HISTOGRAMAEsta herramienta de análisis calcula las frecuencias absolutas simples y acumuladaspara datos agrupados por intervalos o datos sin agrupar. El cuadro de diálogo de

Histograma puede verse a continuación.

Los detalles de cómo completar la información requerida por esta caja dediálogo se encuentran a continuación.


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Rango de entrada: Es la referencia a las celdas que contienen los datos quedeseamos analizar. La referencia deberá contener dos o más celdas adyacentesorganizados en columnas o filas.

Rango de clases: Debe indicarse un grupo de celdas encolumnadas que contengaun conjunto de valores límite que definan intervalos de clase (datos agrupados) o los

valores que toma la variable (datos sin agrupar). Estos valores deberán estar enorden ascendente.

Rótulos: Idem a la herramienta Estadística Descriptiva .

Rango de salida: Idem a la herramienta Estadística Descriptiva .

En una hoja nueva: Idem a la herramienta Estadística Descriptiva .En un libro nuevo: Idem a la herramienta Estadística Descriptiva .

Pareto (histograma ordenado): Activar esta casilla para presentar los resultadosen orden de frecuencia descendente.

Porcentaje acumulado: Activar esta casilla para generar en los resultados unacolumna con frecuencias porcentuales acumuladas y para incluir una línea deporcentaje acumulado en el histograma.

Crear Gráfico: Activando esta casilla, Excel genera un histograma conjuntamentecon la tabla de resultados.


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E t dí ti F d t l


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Rango Y de Entrada: Es la referencia correspondiente al rango de datosdependientes. El rango debe ser una única fila o una única columna de datos.

Rango X de Entrada: Es la referencia al rango de datos independientes.Microsoft Excel ordenará las variables independientes de este rango en orden

ascendente de izquierda a derecha. El número máximo de variablesindependientes es 16. Si existe sólo una variable independiente, se realizaráun ajuste de regresión lineal simple.

Rótulos: Active esta casilla si la primera fila o la primera columna del rango(o rangos) de entrada contienen rótulos. Desactívela si el rango de entrada

carece de rótulos; Microsoft Excel generará los rótulos de datoscorrespondientes para la tabla de resultados.

Nivel de confianza: Introduzca el nivel de confianza que desee aplicar paraobtener intervalos de confianza para la pendiente y la ordenada al origen de larecta de regresión (el nivel predeterminado es 95%).

Constante igual a cero: Active esta casilla para que la línea de regresiónpase por el origen.

E t dí ti F d t l


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En una hoja nueva: Active esta opción para insertar una hoja nueva en ellibro actual y pegar los resultados comenzando por la celda A1 de la nueva hojade cálculo. Para asignar un nombre a la nueva hoja de cálculo se escribe en elcuadro al lado.

En un libro nuevo: Active esta opción para crear un nuevo libro y pegar los

resultados en una hoja nueva del libro creado.

Residuos: Active esta casilla para incluir una tabla con los residuos(diferencias entre los valores estimados y observados).

Residuos estándares: Active esta casilla para incluir en la tabla de resultados

una columna con residuos estandarizados.Gráficos de Residuos: Esta casilla permite generar un gráfico de los residuospara cada variable independiente.

Curva de Regresión Ajustada: Permite generar un gráfico con los valorespronosticados por el modelo frente a los observados. Si sabemos hacer gráficos

con Excel, le podemos agregar una línea de tendencia.

Gráfico de probabilidad Normal: Activando esta casilla se generará ungráfico de la frecuencia relativa acumulada para la variable dependiente. Noagrega mayor información.



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Rango X Rango Y

se

Pendiente

sb

sa

Ordenada al origen

A continuación una hoja de Excel conteniendo datos de entrada y resultadosde una regresión lineal simple (una variable independiente)



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FUNCIONES ESTADÍSTICAS CON EXCELExcel proporciona diversas categorías o tipos de funciones: lógicas, matemáticas,financieras, etc.. Accedemos a ellas presionando el botón Pegar Función que seencuentra en la Barra de Herramientas Estándar . Esto activa una ventana de diálogo quenos muestra a la izquierda una lista con los tipos de funciones disponibles. Aquí nos

ocuparemos sólo de las funciones estadísticas. Una vez seleccionado el tipo de función,podemos elegir en la lista de la derecha la función específica que deseamos utilizar.

De acuerdo a la función elegida, Excel nos presentará los casilleros para que ingresemoslos argumentos correspondientes.



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DISTR.NORMCalcula probabilidades acumuladas o el valor de la densidad de probabilidad para unavariable aleatoria con distribución normal.

Sintaxis: DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum)

• X : Es el valor de la variable.

• Media : Es la media de la variable.

• Desv_estándar : Es el desvío estándar de la variable.

• Acum : Puede ser VERDADERO o FALSO. Si es VERDADERO, lafunción devuelve la probabilidad acumulada hasta X ; si es FALSO, devuelve elvalor de la función de densidad en el valor X .



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DISTR.NORM.INV Dada una probabilidad, devuelve el valor de la variable normal que acumula dicha

probabilidad, para la media y desvío estándar especificados. Es la función inversade DISTR.NORM.

• Sintaxis: DISTR.NORM.INV(prob;media;desv_estándar)• Prob es una probabilidad asociada a la distribución normal.• Media es la media aritmética de la distribución.• Desv_estándar es la desviación estándar de la distribución.

Ejemplos de DIST.NORM y DIST.NORM.INV • DISTR.NORM(42;40;1,5) esd igual a 0,908789. Entonces, para el valor

x=42, la distribución de la variable normal N(40;1,5) acumula una probabilidadigual a 0,908789.

• DISTR.NORM.INV(0,908789;40;1,5) es igual a 42. Entonces, laprobabilidad acumulada 0,908789 corresponde, en una variable normalN(40;1,5), al valor 42 de la variable.



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Gracias por su atención!

Daniel Hamburg PiekarE-mail: [email protected]

Tel: 55 (48) 3239-2108



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Bibliografía

• Richard Johnson, Irwin Miller, John Freund. “Miller & Freund'sProbability and Statistics for Engineers” , 7th Edition,

• MONTGOMERY, D. C.; RUNNGER, G.C. ,”Estatística Aplicada eProbabilidade para Engenheiros” ,LTC,2003.

• Armando Albertazzi G. Jr., André R. de Sousa, “Fundamentos deMetrologia Científica e Industrial” , Editora Manole, ISBN:

9788520421161.

• “NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods”,http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/

• Lira, Ignacio. “Evaluating the Uncertainty of Measurement.Fundamentals and Practical Guidance.” Institute of PhysicsPublishing, Bristol, UK (243 pp.), (2002) .


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Ejercicio 1: Estadística DescriptivaRepresentar los valores de medición de masa (en gramas) a seguir utilizando unhistograma y calcular los valores de la media, mediana, mínimo, máximo, desvioestándar, varianza y rango:

99,9100,199,88100,0899,96100,0299,9699,99100,18100,05

99,91100,16100,05100,1100,2499,97100,1100,0799,99100,02

99,97100,2199,8999,85100,12100,0399,9799,9810099,87

99,8199,87100,0399,9899,7799,9799,84100,04100,1699,99

100,0299,97100,21100,0799,8499,9499,99100,0499,9899,78

100100,01100,06100,0899,85100,06100,19100,1699,9899,98

100,01100,04100,0399,91100,2199,9899,999,99100,0199,94

100,05100,03100,09100,07100,02100,03100,0210099,9399,99

99,8999,9899,93100,0599,9999,8699,89100,1399,9499,97

99,85100,0699,9699,999,7599,9399,9399,94100,13100,07



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Varianza:

Desvío:

Media:

Mediana:

Rango:

Máximo:

Mínimo:Ejercicio 1:respuestas



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Ejercicio 2: Distribución Normal

• En un proceso fotográfico, el tiempo de impresión de una copiapuede considerarse como una variable aleatória con distribución

normal. El tiempo medio de impresión es 16,28 segundos, con undesvio estándar de 0,12 segundos.

1. Determine la probabilidad de que:

a) Una impresión sea realizada entre 16 y 16,5 segundos

b) Una impresión sea realizada en un mínimo de 16,2 segundos

c) Una impresión sea realizada en un máximo de 16,35 segundos

2. ¿Cuál es el tiempo en el que 95% de las copias son

impresas?



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Ejercicio 2: respuestas

2)

Respuesta

1.c)

1.b)

1.a)

Ejercicio


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Resultado

Coeficiente de correlación:

Desvio estándar de la

densidad:

Densidad promedio:


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Ejercicio 5: Comparaciones interlaboratoriales• Una comparación interlaboratorial fue realizada con la participación de 8

laboratórios, siendo uno de ellos considerado como laboratório de referencia. Lacomparación consiste en la determinación del desvio con relación al valor nominal

de la largura de un bloque patrón. El valor nominal es de 100 mm.• Los valores encontrados por cada laboratório son presentados en la tabla que

sigue:

1. Determine si los resultados de los laboratórios pueden ser considerados

satisfactórios (S), cuestionables (C) o instatisfactórios (I), utilizando el cálculo delError Normalizado y la técnica de Z-score



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Z-score

Z-scores

ConclusiónConclusiónEN

Error Normalizado

Laboratórios



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Ejercicio 6: Ajuste por Mínimos Cuadrados

• Una industria química desea estudiar el efecto del tiempo deextracción en la eficiencia de un determinado proceso químico. Para

tal fin, fueron obtidos los siguientes datos:

77495219

7239

6831

5715

6235

4619

80416445

5727

ó

1. Utilize la técnica de MínimosCuadrados para determinar la

recta de regresión.2. Con la recta anterior, obtenga la

eficiencia cuando el tiempo deextracción sea 50 minutos (utilize

95,45% de confianza para calcularlos límites de esa predicción)



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ValorParámetro

Intervalo(+/-)

Ypred[%]

Xpred[min]

a

b



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Ejercicio 7: Carta de Control (Média y Rango)

1. Elabore el gráfico de media y rango para los valores en la tabla abajo:

Subgrupo 1 2 3 4 5 6

Valores Medidos, X ij 4 0 8 6 3 8

5 2 4 9 2 7

5 1 3 9 0 9

4 5 7 7 3 9

Media, X-bar i

Rango, R i

Límite Superior, LSC X-bar

Gran Media, X-dbar

Límite Inferior, LIC X-bst

Límite Superior, LSC R

Rango Medio, R-bar

Límite Inferior, LIC R

654321

estadistica fundamental

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