estimación de matrices de covarianza con un modelo var
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Estimación de Matrices de Covarianza con un Modelo VAR-MARCH para
Tres Series de Tiempo Financieras
Camilo Botía Chaparro*
Departamento de Ingeniería Industrial, Universidad de los Andes
Noviembre 15 de 2008
Resumen
En este trabajo se estima un modelo VAR-ARCH multivariado para tres series de tiempo financieras. El objetivo es
comparar la matriz de covarianzas calibrada contra una aplicación del método de ponderación exponencial de media
móvil (EWMA). Se presenta un resumen de la teoría, la metodología utilizada y la manera en la que se evalúa la
capacidad de pronosticar una variable que no es directamente observable. Finalmente, se presentan conclusiones y
recomendaciones. La motivación para trabajar en la estimación de matrices de covarianza es su utilización en los
procesos de selección de portafolios (Asset Allocation). La evaluación del modelo muestra que los modelos VAR-GARCH
tienen un mejor desempeño que el modelo EWMA en los pronósticos a 1 año.
Palabras clave: VAR, MARCH, modelos de volatilidad, EWMA, Asset Allocation.
1 Introducción
Las matrices de covarianza entre activos financieros son entradas esenciales en muchas de las
actividades usuales de la administración financiera. Por ejemplo, los modelos de valor en riesgo
(VaR) para portafolios utilizan fuertemente las covarianzas entre los activos como entrada para
estimar la pérdida potencial en un portafolio. De otro lado, la cobertura financiera de posiciones
requiere estimadores de las correlaciones entre los activos que participan de la cobertura.
Además, a medida que las correlaciones entre los activos cambian también lo debe hacer la
cobertura financiera. La estimación de volatilidades juega un papel importante en la valoración de
opciones financieras.
Hoy en día es bastante conocido y aceptado que la volatilidad cambia a lo largo del tiempo y se
propaga a través de diferentes mercados. La habilidad de reconocer esta característica con un
modelo multivariado permite obtener resultados más cercanos a la realidad que los modelos
unidimensionales. En torno a la estimación de matrices de correlaciones se ha desarrollado una
gran cantidad de artículos académicos y métodos empíricos. En la práctica, se utilizan modelos
sencillos como estimación de correlaciones a futuro con las correlaciones observadas en la historia
y métodos de ponderación exponencial. Modelos más complejos como los de volatilidad
estocástica han sido investigados extensamente por los econometristas. También se han
2 C. Botía
desarrollado modelos de varianza condicional heterocedástica multivariados, por ejemplo, los
modelos multivariados autorregresivos de heterocedasticidad condicional y modelos
multivariados generalizados autorregresivos de heterocedasticidad condicional (MARCH y
MGARCH, respectivamente).
La aplicación que motiva este trabajo es el posicionamiento de activos o selección de portafolios
(Asset Allocation), el cual depende, entre otras entradas, de la estimación de la matriz de
covarianzas entre los activos considerados. Una estimación correcta de la matriz de covarianzas
permite seleccionar portafolios que sean coherentes con las condiciones de mercado esperadas y
realizadas, y que, por lo tanto, produzcan mayor retorno por unidad de riesgo, es decir, sean más
eficientes. En este trabajo se discuten modelos para la varianza condicional y se aplica uno de
estos a índices de bonos de gobierno. Específicamente, se trabaja con ocho índices de bonos de
gobierno de Estados Unidos, Alemania y Japón construidos por Citigroup.
El objetivo de este trabajo es evaluar la pertinencia de la utilización de modelos VAR-MARCH para
realizar la estimación de las matrices de covarianzas frente a un modelo de ponderación
exponencial de media móvil (EWMA). Se utilizan los modelos multivariados ARCH porque tienen la
capacidad de capturar la dinámica de la matriz de covarianzas a lo largo del tiempo, que es muy
importante en series de tiempo financieras, pues la varianza condicional en general no es
constante. En este trabajo se presenta un resumen de la teoría y una aplicación del modelo a tres
series de tiempo financieras. De la evaluación del modelo se concluye que la implementación del
modelo VAR-MARCH pronostica mejor la matriz de covarianzas anual que el método EWMA.
El trabajo está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 se resume la teoría de modelos
VAR y MARCH, en particular se presenta el modelo BEKK diagonal. En la sección 3 se expone la
metodología utilizada para la estimación del modelo. En la sección 4 se presentan los resultados
obtenidos durante el proceso de estimación del modelo. En la sección 5 se realiza la evaluación de
resultados basada en Franses y Van Dijk1. En la sección 6 se desarrollan las conclusiones sobre la
evaluación del método VAR-MARCH y en la sección 7 se presentan recomendaciones para
próximos trabajos.
2 Modelo VAR-MGARCH
En esta sección se presenta un resumen de la teoría relacionada con los modelos VAR (proceso
autorregresivo vectorial) y los modelos MARCH (modelos multivariados de heterocedasticidad
condicional autorregresivos). Este contenido se encuentra en Lütkepolh2 y Tsay3.
1 FRANCES, Philip Hans y VAN DIJK, Dick. Non-Linear Time Series Models in Empirical Finance. Cambridge, UK
; New York : Cambridge University Press, 2000. p. 187-199 2 LÜTKEPOHL, Helmut. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlín ; New York : Springer, 2005.
p. 13-578 3 TSAY, Ruey S.. Analysis of Financial Time Series. 2 ed. Hoboken, N.J. : Wiley, 2005. p. 339-489
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 3
Modelos VAR(p)
Se define un proceso VAR(p) o proceso autorregresivo vectorial de orden p como:
�� = � + ������ + ⋯ + ���� + �� , � = 0, ±1, ±2, … , (2.1)
en donde �� = (��� , … , ���)′ es un vector aleatorio de dimensión (� × 1) y los coeficientes �� son matrices de coeficientes constantes de dimensión (� × �), �� = (���, … , ���)′ es un vector
de constantes de dimensión (� × 1) que permite obtener procesos con media diferente de cero.
Finalmente, �� = (���, … , ���)� es un ruido blanco K-dimensional, es decir, ����� = 0, �����′�� =� y �����′!� = 0 para " ≠ �. La matriz de covarianzas � se supone no singular.
El proceso VAR(p) descrito por la ecuación (2.1) se dice que es estable si
det'(� − ��* − ⋯ − �*+ ≠ 0 ,-.- |*| ≤ 1. (2.2)
Esta condición se conoce como condición de estabilidad. El polinomio det'(� − ��* − ⋯ − �*+
se conoce como polinomio característico invertido.
Un proceso estocástico es estacionario si el primer y segundo momento son invariantes en el
tiempo. Es decir, �� es estacionario si
����� = 1 ∀ � (2.3)
y
��(�� − 1)(���3 − 1)′� = 45(ℎ) = 45(−ℎ)� ℎ = 0,1,2, … , ∀ � . (2.4)
Todo proceso VAR estable es estacionario. Esto se demuestra calculando directamente la función
de autocorrelación simple (fas) (ver Lütkepolh4). Sin embargo, el converso no es cierto. Esto quiere
decir que existen procesos VAR estacionarios que no son estables.
a. Pronósticos de modelos VAR(p)
Suponga que �� = (��� , … , ���)� es un proceso VAR(p) estable. Se calculará el pronóstico con el
error cuadrático medio (MSE) mínimo. Para esto, suponga que ��7 (ℎ) es un pronóstico para ��, ℎ
períodos adelante partir del período t, entonces:
en donde se utilizó que �8���93 − ��(��93)� × ���(��93) − ��7 (ℎ)�: = 0 porque la expresión ��93 − ��(��93) es una función de las innovaciones después del período t y por lo tanto no se
4 LÜTKEPOHL, Op. cit., p. 24
;<����7 (ℎ)� = �8���93 − ��(��93) + ��(��93) − ��7 (ℎ)�× ���93 − ��(��93) + ��(��93) − ��7 (ℎ)�: (2.5)
;<����7 (ℎ)� = ;<����(��93)�+ �8���(��93) − ��7 (ℎ)� × ���(��93) − ��7 (ℎ)�: (2.6)
4 C. Botía
encuentra correlacionada con los términos en ��(��93) − ��7 (ℎ), que son funciones de �!, " ≤ �.
De la ecuación anterior se observa que ;<����7 (ℎ)� alcanza su valor mínimo para ��7 (ℎ) =��(��93), por lo que queda demostrado que el pronóstico condicional con el mínimo MSE es el
valor esperado condicional, ��(��93).
Por la optimalidad de ��(��93) se concluye que
es el pronóstico óptimo h períodos adelante de un proceso VAR(p), si se cumple que �� es un ruido
blanco independiente (lo que garantiza que ��(��93) = 0, para ℎ > 0).
Modelos ARCH(q) Multivariados ( MARCH(q))
En el modelo VAR(p) presentado anteriormente se supone que la matriz de covarianzas de la
distribución condicional es invariante en el tiempo. Sin embargo, cuando se analizan series de
tiempo financieras, este supuesto es problemático. Para ver algunas implicaciones de la anterior
afirmación se recomienda consultar Lütkepolh5 y Tsay6. Por esta razón surgen modelos para la
varianza condicional.
Suponga que �� = (���, … , ���)� es un proceso vectorial de dimensión K con media cero y no
correlacionado serialmente. Es decir, �� puede corresponder al proceso residual de un modelo
dinámico (como un VAR(p)). Además, suponga que �� se puede representar como
�� = ��|����/? @� (2.8)
en donde @� es un ruido blanco K dimensional independiente e idénticamente distribuido (i.i.d.),
@�~B. B. D(0, (�), y ��|��� es la matriz de covarianza condicional de ��, dado ����, ���?, … . La
matriz ��|��� es se supone positiva definida y el proceso �� tiene una distribución condicional
dado E��� ∶= 8����, ���?, … : de la forma
��|E���~'0, ��|���+. (2.9)
Se dice que ��|��� sigue un proceso MARCH(q) o proceso multivariado de heterocedasticidad
condicional autorregresiva de orden q si
vech'��|���+ = JK + 4�vech(�����′���) + ⋯ + 4Lvech'���L�′��L+ (2.10)
en donde vech denota el operador matricial que devuelve un vector formado por las columnas de
una matriz cuadrada tomadas desde la diagonal principal hasta la última fila (ver Apéndice A), JK
es un vector de dimensión �? �(� + 1) constante y los 4M´" son matrices constantes de dimensión
�? �(� + 1) × �
? �(� + 1).
5 Ibid., p. 557.
6 TSAY, Op. cit., p. 443-446
��(��93) = � + ���(��93��) + ⋯ + ��(��93�) (2.7)
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 5
El proceso MARCH(q) es estacionario si y sólo si todos los eigenvalores de la matriz (2.11) tienen
un módulo menor que 1 (ver Engle y Kroner7).
O 4ML
MP� (2.11)
Una versión que utiliza un menor número de parámetros es el modelo conocido como MARCH(q)
diagonal (DMARCH(q)), propuesto por Bollerslev, Engle y Wooldridge8, en el que las matrices 4M
son diagonales. Estos procesos pueden generar patrones de volatilidad muy variados, aunque
tiene problemas técnicos como el no garantizar que las matrices de varianza condicional ��|���
sean positivas definidas, entre otros.
a. Modelo correlación condicional constante (CCC)
En este modelo, propuesto por Bollerslev9 en 1990, se simplifica el modelo general MARCH(q)
suponiendo que las correlaciones condicionales son invariantes con el tiempo. Esto implica que la
covarianza condicional '��|���+�M es proporcional al producto entre las desviaciones estándar
condicionales de ��� y �M�. Adicionalmente, se supone que las varianzas condicionales siguen un
proceso GARCH(1,1) univariado. Es decir
Q��,�? = R�� + S����,���? + T��Q��,���? B = 1, … , � (2.12)
Q�M,�? = U�MQ��,�QMM,� ∀ B ≠ V. (2.13)
o en forma matricial
��|��� = W��/?XW��/? (2.14)
en donde W� es una matriz diagonal de dimensión � × � compuesta por las varianzas
condicionales Q�M,�? y R es una matriz de dimensión � × � compuesta por las correlaciones
constantes, U�M. La matriz ��|��� resulta positiva definida si los modelos GARCH univariados
producen varianzas condicionales positivas y si la matriz de correlación R es positiva definida.
b. Modelo BEKK diagonal
Para garantizar que las matrices de covarianza condicional ΣZ|Z�� sean positivas definidas, Baba et
al.10 proponen la siguiente variante del modelo MARCH(q)
7 ENGLE, R. F. y KRONER, K. F.. Multivariate Simultaneous Generalized GARCH. En : Econometric Theory. Vol. 11 (1995). p. 122-150 8 BOLLERSLEV, T.; ENGLE, R. F. y WOOLDRIDGE, J. M. A Capital Asset Pricing Model with Time-Varying
Covariances. En : Journal of Political Economy. Vol. 96 (1988); p. 116-131. 9 BOLLERSLEV, T. Modeling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A Multivariate Generalized
ARCH Approach. En : Review of Economics and Statistics. Vol. 72 (1990). p. 498-505 10
BABA, Y., et al. Multivariate Simultaneous Generalized ARCH. En : Mimeo. Department of Economics, University of California, San Diego. 1991. Manuscrito no publicado.
6 C. Botía
��|��� = [K∗′[K∗ + 4�∗′�����′���4�∗ + ⋯ + 4L∗′���L�′��L4L∗ (2.15)
en donde las matrices [K∗ y 4M∗′" son de dimensión (� × �), y la matriz [K∗ es triangular. Este
modelo se denominó BEKK y tiene la ventaja de ser relativamente parsimonioso pues requiere
menor número de parámetros que la versión general del MARCH(q). Adicionalmente, este modelo
garantiza la unicidad de representación (ver Lütkepolh11).
El modelo BEKK diagonal tiene la misma estructura presentada en el párrafo anterior con la
diferencia de que las matrices 4M∗′" son todas diagonales. Esta característica lo hace aún más
parsimonioso.
c. Pronósticos con modelos MARCH(q)
Considere un modelo MARCH(q) dado por la siguiente ecuación
��|��� = JK + 4������′��� + ⋯ + 4L���L�′��L. (2.16)
Defina la variable �� dada por
�� = ���′� − ��|���. (2.17)
Entonces la ecuación para el proceso MARCH(q) se puede reescribir como
���′� = JK + 4������′��� + ⋯ + 4L���L�′��L + ��. (2.18)
De la definición de ��, se sabe que es un proceso que no está correlacionado serialmente y que
por lo tanto la ecuación anterior corresponde a un modelo VAR(q) para 8���′�:. Entonces los
pronósticos para el modelo MARCH(q) se pueden obtener de forma análoga a los pronósticos de
un modelo VAR(q), explicado anteriormente.
3 Metodología para implementación de un modelo VAR-MARCH con tres series de
tiempo
En esta sección se presenta una descripción de la metodología utilizada para la implementación de
un modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo financieras. Esta metodología está basada en la
metodología propuesta en Box y Jenkins12 y Tsay13.
Datos utilizados
Se utilizaron datos correspondientes a series de precios de índices de bonos de gobierno
elaborados por Citigroup. En particular, se trabajó con ocho series de tiempo correspondientes a
11
LÜTKEPOHL, Op. cit., p. 565 12
BOX, G.E.P y JENKINS, G.. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco, Calf. : Holden-Dady, 1970. 553 p. 13TSAY, Op. cit., p. 471
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 7
índices de bonos de gobierno de Estados Unidos, Alemania y Japón, de vencimientos entre 1 y 10
años. Una descripción más completa de los datos utilizados se puede encontrar en
www.yieldbook.com o en el Apéndice B. Los datos fueron obtenidos de Bloomberg. La
periodicidad es mensual desde diciembre de 1984 hasta septiembre de 2008.
Búsqueda de evidencia de varianza condicional
Para determinar si las series de tiempo pueden ser modeladas por medio de modelos ARCH
multivariados, se examina en primer lugar la evidencia de heterocedasticidad condicional en
modelos univariados. Para esto, es necesario estimar modelos ARIMA que describan el proceso de
la media del proceso para cada una de las series analizadas y con los residuos del modelo elaborar
diferentes pruebas que permitan determinar si existe o no varianza condicional heterocedástica.
Se utiliza la metodología propuesta en Box y Jenkins14, y a continuación se resumen los cuatro
pasos que la componen (para una exposición detallada de la metodología ver Guerrero15).
1. Identificación: En este paso se estabiliza la varianza mediante la utilización de una
transformación adecuada. También se lleva a cabo una estabilización de nivel por medio
de la toma de diferencias. Con la ayuda de la función de autocorrelación simple (fas) y la
función de autocorrelación parcial (fap) se identifica un primer candidato para el orden de
la parte autorregresiva y el orden de media móvil.
2. Estimación: Se procede a estimar el modelo. En este trabajo se utilizó el programa Eviews
para realizar la estimación. Para la estimación se trabajó con los datos mensuales de los
índices desde diciembre de 1984 hasta septiembre de 2005. Se preservaron los últimos
tres años de datos para realizar las correspondientes evaluaciones de pronóstico.
3. Verificación: Se analizan los residuos para corroborar los supuestos básicos del modelo. En
particular, se observa si los residuos tienen media cero, no están correlacionados (se usan
la fas, la fap, pruebas LM y Portmanteau) y no existen observaciones aberrantes. Además
se verifica que el modelo considerado sea parsimonioso, admisible (estructura ARMA
estacionaria e invertible) y estable en los parámetros. Si alguna de estas condiciones no se
verifica, se procede a repetir los pasos 1, 2 y 3 hasta que se corrijan estos errores de
especificación.
4. Uso del modelo: Con el modelo ARIMA(p,d,q) para la media calibrado, se investiga la
posible presencia de varianza condicionalmente heterocedástica. Para esto, se hacen
pruebas con la función de autocorrelación simple de los residuos del modelo al cuadrado y
se buscan modelos de regresión lineal de los residuos al cuadrado con sus rezagos
significativos.
Selección de series de tiempo para el modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo
14
BOX y JENKINS, Op. cit., p. 1509 15
GUERRERO, Víctor Manuel. Análisis Estadístico de Series de Tiempo Económicas. 2 ed. México : Thomson, 2003. p. 107-175
8 C. Botía
Se seleccionan las tres series de tiempo que muestren una mayor evidencia de varianza
condicionalmente heterocedástica. Para esto, se evalúan los criterios desarrollados en el último
paso de la búsqueda de evidencia de varianza condicional. Adicionalmente, se tiene en cuenta que
es deseable para los objetivos del trabajo modelar series de tiempo de diferentes países, para
estudiar las relaciones de volatilidad entre los mismos.
Calibración del modelo VAR-MARCH con dos series de tiempo
Estimación de un modelo VAR(p) que describa el proceso de la media: en este paso se utiliza la
metodología en Box y Jenkins16. Sin embargo, en el paso de identificación se utilizan herramientas
que ayudan a determinar el orden p adecuado. Además, en la parte de verificación se evalúa que
los coeficientes estimados sean significativamente distintos de cero. Así mismo, para verificar las
condiciones de estacionariedad se utilizan las condiciones que garantizan la estabilidad.
El siguiente paso es estimar el modelo VAR-MARCH. La identificación del orden adecuado para el
modelo de varianza condicional se hace observando la fas, la fap y el correlograma de los residuos
al cuadrado. Además, el proceso incluye la verificación de las condiciones de estacionariedad tanto
para el modelo de la media como para el modelo de la varianza condicional. Se utiliza un modelo
BEKK diagonal, el cual garantiza que la matriz de covarianzas estimadas sea positiva definida y es
un poco menos restrictivo en cuanto a los patrones de volatilidad que el DMARCH(q).
Calibración del modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo
Se realiza de la misma manera en la que se calibra el proceso con dos series de tiempo, con la
diferencia que en este punto se conoce además de la información de los modelos univariados, la
información que se desprende de la calibración del modelo con dos series de tiempo.
4 Resultados
En esta sección se presentan los resultados obtenidos al aplicar la metodología de la sección 3.
Evidencia de varianza condicional heterocedástica
Identificación: Con respecto a la estabilización de varianza, al trabajar con la transformación ]( �̂) = _` ( �̂), en donde �̂ es el precio del índice en el momento t, el procedimiento
presentado en Guerrero17 no sugiere que sea necesario aplicar una transformación adicional.
Además, debido a la clara tendencia creciente de ]( �̂) = _` ( �̂), se toma la primera diferencia.
Este procedimiento es bastante conveniente e intuitivo dado que la primera diferencia de la
transformación logaritmo natural corresponde precisamente al rendimiento logarítmico de la serie
de precios.
16
BOX y JENKINS, Op. cit., 553 p. 17GUERRERO, Op. cit., p. 108-113
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 9
Verificación: En la Tabla 1 se resumen los resultados obtenidos luego de realizar el procedimiento
de identificación, estimación y verificación hasta que se cumplieron las condiciones mencionadas
en la sección 3. En la tabla se observa el estadístico Q para el rezago 24 y la prueba de correlación
serial LM, con los primeros 5 rezagos para los residuos del modelo para la media. Como se puede
observar, ninguna de estas pruebas permite evidenciar la presencia de correlación serial en los
residuos a un nivel de confianza del 10%.
En la tabla también se incluye una columna en la que se indica si los parámetros resultan
estadísticamente significativos y si se cumplen los criterios para que los procesos ARMA(p,q) sean
estables e invertibles.
Tabla 1. Resultados estimación modelos univariados
Las funciones de autocorrelación simple y parcial (fas y fap) de los residuos de los modelos que se
muestran en la tabla anterior no permiten descartar que se trate de ruido blanco, pues se
encuentran dentro del intervalo a− ?√c , ?√cd, en su mayoría.
Uso del modelo: El uso de los modelos univariados en este trabajo estuvo principalmente
orientado hacia la búsqueda de evidencia de varianza condicional heterocedástica, a la selección
de las series de tiempo que participarían del modelo vectorial de dimensión dos y tres y, a la
calibración de los modelos vectoriales con la información arrojada por los modelos univariados.
Con respecto a la búsqueda de evidencia de varianza condicional heterocedástica se puede
observar en la Tabla 2 que en general las series de tiempo trabajadas presentan este efecto,
aunque en algunos casos es más evidente que en otros. Por ejemplo, para la serie de rendimientos
del índice de Japón de plazos entre 5 y 10 años no se encuentra un modelo para los residuos al
cuadrado que sea globalmente significativo al 10% y además el estadístico Q para los residuos al
cuadrado en el rezago 24 no permite rechazar la hipótesis nula de que los residuos al cuadrado no
estén correlacionados.
# SerieModelo para
la MediaQ-stat (24)
Breusch-Godfrey Serial
Correlation LM Test(5 lags)
Significancia
Parámetos
Estabilidad e
Invertibilidad
1 US 1-3 años AR(1) 0,13 0,60 si si
2 US 3-5 años AR(1) 0,45 0,53 si si
3 US 5-10 años Cte 0,47 0,17 si si
4 DM 1-3 años AR(1) 0,38 0,33 si si
5 DM 3-10 años AR(1) 0,20 0,29 si si
6 JY 1-3 años AR(10)* 0,75 0,27 si si
7 JY 3-5 años AR(6)** 0,32 0,43 si si
8 JY 5-10 años ARMA(2,2)*** 0,82 0,45 si si
* AR(1), AR(2), AR(6), AR(10) Significativos
** AR(1), AR(6) Significativos
*** MA(1) No Significativo
10 C. Botía
En cambio, para la serie de retornos logarítmicos para el índice de bonos soberanos de Japón de
plazos entre 3 y 5 años se evidencia una estructura AR(2) globalmente significativa y además el
estadístico Q en el rezago 24 permite decir que los residuos al cuadrado están correlacionados.
Tabla 2. Resultados estimación modelos univariados
Teniendo en cuenta los resultados anteriores y buscando calibrar y generar patrones de volatilidad
interesantes, se seleccionaron las siguientes series para hacer parte del modelo vectorial:
- La serie de Japón de 3 a 5 años dado su buen comportamiento con respecto al orden del
modelo de los residuos al cuadrado, a la significancia global del mismo y al estadístico Q.
- La serie de Estados Unidos de 5 a 10 años dado su buen comportamiento con respecto al
orden del modelo de los residuos al cuadrado, con respecto a las otras series analizadas
para Estados Unidos. Además, teniendo en cuenta que esta serie corresponde a un país
diferente a Japón, se presume que los patrones de volatilidad serán más interesantes.
- Finalmente, la serie de Alemania de 3 a 10 años fue escogida debido a que tiene en común
con la de Estados Unidos el período de 5 a 10 años y con Japón el período de 3 a 5 años. Es
decir, la duración efectiva que caracteriza el índice de bonos de gobierno de Alemania de 3
a 10 años está entre la duración efectiva del índice de Japón escogido y la del índice de
Estados Unidos. Esto quiere decir que la relación de los rendimientos frente a
movimientos en tasas de interés son comparables, lo que es deseable para el modelo
multivariado. Aunque el estadístico Q en el rezago 24 no apoya la existencia de varianza
condicional, otros rezagos como el 2 y el 6 muestran estructura ARCH modelable.
En la Figura 1 se pueden observar los rendimientos mensuales de los tres índices seleccionados
para el modelo vectorial. Se observa que el índice de Japón presenta alta volatilidad al comienzo
de la serie y luego baja volatilidad. Por otro lado el índice de Estados Unidos tiene a ser más volátil
hacia el final de la serie comparado con el inicio. El índice de Alemania presenta comportamientos
de alta y baja volatilidad alternados.
# Serie
Estructura
Residuos al
Cuadrado
F Test Modelo
Residuos
Q-stat (Squared Residuals)
(24)
1 US 1-3 años AR(9) 0,04 0,01
2 US 3-5 años AR(9) 0,01 0,07
3 US 5-10 años AR(3) 0,04 0,09
4 DM 1-3 años AR(5) 0,02 0,11
5 DM 3-10 años AR(6) 0,07 0,62
6 JY 1-3 años AR(9) 0,07 0,02
7 JY 3-5 años AR(2) 0,02 0,01
8 JY 5-10 años AR(1) 0,10 0,67
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 11
Figura 1. Retornos logarítmicos seleccionados
Calibración del modelo VAR-MARCH con dos series de tiempo
El primer modelo vectorial se trabajó con las series de Estados Unidos (5-10 años) y Alemania (3-
10 años).
En la Tabla 3 se presenta un resumen de los diferentes criterios de selección de orden utilizados
para el modelo vectorial autorregresivo. De acuerdo con la discusión sobre selección de orden
presentada en Lütkepolh18, se sabe que los criterios FEP y AIC son especialmente buenos para
pronósticos, ya que están diseñados para minimizar el error cuadrático medio de los mismos.
Además, se sabe que estos estadísticos sobreestiman asintóticamente el verdadero orden del VAR
con probabilidad positiva. De otro lado, los criterios SC y HQ son estimadores consistentes del
orden verdadero del proceso VAR. Debido a que el interés de desarrollar modelos VAR en este
trabajo es el de pronósticos y teniendo en cuenta la comparación de criterios discutida en
Lütkepolh19, se decidió iniciar el proceso de identificación y estimación con un VAR de orden 1.
18
LÜTKEPOHL, Op. cit., p. 135-192 19 Ibid., p. 135-192
-4,00%
-3,00%
-2,00%
-1,00%
0,00%
1,00%
2,00%
3,00%
4,00%
5,00%
-6,00%
-4,00%
-2,00%
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
dic-85 sep-88 jun-91 mar-94 dic-96 sep-99 jun-02 mar-05
Citi US 5-10 años Citi DM 3-10 años Citi JY 3-5 años
12 C. Botía
Tabla 3. Criterio de Selección Orden de VAR
Al estimar un VAR(1) se obtuvo el siguiente resultado:
�� = � + ������ + ��, � = 0, ±1, ±2, … , (4.1)
en donde
� = e0.653% �5.22�0.483% �6.24� l , �� = e0.132 �1.68� −0.081 �−0.64�0.051 �1.04� 0.103 �1.33� l
con estadísticos t en [ ].
Al examinar la estabilidad del proceso se encuentra que tal y como lo muestra la Tabla 4, el
proceso es estable y por lo tanto estacionario.
Tabla 4. Raíces del polinomio característico invertido
En la Tabla 5 se muestran los resultados obtenidos al realizar las pruebas de autocorrelación y de
correlación serial para los residuos del modelo. Como se puede observar, no es posible rechazar
las respectivas hipótesis nulas, lo que favorece la correcta especificación del modelo.
Observaciones: 241
Orden LogL LR FPE AIC SC HQ
0 1445,3 NA 2,15E-08 -11,978 -11.949* -11.966*
1 1450,7 10.48* 2.13e-08* -11.988* -11,90 -11,95
2 1453,2 5,05 2,16E-08 -11,977 -11,83 -11,92
3 1455,4 4,20 2,19E-08 -11,962 -11,76 -11,88
4 1458,7 6,41 2,20E-08 -11,956 -11,70 -11,85
5 1462,2 6,58 2,21E-08 -11,952 -11,63 -11,82
6 1463,3 2,11 2,26E-08 -11,928 -11,55 -11,78
7 1465,3 3,77 2,30E-08 -11,911 -11,48 -11,74
8 1467,7 4,44 2,33E-08 -11,898 -11,41 -11,70
* indica el orden seleccionado por el criterio
LR: Test estadístico LR secuencial modificado (cada test al 5%)
FPE: Final prediction error
AIC: Akaike information criterion
SC: Schwarz information criterion
HQ: Hannan-Quinn information criterion
Muestra: Dic-1984 Sep-2005
Raíz Módulo
0.117 - 0.062i 0,133
0.117 + 0.062i 0,133
Variables Endógenas: DLOGCITIUS_5_10 DLOGCITIDM_3_10
Variables Exógenas: Cte
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 13
Tabla 5. Pruebas de autocorrelación y correlación serial para residuos
Al calibrar el modelo MARCH se tiene en cuenta que no todos los coeficientes estimados resultan
estadísticamente significativos en el modelo VAR. Para corregir esto se utiliza entre otros, la
información obtenida de los modelos univariados. A continuación se presentan los resultados del
modelo MARCH calibrado, corrigiendo los coeficientes del modelo VAR que no resultan
estadísticamente significativos.
Se seleccionó un modelo VAR(1)-MARCH(1), cuyos coeficientes estimados son:
�� = � + ������ + ��, � = 0, ±1, ±2, … , (4.2)
��|��� = [K + 4′������′���4� (4.3)
en donde
� = e0.709% (0.0)0.492% (0.0) l , �� = e0 00 0.151 (0)l,
[K = o1.34 × 10�p (0) 4.42 × 10�p (0)4.42 × 10�p (0) 1.46 × 10�q (0) r , 4� = e0.0834 (0) 00 0.2887 (0)l
con p-valores en ( ).
Al restringir los coeficientes del proceso VAR(1) a cero, no se pierde la estabilidad. Además, el
proceso para la varianza condicional es estacionario. De la misma manera, la prueba de hipótesis
para autocorrelaciones no sugiere que exista correlación serial en los primeros 12 rezagos.
Al examinar la función de autocorrelación simple y parcial de los residuos del modelo al cuadrado,
se observa que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que todos los
coeficientes de la fas y la fap son cero, para la mayoría de rezagos (exceptuando el 16).
VAR portmanteau test para autocorrelación
Ho: no hay autocorrelación hasta el rezago h
Rezago Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df LM-Stat Prob.
1 0,13 NA* 0,13 NA* NA* 7,09 0,13
2 6,72 0,15 6,77 0,15 4,00 6,69 0,15
3 11,70 0,17 11,81 0,16 8,00 5,14 0,27
4 18,13 0,11 18,35 0,11 12,00 6,39 0,17
5 25,27 0,07 25,64 0,06 16,00 7,25 0,12
6 26,27 0,16 26,66 0,15 20,00 1,01 0,91
7 30,73 0,16 31,25 0,15 24,00 4,46 0,35
8 34,55 0,18 35,20 0,16 28,00 3,84 0,43
9 37,12 0,24 37,86 0,22 32,00 2,58 0,63
10 39,48 0,32 40,33 0,28 36,00 2,36 0,67
df: grados de libertad para distribución chi-cuadrado (aproximada)
Muestra: Dic-1984 Sep-2005
VAR test para correlación serial
*El test es válido sólo para rezagos mayores al orden VARProbs de chi-square con 4 df.
Ho: no correlación serial en el
rezago h
14 C. Botía
En la Figura 2 se observan los patrones de volatilidad que el modelo calibrado permite hacer sobre
los datos utilizados. En la gráfica se utiliza el pronóstico un mes adelante para generar los patrones
de volatilidad.
Figura 2. Patrones de volatilidad calibrados
Calibración del modelo VAR-MARCH con tres series de tiempo
En este modelo vectorial con tres series de tiempo se utilizaron las series de Estados Unidos (5-10
años), Alemania (3-10 años) y Japón (3-5 años). Además, como ayuda para la identificación y
especificación del modelo, se utilizó la información conocida con respecto al VAR(1)-MARCH(1) y a
los modelos univariados calibrados anteriormente.
En la Tabla 6 se presenta un resumen de los diferentes criterios de selección de orden utilizados
para el modelo vectorial autorregresivo. Por el mismo argumento explicado anteriormente sobre
los criterios de selección de orden, se decidió iniciar el proceso de identificación y estimación
acorde con los criterios FPE y AIC, es decir, con un VAR de orden 1.
0,0E+00
5,0E-05
1,0E-04
1,5E-04
2,0E-04
2,5E-04
3,0E-04
0,0E+00
1,0E-05
2,0E-05
3,0E-05
4,0E-05
5,0E-05
6,0E-05
7,0E-05
8,0E-051
98
5
19
86
19
87
19
88
19
89
19
90
19
91
19
92
19
93
19
94
19
95
19
96
19
97
19
98
19
99
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
20
05
Var(US_5_10) Cov(US_5_10,DM_3_10) Var(DM_3_10)
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 15
Tabla 6. Criterios de selección de orden de VAR
Sin embargo, al estimar el modelo VAR(1), las pruebas para autocorrelación de los residuos del
modelo y de correlación serial, indican la presencia de correlación en los residuos. Por esta razón,
fue necesario estimar un modelo VAR(3), en el cual se obtuvo:
�� = � + ������ + �?���? + �s���s + �� , � = 0, ±1, ±2, … , (4.4)
en donde
� = t0.654% �4.49�0.401% �4.49�0.280% �3.65� u , �� = t0.165 �2.06� −0.18 �−1.36� 0.18 �1.36�0.069 �1.4� 0.009 �0.11� 0.172 �2.10�0.079 �1.87� −0.05 �−0.83� 0.149 �2.12�u,
�? = t−0.12 �−1.54� −0.13 �−0.96� 0.37 �2.82�0.024 �0.49� −0.14 �−1.74� 0.187 �2.27�0.012 �0.28� 0.04 �0.61� 0.082 �1.16�u,
�s = t0.029 �0.37� 0.015 �0.11� −0.08 �−0.6�0.057 �1.19� 0.0395 �0.48� −0.016 �−0.19�0.05 �1.22� −0.14 �−2.01� −0.033 �−0.46�u
con estadísticos t en [ ].
Al evaluar las condiciones de estabilidad del proceso, se encuentra que las raíces del polinomio
característico invertido tienen módulo menor que uno, como lo muestra la Tabla 7.
Observaciones: 241
Orden LogL LR FPE AIC SC HQ
0 2258,7 NA 1.49E-12 -18,720 -18,67* -18,70*
1 2269,1 20,53* 1.47E-12* -18,73* -18,56 -18,66
2 2277,8 16,84 1.48E-12 -18,729 -18,43 -18,61
3 2283,4 10,68 1.52E-12 -18,700 -18,27 -18,53
4 2290,9 14,21 1.54E-12 -18,688 -18,12 -18,46
5 2294,1 5,99 1.61E-12 -18,640 -17,95 -18,36
6 2299,9 10,68 1.66E-12 -18,613 -17,79 -18,28
7 2302,7 5,11 1.75E-12 -18,562 -17,61 -18,18
8 2305,9 5,81 1.83E-12 -18,514 -17,43 -18,08
* indica el orden seleccionado por el criterio
LR: Test estadístico LR secuencial modificado (cada test al 5%)
FPE: Final prediction error
AIC: Akaike information criterion
SC: Schwarz information criterion
HQ: Hannan-Quinn information criterion
Muestra: Dic-1984 Sep-2005
16 C. Botía
Tabla 7. Raíces del polinomio característico invertido
En la Tabla 8 se muestran los resultados obtenidos al realizar las pruebas de autocorrelación y de
correlación serial para los residuos del modelo. En la tabla se observa que no es posible rechazar
las hipótesis nulas, lo que favorece la correcta especificación de modelo.
Tabla 8. Pruebas de autocorrelación y correlación serial para residuos
Al calibrar el modelo MARCH se tiene en cuenta que no todos los coeficientes estimados resultan
estadísticamente significativos. Para corregir esto se utiliza la información obtenida de los modelos
univariados y del modelo estimado VAR(1)-MARCH(1) para dos series de tiempo. A continuación se
presentan los resultados del modelo MARCH calibrado, corrigiendo los coeficientes del modelo
VAR que no resultan estadísticamente significativos.
Se seleccionó un modelo VAR(3)-MARCH(1), cuyos coeficientes estimados son:
�� = � + ������ + �?���? + �s���s + ��, � = 0, ±1, ±2, … , (4.5)
��|��� = [K + 4′������′���4� (4.6)
en donde
Raíz Módulo
-0.17 + 0.54i 0,57
-0.17 - 0.54i 0,57
0.48 + 0.27i 0,56
0.48 - 0.27i 0,56
0.12 - 0.46i 0,48
0.12 + 0.46i 0,48
-0.37 - 0.17i 0,41
-0.37 + 0.17i 0,41
0.19 0,19
Variables Endógenas: DLOGCITIUS_5_10 DLOGCITIDM_3_10
Variables Exógenas: Cte
VAR portmanteau test para autocorrelación
Ho: no hay autocorrelación hasta el rezago h
Rezago Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df LM-Stat Prob.
1 0,46 NA* 0,46 NA* NA* 12,96 0,16
2 1,01 NA* 1,01 NA* NA* 10,34 0,32
3 1,94 NA* 1,96 NA* NA* 10,28 0,33
4 14,14 0,12 14,36 0,11 9,00 12,46 0,19
5 20,85 0,29 21,21 0,27 18,00 6,94 0,64
6 30,99 0,27 31,61 0,25 27,00 10,15 0,34
7 35,37 0,50 36,11 0,46 36,00 4,46 0,88
8 43,18 0,55 44,18 0,51 45,00 7,85 0,55
9 50,14 0,62 51,40 0,58 54,00 6,91 0,65
10 57,86 0,66 59,46 0,60 63,00 7,69 0,57
df: grados de libertad para distribución chi-cuadrado (aproximada)
Muestra: Dic-1984 Sep-2005
VAR test para correlación serial
Ho: no correlación serial en el
rezago h
*El test es válido sólo para rezagos mayores al orden VARProbs de chi-square con 9 df.
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 17
� = t0.708% (0)0.492% (0)0.354% (0) u , �� = v0 0 00 0 0.2362 (0)0 0 0.1887 (0)w , �? = v0 0 00 0 00 0 0w,
�s = v0 0 00 0 00 −0.1025 (0) 0w , [K = t1.57 × 10�p (0) 5.61 × 10�p (0) 4.58 × 10�x (0)5.61 × 10�p (0) 2.0 × 10�q (0) 1.63 × 10�p (0)4.58 × 10�x (0) 1.63 × 10�p (0) 1.33 × 10�x (0) u, 4� = t0.0753 (0) 0 00 0.2237 (0) 00 0 0.3102 (0)u
con p-valores en ( ).
Al restringir los coeficientes del proceso VAR(3) a cero, no se pierde la estabilidad. Además, el
proceso para la varianza condicional es estacionario. De la misma manera, la prueba de hipótesis
para autocorrelaciones no sugiere que exista correlación serial en los primeros 12 rezagos.
Al examinar la función de autocorrelación simple y parcial de los residuos del modelo al cuadrado,
se observa que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que todos los
coeficientes de la fas y la fap son cero, para todos los rezagos.
En la Figura 3 se observan los patrones de volatilidad que el modelo calibrado permite hacer sobre
los datos utilizados. En esta gráfica se utiliza el pronóstico un mes adelante para generar los
patrones de volatilidad.
Figura 3. Patrones de volatilidad calibrados
0,0E+00
5,0E-05
1,0E-04
1,5E-04
2,0E-04
2,5E-04
3,0E-04
0,0E+00
2,0E-05
4,0E-05
6,0E-05
8,0E-05
1,0E-04
1,2E-04
1,4E-04
1,6E-04
19
85
19
86
19
87
19
88
19
89
19
90
19
91
19
92
19
93
19
94
19
95
19
96
19
97
19
98
19
99
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
20
05
Var(US_5_10) Var(JY_3_5) Cov(US_5_10, DM_3_10)
Cov(US_5_10, JY_3_5) Cov(DM_3_10,JY_3_5) Var(DM_3_10)
18 C. Botía
5 Evaluación de Resultados
La evaluación de pronósticos se realizó frente a un método alternativo conocido como método de
promedio móvil con ponderación exponencial (EWMA por sus siglas en inglés). El pronóstico de
covarianza mensual entre las series de retorno y�� y yM� con el método EWMA se calcula como:
Q�M = z(1 − {) ∑ {���(y�� − y}�)(yM� − y}M)~�P� . (5.1)
Para los datos mensuales se utiliza el parámetro { = 0.97 (ver JP Morgan20). Además, se utilizan
60 datos (5 años) para calcular las matrices de covarianza. El pronóstico anual de la matriz de
covarianza se obtiene multiplicando el pronóstico mensual por doce. Para mayor información
sobre este método de estimación de volatilidad se sugiere consultar el documento JP Morgan21.
La evaluación de pronósticos está basada principalmente en la sección de evaluación de
pronósticos de Franses y Van Dijk22. Para un resumen de la metodología utilizada para la
evaluación de pronósticos se sugiere consultar Franses y Van Dijk23 y el Apéndice C al final de este
documento. La evaluación de pronósticos se realizó con los datos mensuales desde octubre de
2005 hasta septiembre de 2008.
El MSPE es el error cuadrático promedio de predicción y el MedSPE es la mediana de los errores de
predicción al cuadrado. De la misma manera, el MAPE es el error promedio absoluto y el
MedMAPE es la mediana de los errores de predicción absolutos. Las pruebas DM(s) y DM(a) tienen
la hipótesis nula de que los métodos comparados en cuanto a pronósticos son iguales (Ver
Apéndice C).
En las siguientes tablas se muestra el resumen de la evaluación de los pronósticos de volatilidad
del modelo VAR-MARCH frente a la metodología EWMA (p-valores entre paréntesis ( )). El
Tabla 9. Evaluación de pronósticos EWMA frente a VAR-MARCH
Tabla 10. Pruebas DM(S) y DM(A)
20
JP MORGAN. Technical Document. Disponible en < http://www.riskmetrics.com/publications>. 4 ed. 1996. p. 77-101 21
Ibid., p. 77-101 22
FRANCES y VAN DIJK, Op. cit. p. 187-199 23 Ibid., p. 187-199
Modelo Periodicidad MSPE MedSPE MAPE MedAPE a b R^2
Mensual 1,6E-07 5,3E-08 6,7E-04 4,9E-04 2,4E-4 (0,34) -1,2 (0) 0,06
Anual 9,6E-06 9,6E-06 6,0E-03 6,0E-03 2,4E-4 (0,44) -0,1 (0) 0,57
Mensual 2,2E-07 5,2E-08 7,9E-04 5,2E-04 -3,5E-4 (0,63) 15,2 (0) 0,02
Anual 9,1E-06 9,1E-06 4,6E-03 4,6E-03 -8,8E-3 (0,71) -2,9 (0) 0,72
Mensual 1,38 0,99 1,17 1,05 N.A. N.A. 0,33
Anual 0,955 0,95 0,76 0,757 N.A. N.A. 1,3
EWMA
VAR-MARCH
VAR-MARCH/EWMA
Modelo Periodicidad DM(S) DM(A)
Mensual 0,66 0,051
Anual 0 0GARCH
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 19
Como se puede observar en la fila cinco de la Tabla 9 (cociente de los criterios mensuales), el
método EWMA resulta ser superior al método VAR-MARCH en los indicadores MSPE, MAPE y
MEDAPE. Sin embargo, el método VAR-MARCH resulta superior según el indicador MEDSPE.
Adicionalmente, en el criterio X? el método EWMA es superior nuevamente. Estos indicadores
permiten afirmar que durante el período de evaluación de pronósticos la metodología EWMA fue
mejor que VAR-MARCH pronosticando la matriz de covarianza mensual de las tres series de
tiempo analizadas. No obstante, los criterios mensuales DM(S) y DM(A) permiten concluir que las
metodologías no son significativamente diferentes a un nivel de confianza del 5%.
En la última fila de la primera tabla se puede observar el cociente entre los criterios de VAR-
MARCH y EWMA para pronósticos anuales. En los criterios MSPE, MEDSPE, MAPE y MEDAPE la
metodología VAR-MARCH para pronosticar matrices de covarianza es superior a la metodología
EWMA. En el criterio X? VAR-MARCH supera a EWMA. Estos criterios permiten afirmar que
durante el período de evaluación, los pronósticos anuales de covarianza del método VAR-MARCH
fueron superiores al método EWMA. Finalmente, los criterios DM(S) Y DM(A) permiten concluir
que las metodologías consideradas son diferentes.
El método de evaluación de pronósticos de covarianzas permite concluir que aunque la
metodología EWMA tiene mejores propiedades de pronóstico mensual para las series de tiempo
analizadas, la metodología VAR-MARCH es superior a EWMA a la hora de pronosticar la matriz de
varianza-covarianza anual.
6 Conclusiones
En este trabajo se presentó una aplicación de la teoría de series de tiempo multivariadas (en
particular, de los modelos VAR-MARCH) a tres series de tiempo financieras con el objetivo de
evaluar la pertinencia de estimar la matriz de covarianzas anual a partir de esta teoría frente a una
aplicación del modelo EWMA. Se presenta un resumen de la teoría de los modelos VAR, MARCH y
del modelo BEKK diagonal. Adicionalmente se presenta la metodología utilizada para realizar la
estimación y selección de modelos. Finalmente, se evalúan los resultados obtenidos mediante una
metodología para evaluación de pronósticos de matrices de covarianzas.
Este estudio permite comparar y conocer los detalles de la estimación de un modelo VAR-MARCH
utilizado para pronosticar la matriz de covarianzas un año adelante, con el objetivo de refinar las
entradas de un proceso de selección de portafolios o posicionamiento de activos.
Los resultados obtenidos en este estudio concluyen que, desde el punto de vista de los
pronósticos de volatilidad, es conveniente estimar las matrices de covarianza con un modelo VAR-
MARCH (BEKK diagonal) debido a que en la evaluación de resultados obtuvo mejores criterios que
la aplicación del modelo EWMA. El modelo de varianza condicional calibrado permite capturar la
estructura de la volatilidad al considerar todos los datos históricos y, además, permite modelar la
dependencia temporal, a diferencia del modelo EWMA, que no permite la utilización de todos los
20 C. Botía
datos. No obstante, este estudio concluye que cuando se trata de matrices de covarianza mensual,
la metodología EWMA es superior al modelo VAR-MARCH estimado.
En cuanto al estudio de la teoría de modelos VAR-MARCH, se concluye que es más elaborada y
completa que la teoría detrás del modelo EWMA. Esta característica permite soportar propiedades
de los modelos desde la teoría aunque también ocasiona que la implementación, explicación y
práctica de dichos modelos sea limitada debido a la dificultad de la correcta identificación del
modelo.
En cuanto a la estimación de modelos de varianza condicional multivariados como el caso del
modelo VAR-BEKK diagonal, se puede concluir que requieren personal altamente calificado en esta
teoría para ser implementados correctamente. Las herramientas comerciales tradicionales no
incorporan este tipo de algoritmos. Adicionalmente, requiere bastante tiempo estimar un modelo,
debido a que no existe software que realice una calibración automática. De otro lado, el número
de series de tiempo que es posible modelar está limitado porque el número de parámetros del
modelo crece rápidamente a medida que se agregan series de tiempo (lo que hace que sea difícil
identificar la solución que representa el proceso). Todas estas características hacen que la
actualización de un modelo y su aplicación en la práctica de la administración financiera sean
bastante limitadas. En estos aspectos, el modelo EWMA tiene todas las ventajas frente a los
modelos VAR-MARCH, pues es sencillo y claro.
Finalmente, aunque en este trabajo no se estudiaron en detalle los algoritmos de estimación de
los modelos VAR-MARCH, se debe hacer una aclaración importante. Los algoritmos utilizados para
la estimación de estos procesos siguen en desarrollo, esto quiere decir que aún no se obtienen
algoritmos tan buenos y tan eficientes como se quisiera. La estimación de este tipo de procesos
requiere una interacción exhaustiva entre el modelador y el modelo. Para el lector interesado en
las técnicas y dificultades de estimación de estos modelos se recomienda el artículo de Brooks,
Burke y Persand24.
7 Recomendaciones
En este trabajo se calibró un modelo VAR-MARCH para tres series de tiempo financieras. Sin
embargo, en algunas prácticas financieras es necesario trabajar con un número mayor de activos,
por lo que es necesario contar con modelos que permitan trabajar con este tipo de situaciones.
Por esta razón, se recomienda que para aplicaciones que requieran la utilización de más activos se
24
BROOKS, C. ; BURKE, S. P. y PERSAND, G.. Multivariate GARCH Models: Software Choice and Estimation Issues. En : Journal of Applied Econometrics. Vol. 18 (2003). p. 725-734.
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 21
trabaje con modelos de factores multivariados GARCH (ver Franses y Van Dijk25) o modelos de
correlación condicional dinámica (DCC) (ver Engle26).
Por otro lado, si se quiere explotar aún más la estructura de varianza condicional de las series de
tiempo, se recomienda trabajar datos con frecuencias semanales e incluso diarias. Sin embargo, si
el horizonte de pronóstico es un año, los modelos de datos semanales o diarios tienen un reto
importante para poder pronosticar volatilidades varios períodos adelante. Esto se debe a que los
modelos de varianza condicional pronostican valores muy cercanos a la media a medida que
aumenta el horizonte de tiempo. Poder utilizar tanto datos semanales como mensuales para
mejorar el desempeño de los pronósticos puede ser un campo de investigación y desarrollo.
Adicionalmente, se concluye de este trabajo que si los modelos de volatilidad son requeridos
diariamente, un modelo VAR-GARCH es muy costoso de implementar por la cantidad de tiempo
requerido para calibrarlo. Además, cualquier actualización de datos hace que sea necesario volver
a estimar y validar el modelo.
Para futuros trabajos en el tema, se recomienda la utilización de software que permita la
calibración y evaluación de pronósticos de modelos VARMA y de modelos MGARCH más generales
(en particular, se recomienda trabajar con software que incluya modelos de factores multivariados
GARCH). Por ejemplo, el software Splus incluye modelos de factores multivariados GARCH y el
software SAS incluye modelos VARMA.
Finalmente, sería interesante utilizar y evaluar modelos no lineales de varianza condicional. Por
ejemplo, se podrían evaluar modelos como los GARCH exponencial, GJR-GARCH, Smooth-
Transition GARCH, Volatility-Switching GARCH, Asymetric Nonlinear Smooth Transition GARCH,
Quadratic GARCH y Markov-Switching GARCH.
Agradecimientos
Agradezco a mis padres, Amanda Chaparro y Alfredo Botía, por el apoyo para realizar los estudios
de pregrado en Matemáticas e Ingeniería. A María Elsa Correal, por la asesoría, tiempo y apoyo
para realizar este proyecto. A Luis Fernando Melo por los múltiples consejos y críticas certeras. A
Carlos Álvarez por su tiempo y consejos sobre los trabajos de grado. A Marco Ruíz por la
disposición y tiempo dedicado para la planeación y ejecución del proyecto. A Alejandra Buitrago
por su colaboración con los trucos de Word. A René Meziat por su insistencia y consejo para
terminar el pregrado de ingeniería.
25
Ibid., p. 200-205 26
ENGLE, R.F.. Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate GARCH models. En : Journal of Business and Economic Statistics. Vol. 20 (1999). p. 339-350
22 C. Botía
Apéndice A. Operador vectorial vech
El operador vech actúa sobre matrices cuadradas. Sea � una matriz de dimensión � × �. El
operador vech asigna a la matriz � un vector conformado por las columnas de � desde la diagonal
de � hasta la última fila, así:
���ℎ(�) = ���ℎ v��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���w =����� ���⋮���⋮��������������� �
����
Apéndice B. Descripción de los datos
Una descripción más completa de los datos utilizados se puede encontrar en www.yieldbook.com.
Las series de tiempo escogidas para el análisis son algunos índices globales de bonos de gobierno.
Todos los índices son construidos por Citigroup. En particular, se utilizan índices de los mercados
de Alemania, Japón y Estados Unidos. A continuación se hace una descripción general de la
metodología utilizada para la construcción y cálculo de los índices de renta fija de Citigroup. La
información fue obtenida de Citigroup27.
Índices globales de bonos de gobierno (WGBI)
Los índices globales de bonos de gobierno de Citigroup están clasificados dentro de los índices de
renta fija de grado de inversión. Para que el mercado de renta fija soberano de un país tenga uno
de estos índices debe cumplir ciertas condiciones con respecto al tamaño, crédito y barreras de
entrada.
Tamaño: El total de las emisiones (ver Tablas 11 y 12) deben sumar en total por lo menos US$20
billones, €15 billones ó ¥2.5 trillones. Para los mercados de deuda soberana en la Unión Europea
no se tiene en cuenta este criterio porque la Unión Europea se trata como un solo mercado.
Crédito: Mínima calificación crediticia de BBB-/Baa3 por S&P ó Moody’s para los emisores. De esta
manera se garantiza que el índice es grado de inversión.
Barreras de entrada: Los mercados deben promocionar activamente la inversión extranjera y
mostrar compromisos de cumplimiento de sus propias políticas.
27
CITIGROUP. Citigroup Global Fixed-Income Index Catalog. Disponible en <www.yieldbook.com>. 2007. p. 18-23
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 23
Tabla 11. Composición WGBI
Tabla 12. Información WGBI
Citigroup ha establecido varias condiciones para que un mercado deje de hacer parte del índice.
Por ejemplo, cuando la capitalización de mercado de las emisiones elegibles caiga por debajo de la
mitad del nivel de entrada durante tres meses consecutivos, el mercado será removido en el
siguiente mes. Adicionalmente, los mercados que no cumplan con los criterios de crédito y
barreras de entrada serán excluidos del índice.
Los índices de Citigroup seleccionados para el mercado de Estados Unidos son tres: Citigroup
Notas del Tesoro Estadounidense de 1-3 años, Citigroup Notas del Tesoro Estadounidense de 3-5
años y Citigroup Notas del Tesoro Estadounidense de 5-10 años.
Mercado Incluye Excluye
Alemania
Bonos de tasa fija sin opción de compra
(Bundesrepublic, Schatzanweisungen,
Bundesobligationen, Unity bonds, Treuhandanstalt y
Treuhandobligationen)
Schuldscheine, Unverzinsliche,
Schatzanweisungen, Bundespost, Bundesbahn,
European Recovery Program Bonds
Estados Unidos Bonos de tasa fija con y sin opción de recompra Bonos de ahorro, TIPS y STRIPS
Japón Bonos de tasa fija
Bonos a descuento, Bonos de tasa flotante,
Colocaciones privadas, Bonos indexados a la
inflación y Bonos del gobierno Japonés (JGBs) para
individuos
Composición de los Índices Globales de Bonos de Gobierno (WGBI)
Ponderación Capitalización de mercado actualizada 1 vez al mes
Tamaño mínimo
emitidoDepende del Mercado:
EMU Markets: €2.5 billones
Estados Unidos: US$5 billones en circulación
Japón: ¥500 billones, Bonos de 20-30 años: ¥450 billones (excluyendo los bonos del
Banco de Japón)
Composición Deuda soberana denominada en la moneda local
Calidad mínima BBB-/Baa3 por S&P ó Moody's
Características de
redenciónbullet, sinking fund, putable, extendable ó callable
Reinversión de los
fujos de cajaAl promedio diario del Eurodepósito de un mes en la moneda local
Fuente de precios Citigroup
Frecuencia de cálculo Diariamente
Fecha valor
(settlement)Mensualmente: último día calendario
Diariamente: el mismo día. Excepto el último día del mes, en el que se hace con el
último día calendario
Fecha inicial Diciembre 31 de 1984
WGBI - Criterios de Diseño y Supuestos de Cálculo
24 C. Botía
Los índices de Citigroup seleccionados para el mercado de Alemania son dos: Citigroup Notas del
Tesoro Alemán de 1-3 años y Citigroup Notas del Tesoro Alemán de 3-10 años.
Los índices de Citigroup seleccionados para el mercado de Japón son tres: Citigroup Notas del
Tesoro Japonés de 1-3 años, Citigroup Notas del Tesoro Japonés de 3-5 años y Citigroup Notas del
Tesoro Japonés de 5-10 años.
Apéndice C. Evaluación de pronósticos
Esta evaluación de pronósticos está basada en la sección de evaluación de pronósticos de
volatilidad condicional del libro “Non-linear time series models in empirical finance”, de los
autores Philip Hans Franses y Dick Van Dijk.
El objetivo de la evaluación de pronósticos es calcular varias estadísticas que ayuden a evaluar el
desempeño de los modelos en cuanto al pronóstico de la volatilidad condicional. Por esta razón, se
pretende calcular los estadísticos que se muestran en las Tablas 13 y 14.
Tabla 13. Modelo evaluación de pronósticos
Tabla 14. Modelo evaluación de pronósticos
Si la periodicidad es mensual quiere decir que se calcularan los criterios con los datos de las
matrices de covarianza mensual estimadas, mientras que si la periodicidad es anual quiere decir
que se calcularan los criterios con los datos de las matrices de covarianza anual estimadas.
A continuación se explica brevemente cada uno de los criterios.
Sean ℎ��9! | �,�M " = 1,2, … ,12, B, V = 1, 2, 3 los pronósticos de varianza (o covarianza) hechos en el
tiempo t para el período t+s de la entrada de la matriz de covarianzas en la fila i y columna j. Sean
ℎ�9!,�M " = 1,2, … ,12 B, V = 1, 2, 3 las varianzas realizadas, que siguiendo la recomendación del
libro arriba mencionado, se calculan como ℎ�9!,�� = @�9!,��? (en el caso de las covarianzas realizadas
se calculan como ℎ�9!,�M = @�,�9!@M,�9!). Defina la matriz �! como la matriz que en la fila i y
columna j se define como �!,�M = ℎ��9! | �,�M − ℎ�9!,�M. Sea ` el número de filas de la matriz de
covarianzas estimada.
1. MSPE (Mean Squared Prediction Error). Este criterio se calcula de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 6 7
Modelo Periodicidad MSPE MedSPE MAPE MedAPE a b R^2
Mensual
Anual
Mensual
Anual
EWMA
GARCH
8 9
Modelo Periodicidad DM(S) DM(A)
Mensual
AnualGARCH
Matrices de Covarianza con Modelos VAR-MARCH 25
;<^� = O 112 O �!,�M?�?!P�
��,MP�
2. MedSPE. Este criterio corresponde a calcular la mediana de los errores de predicción al cuadrado. Es decir:
;�D<^� = O ;�DB-`-!(�!,�M?)��,MP�
3. MAPE. Este criterio se calcula de la siguiente manera:
;�^� = O 112 O��!,�M��?!P�
��,MP�
4. MedAPE. Este criterio corresponde a calcular la mediana de los errores de predicción absolutos. Es decir:
;�D<^� = O ;�DB-`-!��!,�M���,MP�
5. a, 6. b y 7. R^2. Estos valores corresponden a los que se obtienen al realizar la regresión
lineal dada por: ℎ�9M = - + �ℎ��9M | � + �M
en donde �M es el error de la regresión lineal. Como se obtiene un criterio para cada una de las
entradas de la matriz de covarianzas, se promedian todos los criterios para obtener el criterio de la
matriz. El Valor del X? para el modelo VAR-MARCH se reporta dividido entre 1/3, debido a la
sugerencia de Franses y Van Dijk28 de que 1/3 es una cota superior para el X? en este tipo de
modelos.
8. DM(S) y 9. DM(A). Estos criterios están diseñados para comparar dos modelos. La idea es
comparar si el SPE’s o el APE’s de dos modelos son significativamente diferentes a través
de una prueba de hipótesis. Para esto es necesario definir los siguientes números:
DM = 'ℎ��9M | �,����� − ℎ�9M,�����+� − 'ℎ��9M | �,���� − ℎ�9M,����+�
Es decir, DM representa la resta de los errores de predicción de volatilidad calculados con el
método GARCH y con el método EWMA. El parámetro k tomará el valor de 1 si se quiere comparar
los APE’s y el valor de 2 si se comparan los SPE’s. Con estos datos se realiza una prueba de
hipótesis de que la diferencia promedio de errores es cero. El estadístico es el siguiente:
W; = D}√R
�� �(0,1)
28 FRANCES y VAN DIJK, Op. cit., p. 187-199
26 C. Botía
en donde D} es el promedio de los DM y R es la varianza asintótica de la diferencia promedio D}. La
varianza de la diferencia promedio se calcula como la varianza muestral de los DM. El valor que se
reporta es el p-value más pequeño de la prueba para cada una de las entradas de la matriz de
covarianza.
Referencias Bibliográficas
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Economics, University of California, San Diego. 1991. Manuscrito no publicado.
BAILLIE, R. T. y BOLLERSLEV, T. Prediction in Dynamic Models with Time-Dependent Conditional
Variances. En : Journal of Econometrics. Vol. 52 (1992). p. 91-113
BOLLERSLEV, T. Modeling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A Multivariate
Generalized ARCH Approach. En : Review of Economics and Statistics. Vol. 72 (1990). p. 498-505
BOLLERSLEV, T.; ENGLE, R. F. y WOOLDRIDGE, J. M. A Capital Asset Pricing Model with Time-
Varying Covariances. En : Journal of Political Economy. Vol. 96 (1988); p. 116-131.
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Estimation Issues. En : Journal of Applied Econometrics. Vol. 18 (2003). p. 725-734.
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ENGLE, R. F. y KRONER, K. F.. Multivariate Simultaneous Generalized GARCH. En : Econometric
Theory. Vol. 11 (1995). p. 122-150
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TSAY, Ruey S.. Analysis of Financial Time Series. 2 ed. Hoboken, N.J. : Wiley, 2005. 605 p.