expo comple

8/18/2019 Expo Comple

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COMPLEMENTOMATEMATICO Y

TRIGONOMETRIA ESFE INTEGRANTES:

• Anco Bernales, Briam

• Cabañas Len, A!ri"n Ra#l

• L$e% Sal!&'ar, Marco

• Mon(o)a Ramn, *+enaro

• -is$e Car$io, *ose$+ .ie/o

• San(a Cr-% Caceres, 0a(ia Carina• 1"s2-e% -e%a!a, Gerson *+air


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SEMANA 3


3/60

Teoremas

3no o m"s 'ec(ores or(o/onales al mismo 'n-los5 ser"n $aralelos

.os 'ec(ores ser"n $aralelos si ) solo si


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Angulo entre vectores

Sea ) !os 'ec(ores no n-los en 6 El "n/-lo 'ec(ores ) es el menor "n/-lo $osi(i'o!e(ermina!os $or ambos al $ar(ir !e -n miscom#n6

Teorema:


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Vector Unitario

Sea -n 'ec(or c-)a ma/ni(-! es , con

Se !e7ne al 'ec(or -ni(ario !e norma i/-al2-e:


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Ejemplo

Si y son vectores unitarios, y el ángulo entre

demuestre que Solucin

Como ) son -ni(arios, s- norma es 8 ) $or "n/-lo en(re 'ec

M-l(i$lican!o $or

S-man!o ) acomo!an!oPor -ni(ario

.i'i!ien!o en(re

Acomo!an!o a!ec-a!amen(e

Como se sabe:

Finalmen(e sacan!o ra&% c-a!ra!a ) reem$la%an!o (enemos


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!royeccin "rtogonal

Sea -n 'ec(or no n-lo !a!o ) sea -n 'ec(or c-al2caso $ar(ic-lar !e !escom$osicin !e -n 'ec(or (e$-e!e !escom$onerse, !e manera #nica, en la 9orm

.e mo!o 2-e sea $aralelo a ) sea $er$en!ic-lar se !ice la com$onen(e 4'ec(orial5 !e en la !irec(an(o 2-e se !ice la com$onen(e 4'ec(orial5 !e $a 6

Para ob(ener /r"7camen(e las com$onen(es ) se se (ra%a -na $er$en!ic-lar !es!e el e;(remo 7ncor(ar la rec(a 2-e con(iene al 'ec(or 6 Si es el $-n(es el $-n(o inicial !e ) , en(onces

)


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!royeccin "rtogonal

Lo an(erior se il-s(ra en la 7/-ra, en la c-al ) es el "n/-


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!royeccin "rtogonal

.emos(racin 4Toman!o como base la 7/-ra a5

Se sabe 2-e

Se/#n la 7/-ra el 'ec(or es $aralelo al 'ec(or ,

.on!e r es -n escalar

Por "n/-lo en(re 'ec(ores ) relaciones (ri/onom


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!royeccin "rtogonal

Obser'acin:

Si la ec-acin se escribe !e la si/-ien(e 9orma,

.on!e:

Es el 'ec(or -ni(ario , (al2-e

A!em"s:


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#omponente "rtogona

Sea -n 'ec(or no n-lo !a!o 2-e si/-e la !i!el 'ec(or no n-lo6

Se !e7ne la com$onen(e or(o/onal al escala9orma, !eno(a!o $or:


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!ropiedades de las proyecciones ycomponentes

Pro$ie!a!es !e las $ro)ecciones

Sean los 'ec(ores ) (

86

Pro$ie!a!es !e las com$onen(es

Sean los 'ec(ores ) (

86 , $ara (o!o


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EjemploSea el 'ec(or ) la $ro)eccin !e es(e sobre la rec(a es (al 2-e s- $-

es(e es ) s- $-n(o inicial es , el c-al $er(enece a la rec(a6 Calc-lar Sol-cin

L a rec(a (iene -n sen(i!o en el es$acio bi!imensional, $or lo c-al (iere$resen(a ese sen(i!o 4!ireccin56 Para calc-lar es(e 'ec(or -saremo 'ec(or 4!i9erencia !e $-n(os56

Sea el 'ec(or !ireccin !e la rec(a (al 2-e s- $-n(o inicial es ) s- $-en(onces el 'ec(or ser"

En(onces calc-lamos

!or dato tenemos que y dice que su punto inicial es , enton$nal es


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SEMANA %


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E& !&AN"

'e$nicin( El $lano es -n obe(o /eom


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Ecuacin Vectorial

Sean P, , R ) 3 no colineales ) sea P el $lancon(iene es(os (res $-n(os6

Si P = 4;, ), %5 P en(onces: en(onces

P: ? s, ( ) ) -, ' 'ec(ores !irecciones !el $lano

P@: P-n


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Ecuacin Normal

Para ello se !e7ne el 1ec(or normal al $lanOr(o/onal a los !os 'ec(ores6

A+ora si (enemos el $-n(o !e $aso P@ ) P -c-al2-iera !el $lano, en(onces el 'ec(or esal 'ec(or ) !el +ec+o !e 2-e el $ro!-c(o eses(os !os 'ec(ores es cero, se (iene:

!


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Ecuacin general del p

.a!o 2-e el $ro!-c(o escalar !e !os 'ec(ores en-mero real, se $-e!e em$lear la ec-acin 45 $ob(ener -na ec-acin escalar o car(esiana !el $$asa $or P@ ) con 'ec(or normal 6

Sea:

Si +acemos , ob(enemos

P: Se le !enomina Ecuacin general del plan


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'e$niciones

!lanos paralelos( .os $lanos son $aralelos si (ienenormales $aralelas ) no (ienen nin/#n $-n(o en com

Si = 0

!lanos perpendiculares( .os $lanos son $er$en!i(ienen s-s normales or(o/onales6 45

Si = 0

!lanos secantes( .os $lanos son secan(es si no (ienormales $aralelas6 45

(1) (2)

(3)


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'istancia de un punto a uplano

Sea S -n $-n(o !el es$acio ) -n $lano, si P@ e$-n(o !e $aso !el $lano ) es el 'ec(or norma

Sea: , en(onces la !is(anciase !e7ne como:

Si (enemos la Ec-acin /eneral: P: ) a!em$-n(o


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Ejemplo *

.a!os los $lanos $aralelos P8: ) P: !e(erm$-n(o S 4,,D5 es(" en(re !ic+os $lanos6

Sol-cin:


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Ejemplo +

allar la ec-acin /eneral ) 'ec(orial !el $l$er$en!ic-lar al $lano ) 2-e $asa $or los

Solucin(


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&A )E#TA

Es -n obe(o /eom


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Ec-acin 1ec(orial


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Ec-acin Param


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Ec-acin Sim


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Ec-acin General o Bi$la


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Eem$lo

'ada las rectas , que se cruan- .allar la ecuarecta que pasa por A /0*,0+,12 que sea perpend

SOL3CION:


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SEMANA


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Angulo entre rectas

Se consi!era "n/-lo en(re !os rec(as al me"n/-lo 2-e 9orma las rec(as, se ob(iene relalos 'ec(ores !irec(ores !e las rec(as6

S-$on/amos 2-e las ec-aciones 'ec(orialesrec(as son:

El "n/-lo en(re ) es el "n/-lo 2-e 9orma 'ec(ores !ireccin !e las rec(as 4 res$ec(i'ase ob(iene $or "n/-lo en(re 'ec(ores


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'istancia entre dos rec

Sean las rec(as

Pasaremos a !e7nir la !is(ancia en(re !os rec(as c-ales2-!i9eren(es casos

CASO 8: C-an!o las rec(as son cr-%a!as 4alabea!as5

Sean !os rec(as ) 2-e no se cor(an ) 2-e no son $aralelson $aralelas5, c-)as ec-aciones son:

La !is(ancia en(re las rec(as ) es:


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.EMOSTRACION CASO 8: a/amos -n !ib-o in(-i(i'o !e las !os rec(as 2-e se cr-%

in(ersec(arse ) sin ser $aralelas


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3nimos los $-n(os ) 9orman!o el 'ec(or 6 .on!e los $-n(o$-n(os !e $asos !e las rec(as ) res$ec(i'amen(e6

Trasla!amos los 'ec(ores !ireccin !e las rec(as ) res$e9orma $aralela +as(a +acer coinci!ir en -n e;(remo !e la

'ec(ores 6 .e es(a manera calc-lamos, !e manera m"s sen 'ec(or $er$en!ic-lar a ambos 'ec(ores 45, el c-al ser" $a!is(ancia !e las rec(as ) 6

Tenien!o en c-en(a los 'ec(ores 6 ) , la !is(ancia en(re laLB ser" la lon/i(-! 4norma5 !el 'ec(or $ro)eccin !e sobr9orma ma(em"(ica se escribe


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CASO : C-an!o las rec(as son $aralelas

ud

pu


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.emos(racin .el !ib-o an(erior, !on!e el 'ec(or es(" 9orma!o $or los $-

!e las rec(as )

.e la 7/-ra, $or relaciones (ri/onom


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Ejemplo

.allar la distancia entre las rectas cruadas(

Sol-cin:

86 La 9rm-la es:

6 allemos P@

) a !e L8

: En(onces el 'ec(or !ireccin !e es:


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Ejemplo

allemos el P@ $or la cara cac+imba:

En(onces:

Resol'ien!o sis(ema !e ec-aciones:

Por lo (an(o el $-n(o !e $aso P@:

La rec(a L8 es:


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Ejemplo

6Para L: El 'ec(or !ireccin !e es:

allemos el @ $or la cara cac+imba ;!:

En(onces:

Resol'ien!o sis(ema !e ec-aciones:


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Ejemplo

Por lo (an(o el $-n(o !e $aso @:

La rec(a LB es:

H6 A+ora +allamos:

D6 la !is(ancia en(re L8 ) LB:


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'istancia de un punto recta Sea -n $-n(o e;(erior a -na rec(a , !e ec-acin 'ec(orial

La !is(ancia !e a , es la $er$en!ic-lar (ra%a!a !el $-n(o


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'istancia de un punto unarecta.emos(racin

a/amos -n !ib-o in(-i(i'o !e -na rec(a ) -n $-n(o64.ia$an(erior5

Si .el (eorema !e Pi("/oras en(onces:

Por el (eorema 2-e se !em-es(ra en el $ro!-c(o 'ec(orial

Reem$la%an!o ) sacan!o ra&% c-a!ra!a en ambos miembr


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Ejemplo

.allar la distancia del punto /0*, +,32 a la rectaSol-cin:

86 .a(os:

.on!e el 'ec(or !ireccin !e L es:

6 La 9rm-la es:


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Ejemplo

6 acien!o c"lc-los a-;iliares:

H6 Reem$la%an!o en la 9rm-la:

D6 la !is(ancia !el $-n(o @ a la rec(a L es


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SEMANA *3


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)esolucin de triángules45ricos rectángulos Tri"n/-lo rec("n/-lo

3n (ri"n/-lo es9


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)esolucin de triángules45ricos rectángulos

1. =

2. =


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!entágono de Neper Las 9orm-las an(eriores $-e!en recor!arse !e -na manera m"s 9"

re/la en-ncia!a $or *o+n Na$ier, !ic+a re/la se le conoce como e

Ne$er6 3na 'e% -bica!os los elemen(os !el (ri"n/-lo como se m-es(ra en

nos !ice 2-e el coseno !el "n/-lo -bica!o en ca!a '


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j l


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Ejemplo

OBSER1ACION: B ) b $er(enecen al mismo c-a!ran2-e c ) C , $or lo (an(o el (ri"n/-lo es9


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#onsecuencias deTriangulo Es45rico

)ectánguloPROPOSICION: En (o!o (rian/-lo es9


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)ectánguloPROPOSICION: En (o!o (rian/-lo es9


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)ectánguloPROPOSICION: La +i$o(en-sa !e -n (ri"n/-lo es9


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)ectánguloPROPOSICION: Si El ca(e(o IC ca(e(o es menor 2-e s- "n/-lo o$-

El ca(e(o IIC ca(e(o es ma)or 2-e s- "n/-lo o$-

3san!o la 9orm-la 45 (enemos:

) l i d t iá l


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#aso +( Tri"n/-lo Birrec("n/-lo Es a2-el 2-e $osee !os "n/-los rec(os6 Si (omamos A=J@K, B=J@K )

-samos las 9orm-las:

Se re!-ce a lo si/-ien(e

En consec-encia se !em-es(ra 2-e el (ercer "n/-lo es n-m


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#aso 3( Trian/-lo Trirrec("n/-lo Es a2-el 2-e $osee s-s (res "n/-los rec(os6 Sien!o

A=J@K, B=J@K ) C=J@K6 3san!o las 9orm-las se!em-es(ra 2-e los la!os son n-m


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EjemploSea el triángulo es45rico rectángulo A7#, tal que

c 6 9 :;< 31= # 6 ;9 A 6 19

Calc-lar s-s elemen(os 9al(an(es Sol-cin:

Ejemplo


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Ejemplo

Sea el triángulo es45rico rectángulo A7#, tal que

c =KJ C =HKH A = J@K

Sol-cin:

O (ambi


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Ejemplo

1is(o n-es(ros res-l(a!os $o!emos obser'ar 2-e nos res-l(ar"n !os $osibles

Con las $ro$osiciones )a 9orm-la!as armamos n-es(ros !os (ri"n/-l

Primer (ri"n/-lo:

Ejemplo


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Ejemplo

SEG3N.O TRING3LO:

Po!emos obser'ar slo -n la!o es -n "n/-lo a/-!o, ) 2-e ca!a "n/-lo ) s- ca(e(o $er(enecen al mismoc-a!ran(e, c-m$le con las $ro$osiciones )aen-ncia!as6 El (ri"n/-lo es9


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>)A#?AS

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