exponecial 1

8/16/2019 exponecial 1

1/10

X Encontro Nacional de Educação MatemáticaEducação Matemática, Cultura e Diversidade

Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010

Anais do X Encontro Nacional de Educação MatemáticaComunicação Científica

1

ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMAPERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO

José Geraldo de Araújo PereiraCentro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG

[email protected]

João Bosco LaudaresPontifícia Universidade Católica - PUC-MINAS

[email protected]

Resumo: Este artigo apresenta uma pesquisa de Mestrado, em desenvolvimento, queestuda uma abordagem metodológica da Função Exponencial e Logarítmica numa

perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio. Foram elaboradas atividadesreferenciadas em Polya, quanto a resolução de problemas, Frienlander, quanto ainterpretação geométrica e gráfica, e em Laudares e Miranda quanto a focalização nacompreensão conceitual. Foram elaboradas atividades que contemplaram problemas dasCiências Biológicas e Matemática Financeira, com a abordagem do conceito das FunçõesExponenciais e Logarítmicas. Para interpretação gráfica, foi utilizado traçado de gráfico

privilegiando a variação de parâmetros das funções, bem como a relação de simetria dasduas funções, levando o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi utilizado oSoftware Winplot , no tratamento das translações horizontais e verticais das FunçõesExponenciais e Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram aplicadasem turmas do ensino médio - técnico cujos resultados estão sendo analisados.Palavras-chave: Educação Matemática; Função Exponencial e Logarítmica emabordagem conceitual; Interpretação gráfica da Função Exponencial e Logarítmica.

INTRODUÇÃO

É apresentado nesse artigo o desenvolvimento de uma pesquisa em Mestrado emEnsino de Ciências e Matemática, quanto à abordagem do ensino e aprendizagem dasFunções Exponenciais e Logarítmicas. Foram elaboradas atividades que contemplaram

problemas das Ciências Biológicas e Matemática financeira, com a abordagem do conceitodas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para interpretação gráfica, foi utilizado traçadode gráficos privilegiando a variação de parâmetros das funções, bem como a relação desimetria das duas funções, levando o estudante a entender a inversão das mesmas. Foiutilizado o Software Winplot , no tratamento das translações horizontais e verticais dasfunções Exponenciais e Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foramaplicadas em turmas do ensino médio-técnico cujos resultados estão sendo analisados.Especificamente, para o tratamento conceitual foram utilizados itens tais como:

crescimento/decrescimento, simetrias, interseções do gráfico com os eixos coordenados,

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/10




2

procedimentos assintóticos das curvas, taxa de variação, condições iniciais ou de contorno,sendo os dois últimos itens analisados em problema. Para interpretação gráfica e sua

análise, foram trabalhadas as funções com variação de parâmetros com o objetivo dacompreensão do comportamento das funções.

ENSINO APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS ELOGARÍTMICAS

Os logaritmos foram inventados, no começo do século 17, como um instrumentoauxiliar dos cálculos aritméticos, transformando produtos em somas, quocientes emdiferenças. Além do seu emprego generalizado para tornar possíveis operações aritméticas

complexas, as funções Logarítmicas, juntamente com suas inversas, as Exponenciais,revelaram-se possuidoras de notáveis propriedades, que as qualificam como modelos ideais

para certos fenômenos de variação, nos quais a grandeza estudada aumenta (ou diminui)com taxa de variação proporcional à quantidade daquela grandeza existente no momentodado.

Segundo (CORRÊA, 1989), as aulas que antecedem o estudo de logaritmos, como potenciação, têm o objetivo de preparar o terreno para esse estudo, isto é, constituem pré-requisitos importantes para a construção gradativa do conceito de logaritmo.

Uma das metas principais do ensino e aprendizagem de matemática é a focalizaçãona compreensão conceitual, na visão de (MIRANDA, LAUDARES, 2007), quando se

busca a ênfase nas estratégias de estudo, as quais se fazem com abordagens variadas, sejamelas descritivas explicativas e de análise, com diversidade de metodologias do tipoalgébrica, numérica ou geométrica. O tratamento conceitual matemático atrelado àssituações e a resolução de problemas das ciências e da realidade, fugindo da abstraçãorestrita, contribui para uma compreensão significativa das proposições matemáticas.

O entendimento conceitual pode ser facilitado com resolução de problema, sendoestruturada por (POLYA, 1995) com quatro fases. Primeira, compreensão do problema;segunda, busca de diversos itens relacionados como, por exemplo, a incógnita estárelacionada aos dados, e estabelecimento de um plano. Terceira execução do plano. Equarta retrospecto da resolução completa com uma discussão fazendo um retrospecto daresolução completa, revelando-a e discutindo-a.

Assim, na elaboração conceitual, (POLYA, 1995) defende a necessidade doraciocínio heurístico, o qual se faz com suporte em todo o capital acumulado de saberes eda sua mobilização, formulando hipóteses e conjecturas. É aquele, segundo o mesmo autor,que não se considera final e rigoroso, mas apenas provisório e plausível.


3/10




3

“À medida que avança o nosso exame do problema, prevemos comclareza cada vez maior o que deve ser feito para a sua resolução e como

isso deve ser feito. Ao resolver um problema matemático, podemos prever, se tivermos sorte, que um certo teorema conhecido poderá serutilizado, que um certo problema já anteriormente resolvido poderá serútil, que a volta à definição de um certo problema já anteriormenteresolvido poderá ser útil, que a volta á definição de um certo termotécnico poderá ser necessária. Não prevemos essas coisas com certeza,apenas com um certo grau de plausibilidade”. (POLYA, 1995, p.130).

A construção e análise de gráficos das Funções Exponenciais e Logarítmicas sãotratadas com a interação da Álgebra e Geometria.

Segundo (FRIENDLANDER, 1995), a interpretação geométrica, torna acompreensão mais fácil para a obtenção da inversa e da resolução de equações einequações Exponenciais e Logarítmicas e neste caso, a resolução gráfica é menos tediosae mais rápida que a solução algébrica.

De acordo com o PCN’s, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar noconceito da função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação deseus gráficos e nas aplicações dessas funções. Assim, o ensino pode ser iniciadodiretamente pela noção de função para descrever situações de dependência entre duasgrandezas, o que permite o estudo a partir de situações contextualizadas, descritasalgébrica e graficamente.

Nos livros didáticos analisados, existe o interesse em se trabalhar a FunçãoExponencial e Logarítmica, explorando os seus parâmetros, destacando a construçãográfica e trabalhando de maneira significativa o uso das aplicações práticas envolvendocada item.

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Foi realizada extensa revisão bibliográfica referente ao tema investigado eencontradas as seguintes produções acadêmicas do ensino-aprendizagem de Exponenciaise Logarítmicas.

Título Autor Instituição Ano Tipo

Analise do processo deargumentação e prova em relaçãoao tópico logaritmos, numa

coleção de livros didáticos e

Fernando T. da

Silva

PUC/SP 2007 Dissertação


4/10




4

numa seqüência de ensino

Resolução das Inequaçõeslogarítmicas; um olhar sobre a

produção dos alunos

Margarete da S.H. C. Clara


Análise de uma intervençãodidática sobre desigualdadesinequações logarítmicas noensino médio

Maria S. G.Saldanha


Uma Seqüência de Ensino

Usando o Programa Winplot : EmBusca de uma AprendizagemAutônoma do Aluno

Caren S. Berlez Centro U. F. -Santa Maria -

RS

2007 Dissertação

A concepção de um software deMatemática para auxiliar naaprendizagem dos alunos da 1ªsérie do ensino médio no estudodas funções Exponenciais e

Logarítmicas

Elpídio deAraújo


Logaritmos: proposta de umaseqüência de ensino utilizandocalculadora

Mônica Karrer PUC/SP 1999 Dissertação

Metodologia paradesenvolvimento da capacidadecognitiva no ensino de

Matemática: Assimilação eretenção de conteúdos as funçõesexponenciais e logarítmicas

Jorge A.

Barbosa

Universidade

Católica deBrasília 1998 Dissertação

Logaritmos – Aspectos Históricose Didáticos

Roseli de A.Corrêa

UNESP- SP 1989

Textoresultado

de pesquisa


5/10




5

A Apropriação da Ferramentalogaritmo a partir de situaçõescom exponenciais aliada ao usoda calculadora

Mônica Karrer,Sandra Magina PUC – SP 1999

Periódico

(EducaçãoMatemáticaPesquisa)

Uma seqüência de ensino para aintrodução de Logaritmo: estudosExploratórios Usando aCalculadora

Mônica Karrer,Sandra Magina

UNESP - RioClaro

2000 Periódicos

(Bolema)

O Ensino De Logaritmo Na

Prática De Alguns Professores DoEnsino Médio

Luiz A.

Moreira

PUC - MG 2008 Texto

resultadode pesquisa

Foram estabelecidos os seguintes objetivos:

GERAL:

Estudar o comportamento gráfico e o conceito das Funções Exponenciais e

Logarítmicas, quanto as suas características que a diferenciam das demais funções, seja

pela representação gráfica ou em situações da vida real, nas ciências e na tecnologia,

privilegiando o seu tratamento conceitual.

ESPECÍFICOS:

Analisar os PCN’s quanto ao ensino médio, relativamente ao ensino e

aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas;

Verificar em livros textos didáticos de ensino médio, como são abordados o

conteúdo e a metodológica das Funções Exponenciais e Logarítmicas;

Elaborar atividades que privilegiam o entendimento conceitual das Funções

Exponenciais e Logarítmicas, com a análise de problemas;

Buscar entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas por meio da

interpretação e análise gráfica, com auxilio de Softwares Matemáticos.

ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES DIDÁTICAS


6/10




6

Foram propostas 6 (seis) atividades, com níveis de dificuldades crescentes. A primeira e a segunda atividades exploraram o conceito das Funções Exponenciais e

Logarítmicas, dando ênfase a Ciência Biológica e a Matemática Financeira. Nessasatividades, mostramos a relação entre as variáveis dependente e independente e ocomportamento das funções.

A terceira e quarta atividades abordaram a interpretação dos parâmetros dasfunções, analisando o comportamento das mesmas com variação dos mesmos. Na quinta atividade é explorada a interpretação da função inversa, através de recursos gráficos para asua obtenção, levando o estudante a deduzir que as funções exponenciais e Logarítmicassão inversas. A sexta atividade utiliza o software matemático Winplot, para esboço degráficos e deslocamento de curvas (translações).

Neste artigo serão apresentadas duas atividades, uma de compreensão conceitual eoutra de interpretação gráfica.

1ª ATIVIDADE:

Nessa atividade foi explorado o Conceito da Função Exponencial e Logarítmica,dando ênfase a Ciência Biológica (crescimento vegetativo).

OBJETIVOS:

Identificar e representar graficamente as variáveis em estudo; Relacionar e classificar o gráfico em estudo com as funções já conhecidas;

Analisar e descrever relação entre variáveis definidas;

Formalizar a lei que descreve o fenômeno.

HABILIDADES:

Reconhecer e interpretar informações relativas a problemas, construindo

conjecturas; Aprender a fazer tratamento de dados, com a montagem de tabelas e plotagem

gráfica;

Usar a intuição na problematização, durante a exploração do problema, e validar

as conjecturas levantadas na avaliação dos resultados.

O quadro seguinte apresenta a 1ª atividade.

Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida,


7/10




7

e supondo que sua altura inicial, é de 1 cm, então:

a) Qual o valor para o instante inicial? b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês, e sucessivamente no final do 2º, até o 10º

mês?

c) Identifique a variável dependente e independente em estudo, e dê nome para elas?

d) Construa uma tabela que represente essa situação.

e) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável

dependente na vertical e independente na horizontal.

f) Una os pontos. g) Interpretando o gráfico dê um valor aproximado da altura para:

a) 2,5 meses. b) 4 meses e 10 dias. c) 5 meses e 20 dias.

h) A curva obtida no item ¨f¨ corresponde a uma função:

a) do 1º grau (cujo gráfico é uma reta)? b) do 2º grau (uma parábola)?

c) uma curva desconhecida?

i) Qual o comportamento das grandezas envolvidas?

j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique?

k) Repita “o gráfico construído no item ¨f” e trace uma reta que tangencia a curva, a partir

do ponto inicial. O que você conclui a respeito das coordenadas dos pontos da reta e da

curva?

l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)?

m) Formalize usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajusta ao

gráfico. A relação encontrada é denominada “Função Exponencial” (cujo gráfico é

uma Exponencial).

2ª ATIVIDADE:

Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (Translações: horizontais everticais) das funções Exponenciais e Logarítmicas, utilizando um Software MatemáticoWinplot .

OBJETIVOS:


8/10




8

Construir gráficos das Funções Exponenciais e Logarítmicas, utilizando o Winplot ;

Determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções;

Construir as translações horizontais e verticais dos seus gráficos.

HABILIDADES:

Trabalhar com recursos de informática;

Manusear o Winplot .

O quadro seguinte apresenta a 2ª atividade.

Foram dadas as Funções Exponenciais e Logarítmicas, explorando a translação dos

gráficos, a partir das funções básicas: e , para , com o

auxílio do WINPLOT . Assim, a atividade explorou as funções na sua diversidade.

Translação Vertical

Translação Horizontal

Foi explorado cada um dos tipos de translação, como o exemplo a seguir:

. Considere .


9/10




9

Para facilitar a interpretação gráfica foram solicitadas respostas para as

seguintes questões:

a) Usando a notação de intervalo, determine a imagem das funções.

b) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados, se houver.

d) Quando x diminui o que acontece com as curvas?

e) Quando x aumenta o que acontece com as curvas?

f) Existe um valor de y, para o qual as curvas se aproximam?

g) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical, em relação à ?

h) Plote, num mesmo sistema de eixos, os gráficos para o valor de “ ’ e “ ”.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Todas as atividades já foram aplicadas com o objetivo de fazer sua validação, em

turmas de ensino médio-técnico profissional de um CEFET. A pesquisa está na fase deanálise dos resultados, e logo após será escrita e defendida a dissertação. Os objetivos

específicos da pesquisa quanto à análise dos PCN’s e abordagem de livros-textos

relativamente ao ensino-aprendizagem das Funções Exponenciais e Logarítmicas, já foram

cumpridas e este estudo será apresentado na dissertação.

REFERÊNCIAS BILIOGRAFICAS

BRASIL, Secretária de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio: Brasília: p.141. Disp.: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf . Acessoem 20 de setembro de 2009.

CORRÊA, R. A. Logaritmos – Aspectos históricos e didáticos. Anais do I º EncontroPaulista de Educação Matemática. Campinas – SP, PUC - CAMP, p.85 – 86, 1989.

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdfhttp://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdfhttp://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdfhttp://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf


10/10




10

FRIEDLANDER, Alex; HADAS, Nurit. Ensinando valor absoluto numa abordagemem espiral. In: DOMINGUES, Hygino H. (tradutor). As idéias da Álgebra. São Paulo,

Editora Atual, cap.29, p.244-254, 1995.

MIRANDA, Dimas Felipe de; LAUDARES, João Bosco. Informatização no Ensino daMatemática: Investindo no ambiente de aprendizagem. Zetetiké. Campinas, v.15, n.27,

p.71-88, jan., jun., 2007.

POLYA, G. A arte de resolver problemas, Rio de Janeiro: Editora Interciência. 1975.

exponecial 1

Documents