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UNIVERSIDAD ADVENTISTA DE BOLIVIA
INSTITUTO NORMAL SUPERIOR ADVENTISTA
2010
TALLER DE MATEMÁTICA Especialidad: Matemática Secundario
Lic. Karina Villarroel Colque
TALLER DE MATEMÁTICA
Especialidad: Matemática Secundario
Lic. Karina Villarroel Colque
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MÓDULO : TALLER DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 1 : LA MATEMÁTICA COMO SABER CIENTÍFICO
Ciencia de la información: un saber de relevante presencia matemática
MsC. Natalia Sokol1 y MsC. Zoia Rivera2
RESUMEN
Se aborda el proceso de la matematización del conocimiento científico en general y la incidencia de
este en el surgimiento y el desarrollo de la Ciencia de la Información. Se destaca la importancia de
los conocimientos matemáticos para los profesionales de la información.
Palabras clave: Ciencia de la Información, Matemática.
ABSTRACT
The mathematization process of the scientific knowledge in general, as well as its incidence on the
emergence and development of Information Science are approached. The importance of the
mathematical knowledge for the information professionals is emphasized.
Key words: Information Science, Mathematics.
Con el inicio de un nuevo milenio, la Ciencia de la Información se plantea un objetivo fundamental:
mejorar la calidad de sus investigaciones básicas, que constituyen la fuente de nuevas ideas y nuevas
aplicaciones, así como ampliar sus contactos con otras disciplinas científicas para incorporar sus
logros al mundo de los estudios en información. El espacio que ocupa el conocimiento matemático
en este proceso es suficientemente amplio y las posibilidades de su aplicación son bastante
prometedoras.
El físico francés Henri Poincaré (1854-1912) -y uno de los principales matemáticos del siglo XIX,
quien realizó importantes aportes al estudio de las ecuaciones diferenciales, la topología, la
probabilidad, la teoría de las funciones y se anticipó a la teoría del caos- no exageró al aseverar que
―toda ciencia tiene de ciencia lo que tiene de matemática‖, porque ésta representa el lenguaje
científico por excelencia.
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Según Batanero, Godino y Estepa (1998), la Matemática se considera como una actividad para la
solución de problemas, como sistema conceptual, organizado lógicamente y como lenguaje
científico simbólico.1 Dos ideas básicas sustentan el presente estudio: por un lado, las aplicaciones
de la matemática en diversas ramas del saber se han probado a través de los tiempos y, por el otro,
se ha demostrado la legitimidad de la coexistencia de la lógica matemática con diversas ciencias
particulares en el desarrollo de éstas. Actualmente, variadas teorías matemáticas se aplican para el
progreso de las más diversas disciplinas científicas, las que, a su vez, se transforman en una
actividad social poderosa, capaz de modificar de forma significativa la realidad.
Aunque el reconocimiento verdadero de las contribuciones de la matemática a distintos campos de
saber es relativamente reciente, la matemática, desde su surgimiento y muy especialmente, a partir
del siglo XIX, aportó elementos imprescindibles al desarrollo de las más diversas ciencias. Muy
específicamente, esto se relaciona con el surgimiento de la Documentación, antecedente de la
Ciencia de la Información, donde el positivismo fue una de las influencias filosóficas
fundamentales. El positivismo, encabezado por Agusto Comte, considera que el método científico es
el único intento válido del conocimiento, basado en los datos observables y las mediciones de
magnitudes y acontecimientos. Una de las tesis básicas del positivismo lógico es el dogma de la
unidad y universalidad del método científico. Según ellas, la fuente del conocimiento debe provenir
del campo de lo positivo, esto es, de lo que es observable, medible y experimentable.
Martínez Rider y Gorbea Portal señalan que ―los hechos y fenómenos sociales implicados en las
actividades bibliotecaria y de información, no escapan de este enfoque, generalizado en las ciencias
sociales; la incursión de los métodos cuantitativos (como componente de los cualitativos), desde el
paradigma empírico-analítico, ha aportado resultados enriquecedores al cuerpo teórico de las
disciplinas científicas que estudian y sustentan su comportamiento. Esta perspectiva se presenta en
la actualidad no sólo como una atractiva línea de investigación en esta esfera, sino como una
exigencia en la formación y desempeño de sus profesionales‖.2
Tal parece, que con mayor nitidez las contribuciones matemáticas se observan en el surgimiento y la
evolución de la Ciencia de la Información, en sus principales conceptos y métodos de análisis. La
necesidad de este tipo de aplicaciones, cada vez más extensas y profundas, se evidencia también en
la proyección de esta ciencia particular hacia el futuro.
Como cualquier campo del saber, la Ciencia de la Información posee un conjunto de teorías,
métodos y problemas propios. Además, la creciente valoración de las ciencias aplicadas y el
pragmatismo que domina el comportamiento humano actual aceleraron la penetración del
conocimiento matemático en la Ciencia de la Información. El carácter empírico y la realización
manual de las actividades como recopilación, organización, representación y difusión de la
información incidió negativamente en las vías de construcción de sus basamentos teóricos, su
epistemología y, por consiguiente, en la perspectiva de su estudio.
Rendón Rojas y Gorbea Portal consideran al respecto, que las ciencias bibliotecológica y de la
información constituyen ―un sistema de conocimientos que, como ocurre en otras disciplinas
científicas, sirve de soporte teórico a toda una actividad práctica compleja que se rige por
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principios y condiciones generales, las cuales junto con eventos empíricos concretos, representan
las premisas que condicionan las relaciones y, en ocasiones, regularidades de dicha actividad; es
decir, las ciencias bibliotecológica y de la información guían a las actividades bibliotecaria y de
información y éstas, a su vez, enriquecen a las primeras con su quehacer empírico y cotidiano‖.3
Como se refirió, la matemática por sus características peculiares, como rigurosidad, exactitud y
capacidad del análisis lógico, ejerció una influencia decisiva en la conformación de la Ciencia de la
Información , sobre todo, si se considera que la mayoría de los profesionales que participaron en su
fundación fueron ingenieros y matemáticos que aspiraban a constituir una disciplina con basamentos
verdaderamente científicos. En este sentido, señala Linares Columbié que: ―la teoría matemática de
la comunicación de Shannon y Weaver impacta el proceso de gestación de la Ciencia de la
Información, al colocar en el escenario intelectual de la época una nueva visión de la información y
la comunicación. Este es el referente teórico de los fundadores de la disciplina, la noción de
información y de comunicación que ellos asimilaron. El modelo de racionalidad derivado del
empirismo y el positivismo sustenta los primeros conceptos creados en la Ciencia de la Información
en su etapa fundacional, congruentes con las aspiraciones de la comunidad académica
norteamericana de conformar una disciplina rigurosamente científica‖ (Linares Columbié R . La
ciencia de la información y sus matrices teóricas: contribución a su historia. [Tesis para optar por el
título de Doctor en Ciencias de la Información]. Universidad de la Habana: Facultad de
Comunicación, 2004).
Por otro lado, el desarrollo de la Ciencia de la Información, heredera de la Documentación, está
marcado por las ideas de Paul Otlet y su afán por la aplicación de métodos matemáticos y
estadísticos a esta última. En sus obras ―La statistique internationale des imprimés: Quelques
sondages‖ (1895-1896) y ―La statistique internationale des imprimés‖ (1900) el autor incluso
delimitó las futuras áreas de investigación de la aplicación de los métodos estadísticos: estudio de
las publicaciones y su consumo, análisis del impacto de un documento determinado en la sociedad
(bibliosociometría) y la matematización de la Documentación (mate-bibliología).
La evidente interdisciplinariedad de la Ciencia de la Información, un aspecto que se define como la
transferencia de métodos de una disciplina a otra, permite enfocarla como un campo del saber
donde confluyen métodos y conceptos de ciencias diversas. Así, indican diversos autores que la
Ciencia de la Información se deriva y se relaciona con la matemática, la lógica, la lingüística, la
tecnología, la computación, la investigación operativa, entre otras. Este enfoque lleva a una
conceptualización de la Ciencia de la Información como ciencia emergente y como disciplina
transversal que se desarrolla en los límites con otras disciplinas.4
Los aportes de la matemática son significativos para el desarrollo de todos los campos de la
información: la teoría matemática de la comunicación, los modelos de Bradford, de Zipf, de Lotka,
las aplicaciones estadísticas de Ranganathan, los métodos estadísticos y probabilísticas, el empleo
de métodos vectoriales o los métodos derivados de los conjuntos borrosos, etcétera. En
consecuencia, es lógica la influencia de las diversas ramas de la ciencia en el conocimiento
matemático y viceversa. Así, Griffiths describe a la actividad matemática ―como la búsqueda de
estructuras y pautas que aportan orden y simplicidad a nuestro universo. Se puede incluso, llegar a
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afirmar que ni el punto de partida ni el objeto de un estudio matemático son tan importantes como
las pautas y la coherencia que emergen de él. Esas pautas y esa coherencia proporcionan a las
matemáticas, su potencia, porque, con frecuencia, permiten iluminar con claridad, objetos y
procesos completamente diferentes y que se hallan presentes en otras ramas de las matemáticas, en
otras ciencias o en la sociedad en general‖.5
Según estos planteamientos, la Matemática no es un simple conjunto de formulas y métodos, sino un
ejemplo universal del análisis racional y la construcción de los conceptos en cualquier rama de
saber, es la cultura de la investigación que facilita la percepción y la comprensión del universo
mediante una razón cuantificadora. Debido a las potencialidades de su ciencia, los matemáticos
siempre han llevado sus descubrimientos y teorías a otros campos de conocimiento, y dar lugar al
surgimiento de áreas completamente nuevas. Fue Francis Bacon , quien en 1605, aportó la primera
formulación de este principio de ciencia integradora con unas palabras muy certeras: ―es imposible
descubrir nada si uno permanece en el llano, en el mismo nivel; de igual manera no se pueden
desvelar las partes más remotas o profundas de ninguna ciencia si uno no abandona el nivel de esa
ciencia y asciende al nivel de una ciencia superior ‖.6
Debido a diversos factores, la mayoría de ellos de carácter humano y del nivel de preparación de los
profesionales del campo, los intentos de aplicar diferentes teorías matemáticas a la solución de los
problemas planteados por la Ciencia de la Información son tradicionalmente bastante débiles, como
revelan muchos estudiosos de esta esfera. Señala Rubio Liniers que: ―la falta de formación de los
especialistas de las ciencias sociales en matemáticas o estadística <…> les ha hecho dar la espalda
a estas técnicas, y para ello, argumentan problemas para su aplicación e incluso su imposibilidad
de uso en razón de las peculiaridades epistemológicas o metodológicas de determinadas ciencias‖.7
Se impone entonces, revisar los planes de estudio actuales y dotar al graduado universitario, más si
se trata de un profesional de la información, con un conjunto de conocimientos matemáticos y
habilidades imprescindibles para su desenvolvimiento laboral y en la investigación.
No obstante el uso amplio de la matemática en todas las esferas informacionales, su presencia más
nítida se evidencia en el enfoque del propio concepto de la Información, en el estudio de los flujos
de información y en el área de la recuperación de la información. En cuanto a esta última, en los
pasados 50 años, se agudizó el problema de la búsqueda de métodos y técnicas para almacenar,
procesar y recuperar información precisa. Los esfuerzos convergentes de distintas disciplinas han
originado sistemas automatizados de recuperación de información, con diferentes niveles de
complejidad. En este ámbito, los sistemas más difundidos y utilizados internacionalmente son los
que aplican técnicas basadas en la equiparación exacta, proximidad y álgebra de Boole , todos ellos
sobre la base de conceptos y teorías matemáticas. Respecto a esto, Moreiro González opina que:
―…los métodos matemáticos son el centro metodológico en nuestra especialidad a la hora de
definir las técnicas de recuperación de la información‖.8
MATEMATIZACIÓN DEL CONOCIMIENTO CIENTÍFICO: UN ESBOZO HISTÓRICO DEL PROCESO
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Es indiscutible la penetración del conocimiento matemático en el mundo de la información. Ésta fue
una de las vías para responder al reto del auge documental de la segunda mitad del siglo XX y es
incomprensible sin un previo análisis del desarrollo de la matemática en este período y su aplicación
a la solución de los más diversos problemas surgidos en todas las esferas de vida de los países
avanzados. La época que comenzó a partir de la segunda guerra mundial, en función de los
descubrimientos científicos fundamentales y sus aplicaciones, se califica de diferentes modos:
espacial, atómica, cibernética, genética, electrónica, virtual, etcétera. Aunque cada una de estas
definiciones tiene diversos basamentos, todos ellos apuntan hacia un fenómeno incuestionable: la
matematización general del saber.
Las nuevas y potentes tendencias comenzaron incidir en la profundización de los procesos de
especialización e integración del conocimiento científico, en la interdisciplinaridad y la utilización
de la modelación en diferentes esferas de la ciencia. La actividad científica se convirtió en uno de
los principales rasgos del mundo y, tal vez, más que ninguna otra, distinguió a esta época de las
anteriores. Como parte del conocimiento científico, el conocimiento matemático avanza y se
extiende más rápido que nunca. Las teorías matemáticas puras se integran con vistas a solucionar los
problemas prácticos planteados por el propio desarrollo industrial y científico de los países. ―Mucho
de la matemática hasta nuestros días, se ha desarrollado a partir de las situaciones prácticas en las
técnicas, en las ciencias particulares, en la cultura, etcétera. Las nociones y métodos centrales de la
matemáticas han estado ligadas al devenir material y social desde las primeras etapas de la historia
humana‖.9
Por lo general, la solución de muchos problemas genera nuevas interrogantes que exigían la
aplicación de nuevos conocimientos. Kurt Gödel, un matemático del siglo XX, planteaba: ―Por
mucho que avance el hombre hacia la posesión intelectual del mundo, siempre le quedará camino
por recorrer. La tarea de pensar, y de descubrir, no termina nunca, ni en consecuencia el oficio de
ser hombre, la penosa y alegre tarea de vivir‖.10 Constantemente, aparecen nuevas incógnitas que
permiten que las teorías matemáticas más abstractas encuentren aplicaciones. La penetración del
conocimiento matemático a todas las ramas del saber se observa no sólo en las ciencias exactas,
como la física, la química y la mecánica, sino también en los campos donde sus aportes son
relativamente recientes. Cualquier revista académica de economía, sociología o meteorología parece
ser una revista especializada de matemáticas, debido a la cantidad de símbolos y fórmulas que se
encuentran en sus páginas.
Por su parte, los métodos matemáticos también han experimentado una evolución, un
completamiento y un perfeccionamiento bajo la influencia, por un lado, de las especificidades de las
ciencias particulares a que se aplican y, por el otro, de las leyes de su propio desarrollo. Otro de los
elementos que distingue el desarrollo del conocimiento matemático actual es su ―humanización‖, es
decir, la utilización de los métodos de razonamiento propios de ciencias sociales: el método verbal
de la construcción de las investigaciones, el uso amplio de las analogías, razonamientos
convincentes, la apelación a la intuición, a la imaginación, etcétera. Sobre esta característica, Inna
Grekova comenta: ―La matemática aplicada no sólo penetra a otras ramas del saber y las
―conquista‖, en este proceso ella también sufre la transformación, se vuelve menos formal, menos
rigurosa, cambia sus rasgos metodológicos, se acerca, en alguna medida, a las ciencias sociales. Es
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la ciencia muy particular que se encuentra en el límite entre las ciencias sociales y experimentales,
que aplica, según se necesite, los métodos desarrollados por cada uno de estas ciencias‖.11
El surgimiento de las computadoras, un producto de la unión del conocimiento matemático con las
ciencias ingenieriles, abrió nuevas perspectivas para el desarrollo de las ciencias y brindó a los
investigadores enormes posibilidades, totalmente insospechadas hace tan sólo cincuenta años. Esto
provocó una aceleración notable del ritmo de matematización y permitió la exploración de una
multitud de fenómenos dispersos, que no han tenido una explicación coherente dentro de la ciencia
del momento. Los resultados de la salida de los algoritmos procesados con herramientas
computacionales con el tiempo dejaron de estar restringidos a números y representan cualquier tipo
de datos: fotos, fonogramas, imágenes suministradas por el telescopio espacial, cotización de las
acciones en la bolsa, secuencias de ADN, los registros de las reacciones neuronales de diversos
animales ante distintos estímulos, etcétera. La interpretación de estos datos y la predicción de sus
valores y comportamientos necesitan del uso de los modelos matemáticos. Señala Griffiths que:
―Muchos problemas importantes, planteados desde hace tiempo, y a la espera de solución, se han
resuelto gracias, en gran medida, a la creciente comprensión de las complejas relaciones que
existen entre las distintas áreas de las matemáticas. La continua expansión y la profundización en
estas relaciones permiten que las matemáticas se aventuren en la exploración de interacciones con
otras áreas de conocimiento científico. Estas interacciones entre las distintas áreas de las
matemáticas y, al mismo tiempo, entre las matemáticas y otros campos científicos, han conducido a
novedosas y poderosas intuiciones que han impulsado el avance del conocimiento‖.5
Desde la Grecia Antigua, la matemática formó parte inseparable de la herencia cultural universal,
aunque todavía existen opiniones de que el conocimiento matemático es sólo prerrogativa de las
ciencias naturales, exactas e ingenieriles. Al analizar la génesis y evolución de los conceptos
científicos, se deduce que ellos pertenecen al mundo de la historia y de la cultura. Es innegable que
el avance en el desarrollo de la geometría griega estuvo muy relacionado con los paradigmas de
belleza y armonía de esta sociedad, o que la revolución científica que concluyó en Newton impulsó
extraordinariamente las ideas progresistas de su época, o que las revoluciones cuántica, relativista y
tecnológica tienen repercusiones notables sobre la ética, la economía y la política de nuestra época.
Todo esto confirma lo planteado por el matemático francés Henri Poincaré, en el siglo XIX, de que
las formas propias del pensamiento matemático inciden profundamente en la cultura humana.
Son muy diversas las razones que impulsaron a la matemática al lugar cimero que ocupa en la
civilización actual. Como asegura De Guzmán, la ―Matemática es una ciencia capaz de ayudarnos
en la comprensión del universo en muchos aspectos, es en realidad el paradigma de muchas
ciencias y una fuerte auxiliar en la mayor parte de ellas, gracias a sus modos de proceder mediante
el razonamiento simbólico y sobrio, con el que trata de modelar diversas formas del mundo físico e
intelectual. Es un modelo de pensamiento, por sus cualidades de objetividad y consistencia, las
cuales le dan un lugar bien prominente entre las diversas formas que tiene el pensamiento humano.
Es un potente instrumento de intervención en las estructuras de la realidad a nuestro alrededor, que
ayuda en la aplicación de modelos fidedignos al mundo tanto físico como mental. En realidad, bien
se puede afirmar que la mayor parte de los logros de nuestra tecnología no son sino matemática
encarnada con la mediación de otras ciencias‖.12
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Los factores que influyen en la evolución de la matemática son básicamente dos:
Externo, relacionado con la necesidad de solucionar los problemas de las esferas no
matemáticas por medio de herramientas y métodos matemáticos.
Interno, proveniente de la necesidad de sistematizar nuevos conocimientos, esclarecer sus
interrelaciones, agruparlos con la ayuda de los conceptos unificadores en una teoría,
construir métodos para la solución de problemas matemáticos complejos, que surgen en este
proceso; precisamente esta fuente dio el lugar al surgimiento de la matemática como ciencia.
Es imposible establecer las fronteras entre esos factores, aunque sus particularidades y las
atribuciones, en la mayoría de los casos, son perfectamente visibles. A estos dos factores responden
dos vertientes en el desarrollo de la matemática, que generalmente se denominan la matemática
teórica y la matemática aplicada, cada uno de ellos con sus propios objetivos: la matemática como
examen de sus principios y fundamentos y la matemática como herramienta para la solución de
problemas no matemáticos, respectivamente. ―Establecer una vez más los nexos entre el
conocimiento teórico y aplicado, un balance sano entre una abstracción general y su carácter
concreto – son los problemas que tiene que solucionar la matemática en su futuro inmediato‖ 13 Dice
Griffiths: ―Las matemáticas tienen, por consiguiente, una naturaleza dual: son una disciplina
independiente apreciada por su precisión y por su belleza intrínseca, y son, a la vez, una rica fuente
de herramientas para el mundo de las aplicaciones. Las dos caras de esta dualidad se hallan
íntimamente ligadas. El fortalecimiento de esta relación durante todo el siglo xx ha permitido que
las matemáticas ganen, eficacia tanto hacia dentro como en su aplicación a otros campos‖.5
En las etapas tempranas del desarrollo de la matemática, las diferencias entre estas vertientes eran
mucho más evidentes por la sencilla razón de que en esta etapa hubo una interrelación débil entre
ellas. La matemática surgió entre las grandes culturas de la antigüedad con un sentido puramente
aplicado para resolver problemas de la agricultura, la arquitectura, la astrología o la contabilidad, es
decir, se ocupaba de la solución de los problemas prácticos como las mediciones de las áreas de las
parcelas de la tierra, el cálculo de las distancias, el cálculo del volúmenes, etcétera. Debido a la
capacidad de abstracción del mundo griego, se inició la reflexión teórica sobre la naturaleza de las
matemáticas, así como sobre sus posibilidades heurísticas y cognoscitivas. La ciencia griega tiene el
mérito de ser la cuna del método deductivo del desarrollo de las teorías, que denota que cualquier
afirmación perteneciente a una u otra rama de saber, puede obtenerse por medio de los métodos de
la lógica formal a partir de otras afirmaciones que no necesitan ser demostradas, llamadas axiomas.
Desde aquella época, este método se considera como una particularidad importante -si no la más
importante- de la matemática.
El siglo xvii registró la primera revolución, desde las épocas antiguas, en el pensamiento y las
prácticas científicas. El desarrollo de las ciencias naturales experimentales permitió descubrir una
discordancia entre los métodos utilizados en el razonamiento deductivo y la investigación empírica.
Estas ideas se expresan en los trabajos de Hume y luego de Kant, cuya idea consiste en que la
―forma de razonamiento no es idéntica al proceso del pensamiento y a la actividad investigativa en
su totalidad‖ (Rakitov AI. El tratamiento lógico, psicológico y gnoseológico del conocimiento.
Observaciones no publicadas, 1971).
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El periodo comprendido entre los siglos xvii y xix aportó obras fundamentales para el desarrollo de
la ciencia: ―Discurso del método‖ del matemático y el filósofo francés René Descartes, que
constituía el prólogo a otros tres tratados: Dióptrica, Geometría y Meteoros, publicados en 1637,
bajo el título conjunto de ― Ensayos filosóficos‖ y que comenzaron a editarse en forma
independiente a partir del siglo xix .
El hecho de que el discurso estuviera escrito en lengua francesa rompía con la tradición que hacía
del latín la lengua culta y de esta manera se inauguraba así una forma de comunicación que sería
fundamental para la formación de las llamadas escuelas filosóficas nacionales y que elevaría a la
lengua vernácula a convertirse en el medio adecuado para expresar la complejidad de la
investigación filosófica.14 Pese a la brevedad de esta obra, el autor expuso en ella, en forma
paradigmática, algunos de los principios esenciales de su filosofía y planteó temas que serían
posteriormente desarrollados en otros ensayos suyos. El Discurso del método es, en cierto sentido,
una de las primeras obras de la filosofía moderna que defendió el nuevo espíritu científico que
comenzaba a reinar en Europa y que supuso el abandono de los principios de la filosofía escolástica
medieval. En especial, planteaba la necesidad de fomentar una actitud hacia la investigación libre,
alejada de los argumentos de autoridad y de los excesos especulativos que se enseñaban todavía en
las universidades. Asimismo, cabe señalar, que en esta obra, Descartes, asumió plenamente los
principios de la nueva ciencia y del valor de la deducción matemática, iniciados por las
investigaciones de Nicolás Copérnico y Galileo Galilei.
La última parte del Discurso se centra en algunos elementos de la concepción de la materia y del
mundo; es en ella donde Descartes se plantea la visión mecanicista del universo y suscribe las tesis
de Galileo, así como el valor de la física y de las matemáticas como medios para el conocimiento
del mundo material. Finalmente, realizó un análisis sobre la investigación científica en general; la
necesidad de una comunidad científica que permitiera extender los conocimientos, así como sobre la
necesidad de cultivar la salud del propio cuerpo para poder pensar adecuadamente.
Otro aporte significativo a la ciencia de su época es el ―Curso de filosofía positiva‖ , publicado entre
1830 y 1842, es la obra principal del filósofo y sociólogo francés del siglo xix Auguste Comte , autor
de un ambicioso proyecto filosófico que pretendía responder a los avances de la ciencia, y que
planteaba la necesidad de que ésta sirviera para mejorar, no sólo el conocimiento, sino la sociedad.
La obra de Comte, de una gran magnitud y no exenta de polémica en su tiempo, pretendía
sistematizar los saberes más importantes y sentar las bases de una radical reforma del conocimiento.
Se escribió en un momento de gran dinamismo en la historia de Francia, cuando los proyectos de
reforma liberal de la sociedad se abrían paso en medio de la polémica política. Según Comte, era
necesario reivindicar una nueva forma de conocimiento, basada en el valor de la ciencia positiva y
crear una nueva ciencia, la sociología, que aplicara los avances científicos a la mejora de la
sociedad. Su obra, aunque revestida, según algunos autores, de un carácter utópico, predijo una
reforma de los conocimientos filosóficos convencionales. En las lecciones de la 3 a la 57 del curso,
Comte hizo un pormenorizado análisis del desarrollo histórico de diferentes ciencias y destacó la
importancia de las matemáticas, por su valor en la generalización y su posibilidad de convertirse en
modelo de método racional.
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Si bien muchos sabios, por ejemplo Isaac Newton, han patentizado el uso de la matemática en su
trabajo, han existido otros que criticaron fuertemente la tendencia a la matematización del
conocimiento. Así, el filósofo irlandés George Berkeley, en su ―Tratado sobre los principios del
conocimiento humano‖ , insistió que este proceso sólo era factible si los conceptos matemáticos
fueran aplicables a las cosas empíricamente perceptibles por los sentidos, en cualquier otro caso, eso
sería una pura abstracción, por ejemplo, el concepto de indefinido.
Con el de cursar del tiempo, la integración de las matemáticas con otros campos del saber se
estrechó y como afirma Redondo Botella: ―En el siglo XVIII, se intensificó el análisis lógico a que
se someten las relaciones de la matemática con las demás ciencias, principalmente con las
naturales. No obstante, la profundidad que ganan algunas teorías y la aparición de otras nuevas, no
son el resultado sólo del apremio por resolver problemas científicos ajenos desde el punto de vista
cuantitativo, en cuanto a conocer los niveles de influencia en las relaciones entre los elementos con
el propósito de viabilizar la determinación de influencias, desde lo cualitativo, incluso vínculos de
causa-efecto, para las otras ciencias particulares, sino que son exigencias internas de la propia
matemática para continuar su desarrollo como ciencia independiente‖ (Redondo Botella L.
Matemática y Filosofía se relacionan. Observaciones no publicadas, 2002).
La ciencia se desarrolla a partir de las formas particulares de observar, pensar, experimentar y
probar que representan un aspecto fundamental de la naturaleza de la ciencia y reflejan cuánto
difiere ésta del conocimiento empírico. ―A partir del siglo xvii, y por primera vez en la historia, esta
forma de conocimiento se concibe como una comprensión de la naturaleza que combina la
experimentación y la matematización para lograr resultados que puedan someterse a control y
verificación. La esencia de esta transformación intelectual se resume en tres palabras: método,
experimento y cálculo‖.15
La era moderna de la ciencia, que se inició con Galileo y, de forma definitiva, con Newton, se
identifica por recuperar el interés práctico y combinar el experimento con las indagaciones teóricas
con el propósito de entender y explorar el universo no sólo contemplativamente, sino con la
posibilidad de proyectar la inteligencia humana en la tecnología. Debido a eso, la matemática se
convirtió en un saber polifacético: una ciencia con fines propios y un instrumento poderoso de
exploración y transformación del universo en cualquier campo. Respecto al tema, Ruiz señala que la
condición de la matemática como ciencia exacta plantea una relación estrecha entre ésta y el mundo
material y social. ―Epistemológicamente se trata de entender una relación mutuamente
condicionante entre el objeto y el sujeto, es decir, una interacción de influjos recíprocos y
cambiantes. De igual manera, se plantea una relación entre las matemáticas y las otras ciencias:
una íntima vinculación teórica e histórica del conocimiento científico; lo que las hace un
instrumento imprescindible para el progreso de éstas‖. 9
Los descubrimientos de Newton y el sistema filosófico de René Descartes dieron paso a la ciencia
materialista del siglo xviii, que trataba de explicar los procesos esenciales a partir de sus basamentos
científicos. La confianza en la postura científica ante la vida influyó también en las ciencias sociales
e inspiró el llamado Siglo de las Luces. Los avances de la ciencia del siglo xviii sentaron las bases
para la época siguiente, llamada a veces siglo de la correlación por las amplias generalizaciones que
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tuvieron lugar en diversas ramas del saber: la teoría atómica de la materia postulada por el químico y
físico británico John Dalton; las teorías electromagnéticas de Michael Faraday y James Clerk
Maxwell; la ley de la conservación de la energía, enunciada por el físico británico James Prescott
Joule y otros científicos.
La maduración de la ciencia en el ámbito teórico propició la formulación que hizo Engels, de que las
ciencias ganaban cada vez mayor independencia y que, con este avance, llegarían al descubrimiento
de la dialéctica. Para la primera mitad del siglo xx, la diferenciación y consolidación estructural de
la ciencia se hizo efectiva y con ella, la delimitación de su quehacer propio, separado no sólo de
cada ciencia en relación una con otra, sino también en relación con otros productos de la cultura,
incluida la filosofía. Para aquel entonces, se concebía a la ciencia como un proceso de producción de
conocimientos dependiente, tanto de observaciones minuciosas de los fenómenos como del
establecimiento de las teorías que les daban sentido. El ―Diccionario de las ciencias sociales ‖
considera a la ciencia como ―la búsqueda sistemática, objetiva, deliberada y controlada para
observar y conocer con exactitud un conjunto de fenómenos‖, así como ―un conjunto de
conocimientos válidos y comprobados‖.16
En este aspecto, el cambio en el conocimiento durante la investigación resulta inevitable porque las
nuevas observaciones pueden desplazar las teorías existentes con un mejor ajuste o un mayor
alcance sobre una gama más amplia de observaciones. En la ciencia, comprobar, mejorar y, de vez
en cuando, descartar teorías, sean nuevas o viejas, es un procedimiento habitual que los científicos
dan por sentado. Aun cuando no hay forma de asegurar la verdad total y absoluta, se pueden lograr
aproximaciones cada vez más exactas para explicar el mundo y su funcionamiento.―Antes que nada,
la ciencia es un proceso para obtener un conocimiento y una comprensión que es útil para formular
las explicaciones de los fenómenos. La ciencia no deberá confundirse con simples enunciados de
hechos. La expresión método científico sirve como descriptor de un enfoque de investigación donde
el objeto del investigador es obtener un conocimiento preciso y confiable‖.17
En cuanto a la matemática, debe tomarse por principio, que una formulación matemática no
constituye por sí misma una teoría; sin embargo, cuando ésta representa una generalización de un
fenómeno o identifica el comportamiento de una regularidad, proceso u operación, o refleja
determinadas relaciones no manifiestas a simple vista y, nunca antes comprobadas, no cabe duda
que se está en presencia de una aportación teórica que enriquece y genera nuevo conocimiento a la
disciplina que lo recibe.13
Durante la segunda mitad del siglo xix, especialmente en sus últimas décadas, comenzaron los
intentos de formalización de muchas ciencias humanas. La necesidad de comprender la naturaleza
para luego transformarla e interactuar con ella, exigía de una abstracción del entorno, y ello se
correspondía con el planteamiento de los modelos mentales de la realidad, los que, a su vez,
conducían a la creación de nuevos modelos formales y, en muchos casos, hacía su formulación
matemática. Para Poliansky, la matematización consiste, básicamente, en ―tomar los aspectos que se
creen esenciales del fenómeno o proceso a estudiar y tratar de reproducirlo por medio de modelos
matemáticos, es decir mediante funciones y relaciones que se comporten aproximadamente como
esos aspectos simplificados de la realidad. Luego, se intentan incorporar más detalles, se agregan
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parámetros y variables, y se trata de refinar el modelo, para que se aproxime lo más posible a la
realidad‖.18
Este proceso es perfectamente aplicable a cualquier campo del saber, incluida la Ciencia de la
Información (figura 1).
Fig. Modelos formales.
Es importante destacar que la matemática no se aplica directamente al objeto real de estudio, sino a
su modelo matemático y, a la hora de realizar su análisis, se tiene presente constantemente su
procedencia y los objetivos de la investigación. La construcción de modelos es una etapa de especial
importancia en las investigaciones que requieren de este procedimiento. ―El modelo matemático es,
pues, una estructura abstracta que representa la forma de los objetos de la realidad y las relaciones
concretas que existen entre ellos, mediante la selección de aquellos elementos que responden a las
características esenciales del objeto o fenómeno estudiado, simbolizados matemáticamente– de
forma directa o indirecta– y expresados, mayormente, en términos asequibles a la medición, que
permiten representar comportamientos concretos, puntuales o en forma de tendencias‖. 19
Generalmente, los modelos representan una imagen simplificada de la realidad o de una parte del
sistema que se pretende a estudiar. El proceso de definición del modelo de un sistema (real o no
real) se denomina modelación. En cuanto a la simulación, consiste en el uso del modelo para obtener
datos sobre el funcionamiento correcto o no del sistema. El modelo debe ser capaz de proveer
instrucciones, que ofrezcan datos sobre el comportamiento del sistema modelado. Los modelos
matemáticos se expresan en forma de ecuaciones, fórmulas e entidades de menor o mayor grado de
complejidad. Para saber si un modelo es adecuado o no, es necesario confrontar los resultados
obtenidos con los del sistema real que se desea estudiar. En el caso de no existir el sistema, el
modelo representará algo que se pretende construir.
Habitualmente, sobre el modelo matemático trabajan conjuntamente los matemáticos y los
especialistas de la disciplina, al que pertenece el objeto estudiado. ―Para el éxito de su trabajo es
importante la comprensión mutua, que sólo llega, cuando los matemáticos poseen conocimientos
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específicos sobre objeto modelado y sus colegas son portadores de una cultura matemática
determinada y de la experiencia de trabajo de aplicación de métodos matemáticos en su esfera‖. 6
Es oportuno destacar que la modelación en las ciencias exactas, por sus características, es más
sencilla que en las ciencias sociales, debido a las peculiaridades de este campo del saber. En las
ciencias sociales, el reflejo de los procesos y fenómenos se dificulta, debido a la presencia en ellas
del factor humano. El análisis de los modelos matemáticos construidos para reproducir ciertos
fenómenos de interacción social o de movimiento económico muestra que estos alcanzan un nivel de
abstracción que dista mucho de la realidad. No todos los problemas de las ciencias sociales admiten
ser sujetos al proceso de modelación matemática, tanto por su complejidad, como por ausencia de
herramientas adecuadas. Existen muchos matices complejos en la vida del hombre como para
pretender manejarlos por medio de modelos matemáticos. Sin embargo, su omisión sería fatal a la
hora de realizar un estudio. ―Uno de los aspectos que pueden resultar más problemáticos, cuando se
trata de integrar paradigmas cuantitativos y cualitativos, es la cuantificación sin que ello implique
el empobrecimiento de los elementos cualitativos más interesantes‖.20
En conclusión, puede afirmarse que no todos los fenómenos, tanto naturales como sociales pueden
expresarse matemáticamente, no todos los hechos que constituyen la realidad son analizables
experimentalmente, no todas las hipótesis válidas pueden confrontarse con la realidad a la que se
refieren. Es más, la tendencia de intentar matematizarlo todo, presenta peligros advertidos por
muchos autores, en especial, por Philip J. Davis y Reuben Hersh en su obra ―Descartes Dream‖,
donde afirma : ―La solución, parece, consiste en el cultivo de valores fuertes que se encuentran
fuera de la ciencia. Hemos de proporcionar a los científicos más educación en las humanidades, en
la historia. No nos podemos permitir ser técnicos ignorantes. Hemos de tener menos rigidez de
pensamiento. Tenemos que evitar llegar a convertimos en una especie de sacerdocio científico. La
solución consiste en mezclar ciencia y tecnología con el resto de la vida en proporciones
adecuadas. Tenemos que recordar que aunque la Matemática es la Reina de las Ciencias, la
Ciencia no es el único principio de la vida‖.21
REFLEXIONES GENERALES SOBRE LA MATEMÁTICA Y LA CIENCIA DE LA INFORMACIÓN
Muchos de los principios de la Ciencia de la Información pudieran sistematizarse y generalizarse
con la aplicación del método científico para el análisis de los fenómenos de la información como
objeto de estudio, y ello, permitiría, a partir de la observación y la experimentación obtener un
conocimiento verdaderamente probado . ―La generación de un conjunto de verdaderos
conocimientos sobre Bibliotecología y Ciencia de la Información, y el subsecuente logro de un
reconocimiento profesional y académico, amplio y completo, depende de las siguientes
realizaciones: la creación de una sólida estructura de conocimientos teóricos y prácticos, la buena
disposición de los bibliotecarios para cuestionar suposiciones y comprobar hipótesis y la práctica
continua de una investigación rigurosa y significativa por un grupo mayor y más calificado de
profesionales‖.17 Para el logro de este objetivo, la presencia de las matemáticas es imprescindible.
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Un lugar peculiar para la aplicación de la matemática al campo de las ciencias sociales se sitúa en
los procesos de recopilación, almacenamiento, organización, transmisión y recuperación de la
información. En cuanto a la aplicación de la matemática a la bibliotecología, ésta tuvo grandes
avances porque esta ciencia tiene: ―entre sus objetivos principales contribuir a: el pronóstico
científico de la actividad bibliotecaria, la determinación de proporciones en el desarrollo de esa
actividad, la distribución de los elementos que integran las redes bibliotecarias, la creación de
modelos matemáticos para determinar el comportamiento de diferentes tipos de bibliotecas, de sus
procesos y de los sistemas bibliotecarios, la selección de muestras para las investigaciones
bibliotecológicas, así como la precisión de concepciones teóricas de la Bibliotecología‖ (Setién
Quesada E. Modelación matemática del comportamiento de las bibliotecas públicas cubanas. [Tesis
para optar el título de Doctor en Ciencias de la Información. La Habana: Facultad de Artes y Letras.
Universidad de La Habana, 1988).
La revolución científica, ocurrida a finales del siglo xix y principios del xx, ejerció una necesaria y
notable influencia en la actividad de información, una actividad que estaba conformada como
premisa y resultado de la propia actividad científica. ―No es por gusto que sea precisamente a
finales del siglo xix, que se caracterizó por la extraordinaria explosión de conocimientos de las
ciencias naturales y su consecuente multidisciplinariedad, lo que hizo posible que aparecieran
sistemas de clasificación biblioteco-bibliográficos sobre la base de poder establecer
posteriormente, a través de ellos, una sintaxis que permitiera una recuperación armónica de toda la
información que se requiriera‖.22
La creación del sistema de Clasificación Decimal, desarrollada en 1894 por Dewey, debe verse
como la respuesta a una necesidad de su momento y como la respuesta que pudo satisfacer la
necesidad de la esfera de la sociedad que la requería.22
Es indiscutible la influencia de las teorías matemáticas sobre el desarrollo de un proceso
informacional tan importante como la clasificación. La teoría de la lógica matemática entiende por
clase un ―conjunto finito o infinito, tomado como un todo, de objetos que se distinguen por un
determinado rasgo. Los objetos que constituyen la clase se denominan elementos de la misma. <…>
Generalmente, las clases se definen a partir de las propiedades comunes a todos sus elementos‖.23
Según Herrera Acosta, la clasificación ―…comprende la distribución de los objetos de cualquier
género en clases, sobre la base de rasgos diferenciales correspondientes, propios de los objetos‖.24
Las clasificaciones jerárquicas deben cumplir con determinadas leyes de la lógica matemática
formal y de la lógica dialéctica. Al comparar estos dos conceptos, se evidencia su estrecha relación.
―El nivel alcanzado por las ciencias en el siglo xix condujo a una crisis organizativo-conceptual en
esa esfera, que se reflejó en el trabajo bibliográfico y en los servicios bibliotecarios especializados
durante este siglo. La descripción de documentos y su organización reclamaban nuevos sistemas de
información más flexibles, acordes con las circunstancias. Este problema dio lugar a nuevos
desarrollos en estos campos, como los nuevos sistemas de clasificación y la descripción de forma y
contenido de los documentos, que se hizo cada vez más profunda y precisa a partir de la aplicación
de distintos procedimientos‖.19
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Durante el siglo xviii , en varios países, se crearon Academias de Ciencias: en Estados Unidos, un
club organizado en 1727 por Benjamin Franklin se convirtió en 1769 en la Sociedad Filosófica
Americana ; en 1780 se constituyó la Academia de las Artes y las Ciencias de América, fundada por
John Adams, el segundo presidente estadounidense; en 1831 se reunió, por primera vez, la
Asociación Británica para el Desarrollo de la Ciencia , seguida en 1848 por la Asociación
Americana para el Desarrollo de la Ciencia y, en 1872, por la Asociación Francesa para el
Desarrollo de la Ciencia. Cada uno de estos organismos nacionales comenzó a editar
respectivamente sus publicaciones Nature, Science y Compte-Rendu, y ello, provocó el crecimiento
acelerado de la documentación científica en los primeros años del siglo xx, tanto que el catálogo
titulado ―Lista mundial de publicaciones científicas periódicas editadas en los años 1900-1933‖
incluyó unas 36 000 entradas en 18 idiomas. Muchos de estos trabajos se publicaron por sociedades
especializadas dedicadas al estudio de disciplinas científicas concretas.
Desde los finales del siglo xix, la comunicación entre los científicos se facilitó gracias al
surgimiento de organizaciones internacionales, como la Oficina Internacional de Pesas y Medidas
(1875) y el Consejo Internacional de Investigación (1919). Este último se subdividió en comisiones
internacionales para cada una de las ciencias y pronto comenzaron a celebrar sus congresos
internacionales y publicar sistemáticamente sus memorias. La necesidad de la comunidad científica
y académica de conocer e intercambiar esta información con el objetivo de evitar la duplicación de
investigaciones y acelerar el desarrollo de la ciencia creció.
Además de organizaciones científicas propiamente dichas, las grandes empresas industriales crearon
sus departamentos de investigación, que divulgaron por escrito los resultados de su trabajo o
enviaron informes a las oficinas estatales de patentes que, a su vez, editaron resúmenes en boletines
periódicos.
Debido a la naturaleza social de la ciencia, la difusión de la información científica, que crecía de
manera exponencial, comenzó a desempeñar una función decisiva y se convirtió en un factor
fundamental para su progreso. Los resultados de las investigaciones, que se reflejaban en los
descubrimientos y teorías, se difundieron por medio de las revistas especializadas, y ello, permitió
exponer las ideas a las críticas y, desde luego, estar al tanto de los avances científicos en cada campo
del conocimiento. Esta situación originó un proceso nuevo que se ha caracterizado por diferentes
autores como el flujo, la avalancha, la explosión y hasta el caos de la información. La solución de
esta problemática, considerada como una de las fundamentales, muchos científicos la relacionan con
la efectividad, el futuro desarrollo y hasta con la existencia misma de la ciencia. Dicho problema,
surgido a comienzos del siglo xx, llega hasta nuestros días cuando las exigencias de cada
investigador se centran en poder acceder a una parte mayor de los resultados de sus colegas.
En los momentos actuales, el problema de auge de la información se agudiza aún más. Desde finales
del siglo pasado, surgió un nuevo enfoque para el fenómeno de la información, reconocida
explícitamente como un recurso estratégico para el desarrollo. Se crean herramientas cada vez más
eficientes para su manejo y aumentan sus potencialidades como resultado de los avances de la
ciencia, que aúna de forma integradora los progresos matemáticos y tecnológicos. Los volúmenes de
información crecen drásticamente; por los canales correspondientes circula no sólo la información
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científica, sino también financiera, divulgativa, de ocio… en diferentes idiomas, soportes, formatos,
con niveles de calidad y credibilidad bastante disímiles.
Es decir, que al finalizar la Segunda Guerra Mundial, en la esfera de la información, se observaban
dos fenómenos: uno, el gran cúmulo de información generado por el conflicto bélico y los primeros
años de la anunciada guerra fría y dos, la creación, en 1945, de la primera computadora, el
dispositivo que permitiría enfrentar el manejo de esa información. Si bien el impacto tangible de las
técnicas computacionales en los campos administrativos e investigativo se observa a partir de la
década de los sesenta, sus potencialidades en el manejo de la información abrieron posibilidades
indiscutibles al desarrollo de las propuestas de la nueva Ciencia de la Información. En consecuencia,
los métodos de trabajo y los servicios de las instituciones de información comenzaron a
experimentar una profunda transformación. De la mano de los ingenieros en telecomunicaciones, se
impuso, entonces, el sistema de comunicación de datos basado en teorías matemáticas.
En 1963, Weinberg, realizó una de las valoraciones más importantes de su época sobre este
problema en un informe federal que recogía el pensamiento de las principales figuras
gubernamentales y de la empresa privada con respecto a la información. El informe apuntaba la
necesidad de concientizar el procesamiento de la información científico-técnica como una tarea
digna y como parte inseparable de la actividad científica; cada autor debía sentirse más responsable
sobre la localización posterior de sus publicaciones; era necesario organizar una amplia enseñanza
de los métodos de procesamiento de la información y los científicos e ingenieros debían hallar y
aplicar en la práctica, métodos nuevos de intercambio de la información (Weinberg A. Science,
Government, and Information, 1963). Las recomendaciones de este informe se dividían en dos
direcciones: hacía la comunidad científica y hacía las agencias estatales, y establecía pautas de
actuación a seguir para el progreso de la actividad informacional. Este documento tuvo tanta
importancia, que determinó las tendencias de investigación en el campo de Ciencia de la
Información en los Estados Unidos, vigentes hasta nuestros días. Sus propuestas propulsaron el
desarrollo de la ―industria de la información‖ en este país y, a la vez, sirvieron de base para la
creación de potentes sistemas de información dotados de los medios de cómputo.
La bibliotecología y la documentación con el nivel de desarrollo que presentaban para aquel
entonces no podían enfrentar el reto de la explosión de la información referida. Ante la falta de
respuesta por parte de estas dos áreas, surgieron desde el interior de las ciencias puras, aplicadas y
humanas, trabajos de investigación y propuestas para hacer frente al problema de la información
científica; se convirtió así a la información en objeto de estudio, y surgió un nuevo campo del
conocimiento como es la ciencia que estudia la información o Ciencia de la Información. Señala
Setién que fue ―la consolidación de la división del trabajo en la esfera de la investigación científica,
que precisó el contenido de la función de la documentación o actividad científico informativa,
constituyó una de las causas de aparición de lo que hoy se denomina Ciencia de la Información ‖.19
Y Pedroso Izquierdo agrega: ―esta ciencia surgió como respuesta a la necesidad social creciente de
desarrollar métodos y medios eficaces para recopilar, conservar, buscar y divulgar la información,
debido a la diversificación de las ramas científicas, así como a la mezcla y surgimiento de nuevas
áreas de investigación, que hicieron más complejo su proceso de organización y suministro‖.25
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En los progresos de la Ciencia de la Información, como de cualquier otra ciencia, están presentes las
leyes generales del desarrollo. El incremento gradual del volumen de la información a partir de la
segunda mitad del siglo xix , los avances de las tecnologías para su tratamiento y la creciente
importancia de este fenómeno, exigieron acercamientos conceptuales y terminológicos distintos y,
por consiguiente, la necesidad de una disciplina científica para su abordaje con un enfoque
independiente. Esto llevó al surgimiento de un campo del conocimiento que se ocupa de la
información como su objeto de estudio y que centra su atención en el fenómeno de la información
para asumir el desafío informacional. ―Ante un desarrollo tan acelerado de la ciencia como lo fue el
desarrollo de la misma en el siglo xix, se correspondía, o necesitaba corresponderse como
necesidad imperiosa, la creación de un sistema biblioteco-bibliográfico capaz de responder a las
crecientes demandas de información, consecuentes, por supuesto, del desarrollo creciente de las
ciencias en aquel momento‖.22
El nivel alcanzado por la matemática en aquel entonces incidió sustancialmente en la conformación
de esta nueva disciplina. Esta influencia fue el resultado de la acción de un grupo de factores
esenciales, como son:
El cambio fundamental que experimentaron las matemáticas en la formulación y elaboración
de las teorías científicas.
El reconocimiento de la importancia y de la necesidad de la aplicación de las teorías
matemáticas a la experimentación científica.
El descubrimiento de la dependencia de los resultados de la investigación científica con
respecto a la estructura y la composición del lenguaje de la ciencia.
Es decir, en todos los momentos de su evolución, la ciencia que nos ocupa ha estado estrechamente
ligada al avance cada vez más creciente de muchos campos del conocimiento científico, entre ellos,
la matemática.
CONSIDERACIONES FINALES
La comprensión del desarrollo de una ciencia no puede ser completa si no se examinan sus
relaciones con otras ramas del saber que han contribuido a sus orígenes y evolución. En este sentido,
la incidencia del conocimiento matemático en el desarrollo de la Ciencia de la Información permitió
su avance y el surgimiento de las áreas como los estudios métricos de la información y la
recuperación de la información, a partir de diversos modelos matemáticos.
Por su parte, el desarrollo de la Ciencia de la Información en el contexto de la evolución del
conocimiento en general y de las teorías matemáticas, en particular, muestra que la influencia de los
distintos campos del quehacer intelectual no dejan aparte la actividad informacional, sino que, al
contrario, ésta ha surgido a la par con el crecimiento de las necesidades humanas en íntima relación
con el desarrollo de las condiciones sociales.
Con respecto a la modelación matemática de los fenómenos informacionales, ésta no sólo permite
explicar mejor las causas y los efectos, que desde el punto de vista teórico los rigen, sino que,
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además, constituye una valiosa herramienta para pronosticar su comportamiento, enriquecer su
lenguaje formal y el cuerpo teórico de la Ciencia de la Información.
La matematización del conocimiento en la esfera de las ciencias sociales se ha expandido hacia el
fenómeno bibliotecológico-informativo, y constituye una efectiva herramienta de trabajo para el
estudio del comportamiento de los flujos de la información, a partir de los cuales es posible elaborar
pronósticos y tendencias que, a su vez, posibilitan la formulación de distintas regularidades
científicas.
Y, por último, que, a pesar de la importancia que ello representa, la aplicación de las diferentes
teorías matemáticas a la solución de los problemas planteados por la Ciencia de Información ha sido
tradicionalmente débil, debido, entre otras causas, a la insuficiente preparación de los profesionales
de la información en el uso de las herramientas matemáticas aplicables a su quehacer profesional y
de investigación.
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[Consultado: 15 de diciembre del 2005].
26.
MÓDULO : TALLER DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 2 : LA MATEMÁTICA COMO SABER CIENTÍFICO, TECNOLÓGICO Y TÉCNICO
Conocimiento científico - Conocimiento tecnológico
"Es más fácil romper un átomo que un prejuicio"
Albert Einstein
Luis Doval -- Articulos Online
Objetivos Este trabajo se propone exponer algunos argumentos de carácter genérico para promover el debate
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sobre cuestiones relativas al conocimiento. En este caso, sobre el conocimiento tecnológico ?de
existencia reconocida aunque poco difundida? sobre cuyas características y status las definiciones
son todavía escasas y poco difundidas.
Sobre todo, se trata de poner de manifiesto que la idea asumida en ámbitos escolares con un carácter
casi dogmático para validar un saber ?la del conocimiento denominado científico? no sólo tiene
validez restringida, sino que puede ser considerada como una más, entre muchas formas de
conocimiento.
Introducción En términos muy esquemáticos, a partir del siglo V dC, dos ideas han asumido la tarea de explicar
las formas del conocimiento, la corriente epistemológica que se sustenta en la explicitación de leyes
y la corriente epistemológica que se ocupa de la comprensión de la realidad.
Históricamente, la primera de éstas, fue transformándose en hegemónica, con su énfasis explicativo,
con su preocupación por la construcción de un modelo basado en el de las ciencias naturales, con su
concepción de la realidad como única, observable, experimentable, sujeta a leyes en las que procura
indagar para recuperar su dimensión racional y arribar a predicciones cuyos enunciados dan cuenta
de unidad y verdad absoluta.
Como alternativa a esta corriente, se gesta otra que enfatiza la crítica y la deconstrucción, que parte
de una concepción de realidad socialmente construida y semióticamente dispuesta. En este modelo,
la complejidad se instala de manera contundente y se resiste a ser explicada de forma lineal por una
unidad fundamental que, a partir de sus rasgos esenciales, permite dar cuenta del todo.
Una y otra responden de distinto modo a las preguntas acerca de la forma de concebir la
construcción del conocimiento.
Para la primera, y según el decir de Feyerabend, la razón es una dama muy atractiva que ha
permitido claras determinaciones acerca de qué es una disciplina y qué no lo es, y que ha
posibilitado la diferenciación del conocimiento en una multiplicidad de disciplinas autónomas. Esta
concepción, en el campo de la escuela y con mucho más énfasis a partir del momento en que el
Estado se hace cargo de la Educación Pública, dio origen a un currículum centrado en disciplinas
que, en espacios escolares bien diferenciados, trataban de divulgar no sólo el saber académico, sino
de incluir también los métodos para argumentar, pensar y "ver" el mundo sobre la base del trabajo
de las disciplinas.
Para la segunda corriente de ideas, los objetos de conocimiento no son propiedad de una disciplina
sino que son la expresión de problemas sociales, que se manifiestan siempre a priori de cualquier
ordenamiento conceptual.
En discrepancia con la concepción de disciplina como el estudio de un conjunto de objetos de la
realidad, cada disciplina se constituiría, (Ricco 1988), en un espacio de problemas para cuya
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resolución se acude a una base teórica y a una base metodológica conformada por aportes de
múltiples procedencias.
Esta concepción promueve un currículum centrado en competencias que, en espacios escolares
integrados, accede al saber académico en función de necesidades y demandas de diferente orden,
donde, si bien se requieren los conocimientos disciplinares, se exceden las posibilidades explicativas
de una disciplina en particular.
En este segundo grupo, entre otros, se inscriben los que consideran que la tecnología y su forma
particular de acceso al conocimiento, merecen un espacio y una consideración específica en la tarea
que realiza la escuela.
Instalar este tipo de ideas en el campo educativo choca en principio con algunos problemas: al
problema del "recién llegado" se suman el que ya mencionamos de la hegemonía ejercida por el
modo "científico" de acceso al conocimiento y las concepciones disciplinares de allí derivadas.
Por otra parte, en la práctica escolar resulta muy dificultoso, aunque se declame, concebir un espacio
interdisciplinar y de articulación de conocimientos donde la acción y lo concreto se constituyan en el
determinante teórico.
Dado que la expectativa de este trabajo está centrada en realizar algunos aportes a la discusión, se
presentará, luego de un breve recorrido histórico, algunas explicaciones referidas a la identificación
del pensamiento tecnológico como un modo particular de entender la realidad, de acceder a ella y de
construir conocimiento.
COMO SIEMPRE Y COMO EN TODO. EXISTEN ANTECEDENTES.
Durante los primeros años de este siglo, la línea de pensamiento del empirismo o positivismo lógico,
impulsada por el filósofo austriaco Ludwig Wittgenstein, hizo hincapié en que sólo hay una clase de
conocimiento: el conocimiento científico; que cualquier conocimiento válido tiene que ser
verificable en la experiencia; y, por lo tanto, que mucho de lo que había sido dado por bueno por la
filosofía no era ni verdadero ni falso, sino carente de sentido.
Esta afirmaciones se insertaban en una discusión con antecedentes muy lejanos. Algunos siglos
antes de Cristo aportando a una percepción de la realidad que habían iniciado los Jonios y en
particular Heráclito los sofistas griegos ya cuestionaban la posibilidad de que hubiera un
conocimiento fiable y objetivo, que nada puede existir en realidad, que si algo existe no se puede
conocer, y que si su conocimiento fuera posible, no se podría comunicar.
Los socráticos, especialmente Platón, contestaron a los sofistas dando por sentado la existencia de
un mundo de formas o ideas, invariables e invisibles, sobre las que es posible adquirir un
conocimiento exacto y certero, asegurando que las cosas que uno ve y palpa son copias imperfectas
de las formas puras estudiadas en matemáticas y filosofía.
Por consiguiente, sólo el razonamiento abstracto de esas disciplinas proporciona un conocimiento
verdadero, mientras que la percepción facilita opiniones vagas e inconsistentes.
Se advierte aquí, una oposición entre percepción y razón como posibilidad de comprender el mundo.
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Aristóteles , más tarde, sostuvo que el conocimiento se adquiere de dos formas: por vía directa, por
la abstracción, o de forma indirecta, deduciendo nuevos datos de aquellos ya sabidos, de acuerdo
con las reglas de la lógica. La observación cuidadosa y la adhesión estricta a las reglas de la lógica,
que por primera vez fueron expuestas de forma sistemática por Aristóteles, ayudarían a superar las
trampas teóricas que los sofistas habían expuesto.
Después de varios siglos en que el interés por el conocimiento racional y científico quedó olvidado,
Santo Tomás de Aquino y otros filósofos de la edad media ayudaron a devolver la confianza en la
razón y la experiencia, al combinar los métodos racionales y la fe en un sistema unificado de
creencias.
Luego, los racionalistas como Descartes, Spinoza y Leibniz, sostuvieron que la principal fuente y
prueba final del conocimiento era el razonamiento deductivo basado en principios evidentes o
axiomas.
Para los empiristas como Bacon, Locke y Hume, la fuente principal y prueba última del
conocimiento era la percepción. Bacon, precisamente, inauguró la era de la ciencia moderna al
aportar nuevas normas para articular el método científico, entre las que se incluyen la formulación
del primer grupo de reglas de lógica inductiva.
Locke criticó la creencia racionalista de que los principios del conocimiento son evidentes por una
vía intuitiva, y argumentó que todo conocimiento deriva de la experiencia. Afirmó que el
conocimiento humano de los objetos físicos externos está siempre sujeto a los errores de los sentidos
y concluyó que no se puede tener un conocimiento certero del mundo físico que resulte absoluto.
Hume, mas tarde, profundizó los conceptos empiristas. Afirmó que la mayor parte del conocimiento
de la realidad descansa en la relación causa? efecto, y al no existir ninguna conexión lógica entre
una causa dada y su efecto, no se puede esperar conocer ninguna realidad con certeza. Dividió todo
el conocimiento en dos clases: el conocimiento de la relación de las ideas ?es decir, el conocimiento
hallado en las matemáticas y la lógica, que es exacto y certero pero no aporta información sobre el
mundo? y el conocimiento de la realidad ?es decir, el que se deriva de la percepción.
Kant intentó resolver la crisis provocada por los empiristas. Propuso una solución en la que
combinaba elementos del racionalismo con algunas tesis procedentes del empirismo. Coincidió con
los racionalistas en que se puede tener conocimiento exacto y certero, pero siguió a los empiristas en
mantener que dicho conocimiento es más informativo sobre la estructura del pensamiento que sobre
el mundo que se halla al margen del mismo.
Distinguió tres tipos de conocimiento: analítico a priori, que es exacto y certero pero no informativo,
porque sólo aclara lo que está contenido en las definiciones; sintético a posteriori, que transmite
información sobre el mundo aprendido a partir de la experiencia, pero está sujeto a los errores de los
sentidos, y sintético a priori, que se descubre por la intuición y es a la vez exacto y certero, ya que
expresa las condiciones necesarias que la mente impone a todos los objetos de la experiencia.
Durante el siglo XIX, Hegel retomó la afirmación racionalista de que el conocimiento certero de la
realidad puede alcanzarse con carácter absoluto equiparando los procesos del pensamiento, de la
naturaleza y de la historia. Este interés por la historia y el enfoque histórico del conocimiento fue
más tarde retomado por Spencer y Comte que pusieron de manifiesto la importancia de la sociología
como una rama del conocimiento y aplicaron los principios del empirismo al estudio de la sociedad.
La escuela estadounidense del pragmatismo, fundada por Peirce, James y Dewey , este último con
una gran influencia en el campo educativo, a principios de este siglo, llevó el empirismo aún más
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lejos al sostener que el conocimiento es un instrumento de acción y que todas las creencias tenían
que ser juzgadas por su utilidad como reglas para predecir las experiencias.
Mucho más cercano en el tiempo, Popper, guardando alguna similitud con Kant, ha llegado a la tesis
siguiente: en lo que respecta a la capacidad humana de conocimiento vivimos en tres mundos:
Primero; existe el mundo de los acontecimientos reales, el mundo de la naturaleza inanimada y
animada, un mundo que naturalmente puede existir sin los hombres, que existía antes de que hubiera
hombres sobre el planeta. Es una magnitud de orden propio, objetivamente existente, que no
necesita del sujeto observante para probar su existencia.
El segundo mundo es el de las percepciones sensoriales y de los sentimientos provocados por las
experiencias a que da lugar el contacto con el primer mundo. Este segundo mundo es, por tanto, un
mundo extremamente subjetivo: son procesamientos propios e individuales de percepciones propias
e individuales, que en último término determinan impresiones y experiencias personales en el trato
con el primer mundo.
El tercer mundo de Popper es el de objetivación de las ideas sobre el mundo real. Es el de los
conceptos y de las lenguas. Aquí es donde se exponen las hipótesis, son examinadas y consideradas
como adecuadas o como improcedentes.
Actuar científicamente significa esbozar en toda libertad y con toda la fuerza creadora a disposición,
tales universos conceptuales de la realidad de las cosas, pero también aplicarlos con la misma
energía a la resistente realidad, al primer mundo, o también abandonarlos caso de que hubieran
demostrado ser meras construcciones conceptuales.
Como se puede ver, lo que comienza como una forma de conocer, luego se convierte en dos y
posteriormente en tres formas de conocimiento o mediadores de la realidad real.
A esta discusión no saldada sobre las características y naturaleza del conocimiento, que sólo hemos
delineado toscamente desde el campo de la filosofía, se agrega hoy la de las inteligencias múltiples
que, sobre todo, plantean formas diferentes de relacionarse con la realidad y por lo tanto, de generar
distintos tipos de conocimiento, entre los cuales, se encuentra el tecnológico.
El conocimiento tecnológico o la tecnología como una forma de conocer En su libro Ciencia y técnica como ideología, Jürgen Habermas, retomando a Hegel, a quien
habíamos mencionado anteriormente, expresa (coincidiendo en el modelo de una tríada con Kant y
Popper), que las personas poseen tres mediadores ?lenguaje, familia, instrumentos? para llevar
adelante sus relaciones dialécticas con lo real.
Estos mediadores determinan las relaciones de las personas entre sí y con el mundo social y natural,
por lo que indagar en ellos resulta un modo decisivo de comprender al hombre y a su mundo
socio?histórico?político particular.
De entre estos mediadores, el tercero, el de los instrumentos, configuraría el campo de la
Tecnología. Para Habermas, adentrarse en la comprensión dialéctica de los instrumentos ?como
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representación sedimentada de las experiencias generalizadas que las personas que trabajan hacen
con sus objetos? resulta un elemento clave para entender los dispositivos humanos frente a su
sometimiento al poder de la naturaleza externa. Tan indispensable como conocer el lenguaje
humano y los valores ?fundamentalmente el de la reciprocidad? que la familia ayuda a sus miembros
a construir.
Conocer los instrumentos del hombre implica bucear en una forma distinta de conciencia (y de
conocimiento), la conciencia astuta, que "deja que la naturaleza marche por sí misma; se cruza de
brazos mirándola y es capaz de dirigir el todo con un leve esfuerzo: astucia."
Desde la perspectiva educativa, restaría determinar si esa conciencia astuta que identifica Habermas
y que otros autores denominan conocimiento tácito, es susceptible de ser identificada, formalizada,
desarrollada y transmitida en forma de aprendizaje a otros individuos. Sobre la base de la
experiencia se puede decir que, si bien esto es factible, no se logra sólo con los lineamientos del
aprendizaje tradicional vía la razón y los modelos basados en las ciencias naturales.
Son muchos los autores que coinciden en las posibilidades de promover este tipo de conocimientos,
pero en función de aprendizajes basados en el hacer (learning by doing), concepto a partir del cual
se han construido clasificaciones muy abarcativas de los distintos procesos que lo sustentan. Este
hacer, no supone un hacer repetitivo sino uno crítico, integrador y superador.
Sobre la base de estos criterios, inclusive, se están desarrollando categorías de aprendizaje basadas
en el uso (learning by using) que tienen, desde el punto de vista económico, una doble virtud:
mientras promueven aprendizajes, simultáneamente generan mejoras en los productos y procesos a
partir de los que se aprende.
Esta última perspectiva, nos lleva de regreso a Popper, quien en 1978 expresara:
"El conocimiento no comienza con percepciones u observación, o con la recopilación de datos o de
hechos, sino con problemas". Donde según las palabras del mismo autor "El método (...) es, pues, el
de la tentativa de solución, el del ensayo (o idea) de solución sometido al más estricto control
crítico".
Formas del Conocimiento Tecnológico
Según la perspectiva de Vincent, reformulando la traída que expusimos más arriba, respecto del
conocimiento tecnológico es factible identificar tres categorías: descriptivo, prescriptivo y tácito.
El conocimiento descriptivo es el que describe las cosas como son y está expresado en términos
formales.
El conocimiento prescriptivo es el que indica que tiene que ser hecho en orden de alcanzar los
resultados esperados y si bien guarda aspectos formales, está orientado, sobre todo, a las cuestiones
operativas.
El conocimiento tácito es poco o nada formalizable, pertenece al individuo se despliega en cualquier
tipo de tarea que el hombre realiza y está implícito en la actividad.
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Transcribimos seguidamente la descripción que sobre este tipo de conocimiento realiza Dennis R.
Herschbach para quien la Tecnología es: "conocimiento organizado para propósitos prácticos"
"El conocimiento descriptivo representa los estamentos de hecho que proveen marcos de acción con
los cuales las personas trabajan, tal como propiedad de los materiales, información técnica,
características de las herramientas. Estos hechos son a menudo aplicaciones de conocimiento
científico. Y, si bien fórmulas matemáticas o construcciones científicas pueden ser utilizadas, el
conocimiento descriptivo no es científico en el sentido de que los marcos de explicación teórica no
están totalmente desarrollados. Mientras que puede haber correlatos entre ambos, en el caso de
¡conocimiento tecnológico hay ciertas propiedades no derivadas ni pertenecientes a la teoría
científica. Sin embargo, el conocimiento descriptivo se aproxima al conocimiento formal de una
'disciplina' dado que describe las cosas como son en forma de reglas, conceptos abstractos y
principios generales. Como todo conocimiento tecnológico. el descriptivo encuentra su significado
en la actividad humana.
El Conocimiento prescriptivo resulta de los sucesivos esfuerzos por lograr mayor efectividad, tales
como crear procedimientos u operaciones, y sufre agregados y alteraciones a medida que se gana
mayor experiencia. El conocimiento prescriptivo es más que un simple saber hacer no intelectual
puede ser comparable a la adquisición de conocimientos intelectuales y a menudo se basa en tal
conocimiento. Sobre este tipo de conocimiento es factible identificar reglas o máximas técnicas que
configuran un método de trabajo precientífico. El conocimiento prescriptivo se genera por medio de
la experimentación, el ensayo? Error y se usan formas específicas de testeo para hacer predicciones,
razón por la cual puede ser identificado como un nivel preteorético. El conocimiento prescriptivo se
asemeja poco a los principios y leyes científicos y es un desarrollo de aplicaciones específicas. Es
difícil de codificar en una forma general y es poco susceptible de generalizaciones instruccionales
que van más allá de una actividad particular.
El conocimiento tácito es implícito. Es el resultado del juicio individual, la habilidad y la práctica.
Este conocimiento no se expresa formalmente con facilidad. Descripciones, diagramas e imágenes
ayudan a explicarlo, pero la mayoría de sus resultados provienen de la práctica y de la experiencia.
El conocimiento tácito, a menudo constituye "los trucos del negocio" que los trabajadores
experimentados aprenden y, frecuentemente, es un conocimiento restringido o protegido. Los
especialistas, simplemente no revelan todo lo que saben. Los conocimientos tácito y prescriptivo
están íntimamente relacionados en la práctica dado que en ambos casos tiene que ver con los
procedimientos. Ambos tipos de conocimiento son procedimentales. Una buena parte de los
conocimientos tácitos no pueden ser trasmitidos en forma oral o escrita. Es un conocimiento
personal, subjetivo inmediato y específico que se adquiere en primer lugar trabajando codo a codo
con técnicos experimentados o "prácticos".
Fundamentalmente se trasmite de un individuo a otro. El conocimiento operacional primario "se
mantiene tácito porque no puede ser articulado suficientemente rápido y porque es imposible
articular todo lo que es necesario para lograr un desempeño exitoso incluso porque la atención
exhaustiva a los detalles produce un mensaje incoherente"
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El conocimiento tácito está incorporado a la actividad tecnológica en una mayor medida a la que
normalmente se reconoce y no ha desaparecido con el uso de formas de manufactura más
sofisticadas, basadas en la aplicación de ciencia y conocimiento técnico descriptivo. Por el contrario,
nuevas formas de saber hacer han aparecido y todas estas técnicas no codificadas juegan un rol
importante en la producción industrial y en la innovación técnica y tecnológica'.
Hay quienes enfatizan sobre el hecho de que aún en la así llamada industria de alta tecnología, tal
como la producción en aviación, electrónica y comunicaciones se apoyan fuertemente en el
conocimiento tácito aprendido por medio de la experiencia. Buena parte de las innovaciones
industriales se relacionan con técnicas no codificadas. Polyani ha demostrado que toda actividad
humana incluye alguna forma de conocimiento tácito".
Niveles de conocimiento tecnológico
Además de incorporar las categorías de conocimiento identificadas Por Vincenti , Frey llama la
atención acerca de los diferentes niveles de conocimiento tecnológico y observa que el monto de
conocimiento discursivo aumenta cuando crece y se complejiza aquél.
Los artesanos o los que ejercen un oficio, constituyen el nivel más bajo, la mayor parte de sus
conocimientos son tácitos además de prescriptivos, y en un porcentaje menor hay conocimientos
descriptivos incluidos.
Dado el alto nivel de conocimiento tácito, la mejor manera de enseñar las habilidades de los
artesanos es por medio de la observación, la imitación, el ensayo y error más que por medios
discursivos. Por ejemplo, un soldador con mucha habilidad sabe como soldar muy bien pero no
puede expresar con exactitud como la soldadura se lleva a cabo.
Las reglas técnicas están en el siguiente nivel de conocimiento tecnológico, que consiste en
generalizaciones sobre las habilidades aplicadas en hacer o usar tecnología. De todos modos son
usualmente incompletas sin el conocimiento tácito (poco reconocido) que acompaña el hacer actual,
por esta razón, reglas, recetas y procedimientos, se aprenden mejor en conjunción con la actividad,
frecuentemente en el trabajo.
Las leyes descriptivas, el siguiente nivel, son "como las científicas", formulaciones generales
explícitas derivadas directamente de la experiencia. Porque derivan de la experiencia se las
considera leyes empíricas y en su mayoría son formuladas sobre la base de prueba y observación.
Las leyes descriptivas no son todavía científicas porque carecen de teoría explicativa suficiente, a
pesar de poder ser muy sofisticadas y usar fórmulas y ecuaciones matemáticas además de
descripciones verbales. Las leyes descriptivas permiten ellas mismas la instrucción formalizada.
En el nivel más alto están las teorías tecnológicas que sistemáticamente relacionan una cantidad de
leyes o proveen marcos de trabajo explicativos coherentes. Las teorías tecnológicas son
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aplicaciones de conocimiento científico a situaciones reales.
Una característica de la tecnología moderna es que su mayor uso está hecho de conocimiento
teórico, y en este sentido, la tecnología se aproxima a una disciplina.
De todos modos, decir que una teoría está incrementando parte del conocimiento tecnológico no le
resta importancia al conocimiento prescriptivo y tácito generado por medio de la experiencia
práctica o cambia el hecho de que el significado contextual de las teorías tecnológicas deriva de su
aplicación.
Existe una correlación inexacta pero no menos real entre la complejidad del conocimiento
tecnológico, los niveles eventuales de trabajo y la instrucción formalizada.
En el nivel más alto se encuentran las leyes descriptivas y las teorías tecnológicas implicadas en la
actividad laboral. Ingenieros y técnicos trabajan en este nivel y reciben la mayor parte de su
entrenamiento por medio de la instrucción formal. Entre ellos existen trabajos técnicos que hacen
fuerte uso de los conocimientos descriptivos y prescriptivos aprendidos tanto dentro como fuera del
trabajo. Pero indudablemente todos los trabajos hacen uso de conocimientos tácitos. Descripciones
que reconocen en el tecnológico una forma particular de conocer fueron hechas por innumerables
autores y en los últimos años esta diferenciación ha logrado un nivel de precisión creciente en la
medida en que comienza a ser discutida desde diferentes ramas del conocimiento. Como señala
Ramón Queraltó
"... toda forma de conocimiento supone una reducción del ámbito de la realidad que va a investigar,
pues se ve obligada a seleccionar los caracteres de lo real que caerán bajo el proceso de
investigación, y a centrarse solamente en ellos. Así, por ejemplo, la ciencia reduce y selecciona los
aspectos de la realidad susceptibles de tratamiento cuantitativo-experimental y expresable
matemáticamente. Esta selección, que es ineludible, supone una reducción de la realidad para poder
ser conocida.
De la misma manera, la forma cognoscitiva derivada de la Técnica implica una reducción de lo real,
justamente para poder cumplir los fines de la misma Técnica. Ahora bien, eso es sólo una cara de la
moneda ya que la consecuencia inmediata de todo ello es que no solamente se opera esa reducción
sino que, concomitantemente, se privilegia una determinada forma de acceso al objeto a conocer, es
decir, la sobrevenida a través de aquellas características seleccionadas.
Este proceso de reducción lleva consigo simultáneamente una amplificación epistemológica del
objeto en aquellos sectores desde los cuales se pretende conocerlo. Esto lógicamente caracteriza los
diversos modos de conocimiento posibles: modo científico, modo filosófico, modo tecnológico,
etc...
Así pues, la Técnica en cuanto a forma de conocimiento, tiene un valor epistemológico definido, en
la medida en que descubre un tipo específico de orden en la realidad, siendo por tanto una manera de
desvelar los entes." "... es necesario señalar otro carácter capital, con muy diferente significado, de
la Técnica como modo de acceso a lo real. Se trata de que indefectiblemente la ejercitación de este
"modus" técnico implica una transformación del mundo, esto es, se situaría en las antípodas de
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cualquier otra forma que fuese contemplativa o cognoscitiva de forma pasiva. La respuesta a toda
interrogación técnica lleva consigo una modificación de lo real y una transformación del ser, sea en
otro ser diferente, sea en otro estado distinto del primitivo.
Y es que asimismo esta cualidad de transformación de lo real hace que el mundo se presente de una
manera específica y característica: como desvelación de potencialidades, como desvelación de
fuerza de transmutación. La Tecnología descubre lo real como depósito de posibilidades de
transformación, como depósito de energía en su acepción teorética (no ya científico-moderna), o
sea, como algo que posee como tal la capacidad de cambio, de paso de un estado a otro en el ser, en
definitiva como depósito de energía".
Es factible decir, entonces, que el saber tecnológico en su conjunto, proporciona una visión del
mundo notoriamente singular, difícilmente alcanzable desde otros saberes, y cuya especificidad es
presentar la realidad no como algo exterior, autónomo y ajeno, aunque admirable e inteligible, sino
como una enorme fuente de transformaciones dispuestas a efectuarse bajo la acción creadora del
hombre.
¿Qué validez tienen los conocimientos Tecnológicos en el ámbito educativo?
Desde un punto de vista educativo, es posible identificar su posición de manera clara y contundente
dado que los objetos de su estudio son artefactos, productos y procesos generados por el hombre y,
con las debidas restricciones, productos y procesos construidos por el propio alumno que los estudia.
Sin temor a equivocarse demasiado se puede afirmar que como finalidad tiene el estudio del mundo
artificial creado por el hombre actuando en sociedad.
Como herramienta didáctica, en tanto permite plantear la reflexión sobre algo que simultáneamente
se está creando, introduce en el aula la interacción entre el estudiante y el objeto estudiado,
enriquece la significación del objeto de estudio y permite ampliar el campo de análisis a las causas y
consecuencias implicadas en el mismo.
Paralelamente, al relacionar y condicionar lo que se pretende hacer con lo que se logra hacer, al
contrastar lo proyectado con los resultados obtenidos, adquiere una dimensión didáctica difícilmente
alcanzable desde otras disciplinas.
¿Cómo se sistematizan estos saberes desde una perspectiva curricular?
Lo que permite entrever el planteo realizado hasta aquí implica un desplazamiento importante del
centro de gravedad de la acción docente.
Resalta la necesidad de relacionar el saber cómo hacer (información), con el saber hacer (estrategias
más habilidades) y el saber por o para qué hacer (criterios y valores).
Implica ir de lo global y complejo a lo simple y no a la inversa. Supone que las ideas de los alumnos
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también son válidas y, en tanto se aplican a una situación que se ha de modificar pueden ser
sumamente efectivas. Fundamentalmente, cambia las reglas del juego.
En el caso de nuestro sistema educativo, se agregan a esta situación diferentes perspectivas sobre
qué priorizar para instalar este tipo de conocimiento en la escuela. Horacio Margenat , hace una
clara descripción de dos orientaciones: la que utiliza los contenidos de Tecnología para desarrollar
un modo de pensar tecnológico, a la cual adherimos fervorosamente y la de los sistemas técnicos,
que aspira a instalar la Tecnología como disciplina, convirtiéndola en conocimiento científico.
"Al momento de llevar a la práctica del aula los conocimientos que abarca el campo conceptual de la
Tecnología, existen dos tendencias didácticas que suelen contraponerse en la Educación
Tecnológica aún mismo dentro de la perspectiva del enfoque sistémico: la que entiende al área como
formadora de un modo de desarrollar las operaciones mentales de los sujetos tomando como
"materia" los contenidos de Tecnología para desarrollar un modo de pensar tecnológico".
Otra, entiende al área como formadora de un tipo de conocimientos específicos (los sistemas
técnicos) que corresponden a la Tecnología como disciplina.
La primera apuesta a un desarrollo de la inteligencia, de las operaciones mentales y de la
creatividad, encaran sus planteos sobre la base de la resolución de problemas y la metodología
proyectual.
Los segundos hacen hincapié en la enseñanza explícita de técnicas donde la resolución de problemas
juega un papel menos cognitivo que en la primera. Se apela a la búsqueda en la historia de las
soluciones dadas, a la diversificación de las técnicas y a la delegación de funciones de los sistemas
naturales a sistemas artificiales, entre otros.
Este problema didáctico reaparece en todas las áreas. Se forma en matemática para saber
matemáticas y para pensar matemáticamente la realidad.
El interjuego de estas dos necesidades de la formación suele ser en la práctica una definición
institucional o de cada docente. Marcar esta problemática puede ser útil para orientar y evaluar la
tarea de enseñar y de aprender de los alumnos.
Entre estas orientaciones que podríamos dar en llamar "procedimentalistas" y los "conceptualistas"
hay un margen para las decisiones que en primer lugar, debe asumirse conscientemente y son
materia para la investigación didáctica".
En síntesis Para finalizar, podemos decir que, luego de un recorrido que pretendió ser abarcativo antes que
profundo, entendemos que hemos dejado planteada la complejidad de un tema: El Conocimiento
Tecnológico o la forma que tiene la Tecnología de pensar la realidad.
De allí y reconociendo la existencia de diferentes formas de modelizar la realidad, tan válidas como
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cualquier otra forma de conocer, llegamos a la Educación Tecnológica que, por lo tanto, también
merece un lugar en la escuela.
Bibliografía
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MÓDULO : TALLER DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 3 : MATEMÁTICA INTEGRADA EN SÍ MISMA Y CON OTRAS CIENCIAS
LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA ¿UNA DISCIPLINA CIENTÍFICA?
Guillermina Waldegg Casanova*
Este artículo presenta un análisis de la investigación educativa en el campo de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas (actividad conocida en los países anglosajones como investigación
en Educación Matemática y en otros países europeos como investigación en Didáctica de las
Matemáticas); se revisa la especificidad de la actividad, su relación con otras áreas del conocimiento
y el debate mundial en torno a su estatuto científico. Concluye el artículo con la revisión de los
grupos, tendencias y actividades de la Educación Matemática en México. La reflexión puede ser útil
para valorar los desarrollos relativos en otras áreas temáticas de la investigación educativa.
This article makes an analysis of educational research in the field of teaching and learning
mathematics (activity known, in English speaking countries, as research in Mathematical Education
and, in other European countries, as research in Didactics of Mathematics).The specificity of the
activity, its relation to other areas of learning, and the world debate about the scientific statute are
studied. The article concludes with a revision of the groups, tendencies and activities of
Mathematical Education in México. The reflection may be useful for evaluating related
developments in other thematical areas of educational research.
1. La Educación Matemática como campo de investigación
Cuando pensamos en la matemática, no como el espléndido edificio teórico construido a lo largo de
los siglos con la participación de los grandes matemáticos como Euclides, Arquímedes, Descartes,
Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Hilbert y tantos
otros más, sino como la actividad humana cuyo resultado es precisamente este gran edificio teórico,
si la pensamos así, entonces tiene sentido plantear la disyuntiva que da título al presente escrito: la
matemática como una actividad científica y la matemática como una empresa educativa. Siendo
todavía más finos, diríamos que la matemática como empresa educativa presenta a su vez dos
facetas: la matemática vinculada a la actividad de enseñar y la matemática asociada a la tarea de
aprender.
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Vista así, la matemática efectivamente presenta características diferentes. En primer lugar, los
actores y sus propósitos en cada uno de los casos son distintos:
Si consideramos a la matemática como el objeto de estudio del matemático profesional, la
actividad tiene el propósito de hacer crecer el edificio teórico dentro de ciertas normas de
coherencia, y presentarlo, si ese fuese el caso, para modelar el mundo físico.
Si la matemática es el objeto de enseñanza del profesor, la intención de sus acciones consiste en
hacer partícipe a las nuevas generaciones de una parte, previamente seleccionada, del edificio
teórico, eligiendo para ello los medios y procedimientos adecuados.
Cuando la matemática es el objeto de aprendizaje del estudiante, la meta es construir activamente
un significado propio para ciertas partes de este edificio que le permitan, en un momento dado,
utilizarlo de manera adecuada en su formación y en su vida profesional.
Cada uno de estos quehaceres es radicalmente distinto de los otros: la materia prima con la que se
trabaja es diferente, así como la preparación y las habilidades requeridas en cada caso, las normas de
proceder y de validar son distintas, tanto como los mecanismos de comunicación entre los actores
respectivos y los resultados esperados.
Dicho de esta forma, la aseveración anterior parecería obvia, sin embargo, nos ha llevado varios
siglos el poder formularla así, para entonces estudiar sus consecuencias de manera adecuada. El
camino que nos ha permitido esta primera distinción tiene que ver con una cuarta actividad que
surge de considerar las diferencias entre estos tres quehaceres: la Educación Matemática. Es sobre
esta cuarta actividad y sus características que centraré mis comentarios.
A muchos de los lectores de seguro les parecerá exagerado, o al menos prematuro, hablar de la
investigación en Educación Matemática como si fuera una disciplina científica, tal y como se
sugiere en el título de este artículo. Coincido con este punto de vista; sin embargo, me gustaría
señalar algunos síntomas que preludian este carácter de la Educación Matemática.
Al menos en el sentido sociológico del término, la Educación Matemática existe como una
disciplina: cuenta con una comunidad internacional vigorosa que ha sabido abrirse espacios propios
para comunicarse al interior de ella misma y para difundir sus resultados al exterior; se agrupa en
asociaciones, organiza reuniones periódicas regulares (congresos, coloquios, jornadas, encuentros),
cuenta con publicaciones especializadas para someter sus resultados a la crítica -y cuyas reglas de
operación no difieren de las de otras organizaciones científicas (selección de trabajos, revisiones,
arbitrajes, etc.)-; utiliza canales diversos para vulgarizar sus hallazgos; ha desarrollado programas de
formación (capacitación y posgrado) para sus miembros, etc. La organización de los educadores de
las matemáticas no es, como se ve, diferente a la de otras comunidades científicas.
Desde el punto de vista conceptual, la Educación Matemática, en principio, pretende construir
explicaciones teóricas, globales y coherentes que permitan entender el fenómeno educativo en lo
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general y que, al mismo tiempo, ayuden a resolver satisfactoriamente situaciones problemáticas
particulares. Para lograr esto debe adaptar y desarrollar métodos de estudio y de investigación, así
como encontrar formas propias de contrastar los resultados teóricos con la realidad que éstos
pretenden modelar. La Educación Matemática no diferiría, en este sentido, de otras actividades
científicas ni en sus propósitos ni en sus métodos y tendería a parecerse más a las ciencias empíricas
que a las disciplinas especulativas.
Pero ciertamente es una rama joven del saber: comparada con otras ciencias, como la matemática o
la física que tienen siglos de desarrollo, la Educación Matemática está en su primera infancia; pero
aun es joven si se le compara con otras disciplinas más recientes como la psicología; esta última le
lleva alrededor de un siglo de ventaja. A causa de esta juventud, el sistema de objetivos,
metodologías y criterios para validar el conocimiento de la Educación Matemática, presenta todavía
excesiva variabilidad y poco consenso. Adicionalmente, el papel que juega con respecto a las otras
ciencias "establecidas" está todavía en discusión.
No obstante, la Educación Matemática, al cabo del tiempo, ha ido adquiriendo especificidad y, en
buena medida, conciencia de sí misma. Las últimas tres décadas han visto crecer y consolidarse
grupos en todo el mundo dedicados a la investigación de los problemas asociados a la enseñanza y al
aprendizaje de las matemáticas, así como al desarrollo de productos de "aplicación" de los
resultados de las investigaciones que permiten coadyuvar en la solución de estos problemas. Las
asociaciones profesionales, las reuniones periódicas, los congresos y otros eventos, así como la
edición de libros y revistas especializados aumentan día con día como una muestra del dinamismo
del campo. Conforme ha avanzado el tiempo, los temas de discusión de estas manifestaciones
comunitarias se han ido modificando, pasando de la mera exposición de resultados de estudios
descriptivos a la consideración y, en ocasiones, confrontación de paradigmas, metodologías, nuevos
acercamientos y marcos teóricos que deben dar a la Educación Matemática las características de una
disciplina que se desarrolla por los caminos de la "ciencia normal" en la búsqueda de su propia
identidad.
Buena parte de estos intentos de establecer la identidad de la disciplina están encaminados a señalar
los rasgos que la distinguen de aquéllas que contribuyen y alimentan sus estudios: la pedagogía, la
psicología, la lingüística, la sociología, las ciencias de la comunicación, las ciencias cognitivas, la
informática y, desde luego, la matemática. La Educación Matemática se reconoce como receptora de
una gran cantidad de resultados provenientes de todas estas ramas del conocimiento; claramente, es
un campo de experimentación para poner a prueba muchas de las teorías generales que surgen del
estudio de las otras ciencias –recordamos cómo, durante los años setenta, las teorías del aprendizaje
provenientes de la psicología conductista (behavorista) marcaron la línea de desarrollo de muchos
trabajos de investigación en Educación Matemática, o cómo el acercamiento estructuralista en
matemáticas dejó una fuerte huella en los salones de clase de la década de los sesenta.
Si bien una tarea de autoafirmación de la disciplina consiste en señalar lo que la hace diferente de
las demás, en aras de definir una identidad propia, también debe especificar, de manera precisa,
cuáles son las relaciones que, por su naturaleza, está obligada a desarrollar con las otras disciplinas.
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El término Educación Matemática recuerda continuamente que estamos tratando con una disciplina
que, de suyo, tiene un pie puesto en el terreno de la educación y el otro en el de la matemática. Esto,
que parece una verdad de perogrullo, en realidad es lo que le da sentido a la actividad y como las
cosas básicas de la vida, resulta tan obvio que hay que recordarlo de vez en cuando para tenerlo
presente siempre.
¿Qué quiere decir que la Educación Matemática esté simultáneamente asentada en la educación y en
las matemáticas, dos campos de estudios aparentemente ajenos e independientes? En términos de la
propia actividad, lo anterior quiere decir que las preguntas (preguntas de investigación) que plantea
el educador de las matemáticas acerca de la educación están, por naturaleza, siempre preñadas de
contenidos matemáticos, y que las preguntas que elabora sobre la matemática contienen, de manera
inherente, un interés educativo. Esta característica hace a los educadores de la matemática distintos a
los matemáticos y a los educadores, al tiempo que los habilita como interlocutores de ambos.
Las dificultades que entraña el proceso de "cientifización" de la Educación Matemática pueden
apreciarse en el quehacer mismo de los educadores de la matemática, pero sobretodo, en las
discusiones y reflexiones, formales e informales, que tienen lugar en el seno de esta comunidad. En
lo que sigue revisaremos algunos de los principales programas de investigación en Educación
Matemática en donde, de manera más o menos clara, ha surgido la discusión sobre el carácter
científico de la disciplina.
2. Principales programas de investigación en Educación Matemática
En esta sección revisaremos con mayor detalle el "estado de la cuestión" sobre la discusión del
estatuto científico de la Educación Matemática entre los grupos más significativos del mundo,
centrándonos en la actividad desarrollada por grandes núcleos de investigadores, en particular, los
grupos Theory of Mathematics Education (TME), Psychology of Mathematics Education(PME) y la
Escuela Francesa de Didáctica de las Matemáticas.
2.1 El programa de investigación del Grupo TME
En el V Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) de 1984, un grupo de
investigadores preocupados por darle solidez a la disciplina, convocaron a la formación de un área
temática con el nombre de "Teoría de la Educación Matemática" a la que dedicaron cuatro sesiones.
Finalizando el Congreso se celebraron nuevas reuniones en las que quedó constituido el grupo de
trabajo internacional Theory of Matematics Education (TME), encabezado por el profesor Hans-
Georg Steiner del Institut für Didaktik der Mathematik (IDM) de la Universidad de Beilefeld
(Alemania).
Las reuniones del grupo TME que se celebraron posteriormente mostraron que existe una
comunidad interesada por constituir las bases teóricas de la Educación Matemática, integrada por
investigadores con formación e intereses en campos diversificados: investigadores en Educación
Matemática, matemáticos, profesores de matemáticas, psicólogos educativos, sociólogos educativos,
formadores de profesores, etc. En la configuración de esta comunidad científica, existen intereses
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profesionales que han propiciado una orientación académica a esta actividad. La tendencia a
academizar la Educación Matemática podía, en la opinión de los miembros del grupo TME, forzar
esta disciplina hacia un dominio de especulación científica relativamente desconectado de la
realidad social. Steiner (1985), al analizar el papel de la Educación Matemática dentro de la
universidad, propuso una función de vínculo entre las matemáticas y la sociedad:
Esto es posible y necesario especialmente por medio de su contribución a la elaboración y
actualización de muchas dimensiones olvidadas de las matemáticas: las dimensiones filosófica,
histórica, humana, social y, comprendiendo a todas, la dimensión didáctica (Steiner, 1985: 12).
Podemos hacer una primera aproximación al núcleo conceptual de la Educación Matemática como
disciplina científica, analizando las cuestiones planteadas en el seno del grupo TME que, dado su
carácter abierto, reunió en las sucesivas conferencias a la mayoría de los investigadores en
Educación Matemática interesados por el fundamento teórico de su actividad. De acuerdo con el
programa de desarrollo trazado en la primera reunión (Steiner et al., 1984), la "Teoría de la
Educación Matemática" se debía ocupar de su situación actual y de las perspectivas para su
desarrollo futuro como un campo académico y como un dominio de interacción entre la
investigación, el desarrollo y la práctica. En este programa se distinguían tres componentes
interrelacionados:
a. La identificación y formulación de los "problemas básicos" en la orientación,
fundamento, metodología y organización de la Educación Matemática como
disciplina, tales como:
La existencia de distintas definiciones, incluso discrepantes, de la Educación Matemática
El uso de modelos, paradigmas, teorías y métodos en la investigación y de herramientas
apropiadas para el análisis de sus resultados
El papel que deben jugar los "macro–modelos", esto es, marcos de referencia generales que
relacionan significativamente los múltiples aspectos de la Educación Matemática, y los "micro–
modelos", que proporcionan información detallada sobre áreas restringidas del aprendizaje
matemático
El debate entre "teorías específicas" frente a la interdisciplinariedad y la transdisciplinariedad
La relación entre la Educación Matemática y sus campos referenciales como la matemática, la
pedagogía, la psicología, la sociología, la epistemología, etc.
Las relaciones entre teoría, desarrollo y práctica: las tareas integradoras y sintéticas de la
Educación Matemática frente a las tendencias recientes hacia una ciencia normal y la creciente
especialización
Los aspectos axiológicos, éticos, sociales y políticos de la Educación Matemática
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b. El desarrollo de una aproximación comprensiva a la Educación Matemática, que debe
ser vista en su totalidad como un sistema interactivo que comprende investigación,
desarrollo y práctica. Esto lleva a destacar la importancia de la teoría de sistemas,
especialmente de las teorías de los sistemas sociales, basadas en conceptos como
interacción social, actividad cooperativa humana, diferenciación, subsistemas,
autorreproducción y sistemas auto-organizados, autorreferencia y reflexión en
sistemas sociales, etc. Asimismo, interesa la identificación y el estudio de las
múltiples interdependencias y mutuos condicionantes en la Educación Matemática,
incluyendo el análisis de las complementariedades fundamentales.
c. La organización de la investigación sobre la propia Educación Matemática como
disciplina que, por una parte, proporcione información y datos sobre la situación, los
problemas y las necesidades de la misma, teniendo en cuenta las diferencias
nacionales y regionales y que, por otra, contribuya al desarrollo de un
metaconocimiento y una actitud autorreflexiva como base para el establecimiento y la
relación de los programas de desarrollo del TME.
La segunda reunión del grupo TME, celebrada en 1985 en el Institut für Didaktik der Mathematik
(IDM) de la Universidad de Bielefeld (Steiner, Vermandel, 1988), se centró en el tema genérico
"Fundamento y metodología de la disciplina Educación Matemática" y, por tanto, la mayoría de las
contribuciones resaltaron el papel de "la teoría y la teorización" en dominios particulares. Los
grupos de trabajo se dedicaron a los diferentes dominios de la investigación con el fin de analizar el
uso de modelos, métodos, teorías, paradigmas, etc.
Si bien los temas tratados en las conferencias TME fueron de interés para distintos aspectos de la
Educación Matemática, no es fácil apreciar en ellos un avance en la configuración de una disciplina
académica, es decir, una teoría de carácter fundamental que establezca los cimientos de una nueva
ciencia por medio de la formulación de conceptos básicos y postulados elementales. Se encontraron
muchos resultados parciales, apoyados en supuestos teóricos externos (tomados de otras disciplinas)
que trataron de orientar la acción en el aula, sin embargo, los progresos fueron escasos. El grupo
TME, aunque continuó sus reuniones anuales durante varios años más, actualmente ha dejado de
tener influencia y ha interrumpido sus actividades periódicas, en parte quizás por el retiro laboral de
su principal promotor, Hans-Georg Steiner.
2.2 El enfoque psicológico en la Educación Matemática: el grupo PME
En la comunidad internacional de investigadores en Educación Matemática se aprecia una fuerte
presión de la perspectiva psicológica en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje
matemático. El predominio del enfoque psicológico no ha tenido en cuenta el necesario equilibrio y
principio de complementariedad entre las disciplinas fundacionales de la Educación Matemática que
señalan numerosos autores. Este predominio se manifiesta si se observa la vitalidad del grupo
Psychology of Matematics Education (PME), constituido en el Segundo Congreso Internacional de
Educación Matemática (ICME-66) y que celebra, en 1998, su 22a. emisión anual.
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Las cuestiones esenciales para la Educación Matemática que pueden ser resueltas mediante una
aproximación psicológica son, según Vergnaud (1988), las siguientes:
El análisis de la conducta de los estudiantes, de sus representaciones y de los fenómenos
inconscientes que tienen lugar en sus mentes.
Las conductas, representaciones y fenómenos inconscientes de los profesores, padres y demás
participantes.
De modo especial, Vergnaud analiza cuatro tipos de fenómenos cuyo estudio puede ser fecundo
desde una aproximación psicológica:
La organización jerárquica de las competencias y concepciones de los estudiantes
La evolución, a corto plazo, de las concepciones y competencias en el aula
Las interacciones sociales y los fenómenos inconscientes
La identificación de "teoremas en acto", esquemas y símbolos
Sin embargo, el análisis de las memorias de las reuniones anuales del grupo PME revela que los
informes de investigación aceptados incluyen tanto investigaciones empíricas como teóricas y que
cubren ámbitos no estrictamente psicológicos. No es posible detallar, por su amplitud, los temas
tratados en las distintas reuniones del PME, pero puede ser de interés leer la clasificación de los
informes de investigación que se presentan en la última reunión de este grupo (Sudáfrica, julio de
1998):
La demostración
Resolución de problemas
Formación y desarrollo del maestro
Aprendizaje matemático temprano
Geometría
Factores afectivos y creencias
Álgebra
Pensamiento matemático avanzado y funciones
Estudios socioculturales
Números racionales y estocásticos
La evaluación y el conocimiento del maestro sobre el pensamiento del estudiante
Como afirma Balacheff (1990), más allá de la problemática psicológica inicial del grupo PME, el
debate sobre la investigación puso de manifiesto la necesidad de tener en cuenta nuevos aspectos:
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La especificidad del conocimiento matemático. La investigación sobre el aprendizaje del álgebra,
la geometría o el cálculo no se puede desarrollar sin un análisis epistemológico profundo de los
conceptos matemáticos. También se reconoce que el significado de estos conceptos se apoya no
sólo en su definición formal sino, de modo fundamental, en los procesos implicados en su
funcionamiento. Por esta razón se pone más énfasis en el estudio de los "procesos cognitivos de
los estudiantes" que en el de sus destrezas o producciones.
La dimensión social. Tanto el estatuto social del conocimiento que se debe aprender como el papel
crucial de las interacciones sociales en el proceso de enseñanza requieren una consideración de la
dimensión social en la investigación. Uno de los principales pasos en el desarrollo de la
investigación en la psicología de la Educación Matemática fue el desplazamiento desde los
estudios centrados en el niño (o el adolescente) hacia los estudios centrados en el estudiante como
aprendiz en la clase. El estudiante es un niño (o un adolescente) implicado en los procesos de
aprendizaje dentro de un entorno específico en el que las interacciones sociales con otros
estudiantes y con el profesor juegan un papel crucial. Con esta evolución de la problemática se
deben desarrollar más investigaciones que utilicen observaciones sistemáticas de la clase o que
precisen de la organización de procesos didácticos específicos. Tal investigación requiere nuevos
útiles teóricos y metodológicos para producir resultados que sean sólidos tanto teóricamente como
por su significado para propósitos prácticos.
Posiblemente esta apertura del campo de interés del PME llevó a Fischbein (1990) a afirmar que la
psicología de la Educación Matemática tiende a convertirse en el paradigma de la Didáctica de la
Matemática en general (como cuerpo de conocimiento científico). Además, atribuye a esta línea de
trabajo una entidad específica dentro de las áreas del conocimiento, al considerar que la adopción de
cuestiones, conceptos, teorías y metodologías del campo de la psicología general no han dado los
frutos esperados. La explicación que sugiere Fischbein es que la psicología no es una disciplina
deductiva y, por tanto, la mera aplicación de los principios generales a un dominio particular no
conduce usualmente a descubrimientos significativos. Incluso aquellos dominios de la psicología
fuertemente relacionados con la Educación Matemática (como los estudios sobre resolución de
problemas, la memoria, estrategias de razonamiento, creatividad, representación e imaginación) no
pueden producir directamente sugerencias útiles y prácticas y no pueden representar por sí mismas
la fuente principal de los problemas en este campo. Inclusive la teoría de los estadios de Piaget y sus
descubrimientos sobre el desarrollo de conceptos matemáticos (número, espacio, azar, función, etc.)
no pueden ser directamente trasladados en términos de currículo.
Esta observación no significa que la Educación Matemática debiera vivir y desarrollarse
aisladamente, impermeable a influencias externas. Las coordenadas psicológicas y sociológicas son
prerrequisitos necesarios para definir problemas, trazar proyectos de investigación e interpretar los
datos. No obstante, estos prerrequisitos son, en sí mismos, totalmente insuficientes. La Educación
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Matemática –continúa Fischbein– plantea sus propios problemas psicológicos, que un psicólogo
profesional no encuentra en su misma área. Por ejemplo, normalmente un psicólogo no se interesa
por los tipos específicos de problemas de representación que aparecen en matemáticas, desde la
representación gráfica de funciones y distintas claves de morfismos a la dinámica del simbolismo
matemático. Es extraño que un psicólogo cognitivo se interese y trate los problemas planteados por
la comprensión del infinito matemático con todas sus distintas facetas y dificultades. Con el fin de
poder afrontar estos problemas se necesita un sistema particular de conceptos, además de los
inspirados en la psicología, pero incluso los conceptos psicológicos usuales adquieren nuevo
significado a la luz de la matemática y de la Educación Matemática.
3. La Escuela Francesa de Didáctica de las Matemáticas
Dentro de la comunidad de investigadores que desde diversas disciplinas se interesan por los
problemas de la Educación Matemática se ha ido destacando en los últimos años -principalmente en
Francia- un grupo que se esfuerza en una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de
investigación específicos. Como fruto de este esfuerzo ha surgido una concepción llamada
"fundamental" de la Didáctica de las Matemáticas que presenta caracteres diferenciales respecto a
otros enfoques: concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la matemática y a teorías
específicas del aprendizaje, y búsqueda de paradigmas propios en una postura integradora entre los
métodos cualitativos y los cuantitativos.
Como característica de esta línea puede citarse el interés por establecer un marco teórico original,
desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando las situaciones de enseñanza y
aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemológica,
social y cognitiva y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los
alumnos y el profesor dentro del contexto particular del aula. El estudio de las relaciones complejas
entre enseñanza y aprendizaje, en aquellos aspectos específicos de la matemática, queda concretado
por Laborde (1989) en estas dos preguntas:
1. ¿Cómo podemos caracterizar las condiciones que se deben implementar en la enseñanza para
facilitar un aprendizaje que reúna ciertas características fijadas a priori?
2. ¿Qué elementos debe poseer la descripción de un proceso de enseñanza para asegurar
que pueda ser reproducido desde el punto de vista del aprendizaje que induce en los
alumnos?
Un criterio básico que guía la investigación de estas cuestiones es la determinación del significado
del conocimiento matemático que se desea, a priori, que construyan los alumnos y del que realmente
alcanzan durante el proceso de enseñanza. Como afirma Laborde (1989), existe un amplio consenso
sobre el requisito metodológico de utilizar la experimentación en una interacción dialéctica con la
teoría. El paradigma experimental es concebido dentro de un marco teórico y las observaciones
experimentales son comparadas con el marco, pudiendo ser modificado éste a la luz de la
consistencia de los conceptos desarrollados y la exhaustividad con relación a los fenómenos
relevantes.
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Brousseau (1989: 3) define la concepción fundamental de la Didáctica de las Matemáticas como
"una ciencia que se interesa por la producción y comunicación de los conocimientos matemáticos,
en lo que esta producción y esta comunicación tienen de específicos", indicando como los objetos
particulares de estudio:
Las operaciones esenciales de la difusión de los conocimientos, las condiciones de esta difusión y
las transformaciones que produce, tanto sobre los conocimientos como sobre sus usuarios.
Las instrucciones y las actividades que tienen por objeto facilitar estas operaciones.
Los investigadores que comparten esta concepción de la Educación Matemática relacionan todos los
aspectos de su actividad con la matemática. Se argumenta, para basar este enfoque, que el estudio de
las transformaciones de las matemáticas, bien sea desde el punto de vista de la investigación o de la
enseñanza, siempre ha formado parte de la actividad del matemático, de igual modo que la búsqueda
de problemas y situaciones que requiera para su solución una noción matemática o un teorema.
Una característica importante de esta teoría, aunque no sea original ni exclusiva, es su consideración
de los fenómenos de enseñanza y aprendizaje bajo el enfoque sistémico. Desde esta perspectiva, el
funcionamiento global de un hecho didáctico no puede ser explicado por el estudio separado de cada
uno de sus componentes, de la misma manera que ocurre con otros fenómenos sociales. Chevallard
y Johsua (1982) describen el "sistema didáctico" en sentido estricto, formado esencialmente por tres
subsistemas: "profesor", "alumno" y "saber enseñado". Además está el mundo exterior a la escuela,
en el que se haya la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etc. Pero entre los dos debe
considerarse una zona intermedia, la "noosfera" que, integrada al anterior, constituye el sistema
didáctico en sentido amplio y que es lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por las que se
realiza la articulación entre el sistema y su entorno. La noósfera es, por tanto, "la capa exterior que
contiene todas las personas que en la sociedad piensan los contenidos y métodos de la enseñanza".
Brousseau (1986) considera, además, como componente al "medio" que está formado por el
subsistema sobre el cual actúa el alumno (materiales, juegos, situaciones didácticas, etc.).
La Escuela Francesa de Didáctica de las Matemáticas, a partir de una serie de constructos teóricos
introducidos en los últimos años (como el de "situación didáctica", "contrato didáctico",
"transposición de saberes", "ingeniería didáctica", "obstáculo didáctico", etc.), está en vías de
constituir un núcleo duro de conceptos teóricos que sirva de soporte a un programa de investigación
en el sentido de Lakatos. Su capacidad de plantear nuevos problemas de investigación y de enfocar
los ya clásicos desde una nueva perspectiva, se pone de manifiesto a través de la producción
científica de un colectivo de investigadores. Los conceptos introducidos por la Escuela Francesa se
utilizan cada vez con mayor frecuencia como organizadores de las explicaciones producidas por
otros grupos de investigación en todo el mundo.
4. La Educación Matemática en México
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Para comprender mejor cómo se ha problematizado el estatuto de la Educación Matemática en
México conviene revisar brevemente cuál ha sido su historia y su desarrollo desde los años setenta,
fecha en la que se ubican oficialmente sus orígenes institucionales.
Si bien el arranque de la investigación en Educación Matemática en nuestro país se sitúa a finales de
los setenta con la creación de la Sección de Matemática Educativa en el Centro de Investigación y
Estudios Avanzados (Cinvestav), no es sino a partir de la década de los ochenta que se puede
apreciar avances significativos en el campo, según los siguientes indicadores:
Al menos 16 grupos de investigación consolidados laborando regularmente en diversas
instituciones en todo el país
Más de 300 egresados de programas de especialización o posgrado en investigación educativa
5 publicaciones periódicas especializadas con más de 8 años de antigüedad y 3 más iniciando
Organización y/o participación regular en diversos eventos nacionales e internacionales
Intervención en asociaciones y sociedades de educadores de la matemática nacionales e
internacionales
Temáticas de investigación, metodologías y marcos de referencia, a la vez, diversificados y
especializados
4.1 Las temáticas de investigación
En las temáticas abordadas en la investigación en México, los marcos de referencia dependen, en
buena medida, del nivel escolar que se estudia –en general, cada grupo de investigación enfoca su
atención hacia un nivel escolar determinado–. Por esta razón, y para apreciar mejor la dinámica del
campo, una primera clasificación de los temas estudiados en nuestro país responde al nivel escolar
que abordan, esto nos da tres grupos: (a) niveles básicos, (b) niveles medio superior y superior y (c)
trabajos en los que el nivel escolar no es determinante. Resumimos a continuación los rasgos
esenciales de estos tres grupos.
4.2 La investigación en los niveles básicos
Los trabajos enfocados al estudio de los niveles básicos de la educación se desarrollan
esencialmente en cinco líneas que tienen que ver, sobre todo, con aspectos psicológicos, cognitivos
y de desarrollo de los distintos actores del proceso educativo:
Conocimientos, concepciones y habilidades del alumno
Didáctica de las matemáticas
Conocimientos, concepciones y prácticas del maestro
Formación de maestros
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Desarrollo curricular
A principios de la década de los ochenta, la mayor parte de las investigaciones sobre el nivel básico
se centraron en el estudio de los conocimientos y concepciones del alumno; los trabajos en esta línea
se han diversificado recientemente al contemplarse otras dimensiones, como la cultural; se empiezan
a estudiar los conocimientos matemáticos de adultos no alfabetizados.
Paulatinamente, también se ha ido reconociendo cada vez más la necesidad de hacer estudios,
empíricos y teóricos, sobre las condiciones didácticas de los procesos de aprendizaje en los niveles
básicos.
Los estudios sobre desarrollo curricular, cuyo propósito es ofrecer alternativas curriculares para el
sistema educativo, tienen interés por su carácter integrador de los aportes de distintas líneas y
campos de investigación y porque constituyen, al menos idealmente, uno de los principales espacios
de impacto de la investigación.
En los últimos años se han empezado a realizar, aunque de manera aún muy incipiente, estudios
centrados en el maestro. Se han llevado a cabo algunas investigaciones sobre concepciones,
conocimientos y prácticas de enseñanza, y sobre formación de maestros. Estas investigaciones abren
campos de estudio prácticamente vírgenes, incluso a nivel internacional, en lo que a enseñanza de
las matemáticas se refiere, y dan cuenta, en cierta forma, de una mayor conciencia entre los
investigadores de la complejidad de los fenómenos de la enseñanza escolar, de la incidencia de
factores de muy diversa índole. Puede decirse que reflejan también una tendencia, aunque incipiente
aún, hacia la interdisciplinariedad.
4.3 Investigación en los niveles medios y superior
Una de las características de las investigaciones de los niveles medios y superior que se realizan en
México es que el énfasis se desplaza hacia la división de los contenidos de acuerdo con las
disciplinas tradicionales, al mismo tiempo que se abandonan los aspectos sociológicos, psicológicos
y de interacción en el aula propiamente dichos. Esta tendencia se nota más cuanto más se avanza en
los niveles escolares. Así, en los estudios correspondientes al nivel de secundaria se empiezan a
definir las disciplinas pero todavía están presentes algunos aspectos más generales del desarrollo
individual, como son la resolución de problemas, el razonamiento matemático, el desarrollo de
habilidades matemáticas, etc., mientras que en los estudios correspondientes al nivel superior, el
trabajo está totalmente determinado por el contenido matemático definido de acuerdo con la división
disciplinaria clásica. Así, para los niveles medios y superiores, las temáticas abordadas son las
siguientes:
Disciplinas:
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a. Álgebra
b. Geometría
c. Cálculo–análisis
d. Probabilidad
Otros campos temáticos (principalmente en estudios del nivel medio básico):
a. Razonamiento matemático
b. Cultura y comunicación en el aula
c. Resolución de problemas
d. Habilidades matemáticas
e. Desarrollo curricular
f. Estudios diagnósticos
g. Evaluación de material didáctico
En lo que se refiere a las disciplinas, los desarrollos más importantes están concentrados, por una
parte, en el álgebra (principalmente para los niveles medios) y, por la otra, en el cálculo (en los
niveles medio superior y superior), lo que no es del todo extraño ya que estas temáticas son las que
mayor peso tienen en el curriculum de estos niveles escolares. Los trabajos varían en el tiempo, en
lo que se refiere a los aspectos que atraen la atención de los investigadores: hacia el inicio de la
década de los ochenta se ve un gran interés en el análisis del curriculum, el diseño y el desarrollo
curricular y el análisis de textos en ambas disciplinas (álgebra y cálculo).
El interés evoluciona en el álgebra hacia un enfoque conceptualista primero, después hacia los
estudios de errores, para desembocar en los estudios sobre la adquisición del lenguaje algebraico y
el uso de ambientes computacionales, para finales de la década. No obstante, el interés por los
estudios curriculares renace en el álgebra en los últimos años a causa de las reformas educativas en
el país.
Por lo que respecta al cálculo, se pueden identificar dos tendencias que han tomado forma a
principios de la década de los noventa, abandonándose los intereses curriculares iniciales. Ambas
tendencias se caracterizan por un enfoque conceptualista en la investigación: la primera está
centrada en el aprendizaje de conceptos y la segunda en su enseñanza. Desde luego, los conceptos
objeto de estudio son los conceptos básicos del cálculo: derivada, integral, función, variable,
continuidad, número real e infinito.
Por su parte, los estudios que conciernen al desarrollo del individuo o a la comunicación en el aula
se concentran principalmente en el desarrollo del razonamiento matemático y en la resolución de
problemas como vía de aprendizaje. Sin embargo, estos estudios sólo empiezan a prefigurarse al
final de la década de los ochenta y están concentrados en el nivel medio básico.
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4.4 Investigaciones sobre aspectos generales
Dentro del rubro de "aspectos generales" se reúnen estudios que no están determinados por los
niveles escolares pero cuya abundancia e interés merecen una clasificación especial. Tenemos, en
primer lugar, los estudios sobre el impacto de la microcomputadora en la educación matemática.
Esta temática merece la atención de un buen número de investigadores y este interés es creciente en
el tiempo, pero con características distintas a las que le dieron origen: en un principio, la atención de
los investigadores estaba dirigida hacia el diseño de software educativo, altamente influenciado por
las máquinas de enseñanza de las teorías conductistas. Al paso de la década, el interés se ha
desplazado hacia el estudio de la microcomputadora como instrumento de exploración y
experimentación dentro del aula, con mayor influencia de las teorías constructivistas y de las
ciencias cognitivas.
El siguiente grupo de investigaciones tiene un carácter más metodológico. Se trata de
investigaciones que hacen uso de los estudios sobre el desarrollo histórico de la matemática, ya sea
con fines epistemológicos, psicológicos o didácticos. Este recurso metodológico se encuentra en
estudios de todos los niveles escolares y de todas las ramas matemáticas. Desde luego, las
discusiones sobre el uso de la historia en la investigación educativa han tenido una evolución a lo
largo de la década: del uso de la historia como factor motivador o inspirador del desarrollo de la
clase se ha pasado al uso de la historia como un recurso metodológico para establecer relaciones
teóricas entre los distintos factores del fenómeno educativo y los contenidos disciplinarios.
4.5 Los trabajos sobre el estatuto de la disciplina
Las discusiones sobre la naturaleza de la Educación Matemática se iniciaron en México cuando la
disciplina alcanzó una cierta masa crítica de investigadores, de métodos y de temáticas.
Correspondió a Carlos Imaz, uno de los pioneros de la Educación Matemática en nuestro país, abrir
oficialmente la discusión proponiendo una "primera concepción global y esquemática del área de
matemática educativa ...[que pueda] servir de catalizador hacia otras más amplias" (Imaz, 1987: 267)
Ya antes Filloy (1981) había ubicado a la Educación Matemática en un punto intermedio entre las
ciencias y las humanidades y, refiriéndose al caso específico de México, señalaba dos influencias
principales: la estadounidense, como el resto del desarrollo científico y tecnológico del país, y la
europea, manifiesta en la delimitación de la problemática y la metodología de la investigación en
ciencias sociales y humanísticas de nuestro país.
Bonilla (1989) discute las posiciones y los cuestionamientos sobre de la posibilidad de considerar a
la Educación Matemática una ciencia. En el centro de la controversia –opina Bonilla– se halla la
discusión sobre la "objetividad científica", polarizada en dos posiciones: la que afirma que el
conocimiento sólo puede ser alcanzado a través del "método científico", que supone una distancia
entre el investigador y su objeto de estudio, y la corriente antropológica, que considera que el
problema estudiado sólo tiene sentido si se le analiza en términos estructurales, y que su elección
está determinada por los intereses cognoscitivos del investigador. Los correspondientes tipos de
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investigación a que dan lugar estos enfoques son las llamadas investigaciones cuantitativas y
cualitativas, respectivamente.
En Waldegg (1989) se propone una definición de la disciplina a partir de su objeto de estudio,
señalando como principal objetivo de la Educación Matemática el desarrollo de un cuerpo teórico de
conocimientos que expliquen y, por lo tanto, permitan modificar los procesos educativos de la
matemática. Se resalta el hecho de que, a pesar de que la Educación Matemática tiene una gran
intersección con las ciencias de la educación, la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, hereda
la especificidad de esta última.
Flores (1991) presenta otro intento de caracterizar la disciplina alrededor de una serie de problemas
que pueden hacerse corresponder con algunas de las áreas de interés de este campo: desarrollo
cognitivo, aprendizaje de habilidades, aprendizaje de conceptos, resolución de problemas,
diferencias individuales, actitudes, currículo, enseñanza y formación de profesores. Flores señala
como una tarea necesaria la elaboración de marcos conceptuales que reflejen sobre las áreas
mencionadas las características propias de la matemática. A diferencia de otras ciencias, la
Educación Matemática no cuenta con teorías globales, sin embargo, existe una red internacional de
investigadores y publicaciones especializadas que por el momento –opina Flores– son las que, en la
práctica, la definen.
Mancera (1990) llama la atención sobre la multiplicidad de definiciones y concepciones de la
Educación Matemática y concluye que, por el momento, es más importante reconocer la
complejidad inherente a sus problemas y la necesidad de un trabajo interdisciplinario que intentar
dar una definición más de la disciplina.
Si bien la discusión sobre su naturaleza no ha sido particularmente abundante en nuestro país, no se
puede soslayar su permanencia entre la comunidad, como una preocupación patente, que define y
determina el rumbo que debe seguir esta actividad en su desarrollo futuro.
5. Conclusión
Una vez descritas las principales corrientes de investigación dentro de la teoría de la Educación
Matemática, se impone una reflexión final acerca de la naturaleza de este campo como área de
conocimiento. ¿Se trata de un saber meramente práctico, una tecnología fundada y dependiente de
otras ciencias, o, por el contrario, existen problemas cuyas características requieren un nivel de
análisis teórico y una metodología propia de un verdadero saber científico?
Esta reflexión epistemológica, esencial para orientar adecuadamente la investigación, ha sido poco
tratada en la literatura. Destaca, sin embargo, el trabajo de Brousseau (1989) con el significativo
título de "La torre de Babel" y las ideas de Steiner.
Ante la complejidad de los problemas de la Educación Matemática, Steiner (1985) señala la
emergencia de dos reacciones extremas:
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Quienes afirman que la Educación Matemática no puede llegar a ser un campo con
fundamentación científica y, por tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte.
Quienes, pensando que es posible que la Educación Matemática sea una ciencia, reducen la
complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial (análisis del contenido,
construcción del currículo, métodos de enseñanza, desarrollo de destrezas, etc.) al que atribuyen
un peso especial dentro del conjunto.
De manera parecida se expresa Brousseau (1989), indicando una primera acepción de la Educación
Matemática, que identifica con "el arte de enseñar", es decir, el conjunto de medios y
procedimientos que tienden a hacer conocer la matemática. Brousseau, sin embargo, distingue dos
concepciones de carácter científico: la "fundamental" y la "matemática". Como bisagra entre estos
dos grupos identifica la concepción "tecnicista", para la que la didáctica es el conjunto de técnicas
de enseñanza.
El punto de vista que Brousseau llama fundamental coincide con la segunda tendencia señalada por
Steiner. La didáctica, como área de conocimiento científico, sería el "campo de investigación
llevado a cabo sobre la enseñanza en el cuadro de las disciplinas científicas clásicas", como la
psicología, la semiótica, la sociología, la lingüística, la epistemología, la lógica, la neuropsicología,
la pedagogía, etc. En este caso, la naturaleza del conocimiento didáctico sería la de una tecnología
fundada en otras ciencias.
La concepción que Brousseau llama "matemática" tiende a integrar todos los sentidos precedentes y
a asignarles un lugar con relación a una teoría unificadora del hecho didáctico, cuya fundamentación
y métodos serían específicos, pretendiendo una justificación endógena. Dicha concepción pudiera
ser el comienzo de una respuesta a la necesidad señalada por Steiner:
... de una base teórica que nos permita una mejor comprensión e identifique las diversas posiciones,
aspectos e intenciones que subrayan las diferentes definiciones de Educación Matemática en uso,
para analizar las relaciones entre estas posiciones y conjuntarlas en una comprensión dialéctica del
campo total (Steiner, 1985: 11).
En la Escuela Francesa se observa una aspiración a construir un área de estudio científico propio que
no sea dependiente del desarrollo de otros campos científicos, no siempre consistentes. Este objetivo
contrasta con la postura de Steiner quien no es partidario de insistir en la búsqueda de teorías
internas que pueden encerrar el peligro de restricciones inadecuadas. La naturaleza del tema y sus
problemas reclaman una aproximación interdisciplinaria y sería erróneo no hacer un uso
significativo del conocimiento que otras disciplinas han producido sobre aspectos específicos de
aquellos problemas. Steiner afirma que la Educación Matemática debe tender a la
transdisciplinariedad, término que cubre no sólo las interacciones y reciprocidades entre proyectos
de investigación especializada, sino que sitúa estas relaciones dentro de un sistema total, sin límites
entre disciplinas.
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La búsqueda de una teoría de carácter fundamental, con aceptación general para explicar y predecir
el conjunto de fenómenos asociados a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
ha sido hasta el momento infructuosa. El estado actual de la Educación Matemática puede definirse
como un campo de investigación científico–tecnológico emergente en el que se identifican un
cúmulo de teorías competitivas, expresadas generalmente de un modo informal y dependientes,
especialmente, de planteamientos psicológicos. Sin embargo, el número y calidad creciente de
investigaciones en el área permiten ver con optimismo la consolidación de la disciplina como campo
autónomo del conocimiento en un futuro no muy lejano.
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____ (Coord.) (1995) Procesos de enseñanza y aprendizaje, vol 2, México, Consejo Mexicano de
Investigación Educativa/Fundación SNTE para la Cultura del Maestro Mexicano.
MÓDULO : TALLER DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 4 : LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA PERSPECTIVAS, TAREAS Y ORGANIZACIÓN DE
ACTIVIDADES
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIA Y LA MATEMÁTICA
Miguel de Guzmán (1936-2004) *
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SÍNTESIS: Este trabajo contiene una serie de observaciones personales sobre algunos aspectos del
panorama actual de la educación matemática que, por diversas razones que intentaré explicar, distan
mucho de haber alcanzado una fase de estabilidad. En su conjunto, parece que la educación
matemática, por su propia naturaleza, como se indica en la SECCIÓN 1, deba ser uno de esos temas
complicados que haya de permanecer en constante revisión. En la SECCIÓN 2 se presentan unas
cuantas reflexiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando
las razones profundas que nos mueven en nuestros días para querer salir de algunas vías menos
deseables en las quela enseñanza matemática se introdujo en un pasado reciente. La SECCIÓN 3 se
dedica a apuntar algunas tendencias generales que señalan las líneas de trabajo más llamativas en la
actualidad. De estas tendencias, por una parte, se derivan de forma natural algunos cambios en los
principios metodológicos que deberían guiar la enseñanza y aprendizaje de nuestros días, lo que se
presenta en la SECCIÓN 4, y por otra, cambios en los contenidos mismos de nuestra educación, más
acordes con las finalidades que hoy se pretenden, tal como queda explicado en la SECCIÓN 5.
Finalmente, la SECCIÓN 6 presenta unos pocos proyectos que, a mi parecer, sería deseable que
nuestra comunidad matemática fuese realizando para conseguir una educación más sana y eficaz. La
bibliografía al final del trabajo remite a unos pocos artículos clave, cuyas bibliografías extensas
pueden servir como fuente de información más profunda.
1. ¿POR QUÉ LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA ES TAREA DIFÍCIL?
La matemática es una actividad vieja y polivalente y a lo largo de los siglos ha sido empleada con
objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios entre los
sacerdotes de los pueblos mesopotámicos y entre los pitagóricos considerada como un medio de
aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la
divinidad. Utilizada como un importante elemento disciplinador del pensamiento en el Medievo, a
partir del Renacimiento ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del
universo. Ha constituido una magnífica guía del pensamiento filosófico entre los pensadores del
racionalismo y filósofos contemporáneos y un instrumento de creación de belleza artística, un
campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos...Por otra parte, la matemática
misma es una ciencia intensamente dinámica y cambiante: de manera rápida y hasta turbulenta en
sus propios contenidos y aun en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo
ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje
sencillo.
El otro miembro del binomio educación-matemática tampoco es algo simple. La educación ha de
hacer, necesariamente, referencia a lo más profundo de la persona, una persona aún por conformar, a
la sociedad en evolución en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura en que esta sociedad se
desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de los que en el momento se puede o se
quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación se le quieran asignar y que pueden
ser extraordinariamente variadas. La complejidad de la matemática y de la educación sugiere que los
teóricos de la educación matemática, y no menos los agentes de ella, deban permanecer
constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinámica
rápidamente mutante de la situación global venga exigiendo.
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La educación, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio, lo cual no
necesariamente es mala, pues una razonable persistencia ante las variaciones es la característica de
los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de
adaptación ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales.
M. DE GUZMÁN
REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN. N.º 43 (2007), pp. 19-58
En la educación matemática a nivel internacional apenas se habrían producido cambios de
consideración desde principios de siglo hasta los años sesenta. A comienzos de siglo había tenido
lugar un movimiento de renovación en educación matemática, gracias al interés inicialmente
despertado por la prestigiosa figura del gran matemático alemán Felix Klein, con sus proyectos de
renovación de la Enseñanza y con sus famosas lecciones sobre Matemática elemental desde un
punto de vista superior (1908), que ejercieron gran influencia en nuestro país a partir de 1927, por el
interés de Rey Pastor, quien las tradujo al castellano y publicó en su Biblioteca Matemática.
En la década de 1960 surgió un fuerte movimiento de innovación y se puede afirmar con razón, que
el empuje de renovación de dicho movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha traído
consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido con todo la gran virtud de llamar la
atención sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolución del sistema educativo en
matemáticas a todos los niveles. Los cambios introducidos en los años sesenta han provocado
mareas y contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy día, podemos afirmar con toda
justificación que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.
2. SITUACIÓN ACTUAL DE CAMBIO EN LA DIDÁCTICA
DE LA MATEMÁTICA
Los últimos treinta años han sido escenario de cambios muy profundos en la enseñanza de la
matemática y por los esfuerzos que la comunidad internacional de expertos en didáctica continúa
realizando por encontrar moldes adecuados, está claro que vivimos aún una situación de
experimentación y cambio. El movimiento de renovación hacia la «matemática moderna» de los
años sesenta y setenta trajo consigo una honda transformación de la enseñanza, tanto en su talante
profundo como en los contenidos nuevos con él introducidos. Entre las principales características de
dichomovimiento y sus efectos pueden mencionarse los siguientes:
• Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas áreas, especialmente en álgebra.
M. DE GUZMÁN
REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN. N.º 43 (2007), pp. 19-58
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• Se pretendió profundizar en el rigor lógico, en la comprensión, contraponiendo ésta a los aspectos
operativos y manipulativos.
• Esto último condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a través de las nociones
iniciales de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor es
fácilmente alcanzable.
• La geometría elemental y la intuición espacial sufrieron un gran detrimento. La geometría es, en
efecto, mucho más difícil de fundamentar rigurosamente.
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• Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el vaciamiento de
problemas interesantes, en los que la geometría elemental tanto abunda, y su sustitución por
ejercicios muy cercanos a la mera tautología y reconocimiento de nombres, que es, en buena parte,
lo que el álgebra puede ofrecer a este nivel elemental.
En la década de 1970 se empezó a percibir que muchos de los cambios introducidos no habían
resultado muy acertados. Como acabamos de señalar, con la sustitución de la geometría por el
álgebra la elemental se vació rápidamente de contenidos y de problemas interesantes. La patente
carencia de intuición espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la
geometría de nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las personas
que realizaron su formación en aquellos años. Se puede decir que los inconvenientes surgidos con la
introducción de la llamada «matemática moderna» superaron con mucho las cuestionables ventajas
que se habían pensado conseguir, como el rigor en la fundamentación, la comprensión de las
estructuras matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática contemporánea.
Los años setenta y ochenta han presentado una discusión, en muchos casos vehementes y
apasionados, sobre los valores y contravalores de las tendencias presentes, y luego una búsqueda
intensa de formas más adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseñanza matemática por parte
de la comunidad matemática internacional. A continuación quisiera dirigir mi atención
sucesivamente sobre los aspectos más interesantes, a mi parecer, de esta búsqueda y de algunas
respuestas parciales que van surgiendo en el panorama educativo de la matemática.
3. TENDENCIAS GENERALES ACTUALES
3.1 UNA CONSIDERACIÓN DE FONDO. ¿QUÉ ES LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA?
La filosofía prevalente sobre lo que la actividad matemática representa tiene un fuerte influjo, más
efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseñanza
matemática. La reforma hacia la «matemática moderna» tuvo lugar en pleno auge de la corriente
formalista (Bourbaki) en matemáticas. No es aventurado pensar a priori en una relación causa efecto
y, de hecho, alguna de las personas especialmente influyentes en el movimiento didáctico, como
Dieudonné, fueron importantes miembros del grupo Bourbaki. En los últimos quince años,
especialmente a partir de la publicación de la tesis doctoral de I. Lakatos (1976) Proofs and
Refutations: The Logic of Mathematical Discovery, se han producido cambios bastante profundos en
el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemático.
La actividad científica, en general, es una exploración de ciertas estructuras de la realidad, entendida
ésta en sentido amplio, como realidad física o mental. La actividad matemática se enfrenta con un
cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen:
• Una simbolización adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo,
las entidades que maneja.
• Una manipulación racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhieren a las
convenciones iniciales departida.
• Un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se
construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada.
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La antigua definición de la matemática como ciencia del número y de la extensión, no es
incompatible en absoluto con la aquí propuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemática
en que el enfrentamiento con la realidad se había plasmado en dos aspectos fundamentales, la
complejidad proveniente de la multiplicidad (lo que da origen al número, a la aritmética) y la
complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometría, estudio de la extensión). Más
adelante, el mismo espíritu matemático se habría de enfrentar con:
• La complejidad del símbolo (álgebra).
• La complejidad del cambio y de la causalidad determinística(cálculo).
• La complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable
(probabilidad, estadística).
• Complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática).
La filosofía de la matemática actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la
primera mitad del siglo sobre los problemas de fundamentación de la matemática, especialmente tras
los resultados de Gödel a comienzos de los años treinta, para enfocar su atención en el carácter
cuasi-empírico de la actividad matemática (I. Lakatos), así como en los aspectos relativos a la
historicidad e inmersión de la matemática en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L.
Wilder), considerando la matemática como un subsistema cultural con características, en gran parte,
comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de
los matemáticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma más o menos consciente,
fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseñanza matemática debe ser.
3.2 LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA COMO PROCESO DE «INCULTURACIÓN»
La educación matemática se debe concebir como un proceso de inmersión en las formas propias de
proceder del ambiente matemático, a la manera en que el aprendiz de artista va siendo imbuido,
como por ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas características de la escuela en la que se
entronca. Como vamos a ver enseguida, esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de
enfocar la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
3.3 CONTINUO APOYO EN LA INTUICIÓN DIRECTA DE LO CONCRETO.
APOYO PERMANENTE EN LO REAL
En los años ochenta hubo un reconocimiento general de que se había exagerado considerablemente
en las tendencias hacia la «matemática moderna» en lo que respecta al énfasis en la estructura
abstracta de la matemática. Es necesario cuidar y cultivar la intuición en general, la manipulación
operativa del espacio y de los mismos símbolos. Es preciso no abandonar la comprensión e
inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por
entender deje pasar a segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a
los objetos matemáticos. Si la matemática es una ciencia que participa mucho más de lo que hasta
ahora se pensaba del carácter de empírica, sobre todo en su invención –que es mucho más
interesante que su construcción formal–, es necesario que la inmersión en ella se realice teniendo en
cuenta mucho más intensamente la experiencia y la manipulación de los objetos de los que surge. La
formalización rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio posterior. A cada
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fase de desarrollo mental, como a cada etapa histórica o a cada nivel científico, le corresponde su
propio rigor.
Para entender esta interacción fecunda entre la realidad y la matemática es necesario acudir, por una
parte, a la propia historia de esta última que nos devela ese proceso de emergencia de nuestra
matemática en el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la matemática, que nos hacen
patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello se hace obvio cómo la matemática ha
procedido de forma muy semejante a las otras ciencias, por aproximaciones sucesivas, por
experimentos, por tentativas, unas veces fructuosas, otras estériles, hasta que va alcanzando una
forma más madura, aunque siempre perfectible. Nuestra enseñanza ideal debería tratar de reflejar
este carácter profundamente humano de la matemática, ganando con ello en asequibilidad,
dinamismo, interés y atractivo.
3.4 LOS PROCESOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO. EL CENTRO
DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Una de las tendencias generales más difundida hoy consiste más en el hincapié en la transmisión de
los procesos de pensamiento propios de la matemática que en la mera transferencia de contenidos.
La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina
sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena
parte colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución
de problemas. Por otra parte, existe la conciencia, cada vez más acusada, de la rapidez con la que,
por razones muy diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la enseñanza de unos
contenidos a otros. En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos
encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven
obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. En
nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de
procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que
Whitehead llamó «ideas inertes», ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de
combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del
presente.
En esta dirección se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heurísticas adecuadas
para la resolución de problemas en general, por estimular la resolución autónoma de verdaderos
problemas, antes que la mera transmisión de recetas adecuadas en cada materia.
3.5 LOS IMPACTOS DE LA NUEVA TECNOLOGÍA
La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y el ordenador está comenzando a
influir fuertemente en los intentos por orientar adecuadamente nuestra educación matemática
primaria y secundaria, de forma que se aprovechen al máximo tales instrumentos. Está claro que,
por diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad, falta de preparación de profesores,
hostilidad de algunos..., aún no se han logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. Éste es
uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra
forma de enseñanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas. El acento
habrá que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de los procesos matemáticos más bien
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que en la ejecución de ciertas rutinas, que en nuestra situación actual ocupan todavía gran parte de la
energía de los alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello
emplean. Lo verdaderamente importante vendrá a ser su preparación para el diálogo inteligente con
las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro
que ya casi es presente.
3.6 CONCIENCIA DE LA IMPORTANCIA DE LA MOTIVACIÓN
Una preocupación general que se observa en el ambiente conduce a la búsqueda de la motivación
del alumno desde un punto de vista más amplio, que no se limite al posible interés intrínseco de la
matemática y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la evolución
de la cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad, por una parte, y la matemática, por otra, se
han proporcionado.
Cada vez va siendo más evidente la enorme importancia que los elementos afectivos que involucran
a toda la persona pueden tener también en la vida de la mente en su ocupación con la matemática. Es
claro que una gran parte de los fracasos matemáticos de muchos de nuestros estudiantes tienen su
origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades
en este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introducción por parte de sus
maestros. Por eso se intenta también, a través de diversos medios, que los estudiantes perciban el
sentimiento estético, el placer lúdico que la matemática es capaz de proporcionar, a fin de
involucrarlos en ella de un modo más hondamente personal y humano.
En nuestro ambiente contemporáneo, con una fuerte tendencia hacia la deshumanización de la
ciencia, a la despersonalización producida por nuestra cultura computarizada, es cada vez más
necesario un saber humanizado en que el hombre y la máquina ocupen cada uno el lugar que le
corresponde. La educación matemática adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante
tarea.
4. CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLÓGICOS ACONSEJABLES
A la vista de estas tendencias generales apuntadas en la sección anterior se pueden señalar unos
cuantos principios metodológicos que podrían guiar apropiadamente nuestra enseñanza.
4.1 HACIA LA ADQUISICIÓN DE LOS PROCESOS TÍPICOS DEL PENSAMIENTO
MATEMÁTICO. LA INCULTURACIÓN A TRAVÉS DEL APRENDIZAJE ACTIVO
¿Cómo debería tener lugar el proceso de aprendizaje matemático a cualquier nivel? De una forma
semejante a la que el hombre ha seguido en su creación de las ideas matemáticas, de modo parecido
al que el matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematización de la parcela
de la realidad de la que se ocupa. Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la realidad
matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que queremos explorar con nuestros
alumnos, para lo cual deberíamos conocer a fondo el contexto histórico que enmarca estos conceptos
adecuadamente. ¿Por qué razones la comunidad matemática se ocupó con ahínco en un cierto
momento de este tema y lo hizo el verdadero centro de su exploración tal vez por un período de
siglos? Es extraordinariamente útil tratar de mirar la situación con la que ellos se enfrentaron con la
mirada perpleja con que la contemplaron inicialmente. La visión del tema que se nos brinda en
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muchos de nuestros libros de texto se parece en demasiadas ocasiones a una novela policíaca que
aparece ya destripada desde el principio por haber comenzado contando el final.
Contada de otra forma más razonable podría ser verdaderamente apasionante. Normalmente la
historia nos proporciona una magnífica guía para enmarcar los diferentes temas, los problemas de
los que han surgido los conceptos importantes de la materia, y nos da luces para entender la razón
que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Si conocemos la evolución de las
ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las
distintas consecuencias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situación
reciente de las teorías que de ellas han derivado...
En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a través del intento directo de una
modelización de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras
matemáticas en cuestión. Para ello se puede acudir a las otras ciencias que hacen uso de las
matemáticas, a circunstancias de la realidad cotidiana, o bien a la presentación de juegos tratables
matemáticamente, de los que en más de una ocasión a lo largo de la historia han surgido ideas
matemáticas de gran profundidad, como veremos más adelante.
Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones problema en las que tuvo lugar la
gestación de las ideas con las que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su búsqueda
autónoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemáticas sencillas, de problemas
interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural.
Está claro que no podemos esperar que nuestros alumnos descubran en un par de semanas lo que la
humanidad elaboró tal vez alo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes.
Pero es cierto que la búsqueda con guía, sin aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo
alcanzable en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como la detección de técnicas
concretas, de estrategias útiles de pensamiento en el campo en cuestión y de su transmisión a los
estudiantes.
La teoría, así concebida, resulta llena de sentido, plenamente motivada y mucho más fácilmente
asimilable. Su aplicación a la resolución de los problemas, que en un principio aparecían como
objetivos inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfacción y placer intelectual,
de asombro ante el poder del pensamiento matemático eficaz y de una fuerte atracción hacia la
matemática.
4.2 SOBRE EL PAPEL DE LA HISTORIA EN EL PROCESO DE FORMACIÓN
DEL MATEMÁTICO
A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de la matemática debería formar parte
indispensable del bagaje de conocimientos del matemático en general, y del profesor de cualquier
nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este último, no sólo con la
intención de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino primariamente
porque la historia le puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la ciencia y de la
matemática, de lo cual suele estar también el matemático muy necesitado.
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La visión histórica transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento
buscadas ansiosamente –en muchas ocasiones con genuina pasión–, por hombres de carne y hueso
que se alegraron inmensamente cuando dieron con ellas por primera vez. ¿Cuántos de esos
teoremas, que en nuestros días de estudiantes se nos han aparecido como verdades que salen de la
oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto
sentido dentro de la teoría, después de haberla estudiado más a fondo, incluido su contexto histórico
y biográfico?
La perspectiva histórica nos acerca a la matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces
penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus errores. Nos
aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo
de muchos siglos, por motivaciones muy distintas. Desde el punto de vista del conocimiento más
profundo de la propia matemática la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos
aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el
matemático técnico como para el pedagogo. Si cada porción de conocimiento matemático de
nuestros libros de texto llevara escrito el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna
aproximación, veríamos saltar locamente los números, a veces dentro de la misma página o del
mismo párrafo. Conjuntos, números naturales, sistemas de numeración, números racionales, reales,
complejos..., decenas de siglos de distancia hacia atrás, hacia adelante, otra vez hacia atrás,
vertiginosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal
circunstancia. El orden lógico no es necesariamente el orden histórico, ni tampoco el didáctico
coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor debería saber cómo han ocurrido las cosas, para:
• Comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en la elaboración de las
ideas matemáticas, y a través de ello las de sus propios alumnos.
• Entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfonía matemática.
• Utilizar este saber como una sana guía para su propia pedagogía.
El conocimiento de la historia proporciona una visión dinámica de la evolución de la matemática. Se
puede barruntar la motivación de las ideas y desarrollos en el inicio y es ahí donde se pueden buscar
las ideas originales en toda su sencillez y originalidad, todavía con su sentido de aventura, que
muchas veces se hace desaparecer en los textos secundarios. Como dice muy acertadamente O.
Toeplitz:
Con respecto a todos los temas básicos del cálculo infinitesimal [...] teorema del valor medio, serie
de Taylor [...], nunca se suscita la cuestión ¿por qué así precisamente?, o ¿cómo se llegó a ello? Y
sin embargo, todas estas cuestiones han tenido que ser en algún tiempo objetivos de una intensa
búsqueda, respuestas a preguntas candentes [...]. Si volviéramos a los orígenes de estas ideas,
perderían esa apariencia de muerte y de hechos disecados y volverían a tomar una vida fresca y
pujante.
Tal visión dinámica nos capacitaría para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo educativo:
• Posibilidad de extrapolación hacia el futuro.
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• Inmersión creativa en las dificultades del pasado.
• Comprobación de lo tortuoso de los caminos de la invención, con la percepción de la ambigüedad,
oscuridad y confusión iniciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos, etc.
Por otra parte, el conocimiento de la historia de la matemática y de la biografía de sus creadores más
importantes nos hace plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir,
dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios..., así como de los
mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofía, la matemática, la tecnología, las
diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos
enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la
matemática suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia.
Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea sumergirse en la investigación matemática
como para el que quiere dedicarse a sus aplicaciones o a la enseñanza, la historia de la matemática
suele estar totalmente ausente de la formación universitaria. A mi parecer, sería extraordinariamente
conveniente que las diversas materias que enseñamos se beneficiaran de la visión histórica, como he
dicho arriba, y que a todos nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un breve panorama
global del desarrollo histórico de la ciencia que les va a ocupar toda su vida. Mientras llega una
situación razonable yo me atrevería a aconsejar:
• La lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia que van
apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness, etc.).
• Acudir, para los temas del interés particular de cada uno, a las fuentes originales, especialmente de
los clásicos.
• Leer las biografías de los grandes matemáticos, al menos en la forma sucinta en que aparecen en el
Dictionary ofScientific Biography.
4.3 SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LA HISTORIA EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
El valor del conocimiento histórico no consiste en tener una batería de historietas y anécdotas
curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el camino. La historia se puede
y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender un concepto difícil del modo más
adecuado.
Quien no tenga la más mínima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemático ha
recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada del número
complejo, se sentirá tal vez justificado para introducir en su enseñanza los números complejos
como «el conjunto de los pares de números reales entre los cuales se establecen las siguientes
operaciones [...]». Quien sepa que ni Euler niGauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a
los números complejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas con
ellos, se preguntará muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de introducir los complejos
en la estructura cristalizada antinatural y difícil de tragar, que sólo después de varios siglos de
trabajo llegaron a tener.
Los diferentes métodos del pensamiento matemático, tales como la inducción, el pensamiento
algebraico, la geometría analítica, el cálculo infinitesimal, la topología, la probabilidad..., han
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surgido en circunstancias históricas muy interesantes y muy peculiares, con frecuencia en la mente
de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy útil
resaltar. La historia debería ser un potente auxiliar para objetivos tales como:
• Hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas.
• Enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación,
precedentes...
• Señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en la que se encuentran
actualmente...
• Apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya interacción han
surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.
4.4 LA HEURÍSTICA (PROBLEM SOLVING) EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para
poner en práctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturación mencionado en el
punto
4.1. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir, en lo posible de una manera sistemática,
los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.
Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situación desde la que quiero llegar a
otra, unas veces bien conocida otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que
me puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto están, por lo general, repletos de meros
ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede ser engañosa. También
en un ejercicio se expone una situación y se pide que se llegue a otra: escribir el coeficiente de x7 en
el desarrollo de (1+x) 32.
Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema para los algebristas del siglo XVI, se
encuentra, como suele suceder, al final de una sección sobre el binomio de Newton, no constituye ya
ningún reto notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver un
problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la lección primero.
La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los
procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar
a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de
pensamiento eficaces.
Se trata de considerar como lo más importante que el alumno:
• Manipule los objetos matemáticos.
• Active su propia capacidad mental.
• Ejercite su creatividad.
• Reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente.
• Haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental, de ser posible.
• Adquiera confianza en sí mismo.
• Se divierta con su propia actividad mental.
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• Se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana.
• Se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.
¿Cuáles son las ventajas de este tipo de enseñanza? ¿Por qué esforzarse para conseguir tales
objetivos? He aquí unas cuantas razones interesantes:
• Porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes: capacidad autónoma para
resolver sus propios problemas.
• Porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de adaptación a los cambios
de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos.
• Porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo.
• Porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal, no limitado al
mundo de las matemáticas.
• Porque es aplicable a todas las edades.
¿En qué consiste la novedad? ¿No se ha enseñado siempre a resolver problemas en nuestras clases
de matemáticas? Posiblemente los buenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma
espontánea los métodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente ha venido haciendo
una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases:
Propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones,
modelos, juegos...)
Manipulación autónoma por los estudiantes
Familiarización con la situación y sus dificultades
Elaboración de estrategias posibles
Exposición de contenidos
Ejemplos
Ejercicios sencillos
Ejercicios más complicados
¿Problema?
La forma de presentación de un tema matemático basada en el espíritu de la resolución de problemas
debería proceder más o menos del siguiente modo:
En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con tino por el profesor,
colocando al alumno en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por sí
mismo lo que los grandes matemáticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas del
procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivación contra aburrimiento,
adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido.
En mi opinión, el método de enseñanza por resolución de problemas presenta algunas dificultades
que no parecen aún satisfactoriamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos
en la forma práctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes
que lo integran, la componente heurística, es decir la atención a los procesos de pensamiento y los
contenidos específicos del pensamiento matemático.
A mi parecer existe en la literatura actual una buena cantidad de obras excelentes cuya atención
primordial se centra en los aspectos heurísticos, puestos en práctica sobre contextos diversos, unos
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más puramente lúdicos, otros con sabor más matemático. Algunas de estas Ensayos diversos por los
estudiantes Herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)
Elección de estrategias
Abordaje y resolución de los problemas
Recorrido crítico (reflexión sobre el proceso)
Afianzamiento formalizado (si conviene)
Generalización
Nuevos problemas
Posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas...obras cumplen a la perfección, en mi
opinión, su cometido de transmitir el espíritu propio de la actitud de resolución de problemas y de
confirmar en quien se adentra en ellas las actitudes adecuadas para la ocupación con este tipo de
actividad. Sin embargo, creo que aún no han surgido intentos serios y sostenidos por producir obras
que, efectivamente, apliquen el espíritu de la resolución de problemas a la transmisión de aquellos
contenidos de la matemática de los diversos niveles, que pensamos deben estar presentes en nuestra
educación. Lo que les suele suceder a aquellos profesores genuinamente convencidos de la bondad
de los objetivos relativos a la transmisión de los procesos de pensamiento, es que viven una suerte
de esquizofrenia, tal vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de los
que gira su enseñanza: los contenidos y los procesos. Los viernes ponen el énfasis en los procesos de
pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas de su materia, y
los demás días de la semana se dedican con sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay
que cubrir, sin acordarse para nada de lo que el viernes pasado practicaron. Sería muy necesario que
surgieran modelos, aunque fueran parciales, que integraran en un todo armonioso ambos aspectos de
nuestra educación matemática.
De todos modos, probablemente, se puede afirmar que quien está plenamente imbuido en ese
espíritu de la resolución de problemas se enfrentará de una manera mucho más adecuada a la tarea
de transmitir competentemente los contenidos de su programa. Por ello considero importante trazar,
aunque sea someramente, las líneas de trabajo que se pueden seguir a fin de conseguir una eficaz
preparación en el tema.
4.5 SOBRE LA PREPARACIÓN NECESARIA PARA LA ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La preparación para este tipo de enseñanza requiere una dedicación personal, seria y profunda. No
se trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino de adquirir nuevas actitudes que
calen y se vivan profundamente. A mi parecer, esta tarea se realiza más efectivamente mediante la
formación de pequeños grupos de trabajo pues el trabajo en grupo en este tema, tiene una serie de
ventajas importantes:
• Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, al permitirnos percibir las distintas formas
de afrontar una misma situación-problema.
• Se permite aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces en el papel de moderador
del grupo, otras en el de observador de su dinámica.
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• Proporciona apoyo y estímulo en una labor que de otra manera puede resultar dura, por su
complejidad y por la constancia que requiere.
• Posibilita la contrastación de los progresos que el método es capaz de producir en uno mismo y en
otros.
• Brinda la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a nuestros estudiantes en una labor
semejante, con mayor conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y
personas. Algunos de los aspectos que es preciso atender en la práctica inicial adecuada son los
siguientes:
• Exploración de los diferentes bloqueos que actúan en cada uno de nosotros, a fin de conseguir una
actitud sana y agradable frente a la tarea de resolución de problemas.
• Práctica de los diferentes métodos y técnicas concretas de desbloqueo.
• Exploración de las aptitudes y defectos propios más característicos, con la elaboración de una de
autorretrato heurístico.
• Ejercicio de diferentes métodos y alternativas.
• Práctica sostenida de resolución de problemas con la elaboración
de sus protocolos y su análisis en profundidad.
4.6 DISEÑO DE UNA REUNIÓN DE TRABAJO EN GRUPO
Me parece que puede resultar útil en este punto sugerir un posible diseño para una reunión de trabajo
en grupo según un esquema que yo mismo he practicado en diferentes ocasiones con provecho
razonable.
Un equipo de trabajo puede constar de cinco o seis personas que se podrían reunir una vez por
semana durante un buen período, alrededor de un año. Una sesión típica puede durar una hora y
media. La sesión tiene dos partes bien diferenciadas, siendo la segunda la verdaderamente
importante. La primera parte tiene por objeto ir ampliando el panorama de conocimientos teórico-
prácticos del grupo. Primera parte (media hora). Uno de los miembros del equipo ha preparado
mediante lecturas adecuadas un tema bien concreto de naturaleza teórico-práctica, que podría
consistir, por ejemplo en el estudio de los bloqueos mentales de naturaleza afectiva. Lo expone en
20minutos y se establece un período de discusión, comentarios, preguntas, aclaraciones, de 10
minutos.
Segunda parte (una hora). Una de las personas del grupo va a actuar en esta segunda parte como
secretario, observador y seleccionador de problemas y otra de ellas actuará como moderador. Los
papeles de los componentes del grupo serán desempeñados por turno en diferentes reuniones.
El secretario, para esta reunión, ha elegido con anterioridad unos cuatro o cinco problemas que
propone al resto. Es conveniente que sean verdaderos problemas, pero que al mismo tiempo no
excedan la capacidad del grupo para resolverlos en un tiempo sensato. Es conveniente que el mismo
secretario se haya familiarizado con las formas de resolver los problemas, pues aunque durante el
proceso tendrá que actuar meramente como observador, al final deberá él mismo iluminar y
complementar los resultados alcanzados por el grupo.
Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad que el grupo va a realizar puede quedar
perfectamente cumplida aunque los problemas no se resuelvan. Es muy conveniente, sin embargo,
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desde el punto de vista de la motivación, que los problemas elegidos, por una parte, constituyan un
verdadero reto, pero que al mismo tiempo sean susceptibles de resolución por el grupo.
La misión del secretario-observador, aparte de la elección de los problemas, consiste en observar e ir
anotando los puntos más importantes del camino que sigue el resto del grupo en busca de la solución
del problema. Él es el encargado de realizar el protocolo del proceso y sus observaciones y notas
han de ayudar muy sustancialmente para la reflexión final que ha de seguir a esta etapa de trabajo.
En general, ha de permanecer en silencio, cosa nada fácil de llevar a cabo, aunque parece
conveniente su intervención de ser necesario, por ejemplo, preguntar sobre el origen de una nueva
idea de algún componente del grupo, interrogante que, probablemente, se alejaría de su memoria si
esperara al período de reflexión al final del proceso.
Como antes ha quedado dicho, de los otros cuatro o cinco componentes del grupo uno actúa como
moderador para esta reunión detrabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador van rotando
encada sesión. La forma de proceder del grupo hacia la resolución del problema puede ser muy
variada y sería conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada grupo elija el que mejor
se le adapta. Lo verdaderamente importante es que en el grupo se cree una atmósfera libre de
inhibiciones, libre de competitividad, donde cada uno esté deseoso de aportar sin imponer, abierto a
aceptar incluso, lo que a primera vista pueda parecer más estrafalario, colaborando gustosamente
para mejorar las ideas iniciadas por los otros y viendo con agrado cómo los otros van
perfeccionando las ideas propuestas por él. La tarea esencial del moderador es, precisamente,
mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace falta, la aportación del que tiende a
callar demasiado e inhibiendo con suavidad la del que tiende a hablar en exceso, animando cuando
el grupo parece quedarse pegado, tratando de abrir nuevas vías cuando todo parece cerrado...
El esquema concreto de trabajo puede tener lugar según estas cuatro fases que pueden servir como
marco muy general, en las que el grupo:
• Se familiariza con el problema.
• Busca de estrategias posibles.
• Selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen más adecuadas.
• Reflexiona sobre el proceso que ha seguido.
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En la bibliografía al final de estas notas se pueden encontrar varios lugares en los que he tratado de
proporcionar una descripción más detallada de esta forma de proceder.
4.7 MODELIZACIÓN Y APLICACIONES EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Existe en la actualidad una fuerte corriente en educación matemática que sostiene con fuerza la
necesidad de que el aprendizaje de esta ciencia no se realice explorando las construcciones
matemáticas en sí mismas, en las diferentes formas en que han cristalizado a lo largo de los siglos,
sino en continuo contacto con las situaciones del mundo real que les dieron, y les siguen dando, su
motivación y vitalidad.
Tal corriente está en plena consonancia con las ideas antes desarrolladas y parece un corolario
natural de ellas. La matemática, como hemos visto, se origina como un intento por explorar, en su
peculiar modo, las diferentes estructuras complejas que se prestan a ello. La creación del
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matemático se realiza espontáneamente en este intento por dominar aspectos matematizables de la
realidad. La educación matemática debiera tener por finalidad principal la inculturación, tratando de
incorporar en ese espíritu matemático a los más jóvenes de nuestra sociedad.
Parece obvio que si nos limitáramos en nuestra educación a una mera presentación de los resultados
que constituyen el edificio puramente teórico que se ha desarrollado en tal intento, dejando a un lado
sus orígenes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicaciones para resolver tales
problemas, estaríamos ocultando una parte muy interesante y substancial de lo que la matemática
verdaderamente es. Aparte de que con ello estaríamos prescindiendo del gran poder motivador
que la modelización y las aplicaciones poseen.
4.8 EL PAPEL DEL JUEGO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha dado lugar a una
buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido. El juego, tal como el
sociólogo J. Huizinga lo analiza en su obra Homo ludens, presenta unas cuantas características
peculiares:
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• Es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por
sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar.
• Tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y
se prepara con ello para la vida. También el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un
sentido de liberación, de evasión, de relajación.
• No está relacionado con la broma: el peor «revientajuegos» es el que no se toma en serio su juego.
• Produce placer a través de su contemplación y de su ejecución, como la obra de arte.
• Se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio.
• Posee ciertos elementos de tensión cuya liberación y catarsis causan gran placer.
• Origina lazos especiales entre quienes lo practican.
• Crea un nuevo orden, una nueva vida llena de ritmo y armonía a través de sus reglas.
Un breve análisis de lo que representa la actividad matemática basta para permitirnos comprobar
que muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es
también juego, si bien este juego implica otros aspectos –científico, instrumental, filosófico–, que
juntos hacen de la actividad matemática uno de los
verdaderos ejes de nuestra cultura. Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos
rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas características en lo que
respecta a su propia práctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los
métodos más adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que
las matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con los procesos
usuales de la actividad matemática.
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Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto número de objetos o piezas,
cuya función en el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se
puede proceder en el establecimiento de una teoría matemática por definición implícita: «Se nos dan
tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo rectas [...].»
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(Hilbert, Grundlagen der Geometrie). Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir
una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras, como el novicio en
matemáticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos con otros. Éstos
son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría matemática. Quien desea avanzar en el
dominio del juego va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias en que
aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Éstos son los hechos y lemas básicos de la teoría
que se hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización con los problemas sencillos del
campo.
Una exploración más profunda de un juego con una larga historia, proporciona el conocimiento de
los caminos de proceder peculiares de quienes han sido los grandes maestros en el campo. Éstas son
las estrategias de un nivel más profundo y complejo, que han requerido una intuición especial puesto
que, a veces, se encuentran bien alejadas de los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en
matemáticas a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los
grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia. Son los procesos de las
mentes más creativas que están ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en las
situaciones más confusas y delicadas. Más tarde, en los juegos más sofisticados, donde la reserva de
problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del
juego que nunca antes han sido exploradas. En matemáticas esto corresponde al enfrentamiento con
los problemas abiertos de la teoría. Finalmente, hay unos pocos que son capaces de crear nuevos
juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivar estrategias y formas
innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas
y problemas, posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemáticas y
para revelar niveles de la realidad más profundos que hasta ahora habían permanecido en la
penumbra. La matemática y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo
de los siglos. Es frecuente en la historia de las matemáticas la aparición de una observación
ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. De la
antigüedad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más
modernos se pueden citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler,
Daniel Bernoulli...
Acerca del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes, se ha expresado muy
certeramente Martin Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúdica,
interesante y profunda de multitud de juegos realizada durante años a través de sus columnas en la
revista norteamericana Scientific American: Con seguridad el mejor camino para despertar a un
estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja, pareado
de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos
tienden a evitar porque parecen frívolas (Carnaval matemático, Prólogo).
El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo
espíritu explorador con el que un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la
sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el
placentero esfuerzo del descubrimiento. ¿Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra
aproximación pedagógica a las matemáticas?
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A mi parecer, el gran beneficio de este acercamiento lúdico radica en su potencia para transmitir al
estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas matemáticos. La
matemática es un grande y sofisticado juego que, al mismo tiempo, resulta ser una obra de arte
intelectual, que proporciona una intensa luz en la exploración del universo y tiene grandes
repercusiones prácticas. En su aprendizaje se pueden utilizar con gran provecho, como hemos visto
anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografías de los matemáticos más interesantes, sus
relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro
camino puede transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego bien
escogido.
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4.9 IMPORTANCIA ACTUAL DE LA MOTIVACIÓN Y PRESENTACIÓN
Nuestros alumnos se encuentran intensamente bombardeados por técnicas comunicacionales muy
poderosas y atrayentes, fuerte competencia con la que nos enfrentamos en la enseñanza cuando
tratamos de captar una parte substancial de su atención. Es necesario que la tengamos en cuenta
constantemente y que nuestro sistema educativo trate de aprovechar a fondo herramientas tales
como el vídeo, la televisión, la radio, el periódico, el cómic, la viñeta, la participación directa...
Pienso que estamos aún muy lejos de saber aprovechar para nuestra enseñanza las posibilidades
abiertas a través de los medios técnicos de los que disponemos actualmente. Una pequeña
sugerencia práctica puede ser una muestra: en nuestro entorno tenemos profesores excelentemente
preparados para servir de ejemplos sobre cómo realizar con eficacia la enseñanza de diversas
materias, que para la mayoría resultan un verdadero rompecabezas –por ejemplo la probabilidad–, o
sobre cómo introducir y motivar adecuadamente temas específicos del cálculo o de la geometría a
diferentes niveles. Estos profesores son a menudo convocados a lugares diferentes para que repitan
las mismas ideas sobre el tema. ¿No sería mucho más efectivo y menos costoso que algún
organismo, desligado del provecho económico, produjera una serie de vídeos con estas experiencias
y las hiciera asequibles a un mayor número de personas? En algunas regiones de nuestro país, los
profesores de los diferentes niveles se han percatado de la importancia que puede tener un cambio
efectivo en la percepción de lo que la matemática es en realidad y que puede realizarse
paulatinamente en la sociedad a través de los medios de comunicación actuales. Las experiencias
son altamente satisfactorias consiguiéndose, en muchos casos a través de interesantes problemas, y
mediante la difusión de parcelas de la historia de la matemática o de sus aplicaciones, que familias y
poblaciones enteras se involucren en actividades que, en principio, tal vez fueron planeadas para los
estudiantes.
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4.10 FOMENTO DEL GUSTO POR LA MATEMÁTICA
La actividad física es un placer para una persona sana. La actividad intelectual también lo es. La
matemática orientada como saber hacer autónomo, bajo una guía adecuada, es un ejercicio
atrayente. De hecho, una gran parte de los niños más jóvenes pueden ser introducidos de forma
agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio razonable de un conocimiento
matemático. Lo que suele suceder es que un poco más adelante nuestro sistema no ha sabido
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mantener este interés y ahoga en abstracciones inmotivadas y a destiempo el desarrollo matemático
del niño. El gusto por el descubrimiento en matemáticas es posible y fuertemente motivador para
superar otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto hay que
pasar. La apreciación de las posibles aplicaciones del pensamiento matemático en las ciencias y en
las tecnologías actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas más orientadas hacia la
práctica. Otros se sentirán más movidos ante la contemplación de los impactos que la matemática ha
ejercido sobre la historia y filosofía del hombre, o ante la biografía de tal o cual matemático famoso.
Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra
sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la
matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy difícil.
5. ALGUNAS TENDENCIAS ACTUALES EN LOS CONTENIDOS
Las mismas tendencias generales apuntadas en la SECCIÓN 3 sugieren de forma natural unas
cuantas reformas en los contenidos de los programas que, con más o menos empuje, y en algunos
casos de forma experimental y tentativa, se van introduciendo.
5.1 ¿UN DESPLAZAMIENTO HACIA LA MATEMÁTICA DISCRETA?
La matemática del siglo XIX y la del XX ha sido predominantemente la matemática del continuo, en
la que el análisis, por su potencia y repercusión en las aplicaciones técnicas, ha jugado un papel
predominante.
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El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa capacidad de cálculo, con su enorme rapidez,
versatilidad, potencia de representación gráfica, posibilidades para la modelización sin pasar por la
formulación matemática de corte clásico..., ha abierto multitud de campos diversos, con origen no ya
en la física, como los desarrollos de siglos anteriores, sino en otras muchas ciencias tales como la
economía, las ciencias de la organización, biología..., cuyos problemas resultaban opacos, en parte
por las enormes masas de información que había que tratar hasta llegar a dar con las intuiciones
matemáticas valiosas que pudieran conducir a procesos de resolución de los difíciles problemas
propuestos en estos campos. Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados en las
ciencias de la computación, en la informática, así como en la modelización de diversos fenómenos
mediante el ordenador, ha dado lugar a un traslado de énfasis en la matemática actual hacia la
matemática discreta. Ciertas porciones de ella son suficientemente elementales como para poder
formar parte con éxito de un programa inicial de matemática. La combinatoria clásica, así como los
aspectos modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la geometría combinatoria, podrían ser
considerados como candidatos adecuados. La teoría elemental de números, que nunca llegó a
desaparecer de los programas en algunos países, podría ser otro.
Se han realizado intentos por introducir en la enseñanza matemática inicial estos elementos y otros
semejantes pertenecientes a la matemática discreta. Sucede que esto parece ser posible sólo a
expensas de otras porciones de la matemática con más raigambre de las que no se ve bien cómo se
puede prescindir. Aunque parece bastante obvio que el sabor de la matemática del futuro será
bastante diferente del actual por razón de la presencia del ordenador, aún no se ve bien claro cómo
esto va a plasmarse en los contenidos de la enseñanza primaria y secundaria.
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5.2 IMPACTOS EN LOS CONTENIDOS DE LOS MÉTODOS MODERNOS DE CÁLCULO
Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras escuelas elementales dedicar una gran
energía y largo tiempo a rutinas tales como la división de un número de seis cifras por otro de
cuatro. O a la extracción a mano de la raíz cuadrada de un número de seis cifras con tres cifras
decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las tablas de
logaritmos con su intrincado laberinto de interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de
bolsillo ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energía y ese tiempo están
mejor empleados en otros menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como algoritmos
inteligentes y profundos, pero como destrezas rutinarias son superfluas. En la actualidad, año 1991,
en nuestra segunda enseñanza así como en los primeros años de nuestra enseñanza universitaria,
dedicamos gran energía y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad
en el cálculo de derivadas, antiderivadas, resolución de sistemas lineales, multiplicación de matrices,
representación gráfica de funciones, cálculo de la desviación típica...
Ya desde hace unos años existen en el mercado calculadoras de bolsillo que son capaces, tan solo
con apretar unas pocas teclas, en unos breves segundos, de hallar la derivada de, de dar su polinomio
de Taylor hasta el término de tercer grado, de representar gráficamente esta función en un cierto
entorno que se pida o bien de hallar el valor de su integral entre 2 y 3 con gran aproximación. La
inversión de una matriz 8x8 le ocupa a la máquina unos pocos segundos, una porción mínima del
tiempo que se tarda en darle los datos. El cálculo de la desviación típica de una gran masa de datos
es una operación inmediata. Las soluciones a una ecuación de séptimo grado, incluidas las raíces
complejas, son proporcionadas por la máquina en un abrir y cerrar de ojos. Siendo así las cosas, es
claro que nuestra enseñanza del cálculo, del álgebra, de la probabilidad y estadística, ha de
transcurrir en el futuro por otros senderos distintos de los que hoy seguimos. Habrá que poner el
acento en la comprensión e interpretación de lo que se está haciendo, pero será superflua la energía
dedicada a adquirir agilidad en las rutinas que la máquina realiza con mucha mayor rapidez y
seguridad.
En la programación de nuestra enseñanza habremos de preguntarnos constantemente dónde vale la
pena que apliquemos nuestro esfuerzo inteligente y cuáles son las rutinas que podemos confiar a
nuestras máquinas. El progreso de la inteligencia humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias
aquellas operaciones que en un principio han representado un verdadero desafío para nuestra mente
y, si es posible, entregar la realización de tales rutinas a nuestras máquinas. Con ello podemos
liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a la resolución de los problemas que todavía son
demasiado profundos para las herramientas de que disponemos. No temamos que tales problemas
vayan escaseando. La experimentación en matemáticas que se hace posible en campos cada vez más
intrincados gracias a la presencia del ordenador y de la calculadora de bolsillo es otro de los retos
para el futuro de nuestra enseñanza. ¿Converge la sucesión? Con la calculadora he escrito la fórmula
que proporciona ax y luego le he pedido que calcule unos cuantos valores significativos. Responde:
a100 = 0,037421803; a1000 = 0,00594325; a10000 = 0,0008217; ...
Este experimento me da confianza para conjeturar que converge a 0, aunque lentamente, y es bien
sabido lo mucho que una conjetura correcta facilita la solución de un problema. Además, la
calculadora me proporciona la gráfica de la función, que viene a reforzar nuestra conjetura.
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Por otra parte, la capacidad para el cálculo infinitesimal, el algebra, la estadística, la representación
gráfica, la modelización, etc., de esta calculadora que realiza cálculo simbólico además del
numérico, y por supuesto mucho más la de los ordenadores actuales, potencian claramente las
posibilidades de la matemática elemental para las aplicaciones realistas que hasta ahora estaban
vedadas en nuestros cursos por el exceso de tedioso cálculo simbólico y numérico que habría
que efectuar a mano.
5.3 HACIA UNA RECUPERACIÓN DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
Y DE LA INTUICIÓN ESPACIAL
Como reacción a un abandono injustificado de la geometría intuitiva en nuestros programas, del que
fue culpable la corriente hacia la «matemática moderna», hoy se considera una necesidad ineludible,
desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, recuperar el contenido espacial e intuitivo
en toda la matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la geometría. Es evidente que desde hace
unos veinte años el pensamiento geométrico viene pasando por una profunda depresión en nuestra
enseñanza matemática inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del pensamiento geométrico no me
refiero a la enseñanza de la geometría más o menos fundamentada en Los elementos de Euclides,
sino a algo mucho más básico y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática
que provienen de, y tratan de, estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el
espacio físico en que vive, la figura, la forma física.
Esta situación, que se hace patente sin más que ojear nuestros libros de texto y los programas de
nuestra educación primaria y secundaria, no es exclusiva de nuestro entorno. En realidad es un
fenómeno universal que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolución misma de la
matemática desde comienzos de siglo, más o menos. La crisis de los fundamentos de principio de
siglo empujó al matemático hacia el formalismo, hacia el énfasis sobre el rigor, a una cierta huida de
la intuición en la construcción de su ciencia. Lo que fue bueno para la fundamentación fue
considerado por muchos bueno también para la transmisión de conocimientos. Las consecuencias
para la enseñanza de las matemáticas en general fueron malas, pero especialmente nefastas
resultaron para el pensamiento geométrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal vez juntamente
con una mala interpretación de los análisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura evolutiva
del conocimiento del niño, se basa el énfasis sobre la teoría de conjuntos y la búsqueda de rigor. La
geometría, a nivel elemental es difícil de formalizar adecuadamente y así, en este intento, se nos fue
por el mismo agujero el pensamiento geométrico, la intuición espacial y la fuente más importante
que por muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas y resultados interesantes
abordables con un número pequeño de herramientas fácilmente asimilables.
El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la geometría elemental, del tipo de geometría al
que tradicionalmente se dedicaba la enseñanza inicial de la matemática, que vivía a la sombra de
creaciones muy interesantes y muy de moda de la matemática superior tales como la geometría
descriptiva, geometría proyectiva, geometría sintética, geometrías no euclidianas... El mismo sentido
geométrico que estimuló los desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo también hoy en
campos tales como la teoría de grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria, algunos
capítulos de la teoría de optimización, de la topología... Como rasgos comunes a todos estos
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desarrollos se pueden señalar: una fuerte relación con la intuición espacial, una cierta componente
lúdica y tal vez un rechazo tácito de desarrollos analíticos excesivos.
De estas materias, cuya profundidad se va manifestando cada vez más claramente, no se ha hecho
eco en absoluto la enseñanza elemental. Solamente son tenidas en cuenta a nivel superior y a nivel
de matemática recreativa. Pero esta matemática recreativa, en nuestro país, no ha encontrado aún el
camino hacia la escuela. Paradójicamente, no permitimos jugar a quien más le gusta y a quien más
se beneficiaría con el juego matemático. La necesidad de una vuelta del espíritu geométrico a la
enseñanza matemática es algo en lo que ya todo el mundo parece estar de acuerdo. Sin embargo, aún
no es muy claro cómo se debe llevar a cabo. Es necesario evitar llegar a los extremos en que se
incurrió, por ejemplo, con la geometría del triángulo, tan en boga a finales del siglo XIX. También
hay que evitar una introducción rigurosamente sostenida de una geometría axiomática. Posiblemente
una orientación sana podría consistir en el establecimiento de una base de operaciones a través de
unos cuantos principios intuitivamente obvios sobre los que se podrían levantar desarrollos locales
interesantes de la geometría métrica clásica, elegidos por su belleza y profundidad. Las obras
elementales de Coxeter pueden ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.
5.4 AUGE DEL PENSAMIENTO ALEATORIO. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
La probabilidad y la estadística son componentes muy importantes en nuestra cultura y en muchas
de nuestras ciencias específicas. Deberían constituir una parte importante del bagaje cultural básico
del ciudadano de nuestra sociedad. Es este un punto en el que todos los sistemas educativos parecen
concordar. Y efectivamente son muchos los países que incluyen en sus programas de enseñanza
secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se lleva a cabo con la eficacia deseada. Este
fenómeno, a mi parecer, se debe por una parte a la dificultad misma de las materias en cuestión y,
por otra, a una cierta carencia de preparación adecuada de los profesores para esta tarea. Tal vez nos
falten buenos modelos de enseñanza de ellas.
6. DESIDERATA
A continuación quisiera presentar muy someramente unas pocas sugerencias sobre algunos
proyectos a los que nuestra comunidad matemática podría y debería prestar una particular atención.
6.1 ATENCIÓN A LA FORMACIÓN INICIAL Y PERMANENTE DE LOS
PROFESORES DE MATEMÁTICAS
En 1908, Felix Klein escribía en la introducción de sus lecciones sobre Matemática elemental desde
un punto de vista superior: Durante mucho tiempo la gente de la universidad se preocupaba
exclusivamente de sus ciencias, sin conceder atención alguna a las necesidades de las escuelas, sin
cuidarse en absoluto de establecer conexión alguna con la matemática de la escuela. ¿Cuál era el
resultado de esta práctica? El joven estudiante de la universidad se encontraba a sí mismo, al
principio, enfrentado con problemas que no le recordaban en absoluto las cosas que le habían
ocupado en la escuela. Naturalmente olvidaba estas cosas rápida y totalmente. Cuando, después de
acabar su carrera se convertía en profesor de enseñanza media se encontraba de repente en una
situación en la que se suponía que debía enseñar las matemáticas elementales tradicionales en el
viejo modo pedante; y puesto que, sin ayuda, apenas era capaz de percibir conexión alguna entre su
tarea y sus matemáticas universitarias, pronto recurría a la forma de enseñanza garantizada por el
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tiempo y sus estudios universitarios quedaban solamente como una memoria más o menos
placentera que no tenía influencia alguna sobre su enseñanza. Ha pasado cerca de un siglo y, al
menos en lo que respecta la formación inicial que nuestros licenciados reciben no creo que se pueda
decir que en nuestro entorno la situación difiere mucho de estas circunstancias indeseables que
Klein describe. Lo que la sociedad tiene derecho a esperar de la universidad en lo que respecta a la
formación inicial de aquellas personas a las que le va a confiar la educación matemática de los más
jóvenes se podría concretar en:
• Una componente científica adecuada para su tarea específica.
• Un conocimiento práctico de los medios adecuados de transmisión de las actitudes y saberes que la
actividad matemática comporta.
• Un conocimiento integrado de las repercusiones culturales del propio saber específico. Cualquiera
que estudie atentamente los programas de estudio de la mayor parte de nuestras universidades podrá
apreciar sus importantes carencias en los aspectos que podrían conducir a esta formación adecuada
de nuestros enseñantes.
A mi parecer, ni los cursos complementarios añadidos al final de los estudios de licenciatura con el
objeto de proporcionar una formación pedagógica razonable, ni los cursillos de formación
permanente pueden sustituir razonablemente la formación intensa que se debería realmente
estimular durante los años de permanencia en la universidad, años en los que el alumno está mucho
más abierto para recibirla. Pienso que son raras entre nosotros las universidades que no descuidan
abiertamente esta seria obligación con respecto a la sociedad y que urge poner manos a la obra a fin
de remediar esta situación rápidamente.
6.2 ATENCIÓN A LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Como hemos tenido ocasión de ver, la educación matemática es una actividad interdisciplinar
extraordinariamente compleja, que ha de abarcar saberes relativos a las ciencias matemáticas y a
otras ciencias básicas que hacen uso de ella, a la psicología, a las ciencias de la educación... Sólo en
tiempos muy recientes se ha ido consolidando como un campo, con tareas de investigaciones
propias, difíciles y de repercusiones profundas en su vertiente práctica. Se puede afirmar que en el
sistema universitario un tanto inerte de nuestro país, la educación matemática aún no ha llegado a
encontrar una situación adecuada por muy diversos motivos, a pesar de que ya van formándose
grupos de trabajo en los que se producen resultados importantes. A mi parecer es muy necesario, por
lo que a la sociedad le va en ello, que se formen en nuestras universidades buenos equipos de
investigación en educación matemática que ayuden a resolver los muchos problemas que se
presentan en el camino para una enseñanza matemática más eficaz.
6.3 ATENCIÓN A LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE LA SOCIEDAD.
POPULARIZACIÓN DE LA MATEMÁTICA
La sociedad se encuentra, por tradición de siglos, con una cultura fuertemente escorada hacia sus
componentes humanísticas. Cultura parece ser sinónimo de literatura, pintura, música... Muchas de
nuestras personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesar abiertamente su profunda
ignorancia respecto de los elementos más básicos de la matemática y de la ciencia y hasta parecen
jactarse de ello sin pesar ninguno. Las páginas de la mayor parte de nuestros periódicos aún no se
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han percatado de que las ciencias, y en particular las matemáticas, constituyen ya en nuestros días
uno de los pilares básicos de la cultura humana. Es más, parece claro que, como afirma Whitehead,
«si la civilización continúa avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el
pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática». Sería muy deseable que todos
los miembros de la comunidad matemática y científica nos esforzáramos muy intensamente por
hacer patente ante la sociedad la presencia influyente de la matemática y de la ciencia en la cultura.
Una sociedad con el conocimiento cabal de lo que la ciencia representa para su desarrollo se hará
colectivamente más sensible ante los problemas que la educación de los más jóvenes en este sentido
representa. En la comunidad matemática internacional se viene prestando recientemente una gran
atención a los medios convenientes para lograr abrir los ojos de amplios sectores de la sociedad
hacia los beneficios de todos los órdenes que puede reportar una cultura que integre, del modo
debido, ciencia y matemática.
6.4 ATENCIÓN AL TALENTO PRECOZ EN MATEMÁTICAS
Es seguro que en nuestras comunidades escolares existe un cierto número de estudiantes con una
dotación intelectual para las matemáticas verdaderamente excepcional. Son talentos que pasarían a
veces más o menos inadvertidos y más bien desatendidos por la imposibilidad de que los profesores
dediquen la atención personal que se necesitaría. Son personas que, en un principio ilusionadas con
la escuela, pasan a un estado de aburrimiento, frustración y desinterés que les conducirá
probablemente al adocenamiento y a la apatía, tras un período escolar de posible gran sufrimiento.
Por otra parte, son talentos que, si no se malograran, podrían rendir frutos excepcionales para el bien
común de nuestra sociedad, mediante su aporte extraordinario al desarrollo cultural, científico y
tecnológico del país. Constituye una gran responsabilidad social la indudable pérdida de talento que
causa su desatención. En la actualidad ningún organismo, ni público ni privado, presta atención
continuada a la tarea de detectar, estimular y orientar el talento extraordinario y precoz en
matemáticas, así como tampoco en ninguna otra de las ciencias. Existe, y con mucha justificación,
una atención, apoyo y cuidado especiales con respecto a la enseñanza del infra dotado, pero pienso
que apenas se ha prestado atención alguna a los problemas propios de los talentos precoces en los
países. Se puede pensar con cierto fundamento que el talento precoz en matemáticas es más fácil de
detectar y estimular que en otras ciencias. De hecho, existen desde hace mucho tiempo proyectos
realizados con éxito en un buen número de países. Hay diversos caminos para encauzar el problema
y entre ellos los hay que no son de un coste excesivo, especialmente si se tiene en cuenta el
rendimiento a largo plazo de una actuación bien llevada.
Es posible, a juzgar por el efecto que en países de nuestro ámbito cultural iberoamericano ha tenido
la emergencia de unas pocas personalidades de extraordinario talento en el desarrollo matemático
del país, que una acción sostenida de detección y estímulo del talento matemático precoz podría
colocar nuestro país en tiempo razonable a una altura matemática y científica mucho más elevada.
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MÓDULO : TALLER DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 5 : ENFOQUE HEURÍSTICO Y CONSTRUCTIVISTA
1. Introducción
Según el Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA), puesto en marcha por la
OCDE desde 1997, la competencia matemática es una capacidad del individuo para identificar y
entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar
y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de
los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos.
En nuestro mundo actual, cada vez son más frecuentes las situaciones en las que los ciudadanos nos
vemos enfrentados a una multiplicidad de tareas que entrañan conceptos matemáticos de carácter
cuantitativo, espacial, probabilístico o de algún otro tipo. La información en forma de tablas,
diagramas o gráficos, donde se tratan temas como el clima, la economía, la medicina o los deportes
aparece habitualmente en los distintos medios de comunicación (periódicos, revistas, televisión e
Internet).
Por tanto, en la enseñanza de las matemáticas resulta necesario tomar el mundo real como referente
a la hora de plantear problemas y cuestiones, de modo que los resultados obtenidos puedan asociarse
a una mejor comprensión de nuestro entorno. Un enfoque constructivista puede ayudar en esta tarea,
en el sentido en que sea necesario plantear una ecuación o aplicar una destreza de resolución de
problemas ante una cuestión general, en vez de buscar una situación real que se pueda adaptar a un
procedimiento matemático que se está enseñando.
2. Motivación
Según los resultados del anteriormente mencionado informe sobre competencias matemáticas de los
alumnos de secundaria, en las últimas ediciones los alumnos españoles aparecen en puestos
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sensiblemente por debajo de la media, lo cual parece deberse principalmente, no a sus destrezas en
el cálculo, sino a serias dificultades en la fase de planteamiento del problema, es decir, que se
percibe una falta de asociación entre la tradicional enseñanza de las matemáticas y los distintos
aspectos de nuestra vida en los que esta disciplina está presente.
Resulta necesario, entonces, tomar como referencia diversos elementos de nuestro entorno físico: las
dependencias del centro de enseñanza, medios de transporte, lugares de ocio, etc. Conviene tener
presente la cantidad de información que recibimos sobre distintos temas de actualidad como las
variaciones de algunos parámetros e indicadores económicos y sociales, algunos sencillos como el
aumento o disminución del paro, del precio de la vivienda o las oscilaciones bursátiles y otros más
complejos desde el punto de vista matemático como la disminución del ritmo de encarecimiento de
la vivienda o la ralentización del crecimiento del producto interior bruto Por último, sin ser por ello
menos importante, los ciudadanos se ven en la necesidad de leer formularios, interpretar horarios de
trenes y autobuses, llevar a cabo transacciones monetarias de forma satisfactoria, decidir cuál es la
mejor compra en el mercado, etc.
En este artículo se muestran algunos ejemplos que sirven de orientación para trasladar la clase de
matemáticas de secundaria fuera del aula, es decir, al mundo real, con el objetivo de que se puedan
aplicar conceptos y procedimientos matemáticos para solucionar problemas cotidianos.
Al mismo tiempo la salida fuera del espacio físico habitual del aula supone, en la mayoría de los
casos, un aliciente y un estímulo a los alumnos en su proceso de aprendizaje y constituye un
elemento de motivación que los induce a una participación más activa en las distintas actividades
que se planteen.
3. Actividades
En este apartado se relacionan una serie de ejemplos que pueden ser aplicados fuera del aula, en
situaciones muy diversas. Algunos de ellos se pueden realizar dentro del horario normal de clase y
para otros se necesita algo más tiempo, de modo que se plantee como una actividad complementaria
o extraescolar.
De todos modos, estos ejercicios se pueden integrar en las planificaciones de otras actividades más
amplias o compaginar en tiempo y espacio con salidas extraescolares propuestas con otras áreas,
tales como visitas a museos o espacios de interés medioambiental o tecnológico, viajes de estudios,
etc. Esto confiere, sin duda, un carácter más
interdisciplinar a estas actividades, dotándolas
de un valor añadido desde el punto de vista
pedagógico y didáctico.
3.1. Medida de altura de objetos.
Una cuestión que se suele plantear en
situaciones cotidianas cuando uno está
simplemente dando un paseo puede ser ¿cuál
será la altura de este árbol?, o ¿del campanario
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de la iglesia?, pues bien, es también una buena cuestión a plantear a nuestros alumnos.
Aunque el concepto aritmético de regla de tres o el concepto geométrico desemejanza de triángulos
son bastante universales, su nomenclatura como tal ha variado a lo largo de la historia más reciente
de didáctica de las matemáticas, prescindiendo de ella en algunas ocasiones.
Dejando de lado este tipo de consideraciones, podemos determinar la altura de objetos cotidianos
que resultan difíciles de medir directamente. De este modo, utilizando la sombra que proporciona
cualquier objeto vertical un día soleado podemos medir su altura utilizando la semejanza entre el
triángulo que forma el objeto y su sombra y el que forma también con su sombra un objeto vertical
de altura conocida.
En este caso planteamos la ecuación: 𝑏
𝑎=𝑥
𝑐
que resolveremos utilizando lo las destrezas usuales.
3.2. Matemáticas en el centro comercial.
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En algunas actividades extraescolares se opta por realizar una visita a un centro comercial, dejando a
nuestros alumnos un tiempo suficiente para la comida y para realizar un breve recorrido por las
distintas dependencias del lugar.
3.2.1. Estadística de sectores comerciales
Podemos aprovechar esta ocasión para realizar una actividad matemática consistente en clasificar
los distintos locales comerciales por categorías (alimentación, textil, calzado, cafeterías, etc.), para
ello se puede hacer un recorrido por toda la superficie del centro o bien utilizar un plano o una
relación de establecimientos que suele haber en alguno de los puntos de entrada.
A partir de los datos obtenidos podemos realizar los siguientes ejercicios:
Calcular el porcentaje del número de cada tipo de establecimientos sobre el total.
Representar en un gráfico circular el número o porcentaje de establecimientos de cada categoría.
Calcular el número de personas que entran en los distintos espacios en un tiempo determinado.
3.2.2. Estudio sobre superficies comerciales
A partir de un plano que se puede encontrar sobre un panel informativo o sobre un folleto que nos
pueden facilitar en alguna oficina del centro se puede calcular la escala utilizada. Para ello debemos
medir alguno de los espacios reales que aparecen representados en el plano; estas medidas podemos
realizarlas en algún espacio común (pasillo, entrada,…) o en el interior de un establecimiento,
procurando no interferir en la propia actividad comercial del centro. Una alternativa más operativa
que utilizar una cinta métrica para realizar la medición completa consiste en medir únicamente una
baldosa del suelo y contar el número de baldosas.
Una vez obtenida la escala, se puede realizar una gráfica de barras o circular representando el
espacio ocupado por cada categoría de establecimientos. Finalmente, nuestros alumnos pueden
redactar un breve informe acerca de la distribución del espacio comercial, teniendo en cuenta tanto
el número de establecimientos como el espacio total ocupado por ellos y así obtener unas
conclusiones sobre los espacios con más oferta o demanda comercial.
3.3. Matemáticas pedaleando.
Las bicicletas y los niños o adolescentes aparecen frecuentemente
asociados cuando el tiempo es apacible; además, en los últimos
años estos medios de locomoción o instrumentos de ocio se han
ido especializando para diferentes situaciones: tenemos bicicletas
infantiles, de montaña, de carretera, de paseo, etc.
Un paseo en bici puede servirnos para realizar una serie de
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ejercicios matemáticos, derivados del funcionamiento de los distintos elementos mecánicos de la
bicicleta.
3.3.1. Cálculo del número 𝝅 Un ejercicio muy simple consiste el medir el diámetro de la rueda, desde el suelo hasta el punto más
alto, pasando por el eje.
A continuación medimos la distancia recorrida con una vuelta completa de la rueda, para ello
podemos colocar la rueda de modo que la válvula de aire ocupe la posición más baja, seguidamente
desplazamos la bicicleta hasta que la rueda quede de nuevo en la misma posición, hacemos una línea
en el suelo en cada caso y anotamos la distancia.
Si dividimos esta distancia entre el diámetro obtendremos un número ligeramente superior a 3. Si
consideramos este número en varias medidas llegaremos fácilmente al número 𝜋, de un modo muy
similar a como lo hicieron los antiguos griegos.
3.3.2. Relaciones de transmisión de engranajes
Podemos comparar que, en bicicletas diferentes o con
diferentes combinaciones de velocidad, el recorrido es
diferente con una vuelta completa de los pedales, y esta
comparación podemos realizarla de modo cualitativo y también
cuantitativo.
Centrándonos en las distintas combinaciones de engranajes
podemos calcular el número de dientes de cada catalina sin
necesidad de contarlos, para ello debemos tener en cuenta la
relación de transmisión en un mecanismo de cadena de
rodillos:
n1 ·z1 n2 ·z2
siendo:
n1 el número de vueltas de los pedales
z1 el número de dientes de la catalina
n2 el número de vueltas de la rueda trasera
z2 el número de dientes del piñón que se encuentra engranado con la catalina correspondiente.
Así, tomando siempre una referencia precisa, podemos calcular el número de vueltas que da la rueda
con 10 vueltas de los pedales.
El principal problema estriba en que raramente obtendremos un número de vueltas completas de la
rueda y que tendremos un error en la apreciación de la fracción de la última vuelta. Podemos
disminuir la propagación de este error si tomamos un número mayor de vueltas de los pedales, al
dividirse por un mayor número.
3.4. Medición de superficies planas.
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La medición de parcelas o fincas fue una de las primeras aplicaciones de las matemáticas desde las
primeras civilizaciones.
Se trata de un tipo de cuestiones que, a menudo, resultan relativamente fáciles de calcular sobre un
plano, pero que se complican más de lo esperado cuando se debe realizar directamente sobre el
terreno.
Resulta fundamental contar con un conjunto de estaquillas, una cinta métrica de 25 m o de 50 m y
un rollo de cordel.
3.4.1. Parcelas con cuatro lados
Si la parcela a medir tiene una forma cuadrada o
rectangular el cálculo es sencillo, pero esto no lo
conocemos a priori, por lo que tendremos que
determinar previamente si se trata de uno de estos
dos polígonos.
Esta operación es bastante simple, basta con
comprobar si las dos diagonales miden lo mismo
y, además, los lados son iguales dos a dos. En
caso afirmativo, la medida de la superficie es
sencilla. Sin embargo, en la mayor parte de los
casos, las parcelas no son rectangulares, ni
siquiera rombos, trapecios, etc. Por tanto
deberemos proceder a dividirla en dos triángulos.
A continuación calcularemos el área total como la suma de la de cada uno de los triángulos por
separado. Para calcular el área de un triángulo aplicaremos la conocida ecuación:
𝑠 =𝑏. ℎ
2
Es en este momento donde surgen los primeros problemas importantes a la hora de abordar esta
cuestión: saber cuál es la base y cual la altura. En primer lugar podemos considerar la base
como el lado mayor del triángulo
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y la altura se puede determinar
mediante dos procedimientos:
1. Trazando una línea
perpendicular a la base que pase
por el vértice opuesto, tal como se detalla
gráficamente en la figura, lo cual en la práctica se convierte una labor muy complicada y dificultosa.
2. Buscando la menor distancia desde el vértice opuesto hasta la base, que se puede llevar a cabo
mediante un cordel, atando un extremo en una estaquilla en dicho vértice y moviendo el otro por la
línea de la base hasta encontrar la menor longitud.
Otra alternativa que puede resultar más operativa consiste en hacer un plano a escala de la finca en
cuestión y determinar estos parámetros gráficamente con la ayuda de instrumentos básicos de
dibujo.
3.4.2. Parcelas poligonales de más de 4 lados.
La cuestión se complica a medida que lo hace la forma de la parcela, si esta consta de más de 4
lados, debemos aplicar el procedimiento de triangulación descrito en el apartado anterior, con la
salvedad de que en vez de 2 triángulos tendremos un número superior, con lo que tendremos más
trabajo cuantos más lados haya, aunque el grado de dificultad no es mayor, tal como se ilustra en las
figuras siguientes:
Es importante tener en cuenta que para poder representar el plano de estas parcelas debemos realizar
un número de medidas de distancia igual al número de lados de los triángulos representados, para no
cometer errores en los distintos ángulos, es decir, en la primera figura deberemos tomar 7 medidas y
en la segunda deberemos realizar 11 mediciones. Del mismo modo, en el caso de la finca de 4 lados
con forma irregular se deberán realizar 5 medidas.
3.4.3. Parcelas no poligonales
Si la finca tiene lados curvos, la mejor opción consiste en hacer una línea poligonal que se aproxime
a la curva y, a continuación, proceder como en el caso anterior.
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3.5. Trigonometría
Los alumnos deben construir un instrumento simple de medida a fin de determinar la altura y
distancias de objetos de gran tamaño en el exterior utilizando los conceptos trigonométricos básicos:
seno, coseno y tangente.
3.5.1. Construcción del goniómetro
Comenzaremos diseñando el instrumento de medida, que consiste básicamente en un semicírculo
graduado en tramos de 5 º que se dibujará en una cartulina. Es importante la precisión en el trazado
de las marcas de medida, a fin de conseguir una precisión aceptable en las medidas que luego se
realizarán.
En el diámetro del semicírculo irá colocado o pegado un pequeño tubo (puede servir una pajita de
sorber). En el centro del círculo se debe fijar un hilo en cuyo extremo opuesto se colocará una anilla
metálica u otro objeto relativamente pesado, de forma que, al colocarlo verticalmente, sobrepase el
borde del semicírculo y el peso de la anilla mantenga el hilo perfectamente estirado y sin curvaturas.
La figura siguiente ilustra más claramente la apariencia del instrumento y la configuración de la
escala numérica.
3.5.2. Realización de medidas en el exterior.
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Se trata de un instrumento de gran funcionalidad para determinar alturas relativas entre dos puntos
utilizando los parámetros trigonométricos básicos.
Podemos determinar la diferencia de altura entre dos puntos con la ayuda de una cinta métrica del
siguiente modo: una pareja de alumnos se colocará en dos puntos con diferente altura, cada uno
dispondrá de una vara de igual altura que colocará verticalmente a su lado. El alumno que dispone
del goniómetro lo colocará en la parte superior de la vara y mirará a través del tubito hacia el
extremo superior de la otra vara, al tiempo que el hilo tensado permitirá medir el ángulo.
Con ayuda de una cinta métrica se medirá la distancia entre ambos puntos, con lo cual podemos
trazar un triángulo rectángulo imaginario, enterrado y colocado verticalmente, del cual conocemos
la hipotenusa (la línea que une a los dos alumnos) y uno de los ángulos, pudiendo determinar
fácilmente el cateto vertical, que representa la diferencia de altura entre los dos puntos.
En el ejemplo de la figura podemos determinar, teniendo en cuenta la semejanza de triángulos, que
el ángulo que forma la hipotenusa con el cateto horizontal es de 15 º, y si la distancia entre los dos
alumnos es de 50 metros:
h d·sen50 m·sen15 12.9 m
Podemos extrapolar este procedimiento a la determinación de alturas de árboles, edificios, etc. En
este caso, si el terreno no es llano deberemos medir en primer lugar la diferencia de alturas entre el
punto de referencia y la base del árbol para, posteriormente, determinar la altura total del árbol.
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En el ejemplo de la figura se puede apreciar que el ángulo medido es de 30º y la distancia del
observador al árbol es de 80 m, con lo cual resulta fácil determinar que la altura del árbol es de:
h 80m · tan 30º 46.2 m
Obviamente resulta necesario añadir la altura del ojo del observador, si no se opta por la posibilidad
de medir el ángulo en posición tumbada en vez de hacerlo de pie. También se deben tener en cuenta
las posibles diferencias de altura entre la base del árbol y la posición del observador.
3.6. Ríos, fuentes y cursos de agua.
Cuando nos encontramos un curso de agua, podemos realizar
algunas mediciones para determinar algunos de los parámetros
básicos como la velocidad de la corriente, el caudal, etc.
La determinación de la velocidad se puede realizar midiendo el
tiempo que un objeto flotante tarda en recorrer una distancia
conocida entre dos puntos de referencia.
El caudal es la cantidad de agua por unidad de tiempo que fluye por el cauce y se puede expresar en
términos de l/s, m3/min, etc. Para su cálculo debemos conocer la velocidad de la corriente y la
sección de la corriente, aplicando a continuación la fórmula:
caudal S·v
Siendo S la sección y v la velocidad. El cálculo de la
velocidad se realiza como explicamos anteriormente y
para determinar la secciones más aconsejable elegir un
canal o acequia artificial con forma de rectángulo o
trapecio.
En el caso de una fuente el caudal se puede determinar
midiendo la cantidad de tiempo que tarda en llenarse un
recipiente de capacidad conocida.
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MÓDULO : TALLER DE MATEMÁTICA
UNIDAD 1 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 6 : ACTIVIDADES Y PRÁCTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
ORIENTACIONES GENERALES PARA EL PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
Hoy en día, la relevancia de la Matemática está en que es concebida como un “forma de pensar necesaria
para vivir e interactuar en el mundo que nos rodea”, razón que se justifica por estar inserta en nuestra
cotidianeidad, involucrando la dimensión física, social y económica. Exige personas íntegras, es decir, con
conocimientos conceptuales, técnicos y con un equilibrio emocional, con actitudes y valores positivos, con
un compromiso social, que sepan trabajar en equipo, que manejen eficientemente las tecnologías, con
capacidad de autoaprendizaje, de resolver problemas, de tomar decisiones y con respeto por las ideas de
los demás, entre otras.
Todo lo anterior ha generado que los estudiosos de los procesos sobre la enseñanza pedagógica hayan
reforzado sus estudios y generado otros nuevos, es así como surgió en nuestra actualidad el enfoque
constructivista pedagógico, que ve el educar del individuo como sinónimo de desarrollarlo y humanizarlo
(Flores, 1994) y se basa en los siguientes principios:
El punto de apoyo de la estructura conceptual de cada estudiante son las ideas previas que el estudiante tiene respecto al contenido de la clase.
El cambio conceptual surge como resultado de la construcción activa del nuevo concepto.
Confronta los conceptos e ideas previas con los conceptos nuevos que se busca que aprendan.
Aplica el nuevo concepto a situaciones concretas y reales con la finalidad de facilitar la transferencia.
Además, posee ocho conceptos básicos que determinan la naturaleza del aprendizaje, los cuales deben
considerarse a la hora de elaborar las actividades de enseñanza-aprendizaje. Estas son:
1. El aprendizaje es un proceso activo, requiere la habilidad para efectuar complicadas tareas cognitivas en donde interviene el uso y aplicación de conocimientos que permitan resolver problemas de significado.
2. El aprendizaje es más enriquecedor cuando requiere de la modificación de estructuras conceptuales a partir de concepciones previas.
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3. El aprendizaje es subjetivo, por lo que el estudiante aprende mejor si puede internalizar lo aprendido mediante gráficos, símbolos, imágenes, etc. El aprendizaje ha de ser contextualizado. Es importante utilizar ejemplos, o problemáticas relacionadas con el mundo real.
4. El aprendizaje posee carácter social. Es más fácil aprender en la interacción con otros, aportando e intercambiando idead y solucionando problemas de forma colectiva.
5. El aprendizaje posee también carácter afectivo. La opinión sobre uno mismo y las habilidades que se tienen, las expectativas personales, la disposición mental y la motivación para aprender son elementos que influyen fuertemente en el grado de aprendizaje.
6. La naturaleza del trabajo a realizar es de gran relevancia ya que el estudiante percibe el reto, la novedad y la autenticidad de lo aprendido con relación a la conexión que éste guarda con el mundo real.
7. El crecimiento intelectual, psicológico, emocional y social del estudiante impactan directamente en lo que puede ser aprendido y la profundidad de la comprensión de lo que se aprende.
8. El mejor aprendizaje es aquel que se refleja en la transformación de conocimientos en un estudiante a lo largo de todo el proceso de enseñanza- aprendizaje.
Este enfoque exige una concepción diferente del docente así como una práctica diferente en el aula.
Entiende el proceso de enseñanza aprendizaje como un proceso horizontal, que promueve un aprendizaje
colaborativo ente el docente y sus estudiantes, en contextos significativos que le dan sentido al quehacer
cotidiano, basado en sus conocimientos previos o preconceptos, los cuales están relacionados con sus
realidades sociales, culturales, políticas, económicas; con un clima de aprendizaje armonioso, donde todos
los participantes aportan y enriquecen el intercambio de idead, según sus posibilidades y sus propias
competencias, sin miedo a equivocarse.
Ahora, el rol del educador está concebido como mediador y facilitador del proceso de enseñanza-
aprendizaje, consciente de la responsabilidad social que tiene cuando ejerce su profesión. Su misión es
proporcionar un bagaje amplio y diverso de situaciones que no se centren sólo en el conocimiento
matemático, sino que integre las diferentes disciplinas del saber, para darle sentido y utilidad a lo que
aprende. Debe crear un clima de respeto y confianza al interior del aula.
En otras palabras, para desarrollar en sus estudiantes un pensamiento matemático, una capacidad de
aprender en forma gradual más conceptos matemáticos, una actitud positiva hacia el aprendizaje del
subsector y una gama de herramientas útiles para desenvolverse en su vida diaria.
Se concibe al estudiante como un ser único e individual, con un estilo y ritmo propios, gran productor de
ideas, capaz de pensar y hacer, competente e inteligente, protagonista de su propio aprendizaje, el cual
logra cuando modifica su estructura mental, alcanzando altos niveles de complejidad, de diversidad y de
integración. Para esto, el estudiante debe asumir un rol activo, esto significa que debe estar
constantemente cuestionándose, preguntando, analizando, seleccionando información, organizándola
coherentemente e integrándola a la que ya posee, buscando diversos recursos tanto internos como
externos.
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Implica crear actividades variadas, desde una situación simple a una más compleja, que estimulen la
reflexión frente a las acciones realizadas, que muestren diferentes puntos de vista; aplicables a las
situaciones diversas que se ven enfrentados en cotidianidad para traspasar la barrera de la sala de clases;
deben estar relacionadas a sus intereses para motivarlos, basadas en sus experiencias, para hacer la
adquisición de los conocimientos más significativa y eficaz, pues serán el cimiento de la construcción de los
nuevos conocimientos.
La mediación del docente debe proporcionar orientación, diálogo y confianza para estimular una disposición
positiva hacia el aprendizaje de la Matemática. Se debe estar preparado para salirse de “lo planificado” si se
requiere y encauzar pedagógicamente las dudas y sugerencias que surjan por parte de los estudiantes, pues
estos son un apoyo más en la construcción de criterios y constituyen un estímulo para validad sus propias
opiniones y juicios. Constantemente se deben reforzar las actitudes y valores de los estudiantes, de manera
directa y honesta, ya que estudios han demostrado que los niños que tienen una alta autoestima tienden a
ser alegres y a mostrar una actitud positiva y disposición al aprendizaje, mientras que quienes tienen una
autoestima baja tienden a ser depresivos, estado de ánimo que reduce los niveles de energía, afectando los
resultados de un niño en la escuela y en cualquier otro sitio. (Papalia, 2001:550). Es por eso que el
vocabulario que se utiliza en las clases, los gestos y actitud que el docente se enfrenta a cada niño es de
vital importancia y requiere mucho cuidado, porque “el mayor contribuyente a la autoestima parece ser la
cantidad de apoyo social que el niño siente; primero de padres y compañeros, luego de sus amigos y
profesores” (Papalia 2001:552)
I. Importancia de la resolución de problemas En este enfoque, la resolución de problemas es el hilo conductor del aprendizaje, el cual es el eje que
relaciona los otros tres ejes temáticos del subsector de Educación Matemática. Las razones que avalan que
sea concebido como un eje transversal son que resolver problemas permite desarrollar el pensamiento, ya
que estimula la activación y consolidación de variadas habilidades cognitivas, también potencia la utilización
de variadas estrategias y es una excelente estrategia para la interacción y el intercambio de procedimientos
y opiniones, que refuerzan los conceptos correctos, desarrollando el pensamiento metacognitivo.
La metacognición es el proceso de cognición que tiene como objeto la propia cognición, implica adaptar o
modificar las actividades cognitivas de acuerdo con la tarea que se realiza y le permite al niño o niña guiar
su propio proceso de aprendizaje, darse cuenta de sus procesos para luego, aplicar lo que ha aprendido a
distintas situaciones.
“Desde muy temprana edad los niños y niñas se ven enfrentados a elegir, tomar decisiones y resolver
problemas matemáticos de la vida diaria, es por esto que el profesor debe aprovechar estas experiencias
para formalizar y relacionarlas con los contenidos del subsector. Para esto, se sugiere que el docente, a
través de experiencias de aprendizaje situadas en contextos del mundo real, incentive a sus estudiantes a
buscar una solución, aplicar distintas estrategias, a revisar la validez de sus respuestas, entre otros, ya que
los verdaderos problemas matemáticos no se restringen a la mera aplicación de lo aprendido”.
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Estudios han demostrado que muchas veces un problema puede ser el mejor estímulo para la elaboración
de un concepto, la indagación de un procedimiento, el descubrimiento de relaciones interesantes, es por
esta razón, que pueden ser utilizados en distintos momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Bajo el fundamento de que se aprende matemática haciendo matemática, se hace necesario que los
estudiantes se enfrenten a problemas de diversas situaciones, que estén dentro de un contexto estimulante
que les permita poner en juego sus conocimientos, experiencias, habilidades; en instancias individuales
como grupales, ya que éstas le permiten sistematizar y explicitar sus estrategias de resolución, intercambiar
opiniones y revisar sus procedimientos de cálculo.
De acuerdo a lo anterior, se sugiere al docente buscar y plantear situaciones adecuadas al nivel de los
estudiantes, significativas, contextualizadas, variadas, es decir, sin solución, con varias soluciones o con una
única solución, apoyadas con material concreto y desafiantes, que le permitan al estudiante utilizar diversas
habilidades o estrategias, tales como: contar, comparar, estimar, dibujar, modelar, armar, representar,
entre otras. Permitir la equivocación para activar el pensamiento metacognitivo a través de preguntas que
los ayuden a ver dónde está su error, qué llevó a cometerlo, de este modo, la equivocación se utiliza como
base para el conocimiento, como parte del proceso de búsqueda y selección de los diferentes caminos que
permitirán a los estudiantes formular nuevas ideas y lograr un aprendizaje significativo.
Plantear a los estudiantes preguntas claves, permitirán enfrentarse al problema en forma óptima y
resolverlo. Algunas de ellas son:
¿Qué es lo que sabes? ¿Qué necesitas para encontrarlo?, que tiene que ver con la comprensión del problema.
¿Qué vas a hacer? ¿Qué estrategia utilizarás?, que tiene que ver con la planificación de lo que se va a hacer.
¿Cuál es la respuesta? ¿Es razonable como respuesta a la pregunta del problema?, que tiene que ver con evaluar lo realizado, tanto sus procedimientos como sus resultados.
Para finalizar, hay que destacar que la importancia de cambiar el enfoque en el cual se basa el proceso de
enseñanza aprendizaje tiene la finalidad de mejorar las estrategias y metodologías de enseñanza de la
Educación Matemática para que los estudiantes aprendan mejor sus conceptos y sean capaces de:
Resolver problemas, en las situaciones que se le plantean diariamente tanto dentro de la escuela como fuera de ella.
Resolver operaciones, tanto en forma mental como por escrito.
Desarrollar sus capacidades de pensar sobre los números, las formas y sus transformaciones.
Incorporar efectivamente la cultura tecnológica, como en el uso de calculadoras y computadores.
Desarrollar un pensamiento de buena calidad, es decir, creativo, crítico y metacognitivo.
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II. Metodología de trabajo en la clase de Educación Matemática
El trabajo de los estudiantes ha de ser realizado tanto en forma individual como grupal, entendiendo este
último como el trabajo en parejas, en pequeños grupos y con todo el curso.
El trabajo grupal debe considerar que la formación de los grupos permanezca durante la mayor cantidad de
tiempo posible, para lograr un mayor conocimiento y acostumbramiento entre sus integrantes. Esta
permanencia, hace necesario que los grupos sean heterogéneos, es decir, estén compuestos por
estudiantes de ambos sexos, si es el caso, con distintas habilidades y capacidades, para que el trabajo sea
más integral y más rico en experiencias, estrategias y experiencias que beneficiarán a todos. También, es
importante promover en cada grupo la definición de roles y la rotación de ellos.
En este contexto, el trabajo grupal requiere de un guía o mediador que ponga especial atención a las
diferentes formas en que sus educandos se comunican, tales como el lenguaje corporal y gestual.
Todo lo anterior se avala en que el trabajo en grupo o también llamador trabajo colaborativo, permite:
Crear una disposición intelectual en los estudiantes que les permitirá seleccionar del cúmulo de información a la que se ven enfrentados, aquélla que sea útil, necesaria y pertinente para ejecutar de manera óptima su trabajo.
Desarrollar habilidades cognitivas como por ejemplo, aquéllas necesarias para la investigación (observación, identificación, clasificación, registro y explicación); habilidades prácticas (artes y destrezas manuales, usos de recursos y presentación de la información); habilidades de información y estudio, habilidades comunicativas.
Promueve la resolución de problemas, producto del intercambio de información y comunicación entre pares.
Estimular actitudes positivas, permitiendo de esta manera crear comunidades de aprendizaje que se acerquen a la construcción de una convivencia democrática basada en el respeto, la tolerancia y la diversidad.
Cabe destacar que los logros mencionados por este tipo de forma de trabajo se observarán en la medida
que la frecuencia con que se realice y se planifique sea cada vez mayor y en que el rol del docente asuma las
siguientes consideraciones didácticas:
Permitir y fomentar la autonomía de los educandos en la formación de los grupos de trabajo, así como también los objetivos y acuerdos de cada uno de ellos.
Acompañar, especialmente a los grupos de trabajo que tengan mayores dificultades de organización o se estén recién incorporando a este tipo de metodología.
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Supervisar que la adquisición de los contenidos mínimos sea generalizada e intervenir sólo cuando se requiera una orientación y reacomodo de algunos conceptos.
Destacar las capacidades personales, fomentando la autoafirmación de los educandos y fomentar también las iniciativas grupales, contribuyendo así a crear una identidad grupal y un sentido de pertenencia.
Evaluar formativamente cada uno de los momentos pedagógicos que involucran el desarrollo de un trabajo colaborativo, haciéndolos verbalizar sus logros, objetivos, comentarios. De vez en cuando, aplicar una pauta de autoevaluación y coevaluación para guiar sus avances.
III. El material didáctico en la clase de Educación Matemática
Los materiales didácticos son una buena estrategia para favorecer la adquisición y comprensión de
conceptos matemáticos en los estudiantes, mediante experiencias lúdicas de aprendizaje. Permiten al
estudiante un trabajo a nivel concreto, ejercitar las motricidades y coordinaciones musculares finas y
estimular el pensamiento, es decir, desarrollar sus habilidades cognitivas, como por ejemplo, observar,
seleccionar, clasificar, comparar, analizar, entre otras. Y a su vez, permiten al docente observar cuál es el
nivel real de organización, planificación y autonomía de los estudiantes.
Cabe destacar que los materiales didácticos se deben aplicar en distintas situaciones, con el fin de que sea
generalizable de tal modo que el estudiante no llegue a asociar en forma exclusiva un concepto con un
elemento concreto.
Previo al trabajo específico con cualquier material didáctico, se debe dar a los estudiantes el tiempo
necesario para que exploren, manipulen y descubran sus características, de modo que cuando se inicie el
trabajo con dicho material, éste le sea familiar y conocido.
Los materiales didácticos se pueden clasificar de la siguiente forma:
1. MATERIAL CONCRETO: son aquellos materiales tridimensionales continuos o discontinuos, construidos
en madera, plástico u otro tipo. Se clasifican en:
a) Material estructurado:
Es un material concreto que posee piezas que se relacionan entre sí. Cada pieza se puede definir por una
variable, que corresponde a una característica genérica, como por ejemplo: forma, color, tamaño, etc. y por
una atributo, que es una característica de una variable, como por ejemplo: dentro de la variable color, un
atributo puede ser rojo, lo cual permite que cada una de sus piezas sea diferente a la otra e identificable en
el conjunto de piezas.
Ejemplo:
DIAGRAMA DE VENN DIAGRAMA DE ARBOL DIAGRAMA DE CARROL
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Algunos ejemplos de estos materiales estructurados son:
BLOQUES POLIGONALES TANGRAMA PENTOMINO
b) Material no estructurado:
Es un material concreto cuyas piezas no se relacionan entre sí. Puede ser comprado en tiendas o
reproducirlos o creado con material de desecho u otros materiales.
Algunos ejemplos de estos materiales no estructurados son:
Bloques multibase de Dienes, base 10: Este material está compuesto por cubitos de 1 cm de arista que representa la unidad, barras de 1
cm x 1 cm x 10 cm que representan la decena, placas de 10 cm x 10 cm x 1 cm que representan la
centena y un bloque de 10 cm x 10 cm x 10 cm que representan la unidad de mil.
Tarjetas Montessori o Tarjetas de Números: Este material está hecho en cartulina, cuya unidad es de aproximadamente 3 cm. Están compuestas
por 36 tarjetas distribuidas de la siguiente forma: 9 tarjetas con valores del 0 al 9, 9 tarjetas con
valores del 10 al 90, 9 tarjetas con valores del 100 al 900, tarjetas con valores del 1.000 al 9.000,
además de 7 signos.
Ábaco: Este material consta de una base y fichas o argollas. La base es un trozo de madera o plástico, en el
cual van insertos cuatro o más tarugos (de 20 cm c/u aprox.) de distintos colores. El primer tarugo
de derecha a izquierda representa las unidades; el segundo, las decenas; el tercero, las centenas; el
cuarto, las unidades de mil, etc. Este material se complementa con fichas de madera o plástico de
igual color, con un orificio en el centro (mayor que el diámetro de los tarugos), y con separadores de
madera.
Cuerpos geométricos: Este material representa en madera o plástico los poliedros y los cuerpos redondos.
Geoplano: Es una tabla de madera o plástico, de forma cuadrada o redonda, con clavos equidistantes entre sí,
que forman una región cuadrada o circular, a los cuales se les engancha gomas elásticas para
construir y reproducir figuras de diferentes tipos.
Mecano geométrico: Este material consiste en huinchas de cartón, plástico o madera, que contienen orificios
equidistantes, a los cuales se enganchan chinches o clips de 2 patitas para construir diversos
polígonos.
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2. MATERIAL GRÁFICO: Son aquellos materiales bidimensionales continuos, realizados en papel, que
requieren como por ejemplo: hojas de trabajo, textos escolares, fichas de trabajo, etc.
3. MATERIAL COMPUTACIONAL: Son aquellos materiales, elaborados con tecnologías computacionales,
como por ejemplo: softwares, cuentos electrónicos, entre otros.
Es importante recordar que los materiales didácticos no enseñan por sí mismos, sino que tienen sentido
cuando tienen un propósito definido y una estrategia metodológica clara. Es por esta razón, que el docente
necesita conocer con anterioridad el material didáctico, conocer sus características, ventajas, desventajas y
formas de uso.
Al planificar actividades con uso de material didáctico, el docente debe considerar:
Utilizar variedad de materiales.
Graduar los materiales según el orden de dificultad que posean.
Dar instrucciones simples, claras y precisas.
Darse el tiempo para reproducir, adaptar o crear materiales, utilizando recursos fáciles de conseguir y adecuados.
En el texto para el Estudiante se presentan diversos tipos de materiales para actividades de construcción y
comprensión de conceptos, de aplicación o ejercitación de operaciones y de adquisición lúdica de los
contenidos. Todos ellos son fácilmente reproducibles, ya sea por los estudiantes, por los padres o por el
propio docente. Se sugiere que aquéllos que requieren más tiempo de elaboración sean construidos en el
espacio de otros sectores de aprendizajes, como por ejemplo, en el subsector de Educación Tecnológica,
contribuyendo a integrar todas las áreas del conocimiento.
Si lo desea, puede revisar el cuadernillo de trabajo “Material didáctico en matemática. Materiales didácticos
para el aprendizaje de la matemática II parte”, de Gálvez G., Navarro S. y Riveros M., Programa MECE,
MINEDUC.
IV. El juego en la clase de educación matemática El juego tiene la finalidad de entretención y pasatiempo. Entre sus características destacan el ser una
actividad libre, que ofrece todo lo necesario para realizarla en forma autónoma, que requiere el
seguimiento de reglas y comprensión de lo que se realiza, generando estrategias de resolución. Permite
experimentar la sensación de liberación, de evasión, de relajación, produciendo placer en los jugadores y
generando lazos afectivos especiales entre quienes lo practican.
Debido a la atracción lúdica y gran estimulación que provoca a los estudiantes, el juego es un medio útil
para el logro de aprendizajes significativos, que permite:
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Favorecer el desarrollo de contenidos matemáticos en general y del pensamiento lógico y numérico en particular.
Desarrollar estrategias para resolver problemas.
Introducir, reforzar o consolidar algún contenido concreto del currículo.
Diversificar las propuestas didácticas.
Estimular el desarrollo de la autoestima de los estudiantes.
Motivar, despertando en los estudiantes el interés por lo matemático.
Conectar lo matemático con una posible realidad extraescolar. (tomado de http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/mate.htm)
Cabe destacar que cualquier juego puede utilizarse en la clase de educación matemática, sin embargo, éstos
deben sufrir una transformación para convertirse en un “juego didáctico”. Es por esta razón que se
recomiendan las siguientes consideraciones didácticas:
¿Cómo escoger el juego? En función del objetivo que se quiere lograr y al nivel en el cual se va a utilizar.
¿Qué características debe poseer el juego seleccionado? Utilizar en las reglas y modo de uso del juego, un lenguaje claro, simple y preciso. Los materiales del
juego deben ser atractivos y cumplir con las características mínimas “educativas” como por ejemplo,
sin pintura tóxica, sin astillas, sin elementos sobresalientes punzantes, entre otras, para que la
manipulación del juego no produzca accidentes ni riesgos a los estudiantes. Debe ser un estímulo y
desafío al pensamiento de los niños y niñas. En caso de ser necesario, el juego puede adaptarse,
cambiando sus reglas o modo de uso.
¿Cómo utilizarlo en la clase de matemática? Se recomienda presentar el juego y luego, explicitar a los estudiantes la intención educativa que
tiene, para que sepan qué van a hacer, por qué lo harán y qué se espera al finalizar la actividad, de
modo que hagan consciente la frase “aprender jugando”.
También, es importante enfatizar el aspecto valórico del juego:
- resaltando el respeto, - el no faltar a la verdad haciendo trampas - y la tolerancia, entre otras. - Promover la autonomía en la organización de los pequeños grupos - y en la decisión de los turnos de jugada.
Durante el desarrollo del juego, el docente debe rotar entre los grupos y observar cómo realizan el juego, lo
que le permitirá tener una visión global de lo que manejan sus estudiantes y saber si se esta logrando el
objetivo planteado.
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Al finalizar una ronda del juego, se debe estimular a jugarlo varias veces, de modo de posibilitar que los
estudiantes desarrollen estrategias de juego, dando la posibilidad de abandonar o cambiar el juego
propuesto al cabo de una serie de rondas o jugadas para que éste no pierda su sentido lúdico.
V. La evaluación de los aprendizajes matemáticos
La evaluación es un componente importante del proceso educativo, ya que permite al docente conocer
cuánto han aprendido sus estudiantes y recopilar información sobre los conocimientos, experiencias,
estrategias, actitudes e intereses, además de los logros, avances y dificultades frente a un determinado
aprendizaje. Estos antecedentes permiten al docente modificar, mejorar y orientar sus futuras
intervenciones en función de las necesidades reales de sus estudiantes, de modo de asegurar el éxito del
proceso de enseñanza-aprendizaje.
Este proceso ha de ser continuo, integrador, participador y criterial e implica considerar cuatro preguntas
claves antes de realizarla. Éstas son: ¿Qué evaluar?, ¿cómo evaluar?, ¿por qué evaluar? y ¿cuándo evaluar?
¿Qué evaluar? La respuesta sería la comprensión de los conceptos, el razonamiento, la aplicación de los conocimientos adquiridos y los procesos que realiza el estudiante para llegar a la adquisición de éstos.
¿Cómo evaluar? A través de diferentes instrumentos de evaluación durante todo el proceso de enseñanza-aprendizaje, lo que conlleva a no centrarse sólo en los resultados obtenidos al final de éste.
Algunos de estos instrumentos son: pruebas objetivas, trabajos individuales y grupales, tareas en el
cuaderno, carpetas, portafolios, dramatizaciones, interrogaciones orales, juegos, proyectos de curso,
desafíos, entrevistas, autoevaluaciones (refleja una valoración de sí mismo), coevaluaciones (refleja la
valoración que tiene de sus pares frente al desempeño de una tarea específica), pauta de registro, lista de
cotejo, escalas de apreciación, entre otros.
La autoevaluación y la coevaluación constituyen un doble desafío para los estudiantes, ya que por un lado,
pone a prueba sus capacidades y objetividad frente a la tarea realizada y por el otro, le permite agudizar su
capacidad de evaluar soluciones y procedimientos, comparando metodologías, planteando estrategias, y de
paso, se mide a sí mismo y al resto a partir de un criterio externo.
¿Por qué evaluar? Porque entrega, tanto al docente como al propio estudiante, múltiple y valiosa información acerca de cómo aprende, cuánto sabe, qué conoce, qué dificultades tiene, cuáles son sus errores y si se están logrando los objetivos propuestos, para utilizarla al construir el aprendizaje.
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Con respecto a esto, el Programa de Educación Matemática para NB1 dice que: “se trata de emplear
la evaluación tanto para medir logros de aprendizajes, como para tener una mirada global del
comportamiento de los educandos durante el proceso de aprendizaje, de modo de valorar su
trabajo, estimular y reforzar sus fortalezas y apoyarlos para superar sus dificultades y mejorar sus
posibles deficiencias”.
¿Cuándo evaluar? La respuesta es siempre, la evaluación debe ser una práctica habitual y sistemática. Los instrumentos evaluativos pueden aplicarse al inicio, durante y al final de un proceso de enseñanza, de modo que los estudiantes reciban en el momento oportuno una adecuada retroalimentación, a través del cambio de metodologías, de actividades, materiales, etc. y así logren fortalecer sus aprendizajes y mejorar las formas de trabajo.
Dependiendo del criterio que se utilice, podemos encontrar diversos tipos de evaluación, como por
ejemplo:
Según su intencionalidad, puede ser una evaluación diagnóstica, sumativa o formativa; Según su extensión, puede ser global o parcial; Según su estándar de comparación, puede ser normativa o criterial; Según su agente evaluador, puede ser interno (autoevaluador, coevaluador) o externo; Según su temporalización, puede ser inicial, procesal y/o final.
Este proceso evaluativo implica que el profesor asuma un rol de observador, investigador, explorador, que
organice su trabajo, sea flexible y escuche a sus estudiantes, que precise los objetivos matemáticos que
desea alcanzar, mantenga una congruencia entre las actividades de aprendizaje que realiza y las actividades
evaluativas que propone y que promueva instancias para la exploración y búsqueda tanto en forma
individual como grupal.
Cabe destacar que las preguntas que se utilicen para evaluar deben ser adecuadas al ritmo y nivel de los
estudiantes, significativas, contextualizadas, variadas y con apoyo de material didáctico diverso, además
deben poseer datos reales, instrucciones claras, precisas y bien redactadas, variadas formas de preguntar y
tipos de ítems, con alternativas ordenadas y con distractores adecuados.
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UNIDAD 2 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 7 : PROYECTO DE AULA
Con el objetivo de refinar y extender el concepto de trabajo por destrezas, la serie Delta les propone
a maestros y maestras tres modelos de PROYECTO DEAULA.
El PROYECTO consiste en la investigación a profundidad de un problema que se presenta en la
vida cotidiana. Puede ser llevado a cabo por un grupo pequeño o por todos los estudiantes del aula
(no importa su nivel o edad), y en un espacio de tiempo que permita la amplia ejecución de varios
tipos de acciones de aprendizaje.
Como producto, surge un resultado genuino, flexible, diferente a otras actividades planteadas; acepta
diversos medios de expresión, y respeta las inteligencias múltiples.
El PROYECTO DE AULA transforma la concepción de que el maestro es el único que sabe y, por
lo tanto, el único que puede enseñar. Reconoce al estudiante como constructor de su propio
conocimiento con la ayuda mediadora del docente.
Activa tanto las destrezas generales como las propias de una disciplina. Propicia el trabajo en
equipo, la toma de decisiones, el ―aprender a aprender‖, la capacidad de negociación, y el trabajo
con un propósito y una visión. Pone en evidencia, además, la adquisición de conocimientos y
destrezas propias de la disciplina integradora, en este caso, la Matemática. Desarrolla valores como
la persistencia, la tolerancia al error, y la capacidad de llegar a consensos.
Desde el punto de vista de la evaluación, califica tanto procesos como productos. Acepta, además,
el estilo de expresión y el tipo de inteligencia del estudiante.
Los PROYECTOS DE AULA llevan al estudiante a la realidad y a modos prácticos de operar
sobre ella. La serie de Matemáticas Delta propone a los PROYECTOS DE AULA como
complemento de los elementos más formales y sistemáticos presentados en el texto.
Conclusión
El proyecto de aula es un trabajo intelectualmente complejo, que usa una variedad de destrezas que
se aplican a situaciones del mundo real.
ELEMENTOS DE UN PROYECTO DE AULA
1. Análisis de la situación educativa
El Instituto Técnico Rafael Pombo localizado en el municipio de Floridablanca, cuenta con
aproximadamente 130 estudiantes del grado 6º en la jornada de la mañana con tres cursos.
Los educandos viven rodeados de factores que influyen sobre su rendimiento académico; en la
actualidad, el municipio se encuentra afectado por una gran problemática social, múltiples
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asentamientos de desplazados por la violencia, pandillas, situaciones familiares perturbadas por el
desempleo, la violencia intrafamiliar y los diferentes distractivos de los medios de comunicación.
Disciplina y sencillez caracterizan al estudiante pombista, su edad está entre los 10 a 13 años,
ubicados en los estratos 2 y 3 con dificultades económicas, sociales y afectivas. Los estudiantes
consideran el Instituto como el mejor lugar para permanecer gran parte de su vida, encontrando allí
la afectividad que en muchas ocasiones no encuentran en su hogar. Esto demuestra un alto sentido
de pertenencia, buenas relaciones con sus compañeros, con los directivos y con los docentes de la
Institución.
Sin embargo, el desempeño académico parece no ser importante para el joven estudiante que, en
muchas ocasiones, trabaja en procura de una nota suficiente para alcanzar los indicadores
propuestos, su interés por aprender pasa a un segundo plano.
Por esta razón, es importante crear en el estudiante la conciencia de aprender para la vida,
estimularle para su superación personal, ayudarle a crear sueños claros y alcanzables, hacerle ver
que su vida de estudiante no debe terminar al salir egresado del Instituto sino que por el contrario,
hasta ahora comienza y hay que seguir adelante proyectándose para la vida
2. Selección y definición del problema
Es importante iniciar con la práctica en la asignatura de tecnología con los estudiantes del grado 6º,
orientando una formación integral. Su inquietud e interés por realizar pequeños y sencillos talleres
prácticos de electricidad hacen de ellos un mundo fascinante, elaborando el mapa de Floridablanca
ubicando al Instituto Técnico Rafael Pombo en modelos diferentes utilizando material sencillo,
facilidad de manejo y un costo módico.
El desarrollo del proyecto incluye ejes temáticos en las asignaturas de matemática, español,
sociales, informática, tecnología, ética y valores.
Por lo anterior se debe investigar en cada una de las asignaturas teniendo en cuenta los avances
virtuales, textos, foros etc. Luego se llevará a cabo el proyecto.
3. Definición de los objetivos del proyecto
- Construir en forma creativa el mapa de Floridablanca ubicando el Instituto Técnico Rafael
Pombo en diseños eléctricos, como herramientas didácticas y creativas.
- Correlacionar las diferentes asignaturas como Sociales, tecnología e informática matemáticas
español, ética, , llevando a la realización integral del proyecto.
- Fomentar la exploración en los estudiantes del grado 6º a través de la investigación,
actividades individuales, grupos de discusión, consultas bibliográficas elaborando el proyecto.
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- Construir los estudiantes su propio aprendizaje integral a través del proyecto enfocándolo en la
creación de microempresas para sus propias necesidades.
4. Justificación del proyecto
- Cuando se está frente a objetos, documentos o materiales didácticos que en la niñez o el
pasado remoto permitieron el proceso de aprendizaje, se siente una extraña sensación que
permite inconscientemente recorrer el imaginario ― túnel del tiempo‖ para terminar ubicados
en el espacio de aquellas agradables vivencias de estudiantes. Se recuerda con exactitud a los
profesores, a los compañeros, al salón de clase y todo el contexto pertinente. Se recuerda un
pedazo de historia de una institución, de una región, de un país. Estos momentos son los que
se quieren dejar en el Instituto Técnico Rafael Pombo, con los estudiantes de 6º de básica
secundaria.
- La elaboración de proyectos sencillos tecnológicos, enfocados a la electricidad básica,
orientada al estudiante de 6º, un apoyo para la adquisición de nuevos conocimientos,
desarrollando su creatividad e imaginación, permitiendo la oportunidad de que el educando
intente, de manera planificada dar solución a sus problemas relacionados con el entorno
social, cultural, científico y tecnológico.
La utilización de material didáctico en el plan de estudio desempeña la función de correlacionar,
integrar y hacer que los conocimientos, habilidades, destrezas, actitudes y valores, a lograr en el
desarrollo de las diversas áreas, lo mismo que la experiencia acumulada sean ― vivenciales y
activas‖
Este proyecto para el docente, es una herramienta tecnológica práctica que motiva a los estudiantes
en el proceso de aprendizaje y los mantiene con mucha expectativas, facilitándole al docente una
retroalimentación en la construcción de estructuras eléctricas, y en el estudiante lograrse desarrollar
en su medio vivir.
5. Análisis de la solución
Interesarse en adquirir más conocimiento enfocado a la electricidad y ubicación del municipio de
Floridablanca y del Instituto Técnico Rafael Pombo.
Apropiarse de la tecnología que posibilite nuevos aprendizajes
Asimilar el proceso de construcción eléctrico en el diseño del mapa del Municipio de
Floridablanca ubicando el sitio del Instituto Técnico Rafael Pombo.
Tener una visión amplia en la utilización de herramientas didácticas como base primordial del
trabajo que se va ha realizar.
Valorar la importancia del trabajo en equipo como objeto enriquecedor de la convivencia.
6. Planificación de las acciones. Se desarrollara de la siguiente forma:
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a. Explicación del tema a los estudiantes a través de un taller, donde inicialmente aparece un cuento que
presenta el problema. El estudiante analiza y plantea soluciones.
b.Investigación en los medios de comunicación de las temáticas que se están desarrollando desde las
asignaturas.
c.Exposición por parte de los estudiantes del grado 6º sobre la ubicación y la historia del Municipio de
Floridablanca y el Instituto.
AREAS Y CONTENIDOS
MOMENTOS DE APRENDIZAJE
ACTIVIDADES A DESARROLLAR
TIEMPO RESPONSABLES
TECN EINFORMÁ - Electricidad - Internet - Foros
SOCIALES - ubicación
espacial - Elaboración
del croquis ESPAÑOL - Narración - Signos
Verbales - Signos no
verbales MATEMATICAS
- Medidas ETICA Y VALORES - Valorar lo que tenemos
AMBIENTACIÓN INTEGRACIÓN DE CONOCIMIENTOS NOVEDOSOS
Explicación del tema a los estudiante
a través de un taller, donde
inicialmente aparece un cuento que presenta el problema. El estudiante
analiza y plantea soluciones. Investigación en los medios de comunicación de las temáticas que se están desarrollando desde las asignaturas. Exposición por parte de los estudiantes del grado 6º, sobre la ubicación y la historia del Municipio de Floridablanca y el Instituto.
2 S
emanas
2
Semanas
2 Semanas
Responsables: Equipo de ATEES. Responsable equipo de docentes del grado 6º Responsable profesora de Tecnología e Informática.
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7. Especificación de los recursos humanos, materiales y económicos
TECNOLOGICOS HUMANOS MATERIALES ECONOMICOS
Computador y todas sus herramientas.
Material reciclaje. Herramientas
manuales.
Estudiantes. Docentes. Padres de
familia. Asesores ATEES.
Tabla Papeles varios. Tintas. Útiles. bombillo Pegantes. Textos de
consulta. Batería Cable aislado Icopor Cartón paja Cartulina
corrugada Fome
$20.000
por Mapa
.
Implementación
Se desarrollaran tres talleres en los cuales se materializaran los propósitos de la investigación y la
puesta en marcha de la tecnología y la comunicación. El proyecto tiene por nombre ‖LOS
POMBISTAS EN CIRCUITOS‖
Talleres
Titulo
Propósito
TICs empleadas
1
Vamos a estudiar
Explicación del tema a los
estudiante a través de un taller,
donde inicialmente aparece un
cuento que presenta el
problema. El estudiante analiza
y plantea soluciones.
- Ubicación de
Floridablanca
- Croquis
- Ubicación del Instituto
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2
3
Exploremos el mundo
Los Pombistas en Circuitos
Investigación en los medios de
comunicación de las temáticas
( la historia de la electricidad,
circuitos y sus clases y la
práctica de circuito en serie) que
se están desarrollando desde las
asignaturas de Tecnología,
sociales, matemáticas, español
ética,
Entre otras.
Exposición por parte de los
estudiantes del grado 6º, sobre
la ubicación y la historia del
Municipio de Floridablanca y el
Instituto.
- Ubicación de vías
Municipales
- Área total del Instituto
-Ubicación espacial
- Signos verbales y no
Verbales.
- Internet
_ Valores de
responsabilidad, compartir,
colaborar,
- Casa de la cultura
- plano del Instituto
- Vías principales de lagos
- Área de la fachada del
Instituto.
-
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8. Evaluación
Se tuvo en cuenta el trabajo ejecutado hasta la fecha como: Trabajo en equipo, interés de los
integrantes, creatividad en la elaboración de las tareas acordadas y uso de los recursos tecnológicos.
Durante el desarrollo o ejecución de los talleres con los estudiantes se evaluará en forma
diagnóstica, continua y final para mirar los resultados esperados.
Se puede utilizar la autoevaluación, coevaluación y la heteroevaluación. Sin olvidar el uso creativo
de los recursos tecnológicos.
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UNIDAD 2 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 8 : SECUENCIAS DIDÁCTICAS
Factores a considerar para la elaboración de secuencias didácticas que utilizan calculadoras
gráficas como auxiliares en la solución y planteo de problemas
Introducción
La educación matemática ha atravesado diversas etapas en los últimos años, el desarrollo de la
Didáctica de la Matemática como ciencia ha replanteado el trabajo del profesor en el aula. El diseño
de situaciones didácticas para promover el estudio de la Matemática nos permite intervenir de
manera más sistemática en el proceso de aprendizaje.
Esta forma de entender la educación matemática lleva al replanteo en el diseño de nuestra
planeación, es necesario incorporar factores que nos permitan atender la diversidad en el aula y
promover el desarrollo de diferentes competencias que permitan la construcción de aprendizajes
sólidos que impacten la vida de los estudiantes a nuestro cargo.
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El logro de lo anterior depende de varios aspectos, uno de éstos lo constituyen las herramientas que
se incorporen al proceso de estudio, las calculadoras gráficas, posibilitan la exploración de diversos
objetos matemáticos, su manipulación y a partir de ello el desarrollo de las competencias
matemáticas.
Factores a considerar en la planeación de secuencias didácticas con calculadoras gráficas.
La incorporación de las herramientas tecnológicas a la elaboración de secuencias didácticas debe
obedecer a una intención, la sola incorporación no garantiza nada, lo anterior es uno de los
postulados de la Teoría Socio- Cultural de Lev Vigotski conocido como la zona de desarrollo
próximo.
Esta teoría plantea que el intercambio social es la base del aprendizaje, pero este intercambio debe
obedecer a una intencionalidad bien definida por el docente, sin ésta la interacción no se inserta en
un contexto de aprendizaje.
La calculadora es, con esta intencionalidad, una herramienta que apoya el avance del aprendizaje, el
siguiente esquema representa los factores a considerar en la planeación de una secuencia didáctica.
La propuesta de este trabajo parte de las premisas anteriores para la elaboración de secuencias
didácticas con apoyo de la tecnología; el siguiente esquema sintetiza la propuesta.
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Esquema 1
1. El primer factor a considerar es la competencia a desarrollar, la propuesta de desarrollar
competencias más que contenidos nos permite ampliar las posibilidades del uso de tecnología, de
otra manera, si apostamos al desarrollo de contenidos, nos lleva a limitar su uso. Las competencias
Matemáticas que se consideran en este trabajo son las propuestas por Mogen Niss, éstas son:
Estrategia de
enseñanza y de
evaluación
Resultado
de
aprendizaje
Propósito acorde
al diagnóstico Diagnóstico
Aula
Desarrollo de la
Estrategia
de enseñaza y
aprendizaje.
Evaluación del
proceso.
Validación de las
competencias
Elementos
para un
nuevo
diagnóstico
Competencia
del alumno
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Pensar y razonar
Argumentar
Comunicar
Modelar
Plantear y resolver problemas
Representar
Utilizar el lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas
Utilizar ayudas y herramientas.
2 y 3. Una vez definida la competencia es importante diagnosticar el estado de la misma, esto nos
permite definir la Zona de Desarrollo del alumno, el nivel de profundización que tendrá la
competencia y, además, establecer el propósito de la secuencia.
4. Definido el nivel de la competencia se establece el resultado de aprendizaje, este debe ser un
producto del proceso a realizar y por tal debe ser observable, lo anterior es importante las evidencias
del aprendizaje son necesarias para sistematizar el trabajo y darle nuevas orientaciones una vez
terminado.
El siguiente factor es el referido a la estrategia de enseñanza, una vez que sabemos el qué y para qué
necesitamos definir el cómo, es en este preciso momento donde el uso de las calculadoras se puede
introducir.
5. Estrategia de enseñanza y la estrategia de aprendizaje.
Para explicar estos dos factores se hará referencia a una experiencia de capacitación que se realizó
con diferentes grupos de profesores de Telesecundaria en el estado de Querétaro, en el marco del
programa ―Talleres específicos ―que se desarrolló en los ciclos escolares 2005-2006 y 2006-2007
con el propósito de actualizar a los docentes en los temas referidos al razonamiento matemático y las
competencias matemáticas.
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Antecedentes: El trabajo de realizó con adultos, profesionistas de la educación que
imparten la materia de matemáticas y con perfiles profesionales diferentes
Competencia: Comunica y usa herramientas tecnológicas en la solución de un
problema.
Aplica la tecnología para encontrar resultados de una situación problema
Comunica los resultados encontrados y sostiene un punto de vista.
Conceptos a revisar: ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones, familia de rectas,
rectas, elementos de la recta.
Ambientes a usar de la calculadora: Home, editor de funciones y graficador.
Estrategia : Solución de Problemas
Problema de exploración: Utiliza los números ordenados en una criba del 1 al 100 para
generar sistemas de ecuaciones de la forma ax + by = c de manera que los coeficientes
de las ecuaciones sean consecutivos, por ejemplo:
x+ 2y = 3
11 x + 12 y = 13
En esta parte se generaron varias ecuaciones y se resolvieron sin ayuda de la tecnología
los resultados encontrados fueron en todas las ecuaciones:
x = -1 e y = 2
Replanteo: Se plantea lo siguiente ¿Será el mismo resultado para cualquier ecuación
generada en el mismo sentido?
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Resultados Pantallas Observaciones
Los maestros
generaron diversas
ecuaciones y las
resolvieron usando
el amiente Home de
la calculadora
Se pide a los
profesores que
prueben resolver
diversas ecuaciones
a fin de observar si
este resultado se
repite.
Replanteo 2: Utilizando diferentes números que mantengan la misma sucesión pero que
estén en diferentes posiciones, ¿se mantendrá este resultado? Ejemplo : X + 2y = 3 y
98x + 99y = 100
Los profesores
encontraron que
los resultados no
tenían variación:
En este punto los
maestros
comienzan a
elaborar sus propias
conjeturas.
¿Funcionará igual para cualquier sucesión de números tomada al azar?
Los profesores comenzaron a generar diversas ecuaciones tomadas al azar o siguiendo
patrones, descubren que mientras mantengan la forma de una sucesión el resultado no
cambia, se les pide grafiquen algunas de ellas y observen los que pasa.
La grafica permite
observar que el
punto de corte es
la solución a los
diferentes
sistemas.
¿Qué diferencia encuentras entre las
diversas gráficas?
¿Qué semejanzas existen?
Los profesores
describen la
inclinación como el
aspecto que tiene
variación en las
gráficas.
Problema central: Explica la razón o razones por la que este tipo de ecuaciones
tienen esta conducta
Argumenta tu explicación
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Es importante que el problema planteado represente un reto para la persona que lo va a resolver, la
estrategia de enseñanza nos permitirá observar el despliegue de las estrategias de aprendizaje de
cada uno de los alumnos.
7. Evaluación del proceso y validación de las competencias..- La evaluación del progreso de la
competencia se desarrolla al mismo tiempo que la estrategia de aprendizaje, es importante tener la
rúbrica de evaluación que nos permita hacer el seguimiento de progreso de la competencia.
Rúbrica de evaluación
Rasgo a evaluar 0 1 2 3
Establece relaciones entre
las condiciones del
problema y la exigencia
no Si con ayuda Si pero no lo
resuelve
Si y además lo
resuelve.
Adopta estrategia que
permiten encontrar la
generalidad del problema
no
Lo resuelve de
manera guiada
Lo resuelve
mediante el
ensayo y error
y no establece
las generalidad
del problema
Lo resuelve ,
generaliza, lo
manipula y
controla
Sustenta el discurso de su
explicación
no Lo explica sin
llegar a
enunciar los
conceptos
claves
Enuncia el 50
% de los
conceptos
claves.
Establece y
enuncia en su
totalidad los
conceptos
implicados
Contextualiza el concepto
variable
no Si, pero no por
completo
si Logra
establecer la
diferencia
entre variable y
literal
Define y comunica los
conceptos implicados en la
solución del problema.
no
Enuncia de
manera
empírica de los
conceptos
Enuncia
correctamente
el 50 % de los
conceptos
Enuncia de
manera
completa los
conceptos
implicados
Utiliza la tecnología de
forma racional.
no
Requiere de
ayuda para el
manejo de la
calculadora
Demuestra un
manejo básico
de la tecnología
Maneja de
manera
adecuada los
programas de
la calculadora.
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8. El resultado de la evaluación posibilita establecer el nivel de profundidad, validación de la
competencia, logrado con la estrategia, esto nos permite tener una lectura del nuevo estado de la
Zona de Desarrollo del alumno y permite iniciar una nueva secuencia de didáctica.
Conclusiones
Los factores a considerar en la planeación de secuencias didácticas deben permitirnos establecer de
manera clara los propósitos y las metas a lograr; El procesos de enseñanza requiere de un constante
replanteo de los sustentos teóricos que guían el trabajo en el aula.
El proceso de planeación que incluyen el uso de tecnología, requiere considerar el manejo racional
de la misma, además no podemos aspirar a enseñar lo mismo que enseñábamos sin el respaldo de la
tecnología, el uso de la tecnología nos permite el avance en la Zona de Desarrollo Próximo y por
tanto adelantar los aprendizajes de los alumnos a nuestro cargo.
De todo lo anterior nos lleva a concluir que:
El uso de la tecnología debe hacerse de manera racional
El uso de la tecnología debe ser intencional
El aprendizaje de la tecnología se puede realizar de manera transversal
No permitir que el objeto de estudio de la disciplina se desplace al aprendizaje de la
tecnología.
La sistematización de las observaciones en el aula permitirá mejorar la incorporación de los
elementos tecnológicos a los procesos de planeación de secuencias didácticas para el logro de los
propósitos de la Educación.
BIBLIOGRAFÍA
Luz Manuel Santos Trigo PRINCIPIOS Y MÈTODOS DE LA RESOLUCIÒN DE
PROBLEMAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÀTICAS Grupo Editorial
Iberoamericana, 2da edición México 1997 .
Yves Chevellard ESTUDIAR MATEMÀTICAS BIBLIOTECA NORMALISTA Primera
edición España 1998
Secretaria de Educación pública PLANES Y PROGRAMAS E ESTUDIO 2006 SEP
MEXICO2006
Secretaria de Educación pública LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÀTICAS EN LA
ESCUELA SECUNDARIA SEP PRIMERA EDICIÓN MEXICO1998
Secretaria de Educación pública LIBRO PARA EL MAESTRO MATEMÀTICAS SEP
SEGUNDA EDICIÓN MEXICO2001
Vonder Emnse Charles, et al. ―Explorations, Geometric Investigations for the classroom‖.
Ed. Texas Instruments, 1996 Texas.
Cruz Oliva Valentín.‖Familia de Funciones: expresiones algebraicas y sus
funciones‖Editorial Iberoamericana S.A. de C.V, primera edición, 1998.
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108
Cedillo Ávalos Tenoch.‖Sentido numérico e iniciación al álgebra‖ Editorial iberoamericana
S.A de C.V. primera edición, 1998.
Cedillo Ávalos Tenoch. ―Nube de puntos‖Editorial iberoamericana S.A de C.V. primera
edición, 1998.
Cedillo Ávalos Tenoch. ―Desarrollo de habilidades algebraicas‖ Editorial iberoamericana
S.A de C.V. primera edición, 1998.
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UNIDAD 2 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 9 : PROYECTO DE INNOVACIÓN PEDAGÓGICO EN MATEMÁTICA 1
PROYECTO DE INNOVACION MATEMATICA
“VISUAL INTERACTIVA MATEMATICA”
I. DATOS INFORMATIVOS DEL DOCENTE:
INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE LA
INMACULADA CONCEPCION – Nº 25
AREA MATEMATICA
AÑO ACADEMICO 2 008
DOCENTE Lic. EDGAR ZAVALETA PORTILLO
II. DATOS INFORMATIVOS DEL PROYECTO:
TÍTULO DEL PROYECTO VISUAL INTERACTIVA
MATEMATICA
AREA MATEMATICA
GRADO PRIMERO Y CUARTO
DURACION MARZO A DICIEMBRE DEL 2008
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PRESENTACION:
En tiempos actuales de la globalización, donde el Ministerio de Educación esta poniendo énfasis en el
uso de los ordenadores (Laptops) tanto a los estudiantes y profesores, como un impulso a la
modernización educativa. Y que mediante las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC)
las cuales son un conjunto de avances tecnológicos que nos proporcionan la informática, las
telecomunicaciones y las tecnologías audiovisuales; podemos a través de estas tecnologías y
programas educacionales facilitar la información de la enseñanza-aprendizaje con nuevos enfoques
tecnológicos audio-visuales, en la realización de nuestro quehacer educativo y pedagógico.
Este proyecto de innovación de “Visual Interactiva Matemática” es sobre el uso apropiado de las
nuevas tecnologías de la información y de la comunicación, para modificar la didáctica y la
metodología de esta materia en un futuro inmediato; no sólo en nuestra institución educativa, sino
también como una proyección a la Comunidad ú otros ámbitos educativos que usen los mismos
recursos y orientaciones.
FINALIDAD:
El nombre del proyecto de Visual Interactiva Matemática pretende reflejar su finalidad, en interactuar
la didáctica y metodología como base en la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, con recursos
visuales que permita a los estudiantes: desarrollar sus capacidades fundamentales con un
pensamiento creativo y crítico; así como la solución de problemas de su entorno vivencial y la toma de
decisiones oportuna y adecuada. En cuanto a las capacidades del área, les permita construir
razonadamente, de transmitir o comunicar el conocimiento matemático, para resolver los problemas
que se les presente en su vida; de tal manera que las actividades no sean predominantemente
receptivas y pasivas, por parte de los estudiantes.
OBJETIVOS GENERALES:
Crear en nuestra Institución Educativa un ambiente informático-tecnológico entre los
alumnos y profesores que invite a todos a utilizar las tecnologías de la información y de
la comunicación como medio didáctico y a experimentar nuevas metodologías en sus
clases Que el ordenador sea utilizado como herramienta didáctica, en apoyo a sus
explicaciones, resolución de dudas de los estudiantes y exposición de nuevos conceptos,
en los que el ordenador no tiene competencia, para que los estudiantes "hagan
matemáticas" en lugar de verlas hacer, que se reconozca al ordenador como una
máquina que hace pensar y ayuda a pensar. Que la aula de innovación se utilicen como medios didácticos que favorezcan al
aprendizaje individualizado y la atención a la diversidad. En donde el ordenador e
Internet se usen como una ventana abierta a la información, a la cultura y la
comunicación, a la que se vayan incorporando el resto de las áreas.
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OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Fomentar entre los estudiantes las actividades en Matemática, como una tarea
constructiva, asequible y amena que mejore sus actitudes y potencialidades hacia esta
materia y favorezca su aprendizaje. Que los alumnos reconozcan la utilidad del ordenador e Internet como un potente
herramienta tecnológica de aprendizaje y comunicación. Aprovechar la atracción que produce en los estudiantes el ordenador é Internet para
mejorar su actitud y capacidad hacia la actividad matemática
Que los profesores de la Institución educativa reconozcan la utilidad del ordenador e
Internet como una potente herramienta didáctica y metodológica, mediante diferentes
programas educativos y softwares
Fomentar entre los profesores del resto de las áreas el uso del ordenador, programas
y TICs como medio didáctico. Poner a disposición de la comunidad educativa una experiencia que anime a otras
instituciones educativas a llevar a cabo otras experiencias similares y convierta a
Internet en una fuente de recursos matemáticos de innovación para la enseñanza-
aprendizaje de los estudiantes.
RECURSOS:
Programas de Windows:
1. Excel ( Hoja de Cálculo )
2. Power Point ( Diapositivas ) Programas y/o Software educativos
1. Visualización y diseño de páginas html
2. Proyecto Descartes (Programa con applets java) Aula de Innovación con ordenadores apropiadas
Internet
Impresora
Materiales y medios Audio-visuales (Kit Multimedia)
Hoja de Guía Práctica de Aprendizaje
METODOLOGIA:
Que los miembros de la comunidad educativa: equipo directivo, profesores, padres y
alumnos, se involucren en el uso de las nuevas tecnologías de la información como
herramienta didáctica. La utilización del ordenador é Internet
Prácticas guiadas y Proyectos de trabajo de innovación educativa
Utilización de EXCEL como hoja de cálculo en matemática
Uso del POWER POINT, como medio de presentación multimedia de diapositivas
El PROYECTO DESCARTES, como edición, diseño y programación de escenas
matemáticas para la aplicación de contenidos temáticos en: Álgebra, Aritmética,
Geometría, Trigonometría y Estadística
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EVALUACIÓN:
Evaluación de Entrada, actitud del estudiante en el uso del ordenador y el internet,
como herramienta didáctica Evaluación Progresiva y formativa, de acuerdo a las capacidades desarrolladas frente
a:
1. Los programas utilizados y los contenidos de aprendizaje
2. Desarrollo de las hojas de Práctica de aprendizaje
3. Razonamiento lógico y matemático en la interacción de las escenas matemáticas y de
demostración de los contenidos temáticos en los programas educativos
4. Actitud de trabajo en grupo y su comunicación matemática interactiva
5. Resolución de auto-evaluaciones de los programas en el ordenador
6. Presentación de trabajos
Evaluación de Salida, al final de cada programa educativo y del proyecto de innovación
de Visual Interactiva matemática al final del año académico
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UNIDAD 2 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 10 : PROYECTO DE INNOVACIÓN PEDAGÓGICO EN MATEMÁTICA 2
EL PLEGADO EN LA GEOMETRÍA
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
CARLOS LEAL, GLORIA SUÁREZ DE R., MERY FERNÁNDEZ,
HÉCTOR MORENO B.
INTRODUCCIÓN
Como búsqueda de alternativas a las inquietudes de los docentes de matemáticas, en lo referente a la
utilización de herramientas y métodos de trabajo para la enseñanza de la Matemática y especialmente
en la Geometría en los primeros niveles de aprendizaje, el grupo de trabajo presenta a los compañeros
docentes una estrategia que denominamos El Plegado en la Geometría.
Es necesario mencionar que el plegado de papel ha sido desde tiempos inmemorables utilizado en
diversas comunidades antiguas, principalmente en el JAPÓN, donde adquirió una importancia
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relevante bajo del nombre ORIGAMI. Poco después esta técnica artística se propaga a los demás países
y en la actualidad está ampliamente difundido
Algunos estudiosos investigadores han encontrado una estrecha relación entre el plegado y sus
propiedades geométricas hecho que nos ha dado pie para proponer este trabajo. Aunque el plegado
utilizado en la Geometría tiene muchas aplicaciones, en esta propuesta, hemos restringido su
utilización a unos temas ubicados en los estándares del MEN, correspondientes a los niveles de sexto y
séptimo.
En este trabajo se muestran la justificación, las secuencias didácticas y los modelos de taller o
actividades referidas a los temas: Líneas notables, construcción y verificación de triángulos, teoremas
de Bisectrices, Medianas, Alturas y Mediatrices de un triángulo.
Es nuestra intención despertar inquietudes entre los docentes y que cada uno enfoque de la manera
que mejor le parezca esta propuesta.
1. PROBLEMÁTICA Los profesores de Matemáticas hemos descuidado la enseñanza de la Geometría en los diferentes
cursos, porque ésta se deja para las últimas semanas de trabajo del año escolar o porque, por
diferentes circunstancias simplemente no se trabaja. Así, no le damos importancia que merece, y
queda en un segundo plano de los intereses profesorales.
Los objetos geométricos no son accesibles a la manipulación directa perceptual sino a través de sus
representaciones
Los objetos geométricos no son accesibles a la manipulación directa perceptual sino a través de sus
representaciones.
El lenguaje y la simbolización geométricos son difíciles de ser asimilados por el estudiante por estar
desvinculados porque no los ven muy accesibles a su manipulación directa, principalmente en los
primeros grados del aprendizaje.
La resolución de problemas e interrogantes de tipo geométrico son difíciles de resolver como lo
demuestra los resultados de pruebas externas.
En general el joven no entra motivado a la clase de Geometría porque el manejo de los elementos,
relaciones y operaciones geométricas no es tan atractivo, supuestamente por la falta de dinamismo en
las actividades de la clase.
2. PROPÓSITO DEL TRABAJO
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Con la secuencia de actividades de enseñanza diseñada se propone la manipulación, el ejercicio de la
imaginación y el poder de asociación a través de los plegados, con la intención de generar procesos de
construcción e identificación de propiedades y relaciones de las figuras geométricas, que permitan
llegar a la generalización y por tanto, a desarrollar la capacidad de abstracción. El plegado no debe ser
solamente doblar el papel para obtener alguna figura en el plano o en tres dimensiones; se debe hablar
y poner de manifiesto los conceptos geométricos según se estime oportuno durante la construcción. Se
trata pues de desarrollar esta actividad con ideas matemáticas por una parte y poner la imaginación en
marcha, por otra.
3. JUSTIFICACIÓN
La utilización del plegado como herramienta para el aprendizaje de la Geometría posibilita desarrollar
la habilidad manual con el pensamiento y la visión. Además es un instrumento que está en la base de la
evolución del hombre y de su vida cotidiana y se fundamenta en algunos aspectos pedagógicos como:
Dota de significado algunos objetos geométricos a través de la visualización, La habilidad manual
mediada por la comprobación de propiedades, la atención y la memoria para seguir un procedimiento.
También el plegado es una técnica que permite imaginar o previsualizar las figuras que se van a
obtener y luego manipularlas para poderlas obtener finalmente. Este proceso de aprendizaje se lleva a
cabo en un contexto de colaboración y comunicación entre los alumnos y el profesor en el que
practican juntos.
Adicionalmente, el uso del plegado aporta al hecho de que usualmente el estudiante no trae los
instrumentos necesarios para las construcciones requeridas, tales como escuadra, regla, graduador y
compás, muchas veces debido a su situación económica, lo que impide el trabajo con algún
seguimiento en el aula de clase.
4. ALGUNAS CONSIDERACIONES TEÓRICAS QUE ORIENTAN LA SECUENCIA DIDÁCTICA
Con este trabajo se busca desarrollar los pensamientos geométrico, métrico y numérico de los
estándares del MEN, de forma que éstos estén sustentados en principios y modelos matemáticos,
geométricos y estéticos.
El origami
El Origami es el arte japonés de doblado de papel, conocido también como papeloflexía. Literalmente se traduce así: ORI (doblado); GAMI (papel)
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Es un arte preciso, de hacer coincidir bordes y realizar dobleces para crear figuras de todo tipo desde
las más simples hasta las más complejas imaginables.
Origen y Tipos de origami El origami es una disciplina que tiene muchas consideraciones, algunos la definen como un arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresión artística, este arte se vuelve creativo, luego pasa a ser un pasatiempo y en los últimos años está tomando vuelo desde el punto de vista matemático y científico. En sí, origami es una palabra de origen japonés que significa doblar papel y tomando este significado se creó la palabra de origen europeo: papiroflexia, con la cual se define este arte en España.
El origami tiene varias facetas, se pueden considerar los plegados y el desarrollo del papel por separado, estos tuvieron un inicio por aparte pero luego se fusionaron en lo que conocemos ahora. Siempre se ha pensado que el origami es un juego en donde se hacen figuras sencillas y relacionadas con los seres vivos, esto fue en sus comienzos, pero el origami llama a figuras de dimensiones inimaginables desde elefantes de 2.70 m de altura hasta pájaros hechos de cuadrados cuyo lado tenía 4 milésimas de cm. Hay figuras que toman muchas horas (y días) de trabajo. Siguiendo con algo de historia, el papel se desarrolló en China hacia el año 105 d.c. por Tsai Lun, luego en el siglo VI fue llevado al Japón, Marco Polo en el siglo XIII lo llevó a Europa y los árabes lo introdujeron en España, la cual trajo el papel a nuestro continente americano. Si queremos hablar de una clasificación del origami podemos considerar varios aspectos: la finalidad, el tipo de papel utilizado y la cantidad de piezas utilizadas. A continuación se presentan tres clasificaciones que se proponen de acuerdo a cada uno de los aspectos mencionados. De acuerdo a la finalidad:
• Artístico: construcción de figuras de la naturaleza o para ornamento. • Educativo: construcción de figuras para el estudio de propiedades geométricas más que nada.
De acuerdo a la forma del papel: • A papel completo: trozo de papel inicial en forma cuadrangular, rectangular o triangular. • Tiras: trozo inicial de papel en forma de tiras largas.
De acuerdo a la cantidad de trozos: • Tradicional: un solo trozo de papel inicial (u ocasionalmente dos o tres a lo mucho. • Modular: varios trozos de papel inicial que se pliegan para formar unidades (módulos),
generalmente igualen, que se ensamblan para formar una figura compleja. Es conocido en Japón como "yunnito".
El origami en la Educación Matemática
Transformar un pedazo plano de papel en una figura tridimensional, es un ejercicio único en la
comprensión espacial. El origami es también importante en la enseñanza de la simetría, pues muchas
veces doblar, lo que se hace en un lado, se hace igual al otro lado. Algunos beneficios y cualidades
El origami enfocado a la educación puede ser una gran ayuda, por las siguientes razones:
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- Da al profesor de matemática una herramienta pedagógica que le permite desarrollar diferentes
contenidos no solo conceptuales, sino también procedimentales.
- Desarrollar la destreza manual y la exactitud en el desarrollo del trabajo.
- Desarrolla la interdisciplinariedad de la matemática con otras ciencias como las artes por ejemplo.
- El origami no es solamente divertido sino que es un método valioso en el desarrollo de habilidades o destrezas básicas como:
Habilidades de comportamiento El plegado de papel es un aprendizaje a través de la repetición de acciones. Para lograr el éxito, el alumno
debe observar cuidadosamente y escuchar atentamente las instrucciones específicas que luego llevará a la
práctica. Este es un ejemplo en el cual los logros del alumno dependen más de su habilidad en sí que del
profesor. Para muchos estudiantes el origami requiere de un nivel de paciencia que brindará orgullo con el
resultado, la habilidad de enfocar la energía y un incremento en la auto-estima.
Aprendizaje en grupo
Muchos maestros han observado que los alumnos que no se destacan en otras actividades, son
generalmente los más rápidos en aprender con plegado y ayudar a sus compañeros. Se presta para una
mayor socialización dentro del desarrollo de cada actividad.
Desarrollo cognitivo
A través del doblado, los alumnos utilizan sus manos para seguir un conjunto específico de pasos en secuencia, produciendo un resultado visible que es al mismo tiempo llamativo y satisfactorio. Los pasos se deben llevar a cabo en cierto orden para lograr el resultado exitoso: una importante lección no sólo en matemática sino para la vida. Piaget sostenía que “la actividad motora en la forma de movimientos coordinados es vital en el desarrollo del pensamiento intuitivo y en la representación mental del espacio”. Desarrollo del pensamiento geométrico El manejo del plegado orienta al estudiante a involucrar varias herramientas del aprendizaje en la consecución del objetivo trazado por el docente , una de ellas es la creatii8vidad para poder realizar las construcciones orientadas a través de talleres, para desarrollar dentro del discurso dialéctico de cada grupo una noción del contenido, características y propiedades de los objetos geométricos trabajados. Las estructuras conceptúales se desarrollan en el tiempo, su aprendizaje es un proceso que madura progresivamente y nuevas situaciones problemáticas exigirán reconsiderar lo aprendido.
Desarrollo de la competencia argumentativa Con las actividades involucradas el estudiante desarrolla las competencias comunicativa y
argumentativa, porque debe buscar a través de un lenguaje comprensible, transmitir sus experiencias y
procesos de pensamiento involucrados en ella para luego ser comentadas en la socialización.
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P1
P2
l1
l2
Axiomas matemáticos referentes al origami
El origami ha sido estudiado por científicos y entre ellos se encuentran los matemáticos. Algunos de éstos han buscado hallar una teoría axiomática referente a este "arte-ciencia", por lo que se han propuesto conjuntos de axiomas. Aquí se nombran algunos de ellos: Según Germán Luis Beitia
• Puede considerarse que una hoja es una superficie plana. • Un pliegue realizado en una hoja de papel que pase por dos puntos y que se ha hecho sobre una
superficie plana como soporte es una línea recta. • El papel puede ser plegado de tal manera que pase por dos o más puntos colineales. • Puede superponerse dos puntos distintos en una misma hoja de papel. • Puede plegarse el papel de modo que un punto puede superponerse a otro pliegue. • Puede plegarse el papel de modo que dos pliegues de una misma hoja pueden superponerse. • Dos ángulos son congruentes si al superponerse coinciden.
Dos segmentos son congruentes si al superponerse coinciden.
Según Humiaki
Huzita
Dados dos puntos p1
y
p2, se puede realizar un
pliegue que los
conecte.
Dados dos puntos p1
y
p2, podemos plegar p
1
sobre p2.
Dadas dos rectas l1
y l2,
podemos plegar l1
sobre l2.
Dado un punto p y una
recta l, podemos hacer
un pliegue
perpendicular a l que
pase por p.
P1
P2
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P1
l1
P1 P2
P1 P2
l1
l2
5. ESTÁNDARES Y SECUENCIA DIDÁCTICA
Conceptos relacionados: Línea recta, perpendicular, líneas secantes, segmento de recta, ángulos,
triángulo, vértice.
Dados dos puntos p1
y p2, y una recta l, podemos hacer
un pliegue que haga corresponder a p1
con un punto de
l y que pase por p2.
Dados dos puntos p1y p
2, y dos rectas l
1 y l
2, podemos
hacer un pliegue que haga corresponder a p1con un
punto de l1
y p2con un punto de l
2.
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ESTÁNDAR: Clasificar polígonos en relación con sus propiedades.
Relación del estándar del nivel de sexto a séptimo con otros del mismo pensamiento. Nivel Estándar 1 a 3
- Reconocer nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia. - Realizar diseños y construcciones con cuerpos y figuras geométricas.
4 a 5 - Comparar y clasificar figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos, vértices) y características.
8 a 9 - Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Thales).
Relación del estándar con otros del mismo nivel pero de otros pensamientos.
Nivel Pensamiento
4 a 5 - Métrico. Diferenciar atributos mensurables de los objetos y eventos (longitud, superficie, volumen, capacidad, amplitud angular) en diversas situaciones.
6 a 7 - Métrico. Utilizar técnicas y herramientas para la construcción de figuras Planas y cuerpos con medidas dadas.
6. DISEÑO METODOLÓGICO:
Se diseñaron dos clases de guías una para el profesor y otra para el estudiante. Población objeto: Grupos de 40 y 30 estudiantes respectivamente, de grados sextos, mixtos, con edades entre 10 y 12 años. Con anterioridad se les comunico del material a usar para la actividad. Se organizaron grupos de 4 personas y se les facilito una guía por grupo. Cada taller se planeo para una hora de clase sin desarrollar los ejercicios de aplicación.
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7. LA SECUENCIA DIDÁCTICA - GUIA PARA EL DOCENTE
MAPA CONCEPTUAL
TALLER 1: PERPENDICULARIDAD, PARALELISMO Y MEDIATRIZ Pretendemos que utilizando el papel y el plegado el estudiante pueda comprender mejor los conceptos geométricos de Bisectriz, Mediatriz, Mediana y Altura, procurando que los trabajen por si mismo a través de la manipulación de estos materiales y no solamente por consulta o en la clase magistral. Los temas a desarrollar son: líneas notables de los triángulos y los teoremas del incentro, ortocentro, baricentro y circuncentro. Reflexión
MEDIANA MEDIATRIZ LÍNEAS NOTABLES
ALTURA VÉRTICES BISECTRIZ Se caracteriza por tener Semirrecta
TRIÁNGULO Segmento de recta Curva
Pueden ser Paralelas Recta
Perpendiculares
Oblicuas
RECTO RECTÁNGULO ISÓSCELES
ÁNGULO AGUDO ACUTÁNGULO ESCALENO Medida de los
lados
OBTUSO OBTUSÁNGULO EQUILÁTERO
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La utilización del plegado le permite al estudiante explorar dentro de sus habilidades desarrollando una
mejor visión que le permita utilizar herramientas nuevas para ampliar su proceso cognitivo y además
determinar características de los objetos geométricos que se estén trabajando para luego en común
acuerdo llegar a una conclusión.
Con la manipulación del papel se pretende que el estudiante tenga mayor motivación en la construcción de los objetos geométricos y así desarrollar su pensamiento geométrico y espacial. Además de la ventaja de poco material necesario y de fácil adquisición. El plegado le permite al estudiante hacer varios intentos por ensayo y error hasta obtener el logro que se propone. Al igual mediante el lenguaje verbal y escrito el estudiante desarrolla sus competencias comunicativas y
argumentativas, verificando y comprobando sus resultados.
ACTIVIDAD 1: CONSTRUIR UNA PERPENDICULAR A UNA RECTA DADA
Instrucciones: 1.
a. Sobre una superficie plana, en una hoja de papel hacer un doblez y repisar con la uña. b. Hacer otro doblez que cruce el anterior para generar 4 ángulos iguales. c. Comprobar que los ángulos son iguales.
2. Socializar: Se pretende indagar lo que el estudiante ha entendido. a. ¿Qué significa perpendicular? b. Comparación de resultados entre los estudiantes para llegar a una conclusión c. concluir sobre el significado.
3. Proponer ejercicios de aplicación. a. Dada una recta, construya 3 perpendiculares a través de dobleces ¿Qué características tienen las
rectas obtenidas? b. Dada una recta y un punto sobre ella construya una perpendicular que pase por ese punto. c. Dada una recta y un punto externo a ella, construya una perpendicular a la recta por ese punto. d. Identificar en el salón rectas perpendiculares.
ACTIVIDAD 2. CONSTRUCIÓN DE LA MEDIATRIZ
Instrucciones: a. En una hoja realice un doblez, luego divídalo en longitudes iguales con otro doblez que cruce
primero. b. Verifique que tienen la misma medida. c. Por escrito describa el proceso que utilizó.
Socializar: Lo que el estudiante pudo entender respecto al concepto de mediatriz. Aplicación: Marque dos puntos en una hoja de papel y halle la mediatriz. ACTIVIDAD 3. MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO
TEOREMA: Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO Instrucciones :
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a. Usando dobleces construya un triángulo y recórtelo y nombre los vértices con letras mayúsculas y los lados opuestos a estos con letras minúsculas.
b. Construya con un doblez la mediatriz en cada lado del triángulo y márquelas con colores. c. Se cortan en algún punto.
Socializar: Lo que el estudiante pudo entender respecto al punto de corte.
Aplicación: Construya un triángulo y recórtelo. Trace sus mediatrices y marque su punto de corte.
Péguelo sobre una hoja más amplia que el recorte. Con la ayuda de un compás y con centro en el
Circuncentro y con radio desde este punto a uno de los vértices, trace una circunferencia: Como queda
ubicado el triángulo con relación a la circunferencia, la circunferencia pasa por los 3 vértices.
TALLER 2. BISECTRICES, ALTURAS Y MEDIANAS
ACTIVIDAD 1: BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Instrucciones: a. En una hoja de papel haga un doblez. Luego haga otro doblez de tal manera que se corten. b. Despliegue el papel, elija un ángulo y coloréelo. c. Utilizando dobleces divida al ángulo en dos partes iguales. d. Verifique que estos ángulos sean iguales.
Socializar: lo que el estudiante pudo entender de bisectriz. Aplicación: a. Haga un doblez en el papel y márquelo y elegir uno de los ángulos que se forman con el borde
colorearlo y hallar su bisectriz con doblez. Marcarla y colocarle nombre. b. Definir con sus [propias palabras bisectriz.
TEOREMA: Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado INCENTRO. Instrucciones: a. Con dobleces construir un triángulo. b. trazar dos bisectrices y contestar si se cortan o no. c. Hallar la tercera bisectriz y verificar si se corta con las anteriores. Socializar:
a. Indagar lo que el estudiante pudo entender respecto a la bisectriz. b. Comparar con el compañero si se corta por fuera o dentro del triángulo.
Aplicación: En el triángulo anterior y con ayuda del compás y con centro en el punto de corte de las bisectrices y radio desde ese punto a uno de los lados, trace una circunferencia. Como queda ubicado el triángulo con relación a la circunferencia. ACTIVIDAD 2: ALTURAS DEL TRIÁNGULO:
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Instrucciones: a. Haga con dobleces un triángulo y recórtelo. b. Elija un lado y colóquele nombre, construir con dobleces una perpendicular a este que pase por el
vértice opuesto. c. Haga lo mismo en cualquier otro lado. ¿Se cortan? d. Construir una perpendicular por el lado que falta. e. Comparar con los compañeros si las perpendiculares se cortan por fuera o por dentro del triángulo. Socializar. Indagar lo que el estudiante pudo entender con relación a las alturas. TEOREMA: Las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO. Aplicación: Con dobleces haga un triángulo con un ángulo obtuso sin recortarlo y repita el procedimiento anterior desde el literal b hasta el f. Importante este ejercicio necesita de su ayuda por presentar un mayor grado de dificultad. ACTIVIDAD 3: MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO
Instrucciones: a. Usando dobleces construir un triángulo de manera similar a los anteriores. Marcar el triángulo y
colocar el nombre a los vértices y lados. b. Tomar un lado y halle su punto medio con un doblez. Marcar ese punto. c. Elaborar un doblez que pase por ese punto medio y por el vértice opuesto, remarque este doblez con
color. d. Repetir este proceso con los otros dos lados, colorear estas últimas líneas. Marcar el punto donde se
cortan. El nombre de este punto se llama BARICENTRO o CENTRO de GRAVEDAD. Socializar. Indagar lo que el estudiante pudo entender con respecto al BARICENTRO. TEOREMA: Las medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado BARICENTRO.
Aplicación: En cartulina dibuje un triángulo cualquiera, con ayuda de la escuadra trace las Medianas y
marque el baricentro. Recorte el triángulo y con ayuda de un alfiler cuya punta este en el baricentro,
sostenga el triángulo en el aire. Luego coloque el alfiler en otros puntos del triángulo, ¿Que observa en
relación al equilibrio del triángulo?
TALLER 3: CLASES DE TRIÁNGULOS
Propósitos: - Utilizar técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas. - Aprender a diferenciar los triángulos respecto de la construcción a través del plegado. - Identificar las características de los triángulos. Según la longitud de sus lados. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS Y SEGÚN SUS ÁNGULOS
ACTIVIDAD 1: CONSTRUCCION UN TRIANGULO ESCALENO
Instrucciones: a. En una hoja de papel mediante dobleces construir un triangulo
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b. Tome la medida de cada uno de los lados y señálelos con diferente color SOCIALIZAR: a. ¿Todos los lados tienen la misma medida? b. Compare los resultados con otros grupos. c. ¿Cómo se puede llamar este triángulo? ACTIVIDAD 2: CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO ISÓCELES
Instrucciones: a. Plegar la hoja para elaborar una recta. Marcar sobre ella dos puntos, colocarles un nombre a cada
uno. b. Construya la mediatriz de este segmento por plegado c. Sobre la mediatriz ubique un punto que este fuera del segmento inicial de recta y colóquele nombre. d. Desde este punto ubicado sobre la mediatriz, haga dobleces con cada uno de los extremos del e. Segmento inicial, para formar un triangulo. f. Tome la medida de cada lado y señálelo con diferente color. Socializar: a. ¿Todos los lados tienen la misma medida? b. Compare los resultados con los otros grupos c. ¿Cómo se puede llamar este triangulo? ACTIVIDAD 3: CONSTRUCCION DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO
Instrucciones a. Plegar la hoja para elaborar una recta. Marcar sobre ella dos puntos, colocarles un nombre a cada
uno. b. Construya la mediatriz de este segmento por plegado c. Marque con color diferente el segmento y la mediatriz d. Haciendo centro en un extremo del segmento inicial haga un doblez de manera que el otro extremo
del segmento coincida con un punto sobre la mediatriz que se trazo, para ello usamos el eje de la Bisectriz como línea media provisional para señalar el punto en referencia. Marque ese punto sobre la Mediatriz.
e. Haga los dobleces desde este punto hacia los extremos del segmento inicial para formar un triangulo.
f. Tome la medida de cada lado utilizando un pedazo de papel y marcando sobre este la magnitud de cada segmento.
Socializar a. ¿Todos los lados tienen la misma medida? b. Compare los resultados con los otros grupos c. ¿Cómo se puede llamar este triangulo?
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TALLER 4: CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS. Propósitos: - Aprender a diferenciar los triángulos respecto de la construcción a través del plegado. - Identificar las características de los triángulos según la magnitud de sus ángulos. ACTIVIDAD 1: CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Instrucciones: a. Construya un triangulo cualquiera utilizando dobleces b. Trace una altura y elija un triangulo de los dos que se forman y coloréelo c. ¿Qué medida tiene el ángulo que forma la altura con su base? Coloree este ángulo con un color
diferente a la altura. d. ¿Cómo son los ángulos? Socializar:
a. Compare los resultados con otros grupos b. ¿Cómo se llama este triangulo?
ACTIVIDAD 2: CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
Instrucciones a. Con dobleces construya un triángulo obtuso b. Marque los dos segmentos sobre los lados del ángulo. c. Por medio de un doblez una los dos extremos. Retiña el dobles. ¿Qué figura se formo? ¿Qué nombre
recibe este triangulo? ¿Por qué? Socializar
a. Compare los resultados con los otros grupos b. ¿Cómo se puede llamar este triangulo?
ACTIVIDAD NO. 3: CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
Instrucciones a. Por medio de dobleces construya un ángulo agudo b. Sobre uno de los dos lados del ángulo haga otro doblez de manera que corte los dos lados y
forme dos ángulos agudos. Socializar
a. ¿Qué figura se formo? b. Compare los resultados con los otros grupos c. ¿Cómo se puede llamar este triangulo?
8. SECUENCIA DIDÁCTICA – GUÍA DEL ESTUDIANTE
Descripción de la población. La secuencia didáctica se aplico a los grados sextos del Colegio: Instituto Técnico José Miguel Silva Plazas. Los grupos promedian los 35 estudiantes, con edades que oscilan entre 10 y 14 años. Estrato
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social Medio bajo. No es un grupo homogéneo ni en su formación por estrato, ni en su historial escolar (por provenir de diferentes instituciones). Se organizo el grupo en subgrupos de cuatro personas. Se repartió a cada grupo su guía de trabajo y se les explico el proceso a seguir. Durante el desarrollo de la actividad el profesor colaboro con alguna explicación atendiendo inquietudes. Además: a. Se les insistió en llevar un record del procedimiento y actividades en cada grupo b. Se recogieron muestras de lo realizado por cada grupo c. Como refuerzo de la actividad se dejo un taller de complemento. d. De manera simultánea dentro del avance de la actividad, se revisan los resultados de cada grupo de
trabajo. A continuación se presentan dos ejemplos de los talleres asignados a los estudiantes. Nótese que se
añaden preguntas diferentes a las planteadas en la a la guía del docente, preguntas metacognitvas, es
decir, preguntas que hagan reflexionar sobre el proceso que ha llevado el estudiante para obtener los
resultados, preguntas que aluden a reflexionar sobre las causa y argumentos sobre lo que se hace.
TALLER NO. 1 EL PLEGADO EN LA GEOMETRÍA” LINEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
Nombres y apellidos:_____________________________ Objetivo: Con estas actividades comprenderás algunos temas sobre líneas notables del triángulo y sus puntos de corte. Si requiere de asesoría del docente, no dude en preguntar para el feliz desarrollo de su taller. Actividades: 1. a. Sobre una superficie plana, en una hoja de papel haga un doblez y repíselo con la uña. b. Haga otro doblez que cruce el anterior para generar 4 ángulos iguales. c. Compruebe que los ángulos son iguales. ¿Cómo se llaman las dos líneas obtenidas? d. Escriba una conclusión en grupo. 2. a. En otra hoja de papel haga un doblez y repíselo, construya 3 perpendiculares a la recta anterior
utilizando dobleces. ¿Qué características tienen las rectas obtenidas? b. Otra hoja y un nuevo doblez. Tome un punto sobre el doblez, márquelo con color y haga pasar una
perpendicular por ese punto. c. Nueva hoja y doblez. Ubique un punto fuera del doblez con un color y haga pasar una recta por ese
punto que sea perpendicular al doblez. d. Identifique en el salón rectas perpendiculares 3. En una hoja realice un doblez, luego divídalo en longitudes iguales con otro doblez que cruce al
primero. Verifique que tienen la misma medida. Compare con los compañeros y escriba el proceso que utilizó para comprobar la medida. ¿Recuerda cómo se llama la línea que la divide en dos partes de la misma magnitud un segmento
4. Aplicación: Marcar dos puntos en una hoja de papel y halle la mediatriz.
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a. Use dobleces para construir un triángulo y recortar. Identificar: vértices, lados y ángulos; nombre los vértices con letras mayúsculas y los lados opuestos a estos con las mismas letras minúsculas.
b. Construya con un doblez la mediatriz en cada lado del triángulo y márquela con color. ¿Se interceptan las líneas, coloréalas? Recuerda el nombre del punto de corte de las mediatrices.
c. Construya un triangulo y recórtelo. Trace sus mediatrices y marque su punto de corte. d. Péguelo en el cuaderno. Con la ayuda de un compás y con centro en el punto de corte de las
Mediatrices y con radio desde ese punto a uno de los vértices, trace una circunferencia. ¿Cómo queda ubicado el triángulo con relación a la circunferencia?
TALLER NO. 2 “PLEGADO EN LA GEOMETRÍA”
LINEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
Nombres y apellidos:_____________________________ Objetivo: Con estas actividades comprenderás algunos temas sobre líneas notables del triángulo y sus puntos de corte. Si requiere de asesoría del docente, no dude en preguntar para el feliz desarrollo de su taller. ACTIVIDADES
a. En una hoja de papel haga un doblez. Luego haga otro doblez de tal manera que se corten. Despliegue el papel, elija un ángulo y coloréelo.
b. Utilizando dobleces divida al ángulo en dos partes iguales. Verifique que estos ángulos sean iguales. Compare con los compañeros.
c. Registre por escrito la construcción y comprobación. d. Recuerda el nombre de la línea que divide al ángulo en dos partes iguales. Escríbalo. e. Construya un doblez en un papel y márquelo, elija un ángulo que forme con cualquiera de sus bordes
y coloréelo. Halle su bisectriz por medio de un doblez y márquela y colóquele nombre. ¿Defina con sus palabras que es una bisectriz?
e. Con dobleces construya un triángulo. Trace dos bisectrices (retíñalas con color). ¿Se cortan?. Trace la tercera bisectriz. ¿Se cortan? Compare con los compañeros si se cortan por dentro o fuera del triángulo. Recuerda el nombre del punto de corte? f. En el triángulo anterior y con ayuda del compás y con centro en el punto de corte de las Bisectrices y
radio desde ese punto a uno de los lados, trace una circunferencia ¿Cómo queda ubicado el triángulo con relación a la circunferencia?
9. RESULTADOS
En las siguientes tablas se resumen de forma muy escueta los resultados de los grupos, de las actividades de los talleres 1 y 2 que se han realizado.
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TALLER 1: PERPENDICULARIDAD, PARALELISMO Y MEDIATRIZ
Actividad Se logró No se logró Se acercó No entendió la pregunta
Rectas Perpendiculares
X
Perpendicular a una recta por un punto dado
X
Identificación de perpendiculares en el salón
X
Mediatriz de un segmento
X
Identificación de elementos del triángulo
X
Mediatrices de un triángulo
X
TALLER 2: BISECTRICES, ALTURAS Y
MEDIANAS Actividad
Se logró No se logró Se acercó No entendió la pregunta
Construcción de la bisectriz
x
Descripción escrita del procedimiento utilizado
x
Concepto de bisectriz
x
Bisectrices del triángulo
x
Identificación del Incentro y construcción de la circunferencia
X
Alturas
x
Medianas
x
COMENTARIOS: - Aunque al comienzo los estudiantes construían perpendiculares haciendo dobleces paralelos a los
bordes del papel y por lo tanto, formando rectángulos, más adelante se evidenció que las construían sobre líneas oblicuas a los bordes, haciendo coincidir los dos segmentos de la recta al doblar, es decir poniendo en juego el hecho de que la perpendicularidad implica ángulos rectos.
- Se noto que lograron identificar rectas perpendiculares en objetos del salón. - En la construcción de paralelas no se logró la descripción del proceso realizado. - En el caso de la mediatriz, se vio que los estudiantes después de realizar la actividad bajo las
indicaciones de la guía, lograron construirla para segmentos, pero al intentar construirla en triángulos, no se lograron buenos resultados.
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- Las bisectrices pudieron construirlas en principio para un ángulo cualquiera, pero también para los ángulos del triángulo.
- La construcción de las alturas y medianas fue más complicadas y solo algunos estudiantes pudieron hacerla.
- Se observó que lograron construir triángulos de distintas clases en el plano, mediante el plegado e identificaron sus elementos, con excepción del triángulo obtusángulo en el que tuvieron dificultad.
- Los estudiantes requieren de conceptos previos para que se obtengan mejores resultados, por ejemplo: “opuesto a”, “medida de un ángulo”, “segmento de recta”, “vértices, lados de un triángulo”.
- Dos grupos no contestaron lo esperado pero manifestaron por escrito el gusto por la actividad. - Se deben añadir actividades para casos especiales como alturas en triángulos obtusángulos.
10. CONCLUSIONES
� La utilización del plegado se muestra como un medio que puede aportar a la construcción de figuras planas y sus propiedades. Se evidenció un manejo de conceptos básicos cuando el estudiante identificó, reconoció y pudo construir líneas con determinadas características. Naturalmente se necesita de un trabajo complementario para afianzar tales conceptos. También para obtener mejores resultados se requiere que los estudiantes hayan trabajado algunos conceptos previos.
� El trabajo en grupo fue importante por la posibilidad de compartir y apoyarse en sus compañeros, así mismo, la socialización del trabajo realizado fue clave para establecer comparaciones y llegar a acuerdos entre todos.
� En la guía se detectaron varias falencias y problemas que se deben corregir. Preguntas como: ¿Qué observa?, son demasiado amplias y llevan a toda una gama de respuestas, algunas válidas pero distintas a las esperadas. En cambio de estas preguntas se deben proponer varias situaciones, donde el estudiante pueda comparar y establecer las características que se buscan.
� Los docentes que participamos en este proyecto, nos enriquecimos en diversos aspectos: El trabajo en grupo nos permitió entablar relaciones con profesores de otro colegio y compartir experiencias de tipo pedagógico y personal. El compromiso de este proyecto nos forzó a consultar bibliografía sobre el plegado en Geometría que contribuyó a dar luces para elaborar las guías.
� El reto de utilizar el plegado para preparar un trabajo con sentido de aprendizaje de Geometría para los estudiantes, ha sido estimulante y satisfactorio y se logró sacar adelante el proyecto. A lo largo del desarrollo de este trabajo hemos granado ideas de cómo hacer un proyecto de aula de manera más rigurosa y formal y también acercarnos a lo que podría ser una investigación.
BIBLIOGRAFÍA
González, N. y Larios, V. (2000) El doblado de papel: Una experiencia en la enseñanza de la geometría, Universidad Autónoma de Querétaro, México.
Victoria, J. (2006) El origami como recurso didáctico para la enseñanza de la geometría, Perú. (Archivos Internet).
Ministerio de Educación Nacional. (2005). Taller: Estándares Básicos para Matemáticas. División de perfeccionamiento y calidad de la Educación.
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Ministerio de Educación Nacional. (2003). Estándares Básicos de calidad - Matemáticas. Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos curriculares - Matemáticas. Torres, L. y Pontón T. (2006) Compilación sobre Formación para la articulación entre Estándares básicos de
calidad, lineamientos curriculares y resultados de pruebas Saber en matemáticas. IEP. Universidad del Valle. Santiago de Cali.
MÓDULO : TALLER DE MATEMÁTICA
UNIDAD 3 : MATEMÁTICA INTEGRADA
LECCIÓN 11 : ELABORACIÓN DE GUÍAS METODOLÓGICAS
GUÍA PARA LA EVALUACIÓN DE LA PROPIA PRÁCTICA DOCENTE EN LA
ENSEÑANZA DEL CÁLCULO Y LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Centros de Profesores y Recursos
Equipos de Orientación Educativa y Psicopedagógica
Inspección de Educación
I N D I C E
1. Objetivos de la Guía.
2. Qué es el Cálculo y la Resolución de problemas y cuál es su proceso.
3. Metodología.
4. Preparación.
5. Realización.
6. Evaluación.
1. OBJETIVOS DE LA GUÍA
La elaboración de esta Guía parte de una intención asesora y orientadora encaminada al
perfeccionamiento individual de la enseñanza que desarrolla cada profesor y del aprendizaje del
cálculo y la resolución de problemas que realiza cada alumno singular.
Se pretende:
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a) Establecer una posición pedagógica que explique en qué consiste el aprendizaje del cálculo y la
resolución de problemas que realiza el alumno y paralelamente el camino o método que debe seguir
la enseñanza que realiza el profesor.
b) Desarrollar un proceso de enseñanza – aprendizaje que sea válido para las etapas educativas de
infantil, primaria y secundaria, resaltando los aspectos comunes de una metodología compartida por
los docentes en el cálculo y la resolución de problemas.
c) Presentar unos indicadores que marquen los pasos sistemáticos que deben seguirse en la
preparación y en el desarrollo de la enseñanza del cálculo y resolución de problemas y en la
evaluación de sus aprendizajes.
d) Conseguir mediante la comparación de los indicadores con la práctica individual de la enseñanza
de cada profesor concreto, que los docentes descubran los aspectos positivos y los mejorables en la
enseñanza y el aprendizaje del cálculo y la resolución de problemas.
e) Servir de orientación y asesoramiento para la mejora de la actividad de enseñanza del docente que
se evalúa, ofreciéndole posibles pistas para la mejora de los aspectos singulares detectados como
deficitarios en su propia evaluación.
2. ¿QUÉ ES EL CÁLCULO Y LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y CUÁLES SON SUS
PROCESOS?
a) Introducción
La Educación debe velar por el desarrollo de unas capacidades generales y muy básicas. De su
correcta adquisición dependerá el mayor o menor éxito en los demás aprendizajes; es necesario,
pues, realizar un esfuerzo por desarrollar, de una forma sistemática, estas capacidades. Los
profesores de un centro han de adoptar unos criterios comunes que determinen el tratamiento que se
le va a dar a cada capacidad a lo largo de los ciclos o cursos y establecer estrategias para trabajarlas.
El dominio de estas materias instrumentales implica un proceso cuya evolución no puede confiarse
al azar ni realizarse ocasionalmente; sólo mediante una cuidadosa planificación que asegure una
gradual y ordenada progresión formativa e instructiva, se podrán evitar muchos fracasos escolares.
Su enseñanza y aprendizaje requiere, por tanto, una organización y desarrollo sistemáticos
Se hace necesario, antes de establecer dichos criterios y de tomar acuerdos, reflexionar, tanto de
forma individual como en equipo, sobre la manera que de tratar estas capacidades básicas, en
nuestro caso el cálculo y la resolución de problemas. El no reflexionar de forma conjunta sobre este
aspecto puede llevar al caso de que determinados aspectos de las capacidades tengan un tratamiento
diferente en los distintos ciclos que a veces pudiera entrar en contradicciones e incoherencias. A este
fin proponemos diferentes puntos de reflexión que en modo alguno agotan todas las posibilidades de
análisis. Podrían y deberían añadirse todos aquellos aspectos que se estimen necesarios para una
mayor profundización sobre el tema.
b) Concepto de cálculo y de Resolución de problemas
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El cálculo, la acción de calcular, es hacer las operaciones matemáticas necesarias para determinar el
valor de una cantidad o magnitud cuya relación con el valor de otra u otras dadas se conoce.
La resolución de problemas consiste en encontrar la solución a un problema mediante una o varias
operaciones de cálculo que, encadenadas, llevan a contestar una o varias preguntas o a descubrir una
incógnita. El cálculo y la resolución de problemas se asocian en la realidad, son las dos caras de la
misma moneda, y por ello deben también asociarse en el aprendizaje y en la enseñanza.
La resolución de problemas es una metodología activa para enfocar la enseñanza-aprendizaje en
general, y adecuada especialmente para la adquisición de las habilidades del cálculo matemático.
Nuestra posición ante las matemáticas es la de considerarla desde una triple vertiente: la del
desarrollo intelectual, funcional e instrumental. En su primera vertiente, la enseñanza de las
matemáticas ha estado generalmente determinada por el objetivo de desarrollo intelectual
(desarrollo de capacidades cognitivas, abstractas y formales, de razonamiento, deducción,
análisis...). El cálculo y la resolución contribuyen a la adquisición de una forma de pensamiento
riguroso y organizado, de un método sistemático de solución de preguntas, a la consecución de
capacidades de comprensión y expresión (precisión del lenguaje, verbalización de los procesos...).
Desarrollan el razonamiento, la memoria, el pensamiento creativo y la capacidad investigadora.
Ciertamente las matemáticas han de contribuir a lograr objetivos educativos generales vinculados al
desarrollo de capacidades cognitivas, sin embargo hay que destacar también el valor funcional que
poseen como conjunto de procedimientos para resolver problemas de muy diversos campos. Ambos
aspectos, el funcional y el formativo, son indisociables y complementarios.
Las matemáticas, desde este aspecto funcional, desarrollan capacidades que facultan para
interpretar, representar, analizar, explicar y predecir la realidad. Proporciona instrumentos para el
estudio del medio y como consecuencia contribuye a desenvolverse en él. Facilitan la comprensión
de la realidad tanto física como social y permiten la elaboración de su representación y de su
expresión mediante los diferentes procedimientos matemáticos. Toda experiencia humana y todos
los conocimientos pueden ser utilizados como contenidos de problemas por lo que el aprendizaje del
cálculo y de la resolución de problemas deberá partir de esa experiencia y de la propia experiencia
del alumno. En la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos se hace evidente la
necesidad de que las situaciones problemáticas que el alumno ha de resolver, se planteen en
contextos y situaciones reales de acuerdo con su entorno, su edad y sus experiencias previas de
aprendizaje.
Las matemáticas sirven para la vida externa a la escuela, es decir, para la vida real, entendiendo por
vida real el conjunto de intereses de los alumnos, los que tienen y los que nos gustaría que tuvieran.
Esos intereses se pueden reconducir, modelar, cambiar y mejorar con la educación.
Hay que estar atentos, pues, para captar esa realidad, presente en los Medios de comunicación,
Diversiones, Mundo social, Mundo económico, Arte, música... y ver cómo las matemáticas
intervienen en ello. La educación matemática capacita para manejar la gran cantidad de datos con
los que somos constantemente bombardeados en la era de la información. Esto implica entrenar en
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el manejo de datos, en la lectura crítica de los elementos matemáticos presentes en los medios de
comunicación, de información (errores, gráficas, encuestas, estadísticas...). Este entrenamiento debe
comenzar desde la escuela.
Preparar para usar la matemática de la vida diaria es, en definitiva, lo que justifica que toda la
población estudie matemáticas en todos los cursos. Hay que educar en aspectos elementales (pagar,
cobrar, descontar...); en aspectos especializados (informaciones gráficas, votaciones, sorteos...); en
aspectos matemáticos que influyen en las decisiones sobre la economía, la salud, el consumo, el
trato del medio ambiente, la política, los usos tecnológicos... Asumir estos objetivos quiere decir
también globalizar nuestra labor y que el realismo guíe la elección de nuestros ejemplos, los límites
de los temas que se van a tratar, los datos que deben conocerse. Finalmente, desde la vertiente
instrumental, el cálculo y la resolución de problemas, se entienden, además, como habilidades
instrumentales básicas que desarrollan capacidades para el aprendizaje de todos los contenidos de
enseñanza y como tal deben ser tenidos en cuenta en todas las áreas del currículo. Los contenidos
Matemáticos son, pues, una herramienta necesaria para el estudio de otras áreas, al igual que otras
áreas contribuyen a la adquisición de contenidos matemáticos. El hecho de que una estrategia pueda
ser fácilmente aplicada a una nueva situación de aprendizaje es el mejor indicador para evaluar la
calidad de su enseñanza.
En conclusión, las matemáticas han de desempeñar de forma indisociable y equilibradamente un
papel formativo básico de capacidades intelectuales, un papel funcional, aplicado a problemas y
situaciones de la vida diaria y un papel instrumental como armazón para el aprendizaje de
conocimientos de otras materias.
La enseñanza de las Matemáticas abarcará un continuo que va de lo manipulativo, práctico y
concreto hasta lo esencialmente simbólico, abstracto y formal. La propia naturaleza de las
matemáticas relativa a la jerarquía que ordena muchos de sus contenidos (suma antes que
multiplicación, nº naturales antes que las fracciones...) y las características psicoevolutivas de los
alumnos nos ayudarán a establecer secuencias de los contenidos a lo largo de los ciclos y cursos de
las tres etapas, sin olvidar el criterio pedagógico del tratamiento cíclico mediante el cual muchos
contenidos serán objeto de aprendizaje en los diferentes momentos, aumentando su complejidad.
El principio dinámico indica el camino a seguir. En definitiva, se trata de seguir el método de
aprendizaje por descubrimiento, mediante la manipulación y el juego, para llegar a la verbalización
de la acción, su representación simbólica y, más tarde, a la abstracción. Para el desarrollo de la
programación es muy importante el posicionamiento y concepción que tengamos con respecto a las
matemáticas, el conocimiento y la estructura interna del área, que permitirá garantizar la continuidad
y coherencia del tratamiento de todos sus contenidos. Esta concepción permitirá dar un enfoque
determinado a nuestra práctica, guiará las distintas decisiones fundamentales que adoptemos y
evitará el posible empleo de metodologías rutinarias.
Conviene subrayar la importancia de que el profesor observe el proceso que cada escolar sigue para
enfrentarse a la manipulación de objetos y a la adquisición de nuevos conceptos lógicos y su
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aplicación a situaciones problemáticas. Es el proceso lo que más debe importar. Esta observación le
indicará qué aspectos del proceso necesitan su intervención para aumentar la eficacia.
c) Procesos del cálculo y la resolución de problemas
En el cálculo mental se ejercitan los procesos conducentes a interiorizar el orden de las cifras (valor
posicional de las mismas), la descomposición asociación de números, la aproximación, estimación y
redondeo y las seriaciones ascendentes y descendentes. En la resolución de problemas aparece un
proceso que se manifiesta de este modo:
a) Definición de la situación problemática (con números o sin números).
b) Comprensión lógica – matemática (identificar los datos, comprender la pregunta a resolver,
identificar las relaciones entre los datos e identificar las operaciones a realizar).
c) Demostrar y comprobar que los datos obtenidos responden a la situación problemática.
d) Transferir o generalizar el proceso a otras situaciones problemáticas.
e) Inventar otras situaciones que requieran un proceso de solución similar.
3. METODOLOGÍA
La metodología para elaborar esta Guía, que pretende evaluar la propia práctica de la enseñanza del
cálculo y resolución de problemas, ha consistido en establecer una serie de criterios relativos a dicho
proceso de enseñanza como ya se hiciese, en su día, con la guía para la evaluación y seguimiento de
los PCC, con la Guía para la evaluación de la práctica docente y con la Guía para la valuación de la
enseñanza de la lectura.
Cada aspecto se ha trabajado de forma individual, posteriormente en equipo, a diferentes niveles, y
finalmente refleja un consenso global en su redacción actual. El esquema de trabajo se desarrolló de
acuerdo con los siguientes pasos:
1. Lectura de una bibliografía común y básica
2. Elaboración de una fundamentación teórica que recoge los principales planteamientos del cálculo
y la resolución de problemas.
3. Diseño de indicadores con estas características:
o Coherentes con la definición que sirve de preámbulo.
o Significativos en cuanto a las posibles respuestas que se esperan obtener.
o Referidos a la revisión y seguimiento.
o Relevantes como elementos evaluables.
o Relevantes en su valor absoluto como explicitación de la realidad constatable.
o Con ejemplificaciones ilustrativas.
o Válidos para E. Infantil, E. Primaria y E. Secundaria.
o Inteligibles por el conjunto del profesorado.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA CONSULTADA - Alsina, C. La educación matemática, hoy. Revista Signos. Teoría y práctica de la educación. Enero
Marzo de 1994
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- Alsina, C. Brugués, Fortuna y otros. Enseñar Matemática. Editorial GRAÓ
- Alsina, A. y otros: Matemáticas para vivir y conocer. Enfoque y propuestas para Primaria.
Revista Aula nº 63.
- Ayala, C. y otros: Pues ...¡Claro! La enseñanza de las matemáticas elementales. Programa de
estrategias de resolución de problemas y refuerzo de las operaciones básicas. Editorial CEPE.
- Carles Lladó. la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias en la educación secundaria
obligatoria. Bases epistemológicas y didácticas. Revista Signos. Teoría y práctica de la educación,
16 octubre-diciembre. 1996
- Carmen Amorós y Mª Rosa Mira Comunicación Y Representación En La Educación Infantil: El
Lenguaje Oral Y Matemático. Revista Signos Teoría y Práctica de la Educación. Número 5-6 .
Enero - Junio 1992
- Fernández Bravo, J.A: Técnicas educativas para la resolución de problemas matemáticos..
Editorial Escuela Española.
- Fernando Corbalán. Matemáticas de la vida cotidiana. Revista Aula nº 63.
- Gastón Mialaret: Las Matemáticas: ¿Cómo se aprenden y cómo se enseñan?. Editorial Visor
- J. A. García Fernández. Integración escolar. Aspectos didácticos y organizativos. Cuadernos de la
UNED. Madrid 1998
- Liliana Carbó Martí. Un proyecto de números. Cuadernos de Pedagogía. Nº 290.
- Luceño Campos, J.L: El número y las operaciones aritméticas básicas: su psicodidáctica. Edit:
Marfil.
- Lluis Segarra. Maneras curiosas de sumar, restar, multiplicar y dividir. Revista
Aula nº 58.
- Mª Ángeles Santiago Gordillo. Y las matemáticas en educación Infantil, qué. Experiencias.
- Martínez Montero, J.: Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI. Editorial Escuela
Española. CISS Praxis
- Matemáticas para todos, todos para las matemáticas. Revista Aula nº 58.
- Miranda, A. Fortes, C, Gil, M.D.: Dificultades del aprendizaje de las matemáticas.
Un enfoque evolutivo. Editorial Aljibe.
- Santiago Molina y otros: Recursos para la elaboración de adaptaciones curriculares
individualizadas. Instrumentos para la evaluación funcional (Área de Matemáticas). Editorial marfil.
1990
- Trini Colomer y otras. Materiales y recursos matemáticos en educación Infantil. Revista Aula nº
83 - 84.
- V. Bermejo y otros. Dificultades de aprendizaje de las Matemáticas. Cap. 14.
- Vicente Bermejo y otros. La perspectiva constructivista en la enseñanza de las matemáticas.
PREPARACIÓN (Antes) La enseñanza se fundamenta en unos conocimientos matemáticos actualizados, en una información
sobre la metodología de la materia y en la experiencia docente personal y en la que se comparte con
otros compañeros; todo aplicado en relación con el contexto que representan las condiciones
particulares de los alumnos como personas individuales y sociales.
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Para preparar las clases hemos de partir de lo que determina el proyecto, programa o currículos de la
materia, de las capacidades, conocimientos e interés de los alumnos y de la necesidad de coordinar
la enseñanza con la que desarrollan los demás profesores que intervienen con los alumnos en el
nivel o en el ciclo.
En la fase de preparación de la enseñanza se han de establecer los objetivos, la motivación de los
alumnos, la coherencia y continuidad de los contenidos, las actividades que los alumnos han de
realizar, determinar espacios y materiales para el trabajo escolar y las estrategias para individualizar
la enseñanza.
También es imprescindible para la evaluación de los aprendizajes determinar los criterios de
evaluación, los procedimientos, instrumentos, y técnicas que permitan explicitar el desarrollo de las
habilidades y capacidades adquiridas y desarrolladas por los alumnos. En definitiva en la fase de
preparación hay que determinar todos los elementos didácticos que faciliten el aprendizaje el cálculo
y la resolución de problemas y que además de desarrollar esas destrezas, las mantengan y las
perfeccionen.
INDICADORES VALORACIÓN OBSERVACIÓN
1. Busco información actualizada sobre matemáticas y
me intereso por nuevos planteamientos metodológicos
para formarme en los distintos aspectos y su
aplicación en el aula.
2. Realizo mi programación de aula con respecto al
cálculo y la resolución de problemas, basándome en el
Proyecto Curricular de Centro.
3. Preparo previamente mi intervención teniendo en
cuenta los conocimientos previos de los alumnos, sus
capacidades, intereses, actitudes y el entorno
inmediato.
4. Planteo la intervención en el área de matemáticas
teniendo en cuenta el vocabulario matemático y el
nivel de comprensión lectora de mis alumnos (para
evitar la ambigüedad del lenguaje, la no comprensión
de conceptos abstractos,...)
5. Formulo objetivos específicos teniendo en cuenta los
diferentes aspectos relacionados con el cálculo y la
resolución de problemas.
Secuencio objetivos y contenidos graduando el nivel
de dificultad.
7 Preparo situaciones motivadoras para crear una actitud
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positiva ante el cálculo y resolución de problemas.
8 Relaciono los contenidos con el fin de asegurar la
coherencia entre ellos y su continuidad.
9 Diseño las actividades considerando la siguiente
secuencia:
- Presentación en un contexto social y cercano.
- Manipulación de objetos concretos/utilización de
datos cercanos.
- Representación simbólica
- Reflexión y verbalización del proceso.
10 Diseño distintas actividades de aprendizaje para el
logro de cada uno de los objetivos.
11 Relaciono el cálculo y la resolución de problemas con
otras áreas, diseñando actividades interdisciplinares.
12 Programo actividades lúdicas o creativas relacionadas
con los contenidos matemáticos.
13 Diseño actividades que favorezcan el uso de distintos
procedimientos en la resolución de problemas y
estrategias de cálculo.
14 Preparo actividades matemáticas en los bloques de
contenidos de las distintas áreas, buscando su relación
con el entorno del alumno y aplicación en una amplia
gama de situaciones sociales.
15 Planifico la utilización de los espacios y materiales
para el trabajo de matemáticas en el aula, centro,...
16 Diseño estrategias para individualizar la enseñanza: a)
utilizando distintos agrupamientos (pareja, grupo
pequeño, etc.) b) planteando cuestiones de distinto
nivel de dificultad y c) planteando diversas técnicas de
trabajo (cooperativo, enseñanza tutorizada, etc.)
17 Me coordino con los demás profesores de mi nivel y
ciclo, seleccionando y secuenciando los contenidos
matemáticos, diseñando actividades variadas,
concretando estrategias, decidiendo tiempos...
18 Me implico activamente en la coordinación interciclo
y entre etapas consensuando objetivos, metodología y
evaluación.
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19 Programo la evaluación teniendo en cuenta distintos
tipos y formas de evaluar (evaluación del profesor,
coevaluación, autoevaluación,...)
20 Diseño actividades de forma sistemática para
desarrollar y mantener las destrezas adquiridas en
cálculo mental, operaciones básicas y resolución de
problemas.
REALIZACIÓN. (DURANTE) El cálculo y la resolución de problemas en sus vertientes de aprendizaje y enseñanza han de seguir
los siguientes pasos:
a) Presentación en un contexto social y cercano.
b) Manipulación de objetos concretos/utilización de datos próximos.
c) Representación simbólica de los datos (numérica o gráfica).
d) Relación entre los datos.
e) Reflexión y verbalización del proceso.
En su concreción didáctica el cálculo y la resolución de problemas han de seguir la siguiente
secuencia:
a) Motivar a los alumnos.
b) Tener en cuenta las fases manipulativa, gráfica y simbólica del desarrollo mental.
c) Verbalizar el proceso con adecuado vocabulario y comprensión.
d) Anticipar hipótesis estimatorias de los resultados.
e) Relacionar los contenidos con otras áreas de enseñanza.
f) Realizar actividades adaptadas y variadas.
g) Utilizar diferentes forma de aprendizaje (individual, grupo, cooperativo).
h) Prevenir errores y considerarlos como fuente de aprendizaje.
i) Actuar el docente como modelo y guía.
INDICADORES VALORACIÓN OBSERVACIÓN
1. Motivo a mis alumnos comunicándoles los objetivos
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que quiero conseguir y la finalidad de las actividades,
partiendo de sus conocimientos previos, relacionando
los contenidos con situaciones reales, informándoles
de la utilidad y creando expectativas.
2. Empleo metodologías que favorezcan el desarrollo de
una actitud positiva del alumno hacia las matemáticas
y que tengan en cuenta los intereses.
3. Tengo en cuenta la fase manipulativa, gráfica y
simbólica en el proceso de enseñanza.
4. Utilizo un lenguaje claro y adaptado a los alumnos.
5. Considero el vocabulario matemático y el nivel de
comprensión lectora de mis alumnos a la hora de
plantear la intervención en el área de matemáticas
(para evitar la ambigüedad del lenguaje, facilitar la
comprensión de conceptos abstractos...).
6. Fomento que los alumnos formulen hipótesis,
verificándolas o reformulándolas posteriormente, que
anticipen soluciones y estimen los resultados de los
problemas.
7. Incentivo verbalizaciones para asegurarme de la
comprensión del alumno y averiguar los procesos que
utiliza en la resolución de los problemas.
8. Actúo como modelo y guía para que los alumnos
vayan adquiriendo el control de su actividad de forma
progresiva empleando verbalizaciones,
ejemplificaciones de los pasos necesarios, esquemas...
9. Relaciono los contenidos y actividades de
matemáticas, con los contenidos y actividades de otras
áreas.
10. Realizo con los alumnos actividades variadas y
adaptadas para dar respuesta a su diversidad.
11. Implico a mis alumnos de manera activa en el trabajo
de los diferentes contenidos matemáticos
proponiéndoles técnicas de aprendizaje cooperativo,
tareas de grupo, provocando discusiones, debates...
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12. Realizo actividades que sirvan para prevenir y corregir
los errores, considerándolos como fuente de
aprendizaje.
13. Proporciono a mis alumnos actividades,
procedimientos y estrategias para trabajar la
numeración, operaciones, problemas, medidas,
geometría y el manejo de la información.
14. . Realizo con los alumnos actividades lúdicas y
creativas, juegos matemáticos, de ingenio, de
razonamiento creativo....
15. Propongo a mis alumnos que dramaticen y vivencien
situaciones problemáticas para comprender y buscar la
solución a los problemas.
16. Enseño estrategias para facilitar el cálculo y
resolución de problemas: dobles, mitades, tablas,
representaciones gráficas, simplificación de
enunciados...
17. Relaciono las diferentes actividades de matemáticas
con el entorno y la vida diaria del alumno (números de
las calles, gráficas en la prensa, juegos....)
promoviendo la generalización y la transferencia de
los aprendizajes adquiridos
18. Utilizo la calculadora y las tecnologías de la
Información y Comunicación (T.I.C) como recursos
didácticos para la investigación, comprobación o
verificación de resultados y para la corrección de
errores.
19. Empleo recursos y materiales variados para el
aprendizaje de las matemáticas: material
manipulativo, gráfico, audiovisual, material impreso...
20. Doy pautas de actuación a los padres para que trabajen
en casa los aspectos de cálculo mental y la resolución
de problemas en consonancia con la metodología
seguida en clase.
EVALUACIÓN (ANTES, DURANTE Y DESPUÉS) La evaluación es un elemento esencial del proceso de enseñanza - aprendizaje que comporta la
recogida sistemática y organizada de información y su interpretación, de manera que permita
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modificar y resolver el proceso educativo. Es un medio fundamental formativo que permite mejorar
el aprendizaje de los alumnos y la enseñanza de los docentes.
Es necesario reflexionar sobre qué evaluamos (capacidades, conocimientos y actitudes), cuando
evaluamos (inicial, continúa y final) y cómo lo hacemos (técnicas, instrumentos, procedimientos,
autoevaluación, cooperativo, externa, interna).
La evaluación del proceso de la enseñanza debe orientarse en dos niveles: el contexto del ala
(preparación, desarrollo y evaluación) y en el contexto del centro (currículos, coordinación,
cooperación).
Los indicadores están dirigidos a analizar la evaluación en varios estados:
a) En relación con el currículo.
b) En relación con la evaluación inicial.
c) En relación con los contenidos e instrumentos de la evaluación.
d) En relación con la temporalización de la evaluación.
e) En relación con el uso de los resultados de la evaluación para mejorar el aprendizaje y la
enseñanza.
INDICADORES VALORACIÓN OBSERVACIÓN
1. Aplico criterios de evaluación de acuerdo con lo
establecido en el Proyecto Curricular y en la
programación de aula, considerando la diversidad
de los alumnos y el equilibrio entre los contenidos
conceptuales, procedimentales y actitudinales.
2. Utilizo la evaluación dentro del proceso de
enseñanza aprendizaje con el fin de reconducir el
mismo.
3. Doy a conocer a mis alumnos los criterios de
evaluación así como los procedimientos y
materiales que se utilizarán durante el desarrollo de
la programación de aula.
4. Realizo una evaluación inicial para conocer el nivel
de conocimiento de mis alumnos, las estrategias
que utilizan en el cálculo y resolución de
problemas, y dificultades que presentan, etc, con el
fin de adecuar el proceso de enseñanza/aprendizaje
a los alumnos.
5. Evalúo, sistemáticamente, el conocimiento y
manejo de los números, el cálculo mental, nivel de
destreza en las operaciones; resolución de
problemas y el proceso seguido, apoyándome en la
autoevaluación, coevaluación...
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6. Hago revisiones periódicas del cuaderno de los
alumnos para comprobar el desarrollo del
aprendizaje y verificar si siguen las pautas de
organización de los trabajos (presentación,
limpieza, orden,...).
7. Empleo materiales variados para evaluar y registrar
los progresos de los alumnos tales como: diario de
clase, cuaderno de notas, gráficas, pruebas
escritas,...
8. Registro los resultados de la evaluación continua de
los contenidos para analizar los progresos y
posibles errores.
9. Informo de los procesos de evaluación a los
alumnos y a los profesores del grupo mediante
entrevistas individuales, informes....
10. Informo a las familias sobre el proceso de
aprendizaje de sus hijos, como resultado de la
observación sistemática, análisis de producciones,
grado de satisfacción, interés y motivación, ...
11. Reflexiono críticamente sobre mi propia formación
y práctica docente referida a la enseñanza del
cálculo y resolución de problemas, sirviéndome de
documentos existentes en el centro: guías para la
reflexión, resultados de las evaluaciones, memorias
finales ...
Esta Guía:
Intenta ser un estímulo para la mejora de la enseñanza que es el núcleo de acción educativa.
Intenta reflejar una actitud de dedicación y de mejora para los alumnos que es el fundamento
de la actuación del profesor.
Intenta reconocer como máximo valor el trabajo del profesor en el aula.
Reconoce que el eje del sistema educativo es el trabajo de cada maestro en su clase, a donde
deben dirigirse todos los apoyos y todos los esfuerzos.
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LECCIÓN 12 : RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
LA ENSEÑANZA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
EN LA ESCUELA PRIMARIA: EXPERIENCIAS DE LOS PROFESORES
ADRIÁN IBARRA MERCADO
Resumen
En el presente trabajo se indaga la experiencia que tienen los profesores sobre la resolución de
problemas en la enseñanza de la matemática en primaria. El estudio se aborda mediante un
cuestionario aplicado a 69 profesores de los cuales 53 laboran en escuelas de organización completa
y 16 en escuelas de organización incompleta.
Con el reconocimiento de la experiencia de los profesores en la enseñanza, puede observarse las
relaciones que establecen con el método y los contenidos de aprendizaje, las dificultades a las que se
enfrentan y cómo las van superando y sobre todo el significado de apropiación de una alternativa de
enseñanza incorporada mediante una reforma curricular.
Palabras clave: resolución de problemas, concepciones de problemas, tipos de problemas.
metodología de enseñanza
Planteamiento del problema
Para realizar una reforma no basta con ―prescribirla‖,. Se requiere de un proceso serio y bien
estructurado de formación y de habilitación de los diferentes participantes. Ahora, a 13 años, se
observan resultados educativos que muestran que el nivel de aprendizaje matemático de los alumnos
mexicanos de primaria y secundaria está por debajo del que alcanzan los estudiantes de países
desarrollados; la mayoría de nuestros jóvenes egresa de la escuela sin los conocimientos y
habilidades que necesitan para una vida adulta plena en el mundo del siglo actual (INEE, 2009)
Los resultados de las pruebas PISA (2000 y 2003) han venido a mostrar que la alfabetización o
competencia matemática se refiere a la capacidad para analizar, razonar y comunicar eficazmente
cuando se enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos. La competencia matemática no
se limita al conocimiento de la terminología, datos y procedimientos, tampoco a las destrezas para
realizar ciertas operaciones y cumplir con ciertos métodos. La competencia matemática implica la
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combinación de estos elementos para satisfacer las necesidades de la vida del individuo como
ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. (INEE: 2005, p 20)
En los estudios antes mencionados se han establecido 7 niveles de desempeño o competencia
matemática (INEE: 2005) en los cuales los aprendizajes de la matemática en México el 88% se
encuentra en los tres primeros niveles. Con otra clasificación de puntajes realizada por el INEE
(Instituto Nacional de Evaluación Educativa ) referida también a 6º grado de primaria y 3º de
secundaria, se encuentra que en las competencias académicas obtenidas en matemática a nivel
nacional hay un 17.4 % de los estudiantes que se encuentran por debajo del nivel básico, poco más
de la mitad (52.3%) se ubica en el nivel básico y casi una cuarta parte (23.5%) se encuentra en el
nivel medio; y solo siete de cada cien estudiantes (6.9%) están en el nivel avanzado (Backhoff,
2006) Pero los resultados bajos en el aprendizaje no se ubican sólo al egre o de los niveles
educativos, están también en otros grados escolares, así lo muestra el estudio de las pruebas
nacionales de matemáticas y lectura que se aplicó a los mismos alumnos en diferentes años escolares
(Martínez, 2004)
Hay dos hechos que llaman la atención. Por una parte los porcentajes no se mantienen
generacionalmente (aumentan y bajan), es decir, los mismos alumnos en diferentes grados escolares,
manifestaron diferentes niveles de aprendizaje. ; y por otra parte, la difusión de los resultados de las
evaluaciones no ha generado acciones correctivas por parte de las Secretarias de Educación a nivel
Federal ni Estatal. Centrándose en la concepción que tienen los profesores sobre los contenidos a
enseñar, Ávila (2002) encuentra en la recuperación del estado de conocimiento (1992-2002) que los
contenidos de aprendizaje no son concebidos ni conceptualizados unívocamente y que los
significados y sentidos de los contenidos de aprendizaje tienen diferentes definiciones. Esto marca
diferencias importantes entre el curriculum establecido y el curriculum construido y abordado por
los profesores.
A partir de estos referentes se considera necesario realizar estudios descriptivos que se aproximen al
problema desde la percepción de los propios docentes, reconociendo las formas de apropiación de
los significados que han construido sobre el enfoque de resolución de problemas, las relaciones que
establecen con los contenidos de aprendizaje y, las formas de cómo consideran que pueden mejorar
sus niveles de dominio. Este acercamiento puede ayudar a prever alternativas de reforma curricular,
potenciando la participación de los profesores.
1. Preguntas de investigación
¿Cómo conciben los profesores la enseñanza mediante la resolución de problemas?
¿Cómo se han acercado los profesores a esta experiencia educativa y qué modificaciones han
vivenciando en el transcurso de los años?
¿Con la aplicación de este enfoque de resolución de problemas, qué actitudes favorables para el
aprendizaje, perciben los profesores que se generan en los alumnos?
¿Con la aplicación que hacen los profesores de este enfoque de enseñanza, en qué contenidos
consideran que han obtenido mayores aprendizajes?
¿Qué dominio tienen los profesores del enfoque de resolución de problemas?
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2. Revisión de la literatura
Problema y resolución de problemas.
El termino problema refiere a una situación, generalmente planteada con finalidad educativa, que
propone una cuestión matemática cuyo método de resolución no es inmediatamente accesible a los
alumnos que intentan resolverla (Callejo, 1994 y Vila 1995) , porque no disponen de un algoritmo
que relacione los datos y la incógnita, ni de un proceso que identifique automáticamente los datos
con la conclusión, y por lo tanto deberá buscar, investigar, establecer relaciones, implicar su afectos,
para afrontar una situación nueva (Pozo, 1988).
El problema es entendido como una herramienta para pensar matemáticamente (Schoenfeld, 1992),
ello requiere de la creación de ambientes de resolución de problemas en el aula. Los problemas son
un medio para poner el énfasis en los alumnos, en sus procesos de pensamiento, una herramienta
para formar sujetos con capacidad autónoma de resolver problemas, críticos y reflexivos, capaces de
preguntarse por los hechos, sus interpretaciones y explicaciones, de tener sus propios criterios
modificándolos si es preciso y de proponer soluciones. (Vila y Callejo 2004, p 32).
Los problemas también son situaciones que permiten desencadenar actividades, reflexiones,
estrategias y discusiones que llevarán a la solución de nuevos conocimientos (SEP, 2000)
Investigación de la resolución de problemas.
La resolución de problemas se encuentra en un estado incipiente respecto a su implementación en
las escuelas (Codina, A. y Rivera, A. 2001); como metodología, es un recurso a través del cual se
desean generar los contenidos de enseñanza y es considerado como parte integral del aprendizaje de
las matemáticas y no como una parte aislada de los programas instruccionales (NCTM, 2000). En el
caso de la educación en México, las autoridades educativas están dejando toda la responsabilidad de
la implementación de la enseñanza a través de problemas a los profesores sin conocer los niveles de
dominio que poseen para hacerlo, ni los tipos de aceptación y de adaptación que están teniendo con
este enfoque de enseñanza.
Aunque los profesores suelen estar acostumbrados a la implantación de las reformas, sin que
habitualmente se les consulte, aún así, persiste la apertura para integrar nuevas alternativas de
enseñanza impulsadas por las instancias gubernamentales. Aun cuando, por ejemplo, en la
incorporación de la propuesta de enseñanza vigente en México desde 1993, los profesores deben
vencer dificultades de tipo técnico (desarrollar nuevas habilidades), y enfrentar como obstáculo
principal la aceptación de que los alumnos pueden trabajar productivamente sin su control (Ávila,
2004). Al respecto, Dávila y Ramírez (2000) consideran que los enfoques actuales de resolución de
problemas, todavía distan de poderse llevar a la práctica en los salones de clase, pues se identifican
algunas dificultades y limitaciones de las propuestas ofrecidas a los maestros (situaciones
insuficientemente adecuadas o carentes de secuencia); el lugar privilegiado que se concede a la
aplicación de técnicas formales, y la dificultad de validar procesos informales, inacabados.
Según Mendoza (2001) los problemas ahora tienen presencia importante en las clases, pero señala
también, que hay una distancia entre lo que se esperaba que ocurriera con la reforma a la enseñanza
de las matemáticas y lo que ocurre realmente en las clases. En esta enseñanza abundan los
problemas que implican una sola operación con la incógnita en el dato final y en los cuales los niños
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aplican un algoritmo ya conocido para obtener la solución. Los problemas más comunes siguen
siendo los de aritmética, seguidos por los de medición, en mucho menor grado se presentan
problemas de geometría o de probabilidad y azar.
La enseñanza de la resolución de problemas, tal y como lo describe Mendoza, corresponde a una
enseñanza de la matemática que no es por descubrimiento ni por construcción. Para Polya (1969) los
profesores de matemáticas tienen en sus manos una gran oportunidad, si utilizan su tiempo en
ejercitar a sus alumnos en operaciones rutinarias matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo
intelectual, pero si estimulan en ellos la curiosidad podrá despertarse el gusto por las matemáticas y
el pensamiento independiente.
3. Método
Este trabajo es un estudio basado en una encuesta de carácter cualitativo (Bizquerra, 2004) centrado
en la opinión de los docentes sobre ―la enseñanza de la resolución de problemas‖
Población
El grupo encuestado estuvo constituido por 69 profesores (34 hombres y 35 mujeres) del estado de
Jalisco, en el centro de la República Mexicana. De entre estos profesores, 53 laboran en escuelas de
organización completa (escuelas que tienen al menos un grupo de cada grado escolar) y 16 en
escuelas de organización incompleta (escuelas con uno, dos o tres profesores). La población
estudiada está distribuida en 20 municipios, cuatro de la zona metropolitana de Guadalajara (capital
del estado) y 16 de zona foránea.
Instrumento
Para el levantamiento de datos se elaboró y aplicó un Cuestionario con 21 preguntas de las cuales 4
son cerradas (opción múltiple) y 16 son preguntas abiertas
Sistematización de la información
Los resultados se organizaron de acuerdo a las preguntas de indagación, los cuales se agruparon en
diferentes categorías, la concentración de la información muestra las tendencias, tipologías y/o
regularidades (Pérez, 2002).
4. Resultados
1) Los profesores identifican los problemas matemáticos con tres ideas: a) situaciones
problemáticas, b) razonamientos prácticos y, c) la búsqueda de soluciones, las cuales están
fuertemente relacionadas con el significado de enseñar a resolver problemas desde los
planteamientos del enfoque de enseñanza promovido en la reforma.
2) Para los profesores, la enseñanza de resolución de problemas hace que el acercamiento a la
matemática se dé de forma más real y amena. Esta visión didáctica que contiene determinados
resultados y actitudes hacia el aprendizaje que los profesores consideran y han construidos como
―aceptables‖, hace que ellos compartan el método y muestren disposición a su aplicación.
3) En sus experiencias de aplicación del enfoque han logrado modificar los temores y el nerviosismo
de acuerdo a ciertas intenciones que a los profesores les parecen importantes en cuanto a las
características de la enseñanza.
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4) Las actitudes que se están generando con la enseñanza de resolución de problemas son la pérdida
del temor por la matemática, la interacción que se da entre los alumnos y al acrecentamiento del
interés por aprender
5) Para los profesores, todos los contenidos (del programa de matemáticas) se pueden trabajar con el
enfoque de enseñanza de resolución de problemas. Por la frecuencia de respuestas que tienen, éstos
se agrupan en tres niveles (ver siguiente grafica). Los contenidos del nivel 1 coinciden con los tipos
de problemas que más se enseñan en las aulas, señalados por Mendoza (2001)
Nivel Contenidos
Nivel 1 Geometría, operaciones de suma y resta y medición
Nivel 2 Operaciones de multiplicación y división, números y tratamiento de la información
Nivel 3 Predicción y azar, variación proporcional
6) Los profesores abordan los dos tipos de problemas, aunque no expresan los tipos de
procedimientos, los procesos cognitivos implementados, las motivaciones y satisfacciones que les
genera a los alumnos, ni tampoco dan cuenta de las formas de adaptación a situaciones nuevas, ni de
la eficiencia del modelo de resolución.
7) Aunque los profesores no reportan los procesos cognitivos involucrados en la resolución, hay una
serie de satisfacciones que dicen tener con el manejo de este tipo de problemas: los alumnos
comprenden el tema de estudio, son más participativos, se acerquen a la matemática con agrado,
experimentan y buscan nuevas estrategias de resolución.
8) La implementación del enfoque se hizo sin una estructura didáctica organizada y secuenciada
para su enseñanza, es decir, ―no hay método‖ que caracterice a la resolución de problemas.
Conclusiones
De acuerdo a los resultados obtenidos en este trabajo, se encuentra que los profesores:
• Tienen disposición para adaptarse a la incorporación de reformas en las que habitualmente no
participan ni opinan
• En general no detectan los tipos de procedimientos y procesos cognitivos empleados por los
alumnos en la resolución de los problemas.
• Han construido una serie de ―significados‖ sobre los ―por qué‖ enseñar a resolver problemas, que
es necesario reconocer y confrontar con los enfoques de la reforma con la finalidad de identificar los
procesos necesarios para la actualización
• En la reflexión didáctica que los profesores han construido sobre la enseñanza de resolución de
problemas, reconocen avances sobre el gusto y aprecio por la matemática en profesores y alumnos,
mayor cooperación en el aprendizaje e interés de los alumnos por aprender a resolver problemas
• Identifican que hay contenidos matemáticos que no se abordan con el método de enseñanza de
resolución de problemas ( variación proporcional y predicción y azar)
• Se han acercado al método y han ido ampliando su experiencia a partir de los resultados en los que
han conseguido mayores aprendizajes en los alumnos
• Hay una constante en el reconocimiento de contenidos en los que se adquieren mayores y menores
aprendizajes utilizando el método (mayores aprendizajes en operaciones de suma y resta, menores
aprendizajes en variación proporcional y predicción y azar).
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• No existe, o no parecen tener en mente un método estructurado para la enseñanza de resolución de
problemas, solo expresan estrategias de aprendizaje de las cuales no hay recomendaciones sobre el
orden y secuencia de aplicación
5. Referencias
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efectos de una transposición, en memorias de la conferencia internacional Elfriede Welzemburger.
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