弾性波動デバイスPart 2: 高周波フィルタ

千葉大学大学院工学研究科

人工システム科学専攻電気電子系コース

橋本研也

平成22年4月3日版

•LCフィルタの設計

•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計

•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計

•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計

•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計

•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計

•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ

内容

•受動・リアクティブ素子による特性合成

•雑音・非線形性弱

•高Q共振子(弾性波､電磁波)の利用（インダクタは低Q）

•インピーダンス整合要

•どうやって素子毎に微妙なインピーダンスを調整？

高周波フィルタ≒受動フィルタ

同一もしくは整数倍のインピーダンスの利用

同時に作れば相対的な誤差少

C2

R0

R0

L1 L1 R0

R0C1 C1

L2

ESES

3エレメントT型LPF 3エレメントπ型LPF

C2

L1 L3

C2

L1

5エレメントT型LPF

C2

L1 L3

C3

L3

C2

L1

7エレメントT型LPF

C1 C3

L2

C1

L2

5エレメントπ型LPF

C1 C3

L2

C3

L4

7エレメントπ型LPF

C1

L2

C1

L1 L2

C2

L3=L2

C3=C1

L4=L1

C1C3

L2

C5=C3

L4

C7=C1

L6=L1I1 I2

V1 V2

I1 I2

V1 V2

76

5

4

3

2

1

11

11

11

11

1)(

sLsC

sLsC

sLsC

sLsY

++

++

++

=

76

5

4

3

2

1

11

11

11

11

1)(

sCsL

sCsL

sCsL

sCsZ

++

++

++

=

Y11もしくはZ11から回路定数を決定

回路構成法は一意でない

23

23

22

22

21

21

011222)(

sssk

sssk

sssksksZ

++

++

++=

と変形すれば､

L0L1 L2 L3

C1 C2 C3

s=jωここで

無損失、対称からS22=S11、S12=S21、|S11|2+|S21|2=1、S11S21

*+S11*S21=0

所望のS21を与えるS11は一意でない

221

211

221

211

011 )1(1

SSSSGY−+

+−= 2

212

11

21012 )1(

2SS

SGY−+

−=

221

211

221

211

011 )1(1

SSSSRZ−−

+−= 2

212

11

21012 )1(

2SS

SRZ−−

=

212

2111 1|| SSjS −±= −

所望のS21からY11もしくはZ11を決定

回路定数の決定

1||2 221

1*21

121

1*21

121

011−±−

+=

−−−

−−

SjSSSSGY

1||2 221

1*21

121

1*21

121

011−−

+=

−−−

−−

SjSSSSRZ

m

NH 20

2

)/(11)(ωω

ω+

=

大平坦特性　ω=0でn階微分まで零

-3

-2

-1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4N=9N=7N=5N=3

Relative frequency

-100-80-60-40-20

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4N=9N=7N=5N=3

Relative frequency

H(d

B)

H(d

B)

遮断特性に難、群遅延かなり平坦

N次バターワースフィルタN次バターワースフィルタ

)/1()/(1 )(2

1

20

∞

=

−=+ Π n

N

n

N ωωωω

}2/)12(exp{0)( Nnjn −=∞ πωω

NH 20

2

)/(11)(ωω

ω+

=

ここで

Re(ω)

Im(ω)

|ω|=ω0

上反面の極のみを選択

∏=

∞−= N

nn

H

1

)( )/1(

1)(ωω

ω

少位相推移設計

極配置

NnLC nn 2

)12(sin2, π−=

))規格化インダクタンス

と規格化キャパシタンス

00 / RLω

00CRω

221

22121

221

221

221

011||1||21

||1SSSSj

SSGY−−

−

−−±

+=

)/1()/(2)/1(

)/1()/1(

10

1

11011

n

N

n

Nn

N

n

n

N

nn

N

n

jGY

ωωωωωω

ωωωω

+−±−

++−=

ΠΠ

ΠΠ

==

==

に代入すると

N:奇数(回路が対称から)}2/)12(exp{0

)( Nnjn −=∞ πωω

R0:特性インピーダンス

7エレメントΤ型バターワースLPF

R0=50Ω, f0=1MHz

数値がばらばら

)/1(/)/1()(1

0

1

0∞

==

−−= ΠΠ∞

n

N

nn

N

nsH ωωωω

ωL ⇔ 1/ωC の変換•LPFからHPFへ jω/ω0⇒ω0/jω

•LPFからBPFへ 　jω/ω0⇒jω/ω0+ω0/jω

ωL ⇔ ωL-1/ωC、

ωC ⇔ ωC-1/ωLの変換

•LPFからBEFへjω/ω0⇒1/(jω/ω0+ω0/jω)

ωL-1/ωC: LとCの直列

ωC-1/ωL: LとCの並列

ωL ⇔ ωL-1/ωC、

ωC ⇔ ωC-1/ωLの変換

原理的にはLPFの設計手法のみで全てOK

HPF, BPF, BEFの実現HPF, BPF, BEFの実現

L'2

C'１C'1

C'2

L'1

L'2

C'1L'1 C'1

C'2

L'1

L'2

C'1

L'1C'1

C2

L1L1

•LPFからHPFへ

•LPFからBPFへ

•LPFからBEFへ

22

11

/1'/1'

CLLC

cc

cc

ωωωω

==

1'' ,1'' 222011

20 == CLCL ωω

22020

11010

')/(1')(')/(1')(

CLCLCL

ccc

ccc

ωωωωωωωωωω

=+−+=+−+

22020

11010

/1')/(1')(/1')/(1')(

CCLLLC

ccc

ccc

ωωωωωωωωωω

=+−+=+−+

1'' ,1'' 222011

20 == CLCL ωω

•基準となるLPF (遮断周波数ωc)

C2 C4

L3 L5

C6L2

C3 C5

L6L4

L1 C1 L7 C7

7エレメントΤ型BPF

12

)12(sin2)1/(1)1(

2)12(sin2)1/(1)1(

2

00

00

=

−=Δ+−Δ+

−=Δ+−Δ+

nnc

ncnc

ncnc

CLN

nRLRC

NnRCRL

ω

πωω

πωω

特性インピーダンスR0

中心周波数fc

通過帯域fc/(1+Δ)↔fc(1+Δ) 12

)12(sin)2()1(2

2)12(sin

)2()1(2

2

0

0

=

−Δ+ΔΔ+

=

−Δ+ΔΔ+

=

nnc

nc

nc

CLN

nRC

Nn

RL

ω

πω

πω

直列腕

並列腕

R0=50Ω, Δ=1%, fc=100MHz

並列腕LのQが100 直列腕LのQが100LのQが無限

左肩下がり 右肩下がり

挿入損失の増加

Q-1ωcL1

中心周波数では？

)()(22

)}({)(2

6421

075311

0

1642

107531

10

021

CCCQRLLLLQG

CCCQGLLLLQRRS

cc

cc

+++++++≅

++++++++≅

−−

−−−

ωω

ωω

Q-1ωcL3 Q-1ωcL5 Q-1ωcL7

Q(ωcC6)-1Q(ωcC4)-1Q(ωcC2)-1

R0

ES R0

直列共振 Z=ωrL/Qr=1/ωrCQr

並列共振 Z=ωaLQa=Qa/ωaC

M

L2L1

M

L2-ML1-M

共通インダクタンスの影響共通インダクタンスの影響

誘導性結合は共通インダクタンスと等価

)()(

)()(

212

22

21

2

211

121

11

IIdtdM

dtdIML

dtdIL

dtdIMV

IIdtdM

dtdIML

dtdIM

dtdILV

++−=+=

++−=+=

零点の発生！

L1, L3間の

結合と等価L4, L6間の

結合と等価

20

22

)/(11)(

ωωεω

NTH

+=

チェビシェフフィルタ

等リップル特性、遮断特性急峻　　（群遅延特性に難）

ε: リップルを決定するパラメータ

]2/)}(sinh)12(cos[{/ 110 Njnjsn

−−±−= επω

⎜⎜⎝

⎛

≥≤

=−

−

1||)coshcosh(1||)coscos(

)( 1

1

xxNxxN

xTNここでTN(x):チェビシェフ多項式

20

2

1)/(1)/1)(/1( ωε jsTssss Nnn

N

n−+=+−Π

=(N:奇数)

ここで

|x|<1で 大値1、 小値-1

-100-80-60-40-20

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3

-2

-1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.2dB 0.2dB

N=9N=7N=5N=3

N=9N=7N=5N=3

Relative frequencyRelative frequency

S 21

(dB

)

S 21

(dB

)

18.3784.13611.7900.3

17.2374.25610.6590.2

15.7174.3659.1260.1

L2 (nH)C1 (pF)L1 (nH)リップル (dB)

N=3, R=50Ω, 1GHz)/1()/(2)/1(

)/1()/1(

10

1

11011

n

N

nNn

N

n

n

N

nn

N

n

ssjsTjss

ssssGY

+−−±−

++−=

ΠΠ

ΠΠ

==

==

ωε

に代入すると　⇒

この種の表はフィルタ設計データとして多くの書籍に掲載。係数決定のフリーソフトも多数存在

Za+

- Zc

Zb

eout ein Zd

能動フィルタ能動フィルタ

badcba

da

dcab

dcadcd

badcba

db

dcba

dcbdcd

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZZK

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZZH

+++=

++++++

=

+++=

++++++

=

−−−

−−−−

−−−

−−−−

))((})({})({)(

))((})({})({)(

111

1111

111

1111

K

G eoutein+ +

この場合G=1

GKGH

ee

in

out

−=

1

H

dabadcba

db

in

out

ZZZZZZZZZZ

GKGH

ee

−+++=

−=

))((1

帰還による誘導成分の実現

bd

dba

ac

ZZQ

sZZZ

ZZ

/2

//1

0

−=

=

=

ω1)/()/(

1

012

0 ++= − ωω sQse

e

in

outとすれば、

LC回路と同様の特性(Q>0.5実現可能)

eoutein H1 H2 H3

多段縦続による所望の周波数特性の実現

Qn-1=2cos{(2n-1)π/16} (n=1,2,3,4)

8次バターワースフィルタ

H4

注: RCだとQ=0.5が限界

GKG

sQssH

+=

++= − 11)/()/(

1)(0

120 ωω

1)}/(){/( 0

10

=+= −

GsQsK ωω +

-eout

RCein

dtdeCRe in

out −=

q=Cein

i=dq/dt

微分器

ここで、

-s/ω0

1/Q

+-

-s/ω0

+-

eout

ein

状態変数型フィルタの構成法一例

+-

C2

C1

eout

ein

iin(t)i2(t)

スイッチトキャパシタフィルタスイッチトキャパシタフィルタ

スイッチの高速切り替え

•スイッチ入力側の時C1上の電荷＝einC1

•スイッチ出力側の時C2に流れ込む電荷＝einC1

dteC

fCe inout ∫−=2

1

f:切り替え周波数

コンデンサが抵抗と同様な役割R=1/C1f

+

-ein eout

CR

ein/R

状態変数s-1の実現

CRによる積分器 dteCR

e inout ∫−=1

全通過フィルタ(APF)

∏ ++

=n n

n

jjH

αωαωω

*

)(

Re(ω)

Im(ω)

APFフィルタの極・

零点配置

1)( =ωH

[ ] [ ][ ]∑

∑+∠

+∠=∠

nn

nn

j

jH

αω

αωω

-

)( *

極と複素共役な零点のペア

位相のみが変化　⇒　遅延時間の増加

Re(ω)

Im(ω)少位相推移系

零点が全て上面に有り

例：Z=Y-1: Z、Yのどちらも伝達関数だから

全ての時間不変な連続フィルタは 少推移系＋APFの積で表現可能！

•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計

•定K、誘導m型フィルタの設計

•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計

•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計

•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計

•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計

•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ

内容

2C

L 2L

2C

2L

2C

LV1 V2

I1 I2

C

R0

R0

L

ES R02=L/Cに設定

定K型フィルタ定K型フィルタ

C 2C

2L 2L 2LI1 I2

V2

反転させながら縦続

(伝送線路の等価回路)

2C C

殆ど同一数値の要素のみで実現

-100-80-60

-40-20

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -3

-2

-1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4N=9N=7N=5N=3

Relative frequency

H(d

B)

N=9N=7N=5N=3

Relative frequency

H(d

B)

バターワースフィルタと類似した特性

2C

L 2L

2C

2L

2C

LV1 V2

I1 I2

長さnλ/2の伝送線路と等価の時|H|=1

イメージパラメータ Zi, Zo & ϕイメージパラメータ Zi, Zo & ϕ

ϕ ZoZi ϕZi Zi ZiZo Zo

Zo

ϕ ϕϕ

3ϕ

Zi Zi Zi

Zi

ZoZo Zo

Zo

入出力反転を伴う縦続

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−−

ϕξϕξϕξϕξ

coshsinhsinhcosh

1

11

i

i

ZZ

F

ここで ξ=(Zi/Zo)0.5

Zs

Zp

( )ps

sppoo

pssi

ZZ

YYYZY

ZZZZ

/sinh

)(

)(

1

1

−

−

=

+==

+=

ϕ

例えば

解析解析

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

−

−

−

)even :(coshsinh

sinhcosh

)odd :(coshsinhsinhcosh

1

1

1

MMMZMZM

MMMZMZM

i

i

i

i

ϕϕϕϕϕξϕξϕξϕξ

F

R0 [Fo] [Fe] R0 eout

.

e1

i1

e2 e3

i2 i3 iM+1

[Fe][Fo] or

[Fo]#1 #2 #3 #M

eM+1

ein

反復を伴う縦続接続

Mjn /πϕ =

R0Ein

R0e1

i1 i2

e2F21

F12F11

F22

の時|S21|=1⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

+++=

+++=

−−

)even :(sinh)//(cosh2

2

)odd :(sinh)//(cosh)(

2

2

00

0011

120210221121

MMZRRZM

MMZRRZM

FGFRFFS

ii

ii

ϕϕ

ϕξξϕξξ

C

R0

R0

L

ES( )

LCCLK

j

KZ

KZ

c

c

co

ci

/1,/

/sin

)/(1/

)/(1

1

2

2

==

=

−=

−=

−

ω

ωωϕ

ωω

ωω

ω<ωcの時：ϕは純虚数、Zi、Zoは実数⇒通過域

ϕ=jnπ/Μ ⇒ ω/ωc=sin(nπ/Μ)

ω>ωcの時：ϕは実数、Zi、Zoは純虚数⇒阻止域

無損失周波数

C

R0

R0

L

ES

定Kフィルタの場合､R0

2=L/Cに設定

誘導m型フィルタ誘導m型フィルタ

mC

mL

mC

mL

(m-1-m)L

(m-1-m)C

直列共振による零点発生

並列共振による零点発生

R02=L/C、

0≤m≤1に設定

急峻な肩特性と帯域外抑圧の劣化

-3

-2

-1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100-80-60-40-20

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Relative frequency

H(d

B)

m=0.9m=0.8m=0.7m=0.6

Relative frequency

H(d

B)

m=1

mC

mL 2L

2C

2L mL

mC

(m-1-m)L

C

(m-1-m)L

C 誘導m型フィルタと定Kフィルタの

組み合わせ

•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計

•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計

•ラダー型フィルタの設計

•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計

•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計

•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計

•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ

内容

ラダー型フィルタラダー型フィルタ

• 同一基板に多くの共振子作成

• 超低損失

• 高耐電力性

• 中庸な帯域外抑圧

回路構成(定K型フィルタの共振子版)

R. Ruby, et al., IEEE Microwave Symp. (2004) pp.931-934

ラダー型FBARフィルタラダー型ラダー型FBARFBARフィルタフィルタ

By Agilent

ωr ωa

ω

Inse

rtion

Los

s (dB

)

Frequency ωInse

rtion

Los

s (dB

)

Frequency

ωr ωa

並列接続直列接続

YsYp

Ys

Yp Yp

ω

Inse

rtion

Los

s (dB

)

Frequency

sp

p s

ωr

ωa=ωr

ωa

π型構成

両側に零点発生！

rrr

raa

QjjQjjCjY

/)/(1)/(/)/(1)/(

2

2

0 ωωωωωωωωω

++++

=

共振器Yp, Ysのモデル共振器Yp, Ysのモデル

1. ZsとZpのγとQrは同一

2. ωrs=ωa

p

仮定 RCL

C0

Zs

Zp

( )sp

sppoo

pssi

YY

YYYZY

ZZZZ

/sinh

)(

)(

1

1

−

−

=

+==

+=

ϕ

-1<Yp/Ys<0 (Ys、Ypのどちらか一方が誘導性)の時通過域

Rel

ativ

e ad

mitt

ance

ω

Yp Ys

ωrp

ωap=ωr

s

ωas

-1<Yp/Ys<0 (Ys、Ypのどちらか一方が誘導性)の時通過域

零点

零点

Ysを大きめに選ぶと広帯域

共振周波数付近(ϕ≈0)で

)(22

)//(22

11

0021

ηη

ωω

++≅

++≅

−−

=

NrM

ZRRZNS

pssr ここで

psCCR 000ωη =

損失 少条件 η=1

γ/rQM = (FOM)

sp CCr 00 /=

1121 1

1−=

=+

≅NrM

S sr

ηωω

NrM-1«1であれば、低損失

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

+++=−−

)even :(sinh)//(cosh2

2

)odd :(sinh)//(cosh)(

2

00

0011

21

NNZRRZN

NNZRRZNS

ii

ii

ϕϕ

ϕξξϕξξ

22

22

11

)1)(1(1

)1)(1(11

)1)(1(112

rr

rrsr

+≅

++≅

++−−

+++≅

γγγ

γγγγωδω

通過帯域幅

帯域外抑圧

( )11

)cosh(1

221+

=≅rTN

SN

ϕ

η=1の時、帯域外では

TN(x)=cosh(Ncosh-1x):

チェビシェフ多項式

sp CCr 00 /=ここで

ここで

Nは挿入損失と帯域外抑圧に影響

rは挿入損失、帯域外抑圧、通過帯域幅に影響

32.5

21.5

10.5

0.96 0.98 1 1.02 1.04

Inse

rtion

loss

in d

B

Relative frequency

r=0.4r=0.6r=0.8r=1.0

0

r=(C0p/C0

s)0.5による周波数特性の変化

r=(C0p/C0

s)0.5による周波数特性の変化

50403020

100

0.80.850.90.95 1 1.051.11.151.2

Inse

rtion

loss

in d

B

Relative frequency

r=0.4r=0.6r=0.8r=1.0

rの増加　⇒

•帯域外抑圧の向上

•帯域幅の減少

"ひげ"＝多段縦続の影響

2

1.5

1

0.5

0

0.96 0.98 1 1.02 1.04

Inse

rtion

loss

in d

B

Relative frequency

ωrsとωa

pの差の影響ωrsとωa

pの差の影響

適当なずれによる帯域幅の拡大

急峻な遮断特性

ラダー型フィルタの設計

• 通過帯域幅はγによって制限

• 損失 小条件よりωr2C0

pC0sR0

2≈1と設定

• 周波数差ωrs-ωa

pより広帯域化

• NrM-1で損失が決定

• 小さなr= C0p/C0

sにより挿入損失と帯域幅は

改善されるが帯域外抑圧は悪化

• 大きなNにより帯域外抑圧は改善されるが､

挿入損失は増加

• ILはYsの動抵抗に敏感

• 肩特性はQに敏感

•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計

•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計

•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計

•格子型フィルタの設計

•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計

•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計

•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ

内容

R0

ein

R0 eoutYe

Yo

Yo

格子(Lattice)フィルタ格子(Lattice)フィルタ 共振子

平衡入出力

1:-1Ye/2

Yo/2等価な回路

但し不平衡入出力

1:-1Ye Ye Yo Yo

Yo-Ye Yo-Ye Ye-Yo Ye-Yo

変形された等価回路

2段縦続のラダー型フィルタと等価

直列腕の共振周波数

並列腕の反共振周波数

Ye=∞, Yo=0もしくはYo=∞, Ye=0

Yoの共振周波数

Yeの反共振周波数

Yeの共振周波数

Yoの反共振周波数

もしくは

共振条件

)1)(1()(

00

021 RYRY

YYRSoe

eo

++−

=

1)()(

12

1

21 +++−

≅ −

−

= MMMMS o

r ηηη

ωω

共振周波数で

ここでM=Qr/γ, η=ωC0R0

損失 少条件　η=1 MMS o

r +−

≅= 1

121 ωωこの時

-40-35-30-25-20-15-10-50

0.9 0.95 1 1.05 1.1-25-20-15-10-505

10152025

Relative frequency

S 21

(dB

)

Rel

ativ

e ad

mitt

ance

(dB

)

Ye

Yo

S21

良好な帯域外抑圧

周波数特性周波数特性

-25

-20

-15

-10

-5

0

0.96 0.98 1 1.02 1.04-4

-3

-2

-1

0

Relative frequency

S 21

(dB

)

S 21

(dB

)

Δ=0Δ=0.2%Δ=0.4%Δ=0.6%

ωro>ωa

eと設定により広帯域化

r=1r=0.95r=0.9r=0.8r=0.85-50

-40

-30

-20

-10

0

0.9 0.95 1 1.05 1.1Relative frequency

S 21

(dB

)C0

o>C0eと設計により良好な遮断特性

通過域周辺に零点発生

Rel

ativ

e ad

mitt

ance

ω

Ye Yo

ωro

ωao=ωr

e

ωae

ω0−

ω0+

Ye=Yoとなる周波数で零点発生

)1)(1()(

00

021 RYRY

YYRSoe

eo

++−

=

•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計

•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計

•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計

•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計

•結合共振子フィルタの設計

•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計

•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ

内容

回路の変形(Δ-Y変換)回路の変形(Δ-Y変換)

Y1

Yt

Y2 Zt

Z1 Z2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

2

1

VV

YYYYYY

II

tt

tt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

2

1

II

ZZZZZZ

VV

tt

tt

V2

I1 I2

V1 V2

I1 I2

V1

221

12

221

21

221

))((

))((

))((

ttt

ttt

ttt

tt

YYYYYYZ

YYYYYYZ

YYYYYYZ

−++=

−++=

−++=

一方が他方の逆行列

L L

C C

結合共振子によるフィルタの実現結合共振子によるフィルタの実現

容量結合を持つ共振回路

L LC' C'

C C

L L

M

誘導結合を持つ共振回路

C C

L-M L-M

M

K

C" C'=C+2KC"=2(C-1-C'-1)-1

Si

Electrodes

スタック型共振子フィルタスタック型共振子フィルタ

基本共振に対する等価回路

•優れた帯域外抑圧•中庸な挿入損失

R0 C0

CmLm Rm

C0 R0E0

両端の電極を並列接続すると容量

位相反転して並列接続すると1-port共振子

Z

縦続されたスタック型共振子フィルタ

第1段 第2段

R0 C0

CmLm Rm

C0E0

C0

CmLm Rm

C0 R0

下部電極加工いらず

From TFR Technologies

スタック型共振子フィルタの周波数

特性例

C0

CmLm Rm

C0

i1

e1 e2

i2

mmm CjRLjZZY

ZCjY

ωω

ω

/1

112

1011

++=−=

+=−

−ここで

伝達関数

}2)1(){1(2

001

00021 +++

= − RCjZRRCjS

ωω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

1112

1211

2

1

ee

YYYY

ii

理想的なRm=0の場合,

となる周波数ω0で

000

00021 1

1RCjRCjS

ωω

+−

= 1|| 21 =S （無損失）

Z

)1/(2)1(2 00001

0 RCjRCjZR ωω −=++ −

2000

2000

)(12

RCRCjZ

ωω

+=

}])(/{2/)([)( 20

2000

200

021 CGGRLjCjG

GSm ωωωω +++−+

≈

2000

2000

0 )(12)(2

RCRCjRLjZ m ω

ωωω+

++−≈ と置くと

12/})(1{1

02

00021

0 ++≈

= RRCRS

m ωωω

100

21 11

11

0 −= +=

+≈

MRCS

mωωω

1000 =RCω損失 少条件γ

ωω

γ

/

1/

0

0

0

QMR

LRC

Q

CC

m

m

mm

m

=

==

=

少損失はMが支配

]1/)(2[1

100

21 ++−≈ −Mjj

Sωωωγ

000 GC =ω の時

]1[1

21

121 −+≈

MSの時]2/)1(1[ 11

0−−

± +±== Mγωωω

-3dB 比帯域幅

)1( 11

0

−−−+ +=− Mγ

ωωω

1

021

0

−−+=

≈−

• γω

ωωωω

S

比帯域幅はMとγが支配

γ

ωω

γ

/

1/

0

0

0

QMR

LRC

Q

CC

m

m

mm

m

=

==

=

結合共振子(スタック型)フィルタの応答結合共振子(スタック型)フィルタの応答

-100

-80

-60

-40

-20

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

R0=50 Ω

R0=0.5 Ω

Frequency [GHz]

|S21

| [dB

]

ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm2)2GHz付近でZ整合となるようSを調整

スタック型フィルタの縦続

R0 C0

CmLm Rm

C0EinR0C0

CmLm Rm

C0 C0

CmLm Rm

C0· · ··

R0

Ein

R0· · · ·

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

−

θθθθ

θθθθ

NNjRNjRN

jRjR

e

e

N

e

eN

cossinsincos

cossinsincos

1

1F

mmm

e

e

CjRLjZZCjCjjR

ZjRZCj

ωωωωθ

θωθ

/1)2(sin

sin1cos

001

0

++=+=

=+=

−

ここで

帯域幅拡大

急峻な遷移帯域特性

-40-35-30-25-20-15-10-5

1.9 1.92 1.94 1.96 1.98 2 2.02Frequency [GHz]

|S21

| [d

B]

N=1N=2N=3N=4

ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm2)

0

•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計

•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計

•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計

•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計

•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計

•多重結合モードフィルタの設計

•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ

内容

横結合型ダブルモードFBARフィルタ

Si

Electrodes

1:-1Rin C0

a CmLm Rma a

s CmLm Rms s

C0 RoutEin

等価回路

両端の電極を並列接続すると1-port共振子

位相反転して並列接続すると別の1-port共振子

単結晶水晶基板を利用した共振子

(TOYOCOM TF2-D0AD6)

•水晶基板のエッチ

ング → 高Q•優れた温度安定

性

•FBARでは困難？

対称と斜対称共振

2Ye=2(Yme+jωC0) 2Yo=2(Ymo+jωC0)

ダブルモードフィルタの等価回路

Yme, Ymo:動アドミタンスjωC0:静電容量

1:-1C0C0

Yme/2

Ymo/2

変形された等価回路

Yoの共振周波数

Yeの反共振周波数

2段のラダー型フィルタと等価

1:-1Ye Ye Yo Yo

Yo-Ye Yo-Ye Ye-Yo Ye-Yo

Yeの共振周波数

Yoの反共振周波数

もしくは

複数個一致させることにより広帯域化

Ye(もしくはYo)における共振周波数とYo(もしくはYe)における共振周波数を一致

ωro ωa

o

ωre ωa

eω

ωωr

o ωao

ω

DMSフィルタ設計原理

多くの共振を利用するほど広帯域

ZnO (L=1.6 μm, S=220×220 μm2)

多重共振フィルタの特性多重共振フィルタの特性

Si

入力出力

結合層 R=2GRayls　(非常にhard), 0.18λ

どの様にして実現？-30-25

-20

-15

-10

-5

0

0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15

Under-coupling

Over-coupling

Critical-coupling

Frequency [GHz]

|S21

| [dB

]

結合フィルタの縦続接続

結合フィルタの縦続接続

ZnO (L=1.6 μm, S=220×220 μm2)

結合材料2 GRayls, 0.18 λ-100-80-60-40-20

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

N=1N=2N=3

Frequency [GHz]

|S21

| [dB

]

-100-80-60-40-20

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

N=1N=2N=3

Frequency [GHz]

|S21

| [dB

] ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm2)

結合材料1 MRayls, 0.1 λ非常にsoft

非常にhard

多重モードフィルタの設計

• YeとYoのγにより帯域幅限定

• 損失 小条件よりωrC0R0≈1• 多くの極と零点を一致させるとその分広帯域、肩特性急峻

• 若干ずらすとより広帯域

• ずらし過ぎるとディップ発生

• 縦続接続により特性改善

• M-1で損失が決定

• ILはYeとYoの動抵抗に敏感

•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計

•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計

•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計

•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計

•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計

•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計

•トランスバーサル型フィルタ

内容

Vout

Vin

圧電基板

Interdigital Transducers (IDT)

SAW

• ホトリソグラフィによる大量生産

• 低損失、小形、低価格• VHF-UHF帯での動作

弾性表面波(SAW)フィルタ弾性表面波(SAW)フィルタ

電極パターンの重み付けがインパルス応答波形

周波数特性とインパルス応答の関係

∫∞

∞−

−=＋

dtjftthfH )2exp()()( π ∫∞

∞−

+=＋

dfjftfHth )2exp()()( π

-0.2-0.15-0.1

-0.050

0.050.1

0.150.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100

Rel

ativ

e am

plitu

de

Electrode number

-0.15-0.1

-0.050

0.050.1

0.15

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100

Rel

ativ

e am

plitu

de

Electrode number

(a) 線形位相設計 (b) 小位相推移設計

振幅特性と位相特性を独立制御

∫

∫∫∞+

+∞

∞−

−−=

−+−=

0

)2cos()()2exp(2

)2exp()()2exp()()(

dtftTthjfT

dtjftthdtjftthfHT

T

ππ

ππ

左右対称なインパルス応答は線形位相

∫+∞

∞−

−= ξξξ dfWHfH dw )()()(たたみこみ積分(Convolution)

∫−

=+=c

c

f

fcc tffdfjftth

＋

)2(sinc2)2exp()( ππ

t

w(t)t

t

hd(t)w(t)

hd(t) 打ち切りの影響は？

周波数領域では？

•負の時間に応答有り　⇒　全体的に遅延

•インパルス応答長が無限　⇒　打ち切り？

フーリエ変換による設計結果フーリエ変換による設計結果

-120-100-80-60-40-20

0

0 2 4 6 8 10

rectangularHammingBlackmannBlackmann-Harris

Relative frequency

Am

plitu

de in

dB

00.20.40.60.8

1

-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.60.8 1

Wei

ght

Relative position

HammingBlackmann

Blackmann-Harris

ハミング関数: w(t)=0.54+0.46cos(2πt/T)

ブラックマン関数:w(t)=0.42+0.5cos(2πt/T) +0.08cos(4πt/T)ブラックマン・ハリス関数:w(t)=0.35875+0.48829cos(2πt/T)

+0.14128cos(4πt/T)+0.01168cos(6πt/T)

窓関数窓関数

hd(t)を有限時間で打ち切るための関数:w(t)

帯域外抑圧と帯域幅はトレードオフ

-45-40-35-30-25-20-15-10-505

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81

Tran

sfer

func

tion

in d

B

Relative Frequency

Tran

sfer

func

tion

in d

B-70-65-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50

5

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81

-1Tran

sfer

func

tion

in d

B

Relative frequency

Tran

sfer

func

tion

in d

B

矩形窓関数

大きなリップル発生

ハミング窓関数

リップル抑圧しかし遷移域幅拡大

ギブスの現象

-70-60-50-40-30-20-10

0

0 0.5 1 1.5 2-0.04-0.03-0.02-0.01

00.010.020.030.040.05

Relative frequency

Tran

sfer

func

tion

in d

B

Tran

sfer

func

tion

in d

B

-0.05

レメッツ交換法による設計結果レメッツ交換法による設計結果

ミニマックス 適化 ⇒等リップル特性

手法提案の論文に設計プログラムが添付　

⇒　世界中に普及

許容リップルと も狭い遷移帯域幅で必要なタップ数を推定可能

デジタル(Finite-Impulse-Response; FIR)フィルタ

a0

τ τ τ τein

+ + + + eout

a1 a2 a3 a4

∑−

=

−=1

0)()(

N

ninnout nteate τ

デジタルシグナルプロセッサ(DSP)による処理

τ: 1clk遅延

∑−

=

−=1

0)(

N

n

nn zazH τ

ADC DACDSPein eout

(Infinite-Impulse-Response; IIR)フィルタ

+ + + + eouta0

ττττ

ein

b1b2b3b4

∑=

−+=N

noutninout ntebteate

10 )()()( τ

τ: 1clk遅延

∑=

−−= N

n

nn zb

azH

1

0

1)(

τ

・少ないタップで良好な遮断特性可能（ただし 少位相推移系）

・係数によっては発振(安定条件:全ての極|がZ|<1)

・FIRと組み合わせて、少ないタップで、位相特性、周波数特性

共に良好なフィルタ実現

低域通過フィルタ(LPF)ω

|H(ω

)|

高域通過フィルタ(HPF)ω

|H(ω

)|

帯域通過フィルタ(BPF)ω

|H(ω

)|

帯域除去フィルタ(BLF)ω

|H(ω

)|