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トポロジカル物質ーバンドのトポロジー理論ー
羽部哲朗
北大 工学院 応用物理学専攻数理物理工学研究室 博士課程 2年
トポロジー理工学特別講義II 2012/11/2
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目次
● バンド構造と量子ホール効果 (導入)● トポロジカル絶縁体
– HgTe (2D)– Bi2Se3 (3D)
● トポロジカル超伝導体– CuxBi2Se3
● まとめ
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バンド構造と物性理論バンド構造:電子の運動量とエネルギーの関係
M anuel Cardona and Fred H . Pollak, Phys. Rev. 142, 530 543 (1966)–G lenn A . Burdick, Phys. Rev. 129, 138 150 (1963)–
金属(銅) 半導体(シリコン)
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伝導度D rudeの公式
n :伝導電荷密度e :電荷 :τ 緩和時間m :有効質量
ギャップがない → 自由な電荷があるギャップがある → 自由な電荷がない
バンドギャップの有無 = 絶縁体と金属の区別
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量子ホール効果
K . von K litzing, G . D orda and M . Pepper Phys. Rev. Lett. 45, 494 497 (1980)–
バンド構造との関係は?
強磁場中の2次元電子系 → ホール電導度が量子化
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量子ホール効果
D .J.Thouless, M . K ohm oto, M .P. N ightingale and M . den N ijs, Phys. Rev. Lett. 49, 405-408 (1982)
図)2 次元 Brillouin zone
久保公式
バンド構造から定義されるベクトル
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量子ホール効果:TKNN数
TK N N 数(第1Chern数):
X .-L. Q i, T. L. H ughes, and S.-C. Zhang ,Phys. Rev. B 78, 195424 (2008)
ホール伝導度:
バンドの詳細によらない離散的な数
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端状態
M . Z. H asan and C. L. K ane, Rev. M od. Phys. 82, 3045 3067 (2010)–
TK N N 数の変わる界面にギャップレス状態
この端状態が量子化したホール電流を担う
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バンド理論とトポロジー
ギャップのあるバンド構造 = なめらかな多様体
・電子はこの多様体上にのみ存在する・多様体の違い = 物質の違い
位相幾何学(トポロジー)による新たな物性
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トポロジーとはなめらかな多様体の詳細によらない特徴をつかむ
連続変形で変化しない量
位相不変量 (Topological N um ber)
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位相不変量の例1もっとも簡単な位相不変量
空間の次元 N
しかし、あまりにも自明
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位相不変量の例2
穴の数は位相不変量
穴の数
連続変形では穴の数は変わらない
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位相不変量の計算穴の数
曲率:接線ベクトルの変化
曲率の積分によって穴の数を求める
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バンド構造のトポロジートポロジカル数
曲率:接線ベクトルの変化
曲率の積分によって穴の数を求める
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トポロジカル数の変化トポロジカル数
・整数値しかとらない・ギャップ絶縁体に対して、占有状態の波動関数で決まる
ギャップが閉じない限りトポロジカル数は変化しない
トポロジカルな性質は摂動に強い
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トポロジカル数と端状態トポロジカル数の変化
真空:自明なトポロジカル数をもつ絶縁体
トポロジカル数の変化 = 界面にギャップレス状態
N=1 N=0 (Vacuum)
Gapless state
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トポロジーと対称性
トポロジカル超伝導
トポロジカル絶縁体
量子ホール効果
A .P.Schnyder, S.Ryu, A .Furusaki, and A .W .W .Ludw ig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008)
TRS:Tim e Reversal Sym m etry, PH S:Perticle H ole Sym m etry, SLS: TRS x PH S
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トポロジカル絶縁体(2D)
L. Fu and C. L. K ane, Phys. Rev. Lett. 95, 146802; 95, 226801 (2005)
トポロジカル数に対応した端状態ができる
伝導度が量子化する
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トポロジカル絶縁体(2D)
M . K onig, et al., Science 318, 766 (2007)
B.A . Bernevig, et al., Science 314, 1757 (2006)
実験理論
厚さを小さくするとトポロジカル数がかわる
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トポロジカル絶縁体(3D)
Bi2Se3の有効ハミルトニアン
トポロジカル数Z 2=1
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トポロジカル絶縁体
Y. X ia, et al., N at. Phys. 5, 398-402 (2009)
A RPESで見た表面状態の分散
Bi2Se3
Y. L. Chen, et al., Science 329, 659 (2010)
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トポロジーと対称性
トポロジカル絶縁体
A .P.Schnyder, S.Ryu, A .Furusaki, and A .W .W .Ludw ig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008)
TRS:Tim e Reversal Sym m etry, PH S:Perticle H ole Sym m etry, SLS: TRSxPH S
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トポロジカル絶縁体時間反転対称性の破れ
Y. L. Chen, et al., Science 329, 659 (2010)
トポロジカル絶縁体の性質はTRSで守られている
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まとめ(中間)時間反転対称性があるバンド絶縁体である
波動関数からトポロジカル数を定義できる
N=1 N=0 (Vacuum)
Gapless state
トポロジカル数の異なる領域界面に特殊な金属状態
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超伝導と準粒子ギャップ超伝導転移
電気伝導 準粒子状態金属 伝導電子 ギャップレス
超伝導 クーパー対 ギャップ
BdGハミルトニアン
大きさΔのギャップをもつ準粒子状態を表現
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トポロジーと対称性
トポロジカル超伝導
トポロジカル絶縁体
量子ホール効果
A .P.Schnyder, S.Ryu, A .Furusaki, and A .W .W .Ludw ig, Phys. Rev. B 78, 195125 (2008)
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トポロジカル超伝導体BdGハミルトニアン
BdGハミルトニアン トポロジカル絶縁体
ペア関数Δが運動量の方向に依存するような超電導体
トポロジカル超電導体
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トポロジカル超伝導体CuxBi2Se3
Cuのインターカレーション→ 電子ドープ
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トポロジカル超伝導体CuxBi2Se3
M issner effect Conductance
バルクで超伝導を確認
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トポロジカル超伝導
S. Sasaki, et al., Phys. Rev. Lett. 107. 217001 (2011)
CuxBi2Se3
微分コンダクタンスの測定
表面状態?を観測
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本講義のまとめ
ギャップを持つバンド構造を多様体と考える
バンドのトポロジー理論
バンドのトポロジカル数による新たな物質のクラス
端状態
位相不変量の異なる物質界面には特殊な粒子が生じる ・質量のないディラック粒子 ・マヨラナ粒子