formulario de calculo

FormularioFormulario

Ing. William E. Londono TerwesMC. Juan Martın Casillas Gonzalez

∫senu du = − cosu + c

∫cosu du = senu + c

ddx (x

n) = nxn−1

ddx(c) = 0

FORMULARIO

Ing. William E. Londono TerwesMC. Juan Martın Casillas Gonzalez

Contenido

Contenido 3

1. Formulario 5

1.1. Propiedades de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Otras Propiedades Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Propiedades de los Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Polinomio en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7. Formulas Especiales de Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9. Sistemas Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.10. Propiedades de los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.11. Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.12. Formula Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.13. Coordenadas Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.14. Notacion Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.15. Relaciones y Funciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.16. Formulas del Factorial y del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.17. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.18. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.19. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.20. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21.1. Identidades Recıprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21.2. Identidades Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21.3. Identidades para Negativos de un Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21.4. Identidades Pitagoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21.5. Identidades de Sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.21.6. Identidades de Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.21.7. Identidades para Cofunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3

1.21.8. Identidades de Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.21.9. Identidades de Factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.21.10.Identidades del Doble de un Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.21.11.Identidades de la Mitad del Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.22. Grados y Radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.23. Triangulos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.24. Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.25. Graficas de Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.26. Funciones Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.27. Ley de los Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.28. Ley de los Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.29. Formulas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.30. Derivacion Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.31. Derivacion Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.32. Propiedades de Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.33. Valores Especiales de Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.34. Tabla de Integrales Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.35. Formulas que Contienen√a2 + u2, a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.36. Formulas que Contienen√a2 − u2, a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.37. Formulas que Contienen√u2 − a2, a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.38. Formulas que Incluyen a+ bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.39. Formulas Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.40. Formulas Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.41. Formulas Logarıtmicas y Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.42. Formulas Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.43. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.43.1. Factores Lineales no Repetidos o Distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.43.2. Factores Lineales Repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.43.3. Factores Cuadraticos Distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.43.4. Factores Cuadraticos Repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1 Formulario

5

6 Formulario

1.1. Propiedades de los Exponentes

Para dos enteros n y m y para los numeros reales a y b.

1. aman = am+n

2. (an)m = amn

3. (ab)m = ambm

4.(ab

)m= am

bm , b 6= 0

5. am

an =

am−n

1an−m

a 6= 0

1.2. Otras Propiedades Exponenciales

Para dos numeros reales a y b cualquiera y m, n y p enteros cualquiera se cumplen (excluyendo ladivision entre cero).

1. (ambn)p = ampbnp

2. a−n

b−m = bm

an

3.(am

bn

)p= amp

bnp

4.(ab

)−n=(ba

)n1.3. Propiedades de los Radicales

Sean k, n y m numeros naturales mayores o iguales que 2 y x ∧ y numeros reales positivos:

1. n√xn = x

2. n√xy = n

√x n√y

3. n

√xy =

n√x

n√y

4.kn√xkm = n

√xm

5. m√

n√x = mn

√x

1.4. Valor Absoluto

Para todo numero real a, su valor absoluto se denota como |a| esta dado por

|a| =

a si a es positivo0 si a = 0−a si a es negativo

Ing. William E. Londono Terwes MC. Juan Martın Casillas Gonzalez

Sistemas Numericos 7

1.5. Polinomio en x

Un polinomio en x es una expresion de la forma

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

Donde los coeficientes a0, a1, . . . , an son numeros reales y n es un entero no negativo.

1.6. Productos Notables

1. (ax+ b)(cx+ d) = acx2 + (ad+ bc)x+ bd

2. (a+ b)(a− b) = a2 − b2

3. (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

4. (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

1.7. Formulas Especiales de Factorizacion

1. x2 + (a+ b)x+ ab = (x+ a)(x+ b)

2. acx2 + (ad+ bc)x+ bd = (ax+ b)(cx+ d)

3. a2u2 + 2abuv + b2v2 = (au+ bv)2 Trinomio cuadrado perfecto

4. u2 − v2 = (u− v)(u+ v) Diferencia de cuadrados

5. u3 − v3 = (u− v)(u2 + uv + v2) Diferencia de dos cubos

6. u3 + v3 = (u+ v)(u2 − uv + v2) Suma de dos cubos

1.8. Conjuntos

a ∈ A a es un elemento del conjunto Aa /∈ A a no es un elemento del conjunto A conjunto vacio o nulo

x|p(x) conjunto de todas las x tales que p(x) es verdadera.A ⊂ B A es un subconjunto de BA⋃B x| x ∈ A o x ∈ B Union

A⋂B x| x ∈ A y x ∈ B Interseccion.

1.9. Sistemas Numericos

N numeros NaturalesZ numeros EnterosQ numeros RacionalesR numeros RealesC numeros Complejos

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


8 Formulario

1.10. Propiedades de los Numeros Reales

Para todos los numeros a, b, c reales

a+ b = b+ a; ab = ba Propiedad conmutativaa+ (b+ c) = (a+ b) + c; a(bc) = (ab)c Propiedad asociativa

a(b+ c) = ab+ ac; Propiedad distributivaa+ 0 = a; (a)(1) = a Elemento neutro

a+ (−a) = 0; a(1a

)= 1 a 6= 0 Inverso aditivo

ab = 0 ⇔ a = 0 o bien b = 0 Propiedad del cero

1.11. Desigualdades e Intervalos

a < b a es menor que ba ≤ b a es menor o igual que ba > b a es mayor que ba ≥ b a es mayor o igual que b(a, b) Intervalo abierto x|a < x < b(a, b] Intervalo semiabierto x|a < x ≤ b[a, b) Intervalo semiabierto x|a ≤ x < b[a, b] Intervalo cerrado x|a ≤ x ≤ b

1.12. Formula Cuadratica

Si ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 entonces

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

o

x =2c

−b±√b2 − 4ac

1.13. Coordenadas Rectangulares

(x1, y1) coordenadas del punto P1

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 distancia entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2)(x2+x1

2 , y2+y12

)punto medio de la recta que une a P1 y P2

m = y2−y1x2−x1

x1 6= x2 pendiente de la recta que pasa por P1 y P2


Hiperbola 9

1.14. Notacion Funcional

f(x) Valor de f en xf−1(x) Valor de la inversa de f en x

(f · g)(x) = f (g(x)) Composicion de funciones

1.15. Relaciones y Funciones Lineales

f(x) = mx+ b Forma lineal(y − y1) = m(x− x1) Forma punto-pendiente

y = c Recta horizontalx = c Recta vertical

1.16. Formulas del Factorial y del Binomio

n! = n · (n− 1) . . . 2 · 1 n ∈ N Factorial de n

(nr

)=

n!

r!(n− r)!

Formula del Binomio

(a+ b)n =

n∑k=0

(nk

)an−kbk n ≥ 1

1.17. Circunferencia

(x− h)2 + (y − k)2 = r2 Centro en (h, k); radio rx2 + y2 = r2 Centro en (0, 0); radio r

1.18. Parabola

y2 = 4px p > 0 Se abre hacia la derechap < 0 Se abre hacia la izquierdafoco(p, 0); directriz x = −p

1.19. Elipse

x2

a2 + y2

b2 = 1 a > b > 0 focos (±c, 0); c2 = a2 − b2

x2

b2 + y2

a2 = 1 a > b > 0 focos (0, ±c); c2 = a2 − b2


10 Formulario

1.20. Hiperbola

x2

a2 −y2

b2 = 1 a > b > 0 focos (±c, 0) c2 = a2 + b2

y2

a2 −x2

b2 = 1 a > b > 0 focos (0, ±c) c2 = a2 + b2

1.21. Identidades Trigonometricas

1.21.1. Identidades Recıprocas

cscx =1

senxsecx =

1

cosxctgx =

1

tanx

1.21.2. Identidades Cociente

tanx =senx

cosxctgx =

cosx

senx

1.21.3. Identidades para Negativos de un Angulo

sen(−x) = − senx

cos(−x) = cosx

tan (−x) = − tanx

1.21.4. Identidades Pitagoricas

sen2x+ cos2x = 1

1 + ctg2x = csc2 x

tan2 x+ 1 = sec2 x

1.21.5. Identidades de Sumas

sen(x+ y) = senx cosy + cosx seny

cos(x+ y) = cosx cosy − senx seny

tan (x+ y) =tanx+ tan y

1 + tanx · tan y


Identidades Trigonometricas 11

1.21.6. Identidades de Diferencias

sen(x− y) = senx cosy − cosx seny

cos(x− y) = cosx cosy + senx seny

tan(x− y) =tanx− tan y

1 + tanx tan y

1.21.7. Identidades para Cofunciones

sen(π

2− y)

= cosy

tan(π

2− y)

= ctgy

sec(π

2− y)

= csc y

sen (90 − θ) = cosθ

tan (90 − θ) = ctgθ

sec (90 − θ) = csc θ

1.21.8. Identidades de Productos

senx cosy =1

2[ sen(x+ y) + sen(x− y)]

cosx cosy =1

2[ sen(x+ y)− sen(x− y)]

senx seny =1

2[ cos(x− y)− cos(x+ y)]

cosx cosy =1

2[ cos(x+ y) + cos(x− y)]

1.21.9. Identidades de Factores

senx+ seny = 2 senx+ y

2cos

x− y2

senx− seny = 2 senx− y

2cos

x+ y

2

cosx+ cosy = 2 cosx+ y

2cos

x− y2

cosx− cosy = −2 cosx+ y

2sen

x− y2


12 Formulario

1.21.10. Identidades del Doble de un Producto

sen2x = 2 senx cosx

cos2x =

cos2x− sen2x1− 2 sen2x2 cos2x

tan 2x =2 tanx

1− tan2x=

2 ctgx

ctg2x− 1=

2

ctgx− tanx

1.21.11. Identidades de la Mitad del Angulo

senx

2= ±

√1− cosx

2

cosx

2= ±

√1 + cosx

2

tanx

2= ±

√1− cosx

1 + cosx=

1− cosx

senx=

senx

1 + cosx

Nota: Los signos se determinan segun el cuadrante al que pertenece x2 .

1.22. Grados y Radianes

θ

180=

θ

πrad

Θ En grados θ en Radianes

&%'$

1

1360(( Circunferencia

&%'$

1 Radian

RR

1.23. Triangulos Especiales

√3a

30-60 triangulo

2a

30

60

a

a

a

√2a

45 triangulo


Funciones Trigonometricas 13

1.24. Funciones Trigonometricas

Para un numero real x cuyo punto en el cırculo es w(x) = (a, b) excluyendo la division entre cero.

senx = b

cosx = a

tanx = ba

cscx = 1b

secx = 1a

ctgx = ab

&%'$

-

6

•

x rad (1, 0)

w(x) = (a, b)

Para cualquier angulo θ (medido en grados o radianes) excluyendo la division entre cero.

senθ = bR

cosθ = aR

tan θ = ba

csc θ = Rb

sec θ = Ra

ctgθ = ab

-

6

?@@

@IR

(a, b)

θx


14 Formulario

1.25. Graficas de Funciones Trigonometricas

y = senx y = cosx

y = A sen(Bx+ C) y = A cos(Bx+ C)

Amplitud= A Periodo= 2πB Frecuencia= B

2π

Desfasamiento =

∣∣∣∣CB∣∣∣∣ Hacia la Izquierda si CB > 0

Hacia la Derecha si CB < 0

y = tanx y = ctgx

y = A tanBx+ C y = A ctgBx+ C

Amplitud= A Periodo= πB Frecuencia= B

π

Desfasamiento =

∣∣∣∣CB∣∣∣∣ Hacia la Izquierda si CB > 0

Hacia la Derecha si CB < 0

1.26. Funciones Trigonometricas Inversas

y = sen−1x significa x = sen y; −π2 ≤ y ≤π2 y − 1 ≤ x ≤ 1

y = cos−1x significa x = cos y; 0 ≤ y ≤ π −1 ≤ x ≤ 1

y = tan−1 x significa x = tan y; −π2 < y < π2 x es cualquier numero real.


Formulas de Derivadas 15

1.27. Ley de los Senos

senα

a=

senβ

b=

senγ

c

1.28. Ley de los Cosenos

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ

c2 = a2 + c2 − 2ac cosγ

si β = 90 entonces b2 = a2 + c2 Teorema de Pitagoras

@@

@@

@@@

@@@@

CCCCCCCCCCC

c

ab

γ

α β

1.29. Formulas de Derivadas

1.d

dx(c) = 0

c es una contante

2.d

dx(x) = 1

3.d

dx(cx) = c

d

dx(x) = c

4.d

dx(xn) = nxn−1

5.d

dx(u+ v + w + . . .) =

d

dx(u) +

d

dx(v) +

d

dx(w) + . . .

6.d

dx(u · v) = u

d

dx(v) + v

d

dx(u)

7.d

dx(cu) = c

d

dx(u)

8.d

dx

(uv

)=v ddx (u)− u d

dx (v)

v2

9.d

dx(un) = nun−1

d

dx(u)

10.d

dx( senu) = cosu

d

dx(u)

11.d

dx( cosu) = − senu

d

dx(u)


16 Formulario

12.d

dx(tanu) = sec2 u

d

dx(u)

13.d

dx( ctgu) = − csc2 u

d

dx(u)

14.d

dx(secu) = secu · tanu

d

dx(u)

15.d

dx(cscu) = − cscu · ctgu

d

dx(u)

16.d

dx( arcsen;u) =

1√1− u2

d

dx(u)

17.d

dx(arc cosu) =

−1√1− u2

d

dx(u)

18.d

dx(arctanu) =

1

1 + u2d

dx(u)

19.d

dx( arcctgu) =

−1

1 + u2d

dx(u)

20.d

dx( arcsecu) =

1

u√u2 − 1

d

dx(u)

21.d

dx( arccscu) =

−1

u√u2 − 1

d

dx(u)

22.d

dx(au) = au ln a

d

dx(u)

23.d

dx(eu) = eu

d

dx(u)

24.d

dx(loga u) =

1

u ln a

d

dx(u)

25.d

dx(lnu) =

1

u

d

dx(u)

26.d

dx( senhu) = coshu

d

dx(u)

27.d

dx(coshu) = senhu

d

dx(u)

28.d

dx(tanhu) = sech2u

d

dx(u)

29.d

dx( ctghu) = − csch2u

d

dx(u)

30.d

dx( sechu) = − sechu · tanhu

d

dx(u)

31.d

dx( cschu) = − cschu · ctghu

d

dx(u)

32.d

dx

(senh−1u

)=

1√u2 + 1

d

dx(u)

33.d

dx

(cosh−1 u

)=

1√u2 − 1

d

dx(u)


Valores Especiales de Funciones Trigonometricas 17

34.d

dx

(tanh−1 u

)=

1

1− u2d

dx(u)

35.d

dx

(ctgh−1u

)=

1

1− u2d

dx(u)

36.d

dx

(sech−1u

)=

−1

u√

1− u2d

dx(u)

37.d

dx

(csch−1u

)=

−1

u√

1 + u2d

dx(u)

1.30. Derivacion Implıcita

1. Derivar ambos lados de la ecuacion respecto de x

2. Agrupar todos los terminos que contengan dydx a la izquierda de la ecuacion y todos los demas a

la derecha

3. Factorizar dydx en el lado izquierdo

4. Despejar dydx

1.31. Derivacion Logarıtmica

1. Aplicar los terminos naturales en ambos lados

2. Usar propiedades de logaritmos

3. Derivar implıcitamente

4. Despejar dydx

5. Sustituir y

6. Simplificar

1.32. Propiedades de Logaritmos

1. ln ab = ln a+ ln b

2. ln(ab

)= ln a− ln b

3. ln

(1

b

)= − ln b

4. ln (ab) = b ln a

1.33. Valores Especiales de Funciones Trigonometricas


18 Formulario

θ θ en rad senθ cosθ tan θ ctgθ sec θ csc θ

0 0 0 1 0 − 1 −

30 π6

12

√32

√33

√3 2

√3

3 2

45 π4

√22

√22 1 1

√2

√2

60 π3

√32

12

√3

√33 2 2

√3

3

90 π2 1 0 − 0 − 1

Alfabeto Griego

Letra Nombre Letra Nombre

A,α Alfa N, ν NUB, β Beta O, o OmicronX,χ Ji Π, π Pi∆, δ Delta Θ, θ TetaE, ε Epsilon P, ρ RoΦ, φ Fi Σ, σ SigmaΓ, γ Gama T, τ TauH, η Eta Υ, υ UpsilonI, ι Iota Ω, ω OmegaK,κ Kapa Ξ, ξ XiΛ, λ Lambda Ψ, ψ PsiM,µ Mu Z, ζ seta

1.34. Tabla de Integrales Basicas

1.

∫udv = uv −

∫vdu

2.

∫undu =

un+1

n+ 1+ c; n 6= −1

3.

∫du

u= lnu+ c

4.

∫eudu = eu + c

5.

∫audu =

1

ln aau + c

6.

∫senudu = − cosu+ c

7.

∫cosudu = senu+ c

8.

∫sec2 udu = tanu+ c


Formulas que Contienen√a2 + u2, a > 0 19

9.

∫csc2 udu = − ctgu+ c

10.

∫secu tanudu = secu+ c

11.

∫cscu ctgudu = − cscu+ c

12.

∫tanudu = ln | secu|+ c

13.

∫ctgudu = ln | senu|+ c

14.

∫secudu = ln | secu+ tanu|+ c

15.

∫cscudu = ln | cscu− ctgu|+ c

16.

∫du√a2 − u2

= sen−1u

a+ c

17.

∫du

u2 + a2=

1

atan−1

u

a+ c

18.

∫du

u√u2 − a2

=1

asec−1

u

a+ c

19.

∫du

a2 − u2=

1

2aln

∣∣∣∣u+ a

u− a

∣∣∣∣+ c

20.

∫du

u2 − a2=

1

2aln

∣∣∣∣u− au+ a

∣∣∣∣+ c

1.35. Formulas que Contienen√a2 + u2, a > 0

21.

∫ √a2 + u2du =

u

2

√a2 + u2 +

a2

2ln |u+

√a2 + u2|+ c

22.

∫u2√a2 + u2du =

u

8(a2 + 2u2)

√a2 + u2 − a4

8ln |u+

√a2 + u2|+ c

23.

∫ √a2 + u2du

u=√a2 + u2 − a ln

∣∣∣∣∣a+√a2 + u2

u

∣∣∣∣∣+ c

24.

∫ √a2 + u2du

u2= −√a2 + u2

u+ ln(u+

√a2 + u2) + c

25.

∫du√a2 + u2

= ln |u+√a2 + u2|+ c

26.

∫u2du√a2 + u2

=u

2

√a2 + u2 − a2

2ln |u+

√a2 + u2|+ c

27.

∫du

u√a2 + u2

=1

aln

∣∣∣∣∣√a2 + u2 + a

u

∣∣∣∣∣+ c


20 Formulario

28.

∫du

u2√a2 + u2

= −√a2 + u2

a2u+ c

29.

∫du

(a2 + u2)32

=u

a2√a2 + u2

+ c

1.36. Formulas que Contienen√a2 − u2, a > 0

30.

∫ √a2 − u2du =

u

2

√a2 − u2 +

a2

2sen−1

u

a+ c

31.

∫u2√a2 − u2du =

u

8(2u2 − a2)

√a2 − u2 +

a4

8sen−1

u

a+ c

32.

∫ √a2 − u2du

u=√a2 − u2 − a ln

∣∣∣∣∣a+√a2 − u2u

∣∣∣∣∣+ c

33.

∫ √a2 − u2duu2

= − 1

u

√a2 − u2 − sen−1

u

a+ c

34.

∫u2du√a2 − u2

= −u2

√a2 − u2 +

a2

2sen−1

u

a+ c

35.

∫du

u√a2 − u2

= −1

aln

∣∣∣∣∣a+√a2 − u2u

∣∣∣∣∣+ c

36.

∫du

u2√a2 − u2

= − 1

a2u

√a2 − u2 + c

37.

∫(a2 − u2)

32 du = −u

8(2u2 − 5a2)

√a2 − u2 +

3

8a4 sen−1

u

a+ c

38.

∫du

(a2 − u2)32

=u

a2√a2 − u2

+ c

1.37. Formulas que Contienen√u2 − a2, a > 0

39.

∫ √u2 − a2du =

u

2

√u2 − a2 +

a2

2ln |u+

√u2 − a2|+ c

40.

∫u2√u2 − a2du =

u

8(2u2 − a2)

√u2 − a2 − a4

8ln |u+

√u2 − a2|+ c

41.

∫ √u2 − a2du

u=√u2 − a2 − a cos−1

a

|u|+ c

42.

∫ √u2 − a2u2

du = −√u2 − a2u

+ ln |u+√u2 − a2|+ c

43.

∫du√u2 − a2

= ln |u+√u2 − a2|+ c

44.

∫u2du√u2 − a2

=u

2

√u2 − a2 +

a2

2ln |u+

√u2 − a2|+ c


Formulas Trigonometricas 21

45.

∫du

u2√u2 − a2

=

√u2 − a2a2u

+ c

46.

∫du

(u2 + a2)32

= − u

a2√u2 − a2

+ c

1.38. Formulas que Incluyen a + bu

47.

∫du

a+ bu=

1

b2(a+ bu− a ln |a+ bu|) + c

48.

∫u2du

a+ bu=

1

2b2[(a+ bu)2 − 4a(a+ bu) + 2a2 ln |a+ bu|] + c

49.

∫du

u(a+ bu)=

1

aln

∣∣∣∣ u

a+ bu

∣∣∣∣+ c

50.

∫du

u2(a+ bu)=−1

au+

b

a2ln

∣∣∣∣a+ bu

u

∣∣∣∣+ c

51.

∫udu

(a+ bu)2=

a

b2(a+ bu)− 1

b2ln |a+ bu|+ c

52.

∫du

u(a+ bu)2=

1

a(a+ bu)− 1

a2ln

∣∣∣∣a+ bu

u

∣∣∣∣+ c

53.

∫u2du

(a+ bu)2=

1

b2

(a+ bu− a2

a+ bu− 2a ln |a+ bu|

)+ c

54.

∫u√a+ budu =

2

15b2(3bu− 2a)(a+ bu)

32 + c

55.

∫udu√a+ bu

=2

3b2(bu− 2a)

√a+ bu+ c

56.

∫u2du√a+ bu

=2

15b3(8a2 + 3b2u2 − 4abu)

√a+ bu+ c

57.

∫du

u√a+ bu

=1√a

ln

∣∣∣∣√a+ bu−√a√

a+ bu+√a

∣∣∣∣+ c, si a > 0

58.

∫ √a+ budu

u= 2√a+ bu+ a

∫du

u√a+ bu

+ c

59.

∫ √a+ budu

u2= −√a+ bu

u+b

2

∫du

u√a+ bu

+ c

60.

∫un√a+ budu =

2

b(2n+ 3)

[un(a+ bu)

32 − na

∫un−1

√a+ budu

]

61.

∫undu√a+ bu

=2un√a+ bu

b(2n+ 1)− 2na

b(2n+ 1)

∫un−1du√a+ bu

62.

∫du

un√a+ bu

= −√a+ bu

a(n− 1)un−1 − b(2n− 3)

2a(n− 1)

∫du

un−1√a+ bu


22 Formulario

1.39. Formulas Trigonometricas

63.

∫sen2udu =

1

2u− 1

4sen2u+ c

64.

∫cos2udu =

1

2u+

1

4sen2u+ c

65.

∫tan2 udu = tanu− u+ c

66.

∫ctg2udu = − ctgu− u+ c

67.

∫sen3udu = −1

3(2 + sen2u) cosu+ c

68.

∫cos3udu = −1

3(2 + cos2u) senu+ c

69.

∫tan3 udu =

1

2tan2 u+ ln | cosu|+ c

70.

∫ctg2udu = −1

2ctg2u− ln | senu|+ c

71.

∫sec3 udu =

1

2secu tanu+

1

2ln | secu+ tanu|+ c

72.

∫csc3 udu = −1

2cscu ctgu+

1

2ln | cscu− ctgu|+ c

73.

∫sennudu = − 1

nsenn−1u cosu+

n− 1

n

∫senn−2udu

74.

∫cosnudu =

1

ncosn−1u senu+

n− 1

n

∫cosn−2udu

75.

∫tann udu =

1

n− 1tann−1 u−

∫tann−2 udu

76.

∫ctgnudu = − 1

n− 1ctgn−1u−

∫ctgn−2udu

77.

∫secn udu =

1

n− 1secn−2 u tanu+

n− 2

n− 1

∫secn−2 udu

78.

∫cscn udu = − 1

n− 1cscn−2 u ctgu+

n− 2

n− 1

∫cscn−2 udu

79.

∫senau senbudu =

sen(a− b)u2(a− b)

− sen(a+ b)u

2(a+ b)+ c

80.

∫cosau cosbudu =

sen(a− b)u2(a− b)

+sen(a+ b)u

2(a+ b)+ c

81.

∫senau cosbudu = − cos(a− b)u

2(a− b)− cos(a+ b)u

2(a+ b)+ c

82.

∫u senudu = senu− u cosu+ c


Formulas Logarıtmicas y Exponenciales 23

83.

∫u cosudu = cosu+ u senu+ c

84.

∫un senudu = −un cosu+ n

∫un−1 cosudu

85.

∫un cosudu = −un senu+ n

∫un−1 senudu

86.

∫sennu cosmudu = − senn−1u cosm+1u

n+m+

n− 1

n+m

∫senn−2u cosmudu

=senn−1u cosm−1u

n+m+m− 1

n+m

∫sennu cosm−2udu

1.40. Formulas Trigonometricas Inversas

87.

∫sen−1udu = u sen−1u+

√1− u2 + c

88.

∫cos−1udu = u cos−1u−

√1− u2 + c

89.

∫tan−1 udu = u tan−1 u− 1

2ln (1 + u2) + c

90.

∫u sen−1udu =

2u2 − 1

4sen−1u+

u√

1− u24

+ c

91.

∫u cos−1udu =

2u2 − 1

4cos−1u− u

√1− u24

+ c

92.

∫u tan−1 udu =

u2 + 1

2tan−1 u− u

2+ c

93.

∫un sen−1udu =

1

n+ 1

[un+1 sen−1u−

∫un+1du√

1− u2

]+ c; n 6= −1

94.

∫un cos−1udu =

1

n+ 1

[un+1 cos−1u+

∫un+1du√

1− u2

]+ c; n 6= −1

95.

∫un tan−1 udu =

1

n+ 1

[un+1 tan−1 u−

∫un+1du

1 + u2

]+ c; n 6= −1

1.41. Formulas Logarıtmicas y Exponenciales

96.

∫ueaudu =

1

a2(au− 1)eau + c

97.

∫uneaudu =

1

auneau − n

a

∫un−1eaudu+ c

98.

∫senbueaudu =

eau

a2 + b2(a senbu− b cosbu) + c


24 Formulario

99.

∫cosbueaudu =

eau

a2 + b2(a cosbu+ b senbu) + c

100.

∫lnudu = u lnu− u+ c

101.

∫un lnudu =

un+1

(n+ 1)2[(n+ 1) lnu− 1] + c

102.

∫1

u lnudu = ln | lnu|+ c

1.42. Formulas Hiperbolicas

103.

∫senhudu = coshu+ c

104.

∫coshudu = senhu+ c

105.

∫tanhudu = ln | coshu|+ c

106.

∫ctghudu = ln | senhu|+ c

107.

∫sechudu = tan−1 | senhu|+ c

108.

∫cschudu = ln | tanh

1

2u|+ c

109.

∫sech2udu = tanhu+ c

110.

∫csch2udu = − ctghu+ c

111.

∫sechu tanhudu = − sechu+ c

112.

∫cschu ctghudu = − cschu+ c


Fracciones Parciales 25

1.43. Fracciones Parciales

Una funcion racional de la forma P (x)Q(x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios donde el grado de P (x)

es menor que el grado de Q(x), tiene un desarrollo en fracciones parciales; cuya forma se basa en losfactores lineales y cuadraticos de Q(x). Suponemos ademas que los coeficientes de los polinomios sonnumeros reales. Consideraremos cuatro casos, los mas comunes que son :

1. Factores lineales no repetidos o distintos

2. Factores lineales repetidos

3. Factores cuadraticos distintos

4. Factores cuadraticos repetidos

Trataremos de analizar cada uno de estos casos, de manera facil y comprensible para el lector, haciendomencion que pueden existir muchos metodos y formas de presentacion, segun convenga, veamos.

1.43.1. Factores Lineales no Repetidos o Distintos

Si Q(x) se puede factorizar como un producto de factores lineales distintos, es decir

Q(x) = (x− r1)(x− r2)(x− r3) . . . (x− rn)

Donde los ri son numeros reales distintos entre si, entonces el desarrollo en fracciones parciales tienela forma

P (x)

Q(x)=

A1

(x− r1)+

A2

(x− r2)+

A3

(x− r3)+ . . .+

An(x− rn)

Donde los Ai son numeros reales. Hay muchas formas de determinar las constantes A1, A2, A3, . . . , An.Veamos una de tantas, como en el siguiente ejemplo

Ejemplo 1.1. Dada la funcion racional

8x2 − 28x+ 22

x3 − 6x2 + 11x− 6

Solucion:

Primero que todo factorizamos el polinomio

Q(x) = x3 − 6x2 + 11x− 6

como

Q(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)

De manera que la funcion racional es ahora

8x2 − 28x+ 22

(x− 1)(x− 2)(x− 3)

Entonces la descomposicion en factores parciales es la siguiente

8x2 − 28x+ 22

(x− 1)(x− 2)(x− 3)=

A

(x− 1)+

B

(x− 2)+

C

(x− 3)(1)


26 Formulario

La ecuacion (1) la multiplicaremos por (x− 1)(x− 2)(x− 3) a ambos lados, y se reduce a

8x2 − 28x+ 22 = A(x− 2)(x− 3) +B(x− 1)(x− 3) + C(x− 1)(x− 2) (2)

Note que esta ultima ecuacion, en el segundo lado de la ecuacion anula B y C, si hacemos x = 1, demanera que al sustituir x = 1 en la ecuacion resulta

8(1)2 − 28(1) + 22 = A(−1)(−2) Donde A = 2

Cabe mencionar que si somos cuidadosos al elegir los valores para x, el sistema se puede resolverfacilmente, continuamos con la ecuacion (2) si elegimos ahora el valor de x = 2, observe que el segundolado de la ecuacion (2) anula A y C. Por lo tanto se reduce a

8(2)2 − 28(2) + 22 = B(1)(−1)

32− 56 + 22 = −B Donde B = 2

Por ultimo, si elegimos x = 3 en la ecuacion (2) observe que anula A y B asi que

8(3)2 − 28(3) + 22 = C(2)(1)

72− 84 + 22 = 2C

10 = 2C Donde C = 5

Observe que hemos finalizado con asignar los valores de A,B y C, mediante el metodo descrito ante-riormente. Por lo tanto la ecuacion (1), descompuesta en sus fracciones parciales es

8x2 − 28x+ 22

(x− 1)(x− 2)(x− 3)=

2

(x− 1)+

2

(x− 2)+

5

(x− 3)

Ejemplo 1.2. Descomponga en fracciones parciales, la funcion racional

8x2 − 3x+ 2

x4 + 5x3 + 5x2 − 5x− 6

Solucion:

Utilizando el metodo anterior. Sugerencia el polinomio

Q(x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 5x− 6

= (x2 − 1)(x+ 2)(x+ 3)

= (x− 1)(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)

1.43.2. Factores Lineales Repetidos

Sea (x− r) un factor de Q(x) y supongamos que (x− r)m es la maxima potencia de (x− r) que divide

a Q(x). Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales de P (x)Q(x) correspondiente al termino

(x− r)m esA1

(x− r)+

A2

(x− r)2+

A3

(x− r)3+ . . .+

Am(x− r)m

Donde los Ai son numeros reales



Ejemplo 1.3. Dada la funcion racional

x2 + 9x+ 2

x3 + 2x2 − 5x+ 3

Descompongala en fracciones parciales

Solucion:

Primero Factorizamos el polinomio Q(x) como

x3 + 2x2 − 5x+ 3 = (x− 1)2(x+ 3)

Como (x− 1) es un factor repetido con multiplicidad dos y (x+ 3) es un factor lineal no repetido, eldesarrollo en fracciones parciales asume la forma

x2 + 9x+ 2

(x− 1)2(x+ 3)=

A

(x− 1)+

B

(x− 1)2+

C

x+ 3

Primero multiplicamos ambos lados por (x− 1)2(x+ 3) para obtener

x2 + 9x+ 2 = A(x− 1)(x+ 3) +B(x+ 3) + C(x− 1)2 (3)

Luego observamos que si x = 1 (o x = −3), dos terminos del lado derecho de (3) se anulan quedandouna ecuacion en terminos de B (o C). Al hacer x = 1 en (3) tenemos

1 + 9 + 2 = A(0) + 4B + C(0)

12 = 4B Donde B = 3

De manera analogica, si x = −3 en (3)

9− 27 + 2 = A(0) +B(0) + 16C

−16 = 16C Donde C = −1

Por ultimo para hallar A, elegimos un valor distinto de x. Digamos x = 0 como B = 3 y C = −1. Alhacer x = 0 en (3) se llega a

2 = −3A+ 3B + C

2 = −3A+ 9− 1 Donde A = 2

Por lo tantox2 + 9x+ 2

(x− 1)2(x+ 3)=

2

(x− 1)+

3

(x− 1)2− 1

x+ 3

Tambien podriamos determinar a las constantes A,B y C escribiendo la ecuacion (3) en la forma

x2 + 9x+ 2 = (A+ C)x2 + (2A+B − 2C)x+ (−3A+ 3B + C)

Luego, al igualar los coeficientes correspondientes de x2, x y 1 resolver el sistema resultante. De nuevotenemos que A = 2, B = 3 y C = −1

Ejemplo 1.4. Descomponer en fracciones parciales, la funcion racional

x2 + 4x− 1

(x− 1)3


28 Formulario

Solucion:

Observe que (x−1)3 es la maxima potencia de (x−1) que divide a Q(x), entonces la parte del desarrollo

en fracciones parciales de P (x)Q(x) correspondiente al termino (x− 1)3 es

x2 + 4x− 1

(x− 1)3=

A

(x− 1)+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1)3(4)

Donde A,B y C son numeros reales ahora multiplicaremos la ecuacion (4) por (x− 1)3 para obtener

x2 + 4x− 1 = A(x− 1)2 +B(x− 1) + C (5)

Observe que si x = 1, dos terminos de el lado derecho de (5) se anulan, quedando una ecuacion linealen terminos de C, al hacer x = 1 en (5)

1 + 4− 1 = A(0) +B(0) + C

4 = C

De forma similar si damos una valor distinto de x = 1, digamos x = 0 tendremos una ecuacion linealen terminos de A y B, es decir

x = 0

−1 = A−B + C

Pero sabemos que C = 4, entonces la primera ecuacion lineal en terminos de A y B que resulta de (5)es

−5 = A−B (6)

Ahora damos otro valor a x, distinto de 0 y 1. Digamos x = 2, al sustituir x = 2 en la ecuacion (5)resulta

4 + 8− 1 = A+B + C

11 = A+B + 4

7 = A+B (7)

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones dado en (6) y (7) para obtener A = 1 y B = 6 de maneraque

x2 + 4x− 1

(x− 1)3=

1

(x− 1)+

6

(x− 1)2+

4

(x− 1)3

Hay otra forma de resolver el ejemplo (1.4) y es por medio de derivadas, consideremoslo como unsegundo metodo. Veamos la funcion racional expresada en fracciones parciales es

x2 + 4x− 1

(x− 1)3=

A

(x− 1)+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1)3(8)

Primero note que x = 1 anula el denominador de las fracciones en el segundo lado de la ecuacion (8).De manera que de derecha a izquierda de (8) se toma la primera constante que es C y se sustituyex = 1 en el numerador de la fraccion (8) del lado izquierdo, es decir

C = (1)2 + 4(1)− 1

C = 4



Ahora para determinar la constante B se deriva el polinomio P (x) de la ecuacion (8), y se sustituyeen el valor de x = 1, es decir

B =d

dx(x2 + 4x− 1)

∣∣∣∣x=1

B = 2x+ 4

∣∣∣∣x=1

B = 6

Y por ultimo para encontrar A, se deriva el polinomio anterior 2x+ 4 se divide entre el factorial de 2.Y se sustituye x = 1, es decir

A =ddx (2x+ 4)

2!

A =2

2!= 1

Asi quex2 + 4x− 1

(x− 1)3=

1

(x− 1)+

6

(x− 1)2+

4

(x− 1)3

Que coincide con el mismo resultado de antes

1.43.3. Factores Cuadraticos Distintos

Sean (ax2 + b), (cx2 + d), . . . factores de Q(x) entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales

de P (x)Q(x) correspondientes a cada factor son

P (x)

Q(x)=

Ax+B

(ax2 + b)+

Cx+D

(cx2 + d)+ . . .+

Y x+ Z

(yx2 + z)

Donde A,B,C, . . . son numeros reales

Ejemplo 1.5. Considere la funcion racional

3x3 − 2x+ 3

(x2 + 1)(x2 + 4)

Donde Q(x) = (x2 + 1)(x2 + 4)Entonces la descomposicion en fracciones parciales es la siguiente

3x3 − 2x+ 3

(x2 + 1)(x2 + 4)=Ax+B

(x2 + 1)+Cx+D

(x2 + 4)(9)

f(x) = 3x4 + 5x3 + 25x2 + 45x− 18

Solucion:

Paso 1 El grado de f es 4, entonces f tendra cuatro ceros complejos.

Paso 2 La regla de los signos de descartes proporciona informacion acerca de los ceros reales. Paraeste polinomio hay un cero real positivo dado que

f(−x) = 3x4 − 5x3 + 25x2 − 45x− 18


30 Formulario

Paso 3 Los ceros racionales posibles son

±1

3, ±2

3, ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18

Primero se prueba 1

3 5 25 45 -181

3 8 33 783 8 33 78 60

Prueba en −1

3 5 25 45 -18-1

-3 -2 -23 -223 2 23 22 -40

La ecuacion (9) la multiplicaremos por (x2 + 1)(x2 + 4) a ambos lados para obtener

3x3 − 2x+ 3 = (Ax+B)(x2 + 4) + (Cx+D)(x2 + 1) (10)

ademas observe el lado derecho de (10) si tomamos x = i, se anula C y D. Por lo tanto formamos unaecuacion lineal en terminos de A y B, es decir si x = i, entonces

3(i)3 − 2(i) + 3 = (Ai+B)(−1 + 4)

−3i− 2i+ 3 = (Ai+B)(3)

−5i+ 3 = 3Ai+ 3B

de manera que, las dos ecuaciones lineales para A y B son

−5 = 3A

3 = 3B Donde A = −53 y B = 1

Ahora regresamos de nuevo a la ecuacion (10) y tomamos x = 2i, para anular A y B en la ecuacion(10) y encontrar C y D, es decir, si x = 2i, entonces

3(2i)3 − 2(2i) + 3 = (Ax+B)(0) + (Cx+D)(−4 + 1)

−24i− 4i+ 3 = (2Ci+D)(−3)

−28i+ 3 = −6Ci− 3D

Donde las ecuaciones son

−28 = −6C

3 = −3D

Por lo tanto C = 143 y D = −1.



De manera que la funcion racional queda expresada como

3x3 − 2x+ 3

(x2 + 1)(x2 + 4)=

−5x3 + 1

x2 + 1+

14x3 − 1

x2 + 4

= −5(x− 3

5 )

3(x2 + 1)+

14(x− 314 )

3(x2 + 4)

1.43.4. Factores Cuadraticos Repetidos

Si el polinomio Q(x) tiene un factor cuadratico irreducible repetido (ax2 + bx+ c)n, n ≥ 2, y entero,

entonces la descomposicion de P (x)Q(x) en fracciones parciales contiene los terminos

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ . . .+

Anx+Bn(ax2 + bx+ c)n

Donde se van determinando los numeros A1, B1, A2, B2, . . . , Bn y An

Ejemplo 1.6. Escribir la descomposicion en fracciones parciales de

x3 + x2

(x2 + 4)2

Solucion:

El polinomio Q(x) contiene el factor cuadratico irreducible repetido (x2 + 4)2 por lo que se escribira

x3 + x2

(x2 + 4)2=Ax+B

x2 + 4+

Cx+D

(x2 + 4)2(11)

si multiplicamos la ecuacion (11) por (x2 + 4)2 a ambos lados se tiene

x3 + x2 = (Ax+B)(x2 + 4) + (Cx+D) (12)

observe la ecuacion (12) que el segundo lado de la ecuacion se anulo para x = 2i tanto A como B ypodemos encontrar una ecuacion lineal en terminos de C y D es decir, si x = 2i, entonces

(2i)3 + (2i)2 = (C2i+D)

−8i− 4 = 2Ci+D Donde

−8 = 2C

−4 = D

Por lo tanto C = −4 y D = −4. Regresando a la ecuacion (12) observe que al hacer x = 2i unicamenteme anulaba A y B. Bueno ahora supondremos otro valor cualesquiera como puede ser un real, digamosx = 0 entonces la ecuacion (12) se reduce a

0 = (0 +B)(4) + (0 +D)

0 = 4B +D Pero como D = −4

Entonces

4 = 4B Donde B = 1


32 Formulario

y para encontrar el valor de A, tomaremos otro valor diferente como puede ser x = 1, de manera que(12) se convierte en

1 + 1 = (A+B)(5) + (C +D)(1)

2 = 5A+ 5B + C +D (13)

Pero se conocen B, C y D por lo tanto al sustituir en (13) se tiene

2 = 5A+ 5(1) + (−4) + (−4)

2 = 5A+ 5− 4− 4

2 = 5A− 3

A = 1

de manera quex3 + x2

(x2 + 4)2=

x+ 1

x2 + 4+−4x− 4

(x2 + 4)2


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