föreläsning 9 - users.isy.liu.seusers.isy.liu.se/en/rt/andersh/teaching/kurs10_sv.pdflcf = nm−1...

$: Föreläsning 9 - users.isy.liu.seusers.isy.liu.se/en/rt/andersh/teaching/kurs10_sv.pdfLCF = NM−1 | {z } RCF där M˜ och N˜ är stabila. Faktoriseringen är dessutom normaliserad$
Forelasning 9: RepetitionAnders Helmersson

AUTOMATIC CONTROL

LINKÖPINGS UNIVERSITETCOMMUNICATION SYSTEMS

1

Robust Flervariabel Reglering

Föreläsning 9

Anders [email protected]

Department of Electrical EngineeringLinköpings universitet


AUTOMATIC CONTROL


2Vad gör vi i dag

■ Repetition


AUTOMATIC CONTROL


3System

System: Linjära, tidsinvarianta (LTI)

G(s) =

[A BC D

]

= D + C(sI − A)−1B

Tillståndstransformationer inför nya tillstånd, x = T x:

G(s) =

[TAT−1 TBCT−1 D

]


AUTOMATIC CONTROL


4H∞-normen

H∞-normen är maximum (sup) avσ(G(jω)) för stabila system.

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

20Singular Values

omega (rad/sec)

sigm

a (d

B)

Energibetraktelse:

y

� G �u

‖y‖2 ≤ γ‖u‖2

γ = ‖G‖∞


AUTOMATIC CONTROL


5Att finna ‖G‖∞

Antag D = 0:

H =

[A γ2BBT

−CT C −AT

]

Om γ > ‖G‖∞ så saknar H rent imaginära egenvärden.


AUTOMATIC CONTROL


6Detekterbarhet och stabiliserbarhet

■ Ett system är detekterbart om alla instabila moder är observerbara.

■ Ett system är stabiliserbart om alla instabila moder är styrbara.


AUTOMATIC CONTROL


7Balanserad realisering

Ett system är på balanserad form om styrbarhets- ochobserverbarhetsgramianerna är lika. Det vill säga

AT Σ + ΣA + CT C = 0

ochAΣ + ΣAT + BBT = 0.

Används för modellreduktion.


AUTOMATIC CONTROL


8Stabilitet

- f+ - P

?�f+�K

6

Det slutna systemet är stabilt om

[

I KP I

]−1

∈ RH∞


AUTOMATIC CONTROL


9Youla parametrisering

Om G är stabilt så parametriserar Q ∈ RH∞ alla stabiliserande regulatorer:

- Q - G

- −G - i+

u y

?

rK = Q(I + GQ)−1

Q = K(I − GK)−1

Q ∈ RH∞

Kopplad till IMC = Internal model control.


AUTOMATIC CONTROL


10Riccati-ekvationen

Riccati-ekvationenAT X + XA + XRX + Q = 0

löses av X = x2x−1

1där

H =

[A R−Q −AT

]

stabila egenvärden[

x1

x2

]

H2 (LQR):

H =

[A −B2B

T2

−CT1

C1 −AT

]

H∞ (måste sakna egenvärden på den imaginära axeln):

H =

[A γ−2B1B

T1− B2B

T2

−CT1

C1 −AT

]


AUTOMATIC CONTROL


11Koprimfaktorisering

Koprimfaktorisering:

G = M−1N︸︷︷︸

LCF

= NM−1

︸︷︷︸

RCF

där M och N är stabila.

Faktoriseringen är dessutom normaliserad om

M(−s)∗M(s) + N(−s)∗N(s) = I


AUTOMATIC CONTROL


12LMI:er

F (x) = F0 +

n∑

i=1

xiFi där Fi = FT

i .

Mängden F (x) ≻ 0 är konvex.

Schurkomplement[

S GT

G R

]

≺ 0

är ekvivalent med S − GT R−1G ≺ 0 och R ≺ 0.


AUTOMATIC CONTROL


13Eliminationslemmat

ProblemetQ + UKV T + V KT UT ≺ 0.

har en lösning K om och endast om

U⊥QUT

⊥≺ 0,

ochV⊥QV T

⊥≺ 0

är uppfyllda.


AUTOMATIC CONTROL


14SVD och Bounded Real Lemma

Maximalt singulärt värde σ(D) < γ är ekvivalent med

[

−γI DT

D −γI

]

≺ 0.

‖G‖∞ < γ är ekvivalent med att det finns ett P = PT ≻ 0 så att

PA + AT P PB CT

BT P −γI DT

C D −γI

≺ 0


AUTOMATIC CONTROL


15Design

Designmetoder: SISO-metoder: LQR, PID, Lead-lag

MIMO-metoder: H∞, loop-shaping, µ-syntes


AUTOMATIC CONTROL


16Design – standardstruktur med sluten loop

y- K -

uG -

TwWT

- z2r

-KSw

WKS- z3

?

r

i+

rSw

� w

- WS- z1

KS ≤ W−1

KST ≤ W−1

TS ≤ W−1

S


AUTOMATIC CONTROL


17Struktur

■ Struktur: vad vill jag uppnå.

■ Standardstruktur■ MIMO: amplitud- och fasmarginaler vid ingången kan lösas med extra

störningar, vilket kan kräva extra villkor.


AUTOMATIC CONTROL


18H∞-design

■ Inget gratis, ej förlåtande, ger exakt det man frågar om!

■ Man kan lätt få fram en regulator med hög bandbredd. Släpp i så fall påkraven och begränsa bandbredden.

■ Full rang på D12 och D21 vilket innebär direkttermer i WKS (och w → y).

■ Resulterar ofta i regulatorer med högt ordningstal.


AUTOMATIC CONTROL


19Loop shaping

Bestäm W1 och W2 så att W1GW2 får önskat utseende.

Använd ncfsyn för syntes (ǫ ≥ 0.2 − 0.3).

- i+ - W2- K∞

- W1- G -r

6

K


AUTOMATIC CONTROL


20Alternativ formulering

- i+ - K r

6

W−1

1

6

z2 w2

?

W1

?

- i+ - G - i+ - W2- z1

w1

?

W−1

2

?

r

6


AUTOMATIC CONTROL


21Lågförstärkningssatsen

För analys är lågförstärkningssatsen (small gain theorem) ett viktigt verktyg.

- G

∆ �G och ∆ stabila.

{‖∆‖∞ ≤ 1/γ‖G‖∞ < γ

⇒ slutet system stabilt.

∆ kan också vara olinjär med begränsad energiförstärkning (induceradL2-norm).


AUTOMATIC CONTROL


22Dra ut parametrarna

G

- -δ1

- -δ2

1

- -δ2 ⇔

G

-

- δ1

-

- δ1

- δ1

-

- δ2

Här får vi repeterade osäkerheter i form av δ1.


AUTOMATIC CONTROL


23D-skalningar: D∆ = ∆D, D inverterbar

�G

�

�

- ∆

�

D �G

� D−1�

�

- ∆


AUTOMATIC CONTROL


24µ-design

(i) Hitta ett K så att ‖Fℓ(G, K)‖∞

minimeras (H∞-syntes).

(ii) Hitta ett D (med fixt K) så att∥∥DFℓ(G, K)D−1

∥∥∞

minimeras (mu ochmusynfit).

(iii) Hitta ett K (med fixt D) så att∥∥DFℓ(G, K)D−1

∥∥∞

minimeras(H∞-syntes).

(iv) Upprepa (ii) och (iii) tills konvergens eller tills γ =∥∥DFℓ(G, K)D−1

∥∥∞

blir tillräckligt litet.


AUTOMATIC CONTROL


25Modellreduktion

H∞-design ger ofta högt ordningstal på regulatorn, ibland 50 till 100 tillstånd(viktsfunktioner + G).

Orealistiskt att implementera.

Reduktionsteg:

■ Använd balansering och trunkering för att ta bort tillstånd som är knapptmärkbara (sysbal, sncfbal).

■ Ta bort snabba poler (mycket större än bandbredden). Ersätt snabbdynamik med en konstantterm.

■ Använd sedan mer avancerade metoder, såsom viktad modelreduktion.

föreläsning 9 - users.isy.liu.seusers.isy.liu.se/en/rt/andersh/teaching/kurs10_sv.pdflcf = nm−1...

Documents