funcionesdeondas -...

Tollimur in caelum curvato gurgite, et idem

Subducta ad manes imos descendimus unda.

We are carried up to the heaven by the circling wave,

and immediately the wave subsiding, we descend to the lowest depths.

Virgil, Aeneid, 3, 564

9

Funciones de Ondas

La cantidad fundamental que obtenemos al resolver una integral de trayectoria es laamplitud de evolucion temporal o propagator de un sistema (xbtb|xata). Por otraparte, de la mecanica cuantica de Schrodinger tenemos acceso directo al espectro deenergıa y a las funciones de onda del sistema [ver la Ec. (1.94)]. En este Capıtulose explicara como extraer esta informacion de la amplitud de evolucion temporal(xbtb|xata). Para este proposito, la cantidad crucial es la transformada de Fourierde (xbtb|xata), i.e., la amplitud de energıa constante introducida en la Ec. (1.317):

(xb|xa)E =∫ ∞

tadtb exp {iE(tb − ta)/h} (xbtb|xbta), (9.1)

la cual contiene tanta informacion sobre el sistema como (xbtb|xata), y en particularpermite obtener directamente el espectro de energıa y las funciones de onda delsistema. Esto se hace via la descomposicion espectral dada en la Ec. (1.325).

Alternativamente, podemos trabajar con el propagator causal para tiempos ima-ginarios,

(xbτb|xaτa) =∫

dDp

(2πh)Dexp

[

i

hp(xb − xa)−

p2

2Mh(τb − τa)

]

, (9.2)

y calcular la amplitud de energıa constante por medio de la transformada de Laplace

(xb|xa)E = −i∫ ∞

τadτb exp {E(τb − τa)/h} (xbτb|xbτa). (9.3)

9.1 Partıcula Libre en D Dimensiones

Para un partıcula libre enD dimensiones, la amplitud de energıa constante se calculoen las Ecs. (1.348) y (1.355). Sera instructivo rederivar el mismo resultado, una vezmas, usando el desarrollo en la Seccion 8.5.1. Para ello, partimos directamente de la

764

9.1 Partıcula Libre en D Dimensiones 765

representacion espectral (1.325), la cual para una partıcula libre tiene explıcitamentela forma dada en la Ec. (1.344):

(xb|xa)E =∫

dDk

(2π)Deik(xb−xa)

ih

E − h2k2/2M + iη. (9.4)

La integral en el momentum se puede hacer como sigue. La funcion exponencialexp (ikR) se escribe como exp (ikR cosϑ), donde R es el vector distancia xb − xa

y ϑ el angulo entre k y R. Ahora, usamos la formula (8.100) con los coeficientes(8.101) y los armonicos hiperesfericos Ylm(x) de la Ec. (8.126) y desarrollamos

eikR =∑

l=0

al(ikR)∑

m

Ylm(k)Y ∗lm(R). (9.5)

Ahora la integral sobre k se sigue directamente de la descomposicion en la magnitudy direccion de dDk = dkdk, y la propiedad de ortogonalidad (8.115) de los armonicoshiperesfericos, de acuerdo a la cual

∫

dkYlm(k) = δl0δm0

√

SD, (9.6)

donde SD esta dada por la Ec. (1.558). Ya que Y00(x) = 1/√SD, obtenemos

(xb|xa)E = − 2Mi

(2π)D

∫ ∞

0dkkD−1 1

k2 + κ2a0(ikR), (9.7)

dondeκ ≡

√

−2ME/h2, (9.8)

como en la Ec. (1.346). Sustituyedo, de la Ec. (8.101), la expresion para a0(ikR)

a0(ikR) = (2π)D/2JD/2−1(kR)/(kR)D/2−1, (9.9)

encontramos

(xb|xa)E = − 2Mi

(2π)D/2R1−D/2

∫ ∞

0dkkD/2 1

k2 + κ2JD/2−1(kR). (9.10)

La integral∫ ∞

0dk

kν+1

(k2 + a2)µ+1Jν(kb) =

aν−µbµ

2µΓ(µ+ 1)Kν−µ(ab) (9.11)

da una vez mas la amplitud para energıa constante (1.347).En dos dimensiones, la amplitud (1.347) sera [recordemos la Ec. (1.350)]

(xb|xa)E = −iMπh

K0(κ|xb − xa|). (9.12)

Esta expresion se puede descomponer en ondas parciales, utilizando la relacion

|xb − xa| =√

r2b + r2a − 2rarb cos(ϕb − ϕa). (9.13)

766 9 Funciones de Ondas

Luego, del teorema de adicion para las funciones de Bessel obtenemos

K0(κ|xb − xa|) =∞∑

m=−∞

Im(κr<)Km(κr>)eim(ϕb−ϕa), (9.14)

donde r< y r> son el menor y el mayor de los valores de ra y rb, respectivamente.Ası, la amplitud de energıa constante se reescribe como

(xb|xa)E = −2iM

h

∑

m

Im(κr<)Km(κr>)1

2πeim(ϕb−ϕa). (9.15)

Esta es una funcion analıtica en el plano complejo E. El parametro κ es real paraE < 0. Para E > 0, la raız cuadrada (9.8) contiene dos soluciones imaginarias, κ± ≡e∓iπ/2k ≡ e∓iπ/2

√2ME/h, ası la amplitud tiene una discontinuidad de mano derecha.

La discontinuidad determina el continuo de los estados de partıcula libre. Por arribade la discontinuidad, usamos las formulas de continuacion analıtica (validas para−π/2 < arg z ≤ π)1

Iµ(e−iπ/2z) = e−iπµ/2Jµ(z),

Kµ(e−iπ/2z) = i

π

2eiπµ/2H(1)

µ (z) , (9.16)

para encontrar la amplitud de energıa constante en esa region

(xb|xa)E+iη =πM

h

∑

m

Jm(kr<)H(1)m (kr>)

1


Las propiedades de refleccion2

H(1)µ (eiπz) = −H(2)

−µ(z) ≡ −e−iπµH(2)µ (z),

Jµ(eiπz) = eiπµJµ(z) (9.18)

dan la amplitud debajo de la singularidad

(xb|xa)E−iη = −πMh

∑

m

Jm(kr<)H(2)m (kr>)

1


La discontinuidad en el corte se sigue de la relacion

Jµ(z) =1

2

[

H(1)µ (z) +H(2)

µ (z)]

(9.20)

y sera

disc (xb|xa)E =2πM

h

∞∑

m=−∞

Jm(krb)Jm(kra)1

2πeim(ϕb−ϕb). (9.21)

1I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit., ver las formulas 8.406.1 y 8.407.1.2ibid., Formulas 8.476.1 y 8.476.8.

9.2 Oscilador Armonico en D Dimensiones 767

De acuerdo a la Ec. (1.330), de la integral sobre la discontinuidad obtenemos larelacion de completes

∫ ∞

−∞

dE

2πhdisc (xb|xa)E

=∫ ∞

−∞

dE

2πh

2πM

h

∞∑

m=−∞

Jm(krb)Jm(kra)1

2πeim(ϕb−ϕb) = δ(xb − xa). (9.22)

Despues de reemplazar la integral de energıa por una integral sobre k,

∫ ∞

−∞

dE

2πh

2πM

h=∫ ∞

0dkk, (9.23)

tambien podemos escribir

∫ ∞

−∞

dE

2πhdisc (xb|xa)E =

∫

d2k

(2π)2eik(xb−xa) =

1

2π

∫ ∞

0dkkJ0(k|xb − xa|)

=∞∑

m=−∞

∫ ∞

0dkkJm(krb)Jm(kra)

1

2πeim(ϕb−ϕa)

=1√rbra

δ(rb − ra)δ(ϕb − ϕa). (9.24)

Las ultimas dos lıneas exhiben la bien conocida relacion de completes de las funcionesde onda radiales de la partıcula libre.3

9.2 Oscilador Armonico en D Dimensiones

De la descomposicion espectral de la amplitud de evolucion temporal, las fun-ciones de onda de un oscilador armonico en una dimension han sido derivadas enla Seccion 2. Para ello hemos utilizado la formula de Mehler. En D dimensiones,la amplitud de energıa constante es el mejor punto de partida para determinar lasfunciones de onda. Utilizemos el propagador radial (8.142), obtenido de la descom-posicion de momento angular (8.141) o, en aras de una mayor generalidad, la am-plitud radial (8.144) con una barrera centrıfuga adicional, hagamos la continuacionanalıtica a tiempos imaginarios τ = it, y usemos su transformada de Laplace

(rb|ra)E,l = −i√

Mω/h√

Mωrbra/h∫ ∞

τadτb e

E(τb−τa)/h1

sin[ω(τb − τa)]

×e− 1

hMω2

coth[ω(τb−τa)](r2b+r2a)Iµ

(

Mωrbrah sinh[ω(τb − τa)]

)

. (9.25)

3Comparar con las Ecs. (3.112) y (3.139) en J.D. Jackson, Classical Electrodynamics , JohnWiley & Sons, New York, 1975.


Para evaluar la integral en τ hacemos uso de una formula integral estandar de lasfunciones de Bessel4

∫ ∞

0dx [coth(x/2)]2ν e−β coshxJµ(α sinh x)

=Γ((1 + µ)/2− ν)

αΓ(µ+ 1)Wν,µ/2

(

√

α2 + β2 + β)

M−ν,µ/2

(

√

α2 + β2 − β)

,(9.26)

donde Wν,µ/2(z), M−ν,µ/2(z) son las funciones de Whittaker. La formula es validapara

Re β > |Reα|, Re (µ/2− ν) > −1

2.

Por medio del cambio de variables√

α2 + β2 ± β = tαb,a,

y

sinh x = (sinh y)−1, cosh x = coth y, coth(x/2) = ey, coth x = cosh y,

donde

dx = dy/ sinh y,

la Ec. (9.26) puede escribirse como

∫ ∞

0

dy

sinh ye2νy exp [− 1

2t(αb − αa) coth y]Jµ

(

t

√αbαa

sinh y

)

=Γ ((1 + µ)/2− ν)

t√αbαaΓ(µ+ 1)

Wν,µ/2(tαb)M−ν,µ/2(−tαa). (9.27)

Usando la identidad

M−ν,µ/2(z) ≡ e−i(µ+1)π/2Mν,µ/2(−z) (9.28)

y cambiando el signo de αa en (9.27), tendremos

∫ ∞

0

dy

sinh ye2νy exp [− 1

2t(αb + αa) coth y] Iµ

(

t√αbαa

sinh y

)

=Γ ((1 + µ)/2− ν)

t√αbαaΓ(µ+ 1)

Wν,µ/2(tαb)Mν,µ/2(tαa), (9.29)

donde el rango de validez sera

αb > αa > 0, Re [(1 + µ)/2− ν] > 0,

Re t > 0, |arg t| < π. (9.30)

4I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit., ver la formula 6.669.1.


Definiendo

y = ω(tb − ta), αb =M

hωr2b , αa =

Mω

hr2a, ν = E/2ωh (9.31)

en la Ec. (9.29), podremos reescribir la amplitud radial (9.25) en la forma (validapara rb > ra)

(rb|ra)E,l = −i 1ω

1√rbra

Γ((1 + µ)/2− ν)

Γ(µ+ 1)Wν,µ/2

(

Mω

hr2b

)

Mν,µ/2

(

Mω

hr2a

)

. (9.32)

Para valores enteros del llamado numero cuantico radial del sistema nr = 0, 1, 2, . . . ,la funcion Gamma tiene polos en

ν = νr ≡ (1 + µ)/2 + nr (9.33)

Los polos tienen la forma

Γ ((1 + µ)/2− ν)ν∼νr∼ −(−1)nr

nr!

1

ν − νr. (9.34)

Usando aquı el valor particular del parametro µ para el oscilador en D dimensiones,el cual es µ = D/2 + l − 1 y recordando que ν = E/2ωh, encontramos el espectrode energıas

E = hω (2nr + l +D/2) . (9.35)

El numero cuantico principal esta defindo por

n ≡ 2nr + l (9.36)

y la energıa depende de este parametro en la forma:

En = hω(n+D/2). (9.37)

Fijando el numero cuantico principal n = 2nr + l, el momento angular acepta losvalores l = 0, 2, . . . , n para n par, y l = 1, 3, . . . , n para n impar. La degeneracion delos niveles de energıa es dn = (n+D− 1)!/(D− 1)!n!. De los residuos 1/(ν − νr) ∼2hω/(E − En), encontramos que, dados nr, l, el producto de las funciones de ondaradiales es:

Rnrl(rb)Rnrl(ra) =1√rbra

2(−1)nr

Γ(µ+ 1)nr!(9.38)

×W(1+µ)/2+nr ,µ

2(Mωrb

2/h)M(1+µ)/2+nr ,µ

2(Mωra

2/h).

Es conveniente expresar las funciones de Whittaker en terminos de las funcioneshipergeometricas confluentes o funciones de Kummer:5

W(1+µ)/2+nr ,µ

2(z) = e−z/2z(1+µ)/2U(−nr , 1 + µ, z), (9.39)

M(1+µ)/2+nr ,µ

2(z) = e−z/2z(1+µ)/2M(−nr , 1 + µ, z). (9.40)

5I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit., ver la formula 9.220.2.


La ecuacion anterior se sigue de la relacion

M−(1+µ)/2−nr ,µ

2(z) = e−z/2z(1+µ)/2M(1 + µ+ nr, 1 + µ, z), (9.41)

luego del reemplazo nr → −nr − µ− 1.Por completes, tambien mencionamos la identidad

M(a, b, z) = ezM(b− a, b,−z), (9.42)

de dondeM(1 + µ+ nr, 1 + µ, z) = ezM(−nr, 1 + µ,−z). (9.43)

Esto nos permite reescribir la Ec. (9.41) como

M−(1+µ)/2−nr ,µ

2(z) = ez/2z(1+µ)/2M(−nr , 1 + µ,−z), (9.44)

cambiando apropiadamente los ındices y usando la Ec. (9.28), de esta expresionobtenemos la Ec. (9.40). La funcion de KummerM(a, b, z) tiene la serie de potencias

M(a, b, z) ≡ 1F1(a; b; z) = 1 +a

bz +

a(a+ 1)

b(b+ 1)

z

z!+ . . . , (9.45)

mostrando que M(1+µ)/2+nr ,µ

2(Mωra

2/2h) es igual al producto de la exponencial

e−Mωr2a/h por un polinomio de ra de orden 2nr. Una expresion similar se obtienepara el otro factor W(1+µ)/2+nr ,

µ

2(Mωrb

2/h) de la Ec. (9.39). De hecho, la funcion

de Kummer U(a, b, z) esta relacionada con M(a, b, z) por6

U(a, b, z) =π

sin πb

[

M(a, b, z)

Γ(1 + a− b)Γ(b)− z1−bM(1 + a− b, 2− b, z)

Γ(a)Γ(2− b)

]

. (9.46)

Ya que a = −nr para nr entero y 1/Γ(a) = 0, entonces vemos que, en el corchete,solo el primer termino es diferente de cero. La identidad

Γ(−µ)Γ(1 + µ) = π/ sin[π(1 + µ)]

conduce a la relacion

U(−nr, 1 + µ, z) =Γ(−µ)

Γ(−nr − µ)M(−nr , 1 + µ, z), (9.47)

la cual es igual a un polinomio en z de orden nr. Ası, tenemos la formula

W(1+µ)/2+nr ,µ

2(zb)M(1+µ)/2+nr ,

µ

2(za) =

Γ(−µ)Γ(−nr − µ)

e−(zb+za)/2

×(zbza)(1+µ)/2M(−nr, 1 + µ, zb)M(−nr, 1 + µ, za). (9.48)

6M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , Dover, New York, 1965,ver la formula 13.1.3.


Por lo tanto, podemos re-expresar la Ec. (9.38) en la forma

Rnrl(rb)Rnrl(ra) =

√

Mω

h

2(−)nrΓ(−µ)Γ(−nr − µ)Γ(1 + µ) nr!

×e−Mω(r2b+r2a)/2h (Mωrbra/h)

1/2+µ (9.49)

×M(−nr , 1 + µ,Mωr2b/h)M(−nr, 1 + µ,Mωr2a/h).

Usando ahora la relacion

(−)nrΓ(−µ)Γ(−nr − µ)

=Γ(nr + 1 + µ)

Γ(1 + µ), (9.50)

donde µ = D/2 + l − 1, e identificando las funciones de onda como

Rnrl(r) = Cnrl (Mω/h)1/4(Mωr2/h)l/2+(D−1)/4

×e−Mωr2/2hM(−nr , l +D/2,Mωr2/h), (9.51)

donde tenemos el factor de normalizacion

Cnrl =

√2

Γ(1 + µ)

√

(nr + µ)!

nr!. (9.52)

Introduciendo los polinomios de Laguerre7

Lµn(z) ≡

(n+ µ)!

n!µ!M(−n, µ + 1, z), (9.53)

y usando la formula integral 8

∫ ∞

0dze−zzµLµ

n(z)Lµn′(z) = δnn′

(n+ µ)!

n!, (9.54)

encontramos que las funciones de onda radiales satisfacen la relacion de ortogonali-dad ∫ ∞

0drRnrl(r)Rn′

rl(r) = δnrn′r. (9.55)

La amplitud de evolucion temporal radial para tiempos imaginarios tiene ahora larepresentacion espectral

(rbτb|raτa)l =∞∑

nr=0

Rnrl(rb)Rnrl(ra)e−En(τb−τa)/h, (9.56)

donde las energıas son

En = hω(n+D/2) = hω (2nr + l +D/2) . (9.57)

7I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit., ver la formula 8.970 (nuestra definicion difiere de laexpresion dada en L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics , Pergamon, London, 1965,Ec. (d.13). La relacion es Lµ

n= (−)µ/(n + µ)!LL.L.

n+µ

µ).8ibid., ver la formula 7.414.3.


Al igual que en (8.91), el propagador causal total esta dado por

(xbτb|xaτa) =1

(rbra)(D−1)/2

∞∑

l=0

(rbτb|raτa)l∑

m

Ylm(xb)Y∗lm(xa). (9.58)

De esto, obtenemos las funciones de onda

ψnrlm(x) =1

r(D−1)/2Rnrl(r)Ylm(x). (9.59)

Cerca del origen, estas funciones tienen el comportamiento de umbral rl.El oscilador uni-dimensional puede verse como un caso especial de estas formulas.

Para D = 1, el desarrollo en ondas parciales es igual a una separacion en terminosde funciones de onda pares e impares. Existen dos “armonicos esfericos”,

Ye,o(x) =1√2(Θ(x)±Θ(−x)), (9.60)

y la amplitud tiene la descomposicion

(xbτb|xaτa) = (rbτb|raτa)eYe(xb)Ye(xa) + (rbτb|raτa)oYo(xb)Yo(xa), (9.61)

donde las amplitudes “radiales” cumplen la relacion

(rbτb|raτa)e,o = (xbτb|xaτa)± (−xbτb|xaτa). (9.62)

De la Ec. (2.178) se sabe que estas amplitudes son

(rbτb|raτa)e,o =1√2π

√

√

√

√

Mω/h

sinh[ω(τb − τa)](9.63)

× exp[

−Mω

2h(r2b + r2a) cotω(τb − τa)

]

2

{

coshsinh

}

(Mωrbra/h) .

Para l = 0 y 1, los dos casos coinciden con el integrando de la Ec. (9.25), respecti-vamente, dado que µ = l +D/2− 1 toma los valores ±1/2, por lo que

√zI∓ 1

2(z) =

2

2π

{

cosh z ,sinh z .

(9.64)

De la Ec. (9.35), el espectro de energıa asociado es

E =

{

hω(2nr +12) par,

hω(2nr +32) impar,

(9.65)

donde el numero numero cuantico radial sera nr = 0, 1, 2, . . . . De los dos casos sesigue la formula unica

E = hω(n+ 1

2), (9.66)

9.3 Partıcula Libre a Partir del Lımite ω → 0 del Oscilador 773

donde el numero cuantico principal n = 0, 1, 2, . . . esta relacionado con nr por larelacion n = 2nr y n = 2nr + 1, respectivamente. Las funciones de onda radiales(9.51) se convierten en

Rnr,e(r) = (Mω/h)1/4

√

√

√

√

2Γ(nr +12)

πnr!M(−nr, 1

2,Mωr2/h), (9.67)

Rnr ,o(r) = (Mω/h)1/4

√

√

√

√

2Γ(nr +32)

(π/4)nr!

√

Mωr2

hM(−nr, 3

2,Mωr2/h). (9.68)

Las funciones especiales de Kummer que aparecen aquı son los polinomios de Her-mite

M(−n, 1

2, x2) =

n!

(2n)!(−)nH2n(x), (9.69)

M(−n, 3

2, x2) =

n!

(2n + 1)!(−)nH2n+1(x)/2

√x. (9.70)

Usando la identidad

Γ(z)Γ(z + 1

2) = (2π)1/22−2z+1/2Γ(2z), (9.71)

obtenemos en ambos casos las funciones de onda radiales [a ser comparadas con lasfunciones de onda uni-dimensionales (2.303)]

Rn(r) = Nn

√2λ−1/2

ω e−r2/2λ2ωHn(r/λω), n = 0, 1, 2, . . . (9.72)

donde

λω ≡√

h

Mω, Nn =

1√

2nn!√π. (9.73)

Esta formula se cumple tanto para funciones de onda pares como impares, dondenr = 2n y nr = 2n + 1, respectivamente. Es facil ver que estas funciones poseen lanormalizacion correcta,

∫∞0 drR2

n(r) = 1. Note que los “armonicos esfericos”(9.60)quitan el factor

√2 en (9.72), pero esto se compensa extendiendo la integracion,

limitada al intervalo x > 0, al eje x completo por medio de la “integracion angularuni-dimensional”.

9.3 Partıcula Libre a Partir del Lımite ω → 0 del Oscilador

Los resultados obtenidos en la ultima seccion, para el oscilador armonico en D di-mensiones, se pueden usar para encontrar la amplitud y las funciones de onda deuna partıcula libre en D dimensiones en coordenadas radiales. Para ello hallamosel lımite ω → 0 para una energıa constante E. Sustituimos Wν,µ/2(z),Mν,µ/2(z) deacuerdo a (9.39) en la amplitud (9.32), y reescribimos nr como (E/ωh− l − 1) /2,luego hallamos el lımite ω → 0 para la energıa constante E. ReemplazandoMωr2/h


por k2r2/2nr≡ z/nr (donde z = k2r2/2, y usando E = p2/2M=h2k2/2M), y apli-cando las formulas lımite9

limnr→∞

{Γ(1− nr − b)U (−a, b,∓z/nr)}

= z−1

2(b−1)

{

2Kb−1(2√z)

−iπeiπbH(1)b−1(2

√z) (Im z > 0),

(9.74)

limnr→∞

M (−a, b,∓z/nr) /Γ(b) = z−1

2(b−1)

{

Ib−1(2√z)

Jb−1(2√z),

(9.75)

obtenemos las funciones de onda radiales directamente de las Ecs. (9.51) y (9.75):

Rnrl(r)nr−−−→∞

−−−→ Cnrl(Mωr2/h)(µ/2+1/2)(

k2r2/2)−µ/2

Γ(1 + µ)Jµ(kr), (9.76)

donde

Cnrl

nr−−−→∞

−−−→√2(

E

2hω

)µ/2 1

Γ(1 + µ). (9.77)

Por tantoRnrl(r)

nr−−−→∞

−−−→ r1/2√

Mω/h√2Jµ(kr). (9.78)

Sustituyendo estas funciones de onda en la amplitud de evolucion temporal radial

(rbτb|raτa)l =∑

nr

Rnrl(rb)Rnrl(rb)e−En(τb−τa)/h, (9.79)

y reemplazando la suma sobre nr por la integral∫∞0 dk hk/Mω [de acuerdo con el

lımite nr → ∞, de Enr= ωh(2nr + l + D/2) → h2k2/2M ], obtenemos la repre-

sentacion espectral del propagador de la partıcula libre

(rbτb|raτa)µ =√rbra

∫ ∞

0dk kJµ(krb)Jµ(kra)e

− hk2

2M(τb−τa). (9.80)

Por comparacion, derivamos el mismo resultado directamente de la repre-sentacion espectral inicial (9.2) en una dimension

(xbτb|xaτa) =∫ ∞

−∞

dk

2πexp

[

ik(xb − xa)−hk2

2M(τb − τa)

]

. (9.81)

Su “descomposicion angular” es una descomposicion con respecto a funciones deonda pares e impares

(rbτb|raτa)e,o =∫ ∞

0

dk

π[cos k(rb − ra)± cos k(rb + ra)]e

− hk2

2M(τb−τa)

= 2∫ ∞

0

dk

π

{

cos krb cos krasin krb sin kra

}

e−hk2

2M(τb−τa). (9.82)

9M. Abramowitz and I. Stegun, op. cit., ver las formulas 13.3.1–13.3.4.

9.4 Partıcula Cargada en un Campo Magnetico Uniforme 775

En D dimensiones usamos el desarrollo (8.100) de eikx para calcular la amplitud enla forma radial

(xbτb|xaτa) =∫

dDk

(2π)Deik(xb−xa)e−

hk2

2M(τb−τa)

=1

(2π)D/2

∫ ∞

0dkk2ν

1

(kR)νJν(kR)e

− hk2

2M(τb−τa), (9.83)

donde ν ≡ D/2− 1. Con ayuda del teorema de adicion de las funciones de Bessel10

(8.188) reescribimos

1

(kR)νJν(kR) =

2νΓ(ν)

(k2rbra)ν

∞∑

l=0

(ν + l)Jν+l(krb)Jν+l(kra)C(ν)l (∆ϑ) (9.84)

y usando la expresion

1

(kR)νJν(kR) =

(2π)D/2

(k2rbra)ν

∞∑

l=0

Jν+l(krb)Jν+l(kra)∑

m

Ylm(xb)Y∗lm(xa), (9.85)

obtenemos la amplitud radial

(rbτb|raτa)l =√rbra

∫ ∞

0dkkJν+l(krb)Jν+l(kra)e

− hk2

2M(τb−τa), (9.86)

al igual que en (9.80).Usando las funciones particulares de Bessel para D = 1, esta expresion se reduce

a la forma dada en la Ec. (9.82)

√zJ∓1/2(z) =

2√2π

{

cos zsin z

}

. (9.87)

9.4 Partıcula Cargada en un Campo Magnetico Uniforme

Encontremos tambien las funciones de onda de una partıcula cargada en un campomagnetico. La amplitud fue calculada en la Seccion 2. De nuevo, trabajaremos conla version de tiempo imaginario. Factorizando el movimiento libre a lo largo de ladireccion del campo magnetico, escribimos

(xbτb|xaτa) = (zbτb|zaτa)(x⊥b τb|x⊥

a τa), (9.88)

donde

(zbτb|zaτa) =1

√

2πh(τb − τa)/Mexp

{

−M2h

(zb − za)2

τb − τa

}

, (9.89)

y para la amplitud en la direccion transversal, tenemos

(x⊥b τb|x⊥

a τa) =M

2πh(τb − τa)

ω(τb − τa)/2

sinh [ω(τb − τa)/2]exp

[

−A⊥l /h

]

, (9.90)

10I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit., ver la formula 8.532.


donde la accion transversal clasica sera

A⊥l =

Mω

2

{

1

2coth [ω(τb − τa)/2] (x

⊥b − x⊥

a )2 + x⊥

a × x⊥b

}

. (9.91)

Este resultado es valido sı, para el potencial vectorial, usamos la expresion

A =1

2B× x. (9.92)

En otra norma, donde

A = (0, Bx, 0), (9.93)

existe un termino extra de superficie, y A⊥cl se reemplaza por

A⊥cl = A⊥

cl +Mω

2(xbyb − xaya). (9.94)

El calculo de las funciones de onda es muy diferente en estas dos normas. En lanorma (9.93) utilizamos unicamente las expresiones (2.664) y (2.666) y escribimosla representacion integral

(x⊥b τb|x⊥

a τa) =∫ dpy

2πheipy(yb−ya)/h(xbτb|xaτa)x0=py/Mω, (9.95)

donde la amplitud del oscilador en la direccion x sera

(xbτb|xaτa)x0=

√

Mω

2πh sinh[ω(τb − τa)]exp

(

−1

hAos

cl

)

, (9.96)

y la accion clasica del oscilador centrada alrededor de x0 sera

Aoscl =

Mω

2 sinh[ω(τb − τa)]{[(xb − x0)

2 + (xa − x0)2] cosh[ω(τb − τb)]

− 2(xb − x0)(xa − x0)}. (9.97)

Entonces, la representacion espectral de la amplitud (9.96) sera

(xaτb|xaτa)x0=

∞∑

n=0

ψn(xb − x0)ψn(xa − x0)e−(n+ 1

2)ω(τb−τa), (9.98)

donde ψn(x) son las funciones de onda del oscilador (2.303). Esto conduce a larepresentacion espectral de la amplitud total (9.88)

(xbτb|xaτa) =∫

dpz2πh

∫

dpy2πh

eipz(zb−za)/h (9.99)

×∞∑

n=0

ψn(xb − py/Mω)ψn(xa − py/Mω)e−(n+ 1

2)ω(τb−τa).


La combinacion de una suma y dos integrales muestra el conjunto completo defunciones de onda de una partıcula en un campo magnetico uniforme. Note que laenergıa

En = (n+ 1

2)hω (9.100)

es altamente degenerada, no depende de py.En la norma A = 1

2B × x, la descomposicion espectral luce muy diferente.

Para deducirla la accion Euclidiana transversal se escribe en coordenadas radiales[comparar la Ec. (2.670)], en la forma

A⊥cl =

M

2

{

ω

2coth [ω(τb − τa)/2]

[

rb2 + ra

2 − 2rbra cos(ϕb − ϕa)]

− iωrbra sin(ϕb − ϕa)}

. (9.101)

Esto se puede reacomodar como

A⊥cl =

M

2

ω

2coth [ω(τb − τa)/2] (rb

2 + ra2)

−M2

ω

sinh [ω(τb − τa)/2]cos [ϕb − ϕa − iω(τb − τa)/2] . (9.102)

Ahora, desarrollamos e−A⊥

cl/h en terminos de una serie de funciones de Bessel usando

(8.5)

e−A⊥

cl/h = exp

{

−M2h

ω

2coth [ω(τb − τa)/2] (rb

2 + ra2)}

(9.103)

×∞∑

m=−∞

Im

(

Mω

2h

rbrasinh [ω(τb − τa)/2]

)

emω(τb−τa)/2eim(ϕb−ϕa).

El factor de fluctuacion es el mismo que antes. Por lo que obtenemos la descom-posicion angular de la amplitud transversal

(x⊥b τb|x⊥

a τa) =1√rbra

∑

m

(rbτb|raτa)m1

2πeim(ϕb−ϕa), (9.104)

donde

(rbτb|raτa)m=√rbra

Mω

2hη

η

sinh ηexp

[

−M2h

ω

2coth η(r2b + r2a)

]

Im

(

Mωrbra2h sinh η

)

emη,

(9.105)

ademasη ≡ ω(τb − τa)/2. (9.106)

Para encontrar la representacion espectral usaremos la amplitud de energıa constante

(rb|ra)m,E = −i∫ ∞

τadτbe

E(τb−τa)/h (rbτb|raτa)m (9.107)

= −i√rbraM

h

∫ ∞

0dη e2νη

1

sinhηe−(Mω/4h) coth η(r2

b+r2a)Im

(

Mωrbra2hsinhη

)

.


La integral se hace con la ayuda de la formula (9.29) y tenemos

(rb|ra)m,E = −i√rbraM

h

Γ(

12− ν + |m|

2

)

(Mω/2h)rbraΓ(|m|+ 1)

×Wν,|m|/2

(

Mω

2hr2b

)

Mν,|m|/2

(

Mω

2hr2a

)

, (9.108)

donde

ν ≡ E

ωh+m

2. (9.109)

La funcion Gamma Γ(1/2− ν − |m|/2) tiene polos en

ν = νr ≡ nr +1

2+

|m|2

(9.110)

los cuales son de la forma

Γ(1/2− ν − |m|/2) ≈ − 1

nr!

(−1)nr

ν − νr∼ −(−1)nr

nr!

ωh

E −Enrm. (9.111)

Los polos estan en las energıas

Enrm = hω

(

nr +1

2+

|m|2

− m

2

)

. (9.112)

Estos son los conocidos niveles energeticos de Landau de una partıcula en un campomagnetico uniforme. Las funciones de Whittaker en los polos son (para m > 0)

M−ν,m/2(z) = ez/2z1+m

2 M(−nr , 1 +m,−z), (9.113)

Wν,m/2(z) = e−z/2z1+m

2 (−)nr(nr +m)!

m!M(−nr, 1 +m, z). (9.114)

Por lo tanto, la amplitud de energıa constante cerca de los polos es

(rb|ra)m,E ∼ ih

E − EnrmRnrm(rb)Rnrm(ra), (9.115)

donde las funciones de onda radiales son 11

Rnrm(r) =√r(

Mω

h

)1/2√

(nr + |m|)!nr!

1

|m|! (9.116)

× exp(

−Mω

4hr2)(

Mω

2hr2)|m|/2

M(

−nr, 1 + |m|, Mω

2hr2)

.

11Comparar con L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics , Pergamon, London, 1965,p. 427.


Usando la Ec. (9.53), estas funciones se puede expresar en terminos de los polinomiosde Laguerre Lα

n(z):

Rnrm =√r(

Mω

h

)1/2√

nr!

(nr + |m|)! exp(

−Mω

4hr2)

×(

Mω

2hr2)|m|/2

L|m|nr

(

Mω

2hr2)

. (9.117)

La integral (9.54) asegura la ortonormalidad de las funciones de onda radiales∫ ∞

0drRnrm(r)Rn′

rm(r) = δnrn′r. (9.118)

Una transformada de Laplace de la amplitud de energıa constante (9.108) da, via elteorema del residuo, la representacion espectral de la amplitud radial de evoluciontemporal

(rbτb|raτa) =∑

nrm

Rnrm(rb)Rnrm(ra)e−Enrm(τb−τa)/h, (9.119)

donde las energıas estan dadas por la Ec. (9.112). Las funciones de onda completasen el subespacio transversal son, por supuesto,

ψnrm(x) =1√rRnrm(r)

eimϕ

√2π. (9.120)

Comparando las expresiones de la energıa (9.112) y (9.100), encontramos que elnumero cuantico principal n sera

n ≡ nr +|m|2

− m

2. (9.121)

Note que la degeneracion infinita de los niveles de energıa observados en laEc. (9.100) dependiente de py ahora depende de m. Esta energıa no depende dem para m ≥ 0. La incomoda dependencia de la energıa en m puede evitarse intro-duciendo, en lugar de m, otro numero cuantico n′ relacionado con n,m mediante laexpresion

m = n′ − n. (9.122)

Luego, los estados estaran etiquetados por los ındices n, n′, donde tanto n como n′

tendran los valores 0, 1, 2, 3, . . . . Para n′ < n, tenemos n′ = nr y m = n′ − n < 0,mientras que para n′ ≥ n tenemos n = nr y m = n′ − n ≥ 0. Hay una formanatural de generar las funciones de onda ψnrm(x) de tal manera que aparezcaninmediatamente con los numeros cuanticos n, n′. Para esto introducimos el radio deLandau

a =

√

2h

Mω=

√

2hc

eB(9.123)

como un parametro de longitud, y definimos las coordenadas traversales adimen-sionales

z = (x+ iy)/√2a, z∗ = (x− iy)/

√2a. (9.124)


Entonces, es posible probar que las funciones ψnrm coinciden con las funciones deonda

ψn,n′(z, z∗) = Nn,n′ez∗z

(

− 1√2∂z∗

)n (

− 1√2∂z

)n′

e−2z∗z. (9.125)

Las constantes de normalizacion se obtienen observando que los operadores diferen-ciales

ez∗z

(

− 1√2∂z∗

)

e−z∗z =1√2(−∂z∗ + z),

ez∗z

(

− 1√2∂z

)

e−z∗z =1√2(−∂z + z∗) (9.126)

se comportan algebraicamente como dos operadores independientes de creacion

a† =1√2(−∂z∗ + z),

b† =1√2(−∂z + z∗), (9.127)

cuyos operadores conjugados de aniquilacion son

a =1√2(∂z + z∗),

b =1√2(∂z∗ + z). (9.128)

La funcion de onda del estado base generada por estos operadores es

ψ0,0(z, z∗) = 〈z, z∗|0〉 ∝ e−z∗z. (9.129)

Por lo tanto, podemos escribir el conjunto completo de funciones de onda como

ψn,n′(z, z∗) = Nnn′ a†nb†n′

ψ0,0(z, z∗). (9.130)

Usando el hecho de que a†∗ = b†, b†∗ = a†, y que las integraciones parciales conviertena b†, a† en a, b, respectivamente, la integral de normalizacion se puede reescribir como

∫

dx dy ψn1,n′1(z, z∗)ψn2,n′

2(z, z∗)

= Nn1n′1Nn2n′

2

∫

dxdy[

(a†)n1(b†)n′1e−z∗z

] [

(a†)n2(b†)n′2e−z∗z

]

= Nn1n′1Nn2n′

2

∫

dxdye−2z∗z(

an1bn′1a†n2b†n

′2

)

. (9.131)

Aquı las relaciones de conmutacion entre a†, b†, a, b sirven para reducir los parentesisen la ultima lınea, y tenemos

n1!n2! δn1n′1δn2n′

2. (9.132)


La integral trivial∫

dxdy e−2z∗z = π∫

dr2 e−r2/a2 = πa2 (9.133)

muestra que las constantes de normalizacion son

Nn,n′ =1√

πa2n!n′!. (9.134)

Probemos la igualdad entre ψnrm y ψn,n′ , hasta una posible fase promedio. Paraesto observemos primero que z, ∂z∗ y z∗, ∂z tienen los factores de fase eiϕ y e−iϕ,respectivamente, de tal manera que las dos funciones de onda tienen obviamente elnumero cuantico azimutal m = n− n′. Y segundo, nos aseguramos que las energıascoinciden, para esto consideremos la ecuacion de Schrodinger que corresponde a laaccion (2.644)

1

2M

(

−ih∇− e

cA

)2

ψ = Eψ. (9.135)

En la norma dondeA = (0, Bx, 0),

tendremos

− h2

2M

[

∂x2 + (∂y − i

eB

cx)2 + ∂z

2]

ψ = Eψ, (9.136)

y las funciones de onda estaran dadas por la Ec. (9.99). En la norma donde

A = (−By/2, Bx/2, 0) , (9.137)

por otra parte, la ecuacion de Schrodinger en coordenadas cilındricas sera

[

− h2

2M

(

∂2r +1

r∂r +

1

r2∂2ϕ + ∂2z

)

− iehB

2Mc∂ϕ +

e2B2

8Mc2r2]

ψ(r, z, ϕ)

= Eψ(r, z, ϕ). (9.138)

Empleando la coordenada radial reducida ρ = r/a y factorizando la onda plana enla direccion z, eipzz/h, tendremos

[

∂2ρ +1

ρ∂ρ +

a2

h2(2ME − p2z)− ρ2 − 2i∂ϕ − 1

ρ2∂2ϕ

]

ψ(r, ϕ) = 0. (9.139)

Las soluciones son

ψnrm(r, ϕ) ∝ eimϕe−ρ2/2ρ|m|/2M(

−nr, |m|+ 1

2, ρ)

, (9.140)

donde, las funciones hipergeometricas confluentes M(

−nr, |m|+ 12, ρ)

son poli-nomios para valores enteros del numero cuantico radial

nr = n+1

2m− 1

2|m| − 1

2, (9.141)


tal como en la Ec. (9.116). La energıa esta relacionada con el numero cuanticoprincipal por

n+1

2≡ a2

h2

(

2ME − p2z)

. (9.142)

Ya que2Ma2

h2=

1

hω, (9.143)

la energıa es

E =(

n +1

2

)

hω +p2z2M

. (9.144)

Ahora, observemos que la ecuacion de Schrodinger (9.139) se puede expresar enterminos de los operadores de creacion y aniquilacion (9.127), (9.128) como

4

[

−(a†a+ 1/2) +1

hω

(

E − p2z2M

)]

ψ(z, z∗) = 0. (9.145)

Esto prueba que las funciones de onda ψn,n′, construidas algebraicamente con larelacion (9.130), coinciden, hasta una fase irrelevante, con las funciones de ondaψnrm de las Ecs. (9.116) y (9.140). Notese que la energıa depende solo del numerode cuantos a, y es independiente del numero de cuantos b.

9.5 Potencial de Funcion δ de Dirac

Para una partıcula en un potencial de funcion δ de Dirac, las amplitudes de energıaconstante (xb|xa)E se pueden calcular haciendo un desarrollo perturbativo alrededorde la amplitud de una partıcula libre y luego sumando los terminos. Para cualquierpotencial indepediente del tiempo V (x), adicional al potencial armonico Mω2x2/2,el desarrollo perturbativo de la Ec. (3.475) se puede transformar a su version detiempo imaginario mediante la transformada de Laplace via la Ec. (9.3), de dondeencontramos

(xb|xa)E = (xb|xa)ω,E − i

h

∫

dDx1(xb|x1)ω,EV (x1)(x1|xa)ω,E

+ − 1

h2

∫

dDx2

∫

dDx1(xb|x2)ω,EV (x2)(x2|x1)ω,EV (x1)(x1|xa)ω,E

+ . . . . (9.146)

Si el potencial es una funcion δ de Dirac centrada alrededor de X,

V (x) = g δ(D)(x−X), g ≡ h2

Ml2−D, (9.147)

la serie se simplifica a

(xb|xa)E=(xb|xa)ω,E−ig

hg(xb|X)ω,E(X|xa)ω,E−

g2

h2(xb|X)ω,E(X|X)ω,E(X|xa)ω,E+. . . ,

(9.148)

9.5 Potencial de Funcion δ de Dirac 783

y se puede sumar para hallar

(xb|xa)E = (xb|xa)ω,E − ig

h

(xb|X)ω,E(X|xa)ω,E

1 + ig

h(X|X)ω,E

. (9.149)

En general, esto es cierto si el potencial de funcion δ se agrega a una amplitudarbitraria de energıa constante soluble, no solo para el caso armonico.

Si la funcion δ es el unico potencial, usamos la formula (9.149) con ω = 0, detal manera que (xb|xa)0,E se reduce a la amplitud de energıa constante (9.12) de lapartıcula libre, y obtenemos directamente

(xb|xa)E = −2iM

h

κD−2

(2π)D/2

KD/2−1(κR)

(κR)D/2−1

− ig

h

i2M

h

κD−2

(2π)D/2

KD/2−1(κRb)

(κRb)D/2−1× i

2M

h

κD−2

(2π)D/2

KD/2−1(κRa)

(κRa)D/2−1

1− g

h

2M

h

κD−2

πD/2

KD/2−1(κδ)

(κδ)D/2−1

, (9.150)

donde R ≡ |xb − xa| y Ra,b ≡ |xa,b −X|, y δ es una distancia infinitesimal regular-izando una posible singularidad a distancia cero. Para el caso D = 1, esto se reducea

(xb|xa)E = −iMh

1

κe−κR + i

M

hκeκ(Rb+Ra)

1

lκ+ 1, (9.151)

Para un potencial atractivo donde l < 0, el segundo termino se puede escribir como

−i 1

κl2h

E + h2/2Ml2eκ(Rb+Ra), (9.152)

mismo que muestra un polo en la energıa del estado ligado EB = −h/2Ml2. En suvecindad, la contribucion del polo es

2

le−(Rb+Ra)/l

ih

E + h2/2Ml2. (9.153)

Esta expresion tiene la forma espectral en la Ec. (1.325), donde la funcion de ondanormalizada del estado ligado es

ψB(x) =

√

2

le−|x−X|/l. (9.154)

Para D = 3, la amplitud (9.150) sera

(xb|xa)E = −iMh

1

2πRe−κR + i

M

h

eκRb

2πRb

eκRa

2πRa

1

1/l + e−κδ/2πδ. (9.155)


En el lımite δ → 0, el denominador requiere una renormalilzacion. Introducimosuna magnitud de escala de acoplamiento renormalizada

1

lr≡ 1 +

1

2πδ, (9.156)

de donde el ultimo factor en la Ec. (9.155) se puede escribir como

1

1/lr − κ/2π. (9.157)

Para lr < 0, esta expresion tiene un polo en la energıa del estado ligado EB =−4π2h2/2Ml2R, el cual tiene la forma

−lrEB1

E −EB. (9.158)

Por lo tanto, el termino del polo total en la Ec. (9.155) se puede escribir como

ψB(xb)ψ∗B(xa)

ih

E − EB, (9.159)

donde κB =√2MEB/h = 2π/lr, y las funciones de onda normalizadas de los estados

ligados son

ψB(x) =

(

κ2B4π2

)1/4e−κB|x−X|

r. (9.160)

Para D = 2, la situacion es mas sutil. En este caso es util considerar la amplitud(9.150) en D = 2 + ǫ dimensiones, donde tenemos

(xb|xa)E = −iMh

1

π

Kǫ/2(κR)

(2πκR)ǫ/2

+ iM2

h2π2

1

(2πκRb)ǫ/21

(2πκRa)ǫ/2Kǫ/2(κRb)Kǫ/2(κRa)

h

g+M

hπ

1

(2πκδ)ǫ/2Kǫ/2(κǫ)

. (9.161)

Usando aquı Kǫ/2(κδ) ≈ (1/2)Γ(ǫ/2)(κδ/2)−ǫ/2, el denominador sera

h

g+

M

2hπ

Γ(ǫ/2)

(πκδ)ǫ/2≈ h

g+

M

2hπ

2

ǫ

[

1− ǫ

2log(πκδ)

]

. (9.162)

Introducimos aquı una constante de acoplamiento renormalizada

1

gr=

1

g+M

h21

ǫ, (9.163)

y reescribimos el lado derecho como

h

gr− M

2hπlog πκδ. (9.164)

Notes and References 785

Esta expresion tiene un polo en

κB =1

πδe2h

2π/Mgr , (9.165)

indicando un polo de estado ligado cuya energıa es EB = −h2κ2B/2M .Podemos ahora ir al lımite de la dimension D = 2 y encontramos que el polo en

la Ec. (9.161) tiene la forma

ψB(xb)ψ∗B(xa)

ih

E −EB, (9.166)

donde la funcion de onda normalizada del estado ligado es

ψB(x) =κB√πK0(κB|x−X|). (9.167)

Notes and References

Las funciones de onda derivadas en este capıtulo, a partir de la amplitud de evolucion temporal,deberıan de compararse con las dadas en los libros de de texto estandares de mecanica cuantica,tales comoL.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics , Pergamon, London, 1965. La partıculacargada en un campo magnetico se trata en el §111.El potencial de funcion δ, utilizando integrales de trayectoria, fue estudiado porC. Grosche, Phys. Rev. Letters, 71, 1 (1993).

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