fundamentals of computational fluid
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8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
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F u n d a m e n t a l s o f C o m p u t a t i o n a l F l u i d
D y n a m i c s
H a r v a r d L o m a x a n d T h o m a s H . P u l l i a m
N A S A A m e s R e s e a r c h C e n t e r
D a v i d W . Z i n g g
U n i v e r s i t y o f T o r o n t o I n s t i t u t e f o r A e r o s p a c e S t u d i e s
A u g u s t 2 6 , 1 9 9 9
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8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
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C o n t e n t s
1 I N T R O D U C T I O N 1
1 . 1 M o t i v a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . 2 B a c k g r o u n d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 . 2 . 1 P r o b l e m S p e c i c a t i o n a n d G e o m e t r y P r e p a r a t i o n . . . . . . . 2
1 . 2 . 2 S e l e c t i o n o f G o v e r n i n g E q u a t i o n s a n d B o u n d a r y C o n d i t i o n s . 3
1 . 2 . 3 S e l e c t i o n o f G r i d d i n g S t r a t e g y a n d N u m e r i c a l M e t h o d . . . . 3
1 . 2 . 4 A s s e s s m e n t a n d I n t e r p r e t a t i o n o f R e s u l t s . . . . . . . . . . . . 4
1 . 3 O v e r v i e w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 . 4 N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S 7
2 . 1 C o n s e r v a t i o n L a w s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 . 2 T h e N a v i e r - S t o k e s a n d E u l e r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 . 3 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
2 . 3 . 1 D i e r e n t i a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
2 . 3 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
2 . 4 T h e D i u s i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
2 . 4 . 1 D i e r e n t i a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
2 . 4 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
2 . 5 L i n e a r H y p e r b o l i c S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
2 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
3 F I N I T E - D I F F E R E N C E A P P R O X I M A T I O N S 2 1
3 . 1 M e s h e s a n d F i n i t e - D i e r e n c e N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
3 . 2 S p a c e D e r i v a t i v e A p p r o x i m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
3 . 3 F i n i t e - D i e r e n c e O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
3 . 3 . 1 P o i n t D i e r e n c e O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
3 . 3 . 2 M a t r i x D i e r e n c e O p e r a t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
3 . 3 . 3 P e r i o d i c M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
3 . 3 . 4 C i r c u l a n t M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
i i i
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3 . 4 C o n s t r u c t i n g D i e r e n c i n g S c h e m e s o f A n y O r d e r . . . . . . . . . . . . 3 1
3 . 4 . 1 T a y l o r T a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
3 . 4 . 2 G e n e r a l i z a t i o n o f D i e r e n c e F o r m u l a s . . . . . . . . . . . . . . 3 4
3 . 4 . 3 L a g r a n g e a n d H e r m i t e I n t e r p o l a t i o n P o l y n o m i a l s . . . . . . . 3 5
3 . 4 . 4 P r a c t i c a l A p p l i c a t i o n o f P a d e F o r m u l a s . . . . . . . . . . . . . 3 7
3 . 4 . 5 O t h e r H i g h e r - O r d e r S c h e m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
3 . 5 F o u r i e r E r r o r A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
3 . 5 . 1 A p p l i c a t i o n t o a S p a t i a l O p e r a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
3 . 6 D i e r e n c e O p e r a t o r s a t B o u n d a r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3
3 . 6 . 1 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
3 . 6 . 2 T h e D i u s i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
3 . 7 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
4 T H E S E M I - D I S C R E T E A P P R O A C H 5 1
4 . 1 R e d u c t i o n o f P D E ' s t o O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
4 . 1 . 1 T h e M o d e l O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
4 . 1 . 2 T h e G e n e r i c M a t r i x F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
4 . 2 E x a c t S o l u t i o n s o f L i n e a r O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
4 . 2 . 1 E i g e n s y s t e m s o f S e m i - D i s c r e t e L i n e a r F o r m s . . . . . . . . . . 5 4
4 . 2 . 2 S i n g l e O D E ' s o f F i r s t - a n d S e c o n d - O r d e r . . . . . . . . . . . . 5 5
4 . 2 . 3 C o u p l e d F i r s t - O r d e r O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
4 . 2 . 4 G e n e r a l S o l u t i o n o f C o u p l e d O D E ' s w i t h C o m p l e t e E i g e n s y s t e m s 5 9
4 . 3 R e a l S p a c e a n d E i g e n s p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
4 . 3 . 1 D e n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
4 . 3 . 2 E i g e n v a l u e S p e c t r u m s f o r M o d e l O D E ' s . . . . . . . . . . . . . 6 2
4 . 3 . 3 E i g e n v e c t o r s o f t h e M o d e l E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 6 3
4 . 3 . 4 S o l u t i o n s o f t h e M o d e l O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
4 . 4 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7
4 . 5 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8
5 F I N I T E - V O L U M E M E T H O D S 7 1
5 . 1 B a s i c C o n c e p t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
5 . 2 M o d e l E q u a t i o n s i n I n t e g r a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
5 . 2 . 1 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
5 . 2 . 2 T h e D i u s i o n E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
5 . 3 O n e - D i m e n s i o n a l E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
5 . 3 . 1 A S e c o n d - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e C o n v e c t i o n E q u a t i o n . 7 5
5 . 3 . 2 A F o u r t h - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e C o n v e c t i o n E q u a t i o n . 7 7
5 . 3 . 3 A S e c o n d - O r d e r A p p r o x i m a t i o n t o t h e D i u s i o n E q u a t i o n . . 7 8
5 . 4 A T w o - D i m e n s i o n a l E x a m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
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5 . 5 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
6 T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S F O R O D E ' S 8 5
6 . 1 N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
6 . 2 C o n v e r t i n g T i m e - M a r c h i n g M e t h o d s t o O E ' s . . . . . . . . . . . . . 8 7
6 . 3 S o l u t i o n o f L i n e a r O E ' s W i t h C o n s t a n t C o e c i e n t s . . . . . . . . . 8 8
6 . 3 . 1 F i r s t - a n d S e c o n d - O r d e r D i e r e n c e E q u a t i o n s . . . . . . . . . 8 9
6 . 3 . 2 S p e c i a l C a s e s o f C o u p l e d F i r s t - O r d e r E q u a t i o n s . . . . . . . . 9 0
6 . 4 S o l u t i o n o f t h e R e p r e s e n t a t i v e O E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
6 . 4 . 1 T h e O p e r a t i o n a l F o r m a n d i t s S o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . 9 1
6 . 4 . 2 E x a m p l e s o f S o l u t i o n s t o T i m e - M a r c h i n g O E ' s . . . . . . . . 9 2
6 . 5 T h e
; R e l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 5 . 1 E s t a b l i s h i n g t h e R e l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 5 . 2 T h e P r i n c i p a l - R o o t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
6 . 5 . 3 S p u r i o u s - R o o t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
6 . 5 . 4 O n e - R o o t T i m e - M a r c h i n g M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . 9 6
6 . 6 A c c u r a c y M e a s u r e s o f T i m e - M a r c h i n g M e t h o d s . . . . . . . . . . . . 9 7
6 . 6 . 1 L o c a l a n d G l o b a l E r r o r M e a s u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7
6 . 6 . 2 L o c a l A c c u r a c y o f t h e T r a n s i e n t S o l u t i o n ( e r
j j e r
!
) . . . . 9 8
6 . 6 . 3 L o c a l A c c u r a c y o f t h e P a r t i c u l a r S o l u t i o n ( e r
) . . . . . . . . 9 9
6 . 6 . 4 T i m e A c c u r a c y F o r N o n l i n e a r A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . 1 0 0
6 . 6 . 5 G l o b a l A c c u r a c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1
6 . 7 L i n e a r M u l t i s t e p M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2
6 . 7 . 1 T h e G e n e r a l F o r m u l a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2
6 . 7 . 2 E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3
6 . 7 . 3 T w o - S t e p L i n e a r M u l t i s t e p M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5
6 . 8 P r e d i c t o r - C o r r e c t o r M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6
6 . 9 R u n g e - K u t t a M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7
6 . 1 0 I m p l e m e n t a t i o n o f I m p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0
6 . 1 0 . 1 A p p l i c a t i o n t o S y s t e m s o f E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0
6 . 1 0 . 2 A p p l i c a t i o n t o N o n l i n e a r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1
6 . 1 0 . 3 L o c a l L i n e a r i z a t i o n f o r S c a l a r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . 1 1 2
6 . 1 0 . 4 L o c a l L i n e a r i z a t i o n f o r C o u p l e d S e t s o f N o n l i n e a r E q u a t i o n s . 1 1 5
6 . 1 1 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7
7 S T A B I L I T Y O F L I N E A R S Y S T E M S 1 2 1
7 . 1 D e p e n d e n c e o n t h e E i g e n s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2
7 . 2 I n h e r e n t S t a b i l i t y o f O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
7 . 2 . 1 T h e C r i t e r i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
7 . 2 . 2 C o m p l e t e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
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8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
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7 . 2 . 3 D e f e c t i v e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
7 . 3 N u m e r i c a l S t a b i l i t y o f O E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4
7 . 3 . 1 T h e C r i t e r i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4
7 . 3 . 2 C o m p l e t e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5
7 . 3 . 3 D e f e c t i v e E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5
7 . 4 T i m e - S p a c e S t a b i l i t y a n d C o n v e r g e n c e o f O E ' s . . . . . . . . . . . . 1 2 5
7 . 5 N u m e r i c a l S t a b i l i t y C o n c e p t s i n t h e C o m p l e x - P l a n e . . . . . . . . . 1 2 8
7 . 5 . 1 - R o o t T r a c e s R e l a t i v e t o t h e U n i t C i r c l e . . . . . . . . . . . 1 2 8
7 . 5 . 2 S t a b i l i t y f o r S m a l l t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2
7 . 6 N u m e r i c a l S t a b i l i t y C o n c e p t s i n t h e C o m p l e x h P l a n e . . . . . . . . 1 3 5
7 . 6 . 1 S t a b i l i t y f o r L a r g e h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5
7 . 6 . 2 U n c o n d i t i o n a l S t a b i l i t y , A - S t a b l e M e t h o d s . . . . . . . . . . . 1 3 6
7 . 6 . 3 S t a b i l i t y C o n t o u r s i n t h e C o m p l e x h P l a n e . . . . . . . . . . . 1 3 7
7 . 7 F o u r i e r S t a b i l i t y A n a l y s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1
7 . 7 . 1 T h e B a s i c P r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1
7 . 7 . 2 S o m e E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2
7 . 7 . 3 R e l a t i o n t o C i r c u l a n t M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3
7 . 8 C o n s i s t e n c y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3
7 . 9 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6
8 C H O I C E O F T I M E - M A R C H I N G M E T H O D S 1 4 9
8 . 1 S t i n e s s D e n i t i o n f o r O D E ' s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9
8 . 1 . 1 R e l a t i o n t o - E i g e n v a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9
8 . 1 . 2 D r i v i n g a n d P a r a s i t i c E i g e n v a l u e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1
8 . 1 . 3 S t i n e s s C l a s s i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1
8 . 2 R e l a t i o n o f S t i n e s s t o S p a c e M e s h S i z e . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 2
8 . 3 P r a c t i c a l C o n s i d e r a t i o n s f o r C o m p a r i n g M e t h o d s . . . . . . . . . . . 1 5 3
8 . 4 C o m p a r i n g t h e E c i e n c y o f E x p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . 1 5 4
8 . 4 . 1 I m p o s e d C o n s t r a i n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4
8 . 4 . 2 A n E x a m p l e I n v o l v i n g D i u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4
8 . 4 . 3 A n E x a m p l e I n v o l v i n g P e r i o d i c C o n v e c t i o n . . . . . . . . . . . 1 5 5
8 . 5 C o p i n g W i t h S t i n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8
8 . 5 . 1 E x p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8
8 . 5 . 2 I m p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9
8 . 5 . 3 A P e r s p e c t i v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0
8 . 6 S t e a d y P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0
8 . 7 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
7/276
9 R E L A X A T I O N M E T H O D S 1 6 3
9 . 1 F o r m u l a t i o n o f t h e M o d e l P r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4
9 . 1 . 1 P r e c o n d i t i o n i n g t h e B a s i c M a t r i x . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4
9 . 1 . 2 T h e M o d e l E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 6
9 . 2 C l a s s i c a l R e l a x a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8
9 . 2 . 1 T h e D e l t a F o r m o f a n I t e r a t i v e S c h e m e . . . . . . . . . . . . . 1 6 8
9 . 2 . 2 T h e C o n v e r g e d S o l u t i o n , t h e R e s i d u a l , a n d t h e E r r o r . . . . . 1 6 8
9 . 2 . 3 T h e C l a s s i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9
9 . 3 T h e O D E A p p r o a c h t o C l a s s i c a l R e l a x a t i o n . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0
9 . 3 . 1 T h e O r d i n a r y D i e r e n t i a l E q u a t i o n F o r m u l a t i o n . . . . . . . . 1 7 0
9 . 3 . 2 O D E F o r m o f t h e C l a s s i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2
9 . 4 E i g e n s y s t e m s o f t h e C l a s s i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3
9 . 4 . 1 T h e P o i n t - J a c o b i S y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 4
9 . 4 . 2 T h e G a u s s - S e i d e l S y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6
9 . 4 . 3 T h e S O R S y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0
9 . 5 N o n s t a t i o n a r y P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 2
9 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7
1 0 M U L T I G R I D 1 9 1
1 0 . 1 M o t i v a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1
1 0 . 1 . 1 E i g e n v e c t o r a n d E i g e n v a l u e I d e n t i c a t i o n w i t h S p a c e F r e q u e n c i e s 1 9 1
1 0 . 1 . 2 P r o p e r t i e s o f t h e I t e r a t i v e M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2
1 0 . 2 T h e B a s i c P r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 2
1 0 . 3 A T w o - G r i d P r o c e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0
1 0 . 4 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 2
1 1 N U M E R I C A L D I S S I P A T I O N 2 0 3
1 1 . 1 O n e - S i d e d F i r s t - D e r i v a t i v e S p a c e D i e r e n c i n g . . . . . . . . . . . . . 2 0 4
1 1 . 2 T h e M o d i e d P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5
1 1 . 3 T h e L a x - W e n d r o M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 7
1 1 . 4 U p w i n d S c h e m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9
1 1 . 4 . 1 F l u x - V e c t o r S p l i t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0
1 1 . 4 . 2 F l u x - D i e r e n c e S p l i t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 2
1 1 . 5 A r t i c i a l D i s s i p a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 3
1 1 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4
1 2 S P L I T A N D F A C T O R E D F O R M S 2 1 7
1 2 . 1 T h e C o n c e p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7
1 2 . 2 F a c t o r i n g P h y s i c a l R e p r e s e n t a t i o n s | T i m e S p l i t t i n g . . . . . . . . . 2 1 8
1 2 . 3 F a c t o r i n g S p a c e M a t r i x O p e r a t o r s i n 2 { D . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
8/276
1 2 . 3 . 1 M e s h I n d e x i n g C o n v e n t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0
1 2 . 3 . 2 D a t a B a s e s a n d S p a c e V e c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1
1 2 . 3 . 3 D a t a B a s e P e r m u t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1
1 2 . 3 . 4 S p a c e S p l i t t i n g a n d F a c t o r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3
1 2 . 4 S e c o n d - O r d e r F a c t o r e d I m p l i c i t M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 6
1 2 . 5 I m p o r t a n c e o f F a c t o r e d F o r m s i n 2 a n d 3 D i m e n s i o n s . . . . . . . . . 2 2 6
1 2 . 6 T h e D e l t a F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 8
1 2 . 7 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9
1 3 L I N E A R A N A L Y S I S O F S P L I T A N D F A C T O R E D F O R M S 2 3 3
1 3 . 1 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n f o r C i r c u l a n t O p e r a t o r s . . . . . . . . . 2 3 3
1 3 . 2 E x a m p l e A n a l y s i s o f C i r c u l a n t S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4
1 3 . 2 . 1 S t a b i l i t y C o m p a r i s o n s o f T i m e - S p l i t M e t h o d s . . . . . . . . . 2 3 4
1 3 . 2 . 2 A n a l y s i s o f a S e c o n d - O r d e r T i m e - S p l i t M e t h o d . . . . . . . . 2 3 7
1 3 . 3 T h e R e p r e s e n t a t i v e E q u a t i o n f o r S p a c e - S p l i t O p e r a t o r s . . . . . . . . 2 3 8
1 3 . 4 E x a m p l e A n a l y s i s o f 2 - D M o d e l E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2
1 3 . 4 . 1 T h e U n f a c t o r e d I m p l i c i t E u l e r M e t h o d . . . . . . . . . . . . . 2 4 2
1 3 . 4 . 2 T h e F a c t o r e d N o n d e l t a F o r m o f t h e I m p l i c i t E u l e r M e t h o d . . 2 4 3
1 3 . 4 . 3 T h e F a c t o r e d D e l t a F o r m o f t h e I m p l i c i t E u l e r M e t h o d . . . . 2 4 3
1 3 . 4 . 4 T h e F a c t o r e d D e l t a F o r m o f t h e T r a p e z o i d a l M e t h o d . . . . . 2 4 4
1 3 . 5 E x a m p l e A n a l y s i s o f t h e 3 - D M o d e l E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . 2 4 5
1 3 . 6 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7
A U S E F U L R E L A T I O N S A N D D E F I N I T I O N S F R O M L I N E A R A L -
G E B R A 2 4 9
A . 1 N o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9
A . 2 D e n i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0
A . 3 A l g e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1
A . 4 E i g e n s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1
A . 5 V e c t o r a n d M a t r i x N o r m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4
B S O M E P R O P E R T I E S O F T R I D I A G O N A L M A T R I C E S 2 5 7
B . 1 S t a n d a r d E i g e n s y s t e m f o r S i m p l e T r i d i a g o n a l s . . . . . . . . . . . . . 2 5 7
B . 2 G e n e r a l i z e d E i g e n s y s t e m f o r S i m p l e T r i d i a g o n a l s . . . . . . . . . . . . 2 5 8
B . 3 T h e I n v e r s e o f a S i m p l e T r i d i a g o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9
B . 4 E i g e n s y s t e m s o f C i r c u l a n t M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0
B . 4 . 1 S t a n d a r d T r i d i a g o n a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 0
B . 4 . 2 G e n e r a l C i r c u l a n t S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1
B . 5 S p e c i a l C a s e s F o u n d F r o m S y m m e t r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2
B . 6 S p e c i a l C a s e s I n v o l v i n g B o u n d a r y C o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . 2 6 3
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
9/276
C T H E H O M O G E N E O U S P R O P E R T Y O F T H E E U L E R E Q U A T I O N S 2 6 5
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
10/276
C h a p t e r 1
I N T R O D U C T I O N
1 . 1 M o t i v a t i o n
T h e m a t e r i a l i n t h i s b o o k o r i g i n a t e d f r o m a t t e m p t s t o u n d e r s t a n d a n d s y s t e m i z e n u -
m e r i c a l s o l u t i o n t e c h n i q u e s f o r t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e p h y s i c s
o f u i d o w . A s t i m e w e n t o n a n d t h e s e a t t e m p t s b e g a n t o c r y s t a l l i z e , u n d e r l y i n g
c o n s t r a i n t s o n t h e n a t u r e o f t h e m a t e r i a l b e g a n t o f o r m . T h e p r i n c i p a l s u c h c o n s t r a i n t
w a s t h e d e m a n d f o r u n i c a t i o n . W a s t h e r e o n e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e w h i c h c o u l d
b e u s e d t o d e s c r i b e t h e b e h a v i o r a n d r e s u l t s o f m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s i n c o m m o n
u s e i n t h e e l d o f u i d d y n a m i c s ? P e r h a p s t h e a n s w e r i s a r g u a b l e , b u t t h e a u t h o r s
b e l i e v e t h e a n s w e r i s a r m a t i v e a n d p r e s e n t t h i s b o o k a s j u s t i c a t i o n f o r t h a t b e -
l i e f . T h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e i s t h e t h e o r y o f l i n e a r a l g e b r a a n d t h e a t t e n d a n t
e i g e n a n a l y s i s o f l i n e a r s y s t e m s .
T h e u l t i m a t e g o a l o f t h e e l d o f c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s ( C F D ) i s t o u n d e r -
s t a n d t h e p h y s i c a l e v e n t s t h a t o c c u r i n t h e o w o f u i d s a r o u n d a n d w i t h i n d e s i g n a t e d
o b j e c t s . T h e s e e v e n t s a r e r e l a t e d t o t h e a c t i o n a n d i n t e r a c t i o n o f p h e n o m e n a s u c h
a s d i s s i p a t i o n , d i u s i o n , c o n v e c t i o n , s h o c k w a v e s , s l i p s u r f a c e s , b o u n d a r y l a y e r s , a n d
t u r b u l e n c e . I n t h e e l d o f a e r o d y n a m i c s , a l l o f t h e s e p h e n o m e n a a r e g o v e r n e d b y
t h e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . M a n y o f t h e m o s t i m p o r t a n t a s p e c t s o f
t h e s e r e l a t i o n s a r e n o n l i n e a r a n d , a s a c o n s e q u e n c e , o f t e n h a v e n o a n a l y t i c s o l u t i o n .
T h i s , o f c o u r s e , m o t i v a t e s t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e a s s o c i a t e d p a r t i a l d i e r e n t i a l
e q u a t i o n s . A t t h e s a m e t i m e i t w o u l d s e e m t o i n v a l i d a t e t h e u s e o f l i n e a r a l g e b r a f o r
t h e c l a s s i c a t i o n o f t h e n u m e r i c a l m e t h o d s . E x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t s u c h i s n o t
t h e c a s e .
A s w e s h a l l s e e i n a l a t e r c h a p t e r , t h e u s e o f n u m e r i c a l m e t h o d s t o s o l v e p a r t i a l
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t r o d u c e s a n a p p r o x i m a t i o n t h a t , i n e e c t , c a n c h a n g e t h e
f o r m o f t h e b a s i c p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e m s e l v e s . T h e n e w e q u a t i o n s , w h i c h
1
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
11/276
2 C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
a r e t h e o n e s a c t u a l l y b e i n g s o l v e d b y t h e n u m e r i c a l p r o c e s s , a r e o f t e n r e f e r r e d t o a s
t h e m o d i e d p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . S i n c e t h e y a r e n o t p r e c i s e l y t h e s a m e a s
t h e o r i g i n a l e q u a t i o n s , t h e y c a n , a n d p r o b a b l y w i l l , s i m u l a t e t h e p h y s i c a l p h e n o m e n a
l i s t e d a b o v e i n w a y s t h a t a r e n o t e x a c t l y t h e s a m e a s a n e x a c t s o l u t i o n t o t h e b a s i c
p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n . M a t h e m a t i c a l l y , t h e s e d i e r e n c e s a r e u s u a l l y r e f e r r e d t o
a s t r u n c a t i o n e r r o r s . H o w e v e r , t h e t h e o r y a s s o c i a t e d w i t h t h e n u m e r i c a l a n a l y s i s o f
u i d m e c h a n i c s w a s d e v e l o p e d p r e d o m i n a n t l y b y s c i e n t i s t s d e e p l y i n t e r e s t e d i n t h e
p h y s i c s o f u i d o w a n d , a s a c o n s e q u e n c e , t h e s e e r r o r s a r e o f t e n i d e n t i e d w i t h a
p a r t i c u l a r p h y s i c a l p h e n o m e n o n o n w h i c h t h e y h a v e a s t r o n g e e c t . T h u s m e t h o d s a r e
s a i d t o h a v e a l o t o f \ a r t i c i a l v i s c o s i t y " o r s a i d t o b e h i g h l y d i s p e r s i v e . T h i s m e a n s
t h a t t h e e r r o r s c a u s e d b y t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n r e s u l t i n a m o d i e d p a r t i a l
d i e r e n t i a l e q u a t i o n h a v i n g a d d i t i o n a l t e r m s t h a t c a n b e i d e n t i e d w i t h t h e p h y s i c s
o f d i s s i p a t i o n i n t h e r s t c a s e a n d d i s p e r s i o n i n t h e s e c o n d . T h e r e i s n o t h i n g w r o n g ,
o f c o u r s e , w i t h i d e n t i f y i n g a n e r r o r w i t h a p h y s i c a l p r o c e s s , n o r w i t h d e l i b e r a t e l y
d i r e c t i n g a n e r r o r t o a s p e c i c p h y s i c a l p r o c e s s , a s l o n g a s t h e e r r o r r e m a i n s i n s o m e
e n g i n e e r i n g s e n s e \ s m a l l " . I t i s s a f e t o s a y , f o r e x a m p l e , t h a t m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s
i n p r a c t i c a l u s e f o r s o l v i n g t h e n o n d i s s i p a t i v e E u l e r e q u a t i o n s c r e a t e a m o d i e d p a r t i a l
d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t p r o d u c e s s o m e f o r m o f d i s s i p a t i o n . H o w e v e r , i f u s e d a n d
i n t e r p r e t e d p r o p e r l y , t h e s e m e t h o d s g i v e v e r y u s e f u l i n f o r m a t i o n .
R e g a r d l e s s o f w h a t t h e n u m e r i c a l e r r o r s a r e c a l l e d , i f t h e i r e e c t s a r e n o t t h o r -
o u g h l y u n d e r s t o o d a n d c o n t r o l l e d , t h e y c a n l e a d t o s e r i o u s d i c u l t i e s , p r o d u c i n g
a n s w e r s t h a t r e p r e s e n t l i t t l e , i f a n y , p h y s i c a l r e a l i t y . T h i s m o t i v a t e s s t u d y i n g t h e
c o n c e p t s o f s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e , a n d c o n s i s t e n c y . O n t h e o t h e r h a n d , e v e n i f t h e
e r r o r s a r e k e p t s m a l l e n o u g h t h a t t h e y c a n b e n e g l e c t e d ( f o r e n g i n e e r i n g p u r p o s e s ) ,
t h e r e s u l t i n g s i m u l a t i o n c a n s t i l l b e o f l i t t l e p r a c t i c a l u s e i f i n e c i e n t o r i n a p p r o p r i a t e
a l g o r i t h m s a r e u s e d . T h i s m o t i v a t e s s t u d y i n g t h e c o n c e p t s o f s t i n e s s , f a c t o r i z a t i o n ,
a n d a l g o r i t h m d e v e l o p m e n t i n g e n e r a l . A l l o f t h e s e c o n c e p t s w e h o p e t o c l a r i f y i n
t h i s b o o k .
1 . 2 B a c k g r o u n d
T h e e l d o f c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s h a s a b r o a d r a n g e o f a p p l i c a b i l i t y . I n d e p e n -
d e n t o f t h e s p e c i c a p p l i c a t i o n u n d e r s t u d y , t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e o f s t e p s g e n e r a l l y
m u s t b e f o l l o w e d i n o r d e r t o o b t a i n a s a t i s f a c t o r y s o l u t i o n .
1 . 2 . 1 P r o b l e m S p e c i c a t i o n a n d G e o m e t r y P r e p a r a t i o n
T h e r s t s t e p i n v o l v e s t h e s p e c i c a t i o n o f t h e p r o b l e m , i n c l u d i n g t h e g e o m e t r y , o w
c o n d i t i o n s , a n d t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e s i m u l a t i o n . T h e g e o m e t r y m a y r e s u l t f r o m
-
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1 . 2 . B A C K G R O U N D 3
m e a s u r e m e n t s o f a n e x i s t i n g c o n g u r a t i o n o r m a y b e a s s o c i a t e d w i t h a d e s i g n s t u d y .
A l t e r n a t i v e l y , i n a d e s i g n c o n t e x t , n o g e o m e t r y n e e d b e s u p p l i e d . I n s t e a d , a s e t
o f o b j e c t i v e s a n d c o n s t r a i n t s m u s t b e s p e c i e d . F l o w c o n d i t i o n s m i g h t i n c l u d e , f o r
e x a m p l e , t h e R e y n o l d s n u m b e r a n d M a c h n u m b e r f o r t h e o w o v e r a n a i r f o i l . T h e
r e q u i r e m e n t s o f t h e s i m u l a t i o n i n c l u d e i s s u e s s u c h a s t h e l e v e l o f a c c u r a c y n e e d e d , t h e
t u r n a r o u n d t i m e r e q u i r e d , a n d t h e s o l u t i o n p a r a m e t e r s o f i n t e r e s t . T h e r s t t w o o f
t h e s e r e q u i r e m e n t s a r e o f t e n i n c o n i c t a n d c o m p r o m i s e i s n e c e s s a r y . A s a n e x a m p l e
o f s o l u t i o n p a r a m e t e r s o f i n t e r e s t i n c o m p u t i n g t h e o w e l d a b o u t a n a i r f o i l , o n e m a y
b e i n t e r e s t e d i n i ) t h e l i f t a n d p i t c h i n g m o m e n t o n l y , i i ) t h e d r a g a s w e l l a s t h e l i f t
a n d p i t c h i n g m o m e n t , o r i i i ) t h e d e t a i l s o f t h e o w a t s o m e s p e c i c l o c a t i o n .
1 . 2 . 2 S e l e c t i o n o f G o v e r n i n g E q u a t i o n s a n d B o u n d a r y C o n -
d i t i o n s
O n c e t h e p r o b l e m h a s b e e n s p e c i e d , a n a p p r o p r i a t e s e t o f g o v e r n i n g e q u a t i o n s a n d
b o u n d a r y c o n d i t i o n s m u s t b e s e l e c t e d . I t i s g e n e r a l l y a c c e p t e d t h a t t h e p h e n o m e n a o f
i m p o r t a n c e t o t h e e l d o f c o n t i n u u m u i d d y n a m i c s a r e g o v e r n e d b y t h e c o n s e r v a t i o n
o f m a s s , m o m e n t u m , a n d e n e r g y . T h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s r e s u l t i n g f r o m
t h e s e c o n s e r v a t i o n l a w s a r e r e f e r r e d t o a s t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . H o w e v e r , i n
t h e i n t e r e s t o f e c i e n c y , i t i s a l w a y s p r u d e n t t o c o n s i d e r s o l v i n g s i m p l i e d f o r m s
o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w h e n t h e s i m p l i c a t i o n s r e t a i n t h e p h y s i c s w h i c h a r e
e s s e n t i a l t o t h e g o a l s o f t h e s i m u l a t i o n . P o s s i b l e s i m p l i e d g o v e r n i n g e q u a t i o n s i n c l u d e
t h e p o t e n t i a l - o w e q u a t i o n s , t h e E u l e r e q u a t i o n s , a n d t h e t h i n - l a y e r N a v i e r - S t o k e s
e q u a t i o n s . T h e s e m a y b e s t e a d y o r u n s t e a d y a n d c o m p r e s s i b l e o r i n c o m p r e s s i b l e .
B o u n d a r y t y p e s w h i c h m a y b e e n c o u n t e r e d i n c l u d e s o l i d w a l l s , i n o w a n d o u t o w
b o u n d a r i e s , p e r i o d i c b o u n d a r i e s , s y m m e t r y b o u n d a r i e s , e t c . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s
w h i c h m u s t b e s p e c i e d d e p e n d u p o n t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . F o r e x a m p l e , a t a s o l i d
w a l l , t h e E u l e r e q u a t i o n s r e q u i r e o w t a n g e n c y t o b e e n f o r c e d , w h i l e t h e N a v i e r - S t o k e s
e q u a t i o n s r e q u i r e t h e n o - s l i p c o n d i t i o n . I f n e c e s s a r y , p h y s i c a l m o d e l s m u s t b e c h o s e n
f o r p r o c e s s e s w h i c h c a n n o t b e s i m u l a t e d w i t h i n t h e s p e c i e d c o n s t r a i n t s . T u r b u l e n c e
i s a n e x a m p l e o f a p h y s i c a l p r o c e s s w h i c h i s r a r e l y s i m u l a t e d i n a p r a c t i c a l c o n t e x t ( a t
t h e t i m e o f w r i t i n g ) a n d t h u s i s o f t e n m o d e l l e d . T h e s u c c e s s o f a s i m u l a t i o n d e p e n d s
g r e a t l y o n t h e e n g i n e e r i n g i n s i g h t i n v o l v e d i n s e l e c t i n g t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a n d
p h y s i c a l m o d e l s b a s e d o n t h e p r o b l e m s p e c i c a t i o n .
1 . 2 . 3 S e l e c t i o n o f G r i d d i n g S t r a t e g y a n d N u m e r i c a l M e t h o d
N e x t a n u m e r i c a l m e t h o d a n d a s t r a t e g y f o r d i v i d i n g t h e o w d o m a i n i n t o c e l l s , o r
e l e m e n t s , m u s t b e s e l e c t e d . W e c o n c e r n o u r s e l v e s h e r e o n l y w i t h n u m e r i c a l m e t h -
o d s r e q u i r i n g s u c h a t e s s e l l a t i o n o f t h e d o m a i n , w h i c h i s k n o w n a s a g r i d , o r m e s h .
-
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4 C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
M a n y d i e r e n t g r i d d i n g s t r a t e g i e s e x i s t , i n c l u d i n g s t r u c t u r e d , u n s t r u c t u r e d , h y b r i d ,
c o m p o s i t e , a n d o v e r l a p p i n g g r i d s . F u r t h e r m o r e , t h e g r i d c a n b e a l t e r e d b a s e d o n
t h e s o l u t i o n i n a n a p p r o a c h k n o w n a s s o l u t i o n - a d a p t i v e g r i d d i n g . T h e n u m e r i c a l
m e t h o d s g e n e r a l l y u s e d i n C F D c a n b e c l a s s i e d a s n i t e - d i e r e n c e , n i t e - v o l u m e ,
n i t e - e l e m e n t , o r s p e c t r a l m e t h o d s . T h e c h o i c e s o f a n u m e r i c a l m e t h o d a n d a g r i d -
d i n g s t r a t e g y a r e s t r o n g l y i n t e r d e p e n d e n t . F o r e x a m p l e , t h e u s e o f n i t e - d i e r e n c e
m e t h o d s i s t y p i c a l l y r e s t r i c t e d t o s t r u c t u r e d g r i d s . H e r e a g a i n , t h e s u c c e s s o f a s i m -
u l a t i o n c a n d e p e n d o n a p p r o p r i a t e c h o i c e s f o r t h e p r o b l e m o r c l a s s o f p r o b l e m s o f
i n t e r e s t .
1 . 2 . 4 A s s e s s m e n t a n d I n t e r p r e t a t i o n o f R e s u l t s
F i n a l l y , t h e r e s u l t s o f t h e s i m u l a t i o n m u s t b e a s s e s s e d a n d i n t e r p r e t e d . T h i s s t e p c a n
r e q u i r e p o s t - p r o c e s s i n g o f t h e d a t a , f o r e x a m p l e c a l c u l a t i o n o f f o r c e s a n d m o m e n t s ,
a n d c a n b e a i d e d b y s o p h i s t i c a t e d o w v i s u a l i z a t i o n t o o l s a n d e r r o r e s t i m a t i o n t e c h -
n i q u e s . I t i s c r i t i c a l t h a t t h e m a g n i t u d e o f b o t h n u m e r i c a l a n d p h y s i c a l - m o d e l e r r o r s
b e w e l l u n d e r s t o o d .
1 . 3 O v e r v i e w
I t s h o u l d b e c l e a r t h a t s u c c e s s f u l s i m u l a t i o n o f u i d o w s c a n i n v o l v e a w i d e r a n g e o f
i s s u e s f r o m g r i d g e n e r a t i o n t o t u r b u l e n c e m o d e l l i n g t o t h e a p p l i c a b i l i t y o f v a r i o u s s i m -
p l i e d f o r m s o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . M a n y o f t h e s e i s s u e s a r e n o t a d d r e s s e d
i n t h i s b o o k . S o m e o f t h e m a r e p r e s e n t e d i n t h e b o o k s b y A n d e r s o n , T a n n e h i l l , a n d
P l e t c h e r 1 ] a n d H i r s c h 2 ] . I n s t e a d w e f o c u s o n n u m e r i c a l m e t h o d s , w i t h e m p h a s i s
o n n i t e - d i e r e n c e a n d n i t e - v o l u m e m e t h o d s f o r t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a -
t i o n s . R a t h e r t h a n p r e s e n t i n g t h e d e t a i l s o f t h e m o s t a d v a n c e d m e t h o d s , w h i c h a r e
s t i l l e v o l v i n g , w e p r e s e n t a f o u n d a t i o n f o r d e v e l o p i n g , a n a l y z i n g , a n d u n d e r s t a n d i n g
s u c h m e t h o d s .
F o r t u n a t e l y , t o d e v e l o p , a n a l y z e , a n d u n d e r s t a n d m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s u s e d t o
n d s o l u t i o n s f o r t h e c o m p l e t e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w e c a n m a k e u s e
o f m u c h s i m p l e r e x p r e s s i o n s , t h e s o - c a l l e d \ m o d e l " e q u a t i o n s . T h e s e m o d e l e q u a t i o n s
i s o l a t e c e r t a i n a s p e c t s o f t h e p h y s i c s c o n t a i n e d i n t h e c o m p l e t e s e t o f e q u a t i o n s . H e n c e
t h e i r n u m e r i c a l s o l u t i o n c a n i l l u s t r a t e t h e p r o p e r t i e s o f a g i v e n n u m e r i c a l m e t h o d
w h e n a p p l i e d t o a m o r e c o m p l i c a t e d s y s t e m o f e q u a t i o n s w h i c h g o v e r n s s i m i l a r p h y s -
i c a l p h e n o m e n a . A l t h o u g h t h e m o d e l e q u a t i o n s a r e e x t r e m e l y s i m p l e a n d e a s y t o
s o l v e , t h e y h a v e b e e n c a r e f u l l y s e l e c t e d t o b e r e p r e s e n t a t i v e , w h e n u s e d i n t e l l i g e n t l y ,
o f d i c u l t i e s a n d c o m p l e x i t i e s t h a t a r i s e i n r e a l i s t i c t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l u i d
o w s i m u l a t i o n s . W e b e l i e v e t h a t a t h o r o u g h u n d e r s t a n d i n g o f w h a t h a p p e n s w h e n
-
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1 . 4 . N O T A T I O N 5
n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s a r e a p p l i e d t o t h e m o d e l e q u a t i o n s i s a m a j o r r s t s t e p i n
m a k i n g c o n d e n t a n d c o m p e t e n t u s e o f n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s t o t h e E u l e r a n d
N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . A s a w o r d o f c a u t i o n , h o w e v e r , i t s h o u l d b e n o t e d t h a t ,
a l t h o u g h w e c a n l e a r n a g r e a t d e a l b y s t u d y i n g n u m e r i c a l m e t h o d s a s a p p l i e d t o t h e
m o d e l e q u a t i o n s a n d c a n u s e t h a t i n f o r m a t i o n i n t h e d e s i g n a n d a p p l i c a t i o n o f n u -
m e r i c a l m e t h o d s t o p r a c t i c a l p r o b l e m s , t h e r e a r e m a n y a s p e c t s o f p r a c t i c a l p r o b l e m s
w h i c h c a n o n l y b e u n d e r s t o o d i n t h e c o n t e x t o f t h e c o m p l e t e p h y s i c a l s y s t e m s .
1 . 4 N o t a t i o n
T h e n o t a t i o n i s g e n e r a l l y e x p l a i n e d a s i t i s i n t r o d u c e d . B o l d t y p e i s r e s e r v e d f o r r e a l
p h y s i c a l v e c t o r s , s u c h a s v e l o c i t y . T h e v e c t o r s y m b o l ~ i s u s e d f o r t h e v e c t o r s ( o r
c o l u m n m a t r i c e s ) w h i c h c o n t a i n t h e v a l u e s o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e a t t h e n o d e s
o f a g r i d . O t h e r w i s e , t h e u s e o f a v e c t o r c o n s i s t i n g o f a c o l l e c t i o n o f s c a l a r s s h o u l d
b e a p p a r e n t f r o m t h e c o n t e x t a n d i s n o t i d e n t i e d b y a n y s p e c i a l n o t a t i o n . F o r
e x a m p l e , t h e v a r i a b l e u c a n d e n o t e a s c a l a r C a r t e s i a n v e l o c i t y c o m p o n e n t i n t h e E u l e r
a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , a s c a l a r q u a n t i t y i n t h e l i n e a r c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n
e q u a t i o n s , a n d a v e c t o r c o n s i s t i n g o f a c o l l e c t i o n o f s c a l a r s i n o u r p r e s e n t a t i o n o f
h y p e r b o l i c s y s t e m s . S o m e o f t h e a b b r e v i a t i o n s u s e d t h r o u g h o u t t h e t e x t a r e l i s t e d
a n d d e n e d b e l o w .
P D E P a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n
O D E O r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n
O E O r d i n a r y d i e r e n c e e q u a t i o n
R H S R i g h t - h a n d s i d e
P . S . P a r t i c u l a r s o l u t i o n o f a n O D E o r s y s t e m o f O D E ' s
S . S . F i x e d ( t i m e - i n v a r i a n t ) s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n
k - D k - d i m e n s i o n a l s p a c e
~
b c
B o u n d a r y c o n d i t i o n s , u s u a l l y a v e c t o r
O ( ) A t e r m o f o r d e r ( i . e . , p r o p o r t i o n a l t o )
-
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6 C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
-
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C h a p t e r 2
C O N S E R V A T I O N L A W S A N D
T H E M O D E L E Q U A T I O N S
W e s t a r t o u t b y c a s t i n g o u r e q u a t i o n s i n t h e m o s t g e n e r a l f o r m , t h e i n t e g r a l c o n s e r v a -
t i o n - l a w f o r m , w h i c h i s u s e f u l i n u n d e r s t a n d i n g t h e c o n c e p t s i n v o l v e d i n n i t e - v o l u m e
s c h e m e s . T h e e q u a t i o n s a r e t h e n r e c a s t i n t o d i v e r g e n c e f o r m , w h i c h i s n a t u r a l f o r
n i t e - d i e r e n c e s c h e m e s . T h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e b r i e y d i s c u s s e d
i n t h i s C h a p t e r . T h e m a i n f o c u s , t h o u g h , w i l l b e o n r e p r e s e n t a t i v e m o d e l e q u a t i o n s ,
i n p a r t i c u l a r , t h e c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n e q u a t i o n s . T h e s e e q u a t i o n s c o n t a i n m a n y
o f t h e s a l i e n t m a t h e m a t i c a l a n d p h y s i c a l f e a t u r e s o f t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .
T h e c o n c e p t s o f c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n a r e p r e v a l e n t i n o u r d e v e l o p m e n t o f n u -
m e r i c a l m e t h o d s f o r c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s , a n d t h e r e c u r r i n g u s e o f t h e s e
m o d e l e q u a t i o n s a l l o w s u s t o d e v e l o p a c o n s i s t e n t f r a m e w o r k o f a n a l y s i s f o r c o n s i s -
t e n c y , a c c u r a c y , s t a b i l i t y , a n d c o n v e r g e n c e . T h e m o d e l e q u a t i o n s w e s t u d y h a v e t w o
p r o p e r t i e s i n c o m m o n . T h e y a r e l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( P D E ' s ) w i t h
c o e c i e n t s t h a t a r e c o n s t a n t i n b o t h s p a c e a n d t i m e , a n d t h e y r e p r e s e n t p h e n o m e n a
o f i m p o r t a n c e t o t h e a n a l y s i s o f c e r t a i n a s p e c t s o f u i d d y n a m i c p r o b l e m s .
2 . 1 C o n s e r v a t i o n L a w s
C o n s e r v a t i o n l a w s , s u c h a s t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d o u r m o d e l
e q u a t i o n s , c a n b e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l f o r m :
Z
V ( t
2
)
Q d V ;
Z
V ( t
1
)
Q d V +
Z
t
2
t
1
I
S ( t )
n : F d S d t =
Z
t
2
t
1
Z
V ( t )
P d V d t ( 2 . 1 )
I n t h i s e q u a t i o n , Q i s a v e c t o r c o n t a i n i n g t h e s e t o f v a r i a b l e s w h i c h a r e c o n s e r v e d ,
e . g . , m a s s , m o m e n t u m , a n d e n e r g y , p e r u n i t v o l u m e . T h e e q u a t i o n i s a s t a t e m e n t o f
7
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
17/276
8 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S
t h e c o n s e r v a t i o n o f t h e s e q u a n t i t i e s i n a n i t e r e g i o n o f s p a c e w i t h v o l u m e V ( t ) a n d
s u r f a c e a r e a S ( t ) o v e r a n i t e i n t e r v a l o f t i m e t
2
; t
1
. I n t w o d i m e n s i o n s , t h e r e g i o n
o f s p a c e , o r c e l l , i s a n a r e a A ( t ) b o u n d e d b y a c l o s e d c o n t o u r C ( t ) . T h e v e c t o r n i s
a u n i t v e c t o r n o r m a l t o t h e s u r f a c e p o i n t i n g o u t w a r d , F i s a s e t o f v e c t o r s , o r t e n s o r ,
c o n t a i n i n g t h e u x o f Q p e r u n i t a r e a p e r u n i t t i m e , a n d P i s t h e r a t e o f p r o d u c t i o n
o f Q p e r u n i t v o l u m e p e r u n i t t i m e . I f a l l v a r i a b l e s a r e c o n t i n u o u s i n t i m e , t h e n E q .
2 . 1 c a n b e r e w r i t t e n a s
d
d t
Z
V ( t )
Q d V +
I
S ( t )
n : F d S =
Z
V ( t )
P d V ( 2 . 2 )
T h o s e m e t h o d s w h i c h m a k e v a r i o u s n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n s o f t h e i n t e g r a l s i n E q s .
2 . 1 a n d 2 . 2 a n d n d a s o l u t i o n f o r Q o n t h a t b a s i s a r e r e f e r r e d t o a s n i t e - v o l u m e
m e t h o d s . M a n y o f t h e a d v a n c e d c o d e s w r i t t e n f o r C F D a p p l i c a t i o n s a r e b a s e d o n t h e
n i t e - v o l u m e c o n c e p t .
O n t h e o t h e r h a n d , a p a r t i a l d e r i v a t i v e f o r m o f a c o n s e r v a t i o n l a w c a n a l s o b e
d e r i v e d . T h e d i v e r g e n c e f o r m o f E q . 2 . 2 i s o b t a i n e d b y a p p l y i n g G a u s s ' s t h e o r e m t o
t h e u x i n t e g r a l , l e a d i n g t o
@ Q
@ t
+
r: F = P ( 2 . 3 )
w h e r e r : i s t h e w e l l - k n o w n d i v e r g e n c e o p e r a t o r g i v e n , i n C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s , b y
r :
i
@
@ x
+ j
@
@ y
+ k
@
@ z
!
: ( 2 . 4 )
a n d i j , a n d k a r e u n i t v e c t o r s i n t h e x y , a n d z c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y .
T h o s e m e t h o d s w h i c h m a k e v a r i o u s a p p r o x i m a t i o n s o f t h e d e r i v a t i v e s i n E q . 2 . 3 a n d
n d a s o l u t i o n f o r Q o n t h a t b a s i s a r e r e f e r r e d t o a s n i t e - d i e r e n c e m e t h o d s .
2 . 2 T h e N a v i e r - S t o k e s a n d E u l e r E q u a t i o n s
T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s f o r m a c o u p l e d s y s t e m o f n o n l i n e a r P D E ' s d e s c r i b i n g
t h e c o n s e r v a t i o n o f m a s s , m o m e n t u m a n d e n e r g y f o r a u i d . F o r a N e w t o n i a n u i d
i n o n e d i m e n s i o n , t h e y c a n b e w r i t t e n a s
@ Q
@ t
+
@ E
@ x
= 0 ( 2 . 5 )
w i t h
Q =
2
6
6
6
6
6
4
u
e
3
7
7
7
7
7
5
E =
2
6
6
6
6
6
4
u
u
2
+ p
u ( e + p )
3
7
7
7
7
7
5
;
2
6
6
6
6
6
4
0
4
3
@ u
@ x
4
3
u
@ u
@ x
+
@ T
@ x
3
7
7
7
7
7
5
( 2 . 6 )
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
18/276
2 . 2 . T H E N A V I E R - S T O K E S A N D E U L E R E Q U A T I O N S 9
w h e r e i s t h e u i d d e n s i t y , u i s t h e v e l o c i t y , e i s t h e t o t a l e n e r g y p e r u n i t v o l u m e , p i s
t h e p r e s s u r e , T i s t h e t e m p e r a t u r e , i s t h e c o e c i e n t o f v i s c o s i t y , a n d i s t h e t h e r m a l
c o n d u c t i v i t y . T h e t o t a l e n e r g y e i n c l u d e s i n t e r n a l e n e r g y p e r u n i t v o l u m e ( w h e r e
i s t h e i n t e r n a l e n e r g y p e r u n i t m a s s ) a n d k i n e t i c e n e r g y p e r u n i t v o l u m e u
2
= 2 .
T h e s e e q u a t i o n s m u s t b e s u p p l e m e n t e d b y r e l a t i o n s b e t w e e n a n d a n d t h e u i d
s t a t e a s w e l l a s a n e q u a t i o n o f s t a t e , s u c h a s t h e i d e a l g a s l a w . D e t a i l s c a n b e f o u n d
i n A n d e r s o n , T a n n e h i l l , a n d P l e t c h e r 1 ] a n d H i r s c h 2 ] . N o t e t h a t t h e c o n v e c t i v e
u x e s l e a d t o r s t d e r i v a t i v e s i n s p a c e , w h i l e t h e v i s c o u s a n d h e a t c o n d u c t i o n t e r m s
i n v o l v e s e c o n d d e r i v a t i v e s . T h i s f o r m o f t h e e q u a t i o n s i s c a l l e d c o n s e r v a t i o n - l a w o r
c o n s e r v a t i v e f o r m . N o n - c o n s e r v a t i v e f o r m s c a n b e o b t a i n e d b y e x p a n d i n g d e r i v a t i v e s
o f p r o d u c t s u s i n g t h e p r o d u c t r u l e o r b y i n t r o d u c i n g d i e r e n t d e p e n d e n t v a r i a b l e s ,
s u c h a s u a n d p . A l t h o u g h n o n - c o n s e r v a t i v e f o r m s o f t h e e q u a t i o n s a r e a n a l y t i c a l l y
t h e s a m e a s t h e a b o v e f o r m , t h e y c a n l e a d t o q u i t e d i e r e n t n u m e r i c a l s o l u t i o n s i n
t e r m s o f s h o c k s t r e n g t h a n d s h o c k s p e e d , f o r e x a m p l e . T h u s t h e c o n s e r v a t i v e f o r m i s
a p p r o p r i a t e f o r s o l v i n g o w s w i t h f e a t u r e s s u c h a s s h o c k w a v e s .
M a n y o w s o f e n g i n e e r i n g i n t e r e s t a r e s t e a d y ( t i m e - i n v a r i a n t ) , o r a t l e a s t m a y b e
t r e a t e d a s s u c h . F o r s u c h o w s , w e a r e o f t e n i n t e r e s t e d i n t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n o f
t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w i t h n o i n t e r e s t i n t h e t r a n s i e n t p o r t i o n o f t h e s o l u t i o n .
T h e s t e a d y s o l u t i o n t o t h e o n e - d i m e n s i o n a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s m u s t s a t i s f y
@ E
@ x
= 0 ( 2 . 7 )
I f w e n e g l e c t v i s c o s i t y a n d h e a t c o n d u c t i o n , t h e E u l e r e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d . I n
t w o - d i m e n s i o n a l C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s , t h e s e c a n b e w r i t t e n a s
@ Q
@ t
+
@ E
@ x
+
@ F
@ y
= 0 ( 2 . 8 )
w i t h
Q =
2
6
6
6
4
q
1
q
2
q
3
q
4
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
u
v
e
3
7
7
7
5
E =
2
6
6
6
4
u
u
2
+ p
u v
u ( e + p )
3
7
7
7
5
F =
2
6
6
6
4
v
u v
v
2
+ p
v ( e + p )
3
7
7
7
5
( 2 . 9 )
w h e r e u a n d v a r e t h e C a r t e s i a n v e l o c i t y c o m p o n e n t s . L a t e r o n w e w i l l m a k e u s e o f
t h e f o l l o w i n g f o r m o f t h e E u l e r e q u a t i o n s a s w e l l :
@ Q
@ t
+ A
@ Q
@ x
+ B
@ Q
@ y
= 0 ( 2 . 1 0 )
T h e m a t r i c e s A =
@ E
@ Q
a n d B =
@ F
@ Q
a r e k n o w n a s t h e u x J a c o b i a n s . T h e u x v e c t o r s
g i v e n a b o v e a r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e p r i m i t i v e v a r i a b l e s , , u , v , a n d p . I n o r d e r
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
19/276
1 0 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S
t o d e r i v e t h e u x J a c o b i a n m a t r i c e s , w e m u s t r s t w r i t e t h e u x v e c t o r s E a n d F i n
t e r m s o f t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s , q
1
, q
2
, q
3
, a n d q
4
, a s f o l l o w s :
E =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
E
1
E
2
E
3
E
4
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
q
2
( ; 1 ) q
4
+
3 ;
2
q
2
2
q
1
;
; 1
2
q
2
3
q
1
q
3
q
2
q
1
q
4
q
2
q
1
;
; 1
2
q
3
2
q
2
1
+
q
2
3
q
2
q
2
1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
( 2 . 1 1 )
F =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
F
1
F
2
F
3
F
4
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
q
3
q
3
q
2
q
1
( ; 1 ) q
4
+
3 ;
2
q
2
3
q
1
;
; 1
2
q
2
2
q
1
q
4
q
3
q
1
;
; 1
2
q
2
2
q
3
q
2
1
+
q
3
3
q
2
1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
( 2 . 1 2 )
W e h a v e a s s u m e d t h a t t h e p r e s s u r e s a t i s e s p = ( ; 1 ) e ; ( u
2
+ v
2
) = 2 ] f r o m t h e
i d e a l g a s l a w , w h e r e i s t h e r a t i o o f s p e c i c h e a t s , c
p
= c
v
. F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t
t h e u x J a c o b i a n o f E c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a s
A =
@ E
i
@ q
j
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0 1 0 0
a
2 1
( 3
; )
q
2
q
1
( 1
; )
q
3
q
1
;1
;
q
2
q
1
q
3
q
1
q
3
q
1
q
2
q
1
0
a
4 1
a
4 2
a
4 3
q
2
q
1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
( 2 . 1 3 )
w h e r e
a
2 1
=
; 1
2
q
3
q
1
!
2
;
3 ;
2
q
2
q
1
!
2
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
20/276
2 . 2 . T H E N A V I E R - S T O K E S A N D E U L E R E Q U A T I O N S 1 1
a
4 1
= ( ; 1 )
2
4
q
2
q
1
!
3
+
q
3
q
1
!
2
q
2
q
1
!
3
5
;
q
4
q
1
!
q
2
q
1
!
a
4 2
=
q
4
q
1
!
;
; 1
2
2
4
3
q
2
q
1
!
2
+
q
3
q
1
!
2
3
5
a
4 3
= ; ( ; 1 )
q
2
q
1
!
q
3
q
1
!
( 2 . 1 4 )
a n d i n t e r m s o f t h e p r i m i t i v e v a r i a b l e s a s
A =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0 1 0 0
a
2 1
( 3 ; ) u ( 1 ; ) v ( ; 1 )
; u v v u 0
a
4 1
a
4 2
a
4 3
u
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
( 2 . 1 5 )
w h e r e
a
2 1
=
;1
2
v
2
;
3
;
2
u
2
a
4 1
= ( ; 1 ) u ( u
2
+ v
2
) ;
u e
a
4 2
=
e
;
; 1
2
( 3 u
2
+ v
2
)
a
4 3
= ( 1 ; ) u v ( 2 . 1 6 )
D e r i v a t i o n o f t h e t w o f o r m s o f B = @ F = @ Q i s s i m i l a r . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e u x
J a c o b i a n m a t r i c e s a r e p u r e l y r e a l . T h i s i s t h e d e n i n g f e a t u r e o f h y p e r b o l i c s y s t e m s
o f P D E ' s , w h i c h a r e f u r t h e r d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 5 . T h e h o m o g e n e o u s p r o p e r t y o f
t h e E u l e r e q u a t i o n s i s d i s c u s s e d i n A p p e n d i x C .
T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n c l u d e b o t h c o n v e c t i v e a n d d i u s i v e u x e s . T h i s
m o t i v a t e s t h e c h o i c e o f o u r t w o s c a l a r m o d e l e q u a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e p h y s i c s
o f c o n v e c t i o n a n d d i u s i o n . F u r t h e r m o r e , a s p e c t s o f c o n v e c t i v e p h e n o m e n a a s s o c i -
a t e d w i t h c o u p l e d s y s t e m s o f e q u a t i o n s s u c h a s t h e E u l e r e q u a t i o n s a r e i m p o r t a n t i n
d e v e l o p i n g n u m e r i c a l m e t h o d s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h u s w e a l s o s t u d y l i n e a r
h y p e r b o l i c s y s t e m s o f P D E ' s .
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
21/276
1 2 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S
2 . 3 T h e L i n e a r C o n v e c t i o n E q u a t i o n
2 . 3 . 1 D i e r e n t i a l F o r m
T h e s i m p l e s t l i n e a r m o d e l f o r c o n v e c t i o n a n d w a v e p r o p a g a t i o n i s t h e l i n e a r c o n v e c t i o n
e q u a t i o n g i v e n b y t h e f o l l o w i n g P D E :
@ u
@ t
+ a
@ u
@ x
= 0 ( 2 . 1 7 )
H e r e u ( x t ) i s a s c a l a r q u a n t i t y p r o p a g a t i n g w i t h s p e e d a , a r e a l c o n s t a n t w h i c h m a y
b e p o s i t i v e o r n e g a t i v e . T h e m a n n e r i n w h i c h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s p e c i e d
s e p a r a t e s t h e f o l l o w i n g t w o p h e n o m e n a f o r w h i c h t h i s e q u a t i o n i s a m o d e l :
( 1 ) I n o n e t y p e , t h e s c a l a r q u a n t i t y u i s g i v e n o n o n e b o u n d a r y , c o r r e s p o n d i n g
t o a w a v e e n t e r i n g t h e d o m a i n t h r o u g h t h i s \ i n o w " b o u n d a r y . N o b o u n d -
a r y c o n d i t i o n i s s p e c i e d a t t h e o p p o s i t e s i d e , t h e \ o u t o w " b o u n d a r y . T h i s
i s c o n s i s t e n t i n t e r m s o f t h e w e l l - p o s e d n e s s o f a 1
s t
- o r d e r P D E . H e n c e t h e
w a v e l e a v e s t h e d o m a i n t h r o u g h t h e o u t o w b o u n d a r y w i t h o u t d i s t o r t i o n o r
r e e c t i o n . T h i s t y p e o f p h e n o m e n o n i s r e f e r r e d t o , s i m p l y , a s t h e c o n v e c t i o n
p r o b l e m . I t r e p r e s e n t s m o s t o f t h e \ u s u a l " s i t u a t i o n s e n c o u n t e r e d i n c o n v e c t -
i n g s y s t e m s . N o t e t h a t t h e l e f t - h a n d b o u n d a r y i s t h e i n o w b o u n d a r y w h e n
a i s p o s i t i v e , w h i l e t h e r i g h t - h a n d b o u n d a r y i s t h e i n o w b o u n d a r y w h e n a i s
n e g a t i v e .
( 2 ) I n t h e o t h e r t y p e , t h e o w b e i n g s i m u l a t e d i s p e r i o d i c . A t a n y g i v e n t i m e ,
w h a t e n t e r s o n o n e s i d e o f t h e d o m a i n m u s t b e t h e s a m e a s t h a t w h i c h i s
l e a v i n g o n t h e o t h e r . T h i s i s r e f e r r e d t o a s t h e b i c o n v e c t i o n p r o b l e m . I t i s
t h e s i m p l e s t t o s t u d y a n d s e r v e s t o i l l u s t r a t e m a n y o f t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f
n u m e r i c a l m e t h o d s a p p l i e d t o p r o b l e m s i n v o l v i n g c o n v e c t i o n , w i t h o u t s p e c i a l
c o n s i d e r a t i o n o f b o u n d a r i e s . H e n c e , w e p a y a g r e a t d e a l o f a t t e n t i o n t o i t i n
t h e i n i t i a l c h a p t e r s .
N o w l e t u s c o n s i d e r a s i t u a t i o n i n w h i c h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n i s g i v e n b y u ( x 0 ) =
u
0
( x ) , a n d t h e d o m a i n i s i n n i t e . I t i s e a s y t o s h o w b y s u b s t i t u t i o n t h a t t h e e x a c t
s o l u t i o n t o t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n i s t h e n
u ( x t ) = u
0
( x ; a t ) ( 2 . 1 8 )
T h e i n i t i a l w a v e f o r m p r o p a g a t e s u n a l t e r e d w i t h s p e e d j a j t o t h e r i g h t i f a i s p o s i t i v e
a n d t o t h e l e f t i f a i s n e g a t i v e . W i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e w a v e f o r m
t r a v e l s t h r o u g h o n e b o u n d a r y a n d r e a p p e a r s a t t h e o t h e r b o u n d a r y , e v e n t u a l l y r e -
t u r n i n g t o i t s i n i t i a l p o s i t i o n . I n t h i s c a s e , t h e p r o c e s s c o n t i n u e s f o r e v e r w i t h o u t a n y
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
22/276
2 . 3 . T H E L I N E A R C O N V E C T I O N E Q U A T I O N 1 3
c h a n g e i n t h e s h a p e o f t h e s o l u t i o n . P r e s e r v i n g t h e s h a p e o f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n
u
0
( x ) c a n b e a d i c u l t c h a l l e n g e f o r a n u m e r i c a l m e t h o d .
2 . 3 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e
W e n o w e x a m i n e t h e b i c o n v e c t i o n p r o b l e m i n m o r e d e t a i l . L e t t h e d o m a i n b e g i v e n
b y 0
x
2 . W e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o i n i t i a l c o n d i t i o n s i n t h e f o r m
u ( x 0 ) = f ( 0 ) e
i x
( 2 . 1 9 )
w h e r e f ( 0 ) i s a c o m p l e x c o n s t a n t , a n d i s t h e w a v e n u m b e r . I n o r d e r t o s a t i s f y t h e
p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s , m u s t b e a n i n t e g e r . I t i s a m e a s u r e o f t h e n u m b e r o f
w a v e l e n g t h s w i t h i n t h e d o m a i n . W i t h s u c h a n i n i t i a l c o n d i t i o n , t h e s o l u t i o n c a n b e
w r i t t e n a s
u ( x t ) = f ( t ) e
i x
( 2 . 2 0 )
w h e r e t h e t i m e d e p e n d e n c e i s c o n t a i n e d i n t h e c o m p l e x f u n c t i o n f ( t ) . S u b s t i t u t i n g
t h i s s o l u t i o n i n t o t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , E q . 2 . 1 7 , w e n d t h a t f ( t ) s a t i s e s
t h e f o l l o w i n g o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( O D E )
d f
d t
= ; i a f ( 2 . 2 1 )
w h i c h h a s t h e s o l u t i o n
f ( t ) = f ( 0 ) e
; i a t
( 2 . 2 2 )
S u b s t i t u t i n g f ( t ) i n t o E q . 2 . 2 0 g i v e s t h e f o l l o w i n g s o l u t i o n
u ( x t ) = f ( 0 ) e
i ( x ; a t )
= f ( 0 ) e
i ( x ; ! t )
( 2 . 2 3 )
w h e r e t h e f r e q u e n c y , ! , t h e w a v e n u m b e r , , a n d t h e p h a s e s p e e d , a , a r e r e l a t e d b y
! = a ( 2 . 2 4 )
T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e f r e q u e n c y a n d t h e w a v e n u m b e r i s k n o w n a s t h e d i s p e r s i o n
r e l a t i o n . T h e l i n e a r r e l a t i o n g i v e n b y E q . 2 . 2 4 i s c h a r a c t e r i s t i c o f w a v e p r o p a g a t i o n
i n a n o n d i s p e r s i v e m e d i u m . T h i s m e a n s t h a t t h e p h a s e s p e e d i s t h e s a m e f o r a l l
w a v e n u m b e r s . A s w e s h a l l s e e l a t e r , m o s t n u m e r i c a l m e t h o d s i n t r o d u c e s o m e d i s p e r -
s i o n t h a t i s , i n a s i m u l a t i o n , w a v e s w i t h d i e r e n t w a v e n u m b e r s t r a v e l a t d i e r e n t
s p e e d s .
A n a r b i t r a r y i n i t i a l w a v e f o r m c a n b e p r o d u c e d b y s u m m i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s o f
t h e f o r m o f E q . 2 . 1 9 . F o r M m o d e s , o n e o b t a i n s
u ( x 0 ) =
M
X
m = 1
f
m
( 0 ) e
i
m
x
( 2 . 2 5 )
-
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23/276
1 4 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S
w h e r e t h e w a v e n u m b e r s a r e o f t e n o r d e r e d s u c h t h a t
1
2
M
. S i n c e t h e
w a v e e q u a t i o n i s l i n e a r , t h e s o l u t i o n i s o b t a i n e d b y s u m m i n g s o l u t i o n s o f t h e f o r m o f
E q . 2 . 2 3 , g i v i n g
u ( x t ) =
M
X
m = 1
f
m
( 0 ) e
i
m
( x ; a t )
( 2 . 2 6 )
D i s p e r s i o n a n d d i s s i p a t i o n r e s u l t i n g f r o m a n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n w i l l c a u s e t h e
s h a p e o f t h e s o l u t i o n t o c h a n g e f r o m t h a t o f t h e o r i g i n a l w a v e f o r m .
2 . 4 T h e D i u s i o n E q u a t i o n
2 . 4 . 1 D i e r e n t i a l F o r m
D i u s i v e u x e s a r e a s s o c i a t e d w i t h m o l e c u l a r m o t i o n i n a c o n t i n u u m u i d . A s i m p l e
l i n e a r m o d e l e q u a t i o n f o r a d i u s i v e p r o c e s s i s
@ u
@ t
=
@
2
u
@ x
2
( 2 . 2 7 )
w h e r e i s a p o s i t i v e r e a l c o n s t a n t . F o r e x a m p l e , w i t h u r e p r e s e n t i n g t h e t e m p e r a -
t u r e , t h i s p a r a b o l i c P D E g o v e r n s t h e d i u s i o n o f h e a t i n o n e d i m e n s i o n . B o u n d a r y
c o n d i t i o n s c a n b e p e r i o d i c , D i r i c h l e t ( s p e c i e d u ) , N e u m a n n ( s p e c i e d @ u = @ x ) , o r
m i x e d D i r i c h l e t / N e u m a n n .
I n c o n t r a s t t o t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , t h e d i u s i o n e q u a t i o n h a s a n o n t r i v i a l
s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n , w h i c h i s o n e t h a t s a t i s e s t h e g o v e r n i n g P D E w i t h t h e p a r t i a l
d e r i v a t i v e i n t i m e e q u a l t o z e r o . I n t h e c a s e o f E q . 2 . 2 7 , t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n
m u s t s a t i s f y
@
2
u
@ x
2
= 0 ( 2 . 2 8 )
T h e r e f o r e , u m u s t v a r y l i n e a r l y w i t h x a t s t e a d y s t a t e s u c h t h a t t h e b o u n d a r y c o n -
d i t i o n s a r e s a t i s e d . O t h e r s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d i f a s o u r c e t e r m g ( x )
i s a d d e d t o E q . 2 . 2 7 , a s f o l l o w s :
@ u
@ t
=
"
@
2
u
@ x
2
; g ( x )
#
( 2 . 2 9 )
g i v i n g a s t e a d y s t a t e - s o l u t i o n w h i c h s a t i s e s
@
2
u
@ x
2
; g ( x ) = 0 ( 2 . 3 0 )
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
24/276
2 . 4 . T H E D I F F U S I O N E Q U A T I O N 1 5
I n t w o d i m e n s i o n s , t h e d i u s i o n e q u a t i o n b e c o m e s
@ u
@ t
=
"
@
2
u
@ x
2
+
@
2
u
@ y
2
; g ( x y )
#
( 2 . 3 1 )
w h e r e g ( x y ) i s a g a i n a s o u r c e t e r m . T h e c o r r e s p o n d i n g s t e a d y e q u a t i o n i s
@
2
u
@ x
2
+
@
2
u
@ y
2
;g ( x y ) = 0 ( 2 . 3 2 )
W h i l e E q . 2 . 3 1 i s p a r a b o l i c , E q . 2 . 3 2 i s e l l i p t i c . T h e l a t t e r i s k n o w n a s t h e P o i s s o n
e q u a t i o n f o r n o n z e r o g , a n d a s L a p l a c e ' s e q u a t i o n f o r z e r o g .
2 . 4 . 2 S o l u t i o n i n W a v e S p a c e
W e n o w c o n s i d e r a s e r i e s s o l u t i o n t o E q . 2 . 2 7 . L e t t h e d o m a i n b e g i v e n b y 0 x
w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s u ( 0 ) = u
a
, u ( ) = u
b
. I t i s c l e a r t h a t t h e s t e a d y - s t a t e
s o l u t i o n i s g i v e n b y a l i n e a r f u n c t i o n w h i c h s a t i s e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , i . e . ,
h ( x ) = u
a
+ ( u
b
; u
a
) x = . L e t t h e i n i t i a l c o n d i t i o n b e
u ( x 0 ) =
M
X
m = 1
f
m
( 0 ) s i n
m
x + h ( x ) ( 2 . 3 3 )
w h e r e m u s t b e a n i n t e g e r i n o r d e r t o s a t i s f y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A s o l u t i o n
o f t h e f o r m
u ( x t ) =
M
X
m = 1
f
m
( t ) s i n
m
x + h ( x ) ( 2 . 3 4 )
s a t i s e s t h e i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S u b s t i t u t i n g t h i s f o r m i n t o E q . 2 . 2 7
g i v e s t h e f o l l o w i n g O D E f o r f
m
:
d f
m
d t
= ;
2
m
f
m
( 2 . 3 5 )
a n d w e n d
f
m
( t ) = f
m
( 0 ) e
;
2
m
t
( 2 . 3 6 )
S u b s t i t u t i n g f
m
( t ) i n t o e q u a t i o n 2 . 3 4 , w e o b t a i n
u ( x t ) =
M
X
m = 1
f
m
( 0 ) e
;
2
m
t
s i n
m
x + h ( x ) ( 2 . 3 7 )
T h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n ( t ! 1 ) i s s i m p l y h ( x ) . E q . 2 . 3 7 s h o w s t h a t h i g h w a v e n u m -
b e r c o m p o n e n t s ( l a r g e
m
) o f t h e s o l u t i o n d e c a y m o r e r a p i d l y t h a n l o w w a v e n u m b e r
c o m p o n e n t s , c o n s i s t e n t w i t h t h e p h y s i c s o f d i u s i o n .
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
25/276
1 6 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S
2 . 5 L i n e a r H y p e r b o l i c S y s t e m s
T h e E u l e r e q u a t i o n s , E q . 2 . 8 , f o r m a h y p e r b o l i c s y s t e m o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a -
t i o n s . O t h e r s y s t e m s o f e q u a t i o n s g o v e r n i n g c o n v e c t i o n a n d w a v e p r o p a g a t i o n p h e -
n o m e n a , s u c h a s t h e M a x w e l l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e p r o p a g a t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c
w a v e s , a r e a l s o o f h y p e r b o l i c t y p e . M a n y a s p e c t s o f n u m e r i c a l m e t h o d s f o r s u c h s y s -
t e m s c a n b e u n d e r s t o o d b y s t u d y i n g a o n e - d i m e n s i o n a l c o n s t a n t - c o e c i e n t l i n e a r
s y s t e m o f t h e f o r m
@ u
@ t
+ A
@ u
@ x
= 0 ( 2 . 3 8 )
w h e r e u = u ( x t ) i s a v e c t o r o f l e n g t h m a n d A i s a r e a l m m m a t r i x . F o r
c o n s e r v a t i o n l a w s , t h i s e q u a t i o n c a n a l s o b e w r i t t e n i n t h e f o r m
@ u
@ t
+
@ f
@ x
= 0 ( 2 . 3 9 )
w h e r e f i s t h e u x v e c t o r a n d A =
@ f
@ u
i s t h e u x J a c o b i a n m a t r i x . T h e e n t r i e s i n t h e
u x J a c o b i a n a r e
a
i j
=
@ f
i
@ u
j
( 2 . 4 0 )
T h e u x J a c o b i a n f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s i s d e r i v e d i n S e c t i o n 2 . 2 .
S u c h a s y s t e m i s h y p e r b o l i c i f A i s d i a g o n a l i z a b l e w i t h r e a l e i g e n v a l u e s .
1
T h u s
= X
; 1
A X ( 2 . 4 1 )
w h e r e i s a d i a g o n a l m a t r i x c o n t a i n i n g t h e e i g e n v a l u e s o f A , a n d X i s t h e m a t r i x
o f r i g h t e i g e n v e c t o r s . P r e m u l t i p l y i n g E q . 2 . 3 8 b y X
; 1
, p o s t m u l t i p l y i n g A b y t h e
p r o d u c t X X
; 1
, a n d n o t i n g t h a t X a n d X
; 1
a r e c o n s t a n t s , w e o b t a i n
@ X
; 1
u
@ t
+
@
z } | {
X
; 1
A X X
; 1
u
@ x
= 0 ( 2 . 4 2 )
W i t h w = X
; 1
u , t h i s c a n b e r e w r i t t e n a s
@ w
@ t
+
@ w
@ x
= 0 ( 2 . 4 3 )
W h e n w r i t t e n i n t h i s m a n n e r , t h e e q u a t i o n s h a v e b e e n d e c o u p l e d i n t o m s c a l a r e q u a -
t i o n s o f t h e f o r m
@ w
i
@ t
+
i
@ w
i
@ x
= 0 ( 2 . 4 4 )
1
S e e A p p e n d i x A f o r a b r i e f r e v i e w o f s o m e b a s i c r e l a t i o n s a n d d e n i t i o n s f r o m l i n e a r a l g e b r a .
-
8/9/2019 Fundamentals of Computational Fluid
26/276
2 . 6 . P R O B L E M S 1 7
T h e e l e m e n t s o f w a r e k n o w n a s c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s . E a c h c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e
s a t i s e s t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n w i t h t h e s p e e d g i v e n b y t h e c o r r e s p o n d i n g
e i g e n v a l u e o f A .
B a s e d o n t h e a b o v e , w e s e e t h a t a h y p e r b o l i c s y s t e m i n t h e f o r m o f E q . 2 . 3 8 h a s a
s o l u t i o n g i v e n b y t h e s u p e r p o s i t i o n o f w a v e s w h i c h c a n t r a v e l i n e i t h e r t h e p o s i t i v e o r
n e g a t i v e d i r e c t i o n s a n d a t v a r y i n g s p e e d s . W h i l e t h e s c a l a r l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n
i s c l e a r l y a n e x c e l l e n t m o d e l e q u a t i o n f o r h y p e r b o l i c s y s t e m s , w e m u s t e n s u r e t h a t
o u r n u m e r i c a l m e t h o d s a r e a p p r o p r i a t e f o r w a v e s p e e d s o f a r b i t r a r y s i g n a n d p o s s i b l y
w i d e l y v a r y i n g m a g n i t u d e s .
T h e o n e - d i m e n s i o n a l E u l e r e q u a t i o n s c a n a l s o b e d i a g o n a l i z e d , l e a d i n g t o t h r e e
e q u a t i o n s i n t h e f o r m o f t h e l i n e a r c o n v e c t i o n e q u a t i o n , a l t h o u g h t h e y r e m a i n n o n -
l i n e a r , o f c o u r s e . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e u x J a c o b i a n m a t r i x , o r w a v e s p e e d s , a r e
u u + c , a n d u ; c , w h e r e u i s t h e l o c a l u i d v e l o c i t y , a n d c =
q
p = i s t h e l o c a l
s p e e d o f s o u n d . T h e s p e e d u i s a s s o c i a t e d w i t h c o n v e c t i o n o f t h e u i d , w h i l e u + c
a n d u ; c a r e a s s o c i a t e d w i t h s o u n d w a v e s . T h e r e f o r e , i n a s u p e r s o n i c o w , w h e r e
j u j > c , a l l o f t h e w a v e s p e e d s h a v e t h e s a m e s i g n . I n a s u b s o n i c o w , w h e r e j u j < c ,
w a v e s p e e d s o f b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s i g n a r e p r e s e n t , c o r r e s p o n d i n g t o t h e f a c t
t h a t s o u n d w a v e s c a n t r a v e l u p s t r e a m i n a s u b s o n i c o w .
T h e s i g n s o f t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x A a r e a l s o i m p o r t a n t i n d e t e r m i n i n g
s u i t a b l e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s e a c h s a t i s f y t h e l i n e a r c o n -
v e c t i o n e q u a t i o n w i t h t h e w a v e s p e e d g i v e n b y t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e . T h e r e -
f o r e , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n b e s p e c i e d a c c o r d i n g l y . T h a t i s , c h a r a c t e r i s t i c
v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h p o s i t i v e e i g e n v a l u e s c a n b e s p e c i e d a t t h e l e f t b o u n d a r y ,
w h i c h c o r r e s p o n d s t o i n o w f o r t h e s e v a r i a b l e s . C h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s a s s o c i a t e d
w i t h n e g a t i v e e i g e n v a l u e s c a n b e s p e c i e d a t t h e r i g h t b o u n d a r y , w h i c h i s t h e i n -
o w b o u n d a r y f o r t h e s e v a r i a b l e s . W h i l e o t h e r b o u n d a r y c o n d i t i o n t r e a t m e n t s a r e
p o s s i b l e , t h e y m u s t b e c o n s i s t e n t w i t h t h i s a p p r o a c h .
2 . 6 P r o b l e m s
1 . S h o w t h a t t h e 1 - D E u l e r e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e p r i m i t i v e
v a r i a b l e s R = u p ]
T
a s f o l l o w s :
@ R
@ t
+ M
@ R
@ x
= 0
w h e r e
M =
2
6
4
u 0
0 u
; 1
0 p u
3
7
5
-
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1 8 C H A P T E R 2 . C O N S E R V A T I O N L A W S A N D T H E M O D E L E Q U A T I O N S
A s s u m e a n i d e a l g a s , p = ( ; 1 ) ( e ; u
2
= 2 ) .
2 . F i n d t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s o f t h e m a t r i x M d e r i v e d i n q u e s t i o n 1 .
3 . D e r i v e t h e u x J a c o b i a n m a t r i x A = @ E = @ Q f o r t h e 1 - D E u l e r e q u a t i o n s r e s u l t -
i n g f r o m t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e f o r m u l a t i o n ( E q . 2 . 5 ) . F i n d i t s e i g e n v a l u e s
a n d c o m p a r e w i t h t h o s e o b t a i n e d i n q u e s t i o n 2 .
4 . S h o w t h a t t h e t w o m a t r i c e s M a n d A d e r i v e d i n q u e s t i o n s 1 a n d 3 , r e s p e c t i v e l y ,
a r e r e l a t e d b y a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m . ( H i n t : m a k e u s e o f t h e m a t r i x S =
@ Q = @ R . )
5 . W r i t e t h e 2 - D d i u s i o n e q u a t i o n , E q . 2 . 3 1 , i n t h e f o r m o f E q . 2 . 2 .
6 . G i v e n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n x d e n e d o n 0 x 2 , w r i t e i t i n t h e
f o r m o f E q . 2 . 2 5 , t h a t i s , n d t h e n e c e s s a r y v a l u e s o f f
m
( 0 ) . ( H i n t : u s e M = 2
w i t h
1
= 1 a n d
2
= ; 1 . ) N e x t c o n s i d e r t h e s a m e i n i t i a l c o n d i t i o n d e n e d
o n l y a t x = 2 j = 4 , j = 0 1 2 3 . F i n d t h e v a l u e s o f f
m
( 0 ) r e q u i r e d t o r e p r o d u c e
t h e i n i t i a l c o n d i t i o n a t t h e s e d i s c r e t e p o i n t s u s i n g M = 4 w i t h
m
= m ; 1 .
7 . P l o t t h e r s t t h r e e b a s i s f u n c t i o n s u s e d i n c o n s t r u c t i n g t h e e x a c t s o l u t i o n t o
t h e d i u s i o n e q u a t i o n i n S e c t i o n 2 . 4 . 2 . N e x t c o n s i d e r a s o l u t i o n w i t h b o u n d a r y
c o n d i t i o n s u
a
= u
b
= 0 , a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s f r o m E q . 2 . 3 3 w i t h f
m
( 0 ) = 1
f o r 1
m
3 , f
m
( 0 ) = 0 f o r m > 3 . P l o t t h e i n i t i a l c o n d i t i o n o n t h e d o m a i n
0
x
. P l o t t h e s o l u t i o n a t t = 1 w i t h = 1 .
8 . W r i t e t h e c l a s s i c a l w a v e e q u a t i o n @
2
u = @ t
2
= c
2
@
2
u = @ x
2
a s a r s t - o r d e r s y s t e m ,
i . e . , i n t h e f o r m
@ U
@ t
+ A
@ U
@ x
= 0
w h e r e U = @ u = @ x @ u = @ t ]
T
. F i n d t h e e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s o f A .
9 . T h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s a r e f o r m e d f r o m t h e c o u p l i n g o f t h e s t e a d y
c o m p r e s s i b l e c o n t i n u i t y ( c o n s e r v a t i o n o f m a s s ) e q u a t i o n
@ u
@ x
+
@ v
@ y
= 0
a n d t h e v o r t i c i t y d e n i t i o n
! = ;
@ v
@ x
+
@ u
@ y
= 0
-
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2 . 6 . P R O B L E M S 1 9
w h e r e ! = 0 f o r i r r o t a t i o n a l o w . F o r i s e n t r o p i c a n d h o m e n t h a l p i c o w , t h e
s y s t e m i s c l o s e d b y t h e r e l a t i o n
=
1 ;
; 1
2
u
2
+ v
2
; 1
1
; 1
N o t e t h a t t h e v a r i a b l e s h a v e b e e n n o n d i m e n s i o n a l i z e d . C o m b i n i n g t h e t w o
P D E ' s , w e h a v e
@ f ( q )
@ x
+
@ g ( q )
@ y
= 0
w h e r e
q =
u
v
f =
; u
v
g =
; v
; u
O n e a p p r o a c h t o s o l v i n g t h e s e e q u a t i o n s i s t o a d d a t i m e - d e p e n d e n t t e r m a n d
n d t h e s t e a d y s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :
@ q
@ t
+
@ f
@ x
+
@ g
@ y
= 0
( a ) F i n d t h e u x J a c o b i a n s o f f a n d g w i t h r e s p e c t t o q .
( b ) D e t e r m i n e t h e e i g e n v a l u e s o f t h e u x J a c o b i a n s .
( c ) D e t e r m i n e t h e c o n d i t i o n s ( i n t e r m s o f a n d u ) u n d e r w h i c h t h e s y s t e m i s
h y p e r b o l i c , i . e . , h a s r e a l