geometria descriptiva. conceptos basicos

7/25/2019 GEOMETRIA DESCRIPTIVA. Conceptos basicos

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Repblica Bolivariana de Venezuela

Instituto Universitario de Tecnologa Antonio Jos de Sucre

Ncleo araca!

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Autores"

Ro#ero $ouglas %&I" '(&)(*)+'

Sanguino $aniel %&I" ',&-++&-..

Tutor"

$aniel artnez

araca!/ Novie#bre de .-',


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Introduccin

0ara la construcci1n de 2iguras planas ! solidas3 es pertinente conocer de

#anera detallada las caractersticas ! aspectos 4ue puedan 2acilitar su correcta

e5ecuci1n para el logro de ob5etivos3 !a sea con 2ines educativos o a nivel

pro2esional& Ade#6s de esto/ ta#bin se puntualizan de2iniciones asociadas a la

topogra2a 4ue buscan a#pliar los conoci#ientos ante las curiosidades del lector&

7n este orden de ideas/ el desarrollo a pro2undidad de este contenido de

#anera detallada ser6 el prop1sito principal de la presente investigaci1n&


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1.- El Espacio

7s el con5unto universo de la geo#etra/ siendo divisible/ ili#itado !

continuo3 en l se encuentran todos los de#6s ele#entos co#o puntos/ rectas

entres otros ! ade#6s se pueden deter#inar cuerpos geo#tricos dentro del

#is#o&

Su s#bolo es"

.&8 Las R!ions dl Espacio

7l Siste#a $idrico co#o base de la 9eo#etra $escriptiva se 2unda#enta

en resolver los proble#as espaciales/ ba5o este siste#a3 el espacio 4ueda dividido

en cuatro partes iguales/ por #edio de dos planos perpendiculares entre s/

lla#ados plano de pro!ecci1n V7RTI%A: ! plano de pro!ecci1n ;


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$e #odo 4ue el espacio debido a estos dos planos 4ueda dividido en

cuatro partes iguales/ cada una de las cuales recibe el no#bre de $I7$R< 1

%UA$RANT7&

Ade#6s de estos dos planos e@isten otros dos/ no #enos i#portantes/ 4ue

dividen los diedros #encionados en dos partes iguales& 7stos planos 2or#an ),

con los planos de pro!ecci1n ! se cortan entre ellos ! a los planos de pro!ecci1n

en la :T& $e este #odo nuestro siste#a 4ueda dividido en oco partes iguales a

las 4ue lla#are#os


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7n ocasiones/ es necesario realizar una tercera vista o pro!ecci1n del

ele#ento 4ue esta#os representando para su total de2inici1n ! co#prensi1n/ esta

pro!ecci1n se realiza sobre un tercer plano de pro!ecci1n deno#inado plano de07RCI:

&

D&8 Rprsntacin d un punto u"icado n las di#rnts r!ions dl

spacio

7l punto es la unidad #6s ele#ental 4ue se puede representar& Un punto

4ueda de2inido por su pro!ecci1n vertical >es decir/ la pro!ecci1n espacial sobre el

0V? ! su pro!ecci1n orizontal >la pro!ecci1n del punto sobre el 0;?& :a

pro!ecci1n vertical se deno#ina co#n#ente con una letra #inscula #6s un

ap1stro2e >aE?/ #ientras 4ue la orizontal se designa con la #is#a letra #inscula

sin ap1stro2e >a?& Un punto puede estar situado en cual4uiera de los ) %uadrantes

! eso deter#inar6 su representaci1n en $idrico& 7n el siguiente gr62ico se

especi2icar6 el punto en los ) cuadrantes&


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7l gr62ico presentado anterior#ente puede interpretarse de la siguiente

2or#a"

'& 7l punto A >representado por aE8a? est6 situado en el 'er %uadrante/ por4ue

su pro!ecci1n vertical est6 por enci#a de la :T ! su pro!ecci1n orizontal por

deba5o ella&

.& 7l punto B >bE8b? tiene a#bas pro!ecciones por enci#a de la :T/ por lo 4ue

se sita en el . %uadrante&

D& % >cE8c? se encuentra en el Der cuadrante/ !a 4ue la pro!ecci1n vertical se

encuentra por deba5o de la :T ! la pro!ecci1n orizontal por enci#a de la #is#a&

)& 0or lti#o/ el punto $ >dE8d? est6 en el ) %uadrante/ lo 4ue es identi2icable

gracias a 4ue a#bas pro!ecciones se encuentran por deba5o de la :T&

D&'8Truco para ntndr la rprsntacin n $ di%nsions.

7s #u! i#portante 2i5arte en la no#enclatura/ por4ue/ co#o ves/ no

representa lo #is#o la pro!ecci1n vertical de un punto sobre la :nea de Tierra

4ue ba5o ella&

0ara 4ue entiendas c1#o 2unciona el siste#a/ te puedes i#aginar 4ue el

0lano ;orizontal del 0ro!ecci1n se abate sobre el Vertical/ usando la :nea de

Tierra co#o e5e de giro& 7n ese caso/ tu plano de traba5o es el 0V&

7s lo 4ue en la perspectiva e representado co#o arcos de circun2erencia

con 2leca&

C5ate en ese caso 4ue/ abatiendo el 0; sobre el 0V/ la pro!ecci1n

orizontal del punto $ >d? 4uedar6 representada en $idrico por deba5o de la :T !/

a su vez/ la pro!ecci1n vertical dE ta#bin


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D&.&8 Cota & Al'a%into

:a posici1n de un punto con respecto a los planos de pro!ecci1n se puede

de2inir atendiendo a estos dos valores"

Cota" 7s la distancia desde el punto asta el plano orizontal de pro!ecci1n >0;?

Ser6 positiva si se encuentra por enci#a del 0;&

Ser6 negativa si se encuentra por deba5o del 0;&

Al'a%into" 7s la distancia desde el punto asta el plano vertical de pro!ecci1n

>0V?&

Ser6 positiva si se encuentra por delante del 0V&

Ser6 negativa si se encuentra por detr6s del 0V&

0or e5e#plo/ un punto situado en el 'er cuadrante tiene tanto la cota co#o

el ale5a#iento positivos& 7n ca#bio/ un punto situado en el ) cuadrante tiene la

cota negativa ! el ale5a#iento positivo&

D&D&8 ()u* pasa cuando la cota o l al'a%into son +,

7n este caso se dar6n con unos puntos singulares en el espacio& Son

puntos contenidos en los planos de pro!ecci1n&

Si la cota es -/ el punto est6 contenido en el 0; Si el ale5a#iento es -/ el punto est6 contenido en el 0V

0or tanto/ si tanto la cota co#o el ale5a#iento son -/ el punto est6 en

a#bos planos 0; ! 0V& Signi2icando esto 4ue el punto pertenece a la :nea de

tierra&


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7l siguiente e5e#plo lo e@plicara 26cil#ente"

7s i#portante observar ! entender 4ue si se trata de pro!ecci1n vertical

>con F? o de pro!ecci1n orizontal >sin F?/ se ace necesario e@plicar lo siguiente"

7l punto 7 tiene ale5a#iento positivo >por4ue se sita por delante del 0V? !

cota -&

C tiene ale5a#iento - ! cota positiva/ por4ue est6 situado por enci#a del

0;&

9 tiene ale5a#iento - ! cota negativa/ por4ue se encuentra por deba5o del

0;&

; tiene ale5a#iento negativo >por4ue est6 situado detr6s del 0V? ! cota -&


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0or lti#o/ el punto J tiene cota ! ale5a#iento igual a -/ por lo 4ue est6

contenido en la :nea de Tierra&

)&8 Al#a"to dl punto Posicin

7l al2abeto del punto es la representaci1n del punto en las distintas

posiciones 4ue puede ocupar en el espacio respecto a los planos de pro!ecci1n !

a los planos bisectores& :os planos bisectores son los 4ue dividen los cuadrantes

en dos diedros iguales& %on los bisectores/ el siste#a 4ueda dividido en oco

octantes/ esta e@plicaci1n ser6 especi2icada en la siguiente gr62ica"

:os puntos contenidos en los planos bisectores e4uidistan de los planos de

pro!ecci1n/ por lo 4ue tendr6n la #is#a cota 4ue ale5a#iento& Si son del #is#o

signo/ las pro!ecciones del punto e4uidistan de la :T3 ! si son de distinto signo/

stas 4uedar6n superpuestas tal co#o lo e@presa la 2igura anterior&


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0ara representar las diecisiete posiciones del punto en el siste#a didrico/

pode#os a!udarnos del es4ue#a de la 2ig& '-/ donde se puede observar

clara#ente los valores de las cotas ! ale5a#ientos del punto& 0or e5e#plo/ elpunto A>a8aG? tiene ale5a#iento positivo >a por deba5o de :T? por estar por delante

del plano vertical ! cota nula >aG en :T? por encontrarse en el orizontal&

Siguiendo este procedi#iento puede representar las de#6s posiciones de

la siguiente 2or#a"

/.1.- Caractr0sticas dl punto.

7l punto se suele utilizar una pe4ueHa cruz >?/ crculo >o?/ cuadrado o

tri6ngulo& 7n relaci1n a otras 2iguras/ suelen representarse con un pe4ueHo

seg#ento perpendicular cuando pertenece a una recta/ se#irrecta o

seg#ento&

A los puntos se les suele no#brar con una letra #a!scula" A/ B/ %/ etc& >alas rectas con letras #insculas/ ! a los 6ngulos con letras griegas?&

:a 2or#a de representar un punto #ediante dos seg#entos 4ue se cortan

>una pe4ueHa cruzK ? presupone 4ue el punto es la intersecci1n& %uando

se representa con un pe4ueHo crculo/ circun2erencia/ u otra 2igura

geo#trica/ presupone 4ue el punto es su centro&


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$ados tres o #6s puntos en el plano o en el espacio >segn

corresponda?/se pueden dividir en con5untos 4ue cu#plan o no con las

siguientes condiciones& %olineales" son a4uellos contenidos en una recta&

%oplanarios" Son los 4ue est6n contenidos en un #is#o plano&

L&8 Rcta

7s a4uella 4ue solo posee una di#ensi1n ! contiene in2initos puntos/

puesto 4ue est6 co#puesta por in2initos seg#entos/ asi#is#o/ suele ser descrita

co#o una sucesi1n continua e inde2inida de puntos en una sola di#ensi1n ! 4ue

no presenta ni un principio ni un 2in&

75e#plo de una recta"

L&'8 Caractr0sticas

:a recta se prolonga inde2inida#ente en a#bos sentidos&

7n geo#etra euclidiana/ la distancia #6s corta entre dos puntos es la lnea

recta&

:a recta puede de2inirse co#o el con5unto de puntos situados a lo largo de

la intersecci1n de dos planos&

L&.8 Posicions d la Rcta

Rcta ori2ontal


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7s una recta paralela al plano orizontal de pro!ecci1n3 por lo tanto/ se

pro!ecta sobre este plano en verdadero ta#aHo3 su pro!ecci1n vertical es

paralela a la lnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen igual cota >=Mcte&?/ !

por lo tanto 2or#a un 6ngulo de cero grados con el plano orizontal de pro!ecci1n

>aoM--?&

Rcta Contnida n l Plano ori2ontal d Pro&ccin

7s un caso particular del anterior& Su pro!ecci1n vertical coincide con lalnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen cota igual a cero >=M-?&

Rcta 3rontal


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7s una recta paralela al plano vertical de pro!ecci1n3 por lo tanto/ se

pro!ecta sobre este plano en verdadero ta#aHo3 su pro!ecci1n orizontal es

paralela a la lnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen igual vuelo >Mcte&?/ !

por lo tanto 2or#a un 6ngulo de cero grados con el plano vertical de pro!ecci1n

>boM--?&

Rcta Contnida n l Plano Vrtical d Pro&ccin

7s un caso particular del anterior& Su pro!ecci1n orizontal coincide con la

lnea de tierra/ por4ue todos sus puntos tienen vuelo igual a cero >M-?&


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Rcta Paralla a la L0na d Tirra

7s una recta paralela si#ult6nea#ente a los planos vertical ! orizontal de

pro!ecci1n3 por lo tanto/ es una recta orizontal ! 2rontal/ ! en consecuencia tiene

las propiedades de a#bas3 es decir/ su cota es constante >=Mcte? ! su vuelo

ta#bin >Mcte?& Sus pro!ecciones orizontal ! vertical son paralelas a lnea de

tierra3 est6n en verdadero ta#aHo3 ! 2or#an 6ngulos de cero grados con los

planos vertical ! orizontal de pro!ecci1n >aoMboM--?&

Rcta Contnida n la L0na d Tirra

7s un caso particular del anterior& Sus pro!ecciones est6n contenidas en

lnea de tierra&


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Rcta Vrtical

7s una recta perpendicular al plano orizontal de pro!ecci1n3 por lo tanto/

su pro!ecci1n orizontal es un punto/ ! su pro!ecci1n vertical se observa en

verdadero ta#aHo ! perpendicular a lnea de tierra3 2or#a 6ngulos de noventa

grados con el plano orizontal de pro!ecci1n >aoM*--? ! cero grados con el plano

vertical de pro!ecci1n >boM--?&

Rcta d Punta

7s una recta perpendicular al plano vertical de pro!ecci1n3 por lo tanto/ su

pro!ecci1n vertical es un punto/ ! su pro!ecci1n orizontal se observa en

verdadero ta#aHo ! perpendicular a lnea de tierra3 2or#a 6ngulos de cero grados

con el plano orizontal de pro!ecci1n >aoM--? ! noventa grados con el planovertical de pro!ecci1n >boM*--?&


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Rcta d Pr#il

7s una recta perpendicular a la lnea de tierra >paralela al plano lateral?3 sus

pro!ecciones son perpendiculares a lnea de tierra& Su verdadero ta#aHo/ as

co#o los 6ngulos 4ue 2or#a con los planos principales de pro!ecci1n/ pueden

deter#inarse en una pro!ecci1n lateral de la #is#a&

+&8 Tra2as d una rcta

:a traza o >intersecci1n? es el punto de penetraci1n de una recta en un

plano de pro!ecci1n ta#bin se deno#ina puntos trazas o puntos notables de la

recta&

0ara 4ue un punto >co#o el punto traza? pertenezca a la recta debe tener su

pro!ecci1n sobre la pro!ecci1n de la recta


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4.1- Tra2a Vrtical

Se deter#ina con la intersecci1n de la pro!ecci1n orizontal con la lnea de

tierra encontrando el punto V >VM-? donde corta con la pro!ecci1n vertical&

4.5- Tra2a ori2ontal

Se deter#ina con la intersecci1n de la pro!ecci1n vertical con la lnea de

tierra encontrando el punto ; >;vM-? donde corta con la pro!ecci1n orizontal&

75e#plo"

Se dibu5a una recta dada por dos puntos" A/B&

(&8 An!ulo 6u #or%a una rcta con los planos d pro&ccin

0ara lograr este 6ngulo se puede realizar ba5o . procedi#ientos 4ue son

los siguientes"

(&'8 1r %*todo7 %diant a"ati%into"


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0ara calcular el 6ngulo 4ue una recta R 2or#a con los planos de pro!ecci1n

debe abatirse sobre a#bos planos&

7n el abati#iento sobre el plano orizontal de pro!ecci1n se apreciar6 en

verdadera #agnitud el 6ngulo O 4ue 2or#a con este plano ! abatiendo sobre el

plano vertical de pro!ecci1n se observa el 6ngulo a 4ue la recta R 2or#a con l&

:a siguiente i#agen rele5a el c6lculo de este 6ngulo"

(&.8 58 %*todo7 %diant !iros"

Se to#an . e5es de giro/ el pri#ero 7' vertical ! conteniendo a la traza

vertical de la recta vEr 4ue se giran asta acerla coincidir con el plano vertical de

pro!ecci1n para apreciar en verdadera #agnitud el 6ngulo O 4ue la recta 2or#a

con el plano orizontal de pro!ecci1n& 7l segundo e5e de giro 7. ser6 de punta !

coincidente con la traza orizontal r de la recta R 4ue se girar6 asta acerla

coincidir con el plano orizontal de pro!ecci1n de #odo 4ue se pueda apreciar el

6ngulo P 4ue la recta 2or#a con el plano vertical de pro!ecci1n/ la siguiente

i#agen especi2ica lo antes e@puesto"


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9.- Vrdadro ta%a:o & ;rdadra %a!nitud d la rcta

7s la pro!ecci1n en cual4uiera de los tres planos >orizontal/ vertical o

lateral?/ en donde la recta se ve de la #is#a longitud/ direcci1n ! sentido 4ue en

el espacio& 0ara 4ue esta condici1n se d/ la recta debe estar colocada en el

espacio paralela al plano de pro!ecci1n en el cual se ve en verdadero ta#aHo

>VT?&

%uando una recta es al #enos paralela a uno de los planos de pro!ecci1n/

su distancia se puede ser deter#inada en la pro!ecci1n de la recta del plano al

4ue es paralela&

%uando una recta es oblicua/ su pro!ecci1n sobre los planos se acorta/ por

ende estas pro!ecciones no se encuentran en verdadera #agnitud& 0or ello/

e@isten di2erentes #todos para deter#inar su verdadera distancia en el espacio&


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%onsiste en dibu5ar el tri6ngulo 4ue se genera en el espacio/ resultante de

la intersecci1n de la recta en el espacio con su pro!ecci1n& 7ste tri6ngulo se

dibu5a en cual4uiera de las pro!ecciones 4ue arro5a la recta&

9.1-Mdir distancias d la rcta.

%uando una recta es al #enos paralela a uno de los planos de pro!ecci1n/

la distancia de cual4uier punto ubicada sobre esta/ puede ser deter#inada en la

pro!ecci1n de la recta del plano de pro!ecci1n al 4ue es paralela

%uando una recta es oblicua/ 2i5a#os un seg#ento conocido >co#o AB? !

deter#ina#os su verdadera #agnitud >AvBaQ? sobre el verdadero ta#aHo

#edi#os la distancia 4ue se desea conocer/ esta distancia corresponder6

proporcional#ente a la relaci1n entre la pro!ecci1n ! verdadera #agnitud

75e#plo" edir sobre el seg#ento AB/ desde A una distancia d>A%?&


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Conclusiones

:uego de lo antes desarrollado en esta investigaci1n es i#portante acer

n2asis en lo i#portante 4ue son los siste#as de representaci1n para recrear

ob5etos en un plano bidi#ensional/ utilizado en di2erentes 6#bitos de la

educaci1n/ la ar4uitectura ! asta la ingeniera con la 2inalidad de buscar

soluciones ! a la vez acer aportes pertinentes en sus 6reas de estudio&

%abe agregar 4ue al e5ecutar cual4uier actividad 4ue bus4ue la pro!ecci1n

de 2iguras en un espacio dividido en ) cuadrantes/ es necesario el uso del punto

co#o re2erencia para el trazado de rectas3 estas pueden ocupar distintas

posiciones ! se pueden intersectar unas con otras !a sea de #anera vertical u

orizontal/ ade#6s pueden 2or#ar diversos 6ngulos al unirse con los planos de

pro!ecci1n asta lograr cual4uier cuerpo geo#trico o piezas espec2icas con

diversas vistas/ todo depender6 del estudio 4ue se realice ! el ob5etivo 4ue se

4uiera alcanzar utilizando los ele#entos !a #encionados&


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Referencias Electrnicas

Rodrguez. F (2012). Geometra Descriptiva. Sistema Didrico Tomo I. [Libro en Lnea]

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geometria descriptiva. conceptos basicos

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