Mattia Gasperotti, GDG TrentoElia Rigo, GDG Trento

Fourier & l’Analisi del suonoGDG in school

Preface

The idea to bring Fourier’s transform as an addition to my study cycle, comes by chance, nearly like a game. After having read an article that I found stimulating on the one hand, yet at the same time sloppy and shallow, a voice inwardly was saying: "this transform is omnipresent". However, the leading idea of the author is more inclined with a challenge that seems to say: "What are you able to do with this formula?" My passion for music and I.T. have done the rest; being able to mix business with pleasure and look at math and electronic no more like something that is abstract to study, but like something that is practical to apply, has given me a huge satisfaction. So, let me say loudly that Fourier’s transform is really a gorgeous invention.

Summary

Signal

Definition

Characteristics

Geometric Representation

Fourier’s Series

Trigonometric Series

Trigonometric Polynomial

Linear Combination

Harmonic

Fourier’s Coefficient

Fourier’s Transform

Definition

DTFT

DFT

FFT

Cooley Tukey

Music & Fourier

Sound

Note

Piano notes

Fingerprint

Project

Segnale

Un segnale è descritto nel tempo mediante una funzione f(x). Generalmente possiamo parlare di segnale acustico, segnale elettrico, segnale analogico e digitale.Una volta trasmesso, si propaga tipicamente in un mezzo trasmissivo, che ne costituisce il canale di propagazione o comunicazione.

“Un segnale è una grandezza fisica variabile nel tempo a cui è associata un’informazione”

Caratteristiche fondamentali di un segnale

 

Rappresentazione geometrica di un segnale sinusoidale - IUna oscillazione armonica sinusoidale può essere vista come la proiezione di un vettore di modulo A ruotante nel piano, a velocità angolare costante ω.Partendo dal tempo zero con il vettore orizzontale, ad ogni istante t  il vettore avrà percorso un angolo ωt  e la sua proiezione sull’asse verticale sarà quindi una sinusoide di ampiezza A, avente come funzione A·sen(ωt).

Rappresentazione geometrica di un segnale sinusoidale - IISe la posizione iniziale del vettore non è orizzontale, ma forma un angolo j con l’asse orizzontale, l’andamento della proiezione è identico, ma la sinusoide risulterà spostata.Si utilizzerà quindi il vettore A·sen(ωt + φ).Qualunque andamento sinusoidale è quindi rappresentabile attraverso le componenti orizzontale e verticale del suo vettore iniziale di fase j, e mediante la velocità angolare ω di questo.

Rappresentazione geometrica di un segnale sinusoidale - III

Per comodità di notazione matematica si può considerare tale vettore rappresentato nel piano complesso con l’asse orizzontale reale e l’asse verticale immaginario, quindi far coincidere l’ampiezza della componente cosinusoidale  con l’asse reale e quella sinusoidale con l’asse immaginario.In tal modo, ricorrendo all’uguaglianza nota come “formula di Eulero”, si può anche rappresentare  il vettore A con fase  j , nella forma  esponenziale complessa:

A·cos(φ) + j·A·sen(φ) =   A·e jφ

Serie di FourierOggi l’analisi di Fourier è utilizzata in campi di cui Fourier non poteva

neanche immaginare l’esistenza come, per esempio, l’elettronica.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matematico francese, fu docente di matematica all’Ècole Polytechnique di Parigi, e funzionario nell’amministrazione statale. L’interesse per la conduzione termica spinse Fourier a lavorare, nel 1807, ad un’opera chiamata “Theorie analitique de la chaleur” che verrà pubblicata solo nel 1822. L’opera, descrive come la conduzione di calore nei corpi solidi possa essere analizzata attraverso una serie matematica di seni e coseni.

Serie di Fourier

 

Fourier feat. Eulero 

∑+∞

=

++=1

0 ) cos(2

)(n

nn nxsenbnxaaxf ∑+∞

∞−

jkxkecEulero

Serie Trigonometrica

 

Polinomi Trigonometrici

 

Combinazione Lineare

 

Coefficienti di Fourier 

Cos’è un’armonica ?

La funzione a1cosx+b1senx, ovvero il termine di ordine 1, viene detta prima armonica o armonica fondamentale della serie perché la sua frequenza è uguale a quella della funzione.

“Si definiscono armoniche superiori di indice n, le armoniche che presentano frequenze multiple della funzione iniziale”

“In matematica, una trasformata è un operatore di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni. Ovvero trasforma una funzione in un'altra

funzione.“

Trasformata di Fourier

Cos’è una trasformata ?Gran parte dei segnali sono funzioni nel dominio del tempo. Quando si disegna un segnale nel dominio del tempo otteniamo una rappresentazione tempo/ampiezza, ma non sempre questa rappresentazione è la più utile.Trasformazioni matematiche sono applicate ai segnali per ottenere ulteriori informazioni.Tra le numerose trasformazioni applicabili, la Trasformata di Fourier è tra le più note, in quanto a differenza della serie permette di essere applicata anche a funzioni non periodiche.

Esistenza della trasformata

 

Perché (anche) la Trasformata ?

Come abbiamo visto, una grande limitazione della serie di Fourier è che permette l’analisi di soli segnali periodici, un segnale non periodico risulterebbe quindi impossibile da elaborare.Per questo fu introdotta la trasformata di Fourier, basandosi sul fatto che un segnale aperiodico può essere considerato, almeno in linea di principio, un segnale periodico avente periodo T infinito.

Applicazione della trasformata di Fourier ad un segnale aperiodico

Trasformata di Fourier 

Tipi di TrasformateTempo Continuo Tempo Discreto

Trasformata di Fourier

DTFTDiscrete

Time Fourier Transform

DFT Discrete Fourier Transform

FFT Fast Fourier Transform

DTFT: Discrete Time Fourier Transform

 

DFT: Discrete Fourier Transform

 

FFT :Fast Fourier Transform

L’evoluzione dei sistemi di computazioni e l’elaborazione di efficienti algoritmi matematici hanno permesso di ridurre il normale calcolo della trasformata di Fourier da O(N2) computazione necessario al calcolo di una DFT ad O(N∙log2N) numero di operazioni eseguite da una FFT.

Per poter utilizzare una FFT è tuttavia necessario un numero di campioni pari ad una potenza di 2.

Partendo da un presupposto di 128 campioni, il costo computazionale di una DFT è di 16.384 computazioni, mentre con una FFT è di poco meno di 900, 18 volte meno.

Algoritmo - Cooley Tukey

L’algoritmo di Cooley-Tukey è il più conosciuto algoritmo per il calcolo della Fast Fourier Transform.L’algoritmo si basa sul principio di dividere ricorsivamente il problema originario in due sotto-problemi fino a che questi ultimi non diventino di semplice risoluzioni (divide et impera).Questo metodo che prende il nome dagli autori James William Cooley e John Wilder Tukey, è in realtà una reinvenzione di un algoritmo già noto a Carl Friedrich Gauss.

Nelle diapositive seguenti tratteremo l’utilizzo della trasformata veloce di Fourier (FFT) in campo musicale, nello specifico l’analisi sonora.

Musica & Fourier

Suono

Il suono è la sensazione data dalla vibrazione di un corpo in oscillazione che si propaga nell’aria o in un altro mezzo elastico, fino a raggiungere l’apparato uditivo dell’orecchio. Tramite il complesso meccanismo della membrana timpanica, si crea una sensazione “uditiva” direttamente correlata alla natura della vibrazione.

Caratteristiche principali di un suonoQualunque suono può essere descritto definendo: altezza, intensità, timbro e durata.

L’altezza dei suoni dipende dalla frequenza, più questa aumenta, più acuto è il suono. Nel linguaggio musicale le parole “alto” e “basso” vengono sostituite dai termini “acuto” e “grave”.

L’intensità è il volume di un suono, espresso in Decibel (Db).

Il timbro è la caratteristica che ci consente di distinguere il suono di uno strumento da quello di un altro. È dato dalla sommatoria di differenti armoniche.

La Durata o lunghezza, è il periodo del suono nel dominio del tempo.

L'orecchio umano è in grado di percepire vibrazioni di frequenza compresa tra i 20 e i 15.000 Hz (anche se questi valori variano a seconda della persona e dell'età).

NotaNella musica convenzionale la gamma di frequenze utilizzate coincide con gli estremi del pianoforte unico strumenti in grado di raggiungere contemporaneamente i due limiti opposti, il più grave e il più acuto.Gran parte delle note prodotte dagli altri strumenti, o dai vari tipi di voce, possono essere riprodotte col pianoforte, naturalmente con timbro e volume differenti.In una gamma di frequenze che va da 27.5 Hz (il primo tasto a sinistra, un LA) a 4.186 Hz (l’ultimo a destra, un DO) per un totale di 88 tasti.

“Una nota è un suono di timbro e volume qualsivoglia, ma di frequenza stabilita.”

La nota è un suono, ma al contrario un suono non deve essere per forza una nota.

Ad ogni nota il suo tasto ...

 

Acoustic Fingerprint

Every song could be represent on a duration/frequency graph called spectrogram.On one axis is time, on another is frequency, and on the 3rd is intensity.Assuming time is on the x-axis and frequency is on the y-axis a fingerprints identifies the frequencies of “peak intensity” on this 3d graph. For each of these peak points it keeps track of the frequency and the amount of time from the beginning of the track for more than 30 points/sec. Why fingerprints are so important ?

Spectrogram of a song sample with peak intensities

marked in red

Shazam, Midomi & co.Have you ever heard a great song on the radio, would you like to know the name and author, but you do not know how?

Now is possible by combining two basic elements: a database of unique audio fingerprints of millions of songs, and software that can process and analyze an audio sample of you unknown song while searching that database for a match. How it work ? After build a fingerprint of your unkwon song (a sample of about 10-30 seconds is more than enough) the software use the frequency founded as key to match in a database of song, than it returns name and artist.

Software such as Shazam builds their fingerprint catalog out as a hash table, where the key is the frequency.

- Wikipedia l’Enciclopedia Libera (Maggio 2013)• Segnale (Fisica) • Armonica (Fisica)• Piano key frequency • Trasformata di Fourier Veloce• Cooley-Tukey FFT algorithm • ISO 16

- Sinusoidi e vettori rotanti - Paolo Schgör- Corso base verde di matematica, Plus - M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi- Fourier ed il ruolo della sua trasformata nella ricerca neurologica – M. L. Manca, L. Murri- Corso di teoria dei segnali e fondamenti sulla trasmissione dati – G. Gelli, L. Paura- Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier - Mark A.- Fast Fourier Transform - Sebastiano Greco, Danilo Meli, Lucio Cantone- Rappresentazione del segnale nel dominio della frequenza – V. A.- Teoria musicale/Il suono e le note – Wikibooks- What is audio fingerprinting? – Dan Gravell- Come funziona Shazam (e un clone come Midomi): spiegazione tecnica – M. Fama

Riferimenti

• Elisabetta Galli – Docente di matematica• Rita Iacovone – Docente di elettronica e telecomunicazioni• Giuliano Pellegrini – Docente di sistemi informatici• Luca Bazzanella per le delucidazioni in acustica e teoria musicale• Giulia Zanini per le delucidazioni nel passaggio da trasformata a serie

Ringraziamenti

Mattia Gasperotti, GDG TrentoElia Rigo, GDG Trento

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