initiation à la propagation des...

Initiation à la propagation des incertitudes

Pascal [email protected]

Laboratoire de Chimie Physique, OrsayRéseau National �Mesures, Modèles et Incertitudes�

March 24, 2015

P. Pernot Propagation des incertitudes March 24, 2015 1 / 118

Sommaire

1 Mesures et incertitudes

2 Représentation probabiliste des incertitudes

3 Bases théoriques de la propagation des incertitudes

4 Combinaison des variances

5 Propagation des distributions

6 Analyse Globale de Sensibilité

7 Présentation des résultats

8 Compléments


Sommaire








8 Compléments


Mesures et incertitudes

Mesurer,c'est comparer une grandeur physique inconnue

avec une grandeur de même natureprise comme référence,

à l'aide d'une chaîne instrumentalecomportant un ou plusieurs capteurs.

C'est exprimer le résultat de cette comparaisonà l'aide d'une valeur numérique,

associée à une unité qui rappelle la nature de la référence,et assortie d'une incertitude qui dépend à la fois

des qualités de l'expérience e�ectuée,des outils employés et de la connaissance qu'on ade la référence et de ses conditions d'utilisation.

M. Himbert (1993) Bulletin du Bureau National de Métrologie 93:1.


L'incertitude, a quoi bon ?

Comparer un résultat à une limite ou à une consigne

Consigne Resultat

Comparer deux résultats

Resultat 1 Resultat 2

Quanti�er la �délité de mesure

Resultat


La démarche �incertitudes�

Etape préliminaire 1. Dé�nition du mesurande

Etape préliminaire 2. Analyse du processus de mesure(Deux étapes �métier� nécessaires

à la désambiguation du mesurande)

Phase 1. Description du processus et calcul du mesurande

Phase 2. Phase "métrologique" - contribution des données d'entrée

Phase 3. Propagation des incertitudes (Comb. Var. ou Monte Carlo)

Phase 4. Analyse de sensibilité, hiérarchisation des contributions

Phase 5. Incertitude élargie - Présentation du résultat


Etapes préliminaires - Exemple

Mesurer la surface de votre table...


Sommaire








8 Compléments


Incertitude et probabilité

Quanti�cation de l'incertitude (P-S. Laplace, ca. 1800)

on peut attribuer un �degré de con�ance� p(X = x)à chaque valeur possible x d'une quantité incertaine X

cohérence et normalisation ⇒p(X = x) obéit auxrègles de la théorie des probabilités

Cette démarche est adoptée dans le GUM (3.3.1)

l'incertitude de mesure re�ète le manque de connaissancesur la valeur exacte du mesurande.

l'état des connaissance correspondant est décrit au mieux parune distribution sur l'ensemble des valeurs possibles du mesurande.


Les densités de probabilité

Si dx est un nombre réel positif in�niment petit, alors la probabilité que la valeurde la variable X soit incluse dans l'intervalle [x , x + dx ] est égale à p(x)dx , soit

P (x < X < x + dx) = p (x) dx

Pour une variable continue prenant ses valeurs dans l'intervalle [xmin, xmax ], ladensité de probabilité p(x) véri�e les propriétés suivantes :

positivitép(x) ≥ 0

normalisation à l'unité ˆ xmax

xmin

dx p(x) = 1



Quelques rappels:

probabilité (massique) pour que X se trouve dans un intervalle [a, b]

P(a ≤ X ≤ b) =

ˆ b

a

dx p(x)

valeur moyenne

x = E(X ) =

ˆ xmax

xmin

dx x p(x)

variance

σ2X =

ˆ xmax

xmin

dx (x − x)2 p(x)

entropie de Shannon

H(p) = −ˆ xmax

xmin

dx ln p(x) p(x)



x

p(x)

x

p(x)

(a) Positivité (b) Normalisation

x

p(x)

a b x

p(x)

b

(c) Probabilité massique (d) Fonction de distribution


Représenter un jeu d'informations par une pdfApproche statistique

Lorsqu'on dispose d'un échantillon représentatif de la variable X , on a plusieurssolutions pour dé�nir une densité de probabilité:

approche directe: construction d'une densité de probabilité approchée à partirde l'échantillon (nécessite un grand nombre de points):

histogrammesméthode des noyaux

approche inverse: inférer la densité de probabilité (en général supposéesimple) ayant permis de générer l'échantillon.

Remarque: pour la mise en oeuvre de la méthode de propagation desdistributions par Monte-Carlo, on a seulement besoin d'un moyen numérique pourgénérer des échantillons représentatifs; il n'est pas nécessaire d'établir uneexpression analytique de la densité de probabilité.


Approche statistique

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X

Den

sity

density(X)Inferred GaussianTrue pdf


Dé�nir une pdf à partir des informations disponiblesApproche informationnelle

Si on ne dispose que d'informations partielles (p. ex. une valeur moyenne et unécart type), il existe une in�nité de densités de probabilité pouvant les reproduire.

Le Principe du Maximum d'Entropie (Maxent) spéci�e que parmi toute cesdistributions, on doit retenir celle qui maximise l'entropie de Shannon

H(p) = −ˆ

dx ln p(x) p(x)

avec les contraintes imposées par les informations disponibles. C'est la distributionla moins informative (celle qui minimise l'information statistique), compte tenudes contraintes.

Rq: la mise en oeuvre (analytique ou numérique) est hors du propos de laformation, mais nous mentionnerons ce principe à plusieurs occasions.


Variation de l'entropie avec la forme de distribution

-4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distributions avec mean=1 et st. dev. =1

X

pdf

Normale; S=1.7

Uniforme; S=1.2

Exponentielle; S=1

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Quelques PDFs sur [0,1]

X

Uniforme; S= 0

Triangular; S= -0.19

Arcsine; S= -0.24


Quelques distributions d'entropie maximale


Dé�nir une pdf à partir des informations disponiblesDocuments de référence

E.T. Jaynes (1957) Information theory and statistical mechanics. PhysicalReview 106:620�630.http://bayes.wustl.edu/etj/articles/theory.1.pdf

Le père fondateur...

S.Y. Park and A.K. Bera (2009). Maximum entropy autoregressiveconditional heteroskedasticity model. Journal of Econometrics 150:219�230.http://www.wise.xmu.edu.cn/UploadFiles/paper-masterdownload/

2009519932327055475115776.pdf

Contient une table pratique des densités d'entropie maximale les plus utiles.

A. O'Hagan (2014) Eliciting and using expert knowledge in metrology.Metrologia 51:S237-S244.http://dx.doi.org/10.1088/0026-1394/51/4/S237

Critique argumentée de Maxent.


http://bayes.wustl.edu/etj/articles/theory.1.pdf

http://www.wise.xmu.edu.cn/UploadFiles/paper-masterdownload/2009519932327055475115776.pdf

http://www.wise.xmu.edu.cn/UploadFiles/paper-masterdownload/2009519932327055475115776.pdf

http://dx.doi.org/10.1088/0026-1394/51/4/S237

Pdf uniforme/rectangulaire x ∼ Unif (a, b)

Propriétés

x ∈ [a, b] ⇒ p(x |a, b) =1

b − a

x /∈ [a, b] ⇒ p(x |a, b) = 0

x =a + b

2; ux =

1√3

b − a

2; S = ln(b − a)

UtilisationOn ne dispose que des bornes de X ,sans indications sur une valeur préférée.

Unif (a, b) est la distribution d'entropie

maximale parmi toutes les distributions

continues sur [a, b].

a b<x> =(a+b)/2

0

1/(b-a)

b-a


Pdf triangulaire x ∼ Tri(a, b)

Propriétés

x ∈ [a, c] ⇒ p(x |a, b) =(x − a)

(b − a)2

x ∈ [c, b] ⇒ p(x |a, b) =(b − x)

(b − a)2

x /∈ [a, b] ⇒ p(x |a, b) = 0

x = c =a + b

2; ux =

1√6

b − a

2; S =

1

2+ln

„b − a

2

«Utilisation

on dispose des limites de X et d'une

valeur préférée au centre de l'intervallea b

<x>=(a+b)/2

0

2/(b-a)

(b-a)


Pdf triangulaire x ∼ Tri(a, b, c)

Propriétés

x ∈ [a, c] ⇒ p(x |a, b, c) =2(x − a)

(b − a)(c − a)

x ∈ [c, b] ⇒ p(x |a, b, c) =2(b − x)

(b − a)(b − c)

x /∈ [a, b] ⇒ p(x |a, b, c) = 0

x =a + b + c

3; ux =

√a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc

3√2

Utilisation

on dispose des limites de X et d'une

valeur préféréea c b

<x>=(a+b+c)/3

0

2/(b-a)


Pdf dérivée d'arc-sinus x ∼ Arcsin(a, b)

Propriétés

x ∈ [a, b] ⇒ p(x |a, b) =1

πp

(x − a)(b − x)

x /∈ [a, b] ⇒ p(x |a, b) = 0

x =a + b

2; ux =

1√2

b − a

2

Utilisationvariation sinusoïdale de X entre deuxlimites a et b.

le nom vient de la densité cumulée

F (x) =2

πarcsin

„rx − a

b − a

« a b<x>=(a+b)/2


Pdf gaussienne/normale x ∼ Norm(µ, σ)

Propriétés

p(x |µ, σ) =1√2πσ

exp

„− 1

2σ2(x − µ)2

«< x >= µ ; ux = σ; S = ln(σ

√2πe)

UtilisationSi on dispose d'une valeur moyenne (µ) etd'une incertitude connue sous la formed'une

incertitude type s, ux = s

incertitude-type relative s/x ,ux = x .(s/x)incertitude élargie à 95% Ux ,ux = Ux/2

Norm(µ, σ) est la distribution d'entropie

maximale sur ]−∞,+∞[, sachant µ et σ

-2s -s 0 s 2s-3s 3sx

67%

95%

99%


Densités de probabilité multivariées

Lorsqu'on a plusieurs variables dépendantes, elles sont en général décrites à l'aidede leurs valeurs moyennes et d'une matrice de variance-covariance. Dans ce cas, ladensité de probabilité utilisée est la distribution normale multivariée, p. ex.

p(x , y |µX1 , µX2 ,Σ) ∝ (detΣ)−1/2 exp

(−12ETΣ−1E

)

E =

(x1 − µX1

x2 − µX2

); Σ =

(σ2X1

σ2X1X2

σ2X2X1σ2X2

)= STRS

S =

(σX1

σX2

); R =

(1 ρρ 1

)

Σ est la matrice de variance-covariance

R est la matrice de corrélation


Distribution normale bivariée

X1

X2

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3-2

-10

12

3

0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

mu=c(0,0); cor=0.8

mu=c(-1,1); cor=-0.5


Variables incertaines avec contraintes

Introduire le maximum de contraintes pertinentesdans la représentation des variables incertaines

Cas des lois de conservation

N variables telles quePN

i=1Xi = 1 et {Xi ≥ 0; i = 1,N},

on utilise la distribution de Dirichlet (Maxent)

{X1, . . . ,XN} ∼ Diri (γ ∗ (µ1, . . . , µN))

où γ > 0 est un facteur de précision (la variance augmente lorsque γ diminue)

exemples: composition chimique, rapports de branchement...

mots-clés pour la littérature: Compositional Data Analysis


Distribution de Dirichlet

Diri( 3 * (1/3,1/3,1/3) )

x1 x2

x3

0.8

0.6

0.4

0.2

0.8

0.6

0.4

0.2

0.8

0.6

0.4

0.2

Diri( 100 * (0.2,0.3,0.5) )

x1 x2

x3

0.8

0.6

0.4

0.2

0.8

0.6

0.4

0.2

0.8

0.6

0.4

0.2


Sommaire








8 Compléments


Évaluation des incertitudes par propagation des distributions

Schéma de principe de la méthode de propagation des distributions


Théorie probabiliste de la propagation des incertitudes

(1) Formulation1 identi�cation des variables d'entrée incertaines X = {X1, ...,Xk}

2 dé�nition du modèle Y = f (X)

3 dé�nition de la densité de probabilité jointe des variables d'entréegX1,...,Xk (ξ1, . . . , ξk)

(2) Propagation des distributions (Équation de Markov)1

gY (η) =

ˆdξ1 . . . dξk δ (η − f (ξ1, . . . , ξk)) gX1,...,Xk

(ξ1, . . . , ξk)

1Interprétation: on prend tous les points dans l'espace des ξξξ dont l'image par F vaut η, et onsomme leurs poids donnés par gX (ξξξ). La discrétisation de cette intégrale nous donne une recettepour bâtir un histogramme représentatif de gY .


Évaluation des incertitudes par propagation des distributions

(3) Résumés statistiques de gY (η)

1 espérance statistique de Y et son écart type

E(Y ) =

ˆ ∞−∞

dη η gY (η)

u(y) =pV (Y ) ; V (Y ) =

ˆ ∞−∞

dη (η − E(Y ))2 gY (η)

2 et/ou intervalle élargi 100p%, contenant Y avec une probabilité p spéci�éeˆG−1Y (α) ; G−1Y (p + α)

˜; 0 ≤ α ≤ 1− p

où GY (η) est la fonction de distribution de Y

GY (η) =

ˆ η

−∞dz gY (z).


Intervalle élargi symétrique


Intervalle élargi non-symétrique


Relation entre les résumés statistiques de gY et le GUM

Pour obtenir des statistiques de Y , il n'est pas nécessaire de calculer explicitementgY . Ainsi, pour l'espérance statistique, on a

E (Y ) =

ˆ ∞−∞

dη η gY (η)

=

ˆdη η

ˆdξξξ δ (η − f (ξξξ)) gX (ξξξ)

=

ˆdξξξ

ˆdη η δ (η − f (ξξξ)) gX (ξξξ)

=

ˆdξξξ f (ξξξ) gX (ξξξ)

où on a appliqué la relation de translation de la distribution δ de Dirac:

ˆ +∞

−∞dx f (x) δ (x0 − x) = f (x0)


Relation entre les résumés statistiques de gY et le GUM

Pour la variance, on applique le même type de développement:

V (Y ) =

ˆ ∞−∞

dη (η − E (Y ))2 gY (η)

=

ˆdη (η − E (Y ))2


=

ˆdξξξ

ˆdη (η − E (Y ))2 δ (η − f (ξξξ)) gX (ξξξ)

=

ˆdξξξ (f (ξξξ)− E (Y ))2 gX (ξξξ)

On est donc ramené à des intégrales (multiples) sur les variables incertainesdu modèle.


Le cas des modèles linéaires

Si on considère un modèle linéaire, ou bien le développement en série de Taylor aupremier ordre d'un modèle quelconque autour d'un point xxx0, on peut écrire

f (ξξξ) = f (xxx0) + JJJT .(ξξξ − xxx0) (1)

où les coe�cients de sensibilité Ji sont donnés par les dérivées premières dumodèle au point xxx0

Ji =∂f (ξξξ)

∂ξi

∣∣∣∣ξξξ=xxx0

d'où

E (Y ) =

ˆdξξξ[F (xxx0) + JJJT .(ξξξ − xxx0)

]gX (ξξξ)

= F (xxx0)

ˆdξξξ gX (ξξξ) +

∑i

Ji

ˆdξξξ (ξi − x0,i ) gX (ξξξ)

= F (xxx0) +∑i

Ji (E (Xi )− x0,i )

Si on choisit xxx0 = E (XXX ), on obtient E (Y ) = f (E (X)).P. Pernot Propagation des incertitudes March 24, 2015 33 / 118

Le cas des modèles linéaires

Dans cette hypothèse, on peut dériver la variance

V (Y ) =

ˆdξξξ[f (E (X)) + JJJT .(ξξξ − E (X))− f (E (X))

]2gX (ξξξ)

=

ˆdξξξ[JJJT .(ξξξ − E (X))

]2gX (ξξξ)

=∑i,j

JiJj

ˆdξξξ (ξi − E (Xi )) (ξj − E (Xj)) gX (ξξξ)

=∑i,j

Ji u(Xi ,Xj) Jj

= JJJT .Σ.JJJ

où Σ est la matrice de variance-covariance des variables d'entrée, telle queΣi,j = u(Xi ,Xj).

Ce résultat est la notation matricielle de l'équation de combinaison des variances.


Sommaire








8 Compléments


La méthode GUM de combinaison des variances

Procédure normalisée pour gérer les incertitudes associées à une mesure(Évaluation des données de mesure � Guide pour l'expression de l'incertitude demesure. JCGM 100:2008,http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_F.pdf).

1 Identi�er les sources d'incertitudeÉvaluation de l'ensemble des sources d'incertitudes a�ectant une mesure

2 Caractériser les incertitudesLes incertitudes sont de deux types :

1 Type A : incertitudes obtenues par analyse statistique d'un ensemble demesurages répétés d'un même mesurande

2 Type B : tout le reste

3 Estimer les incertitudes-type4 Propager/combiner les variances

Estimation de l'incertitude sur le résultat de la mesure à partir des sourcesidenti�ées


Identi�er les sources d'incertitudes

Diagramme des 5M ou diagramme des causes/e�ets ou diagramme d'Ishikawaou diagramme en arêtes de poisson...


Modèle de mesure

Mesure directeX = x + C

X : valeur du mesurandex : indication(valeur mesurée)C : corrections (justesse, quanti�cation...)

Propriétés dérivéesY = f (X1, ...,Xk)

f : modèle �de connaissance� ou �de comportement�Y : valeur du mesurandeXi : variable d'in�uence


Modèle de mesure directe

Extrait de: Nombres, Mesures et Incertitudes, Eduscol (2012)


Incertitudes de type A

On caractérise un échantillon de mesures (ensemble de mesurages répétés d'unmême mesurande) par:

la Moyenne arithmétique

x =1n

n∑i=1

xi

l'Incertitude type: écart-type expérimental de x

uX =sX√n

où s2X =∑n

i=1(xi − x)2/(n − 1) est la variance expérimentale des

observations.

Rq:

1 ces estimateurs, notamment l'incertitude-type, ne sont pertinents que si ladistribution des erreurs est raisonnablement symétrique

2 le nombre d'observations n doit être su�samment grand pour garantir que x

fournisse une estimation �able de E(X ), et pour que s2X fournisse une estimation�able de la variance.P. Pernot Propagation des incertitudes March 24, 2015 39 / 118

Incertitude sur l'incertitude

Comment l'estimation de la variance dépend du nombre d'observations

s2X =∑n

i=1(xi − x)2/(n − 1) est un estimateur de la variance de X , σ2X

on veut estimer l'erreur relative sur l'écart type: r = usX /sx

si X suit une loi normale, la variable (n − 1)s2X/σ2

X suit une loi du χ2 à(n − 1) degrés de liberté, dont on tire

r ' 1/√2(n − 1)

n 2 5 10 50 100 5000r = usX /sx 0.70 0.35 0.24 0.10 0.07 0.01


Incertitudes de type B

En absence de mesurages répétés, on est en général contraint d'utiliser desinformations collectées sous des formes diverses, tirées de di�érentes sources :

notice des instruments

certi�cats de calibration

limitations d'a�chage...

Le problème est ici de dé�nir une incertitude-type à partir de ces informationssouvent partielles.

La technique recommandée est de dé�nir une densité de probabilité pourreprésenter la distribution plausible des erreurs, et d'utiliser l'incertitude-typecorrespondant à cette densité.


Exemple: erreur de justesse du mètre à ruban

la précision des mètres ruban est normalisée: la classe de précision(I, II ou III) est indiquée sur le ruban.

les erreurs maximales tolérées sont dé�nies par EMT = ±(a + c + bL) mm

L est la longueur mesurée arrondie en excès au nombre entier de mètres

a, b et c sont dé�nis pour chaque classe de précision (c 6= 0 est pris encompte lorsque le mètre se termine par un crochet, et qu'on l'utilise...)

Classe a c b

I 0.1 0.1 0.1II 0.2 0.2 0.3III 0.6 0.3 0.4

Ex: longueur mesurée L = 1 652mm avec un mètre de classe II + crochet

EMT = ±(0.2 + 0.2 + 0.3 ∗ 2) = ±1.0 mmreprésentation par une distribution uniforme Unif (−1, 1) mml'erreur de justesse est donc caractérisée par une correction nulle Cj = 0 et

une incertitude type sur la correction uCj = 2/2√3

= 0.58 mm


Combinaison des variances

Pour obtenir l'incertitude combinée, on applique les formules établiespar la combinaison des distributions dans le cas d'un modèle linéaire

y = f (x1, ..., xk)

u2Y =∑i

(∂Y

∂Xi

)2

x

u2Xi+∑i 6=j

(∂Y

∂Xi

)x

(∂Y

∂Xj

)x

cov(Xi ,Xj)

= JTΣJ


Rappel notation matricielle

J =

0BBBBBB@

“∂Y∂X1

”x“

∂Y∂X2

”x

...“∂Y∂Xk

”x

1CCCCCCA

Σ =

0BBB@u2X1 cov(X1,X2) · · · cov(X1,Xk)

cov(X1,X2) u2X2 cov(X2,Xk)...

. . ....

cov(X1,Xk) cov(X2,Xk) · · · u2Xk

1CCCA

u2Y = JTΣJ


Exemple: longueur de la table

Mesure d'une longueur avec un mètre à ruban de résolution 1 mm.le mesurande est la moyenne de 5 mesures réparties uniformémentsur un côté de la table. On estime la longueur au mm le plus proche.pour chaque mesure on peut écrire

Li = li + Cq,i + Cj + CT

l : indication (longueur lue sur le mètre)Cq : correction de l'erreur de quanti�cation (lecture)Cj : correction de l'erreur de justesse pour la longueur mesuréeCT = Lnomα∆T : correction de température due à la dilatation éventuelle dumètre. On suppose être dans un environnement controlé à 20± 2 °C−1

le modèle du mesurande est donc

L =1

5

5Xi=1

(li + Cq,i ) + Cj + Lnomα∆T

= l + Cq + Cj + Lnomα∆T


Budget des incertitudes pour la longueur

Source d'incertitude Type Loi x ux

l / mm répétabilité de mesure A - l sl/√5

Cq / mm résolution du mètre (1 mm) B Unif 0 0.5/√3/√5

Cj / mm classe du mètre (II) B Unif 0 1/√3

∆T / °C écart de la température du

mètre à la référence (0± 2)

B Arcsin 0 2/√2

α / °C−1 méconnaissance du coe� de

dilatation (11.5± 1.0)10−6B Norm 11.5 10−6 1.0 10−6

Donc au �nal les corrections ne contribuent pas ici à la valeur estimée,mais elles contribuent aux incertitudes

L = l

u2(L) = u2(l) + u2(Cq) + u2(Cj) + L2nomα2u2(∆T )


Application numérique

Valeur Inc_Std. J J2.U2 Anovalm 1.600e+03 1.59e+00 1.00e+00 2.54e+00 0.86cq 0.000e+00 2.58e-01 1.00e+00 6.67e-02 0.02cj 0.000e+00 5.77e-01 1.00e+00 3.33e-01 0.11a 1.150e-05 1.00e-06 0.00e+00 0.00e+00 0.00dt 0.000e+00 1.41e+00 1.84e-02 6.77e-04 0.00Y 1.600e+03 1.71e+00 <� 2.94e+00

## [1] "l = {1604,1603,1597,1596,1599}"

##

## Y = 1599.8 +/- 1.7

##

## Incertitude élargie, facteur=2.78

##

## Y = 1599.8 +/- 4.8

##

## 95 percent C.I. = [1595.0,1604.6]


Application numérique

Si on augmente le nombre de mesures...

Valeur Inc_Std. J J2.U2 Anovalm 1.600e+03 6.82e-01 1.00e+00 4.65e-01 0.57cq 0.000e+00 1.49e-01 1.00e+00 2.22e-02 0.03cj 0.000e+00 5.77e-01 1.00e+00 3.33e-01 0.41a 1.150e-05 1.00e-06 0.00e+00 0.00e+00 0.00dt 0.000e+00 1.41e+00 1.84e-02 6.77e-04 0.00Y 1.600e+03 9.06e-01 <� 8.22e-01

## [1] "l = {1600,1602,1600,1602,1597,1594,1600,1602,1603,1601,1604,1598,1597,1599,1599}"

##

## Y = (15998.7 +/- 9.1)*10^-1

##


##

## Y = 1599.9 +/- 1.9

##

## 95 percent C.I. = [1597.9,1601.8]


Estimation de la largeur de la table

Dans les même conditions on veut estimer la surface de la table. On estime doncla largeur moyenne, comme pour la longueur, avec 5 mesures.

Valeur Inc_Std. J J2.U2 Anovalm 9.006e+02 9.80e-01 1.00e+00 9.60e-01 0.81cq 0.000e+00 2.58e-01 1.00e+00 6.67e-02 0.06cj 0.000e+00 4.04e-01 1.00e+00 1.63e-01 0.14a 1.150e-05 1.00e-06 0.00e+00 0.00e+00 0.00dt 0.000e+00 1.41e+00 1.03e-02 2.14e-04 0.00Y 9.006e+02 1.09e+00 <� 1.19e+00

## [1] "l = {899,899,903,899,903}"

##

## Y = 900.6 +/- 1.1


Estimation de la surface de la table

S = LA ∗ LBu2(S) = LB

2

u2(LA) + LA2

u2(LB) + 2LALBcov(LA, LB)

= LB2

u2(LA) + LA2

u2(LB) + 2LALBu(CjA)u(CjB)

Valeur Inc_Std. J J2.U2 AnovaLon 1.600e+03 1.71e+00 9.01e+02 2.39e+06 0.39Lar 9.006e+02 1.09e+00 1.60e+03 3.05e+06 0.50Cov 6.72e+05 0.11Y 1.441e+06 2.47e+03 <� 6.10e+06

##

## Y = (1440.8 +/- 2.5)*10^3

##

## Incertitude élargie, facteur= 2.19

##

## Y = (1440.8 +/- 5.4)*10^3


Combinaison des variances vs. combinaison des incertitudes

Pourquoi on n'utilise pas une formule de la forme uY =∑

i

∣∣∣ ∂Y∂Xi

∣∣∣xi

uXipour

combiner des erreurs aléatoires ?

Théorème de la limite centrée : la somme de variables aléatoires indépendanteset de variance �nie converge vers une loi Normale.

Comme illustré ci-dessous, dès qu'on combine quelques variables aléatoires, unetendance centrale se dégage, et les valeurs extrêmes deviennent nonreprésentatives.

X1 X1 + X2 X1 + X2 + X3 X1 + . . .+ X6

Illustration du théorème de la limite centrée : addition de variables uniformes

Xi ∼ Unif (0, 1)


Exemples - variables dépendantes

On s'intéresse ici à la di�érence de deux variables Y = X1 − X2. La formulestandard nous donne

uY =√u2x1 + u2x2 − 2 ∗ cov(X1,X2)

avec cov(X1,X2) = uX1 ∗ uX2 ∗ corr(X1,X2).

Pour illustrer l'e�et de la corrélation supposons que les variables soient de mêmeécart-type (uX1 = uX2). Selon la valeur du coe�cient de corrélation, on obtientdes résultats très di�érents, allant du doublement de l'incertitude standard, à lacompensation totale des erreurs :

corr(X1,X2) -1 0 1uY 2 ∗ uX1

√2 ∗ uX1 0


Exemples - variables dépendantes

On remarquera que, compte tenu des limites du coe�cient de corrélation, onvéri�e toujours

0 ≤ uY =√u2X1

+ u2X2− 2 ∗ uX1 ∗ uX2 ∗ corr(X1,X2) ≤ uX1 + uX2

Plus généralement

0 ≤ uY ≤∑i

∣∣∣∣ ∂Y∂Xi

∣∣∣∣xi

uXi

La combinaison des incertitudes fournit donc seulement une limite supérieureabsolue à l'incertitude-type obtenue par la combinaison des variances, et non uneestimation de cet écart-type.


Application 1: Distance de freinage

L'évaluation de la distance d'arrêt d'une voiture roulant à la vitesse V estcaractérisé par la formule

Da = TR ∗ V +V 2

2 ∗ a ∗ c

TR : temps de réaction, de l'ordre de 1 s

V : vitesse en m.s−1

a: décélération en m.s−2 de l'ordre de 5 m.s−2

c: coe�cient sans dimension tenant compte de l'état de la route ≈0.7 surbitume sec

On roule à 130 km/h sur route sèche. Un obstacle surgit brutalement, quelledistance parcourt-on avant l'arrêt complet ?


Application 1: Distance de freinage, suite

Le temps de réaction TR a été estimé lors d'une étude sur de nombreux casd'accidents : le temps minimum est de 0.5 s, mais que ce temps peut allerjusque 1.5 s pour une personne normalement vigilante. On ne dispose pasd'un ensemble de valeurs analysables. Proposer une modélisation du temps deréaction (choix de la loi de densité de probabilité, moyenne, incertitude-type).

Le coe�cient c peut être compris entre 0.3 et 0.8 selon la nature durevêtement et les circonstances: sur route sèche et propre, c est comprisentre 0.6 et 0.8. Modéliser c sous la forme d'une loi de densité de probabilitégaussienne : calculer l'incertitude-type.

V est caractérisée par une incertitude-type de 4 km/h pour tenir compte à lafois de l'indicateur de vitesse et de la vigilance à maintenir la vitesseconstante.

a est caractérisée par une incertitude- type de 0.5m.s−2, pour tenir comptede l'e�cacité du système de freinage et donc de l'état d'entretien du véhicule.

Déduire l'incertitude-type composée, et l'intervalle contenant probablement ladistance d'arrêt. Faire une étude de sensibilité relative.


Application numérique : distance de freinage

fExpr = expression( T*V + V^2/(2*a*c) )

# Valeurs moyennes + conversions d'unites

V = 130 * 1000 / 3600 # m/s

T = 1; a = 5 ; c = 0.7

# Incertitudes type

V.u = 4 * 1000 / 3600

T.de = 0.5; T.u = T.de / 3^0.5 # distribution rectangulaire

a.u = 0.5; c.u = 0.2/6

for (x in all.vars(fExpr))

cat('\n dY/d',x,'= ', deparse(D(fExpr,x)) )

##

## dY/d T = V

## dY/d V = T + 2 * V/(2 * a * c)

## dY/d a = -(V^2 * (2 * c)/(2 * a * c)^2)

## dY/d c = -(V^2 * (2 * a)/(2 * a * c)^2)


Application numérique : distance de freinage

Valeur Inc_Std. J J2.U2 AnovaT 1.000e+00 2.89e-01 3.61e+01 1.09e+02 0.16V 3.611e+01 1.11e+00 1.13e+01 1.58e+02 0.23a 5.000e+00 5.00e-01 -3.73e+01 3.47e+02 0.50c 7.000e-01 3.33e-02 -2.66e+02 7.87e+01 0.11Y 2.224e+02 2.63e+01 <� 6.93e+02

##


##

## Y = (22.2 +/- 5.2)*10^1

##

## 95 percent C.I. = [17.1,27.4]*10^1


Sommaire








8 Compléments


La méthode GUM de propagation des distributionsDocuments de référence

Évaluation des données de mesure � Supplément 1 du �Guide pourl'expression de l'incertitude de mesure� � Propagation de distributions parune méthode de Monte Carlo. JCGM 101:2008.http://www.bipm.org/fr/publications/guides/gum.html

M. Désenfant, N. Fischer, B. Blanquart, N. Bédiat (2007). Évaluation del'incertitude en utilisant les simulations de Monte Carlo. Actes du 13èmeCongrès de Métrologie, Lille.http://www.lne.fr/publications/13e-congres-metrologie/actes/

117-desenfant-incertitude-simulations-monte-carlo.pdf


http://www.bipm.org/fr/publications/guides/gum.html

http://www.lne.fr/publications/13e-congres-metrologie/actes/117-desenfant-incertitude-simulations-monte-carlo.pdf

http://www.lne.fr/publications/13e-congres-metrologie/actes/117-desenfant-incertitude-simulations-monte-carlo.pdf

Les limites du GUM - Linéarité

Hypothèse de linéarité

La formule de combinaison des variances du GUM est basée sur uneapproximation linéaire du modèle de la mesure au voisinage de la valeur moyennedes variables incertaines

E [f (X )] ' f [E (X )]

qui est valide tant que les écarts à la linéarité sont faibles devant les incertitudes.

Dans le cas de modèles linéaires, il n'y a aucune restriction de validité pour lecalcul des valeurs moyennes E (Y ) et incertitudes standard u(y).


GUM: e�ets des paramètres d'un modèle linéaire


GUM: e�et de la courbure du modèle


Les limites du GUM - Linéarité

Pour les modèles non-linéaires, le premier ordre du développement de Taylor est su�santsi f est raisonnablement linéaire dans une région à 1 ou 2σ autour de x . Sinon peutalors avoir recours à des ordres supérieurs:

le GUM (5.1.2-Note) spéci�e que pour des entrées normales et indépendantes, leterme le plus important à rajouter est

kXi=1

kXj=1

"1

2

„∂2Y

∂Xi∂Xj

«2

+∂Y

∂Xi

∂3Y

∂Xi∂X 2

j

#u2(xi )u

2(xj )

Plusieurs articles développent des formules pour les ordres supérieurs, mais secantonnent au cas de variables indépendantes, p. ex. C.M. Wang and H.K. Iyer(2005) Metrologia 42:406; M.A.F. Martins et al. (2011) Measurement 44:1526.

En tous cas, plusieurs points doivent être véri�és:

F doit être continûment dérivable jusqu'à un ordre approprié, en toutes les variables auvoisinage de E(X);

les Xi impliqués dans des termes d'ordre supérieur du développement de Taylor de f (X)sont indépendantes et les pfds attribuées à ces variables sont normales/gaussiennes;

les termes ignorés de la série de Taylor de f (X) sont négligeables.


Les limites du GUM - Intervalles élargis

L'estimation des intervalles élargis préconisée par le GUM (multiplication del'incertitude-type par un facteur dépendant d'un nombre de degrés de liberté)présente également des limites:

la connaissance du nombre de degrés de liberté pour chacune des sourcesd'incertitude ;

le facteur d'élargissement implique un intervalle symétrique autour de lavaleur estimée, hypothèse qui peut devenir invalide si les densités deprobabilité attachées aux variables d'entrée in�uentes ne sont pas symétriques(p.ex. à cause de contraintes de positivité)...


Les réponses apportées par la propagation des distributions

La méthode de propagation des distributions permet de s'a�ranchir depratiquement toutes les restrictions liées à la formule de combinaison desvariances:

pas de restrictions sur la linéarité du modèle;

pas de restriction sur la forme des densités de probabilité;

calcul direct des intervalles élargis, même assymétriques...

Même si l'approche GUM reste valide dans une grande majorité de cas pratiques,la méthode de propagation des distributions peut aussi être un outil de validationpour la mise en place d'une démarche GUM pour un nouveau dispositif de mesure.


Le cas des modèles complexes

Ces modèles font en général appel à un ensemble de paramètres qui proviennentde mesures expérimentales (p.ex. simulations mécaniques par éléments �nis,problèmes de chimie-transport...)

Il est primordial d'évaluer l'impact des incertitudes de ces paramètres sur laprécision des prédictions des modèles. Les situations où on a plusieurs centaines,voire milliers de paramètres à gérer ne sont pas rares. La démarche GUM présentaalors deux problèmes:

1 il est pratiquement impossible de déterminer à l'avance les paramètresin�uents; et

2 la formule de propagation des variances devient vite inadaptée si on n'a pasune expression analytique des coe�cients de sensibilité ou si les paramètresincertains sont susceptibles de mettre en évidence les non-linéarités dumodèle.

Dans ce type de situation la méthode de propagation des distributions est un outilprécieux qui doit être combiné avec une étape d'analyse de sensibilité permettantd'identi�er les paramètres in�uents et éventuellement de simpli�er le modèle.


Principe - Rappel

1 Formulation

1 identi�cation des variables d'entrée incertaines X = {X1, ...,Xk}2 dé�nition du modèle Y = f (X)3 dé�nition de la densité de probabilité jointe des variables d'entrée gX (ξξξ)

2 Propagation des distributions (Équation de Markov)

gY (η) =


3 Résumés statistiques de gY (η)


L'approche Monte Carlo

on obtient directement les résumés statistiques sur Y à l'aide d'intégrales(multidimensionnelles) impliquant f (X) et gX

le calcul de telles intégrales peut rarement être mené de manière analytique.On a donc recours à des méthodes numériques:

les méthodes d'intégration basées sur une discrétisation des variables d'entrée(p.ex. méthode des trapèzes) sont ingérables dès qu'il y a plus de quelquesvariables: le nombre d'évaluations du modèle augmente comme une puissancedu nombre de variables

l'intégration stochastique par la méthode de Monte Carlo ne présente pas cedésavantage.


Approximation d'intégrales par Monte CarloPrincipe

la pdf gX (ξξξ) est remplacée par un échantillon représentatif{ξξξ(i); i = 1,N

}le calcul d'intégrale est remplacé par une moyenne arithmétique

ˆdξξξ f (ξξξ) gX (ξξξ) ' 1

N

N∑i=1

f(ξξξ(i))

point positif: l'incertitude statistique de l'intégrale calculée ne dépend pas dunombre de dimensions de l'espace des paramètre incertains.

Si les{ξξξ(i); i = 1,N

}résultent de tirages indépendants, l'incertitude sur la

valeur de l'intégrale évolue en N−1/2 (Théorème de la limite centrée).


Application à la propagation des distributions

1 Dé�nir les densités de probabilité pour toutes les variables incertaines(type A et type B) gX (ξξξ)

2 Générer un échantillon représentatif de chacune des variables ou groupes devariables corrélées (à l'aide de générateurs de nombres aléatoires)

3 Calculer le résultat du modèle pour chaque point de l'échantillonη(i) = f (ξξξ(i)); i = 1,N

4 Produire les résumés statistiques adéquats: E (Y ), u(y) et intervalle élargi à100p%


Propagation des distributions par Monte CarloÉtape 1: génération d'un échantillon représentatif des entrées

gX (ξξξ)↓︷︸︸︷ f

ξ(1)1 ξ

(1)2 ... ξ

(1)k → η(1)

ξ(2)1 ξ

(2)2 ... ξ

(2)k → η(2)

......

......

ξ(m)1 ξ

(m)2 ... ξ

(m)k → η(m)

↓gY (η)


Propagation des distributions par Monte CarloÉtape 2: application du modèle à chacun des points de l'échantillon


ξ(1)1 ξ

(1)2 ... ξ

(1)k → η(1)

ξ(2)1 ξ

(2)2 ... ξ

(2)k → η(2)

......

......

ξ(m)1 ξ

(m)2 ... ξ

(m)k → η(m)

↓gY (η)


Propagation des distributions par Monte CarloÉtape 3: analyse statistique de l'échantillon des sorties du modèle


ξ(1)1 ξ

(1)2 ... ξ

(1)k → η(1)

ξ(2)1 ξ

(2)2 ... ξ

(2)k → η(2)

......

......

ξ(m)1 ξ

(m)2 ... ξ

(m)k → η(m)

↓gY (η)


Exemple: Distance d'arrêt - GUM-Supp1

# Valeurs des paramètres

V = 130 /3.6 ; V.u = 4/3.6 ; V.pdf = "norm"

T = 1 ; T.u = 0.5 / 3^0.5 ; T.pdf = "unif"

a = 5 ; a.u = 0.5 ; a.pdf = "norm"

c = 0.7 ; c.u = 0.2/6 ; c.pdf = "norm"

# Génération des échantillons

N=10000

V = rnorm(N,mean=V,sd=V.u)

T = runif(N,min=T-T.de,max=T+T.de)

a = rnorm(N,mean=a,sd=a.u)

c = rnorm(N,mean=c,sd=c.u)

# Application du modèle

Y = T*V + V^2/(2*a*c)



##

## Premières lines du tableau(X,Y)

## V T a c Y

## 1 36.28501 1.1986090 4.189136 0.7140617 263.5633

## 2 36.05726 1.1547012 5.245496 0.7536827 206.0651

## 3 36.58835 0.5433771 5.733974 0.7120034 183.8337

## 4 35.11540 1.4989705 5.012517 0.7310477 220.8903

## 5 35.72012 1.4906431 4.995035 0.6869854 239.1590

## 6 36.00515 1.3072525 5.351562 0.6632580 229.6827

##

## Statistiques

##

## Y = (22.5 +/- 2.7)*10^1

##

## 95 percent C.I. = [177,283]



Histogramme de Y vs. GUM

Den

sity

150 200 250 300 350

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Y

Norm(68.1,1.6)

150 200 250 300 3500.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 Fonction de Distribution Empirique

Fn(x)

Y

0.025

176.8

0.5

223.2

0.975

282.6


Exemple: Distance d'arrêt - AGS


Limites de la propagation des distribution par Monte Carlo

La seule condition pour pouvoir e�ectuer le calcul de propagation est que lafonction F doit être continue au voisinage de E (X).

Des restrictions plus sévères s'appliquent pour assurer la validité des résumésstatistiques:

pour pouvoir évaluer de manière univoque des intervalles élargis, il estnécessaire que la fonction de distribution GY soit continue et monotonementcroissantepour la détermination de l'intervalle élargi à 100p% le plus court, descontraintes s'appliquent sur la pdf gY : continuité, unimodalitéE (Y ) et V (Y ) doivent existerun nombre de tirages M su�sant doit être réalisé.

Le principe de la méthode de Monte Carlo est donc très simple et elle a un champd'application très large. Il nous laisse cependant avec deux problèmes techniques:

comment générer un échantillon représentatif d'une densité de probabilité ?combien de tirages sont nécessaires pour atteindre une précision spéci�ée surles résumés statistiques ?P. Pernot Propagation des incertitudes March 24, 2015 77 / 118

Limites de la propagation des distribution par Monte Carlo


Générer des nombres aléatoires de distribution prescrite

Dispositifs capables de produire une séquence de nombres dont on ne peut pasfacilement tirer des propriétés déterministes:

Générateurs reposant sur des phénomènes imprévisibles: les dés, laroulette, le tirage au sort (loto et autres), les di�érentes méthodes de mélangedes cartes, le pile ou face... ( souvent biaisés ou insu�samment sûrs)

Générateurs reposant sur des phénomènes physiques: radioactivité ;bruits thermiques ; bruits électromagnétiques ; mécanique quantique (a prioriles meilleurs générateurs, mais ils ne sont pas faciles à mettre en place). Desséquences nombres aléatoires physiques sont téléchargeables à partird'internet : www.random.org, www.randomnumbers.info

Générateurs reposant sur des algorithmes

un algorithme est déterministe, à l'opposé de ce que l'on recherchecertaines opérations sont su�samment imprévisibles pour donner des résultatsqui semblent aléatoiresles nombres ainsi obtenus sont appelés pseudo-aléatoiresplus facile et plus e�cace à produire que par d'autres méthodes


www.random.org

www.randomnumbers.info

Générateurs de séquences de nombres aléatoires

tous les générateurs ne sont pas égaux entre eux

s'assurer avant tout que les générateurs aléatoires utilisés ont des propriétéssatisfaisantes pour:

la période de récurrence du générateurla corrélation séquentielle

des algorithmes sophistiqués combinant plusieurs générateurs (MersenneTwister, Wichmann-Hill...) sont aujourd'hui la norme. Correctementprogrammés et paramétrés, ils fournissent des séquences avec des périodescouvrant la majorité des besoins en propagation des distribution.


E�cacité statistique

L'utilisation d'une chaîne de Markov, ou d'une dynamique fait que les pointssuccessifs de l'échantillon ne sont plus indépendants. Il faut alors estimerl'e�cacité statistique de l'échantillon:

1 estimer µ = x and σ2 = 1

N−1∑

(xi − x)2

2 calculer la fonction d'autocorrélation

A(l) =1

σ2 (N − l − 1)

N−l∑i=1

(xi − x)(xi+l − x); l ≥ 0

et estimer la longueur de corrélation τ (intégrale de A(l) ou ajustementmonoexponentiel A(l) = exp(−l/τ))

3 on obtient alors ρ = (1 + 2τ)−1, l'e�cacité statistique de la chaîne(0 < ρ < 1) et l'incertitude-type sur l'estimation de la valeur moyenne est

µ = x ± σ√Nρ

.

Certains packages de R (coda) fournissent directement la taille e�ective Nρ del'échantillon et/ou l'incertitude-type corrigée.


Corrélation de variables non-gaussiennes

Comment générer des échantillons de variables corrélées non-normales ?

variables normales:X = mvtnorm::rmvnorm(M,mean=x.mu, sigma=VCov)

variables de distribution Student's:X = mvtnorm::rmvt(M,df=df,sigma=VCov,delta=x.mu)

autres ou variables hétérogènes �> méthode des copules:

générer un échantillon normal multivariée de corrélation prescritetransformer en échantillons de probabilités (par la densité cumulée normale)pour chaque variable, calculer les quantiles à partir des probabilités (inversionde la densité cumulée de distribution prescrite)

Biblio: A. Possolo (2010) Copulas for uncertainty analysis. Metrologia 47:262.doi:10.1088/0026-1394/47/3/017


Exemple de corrélation par copuleX1 ∼ Unif (1, 3) et X2 ∼ Arcsine(−1, 1), avec un coe�cient de corrélation de 0.8.

M=10000

z = mvtnorm::rmvnorm(M, mean=c(0,0), sigma=matrix(c(1,0.8,0.8,1),nrow=2))

z = pnorm(z)

X1=qunif(z[,1],min=1,max=3)

X2=qarcsine(z[,2],a=-1,b=1)

X1

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.78

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X2


Convergence des estimateurs

On n'est pas capable de prévoir le nombre de tirages nécessaires pour atteindreune précision prescrite sur tous les estimateurs d'une séquence aléatoire. Onutilise une approche adaptative: augmenter le nombre de tirages jusqu'à lastabilisation statistique des estimateurs.

0 2000 4000 6000 8000 10000-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

x

Deviationdes

estimateurs

cumulatifs

Moyenne

Limites exactes

Q05


Méthode de Monte Carlo adaptativeVersion originale du GUM Supp1

Cette procédure doit nous fournir pour une variable Y des valeurs véri�ant latolérance prédé�nie: l'espérance statistique y , l'incertitude-type u(y) et les limitesylow et yhigh d'un intervalle élargi de couverture spéci�ée 100p %.

1 dé�nir ndig à une valeur appropriée (typiquement ndig = 1 ou 2)2 calculer le nombre de tirages élémentaire M = max(ceiling(100/(1− p)), 104)3 initialiser le compteur d'itération h = 14 calculer M tirages Monte Carlo de Y = f (X)5 calculer les estimateurs pour ces M valeurs: y (h), u(y (h)), y

(h)low et y

(h)high

6 si h = 1, incrémenter h et aller à l'étape 4.7 calculer l'écart type associé aux valeurs moyennes des di�érents estimateurs sur les

itérations s2y = 1

h(h−1)

Phr=1

“y (r) − y

”2

, avec y = 1

h

Phr=1

y (r). Idem pour u(y),ylow et yhigh.

8 utiliser toutes les M × h valeurs de Y pour estimer u(y)9 calculer la tolérance numérique δ pour u(y)10 si une valeur parmi 2sy , 2su(y), 2sylow et 2syhigh dépasse δ, incrémenter h et aller à

l'étape 4.11 le calcul a convergé : utiliser les M × h valeurs de Y pour les estimations

statistiques �nales


La tolérance numérique

Soit ndig le nombre de chi�res considérés comme signi�catifs pour une valeurnumérique x . La tolérance numérique δ associée à x est dé�nie par:

1 mettre x sous la forme c × 10l , où c est un entier à ndig chi�res et l un entier;2 on a alors δ = 0.5× 10l

Exemple

numtol(12345,ndig=1) = 5000

numtol(12345,ndig=2) = 500


Méthode de Monte Carlo adaptativeVersions améliorées [Wübbeler et al. (2010) Metrologia 47:317]

Problème: la version originale �nit souvent trop tôt

le test de convergence basé sur un facteur 2 (IC95 pour une Normale) est tropoptimiste pour les petits nombres de blocs (au début de la procédure)−→la VO a seulement 80% de succès (à prédire un intervalle à 95%contenant la valeur vraie)le choix de δ à partir de u(y) peut être biaisé si les blocs sont trop petits

Solutions au premier problème1 Remplacer 2 par t0.975(h − 1) −→ 91% de succès

2 Méthode en deux temps de Stein −→ 95% de succès

1 réaliser un petit nombre de blocs h12 estimer le nombre de blocs manquants pour atteindre l'objectif des 95%

h2 = max

$(sy (h1) ∗ t0.975(h1 − 1))2

δ2

%− h1 + 1, 0

!


Le problème des temps de calcul

Le nombre de tirages nécessaire à la convergence des estimateurs peut devenirprohibitif si on utilise un modèle gourmand en temps de calcul.

Ex: distribution sur 1000 essais du nombre de runspour converger IC 95 d'une distribution normale.


Sommaire








8 Compléments


Analyse Globale de Sensibilité

Objectifs

Repérer a posteriori les variables in�uentes en analysant les échantillons de X etY .

Cette partie n'est pas explicitement abordée par le GUM-Supp1, mais on peutconsidérer que c'est un complément pratiquement indispensable à l'approche parMonte Carlo.

Documents de référence

J.C. Helton, J.D. Johnson, C.J. Salaberry, and C.B. Storlie (2006) Survey ofsampling based methods for uncertainty and sensitivity analysis. ReliabilityEngineering and System Safety 91:1175�1209.

A. Saltelli, S. Tarantola, F. Campolongo and M. Ratto (2004). SensitivityAnalysis in Practice: A Guide to Assessing Scienti�c Models. John Wiley andSons.


Corrélation entrées/sortie

Les échantillons générés pour la propagation des distributions peuvent êtredirectement utilisés pour calculer des indices de sensibilité.

une méthode simple à mettre en oeuvre est le calcul des coe�cients decorrélation entre les échantillons de Y et de X.

dans certaines limites, en particulier la variation monotone de Y en fonctionde X, la valeur absolue du coe�cient de corrélation cor(Y ,Xi ) traduitl'importance de l'in�uence de Xi sur Y . Dans l'approximation linéaire, onpeut écrire

cor(Y ,Xi ) =k∑j=1

(∂Y

∂Xj

)x

u(xj)

u(y)cor(Xi ,Xj)

et dans le cas de variables indépendantes, on a

cor2(Y ,Xi ) =

(∂Y∂Xi

)2xu2(xi )

u2(y)≡ ANOVAi


Corrélation entrées/sortie

si Y ne varie pas monotonement en fonction d'un paramètre, même une fortedépendance peut se traduire par un coe�cient de corrélation nul. Ces cas nesont pas forcément aisés à repérer lorsqu'on a des modèles avec des centainesde paramètres...

pour ne pas être trop dépendant d'une hypothèse de linéarité, on utilise engénéral la corrélation de rang (Spearman), plutôt que la corrélation linéaire(Pearson).


Exemple Y = X 21 + X 2

2 en x1 = x2 = 0

X1

-0.3 -0.1 0.1 0.3

-0.0043

-20

24

0.013

-0.3

-0.1

0.1

0.3

X2

-0.05

-2 0 2 4 0 5 10 15

05

10

15

Y


Exemple Y = X 21 + X 2

2 en x1 = 0; x2 = 1

X1

0.7 0.9 1.1 1.3

0.004

-2-1

01

23

4

0.890.7

0.9

1.1

1.3

X2

0.17

-2 -1 0 1 2 3 4 0 5 10 15

05

10

15Y


Warning: corrélation vs. dépendance


Au delà des corrélations

comme le montrent ces exemples, il ne faut jamais se contenter desvaleurs, et il est toujours utile de tracer des diagrammes de paires entre lesvariables pour repérer d'éventuelles anomalies.

en cas de doute à propos de la méthode des corrélations, il existe desméthodes plus sophistiquées:

nécessitent souvent la génération d'échantillons spéci�ques, où les variablessont perturbées de façon optimale pour repérer les in�uences (Sobol...)

pour en savoir plus, consulter les ouvrages cités plus haut, ainsi que le packagesensitivity de R, qui fournit la plupart de ces méthodes.

la méthode des �gradients de la variance� utilise un échantillon Monte-Carlostandard [Campanelli et al. (2013) Meas. Sci. Tech. 24:025002]...


Exemple Sobol sur Y = X 21 + X 2

2 en x1 = x2 = 0

z=sensitivity::soboljansen(model=sq.fun,X1=X1,X2=X2,nboot=100)

print(z)

##

## Call:

## sensitivity::soboljansen(model = sq.fun, X1 = X1, X2 = X2, nboot = 100)

##

## Model runs: 200000

##

## First order indices:

## original bias std. error min. c.i. max. c.i.

## x1 0.999898979 -1.710840e-08 2.024607e-06 0.99989470 0.9999031

## x2 -0.007589635 2.186313e-03 1.220271e-02 -0.03623502 0.0115787

##

## Total indices:

## original bias std. error min. c.i.

## x1 1.0075896347 -2.186313e-03 1.220271e-02 9.884213e-01

## x2 0.0001010212 1.710840e-08 2.024607e-06 9.693665e-05

## max. c.i.

## x1 1.0362350227

## x2 0.0001052998


Gradients de la Variance

On calcule pour chaque variable l'indice suivant:

Gi =E(

(Y − y) ∂Y∂Xi

(Xi − x i ))

u2(y)

Interprétation: une variation de p% de la variance de Xi résulte en unevariation de Gip% de la variance de Y

Rq:

Gi peut être négatifrecyclage de l'échantillon MC existantcalcul des gradients en chaque pointvalide pour des variables indépendantes

Ref: Campanelli et al. (2013) Meas. Sci. Tech. 24:025002


Exemple GV sur Y = X 21 + X 2

2 en x1 = x2 = 0

attach(params, warn.conflicts = FALSE)

G= gumCV(fExpr=fExpr,x.mu=x.mu, x.u=x.u)

## Valeur Inc_Std. J J2.U2 Anova

## x1 0.000e+00 1.00e+00 0.00e+00 0.00e+00 NA

## x2 0.000e+00 1.00e-01 0.00e+00 0.00e+00 NA

## Y 0.000e+00 0.00e+00 <-- 0.00e+00

d= vgSA(fExpr=fExpr,x.mu=x.mu, x.u=x.u, X=S$X, Y=S$Y)

##

## *** Variance Gradients Sensitivity Analysis

## Valeur Inc_Std. VG

## x1 0.000e+00 1.00e+00 2.00e+00

## x2 0.000e+00 1.00e-01 -3.05e-04

## Y 9.881e-01 1.36e+00

detach(params)


Sommaire








8 Compléments


Combien de chi�res signi�catifs?

Cela dépend de l'incertitude sur le résultat, mais aussi de la destination de cerésultat:

résultats intermédiaires d'un calcul : en garder le maximum pour éviterl'accumulation d'erreurs d'arrondi;résultat �nal: conserver 2 chi�res signi�catifs pour l'incertitude et tronquer

le résultat au même niveau. p. ex., si y = 1.23456789U et uY = 0.0045U,on reportera Y /U = 1.2345± 0.0045.

d'une manière générale, il vaut mieux reporter trop de chi�res que trop peu.Dans ce dernier cas, on causerait une dégradation préjudiciable del'information. Cependant, ne pas exagérer, et avoir toujours en tête un ordrede grandeur des incertitudes associées à la mesure ou à la méthode de calculutilisée.

NB: pour la matrice de variance/covariance, choisir un nombre de chi�resigni�catifs assurant que la matrice tronquée est bien dé�nie positive.


Comment reporter un résultat

notation standardY /U = y ± uY

où Y est le mesurande, U l'unité, y le résultat de mesure et uY l'incertitudetype associée. Il faut alors préciser qu'il s'agit d'une incertitude-type et nonétendue...p. ex., si on a mesuré y = 1.2345 kg avec uY = 0.0011 kg, on notera

Y /kg = 1.2345± 0.0011

on trouvera aussi souvent la notation condensée (recommandée)

Y /kg = 1.2345(11)

où l'ordre de grandeur des 2 chi�res entre parenthèses correspond à celui des2 derniers chi�res signi�catifs du résultat.

NB: dans le cas de plusieurs résultats avec des incertitudes corrélées, il fautégalement fournir la matrice de variance/covariance, ou la matrice decorrélation.P. Pernot Propagation des incertitudes March 24, 2015 100 / 118

Incertitude élargie

Déterminer k tel que si Y est estimé par y avec une incertitude (élargie)U(y) = ku(y), on peut a�rmer que

y − U(y) ≤ Y ≤ y + U(y)

avec une probabilité p proche de 1. [y −U(y), y + U(y)] est alors un intervalle decouverture à p %.

On écrit alors: Y /U = y ± U(y); k = x .

Il faut connaître la pdf, ce qui peut poser des problèmes avec la méthode decombinaison des variances

dans le cas idéal (modèle raisonnablement linéaire, plusieurs sourcesd'incertitude avec des in�uences comparables...) la pdf de Y est Normale, eton peut utiliser les propriétés correspondantes ( k = 2 pour p ' 0.95 ouk = 3 pour p ' 0.99...)


Incertitude élargie

sinon, il faut identi�er les sources principales d'incertitude (hyp: modèleapprox. linéaire)

type A avec peu (moins de 10) de répétitions: utiliser les coe�cients deStudent (k = tp)

n 3 4 5 10 30 50 ∞t95% 4.30 3.18 2.78 2.26 2.04 2.01 1.96t99% 9.93 5.84 4.60 3.25 2.75 2.68 2.58

Ex: mesure de la surface de la table

type B non Normal: se baser sur les propriétés de la pdf

sinon, Monte Carlo....


Couverture des intervalles élargis à nσ

Distribution 1σ 2σ 3σ Rq

Normale 68.2 95.4 99.7

Triangle 40.1 81.2 100.0 max : 2.45σ

Uniforme 57.7 100.0 100.0 max : 1.73σ

Arcsine 50.0 100.0 100.0 max : 1.41σ

Student's (ν = 4) 81.8 95.9 98.6

Student's (ν = 5) 77.0 95.3 98.7

Student's (ν = 10) 71.4 95.0 99.2


Degrés de liberté (e�ectifs)

Formule de Welch�Satterthwaite (GUM-G.4)

νe� ≈u4(y)

k∑i=1

(Jiu(xi))4

νi

=1

k∑i=1

a2iνi

ai = J2i u2(xi )/u2(y) est la part de la variance combinée due à xi (ANOVA)

nombre de degrès de liberté = incertitude sur l'incertitude ∆u(xi )u(xi )

' 1√2νi

Si on a une idée de cette incertitude, on peut en déduire νi = 1

2

[∆u(xi )u(xi )

]−2Si pas d'incertitude νi =∞


Comparaison des couvertures par lois Normale et Student

Statistique sur M = 10000 répétitions de la moyennede n = 5 nombres tirés d'une distribution Normale standard.

M=10000

n=5

X=matrix(rnorm(n*M,mean=0,sd=1),ncol=n,nrow=M)

Xm=apply(X,1,mean)

Xv=apply(X,1,var)

Histogram of Xm

Xm

Density

-2 -1 0 1 2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Histogram of Xv

Xv

Den

sity

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8



Estimation de la fréquence de succès des calculsd'intervalles de couverture à 95 % (IC_95)

freqNor = apply(X,1,function(x) {

inter=mean(x)+sd(x)/n^0.5*qnorm(p=c(0.025,0.975))

prod(inter)<=0 } )

freqStu = apply(X,1,function(x) {

inter=mean(x)+sd(x)/n^0.5*qt(p=c(0.025,0.975),df=n-1)

prod(inter)<=0 } )

print(c(paste0('%Nor = ',100*sum(freqNor)/M),

paste0('%Stu = ',100*sum(freqStu)/M)))

## [1] "%Nor = 87.59" "%Stu = 94.71"


Sommaire








8 Compléments


Retour sur les covariances

On peut exprimer la covariance entre deux mesurandes Y1, Y2 dans le cadre GUM

(GUM-F.1.2.3; hypothèse des entrées indépendentes)

u(y1, y2) =k∑

i=1

(∂Y1

∂Xi

)x

(∂Y2

∂Xi

)x

u2(xi)

On voit alors que seules les souces d'incertitude communes aux deux mesurescontribuent (dérivée non-nulle)

Cf. exemple mesure de longueur et largeur d'une table avec le même mètre àruban.


Covariance des mesurandes multiples

Plus généralement, pour un modèle à p sorties et des entrées éventuellement

corrélées (GUM-Supp2)

ΣY = JTΣXJ

avec

J =

(∂Y1∂X1

)x

. . .(∂Yp

∂X1

)x(

∂Y1∂X2

)x

. . .(∂Yp

∂X2

)x

... . . ....(

∂Y1∂Xk

)x

. . .(∂Yp

∂Xk

)x


Application: calibration-prédiction

Propagation des incertitudes lors de la calibration d'une droite (régression)et de son utilisation en prédiction

on dispose de N triplets de valeurs {xi , yi , uyi } (on suppose uxi négligeableou nul)

modèle de mesure: yi = a + b ∗ xi + εi , avec εi ∼ N(µ = 0, σ = uyi )

�> régression linéaire par la méthode des �moindres carrés pondérés�

(a, b) = argmina,bχ2(a, b)

χ2(a, b) =N∑i=1

(yi − a− bxi )2

u2yi


Calibration des paramètres

Résolution :

1 calculer les moyennes pondérées x =P

w2i xiPw2i

et y =P

w2i yiPw2i, avec les poids

wi = 1/uyi2 recentrer les données: xi = xi − x et yi = yi − y

3 alors

b =

∑i w

2i xi yi∑

i w2i x

2i

=

∑i w

2i xiyi∑

i w2i x

2i

et

a = y − bx

cette dernière équation montre bien que a et b sont corrélés


Variance/covariance des paramètres

Le calcul des incertitudes-type sur les coe�cients de régression peut être mené

analytiquement en appliquant le GUM:

u2b =

∑i (w

2i xi)

2u2yi

(∑

i w2i x

2i )

2 =1∑

i w2i x

2i

u2a = var(y) + x2u2b =u2b∑w 2i

+x2∑i w

2i x

2i

cov(a, b) = cov(y , b)− x ∗ cov(b, b) = − x∑i w

2i x

2i


Exemple calibration

2 4 6 8

510

15

20

x

y

Regression lineaire

donnees


Exemple calibration

## [1] "*** Régression linéaire par moindres carrés pondérés ***"

## [1] ""

## [1] "model: y=a+b*x"

## [1] ""

## [1] "*** Analyse du chi2 ***"

## [1] "chi2_obs= 8.56"

## [1] "ndf= 6"

## [1] "P(chi2>chi2_obs)= 0.2"

## [1] "Q05= 1.64 , Q95= 12.6"

## [1] ""

## [1] "*** Analyse de variance ***"

## [1] "Variance totale (VT)= 25.6"

## [1] "Variance expliquée (VE)= 24.4"

## [1] "Variance résiduelle (VR)= 1.22"

## [1] "R2=1-VR/VT=VE/VT= 0.952"

## [1] ""

## [1] "*** Coefficients de régression ***"

## [1] "b= 2.02 +/- 0.154"

## [1] "a= 0.628 +/- 0.779"

## [1] "cov(a,b)= -0.107"

## [1] "cor(a,b)= -0.891"


Prédiction directe

Connaissant les paramètres de la droite de régression et lesincertitudes/covariance associées, on veut déterminer l'incertitude liée au calculd'une valeur de Y en un point x quelconque à l'aide du modèle linéaire.

Modèle statistique

Y = a + bX + ε

a et b représentent les paramètres incertains de la droite de régression;

X représente l'ordonnée pour laquelle on veut une prédiction de Y ;X est éventuellement incertaine x = x0 ± ux ; et

ε représente une erreur aléatoire sur la mesure d'une valeur de Y ;ε est de moyenne nulle et d'amplitude dépendant éventuellement de X ,σε(X ).


Prédiction directe

On applique (encore) la loi de combinaison des variances (GUM):

y = a + bx0 + ε

u2y = u2a + x20u2b + 2x0cov(a, b) + b2u2x + σ2ε (x0)

=1∑w 2i

+(x0 − x)2∑

i w2i x

2i

+ b2u2x + σ2ε (x0).

En remplaçant w2

i par 1/σ2, et dans l'hypothèse d'une incertitude uniforme sur Y(σε(X ) ≡ σ), on dérive l'expression pour la régression par moindres carrés�ordinaire�

u2y =σ2

N+σ2 (x0 − x)2∑

i x2

i

+ b2u2x + σ2.


Prédiction directe

Selon les scenarii, plusieurs simpli�cations sont possibles et on retrouve desexpressions d'usage courant:

X sans incertitude et on veut l'incertitude sur l'estimation de la valeur

moyenne de Y (�con�ance�)

uy = σ

√1

N+

(x0 − x)2∑i x

2i

X sans incertitude et on veut l'incertitude sur l'estimation d'une valeurunique de Y (�prediction�)

uy = σ

√1 +

1

N+

(x0 − x)2∑i x

2i

Autre exemple: Possolo, A. (2013), Five examples of assessment and expressionof measurement uncertainty. Appl. Stochastic Models Bus. Ind. 29:1�18. doi:10.1002/asmb.1947


Exemple prédiction

0 2 4 6 8 10 12 14

510

15

20

25

30

x

y

Regression lineaire

donnees

regression

con�ance

prediction
