Instituto Sagrado Corazón GeoGebra Prof. Maximiliano Salibe

Trabajo de investigación grupal

El objetivo de este trabajo es identificar y estudiar:

fenómenos de la naturaleza, entendiendo que fenómeno es “toda manifestación que se hace presente a la consciencia de un sujeto y aparece como objeto de su percepción”, según el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua;

creaciones del hombre, realizadas con la clara intencionalidad de transmitir un significado, una idea o un sentimiento al resto de la civilización.

En el primero de los casos, el de fenómenos de la naturaleza (como las características de la Tierra o las formas de animales y plantas), se busca valorar los esfuerzos que la humanidad ha realizado a lo largo de su historia con la finalidad de descifrar (es decir, “declarar lo que está escrito en cifra o en caracteres desconocidos”, según el mismo diccionario) el orden que gobierna al Universo, claves subyacentes a todo lo que existe y que permiten al hombre, en grados de profundidad creciente, acceder a un conocimiento sistemático sobre las cosas que lo rodean.

En el segundo de los casos, el de las creaciones del hombre, se intenta poner de relieve los significados humanos que las civilizaciones (a través de exponentes distinguidos como pintores, arquitectos y científicos) han querido legar a la posteridad. A través del estudio de estas creaciones (tales como monumentos, templos y pinturas), es posible conocer más acerca de las culturas que les dieron origen, así como de los valores y creencias que sostenían.

En cualquier caso, es fundamental investigar los hallazgos y reflexiones que los estudiosos realizaron al respecto del tema que se está analizando: ¿quiénes se ocuparon del asunto antes que nosotros? ¿En qué contexto lo hicieron? ¿Qué motivaciones los impulsaron a hacerlo? ¿A qué conclusiones llegaron?

A partir de los hallazgos que los especialistas (sabios antiguos, científicos contemporáneos, historiadores, artistas) lograron al respecto de nuestro objeto de estudio, podremos comparar puntos de vista e ir formando el nuestro propio.

Como en toda investigación, es prioritario mantener el espíritu crítico frente al material que buscamos, teniendo en cuenta que debe ser:

claro, para facilitar la comprensión y evitar confusiones que desvíen la atención, y

pertinente (es decir, debe guardar relación con el objeto estudiado).

Los siguientes son los requisitos formales de presentación de este trabajo:

Fecha de entrega: (a definir, alrededor de fines de septiembre) Formato:

debe presentarse en carpeta tamaño A4, realizado completamente en computadora; la carátula debe contener: un título, nombre y escudo del colegio, nombre de la materia y de los

alumnos; utilizar tipografía Arial 11, interlineado 1,5 líneas, espaciado anterior de 6 puntos y sangría de

primera línea de 1cm. Extensión: sin contar la carátula, debe ocupar no menos de 5 páginas y no más de 10. Contenido:

toda cita incluida en la investigación debe contener, en una nota al pie de página, la fuente (el autor y el texto del cual se extrajo o bien la dirección web);

debe incluirse ejemplos, imágenes y gráficos con sus respectivas notas explicativas (epígrafes); además, incluir gráficos de elaboración propia utilizando el software GeoGebra; al final del trabajo, debe incluirse una conclusión grupal y la bibliografía/webgrafía consultada.

Contenido virtual: los gráficos elaborados por el grupo deben insertarse en el trabajo y, además, acompañarse con

un enlace para que el lector pueda acceder a él; una vez finalizado el trabajo, debe sintetizarse lo principal en una presentación PowerPoint o

Prezi, para facilitar la explicación de lo investigado (incluir imágenes y videos).

EL TRABAJO DEBE SER ORIGINAL Y REFLEJAR UNA TAREA DE INVESTIGACIÓN GRUPAL, DE MANERA QUE SE DEBE UTILIZAR UNA VARIEDAD DE FUENTES (LIBROS Y PÁGINAS WEB)

Correo para consultas: salibemaximiliano@gmail.com

A) LOS NÚMEROS EN LA ESCUELA PITAGÓRICA Según Pitágoras y sus seguidores, los números tenían un significado profundo y una existencia propia, es decir, no eran meras marcas para contar objetos. Los pitagóricos estudiaron las cualidades de los números en la naturaleza y en la geometría. El hallazgo más famoso que se atribuye a esta escuela (que, probablemente, no les pertenezca a ellos sino que sea un préstamo de egipcios y babilonios) es el teorema referido a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, pero no es ni remotamente el único descubrimiento atribuible a estos sabios griegos. Entre sus creencias pseudo religiosas, se destaca la famosa tetractys y la plena convicción de que los números tienen significados propios. Se cuenta que se horrorizaron al descubrir los números irracionales y que,

además de aritmética y geometría, estudiaron la armonía musical desde un punto de vista numérico.

B) LA SERIE DE FIBONACCI Se sabe que Leonardo de Pisa, apodado Fibonacci, realizó invaluables contribuciones al conocimiento que los europeos de la Edad Media tenían en términos científicos. Acercó al Viejo Continente saberes que provenían de Oriente, gracias a sus numerosos viajes y a su espíritu inquieto. De él recordamos principalmente la serie formada por números que resultan de sumar incesantemente el término anterior. Se sabe que experimentó con conejos y que su descubrimiento tiene relación con innumerables fenómenos de la naturaleza. Entre otras consecuencias de su descubrimiento, está el número de oro ( : phi), muy involucrado en la espiral logarítmica.

C) TAMAÑO DE LA TIERRA Y CARTOGRAFÍA Desde tiempos remotos, el hombre quiso saber acerca del planeta y del cosmos. Un célebre personaje de la antigua Grecia que vivió en Egipto y se ocupó de los números primos, también supo medir con una precisión asombrosa las dimensiones de la Tierra utilizando dos varas. Convencido de la esfericidad del planeta, estudió los movimientos celestes y se sirvió de las sombras y las luces, los ángulos y las distancias, para lograr su cometido. Posteriormente, otros célebres estudiosos (Ortelius y Mercator) consultaron a un matemático para trazar mapas planos de la Tierra, y así surgieron los meridianos y los paralelos. Estas líneas imaginarias tienen relación con los descubrimientos de aquel griego preocupado por los números primos y, en la modernidad, enfrentó a varios países centrales que no podían ponerse de acuerdo para elegir el primer meridiano.

D) LOS CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS Y LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO No sólo de Filosofía se ocupó Platón: así como se mostró preocupado por los temas esenciales del pensamiento humano, también pensó que habría algunos cuerpos geométricos más puros que otros. Y encontró cinco que cumplían con la perfección que él esperaba. Cada uno de estos sólidos estaba relacionado con algún aspecto de la naturaleza y pueden construirse a la perfección, tanto material como digitalmente. Platón opinaría que estos sólidos son puros y que las construcciones que se hagan

en la realidad son copias imperfectas de aquellas ideas esenciales. Pero ¿quién negaría que la Gran Pirámide de Egipto, a pesar de no ser uno de esos cinco sólidos que estudió Platón, sea dueña de una belleza incomparable? Los egipcios se interesaron en este tipo de construcciones para demostrar la grandeza de su civilización y desarrollaron la idea de seked, una medida que guarda relación con la base y las caras laterales de la construcción.

Typus Arithmeticae

La Gran Pirámide de Egipto no es un sólido platónico, pero es dueña de una belleza única.

Copo de nieve de Koch.

E) FRACTALES Y AUTOSEMEJANZA INFINITA Si algo tiene de llamativo la Naturaleza es la perfección de su constitución. Hay formas naturales que se replican infinitamente, formas que se parecen a sí mismas independientemente del nivel de zoom que uno considere. Costas, árboles, coliflores… son sólo algunos ejemplos naturales que pueden tener formas fractales tal y como las definió modernamente el francés Benoit Mandelbrot. Algunos científicos creen que la creación de estas formas por parte del hombre son anormales o monstruosas, ya que desafían el sentido común: figuras cerradas con perímetros infinitos. El ejemplo típico es el copo de nieve estudiado por Koch y, más allá de complejas fórmulas que los matemáticos diseñan para explicar estos fenómenos, la cualidad de autosemejanza es una entre tantas que definen a estos llamativos objetos.

F) LUGARES GEOMÉTRICOS Desde la antigüedad, los sabios se interesaron en algunas curvas famosas que hoy llamamos cónicas. Se relacionan con los conos, de ellos derivan su nombre. También se las llama secciones cónicas porque puede pensarse que se obtienen al “cortar” un cono con planos. Además de esas curvas famosas, modernamente y gracias al software informático es posible diseñar otros lugares geométricos, es decir, otros conjuntos de puntos sobre el plano que describen curvas peculiares. Algunas se obtienen al deslizar un punto alrededor de una circunferencia, pero no son las únicas. Entre los lugares geométricos clásicos, se encuentran la circunferencia, la elipse y la parábola. También la lúnula, la involuta (parecida al pico de un águila) y la cicloide. Entre las más modernas, encontramos la cardioide (que se semeja un corazón) y la astroide (así llamada por su parecido con una estrella).

G) LEONARDO, LA PERSPECTIVA Y LAS PROPORCIONES Es vastamente sabido que Leonardo da Vinci fue un prolífico inventor y artista del Renacimiento. Particularmente interesado en las proporciones, creó por ejemplo la figura conocida como el Hombre de Vitruvio, en la cual estudia el cuerpo humano midiéndolo en codos (antigua unidad de medida). Los codos, los codos reales y los palmos eran las medidas utilizadas antiguamente y que Leonardo rescata para comprender mejor las ideas de los tiempos remotos. En cuanto a la perspectiva, es célebre la pintura de La última cena, en la cual las líneas del techo y las paredes dan una centralidad dominante a la figura de Jesucristo, aunque también dieron lugar a enormes controversias que se

suceden hasta el día de hoy. Dueño de un genio único, Da Vinci realizó numerosas pinturas en las cuales muestra su dominio de las proporciones y del impacto visual que ellas provocan.

H) EL INGENIOSO ARQUÍMEDES DE SIRACUSA Y EL NÚMERO Muchas invenciones se le atribuyen a este sabio griego. Grandes maquinarias para distribuir agua a zonas de escasez, armas de asedio para ser utilizadas en tiempos de guerra, y también indagaciones geométricas relacionadas con esferas y cilindros. Con relación a estos últimos, fue fundamental la utilización del número . Tal fue la fascinación que despertaron estos cuerpos geométricos en él, que sobre su tumba fue construido un monumento cilíndrico que contenía una esfera, respetando su última voluntad. Luego de él, numerosos sabios del mundo entero continuarían su trabajo determinando con precisión el valor de .

Astroide. Más en https://goo.gl/knxs9M

El hombre de Vitruvio.

I) EL ÁLGEBRA Y AL-KHWARIZMI Durante la Edad Media, el continente europeo se vio estancado en las ciencias. Mientras tanto, en Medio Oriente florecía unos de los imperios más grandes de la historia, que en pocos siglos conquistaría tierras tan al oeste como España y tan al este como Persia. Con su capital en Bagdad, el califato islámico vería florecer las artes y las ciencias. Gracias a estudiosos como Al-Khwarizmi, que se reunían en la Casa de la Sabiduría y que traducían textos científicos del griego y del siríaco al árabe, y que supieron entrar en contacto con los conocimientos de la India, muchos aportes que se podrían haber perdido para siempre fueron recuperados y profundizados. Entre los logros más importantes de Al-Khwarizmi, se encuentra el haber utilizado el sistema de numeración decimal. Asimismo, desarrolló el álgebra como un método de resolución de problemas de la vida cotidiana. Demostró cómo resolver ecuaciones a través de simples gráficos.

J) LA LUZ Y LA VISIÓN Desde tiempos inmemoriales, el fenómeno de la visión atrajo la atención de los seres humanos. Los más lúcidos pensadores intentaron explicarla de diferentes formas: algunos pensaron que la visión emanaba de los ojos como rayos que “escaneaban” las cosas y transmitían la imagen al cerebro; otros, intuyeron que la luz se dirigía hacia los ojos y estos sólo recibían la percepción. Con respecto a la luz, algunos pensaron que está compuesta por pequeñas partículas materiales, mientras que otros entendieron que se trata de una onda, como la del sonido. Cada uno en su momento y contexto, Galileo, Al-Hazen y Newton analizaron el fenómeno de la luz y la visión, y debieron defender su postura frente a lo que

comúnmente se creía.

K) LAS PROPORCIONES Y TALES DE MILETO En la Grecia Antigua existieron siete grandes pensadores conocidos como los Siete Sabios de Grecia, de los cuales Tales de Mileto fue el primero. Se destacó como filósofo y geómetra, y se lo recuerda por haber establecido que el agua es el origen de todas las cosas. Tan variadas fueron sus actividades, que a la vez que predecía eclipses y desarrollaba la ingeniería militar, demostró que si se traza una paralela a la base de un triángulo, entonces se forman dos triángulos semejantes, es decir, dos triángulos de ángulos iguales y lados proporcionales.

Galileo enseñando a utilizar el telescopio al duque de Venecia.

Grupo A

1) ¿Qué tiene de especial la figura de la derecha? Averigüen cómo se llama y por qué, para los pitagóricos, revestía carácter sagrado.

2) Usando GeoGebra (antes de empezar, diríjanse al menú Opciones>Redondeo>5 cifras decimales), construyan un pentágono regular y tracen todas sus diagonales.

a. ¿Qué se obtiene? b. ¿Por qué era importante este símbolo para los pitagóricos y cómo lo

llamaban? c. Dividan la medida de una diagonal por la medida de un lado del pentágono. ¿Qué resultado

obtienen? Pregunten al grupo B cómo se llama este número. d. Remarquen todas las intersecciones entre diagonales y busquen otro par de segmentos que cumplan

la condición de que, al dividir sus medidas, se obtenga ese mismo número.

3) ¿Qué tienen en común los números siguientes?

3, 4 y 5

7, 24 y 25

8, 15 y 17

17, 144 y 145

4) Demuestren la siguiente afirmación mediante un gráfico: “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cualquiera es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del mismo triángulo”.

5) Si, en un sistema de ejes cartesianos, se crea una circunferencia centrada en el origen de coordenadas con

un radio 2, GeoGebra hace aparecer –en la Vista Algebraica– la ecuación . Expliquen qué significa esto, teniendo en cuenta:

un punto que se deslice sobre la circunferencia, y

las enseñanzas de los pitagóricos.

Grupo B

1) Construyan un cuadrado de 2cm de lado (antes de empezar, diríjanse al menú Opciones>Redondeo>5 cifras decimales). Luego:

a. marquen el punto medio de la base; b. únanlo con uno de los vértices del lado opuesto; c. tomen la medida de ese segmento y márquenlo sobre la

recta base; d. construyan un rectángulo con la nueva base y la misma altura

del cuadrado; e. sabiendo que una razón entre dos números es la fracción que

puede armarse con ellos, calculen la razón entre la base y la altura del rectángulo. ¿Qué número

obtuvieron? ¿Se aproxima a

? Averigüen por qué se llama (phi) a este número.

2) ¿Son áureos los rectángulos de la figura? a. Expliquen qué hicieron para responder. b. Escriban la relación entre las medidas de los segmentos y . c. Escriban un texto que describa la figura.

3) Investiguen qué objetos (naturales o creados por el hombre) guardan relación con la proporción áurea.

4) ¿Qué particularidad tiene la sucesión siguiente? a. ¿Pueden escribir diez números más en esa secuencia? b. Armen razones entre dos términos consecutivos de la sucesión (el mayor es el numerador) y calculen

el resultado. ¿Qué ocurre con esos valores?

5) Averigüen cómo hacían los pitagóricos para representar gráficamente el número . ¿Y ? El grupo A podría ayudarlos.

Grupo C

1) Observen la imagen en este enlace https://goo.gl/fiHgDr y describan lo que ven (¿qué dos números faltan? ¿qué dos números sobran?). Relacionen con el trabajo que hizo Eratóstenes a este respecto y desarrollen.

2) Creen una circunferencia de radio 2 y dos puntos sobre ella. Luego: a. tracen el arco que une a esos puntos; b. tracen los radios que pasan por esos puntos; c. señalen el ángulo entre ambos radios; d. dejando fijos los dos puntos en una ubicación cualquiera, tomen la

medida del arco y del ángulo; e. ahora averigüen la longitud de la circunferencia completando los

datos y resolviendo la regla de tres simple:

………………………… ____________________ …………………………

(completen con la medida del ángulo) (completen con la medida del arco)

____________________

Ahora que tienen la longitud de la circunferencia , verifiquen si es correcta utilizando la fórmula matemática para el cálculo de la circunferencia. Luego, ejemplifiquen el método anterior con otras circunferencias de radio 3 y 5.

3) Averigüen cómo son entre sí los ángulos alternos internos entre rectas paralelas.

4) ¿Qué fue lo que hizo Eratóstenes para medir el tamaño de la Tierra? Desarrollen el tema. Ayúdense con la imagen siguiente y guíense por las preguntas que se proponen a continuación:

¿Por qué Eratóstenes mandó ayudantes a la ciudad de Asuán (antiguamente, Siena, en Egipto) mientras él mismo se quedó en Alejandría? ¿Qué tiene de especial la ciudad de Asuán? Para

comprobarlo, descarguen gratuitamente en sus PCs el software Google Earth ingresando a https://www.google.com/intl/es/earth/download/ge/agree.html y, una vez instalado, dirigirse al menú Ver>Cuadrícula. Luego, escribir en el campo de Búsqueda la palabra “Asuán” y presionar Enter.

¿En qué momento del año hizo Eratóstenes su experiencia? ¿Por qué eligió ese momento?

Utilicen la regla de Google Earth (en el menú Herramientas) para medir la distancia en kilómetros entre Alejandría y Asuán. Comparen este dato con la distancia medida por Eratóstenes. ¿Se medía en kilómetros en su época? (Tener en cuenta: 1 estadio = 0,182km).

¿Qué tamaño tenía la Tierra para Eratóstenes? ¿Cuál es el tamaño que conocemos hoy?

5) ¿Por qué los paralelos y los meridianos terrestres se miden en grados? ¿Por qué los paralelos varían entre y , mientras que los meridianos lo hacen entre y ? Observen estos enlaces para responder: https://ggbm.at/BPVWHvMA y https://goo.gl/iFFZwf . Luego, ejemplifiquen usando la Vista Gráfica 3D de GeoGebra.

Grupo D

1) ¿Qué son los sólidos platónicos? ¿Qué tienen de especial? ¿Qué representaba cada uno de ellos para Platón?

2) Observen la imagen de la derecha (construcción disponible en https://ggbm.at/T6A4MhDZ) y respondan:

a. ¿Qué dos sólidos platónicos puede verse? b. Se dice que estos dos sólidos platónicos son duales entre sí. ¿Por

qué se afirma esto? ¿Qué otros dos sólidos son duales entre sí? c. Deténganse en uno cualquiera de los sólidos y cuenten sus caras,

sus aristas y sus vértices. ¿Pueden encontrar alguna fórmula que ponga en relación estos aspectos para cualquier sólido?

3) ¿Y cuál sólido es dual de sí mismo? Compruébenlo haciendo la construcción en GeoGebra.

4) Todos los sólidos platónicos pueden inscribirse dentro de una esfera que “toque” todos sus vértices. A partir de, por ejemplo, un tetraedro, es posible construir la esfera que lo circunscribe y determinar el valor de su radio. ¿Pueden determinar, usando GeoGebra, cuál es el radio de la esfera que circunscribe a un tetraedro de arista 2?

5) En el papiro egipcio de Rhind, aparecen varios problemas relacionados con la construcción de las pirámides.

a. ¿Por qué éstas no son sólidos platónicos? b. Teniendo en cuenta que el seked (S) es la pendiente de la pirámide y

que se calcula mediante la fórmula

(donde es la base y , la

altura), calculen el seked de cada una de las siguientes pirámides y clasifíquenlas en dos grupos:

Pirámide del faraón Base (codos) Altura (codos) Seked

Userkaf (Saqqara) 140 93,33

Khufu (Giza) 440 280

Snefru (Meidum) 275 175

Pepi I (Saqqara) 149 99,33

Khafre (Giza) 411 274

Niuserre (Abusir) 150 95,45

c. Usen GeoGebra para recrear una pirámide (en escala pequeña), señalando sus medidas y su seked.

Grupo E

1) Visiten este sitio para observar las figuras que allí aparecen y describan cuáles de las características de los fractales se puede apreciar: https://goo.gl/W5TgfH.

2) ¿Quién fue Sierpinski y qué relación tuvo con los fractales? ¿Cuál es su famoso aporte a esta teoría? Recreen en GeoGebra su invención.

3) Busquen la manera de crear, en GeoGebra, el Copo de Koch. Comiencen con un triángulo equilátero, partan sus lados en tres segmentos congruentes y usen cada pequeño segmento para crear un nuevo triángulo equilátero (ver aquí el paso a paso: https://goo.gl/Y1MEBc).

4) Investiguen cómo es posible crear este árbol fractal (ver a la derecha) en GeoGebra, visitando este enlace: https://ggbm.at/ypsveu3b. Intenten realizar

5) Investiguen formas fractales en la naturaleza e incluyan ejemplos.

Los egipcios utilizaban la unidad de

medida conocida como “codo real”,

equivalente a 0,523m y divisible en 7

palmos. Cada palmo, a su vez, puede

dividirse en 4 dedos.

Grupo F

1) Comúnmente se define a la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centro. Utilicen GeoGebra para:

a. crear un punto fijo P; b. crear un segmento PQ de longitud fija (por ejemplo, de 3 unidades); c. activar la animación del punto Q; d. activar el rastro del punto Q.

2) En otro archivo, realicen lo siguiente: a. creen los puntos A y B, distantes 8 unidades uno del

otro; b. creen los puntos C y D, entre ambos, con la condición

de que C diste 1 unidad de A, y D diste 1 unidad de D; c. hagan que los cuatro puntos sean objetos fijos; d. generen un deslizador de nombre k, con un mínimo

de 0, un máximo de 8 e incremento de 0.1; e. ahora generen una circunferencia con centro en C y

radio k, y luego otra con centro en D y radio 8-k; f. encuentren los puntos de intersección entre ambas,

activen sus rastros y muevan el deslizador de un extremo a otro.

¿Qué lugar geométrico obtienen? Busquen su definición y comprueben que se cumple en el caso de ustedes.

3) Intenten generar, en GeoGebra, una parábola siguiendo los pasos sugeridos en el título Propiedades geométricas de este artículo de Wikipedia: https://goo.gl/HrmryZ. Luego encuentren la definición formal de parábola y corroboren que se cumple en el caso de ustedes.

4) Investiguen el lugar geométrico de Van Shooten y el astroide.

5) Pueden encontrar más en https://goo.gl/knxs9M.

Grupo G

1) Observen este enlace https://ggbm.at/bBXhtXHZ y sigan las indicaciones que allí aparecen. Relacionen esta experiencia con lo leído acerca de la perspectiva de Leonardo da Vinci, las líneas imaginarias y el punto de fuga.

2) Observen la imagen debajo (pueden obtenerla desde este vínculo https://goo.gl/Gjr281): ¿cuál de las columnas se ve de mayor tamaño? ¿Cuál de las columnas tiene mayor tamaño? ¿Cuántos puntos de fuga pueden detectar?

a. Inserten la imagen en un archivo GeoGebra y comprueben las líneas de perspectiva y los puntos de fuga.

b. Realicen el mismo trabajo con la Última cena de Leonardo da Vinci y con la Flagelación de Cristo de Piero della Francesca.

3) Creen en GeoGebra un triángulo cualquiera, un deslizador k de mínimo 0, máximo 1 e incremento 0.1; un punto P y aplíquenle la herramienta Homotecia (hagan que el factor de escala sea k). Muevan el deslizador hasta y tendrán una situación como la que se muestra en la imagen: comparen los ángulos de ambos triángulos… ¿cambiaron? ¿Y qué ocurrió con los lados?

4) Usen homotecia y rastro (entre otras herramientas) para generar imágenes originales como la siguiente:

Grupo H

1) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo?

2) ¿Qué área tiene un círculo de radio 1? Compruébenlo usando GeoGebra.

3) Arquímedes averiguó con bastante precisión el valor de utilizando un círculo de radio 1 y polígonos regulares inscritos y circunscritos. Es lo que se conoce como cálculo por exceso y por defecto. Usen GeoGebra para comprobarlo ustedes mismos, empezando por construir un triángulo equilátero inscrito y otro circunscrito:

a. creen una circunferencia de centro A y radio 1;

b. sobre ella, un punto B; luego apliquen rotación de

alrededor de A para obtener el punto B’; c. usen los puntos B y B’ para construir un polígono regular de 3

vértices; d. ahora usen tangentes para obtener las rectas que pasan por sus

vértices; allí donde éstas se corten, señalen sus intersecciones y úsenlas para construir otro polígono regular de 3 vértices;

e. obtengan las áreas de ambos triángulos y promédienlas. ¿Qué número obtienen? Anótenlo: les servirá luego.

Repitan el trabajo para polígonos de 6 y 12 lados (Arquímedes duplicó los lados hasta llegar a 96). ¿Qué ocurre con el resultado en cada caso?

4) Usando GeoGebra, creen un punto A en el origen de coordenadas. Con centro en él y radio 1, generen una circunferencia. Luego:

a. habiliten la Vista Gráfica 3D y apliquen la herramienta Prisma o cilindro desde su base para generar un cilindro de altura 2;

b. creen un punto B en la mitad de la altura del cilindro y, con centro en él, una esfera de radio 1;

c. usen la herramienta Volumen para obtener los volúmenes de la esfera y del cilindro;

d. ahora dividan el volumen de la esfera por el del cilindro y rodeen el resultado que obtuvieron:

e. ¿Coincide esto con algún hallazgo de Arquímedes?

5) ¿Cuáles son las fórmulas que halló Arquímedes para el cálculo del volumen de estos dos cuerpos?

Áreas del cuadrado: del rectángulo:

Más información en

https://goo.gl/TQcPDm

Grupo I

1) Observen cada una de las imágenes y respondan en cada caso: a. ¿Qué área tiene el cuadrado central? b. ¿Qué área tiene cada rectángulo? ¿Cuánto suman sus áreas? c. ¿Qué área tiene cada uno de los cuadrados esquineros? ¿Cuánto

suman sus áreas? d. ¿Qué área tiene la figura completa? ¿Cuánto mide el lado de la figura completa?

I II III

2) Según enseñaba al-Khwarizmi, las ecuaciones del tipo pueden resolverse construyendo el cuadrado, los rectángulos y los cuadrados esquineros, y haciendo luego una serie de deducciones. Observen los ejemplos y completen:

I. II. III.

Áreas Cuadrado central: Cada rectángulo:

Cada cuadrado esquinero:

Áreas Cuadrado central: Cada rectángulo:

Cada cuadrado esquinero:

Áreas Cuadrado central: Cada rectángulo: Cada cuadrado esquinero:

En la ecuación I, deduzcamos que la suma de las áreas del cuadrado central y los rectángulos es , es decir, , que sabemos que es . Pero, si sumamos las áreas de los cuadrados esquineros, es decir, , obtenemos Tal es el área de la figura completa, lo que nos permite saber que el lado

del cuadrado completo es . Ahora bien, restemos a los dos segmentos de cada uno y obtendremos el valor buscado. La solución es .

a. Realicen el mismo razonamiento para resolver las ecuaciones II y III. b. Expliquen la siguiente frase, ejemplificando con alguna de las ecuaciones analizadas: “Toda ecuación

del tipo puede resolverse si se toma la mitad de b, se la eleva al cuadrado, se la suma a c, se busca su raíz cuadrada y luego se le resta la mitad de b”.

c. Inventen una ecuación que pueda resolverse a través de este método y construyan, usando GeoGebra, la figura adecuada.

3) Al-Khwarizmi resolvió el siguiente problema del cual se había ocupado antes Herón de Alejandría. Usen GeoGebra para resolverlo.

¿Cuánto mide el lado del cuadrado inscrito en un triángulo isósceles de base 12 y lados congruentes de 10?

4) Desde tiempos remotos y hasta la actualidad, los estudiosos estuvieron interesados en los números primos (es decir, aquellos que sólo son divisibles por sí mismos y por 1). Usen GeoGebra para comprobar:

Los números primos de Mersenne (matemático francés del siglo XVII);

Los números amigos de Ibn Qurra (matemático árabe del siglo IX).

Grupo J

1) En la imagen se representa, con el segmento , un espejo plano. La recta es una perpendicular (también llamada normal) al espejo, que se utiliza como elemento auxiliar (imaginario) para entender el fenómeno de la reflexión de la luz. El objeto situado en el punto emite un rayo de luz (rayo incidente) que se dirige hacia el espejo y luego retorna como rayo reflejado ( ).

a. ¿Cómo son entre sí los ángulos de incidencia y de reflexión ?

b. Exploren este enlace: https://ggbm.at/F2yrsw3g. ¿Qué ocurre al mover el punto ?

2) Construyan, usando GeoGebra, un modelo de espejo plano para un objeto , usando dos rectas normales. Pueden guiarse con los pasos siguientes:

a. Creen el segmento y el punto .

b. Sobre el segmento , generen dos puntos y las

rectas perpendiculares a que pasan por ellos.

c. Apliquen una simetría axial sobre el punto , a través de cada una de las rectas. Con esto, obtendrán los puntos

y (ver imagen).

Úsenlos para construir los rayos reflejados. d. Comprueben que, al mover el punto , todo el

sistema se modifica.

3) Esta imagen es idéntica a la anterior, salvo por un agregado.

a. Obsérvenla y expliquen cómo se obtuvo el punto .

b. ¿Qué relación guarda el punto con el punto ? Muevan el punto para comprobar esta relación.

4) Observen la imagen en este enlace: https://ggbm.at/R8sZqKkx. Luego:

a. Modifiquen los vértices del objeto. ¿Qué ocurre con la imagen?

b. Muevan el punto F. ¿Cambia la posición de la imagen? ¿Qué representa este punto?

5) Generen imágenes especulares de otros objetos (en lugar del triángulo del ejemplo anterior, prueben con otras construcciones).

6) Analicen este enlace: https://www.geogebra.org/m/jNZ4uqXK.

a. ¿Cuáles son los rayos incidentes? ¿De dónde salen y adónde se dirigen?

b. ¿Cuáles son los rayos reflejados? ¿De dónde salen y adónde se dirigen?

c. ¿Cuántas normales fue necesario utilizar? Señálenlas.

d. ¿Qué rayos forman la imagen especular? e. Muevan la figura de la chica. ¿Varía la distancia

entre las normales? ¿Qué conclusión práctica pueden extraer? Relacionar con la conferencia de Markus Hohenwarter (ver a partir del minuto 15:50 en https://goo.gl/YDeo4L).

Grupo K

1) A determinada hora del día, en un campo, se ve que una estaca y un árbol proyectan las sombras que se muestran. Según se ve, la estaca mide 1m de altura y proyecta una sombra de 1,5m. ¿Cuál será la longitud de la sombra del árbol que mide 2m?

2) Realicen la experiencia siguiente, para la cual necesitarán unas 20 monedas de igual valor:

a. Tracen, en una hoja de papel, un segmento OD con una longitud de 20cm.

b. Señalen en el segmento los puntos A, B y C situados a 5, 10 y 15cm del extremo O de dicho segmento.

c. En el otro extremo del segmento (D) apilen 12 monedas de igual valor y apoyen sobre esta pila una regla que tenga uno de sus extremos sobre el punto O del segmento.

d. ¿Cuántas monedas del mismo valor que las usadas se pueden apilar por debajo de la regla en el punto B que es el punto medio del segmento? ¿Y en el punto A?

e. Realicen las siguientes operaciones:

f. ¿Cuántas monedas pueden colocarse en el punto C?

3) Lean con atención la frase siguiente: si en un triángulo se traza una recta paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. Esta frase sintetiza el Teorema de Tales. Construyan, usando GeoGebra, un triángulo y tracen la recta pedida. Tomen las medidas de cada segmento y calculen:

Relacionen estos resultados con el Teorema de Tales y busquen otros pares de segmentos cuyas razones (es decir, sus divisiones) sean iguales.

4) Desarrollen la noción de semejanza de triángulos. Averigüen cómo son los ángulos de dos triángulos semejantes y cómo son los lados de dos triángulos semejantes. Incluyan gráficos realizados usando GeoGebra.

5) Investiguen la anécdota de Tales de Mileto con relación a las pirámides de Egipto y ejemplifiquen utilizando gráficos construidos usando GeoGebra.