Standar Kompetensi:Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar:1. Mengenal konsep integral tak tentu dan

integral tentu.2. Menghitung integral tak tentu, integral

tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

3. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar.

Standar Kompetensi Lulusan:1. Menghitung integral tak tentu dan integral

tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

2. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral

Integral merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul di-temukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagai-mana menyelesaikan masalah yang berkeba-likan dengan solusi diferensiasi

Integral terbagi dua yaitu integral taktentu dan integral tertentu. Perbedaanyang mendasar, integral tertentu memiliki batas-batas.

1. Integral tak tentu adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa varia-bel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.Jika F adalah anti turunan dari f, maka:

2. Integral tertentu adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi pada batas (selang) tertentu dan menghasilkan nilai pasti.Jika F adalah anti turunan dari f, maka:

.

f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas, F(b) / F(a) adalah nilai Fungsi hasil integral untuk x = a atau x = b.

Profil:

George Friedrich Bernhard Reimann(1826 – 1866),

Matematikawan asal Jerman yang menjelaskan Integral tertentu dengan

menggunakan luas daerah yang dihi-tungnya menggunakan polygon dalam dan polygon

luar. Untuk Mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan Integral

Reimann.

George Friedrich Bernhard Reimann http://www-groups. dcs.stand.ac.uk

1 . 11

1 ncuduu n

nn

RUMUS DASAR INTEGRAL TAKTENTU

Integral Aljabar

1. Jika n bilangan rasional dan n ≠1, maka:

dimana c adalah konstanta Contoh 1:

2. Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka:

Contoh 2:

3. Jika f dan g fungsi-fungsi yg terintegralkan, maka:

4. Jika f dan g fungsi-fungsi yg terintegralkan, maka:

Contoh 3:

Aturan Integral Subtitusi 5. Jika u suatu fungsi yang dapat didiferen-

sialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka:

,

di mana u’ merupakan turunan dari fungsi u, dan c adalah konstanta dan r ≠ 1.Aturan ini merupakan salah satu teknik dalam menyelesaikan masalah Integral.

Contoh 4:

dx =...

(dx bisa diganti d(3x2+1) asal dibagi dengan turunannya).

= d(3x2+1)

= d(3x2+1)

=

=

= + c

Aturan Integral Parsial6. Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat

didiferensialkan, maka:

Aturan ini juga merupakan salah satu teknik dalam menyelesaikan masalah Integral, biasanya digunakan untuk me-nyelesaikan masalah yang tidak bisa diselesaikan dengan teknik Subtitusi.

Contoh 5:

dx = … Masalah ini tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, karena (1–x) turunannya adalah –1 jadi tidak dapat menghilangkan 5x .

Dimisalkan 5x = u dan (1 – x)6 dx = dv, maka du = 5 dx dan , gunakan teknik subtitusi utk mencari v yaitu:

Bisa juga menggunakan table parsial untuk mempermudah langkah penyelesaian se-bagai berikut:soal dibagi dua bagian penyelesaian, bagian kiri diferensialkan hingga sama dengan nol dan bagian kanan di-

integralkan hingga sebelah kirinya sama dengan nol.

5x (1 – x)6 d x

(+) 5

(–) 0

Jadi:

Catatan: dikalikan, sedangkan tanda (+) atau (–) hasil integral yang akan di-jumlahkan. Untuk baris ke tiga ber-tanda (+) dan terus berulang dengan bergantian tanda.

Integral Trigonometri

1. Rumus – rumus dasar:

2. Rumus – rumus lainnya:

3. Jika k dan a suatu konstantan, maka:

Contoh 6:

►

Contoh 7:

►

4. Jika a dan b suatu konstanta, maka:

Contoh 8:

►

5. Soal-soal lainnya:

Contoh 9:►

Ada beberapa cara, misalnya dengan meng-ubah bentuk fungsi, baru diintegralkan:

:

Atau

subtitusi

Contoh 10:

►

Untuk masalah ini hanya bisa gunakan Integral parsial.

RUMUS DASAR INTEGRAL TERTENTU

Contoh 11:

atau

1. Teorema KelinearanJika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka:

i).

ii).

iii).

Contoh 12:

2. Teorema Perubahan batasJika f terintegralkan pada interval [a, b], maka:

i).

ii).

3. Teorema Penambahan IntervalJika f terintegralkan pada interval yang memuat tiga titik a, b, dan c,

4. Teorema Kesimetrisan

i) Jika f fungsi genap, maka

ii) Jika f fungsi ganjil, maka

Menuju Ujian Nasional:STANDAR KOMPETENSI LULUSAN:Menghitung integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

1. Diketahui Nilai

=….

Jawab:

Nilai a yang memenuhi = 2

Maka nilai = = 1

2. Nilai

Jawab:Berdasarkan contoh 9, maka

Atau

3. Hasil dari

Jawab:Kita dapat gunakan teknik Integral Subtitusi dengan mengubah dx menjadi d(3x2+1) dan membagi dengan 6x (turunan 3x2+1)

4. Nilai

Jawab:Ubah bentuk dengan rumus trigonometri

, maka

Coba soal yang lain....

Aplikasi Integral

I. LUAS DAERAH

Konsep dasar:Luas suatu daerah merupakan limit jumlah garis (persegi- panjang) dari satu batas ke batas berikutnya.

Luas suatu daerah dapat dihitung dengan cara menggeser/menggerakan garis (x atau y) terhadap sumbu hingga menutupi daerah yang dimaksud.

Jika garisnya sejajar sumbu-y maka

bergeraknya sepanjang sumbu-x : ,

dan jika garisnya sejajar sumbu-x maka

bergeraknya sepanjang sumbu-y:

RUMUS DASAR LUAS DAERAH

atau

Batas-batasnya ada pada sumbu-x

Batas-batasnya ada pada sumbu-y

g(y) y

x

d

c

Berikut beberapa model masalah Luas Daerah1. Luas daerah yang di batasi oleh kurva y

= f(x) 0 ; sb-x ; garis x = a ; garis x = b

Rumus:

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvax = f(y) 0 ; sb-y ; garis y = c ; garis y = d

Rumus:

3. Luas daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x) 0 ; sb-x ; garis x = a ; garis x = b

Rumus:

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvax = f(y) 0 ; sb-y ; garis y = c ; garis y = d

Rumus:

5. Jika y = f(x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari bebe-rapa integral tertentu

Rumus:

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x); y = f2(x) ; garis x = a ; garis x = b

Rumus:

7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = f1(x) ; y = f2(x) yang berpotongan pada titik yang berabsis a dan b

a

f(x)

y

b x

b

a

dxxf L )(

c

g(y)y

d

x

d

c

dyyg L )(

y = f(x)

x

y

a

bc

b

c

c

adx f(x) dx f(x) L

b

a

b

a

dxxfdxxf )( )(L

a

f(x)

y

bx

y

yy = f1(x)

y = f2(x)

a bx

b

a dxxfxf )}()({L 21

Rumus:

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = f1(x); dan garis y = f2(x) berpotong-an pada titik yang berabsis a

Rumus:

Beberapa TeknikMenghitung Luas Daerah

1. Luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dalam interval tertentu.Langkah-langkahnya:

a. Tentukan daerah yang diminta dengan menggambar daerahnya

b. Perhatikan daerah yang dimaksud untuk menentukan batas-batas integrasinya

c. Tentukan rumus luas yang akan digunakan

d. Hitung nilai integral sebagai hasil luas daerah.

Contoh 13:

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:, sb-x dan sb-y.

Jawab:Melukis kurva: ttk pot dgn sb-x, y = 0

→ → (2, 0) ttk pot dgn sb-y, x = 0 → (0, 4)

satuan luasataudengan rumus lain dengan mengubah bentuk fungsinya,

dan batasnya 0 s.d 4

satuan luas

2. Luas daerah yang dibatasi dua kurva.Langkah-langkahnya:

a. Tentukan daerah yang diminta dengan menggambar kedua kurva

b. Perhatikan daerah yang dimaksud untuk menentukan batas-batas dan dasar sumbu integrasinya ,

c. Tentukan rumus dasar yang akan dipakai :

atau

Jika kurva 1 berada di atas/kanan kurva 2

2

4 Jika memperhatikan daerah yang diminta, maka luas daerahnya bisa dihitung sebagai -berikut :

y = f2(x)

y = f1(x)

xba

y

y = f1(x)

y = f2(x)

a bx

a

021 )( )(L dxxfdxxf

b

a

2yx

yx 6

2

y

6

x0 6

2yx

yx 6

2

y

6

x0 64

atau

Jika kedua kurva bersebelahan/ berlanjut.

Contoh 10:Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y1 = x2 dan garis y2 = 2 - xJawab :a. Gambar daerahnya b. Tentukan titik potong kedua kurva y1 =

y2 → x2 = 2 – x → x2 + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1, maka batas daerahnya dari -2 s.d 1

c. Rumus luas yang dipakai

d. Menghitung luasnya :

= 4 ½ satuan luas

Contoh 11:Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab :a. Gambar daerahnya b. Tentukan titik potong kedua kurva

x1 = x2 → y2 = 6 – y ® y2 + y – 6 = 0 ® (y + 3)(y – 2) = 0 Diperoleh: y = - 3 dan y = 2

c. Rumus luas yang dipakai

d. Menghitung luasnya :

= satuan luasBisa juga diselesaikan dengan pendekat-an lain (dengan dasar sumbu x).

Jawab :a. Gambar daerahnya b. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 disubtitusi ke y1 → (6 – x)2 = x

® 36 – 12x +x2 – x = 0 ® (x – 4)(x – 9)=0 diperoleh: x = 4 dan x = 9

c. Rumus luas yang dipakai

dan

d. Menghitung luasnya :

0x

1 2-1-2-3

2

2xy

xy 2 y

1

3

4

a b

y = f(x)y

x

a b

y = f(x)y

x

= satuan luas Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi sebagaimana per-masalahan Aplikasi Integral yang baru kita pelajari.

II. VOLUME BENDA PUTAR

Konsep dasar:Volume benda putar merupakan volume bangun ruang yang terbentuk karena suatu daerah diputar mengelilingi salah satu sumbu .

Untuk menghitung volume benda putar kita lakukan dengan menggunakan luas daerah lingkaran yang bergerak memenuhi seluruh benda yang dimaksud.

Jika daerahnya diputar mengelilingi sumbu-x, maka lingkarannya berjari-jari Y dan bergerak mengikuti sumbu-x (dx) dan jika daerahnya diputar mengelilingi sumbu-y, maka lingkarannya berjari-jari X dan bergerak mengikuti sumbu-y (dy)Catatan: rumus luas lingkaran:

RUMUS DASAR VOLUME BENDA PUTAR

atau

Berikut beberapa model masalah Volume Benda Putar

1. Volume benda putar yang terbentuk oleh daerah yang dibatasi: y = f(x) ; garis x = a ; dan garis x = b

diputar mengelilingi sb-x, maka

RUMUS:

2. Volume benda putar yang terbentuk oleh daerah yang dibatasi: x = f(y) ; garis y = c ; dan garis y = d

Diputar mengelilingi sumbu-x

Diputar mengelilingi sumbu-y

c

d x = f(y)

x

y

c

d x = f(y)

x

y

y = f1 (x)y

y = f2 (x)

xa b

)(X 2 yf)(X 1 yfy

x0

a

b

diputar mengelilingi sb-y, maka

RUMUS:

3. Volume benda putar yang terbentuk oleh daerah yang dibatasi: Y = f1 (x); Y = f2 (x) ; garis x = a ; garis x = b

diputar mengelilingi sumbu-x , maka

RUMUS:

4. Volume benda putar yang terbentuk oleh

daerah yang dibatasi: dibatasi X = f1 (y) ; X = f2 (y) ; dan garis x = 0 Kedua kurva berpotongan di titik yang berordinat; y = a, dan daerah berada di kuadran 2

diputar mengelilingi sumbu-y, maka

RUMUS:

Beberapa teknikMenghitung Volume Benda Putar.

1. Pastikan gambar daerah yang akan diputar sudah sesuai dengan batas-batasnya.

2. Perhatikan sumbu yang menjadi pusat pemutaran. Jika diputar terhadap sumbu-x, maka batas-batasnya harus ada pada sumbu-x juga. Jika diputar terhadap sumbu-y, maka batas-batas-nya harus ada pada sumbu-y juga.

3. Untuk daerahnya terdiri dari dua kurva maka perhatikan posisi keduanya.

)(X 2 yf)(X 1 yfy

x0

a

b

y = f1 (x)y

y = f2 (x)

xa b

Berikut beberapa contoh:1. Tentukan volume benda putar yang

dibatasi oleh kurva y = x2 1 dan sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o ! Jawab:

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya:

sv2. Volume benda putar yang dibatasi oleh

kurva y = – x2 + 4 & y = – 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu-y !

Jawab:

Karena diputar terhadap sumbu-y, maka bentuk fungsi diubah

→ {f(y)} → {g(y)}

V =

=

=

=

= = sv

3. Tentukan volume benda putar yang diba-tasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 , diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o !

tentukantitik pot. Ke-2kurva: ↔ → ↔ ; (0,0) dan (3,9)

V =

=

=

=

=

12 xyy

x01

1 1

12 xyy

x

11 10

2

4 42 xy

42 xy

21 xy

22 6 xxy

3 6

Daerah yang

diputar

y

x01-3 2-1

12 xy3xy

Menuju Ujian Nasional:STANDAR KOMPETENSI LULUSAN:Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva: dan garis x + y = 6 adalah ... .

Jawab:

Dengan memperhatikan daerahnya, maka Rumus luas yang dipakai

= satuan luas

2. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas

Jawab:

=

L = satuan luas

3. Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva , dan diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

Jawab:

satuan volum

4. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva dan

, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum

Jawab:

0x

1

2

y

1

3

4

3

562 xxy

2

3x342 xxy

y

x0

1-3 2 6-1

2xy

6 xy

xy 21

xy 2

2

x0 4

Coba soal yang lain....