karakteristik fungsi hazard rate distribusi …digilib.unila.ac.id/22266/3/skripsi tanpa bab...
TRANSCRIPT
KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD RATE DISTRIBUSIGENERALIZED WEIBULL
(Skripsi)
Oleh
MUTIA ADILLAH
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2016
ABSTRACT
CHARACTERISTIC OF HAZARD RATE FUNCTION FORGENERALIZED WEIBULL DISTRIBUTION
By
Mutia Adillah
Survival Analysis is usually used in predicting the probability of survival,recurrence of disease, death and others event until a certain time period. Survivaltime is the data that measure time to a certain event. The distribution of survivaltimes is usually described or characterized by three functions: the probabilitydensity function, the survival function, and the hazard function. The hazardfunction is used to express the hazard rate. Hazard rate is measure of the failurerate at a particular time. The shape of hazard rate can be increasing, decreasing,bathub, upside-down bathub and constant. The hazard rate has a shape that isdifferent for the different distribution. Therefore, the purpose of the research is toknow the characteristic of hazard rate function for generalized weibulldistribution. The characteristic of hazard rate function can be analyzed by using
Glaser rules that defined by ( ) = − ( )( ) . The characteristic of hazard rate
function for Generalized Weibull distribution are increasing, decreasing andconstant.
Key Word : Generalized Weibull Distribution, Hazard Rate, Survival Analysis.
ABSTRAK
KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD RATE DISTRIBUSIGENERALIZED WEIBULL
Oleh
Mutia Adillah
Analisis survival atau analisis kelangsungan hidup biasanya digunakan dalammenduga probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan suatu penyakit, kematiandan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Waktukelangsungan hidup merupakan data yang mengukur waktu pada kejadiantertentu. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup biasanya digambarkan olehtiga fungsi yaitu : Fungsi kepadatan peluang, fungsi kelangsungan hidup (fungsisurvival), dan fungsi hazard. Fungsi hazard digunakan untuk menyatakan hazardrate. Hazard rate adalah ukuran laju kegagalan pada waktu tertentu. Hazard ratememiliki bentuk yang berbeda-beda, yaitu dapat berupa increasing, decreasing,bathub, upside-down bathub dan konstan. Hazard rate memiliki bentuk yangberbeda-beda untuk distribusi yang berbeda pula. Oleh karena itu, tujuan daripenelitian ini untuk mengetahui karakteristik hazard rate distribusi GeneralizedWeibull. Karakteristik Fungsi Hazard Rate dapat dianalisis dengan menggunakan
aturan Glaser yang didefinisikan dengan ( ) = − ( )( ) . Karakteristik fungsi
hazard rate distribusi Generalized Weibull adalah increasing (meningkat),decreasing (menurun) dan konstan.
Kata Kunci : Distribusi Generalized Weibull, Survival Analysis, Laju Kegagalan(Hazard Rate)
KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD RATE DISTRIBUSIGENERALIZED WEIBULL
OlehMUTIA ADILLAH
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai gelarSARJANA SAINS
PadaJurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di Bandar Lampung tepatnya pada tanggal 19 September 1994,
sebagai putri ke tiga dari pasangan Bapak Yurni Kesuma Youdha dan (Alm) Ibu
Hartini.
Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Al-kautsar pada
tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Al-kautsar pada tahun
2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 9 Bandar Lampung
pada tahun 2012.
Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika, melalui jalur SNMPTN Tulis.
Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung di Himpunan Mahasiswa
Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan sebagai Anggota Biro
Kesekretariatan periode 2013-2014.
Pada bulan Januari 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di
Desa Mekar Indah Jaya, Kecamatan Banjar Baru, Kabupaten Tulang Bawang.
Pada bulan Agustus 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan
Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung guna mengaplikasikan ilmu yang
telah didapatkan sewaktu kuliah.
KATA INSPIRASI
Jangan ragu dengan kekuatan Allah SWT. Karena banyak
fakta yang bisa kita jadikan bukti kebesarannya
Tidak ada masalah yang tidak bisa diselesaikan selama ada
kemauan untuk menyelesaikannya.
Kita akan sukes jika belajar dari kesalahan
PERSEMBAHAN
Kupersembahkan karya kecilku ini teruntuk :
Dua nama yang sangat berjasa yaitu Ayahku Yurni Kesuma Youdha dan Alm.
Mamahku Hartini serta kakak-kakak dan adikku yang selalu memberikan doa,
semangat, dorongan, nasihat, dukungan moril maupun materil, kasih sayang serta
pengorbanan yang tak tergantikan. Alhamdulillahirobil’alamin, atas izin-Nya lah
skripsi ini dapat terselesaikan. Semoga dapat berguna dan memberikan manfaat
yang tidak terputus.
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat rahmat dan karunia Nya penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD
RATE DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL”.
Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah terlibat sehingga dapat
terselesaikan dengan baik dan tepat waktu. Oleh karena itu penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Ir. Warsono, M.S., Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 1 yang telah
meluangkan waktu dan membimbing penulis selama menyusun skripsi.
2. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si, selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah
memberi banyak masukan dan arahan kepada penulis.
3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si, selaku Dosen Pembahas yang memberi
masukan dan evaluasi kepada penulis selama menyusun skripsi.
4. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc, yang telah membimbing dan memberikan
ilmu dan arahan kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini.
5. Bapak Drs. Suharsono S., M.S, M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing
akademik yang selalu memberikan pengarahan selama masa perkuliahan.
6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
7. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D, selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas lampung.
8. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.
9. Ayah, Mamah (Alm), Kakak-kakak dan Adikku tercinta yang selalu
memberikan motivasi, doa, kasih sayang dan dukungan moril maupun
materil kepada penulis.
10. M. Faisal Wijaya yang selalu memberikan semangat, doa dan
dukungannya kepada penulis.
11. Sahabat seperjuangan Merda Gustina yang selalu membantu saling
mendoakan dan memberikan dukungan kepada penulis.
12. Elva, Dwi, Agnes, Putri, Erni yang selalu memberikan semangat, bantuan
dan dukungan kepada penulis.
13. Gery, Yefta, Ica, Ernia, Lina dan teman-teman angkatan 2012 lainnya
yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi kepada penulis.
14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyusun skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga
kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata,
semoga skripsi ini dapat berguna bagi pembaca sebagai acuan di penelitian
selanjutnya.
Bandar Lampung, April 2016
Penulis
Mutia Adillah
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ....................................................................... iii
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 11.2. Tujuan Penelitian...................................................................... 31.3. Manfaat Penelitian.................................................................... 31.4. Batasan Masalah....................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Survival (Analisis Kelangsungan Hidup)................... 52.2 Fungsi Waktu Kelangsungan Hidup ........................................ 6
2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (pdf) .................................. 72.2.2 Fungsi Survival............................................................. 82.2.3 Fungsi Hazard .............................................................. 9
2.3 Distribusi Weibull .................................................................... 122.4 Distribusi Generalized Weibull................................................ 132.5 Analisis Bentuk Fungsi Hazard dengan Aturan Glaser ........... 14
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 163.2 Metode Penelitian..................................................................... 16
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Fungsi Distribusi Kumulatif Distribusi Generalized Weibull.... 184.1.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Weibull .......... . 194.1.2 Ragam Distribusi Generalized Weibull ....................... 20
4.2 Fungsi Ketahanan Hidup Distribusi Generalized Weibull ...... 224.3 Fungsi Hazard Distribusi Generalized Weibull ...................... 22
ii
4.4 Turunan Pertama dari Fungsi Kepadatan Peluang DistribusiGeneralized Weibull.................................................. .............. 23
4.5 Nilai ( ) ................................................................................. 244.6 Turunan Pertama ( ) ( ( )).................................................. 244.7 Karakteristik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized
Weibull.................................................. ................................... 254.8 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull . 28
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
4.1 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat = 0,3 = 1 = 0,5...................................................... 28
4.2 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat = 1 = 0,3 = 0,5...................................................... 29
4.3 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat = 0,5 = 3 = 0,3...................................................... 30
4.4 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat = 3 = 0,5 = 0,3...................................................... 31
4.5 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat berubah tetap dan tetap ( = 0.3) ...................... 32
4.6 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat tetap berubah dan tetap ( = 0,4) ...................... 33
4.7 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat tetap tetap dan berubah (0 < < 1).................. 34
4.8 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat , dan berubah (0 < < 1) .................................. 35
4.9 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat > 0, > 1, = 1 .......................................................... 36
4.10 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat = 0,5 = 1 = 3......................................................... 37
4.11 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat = 0,5 = 1 = 4......................................................... 38
4.12 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat , berubah dan tetap ( > 1) ................................. 39
4.13 Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibullpada saat = dan berubah ( > 1)....................................... 40
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Statistika merupakan alat analisis yang banyak digunakan dalam berbagai bidang
terapan. Salah satu analisis statistika yaitu analisis survival (survival analysis)
atau analisis kelangsungan hidup. Analisis ini biasanya digunakan dalam menduga
probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan suatu penyakit, kematian dan
peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.
Analisis kelangsungan hidup adalah suatu metode statistik yang dapat digunakan
untuk menjawab pertanyaan apakah dan kapan suatu kejadian menarik terjadi.
Pada analisis survival (survival analysis) terdapat dua fungsi utama, yaitu fungsi
kelangsungan hidup (survival) dan fungsi hazard. Fungsi kelangsungan hidup
menyatakan peluang suatu sistem atau individu tidak mengalami kegagalan lebih
dari waktu . Fungsi ini didefinisikan sebagai:( ) = P( > )= 1 − ( )Sedangkan fungsi hazard adalah laju kegagalan sesaat antara selang waktu yang
sempit dan + ∆ dengan asumsi obyek telah bertahan sampai waktu ke
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan hazard rate. Hazard rate adalah ukuran
laju kegagalan pada waktu tertentu. Hazard rate sangat bermanfaat dalam
2
menganalisis data kelangsungan hidup. Hazard rate merupakan perbandingan
dari fungsi kepadatan peluang ( ) terhadap fungsi kelangsungan hidup ( ( )).Hazard rate memiliki bentuk yang berbeda-beda, yaitu dapat berupa increasing,
decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan. Hazard rate memiliki
bentuk yang berbeda-beda untuk distribusi yang berbeda pula. Hal itu juga
berlaku pada distribusi Generalized Weibull. Selain itu, dalam memilih model
peluang terbaik dalam data kelangsungan hidup bukanlah sesuatu hal yang mudah
untuk dilakukan. Satu pendekatan untuk mengatasi masalah ini adalah dengan
menggunakan model-model umum (general models). Salah satu model umum
yang dapat digunakan adalah model distribusi Generalized Weibull karena
memiliki potensi yang akurat untuk mencocokkan data kelangsungan hidup.
Distribusi Generalized Weibull merupakan perluasan dari distribusi weibull.
Distribusi weibull sering digunakan dalam permodelan analisis kelangsungan
hidup. Distribusi ini diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama
Wallodi Weibull. Distribusi weibull memiliki dua parameter, yaitu β (Paramater
skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull) dan δ
(parameter bentuk). Sedangkan pada disrtribusi Generalized Weibull
menambahkan satu parameter lokasi, sehingga distribusi Generalized Weibull
memiliki tiga parameter yaitu parameter lokasi, parameter skala dan parameter
bentuk.
Oleh karena itu, pada penelitian ini penulis tertarik untuk meneliti bagaimana
karakteristik bentuk fungsi hazard rate pada distribusi Generalized Weibull.
3
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah :
1. Mengetahui fungsi kelangsungan hidup dan fungsi hazard distribusi
Generalized Weibull.
2. Mengetahui karakteristik hazard rate yang meliputi increasing,
decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan distribusi
Generalized Weibull.
3. Membuat grafik fungsi hazard distribusi Generalized Weibull
menggunakan software R.
1.3 Batasan Masalah
Agar tidak memperluas pembahasan maka penelitian ini dibatasi pada hal-hal
berikut:
1. Distibusi yang digunakan adalah distribusi Generalized Weibull dengan 3
parameter ( , , ).2. Mencari karakterisik dari hazard rate yang meliputi increasing,
decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan pada distribusi
Generalized Weibull berdasarkan aturan Glaser.
1.4 Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah hasil dari penelitian ini dapat
memberikan informasi yang lebih mendalam kepada peneliti lain mengenai fungsi
4
kelangsungan hidup, fungsi hazard dan juga karakteristiknya yang berhubungan
dengan distribusi Generalized Weibull .
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Survival (Analisis Kelangsungan Hidup)
Analisis survival atau lebih dikenal dengan analisis kelangsungan hidup (survival
analysis) merupakan analisis statistika khusus yang membantu menganalisis suatu
kasus yang tidak dapat diselesaikan dengan analisis statistika pada umumnya.
Analisis ini digunakan ketika kasus berkaitan dengan waktu dan lama waktu hingga
terjadi peristiwa tertentu dan kemungkinan adanya data tersensor merupakan
karakteristik khas yang membedakan dengan analisis lain. Misalnya peristiwa
timbulnya suatu penyakit, kambuhnya penyakit, kesembuhan dan kematian
(Kleinbaum dan Klein, 2012).
Analisis survival adalah suatu metode yang berhubungan dengan waktu, mulai dari
time origin atau start point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end
point. Di dalam analisis survival dibutuhkan beberapa waktu pengukuran, yaitu:
1) Waktu awal pencatatan (start point) yang didefinisikan dengan baik.
2) Waktu akhir pencatatan (end point) yang terdefinisi dengan baik untuk
mengetahui status tersensor maupun tidak tersensor suatu data.
6
3) Skala waktu pengukuran yang jelas. Skala diukur dalam hari, minggu atau
tahun
(Collet, 2003).
Aplikasi analisis survival biasanya digunakan sebagai alasan untuk menjelaskan,
mengukur, dan menganalisis kejadian dari suatu peristiwa untuk membuat prediksi
tentang tidak hanya bertahan hidup tetapi juga 'dari waktu - sampai ke –proses
kejadian '- lamanya waktu sampai perubahan status atau terjadinya suatu peristiwa –
seperti sejak hidup sampai mati, sejak single sampai menikah, atau sejak sehat sampai
sakit (Xian Liu, 2012).
2.2 Fungsi Waktu Kelangsungan Hidup
Waktu kelangsungan hidup merupakan data yang mengukur waktu pada kejadian
tertentu seperti kegagalan, kematian, respon, kekambuhan suatu penyakit,
perkembangan suatu penyakit dan lainnya. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup
biasanya digambarkan atau di karakteristikkan oleh tiga fungsi yaitu : Fungsi
kepadatan peluang, fungsi kelangsungan hidup (fungsi survival), dan fungsi hazard.
Ketiga fungsi ini equivalen, hal ini berarti jika satu dari ketiganya diberikan maka dua
lainnya bisa diperoleh. Misalkan T dinotasikan sebagai waktu kelangsungan hidup.
Distribusi dari T bisa digolongkan oleh ketiga fungsi equivalen tersebut (Lee dan
Wang, 2003).
7
2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (pdf)
Fungsi kepadatan peluang merupakan peluang suatu individu mengalami event, gagal
atau mati dalam interval waktu sampai ( + ∆ ) yang dinotasikan dengan ( ).Fungsi ini dirumuskan sebagai berikut:
( ) = lim∆ → P( < < + ∆ )∆ = lim∆ → ( + ∆ ) − ( )∆ (2.1)merupakan variabel random non negatif dalam interval [0,∞), ( )merupakan
fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari . Fungsi ini didefinisikan sebagai peluang
suatu individu mengalami event sampai dengan waktu yang dapat dituliskan sebagai
berikut: ( ) = P( ≤ )= ∫ ( ) (2.2)
Fungsi kepadatan peluang memiliki 2 sifat yaitu :
1. ( )adalah fungsi non negatif( ) ≥ 0, untuk semua ≥ 0( ) = 0, untuk semua < 02. Luas daerah antara kurva kepadatan dengan sumbu sama dengan 1 yaitu
( ) = 1(Lee dan Wang, 2003).
8
2.2.2 Fungsi Survival
Menurut Lee dan Wang (2003) fungsi kelangsungan hidup (fungsi survival)
didefinisikan sebagai peluang suatu individu yang bertahan hidup lebih dari waktu
yang dinotasikan dengan ( ), yakni sebagai berikut :( ) = (suatu individu bertahan lebih dari t)= ( > )= ∫ ( ) (2.3)
Dengan menggunakan definisi fungsi distribusi kumulatif ( ) = ( ≤ ), maka fungsi
survival dapat dituliskan sebagai berikut :( ) = ( > )= 1 − ( ≤ )= 1 − ( )( ( )) = (1 − ( ))( ) = − ( ( )) = − ( ) (2.4)
Secara teori fungsi survival dapat diplot sebagai kurva survival yang menggambarkan
peluang kelangsungan suatu individu pada waktu dalam interval 0 sampai ∞ .
Fungsi survival mempunyai karakteristik, yaitu sebagai berikut:
a. Fungsi survival merupakan fungsi monoton tak naik.
b. Pada saat , = 0, ( ) = (0) = 1Pada awal dimulainya penelitian, karena belum ada individu yang mengalami
event maka probabilitas survival pada saat = 0 adalah satu.
9
c. Pada saat , = ∞, ( ) ≈ 0Secara teori, apabila periode penelitian meningkat tanpa batas, maka diakhir
waktu tidak ada seorang individu yang akan bertahan hidup, sehingga kurva
survival akan bergerak menuju nol (Klein dan Kleinbaum, 2012).
2.2.3 Fungsi Hazard
Fungsi hazard atau fungsi kegagalan dikenal juga sebagai hazard rate yang
dinotasikan dengan ℎ( ).Menurut Lee dan Wang (2003), fungsi kegagalan dari waktu
tahan hidup T didefinisikan sebagai peluang suatu individu gagal di dalam interval
waktu yang sangat kecil, dengan diasumsikan bahwa individu memiliki hidup yang
lebih lama pada awal dari interval, atau sebagai limit dari peluang individu gagal
dalam interval yang sangat kecil, ke + ∆ . Fungsi kegagalannya secara
matematis dapat dinyatakan sebagai berikut:
ℎ( ) = lim∆ → P( < < + ∆ | ≥ )∆= lim∆ → P[( < < + ∆ ) ∩ ( ≥ )] /( ≥ )∆= lim∆ → P[( < < + ∆ ∩ ≥ )]∆ P( ≥ )= lim∆ → P( < < + ∆ )∆ (1 − ( ))= lim∆ → (t + ∆t) − F(t)∆ (1 − ( ))= 1(1 − ( )) lim∆ → F(t + ∆t) − F(t)∆
10
= ( )(1 − ( ))= ( )( ) (2.5)
Dimana ( ) adalah fungsi kepekatan (density function) dan ( ) adalah fungsi
kelangsungan hidup.
Fungsi hazard kumulatif didefinisikan sebagai :( ) = ∫ ℎ( ) (2.6)
Dari persamaan (2.5) di atas, telah diketahui bahwa( ) = − ( ), sehingga ℎ( ) dapat dinyatakan sebagai berikut :
ℎ( ) = ( )( )= − ( ) . 1( )= − ln ( ) (2.7)
Selanjutnya dengan mengintegralkan persamaan (2.8) dari 0 sampai t , maka
diperoleh :
ℎ( ) = − ln ( )− ℎ( ) = ln ( )
= ln ( ) |= ln ( ) − ln (0)
Karena (0) = 1 maka ln (0) = ln 1 = 0, sehingga persamaan diatas menjadi :
11
− ℎ( ) = ln ( )− ( ) = ln ( ) (2.8)
Dan diperoleh persamaan untuk fungsi kelangsungan hidup, yaitu :[− ( )] = [ln ( )]( ) = − [ ( )] (2.9)
Dari persamaan (2.6) dihubungkan dengan persamaan (2.9) akan diperoleh :( ) = ℎ( ) −∫ ℎ( ) ; ≥ 0 (2.10)
Menurut McDonald dan Richard (1978) untuk mengetahui karakteristik fungsi
hazardnya, ℎ( ) diturunkan terhadap t sehingga:ℎ( ) = ( ) ( ) − ( )(− ( ))ℎ( ) = ( ) ( ) + ( )ℎ( ) = ( )( ) + ( )( )
Setelah diperoleh turunan pertama dari ℎ( ), untuk mengetahui kapan ℎ( ) naik,
turun atau konstan maka langkah selanjutnya adalah membuat( ) = 0ℎ( ) = 0( )( ) + ( )( ) = 0( )( ) = − ( )( )
12
( )( ) = − ( )Dari persamaan di atas sekarang dapat diketahui bahwa sebuah distribusi akan
1. Memiliki laju hazard naik (increasing) jika( )( ) > − ( ),
2. Memiliki laju hazard turun (decreasing) jika( )( ) < − ( )
3. Memiliki laju hazard konstan jika( )( ) = − ′( ).
Syarat cukup sebuah fungsi kepekatan bukan merupakan suatu kondisi yang
diperlukan untuk menentukan karakteristik laju hazardnya.
Fungsi hazard juga dapat diplot sebagai kurva fungsi hazard terhadap seperti fungsi
survival. Akan tetapi, terdapat perbedaan antara kedua fungsi tersebut. Pada fungsi
hazard, kurva ℎ( ) tidak harus dimulai dari satu dan bergerak menuju nol, tetapi
kurva ℎ( ) dapat dimulai dari nilai berapapun dengan syarat ℎ( ) ≥ 0 dan dapat
bergerak ke atas maupun ke bawah terhadap waktu (Klein dan Kleinbaum, 2012).
2.3 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama
Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam permodelan analisis
kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan
peubah acak kontinu. Distribusi Weibull memiliki dua parameter, yaitu:
β : Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi Weibull.
δ : Parameter bentuk
13
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Weibull dengan dua parameter, maka
fungsi kepekatan peluang dari peubah acak Weibull adalah sebagai berikut:
( ) = ; ≥ 0, > 0, > 00 ; ;
(2.1)(2,k k(2.11)
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai:
( ) = 1-
Nilai harapan dari distribusi Weibull adalah:( ) = Г 1 +Ragam (variance) distribusi Weibull adalah:( ) = Г 1 + − Г 1 +
(Kundu dan Mangalick, 2004).
2.4 Distribusi Generalized Weibull
Distribusi Generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) merupakan
perluasan dari distribusi Weibull dengan menambahkan satu parameter lokasi,
sehingga distribusi Generalized Weibull memiliki tiga parameter yaitu parameter
lokasi, parameter skala dan parameter bentuk. Model distribusi Generalized Weibull
merupakan salah satu model umum yang dapat diterapkan dalam data hidup.
14
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Generalized Weibull dengan tiga
parameter, fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah
( ) = ; < < ∞, ≥ 0, > 0, > 0 (2.12)
dengan
: Peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu gagal (failure time)
: Parameter lokasi yang menunjukkan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi
waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang gagal maupun hilang
: Parameter skala yang menunjukkan besarnya keragaman data distribusi
kkkkkkWeibull
: Parameter bentuk yang menunjukkan laju kematian/kerusakan data distribusi
Generalized Weibull
(Jhonson dan Kotz, 1970).
2.5 Analisis Bentuk Fungsi Hazard Rate dengan Aturan Glaser
Untuk melihat bagaimana laju hazard yang dipengaruhi oleh kombinasi dari nilai-
nilai parameter maka Glaser (1980) membuat metode untuk menentukan bentuk laju
hazard dengan satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser
menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu fungsi
adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva dan
didefinisikan sebagai berikut :( ) = − ( )( ) (2.13)
15
Fungsi ini memiliki peranan penting dalam mengkaji karakteristik fungsi dan bentuk
laju hazard. Aturan Glaser (1980) sendiri adalah sebagai berikut :
a. Jika ′( ) > 0 untuk semua > 0, maka Increasing (I)
b. Jika ′( ) < 0 untuk semua > 0, maka Decreasing (D)
c. Misal terdapat > 0, sehingga ′( ) < 0 untuk semua є (0, ), ′( ) = 0,dan ′( ) > 0 untuk semua > ,
Jika lim → ( ) = 0, maka Increasing (I)
Jika lim → ( ) → ∞, maka Bathub (U)
d. Misal terdapat > 0, sehingga ( ) > 0 untuk semua є (0, ), ′( ) = 0,dan ( ) < 0 untuk semua > ,
Jika lim → ( ) = 0, maka Upside-down Bathub (∩)
Jika lim → ( ) → ∞, maka Decreasing (D)
(Glaser, 1980).
16
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara
sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan
informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun
langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Generalized Weibull.
2. Mencari fungsi ketahanan hidup dari distribusi Generalized Weibull.
3. Mencari fungsi hazard dari distribusi Generalized Weibull.
4. Mencari nilai turunan pertama dari fungsi kepekatan peluang pada distribusi
Generalized Weibull.
5. Mencari nilai ( ) = − ( )( ) dan nilai ′( ) (turunan pertamanya).
17
6. Mengkaji karakteristik fungsi hazard dengan menggunakan aturan Glaser
(1980) sebagi berikut:
a. Jika ′( ) > 0 untuk semua > 0, maka Increasing (I)
b. Jika ′( ) < 0 untuk semua > 0, maka Decreasing (D)
c. Misal terdapat > 0, sehingga ′( ) < 0 untuk semuaє (0, ), ′( ) = 0, ′( ) > 0 untuk semua > , dan
Jika lim → ( ) = 0, maka Increasing (I)
Jika lim → ( ) → ∞, maka Bathub (U)
d. Misalkan terdapat > 0, sehingga ( ) > 0 untuk semua є (0, ),( ) < 0 untuk semua > , dan
Jika lim → ( ) = 0, maka Upside-down Bathub (∩)
Jika lim → ( ) → ∞, maka Decreasing (D)
7. Membuat grafik fungsi hazard dari distribusi Generalized Weibull dengan
menggunakan software R.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka dapat ditarik
kesimpulan sebagai berikut :
1. Fungsi Kelangsungan hidup distribusi Generalized Weibull adalah
Sedangkan fungsi hazard distribusi Generalized Weibull adalah− .2. Karakteristik Hazard Rate distribusi Generalized Weibull yang telah
dianalisis berdasarkan aturan Glaser berbentuk Increasing apabila parameter
bentuk ( ) bernilai > 1, berbentuk Decreasing apabila parameter bentuk ( )bernilai 0 < < 1. Selain itu, karakteristik Hazard Rate distribusi
Generalized Weibull apabila parameter bentuk ( ) bernilai = 1 berbentuk
konstan.
3. Secara grafis, karakteristik Hazard Rate distribusi Generalized Weibull juga
berbentuk Increasing (meningkat), Decreasing (menurun) dan Konstan.
DAFTAR PUSTAKA
Collet, D. 2003. Modelling Survival Data in Medical Research - Second Edition.Chapman and Hall, London.
Glaser, R.E. 1980. Bathub Related Failure Rate Characterizations. Journal of theAmerican Statistical Association. Vol 75 (371).
Jhonshon, N.L. and Kotz, S. 1970. Continous Unvariate Distribution. JohnWiley, New York.
Kleinbaum, David. G. dan Klein, Mitchel. 2012. Survival Analysis A SelfLearning Text. Springer Verlag, New York.
Kundu, D. dan Manglick, A. 2004. Discriminating Between The Weibull andLog-normal Distribution. Journal of Applied Statistical Sciences. 20: 70-78.
Lee, E. T., dan Wang, J. W. 2003. Statistical Methods for Survival Data AnalysisThird Edition. John Wiley & Sons, Inc, New Jersey.
McDonald, J.B dan Richard, D.O. 1978. Hazard Rate and Generalized BetaDistribution. IEEE Transaction Realibility. R-36.
Xian Liu. 2012. Survival Analysis Models and Applications. John Wiley & Sons,Ltd, United Kingdom.