kef1.1 1.2
DESCRIPTION
MathsTRANSCRIPT
Συναρτήσεις
§ 1.1 – 1.2
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
www.ask si.blogspot.gre
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
www.ask si.blogspot.gre
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}
www.ask si.blogspot.gre
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους αριθμούς.
Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}β
α
www.ask si.blogspot.gre
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους αριθμούς.
Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR αποτελείται από όλους τους ρητούς και άρρητους αριθμούς και ως γνωστόν μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών.
β
α
www.ask si.blogspot.gre
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους αριθμούς.
Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR αποτελείται από όλους τους ρητούς και άρρητους αριθμούς και ως γνωστόν μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών.
Παρατήρηση :Τα σύνολα ΙΝ −{0}, Ζ−{0}, Q−{0}, IR −{0} τα συμβολίζουμε συντομότερα με ΙΝ * , Ζ*, Q*, IR* αντίστοιχα.
β
α
www.ask si.blogspot.gre
Ταυτότητες
(α+β)2=α2+2αβ+β2 (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3
(x+α)(x+β)=x2+(α+β)x+αβ (αβ)2=α22αβ+β2
(αβ)3=α33α2β+3αβ2β3 (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2αβ+2βγ+2γα
α2β2=(αβ)(α+β) α3+β3=(α+β)(α2αβ+β2)
(α+β+γ)3=α3+β3+γ3+3(α+β)(β+γ)(γ+α)
α3β3=(αβ)(α2+αβ+β2)
ανβν=(αβ)(αν1+αν2β+.....+αβν2+βν1) νN*
Ταυτότητα Euler : α3+β3+γ33αβγ= (α+β+γ)[(αβ)2+(βγ)2+(γα)2]
Αν α+β+γ=0 ή α=β=γ α3+β3+γ3=3αβγ
Επίσης χρήσιμες είναι οι ταυτότητες: α2+β2=(α+β)22αβ και α3+β3=(α+β)33αβ(α+β)
2
1
www.ask si.blogspot.gre
Ιδιότητες απόλυτης τιμής
|x| =
|xy|=|x||y| και , αν y0
|x|x και |x|x για κάθε x IR
|x|<θ θ<x<θ αν θ>0
|x|>θ x>θ ή x<θ αν θ>0
|xy||x|+|y| για κάθε x,y IR.
0x,x
0x,x
y
x
y
x
www.ask si.blogspot.gre
Η έννοια της συνάρτησης
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
ΟΡΙΣΜΟΣ
www.ask si.blogspot.gre
Η έννοια της συνάρτησης
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
ΟΡΙΣΜΟΣ
Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ η y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.
www.ask si.blogspot.gre
Η έννοια της συνάρτησης
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
ΟΡΙΣΜΟΣ
Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ η y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συμβολίζεται με Df.
www.ask si.blogspot.gre
Η έννοια της συνάρτησης
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
ΟΡΙΣΜΟΣ
Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ η y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συμβολίζεται με Df.
Το σύνολο που έχει ως στοιχεία τις τιμές της f για όλα τα xA, λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(A) δηλαδή:f(A)={y IR / υπάρχει xA ώστε y=f(x)}
www.ask si.blogspot.gre
Όταν σε μία συνάρτηση δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της, πρέπει να το προσδιορίσουμε, βρίσκοντας το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.
www.ask si.blogspot.gre
Όταν σε μία συνάρτηση δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της, πρέπει να το προσδιορίσουμε, βρίσκοντας το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.
Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης της οποίας μας δίνεται ο τύπος, σημειώνουμε ότι: οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το IR . Το ίδιο συμβαίνει και για τις συναρτήσεις ημx, συνx και αx
οι παρονομαστές, όπου κι αν αυτοί εμφανίζονται, πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός οι υπόριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός όπου παρουσιάζονται λογάριθμοι logf(x) ή lnf(x) πρέπει να ισχύει f(x)>0.
www.ask si.blogspot.gre
Γραφική παράσταση συνάρτησης
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x))για κάθε xA λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf.
ΟΡΙΣΜΟΣ
www.ask si.blogspot.gre
Γραφική παράσταση συνάρτησης
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x))για κάθε xA λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ο τύπος μιας συνάρτησης (δηλ. η εξίσωση y=f(x) )επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των σημείων της Cf.
www.ask si.blogspot.gre
Γραφική παράσταση συνάρτησης
Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x))για κάθε xA λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf.
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ο τύπος μιας συνάρτησης (δηλ. η εξίσωση y=f(x) )επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των σημείων της Cf.
H y = f(x) λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο.
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο.
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.
γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf.
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.
γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf. δ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f και g βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:
)x(gy
)x(fy
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο.
β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.
γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf. δ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f και g βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:
ε) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:
)x(gy
)x(fy
0y
)x(fy
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
στ) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:
0x
)x(fy
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
στ) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:
ζ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς f(x)g(x) (xDfDg). Επομένως:
αν f(x)g(x)>0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι ψηλότερα από τη Cg. αν f(x)g(x)<0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι χαμηλότερα από τη Cg.
0x
)x(fy
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
στ) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:
ζ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς f(x)g(x) (xDfDg). Επομένως:
αν f(x)g(x)>0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι ψηλότερα από τη Cg. αν f(x)g(x)<0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι χαμηλότερα από τη Cg.
η) Η γραφική παράσταση της |f| αποτελείται από τα τμήματα της Cf που είναι πάνω από τον άξονα xx΄ και από τα συμμετρικά σημεία ως προς τον xx΄ της Cf που βρίσκονται κάτω από αυτόν.
0x
)x(fy
Παρατηρήσεις
θ) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της f ως προς τον xx΄ .
www.ask si.blogspot.gre
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων
www.ask si.blogspot.gre
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων
www.ask si.blogspot.gre
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων
www.ask si.blogspot.gre
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων
www.ask si.blogspot.gre
Ιδιότητες λογαρίθμων
1) logx=y x=10y και lnx=y x=ey
2) log10=1 και lne=13) log1=0 και ln1=04) logx=logy x=y και lnx=lny x=y5) logx<logy x<y και lnx<lny x<y6) log(x1x2)=logx1+logx2 και ln(x1x2)=lnx1+lnx2
7) log =logx1−logx2 και ln =lnx1−lnx2
8) logxκ=κlogx και lnxκ=κlnx
Όλες οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν με την προϋπόθεση ότι οι λογάριθμοι έχουν νόημα.
2
1
x
x
www.ask si.blogspot.gre
Ίσες συναρτήσεις
Δυο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α για κάθε xA ισχύει f(x)=g(x)
ΟΡΙΣΜΟΣ
Παρατήρηση: Θεωρούμε δυο συναρτήσεις f, g και τα πεδία ορισμού τους Α, Β με Α≠Β. Αν υπάρχει ένα υποσύνολο Γ των Α, Β έτσι ώστε για κάθε xΓ να ισχύει f(x)=g(x), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες στο Γ.
www.ask si.blogspot.gre
Πράξεις με συναρτήσεις
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού Α, Β αντίστοιχα.
Ορίζουμε τις ακόλουθες πράξεις μεταξύ των συναρτήσεων:
Πρόσθεση: (f+g)(x)=f(x)+g(x) με Df+g=AB
Αφαίρεση: (fg)(x)=f(x)g(x) με Dfg=AB
Πολλαπλασιασμός: (fg)(x)=f(x)g(x) με Dfg=AB
Διαίρεση: 0 g(x) / B Ax Dμε)x(g
)x(f)x(
g
f
g
f
www.ask si.blogspot.gre
Σύνθεση συναρτήσεων
Αν f, g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Df και Dg αντί-στοιχα, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολί-ζουμε gοf τη συνάρτηση με τύπο (gof)(x)=g(f(x)).Το πεδίο ορισμού της gοf είναι Dgοf={xDf / f(x)Dg}
ΟΡΙΣΜΟΣ
www.ask si.blogspot.gre
Παρατηρήσεις
α) Γενικά ισχύει fοg gοf
β) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζονται οι συνθέσεις (fοg)οh και fο(gοh) τότε:
(fοg)οh=fο(gοh)
www.ask si.blogspot.gre