kontrol sistemleri-2
TRANSCRIPT
LAPLACE TRANSFORMS
Definition of the Laplace transform:
0
[ ( )] ( ) ( )stL f t f t e dt F s
0
0 0
a tU t
t
0
[ ( )] ( ) ( )stL u t u t e dt U s
00
( )st
st ae aU s ae dt
s s
( )( )
0 0 0
1[ ]
s a tat at st s a e
L e e e dt e dts s
Aşağıdaki rampa (ramp) fonksiyonu analitik yöntemle çözünüz
0
0 0
bt tf t
t
0 0
( ) ( ) st stF s f t e dt bte dt
0
0 0
1(1)
stst ste
b te dt bt b e dts s
200
0( ) ( )
ststb b e b b
e dts s s s s s
Properties of Laplace transforms: 1) Linearity : a sabit bir sayı veya s ve t den bağımsız ise
L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(s) 2) Süperpozisyon : her iki fonksiyonunda laplace dönüşümü
alınabiliyorsa
1 2 1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )L f t f t L f t L f t F s F s
3)Translation in time:
[ ( )] ( )asL f t a e F s 4)Complex Differention:
[ ( )] ( )d
L tf t F sds
5)Translation in the s domain:
[ ( ) ( )atL e f t F s a
6)Real differantiation:
2 2
[ ( )] ( ) (0 )
[ ( )] ( ) (0) (0)
L Df t sF s f
L D f t s F s sf Df
7)Final value Theorem:
0
( ) ( )lim lims s
sF s f t
Example:
3( )
( 2)Y s
s s
Solution:
0 0 0
3 3 3( ) ( ) ( )
( 2) 2 2lim lim lim lims s s s
y t sY s ss s s
8)Initial value Theorem:
0
( ) ( )lim lims s
sF s f t
Laplace Transforms of Most Common Functions of Time Continuous Function Laplace Transform
Impulse 1
Step s
1
t 2
1
s
2t 3
2
s
ate as
1
atte 2)(
1
as
Sin(wt) )( 22 ws
w
Cos(wt) )( 22 ws
s
Örnek: 2
3( )
( 2 5)f s
s s s
1 2 3
2 2
3
( 2 5) 2 5
K K s K
s s s s s s
1 2 32 2
3 ( )
( 2 5) 2 5
K K s Ks s s
s s s s s s
1
3
5K
22 3
3 63 ( ) ( ) 3
5 5K s K s
1 2 32 2
3
( 2 5) 2 5
K K s K
s s s s s s
2 2
1 1 1 2 33 2 5K s K s K K s K s
1
3
5K idi.
22 3
3 33 ( ) 3 (2 )
5 5K s x K s
22 3
3 63 ( ) 3 ( )
5 5K s K s
2
3
5K 3
6
5K
2 2
33 3 25( )
( 2 5) 5 2 5
sf s
s s s s s s
2 2
( )[ cos ]
( )at A s a
L Ae wts a w
2 2[ sin ]
( )at Bw
L Be wts a w
2 2
( )[ cos sin ]
( )at at A s a Bw
L Ae wt Be wts a w
2 2
23 ( 1)
35 2( )5 ( 1) 2
sF s
s s
3 3 1
( ) (cos2 sin 2 )5 5 2
tf t e t t
Örnek: 2
2( )
( 1)( 2)f s
s s
1 2 32 2
2( )
( 1)( 2) ( 1) ( 2) 2
K K Kf s
s s s s s
2 12 3
2( 2) ( 2)
1 1
Ks K s K
s s
1 21
2 22
( 1)( 2) ( 1 2)s
Ks s
1 2K
2s 2 2K
1 32 2
2 ( 2)
( 1) ( 1)
s sK K
s s
2 2 2 21 2 32 2
2( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2)
K K Ks x s s s
s s s s s
12 3
2( 2) ( 2)
( 1) 1
Ks K s K
s s
İşleminin türevi alındığında
s = -2’ye yaklaşır.
3 2K
1 2 32 2
2( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2)
K K Ks s s s
s s s s s
2s için ; 30 0 K
2 12 3
2( 2) ( 2)
1 ( 1)
Ks K s K
s s
3 12 2
(0)( 1) (1)(2) [0( 1) 1]0 (2 4)
( 1) ( 1)
s sK K s
s s
2 2
2
( 2) 2( 2)( 1) 1( 2)
( 1) ( 1)
s s s s
s s
=2 2
2
2( 2 2) ( 2)
( 1)
s s s s
s
=2 2
2
2 2 2 4 4
( 1)
s s s s s
s
2( 2)
( 1)
s
s
=
2
2
2
( 1)
s s
s
Bir Fonksiyonun Tekil Noktaları ve Kutupları
S düzleminde tekil noktalar, fonksiyonun yada türevinin bulunmadığı noktalardır.Kutup, tekil noktadır.
G(s) s civarında analitik ve tek değerlidir.
[( ) ( )]limi
ri
s s
s s G s
2
10( 2)( )
( 1)( 2)
sG s
s s s
fonksiyonunun sıfırları s=-2 de bir sonlu ve
sonsuzda 3 sıfırı vardır. s=-3 de katlı, s=0 da ve s=-1 de katsız kutbu vardır.G(s) fonksiyonu bu noktalar dışında analitiktir denir.
3
10( ) 0lim lim
s s
G ss
Adi Doğrusal Diferansiyel Denklemler: Seri RLC devresini ele alalım;
( ) 1( ) ( ) ( )
di tRi t L id t e t
dt C ……….()
İkinci mertebeden bir diferansiyel denklem:
11
11
( ) ( ) ( )... ( ) ( )
n n
n nn n
d y t a d y t dy ta a y t f t
dt dt dt
………( )
Katsayılar y(t)’nin bir fonksiyonu olmadığı sürece doğrusal adi diferansiyel denklemdir.
()’da 1( ) ( )x t i t dt
ve 12
( )( ) ( )
dx tx t i t
dt
21 2
( ) 1 1( ) ( ) ( )
dx t Rx t x t e t
dt LC L L
1. mertebeden durum değişkenleri;
1
2
( ) ( )
( )( )
x t y t
dy tx t y
dt
( ) . . .
1
1
1
( )( )
nn
n n
d y tx t y
dt
1 2
2 3
x x
x x
. . .
1n nx x
1 1....n n nx a x a x u
Dinamik Sistemlerin Matematiksel Modeli
Lineer Sistemler: Bir sisteme süperpozisyon teoremi uygulanıyorsa sistem lineerdir.
1 1( ) ( )x t y t
İse 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t y t y t
2 2( ) ( )x t y t
Lineer zamanla değişmeyen ve lineer zamanla değişen sistemler: Bir diferansiyel denklemin katsayıları sabit ise veya fonksiyonları bağımsız değişkenlerden oluşuyorsa lineerdir.( Zamanla değişen sistemlere örnek:Uzay aracı kontrol sistemidir.Yakıt tüketiminden dolayı uzay aracının kütlesi değişir.) Doğrusal olmayan sistemler:Bir sisteme süperpozisyon teoremi uygulanamıyorsa sistem nonlineerdir.
22
2sin
d x dxx A wt
dt dt
2
2
2( 1) 0
d x dxx x
dt dt
2
3
20
d x dxx x
dt dt
Dinamik Sistemlerin Durum Uzayı Gösterimi
1( )x t ve 2 ( )x t durum değişkenleri olsun;
u(t); Giriş, 11 12 21 22 11 21, , , , ,a a a a b b ise sabit katsayılar:
111 1 12 2 11
( )( ) ( ) ( )
dx ta x t a x t b u t
dt
221 1 22 2 21
( )( ) ( ) ( )
dx ta x t a x t b u t
dt
1
2
( )( )
( )
x tx t
x t
Durum denklemleri;
( )( ) ( ) ( )
dx tx t Ax t Bu t
dt
ile ifade edilir.
1
2
n
x
x
x
x
,
A =
1 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n n n n xa a a a
B =
0
0
0
1
çıkış ( y= Cx) Y =
1
2
1 0 0
n
x
x
x
x
Filename: kon_sis_tem_2.doc Directory: C:\Documents and
Settings\Administrator\Desktop\FUNDAMENTALS OF CONTROL SYSTEMS\kontrol_temelleri
Template: C:\Documents and Settings\Administrator\Application Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm
Title: LAPLACE TRANSFORMS Subject: Author: hp Keywords: Comments: Creation Date: 09.10.2009 11:01:00 Change Number: 39 Last Saved On: 08.07.2010 15:34:00 Last Saved By: PERFECT Total Editing Time: 541 Minutes Last Printed On: 08.07.2010 15:40:00 As of Last Complete Printing Number of Pages: 26 Number of Words: 752 (approx.) Number of Characters: 4.293 (approx.)