laboratorio de finitos 1
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“AÑO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONBLE Y COMPROMISO CLIMATICO”
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD INGENIERIA MECÁNICA
1era Práctica Calificada
CURSO: CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS
PROFESOR: CUEVA PACHECO Ronald
ALUMNO: RAMOS CUIPA JORGE LUIS
CÓDIGO: 20127023H SECCIÓN: “D”
LIMA - PERU
Septiembre – 2014
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 2
Índice
Enunciado del Problema............................................................................. 3
Solución...................................................................................................... 4
Grados de Libertad Nodales....................................................................... 5
Vector Carga............................................................................................... 6
Matriz de Rigidez........................................................................................ 7
Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8
Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9
Diagrama de Flujo....................................................................................... 10
Uso de Matlab............................................................................................. 11
Conclusiones……………………………………………………………………. 14
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 3
PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
(TRACCION SIMPLE)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es
constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el
apoyo. Utilizar tres elementos finitos.
Considerar:
PA = 30 KN
t (espesor) = 150 mm
E = 5.0x105 N/mm2
Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
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SOLUCIÓN:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos
tendrán longitud de 1000, 500 y 500mm.
Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:
mmb
mmb
mmb
1502
300
4502
300600
9002
6001200
3
2
1
Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 5
Y las áreas se calculan de la siguiente relación:
txbA 11
Cuadro de conectividad:
e
NODOS GDL le
(mm)
Ae
(mm2) (1) (2) 1 2
1 1 2 1 2 1000
135000
2 2 3 2 3 500 67500
3 3 4 3 4 500 22500
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)
A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 6
Luego el vector de desplazamiento será:
mm
Q
Q
4
3
2
0
Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas
que tendrán que ser calculadas.
3. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
N
AxlyF
NAxly
F
NAxly
F
NPAxly
F
NRRAxly
F
A
28125.4412
84375.13232
84375.13232
375.352952
375.52952
33
3
22
3
22
2
11
2
1111
1
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 7
N
AxlyF 28125.441
2
33
4
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
NFF
NFFF
NFFF
NRFF
28125.441
875.1765
918.3661
375.5295
3
44
3
3
2
33
2
2
1
22
1
1
11
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera
N
R
F
F
F
F
F
28125.441
875.1765
918.3661
1375.5295
4
3
2
1
1
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada
por la siguiente ecuación:
0000
0000
0011
0011
1l
AEK
i
0000
0110
0110
0000
2l
AE
1100
1100
0000
0000
3l
AE
Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad
obtenemos:
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 8
0000
0000
0011
0011
1000
105135000
1
5xxK
i
0000
0110
0110
0000
500
10567500
2
5xx
1100
1100
0000
0000
500
10522500
3
5xx
Finalmente:
mm
NxK
i
22522500
2259006750
06751350675
00675675
105
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
QKF
ii
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
28125.441
875.1765
918.3661
1375.5295 R
4
3
25
0
22522500
2259006750
06751350675
00675675
10
Q
Q
Qx
Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:
28125.441
875.1765
918.3661
4
3
2
5
2252250
225900675
06751350
10
Q
Q
Q
x
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 9
mmxQ
mmxQ
mmxQ
5
4
5
3
5
2
1075.62
1079.60
1052.57
Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:
4
3
25
0
00675675101375.5295
Q
Q
QxR
Resolviendo obtenemos:
NR 375.441211
6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:
111
i
i
e
e
Q
Q
l
E
Y obtenemos lo siguiente:
21
5
1
5
1 2876.01052.57
011
600
105
mm
Nx
x
22
5
2
5
2 0327.01079.60
52.5711
400
105
mm
Nx
x
23
5
3
5
31 0196.01075.62
79.6011
200
105
mm
Nx
x
7. RESULTADOS
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
NR 375.441211
21 2876.0mm
N
22 0.0327mm
N
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 10
23 1960.0mm
N
8. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
INGRESO DE DATOS
CONSTANTES : E, f, t
VECTORES : L, A, P
CALCULO DE VECTORES
F=
2
22
22
2
3
23
12
1
1
AL
ALAL
PALAL
RAL
A ; K=
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
00
0
0
00
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL
2
22
22
2
3
23
12
1
AL
ALAL
PALAL
AL
A =
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
00
0
00
001
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EAL
EA
4
3
2
1
Q
Q
Q
R
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
Página 11
IMPRESIÓN DE RESULTADOS
3214321 ,,,,,, EEEQQQR
FIN
9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
SCRIPT
clc clear all R1=sym('R1'); %datos de entrada b0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):') bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):') t=150 %input('Ingrese espesor(mm):') h=1200 %input('Ingrese altura(mm):') n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:') E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):') y=0.00007845 %input('Ingrese densidad(N/mm3):') Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):')
%calculo de bases y áreas de elementos le=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1);
Fe=zeros(n+1,1);
bo(1)=b0; ho(1)=h; for i=1:n if n>i le(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):'); b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2; a(i)=b(i)*t; ho(i+1)=ho(i)-le(i); bo(i+1)=2*b(i)-bo(i); else le(i)=ho(i); b(i)=(bn+bo(i))/2; a(i)=b(i)*t; end
end disp('Bases(mm):') disp(b') disp('Longitudes(mm):') disp(le')
disp('Areas(mm^2):') disp(a')
%calculo de las fuerzas for i=1:n Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2; end
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
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for i=1:n+1 if i==1 F(i)=Fe(i); elseif i==n+1 F(i)=Fe(i-1); else F(i)=Fe(i-1)+Fe(i); end end F(2)=F(2)+Pa; disp('El vector de fuerzas(N):') disp(F')
%calculo de la matriz rigidez k=zeros(n+1); for i=1:n x=zeros(n+1); x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1; k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x; end disp('La matriz de rigidez es(N/mm):') disp(k)
%calculo de desplazamientos inv(k(2:n+1,2:n+1)); ((F(2:n+1))'); Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))'); Q=[0;Q]; disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):') disp(Q)
%calculo de la reaccion k(1,:)*Q; R1=k(1,:)*Q-F(1); disp('La reaccion en el extremo es:') disp(R1)
%calculo de esfuerzos for i=1:n e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];
end disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):') disp(e');
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple
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CONCLUSIONES
Podemos apreciar, al utilizar más nodos, que las respuestas no varían enormemente,
solo aumentan la precisión con la cual se presentan.
Se recomienda utilizar un número moderado de nodos, ya que las operaciones con
matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el número
de nodos.
Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de
micras), además todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como
referencia.
En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos
específicamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones
y esfuerzos; es por ello que se utilizó en el desarrollo milímetros en vez de metros.
Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro
sistema de referencia.