Lattice, Quasi­continuum &     Phase Transitions 

Slava Sorkin

  Department of Aerospace Engineering and Mechanics, University of Minnesota

Acknowledgements

 

● Ellad B. Tadmor,  University of Minnesota,  Aerospace Engineering and Mechanics

● Ryan Elliot,  University of Minnesota,  Aerospace Engineering and Mechanics

● Emil Polturak, Physics Department, Technion

● Joan Adler, Physics Department, Technion

● Noam Bernstein, Center for Computational Materials Science and Technology                Division Naval Research 

Laboratory Washington

● Gábor Csányi, University of Cambridge, Engineering Laboratory

● Mitchell Luskin, University of Minnesota, School of Mathematics

● David Ceperley, National Center for Supercomputing Applications at Illinois

● Matteo Cococcioni, University of Minnesota, Chemical Engineering and Materials Science

● David Landau, UGA Physics and Astronomy School

Part I:  Multi­scale modelling of materials● The object of multi­scale modelling is 

to predict behaviour of materials using theoretical and computational techniques that link across spatial and temporal scales.

● This approach can be considered as an alternative to the empirical methods of today. It offers great opportunities for tomorrow technological advances. 

The series of  images shows details of the crack tip 

at the different scales. The atomic­scale 

mechanism leads to fracture can be seen. This  

picture compliments of the Naval Research Lab 

Washington, DC 

Quasicontinuum (QC) method 

● The QC method is one of the best possible strategies devised to couple concurrently micro and macro scales. 

● This techniques is a mixed continuum and atomistic approach for simulating the mechanical response of crystalline materials. With QC one can reproduce the results of full atomistic calculation at a fraction of computational cost.

 A crack tip approaching a grain boundary 

in a nickel bi­crystal. For frames are shown at increasing level of external load. The snapshots show 

dislocation emission from the grain boundary, followed by crack extension, and, finally, grain 

boundary migration toward the crack tip. Taken from www.qcmethod.com 

Quasicontinuum  method ● The main idea of the QC approach is a 

selective representation of atomic degrees of 

freedom. A small relevant subset of all atoms 

is chosen to represent, by proper waiting, the 

total energy of the system as whole.

● The density of 'representative' atoms is 

significant in highly deformed regions 

(dislocation core, crack tip, free surfaces, 

grain boundaries),  and significantly reduced  

in less deformed regions further away. The 

fully atomistic regions can evolve with the 

deformation, during the simulation. Selection of representative atoms from 

all the atoms  near a dislocation core.

Taken from: ”The QC method: overview, application and current directions”,

by R. Miller and  E. B. Tadmor,  JCAMD, 9, 203

Quasicontinuum  method ● The energies of the 'representative' atoms are calculated 

based on their environment: either by using  atomistic methodology, or as befitting to a continuum model.  The total energy is calculated without any assumptions beyond the form of inter­atomic  potentials.

● With a knowledge of the total energy one can study mechanical response of crystalline material to external load. This can be done by minimizing the total energy with respect to the displacements of the 'representative' atoms.

● Currently, one of the most important direction for our research is to extend the QC method from simple to complex lattices.

 

Complex lattices 

 Adapted from 

http://www.molecularexpression.com

● The extension of the QC method to complex lattices permits the study of many technologically important materials such as semiconductors, ferroelectrics, and shape­memory materials.

● Unit cell of complex lattices contains more than one basis atom per Bravais lattice site. In general, complex lattice can be described as a set of inter­penetrating sub­lattices with the same lattice vectors, but different origin positions.

Complex Lattices 

● When a uniform macroscopic deformation is applied, all the sub­lattices undergo the same uniform deformation, but in addition they can slide relative each other. Therefore, to describe complex lattices we increase the number of degrees of freedom to include sub­lattice displacements into account. 

● The equilibrium configuration is now obtained by minimizing the total energy with respect to the node and sub­lattice displacements concurrently.

 

Complex Lattices ● To run a QC simulation one has to specify the lattice 

description by choosing a unit cell. Although this 

unit cell can be selected in many possible ways,  the 

smallest (essential) unit cell is the typical choice. 

● This choice can sometimes be too restrictive: some 

configurations cannot be described by deforming 

this essential unit cell.

● To overcome the restriction we decided to replace 

the essential unit cell by a non­essential one 'on­fly', 

 if necessary.

● During the simulation the phonon spectrum is 

calculated, and if at least one negative frequency is 

detected we select a new unit cell.  

 

essential unit cell

non­essential unit cells

Uni­axial Stress● To test the new approach we applied uniaxial stress 

to the NiTi crystal with a cubic lattice structure. An 

essential unit cell containing two basis atoms was 

initially chosen.

● The external load was gradually incremented until the 

first phonon instability was detected. At this point the 

two basis atom unit cell was replaced by a four basis 

atom unit cell. The subsequent minimization led to a 

drastic increase in the nominal strain; new stable    α­

IrV phase was identified. The old approach failed to 

reproduce the proper transition.

● This simple test illustrates necessity of flexible 

description of the underlying lattice for correct 

modelling of solid­to­solid transformations.

 

Application ● Using the extended QC method we study 

properties of NiTi shape­memory alloy. The shape memory alloy 'remembers' its shape: it can be returned to that shape after being deformed, by applying heat to the alloy.

● The shape­memory effect is due to  temperature­dependent phase transformation from a low­symmetry martensite to a high­symmetry austenite.

● In order to validate the capability of the QC method to reproduce the shape memory effect we decided to simulate the shape memory cycle:  cooling – deformation ­ heating.

 http://everythang.wordpress.com 

Shape memory cycle ● Elliot's temperature dependent potentials were used to 

model the prototypical NiTi alloy. A two basis atom unit cell 

was used to describe the initial austenite structure of the 

alloy. 

● At the first stage temperature of the sample was gradually 

reduced. At each step  the energy minimization was 

accompanied by phonon stability analysis. 

● When the temperature reached the critical value T/Tref = 

0.667, the phonon instability was  detected, and the unit cell 

was extended to include four basis atoms. The subsequent 

minimization led to the transformation from the austenite 

phase to the martensite phase. This martensite phase 

contained both left (blue color) and right (red color) oriented 

variants.  

 (a) Austenite structure of the

sample at T/Tref = 0.8 (b) Sample is 

cooled  down to T/Tref  = 0.667 

Shape memory cycle ● Next, we sheared the sample by displacing  the top row nodes 

to the right. The sample temperature was kept constant:   

T/Tref = 0.65 at this stage. 

● As the shear progressed all left­oriented  martensite elements 

reversed their orientation. The process started at the bottom 

and propagated upward. The simulation was terminated when 

all elements are right­oriented.

● Finally, we heated up the sample to T/Tref = 1.1;  at this 

temperature a reverse martensite­to­austenite transformation 

occurred and the original shape of the sample was recovered.

● In conclusion, we demonstrated the capability of  the extended 

QC method to simulate shape­memory cycle. (c) The sample is deformed 

 at T/Tref = 0.65 (d) The sample is 

heated up to T/Tref  = 1.1 and then 

cooled down  to T/Tref  = 0.8

Part II:  Mechanical Melting● Melting is a fundamental process, but  

despite its common occurrence, understanding this process is still a challenge.

● Over the years, several theories explaining the mechanism of melting have been proposed. This research has evolved to a state where two possible scenarios exist: the first scenario of mechanical melting resulting from lattice instability, and the second scenario of thermodynamic melting which begins at a free surface or at an internal interface (grain boundary, void).

Mechanical Melting● Mechanical melting occurs when the crystal loses its ability to resist 

shear. This rigidity catastrophe is caused by  vanishing one of the elastic 

shear moduli. At this point the crystal expands up to a critical specific 

volume, which is close to that of the melt. This condition determines the 

mechanical melting temperature Ts of a bulk crystal as it was confirmed in 

extensive studies of FCC metals.

● The critical volume at which FCC metals melt is independent of the path 

through phase space by which it is reached: whether one heats the 

perfect crystal or adds point defects to expand the solid at a constant 

temperature.

● Our aim was to verify whether this scenario of mechanical melting 

developed for FCC crystals is also applicable to crystals with BCC lattice 

structure.

Method and Model● Mechanical melting transition of vanadium was 

modeled using molecular dynamics (MD) 

simulations. 

● Since we are interested in the generic features 

of metallic solids with a BCC structure, the 

choice of vanadium has no special significance.

● The many­body interaction potential developed 

by Finnis and Sinclair (FS) was chosen to 

simulate vanadium:

http://www.neyco.fr/images/vanadium.jpg

Geometry and Boundary Conditions ● The samples used for the simulations 

contained 2000 atoms, initially arranged as a perfect BCC crystal.

● We introduced point defects to the samples either by insertion of extra atoms (self – interstitials) or by removal of atoms from the lattice (vacancies).

● Since solids can undergo mechanical melting only if they have no free surfaces, periodic boundary conditions were applied in all three directions.

Melting Transition● We carried out our simulations using 

samples with various concentrations of point defects.

● The initial temperature was chosen far below the expected melting point. The samples were gradually heated, and at some point we observed an abrupt decrease of the order parameter, together with a simultaneous increase of the specific volume and the total energy.

● This event determined the mechanical melting temperature, Ts = 2500 K.

Results● We found that once point defects are 

introduced, the melting temperature 

becomes a function of their concentration, 

which has been confirmed experimentally.

● Using the dependency of shear modulus C' 

= (C11 – C12)/2 on specific volume we 

extracted the value of the critical volume  at 

which the system melts. 

● Our results show that the Born model  of 

melting applies equally to BCC and FCC 

metals in  both the nominally perfect state 

and in the case where point defects are 

present.

Part III:  Thermodynamic melting

Thermodynamic melting● The mechanical melting transition cannot be observed in the 

laboratory since it is preempted by the thermodynamic melting transition. Long before the melting temperature is reached a thin quasiliquid layer appears at the free surface. Numerous experiments and computer simulations confirm that FCC metals start to melt from the surface.

● Our primary motivation was to answer the question whether premelting phenomena, extensively studied for FCC metals, are also present in BCC metals. In addition, our goal was to calculate the thermodynamic melting temperature, since          the temperature Ts = 2500 K at which mechanical melting occurs  is far above the experimental value Tm = 2183K.

Simulation details

● We modelled the thermodynamic melting 

transition of vanadium with a free surface 

using MD simulations in canonical 

ensemble. The same FS many­body 

potential was applied for vanadium.

● A crystal with a surface was modelled as a 

thick slab with the fixed bottom layers to 

mimic the presence of the infinite bulk. On 

top of those layers there were 24 layers in 

which atoms are free to move. Periodic 

boundary conditions were imposed along 

the in­plane  (x and y) directions.

Simulation Details ● Three different samples with various low­index 

surfaces were constructed:   V(001), V(011) and 

V(111). All the samples contained about 3000 

atoms initially arranged a perfect BCC crystal.

● Each simulations started from a low­

temperature solid, and then the temperature was 

gradually raised up to a specific value. At this 

temperature the samples were equilibrated.

● The structural, transport, and energetic 

properties were measured in the thermal 

equilibrium at various temperatures up to the 

melting point.

Results● We found that the surface region of the 

least­packed V(111) surface began to disorder first via generation of defect pairs and the formation of an additional layer at temperature above T = 1000 K.  At higher temperatures, the surface region became quasiliquid.

● This process began above T = 1600 K for the V(001) surface.

● For the closest­packed V(011), this effects was observed only in the close proximity to the melting temperature.

Results

● We determined the thermodynamic melting temperature of vanadium as  Tm = 2220 K, in a good agreement with experimental value Tm = 2183 K.

● The results of our simulations of surface premelting of the BCC metal, vanadium, are similar to the results obtained for various FCC metals, in the sense that the onset of disorder is seen first at the surface with the lowest density.

The End

● For help on the Israel Inter­University Computation Center  supercomputers thanks to Dr. Moshe Goldberg, Dr. Anne Weill, Gabi Koren and Jonathan Tal

● For help on the Minnesota Supercomputing Institute  machines thanks to Dr. Haoyu Yu, Dr. Shuxia Zhang and Dr. Benjamin Lynch.