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LENSE THIRRING AND GEODETIC EFFECTS

M. Cattani Instituto de Fisica, Universidade de S. Paulo, C.P. 66318, CEP 05315970

S. Paulo, S.P. Brazil . Email: mcattani@if.usp.br

Abstract. Using the Einstein gravitation theory (EGT), we analyze the Lense

Thirring (LT) and the Geodetic effects. In the LT effect the angular orbital momentum L and the perigeo of a particle, orbiting a sphere with mass M and spin J = I around an axis passing by its center of mass, precess around J. In the Geodetic effect the spin S of a gyroscope orbiting M precess around its orbital angular momentum L and the spin of J of M. The theoretical predictions are compared with the experimental results. This article was written to graduate and postgraduate students of Physics. Key words: Einstein gravitation theory ; LenseThirring and geodetic effects.

Resumo. Usando a teoria de gravitao de Einstein (TGE) estudamos os

efeitos Lense Thirring (LT) e Geodtico. No efeito LT o momento angular L e o perigeo de uma partcula, orbitando uma esfera com massa M e spin J = I em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa, precessionam em torno de J. No efeito Geodtico o spin S de um giroscpio orbitando M precessiona em torno de seu prprio momento angular orbital L e do spin J de M. As previses tericas so comparadas com resultados experimentais. Esse artigo foi escrito para alunos de graduao e psgraduao de Fsica.

I) Introduo Num artigo precedente1a usando a TGE calculamos a mtrica

do espaotempo denominada de mtrica de Schwarzschild (MS) que gerada no vcuo ao redor de uma distribuio esfericamente simtrica de massa M, sem carga e no em rotao. A massa M est em repouso na origem O de um referencial inercial. A MS em coordenadas polares (r,,) definida atravs do invariante ds2 dado por

ds2 = (1 2GM/c2r) c2dt2 dr2 /(1 2GM/c2r) r2d2 r2sin2 d2 (I.1),

que no limite de campos fracos dado, em coordenadas cartesianas (X,Y,Z), por

ds2 (1 2GM/c2r) c2dt2 (1 + 2GM/c2r)(dX2 + dY2 +dZ2) (I.2),

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onde r = (X2+Y2+Z2)1/2. Usando a MS testamos1a1c previses feitas pela TGE analisando vrios fenmenos 25 tais como dilao temporal, deflexo e efeito Doppler da luz, precesso do perilio de planetas, desvios da teoria Newtoniana nos movimentos planetrios, atraso temporal de ecos de sinais de radar passando ao redor do Sol, lentes gravitacionais e emisso de ondas gravitacionais pelo binrio constitudo pelo pulsar PSR 1913+ 16.

Veremos agora o Efeito LenseThirring (LT)6 e o Efeito Geodtico (EG) ou de de Sitter2,3 . No efeito LT o momento angular orbital L e do perigeo de uma partcula orbitando uma esfera com massa M, que gira com velocidade angular em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa O, precessionam em torno do momento angular do (spin) J = I de M. No Efeito Geodtico (EG) ou de de Sitter2,3o spin S de um giroscpio orbitando M precessiona em torno de seu prprio momento angular orbital L e de J. A massa M est em repouso em um referencial inercial com coordenadas cartesianas (X,Y,Z) com os respectivos versores (x,y,z) com origem O no centro da esfera. Seja J = I = Iz o momento angular de M ao longo do eixo Z e I = (2/5)MR2 o seu momento de inrcia. A soluo exata das equaes de campo da TGE para o caso da massa em rotao foi obtida por Kerr.68 A expresso exata para o intervalo ds2 pode ser vista, por exemplo, no Ohanian3 (pg.324). A mtrica correspondente que define a geometria de Kerr conhecida como Mtrica de Kerr (MK). Ela uma soluo estacionria da TGE, mas no esttica, isto , a MK no uma funo de t, mas no invariante por uma reflexo temporal devido a presena de termos mistos do tipo dtdXi. Ela simtrica por uma rotao em torno do eixo Z, isto , invariante por uma transformao + d. A geometria de Kerr que muito mais complicada do que a geometria de Schwarzschild3 de importncia crucial para se analisar buracos negros sem carga e em rotao.

No caso limite de valores r grandes, que nos interessa, o invariante ds2 na MK dado por 3,10

ds2 (12GM/c2r) c2dt2 (1+2GM/c2r) dr2 r2d2 r2sin2 d2(4GI/c2r) sin2 d dt

ou,em coordenadas cartesianas (X,Y,Z),5,11 (I.2)

ds2 (12GM/c2r) c2dt2 (1+2GM/c2r) (dX2+ dY2+dZ2) + g14 dXdt + g24 dYdt,

levando em conta que r2sin2 d = XdY YdX, onde g41 = g14 = g42 = g24 = +2GI/c2r2 e r = (X2+Y2+Z2)1/2. A (I.2) a mtrica linearizada de Kerr. Ela descreve o campo gravitacional no vcuo a grandes distncias de uma estrela ou planeta, em rotao e sem carga.

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1) Efeito LenseThirring. Consideremos agora uma partcula com massa m (satlite) orbitando a esfera de massa M e raio R, que suporemos ser a Terra (em repouso em O), que est em rotao em torno do eixo (nortesul Z), conforme Figura 1. Segundo artigos anteriores,1b,1c se a esfera no girasse a partcula m descreveria uma rbita elptica contida em um plano fixo no espao. Veremos agora o que ocorre com essa trajetria quando a esfera est em rotao em torno de um eixo Z com momento angular orbital J = I (vide Fig.1), onde a velocidade angular de rotao da esfera em torno de Z. O movimento de m ser observado do sistema inercial com origem em O. A rbita de m dada por r = r(t) ser descrita em coordenadas polares esfricas (r,,) e tomando como base o referencial inercial (X,Y,Z) conforme Figura 1. Os versores polares sero indicados por r, e , respectivamente.

Figura 1. Mostramos um satlite orbitando a Terra. O centro de massa da Terra est em O e ela gira em torno do eixo Z (norte sul) com momento angular (spin) J = I .

Assumiremos que os efeitos relativsticos sejam pequenos15,10,11 (velocidades baixas e campos gravitacionais fracos). Neste caso a mtrica g do espaotempo diferindo muito pouco da mtrica de Minkowski g(o)= (1,1,1, 1) ser dada por g = g(o) + h onde h = h uma pequena perturbao de g(o). Nessas condies os smbolos1 de Christoffel

ficam escritos como15,10

= (g/2)( g + g g ) = (h, + h, h, ) (1.1).

A geodsica de m em torno de M dada por1d

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d2x/ds2 + (dx/ds) (dx/ds) = 0 (1.2).

Assim, definindo = dt/ds = c [1 (v/c)2]1/2 , teremos

dx/ds = (dx/dt)(dt/ds) = (dx/dt) e d2x/ds2 = 2(d2x/dt2) + (dx/dt)(d/dt) .

Assumindo que a velocidade v do satlite seja v

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onde r = r/r o versor ao longo da direo radial. Nesse ponto consideraremos o seguinte resultado da Mecnica Clssica. Seja G um vetor arbitrrio definido num sistema inercial e (dG/dt) a sua variao temporal em . A sua variao temporal (dG/dt)rot em relao a um sistema noinercial que gira com velocidade angular em torno de um eixo dada por12,13

(dG/dt)rot = (dG/dt) + x G (1.7).

Como G arbitrrio a (1.7) define de fato uma transformao da derivada temporal d/dt entre dois sistemas de coordenadas, um inercial e outro em rotao noinercial. No caso particular em que G constante em , ou seja, (dG/dt) = 0 teremos simplesmente

(dG/dt)rot = x G (1.8).

Tendo em vista (1.1)(1.8) vemos que o spin J da Terra causa uma precesso do momento angular L do satlite dada por

dL/dt = LT x L , (1.9),

onde a velocidade angular LT de precesso dada por

LT = (G/c2r3) [J 3r(Jr)] x L (1.10),

e denominada velocidade angular de precesso de LenseThirring. O plano orbital da particular teste seria um enorme giroscpio submetido ao dos efeitos do spin J da massa M. A rbita da partcula teste em volta do spin J teria uma mudana secular de longitude da linha de ns (interseo entre o plano da rbita e o plano equatorial da massa M). como se a rotao da Terra arrastasse o plano orbital do satlite. Por essa razo o efeito LT tambm denominado de orbital dragging effect ou dragging inertial frame effect. Analisemos agora a precesso LT dada por (1.10), que escreveremos na forma LT = (GJ/c2r3) [z 3r(zr)] x L, em dois casos particulares extremos.

(1) Trajetria da partcula no plano equatorial perpendicular J. Nesse caso como z x L = 0 e zr = 0 a (1.11) fica dada por

dL/dt = 0,

ou seja, LT = 0 e no h precesso de L.

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(2) Trajetria r(t) da partcula e J num mesmo plano equatorial. Nesse caso como z x L = L, onde o versor ao longo dos

ngulos , perpendicular trajetria , zr = cos(t) e r x L = L a (1.11) fica dada por

dL/dt = (GJ/c2r3)[ 3 cos(t)] L (1.11),

mostrando que h uma precesso de L em torno de J. O sinal da precesso depende do sentido horrio ou antihorrio de L. Como estamos preocupados com o efeito secular da precesso, levando em conta que valor mdio no tempo = 0 e (1.11) temos dL/dt = (G/c2r3)JL = LT x L. Obtendo assim a velocidade angular de precesso LT de L em torno de J, dada por

LT = (G/c2r3)J (1.12).

Levando em conta ainda que a rbita de m uma elipse com semieixo maior a e ecentricidade e calculando a mdia temporal5,13,14 de 1/r3(t), obtemos

LT = GJ/[c2a3(1 2)3/2] (1.13),

onde J = SE = I = (2/5)MR2.

1.a) Precesso do Perigeo da rbita da Partcula devido ao Spin J. Alm da precesso de L, vista na Seo 1, a interao gravitacional causa uma precesso do perigeo da rbita (plana) da partcula descrita em torno da massa M. oportuno lembrar que no referencial inercial definido sobre o plano da rbita temos duas grandezas invariantes5,12,13 que so o momento angular L e o vetor axial A (Vetor de LagrangeRungeLenz) dados por

L= mv x r e A = (p/m) x L 2GMmr/r. (1.14).

O vetor L perpendicular ao plano da rbita e A dirigido ao longo do semieixo maior da elpse no sentido do perigeo5,13 (|A|=GMm).

Ora, de (1.12) podemos concluir5,12,13 que a precesso de L em torno de J devida a uma interao U = 2GL J/c2r3. Alm da precesso essa interao gera um efeito radial que ir causar a precesso do perigeo da rbita de m em torno de M. O aparecimento de uma fora radial pode ser constatado verificando, usando (1.5) e (1.6), que a fora f apresenta uma componente radial alm da gravitacional m grad(). No caso particular, por exemplo, em que a trajetria da partcula est no plano equatorial perpendicular J, ou seja, quando Jr = 0, verificamos que

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f = m [(GM/r2) (6GJ/c2r3)] r. (1.15).

Nessas condies, devido a fora radial 6GJ/c2r3, usando a mecnica clssica, podemos mostrar que o perigeo de uma trajetria elptica (aproximadamente circular) em torno da massa M teria uma velocidade angular de precesso de P dada por5,15 P (6GJ/c2a3)(L/L), onde a semieixo maior raio da rbita e L ma2*, sendo * a velocidade angular de m em torno de M. Note que para calcular a precesso do perigeo P no levamos em conta a precesso dada pela TGE como vimos num artigo anterior1b. De acordo com a TGE1b essa precesso seria dada por TGE ~ 3GM/ac2 e conforme clculos acima a precesso de arrasto P dada por P ~ 3GJ/*a3c2 onde J = I =(2/5)MR2. Desse modo a razo TGE/P ~ 2(R/a)2/5*. Como para os satlites LAGEOS usados18 para medir o efeito LT, a 2R e * 4 temos P ~ 2.5 TGE. Podese mostrar5,16,17 de modo mais rigoroso que o satlite descreveria uma elipse cujo perigeo sofreria uma precesso de arrasto P dada por

P (3G/c2r3) (JL/L2)L. (1.16).

Sob a ao do arrasto devido a J o momento angular L da partcula precessionaria em torno de J com velocidade angular L= LT =(GJ/c2r3). Levando em conta ambos os arrastos descritos por L= LT e P a precesso do vetor A (precesso do perigeo), seria dada por

dA/dt = A x A , (1.17)

onde A = L + P = (G/c2r3)[J 3L(JL/L2)].

De modo anlogo a (1.13) a variao secular de A dada por A = G[J 3L(JL/L2)]/(c2a3(12)3/2) (1.18).

1.b) Comparao com Resultados Experimentais. Concluses. A deteco e medidas do efeito LT foram feitas18 usando os

satlites LAGEOS (laser geodynamics satellite) da NASA and LAGEOS II (NASA e ASI, Agncia Espacial Italiana) adotando os modelos de campo gravitacional da Terra JGM3 e EGM96. No caso do satlite LAGEOS lanado em 1976 a velocidade de precesso L, de acordo com (1.13), seria de L 0.030/y e para o LAGEOS II, lanado em 1992, seria de L 0.031/yr. As precesses A calculadas com a (1.18) para os satlites LAGEOS e LAGEOS II so A .032/yr e A .057/y, respectivamente. Levando em conta a anlise das rbitas feitas pelos

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satlites LAGEOS e LAGEOS II verificouse concluir que o efeito LT existe, dentro de um limite de 10%, e que o valores medidos de

concordam com um erro de 2030% com o que previsto usando a TGE, conforme (1.13) e (1.18). importante lembrar que o arrasto do plano da rbita do satlite devido ao momento angular intrnseco J do corpo central est de acordo com a formulao geral relativstica do Princpio de Mach.2

3) Efeito Geodtico. Pugh19 e Schiff20, em 19591960, sugeriram que giroscpios

esfricos colocados em satlites em rbita (geodsica) ao redor da Terra poderiam dar informaes muito precisas sobre o campo gravitacional terrestre medindose as precesses de seus spins. Essa precesso conhecida como Efeito Geodtico ou de de Sitter.21 As coordenadas com origem O no referencial inercial no centro da Terra sero indicadas por X.

Vamos assumir que um giroscpio esfrico esteja na origem de um referencial geodsico (RG) (vide Apndice A) ou referencial em queda livre (RQL) ou, ainda, comoving referential system(CRS). Neste referencial a variao do momento angular (spin), que indicaremos por S, do giroscpio pode ser escrita, usando Eq.(A.8) do Apndice A, como3

dS/d = Sdx/d (3.1).

Para calcular dS/d vamos considerar um vetor unitrio n = S/S que coincide com a direo e sentido do eixo de spin do giroscpio. Assim, ao invs de (3.1) teremos3

dn/d = ndx/d (3.2).

Os vetores n e x esto referidos no CRS. O vetor n que d a direo do spin no espao no tem uma parte temporal, ou seja, n4 = no = 0 e, alm disso, dx/d =(1,0,0,0). Nessas condies (3.2) fica dada por

dnk/d = kpo np (k,p=1,2,3) (3.3).

Na Figura 2 vemos3 o giroscpio, num dado instante, representado por um ponto G na origem do sistema de coordenadas x, descrevendo uma geodsica circular em volta da Terra. As coordenadas x definem o CRS instantneo de referncia no qual o giroscpio est em repouso no ponto G em um dado instante. A velocidade instantnea v do ponto G, que est ao longo de x, em relao ao sistema X fixo na Terra

v = (GM/R)1/2 (3.4),

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onde R = Ro distncia do giroscpio ao centro da Terra. A acelerao radial a de G, que na Fig.2 est ao longo de z, dada por

a = GM/R2 (3.5).

Figura 2. O giroscpio G se deslocando em uma geodsica circular em torno da Terra; G est na origem de um referencial em queda (RQL) (x,y,z) ou comoving referential system(CRS).

Usando as transformaes de Lorentz3,5 de x para X, num instante inicial, desprezando a acelerao do sistema x e levando em conta que v/c

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Num pequeno intervalo de tempo xo o ngulo de rotao entre X e x dado por = vaxo/2c2, num sentido antihorrio na Fig.2. Esta rotao gera o que chamamos de precesso de Thomas (Apndice B) que aparece devido a uma transformao de Lorentz de ngulos22 entre X e x . Como ns pretendemos calcular a precesso do giroscpio no referencial que no roda relativamente a x, preciso subtrair o efeito da precesso de Thomas do CRS. Assim, as equaes (3.5) (3.8) ficam escritas como

X1 = x1 + (v/c) xo vaxox3/2c2 (3.10)

X3 = x3 + R + vaxox1/2c2 (3.11).

Os ltimos termos de (3.10) e (3.11) representam as rotaes espaciais ordinrias devido a = vaxo/2c2, em primeira ordem em . Agora iremos usar (3.6),(3.8),(3.10) e (3.11) para calcular os g nas coordenadas x levando em conta os G nas coordenadas X que no limite de campos fracos da Terra, 2GM/c2r

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kp4

= kpo = (gk/2)( g4, p gp4, ) = (gk/2)( g4, p g4p, ) (3.14),

De (3.4), como no = 0 temos k44 = koo = 0. Considerando esta ltima equao podese mostrar que24

kp4 =

kpo = ( g4k, p g4p,k )/2 (3.15).

Como k, p = 1,2 e 3 verificamos usando os g g dados por (3.12) e (3.15) que 13 4 e 314 so os nicos no nulos. Como F = GM/c2 teremos F/R= (R)/c2, onde (R) = GM/R o potencial gravitacional. Assim, g41 fica escrito na forma g41= ax3/2 4/c2. Os coeficientes da transformao x para X foram calculados levando em conta somente termos lineares x nas vizinhanas da origem do CRS onde est colocado o giroscpio. Como no clculo dos smbolos de Christoffel 13 4 e 314 derivamos g em primeira ordem de x tornase necessrio expandir (R) nas vizinhanas da origem do CRS em primeira ordem de x. Assim, poremos (R

+ ) (R) + (/R) , onde ~ x. Desse modo vemos que

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14 = (g43, 1 g41,3 )/2 = a/2 2GM/R2c2 = (3/2)GM/R2c2 (3.16),

levando em conta que a acelerao centrpeta a do giroscpio dada por a = GM/R2. Como 314 = 134 as equaes (3.3) ficam escritas como

dn1/d =(3/2)v(GM/c3R2)n3 ,

dn2/d = 0 e (3.17)

dn3/d = (3/2)v(GM/c3R2)n1.

Na notao vetorial 3dim temos: S = S n, a acelerao gravitacional A = grad() =A (R/R), R a posio do giroscpio em relao ao centro da Terra e v a velocidade tangencial do giroscpio ao longo de sua trajetria circular. Assim, a representao vetorial 3dim de (3.17) dada por

dS/d = G x S (3.18),

onde a velocidade angular geodtica G definida por

G = (3/2c3) A x v (3.19).

Em termos do momento angular orbital do giroscpio L = R x mv a (3.18) fica escrita como

dS/d = (3/2) (GM/mR3c3) L x S (3.20),

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onde agora G dada por

G = (3/2)(GM/mR3c3) L (3.21),

mostrando claramente a precesso do spin S do giroscpio em torno do momento angular L do satlite em torno da Terra. Notemos que a precesso geodtica no depende do spin da Terra (J = Se) como ocorre no efeito LT.

Na Figura 3 mostramos3 dois giroscpios em uma rbita polar a uma altura de ~8 000 m acima da superfcie terrestre. No caso do primeiro giroscpio quando S est no plano da rbita verificase, usando a (3.21), que G = (3/2)(GM/R2c3)(GM/R)1/2 ~ 6.9/ano. Para o segundo giroscpio da figura com S || L temos G = 0. A precesso de 0.05/ano vista na Fig.3 para esse segundo giroscpio corresponde a uma precesso do spin S do giroscpio em torno do spin J da Terra, devida ao efeito LT descrita por LT = (G/c2R3) [J 3r(Jr)], conforme (1.6).

Figura 3. Dois giroscpios em rbita polar em torno da Terra. O primeiro que est com o spin S no plano da rbita, portanto,perpendicular a L , tem G = 6.9/ano. O segundo que est com S||L, tem G = 0 e LT =0.05/ano.

muito importante notarmos que devido interao spinrbita23 que gera o EG que dada por ULS = (3/2)(GM/mc2r3)LS a partcula no sofreria somente uma precesso de seu spin. Devido a ULS apareceria uma fora (extremamente pequena)que provocaria um desvio de sua trajetria. Isto significa que uma partcula com spin num campo gravitacional sofreria um desvio de sua trajetria geodsica. Desse modo, partculas com spin (eltrons, prtons, nutrons, etc...) num campo gravitacional no se

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moveriam exatamente ao longo de uma geodsica. Assim, o Princpio de Equivalncia de Galileu no valeria para partculas com spin.

3.a) Comparao com resultados experimentais.Concluses. No caso geral, conforme visto25 na Figura 4, o spin S do giroscpio esfrico ir precessionar em torno de seu momento angular orbital L devido interao gravitacional entre S e L e, simultaneamente, em torno do eixo de rotao da Terra devido interao entre S e o spin J = I da Terra. Enfim, a velocidade angular de precesso = G + LT resultante desses dois efeitos dada por (3.21) e (1.11), respectivamente,

= G + LT= (3/2)(GM/mR3c3) L + (GI/c2R3) [ 3r(r)] (3.22).

Na Figura 4 vemos um esboo de como estariam colocados os giroscpios esfricos criognicos de grande preciso25 se deslocando ao longo de uma baixa rbita polar (~642 km) em torno da Terra e uma estrela guia (IM Pegasi) como um referencial inercial. O rotor do giroscpio de quartzo homogneo com um dimetro ~4 cm. Um desvio da forma esfrica maior do que 106 cm inaceitvel. O efeito Geodtico teria um desvio

Figura 4. Mostra25 o spin S do satlite em rbita polar sendo desviado simultaneamente pelo Efeito Geodtico e pelo Efeito LT ou Frame dragging Effect.

angular anual ~ 6.6 e o efeito LT (Framedragging Effect) teria um desvio anual ~ 0.039. As medidas preliminares que foram feitas25 mostram um bom acordo com as previses tericas obtidas com a (3.22). Apesar desses resultados serem muito promissores uma anlise mais cuidadosa dos erros nas medidas est ainda em curso para se ter uma exata confirmao dos resultados.

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Apndice A. Coordenadas Geodsicas. Conforme analisamos em um artigo anterior1c sempre possvel3 encontrar coordenadas tais que em um dado ponto P a mtrica do espaotempo plana. Ou seja, dadas as coordenadas x com uma mtrica g(x) podemos sempre encontrar uma transformao linear para novas coordenadas x = b x , onde b so constantes, de tal modo que num certo ponto P tenhamos g(P) = , onde , = (1,1,1,1) caracterstico de um espaoplano de Minkowski. Nas vizinhanas do ponto P onde o espao localmente plano temos um referencial inercial local. A transformao de coordenadas que satisfaz essas exigncias dada por3

x = x

x

(P) + (1/2) (P) [ x x(P)] [ x x(P)] (A.1),

onde x(P) so as antigas coordenadas do ponto P. As coordenadas x so denominadas de coordenadas geodsicas e o

referencial denominado de referencial geodsico(RG). No ponto P as derivadas primeiras ordem de g(x) e os smbolos (P) de Christoffel se anulam. Levando isso em conta na equao de uma geodsica (1.2), no referencial geodsico x obtemos

d2x /ds2 = 0 (A.2).

Ou seja, uma partcula no ponto P se move com velocidade constante ou permanece em repouso em relao ao referencial geodsico. Isto significa que o referencial est instantaneamente em queda livre com a mesma acelerao que a partcula. Devemos enfatizar3 que as coordenadas so geodsicas somente para um dado instante e um dado ponto. As derivadas da mtrica so zero somente em certo ponto P do espaotempo. Se quisermos coordenadas geodsicas em um outro ponto diferente de P, ser necessrio realizar uma outra transformao de coordenadas x = b x para esse ponto. Geometricamente a introduo das coordenadas geodsicas no ponto P corresponde a substituir o espao curvo nesse ponto por um espao plano tangente a P. As derivadas primeiras de g(x) so nulas, mas, as de segunda ordem no so nulas.3 O ponto P a origem do sistema de coordenadas geodsicas denominado referencial geodsico (RG) ou referencial em queda livre (RQL) ou, ainda, comoving referential system(CRS). Os referenciais em queda livre esto sempre ao longo de uma geodsica.

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Transporte paralelo ao longo de uma geodsica. Consideremos um 4vetor contravariante constante a em um determinado ponto P de uma geodsica, que a origem x = 0 de um referencial geodsico. Faamos um transporte paralelo1d,3 desse 4vetor at um outro ponto Pdistante x de P da geodsica. O novo ponto Psendo tambm a origem de um referencial geodsico. As componentes a do vetor no mudam com o transporte pois as coordenadas x so cartesianas. Ou seja, se o vetor original era a o novo vetor ser a + a , onde a = 0. Entretanto, as componentes a do vetor em coordenadas curvilneas mudam. As suas componentes antes e depois do transporte esto relacionadas pelas equaes

a = (x/x)x=0 a (A.3) e a + a = (x/x)x (a + a ) (A.4).

Para calcular (A.2) ns precisamos das derivadas x/x . A maneira mais simples de fazer isso verificar que para pequenos valores de x ns podemos aproximar a (A.1) por

x x

(P) + x (1/2) (P) x x (A.5),

de onde tiramos x/x (P) x que colocadas em (A.3) e (A.4) do

a = a (A.6) e a + a = (a + a) (P)( a + a) x (A.7).

A diferena entre (A.6) e (A.7) d

a = (P) a x (A.8).

De modo anlogo, para um 4vetor covariante a obtemos3

a

= a x

(A.9).

Apndice B. Precesso de Thomas. Consideremos uma partcula P descrevendo uma rbita circular23 em torno de um ponto O que a origem de um referencial inercial (x,y) conforme vemos na Figura (B.1). Suponhamos que P esteja em repouso momentaneamente em relao aos referenciais (x1,y1),(x2,y2) e (x3,y3) nos

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instantes sucessivos t1 < t2 < t3, respectivamente. Os instantes de tempo ti diferindo muito pouco uns dos outros. Os eixos (xi ,yi) foram desenhados

Figura (B.1). O sistema inercial (x,y) e os comoving referential systems (CRS) (xi,yi)

paralelos a (x,y). Entretanto, mostraremos que o observador em (x,y) v os eixos (x2,y2) ligeiramente rodados em relao a (x,y) e os eixos (x3,y3) um pouco mais rodados ainda em relao a (x,y). Assim, ele v que os eixos nos quais P se encontra instantaneamente em repouso esto precessionando em relao a O embora os observadores instantaneamente em repouso em relao a P sustentem que cada referencial (xi+1,yi+1) esteja paralelo ao anterior (xi,yi). Na Figura B.2 vemos xy, x1y1 e x2y2 do ponto de vista do observador em x1y1. Como P se move com velocidade v em relao a O, os eixos (x,y) esto se movendo com velocidade v em relao a (x1,y1). Visto de (x1,y1)

Figura (B.2).Os referenciais usados para calcular a precesso de Thomas, vistos do referencial (x1,y1).

o ponto P tem uma acelerao a em direo a O no sentido positivo de y1. Se o intervalo de tempo t2 t1 muito pequeno, a mudana na velocidade de P nesse intervalo dada por dv = a (t2 t1) = a dt que ser a velocidade de (x2 ,y2) em relao a (x1,y1). Usando as transformaes de Lorentz5,23

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para velocidades, as componentes da velocidade Va de (x2 ,y2)observadas de (x,y) so dadas por Vax = (dvxvx)/(1vxdvx/c2) = ( 0 + v)/(1 (v).0/c2 ) = v (B.1) Vay = dvy [1 (vx/c)2]1/2/(1vxdvx/c2) = dv [1 (v/c)2]1/2

Com as transformaes inversas, as componentes da velocidade Vb de (x,y) vistas de (x2 ,y2)so dadas por

Vbx = vx [1 (dvy/c)2]1/2/(1vydvy/c2) =

v [1 (dv/c)2]1/2/ (10.dv/c2) = v [1 (dv/c)2]1/2 (B.2).

Vby = (vy dvy)/(1vydvy/c2) = (0 dv)/( 1 0.dvy/c2) = dv

Analisando (B.1) e (B.2), conforme Figura (B.3), verificamos que |Va| = |Vb| de acordo com o postulado da equivalncia dos referenciais inerciais. O ngulo a entre Va e o eixo x do referencial (x,y) dado por

a tg a = Vay/Vax = dv [1 (v/c)2]1/2/ v O ngulo b entre o vetor Vb e o eixo x2 do referencial (x2,y2) dado por

b tg b = Vby/Vbx = dv/[v (1 (dv/c)2)1/2] dv/v

Na Figura (B.3) vemos os referenciais (x2,y2) e (x,y) do ponto de vista de (x,y).

Figura (B.3). Ilustrao exagerada da precesso de Thomas.

De acordo com o postulado de equivalncia Va e Vb.devem ter exatamente direes opostas, isto ,Va =Vb. Como os ngulos entre os eixos x e os vetores V no so os mesmos o referencial (x2,y2) rodou em relao ao referencial (x,y). O ngulo de rotao d dado por d = b a = (dv/v) {1 [1 (v/c)2]1/2] } ,

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que no limite (v/c)