librito ompr 2010-2011

Publicaciones AFAMaC

OMPR

Olimpiadas de Matemáticasde Puerto Rico

2010-2011

Luis F. CáceresJuan Ariel Ortiz Navarro

Arturo Portnoy

Departamento de Ciencias MatemáticasUniversidad de Puerto Rico

Recinto Universitario de Mayagüez

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Este Material Educativo es

para ser distribuido de forma

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Primera Edición, 2011

Derechos c©AFAMaC

Director: Dr. Luis F. Cáceres

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ningún

medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso

previo por escrito de AFAMaC.

Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC mediante

proyectos del Departamento de Educación de Puerto Rico. Contrato

#2010-AF-0226

Departamento de Ciencias Matemáticas

Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez

Impreso y hecho en Puerto Rico

ii

Prólogo

En esta nueva publicación, tenemos el placer de presentarles los exámenesde cada una de las fases de la Olimpiada Matemática de Puerto Ri-co 2010-2011. Les presentamos este libro con el objetivo de que tantoestudiantes como maestros tengan una guía para prepararse para lascompetencias de esta olimpiada. La culminación satisfactoria de todaslas fases conlleva el honor de representar al país en las olimpiadas in-ternacionales. Este proceso requiere mucha dedicación y preparación.Esperamos que el éxito que han tenido nuestros estudiantes en el pasa-do sirva de motivación para todos los estudiantes de Puerto Rico.

El libro está compuesto de dos partes. En la primera, se presentan losexámenes de cada una de las fases tal y como fueron presentados a losestudiantes. La primera fase no tuvo límite de tiempo y sus respuestasfueron evnviadas por correo. Para la segunda fase los estudiantes selec-cionados fueron invitados al Recinto de Mayagüez de la UPR y tuvieron3 horas para trabajar en los problemas. Para la tercera fase, los estu-diantes seleccionados fueron nuevamente invitados al Recinto, en dondelos estudiantes de escuela elemental tuvieron 2 horas para resolver losproblemas y con esta fase culminó su participación en esta olimpiada ylos estudiantes de escuela intermedia y superior tuvieron 3 horas paracompletar los exámenes. El examen de selección fue administrado al �-nal del Campamento OMPR 2011 para los estudiantes seleccionados deintermedia y superior. La segunda parte del libro presenta las solucionesa cada uno de estos exámenes.

Queremos agradecer a todas las personas que contribuyen a la realizaciónde estas olimpiadas; en especial a los padres y maestros que ven en sushijos y estudiantes un futuro prometedor para nuestra Isla. Esperamosque nos sigan apoyando en la motivación de estos estudiantes. Unidos,lograremos el objetivo de fomentar el estudio de las matemáticas y lo-grar cada vez más que los estudiantes de escuelas públicas y privadas seinteresen en demostrar sus niveles intelectuales.

iii

AFAMaC

Alianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y lasMatemáticas.

Este proyecto está subvencionado por el Departamento de

Educación de Puerto Rico y es realizado en el Departamento

de Ciencias Matemáticas del Recinto Universitario de

Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

iv

Índice

1. Exámenes 7

1.1. Primera fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3. Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2. Segunda Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1. Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.2. Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.3. Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3. Tercera Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3.1. Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3.2. Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.3.3. Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4. Examen de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2. Soluciones 51

2.1. Primera Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.1. Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.2. Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.1.3. Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2. Segunda Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.2.1. Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.2.2. Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.2.3. Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.3. Tercera Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5

2.3.1. Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.3.2. Intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3.3. Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.4. Examen de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6

1. Exámenes

1.1. Primera fase

1.1.1. Elemental

1. Dada la secuencia de �guras

· · ·la �gura en la posición 2010 es:

a)

b)

c)

d)

e) ninguna de las anteriores

2. Abuela tiene 42 setas en su cesta, su nieta sólo tiene 16. ¾Cuántassetas debe darle la abuela a su nieta para que ambas tengan lamisma cantidad?

a) 5

b) 13

c) 21

d) 26

e) 29

3. Un gusano trepa por un palo de 76cm de alto, comenzando desde elpiso. Durante el día sube 5cm y cada noche resbala 3 cm. ¾Cuántosdías le tomará subir el palo completo?

a) 18

7

b) 36

c) 38

d) 42


4. El cuadriculado de la �gura está hecho de cuadrados de 1cm delado. ¾Cuál es el área de la región sombreada?

a) 10cm2

b) 14cm2

c) 16cm2

d) 20cm2

e) 25cm2

5. El dibujo de la �gura está hecho con tres triángulos equiláteros yun cuadrado. Hallar el área del cuadrado sabiendo que el perímetrode la �gura es 14cm.

a) 2cm2

b) 4cm2

c) 6cm2

d) 9cm2


6. Carlos armó un cubo usando 12 palitos iguales de modo que enningún vértice se encuentren palitos de colores iguales. ¾Cuál esel menor número de colores que debió usar?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

8

e) 8

7. Si escribimos siete números enteros consecutivos y observamos quela suma de los tres números menores es 33, ¾cuál es la suma delos tres mayores?

a) 16

b) 33

c) 42

d) 45

e) 48

8. En una pizzería ofrecen la versión básica de pizza con queso. Sepuede ordenar de queso o se le puede agregar uno o dos ingredientesentre peperoni, jamón, setas o aceitunas. Hay tres tamaños: pe-queña, mediana o grande. ¾Cuántos estilos diferentes de pizza hay?

a) 12

b) 18

c) 30

d) 31

e) 33

9. El juego de dominó tiene 28 piezas diferentes. Cada pieza es rectan-gular y está dividida en dos cuadrados y en cada cuadrado apare-cen desde 0 hasta 6 puntos. ¾En cuántas piezas el número total depuntos es impar?

a) 9

b) 10

c) 12

d) 21

e) 24

9

10. Con palillos de fósforos formamos �guras de números como semuestra en el dibujo. Por ejemplo, para escribir el número 188se usan 16 palillos. César escribió el número más grande que esposible escribir con exactamente 13 palillos. ¾Cuál es la suma delos dígitos del número que César escribió?

a) 8

b) 9

c) 11

d) 13

e) 15

11. Un grupo de amigos acampó durante 6 noches y todas las noches2 de ellos vigilaban el campamento. Cada uno hizo guardia tresnoches y nunca con el mismo amigo. ¾Cuántos amigos eran?

a) 3

b) 4

c) 6

d) 12

e) 18

12. La �gura de abajo está formada por hexágonos regulares y trián-gulos equiláteros. El área total es 154cm2. ¾Cuál es el área de laregión sombreada?

a) 16cm2

b) 24cm2

c) 28cm2

d) 32cm2

e) 36cm2

13. Enrique tiene un reloj digital que marca horas, minutos y segun-dos, siempre seis cifras. Por ejemplo se ve 00 : 00 : 00 a la media-

10

noche; 07 : 57 : 35 cuando hoy Enrique ha llegado a la escuela;12 : 00 : 00 al mediodía; 20 : 09 : 07 ayer por la noche cuan-do Enrique acabó de cenar. ¾Cuántas veces, durante todo el día,cambian a la vez las seis cifras de la pantalla del reloj digital deEnrique?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

14. ¾Cuál es el último dígito del número que se obtiene cuando serealiza la multiplicación 2× 2× · · · × 2︸︷︷︸

2010 veces

?

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8


15. Jack arrancó varias hojas sucesivas de un libro (una hoja tiene 2páginas). Se sabe que la primera página que arrancó es la 183 yque la última que arrancó tiene los mismos dígitos que la primera,pero en orden distinto. ¾Cuántas hojas arrancó Jack del libro?

a) 68

b) 99

c) 315

d) 324

e) ninguna de las anteriores −2− −3−

11

16. Hay 24 libras de clavos en un saco. ¾Cuál es el número mínimo demediciones que se necesitan para medir 9 libras de clavos usandouna balanza de dos platos?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) no es posible

17. En un año particular hubo exactamente 4 lunes y 4 viernes enenero. ¾En que día de la semana cayó el 20 de enero ese año?

a) lunes

b) miércoles

c) jueves

d) domingo

e) sábado

18. La �gura muestra un polígono en forma de T y una manera dedividirlo en rectángulos de lados 1cm y 2cm. ¾De cuántas manerasdistintas, incluyendo la de la �gura, es posible hacer divisiones deeste estilo?

a) 7

b) 9

c) 11

d) 13

e) 15

19. Se escriben los números naturales sin espacio de la siguiente manera1234567891011121314 . . . . ¾Cuál es el dígito 2010 de esta sucesión?

a) 0

12

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

20. ¾Cuál es la medida del ángulo ABC en la siguiente �gura?

a) 110◦

b) 120◦

c) 125◦

d) 135◦

e) 140◦ A B

C

D

a

b

b

a

70

20

13

1.1.2. Intermedia

1. Catorce estudiantes en una clase estudian español y ocho estudianfrancés. Sabemos que tres estudian ambos lenguajes. ¾Cuántosestudiantes hay en la clase si cada uno de ellos estudia al menosun lenguaje?

a) 16

b) 18

c) 19

d) 20

e) 22

2. Katya y sus amigos están parados formando un círculo. Resultaque los dos vecinos de cada integrante del círculo son siempre delmismo género. Si hay 5 hombres en el círculo, ¾cuántas mujereshabrá?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3. Si el perímetro de un triángulo es 100, ¾cuál es el valor mínimoque puede tener su área?

a) 0.1

b) 1

c) 10

d) 100


14

4. En la �gura de abajo, P es el centro del rectángulo ABCD. Si ladistancia de P a AB es el doble de la distancia de P a BC y elperímetro de ABCD es 120cm, encontrar el área de ABCD.

a) 200cm2

b) 400cm2

c) 600cm2

d) 800cm2

e) 1000cm2

A

B C

D

P

5. En un tablero de ajedrez, una torre sale de una esquina y vuelve aesa esquina despues de n movidas (la torre se mueve horizontal overticalmente cualquier número de casillas). ¾Cuál de los siguientesvalores de n no es posible?

a) 16

b) 18

c) 22

d) 23


6. ¾Cuántos números de cuatro dígitos satisfacen la condición de sermúltiplos de 3, 4 y 5 cuyo primer dígito es el doble del tercer dígitoy el segundo dígito siempre es 6?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

7. ¾A qué potencia se debe elevar el número 96 para obtener elnúmero 278?

15

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

8. En cierto experimento de ciencias tengo algunos conejos y algunascajas. Si coloco de a 5 conejos por caja al �nal me sobran 15conejos. Si los ubico de a 8 por caja me sobran 3 cajas. ¾Cuántascajas tengo?

a) 5

b) 7

c) 10

d) 13

e) 20

9. La �gura muestra un cuadrado de lado 12cm, dividido en tresrectángulos del mismo perímetro. ¾Cuál es el área del rectángulosombreado?

a) 36cm2

b) 40cm2

c) 48cm2

d) 54cm2

e) 72cm2

10. Un número par tiene 10 dígitos y la suma de sus dígitos es 89.¾Cuál es el dígito de las unidades de ese número?

a) 0

b) 2

c) 4

16

d) 6

e) 8

11. ¾Cuál es el número de cuadritos negros en la �gura que debenser pintados de blanco para que cada �la y cada columna tengaexactamente un cuadrito negro?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) no se puede

12. María dibujó 5 puntos en una hoja de papel y después dibujósegmentos de línea entre los puntos. Ella tuvo que dibujar 10 seg-mentos. Pedro hará lo mismo, pero él dibujó 12 puntos. ¾Cuántossegmentos deberá dibujar Pedro?

a) 12

b) 55

c) 60

d) 66

e) 78

13. ¾Cuántas veces hay que escribir el dígito 2 para marcar las páginasde un libro que tiene 2010 páginas?

a) 612

b) 610

c) 591

d) 572


17

14. Decimos que un número es impa si todos sus dígitos son impares.¾Cuántos números impas de cuatro dígitos hay?

a) 5 + 5 + 5 + 5

b) 54

c) 5× 4× 3× 2

d) 45


15. En el cuadrado se deben ubicar los números del 1 al 16 de talforma que la suma de ellos en cada �la y en cada columna seasiempre la misma. ¾ Cuánto vale esa suma?

a) 16

b) 28

c) 34

d) 36


16. Considere el siguiente diagrama, compuesto por 9 puntos:

· · ·· · ·· · ·Si queremos pasar por los 9 puntos con una curva continua (que nose rompe) compuesta por varios segmentos rectilíneos, ¾cuál es elnúmero mínimo de segmentos rectilíneos necesarios para lograrlo?

a) 2

b) 3

c) 4

18

d) 5

e) 6

17. El lado AC de un triángulo ABC tiene longitud 3.8 y el lado ABtiene longitud 0.6. Si la longitud de BC es un entero, ¾cuál es sulongitud?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

18. ¾Cuál es el último dígito de 22010 + 32010 + 52010 + 72010?

a) 8

b) 7

c) 6

d) 4

e) 2

19. ¾Cuántas soluciones (x, y) con x y y números enteros tiene laecuación x2 − y2 = 303?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4


20. Diez monedas se acomodan en forma de triángulo equilátero concuatro en la base, tres encima de esas, dos encima de las tres yuna arriba. ¾Cuál es el número mínimo de monedas que hay que

19

remover para que ningunas tres de las restantes tengan sus centrosen los vértices de un triángulo equilátero?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

20

1.1.3. Superior

1. Si una jarra sirve un total de 1.5 vasos de jugo y cada china llena1/5 de la jarra. ¾Cuántas chinas se necesitan para servir 12 vasosde jugo exactamente?

a) 18

b) 19

c) 20

d) 40

e) 80

2. Tenemos un cubo como el de la �gura, al que le sacamos las �lasy las columnas que se muestran. Si el cubo lo metemos en un potede pintura verde y después lo dividimos en cubitos de 1 × 1 × 1.¾Cuántos de estos cubitos tienen cuatro caras pintadas?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

3. Juan se inventó una operación matemática con números enterospara la cual usó el símbolo ∗. Funciona de la siguiente manera:a∗ b = (a+1)× (b−1). Por ejemplo 3∗5 = (3+1)× (5−1) = 16.¾Si a y b son enteros positivos tales que a ∗ b = 24 y b ∗ a = 30,cuánto vale a+ b?

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 31

21

4. La �gura muestra cinco triángulos equiláteros. ¾A qué fracción delárea de la �gura corresponde el área sombreada?

a) 1/3

b) 2/5

c) 1/2

d) 3/5

e) 5/8

5. Con exactamente dos segmentos de recta podemos hacer �gurasdiferentes uniendo los vértices de un pentágono. A continuaciónmostramos cinco de esas �guras:

Incluyendo estas cinco, ¾cuántas �guras diferentes se pueden hacerde este modo?

a) 20

b) 30

c) 35

d) 40

e) 45

6. Hace 18 años se casaron Juan y María. Para ese entonces la edadde Juan era el triple de la de María. Ahora la edad de Juan es eldoble de la de María. ¾A qué edad se casó María?

a) 17

b) 18

c) 20

22

d) 21

e) 25

7. Un saco tiene canicas de tres colores diferentes. ¾Cuál es el númeromínimo de canicas que hay que sacar para estar seguros que ten-dremos al menos 3 canicas del mismo color?

a) 3

b) 6

c) 7

d) 9


8. Igor pide que le cambien un billete de 25 rublos. Le entregan cam-bio exacto usando 10 billetes de 1, 3 y 5 rublos. ¾Cuántos billetesde 1 rublo le entregaron?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7


9. Tiramos un dado tres veces. ¾De cuántas formas distintas puedeuno tirarlo de tal forma que la suma de las tres tiradas sea 10?

a) 15

b) 20

c) 25

d) 27

e) 30

10. ¾Cuántos números entre 1 y 100, sin incluir el 1 y ni el 100, satis-facen que la suma de los cuadrados de sus dígitos divide al número?

23

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 10

11. Si el radio de un círculo inscrito en un triángulo equilátero es 2.¾Cuánto mide el radio del círculo circunscrito?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

12. La carretera que conecta dos pueblos va sólo de subida o de ba-jada. Un autobús viaja siempre a 15km/h de subida y a 30km/hde bajada. Encuentre la distancia entre los pueblos si toma exac-tamente 4 horas hacer un viaje de ida y vuelta.

a) 40km

b) 50km

c) 60km

d) 70km

e) 80km

13. Dos equipos compiten en un decatlón. En cada evento, el equipoganador recibe 4 puntos y el perdedor 1 punto, y cada equiporecibe 2 puntos si empatan. Después de 10 eventos ambos equipostienen 46 puntos en total. ¾Cuántos empates hubo?

a) 1

b) 2

c) 3

24

d) 4


14. Calculamos la suma de los dígitos del número 19100. Luego encon-tramos la suma de los dígitos del resultado y así sucesivamentehasta encontrar un solo dígito. ¾Qué dígito es ese?

a) 1

b) 4

c) 5

d) 7

e) 9

15. En una clase cada niño es amigo de exactamente 3 niñas, y cadaniña es amiga de exactamente 2 niños. Se sabe que hay exacta-mente 19 mesas. Cada una acomoda a lo más dos estudiantes.Sabemos también que 31 estudiantes estudian francés. ¾Cuántosestudiantes hay en la clase?

a) 31

b) 33

c) 35

d) 38


16. Si todos los niños en una clase compran un mu�n y todas lasniñas compran un sandwich, gastarán un centavo menos que sitodos los niños compran un sandwich y todas las niñas compranun mu�n. Sabemos que en la clase hay mas niños que niñas. ¾Cuáles la diferencia entre el número de niños y el número de niñas enla clase?

a) 1

b) 2

25

c) 3

d) 4


17. ¾Cuál es la suma de los ángulos internos de las puntas de unaestrella de 5 puntas?

a) 150◦

b) 180◦

c) 210◦

d) 240◦


18. Listas de problemas para las olimpiadas se redactan por un comitépara los grados 6-11, de tal forma que cada lista tiene 8 problemasy hay exactamente 3 preguntas en cada cuestionario que no se usanen los cuestionarios de otros grados. ¾Cuál es el máximo númeroposible de preguntas redactadas por el comité?

a) 23

b) 28

c) 33

d) 48


19. ¾Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación x4+x3+x2+x−4 =0?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3


26

20. El cuadrado ABCD está dado. Un círculo con radio AB y centroen A se dibuja. El círculo intersecta el bisector perpendicular deBC en dos puntos, de los cualesO es el más cercano a C. Encuentreel valor de ángulo AOC.

a) 120◦

b) 135◦

c) 145◦

d) 150◦


27

1.2. Segunda Fase

1.2.1. Elemental

1. Juan dibujó unos muñecos siguiendo un patrón:

¾Cuál muñeco va en la posición 2010?

a.

b.

c.

d.

e.

2. Susana estaba sentada en el teatro. Su �la era la quinta desde elfrente y la séptima desde atrás. Cada �la tenía 9 sillas. ¾Cuántassillas tenía el teatro?

a. 81

b. 90

c. 99

d. 108

e. Niguna de las anteriores

3. María construyó una caja 4 × 3 × 3 usando cubitos de tamaño1 × 1 × 1. Ella se fue a jugar y cuando regresó encontró que suhermano menor Luis tomó algunos cubitos y le dejó la siguienteestructura que se ve en la �gura. ¾Cuántos cubitos tomó Luis?

a. 6

b. 8

c. 10

d. 12

e. 18

28

4. El número más pequeño de dígitos que debe ser borrado del número12323314 para obtener un número que se lee idénticamente igualde izquierda a derecha que de derecha a izquierda es:

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

5. Juan iba a calcular la suma de los números 67 y 47. Sin embargopor accidente calculó la resta. ¾Cuál es la diferencia entre el cál-culo de Juan y la respuesta correcta?

a. 20

b. 44

c. 74

d. 94

e. 114

6. Para escribir los números del 1 al 100 el dígito 9 debe usarse:

a. 2 veces

b. 8 veces

c. 19 veces

d. 20 veces

e. 21 veces

7. El ancho de un rectángulo mide 12 cm mientras que el largo estres veces el ancho. ¾Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyoperímetro es 1

3del perímetro del rectángulo?

a. 12 cm

b. 10 cm

c. 8 cm

d. 6 cm

29

e. 4 cm

8. En una �esta tres amigos se van a repartir regalos de tal maneraque cada uno da un regalo (no a sí mismo) y recibe un regalo. ¾Decuántas maneras es posible hacer esto?

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

9. Andrés compró 9 bolígrafos y 8 lápices. Un bolígrafo es el doblede caro que un lápiz. ¾Cuántos lápices hubiera podido comprarAndrés con todo el dinero?

a. 17

b. 18

c. 25

d. 26

e. 27

10. En la �gura se muestra una cuadrícula 3× 3. Se quieren sombrearcuatro de los cuadraditos de tal manera que dos de los cuadraditossombreados no tengan un lado en común. Se muestra en la �guraun ejemplo. ¾De cuántas formas posibles, incluyendo la que se daen el ejemplo, se puede hacer esto?

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. Ninguna de las anteriores

30

11. El producto de tres números es 140. El producto del primero y elsegundo es 28 y la suma del primero y el tercero es 7. ¾Cuánto esla suma de los tres números?

12. Ana representó el número 11 como la suma de números naturalesdiferentes (ejemplo: 11 = 1 + 3 + 7) de todas las formas posiblesy escogió una suma con el mayor número de términos. ¾Cuál es elmayor término (número) en esa suma que escogió Ana?

13. El 4ABC de la �gura es isóceles con AB = AC y ∠DCA mide160◦. ¾Cuánto mide ∠BAC?

A

C DB

160

14. Se quiere cubrir el tablero 3× 3 de la �gura con �chas y/o

. ¾De cuántas formas se puede hacer sin sobreponerlas y sinque salgan del tablero? (No es requisito usar de los dos tipos de�chas).

15. Alex, Benjamín, Carlos, Daniel y Ernesto trataban de adivinaruna fecha:

31

Alex decía que la fecha era: sábado 4 de marzo.Benjamín decía que la fecha era: domingo 4 de marzo.Carlos decía que la fecha era: domingo 5 de abril.Daniel decía que la fecha era: sábado 5 de abril.Ernesto decía que la fecha era: sábado 5 de marzo.

Cada uno de ellos estaba correcto en por lo menos un dato (díade la semana, mes o número), pero sólo uno de ellos sabía la fechaexacta ¾Quién era?

32

1.2.2. Intermedia

1. La suma de tres enteros positivos es 6. ¾Cuál es el valor mínimoque puede tomar la suma de los cuadrados de estos tres enteros?

a. 6

b. 10

c. 11

d. 12

e. 14

2. Dos vértices de un triángulo ABC son los puntos medios de loslados de un rectángulo, como se muestra en la �gura. Si el áreadel rectángulo es 1 cm2, ¾cuál es el área del triángulo?

A

B

C

a. 13cm2

b. 14cm2

c. 18cm2

d. 38cm2

e. No se puede determinar

3. Las manzanas cuestan $1, las peras $2 y los mangós $3. Si tenemos$7, ¾de cuántas formas distintas podemos gastarlos sin comprarnecesariamente de todas las frutas?

a. 6

b. 8

c. 12

d. 16


4. El ancho de un rectángulo mide 12 cm , mientras que el largo es3 veces el ancho ¾Cuál es el área de un cuadrado cuyo perímetro

33

es 13del perímetro del rectángulo?

a. 49 cm2

b. 64 cm2

c. 81 cm2

d. 100 cm2

e. 121 cm2

5. El reloj de la �gura tiene un solo palito y funciona de maneradiferente: cada minuto salta 5 números. Comienza a las 12, unminuto después salta a las 5 y después de 2 minutos salta al 10 yasí sucesivamente. ¾Cuánto tiempo le tomará al palito llegar nue-vamente al número 12?

12

3

6

9

10

11 1

2

4

57

8

12

3

6

9

10

11 1

2

4

57

8

12

3

6

9

10

11 1

2

4

57

8

0 minutos 2 minutos1 minuto

a. Nunca

b. 4 min

c. 6 min

d. 8 min

e. 12 min

6. En un tablero 4× 4 hay que colocar cuatro �chas de acuerdo a lassiguientes reglas:

→ Una �cha en cada �la.

→ Una �cha en cada columna.

→ Si un cuadrito tiene una �cha, entonces no se puede colocaruna �cha en el cuadrito que es vecino diagonalmente.

¾De cuántas formas distintas se puede hacer esto?

34

a. 0

b. 1

c. 2

d. 4

e. 24

7. Los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, . . . Considere la lista denúmeros consecutivos

1, 2, 3, 4, . . . , 9998, 9999, 10000.

¾Qué porcentaje de estos números son cuadrados perfectos?

a. 1%

b. 1.5%

c. 10%

d. 15%

e. 20%

8. Con la información que se muestra en el dibujo hallar el valor de α.

α

3α

a. 25◦

b. 30◦

c. 36◦

d. 60◦

e. No hay su�ciente informa-ción

9. En la �gura, O es el centro del círculo y el área sombreada equivalea√3. ¾Cuál es el área del triángulo ABC?

35

a. 2√3

b. 2

c. 5

d. 4

e. 4√3 O

A

B C

10. ¾Cuántos dígitos tiene el número 21000?

a. Menos de 100

b. Entre 101 y 200

c. Entre 201 y 300

d. Entre 301 y 400

e. Más de 400

11. Se muestra una cuadrícula 3× 3. Se quieren colorear tres cuadri-tos de tal manera que los cuadritos coloreados no compartan unlado. En el dibujo se muestra una posible forma. ¾Cuántas formasposibles hay de hacer esto, incluyendo la del ejemplo que se da?

12. Un palíndromo es un número que queda igual cuando los dígitos seescriben en orden contrario. Por ejemplo, 1331 y 21312 son palín-dromos. Un carro marcaba 15951 millas en su odómetro. ¾Cuál esel número de millas que debe recorrer el carro para que aparezcael siguiente palíndromo?

13. ¾Cuántos pares ordenados (x, y), siendo x y y enteros, satisfacenla siguiente ecuación:

xy − x− 15 = 0?

36

14. Si el radio del círculo más grande es 4 y cada círculo tangenteinterior tiene radio 1

4del anterior, ¾cuánto vale el área sombreada?

15. ¾Cuántos triángulos hay en la estrella de la �gura?

37

1.2.3. Superior

1. Pedro nació cuando su hermana Doris tenía 5 años de edad. Aho-ra Doris tiene el doble de la edad de Pedro. ¾Qué edad tiene Pedro?

a. 2 años

b. 3 años

c. 4 años

d. 5 años

e. 6 años

2. Las manzanas cuestan $1, las peras $2 y los mangós $3. Si tenemos$15, ¾de cuántas formas distintas podemos gastarlos todos sincomprar necesariamente de todas las frutas?

a. 21

b. 24

c. 26

d. 27

e. 28

3. La longitud de AB +BC +CD es 22 cm. El perímetro del trián-gulo ABD es 23.75 cm ¾Cuánto más largo es el segmento AD queel segmento CD?

a. 1.25 cm

b. 1.5 cm

c. 1.75 cm

d. 2 cm

e. 2.25 cm

y

y

x

x

A

B

C

D

38

4. Cuatro niños se dividieron un bizcocho de manera equitativa. Jus-tamente antes de comenzar a comer, un quinto niño se les unió.¾Qué porcentaje de su pedazo le tiene que dar cada niño al quintoniño para que todos terminen comiendo lo mismo?

a. 5%

b. 10%

c. 12.5%

d. 20%

e. 25%

5. Con la información del dibujo, ¾cuál es el área del paralelogramo?

5cm2

a. 10cm2

b. 15cm2

c. 20cm2

d. 25cm2

e. No hay su�ciente informa-ción

6. Dos círculos de radio 5 cm se cortan en los puntos P y Q, loscuales están 6 cm aparte. ¾Qué distancia hay entre los centros delos círculos?

Q

P

a. 4

b. 5

c. 6

d. 8


39

7. Hay tres dormitorios en una casa: uno sencillo, otro doble y untercero triple. ¾De cuántas formas distintas puede uno asignarhabitaciones a 6 invitados?

a. 6!

b. 60

c. 300

d. 66


8. ¾Cuál es el número máximo de enteros que se pueden elegir, talesque con certeza, la suma o diferencia entre dos de ellos no es di-visible entre 11?

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. 7

9. En la �gura, la cuadrícula representa posibles caminos entre Ay B. La conexión más corta desde A hasta B mide 8 unidades.¾Cuántas conexiones diferentes de 8 unidades existen desde A has-ta B?

A

B

a. 80

b. 70

c. 36

d. 8


40

10. ¾Cuál es el número máximo de cuadros en un tablero de ajedrez(es decir, un tablero 8× 8) que se puede colorear de verde, de talforma que en cualquier triominó, como el que se muestra en la�gura, al menos un cuadrado no es verde?

a. 12

b. 24

c. 32

d. 36

e. Ninguna de lasanteriores

11. En el siguiente número

1234567891011121314 . . . 979899100,

¾cuántas veces ocurre que dígitos consecutivos corresponden a uncuadrado perfecto de dos dígitos?

12. Una lata de refresco está apoyada sobre un muro como lo muestrael siguiente dibujo:

10cm

8cm

2cm

¾A qué distancia está el punto más alto de la lata desde el piso?

13. El área del triángulo sombreado mide 1cm2. B es el punto medioentre A y F . C es el punto medio entre B y F . D es el puntomedio entre C y F . E es el punto medio entre D y F . Hallar el

41

área del triángulo AGF .

A

B

C

D

E

1/2

1/4

1/8

1/16

F

G

14. ¾Cuál es el valor mínimo que puede tener la expresión x(x−1)(x−2)(x− 3) si x es cualquier número real?

15. Un triángulo de área 1 tiene lados a, b y c con a ≥ b ≥ c. ¾Cuál esel valor mínimo que puede tomar b?

42

1.3. Tercera Fase

1.3.1. Elemental

1. ¾Cuál es la suma de todos los números de 3 dígitos que se puedenformar con los dígitos del número 2011?

2. Cinco niños tienen 4 cartas cada uno. Los niños pueden moversus cartas en cualquier orden para formar números de 4 dígitos.¾Quién de ellos puede formar el número más grande?

MarianaJuan

Pedro

Luis

Oscar

83 1 3 7

4 8 7 7 8 4

2 83 6

1

35 4

7

3. La �gura esta hecha de un rectángulo, dos cuadrados y un trián-gulo equilátero. Asumiendo que los lados de los cuadrados miden2 cm y 4 cm respectivamente, halla el perímetro de la �gura.

4. Considera las siguientes �echas y números.

1

2 3 4

5 6 7

8 9 10

...

43

Si se continua con el mismo patrón, ¾cómo sería el arreglo de�echas desde el 2011 al 2014?

5. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquierlongitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadroA y salta de cuadro en cuadro recorriendo todos los espacios en eltablero una sola vez, ¾de cuántas maneras diferentes puede hacer-lo?

A

6. Cada letra es equivalente a un dígito, a cada letra distinta se leasigna un número distinto y la palabra no puede empezar con 0.Encuentra la equivalencia de la palabra ODIO en números.

AMOR +

AMOR

AMOR

O D I O

7. ¾Cuántos triángulos se pueden formar que tengan como vérticeslos vértices de un hexágono regular?

8. Para escribir todos los enteros del 1 a 1000, ¾cuántos ceros senecesitan?

9. El triángulo ABD de la �gura es isósceles con AB = AD. Si el∠ ADC = 150◦, ¾cuánto mide el ∠ BAD?

B

A

D C

150O

44

10. De cuántas formas se pueden colorear 3 cuadritos de la cuadrículade modo que en cada �la y en cada columna haya un único cuadritocoloreado.

45

1.3.2. Intermedia

1. ¾Cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices en los pun-tos del dibujo?

2. ¾Cuál es la suma de todos los números de 1, 2, 3, ó 4 dígitos quepodemos construir con los dígitos del número 2011?

3. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquierlongitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadroA y salta de cuadro en cuadro recorriendo el tablero y parando encada cuadro sólo una vez, ¾de cuántas maneras diferentes puedehacerlo?

A

4. ¾Qué número es mayor, 100100 ó 5050 · 15050? Explica.

5. ¾Cuántos dígitos tiene el número 12345678910111213 . . . 200920102011?

6. ¾Cuántos enteros positivos tienen exactamente 5 divisores enterospositivos?

7. Tenemos dos grupos de 7 piedras cada uno. Dos jugadores tomanturnos sacando un máximo de 4 piedras de sólo uno de los gru-pos en cada turno. El jugador que se lleva la última piedra gana.¾Tiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Explica.

8. Si x, y son enteros, halla las soluciones de la ecuación x2 = 2011+y2.

46

9. Dados los tres triángulos equiláteros como los que se muestranen la �gura (las longitudes de sus lados se muestra en la �gura),¾cuál es la medida de la altura de la torre formada por los trestriángulos?

3/2

1

9/4

10. Demuestra que 1 + x ≥ 2√x si x ≥ 0.

47

1.3.3. Superior

1. Encuentra todas las soluciones enteras de x2 − 7y = 10.

2. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquierlongitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadroA y salta de cuadro en cuadro recorriendo el tablero y parando encada cuadro sólo una vez, ¾de cuántas maneras diferentes puedehacerlo?

A

3. En la siguiente �gura, encuentra el área de la región sombreadacon las medidas dadas.

4 cm

r =

1 c

m

4. ¾Cuántos años desde el 2011 hasta el 2100 cumplen con la propiedadque la suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto?

5. Para escribir todos los enteros del 1 a 1, 000, 000, ¾cuántos cerosse necesitan?

6. Un cuadrado es cortado en 25 cuadrados más pequeños, de loscuales 24 son cuadrados de lado 1 cm. Determina los posiblesvalores para el área del cuadrado original.

48

7. El último dígito (unidades) del cuadrado de un número es 6. De-muestra que el penúltimo dígito (decenas) es impar.

8. Tres pirámides con base cuadrada y todas sus aristas iguales sesobreponen como muestra la �gura. ¾Cuál es la medida de la alturade la torre formada por las tres pirámides (las longitudes de lasaristas se muestran en la �gura)?

4 cm

2 cm

1 cm

9. Dos jugadores toman turnos poniendo pesetas en una mesa re-donda, sin apilar monedas una encima de otra. El jugador que nopueda poner una peseta más pierde. ¾Tiene alguno de los jugadoresuna estrategia ganadora? Explica.

10. Demuestra que x2 + 2x≥ 3 si x > 0.

49

1.4. Examen de selección

1. El producto de 22 enteros es 1. Demuestre que su suma no puedeser 0.

2. ¾Cuántos números de 6 dígitos tienen al menos un dígito par?

3. (a) Demuestre que p2 − 1 es divisible entre 24 si p es un primomayor que 3. (b) Demuestre que p2 − q2 es divisible entre 24 si py q son primos mayores que 3.

4. Dados 11 números naturales menores que 21, demuestre que sepueden elegir dos tal que uno divide al otro.

5. El punto A, que está dentro de un ángulo agudo, se re�eja conrespecto a ambos lados del ángulo para obtener los puntos B y C.El segmento BC intersecta los lados del ángulo en los puntos D yE respectivamente. Demuestre que BC/2 > DE.

6. Dos niños se turnan en romper una barra de chocolate que esde 5 × 10 cuadraditos. Sólo pueden romper la barra usando lasdivisiones entre los cuadraditos. El jugador que primero rompa uncuadrito individual gana. ¾Existe alguna estrategia ganadora paraalgún jugador?

7. Demuestre que para cualquier número natural n, n3 + (n+ 1)3 +(n+ 2)3 es divisible por 9.

50

2. Soluciones

2.1. Primera Fase

2.1.1. Elemental

1. Las caras se repiten de cada 3. Al dividir 2010 entre 3 obtenemosun cociente de 670 y lo más importante en este ejercicio es que elresiduo es 0. Así que obtenemos la tercera cara en la lista . Larespuesta b es la correcta.

2. Si la abuela le da 10 setas, ella tendrá 32 y la nieta 26. Si le da 11setas, ella tendrá 31 y la nieta 27. Si le da 12 setas, ella tendrá 30y al nieta 28. Si le da 13 setas, ella tendrá 29 y la nieta 29. Por lotanto la respuesta es 13 setas. Alternamente, sea x el número desetas que la abuela le dará a la nieta. Entonces para que tenganla misma cantidad las que le restemos a las de la abuela le seránañadidas a la nieta:

42− x = 16 + x

26 = 2x

13 = x

La respuesta b es la correcta.

3. Como de día sube 5 y de noche resbala 3, entonces al �nalizarcada noche el gusano ha subido 2cm.

día altura alcanzada1 2cm2 4cm...

...35 70cm36 72cm

Por lo tanto, el día 37 durante el día alcanzó el tope del palo (los78cm) antes de resbalar esa noche. La respuesta e es la correcta.

51

4. Si contamos los cuadrados que están completamente rellenos ob-tenemos 12. En las cuatro esquinas obtenemos medios cuadradosy tenemos 2 de estos en cada esquina. Por lo tanto, si los juntamostenemos 4 cuadrados adicionales obteniendo un área de 16cm2. Larespuesta c es la correcta.

5. Como los triángulos tienen los tres lados iguales, el lado del cuadra-do es igual al lado del triángulo. El perímetro es 14cm y está hechode 7 segmentos que miden lo mismo. Luego cada segmento mide2cm. Por lo tanto, el área del cuadrado es 22 = 4cm.

Alternamente, sea a el largo del lado del triángulo, que es igualal largo del lado del cuadrado. Entonces cada triángulo posee doslados que están en el perímetro de la �gura y el cuadrado poseeuno. Por lo tanto

3 · 2a+ a = 14cm

7a = 14cm

a = 2cm

El área del cuadrado es A = a2 = 22 = 4cm2. La respuesta b es lacorrecta.

6. Como en cada vértice tenemos 3 aristas, necesitamos al menos 3colores. Supongamos que a, b y c son los tres colores que usamos,la siguiente �gura muestra como colorearlo.

c

b

c

c

a

a

b

b

c

a

a

b

Por lo tanto, 3 colores son su�cientes. La repuesta b es la correcta.

52

7. Si los números fueran por ejemplo 7, 8, 9 entonces sumarían 24.Si fueran 8, 9, 10, sumarían 27. Si fueran 9, 10, 11 sumarían 30. Sifueran 10, 11, 12 entonces sumarían 33. Por lo tanto los númerosson 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Luego los tres más grandes suman

14 + 15 + 16 = 45

Alternamente, sean a, a + 1 y a + 2 los menores tres númerosconsecutivos. Luego

(a) + (a+ 1) + (a+ 2) = 33

3a+ 3 = 33

3a = 30

a = 10

Entonces los números son 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 y así, la sumade los tres mayores es

14 + 15 + 16 = 45

La respuesta d es la correcta.

8. Primero consideremos la cantidad de pizzas de solamente quesoque podemos tener. Sólo cambiaría el tamaño: pequeña, medianao grande: 3. Ahora consideremos tener un solo ingrediente. Porcada ingrediente obtenemos 3 más, de acuerdo al tamaño. Comoson 4 ingredientes distintos, de un solo ingrediente obtenemos 12pizzas distintas. Si tenemos 2 ingredientes obtenemos nuevamente3 de acuerdo al tamaño y como tenemos que escoger de 4 ingre-dientes 2, obtenemos peperoni y jamón, peperoni y setas, peperoniy aceitunas, jamón y setas, jamón y aceitunas y seta y aceitunas.Por lo tanto de 2 ingredientes obtenemos 18 pizzas distintas. Porlo tanto la cantidad total de pizzas distintas es

3 + 12 + 18 = 33

La respuesta e es la correcta.

53

9. Para que la suma de dos números sea impar necesitamos que suparidad sea distinta, es decir, si uno de los cuadrados tiene unnúmero par entonces necesitamos que el otro sea impar. Por ejem-plo, si uno de los cuadrados no contiene puntos, es decir 0 puntos,entonces para obtener una suma impar necesitamos que el otrocuadrado posea 1, 3 o 5 puntos, así que para cada número par, 0,2, 4 o 6, obtenemos 3 piezas que al sumar la cantidad de puntos desus cuadros es impar. Por lo tanto, el total es 4 · 3 = 12. Note quelas impares ya las hemos contado. La respuesta c es la correcta.

10. El número más grande será uno de los que más dígitos contengay entre todos estos el más grande será el que tenga dígitos másgrandes. Como el uno sólo requiere dos palillos entonces necesita-mos un número con muchos unos. Seis unos no es posible por quesólo nos quedaría un palillo y no podemos hacer ningún dígito conun palillo. De igual forma, cinco unos no es posible pues no hayningún dígito que se pueda hacer con 3 palillos. Cuatro unos sí esposible y sobrarían 5 palillos. Como con 5 palillos no se puedenconstruir dos dígitos, entonces hacemos un dígito que sea el másgrande posible, el cual es el 5. Por lo tanto, los dígitos del númeromás grande que César pudo haber escrito son 1, 1, 1, 1 y 5. Lasuma de estos dígitos es

1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9


11. Utilizemos letras para nombrar cada uno de los amigos

noche guardias1 A & B2 A & C3 A & D4 B & C5 B & D6 C & D

Notemos que sólo necesitamos las letras de la A a la D, así queeran 4 amigos. La respuesta b es la correcta.

54

12. Dividamos cada uno de los hexágonos regulares en triángulos equi-láteros

Obtenemos 22 triángulos equiláteros. Como el área total es 154cm2

y hay 22 triángulos de igual área, entonces el área de cada triánguloes 154

22cm2. Lo que queremos es encontrar el área de 4 de estos

triánguos, es decir

4 · 15422

= 28cm2

La respuesta c es la correcta.

13. El reloj cambiará su primer dígito cuando llegue a 10, 20 y 00:

09 : 59 : 59→ 10 : 00 : 00

19 : 59 : 59→ 20 : 00 : 00

23 : 59 : 59→ 00 : 00 : 00

Y estas son las únicas horas a las que cambian todos los dígitos.La respuesta b es la correcta.

14. En la siguiente tabla observamos las potencias de 2 distribuidasen cuatro columnas

2 4 8 1632 64 128 256· · · · · · · · · · · ·

Estas repiten su último dígito cada 4 números.

2010 = 502 · 4 + 2

Como el residuo de 2010 al ser dividido por 4 es 2, el número2× 2× · · · × 2︸︷︷︸

2010 veces

cae en la segunda columna y por lo tanto su último

dígito es 4. La respuesta b es la correcta.

55

15. La última página arrancada debe ser par y como tiene los mismosdígitos que la primera pero en orden distinto, la última página esla 318. La página que se encuentra en la parte frontal de esa hojaes la 317. Por lo tanto removiendo hoja por hoja vamos quitandolas siguientes páginas

páginas removidas183-184185-186187-188

...315-316317-318

Necesitamos contar cuantas �las hay en la tabla anterior. Parahacer esto podemos por ejemplo contar cuantos términos tienela lista 184, 186, 188, · · · , 318. Dividiendo por 2 cada númeroobtenemos una lista que tiene la misma cantidad de términos: 92,93, · · · , 159. Si le restamos a cada número 91 obtenemos una listaque tiene la misma cantiad de términos: 1, 2, · · · , 68. Por lo tantola tabla anterior tiene 68 �las. La respuesta a es la correcta.

16. Primero medimos 12 libras de clavos en cada plato. Descartamos12 libras y con las 12 restantes, medimos 6 libras de clavos en cadaplato. Guardamos 6 libras. Ahora, con las 6 restantes medimos 3en cada plato. Juntamos 3 de estas con las 6 que guardamos en lamedición anterior y tenemos las 9 libras de clavos que queremos.En total, necesitamos sólo tres mediciones. Con sólo una medicióno dos mediciones no es posible. La respuesta c es la correcta.

17. El mes de enero tiene 31 días. Si el mes comenzara antes delmartes tendría 5 lunes y si comenzara después del martes ten-dría 5 viernes. Por lo tanto, el mes comenzó en martes. El primermartes del mes fue el día 1, el segundo martes del mes fue el día8, el tercer martes del mes fue el día 15, el cuarto martes del mesfue el día 22. Así que el día 20 fue domingo. La respuesta d es lacorrecta.

56

18. Primero consideremos el polígono subdividido en 3 regiones

3

21

Cada región es de 2 × 2 Podemos cubrir cada una de ellas conbloques verticales u horizontales. Por ejemplo, el que se ilustra enel enunciado es el horizontal (h), vertical (v), vertical (v). A con-tinuación mostramos el cubrir las tres regiones de forma vertical(v), vertical (v), vertical (v):

3

21

Ahora podemos pensar en todas las formas de llenar cada una delas regiones con bloques todos verticales o todos horizontales.

vvv hhhvvh hhvvhv hvhhvv vhh

Ahora consideramos las formas de dividirlo en rectángulos inter-calando regiones.

57

Estas son todas las posibles divisiones. En total tenemos 8+3 = 11.La respuesta c es la correcta.

19. Utilizemos la siguiente tabla para hacer nuestro conteo.

números cantidad cantidad total de dígitos1-9 9 9× 1 = 910-99 90 90× 2 = 180100-199 100 100× 3 = 300200-699 500 500× 3 = 1500

Así que hasta ahora tenemos un total de

9 + 180 + 300 + 1500 = 1989 dígitos

Así que necesitamos 2010− 1989 = 21 dígitos más. Cada númerotiene 3 dígitos en el rango de 700 − 799. Al dividir 21 entre 3obtenemos 7 y residuo 0. Luego el dígito 2010 de la sucesión es elúltimo dígito del 7-mo número después del 699. Ese es el número706 cuyo último dígito es el 6. La respuesta d es la correcta.

20. Si dibujamos el segmento BD, obtenemos 2 triángulos. El trián-gulo ABD y el triángulo BCD. Sean los ángulos 1, 2, 3 y 4 comoindica la �gura.

58

A B

C

D

a

b

b

a

70

20

4

1

3

2

Como la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360◦,entonces

]1 + ]2 + ]3 + ]4 + 70◦ + 20◦ = 360◦

luego

]1 + ]2 + ]3 + ]4 + 90◦ = 360◦

]1 + ]2 + ]3 + ]4 = 270◦

Como el lado DC y el lado BC miden lo mismo,

]1 = ]3

De igual manera como el lado AB y el lado BC miden lo mismo,

]2 = ]4

Combinando esta información obtenemos

]1 + ]2 + ]3 + ]4 = 270◦

]3 + ]4 + ]3 + ]4 = 270◦

2 · (]3 + ]4) = 270◦

]3 + ]4 = 135◦

La medida del ángulo ABC es precisamente la suma de las medi-das de los ángulos 3 y 4. La respuesta d es la correcta.

59

2.1.2. Intermedia

1. Como 3 alumnos estudian ambos lengüajes, 11 estudian sólo es-pañol y 5 estudian sólo francés. Utilizemos el siguiente diagramade Venn para organizar nuestros hallazgos.

311 5

Español Francés

Sumando estos números obtenemos 11 + 3+ 5 = 19. La respuestac es la correcta.

2. Organizamos a Katya y a sus amigos en forma circular. K repre-senta a Katya, h representa a un hombre y m a una mujer. ComoKatya es mujer a ambos lados tendrá hombres. Cada uno de estos,a su vez tendrá una mujer de vecina en el lado opuesto. Así suce-sivamente hasta ubicar los 5 hombres. Entonces obtenemos unasituación como la siguiente.

K

hm h

m

h

mhm

h

Contando a Katya tenemos 5 mujeres. La respuesta e es la correc-ta.

3. Considere el siguiente triángulo:

60

h

49.99949.999

.002

Utilizando Pitágoras podemos encontrar h, su altura

(.001)2 + h2 = (49.999)2

h2 = (49.999)2 − (.001)2

h2 = 2499.9

h ≈ 49.99899999

Por lo tanto su área

A ≈ 1

2· .002 · 49.99899999 ≈ 0.049999

es menor que .1, que es la contestación más pequeña de las posi-bles. Este ejemplo ilustra que con un perímetro �jo siempre sepuede hacer un triángulo con área tan pequeña como uno quiera.Por lo tanto no hay área mínima. La respuesta e es la correcta.

4. Sea x la distancia de P a BC, entonces, la distancia de P a AB es2x. Con esta información podemos encontrar el largo de los ladosdel rectángulo ABCD en términos de x, como se muestra en la�gura:

A

B C

D

P

4x

2x

x

2x

61

Como el perímetro del rectángulo ABCD es 120cm, entonces

2(2x) + 2(4x) = 120cm

4x+ 8x = 120cm

12x = 120cm

x =120

12cm

x = 10cm

Ahora, podemos calcular el área del rectángulo ABCD,

A = (2x)(4x) = 8x2 = 8(10cm)2 = 800cm2


5. Si n fuera par, nos podemos mover a cualquier celda adyacente yluego regresar a la esquina. Si repetimos este proceso el número deveces que sea necesario, siempre esteremos de vuelta en la esquinainicial en un número par de movidas. Por lo tanto cualquier valorpar para n es posible.

Si n fuera impar, nos movemos 2 celdas en alguna dirección en laprimera movida. Luego regresamos a la celda que dejamos entremedio. Luego a la celda dónde estabámos al terminar la primeramovida. Al igual que el caso anterior continuamos moviendonosentre estas dos celdas. Cuando estemos en la celda continua a lade la esquina siempre habremos hecho un número par de movidas.Para alcanzar n, cuando hayamos hecho n− 1 movidas estaremosen la celda continua a la de la esquina, una movida a la celda dela esquina y así regresamos a ésta en un número n de movidas.Por lo tanto cualquier valor impar para n es posible. La respuestae es la correcta.

6. Sea abcd uno de estos números de cuatro dígitos, dónde cada letrarepresenta un dígito. Además, sabemos que b = 6. Como el númeroes divisible por 5, entonces, d solamente puede ser 0 ó 5, perocomo también es divisible por 4, el número que estamos buscandodebe ser par. Así que d = 0. Siendo divisible por 4, entonces lasposibilidades para los últimos dos dígitos son: 00, 20, 40, 60 y

62

80. Sin embargo como el primer dígito es el doble del tercero,descartamos que c sea 6 u 8 porque su doble sería un número demás de un dígito. Así que llegamos a las siguientes posibilidades:

060046208640

El primero de estos números no tiene cuatro dígitos, así que quedadescartado. La respuesta c es la correcta.

7. Sea x el número que estamos buscando. Entonces

96x

= 278

326x

= 338

312x = 324

Como las bases son iguales, los exponentes son iguales,

12x = 24

x =24

12x = 2

La respuesta a es la correcta.

8. Sea c el número de cajas y n el número de conejos. El enunciado si

colocamos 5 conejos por caja al �nal sobran 15 conejos lo podemosexpresar mediante la siguiente ecuación

5 · c+ 15 = n

Y el enunciado: si colocamos 8 conejos por caja me sobran 3 cajas

lo podemos expresar con la siguiente ecuación

8 · (c− 3) = n

63

Igualando estas dos ecuaciones obtenemos

8(c− 3) = 5c+ 15

8c− 24 = 5c+ 15

8c− 5c = 15 + 24

3c = 39

c =39

3c = 13


9. Identi�quemos los lados de cada uno de los rectángulos como in-dica la �gura.

l3

l1

l2

l2

l1

l3

l1

l4

l4

12cm

12cm

El área del rectángulo sombreado con las identi�caciones que hemoshecho es

A = l1 · l2Como el cuadrado tiene lado 12cm, obtenemos

l1 + l3 = 12cm l2 + l4 = 12cm

En particular l3 = 12 − l1. Como los tres rectángulos tienen elmismo perímetro

2l1 + 2l2 = 2l1 + 2l4 = 2l3 + 24cm

64

De aquí obtenemos que l2 = l4 y combinado esto con las ecuacionesanteriores obtenemos que l2 = 6cm. También obtenemos

2l1 + 2 · 6 = 2l3 + 24

2l1 = 2(12− l1) + 24− 12

2l1 = 36− 2l1

4l1 = 36

l1 =36

4l1 = 9cm

Por lo tanto el área del rectángulo sombreado es

A = l1 · l2 = 9cm · 6cm = 54cm2


10. Si los dígitos del número fueran 9, la suma de sus dígitos sería10 · 9 = 90. Así que uno y solamente uno puede ser 8 y nadamenor. Como el número es par, este debe ser el último dígito. Lacontestación e es la correcta.

11. Si podemos tener únicamente un cuadrito negro en cada �la ycolumna, solamente podemos tener 5 cuadritos negros. Así quedebemos eliminar 6. En la siguiente �gura obtenemos lo requerido.


65

12. Notemos que María dibujó segmentos de línea entre los puntos,así para el primer punto necesitó 4 líneas para poder llegar a cadauno de los demás puntos. Para el segundo necesitó 3 por que yano necesitaba para el primer punto y así sucesivamente. Para los10 puntos que dibujó podemos encontrar el número de segmentosde la siguiente forma:

4 + 3 + 2 + 1 = 10

Si Pedro dibujó 12 puntos, siguiendo de la misma forma, entoncesel necesitará dibujar

11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 segmentos


13. Hagamos un conteo de cuantas veces necesitamos el dígito 2 co-mo unidad, decena, centena y unidad de mil. Para ello veamoscuantas veces necesitamos el 2 como unidad en cada decena; comodecena en cada centena; como centena en cada unidad de mil; ycomo unidad de mil del 1 al 2010. En cada decena necesitamos eldígito 2 una vez como unidad (tenemos 10 · 10 · 2 + 1 decenas).En cada centena, necesitamos el dígito 2, 10 veces como decena(tenemos 10 · 2 centenas). Por cada unidad de mil, lo necesitamos100 veces como centena (tenemos 2 unidades de mil). En los 2000lo necesitamos como unidad de mil 11 veces. En la siguiente tablaorganizamos nuestros hallazgos.

dígito númerounidad 1 · (10 · 10 · 2 + 1)decena 10 · (10 · 2)centena 100 · (2)unidad de mil 11

En total tenemos 612. La respuesta a es la correcta.

14. Tenemos 4 digítos y para cada uno de ellos tenemos 5 opciones:1, 3, 5, 7 y 9. Cada una de estas opciones es independiente de lasotras. Así que tenemos 54 números impas de 4 dígitos. La respuestab es la correcta.

66

15. Imaginemos que hemos colocado los números de la forma que indi-ca el problema. Ahora sea S la suma de cada �la. Si luego sumamosel resultado de la suma de cada �la obtenemos 4S. Pero esto es lomismo que sumar los números del 1 al 16. Si utilizamos la fórmulade Gauss:

1 + 2 + 3 + · · ·+ 16 =16(16 + 1)

2= 8 · 17

Pero esto es igual a 4S:

4S = 8 · 17

S =8 · 174

S = 2 · 17S = 34


16. Note que el problema no requiere que los extremos de los segmen-tos de línea sean los puntos indicados.

1

2

3

4

Es fácil ver que con menos segmentos rectilíneos no se puede. Larespuesta c es la correcta.

17. En cualquier triángulo la suma de las longitudes de dos de suslados tiene que ser mayor que la longitud del tercero. Si la longitudde BC fuera 5, entonces la longitud de AC más la longitud de ABsería 3.8+.6 = 4.4 y esto no es posible. Si fuera 3 o menos, entoncesla longitud de AB más la longitud de BC, será menor que 3.6. Asíque la longitud de BC es 4. La respuesta d es la correcta.

67

18. Utilicemos la siguiente tabla para estudiar las potencias de 2, 3, 5y 7.

potencia 2 3 5 71 2 3 5 72 4 9 25 493 8 27 125 3434 16 81 625 2401

Las siguientes potencias comenzarán a repetir sus últimos dígitos;por ejemplo, 25 = 32. Note que en todas las potencias de 5 suúltimo dígito es 5 y las potencias de 3 y 7 tienen como últimodígito 1 para la potencia 4. Así que cada 4 potencias se repiten losúltimos dígitos. Al dividir 2010 por 4 obtenemos 2 como residuo.Así que sumamos los últimos dígitos de las potencias que tenemosen la segunda �la de la tabla. Esto es:

4 + 9 + 5 + 9 = 27


19. Queremos encontrar las soluciones enteras para esta ecuación. Ob-servemos que factorizando la diferencia de cuadrados y utilizandofactorización prima obtenemos lo siguiente:

x2 − y2 = 303

(x+ y) · (x− y) = 1 · 303= −1 · −303= 3 · 101= −3 · −101= 101 · 3= −101 · −3

Como los números x y y son enteros también lo serán su suma ysu resta.

Por lo tanto, estudiemos cada uno de los casos.

68

a)

x− y = 1

x+ y = 303

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = 304 y por lotanto, x = 152 y y = 151.

b)

x− y = −1x+ y = −303

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = −304 y por lotanto, x = −152 y y = −151.

c)

x− y = 3

x+ y = 101

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = 104 y por lotanto, x = 52 y y = 49.

d)

x− y = −3x+ y = −101

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = −104 y por lotanto, x = −52 y y = −49.

e)

x− y = 101

x+ y = 3

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = 104 y por lotanto, x = 52 y y = −49.

f )

x− y = −101x+ y = −3

69

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = −104 y por lo tanto,x = −52 y y = 49. Por lo tanto hay 6 soluciones distintas. Larespuesta e es la correcta.

20. Considere la situación en la que hemos numerado las monedas dela siguiente manera

2 3

4 5 6

9 10

1

87

Las monedas 1, 2, 3 forman un triángulo. Así que debemos removeral menos una de ellas. De igual forma las monedas 4, 7, 8 formanotro triángulo. Así que también debemos remover una de ellas. Lasmonedas 6, 9, 10 de nuevo forman otro triángulo y por lo tanto,una de ellas debe ser removida. De esta manera, entonces debemosremover al menos tres monedas. Removiendo las monedas 1, 8, 9todavía tendríamos triángulos que tendrían la moneda 5 como unode sus vértices. Si removemos esta, obtenemos.

Con esta con�guración encontramos que al remover 4 monedaspodemos obtener lo que queremos. La respuesta c es la correcta.

70

2.1.3. Superior

1. Sea j el número de jarras, v el número de vasos y c el númerode chinas. El enunciado �una jarra sirve un total de 1.5 vasos de

jugo�, lo podemos expresar con la ecuación

3

2j = v

El enunciado �cada china llena 1/5 de la jarra�, lo podemos ex-presar con la ecuación

1

5c = j

Combinando estas ecuaciones obtenemos

v =3

2

(1

5c

)=

3

10c

Por lo tanto, 103v = c. Si queremos 12 vasos de china, entonces

necesitamos

c =10

3· 12 = 40


2. Identi�quemos �las y columnas como indica la �gura.

F4

C1

C2

F1

F3

F2

71

Ahora observe los cubitos 1, 2 y 3. Estos tienen 2 caras exterioresque han sido pintadas y 2 caras interiores que han sido pintadas,puesto que se removieron C1 y F1, F2 y F3, C2 y F4.

F4

C1

C2

F1

F3

F2

1

2

3

De igual forma pero ocultos a la vista tenemos 3 cubitos con 4caras pintadas. Así, existen 6 cubitos con 4 caras pintadas. Larespuesta d es la correcta.

3. Como a ∗ b = 24 entonces

a ∗ b = 24

(a+ 1)(b− 1) = 24 (1)

ab− a+ b− 1 = 24

ab− a+ b = 25 (2)

y como b ∗ a = 30 entonces

b ∗ a = 30

(b+ 1)(a− 1) = 30

ab+ a− b− 1 = 30

ab+ a− b = 31 (3)

72

Si restamos (2) de (3), obtenemos

(ab+ a− b)− (ab− a+ b) = 31− 25

2a− 2b = 6

a− b = 3

a = b+ 3

Utilizando (1) entonces

(a+ 1)(b− 1) = 24

(b+ 3 + 1)(b− 1) = 24

(b+ 4)(b− 1) = 24

b2 + 3b− 28 = 0

(b+ 7)(b− 4) = 0

Por lo tanto b = 4 y a = 7. La respuesta a es la correcta.

4. Sea a la longitud del lado de alguno de los triángulos equiláterosy h su altura.

h

aaa

El área total At, equivale a cinco triángulos, luego

AT = 5 ·(1

2ah

)=

5

2ah

Note que el área sombreada As es

As =1

2· base · altura

=1

2

(5

2a

)h

73

Por lo tanto, el área sombreada es la mitad del área total. Larespuesta c es la correcta.

5. De un vértice podemos crear 4 segmentos de línea distintos. Delsiguiente podemos crear 3, porque ya contamos uno con el vérticeanterior y así sucesivamente. De tal manera, la cantidad total desegmentos que tenemos es

4 + 3 + 2 + 1 = 10

Las �guras que queremos son las �guras en las cuales escogemos2 de estos 10 segmentos, por lo tanto,(

10

2

)=

10!

2!8!=

10 · 9 · 8!2 · 8!

= 45


6. Sea x la edad actual de María. Hace 18 años ella tenía x−18 y comola edad de Juan era el triple de esto, la edad de Juan era 3(x−18).Utilizemos la siguiente tabla para organizar la información

año Edad de Juan Edad de María18 años atrás 3(x− 18) x− 18

ahora 2x x

De igual forma la edad de Juan hoy es 18 años más de lo que erahace 18 años.

3(x− 18) + 18 = 2x

3x− 3(18) + 18 = 2x

x = 18(2)

x = 36

Así que la edad de María hace 18 años era 18. La respuesta b esla correcta.

7. En el peor de los casos sacamos 3 colores distintos las primeras3 veces que sacamos canicas. De igual forma, sacamos 3 coloresdistintos en los intentos 4, 5 y 6. Pero ya tendremos al menos 2canicas del mismo color y de seguro en el intento 7 tendremos 3canicas del mismo color. La respuesta c es la correcta.

74

8. Sean x, y y z la cantidad de billetes de 1, 3 y 5 rublos, respectiva-mente. Utilicemos la siguiente tabla para organizar la informacióndada

tipo de billete 1 rublo 3 rublos 5 rublosnúmero de billetes x y z

valor x 3y 5z

Sabemos que el valor total son 25 rublos. Por lo tanto,

x+ 3y + 5z = 25

La cantidad de billetes son 10. Por lo tanto,

x+ y + z = 10

Entonces,

x+ 3y + 5z = 25

(x+ y + z) + 2y + 4z = 25

10 + 2y + 4z = 25

2y + 4z = 15

2 · (y + 2z) = 3 · 5

La cantidad de cada billete es un número entero y de igual maneracualquier suma envolviendo estas. Esta última ecuación no tienesoluciones enteras. La respuesta e es la correcta.

9. Tenemos que encontrar todas las formas de sumar 3 números entre1 y 6 que el resultado sea 10. Observemos los siguientes casos

6,3,1 5,4,1 5,3,26,2,2 4,4,2 4,3,3

Los casos que tenemos en la primera �la tienen cada uno 6 per-mutaciones distintas. Así que éstas nos dan 3 · 6 = 18 formasdistintas de obtener que la suma de las tres tiradas sea 10. Loscasos que tenemos en la segunda �la tienen 2 números repetidos ypor lo tanto, cada una tiene solamente 3 permutaciones distintasy éstas nos dan 3 · 3 = 9 formas distintas de obtener que la sumade las tres tiradas sea 10. En total tenemos 27 formas de lograresto. La respuesta d es la correcta.

75

10. El menor de estos números es el 10, ya que el cuadrado de losdígitos de cualquier número menor que 10, es mayor que el númeroy no puede ser su divisor, luego los números que estamos buscandoson de dos dígitos. Suponga que n es uno de estos números en elque a es el dígito de las decenas y b es el dígito de las unidades.Entonces,

n = 10 · a+ b

Como la suma de los cuadrados de sus dígitos divide el número,existe un entero positivo c tal que,

c · (a2 + b2) = n

Combinando estas ecuaciones obtenemos lo siguiente:

c · (a2 + b2) = 10 · a+ b

ca2 + cb2 = 10a+ b

ca2 − 10a = b− cb2

a(ac− 10) = b(1− cb)

Si b = 0, entonces, ac− 10 = 0 y, por lo tanto, a divide a 10. Asíque a = 1, (10, ya lo habíamos encontrado), a = 2 (20) ó a = 5(50). Si b 6= 0, entonces,

a

b(ac− 10) = 1− cb

Lo que implicaría que abes un entero y que b es divisor de a. Los

posibles números serían los múltiplos de 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66,77, 88, 99 y

21 31 41 42 51 61 6263 71 81 82 84 91 93

Ninguno de estos números es divisible por la suma de los cuadradosde sus dígitos. La respuesta b es la correcta.

11. Sea r el radio del círculo circunscrito. Veamos la situación en lasiguiente �gura:

76

2

2

r

B

A

AB es una mediana del triángulo, por lo tanto, r = 23AB. En este

caso la mediana AB mide 2 + r. Por lo tanto,

r =2

3(2 + r)

3r = 4 + 2r

r = 4


12. Sea t el tiempo que toma ir de subida, entonces, si el viaje totaltoma 4 horas, el viaje de bajada tomará 4− t horas. La distanciaentre los dos pueblos es la misma no importa en que dirección seestá viajando y como distancia es velocidad por tiempo, tenemos:

distanciasubida = distanciabajada

15 · t = 30 · (4− t)15t = 120− 30t

45t = 120

t =120

45

t =8

3

Así que la distancia entre los pueblos es 15· 83= 40km. La respuesta

a es la correcta.

13. Por cada juego que no hubo empate, hubo un ganador y un perde-dor, luego, se acumularon 4 puntos por el ganador y 1 punto por el

77

perdedor para un total de 5 puntos por juego. Si el juego terminóempate, cada equipo obtuvo 2 puntos para un total de 4 puntospor juego. Veamos las posibilidades en la siguiente tabla:

juegos con ganador juegos empatados puntos acumulados10 0 5 · 10 + 4 · 0 = 509 1 5 · 9 + 4 · 1 = 498 2 5 · 8 + 4 · 2 = 487 3 5 · 7 + 4 · 3 = 476 4 5 · 6 + 4 · 4 = 46

Por lo tanto hubo 4 empates. La respuesta d es la correcta.

14. Para hacer este ejercicio, podemos usar el hecho de que paracualquier múltiplo de 9, la suma de sus dígitos es múltiplo de9, entonces,

19100 = (1 + 18)100 = 1 + 9k

para algún k entero. La suma de los dígitos de 9k es un múltiplode 9, luego, la suma de los dígitos de 1+9k es un número que tienela forma 1 + 9s pero menor que 1 + 9k. Si seguimos este procesollegaremos a 1 + 9 · 1 = 10. Al sumar los dígitos de 10 se obtiene1. La respuesta a es la correcta.

15. Llamemos a los niños oi y las niñas ai. El niño o1 tiene 3 amigas:a1, a2 y a3. Ahora, cada una de estas niñas ya tiene un niño ami-go, así que cada una sólo tiene un (niño) amigo más. Si fuera elmismo niño o2 que fuera amigo de las tres, entonces crearíamos ungrupo de 2 niños y 3 niñas que no interactuán con nadie más en laclase. Pero debemos tener al menos 31 alumnos, y, de acuerdo a larestricción de las mesas, sabemos que no hay más de 39 alumnosen la clase, por lo tanto, si tenemos 7 grupos como el descrito arri-ba, en los que cada grupo interactúa sólo entre ellos, tendríamos7 · 5 = 35 alumnos en la clase. La respuesta c es la correcta.

16. Sea o el número de niños en la clase y sea a el número de niñas enla clase. Seam el costo de unmu�n y s el costo de un sandwich. Elenunciado, si todos los niños compran un mu�n y todas las niñas

compran un sandwich gastarán un centavo menos que si todos los

78

niños compran un sandwich y todas las niñas compran un mu�n,podemos describirlo con la ecuación

o ·m+ a · s = o · s+ a ·m− 1

Entonces,

o ·m− a ·m− o · s+ a · s = −1(o− a) · (m− s) = −1

Así que (o − a) > 0 y divide a −1. Por ser entero, o − a = 1. Larespuesta a es correcta.

17. Considere la estrella con el pentágono interior y con los ángulosindicados como en la �gura:

a

b

c

d

e

α

β δ

η

γ

Note que tenemos 5 triángulos distintos y como la suma de lamedida de los ángulos de cada triángulo es 180◦, obtenemos losiguiente:

a+ β + η = 180◦

b+ α + γ = 180◦

c+ β + δ = 180◦

d+ η + γ = 180◦

e+ α + δ = 180◦

79

Sumando estas ecuaciones y utilizando que la suma de la medidade los ángulos internos de un pentágono es 540◦ obtenemos:

2(α + β + γ + δ + η) + (a+ b+ c+ d+ e) = 900◦

2(α + β + γ + δ + η) + 540◦ = 900◦

2(α + β + γ + δ + η) = 900◦ − 540◦

2(α + β + γ + δ + η) = 360◦

α + β + γ + δ + η =360

2◦

α + β + γ + δ + η = 180◦


18. En total tenemos 6 cuestionarios. El primer cuestionario tiene 3preguntas únicas y 5 que no son únicas. Como queremos el númeromáximo de preguntas, estas 5 solamente las utilizamos en otro úni-co cuestionario, digamos en el segundo. Si sumamos las 3 preguntasúnicas del segundo cuestionario tenemos un total de 11 pregun-tas para dos cuestionarios. Como son 6 cuestionarios, se requieren11× 3 = 33 preguntas. La respuesta c es la correcta.

19. Es fácil ver que 1 es solución, sustituyendo. Al dividir el poli-nomio cuártico por (x − 1) obtenemos x3 + 2x2 + 3x + 4. Alevaluar cualquier entero positivo en este polinomio el resultadoserá positivo porque estamos sumando todos los términos y és-tos son positivos. Las posibles raíces racionales negativas de estepolinomio son los divisores de 4. Al evaluar −1, obtenemos 2, asíque no es raíz. Al evaluar −2 obtenemos −2, así que tampoco esraíz. Al evaluar −4, obtenemos −40. La única raíz entera es 1. Larespuesta b es correcta.

20. Ilustremos la situación en la siguiente �gura:

80

D C

BA

O

Observemos lo que está ocurriendo dentro del cuadrado.

D C

BA

O

Note que AO es un radio del círculo y como la mediatriz de BCpasa por O, entonces, DO tiene longitud igual al radio del círculo.AD es también un radio del círculo, así que, el triángulo ADO esequilátero y además, el ángulo AOD mide 60◦. El ángulo ODCmide 30◦, porque es el complemento del ángulo ADO, que es tam-bién uno de los ángulos del triángulo equilátero ADO. El lado DCtiene la longitud de un radio del círculo, así que el triángulo DOCes iscóceles, luego los ángulos DCO y DOC miden lo mismo yutilizando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es180◦ obtenemos que el ángulo DOC mide 75◦.

La medida del ángulo AOC es la suma de los ángulos AOD yDOC, por lo tanto,

]AOC = ]AOD + ]DOC = 60◦ + 75◦ = 135◦

81


2.2. Segunda Fase

2.2.1. Elemental

1. Los muñecos se repiten cada 6. Por ejemplo, el muñeco está enla 6ta posición y volverá a estar en la posición 12, 18, etc. Como

2010 es múltiplo de 6, en la posición 2010 estará el muñeco . Larespuesta a es la correcta.

2. Frente a Susana tenemos 4 �las y detrás de ella 6 �las. Contandola �la donde ella se encuentra tenemos: 4+6+1 = 11 �las. Si cadauna tiene 9 sillas, en total tenemos 11 · 9 = 99 sillas. La respuestac es la correcta.

3. La caja que María construyó tenía 4 ·3 ·3 = 36 cubitos. La estruc-tura que dejó Luis la podemos romper en dos pedazos:

Cada una contiene 9 cubitos para un total de 18. Así que Luistomó 36− 18 = 18 cubitos. La respuesta e es la correcta.

4. Eliminamos el 4 por que no tenemos uno al frente: 1232331. Sieliminamos ahora solamente uno de ellos no logramos lo que que-remos. Sin embargo, si eliminamos los 2's, sí lo logramos. En totalhemos eliminado 3 dígitos. La respuesta c es la correcta.

82

5. La suma es 67+47 = 114 y la resta es 67− 47 = 20. La diferenciaentre éstas es 114− 20 = 94. La respuesta d es la correcta.

6. Del 1 al 99, se utiliza el 9 como unidad, una vez cada decena: 9,19, 29, · · · , 89, 99. Así que lo necesitamos 10 veces como unidad.Del 90 al 99, lo usamos 10 veces como decena, luego en total loutilizamos 10 + 10 = 20 veces. La respuesta d es la correcta.

7. Como el largo del rectángulo mide 3 veces el ancho, entonces mide36cm. El perímetro de este rectángulo es 2(12) + 2(36) = 96cm.El cuadrado que nos interesa entonces tiene perímetro una terceraparte de éste: 96/3 = 32cm. Éste perímetro es 4 veces la longituddel lado del cuadrado, por lo tanto el lado del cuadrado mide32/4 = 8cm. La respuesta c es la correcta.

8. Como ninguno puede regalarse a sí mismo, la persona que recibeun regalo de uno de sus amigos, debe regalarle al otro amigoporque si no, este último se regalaría a sí mismo. Sean Juan, Maríay Pedro los tres amigos, las posibles situaciones son las siguientes:

Juan le regala a María, María a Pedro y Pedro a Juan.

María le regala a Juan, Juan a Pedro y Pedro a María.

No existen más posibilidades. La respuesta b es la correcta.

9. Si el precio de un lápiz es x, entonces el precio de un bolígrafoes 2x. Así que veamos la información que sabemos en la siguientetabla.

cantidad precio por cada uno totallápices 8 x 8xbolígrafos 9 2x 18xtotal 26x

El dinero total es 26x. Si fueran únicamente lápices, podría com-prar 26. La respuesta d es la correcta.

10. Considere la cuadrícula numerada de la siguiente manera

83

87

4

1 2

9

6

3

5

Caso A: Cuadrícula 5 sombreada:

87

4

1 2

9

6

3

Entonces, las cuadrículas pares no pueden ser sombreadas. De lasimpares sombrearemos, 3 y quedará una sola sin sombrear. Comohay 4 de ellas, tenemos 4 formas distintas de dejar una sin som-brear. Así que tenemos 4 formas distintas de sombrear 4 cuadritos.

Caso B: Cuadrícula 5 sin sombrear:

87

4

1 2

9

6

3

NO

84

Si sombreamos la 4,

8

2

9

6NO

3

NO

NO

y entonces sombreamos la 3,

8 9

NO NO

NO

NO NO

no tendríamos con�guración posible. Similarmente si sombreamosla 9. Por lo tanto, la única con�guración posible si sombreamos la4 es:

85

Si sombreamos la 1,

87 9

6

3

NONO

NO

y entonces sombreamos la 6,

87

NONO

NO NO

NO

no tendríamos con�guración posible. Similarmente si sombreamosla 8 en lugar de la 6. Por lo tanto, la única con�guración posiblesi sombreamos la 1 es:

86

En total tenemos 4 + 1+ 1 = 6 formas distintas de lograr nuestroobjetivo. La respuesta d es la correcta.

11. Como el producto de los tres números es 140 y el de los primerosdos es 28, el tercer número es 140

28= 5. Los factores positivos de

28 son

28 · 114 · 27 · 4

Para que la suma del primero con 5 sea 7, el primero debe ser2 y el segundo 14. Por lo tanto, la suma de los tres números es2 + 14 + 5 = 21.

12. Ya sabemos que existe una suma con 3 términos, así que la sumacon la mayor cantidad posible de términos no puede incluir 11, 10ó 9. Sí sería posible

8 + 2 + 1 7 + 3 + 1 6 + 4 + 1 6 + 3 + 2

Sin embargo, 5+3+2+1 contiene más términos que las anteriores.Si tuvieramos una suma que contenga al 4, tendríamos entonces,1 + 2 + 3 + 4 = 10. Así que la suma con la mayor cantidad detérminos es,

5 + 3 + 2 + 1

y el mayor número es el 5.

13. El ángulo BCA es suplementario del ángulo DCA y su medidaes 180◦ − 160◦ = 20◦. Como la longitud de AC es la misma queAB, la medida del ángulo ACB es igual a la medida del ánguloABC, así que ambos miden 20◦. Como la suma de las medidas delos ángulos internos de un triángulo es 180◦, la medida del ánguloBAC es 180◦ − 2(20◦) = 180◦ − 140◦ = 140◦.

14. No es posible cubrir el tablero únicamente con porque lasdimensiones del tablero som ambas impares. Sí es posible utilizar

87

únicamente y tenemos dos formas para esto. Con tri-ominós verticales:

O con triominós horizontales:

No es posible utilizar únicamente 2 triominós porque lo que nosquedaría tendría dimensiones impares. Utilizando únicamente untriominó, obtenemos los siguientes:

Si rotamos éstos 90◦ a favor de las manecillas del reloj obtenemos:

88

Otra rotación como la anterior nos muestra:

Una última rotación como la anterior nos da las con�guracionesrestantes:

En total tenemos 4 ·3+2 = 14 formas distinta de cubrir el tablerocon dóminos y triominós.

15. Si Alex estuviera correcto, entonces Carlos no tendría nada correc-to y viceversa. Si Benjamín estuviera correcto, entonces Daniel notendría nada correcto y viceversa. Ernesto sabía la fecha exacta.(Note que de esta forma todos tienen al menos un dato correcto.)

89

2.2.2. Intermedia

1. Como los tres enteros son positivos, ninguno puede ser 6, ni 5,porque esto haría al menos uno de los otros negativos. Entonces,

6 = 4 + 1 + 1 42 + 12 + 12 = 18

6 = 3 + 2 + 1 32 + 22 + 12 = 14

6 = 2 + 2 + 2 22 + 22 + 22 = 12

Éstas son todas las formas de escribir la suma de tres enterospositivos que sea 6. De éstas, 12 es el mínimo de la suma de loscuadrados. La respuesta d es la correcta.

2. Sea O el centro del rectángulo, como en la siguiente �gura.

A C

BO

El área del rectángulo AOBC es 14del área del rectángulo grande.

Su área es 14· 1 = 1

4cm2. El área del triángulo ABC es la mitad

del área del rectángulo AOBC,(1

2

)·(1

4

)=

1

8cm2


3. Queremos encontrar todas las formas distintas de sumar 7 uti-lizando únicamente 1, 2, y 3. Éstas son:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 + 1 + 1 + 1 + 1

2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 + 3 + 1

2 + 2 + 1 + 1 + 1 3 + 2 + 1 + 1

2 + 2 + 2 + 1 3 + 2 + 2

En total tenemos 8 formas de hacerlo. La respuesta b es la correcta.

90

4. Como el largo es 3 veces el ancho, su longitud es 36cm. Por lo tantoel perímetro es 2(24) + 2(36) = 96cm. El perímetro del cuadradoque nos interesa es 96

3= 32. Este perímetro es 4 veces el lado del

cuadrado, por lo tanto, si s es el lado del cuadrado,

4s = 32

s = 8

Entonces, el área del cuadrado es s2 = 82 = 64cm2. La respuestab es la correcta.

5. Como cada minuto salta 5 números necesitamos saber el mínimocomún múltiplo entre 12 y 5. Es 60 y como 60 = 12 · 5, la agujamarcará 12 a los 12 minutos. La respuesta e es la correcta.

6. Consideremos las posibilidades de acuerdo a dónde colocamos la�cha en la primera �la. Si la colocamos en la primera columna,

entonces, en la segunda �la no podemos colocar la �cha en laprimera ni en la segunda columna. Si la colocamos en la tercera,

entonces, en la tercera �la no podemos colocar la �cha. Si la de lasegunda �la la colocamos en la cuarta columna,

91

entonces, en la tercera �la estamos obligados a colocarla en lasegunda columna,

pero no podríamos colocar �cha en la cuarta �la.

Por lo tanto, no podemos colocar la �cha de la primera �la en laprimera columna. De manera similar, tampoco podemos colocaresta �cha en la cuarta columna de la primera �la. Coloquémoslaen la segunda columna,

entonces en la segunda �la estamos obligados a ponerla en la cuar-ta columna y de forma similar las demás �las y obtenemos,

92

De forma similar, si colocamos la �cha de la primera �la en latercera columna obtenemos,

Así que tenemos solamente 2 formas de colocar las �chas de acuer-do a las reglas. La respuesta c es la correcta.

7. La cantidad de cuadrados perfectos del 1 al 10000 está dada porel entero cuyo cuadrado es el número más grande que es menor oigual a 10000. Como 1002 = 10000, tenemos 100 cuadrados per-fectos del 1 al 10000. Por lo tanto, 100

10000· 100 = 1 porciento son

cuadrados perfectos. La respuesta a es la correcta.

8. Si la medida del ángulo identi�cado con una sola marca es a, lamedida del que tiene dos marcas es b y como la suma de la medidade los ángulos internos de un triángulo es 180◦, obtenemos lasecuaciones,

a+ b+ 3α = 180◦ 2a+ 2b+ α = 180◦

Si dividimos la segunda ecuación por 2 y se la restamos a la

93

primera obtenemos,

3α− α

2= 90◦

6α− α = 180◦

5α = 180◦

α = 36◦


9. El área sombreada es el área del triángulo ABO cuya base es r, elradio del círculo. Su altura es h y por lo tanto,

√3 =

1

2rh

El triángulo ABC tiene base 2r y altura h. Su área es

A =1

2· 2r · h = 2

(1

2rh

)= 2 ·

√3

La respuesta a es la correcta.

10. Note que,

1000 < 1024

103 < 210

(103)100 < 21000

10300 < 21000

Ahora, 10300 tiene 301 dígitos. Alternamente,

23 < 101

(23)333 < 10333

2× 2999 < 2× 10333

21000 < 2× 10333

y 2× 10333 tiene 334 dígitos. La respuesta d es la correcta.

11. Considere la cuadrícula enumerada de la siguiente manera:

94

87

4

1 2

9

6

3

5

Escogeremos ternas de números que representarán que esos cuadri-tos han sido coloreados. Por ejemplo, a la con�guración que semuestra en el ejercicio le corresponde la terna 1, 5, 9. Para colore-ar siguiendo las reglas, note que podemos colocar cualesquiera 3de los cuadritos con número impar que tenemos. Así que, de ahíobtenemos, (

5

3

)=

5 · 4 · 3!3! · 2!

= 10

De igual forma podemos escoger cualesquiera 3 de los 4 númerospares que tenemos, (

4

3

)=

4 · 3!3! · 1!

= 4

Ahora observemos las formas que podemos colorear utilizandonúmeros pares e impares:

1,3,8 1,6,7 1,6,8 2,4,92,6,7 2,7,9 3,4,8 3,4,9

Así que en total tenemos 10 + 4 + 8 = 22 formas distintas decolorear el tablero de acuerdo a las reglas establecidas.

12. 15951 tiene 5 dígitos. El próximo palíndromo lo obtendríamos alcambiar el dígito central. Pero si a 9 le sumamos 1 obtendríamosun número que contiene más de un dígito, luego el próximo palín-dromo no estará en los 15 mil. Si cambiamos el 9 por 0 y el 5 por6, obtenemos 16061 que es el próximo palíndromo. La diferenciaes:

16061− 15951 = 110

95

13. Esta ecuación es equivalente a,

xy − x = 15

x(y − 1) = 15

Los factores de 15 son:

15 = 1 · 15= 15 · 1= 3 · 5= 5 · 3

y sus opuestos. Por lo tanto, obtenemos las siguientes soluciones:

x y1 1615 23 65 4-1 -14-15 0-3 -4-5 -2

En total tenemos 8 pares ordenados distintos de soluciones.

14. Sea r1 el radio del círculo más grande C1, r2 el radio del círculotangente a este C2, etc. Entonces, r1 = 4, r2 = 1, r3 = 1

4y r4 = 1

16.

Entonces,

Asombreada = AC1 − AC2 + AC3 − AC4

= πr21 − πr22 + πr23 − πr24

= π

(42 − 12 +

(1

4

)2

−(

1

16

)2)

=3855

256π

96

15. Si enumeramos las puntas de la estrella de la siguiente forma,

1

2

3

5

4

entonces podemos identi�car los triángulos de acuerdo a las puntasde la estrella que cada triángulo incluye. Observemos primero lostriángulos que únicamente incluyen una sola punta: 1, 2, 3, 4 y 5.Ahora observemos los que incluyen 2: 1, 3; 1, 4; 3, 5; 2, 4; y 2, 5.En total tenemos 5 + 5 = 10 triángulos.

2.2.3. Superior

1. Si x es la edad de Pedro, entonces la edad de Doris es x+5. Ahora,Doris tiene el doble, por lo tanto,

x+ 5 = 2x

5 = 2x− x5 = x

Así que Pedro tiene 5 años. La respuesta d es la correcta.

2. Sea a el número de manzanas, p el número de peras y m el númerode mangós. Entonces queremos saber cuantas soluciones enterastiene la ecuación:

a+ 2p+ 3m = 15

97

Esta ecuación es equivalente a,

a+ 2p = 3(5−m)

Veamos cada caso de acuerdo al valor de m:

a) Caso m = 0:Entonces, 2p = 15 − a. Esta ecuación tendrá soluciones en-teras para a impar. Como tenemos 8 números impares del 0al 15, tendremos 8 soluciones distintas.

b) Caso m = 1:Entonces, 2p = 12 − a. Esta ecuación tendrá soluciones en-teras para a par. Como tenemos 7 números pares del 0 al 12,tendremos 7 soluciones distintas.

c) Caso m = 2:Entonces, 2p = 9−a. Esta ecuación tendrá soluciones enteraspara a impar. Como tenemos 5 números impares del 0 al 9,tendremos 5 soluciones distintas.

d) Caso m = 3:Entonces, 2p = 6 − a. Esta ecuación tendrá soluciones en-teras para a par. Como tenemos 4 números pares del 0 al 6,tendremos 4 soluciones distintas.

e) Caso m = 4:Entonces, 2p = 3−a. Esta ecuación tendrá soluciones enteraspara a impar. Como tenemos 2 números impares del 0 al 3,tendremos 2 soluciones distintas.

f ) Caso m = 5:Entonces, p = 0, a = 0. Esta ecuación tendrá 1 solución.

En total tenemos 8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 27 soluciones distintas.La respuesta d es la correcta.

3. El perímetro del triángulo ABD es la suma de las longitudes: AB+BD+AD = 23.75. Como el ángulo ADB y el ángulo BAD midenlo mismo, la longitud de BD es la misma que AB, similarmente laslongitudes BD y BC son las mismas, por lo tanto, AB = BD =BC. Así que, AB + BD + AD = AB + AB + AD = 23.75. Si

98

restamos de esta ecuación a AB+BC+CD = AB+AB+CD =22, obtenemos, AD − CD = 1.75, así que, AD = CD + 1.75. Larespuesta c es la correcta.

4. Cuando dividieron el bizcocho en 4 partes iguales a cada niño lecorrespondió 1

4parte del bizcocho. Es decir, si a1 corresponde al

pedazo que le tocó a cada uno, entonces, 4a1 = 1, las cuatro partesjuntas conforman el bizcocho completo. Al dividirlo en 5 partes,si a2 es el pedazo que le corresponde a cada uno, 5a2 = 1. Por lotanto,

4a1 = 5a24

5a1 = a2

Así que cada pedazo ahora, es cuatro quintos de lo que era origi-nalmente. Como había 4 niños, si cada uno le da una quinta partede lo que tenía al niño que se les unió, entonces todos tendrían lamisma cantidad de bizcocho y 1

5a1 = 20%a1. La respuesta d es la

correcta.

5. Como los triángulos que conforman la parte superior del para-lelogramo tienen un lado que mide lo mismo y tienen la mis-ma altura, ambos tienen la misma área. Así que, el área de laparte superior del paralalelogramo es 10cm2. Lo que implica quela parte inferior también lo es. Así que, el área del paralelogramoes 10 + 10 = 20cm2. La respuesta c es la correcta.

6. Si observamos la siguiente �gura,

99

Q

P

35

a

obtenemos un rombo con una diagonal de P a Q y la otra entre loscentros de los círculos. Éstas se encuentran perpendicularmente ensus puntos medios, por lo tanto podemos utilizar Pitágoras:

32 + a2 = 52

a2 = 25− 9

a2 = 16

a = 4

La distancia entre los centros es 2a = 8cm. La respuesta d es lacorrecta.

7. Para el cuarto sencillo, tenemos que ver de cuántas formas pode-mos escoger 1 persona de 6. Como ya tendríamos a alguien en elcuarto sencillo, para el cuarto doble, tenemos que ver de cuántasformas podemos escoger 2 personas de 5. Para el tercero, vemoscomo escoger 3 personas de 3, porque ya tendríamos 1 en el cuartosencillo y 2 en el doble. Cada uno de estos eventos es independientede los otros, así que,(

6

1

)·(5

2

)·(3

3

)=

6 · 5!5! · 1!

· 5 · 4 · 3!3! · 2!

· 1 = 60


8. Si escojemos cualesquiera 6 números tal que cada uno de elloses equivalente a 0, 1, 2, 3, 4, ó 5 mod 11, entonces, la suma o

100

resta de cualesquiera dos de ellos no es equivalente a 0 mod 11.Si a esta lista le añadimos cualquier número que sea equivalentea 6 mod 11, entonces, 5 + 6 mod 11 = 0 mod 11. Si le añadi-mos cualquier número que sea equivalente a 7 mod 11, entonces7 + 4 mod 11 = 0 mod 11. Si le añadimos cualquier númeroque sea equivalente a 8 mod 11, entonces, 8 + 3 mod 11 = 0mod 11. Si le añadimos cualquier número que sea equivalente a9 mod 11, entonces, 9 + 2 mod 11 = 0 mod 11. Si le añadi-mos cualquier número que sea equivalente a 10 mod 11, entonces,10 + 1 mod 11 = 0 mod 11. Así que, el número máximo de en-teros que podemos elegir, tales que, con certeza, la suma o dife-rencia entre dos de ellos no es divisible entre 11 es 6. La respuestad es la correcta.

9. El camino más corto deA aB mide 8 unidades porque tenemos quemovernos 4 veces hacia abajo y 4 veces a la derecha. En cada unade nuestras movidas debemos decidir si nos movemos hacia abajoo hacia la derecha. Si decidimos en cuales movidas nos moveremoshacia abajo, entonces, en las restantes nos moveremos hacia laderecha. Por lo tanto, de las 8 movidas, necesitamos 4 hacia abajo.

(8

4

)=

8 · 7 · 6 · 5 · 4!4! · 4 · 3 · 2 · 1

= 70


10. Si coloreamos el tablero de esta forma,

101

hemos coloreado la mitad de los cuadros y cumplimos con nuestrasreglas. Nos gustaría saber si podríamos tener más de 32 cuadra-dos bajo nuestras reglas. Si enumeramos el tablero de la siguientemanera,

1 2 3 4 5 6 7 8

9

25

17

10 11 12 13 14 15 16

201918

26

entonces, la condición de que en cada triominó angular haya almenos un cuadrado que no sea verde es equivalente a que en cadatriominó haya al menos un número par. Del 1 al 64 tenemos 32números pares, así que, ése es el máximo. La respuesta c es lacorrecta.

102

11. El número posee los dígitos del 1 al 100. Los cuadrados perfectosde dos dígitos son:

16

25

36

49

64

81

Como ninguno posee dígitos que sean consecutivos, entonces, éstossólo pueden ocurrir cuando están ellos mismos como parte delnúmero o cuando provienen de números distintos al ser pegados.Éstos serían:

6162

5253

6364

9495

4647

1819

En total tenemos 6+6 = 12 veces que veremos cuadrados perfectosde dos dígitos.

12. Como el borde de la lata tiene un ángulo de 90◦, los ángulos queésta crea al descansar sobre la pared, por encima y por debajo,tienen la misma medida, α. Por Pitágoras, podemos encontrar laaltura a la que la lata toca la pared: 102−82 = 100−64 = 36 = 62.La distancia del punto más alto de la lata hasta el piso es entonces6 + h, donde h es la altura del triángulo pequeño como se indicaen la �gura:

103

h

8

106

α

α

Entonces, obtenemos los triángulos similares,

8

106

α

h

α4

Por lo tanto,

4

10=h

8

h = 8 · 410

h =16

5

Así que la distancia que buscamos es 6 + 165cm.

13. El tríangulo sombreado y el triángulo AGF son similares. Si lalongitud de AF es c1 y la longitud de EF es c2, donde, 16c2 = c1y, por lo tanto, c1

c2= 16. Ésta es la razón de similaridad, y la razón

entre las áreas, es el cuadrado de ésta. Si A1 es el área del triánguloAGF y A2 es el área sombreada, entonces,

A1

A2

= 162 = 256

104

y como A2 = 1cm2, entonces, A1 = 256cm2.

14. Sea y = x− 32. Entonces, podemos re-escribir la expresión,(

y +3

2

)(y +

1

2

)(y − 1

2

)(y − 3

2

)=

(y2 − 9

4

)(y2 − 1

4

)Si u = y2, entonces, podemos re-escribir la expresión nuevamentecomo,(

u− 9

4

)(u− 1

4

)= u2 −

(5

2

)u+

9

16=

(u− 5

4

)2

− 1

Así que, el valor mínimo de la expresión es −1.

15. Como buscamos el valor mínimo, considere b = c. Usando la fór-mula de Herón:√

s(s− a)(s− b)(s− c) =√

(b+ a/2)(b− a/2)(a/2)2 = 1

Así que,

(b+ a/2)(b− a/2)(a/2)2 = 1

b2 − a2

4=

4

a2

b2 =a2

4+

4

a2=

a2

2+ 8

a2

2

Luego, por la desigualdad MA−MG,

b2 =a2

2+ 8

a2

2≥√a2

2· 8a2

=√4 = 2

Por lo tanto, b ≥√2, con igualdad si, a2

2= 8

a2, es decir, a = 2. Y

a ≥ b, por lo tanto, b = 2.

105

2.3. Tercera Fase

2.3.1. Elemental

1. Los números de tres dígitos que podemos formar con los dígitosde 2011 son:110 210 211 121 101 201 112 120 102Por lo tanto, su suma es 1288.

2. Cada niño puede colocar los dígitos de forma descendente parapoder obtener así el número más grande, luego:

Juan 8531Mariana 7433Pedro 8741Oscar 8774Luis 8632

Por lo tanto, Oscar formará el número más grande.

3. Si identi�camos la longitud de los lados como lo indica el problemaobtenemos:

4

2

2

2

2

2

22

4

4

4 4

106

de donde el perímetro de la �gura es: P = 4(4)+2(5) = 16+10 =26cm

4. Note que cada terna a continuación

2,3, 4

5,6, 7

8,9, 10

11,12, 13

comienza con un número, que al ser dividido entre 3, da residuo2. Si el número es impar estará en la �la superior y si es par enla �la inferior. Como 2012 = 670(3) + 2, se tiene que el residuo aldividirlo entre 3 es 2, luego:

201420132012

2011

5. Primero, enumeremos el tablero de la siguiente forma:

1 2

3A

Indiquemos cada uno de los caminos utilizando ternas de númerosdel 1 al 3 que indicarán la ruta a seguir. Así tenemos:

1,2,3 2,1,3 3,1,21,3,2 2,3,1 3,2,1

De donde tenemos un total de 6 caminos.

107

6. A no puede ser mayor que 3, de lo contrario 3×A tendría más deun dígito. Si A = 3, entonces O tendría que ser 9 y como 3R = 9,R también sería 3, lo cual no puede suceder. Si A = 2, O es mayorque 6. Si O = 9, entonces, R = 3, I = 7 y obtendríamos:

2M93 +

2M93

2M93

9 D79

3 2

Entonces, 3×M + 2 ≥ 30, lo que no sería posible.

Si O = 8, tendríamos R = 6, I = 5 y obtendríamos:

2

2M86 +

2M86

2M86

12

8 D58

Si M = 9, entonces, 3 × M + 2 = 29 y, entonces, D sería 9, yrepetiríamos dígitos. Si M = 7, 3×M + 2 = 23 y D = 3. Así queODIO= 8358.

7. Observemos el hexágono regular con los vértices ordenados de lasiguiente manera:

1 4

32

6 5

108

Ahora podemos indicar los triángulos que formamos con ternas denúmeros del 1 al 6 indicando los vértices de cada triángulo.

Triángulos con vértice 1 serán:

123 124 125 126 134 135 136 145 146 156

Triángulos con el vértice 2 y subsiguientes:

234 235 236 245 246 256


345 346 356


456

Ya tenemos todos los triángulos con los vértices 5 y 6. En totaltenemos, 10 + 6 + 3 + 1 = 20 triángulos.

8. Primero contemos del 1 al 999. Como unidad, lo tenemos unavez por cada decena y entre 1 y 999 hay 102 − 1 = 99 decenas.Como decena, lo necesitamos diez veces por cada centena y hay101 − 1 = 9 centenas. Por lo tanto,

uno por unidad 1× (102 − 1) = 99diez por decena 10× (10− 1) = 90

más las 3 veces que lo necesitamos en 1000, en total tenemos:99 + 90 + 3 = 192 ceros.

9. El ángulo ADB es suplementario al ángulo ADC, así que, su me-dida es 30◦. Como AB = AD, el triángulo ABD es isósceles, luegoel ángulo ABD tiene la misma medida que el ángulo ADB, 30◦.Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180◦, elángulo BAD mide,

180◦ − (30◦ + 30◦) = 180◦ − 60◦ = 120◦

109

10. Podemos colorear los cuadritos de las siguientes maneras:

En total tenemos 6 formas distintas.

110

2.3.2. Intermedia

1. Para formar triángulos con estos vértices debemos escoger 2 vér-tices de la �la superior y 1 de la �la inferior o viceversa. De laprimera forma podemos hacerlo de,(

4

2

)·(3

1

)=

4 · 3 · 2!2! · 2

· 3 · 2!2!

= 18

formas distintas. De la segunda forma podemos hacerlo de,(4

1

)·(3

2

)=

4 · 3!3!· 3 · 2!

2!= 12

formas distintas. En total tenemos 30 triángulos.

2. Organicemos los números en la siguiente tabla:

cantidad de dígitos Números suma1 1 2 3

210 1112 2021

74

3

110 210211 121101 201112 120102

1288

4

1012 20111021 21011102 21101120 12011210

12888

La suma nos da 14253.


111

2 3 41A

Si indicamos cada una de las posiciones utilizando los números del1 al 4, necesitamos el número de formas en que podemos re-ordenarestos números. Para el primer paso, podemos escoger cualquierade los 4, para el segundo paso, tendremos 3 opciones, para el tercerpaso, tendremos 2 opciones y �nalmente, una sola opción para elúltimo paso. En total tenemos, 4 · 3 · 2 · 1 = 24 caminos.

4. Note que,100100 = (1002)50 = 1000050

y5050 · 15050 = (50 · 150)50 = 750050

Como 10000 > 7500, entonces, 100100 > 5050 · 15050.

5. Los dígitos de este número son los números del 1 al 2011.

números cantidad de números dígitos por cada uno total1-9 9 1 910-99 90 2 180100-999 900 3 27001000-1999 1000 4 40002000-2011 12 4 48Total 6937

6. Si p es un número primo, entonces, los múltiplos de p4 son: p0 = 1,p, p2, p3, p4. Así que p4 tiene exactamente 5 divisores enterospositivos. Como existe una cantidad in�nita de números primos,existe una cantidad in�nita de enteros positivos con exactamente5 divisores.

7. El segundo jugador tiene estrategia ganadora. Lo que debe haceres siempre sacar la misma cantidad que se llevó el primer jugadorpero del grupo alterno. De esta manera el otro jugador siempre se

112

encontrará con el mismo número de piedras en ambos grupos. Sieste jugador retirase todas las piedras de un grupo, como el otrotiene la misma cantidad, el segundo jugador ganará al retirar lamisma cantidad de piedras del otro grupo.

8. Esta ecuación es equivalente a:

x2 − y2 = 2011

(x+ y) · (x− y) = 1 · 2011= 2011 · 1= (−1) · (−2011)= (−2011) · (−1)

Éstas son las únicas posibilidades porque el 2011 es primo.

a) Caso 1:x+ y = 1, x− y = 2011

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos, 2x = 2012. Así que,x = 1006, y = −1005.

b) Caso 2:x+ y = 2011, x− y = 1

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos, 2x = 2012. Así que,x = 1006, y = 1005.

c) Caso 3:x+ y = −1, x− y = −2011

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos, 2x = −2012. Así que,x = −1006, y = 1005.

d) Caso 4:x+ y = −2011, x− y = −1

Si sumamos las ecuaciones, obtenemos, 2x = −2012. Así que,x = −1006, y = −1005.

9. Si tenemos un triángulo equilátero con lado a, entonces,

113

a

h

a2

por Pitágoras h2 = a2 −(a2

)2= a2 − a2

4= 3a2

4, por lo tanto,

h = a√32. La altura de la torre es la suma de las alturas de los

triángulos, luego, para a = 1, 32y 9

4, la altura de la torre es,

√3

2+

3

2

√3

2+

9

4

√3

2=

√3

2+

3√3

4+

9√3

8

=4√3 + 6

√3 + 9

√3

8

=19

8

√3

10. Todo número al cuadrado es no negativo, en particular,

0 ≤ (√x− 1)2 = x− 2

√x+ 1

Así que, 2√x ≤ x+ 1.

2.3.3. Superior

1. Esta ecuación es equivalente a:

x2 = 10 + 7y

= 3 + 7 + 7y

= 3 + 7(y + 1)

Es decir, queremos encontrar x tal que x2 = 3 mod 7. Sustituyen-do, del 0 al 6 en esta ecuación, vemos que nunca se satisface, porlo tanto, esta ecuación no tiene solución.

114


A 1 2 3

7654

8 9 10 11

15141312

Si indicamos cada una de las posiciones utilizando los númerosdel 1 al 15, necesitamos el número de formas en que podemos re-ordenar los números del 1 al 15. Para el primer paso, podemosescoger cualquiera de los 15, para el segundo paso, tendremos 14opciones, luego 13, etc. En total tenemos 15 · 14 · 13 · · · · 1 = 15!caminos.

3. Considere la �gura con los puntos identi�cados de la siguienteforma:

C

1 4

B

MA

O

115

Note queBC = BM = 4. Además, el triángulo AMO es semejanteal triángulo ACB por tener dos ángulos iguales, entonces,

AM

AC=AO

AB=MO

CB

Luego,AM

A0 + 1=

AO

AM + 4=

1

4

por lo tanto,

4AM = AO + 1

AM =1

4(AO + 1)

y

4AO = AM + 4

AO =AM + 4

4

por lo tanto,

AM =1

4

(AM + 4

4+ 1

)16AM = AM + 4 + 4

AM =8

15

Así que, el área del triángulo AMO es,1· 8

15

2= 4

15.

4. El número con mayor suma de sus dígitos, entre 2011 y 2100, es el2099 y su suma es 20. El de suma mínima es el 2011, cuya sumaes 3. Los cuadrados perfectos entre 3 y 20 son 4, 9 y 16. Note queel primer dígito debe ser 2, el segundo 0, y,

4 = 2 + 2, 9 = 2 + 7, 16 = 2 + 14

Entonces,

116

suma de los dígitos números4 2011 2020

9

2016 20252034 20432052 20612070

162059 20682077 20862095

Luego, en total tenemos 14 años.

5. Primero contemos del 1 al 999999. Como unidad, lo tenemos unavez por cada decena y hay 105 − 1 decenas entre 1 y 1000000.Como decena, lo necesitamos diez veces por cada centena y hay104−1 centenas. Como centena, lo necesitamos cien veces por cadaunidad de mil y hay 103−1 unidades de mil. Como unidad de mil,lo necesitamos mil veces por cada decena de mil y hay 102 − 1decenas de mil. Como unidad de decena de mil, lo necesitamosdiez mil veces por cada centena de mil y hay 10 − 1 centenas demil.

Así que,

uno por unidad 1× (105 − 1) = 99999diez por decena 10× (104 − 1) = 99990cien por centena 100× (103 − 1) = 99900mil por unidad de mil 1000× (102 − 1) = 99000diez mil por decena de mil 10000× (101 − 1) = 90000

más los 6 ceros en 1000000, en total, tenemos 99999 + 99990 +99900 + 99000 + 90000 + 6 = 488895 ceros.

6. Suponga que el lado del cuadrado original mide l, entonces, suárea es A = l2. Si el lado del cuadrado, que resulta al eliminar los24 cuadrados de lado 1cm, es l1, entonces,

A = l2 = 24 + l21

117

ó24 = l − l21 = (l − l1)(l + l1)

Como l > l1, debemos considerar,

24 = 1 · 24= 2 · 12= 3 · 8= 4 · 6

Soluciones enteras las obtenemos únicamente cuando:

l − l1 = 7, l + l1 = 12 ó l − l1 = 4, l + l1 = 6

En el primer caso, l = 7 y en el segundo, l = 5. Las posibilidadespara el área del cuadrado original son: 49cm2 y 25cm2.

7. Para que el último dígito de un cuadrado sea 6, el dígito de unidaddel número original debió ser 4 ó 6:

42 = 16 62 = 36

Si el dígito de las unidades es 4, se puede escribir como 10k + 4 y

(10k + 4)2 = 100k2 + 80k + 16 = 100k2 + (8k + 1)10 + 6

y note que 8k + 1 es impar.

Si el dígito de las unidades es 6, se puede escribir como 10k + 6 y

(10k + 6)2 = 100k2 + 120k + 36 = 100k2 + (12k + 3)10 + 6

y note que 12k + 3 es impar.

8. Las caras de cada una de esas pirámides es un triángulo equiláteroy si su lado es a, entonces,

a

h

a2

118

por Pitágoras, h2 = a2 −(a2

)2= a2 − a2

4= 3a2

4, por lo tanto,

h = a√32. Sea h′ la altura de la pirámide,

h’

entonces,

h’a√32

a2

119

por Pitágoras, (a√3

2

)2

−(a2

)2= (h′)2

3a2

4− a2

4= (h′)2

2a2

4= (h′)2

Así que, h′ = a√2. La altura de la torre es la suma de las alturas

de las pirámides, luego, para a = 1, 2 y 4, la altura de la torres es,

1√2+

2√2+

4√2=

7√2cm.

9. El primer jugador tiene una estrategia ganadora. Éste debe colocarel centro de la primera moneda en el centro de la mesa. Luego deesto, no importa donde el segundo jugador la ponga, el primeropodrá colocarla simétricamente con respecto al centro de la mesa.

10. Si x > 0, entonces, x+ 2 > 0, así que,

0 ≤ (x− 1)2(x+ 2) = x3 − 3x+ 2

y como x > 0, podemos dividir por x los extremos de la desigual-dad y la preservamos:

0 ≤ x2 − 3 +2

x

Por lo tanto,

x2 +2

x≥ 3

Otra forma de resolver el problema es por la desigualdad MA-MG,

x2 + 1x+ 1

x

3≥ 3

√x2 · 1

x· 1x

Por lo tanto, x2 + 2x≥ 3.

120

2.4. Examen de selección

1. Para que la multiplicación de ellos sea 1, los 22 enteros tienen queser 1 ó −1 y tiene que haber un número par de −1. Sin embar-go, para que la suma sea 0, debe haber el mismo número de 1que de −1, es decir 11. Ambas condiciones no se pueden cumplirsimultáneamente, así que la suma no puede ser cero.

2. Es mejor contar el complemento en este caso, es decir, ¾cuántosnúmeros de 6 dígitos no tienen ni un dígito par? Para cada dígitotenemos 5 opciones, luego hay 56 posibles. Esto lo restamos deltotal de números de 6 dígitos para obtener el resultado: 9·105−56 =884, 375.

3. a) p2−1 = (p−1)(p+1), donde ambos factores son pares conse-cutivos, así que, uno es divisible entre 2 y otro entre 4, porquep es primo mayor que 3. Por otro lado, p− 1, p, p+1 son tresnúmeros consecutivos, así que, uno de ellos es divisible entre3, y no lo es p, luego lo es uno de los otros dos. Por lo tanto,tenemos divisibilidad entre 2 · 3 · 4 = 24.

b) Por la parte (a), sabemos que p2 − 1 y q2 − 1 son ambosdivisibles entre 24, así que, también lo será su resta: (p2 −1)− (q2 − 1) = p2 − q2.

4. Se pueden dividir los naturales menores que 21 en 10 clases dis-juntas de números, tales que, en una pareja de cada clase, siem-pre uno divide al otro: {1,2,4,8,16}, {3,6,12}, {5,10,20}, {9,18},{7,14}, {11}, {13}, {15}, {17}, {19}. Por el principio del palomar,si elegimos 11 números (palomas) y hay 10 clases disjuntas (palo-mares), debe haber dos números en una misma clase. Por tanto,uno divide al otro.

5. Sean B′ y C ′ las intersecciones de los segmentos AB y AC conlos respectivos lados del ángulo. La situación se muestra en lasiguiente �gura:

121

A

C

B

B’

C’

D

E

El triángulo AB′C ′ es semejante al triángulo ABC, y sus ladosestán en razón 1 : 2, por lo tanto, B′C ′ = BC/2. Basta observarque B′C ′ > DE. (Esto se desprende de Tales, o alternativamentees consecuencia de que la ruta A → B′ → C ′ no es el circuitomínimo, mientras que A→ D → E sí lo es, al mismo tiempo queAB′ y AC ′ son las rutas mínimas de A a los lados del ángulo.)

6. El primer jugador tiene la oportunidad de partir la barra en dosbarras iguales, 5×5, y de ahí en adelante hacer jugadas simétricasal contrincante, hasta que una barra, con base o altura 1, seadesprendida y ahí romper el cuadrito ganador.

7. Utilizamos inducción matemática para resolver este problema:Caso básico: Para n = 1 es cierto, ya que 1+8+27=36.Hipótesis inductiva: Suponga que el enunciado es cierto paran, es decir,

n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3

es divisible entre 9.Entonces,

(n+1)3+(n+2)3+(n+3)3 = n3+(n+1)3+(n+2)3+9n2+27n+27.

122

Los primeros tres términos son divisibles entre 9 por la hipótesisinductiva, y los últimos 3, evidentemente, tienen un factor de 9,luego por Por el principio de inducción matemática,

n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3

es divisible entre 9.

123

librito ompr 2010-2011

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