Graph Theoretical Methods for improving Graph Theoretical Methods for improving The conditioning of structural MatricesThe conditioning of structural Matrices

::اساتید راهنمااساتید راهنما

دکتر علی کاوهدکتر علی کاوه

دکتر مصطفی دکتر مصطفی خانزادیخانزادی

استفاده از روش های گراف تئوریکی استفاده از روش های گراف تئوریکی برای بهبود خوش وضعی ماتریس های برای بهبود خوش وضعی ماتریس های

سازه ایسازه ای

::دانشجودانشجو

فرزاد شفیعی دیزجیفرزاد شفیعی دیزجی

تقريب زدن يك مدل براي سازه )يافتن مدل گراف تئوريكي(تقريب زدن يك مدل براي سازه )يافتن مدل گراف تئوريكي( ((11

مطالعه خصوصيات توپولوژيكي )تحلیل توپولوژيكي( مطالعه خصوصيات توپولوژيكي )تحلیل توپولوژيكي( ((22

(( تعيين متغيرهاي جبري )تحليل جبري تعيين متغيرهاي جبري )تحليل جبري ((33

در تحليل يك سيستم باالخص تحليل سازه ها در تحليل يك سيستم باالخص تحليل سازه ها

توان مراحل تحليل را به ترتيب زير تقسيم توان مراحل تحليل را به ترتيب زير تقسيم ‌‌ميمي

بندي کرد :بندي کرد :

در تحلیل کامپیوتری سازه ها بهینه حالت تحلیل در تحلیل کامپیوتری سازه ها بهینه حالت تحلیل

باید به صورتی باشد که :باید به صورتی باشد که :

فضای کامپیوتر را کاهش دهد.فضای کامپیوتر را کاهش دهد.1(1(

زمان اجرای محاسباتی کامپیوتر را کاهش دهد.زمان اجرای محاسباتی کامپیوتر را کاهش دهد.2(2(

خطا های محاسباتی را به حداقل برساند.خطا های محاسباتی را به حداقل برساند.3(3(

What is “Optimal Structural Analysis”?What is “Optimal Structural Analysis”?

آنالیز سازه ای

روش جابجایی(روش سختی)

روش نیرو(روش نرمی)

AA . . XX = = b b

1mt

1 .B.FBG

qBpBr

.. 10

‌توجه

حذفی گوس

♠

Finding theFinding the Optimal Format of Analysis ProblemOptimal Format of Analysis Problem toto Minimize:Minimize:

For this Purpose, Structural Matrices should be:For this Purpose, Structural Matrices should be:

SparseSparse

Well StructuredWell Structured

Well Conditioned Well Conditioned

What is “Optimal Structural AnalysisWhat is “Optimal Structural Analysis”?”?

TIMESTORAGE

ERROR

A Multi Objective A Multi Objective Optimization ProblemOptimization Problem

What is a “Graph”?What is a “Graph”?

DEFINITION:DEFINITION:A set A set N(S)N(S) of of nodesnodes

A set A set M(S)M(S) of of membersmembers (edges) (edges)

++ A relation of incidence which associates with each A relation of incidence which associates with each member a pair of nodesmember a pair of nodes

1 2

759

86

11

10

I II III

VI

What is a “Graph”?What is a “Graph”? DEFINITION:DEFINITION:

A tree A tree TT of of SS is a connected subgraph of S , which is a connected subgraph of S , which

contains no cycle.contains no cycle.A shortest route tree A shortest route tree (SRT)(SRT) rooted at a specified node rooted at a specified node nn00

of S, is a tree for which the dictance between every of S, is a tree for which the dictance between every node node nnjj of T and of T and nn00 is a minimumis a minimum

C0 C1

C7

C2

C6

C5C4C3

C8

n0

n15

Graph Model of a StructureGraph Model of a Structure

A space frame First model with datum node

second model with artificial

members

Graph Model of a StructureGraph Model of a Structure

A space truss First model

without added members

second model with replaced

members

Weighted Graph and an addmisible member:Weighted Graph and an addmisible member:

توان به عنوان توان به عنوان ‌‌سختي )يا نرمي( نسبي اعضاء يك سازه را ميسختي )يا نرمي( نسبي اعضاء يك سازه را مي

اعداد صحيح مثبت مربوط به اعضاء گراف مدل يك سازه مورد اعداد صحيح مثبت مربوط به اعضاء گراف مدل يك سازه مورد

. .دهددهد‌‌بررسي قرار داد كه يك گراف وزن دار را نتيجه ميبررسي قرار داد كه يك گراف وزن دار را نتيجه مي

)(2)( 341zz

iii kmW

1 4 33

12 4, ,z zEA EI EI

L L L

( نامیده می شود ،اگر ( نامیده می شود ،اگر F-addmisibleF-addmisible یک عضو قابل قبول ) یک عضو قابل قبول )mimiعضو عضو در شرط زیر صدق کند: در شرط زیر صدق کند:

)(/)(1

)()(

1SMmWmW j

sM

ji

2/13

2/14

2/11

2/1 )()()(2)( zziii kmW or

(1)

تناظر بین ماتریس های سازه ای تناظر بین ماتریس های سازه ای وخواص یک گرافوخواص یک گراف

Cycles & Cycle basisCycles & Cycle basis

1

2

3

A Vector Space, Called “Cycle Space”

تناظر بین ماتریس های سازه ای تناظر بین ماتریس های سازه ای وخواص یک گرافوخواص یک گراف

Cycles & Cycle basisCycles & Cycle basis

Matrices associated with Matrices associated with cycle spacecycle space::

1)1) Matrix Matrix CC: :

2)2) Matrix Matrix D=CD=Ctt.C.C

101001000

100100010

010100001

010010100

4

3

2

1

987654321

C

C

C

C

rebmem

e

l

c

y

c

C

0100

1010

0101

0010

4

3

2

1

4321

C

C

C

C

CCCCelcyc

e

l

c

y

c

.CCD t

EQUIVALENCE OF PATTERNS:

Matrix B1 (Matrix of Particular Solution in Force method) ~ Matrix C

Matrix G= B1t.Fm. B1 (Flexibility

Matrix) ~ Matrix D=Ct.(I).C

تناظر بین ماتریس های سازه ای تناظر بین ماتریس های سازه ای وخواص یک گرافوخواص یک گراف

SparsitySparsity

Length of a cycle CLength of a cycle Cii (L (LCiCi) = The number of its elements) = The number of its elements

Each cycle CEach cycle Cii can enter “L can enter “LCiCi” non–zero entries in matrix ” non–zero entries in matrix CC.. Cycle basis with the least ∑LCycle basis with the least ∑LCiCi yields the yields the sparsest matrix sparsest matrix CC..

It is proofed that sparsity of matrix It is proofed that sparsity of matrix DD is a direct is a direct function of sparsity of matrix function of sparsity of matrix CC. .

To have a sparse flexibility matrix:

Find Ci (i= 1 to b1(s))Min ∑LLCi

Subj. to: Ci’s are independent

تناظر بین ماتریس های سازه ای تناظر بین ماتریس های سازه ای وخواص یک گرافوخواص یک گراف

Structuring (Bandwidth reduction)Structuring (Bandwidth reduction)

Bandwidth can be reduced by the means ofBandwidth can be reduced by the means of Ordering Ordering of nodes of the graphof nodes of the graph..

Harary (1969):Harary (1969): ““For a graph S with N(S) nodes, how can labels 1 to N(S) be For a graph S with N(S) nodes, how can labels 1 to N(S) be assigned to nodes in order to minimize the maximum absolute assigned to nodes in order to minimize the maximum absolute value of the difference between the labels of all pairs of value of the difference between the labels of all pairs of adjacent nodes(adjacent nodes(αk= |i-j| ) ?”?”

To have a banded flexibility matrix with minimum bandwidth:

Find Ordering of the nodes (i=1 to N(S))Min [ max(αk)]= |i-j|

تناظر بین ماتریس های سازه ای تناظر بین ماتریس های سازه ای وخواص یک گرافوخواص یک گراف

ConditioningConditioningNon zero off-diagonal terms in matrix Non zero off-diagonal terms in matrix D D show the existence ofshow the existence of

overlapoverlap in cycle bases.in cycle bases.

In matrix In matrix GG, mutually, off-diagonal terms show how strong the , mutually, off-diagonal terms show how strong the overlap elements are.overlap elements are.

So, in order to have off–diagonal terms with small magnitudes in So, in order to have off–diagonal terms with small magnitudes in flexibility matrix, its enough to avoid existence of elements flexibility matrix, its enough to avoid existence of elements with large flexibilities (small stiffness) in overlaps of with large flexibilities (small stiffness) in overlaps of

cycle basis which is selected.cycle basis which is selected. Stiff elements should be placed on overlaps Stiff elements should be placed on overlaps

To have an optimally conditioned flexibility matrix:

Find Ci (i= 1 to b1(s) )

Max Stiffness of overlaps Subj. to: Ci’s are independent

CONDITIONING OF A MATRIXCONDITIONING OF A MATRIX

The most appropriate matrix to be inversed isThe most appropriate matrix to be inversed is Diagonal MatrixDiagonal Matrix

*

*

*

*

*

*

*

*

*

M

************

**********

**********

*******

M

************

**********

**********

****

***

*M Errors During the

Inversion Process

Diagonal: The best Condition

Well Conditionill‌Condition

Condition number :Condition number :‌

THE RATIO OF EXTEREME EIGENVALUESTHE RATIO OF EXTEREME EIGENVALUES

•THE DETERMINANT OF ROW-NORMALIZED MATRIXTHE DETERMINANT OF ROW-NORMALIZED MATRIX

•THE RATIO OF DETERMINANTSTHE RATIO OF DETERMINANTS

|)|/|log(| minmax PL

]det[/]det[ iiGGPDET

2/1222

21 ... iiii ggg

‌‌:: تفسير اعداد شرايط موزونيتفسير اعداد شرايط موزوني

100000000

020000000

004000000

000600000

0000200000

0000040000

0000006000

0000000800

00000000100

1000000000

0100000000

0010000000

0001000000

0000100000

0000010000

0000001000

0000000100

00000000100

112 PDETPNPL 111 PDETPNPL

محاس6بات در باش6د، قط6ري م6اتريس ك6ه زم6اني اس6ت محاس6بات واض6ح در باش6د، قط6ري م6اتريس ك6ه زم6اني اس6ت واض6ح ش6ود در ه6ر دو مث6ال ش6ود در ه6ر دو مث6ال خط6ائي تش6كيل نمي ش6ود. ولي مش6اهده ميخط6ائي تش6كيل نمي ش6ود. ولي مش6اهده مي

متف6اوت متف6اوت PLPL براب6ر واحدن6د درح6الي ك6ه ع6دد براب6ر واحدن6د درح6الي ك6ه ع6دد PDETPDET , , PNPNب6اال اع6داد ب6اال اع6داد اع6داد ك6ه زم6اني ليكن اع6داد اس6ت. ك6ه زم6اني ليكن نباش6ند، PDETPDET , , PNPNاس6ت. واح6د براب6ر نباش6ند، واح6د براب6ر

كند.كند. دخالت مي دخالت ميPLPLاثرات عدد اثرات عدد

خطا خطا ::هاها

رقم اعشار رقم اعشار 44جواب معادله روبرو را با دقت جواب معادله روبرو را با دقت بدست آورید.بدست آورید.

رقم اعشار برابر رقم اعشار برابر 44جواب بدست آمده با دقت جواب بدست آمده با دقت - شده است.- شده است.0.00030.0003

رقم اعشاربرابر رقم اعشاربرابر 88جواب بدست آمده با دقت جواب بدست آمده با دقت - شده است.- شده است.0.00020.0002

رقم اعشار ايجاد خطايي برابر رقم اعشار ايجاد خطايي برابر 44بنابراين حساب با اعداد داراي بنابراين حساب با اعداد داراي % مي نمايد% مي نمايد5050

خطاي گرد كردن مي تواند يك منحني صاف و هموار نظير خطاي گرد كردن مي تواند يك منحني صاف و هموار نظير6)1()( xxP

را به يك منحني در هم ريخته مبدل سازدرا به يك منحني در هم ريخته مبدل سازد

000008.04002.02 xx

161520156)( 23456 xxxxxxxP

a

acbbx

2

42

112.3301.40.3

38.5906.22

0.40.4002.0

A

143.4

481.4

998.7

b

با اس[تفاده از روش ح[ذف گ[وس وب[ا در نظ[ر گ[رفتن چه[ار رقم با اس[تفاده از روش ح[ذف گ[وس وب[ا در نظ[ر گ[رفتن چه[ار رقم اعش[ار ب[رای خط[ای گ[رد ک[ردن )یع[نی بع[د از ه[ر عملی[ات ارق[ام اعش[ار ب[رای خط[ای گ[رد ک[ردن )یع[نی بع[د از ه[ر عملی[ات ارق[ام

مق[ادیر گردن[د.( ح[ذف چه[ارم رقم از مق[ادیر بع[د گردن[د.( ح[ذف چه[ارم رقم از زی[ر xxبع[د ب[ه ص[ورت زی[ر ب[ه ص[ورت بدست میاید:بدست میاید:

دستگاه معادله زیر را دستگاه معادله زیر را حل کنید.حل کنید.

0.00.21496x

از طرفی جواب دقیق مساله عبارت از طرفی جواب دقیق مساله عبارت است از:است از:

0.10.10.1x

bAx سیستم های بد سیستم های بد

حالت :حالت :

387.5406.200.2

00.400.4002.0

112.3301.40.3

A

481.4

998.7

413.4

b

0.10.10.1x

سطرها را به صورت زیر سطرها را به صورت زیر مرتب می کنیممرتب می کنیم

با تعویض سطرهای معادله ، تفاوت زیادی در با تعویض سطرهای معادله ، تفاوت زیادی در جواب ها حاصل میگردد. این گونه سیستم ها را جواب ها حاصل میگردد. این گونه سیستم ها را

سیستم های بد حالت می نامند.سیستم های بد حالت می نامند.

: :هاي مينيمم و اپتيممهاي مينيمم و اپتيمم‌‌ پايه سيكل پايه سيكل

هاي سيكل مينيمم:هاي سيكل مينيمم:‌‌ پايه پايه

يك پايه سيكل ها به صورت روبرو :يك پايه سيكل ها به صورت روبرو : )(21 ,...,, sCCCC

ناميده مي شود در صورتي كه مقدار زير مينيمم شود:ناميده مي شود در صورتي كه مقدار زير مينيمم شود: پايه سيكل هاي مينيمم پايه سيكل هاي مينيمم

)()()(

1

1i

Sb

iCLCL

هاي شبه مينيمم:هاي شبه مينيمم:‌‌ سيكل سيكل‌‌ پايه پايه

ناميده مي شود.ناميده مي شود. مقدار نزديك به مينيمم دارد پايه سيكل هاي شبه مينيمم مقدار نزديك به مينيمم دارد پايه سيكل هاي شبه مينيممL(C)L(C)پايه سيكل هايي كه پايه سيكل هايي كه

هاي اپتيمم:هاي اپتيمم:‌‌ سيكل سيكل‌‌ پايه پايه

یعنی:یعنی: پايه سيكل هايي كه منجر به تنكي ماتريس همسايگي پايه سيكل هاپايه سيكل هايي كه منجر به تنكي ماتريس همسايگي پايه سيكل هاtCC

هستند.هستند. ناميده مي شوند. بديهي است چنين پايه هايي داراي كمترين همپوشانيناميده مي شوند. بديهي است چنين پايه هايي داراي كمترين همپوشاني مي شوند پايه سيكل هاي اپتيمم مي شوند پايه سيكل هاي اپتيمم

(2)

:: پايه سيكل هاي شبه اپتيمم پايه سيكل هاي شبه اپتيمم

)( اگراگر tCC.از مقدار مينيمم كمي بيشتر باشد چنين پايه اي را شبه اپتيمم مي نامند. از مقدار مينيمم كمي بيشتر باشد چنين پايه اي را شبه اپتيمم مي نامند

)(2)()(1)(

11

1

CSbCC i

Sb

i

t

تعداد ورودی های غیر صفر تعداد ورودی های غیر صفر : :DDماتریس ماتریس

tCC در جمله دوم بعلت تقارن ماتريس در جمله دوم بعلت تقارن ماتريس22 نشان دهنده مجاورت هر سيكل با خودش مي باشد. ضريب نشان دهنده مجاورت هر سيكل با خودش مي باشد. ضريب bbii(S)(S) جملهجمله

..وارد شده استوارد شده است

(3)

ns nt

nc

nk

طرز تشکیل سیکل حداقل طرز تشکیل سیکل حداقل روی یک عضو :روی یک عضو :

mj

به صورت همزمان می اندازیم، به محض به صورت همزمان می اندازیم، به محض SRTSRTاز دو انتهای عضو مورد نظر دو از دو انتهای عضو مورد نظر دو به دوانتهای عضو به دوانتهای عضو PathPath همدیگر را در گرهی قطع کنند با یک همدیگر را در گرهی قطع کنند با یک SRTSRTاینکه دو اینکه دو

بدست آمده وعضو مورد نظر سیکل بدست آمده وعضو مورد نظر سیکل PathPathمورد نظر برمیگردیم ،اعضای دومورد نظر برمیگردیم ،اعضای دومینمم را تشکیل می دهند.مینمم را تشکیل می دهند.

ns nt

nk

ها :ها :‌‌ كنترل استقالل سيكل كنترل استقالل سيكل

برای کنترل استقالل سیکل ها سه روش عمده برای کنترل استقالل سیکل ها سه روش عمده وجود دارد:وجود دارد:

روش جبری مانند روش گوس روش جبری مانند روش گوس 1(1(

روش های گراف تئوریکی که از یک درخت گسترنده استفاده روش های گراف تئوریکی که از یک درخت گسترنده استفاده 2(2(

می کندمی کند

روش گراف تئوریکی دکتر کاوه که از یک سیکل مجاز استفاده روش گراف تئوریکی دکتر کاوه که از یک سیکل مجاز استفاده 3(3(

می کند می کند

SCCCCC Sb )(3211 1....

در روش سوم در روش سوم داریم:داریم:

1)()()( 1111

1 k

kkk CbCCbCb

k

ii

k cC1

هاي مختلف براي انتخاب يك پايه سيكل :هاي مختلف براي انتخاب يك پايه سيكل :‌‌ مجموعه سيكل مجموعه سيكل

2

1

3

4 5

هاي ساده هاي ساده توان به سيكلتوان به سيكل واضح است كه يك سيكل معمولي را ميواضح است كه يك سيكل معمولي را ميتجزيه كرد. بنابراين طبيعي است كه مجموعه مورد بررسي را به تجزيه كرد. بنابراين طبيعي است كه مجموعه مورد بررسي را به

ها كه يك ها كه يك محدود كنيم. تمام اين مجموعه سيكل محدود كنيم. تمام اين مجموعه سيكلSS هاي ساده هاي ساده سيكلسيكلدهد، عضوهاي زيادي دهد، عضوهاي زيادي زيرفضا از فضاي سيكل گراف را تشكيل ميزيرفضا از فضاي سيكل گراف را تشكيل مي

دارد و بنابراين براي اهداف عملي غير اقتصادي است.دارد و بنابراين براي اهداف عملي غير اقتصادي است.

به منظ6ور ب6ر ط6رف ک6ردن مش6کل ب6اال ک6اوه از ی6ک به منظ6ور ب6ر ط6رف ک6ردن مش6کل ب6اال ک6اوه از ی6ک ش6دن پی6دا زم6ان ت6ا گس6ترش ش6دن فراین6د پی6دا زم6ان ت6ا گس6ترش ت6ا bb11(s)(s)فراین6د ت6ا

سیکل مجاز مطابق شکل زیر استفاده کرد.سیکل مجاز مطابق شکل زیر استفاده کرد.

دکتر کاوه برای پیدا کردن سیکل های دکتر کاوه برای پیدا کردن سیکل های 33الگویتمالگویتمشبه مینیمم یک گراف :شبه مینیمم یک گراف :

را توليد كنيد. را توليد كنيد. 33 تا آنجا كه امكان دارد سيكل هاي مجاز با طول تا آنجا كه امكان دارد سيكل هاي مجاز با طول ::11مرحله مرحله سيكل هاي انتخاب شده پيوسته را با سيكل هاي انتخاب شده پيوسته را با

nC مشخص كنيد. مشخص كنيد.

روي يك عضو استفاده نشده را انتخاب روي يك عضو استفاده نشده را انتخاب 44يك سيكل مجاز با طول يك سيكل مجاز با طول ::22مرحله مرحله پيدا شد بقيه اعضاء استفاده نشده را پيدا شد بقيه اعضاء استفاده نشده را CCn+1n+1كنيد. از موقعي كه يك چنين سيكلي كنيد. از موقعي كه يك چنين سيكلي

، ، 44 كنترل كنيد. دوباره يك سيكل مجاز با طول كنترل كنيد. دوباره يك سيكل مجاز با طول 33براي سيكل هاي مجاز با طول براي سيكل هاي مجاز با طول مي توان تشكيل داد را انتخاب كنيد. اين مي توان تشكيل داد را انتخاب كنيد. اين 33كه به دنبال تشكيل سيكل هاي با طول كه به دنبال تشكيل سيكل هاي با طول

را مي توان تشكيل داد تكرار كنيد. را مي توان تشكيل داد تكرار كنيد. 44 و و 33عمل را تا زماني كه سيكل هاي با طول عمل را تا زماني كه سيكل هاي با طول سيكل هاي توليد شده را با سيكل هاي توليد شده را با

mC مشخص كنيد.

روي يك عضو استفاده نشده انتخاب كنيد. روي يك عضو استفاده نشده انتخاب كنيد. 55 يك سيكل مجاز با طول يك سيكل مجاز با طول ::33مرحله مرحله كنترل كنيد. كنترل كنيد. 33هاي با طول هاي با طول سپس اعضاء استفاده نشده را براي تشكيل سيكلسپس اعضاء استفاده نشده را براي تشكيل سيكل

توان توليد كرد تكرار توان توليد كرد تكرار را مي را مي44 يا يا 33هاي با طول هاي با طول را تا زماني كه سيكل را تا زماني كه سيكل22مرحله مرحله توان پيدا كرد توان پيدا كرد را مي را مي55 يا يا 44، ، 33هاي با طول هاي با طول را تا زماني كه سيكل را تا زماني كه سيكل33كنيد. مرحله كنيد. مرحله

تكرار كنيد.تكرار كنيد.ها تكرار ها تكرار را با توجه به افزايش طول سيكل را با توجه به افزايش طول سيكل33 مراحل مشابه مرحله مراحل مشابه مرحله ::44مرحله مرحله دهد دهد سيكل مجاز كه يك پايه سيكل نزديك به حداقل را تشكيل ميسيكل مجاز كه يك پايه سيكل نزديك به حداقل را تشكيل مي b1(S)b1(S)كنيد. تا كنيد. تا

توليد شود.توليد شود.

در شكل زیر نشان داده در شكل زیر نشان داده b1(S)=18-11+1=8b1(S)=18-11+1=8 با با SSيك گراف مستوي يك گراف مستوي مثال: مثال: سيكل با سيكل با 44 پايه انتخاب شده شامل پايه انتخاب شده شامل 33شده است. با استفاده از الگوريتم شده است. با استفاده از الگوريتم

باشد به شرح زير:باشد به شرح زير: مي مي55 و يك سيكل با طول و يك سيكل با طول 44 سيكل با طول سيكل با طول 33، ، 33طول طول )9,8,1()3,2,1( 21 CC

)6,5,2()3,6,2( 43 CC

)2,5,7,1()2,5,4,1( 25 CC

)11,3,6,8,10()1,2,6,8( 87 CC

1

2

3

4

5 6

78

9

10

11

پيدا كنيد. پيدا كنيد.njnj و و nini بين هر جفت گره بين هر جفت گره P(ni , nj)P(ni , nj) يك مسير حداقل يك مسير حداقل ::11مرحله مرحله

الگوریتم هورتون برای پیدا کردن مینمم الگوریتم هورتون برای پیدا کردن مینمم سیکل های یک گراف :سیکل های یک گراف :

mm11 = = (n (n و عضو و عضو nnkk براي هر گره براي هر گره ::22مرحله مرحله ii , n , n

jj)) يك سيكل كه شامل يك سيكل كه شامل mm11 و و nnkk به طوري كه ، به طوري كه ،

),(),(),( jijkik nnnnPnnP

r مواردي كه r مواردي كه توليد و طول آن را محاسبه نماييد. معموال P(nP(n توليد و طول آن را محاسبه نماييد. معموالkk , n , n

ii))و و P(nP(nkk , ,

nnjj )) شامل گره هاي ديگري از شامل گره هاي ديگري ازnnkk.مي باشد را مي توان حذف نمود. مي باشد را مي توان حذف نمود

ها را برحسب وزنشان )يا طولشان( مرتب كنيد.ها را برحسب وزنشان )يا طولشان( مرتب كنيد. سيكل سيكل::33مرحله مرحله

ها استفاده كنيد.ها استفاده كنيد. براي پيدا كردن يك پايه سيكل حداقل مجموعه سيكل براي پيدا كردن يك پايه سيكل حداقل مجموعه سيكلGreedyGreedy از الگوريتم از الگوريتم ::44مرحله مرحله

(4)

3

1

2

4

5

6

7

8

9

12

11

10

15

14

13

در شكل زیر نشان داده در شكل زیر نشان داده b1(S)=15-9+1=7b1(S)=15-9+1=7 با با SSيك گراف فضایی يك گراف فضایی مثال: مثال: سيكل سيكل 33شده است. با استفاده از الگوريتم هورتون پايه انتخاب شده شامل شده است. با استفاده از الگوريتم هورتون پايه انتخاب شده شامل

باشد به شرح زير:باشد به شرح زير: مي مي44 سيكل با طول سيكل با طول 44، و ، و 33با طول با طول

)9,8,7()6,5,4()3,2,1( 321 CCC

)14,13,7,4()12,11,5,2()11,10,4,1( 654 CCC

)15,14,8,5(7 C

: :هاي با شرايط موزوني بهينههاي با شرايط موزوني بهينه پايه سيكل پايه سيكل

يك پايه سيكل اگر خواص زير را داشته باشد بعنوان يك پايه سيكل با يك پايه سيكل اگر خواص زير را داشته باشد بعنوان يك پايه سيكل با شود.شود. شرايط موزوني بهينه تعريف ميشرايط موزوني بهينه تعريف مي

آن يك پايه سيكل بهينه باشد، يعني عناصر غير صفر مربوط به ماتريس آن يك پايه سيكل بهينه باشد، يعني عناصر غير صفر مربوط به ماتريس )الف(: )الف(: ها حداقل باشد، كه به ماتريس نرمي با تنكي حداكثر منجر ها حداقل باشد، كه به ماتريس نرمي با تنكي حداكثر منجر مجاورت سيكلمجاورت سيكل

شود.شود. ميمي

ها با بيشترين وزن باشند، يعني عنصرهاي غيرقطري ها با بيشترين وزن باشند، يعني عنصرهاي غيرقطري اعضاء مشترك سيكلاعضاء مشترك سيكل)ب(: )ب(: ترين مقدار بزرگي ممكن را داشته باشند.ترين مقدار بزرگي ممكن را داشته باشند. مربوط به ماتريس نرمي كوچكمربوط به ماتريس نرمي كوچك

فرمول سازی فرمول سازی )(مساله :مساله : 1

1)(

1

1

i

iSb

i

CCLMin

)( 1

1)(

1

1

i

iSb

i

CCWMax

ji

j

i CC 1

(6)

(5)

الگوریتم اول برای پیدا کردن پایه سیکل هایی الگوریتم اول برای پیدا کردن پایه سیکل هایی با شرایط موزونی بهینه:با شرایط موزونی بهینه:

هايشان مرتب كنيد.هايشان مرتب كنيد. را تعيين كنيد و آنها را به ترتيب صعودي وزن را تعيين كنيد و آنها را به ترتيب صعودي وزنSSهاي اعضاء هاي اعضاء وزن وزن::11مرحله مرحله

gm1gm1

يك عضو با حداقل وزن يك عضو با حداقل وزن::22مرحله مرحله را انتخاب كنيد و يك سيكل با حداكثر وزن ممكن خارج از سيكل هاي با طول حداقل موجود رويرا انتخاب كنيد و يك سيكل با حداكثر وزن ممكن خارج از سيكل هاي با طول حداقل موجود روي

تشكيل دهيدتشكيل دهيد

سيكل هاي مجاز بعدي را با طول حداقل و با وزن حداكثر ممكن سيكل هاي مجاز بعدي را با طول حداقل و با وزن حداكثر ممكن ::33مرحلهمرحله

روي دومين عضو استفاده نشده يا حداقل وزن كه شامل اعضاء روي دومين عضو استفاده نشده يا حداقل وزن كه شامل اعضاء gm1- S .مي باشد، انتخاب كنيد.مي باشد، انتخاب كنيد

با حداقل طول كه با حداقل طول كه CCjj را كه انتخاب يك سيكل مجاز را كه انتخاب يك سيكل مجاز 33عمليات مرحله عمليات مرحله ::44مرحله مرحله

حداكثر وزن ممكن را دارد و شامل اعضاء حداكثر وزن ممكن را دارد و شامل اعضاء gi

j

i

mS 1

1

.مي باشد، تكرار كنيد. مي باشد، تكرار كنيد

كه يك پايه كه يك پايه bb11(S)(S)هاي مجاز هاي مجاز را تا تشكيل يك سري سيكل را تا تشكيل يك سري سيكل44 مرحله مرحله ::55مرحله مرحله دهد تكرار كنيد.دهد تكرار كنيد. سيكل با شرايط موزوني نزديك به بهينه را تشكيل ميسيكل با شرايط موزوني نزديك به بهينه را تشكيل مي

هاي معين شده اعضاءيشان هاي معين شده اعضاءيشان با وزن با وزن33××33 يك شبكه يك شبكه مثال:مثال:زیر نشان داده شده است را در نظر زیر نشان داده شده است را در نظر را كه در شكل را كه در شكل

بگيريد.بگيريد.

4

444

444

2

44

2

2222

2

22

22 2

101010

الگوریتم دوم برای پیدا کردن پایه سیکل هایی الگوریتم دوم برای پیدا کردن پایه سیکل هایی با شرایط موزونی بهینه:با شرایط موزونی بهینه:

كنيم.كنيم. از يك عضوي از گراف يك سيكلي با طول مينيمم و وزن ماكزيمم ايجاد مي از يك عضوي از گراف يك سيكلي با طول مينيمم و وزن ماكزيمم ايجاد مي::11مرحله مرحله

مرحله اول را براي تمامي اعضاي گراف انجام مي دهيم. مرحله اول را براي تمامي اعضاي گراف انجام مي دهيم. ::22مرحله مرحله يعني از تمامي اعضاي گراف موردنظر سيكلي مي اندازيم كه در حين يعني از تمامي اعضاي گراف موردنظر سيكلي مي اندازيم كه در حين

SRTSRTمينيمم بودن طول سيكل، ماكزيمم وزن را نيز داشته باشد)از مينيمم بودن طول سيكل، ماكزيمم وزن را نيز داشته باشد)از ماگزیمم استفاده می کنیم (.ماگزیمم استفاده می کنیم (.

را به اتمام رسانديم و از تمام اعضاء را به اتمام رسانديم و از تمام اعضاء 22بعد از اينكه مرحله بعد از اينكه مرحله ::33مرحله مرحله گراف يك سيكل با طول مينيمم و وزن ماكزيمم توليد كرديم، وزن هر گراف يك سيكل با طول مينيمم و وزن ماكزيمم توليد كرديم، وزن هر

سيكل و طول هر سيكل را به دست مي آوريم. )وزن يك سيكل به سيكل و طول هر سيكل را به دست مي آوريم. )وزن يك سيكل به صورت مجموع وزن اعضاي آن به دست مي آيد و طول يك سيكل به صورت مجموع وزن اعضاي آن به دست مي آيد و طول يك سيكل به

صورت مجموع طولهاي هر سيكل به دست مي آيد.(صورت مجموع طولهاي هر سيكل به دست مي آيد.(

كنيم. كنيم. سيكلهاي به دست آمده را به صورت صعودي وزن در يك مجموعه مرتب مي سيكلهاي به دست آمده را به صورت صعودي وزن در يك مجموعه مرتب مي::44مرحله مرحله

و و ((Greedy AlgorithmGreedy Algorithm ) )كنيمكنيم از الگوريتم گردي استفاده مي از الگوريتم گردي استفاده مي::55مرحله مرحله تا سيكل مستقل به دست آيد تا سيكل مستقل به دست آيد b1(s)b1(s) سيكلهاي مورد نياز را تا وقتي كهسيكلهاي مورد نياز را تا وقتي كه

. . كنيمكنيم انتخاب ميانتخاب مي

الگوریتم سوم برای پیدا کردن پایه سیکل هایی الگوریتم سوم برای پیدا کردن پایه سیکل هایی از يك عضوي از گراف يك سيكل با طول مينيمم و وزن از يك عضوي از گراف يك سيكل با طول مينيمم و وزن ::11مرحله مرحله با شرایط موزونی بهینه:با شرایط موزونی بهینه:

كنيم.كنيم. ماگزيمم ايجاد ميماگزيمم ايجاد ميمرحله اول را براي تمامي اعضاي گراف انجام مي دهيم. يعني از مرحله اول را براي تمامي اعضاي گراف انجام مي دهيم. يعني از ::22مرحله مرحله

تمام اعضاي گراف مورد نظر سيكلي مي اندازيم كه در عين مينيمم بودن تمام اعضاي گراف مورد نظر سيكلي مي اندازيم كه در عين مينيمم بودن

فرق خواهد فرق خواهد SRTSRTطول سيكل، ماگزيمم وزن را نيز داشته باشد)روش طول سيكل، ماگزيمم وزن را نيز داشته باشد)روش

داشت (.داشت (. را به اتمام رسانديم و از تمام اعضاي گراف را به اتمام رسانديم و از تمام اعضاي گراف 22بعد از اينكه مرحله بعد از اينكه مرحله ::33مرحله مرحله

يك سيكل با طول مينيمم و وزن ماگزيمم توليد كرديم، وزن هر سيكل و طول يك سيكل با طول مينيمم و وزن ماگزيمم توليد كرديم، وزن هر سيكل و طول

هر سيكل را به دست مي آوريم )وزن يك سيكل به صورت مجموع وزن هر سيكل را به دست مي آوريم )وزن يك سيكل به صورت مجموع وزن

اعضاء آن به دست مي آيد و طول يك سيكل به صورت مجموع طولهاي هر اعضاء آن به دست مي آيد و طول يك سيكل به صورت مجموع طولهاي هر

سيكل به دست مي آيد(.سيكل به دست مي آيد(.سيكلهاي به دست آمده را به صورت صعودي وزن در يك مجموعه سيكلهاي به دست آمده را به صورت صعودي وزن در يك مجموعه ::44مرحله مرحله

كنيم.كنيم. مي مي((orderorder))مرتب مرتب

گ6ردي ::55مرحل[ه مرحل[ه الگ6وريتم از گ6ردي الگ6وريتم از ((Greedy AlgorithmGreedy Algorithm))مي اس6تفاده مي اس6تفاده و و ك6نيم ك6نيم ت6ا س6يكل مس6تقل ب6ه دس6ت آي6د انتخ6اب ت6ا س6يكل مس6تقل ب6ه دس6ت آي6د انتخ6اب b1(s)b1(s)س6يكلهاي م6ورد ني6از را ت6ا وق6تي ك6ه س6يكلهاي م6ورد ني6از را ت6ا وق6تي ك6ه

كنيم.كنيم. ميمي

مثال اول:مثال اول:زی6ر، زی6ر، در ق6اب ن6ه طبق6ه نامتق6ارن در ارتف6اع دارای اعض6ای ب6ا وزن یکس6ان مط6ابق ش6کلدر ق6اب ن6ه طبق6ه نامتق6ارن در ارتف6اع دارای اعض6ای ب6ا وزن یکس6ان مط6ابق ش6کل

در صورتی که از الگوریتم دوم و الگوریتم سوم استفاده شود؛ مطلوب است:در صورتی که از الگوریتم دوم و الگوریتم سوم استفاده شود؛ مطلوب است:، م6اتریس ، م6اتریس B1B1، اعض6ای زای6د، م6اتریس ، اعض6ای زای6د، م6اتریس DD، م6اتریس ، م6اتریس CCه6ای ش6بهه بهین6ه، م6اتریس ه6ای ش6بهه بهین6ه، م6اتریس س6یکل س6یکل

GGو اعداد حالت و اعداد حالت ((PL ,PN ,PDETPL ,PN ,PDET)) ..

pattern of the matrix [D]pattern of the matrix [D]

pattern of the matrix [C]pattern of the matrix [C]

Time=0.094 s

X(D) = 127 redundant=[71 67 62 57 56 55 50 49 48 42 41 39 32 31 30 29 28 21 20 19 18 17 10 9 8 7 6 5 4 3 2]

Matrix 1B Matrix 11 BFBG mT

PL=4.248306

PN=0

PDET=5.814764e-49

الگوریتم الگوریتم دومدوم

PL=4.248306

PN=0

PDET=5.814764e-49

الگوریتم الگوریتم سومسوم

مثال دوم:مثال دوم:نامتق6ارن در ارتف6اع دارای اعض6ای ب6ا وزن ه6ای غیریکس6ان مط6ابق نامتق6ارن در ارتف6اع دارای اعض6ای ب6ا وزن ه6ای غیریکس6ان مط6ابق در ق6اب ن6ه طبق6هدر ق6اب ن6ه طبق6ه

شکل زیر، در صورتی که ازالگوریتم دوم و سوم استفاده شود؛ مطلوب است:شکل زیر، در صورتی که ازالگوریتم دوم و سوم استفاده شود؛ مطلوب است:س6یکل س6یکل م6اتریس بهین6ه، ش6بهه م6اتریس ه6ای بهین6ه، ش6بهه م6اتریس CCه6ای م6اتریس ، ،DD م6اتریس زای6د، اعض6ای م6اتریس ، زای6د، اعض6ای ،BB11 ، ،

((PL ,PN ,PDETPL ,PN ,PDET)) و اعداد حالت و اعداد حالتGGماتریس ماتریس

pattern of the matrix [D]pattern of the matrix [D]

pattern of the matrix [C]pattern of the matrix [C]

X(D) = 303

Time=0.097

redundant=[71 65 63 50 44 40 42 57 43 41 32 31 30 64 51 49 22 18 21 20 19 68 58 56 33 29 11 10 9 8 7 ]

Matrix 1B Matrix 11 BFBG mT

PL=6.351402

PN=0

PDET=0

الگوریتم الگوریتم دومدوم

PL=4.926145

PN=3.221330e-73

PDET=1.486451e-56

الگوریتم الگوریتم سومسوم

مثال سوم:مثال سوم:در ش6کل، مط6ابق یکس6ان وزن ب6ا اعض6ای دارای چهاردهان6ه طبق6ه چه6ار ق6اب در در ش6کل، مط6ابق یکس6ان وزن ب6ا اعض6ای دارای چهاردهان6ه طبق6ه چه6ار ق6اب در

دوم و الگوریتم سوم استفاده شود؛ مطلوب است:دوم و الگوریتم سوم استفاده شود؛ مطلوب است: صورتی که از الگوریتمصورتی که از الگوریتم، م6اتریس ، م6اتریس B1B1، اعض6ای زای6د، م6اتریس ، اعض6ای زای6د، م6اتریس DD، م6اتریس ، م6اتریس CC س6یکل ه6ای ش6بهه بهین6ه، م6اتریس س6یکل ه6ای ش6بهه بهین6ه، م6اتریس

GGو اعداد حالت و اعداد حالت ((PL ,PN ,PDETPL ,PN ,PDET ) )

pattern of the matrix [D]pattern of the matrix [D]pattern of the matrix [C]pattern of the matrix [C]

X(D) = 64

Time=0.028 s

redundant=[36 35 34 33 23 17 16 15 14 8 7 6 5 4 3 2]

Matrix 1B Matrix 11 BFBG mT

PL=3.541287

PN=0

PDET=2.296645e-25

الگوریتم الگوریتم دومدوم

PL=3.541287

PN=0

PDET=2.296645e-25

الگوریتم الگوریتم سومسوم

مثال چهارم:مثال چهارم: در ق6اب چه6ار طبق6ه چهاردهان6ه دارای اعض6ای ب6ا وزن ه6ای غیریکس6ان مط6ابق ش6کلدر ق6اب چه6ار طبق6ه چهاردهان6ه دارای اعض6ای ب6ا وزن ه6ای غیریکس6ان مط6ابق ش6کل

زیر،در صورتی که ازالگوریتم دوم وسوم استفاده شود؛ مطلوب است:زیر،در صورتی که ازالگوریتم دوم وسوم استفاده شود؛ مطلوب است:م6اتریس بهین6ه، ه6ای ش6بهه م6اتریس س6یکل بهین6ه، ه6ای ش6بهه م6اتریس CC س6یکل م6اتریس ، ،DD م6اتریس زای6د، اعض6ای م6اتریس ، زای6د، اعض6ای ،B1B1 ، ،

..( ( PL ,PN ,PDETPL ,PN ,PDET)) و اعداد حالت و اعداد حالتGGماتریس ماتریس

pattern of the matrix [D]pattern of the matrix [D]pattern of the matrix [C]pattern of the matrix [C]

X(D) = 120

Time=0.032 s

redundant=[14 12 11 10 18 17 16 15 27 26 25 24 9 8 7 6]

Matrix 1B Matrix 11 BFBG mT

PL=4.625147

PN=0

PDET=5.215225e-32

PL=3.958741

PN=0

PDET=1.254628e-29

الگوریتم الگوریتم دومدوم

الگوریتم الگوریتم سومسوم

::چگونگی اجرای برنامه نوشته شده به صورت ویژوالچگونگی اجرای برنامه نوشته شده به صورت ویژوال

::چگونگی اجرای برنامه نوشته شده به صورت ویژوالچگونگی اجرای برنامه نوشته شده به صورت ویژوال

نتیجه گیری :نتیجه گیری :

تحلی6ل بهین6ه س6ازه ای ی6ک مس6اله بهین6ه س6ازی چن6د منظ6وره اس6ت ک6ه تحلی6ل بهین6ه س6ازه ای ی6ک مس6اله بهین6ه س6ازی چن6د منظ6وره اس6ت ک6ه 1(1(

ه6دف آن ایج6اد س6ازش بین س6ه پ6ارامتر، پ6ر ص6فری، خ6وش س6اختاری ه6دف آن ایج6اد س6ازش بین س6ه پ6ارامتر، پ6ر ص6فری، خ6وش س6اختاری

..استاست وخوش حالتی ماتریس سازه ایوخوش حالتی ماتریس سازه ای

توپول6وژی تق6ریب زد، توپول6وژی تق6ریب زد، برای ه6ر س6ازه اس6کلتی می ت6وان م6دل گ6رافبرای ه6ر س6ازه اس6کلتی می ت6وان م6دل گ6راف2(2(

ت6ر بهین6ه س6ازی ب6ه ی6ک مس6اله بهین6ه س6ازه ای ت6ر س6پس مس6اله تحلی6ل بهین6ه س6ازی ب6ه ی6ک مس6اله بهین6ه س6ازه ای س6پس مس6اله تحلی6ل

کیباتی تبدیل می شود.کیباتی تبدیل می شود.

تن6اظر بین م6اترس ه6ای س6ازه ای وم6اتریس ه6ایی ک6ه ب6ا م6دل گ6رافی تن6اظر بین م6اترس ه6ای س6ازه ای وم6اتریس ه6ایی ک6ه ب6ا م6دل گ6رافی 3(3(

س6ازه همبس6ت ش6ده ان6د، اس6اس اص6لی تغی6یر مس6ائل تحلی6ل بهین6ه س6ازه س6ازه همبس6ت ش6ده ان6د، اس6اس اص6لی تغی6یر مس6ائل تحلی6ل بهین6ه س6ازه

ای به مسائل بهینه سازی توپولوژیکی است.ای به مسائل بهینه سازی توپولوژیکی است.

ب6رای س6ازه ب6ا مس6اله پی6دا ب6رای س6ازه ب6ا مس6اله پی6دا SES’sSES’sدر روش ن6یرو مس6اله پی6دا ک6ردن بهین6ه در روش ن6یرو مس6اله پی6دا ک6ردن بهین6ه 4(4(

کردن بهینه سیکل پایه برای مدل گرافی تغییر داده شد.کردن بهینه سیکل پایه برای مدل گرافی تغییر داده شد.

1.1. Kaveh, A., Optimal Structural Analysis (2nd edn). Wiley Kaveh, A., Optimal Structural Analysis (2nd edn). Wiley (RSP): Somerset, U.K., 2006.(RSP): Somerset, U.K., 2006.

2. Kaveh, A., Structural Mechanics: Graph and Matrix 2. Kaveh, A., Structural Mechanics: Graph and Matrix Methods, RSP, London , 1992Methods, RSP, London , 1992

For‌more‌studying