INTRODUCCIN

ITAE: MANUAL TEORICO - PRCTICO DE MATEMATICA FINANCIERA

INTRODUCCIN

Este manual de curso ha sido elaborado con el objetivo de afianzar el aprendizaje terico prctico de la Matemtica Financiera de las alumnas que pertenecen a la Carrera Tcnica Profesional de Secretariado Ejecutivo Computarizado del Instituto Tcnico de Administracin de Empresas (ITAE).

La Matemtica Financiera al ser una rama de la Matemtica Aplicada en el contexto financiero y en la variacin del dinero en relacin al tiempo, se ha credo conveniente dividir esta materia tan elemental hoy en da, en 6 grandes captulos: En el Capitulo 1 se desarrollaran todas las herramientas y mtodos operacionales matemticos que se emplearan a lo largo del curso. Los conceptos y terminologas en Matemticas Financieras sern abordados en el Capitulo 2, como punto de inicio en la asignatura del estudio de las Matemticas Financieras.En el Capitulo 3 desarrollaremos el importante concepto del inters simple y sus diversas aplicaciones financieras as como tambin se presentaran los conceptos y ecuaciones matemticas del Valor futuro y presente de un capital.

En Capitulo 4 revisaremos la teora correspondiente al inters compuesto y sus diversas aplicaciones y marcando la diferencia financiera y matemtica con el inters simple. Asimismo observaremos la importancia del estudio y el fenmeno matemtico del inters continuo.

Finamente en los Captulos 5 y 6 se desarrollaran los temas sobre Planes de ahorros, Anualidades y Amortizaciones como aplicaciones directas y reales de los temas desarrollados en este curso. Asimismo a lo largo del desarrollo del curso se estudiaran aplicaciones tales como los Bonos y Ventas al crdito muy usadas en la vida cotidiana.CAPITULO 1

FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA MATEMATICA FINANCIERA1.1.- FUNCIONES EXPONENCIALES:

Una funcin exponencial es una expresin matemtica de la siguiente forma:

Donde a es un valor numrico positivo y distinto de uno el cual ser llamado base de la funcin exponencial y x ser denominado exponente. En resumen ser llamada funcin exponencial de base a.

Ejemplo:

Las funciones:

Son ejemplos de funciones exponenciales. Obsrvese que en todos los casos la variable independiente aparece como exponente.

Un caso muy especial es la funcin exponencial natural. Cuando el valor de a es el nmero de Neper (e=2.71728182) la funciona exponencial toma la forma:

As tenemos ejemplos de funciones exponenciales:

Decimos que una funcin exponencial se vala en un valor x=xo si evaluamos numricamente una funcin exponencial en el valor correspondiente.

Ejemplos: 1.- Valuar la funcin exponencial .

Solucin: Con ayuda de una calculadora cientfica tenemos:

x.

1118,81

214116,71

0,11,61

0,22,6

3,12704499,43

2.- Valuar la funcin exponencial .

Solucin:

Con ayuda de una calculadora cientfica tenemos:

x.

12,71828183

27,3890561

0,11,10517092

0,21,22140276

0,72,01375271

EJERCICIOS:

Valuar las siguientes funciones exponenciales para 7 valores distintos de la variable x y expresarlos en una tabla:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. (Es una multiplicacin de trminos)

8.

9.

10. (Ecuacin de valor de cuota de amortizacin)

1.2.- LOGARITMOS Y FUNCIONES LOGARITMICAS:Sea a>0 diferente de 1. Definimos la funcin logaritmo en base a como:

Donde:

a= base del logaritmo.

x= nmero real positivo.

Ntese que si y= entonces

Ejemplos:

1. Log3 27=3

2. Log4 256=4

3. Log1/2 8=-3Es decir el logaritmo es el nmero real al cual se le debe elevar a la base para obtener el numero x dado.

Observaciones:

Si a=10 denotaremos y=log x es decir

Si a=e (numero de Neper definido en el pargrafo anterior) denotaremos y=ln x es decir .

Uso de los logaritmos: Los logaritmos son usados para encontrar soluciones a ecuaciones de tipo exponencial, esto se lleva a cabo teniendo en consideracin las siguientes propiedades.

1. Log (ab)=log a + log b.

2. Log()= log a log b.

3. Log ab=b.log a

4. Las mismas propiedades son validas para el caso del logaritmo natural y el logaritmo en cualquier base.

Aplicaciones1. Hallar el valor de t de tal forma que:

Solucin:

2. Hallar el valor de t de tal forma que:

Solucin:

3. Hallar el valor de i en la ecuacin:

Solucin:4. Hallar el valor de t en la ecuacin:

Solucin:5. Hallar el valor de C en la ecuacin:

Solucin:

EJERCICIOS:

1. Con el uso de la calculadora cientfica encontrar el valor de:

a. Log 12.45b. Log 0,5674

c. Log 3,67

d. Ln 2.45

e. Ln 0.034

2. Encontrar el valor de la variable correspondiente en las siguientes ecuaciones usando correctamente los logaritmos.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

1.3.- PROGRESION ARTIMETICA:

Sea a un nmero real y r un factor aritmtico (el cual puede ser positivo o negativo). Generaremos una sucesin de trminos del siguiente modo:

A1=aA2=a+r

A3=a+2r

A4=a+3r..

An=a+(n-1)rCon esto tenemos el trmino n-esimo de una progresin aritmtica primer trmino a y de razn r.Suma de trminos en una progresin aritmtica:Sea a el primer trmino de una progresin aritmtica y r su razn aritmtica entonces la suma de los n primeros trminos de la progresin viene dada por

EJERCICIOS:

1. Hallar el termino 15 de una progresin aritmtica de primer termino 100 y de razn 20.

2. Hallar el termino 34 de una progresin aritmtica de primer termino 200 y de razn -3.3. En una cervecera la capacidad de almacenaje de su bodega es de 40000 litros por semana. Con el uso de los aparatos y el desgaste esta capacidad se ve disminuida a razn de 2.5 litros por semana Cul ser la capacidad de almacenaje a los 8 meses?

4. Hallar la suma de los 30 trminos de la progresin 120, 123 , 126

5. Hallar la suma de los 80 trminos de la progresin 800, 778,6. La suma de los 40 trminos de una progresin de primer termino 20 es 860. Hallar la razn aritmtica.

7. Una compaa manufacturera instala una maquina a un costo de $ 1500. Al cabo de 9 aos la maquina tiene un valor de $ 420. Suponiendo que la depreciacin anual es constante. Hallar la tasa de depreciacin anual

8. Los pagos mensuales de un ahorrista al banco forman una progresin aritmtica (esto es conocido como gradiente aritmtico). Si el 8vo pago es $ 151 y el 15avo pago es $ 181. Hallar el 20mo pago.

9. El salario mensual de Ana se incrementa anualmente formando una progresin aritmtica. Ella gano $ 440 en todo el 7mo ao y despus gano $1160 al mes durante el 25vo ao. Se pide hallar su salario al comienzo de laborar en la empresa, el incremento anual y su salario a los 30 aos de servicio.

10. Una persona est de acuerdo en saldar una deuda de $ 1800 en cierto nmero de pagos, cada uno de ellos (empezando con el segundo) menor que en el previo por $ 10. Si su quinto pago es de $200 Cuntos pagos debe realizar de modo que se salde su deuda? (A este mtodo de amortizacin se le conoce como amortizacin alemana).

1.4 PROGRESION GEOMETRICA: Sea a un nmero real positivo y r > 0 diferente de uno. En esta situacin generaremos una sucesin de la siguiente forma:A1=a

A2=ar

A3=ar2

A4=ar3

.

.

.

An=arn-1

Con esto hemos deducido la ecuacin del trmino n esimo de una progresin geomtrica de primer trmino a y de razn geomtrica r.Suma de trminos de una progresin geomtrica:

Dada una progresin geomtrica de primer trmino a y de razn geomtrica r la suma de todos los trminos hasta el trmino n esimo es:

EJERCICIOS:

1. Hallar el trmino 12avo en la progresin 2, 1,

2. Hallar el trmino 9 en la progresin 4,12,36

3. El primer trmino de una progresin es 1200 y la razn geomtrica es 1/3. Hallar la suma de los 10 primeros trminos.

4. Una maquina se deprecia cada ao a una tasa del 10% de su valor. El costo original es de $ 100000 y su valor de desecho es de $5314,41. Hallar la vida efectiva de la maquina.5. (Gradiente geomtrico). Los pagos de una deuda estn en progresin geomtrica de razn $2.5 por cada pago. Si el primer pago fue de $100 y el nmero de pagos es de 15. Encontrar el monto de la deuda total.

6. El costo del fabricar un producto est en funcin al nmero de pedido que tiene. Si n es el nmero de pedidos y el costo fijo es de 200. La ecuacin que relaciona el costo con el numero de pedidos es: C=200(1.4)n. Si el numero de pedidos es de 30 Cul es el costo de fabricacin del producto? Cunto debe ser el nmero de pedidos mximo que se puede atender con 20000?

7. El monto o valor futuro de un depsito est en funcin del inters cargado y el tiempo de depsito. La ecuacin que la determina es: D=3000(1,04)4.2n donde n es el tiempo en meses. Cul es el valor del depsito a los 10 meses? Al ao y medio?

8. Hallar el 4to termino en la progresin geomtrica: 80,16,16/5 y adems su suma.

9. Suma total de una progresin: Cuando 0< r 12 quincenas

X semestres ----------> 15 quincenas.

De donde X=1.25 semestres.4. Si la tasa de inters fuera anual y el tiempo es de 30 das Cul es el tiempo expresado en aos? Ayuda:

1 ao --------> 360 dasX aos ----------> 30 das.

3.2.- CALCULO DEL INTERES SIMPLE GENERADO POR UN CAPITAL:Sea C un capital puesto al r% en un periodo de redito y sea t el tiempo de la operacin transformado al periodo de redito. Entonces el Inters I generado por la operacin financiera en dicho periodo es:

Ejemplos:

1. Hallar el inters generado por un prstamo de $5000 durante 2 aos a una tasa de inters del 7% mensual.

2. Calcular el inters generado por un capital de $250 durante 245 das a una tasa de inters del 0.5% semanal.

3. Hallar el capital que debe ser otorgado para generar un inters de 790 a una tasa del 5% mensual durante 2 aos.

4. Encontrar la tasa de inters quincenal a la cual se debe pactar un prstamo por 3000 soles para generar un inters de 250 soles durante 6 meses.

5. Por cunto tiempo (tiempo exacto) debern ser prestados 6000 soles para generar intereses de 120 soles a una tasa de inters del 14% semestral.

EJERCICIOS:1. Hallar el inters generado por un depsito de $ 530 durante 60 das al 42% anual.

2. Cul es el capital que depositado durante 4 meses al 36% anual produce un inters de $ 40.43

3. A que tasa anual fue depositado un capital de $1120 en 3 meses si genero un inters de $ 234.56

4. A que tasa (quincenal) es necesario depositar $ 3000 durante dos meses para cobrar intereses por $ 240.

5. A que tasa (semestral) se debe depositar $50000 para generar un inters de $2500 durante 2 aos y 6 meses.

6. Una persona realiza un depsito por $30000 soles a una tasa del 7% anual. Despus de 254 das retira $15000 y el saldo lo deja en depsito durante 45 meses. Cul es el inters generado por el saldo?

7. Se han invertido en una empresa $10800 durante 45 das a una tasa del 7% mensual. Cul es el inters generado?

8. Se desea saber cunto tiempo debe estar depositado en una cooperativa $300000 para ganar intereses de $3000 al 14% bimestral

9. Hallar la ecuacin del inters para un ahorro de $ 7000 a una tasa del 8% semestral? Usarla para encontrar el inters generado durante 4 aos y 8 meses.

10. Hallar la tasa de inters de un depsito de $3000 a plazo de 120 das que genero un inters de $200.

3.3 VALOR FUTURO Y PRESENTE DE UN CAPITAL A INTERES SIMPLE:

Como se ha visto en el Capitulo 2 el valor futuro de un capital C es la suma del capital ms los intereses. Denotando por VF al valor futuro, C al capital, i al factor porcentual de la tasa de r% y t al tiempo transformado al periodo de inters se tiene la ecuacin del valor futuro. Es decir:

Por otra parte el valor presente de un capital se define como el valor del capital que debe ser operado para que a una tasa y tiempo de inters establecida se obtenga el valor futuro. Denotando por VA=C en la ecuacin del valor futuro y realizando el despeje correspondiente se tiene.

Nota: En algunos textos de Matemtica Financiera se suele denominar monto al valor futuro y por capital inicial al valor actual.Ejemplos:

1. Cul es el valor futuro del capital ascendente a $3000 depositados al 7% mensual por 280 das?2. Qu capital se debe depositar hoy durante 50 das al 18% trimestral para obtener un monto de $1980.

3. Qu capital es necesario depositar durante 3 meses al 24% semestral para obtener un VF de $13200?

4. Un capital de $10800 se deposito a inters simple durante 30 das al 8% anual. Vencido este plazo se renov el depsito CON LOS INTERESES por el termino de 60 das al 8,5% anual. Hallar el inters total ganado al cabo de este ultimo vencimiento.

5. Cunto tiempo es necesario dejar depositado un capital C al 96% anual para que se duplique?

3.4 NUMERO DE DIAS ENTRE DOS FECHAS:En las operaciones comerciales que se definen por fechas es imprescindible conocer el tiempo que transcurren entre dos fechas. En Excel (cualquier versin) la funcin dasper() permite conocer esa cifra. Pero cuando no tenemos una computadora al alcance la siguiente tabla permite conocerlo sin dificultades. Pongamos como ejemplo las siguientes fechas:

14 de marzo al 7 de octubre del mismo ao.Obsrvese aqu que el mes inicial es marzo mientras que el mes final es octubre. En la tabla adjunta ubiquemos dichos meses:

DIA DEL MES INICIALDIA DEL MES TERMINAL

ENEFEBMARABRMAYJUNJULAGOSETOCTNOVDIC

ENE365315990120151181212243273304334

FEB334365285989120150181212242273303

MAR306337365316192122153184214245275

ABR275306334365306191122153183214244

MAY245276304335365316192133153184214

JUN214245273304334365306192122153183

JUL184215243274304335365316292123153

AGO153184212243273304334365316192122

SET122153181212242273303334365306191

OCT921231511822122432733043353653161

NOV619212015118121224227330433436530

DIC316290121151182212243274304335365

As el valor numrico sealado por marzo y octubre es 214. Luego se procede a restar la FECHA FINAL MENOS LA FECHA INICIAL. En nuestro caso:7-14= -7

Con esto la el nmero de das entre las fechas sealadas es: 214 +(-7)=207 das. Cuando las fechas estn a ms de un ao de diferencia se establece los aos transcurridos (365 aos reales; 360 aos comerciales) y luego se procede a encontrar los das transcurridos entre dos fechas en un mismo ao.

Ejemplos:

Encontrar el nmero de das transcurridos entre:

a. 14 de abril del 2007 al 4 de noviembre del 2008.

b. 7 de enero del 2008 al 14 de octubre del 2008.

c. 20 de marzo del 2005 al 29 de junio del 2007

d. 15 de setiembre del 2008 al 22 de febrero del 2012

e. 18 de mayo del 2007 al 24 de junio del 2020.

3.5 APLICACIONES:1. Se presta 12000 soles el 24 de febrero del 2008 a pagar el da 5 de abril del 2010 a una tasa del 5% mensual. Cul es el monto a pagar por el prstamo?2. Cual es el inters bimestral cargado a un deposito de $8000 efectuado el 30 de abril del 2008 y retirado con intereses el 13 de mayo del 2010 que arrojo un monto de $20000?

3. Cul es el capital invertido en un deposito desde hoy hasta el 4 de marzo del 2011 para obtener un valor futuro de S/. 20000?

EJERCICIOS

1. Cul ser el valor futuro de una operacin financiera si se invierten $ 10000 al 8% de inters simple mensual en 6 aos?2. Qu cantidad se debe invertir para obtener $ 450000 en 5 aos si la tasa de inters es del 5% bimestral?

3. Se ofrece un crdito que produjo un valor futuro de $ 5500. Este crdito fue otorgado el 12 de abril del 2007 y venci el 13 de enero del 2009. Si se prest $1500 Cul fue la tasa de inters mensual del crdito?

4. Si se desea iniciar un negocio con un prstamo de $45000 pagadero en 60 meses. Cul es el inters generado por el prstamo si la tasa anual de inters fue del 8%? Cul es el valor futuro del prstamo?

5. En cuntos aos una inversin P, se triplica sabiendo que la tasa de inters simple es del 4% mensual?

6. Para terminar de saldar una hipoteca de una casa, se debe pagar una cantidad de $ 35000 a fines de diciembre prximo. Con que cantidad pagada ao inicio del mes de febrero se liquidara la deuda si se considera un inters simple del 56% anual?

7. Cul ser el beneficio de un deposito de $24000 hecho el 1ero de mayo para retirarlo el 30 de noviembre, con una tasa de inters simple del 60% anual?

8. El propietario de una casa recibe el 15 de mayo del 2008 tres ofertas que se detallan a continuacin. Cul es la mejor si la tasa de inters es de 9%:

$60000 al contado y un pagare al 10 de septiembre del 2008 por $32600.

$30000 a 120 das y $ 63500 a 180 das.

$ 20000 al contado y un pagare con intereses del 8% por $ 71000 a 120 das.

9. Una persona debe cancelar $14000 de deuda en tres meses con el 8% anual de intereses. Si una de las clausulas del prstamo dice que se cobre el 7% por cada 30 das que exceda al plazo fijado Qu cantidad paga el deudor 70 das despus del plazo fijado.

10. Una persona gana una rifa de $4000 y deposita ese importe en dos cuentas distintas: En la primera deposita la cuarta parte en un plazo fijo de 6 meses y el resto la otra cuenta durante 8 meses. Siendo el inters generado por las dos cuentas de $1620. Hallar los intereses generados por ambas cuentas si la tasa de inters ofrecida por la primera cuenta es del 60% anual. 3.6 VENTAS A PLAZOSExisten dos casos de ventas a plazos:Caso 1: Ventas a Plazos con cargo de intereses sobre los saldos:

Ejemplo.

Una persona compra electrodomsticos por un valor de $12000 y conviene en pagar $2500 dlares al contado (cuota inicial) y el saldo en cuatro cuotas con el 3,5% de intereses sobre los saldos. Hallar:

a. El pago total efectuado.

b. Si se paga el saldo despus de la cuota inicial en 150 das a la tasa anual del 14%. Conviene realizar este trato?

Solucin:

Ejercicios:

1. Realizar variaciones en el problema anterior como tarea.

2. Se desea adquirir 30 computadoras a un costo de $5000 cada una. Como plan de pago al crdito se conviene en pagar una cuota inicial de $12000 y el saldo en 6 cuotas cargadas con el 1,7% sobre los saldos. Cul es el pago total por el crdito pactado?

Este mtodo de pago a plazos es muy poco empleado comercialmente puesto que los intereses se cobran en cada etapa de saldos. Por ello el siguiente plan de venta al crdito es el ms usado comercialmente.Caso 2: Ventas a plazos con pagos peridicos igualesEl ms usado en la actualidad. Consideremos las siguientes variables financieras en este tipo de ventas a plazos:Sea:

P= Precio de Contado

I= Cargo adicional o intereses

n= Numero de pagos

CI=Cuota Inicial

Si denotamos por V al valor de cuota a pagar se tiene la ecuacin de la venta a plazos:

Es decir:

Ejemplo:

1. El precio de contado de un terreno es de $ 80000 dlares. Se pacta en comprar este terreno a plazos durante 15 aos y una cuota inicial de $5000 con el 5% de intereses mensuales con pagos peridicos cada mes?

a. Cual es el valor de la cuota mensual?

b. Cul es el pago por la venta al crdito?

Solucin:

Caso 3: Tasa de inters en una venta a plazos.

Definimos el saldo insoluto (SI) en una venta a plazos como la diferencia entre el valor de contado y la cuota inicial, es decir

SI=P CI Con esto planteamos la ecuacin general de la venta a plazos:

P= Precio de Contado

I= Cargo adicional o intereses

n= Numero de pagos excluyendo la inicial

r= Valor de cuota.

m= Numero de periodos en un ao

i= Factor porcentual de la tasa de inters.

Con esto se tiene que.

Ejemplo: Un terreno posee un valor de contado de $60000 y se vende a plazos mediante una inicial de $6000 y el saldo en 80 cuotas mensuales de 1000 . Hallar la tasa de inters cargada por la compra a plazos.

Solucin:

EJERCICIOS:

1. Un equipo de sonido tiene un precio de contado de $650 dlares y se vende a plazos mediante una inicial de $120 y el saldo en 6 cuotas mensuales de $100 cada una. Hallar la tasa de inters cargada.2. Una tienda ofrece cortinas de lujo a $780 la unidad con una cuota inicial de $100 y el saldo en 18 cuotas quincenales de $39,6. Hallar la tasa de inters cargada en la compra al crdito.

3. Un comerciante vende electrodomsticos por un valor de $ 9000 y para promover sus ventas ofrece crditos para pagar en 12 cuotas mensuales a una tasa del 14% bimestral. Cul es el valor de cuota cargada en cada pago?

4. Un comerciante ofrece herramientas de computo por un valor total de $12800. Si la compra es al contado, rebaja un 10% de ese precio. A plazos ofrece el plan de pagos en 18 mensualidades, pero aumenta el valor en $2183 y exige una inicial de $2532. Calcular los montos finales de pago y la tasa de inters en la venta al crdito.

5. Una persona compra una casa en $180000. Paga al contado $10000 y por el saldo firma un pagare con 12% (anual) de intereses por un plazo mximo de 9 meses. Cul es el monto total por la compra al crdito?6. Un comerciante cobra por sus ventas a plazos el 2% mensual sobre los saldos insolutos. Elaborar un cuadro que corresponda al desarrollo de una deuda de $ 8000 pagadas en 4 mensualidades iguales y calcular la tasa efectiva pagada.

7. Un comerciante desea vender equipos electrnicos que tienen un precio de venta de $38000 al contado con el siguiente plan: $ 6000 de contado como inicial y el saldo en 10 pagos iguales al mes, Calcular el cargo que se debe adicionar al valor de venta para que la tasa de inters cargada sea del 26%.8. Un comerciante vende maquinas a un precio de $60400 de contado y las ofrece a plazos con el siguiente plan: Cuota inicial de $25000 y el saldo en 6 pagos de $8500 que se pagan cada 60 das. Calcular la tasa de interes de la transaccin.

9. Una maquina vale de contado $34000 y se puede ofrecer a plazos con el siguiente plan: Cuota inicial de $9000 y 4 mensualidades de $7000. Calcular la tasa de inters cargada en la venta a plazos.

10. Un terreno se ofrece al contado en $ 50 el metro cuadrado. Su medida es de 200m2 Esta se vende a plazos pagando una inicial de $5000 y 30 pagos mensuales de $1500. Cul es el inters generado? Cul es la tasa de inters de la operacin?

11. Hallar el inters generado por la venta al crdito de un proyector multimedia que costo $ 3000 al contado y su financiamiento fue de 20 cuotas mensuales de $150.

12. En la siguiente tabla se muestra los pagos al crdito de una computadora en 5 mensualidades

FechaCuotaIntereses

01- 0514012.5

01 -0615013.5

01 - 0716016.5

01- 0818017.5

01 - 0919018.5

Hallar el valor de Contado.CAPITULO 4INTERES COMPUESTO E INTERES CONTINUO

4.1 DEFINICION

El inters compuesto se define como la capitalizacin del dinero de forma variable con respecto a la tasa de inters en el tiempo. Este fenmeno financiero puede ser comprendido en el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Supongamos que se desea prestar $ 1000 a una tasa de inters compuesto del 7.5% anual en 4 aos.

Solucin:

PRESTAMO= $1000

TASA DE INTERS 7.5% ANUAL es decir i = 0.075. Con esto analcese la tabla dada a continuacin y vease como los intereses son tomados de los montos a inters simple.

tMontointers

010000

1100075

2107580.63

31155.6386.67

41242.3093.17

4.2 NOCION DE CAPITALIZACIONLa Capitalizacin de un dinero se define como las veces en el cual se aplican los intereses en el capital puesto en la operacin financiera. Este proceso de capitalizacin es comn cuando trabajamos con el inters compuesto. Denotaremos por K las veces en la cual se capitaliza un dinero C en determinado periodo de inters a una tasa del r%Periodo de inters

Numero de Capitalizaciones (K) por periodo de inters.

Ejemplo:

Un capital de $ 3000 de invierte en un negocio generando intereses a una tasa del 7% anual capitalizada mensualmente durante 190 das.

Solucin: Aqu vemos que el periodo de inters es anual y que la capitalizacin es mensual, o sea los $3000 ganan intereses cada mes, es decir 12 veces al ao. Por ello K=12.

En la siguiente tabla mostraremos los diversos valores de K para los diversos periodos de inters y las diversas formas de capitalizacin.Periodo de intersCapitalizacinValor de K

ANUALANUAL1

SEMESTRAL2

TRIMESTRAL4

MENSUAL12

SEMANAL48

DIARIA360

SEMESTRALTRIMESTRAL 2

MENSUAL6

QUINCENAL24

TRIMESTRALMENSUAL3

QUINCENAL6

SEMANAL12

MENSUALQUINCENAL2

SEMANAL4

DIARIA30

QUINCENALSEMANAL2

DIARIA15

DIARIADIARIA1

Nota: Recordemos que un ao comercial o financiero es de 360 das.

4.3 VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTEDE UN CAPITAL A INTERES COMPUESTO:Sea C un capital puesto a inters compuesto en un periodo de inters del r% por periodo, siendo K el numero de veces que se capitaliza en el periodo dado durante un tiempo t el cual estar expresado en la MISMA UNIDAD DE TIEMPO del periodo de inters. Entonces el valor futuro del capital C estar dada por la ecuacin:

En donde i es el factor porcentual de la tasa de inters.

Asimismo, el valor actual o presente de un capital que puesto a las mismas condiciones de operacin financiera estar dado por:

Ejemplos:

1. Hallar el valor futuro de un capital de $23000 dado a inters compuesto capitalizado anualmente durante 8 aos.

2. Se desea realizar un prstamo de S/. 15000 a una tasa anual de inters compuesto del 3.4% con capitalizacin mensual. Hallar el tiempo que debe ser prestado para generar un monto futuro de 20000 soles.

3. Se desea realizar un prstamo durante tres aos con las condiciones siguientes: Al 2.5% anual con capitalizacin trimestral. Hallar el valor futuro del prstamo si se asigna $15000.4. A que tasa de inters compuesto capitalizada trimestralmente debe ser depositado $ 14000 para convertirse en $19000. Si el deposito se efecta desde el 14 de abril del 2008 al 15 de setiembre del 2010.

5. Por cuanto tiempo debe ser prestado $80000 para ganar un inters compuesto de $10000 a una tasa del inters del 7% mensual capitalizada semanalmente.

6. Un inversionista desea conocer cuanto debe prestar a una panadera durante dos aos y 5 meses a una tasa de inters del 5.5% semestral con capitalizacin quincenal, para tener un valor futuro de $50300 dlares. Adems investigar el inters generado y hacer un comparativo con un inters simple del mismo rdito por el mismo tiempo.

EJERCICIOS:1. Qu cantidad se podr retirar del banco en cuatro aos si se invierten $5000 el da de hoy si se sabe que la tasa de inters es del 4,8% anual con capitalizacin semanal?

2. Cunto se debe invertir hoy para reunir $200000 en 5 aos si la tasa de inters es del 1,2% semestral con capitalizacin mensual?

3. Hoy es 13 de julio del 2008 y se desea depositar hasta el 31 de agosto del 2010 la cifra de $20000. Cunto es lo que se retirara si se sabe que la tasa de inters es del 9% anual con capitalizacin semestral?

4. Se desea adquirir una casa valorizada en $70000. Se paga una inicial de $21000 y el resto a pagar en 4 aos Cunto dinero se debe depositar en el banco para poder liquidar el saldo insoluto de la compra, si la tasa de inters que paga el banco es del 13% anual capitalizada mensualmente?

5. Un capital de $ 1000 se deposito durante 4 meses al 5% mensual con capitalizacin mensual. Hallar el monto y el inters generado.

6. Hallar el monto y el inters generado por:

$300 al 3% mensual con capitalizacin semanal durante 4 meses. $800 al 2% mensual con capitalizacin mensual durante un ao y 4 meses.

$1200 al 6% trimestral con capitalizacin mensual durante 2 aos y 6 meses.

7. A que tasa mensual con capitalizacin diaria fue depositado un importe de $ 1500 si al cabo de 8 meses dio un monto de $1748.8

8. Qu capital es necesario depositar durante:

20 meses al 4,5% anual con capitalizacin bimestral para obtener un monto de $ 9000.

4 aos y 2 meses al 30% anual con capitalizacin bimestral para obtener $2000.

9. Se depositan $1000 en una cuenta de ahorros con capitalizacin mensual por el termino de un ao. Durante los 3 primeros meses la tasa fue del 4% mensual y luego aumenta al 5% mensual Qu monto se retira?

10. Se deposita un capital de $2000 en una cuenta al 5% mensual con capitalizacin. A los 6 meses transcurridos se retira $500 y el resto se deja depositado un cierto tiempo, el cual transcurrido se cierra la cuenta y se retira un monto de $ 3221. Calcular el tiempo de vida del deposito.

11. Calcular el valor futuro de una inversin de $ 10000 durante 10 aos si el inters es del 6% semestral con capitalizacin mensual durante los 5 primeros aos y del 7% semestral con capitalizacin diaria en los ltimos. Adems encontrar el inters generado.

12. El banco A abona a un deposito C el 5% anual capitalizable semestralmente mientras que el banco B abona el 6% anual capitalizable trimestralmente. Si el deposito dura 2 aos Cul es la mejor oferta?13. Hallar la cantidad que se necesita colocar en una cuenta que paga el 15% anual con capitalizacin trimestral para disponer de $20000 al cabo de 10 aos.

14. Cuntos meses deber dejarse una pliza de acumulacin (fondo) de $20000 que paga el 3% anual con capitalizacin mensual para que se convierta en $75000.

15. Qu es mas conveniente, invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 aos o depositar en una cuenta de ahorros al 6% anual capitalizable trimestralmente.16. Hallar el valor futuro a inters compuesto de $ 20000 en 5 aos a la tasa del 5% de inters. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5% capitalizable semestralmente.

17. Una persona deposita $ 3000 el 22 de marzo del 2007 , le pagan el 6% anual capitalizable semestralmente y finaliza el deposito el 11 de junio del 2010. Qu monto retirara?

18. Hallar el valor actual de $96000 pagaderos dentro de 20 aos al 8% con capitalizacin semestral.

19. Qu oferta es mas conveniente para la venta de una propiedad si la tasa de inters es del 10% anual con capitalizacin mensual:

$60000 al contado.

$30000 al contado y $35000 a 3 aos de plazo.

20. Durante cuanto tiempo estuvo depositado un capital de:

$ 850 al 36% anual con capitalizacin mensual si dio un monto de $1200.

$600 al 60% anual con capitalizacin trimestral si dio un monto es $5870.

$800 al 20% anual con capitalizacin diaria si el monto fue de 6000 dlares.

4.4 INTERES CONTINUO

Supongamos que se deposita un Capital C al r% de inters por periodo de reditu, como sabemos la capitalizacin fracciona el periodo de inters de manera uniforme y finita. Pero que ocurre cuando estos periodos de capitalizacin se reducen a horas, minutos, cada segundo Esto motiva el concepto matemtico del inters continuo.El inters continuo se define el inters generado por capitalizaciones que ocurren en cada instante del tiempo.Gracias al calculo diferencial podemos obtener una ecuacin para calcular el valor futuro de un capital puesto en capitalizacin continua.

4.5 VALOR FUTURO DE UN CAPITAL A INTERES CONTINUO

Sea C un capital dado o recibido a una tasa de inters por periodo del r% durante un tiempo t convertido a la unidad temporal del periodo de inters. Entonces el valor futuro VF del capital C es:

Asimismo el valor actual en inters continuo es:

Donde como sabemos i es el valor porcentual de la tasa de intersEjemplos:

1. Se deposita $14000 a una tasa del 9,75% mensual, capitalizado continuamente. Hallar el valor futuro del capital.

2. Hallar el valor futuro de un deposito de $ 5000 capitalizado continuamente durante 3 aos a una tasa del 5% semestral.3. Cual es el inters generado por una deuda capitalizada continuamente a una tasa del 7% mensual durante 4 aos.

EJERCICIOS:

1. Una inversin de $100 se capitalizada continuamente durante 2 aos a una tasa de inters del 2% trimestral y luego por 5 aos mas a una tasa del 5% anual capitalizada semestralmente. Cul es el valor futuro del deposito.

2. Se presta $ 2000 con capitalizacin continua durante 190 das a una tasa del 0.07% diario. Hallar el inters generado por el prstamo.

3. Que es mas conveniente para un prestamista:

a. Una capitalizacin continua con una tasa del 5% mensual o una capitalizacin mensual del 7% bimestral

b. Una capitalizacin semestral del 7% anual o una capitalizacin continua del 5% mensual durante 3 aos.4. Cual es el monto futuro de un deposito a:

Tres aos de un capital de $3000 a una tasa capitalizada continuamente del 5% mensual.

Cuatro meses de un capital de $36990 a una tasa del 0.5% capitalizada continuamente durante 2 aos y 3 meses.

Desde el 20 de febrero del 2008 al 12 de mayo del 2009 de un capital de $200000 a una tasa del 4.5% continua.

En 1230 das a una tasa del 0.07% semanal de un capital de $5000.

Un deposito de $ 2000 a una tasa del 1.5% continuo a un periodo comprendido del 30 de abril al 25 de noviembre.

5. Cual la oferta mas conveniente para un prestamista: Un prstamo de $12000 devuelto a una tasa continua mensual del 7% por 120 das.

El mismo monto por 150 das al 7% mensual capitalizada diariamente.

CAPITULO 5PLANES DE AHORRO Y ANUALIDADES

5.1 PLANES DE AHORRO:

Supongamos que una cantidad C es depositada en un determinado periodo (mensual, quincenal, semestral, anual, etc) el mismo que debe ser el mismo en cada pago u aportacin.

Sea r% la tasa de inters por periodo (de no coincidir con el periodo de cuotas se usan los valores de K para tal fin). El objetivo es conocer el monto generado por estas cuotas luego de n periodos de aportes. Observe el grafico:

Periodo de pagos o cobros

..

C C C .. C C C C

Numero de pagos de la cuota C

Con esto deducimos la ecuacin del ahorro o monto acumulado:

En donde:

C= Aporte o cuota peridicai = Factor porcentual de r% en el periodo de cuota

n= Numero de pagos o cuotas realizadas

Ejemplos:

1. Encontrar el ahorro acumulado en 10 aos por el depsito de $1000 cada ao a una tasa de inters del 18% anual.

2. Cul es el ahorro acumulado si se depositan $500 cada 6 meses durante 4 aos a una tasa del 6.5% semestral?

3. Cual es el ahorro acumulado por depsitos de $600 cada tres meses durante 6 aos a una tasa del 1.2% trimestral.

4. Cuanto debe depositarse cada ao durante 4 aos para obtener un ahorro de $15000 al 4.5% anual de inters.

5. Cuanto debe depositarse cada 2 meses para obtener una suma de $ 20000 al final de 4 aos al 8% anual compuesto trimestralmente?

6. Al final de que ao se logra acumular $ 5486,45 si se deposita cada ao $440 a una tasa de inters anual del 6,48%

EJERCICIOS1. Encontrar el valor del monto de los siguientes planes de ahorro: depsitos de $1000 al final de cada ao a una tasa del 0.3% anual durante 10 aos.

Cuotas de $200 al final de cada mes por 2 aos y medio a una tasa del 3.2%

depsitos semestrales de $500 por 4 aos y medio a una tasa del 1.2% mensual

depsitos trimestrales de $120 por 4 aos a una tasa del 0.7% mensual.

2. Cunto se debe depositar al final de:

Cada ao durante 6 aos para obtener la suma de $15000 al 8% anual de inters Cada 6 meses para obtener la suma de $ 50000 al final del 10 aos con el inters del 4% trimestral

Cada 3 meses para alcanzar una suma al final de 3 aos y medio al 8% anual de intereses.

Cada mes durante 12 aos para obtener la suma de $ 80000 al 12% anual.

3. Al inicio de cada ao se invierten $2000 en un plan de ahorros, si la tasa de inters es del 7%. Hallar el valor del ahorro al termino del quinto ao (Sug multiplicar por (1+i) al valor de ahorro. Esto es un deposito anticipado)

4. Una persona invierte dinero cada mes en un plan de ahorros que paga el 0.5% de inters mensual. Tres aos despus retira el dinero y lo usa para pagar una hipoteca de $ 80000. Cunto debe abonar cada mes para saldar la hipoteca?

5. El seor Lpez estima que enviara a su hijo a la universidad en 8 aos y el costo de estos estudios es de $10000. Cul es la cuota de ahorro que deber abonar cada mes para poder pagar los estudios de su hijo si la tasa de inters es del 1.2% anual?

6. El seor Snchez debe jubilarse dentro de 5 aos y desea crear un fondo de pensin. Para tal efecto deposita $50 cada mes en esos 5 aos y se le pagan intereses del 7% anual. Cul ser su fondo obtenido?

5.2 ANUALIDADES: Una anualidad es un flujo de caja con montos de cuotas de dinero uniformes, es decir todos los flujos de dinero son iguales y los movimientos de capitales (retiros) ocurren a intervalos regulares. Es un mtodo muy usado financieramente. Estas no siempre estarn referidas a periodos anuales de pago. Como ejemplos de anualidades tenemos: Los pagos mensuales por rentas

El cobro quincenal, mensual o semanal de sueldos.

Los abonos mensuales o una cuenta de crdito.

Los pagos anuales o peridicos de plizas de seguros.

5.3 ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD:

1. Intervalo o periodo de pagos: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. Tiene la condicin de ser constante.

2. Plazo de Anualidad: Es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el final del ultimo periodo.3. Pago peridico o cuota de la anualidad: Es el importe cobrado o pagado en cada periodo y el cual no cambia en el transcurso de la anualidad.

4. Valor futuro (VF): Viene a ser la suma de todos los pagos peridicos capitalizados al final del periodo (n).

5. Tasa de inters: Es la tasa de inters por periodo que se abona a cada cuota de la anualidad.

5.4 CONDICIONES DE UNA ANUALIDAD:a. Todos los pagos son de igual valor por cada periodo.

b. Todos los pagos son a iguales intervalos.

c. La tasa de inters es la misma en todo periodo.

d. El nmero de pagos es igual al nmero de periodos.

Hay dos tipos de anualidades: Anticipadas y vencidas. En la primera los pagos se efectan al inicio de cada periodo. Mientras que en la segunda los pagos se efectan al final de cada periodo. Observe la grafica:

Anualidad Vencida.

C C C C C C C

Anualidad Anticipada

C C C C C C C

5.5 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADASea C el valor de cuota de una anualidad anticipada al r% de inters por periodo con n cuotas pagadas. El valor futuro de la Anualidad anticipada (VF) es:

5.6 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDASea C el valor de cuota de una anualidad anticipada al r% de inters por periodo con n cuotas pagadas. El valor futuro de la Anualidad vencida (VF) es:

Ejemplos:1. Hallar el valor futuro de una anualidad anticipada que paga $100 al mes por 10 aos a una tasa del 6,5% anual.

2. Hallar el valor futuro de una anualidad vencida que paga $750 trimestralmente durante 5 aos a una tasa de inters del 8% anual compuesta trimestralmente.3. Se desea pagar $60000 mediante una anualidad anticipada va cuotas mensuales con el 10% anual de intereses durante 4 aos. Hallar el valor de la cuota mensual.

4. Al inicio de cada mes se deposita $400 a una tasa del 6% anual Cul es el valor futuro de la inversin en tres aos.

5. Se pretende adquirir un local comercial cuyo precio es de $40000. Siendo la tasa anual de 42% Cul ser el plazo de cumplir el pago si las cuotas son de $1500 mensuales?6. En el ejercicio anterior el plazo mximo de saldo de deuda es de 4 aos. A cuanto asciende como mximo la mensualidad?

7. El propietario de un inmueble valuado en $400000 recibe las siguientes ofertas: La primera es pagar al contado $100000 y seis pagos trimestrales vencidos de $55000 con una tasa del 10% capitalizable mensualmente; mientras que la segunda es el pago de 20 mensualidades de $22000 c/u efectuando todos los pagos por anticipado a una tasa mensual del 1% Cul es la oferta mas ventajosa para el propietario.EJERCICIOS:

1. Si en tres aos se ahorran finalizando cada 2 meses $500 y al final de dicho tiempo nos pagan $40000 Qu inters mensual recibimos?

2. Si un banco paga el 1.2% quincenal y podemos ahorrar $20 quincenales Cuntos ahorros debemos efectuar para obtener $10000?

3. Determinar el pago de mensualidades anticipadas para saldar un crdito de $100000 en un plazo de 15 aos con una tasa del 24% anual.

4. Hallar el valor de pago de un inmueble con el siguiente plan de pago al crdito: $20000 de inicial, $1000 por mensualidades vencidas durante 2 aos y 6 meses y un pago de $2500 despus de pagada la ultima mensualidad. La tasa es del 2,5% semestral.

5. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de inters trimestral. Hallar el saldo en la cuenta al final de 20 aos.

6. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 aos de plazo con pagos de $250 mensuales por mes anticipados si la tasa de inters es del 2% quincenal.7. Que suma debe depositarse el 2 de enero en un fondo que carga el 6% anual de intereses para acumular $200000 en 5 aos?

8. Determinar el fondo que se genera al cabo de 20 aos si se realizan pagos vencidos semestrales de $15 a un tanto de inters del 0.4% quincenal.

9. Que anualidad es la mayor: Una la cual viene de aportar cada mes $10 durante 10 aos a una tasa del 40% anual u otra de aportar $15 cada 2 meses durante 4 aos a una tasa del 60% anual.

10. La seora Carmen desea reunir un capital para comprar un televisor y con ese fin abre una cuenta de ahorros en la que deposita $100 al finalizar cada mes. La tasa es del 3% mensual. Qu importe figurara en su cuenta al cabo del 4to depsito?11. Al principio de cada mes durante 2 aos una persona deposita $300 en una cuenta al 30% anual. Hallar el valor futuro de la anualidad.

12. Hallar la cuota vencida necesaria para reunir $12000 si se hacen 12 depsitos mensuales al 60% anual.

13. Cuntas cuotas mensuales vencidas de $1000 deben depositarse al 48% anual para formar un capital de $12006?

14. A partir de enero y al comienzo de cada mes se efecta un depsito de $200 en una cuenta que da el 5% mensual de inters. Cuando va a depositar la 8va cuota le informan que desde ese mes la tasa baja dos puntos: Si no efecta el depsito Qu importe ha reunido?

Si no efecta ningn depsito ms y a fin de ao cierra la cuenta Cunto retira?

15. Se hacen depsitos bimestrales adelantados en una cuenta al 5% mensual. Hallar el importe reunido al finalizar el 6to bimestre.

16. Se depositan cuotas mensuales vencidas de $100 en una cuenta al 30% anual. Se pide:

Hallar el importe reunido al cabo de 4 meses

Hallar el importe al termino del mes n esimo.

17. Una persona ahorra $500 mensuales durante 4 aos. En el primer ao sus depsitos ganan el 4% mensual, durante el 2do ao el inters sube al 5% y en los dos ltimos el inters sube dos puntos. Hallar el estado de cuenta al final del 4to ao.CAPITULO 6AMORTIZACIONES

6.1 AMORTIZACIONES:Es el proceso por el cual se salda o se extingue una deuda o prstamo mediante pagos peridicos, constantes o variables a una determinada tasa de inters.

Ejemplo:

Se solicita un prstamo de 24 meses a una tasa de inters pactada mediante pagos mensuales. Se desea conocer como ser la cuota y la amortizacin de la deuda.

6.2 ELEMENTOS EN PROCESO DE AMORTIZACION:

Los elementos en una amortizacin son los siguientes:

A= Deuda o monto a amortizar

i = Factor porcentual del r% en el periodo de cuota

n= Numero de pagos o cuotas realizadas.

P= Pago peridico de amortizacin.

Con esto se tiene la ecuacin de un proceso de amortizacin. El valor de la cuota cargada con los intereses es:

De aqu el valor de la deuda si se conocen el valor de la cuota es:

Ejemplos:1. Una compaa desea solicitar un prstamo al banco, el banco le impone una tasa de inters del 1% mensual y como plazo mximo para su pago 2 aos, bajo cuotas mensuales de $1500. Cul es el monto mximo que puede solicitarse al banco?

2. Una persona tiene una deuda de $ 8000. El prstamo acumula intereses al 8% anual y debe amortizar su deuda en:

Pagos nicos cada ao.

Pagos nicos semestrales.

Para cada caso determinar la cuota de amortizacin para saldarla en 4 aos

3. Un prstamo de $5000 debe liquidarse mediante pagos trimestrales en un periodo de 39 meses. Si la tasa de inters es del 1% mensual. Hallar: La cuota de amortizacin, el inters generado por la deuda.

4. Una hipoteca de $400000 debe saldarse mediante pagos mensuales en un periodo de 20 aos. Si la tasa de inters es del 7% semestral. Hallar la cuota mensual y el inters generado por la deuda.

5. Se desea amortizar en 20 aos un prstamo de $200000 mediante cuotas constantes anuales al 5% anual. Hallar:

La cuota anual

Lo pagado al 5to ao

El inters generado por la deuda

Deuda pendiente al inicio del 17avo ao

6. Elaborar el cuadro de cuotas para una deuda de 35000 soles al 6.5% anual amortizable en 7 aos.

7. Una sociedad obtiene un prstamo de $10000 que deber amortizar en 6 cuotas vencidas, siendo el tipo de inters del 5% para los 3 primeros aos y del 6% para los ltimos. Elaborar el cuadro de cuotas.

8. Se desea otorgar un prstamo por $15000 y se proponen dos planes de liquidez de la deuda:

Plan A : Amortizacin de la deuda mediante pagos quincenales hasta en 2 aos a una tasa de inters del 1% mensual

Plan B: Amortizacin de la deuda por pagos mensuales hasta en 2 aos a una tasa de inters del 0.5% mensual.

Cul es el plan ms conveniente para el prestamista?

9. Se solicita un prstamo de $3000 amortizable en 3 aos mediante mensualidades vencidas a un tanto por ciento del 20,4% anual Hallar la cuota mensual

Hallar la deuda al 12avo pago

Hallar el inters generado por la amortizacin.

EJERCICIOS:

1. Un prstamo de $40000 debe liquidarse mediante mensualidades en un periodo de 40 meses A cuanto asciende la cuota mensual y cual es el inters generado?2. Se solicitan $60000 a un banco que fija un inters mensual del 4%. Esta deuda debe pagarse con mensualidades de $120 Cuntos pagos se deben realizar para saldar la deuda?

3. Una persona obtiene un prstamo que cancela en 12 cuotas mensuales vencidas de $320 al 5% mensual. Hallar el importe del mismo y los intereses pagados.

4. Cul es el importe del prstamo que se amortiza mediante:

6 cuotas anuales adelantadas de $110 al 50% anual.

12 cuotas bimestrales vencidas del $140 al 24% anual

8 cuotas quincenales vencidas de $280 al 30% anual.

5. Determinar cuantas cuotas mensuales vencidas de $200 deben abonarse al 72% anual para liquidar una deuda de $947,55

6. Para cancelar una deuda una persona se compromete a pagar 11 cuotas mensuales vencidas de $100 y un pago final del $216 como cuota 12. Cul es el precio a pagar si la tasa es del 4% trimestral?

7. Una tienda vende un multimedia de $6000 con el siguiente plan de pago: 20% de anticipo y el saldo en 6 cuotas mensuales a una tasa de inters del 6% mensual.

8. El seor Guzmn compro un departamento dando un adelanto de $12500 y acordando pagar 60 cuotas mensuales de $500 al 5% mensual Cul es el pago por la compra del departamento?

9. Una computadora tiene un valor de $4500 y puede adquirirse con una cuota inicial de $520 y el resto financiado a dos aos con cuotas mensuales iguales a un inters del 2.5% mensual. Hallar el saldo al cabo de 5 meses.

10. Una propiedad se vende en $30000 pagaderos de la siguiente manera: $5000 al contado y el saldo en 8 cuotas anuales al 3% anual de intereses. Hallar el valor de cuota y el inters pagado.

11. Determinar el numero de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra al crdito de un auto que cuesta $16000 y que se vende con una inicial de $2000 y la diferencia en mensualidades por tres aos a una tasa del 20% anual de intereses. PAGE 37

_1281383098.unknown

_1281383975.unknown

_1281385069.unknown

_1281385208.unknown

_1281516564.unknown

_1281528249.unknown

_1281529083.unknown

_1281532521.unknown

_1281532618.unknown

_1281528406.unknown

_1281521023.unknown

_1281524627.unknown

_1281520931.unknown

_1281458104.unknown

_1281516351.unknown

_1281385238.unknown

_1281385118.unknown

_1281385163.unknown

_1281385092.unknown

_1281384955.unknown

_1281385005.unknown

_1281385025.unknown

_1281384976.unknown

_1281384620.unknown

_1281384653.unknown

_1281384152.unknown

_1281383291.unknown

_1281383935.unknown

_1281383947.unknown

_1281383422.unknown

_1281383912.unknown

_1281383150.unknown

_1281348791.unknown

_1281349649.unknown

_1281353215.unknown

_1281363540.unknown

_1281383076.unknown

_1281383089.unknown

_1281371665.unknown

_1281382757.unknown

_1281363608.unknown

_1281370999.unknown

_1281354343.unknown

_1281361833.unknown

_1281354086.unknown

_1281350415.unknown

_1281352234.unknown

_1281349704.unknown

_1281349494.unknown

_1281349562.unknown

_1281349601.unknown

_1281349522.unknown

_1281349084.unknown

_1281349234.unknown

_1281348870.unknown

_1281348214.unknown

_1281348463.unknown

_1281348702.unknown

_1281348289.unknown

_1281347598.unknown

_1281347850.unknown

_1281347491.unknown