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Matemática Financeira

Matemática FinanceiraProf. Ms. João Domiraci Paccez

aula

01

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- Conseguirá visualizar o fluxo de caixa dequalquer problema de análise financeira.

- Deverá estruturar a equação de equivalênciaque resolverá o problema.

Ao final desta aula você :

Aula 1

Equação de Equivalência de Valores no Tempo

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Exemplo – Item a

A u l a

A n t e r i

o r Conceito Básico daMatemática Financeira

Equação de Equivalência de dois Valores no Tempo

Regime de Capitalização

Simples

Regime de CapitalizaçãoComposta

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Expansão do Conceito deEquivalência para várias parcelas

Generalização do conceito paraqualquer Fluxo de Caixa em análise

N e s t a

A u l a

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Exemplo:

a) Qual deve ser o valor para liquidarintegramente a dívida hoje ?

Uma pessoa tem os seguintes valores a pagar que são relativos a umempréstimo obtido no passado:

• $2.000 vencem daqui 3 meses;

• $2.500 vencem de hoje a 8 meses; e

• $1.000 vencem daqui 13 meses.

Se a taxa de juros contratada para o empréstimo foi 2% a.m. e o regimeé de capitalização composta, pede-se:

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Solução – Item a

3 8 13

P3= 2.000 P8=2.500 P13=1.000

i = 2% a.m.

P0=?

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Regras Básicas

Erro comum:

Valor total futuro da dívida = 2.000 + 2.500 + 1.000 =5.500

Antecipação do Pagamento

Desconto

Atraso no Pagamento

Acréscimo de Juros

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Não se comparam valores que estãoem datas diferentes

Regras Básicas daMatemática Financeira

Não se somam valores de datas diferentes

Não se subtraem valores que estejamem datas diferentes

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3 8 13

P3= 2.000 P8=2.500 P13=1.000P0=?

Como calcular o Valor Presente equivalente a um Valor Futuro ?Solução – Item a

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Equação de Equivalência de dois Valores no Tempo

VF = VP x (1 + i)n

(1+ i)nVP =VF

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3 8 13

P3

= 2.000 P8

=2.500 P13

=1.000P0=?

P0 = (1+ i)3P3

(1+ i)8P8

(1+ i)13P13

+ +

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( ) ( ) ( )13830 02,011000

02,01

2500

02,01

2000

++

++

+=P

n 3

i 2PMT 0FV 2.000

PV 1.884,64

n 8

i 2PMT 0FV 2.500

PV 2.133,73

Na Calculadora Financeira:

n 13

i 2PMT 0FV 1.000

PV 773,03

P0 = 4.791,40


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Pagar $4.791,40 na data 0 é equivalente a pagar as3 parcelas originais restantes do empréstimo.

Processo que deve ser adotado na prática quando sedeseja antecipar o pagamento de dívida ou

empréstimo.

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Exemplo – Item b

b) Se, ao invés de liquidar a dívida hoje, apessoa preferir pagar uma parcela de $3.000

daqui 2 meses e uma parcela adicional daqui10 meses.

Qual seria o valor desta parcela adicional?

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Fluxo Original

3 8 13

P3= 2.000 P8=2.500 P13=1.000

Fluxo Proposto

2 10

P2= 3.000 P10=?

Solução – Item b

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Não se pode somar as parcelas do Fluxo deCaixa Original e igualar com as somas das

parcelas do Fluxo de Caixa Proposto...

Todos os Fluxos de Caixa devem

estar em uma mesma data

... pois as parcelas ocorrem

em datas diferentes.

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Método Estruturado de Solução

Determinar a equação decálculo do VALOREQUIVALENTE de um dosfluxos na data escolhida

Escolher uma data para

análise do problema

Determinar a equação de

cálculo do VALOREQUIVALENTE do outrofluxo na mesma data Os VALORES

EQUIVALENTES dos dois

fluxos devem ser iguais.

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3 8 13

P3= 2.000 P8=2.500 P13=1.000

(1+ i)3

P3

(1+ i)8

P8

(1+ i)13

P13+ +

P0=?

Valor Equivalente do fluxo original na data 0

Fluxo Original

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Fluxo PropostoSolução – Item b

2 10

P2= 3.000 P10= ?P0

(1+ i)2

P2

(1+ i)10

P10+

Valor Equivalente do fluxo proposto na data 0

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ValorEquivalente

do FluxoProposto

ValorEquivalente

do FluxoOriginal=Na data 0

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1010

)02,01(51,883.240,791.4

+=-

P

10)02,01(

1089,907.1+

=P

10)02,01(89,907.1

10+= x P

Cálculo do valor futuro equivalente aparcela de $1.907,89

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n 10

i 2PMT 0PV 1.907,89

FV 2.325,72


P10 = 2.325,72

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Pagar $3.000 na data 2 e $2.325,72 na data 10 éequivalente a pagar as 3 parcelas originais

restantes do empréstimo.

Processo que deve ser adotado na prática quando

se deseja renegociar o fluxo de pagamento deuma dívida ou empréstimo.

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Exemplo – Item c

c) Se a pessoa preferir efetuar trêspagamentos iguais (mesmo valor nominal)

daqui 4, 6 e 11 meses, qual deve ser ovalor destes pagamentos

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Solução – Item cFluxo Original

3 8 13

P3= 2.000 P8=2.500 P13=1.000

Fluxo Proposto4 11

P4= ? P11=?

6

P6= ?

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ValorEquivalente

do FluxoProposto

ValorEquivalente

do FluxoOriginal=Na data escolhida

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Solução – Item c

3 8 13

P3= 2.000 P8=2.500 P13=1.000

(1+ i)3

P3

(1+ i)8

P8

(1+ i)13

P13+ +

P0=?

Valor Equivalente do fluxo original na data 0

Fluxo Original

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Fluxo Proposto

4 11

P4= ? P11= ?P0

(1+ i)4

P4

(1+ i)6

P6+

Valor Equivalente do fluxo proposto na data 0

6

P6= ?

(1+ i)11

P11+

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ValorEquivalente

do FluxoProposto

ValorEquivalente

do FluxoOriginal=

Na data escolhida


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( ) ( ) ( )1313

88

33

111 i

P

i

P

i

P

++

++

+=

( ) ( ) ( )1111

66

44

111 i

P

i

P

i

P

++

++

+

P4 = P6 = P11 = P

PPP1.0002.5002.000++=++

(1+ 0,02)3 (1+ 0,02)8 (1+ 0,02)13 (1+ 0,02)4 (1+ 0,02)6 (1+ 0,02)11

++=111

xP4.791,40(1+ 0,02)4 (1+ 0,02)6 (1+ 0,02)11

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++=

111xP4.791,40

(1+ 0,02)4 (1+ 0,02)6 (1+ 0,02)11


n 4

i 2PMT 0FV 1

PV

0,9238454

n 6

i 2PMT 0FV 1

PV

0,8879714

n 11

i 2PMT 0FV 1

PV 0,80426304

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4.791,40 = P x [0,9238454 + 0,8879714 + 0,80426304]

4.791,40 = P x 2,61607984

P = 1.831,52

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Pagar 3 parcelas de $1.831,52 nas datas 4, 6 e 11é equivalente a pagar as 3 parcelas originais

restantes do empréstimo.

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Conceito Geral

Para resolver um problema financeiro, oprimeiro passo é identificar o fluxo de caixa

que será analisado.

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Esta igualdade é válida em qualquer data

A solução do problema se resume àresolução da seguinte equação:

Valor Equivalente

dos RecebimentosEntradas

Valor Equivalente

dos PagamentosSaídas=

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Os exemplos apresentados foram resolvidos para o Regime deCapitalização Composta

Desafio

Caso o empréstimo tivesse sido contratado no Regime deCapitalização Simples, a solução seria idêntica, porém seria utilizadaa Equação de Equivalência do Regime de Capitalização Simples.

a) P0 = $4.835,62

b) P10

= $2.341,20

c) P4 = P6 = P11 = $1.832,75

Refaça o exemplo no Regime de Capitalização Simples. As

respostas são as seguintes:

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