UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCASECCIN JAN

TEMA : MATRICES, DETERMINANTES, SISTEMAS LINEALES

ASIGNATURA : LGEBRA LINEAL.

ALUMNO : DAVILA BERNAL, Walter Manuel. PATIO HUMBO, Luis Antonio. QUISPE HUAMN, Walter. SILVA GALVEZ, Reiner. TARRILLO FLORES, Cristian. DOCENTE : Lic. SNCHEZ CULQUI, ELADIO. FECHA : 22-04-13.JAN -PER2013

INTRODUCCINMatrices y determinantes, son dos temas instrumentales de aplicacin prctica que son prerrequisitos para los siguientes captulos del lgebra Lineal.La importancia y aplicacin de las matrices en la vida diaria, se remonta a las grandes civilizaciones orientales y occidentales, quienes con fines de seguridad decidieron inventarse cdigos, para no despertar sospechas de sus enemigos. Dichos cdigos solo eran interpretados por personas destinatarias. Hoy en da, estas aplicaciones se han ido perfeccionando junto con el avance de la tecnologa digital gracias al estudio de las matrices, las que permitieron a los jakers innovar algoritmos que descifrasen cualquier tipo de cdigo. Esta ciencia es denominada la criptografa.Adems, tiene sus aplicaciones en la sociologa (construccin de sociogramas y estudio de las influencias de unos individuos con otros en grupo), y como conclusin tuvo: A B BACon el desarrollo de las tecnologas su aplicabilidad se ha incrementado ya que est presente en la teora de la informacin, la criptografa. procesamiento de imgenes, el tratamiento de efectos especiales en videos, el desarrollo de motores de bsqueda en Internet (como google).De las incontables aplicaciones mencionamos las siguientes: Economa: Anlisis de produccin, distribucin y organizacin de empresas. La resolucin de sistemas lineales. Tabla nutricional de alimentos Utilizacin de medicamentos antihipertensivos en pacientes con hipertensin arterial. Sistemas de agua para uso mltiple. Consumo de tabaco, alcohol, marihuana, cocana y medicamentos no recetados, en varones de 18 aos en 9 reas de la repblica de Argentina. Los cuadros mgicos de Alberto Durero.492

357

816

163213

510118

96712

415141

NDICEA) MATRICES..07 1.-Definicin...07 2.-Notacin.08 3.-Orden de una matriz....08 A.1) MATRICES ESPECIALES....08 A.1.1) Matriz Fila...08 A.1.2) Matriz columna..08 A.1.3) Matriz cuadrada.09 A.1.4) Matriz Nula.09 A.1.5) Transpuesta...09 A.1.5.1) Propiedades....10 A.2) IGUALDAD DE MATRICES10 A.2.1) Propiedades...10 A.3) MATRICES CUADRADAS ESPECIALES...11 A.3.1) Matriz Triangular...11 A.3.2) Matriz Simtrica.11 A.3.3) Matriz Anti simtrica.11 A.3.4) Matriz Ortogonales11 A.3.4.1) Propiedades..12 A.3.5) Matriz Diagonal.12 A.3.5.1) Diagonal Principal.12 A.3.5.2) Traza de una Matriz Diagonal.12 A.3.6) Matriz Identidad.13 A.3.7) Matriz Escalar13 A.3.8) Matriz Idempotente...14 A.3.9) Matriz Nilpotente..14 A.3.10) Matriz Involutiva..14 A.3.11) Matriz Hermitiana14 A.3.12) Matriz Antihermitiana.14 A.3.13) Matriz positiva.15 A.3.14) Matriz no Singular..15 A.3.15) Matriz Singular15 A.4) ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES.15 A.4.1) Suma de Matrices..15 Matrices Conformables15 Propiedades..15 A.4.2) Producto de un escalar por una matriz..16 A.4.3) Multiplicacin de matrices.18 Propiedades.18 A.5) TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN MATRICES.19 A.6) MATRIZ ESCALONADA20 A.7) MATRICES EQUIVALENTES...20 A.8) MATRIZ ELEMENTAL DE LNEA20 A.9) RANGO DE UNA MATRIZ.21 A.10) INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL METODO DE LAS MATRICES ELEMENTALES...21B) SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES..22 B.1) Definicin.22 B.2) Solucin de un sistema de ecuaciones lineales...22 1.- Mtodos de sustitucin22 2.- Mtodos de Igualacin23 3.- Mtodos de reduccin.24 4.- Mtodos de determinantes..24 5.- Anlisis de resolucin de un sistema....25 B.3) Consistencia e inconsistencia de un sistema de ecuaciones-lineales..26C) DETERMINANTES....26 I) Propiedades....26D) MENORES DE UNA COMPONENTE....27E) COFACTOR DE UNA COMPONENTE..27F) ADJUNTA DE UNA MATRIZ28 II) Propiedades..31G) INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MTODO DE LA MATRIZ ADJUNTA.35H) SISTEMA DE HOMOGNEAS DE ECUACIONES LINEALES.35I) ANEXOS....37I) BIBLIOGRAFA56

MARCO TERICO

MATRICES Y DETERMINANTES

A) MATRICES1.-DEFINICIN: Una matriz, es un arreglo rectangular de nmeros dispuestos en filas (renglones) y columnas.As tendremos:

El smbolo se lee . El vector fila ( se lee fila . Al vector columna se le llama columna () Es el nmero que aparece en la -sima fila y la -esima columna.EJEMPLO: Es una matriz de orden Es una matriz de orden Es una matriz de orden 2.-NOTACIN Se denota las matrices por: donde es la esima entrada, fila , columna.3.-ORDEN DE UNA MATRIZ.El orden de la matriz est dada por el producto , donde indica el nmero de filas y indica de nmero de columnas.El conjunto de matrices con elementos se denota por .Es decir: Si , entonces Si , entonces A.1.-MATRICES ESPECIALES.Las matrices especiales son: A.1.1) MARTRIZ FILA: Es aquella que consta de una sola fila y n columnas, siendo n.Ejemplo: A.1.2) MATRIZ COLUMNA: Es aquella que consta de una sola columna y m filas (m).Ejemplo: A.1.3) MATRIZ CUADRADA: Si (nmero de filas es igual al nmero de columnas).

A.1.4) MATRIZ NULA. Es nula si, y solo si . La cual denotaremos por Ejemplo: A.1.5) MATRIZ TRANSPUESTA.Sean las matrices Diremos que es la transpuesta de , si solo si y denotamos

Ejemplo. Una matriz de orden La transpuesta de es otra matriz de orden , que se obtiene intercambiando las filas por columnas.

A.1.5.1) PROPIEDEDADES. La transpuesta de la inversa, es igual a la inversa de la transpuesta.Transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las traspuestas. Es una constante. La transpuesta de un producto conmuta al producto de traspuesta. A.2) IGUALDAD DE MATRICES.Las matrices son iguales si, y solo si, A.2.1) PROPIEDADES: Sean matrices del mismo orden (elementos de ) se cumple las siguientes propiedades Reflexiva Equivalencia C Simtrica

A.3.-MATRICES CUADRADAS ESPECIALES: A.3.1) MATRIZ TRIANGULAR. a) La matriz triangular es triangular superior si

b) La matriz cuadrada es triangular inferior si A.3.2) MATRIZ SIMTRICA Sea la matriz cuadrada es simtrica si, y solo si . A.3.3) MATRIZ ANTISIMTRICA. es antisimtrica, si Una matriz cuadrada es no singular si, y solo si, su determinante es diferente de cero. A.3.4) MATRIZ ORTOGONAL.Sea una matriz cuadrada no singular, es ortogonal, si y solo si A.3.4.1) PROPIEDADES. A.3.5) MATRIZ DIAGONALLa matriz cuadrada es diagonal si, y solo si, y ; Ejemplo

A.3.5.1) DIAGONAL PRINCIPAL.Dada la matriz cuadrada , se llama diagonal principal al conjunto. Ejemplo: Sea ; es la diagonal de A.3.5.2) TRAZA DE UNA MATRIZ DIAGONAL.Sea la matriz cuadrada , se llama traza de , al numero es la suma de los elementos de la diagonal principal).Ejemplo.En la matriz , se tiene: PROPIDADES:

; A.3.6) MATRIZ IDENTIDAD: La matriz identidad es la matriz identidad si, y solo si

Ejemplo:

A.3.7) MATRIZ ESCALAR: Es la matriz diagonal cuyos elementos son iguales.Ejemplo.

A.3.8) MATRIZ IDEMPOTENTE.Una matriz cuadrada es idempotente si, y solo si, A.3.9) MATRIZ NILPOTENTE. es nilpotente, si para algn : matriz cuadrada nula. A.3.10) MATRIZ INVOLUNTARIA. Es involuntaria, si y solo si A.3.11) MATRIZ HERMITIANA.Sea ; es hermitiana si, y solo si, Transpuesta de la conjugada de .NOTACIN: Si , entonces , donde es la conjugada de y es la conjugada de .

NOTACION:

Sea

Donde Se cumple , luego es hermitiana.

A.3.12) MATRIZ ANTIHERMITIANASea ; es hermitiana si, y solo si, Transpuesta de la conjugada de .

A.3.13) MATRIZ POSITIVA. Sea , es positiva si, y solo si, A.3.14) MATRIZ NO SINGULAR: Una matriz cuadrada de orden n es no singular . A.3.15) MATRIZ SINGULAR: Una matriz cuadrada de orden n es singular .

A.4) EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES.El conjunto de matrices es un espacio vectorial sobre . Efectivamente, en se definen dos operaciones: A.4.1) SUMA DE MATRICES

Tal que Definicin: La suma de es la matriz , de , tal que MATRICES CONFORMABLES: Son aquellas que participan en conjunto en la suma y la multiplicacin de matrices. Para que exista suma o multiplicacin de matrices es indispensable el orden de las matrices.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICESSi y son matrices del mismo orden (elementos de ), se cumplen las siguientes propiedades: Conmutativa. Asociativa. Existencia de la matriz nula. Existencia del opuesto. Donde Es el opuesta de

A.4.2) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Definicin: El producto de un escalar por una matriz de orden es una matriz de orden cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar por cada elemento de la matriz .Ejemplo.1) Supongamos que el conjunto , se dan las siguientes matrices : Dado los escalares hallar: Tal que: Solucin:

2) Dadas las matrices y el escalar a) Hallar la matriz ; b) es inversible la matriz ; c) es nilpotente la matriz ?Solucin: La matriz es inversible porque su determinante es diferente de cero La matriz es nilpotente, porque Nota: La matriz se llama forma cannica de Jordn.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICESSi y son matrices del mismo orden (elementos de ), se cumplen las siguientes propiedades: Conmutativa. Asociativa. Existencia de la matriz nula. Existencia del opuesto. Donde Es el opuesta de

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZSi son escalares y , se cumplen: A.4.3) MULTIPLICACIN DE MATRICESDefinicin. El producto de por , se define del siguiente modo: , tal que ,

PROPIEDADES Siempre que tenga sentido: Si tienen sentido: CONSECUENCIAS DE LAS PROPIEDADES:

Si no implica que Si no implica que . En general, ya que En general , ya que

Ejemplo 1: Dados las matrices: Hallar: Solucin:

A.5) TRANSFORMACIONES ELEMENTALES: Mtodos y clculos que se utilizan para simplificar y alcanzar resultados tericos para un mejor estudio de matrices.

Transformaciones elementales fila: Intercambio de dos filas Multiplicacin de una fila por un escalar . Aadir a una fila un mltiplo no nulo de otra.

Transformaciones elementales columna: estas transformaciones son anlogas a las transformaciones elementales fila.

A.6) MATRIZ ESCALONADA: Tiene la siguiente forma:

Donde tiene: filas no nulas y filas nulas.Para ser una matriz escalonada se tiene que cumplir las siguientes condiciones: El primer elemento no nulo de cada una de las filas no nulas es la unidad. Los elementos de las filas nulas se deben encontrar en la parte inferior de la matriz. En cada una de las filas no nulas, el nmero de ceros que preceden a la unida crece aritmticamente de fila en fila. Todas las columnas que tienen el primer elemento diferente de cero, de alguna fila, tienen ceros en todas las posiciones restantes.

A.7) MATRICES EQUIVALENTES: Dos matrices y son equivalentes si una de ellas se deduce de la otra mediante una sucesin finita de transformaciones elementales.NOTA:Una matriz cuadrada escalonada es una matriz triangular superior pero no todas las matrices triangulares superiores son matrices escalonadas. escalonadas.

A.8) MATRIZ ELEMENTAL DE LNEA: Es el resultado de aplicar una transformacin elemental a la matriz identidad. Se denotan por la letra E.

Ejemplo: Obtener tres matrices elementales:

1.-

2.-

3.-

A.9) RANGO DE UNA MATRIZ:

Definicin: El rango de una matriz es el nmero de filas no nulas que quedan en la ltima iteracin de las sucesivas transformaciones elementales.

NOTA:Para determinar el rango de una matriz es suficiente transformarla a su forma escalonada.

Notacin: Si es el nmero de filas no nulas de la matriz escalonada, entonces el rango de la matriz se denota:

Propiedades: Si implica , si solo si,

A.10) INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MTODO DE LAS MATRICES ELEMENTALES (Mtodo de Gauss - Jordn): Este mtodo consiste en construir una matriz de orden formada por la matriz y la matriz unitaria es decir:

Mediante las transformaciones elementales sobre las filas de la matriz construida transformando en la forma:

Ejemplo: Mediante el mtodo de Gauss, hallar la inversa si existe de la matriz.

SOLUCION

Restar de una vez .

Restar de dos veces . Restar de tres veces .

Restar de dos veces . Restar de cuatro veces . Restar de siete veces .

Restar de una vez .

B) SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES B.1) DEFINICIN: Se llama sistema de ecuaciones, al conjunto de dos o ms ecuaciones lineales que se verifican para un mismo valor de las incgnitas.Ejemplo: se verifican para B.2) SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Son los valores que toman las incgnitas para que simultneamente verifiquen todas las ecuaciones dadas. a) MTODOS DE RESOLUCIN1) MTODO DE SUSTITUCIN: Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incgnitas en funcin de las otras, para luego reemplazarla en cualquier otra ecuacin del sistema; con la finalidad de obtener una nueva ecuacin con una incgnita menos. Si solo existen dos ecuaciones corresponden aqu encontrar e valor de a incgnita, si existen ms ecuaciones, entonces se debe proceder del mismo modo hasta obtener una sola ecuacin con una sola incgnita. Una vez entrado el valor de una de las incgnitas, se proceder a remplazarlas en las otras ecuaciones para encontrarlos valores de las dems incgnitas.Ejemplo: Solucin Despejando y en la ecuacin (1) se tiene: Reemplazamos en la ecuacin (2)

2 Reemplazando en la ecuacin (1) se tiene:

2.-MTODO DE IGUALACIN: Es recomendable para aquellos sistemas formados por dos ecuaciones con dos incgnitas. Consiste en despejar en ambas ecuaciones la misma incgnita para luego igualarlas y obtener una nueva ecuacin en funcin de una sola incgnita.Ejemplo: Solucin Despejando y en la ecuacin (1) Y (2) respectivamente se tiene: (1)(2) Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene:

Reemplazando en la ecuacin (2) se tiene: 3.-MTODO DE REDUCCIN: Consiste en multiplicar a una de las ecuaciones del sistema (a veces a ms de una) por un factor no nulo para luego sumarla o restarla con otra ecuacin, con la finalidad de eliminar una o ms incgnitas, de este modo se logra obtener una nueva ecuacin en funcin de una sola incgnita.Ejemplo: Solucin Multiplicamos en la ecuacin (1) por 3 y en la ecuacin (2) por 2 se tiene: Observando las ecuaciones (1.1) y (2.1) se reduce la incgnita y se tiene:

Reemplazando el valor de x en la ecuacin (2) se tiene: 4.-MTODO DE LAS DETERMINANTES: Se usa frecuentemente en la resolucin de aquellos sistemas en donde existan 30 a ms incgnitas mediante un conocido proceso llamado: Regla de Cramu.Sea el sistema lineal: Determinante del sistema.Determinante de x.Determinante de y.Determinante de z.

Donde:, , ,

; ; 5.-ANLISIS DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA: Sea el sistema lineal:

Segn la regla de Cramu la solucin est dada por: Analizando cuidadosamente esta relacin se podr deducir que el sistema es:Compatible determinadoSi: (Solucin nica)Compatible indeterminadoSi: IncompatibleSi: Usando los conocimientos bsicos de la geometra analtica, tenemos:

1.-Sitema compatible determinado: 2.-Sistema compatible indeterminado:

3.-Sistema incompatible:

b) CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:1.-Sistemas Compatibles: Sistema compatible determinado: Si presenta un nmero finito de soluciones. En estos sistemas existen igual nmero de ecuaciones que incgnitas. Sistema compatible indeterminado: Si presenta un nmero infinito de soluciones. En estos sistemas existen ms incgnitas que ecuaciones.2.-Sistemas incompatibles: Son aquellos que no admiten solucin. Generalmente en estos sistemas el nmero de ecuaciones es mayor que el nmero de incgnitas.C) DETERMINANTES: C.1) DEFINICIN: Determinante es un nmero real o escalar relacionado con los elementos de una matriz cuadrada.

NOTA:El determinante es slo un nmero real y su clculo depende del orden de la matriz cuadrada.

NOTACIN: el determinante es una funcin de en , se denota por:

I. PROPIEDADES:1. , 2. Paridad de la filas y columnas de un determinante:3. Si una fila o columna de una matriz tiene todos sus elementos nulos

Lo mismo sucede cuando 2 filas o columnas son proporcionales.4. Si una fila o columna se multiplica por una constante, entonces el determinante queda multiplicada por dicha constante: 5. Si se intercambia 2 filas o columnas el determinante cambia de signo.6. Si a una fila o columna se le multiplica por una constante y se le suma a otra fila o columna, el determinante no vara.7. 8. 9. Si se la matriz de al trasladar una de sus lneas lugares:

D) MENOR DE UNA COMPONENTE:

Definicin: es el determinante de la sub matriz de que se forma suprimido todos los elementos de la fila y de la columna.

Notacin: OBSERVACIN:De una matriz de orden se pueden formar menores de orden .Dnde: : es nmero de combinaciones de elementos tomados de en y se calcula de la siguiente manera:

E) COFACTOR DE UNA COMPONENTE:

Definicin: es el menor con el signo prefijado

Notacin:

Matriz de Cofactores:Consideremos la matriz. Si a cada elemento de la matriz A sustituimos por sus respectivos cofactores, obtenemos una matriz que se denomina matriz de cofactores y denotaremos por:

Determinante de una matriz de orden n:Consideremos la matriz cuadrada de orden n x n.

Se llama determinante de la matriz A al nmero real denotado por o y definido por:

Siendo j fijo en , donde el elemento pertenece a la i-sima fila y a la j-sima columna y es el menor complementario del elemento . Mtodo del pivote: Sirve para calcular el determinante de una matriz de orden superior al tercero. El mtodo, consiste en obtener otro determinante a partir de aplicando repetidas veces a propiedad (6) de los determinantes, que goce de la propiedad de que todos los elementos de alguna fila o columna son ceros excepto uno, es decir:

Donde es el menor complementario de y el elemento se le llama elemento pivote.

F) ADJUNTA DE UNA MATRIZ

F.1) Definicin: Sea la matriz cuadrada y sea .Llamaremos adjunta de (denotado por a la matriz: es decir:

, donde Adjunta de A es igual a la transpuesta del cofactor de A

TEOREMA:Sea la matriz cuadrada , tal que , entonces:

Determinante de la matriz A por la matriz identidad IProducto de la matriz A por su adjunta

PRUEBA1) Se tiene y donde: a) es la matriz cofactor de A b) es el determinante de la submatriz con signo . la matriz se obtiene despus de anular la -ensima fila y la - ensima columna. es un elemento de la matriz . c) es la transpuesta de . Por tanto: si es un elemento de , entonces es un elemento de 2) el producto de por la es otra matriz cuyos elementos son de la forma

Es decir: tal que

Donde:a) si

b) si

3) Por tanto:

Sugerencia: Pruebe con una matriz .

COROLARIO: PRUEBA

Si por el teorema dado en 23.9,se tiene:

Por definicin de inversa: si es la inversa de , implica que

Multiplicar por POR LA IZQUIERDA, en ambos miembros de (1)

pues

pues es un escalar diferente de cero.

PROPIEDADES

, si ,

Sugerencia: estas propiedades se demuestran aplicando el corolario:

PROBLEMAS DESARROLADOS

1. Calcular los siguientes determinantes

a)

Solucin:

b)

Solucin:

2. Calcular los determinantes de las siguientes matrices de tercer orden.

a.

Solucin:

3. Probar:

Prueba:

Pues

Probar: Prueba:Hallemos:

Hallar el determinante:

4. Si: Demostrar: Indica: la inversa de es

Prueba:a) Si es la inversa de deber cumplirse que:

b) Desarrollado

c) Desarrollando:

d) Conclusin:

es la inversa de (

Es decir:

5. Sea: con

Dado , simplificar:

Solucin:

1.

2.

3. Luego

6. Demostrar, si y entonces y

Demostracin:1. De

2. De

G) INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MTODO DE LA ADJUNTA:

TEOREMA: La matriz tiene una inversa si slo si el , adems, si

Inversa de una matriz cuadrada de orden :Si es una matriz invertible NOTA:Una matriz cuadrada es invertible .

G.1) Propiedades: ,

H) SISTEMAS HOMOGNEOS DE SISTEMAS LINEALES.

Dado la ecuacin matricial , se tiene:a) Si entonces diremos que el sistema es homogneo.b) Si entonces diremos que el sistema es no homogneo. es la matriz nula OBSERVACIN.1.-El sistema () siempre tiene por lo menos una solucin (llamada solucin trivial) de la forma , por lo tanto es consistente. Luego .2.-Una condicin necesaria y suficiente para que el sistema () tenga ms de una solucin es que , donde n es el nmero de incgnitas. En este caso, el sistema tambin posee soluciones diferentes de la nula, las cuales son llamadas soluciones no triviales, para hallar estas soluciones se aplica el mtodo que se us en el caso de un sistema de ecuaciones lineales no homogneas.3.- Si en el sistema () se tiene (nmero de ecuaciones = nmero de incgnitas), entonces una condicin necesaria y suficiente para que el sistema tenga soluciones no triviales es que puesto que en este caso para el caso de un sistema homogneo, es decir: Si , la solucin es nica: Si el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes, la tercera seria combinacin lineal de ellas, o a una sola ecuacin las otras dos serian dependientes, en ambos casos el sistema homogneo tendra infinitas soluciones y seria:

ANEXOS

EJERCICIOS DESARROLLADOS1.-Dadas las matrices y , encontrar los elementos y de la matriz .SOLUCIN1.1.-Hallamos a) Denotamos las siguientes matrices segn los datos del problema:

b) Esquematizamos simblicamente el proceso a seguir para hallar .

= = = C) Hallamos los valores de y .

, se obtiene por induccin en el paso a. d) Con los valores calculados hallamos .+ 46(7) + 58(6) = 942.

1.2.-Hallamos a) Denotamos las siguientes matrices segn los datos del problema:

b) Esquematizamos simblicamente el proceso a seguir para hallar .

= = = C) Hallamos los valores de y .

., se obtiene por induccin en el paso a. d) Con los valores calculados hallamos .+ 82(4) + 103(3) = 942.2.-Dada una matriz A de orden 4x4, simtrica e invertible, que cumple las siguientes condiciones:i) ii) Hallar siendo .SOLUCINa) Extrayendo datos del problema. Aplicando la propiedad , Como A es simtrica e invertible b) Operando con la primera condicin: Como adems .c) Operamos con la otra condicin.

5

d) Ahora calculamos lo que nos pide el problema.

3.-Hallarla matriz inversa de A, si existe, siendo:

f1 - 2f5 ; f2 -2f5 ; f3-5f5 ; f4+18f5

Entonces la inversa es

4.- En la matriz de orden n, donde Qu valor debe tener n para para que el rango de debe sea igual a su orden?SOLUCINDefiniendo la matriz A se tiene:

Para , luego calculando el determinante, sumamos todas las filas a la primera. Y luego sacamos factor comn.

A la fila dos le restamos la fila 1, luego restamos ala fila tres la fila uno y as sucesivamente hasta restar la fila ensima con la primera fila. Entonces la matriz nos queda de la siguiente manera.

Luego

5.-Una fbrica posee tres mquinas A, B y C, las cuales trabajan en un da, durante 15, 22 y 23 horas, respectivamente. Se produce tres artculos X, Y y Z en estas mquinas, en un da, como sigue: una unidad de X est en A durante 1 hora, en B durante 2 horas, en C durante 1 hora; una unidad de Y est en A durante 2 hora, en B durante 2 horas, en C durante 3 horas; una unidad Z est en A durante 1 hora, en B durante 2 horas, en C durante 2 horas. Si las maquinas se usan a mxima capacidad, durante un da, hallar el nmero de unidades de cada artculo que es posible producir.

SOLUCIN

Las ecuaciones son las siguientes:

La matriz es:A = Matriz aumentada es:

Aplicando mtodo de transformaciones elementales Desarrollando

Desarrollando

Desarrollando

Desarrollando ;

Desarrollando

Entonces los valores de las variable quedan de la siguiente forma

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz aumentada en conclusin tiene solucin.

Como el rango es igual al nmero de incgnitas el sistema tiene solucin nica

6.- Resolver el sistema de ecuaciones:

SOLUCIN:La matriz es:

La matriz aumentada es: Aplicando mtodo de transformaciones elementales.

Desarrollando ; Y Desarrollando la permutacin de la . Desarrollando ; Y .

Desarrollando

Desarrollando Desarrollando

.

.

.

9) Resolver el sistema de ecuaciones por Cramer

Solucin:1 Escribimos los coeficientes en la siguiente matriz:

2 Hallamos el determinante de la matriz principal por cofactores

3 Hallamos los determinantes de cada una de las matrices remplazando los valores de la primera columna con los valores independientes

4 Dividimos cada una de los determinantes de cada variable entre la determinante principal:

10) Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales.

1La matriz ampliada del sistema es

2 Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada reducida

Sumamos a las filas primera, segunda y tercera la cuarta multiplicada por2,-3y5respectivamente

Multiplicamos la cuarta fila por-1y la intercambiamos con la segunda

Multiplicamos las filas tercera y cuarta por1/34y-1/22respectivamente

Le restamos la tercera fila a la cuarta

Multiplicamos la cuarta fila por-187/42

Le sumamos a las filas primera y segunda la tercera multiplicada por-13y8respectivamente

Le sumamos a las filas primera, segunda y tercera la cuarta multiplicada por5/34,5/17,-3/34

3 igualamos cada una de los valores encontrados con las variables y reemplazamos por elTeorema de Rouch-Frobenius Frobenius el sistema es compatible determinado y las soluciones son

BIBLIOGRAFA LZARO CARRIN, Moiss. (2009). LGEBRA LINEAL. Segunda Edicin. Editorial Moshera S.R.L Pgs. 1-79.

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LGEBRA LINEALPgina 44