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MB0003 _M1AA1L1_Racionales Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

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Expresiones Racionales

por Oliverio Ramírez Juárez

¿Recuerdas las fracciones?, ¿cuál es el numerador y cuál es el denominador? Una fracción o número fraccionario está formada por dos números reales relacionados por la operación de división en donde el numerador es dividido por el denominador.

Algunos ejemplos de fracciones son, 2

5, 3

4, 15 ÷ 6.

En la primera fracción el 2 es dividido por el 5, por lo tanto 2 es el numerador y 5 es el denominador. Las expresiones racionales son expresiones muy similares a las fracciones, sólo que el numerador, o el denominador, o ambos, son polinomios. Las siguientes expresiones son ejemplos de expresiones racionales: 8x

4

4x2

, x +1

2 ! x, 3x

2+ 7x + 5

x3! 3

, 5

x2! 4

Es importante señalar que debido a que la división entre cero, no está definida en los números reales,

el denominador no puede tomar el valor de cero. Así, en la expresión racional 8x

4

4x2

, x puede tomar

cualquier valor real excepto x = 0 . Por la misma razón, en la expresión x +1

2 ! x, x puede tomar

cualquier valor excepto x = 2 .

Para la expresión 5

x2! 4

, ¿qué valores no puede tomar x ?



2

Operaciones con expresiones racionales

Simplificación: Para llevar a cabo la simplificación de expresiones racionales, se factoriza el numerador y el denominador y se aplica la siguiente propiedad de las fracciones:

Ak

Bk=A

B

Analiza los siguientes ejemplos

Simplifica x2! 4

x + 2

Solución. El denominador está formado por un factor lineal, por lo que ya no es posible factorizarlo más. En cambio, el numerador es una diferencia de cuadrados y se factoriza de la siguiente forma:

x2! 4

x + 2=(x ! 2)(x + 2)

x + 2= x ! 2

Una vez que se ha factorizado el numerador, es posible “eliminar” el factor común x + 2 . La palabra “eliminar” significa en realidad que los factores comunes desaparecen debido a que su división es igual a 1.

¿La expresión inicial y la expresión simplificada representan lo mismo? Ciertamente son expresiones equivalentes, aunque es importante señalar que en la expresión inicial, x no puede tomar el valor de x = −2 para evitar la división entre cero. Por lo anterior, la expresión inicial y la expresión simplificada toman el mismo valor en todos los números reales, excepto en x = −2.

Para x = −2, x2! 4

x + 2 no está definida.

Para x = −2, x − 2 = −4



3

Simplifica 2x ! 4

x3! 8

Solución. Factorizando el numerador y el denominador, tenemos:

2x ! 4

x3! 8

=2(x ! 2)

(x ! 2)(x2+ 2x + 4)

2x ! 4

x3! 8

=2

(x2+ 2x + 4)

¿La expresión inicial y la expresión simplificada representan lo mismo? Ciertamente son expresiones equivalentes, aunque es importante señalar que en la expresión inicial, x no puede tomar el valor de x = 2 para evitar la división entre cero. Por lo anterior, la expresión inicial y la expresión simplificada toman el mismo valor en todos los números reales, excepto en x = 2 .

Para x = 2, 2x ! 4

x3! 8

no está definida.

Para x=2, 2

x2+ 2x + 4

=1

6

Como se observa en los dos ejemplos anteriores, la simplificación de una expresión racional se conduce mediante la factorización del numerador y el denominador y la eliminación de los factores comunes. Por ello, es importante que recuerdes y practiques los métodos de factorización.



4

Multiplicación: Multiplicar expresiones racionales obedece la siguiente regla:

a

b.c

d=ac

bd

Es decir, la multiplicación de expresiones racionales se desarrolla multiplicando “numerado por numerador” y “denominador por denominador”. Toma en cuenta que la operación multiplicación se puede representar por:

• Un punto a.c • Un paréntesis (a)(c) • Una cruz a×c • Yuxtaposición ac

En este curso utilizarás el punto y los paréntesis para indicar que se debe llevar a cabo una multiplicación y la yuxtaposición (colocar juntos dos o más elementos), para escribir los resultados. Veamos los siguientes ejemplos

Multiplica 3x

5x3.10

x4

Solución. Multiplicando “numerado por numerador” y “denominador por denominador”, se obtiene:

3x

5x3.10

x4=30x

5x7=6x

x7=6

x6

Después de multiplicar expresiones racionales, se recomienda realizar operaciones de simplificación para reducir la expresión racional a su mínima expresión.

Multiplica 3x !1

5 + x2.x3+ 8x

2! 9

x4+ 2

Solución. Multiplica “numerado por numerador” y “denominador por denominador”. Debido a que las operaciones de multiplicación para esta expresión algebraica son más extensas, las operaciones se resuelven por separado y luego se consideran los resultados parciales para determinar el resultado final.



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Numerador por numerador

Numerador por numerador (3x !1)(x

3+ 8x

2! 9) = 3x

4+ 24x

3! 27x ! x

3! 8x

2+ 9

(3x !1)(x3+ 8x

2! 9) = 3x

4+ 23x

3! 8x

2! 27x + 9

Denominador por denominador

(5 + x2)(x

4+ 2) = 5x

4+10 + x

6+ 2x

2

(5 + x2)(x

4+ 2) = x

6+ 5x

4+ 2x

2+10

Tomando en cuenta estos resultados, la multiplicación queda:

3x !1

5 + x2.x3+ 8x

2! 9

x4+ 2

=3x

4+ 23x

3! 8x

2! 27x + 9

x6+ 5x

4+ 2x

2+10

División: Para realizar la división de polinomios, aplicamos la siguiente propiedad de los números fraccionarios:

a

b÷c

d=a.d

b.c=ad

bc

Debido a que la división de expresiones racionales implica una multiplicación de “numerado por denominador” se le conoce con frecuencia como “multiplicación cruzada”. Al igual que la multiplicación, la operación de división se puede representar de varias formas:

• Signo de división a ÷ b

• Línea intermedia horizontal a

b

• Línea intermedia inclinada ab



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En el curso utilizarás preferentemente los dos primeros. Veamos los siguientes ejemplos

Divide 4x + 8

x2+1

÷3

x2+ 3

Solución. Para llevar a cabo la división, multiplicamos en forma cruzada,tenemos:

4x + 8

x2+1

÷3

x2+ 3

=(4x + 8)(x

2+ 3)

3(x2+1)

=4x

3+12x + 8x

2+ 24

3x2+ 3

4x + 8

x2+1

÷3

x2+ 3

=4x

3+ 8x

2+12x + 24

3x2+ 3

Divide x2! 3x !10

x ! 2÷x2+ 4x + 4

x + 5

Solución. Para llevar a cabo la división, antes de multiplicar en forma cruzada, factoriza los numeradores. Obtienes:

x2! 3x !10 = (x ! 5)(x + 2) x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)

Ahora que has factorizado los numeradores, la multiplicación cruzada, queda:

(x ! 5)(x + 2)

x ! 2÷(x + 2)(x + 2)

x + 5=(x ! 5)(x + 2)(x + 5)

(x ! 2)(x + 2)(x + 2)=x2! 25

x2! 4



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Para obtener el resultado final, multiplicaste los binomios conjugados del numerador y del denominador. Así:

x2! 3x !10

x ! 2÷x2+ 4x + 4

x + 5=x2! 25

x2! 4

Divide

x +1

4

x2!1

16x

Solución: Para llevar a cabo esta división, es necesario multiplicar “extremos por extremos” y “medios por medios”, es decir:

x +1

4

x2!1

16x

obtienes (x +1)(16x)

(4)(x2!1)

=16(x

2+ x)

4(x2!1)

=4.4(x

2+ x)

4(x2!1)

=4(x

2+ x)

x2!1

¿Los dos métodos para dividir expresiones racionales dan el mismo resultado?

Al dividir utilizando el símbolo de división a

b÷c

d obtienes

ad

bc, al dividir

multiplicando exterm¡nos por externos y medios por medios obtienes

a

b

c

d

= ad

bc

Por lo anterior, verifica que el resultado de la división es el mism, aplicando cualquiera de los dos métodos.



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Suma y resta: para realizar la suma y resta de polinomios, aplica las siguientes propiedades de los números fraccionarios:

a

b+c

b=a + c

b y

a

b!c

b=a ! c

b

Veamos los siguientes ejemplos

Calcula la suma 1

x2+5x

x2

Solución: Las expresiones racionales a sumer tienen el mismo denominador, así que es posible aplicar la regla para sumar números fraccionarios de forma directa, y ontienes:

1

x2+5x

x2=1+ 5x

x2

Calcula la suma 3

x+x !1

x2

Solución. Debido a que los denominadores son distintos, para realizar la suma primero debes encontrar un denominador común; esto se puede hacer multiplicando los denominadores. La siguiente tabla muestra el proceso paso a paso. 1. Se multiplican los denominadores para encontrar el denominador común,

(x)(x2) = x

3

2. Se divide el denominador común por el denominador de la primera fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la primera fracción.



9

3. Se divide el denominador común por el denominador de la segunda fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la segunda fracción. 4. Realizar las simplificaciones posibles.

3

x+x !1

x2

=(x

2)(3)+ (x)(x !1)

(x)(x2)

Multiplicando los términos del numerador queda,

3

x+x !1

x2

=3x

2+ x

2! x

x3

Reduciendo términos semejantes y sacando el factor común tienes:

3

x+x !1

x2

=4x

2! x

x3

=x(4x !1)

x3

Después de eliminar el factor común, finalmente queda:

3

x+x !1

x2

=4x !1

x2



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Calcula la suma 5

24x3+2

9x

Solución. Debido a que los denominadores son distintos, para realizar la suma primero debes encontrar un denominador común; en este ejemplo encontrarás primero el mínimo común denominador (mcd). De acuerdo con Leithold (1995, p. 44), el mínimo común denominador (mcd) de expresiones racionales “es el polinomio de grado más bajo que tiene a todos los denominadores como factor común”. Lo anterior significa que el mcd debe poder dividirse exactamente por todos los denominadores, observa cómo se determina: Se factorizan todos los denominadores. Esto significa que los coeficientes se deben factorizar en sus factores primos y las expresiones algebraicas en su forma completamente factorizada.

24x3= 2

3.3. x

3 9x = 32. x El mcd es el producto de los diferentes factores de potencia más alta que se presentan. Observa que el factor 3 se repite en los dos denominadores, pero se elige sólo el de potencia mayor, en este caso 32 . Lo mismo ocurre con el término x, que aparece en ambos denominadores, pero sólo se selecciona x3 por ser el de mayor potencia. Por lo anterior, el mcd queda: mcd= 23. 32. x3 mcd= 8. 9. x3 = 72x3 Ahora que has determinado el mcd, realiza la suma de forma similar al ejemplo anterior, tienes: 1. Se determina el mínimo común denominador (mcd). mcd=72x3 2. Se divide el mínimo común denominador por el denominador de la primera fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la primera fracción.



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3. Se divide el mínimo común denominador por el denominador de la segunda fracción y el resultado se multiplica por el numerador de la segunda fracción. 4. Realizar las simplificaciones posibles.

5

24x3+2

9x=(3)(5)+ (8x

2)(2)

72x3

Multiplicando los términos del numerador queda:

5

24x3+2

9x=15 +16x

2

72x3

Calcula la suma 3

x2! 9

+x

x + 3

Solución En este ejemplo encontrarás el denominador común utilizando los dos métodos: multiplicando los denominadores y el mcd.



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Multiplicando denominadores

3

x2! 9

+x

x + 3=3(x + 3)+ x(x

2! 9)

(x2! 9)(x + 3)

3

x2! 9

+x

x + 3=3(x + 3)+ x(x ! 3)(x + 3)

(x2! 9)(x + 3)

3

x2! 9

+x

x + 3=(x + 3)[3+ x(x ! 3)]

(x2! 9)(x + 3)

3

x2! 9

+x

x + 3=3+ x(x ! 3)

(x2! 9)

=3+ x

2! 3x

(x2! 9)

3

x2! 9

+x

x + 2=x2! 3x + 3

x2! 9

Mínimo común denominador

Factorizando x2 ! 9 = (x ! 3)(x + 3)

Por lo que el mcd =

(x ! 3)(x + 3)

3

x2! 9

+x

x + 3=3+ x(x ! 3)

(x ! 3)(x + 3)=3+ x

2! 3x

x2! 9

3

x2! 9

+x

x + 3=x2! 3x + 3

x2! 9

En este ejemplo, al determinar primero el mcd, el proceso fue más corto.



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¿Cuál de los dos métodos para determinar el denominador común es más sencillo de aplicar? Se puede usar cualquiera de los dos métodos utilizados para encontrar el denominador común, la ventaja de multiplicar los denominadores es que se evita el procedimiento para determinar el mcd, pero se deben realizar operaciones para reducir términos una vez que se ha efectuado la suma. En el caso del mcd, se invierte tiempo en determinarlo, pero ya no son necesarios los pasos para reducir términos. Elige el método con el que te sientas más cómodo.

Fracciones complejas Cuando el numerador o el denominador de una fracción es a su vez una fracción, a este tipo de expresión racional se le conoce como fracción compleja. Cuando una fracción no es compleja se le denomina fracción simple. Observa algunos ejemplos de fracciones complejas. Veamos los siguientes ejemplos

Para la fracción compleja

x +1

x+x +1

x !1

x +1

x !1

obtener una fracción equivalente.

Solución. Debido a que el numerador de esta fracción compleja es una suma de fracciones, primero realizarás esta suma, y tienes:

x +1

x+x +1

x !1=(x +1)(x !1)+ x(x +1)

x(x !1)=x2!1+ x

2+ x

x(x !1)=2x

2+ x !1

x(x !1)

2x2+ x !1

x(x !1)=(2x !1)(x +1)

x(x !1)



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Ahora que has resuelto la suma de fracciónes en el numerador sustituye este resultado en la expresión original y efectúa la operación de division:

(2x !1)(x +1)

x(x !1)

x +1

x !1

= (2x !1)(x +1)(x !1)

x(x !1)(x +1)=2x !1

x

Que es el resultado final. Aunque no es muy frecuente que se presenten fracciones complejas, es necesario conocerlas y saberlas resolver. Observa ahora algunas aplicaciones de expresiones racionales.

Problemas de aplicación Cuando se lleva a cabo una tarea o proyecto específico, con frecuencia se requiere de la colaboración de personas o máquinas en la realización del mismo. Por ejemplo, cuando se realiza la construcción de un inmueble, se requiere de la participación de: albañiles, pintores, electricistas, carpinteros, entre otros. En la construcción e instalación de una nave industrial, colaboran: herreros, albañiles, pintores, electricistas. Un punto crítico en la realización de cualquier proyecto, ya sea de construcción, instalación o desarrollo, es conocer con la mayor precisión posible el tiempo en que se realizará el proyecto completo. Sin embargo, debido a que no todas las personas ni máquinas trabajan al mismo ritmo, la determinación del tiempo que tomará realizar toda la tarea (y por consecuencia el costo que tendrá) resulta de la suma de esfuerzos individuales, que colaboran en mayor o menor medida al logro del o los objetivos. Matemáticamente, + Utilizar el número 1 para representar la tarea completa terminada, permite representar, matemáticamente, la aportación de una máquina o persona a la realización de una tarea como una fracción, en donde el numerador es el tiempo que les toma a todos los colaboradores realizar la tarea, y

Fracción de la tarea realizada por la primera persona o máquina.

Fracción de la tarea realizada por la segunda persona o máquina.

Fracción de la tarea realizada por la n-ésima persona o máquina.

1 (El “1” representa la tarea completa terminada).



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el denominador, el tiempo que le toma a cada participante hacer la tarea de forma individual. El siguiente ejemplo muestra lo anterior. Ejemplos Raúl es un contratista independiente que ofrece servicios de mantenimiento en general. En esta ocasión le han solicitado que pinte una nave industrial, pero antes de contratarlo, le han preguntado cuánto costará este trabajo. Raúl ha recurrido a dos pintores experimentados, y para determinar el costo del proyecto, les pregunta cuánto tiempo les tomará hacer el trabajo completo. El primer pintor dice que él puede hacer el trabajo completo en 21 días y que cobra $500 pesos diarios; el segundo pintor comenta que él tardaría 16 días en terminar de pintar la nave industrial y cobra $600 pesos diarios. Como Raúl tiene varios proyectos en puerta, le interesa realizar este trabajo lo más pronto posible, así que piensa contratar a los dos pintores para que juntos terminen la consigna. ¿Cuántos días les llevará pintar la nave industrial a ambos pintores si trabajan juntos? Solución. Si denotamos el tiempo (en días) que les tomará a los dos pintores pintar la nave industrial

con x, entonces la contribución del primer pintor será de x

21, y la contribución del segundo pintor será

x

16, por lo que:

x

21+x

16= 1

Esta ecuación racional representa el problema; multiplicando por 336 (21×16 = 336 ) toda la ecuación para eliminar los denominadores queda:

(336)x

21+x

16= 1

!

"#$

%&

16x + 21x = 336

37x = 336

x =336

37' 9.081

Es decir, si trabajan juntos, los dos pintores tardarán aproximadamente 9 días en terminar de pintar la nave industrial. Ahora Raúl puede determinar cuánto cobrará por este proyecto, claro, considerando el resto de gastos como: pintura, transporte, herramientas, combustible, su porcentaje de ganancia, entre otros.



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Recapitulando, en esta lectura se estudió la definición de expresión racional y las operaciones con expresiones racionales: simplificación, multiplicación, división, suma y resta; además de las fracciones complejas. En la siguiente lectura se analizan expresiones radicales, sus operaciones elementales y la solución de ecuaciones radicales.

Referencias

Gustafson, R. D. (1997). Álgebra Intermedia (V. González Pozo, Trad; 1a. ed). México: International Thomson Editores.

Leithold, L. (1995). Álgebra (A. Eroles Gómez. Trad; 1a ed). México: Editorial Harla.

Rees, P. K. & Sparks, F. W. (1990). Álgebra contemporánea (L. M. Ros Torres. Trad; 5a. ed). México: McGraw Hill.

Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (H.Villagómez. Trad; 10a. ed). México: Thomson Learning.

Zill, D. G. & Dewart, J. M. (1992). Álgebra y trigonometría. (G. Ramírez Mariño y Y. García Rodríguez, Trads.). 2a. ed). Santa Fe de Bogotá, Colombia: McGraw Hill

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