Measures of Dispersionการวดการกระจาย

Chapter 4

วดการกระจายและการตความหมายจะท าอยางไร?

การวดการกระจายแบงเปน 2 ลกษณะ คอ 1. การวดการกระจายแบบสมบรณหรอสมบรณ (Absolute)2. การวดการกระจายแบบสมพทธ (Relative)

ลกษณะเบองตนของการกระจายของขอมล

ขอมลทแตกตางกนมาก หมายถง ขอมลกลมนนมการกระจายมาก หรอเกาะกลมกนนอย

ขอมลทแตกตางกนนอย หมายถง ขอมลกลมนนกระจายนอย หรอ เกาะกลมกนมาก

ขอมลทงกลมไมมความแตกตางกนเลย หมายถงขอมลกลมนนไมมการกระจายหรอเปนขอมลทมคาเทากนทกตว (เปนตวเดยวกนทงกลม)

เปนการวดการกระจายของขอมลกลมเดยวกน

• คาพสย (Range)• คาเบยงเบนควอไทล/เปอรเซนตไทล

(Quartile or Percentile Deviation)• การเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation)• การเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

การวดการกระจายแบบสมบรณ (Absolute)

คาพสย = ขอมลทมคามากทสด - ขอมลทมคานอยทสด

Range = Xmax - Xmin

คาพสย (Range) คอ ผลตางระหวางขอมลทมคามากทสดกบนอยทสด

คณะผบรหารระดบสงของบรษทแหงหนงม 10 คน จากการสอบถามอายไดขอมลแตละคน คอ 45 50 52 50 36 38 40 48 30 31 ป

Range = 52 - 30 = 22 ป

ความหมาย คอ ไมมผทมอายตางกนเกน 22 ป

คาพสย (Range)

คาเบยงเบนเฉลย (MD)

MD = f x - x N

บอกใหทราบถง คาเฉลยของคาความแตกตางของขอมลแตละตวกบคา x (คาเฉลย)

คาเบยงเบนเฉลย หรอ MD เปนคาทไดจากการค านวณตามสตรx = คาของขอมลแตละตวf = ความถ (จ านวนขอมล) แตละตวx = คาเฉลยของขอมลN = จ านวนขอมลทงหมด

จากตวอยางเดม อาย 10 คน: 45 50 52 50 36 38 40 48 30 31 ป

ตวอยาง คาหาคา MD

Mean = 45+50+52+50+36+38+40+48+30+31 = 420 = 42 ป10 10

MD = ( |45-42| + |50-42| + |52-42| + |50-42| + |36-42| + |38-42| +

|40-42| + |48-42| + |30-42| + |31-42| ) / 10

= ( 3 + 8 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + 6 + 12 + 11 ) / 10

= 70 /10

= 7 ป

ความหมาย คาเฉลยของความแตกตางของขอมลแตละตวตางจากคาตวกลางเลขคณต คอ 7 ป

- คาเบยงเบนมาตรฐาน (SD หรอ S) เปนเครองมอทใชในการวดการกระจายทดทสดในปจจบน

- ความหมายโดยตรงของ SD ซบซอนกวา MD และ Range เพราะขบวนการทางคณตศาสตรทในการหาคา SD มความซบซอนกวาทง 2 วธ- ในการวเคราะหผลตอบแทนของการลงทนไดมการน าคา SD ไปใชในเชงความหมายของคาความเสยง (Risk)

- สญลกษณทนยมแทน S หรอ SD คอ s (Sigma)

คาเบยงเบนมาตรฐาน

(Standard Deviation หรอ SD, S)

Var.S ==N

S 2f(x - x)

ในสถต หมายถง คา SD หรอ S ยกก าลง 2 หรอเขยนเปนสตรไดวา

คา Var. เปนเครองมอชวยใหจ าสตรการค านวณหา SD ไดงายขน เพราะสตรของ SD จะตด Square Root• เมอค านวณหาคา Variance แลว น าไปถอด Square Root กจะได SD• คาความแปรปรวน (Variance) จากการค านวณดงกลาวน คาความแปรปรวนไมไดน ามาใชประโยชนโดยตรง แตจะชวยในการค านวณหาคา SD ใหดงายขน

Var. = SD2หรอ S

2

คาความแปรปรวน (Variance หรอ Var.)

Var. หรอ S2 = SN

2f(x- x)

จากตวอยางเดม อาย 10 คน: 45 50 52 50 36 38 40 48 30 31 ป

ตวอยาง คาหาคา SD

Mean = 45+50+52+50+36+38+40+48+30+31 = 420 = 42 ป10 10

Var. = [ (45-42)2 + (50-42)2 + (52-42)2 + (50-42)2 + (36-42)2 + (38-42)2 +

(40-42)2 + (48-42)2 + (30-42)2 + (31-42) 2 ] / 10

= 59.4

SD = SQR(59.4) = 7.7 ป

ความหมาย• เปนรากท 2 ของ คาเฉลยของ คาแตกตางขอมลแตละตวกบคาตวกลางเลขคณตก าลง 2

• คา SD ยงมาก ขอมลยงมการกระจาย (แตกตางกน) มาก

• เปนการวดการกระจายชนดสมพทธหรอชนดทมการเปรยบเทยบกนระหวางขอมลตางกลม

• เครองมอทใชวดการกระจายแบบสมพทธจะมาจากการวดการกระจายแบบสมบรณ แตชอเครองมอทใชวดแบบสมพทธจะมการเรยกเพมเตมจากการวดแบบสมบรณวา คาสมประสทธ (Coefficient) โดยจะเรยกยอวา สปส.

• สปส. ของพสย (Coefficient of Range)• สปส. ของคาเบยงเบนควอไทล/เปอรเซนตไทล

(Coefficient of Quartile or Percentile Deviation)• สปส. ของการเบยงเบนเฉลย (Coefficient of Mean Deviation)• สปส. ของการเบยงเบน (Coefficient of Variation หรอ CV)

การวดการกระจายแบบสมพทธ (Relative)

- คาเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) เปนเครองมอทส าคญใชในการวดการกระจายของขอมล

- การเปรยบเทยบการกระจายของขอมลตางกลมกนนน จ าเปนตองใชเครองมอทท าใหฐานการวดเหมอนกนกอน มฉะนนการเปรยบเทยบจะไมถกตอง- คาสมประสทธการเบยงเบน (Coefficient of Variation) ถกสรางขนมาเพอใชในการวดการกระจายของขอมลทตางกลมกน แตตองการน ามาเปรยบเทยบกน

คาสมประสทธการเบยงเบน (Coefficient of Variation)

MeanCV =

S

ตวอยาง หาคา CV

จากการส ารวจผลประกอบการปทผานมาของบรษทขนาดกลางในจงหวดหนง พบขอมลดงน

ก าไร (ลานบาท) -20ถง-11 -10ถง-1 0 1ถง10 11ถง20 21ถง30

จ านวนบรษท 20 30 5 35 40 20

ดงน น SD = SQR(163.99) = 12.81 ลานบาท

Var. = 24597.88 / 150 = 163.99

คา CV = 12.81/5.65 = 2.27

[1] [2] [3] [4]=[2][3] [5] [6]=[2][5]

-20 - -11 20 -15.50 -310 (-15.50 - 5.65)2 8946.45-10 - -1 30 -5.50 -165 (-5.50 - 5.65)2 3729.68

0 5 0 0 (0 - 5.65)2 159.611 - 10 35 5.50 192.5 (5.50 - 5.65)2 0.79

11 - 20 40 15.50 620 (15.50 - 5.65)2 3880.9021 - 30 20 25.50 510 (25.50 - 5.65)2 7880.45

ผลรวม 150 847.5 24597.88

ก าไร (ลานบาท) f x (ลานบาท) fx (x - x) 2 f(x – x)2

ความหมาย คาเบยงเบนมาตรฐานเปน 2.27 เทาของก าไรเฉลย

ตวอยาง เทคนคการตความหมายของ CV

xCV = Sจากสตร

=จากตวอยางxS 2.27

=ดงนน S x2.27

ความหมาย• คาเบยงเบนมาตรฐานเปน 2.27 เทาของก าไรเฉลย• ถาผลก าไร 1 บาท คา SD จะเปน 2.27 บาท

เทคนคลกษณะการตความหมายแบบน ใชไดกบลกษณะสตรทน าตวเลขมาหารกน (หรออตราสวน)