microsoft powerpoint - unefa termodinamica ii unidad 1 b

02/03/2015

1

Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza ArmadaIngeniera Mecnica

Termodinmica II

Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza ArmadaIngeniera MecnicaTermodinmica II

TERMODINAMICA II

UNIDAD IGases reales y relaciones termodinmicas

UNIDAD 1

Quien se aprende una frmula se halla a merced de su memoria,pero aquel que domina un principio puede mantener su cabeza

libre de frmulas J. C. Maxwell

Bibliografa:Capitulo 12. Termodinmica. Cengel

.

.

.

CONTENIDOGases reales:

Comportamiento PVTCartas generalizadas

Relaciones termodinmicas:Relacin de MaxwellEcuacin de ClapeyronCambio de energa interna, entalpia y entropa para mezcla de gases

ideales.Fugacidad

qq

qqq

q

Qu ie n s e a p re n d e u n a f r m u la s e h a lla a m e rc e d d e s u m e m o ria ,p e ro a q u e l q u e d o m in a u n p rin c ip io

p u e d e m a n t e n e r s u c a b e z a lib re d e f r m u la s J . C. Ma x w e ll

02/03/2015

2

Unidad 1

Relaciones termodinmicas

Unidad 1


Objetivo de aprendizaje:

? ? ?

Calcular analticamente las variaciones de las diferentes propiedades termodinmicas y las capacidades calorficas usando las relaciones

termodinmicas adecuadas.



Objetivos a desarrollar:

Desarrollaremos las relaciones fundamentales entre las propiedades termodinmicas comnmente encontradas, y expresar las propiedades que no pueden medirse directamente en trminos de propiedades fcilmente medibles.

Desarrollaremos relaciones de Maxwell que representan la base de la mayora de las relaciones termodinmicas.

Desarrollaremos la ecuacin de Clapeyron y determinar la entalpa de vaporizacin a partir de las mediciones de P, v y T.

Desarrollaremos las relaciones generales para Cv, Cp, du, dh y ds que son vlidas para todas las sustancias puras.

Analizaremos el coeficiente de Joule-Thomson.

Desarrollaremos un mtodo para evaluar h, u y s de gases reales con el uso de cartas generalizadas de desviacin de entalpa y de entropa.

02/03/2015

3


La derivada de una funcin en un punto especfico representa la pendiente de la funcin en dicho punto.


Repaso de derivadas parciales

cp

Cp= a +bT + cT2 + dT3


Unidad 1


Unidad 1


El cp de gases ideales depende slo de la temperatura y se expresa como

dh(T)/dT=Cp(T)

Como determinar el del aire a 300K a partir de los datos de entalpa de la tabla de propiedades del aire.

.

02/03/2015

4


Representacin geomtrica de una derivada parcial ( z/ ) .


Representacin geomtricade una derivada total para una funcin

y).

Luego dividendo y multiplicando la expresin por

z = z(x , y)

?z = z(x +?x, y+ ?y) - z(x,y)

x y

dz z (x,

z(x, y+?y)

?z =z(x + ?x, y + ?y) - z(x, y+ ?y) - z(x, y) + z(x, y + ?y) - z(x, y)

?x



Unidad 1


Unidad 1


Restando y sumando

02/03/2015

5


Tomando el limite cuando ?x y ?y tienden a 0 y de la definicin de derivadas parciales


Considere aire a 300K y 0.86 m3/kg. El estado del aire cambia a 302K y

0.87 m3/kg como resultado de una perturbacin. Utilizando la ecuacin anterior y la ecuacin Pv = Rt, estime el cambio en la

presin del aire. R=0.287.



Unidad 1


Unidad 1


02/03/2015

6




Derivando M y N:

El orden de la derivacin no tiene importancia para las propiedades, dado que son funciones de punto continuas y tienen derivadas exactas. Por consiguiente, las dos relaciones anteriores son idnticas y se cumple:


Unidad 1


Unidad 1


La ecuacin diferencial

es de la forma

donde

02/03/2015

7



Relacin de reciprocidad Relacin cclica

Eliminando el termino dy, de la primera ecuacin, se obtiene

derivando

Reordenando se obtiene

Recordemos entonces que en todo momento dos de las propiedades deben serindependientes (por ejemplo x y z). Para que la igualdad se cumpla, ya que dx y dzpueden, en principio, tener un valor finito, los trminos entre corchetes deben seriguales a cero. De ello resultan dos propiedades de mucha utilidad, la relacin dereciprocidad y la relacin cclica:

Dada una funcin f(x, y, z)=0 Puede expresarse de la forma

x=x(y ,z)

y=y(x, z)

z=z(x, y)



Unidad 1


Unidad 1


02/03/2015

8


Demostracin de la relacin de reciprocidad para la funcin

2 0.


Demostracin de la relacin de reciprocidad


Comprobacin de las relaciones cclicas y de reciprocidad para la ecuacin de estado de gas ideal , verifique

a) la relacin cclica y

b) la relacin de reciprocidad a una P constante.


z + 2xy - 3y z =

Unidad 1


Unidad 1


Demostracin de la relacin de reciprocidad

02/03/2015

9


Preguntas de compresin


1.- En qu se distinguen las derivadas parciales y las derivadas ordinarias?

2.- Considere la funcin z(x, y), sus derivadas parciales( z/ x)y y ( z/ y)x y la derivada total dz/dx.

a) Cmo se comparan las magnitudes ( x) y ydx?b) Cmo se comparan las magnitudes ( z) y ydz?c) Hay alguna relacin entre dz, ( z)x y ( z)y?

3.- Considere una funcin z(x, y) y su derivada parcial ( z/ y)x. Puede esta derivada parcial ser todava una funcin de x?

4.- Considere una funcin f(x) y su derivada df/dx. Se puede determinar esta derivada calculando dx/df y tomando su Inversa?

12.5



P = RT/v

Unidad 1


Unidad 1


Considere aire a 300 K y 1.2 m3/kg. Usando la ecuacin 12-3, determine el cambio en la presin correspondiente a un aumento de

Asumo, aire como gas ideal. La ecuacin de un gas ideal puede expresarse como , y como R es una constante entonces

a) 1 por ciento en la temperatura a volumen especfico constante, b) 1 por ciento en el volumen especfico a temperatura constante y c) 1 por ciento tanto en la temperatura como en el volumen especfico.

P = P(T,v)

02/03/2015

10




P = RT/v


P = RT/v

Unidad 1


Unidad 1



a) El cambio de T puede ser expresado como dT ? T = 400 0.01 = 4.0 K con v = constante,


a) El cambio de T puede ser expresado como dT ? T = 400 0.01 = 4.0 K con v = constante,

P = P(T,v)

P = P(T,v)

?

?

02/03/2015

11




P = RT/v


P = RT/v

Unidad 1


Unidad 1



(b) El cambio de v puede ser expresado com o dv ? v = 0.90 0.01 = 0.009 m3/kg con T = constante,


P = P(T,v)

P = P(T,v)

Cuando v y T se incrementa en 1% , el cambio en P resulta en

?

02/03/2015

12




El y el deun gas ideal depende de la Temperatura solamente y se puede expresar como

Cp(T) = dh(T)/dT y Cv(T) = du(T)/dT.

Luego se aproxima las diferencias alrededor de 400K,


Unidad 1


Unidad 1


12.7 El gas nitrgeno a 400 K y 300KPa se comporta como un gas ideal. Estime el Cp y el Cv del Nitrgeno en este estado, usando datos de entalpa y energa interna de la tabla A-18, y comprelos con los valores listados en la tabla A-2b).

El Cp y Cv del gas Nitrgeno deben ser determinado usando los datosproporcionado por la Tabla A-18 (cengel) , y estos resultados deben sercomparados con los valores de Cp y Cv listados en la tabla A-2b. Cp Cv

12.7 El gas nitrgeno a 400K y 300 KPa se comporta como un gas ideal. Estime el Cp y el Cv del nitrgeno en este estado, usando datos de entalpa y energa interna de la tabla A-18, y comprelos con los valores listados en la tabla A-2b).

02/03/2015

13



coeficiente de compresibilidad isentrpica (a):

coeficiente de Joule-Thomson


Unidad 1


Unidad 1Relaciones termodinmicas

RELACIONES DE MAXWELL

Propiedades Termodinmicas Bsicas

12.7 El gas nitrgeno a 400K y 300 KPa se comporta como un gas ideal. Estime el Cp y el Cv del nitrgeno en este estado, usando datos de entalpa y energa interna de la tabla A-18, y comprelos con los valores listados en la tabla A-2b).

Para el caso de Cv

coeficiente de dilatacin isobrica, (), o coeficiente de expansin trmica (a)

coeficiente de Compresibilidad isotrmica (k),

02/03/2015

14


Las relaciones de Maxwell son las ecuaciones que relacionan las derivadas parciales de las propiedades

la exactitud de las diferenciales de las propiedades termodinmicas.


P, v, T y s de un sistema simple compresible entre s.

Se obtienen a partir de las cuatro ecuaciones de Gibbs, explotando

du = Tds Pdv

dh = Tds + vdP

g = h-Ts

a = u-Ts

du = Tds Pdv y dh = Tds + vdP

g = h-Ts a = u-Ts

dg = dh Tds sdT da = du dTs - sdT

dg = - sdT + Pdv

da = -sdT - Pdv

Energa / funcin de Helmholtz

Energa / funcin de Gibbs

Sustituyendo

Derivando





Se obtiene

02/03/2015

15



y como

Por ejemplo de la ecuacin

Se aprecia que cada funcin de estado se expresa a travs de dos variables de la forma las energas le hemos asociado un

par de variables independientes,

A estas ecuaciones diferenciales que expresan las energas en funcin de dos variables independientes se les da el nombre de Claro est, que laenergas se pueden expresar en funcin de cualesquiera dos variables, no necesariamente estas dos mencionadas. Ocurre, que la escogencia que hemos hecho para cada una de ellas es muy particular, como se ira viendo ms adelante.

dz = Mdx + Ndy . O sea, de manera implcita, a cada una de

ecuaciones fundamentales.

De las relaciones anteriores :du = Tds Pdvdh = Tds + vdP

dg = - sdT + Pdvda = -sdT - Pdv

du = Tds - Pdv . Se ve que:





02/03/2015

16



Primera relacin de maxwell

Similarmente haciendo el mismo procedimiento para

Obtenemos las otras tres relaciones de Maxwell

Y relacionndolo respectivamente con

HACER

du = Tds Pdvdh = Tds+ vdPdg = - sdT + Pdvda = -sdT - Pdv





02/03/2015

17


Su mayor utilidad radica en que permiten relacionar las derivadas de la entropa con propiedades volumtricas. De esa manera, se puede obtener de manera experimental informacin sobre los cambios de entropa de un sistema

Para qu sirven estas relaciones?


Si nosotros, por ejemplo, tuviramos un modelo ( o ecuacin matemtica) para la energa de Helmholtz:

podramos obtener

.

:





a = a(T,v), podramos definir un estado fijando T y v. Alternativamente,

02/03/2015

18



Halle una expresin para el calor especfico a presin constante en funcin de propiedades

El coeficiente de Joule-Thomson se define como:

Es una propiedad fcilmente medible, pues, en principio basta con evaluar vlvula. Usando la relacin cclica podemos

obtener una relacin entre la derivada deseada y otras dos derivadas

Ejemplo:

P-v-T y el coeficiente de Joule-Thomson

T y P antes y despus de una

que usando la relacin de Maxwell

queda como se desea:

Y se obtiene





02/03/2015

19


La ltima relacin de Maxwell establece que para una sustancia simple compresible, el cambio dela entropa con la presin a temperatura constante es igual al negativo del cambio en el volumenespecfico con la temperatura a presin constante.Si hubiera relaciones analticas explcitas para la entropa y el volumen especfico del vapor deagua en trminos de otras propiedades, se podra verificar fcilmente lo anterior efectuando lasderivadas indicadas. No obstante, lo nico que hay para el vapor de agua son las tablas depropiedades indicadas a ciertos intervalos. Por consiguiente, el nico curso posible pararesolver este problema consiste en sustituir las cantidades diferenciales en la ecuacin 12-19 conlas cantidades finitas correspondientes, usando los valores de propiedades de las tablas en elestado especificado o uno cercano.

Ejemplo:


Ejemplo:

Compruebe la validez de la ltima relacin de Maxwell

para vapor de agua a 250 C y 300 kPa.

Compruebe la validez de la ltima relacin de Maxwell

para vapor de agua a 250 C y 300 kPa.





02/03/2015

20


Durante un proceso de cambio de fase, la presin es la de saturacin, quedepende slo de la temperatura y es independiente del volumen especfico.


La ecuacin de Clapeyron permite determinar el cambio de entalpa asociado con un cambio de fase (como la entalpa de vaporizacin

de datos de

Consideremos la tercera ecuacin de maxwell

Durante un proceso de cambio de fase, la presin es la desaturacin, que depende slo de la temperatura y esindependiente del volumen especfico. Es decir,

como la derivada total (sobre un diagrama

Esta pendiente nodepende del volumen especfico, por lo que puede tratarsecomo una constante durante la integracin de la ecuacinentre los dos estados de saturacin a la misma temperatura.En un proceso isotrmico de cambio de fase lquido-vapor,por ejemplo, la integracin produce

hfg) a partir slo del conocimiento P, v y T.

Psat f (Tsat).Por lo tanto, la derivada parcial ( P/ T )v puede expresarse

dP/dT)sat, que es la pendiente de lacurva de saturacin P-T en el estado desaturacin especificado (ver figura ).


ECUACION DE CLAPEYRON



02/03/2015

21



Durante este proceso, la presin tambin permanece constante. En consecuencia,a partir de la ecuacin,

Si se sustituye este resultado en la ecuacin , se obtiene

hfg a una P-T y el volumen especfico del

lquido saturado y





Es importante relacin termodinmica ya que permite determinar la entalpa de vaporizacin temperatura determinada, midiendo simplemente la

pendiente de la curva de saturacin en un diagrama del vapor saturado a la temperatura dada.

La ecuacin de Clapeyron es aplicable a cualquier proceso de cambio defase que suceda a temperatura y presin constantes. Se expresa en una formageneral como

donde los subndices 1 y 2 indican las dos fases.

02/03/2015

22



Clculo de de datos

Mediante la ecuacin de Clapeyron, estime el valor de la entalpa de vaporizacin del refrigerante 134a a 20 C, y comprelo con el valor tabulado.

La ecuacin de Clapeyron puede simplificarse para cambios de fase lquido- vapor y slido-vapor con algunas aproximaciones. A bajas presiones,

se tiene se encuentra

En pequeos intervalos de temperatura, en algn valor promedio. Entonces, al integrar esta ecuacin entre los dos estados de saturacin se obtiene

ecuacin de Clapeyron-Clausius

para determinar la variacin de la presin de saturacin con la temperatura. Tambin se utiliza en la regin slido-vapor cuando se sustituye entalpa de sublimacin) de la sustancia.

hfg de una sustancia a partir P-v-T

Ejemplo:

vg vf, por lo que vfg vg. Si se considera el vapor como un gas ideal, vg RT/P. Al sustituir estas aproximaciones en la ecuacin 12-22,

hfg puede considerarse como una constante

hfg por hig (la





02/03/2015

23







RELACIONES GENERALES PARA

du, dh, ds, Cv y Cp

Cambios en la energa interna

De la definicin de Cv


du, dh, ds, Cv y Cp


De la definicin de Cv

02/03/2015

24








du, dh, ds, Cv y Cp


Sustituyendo en


du, dh, ds, Cv y Cp


ds

02/03/2015

25








du, dh, ds, Cv y Cp



du, dh, ds, Cv y CpCambios en la energa interna

02/03/2015

26









Al utilizar la tercera relacin de Maxwell

Y sustituirla en

Se obtiene:

Se obtiene

Al sustituir

en

02/03/2015

27








du, dh, ds, Cv y CpCambios en la entalpia

El cambio en la energa interna de un sistema compresible simple asociado con un cambio de estado de (T1,v1) a (T2, v2) se determina mediante integracin

02/03/2015

28






du, dh, ds, Cv y CpCambios en la entropia


du, dh, ds, Cv y CpCambios en la entropia

02/03/2015

29






du, dh, ds, Cv y CpCalores especficos


du, dh, ds, Cv y Cp

A bajas presiones, los gases se comportan como gases ideales y sus calores especficos dependen slo de la temperatura.

Estos calores se conocen como Cv0 Cp0 y son relativamente fciles de determinar.

Calores especficos

Los calores especficos de un gas ideal dependen slo de la temperatura.

Sin embargo, para una sustancia pura, los calores especficos dependen del volumen especfico o la presin, as como de la temperatura

calores especficos de presin cero o de gas ideal (denotados por y

02/03/2015

30









integrando la ecuacin desde una presin igual a cero hasta una presin

De la ecuacin

P a lo largo de una trayectoria isotrmica:

02/03/2015

31







Relacionando Cv y Cp




al igualar las dos relaciones ydespejando

al igualar las dos relaciones ydespejando

dsdT:

dsdT:

02/03/2015

32



Y considerando

La igualac in del coeficiente, ya sea de

De la ecuacin anterior

La igualac in del coeficiente, ya sea de

T(v, P) y derivando, se obtiene

dv o dP, de las dos ecuaciones obtenemos:

dv o dP, de las dos ecuaciones obtenemos:









02/03/2015

33









du, dh, ds, Cv y CpRESUMEN

De la ecuacin obtenida y la relacin cclica

Por lo tanto, de la ecuacin

Obtenemos:

Page 1Page 2Page 3Page 4Page 5Page 6Page 7Page 8Page 9Page 10Page 11Page 12Page 13Page 14Page 15Page 16Page 17Page 18Page 19Page 20Page 21Page 22Page 23Page 24Page 25Page 26Page 27Page 28Page 29Page 30Page 31Page 32Page 33

microsoft powerpoint - unefa termodinamica ii unidad 1 b

Documents