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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMERICA INVESTIGACIÓN OPERATIVA Ing. Nikolay Artieda Página 1 de 44 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMERICA INVESTIGACION OPERATIVA Docente: Ing. Nikolay Artieda Quito - Ecuador 2011

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMERICA

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Ing. Nikolay Artieda

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMERICA

INVESTIGACION OPERATIVA

Docente: Ing. Nikolay Artieda

Quito - Ecuador

2011

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMERICA

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Ing. Nikolay Artieda

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PRESENTACION

Kamlesh Mathur y Daniel Solow, no se equivocan al indicar en su libro que la Investigación de Operaciones es el “Arte de la Tomar de Decisiones”, decisiones que generan alto valor empresarial.

De hecho la Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una de las ramas de la matemática aplicada cuyo desarrollo ha contribuido fuertemente para mejorar y elevar los niveles de productividad de las organizaciones, pasando por el desarrollo de modelos lineales en su inicio, hasta llegar al desarrollo de poderosos simuladores que permiten anticipar las implicaciones de una o más decisiones antes de ponerlas en práctica, minimizando de esta manera los riesgos de implementación.

El éxito de su aplicación ha sido demostrado en campos tan diferentes como el militar, las finanzas, la producción, los servicios, logística, medicina, nutrición, etc.

Espero sinceramente que el desarrollo de este módulo, despierte en el estudiante la curiosidad por aprender más sobre la Investigación Operativa y sus aplicaciones, así como también le permita poner en práctica todo lo desarrollado en clase con el fin de que pueda en su momento tomar decisiones oportunas y racionales.

Exitos!!!!

Ing. Nikolay Artieda Bucheli

CONTENIDO GENERAL

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Introducción a la Investigación Operativa

Desarrollo y formulación de Modelos

Programación Lineal

Metodo gráfico de Optimización

Método Simplex de Optimización

Uso y aplicación del software Solver y Wat´s Best en Excel

Problemas de transporte y asignación

Pert - CPM

Objetivo General

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Fortalecer la formación de los futuros profesionales, a través del estudio, análisis, reflexión, investigación y debate de los diversos temas, situaciones y acontecimientos que se pueden producir en una empresa y que son suceptibles de resolución a través de la Investigación Operativa.

Objetivos Específicos

- Analizar y comprender los diversos tipos de problemas empresariales que pueden ser resueltos con la aplicación de Investigación Operativa.

- Establecer y desarrollar la capacidad en el estudiante, de formular modelos matemáticos suceptibles de ser resueltos a través de la aplicación de la Investigación Operativa.

Descripción del curso

Se trabajará en base a casos que el estudiante deberá resolver aplicando los conocimientos adquiridos en esta y otras asignaturas.

Se utilizará para resolución de los casos herramientas en Excel y software especializado como What´s Best, Lindo y Solver.

Competencias de la asignatura: Al finalizar el modulo el estudiante estará en capacidad de:

Aplicar correcta, efectiva y rápidamente los principios de Investigación y Administración de Operaciones en las tomas de decisiones empresariales, tanto para empresas de producción como de servicios.

Podrá resolver casos y problemas reales de programación lineal aplicados a la empresa.

Podrá resolver casos y problemas reales de transporte y asignación aplicados a la empresa.

Podrá resolver casos y problemas reales de PERT y CPM aplicados a la empresa.

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INTRODUCCIÓNi

La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un

problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular

un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de

solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede

se cualitativo o cuantitativo.

El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades

necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la

práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El

enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de

herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la

toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con

problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere

de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución.

La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases

cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad

para hacer planes a futuro.

En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los

métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e

inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e

instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que

requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa

sólida.

En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga

un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los

especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las

soluciones y recomendaciones que se le presenten.

En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las

herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar

sus decisiones.

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Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un

crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones.

Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de

miles de millones. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran

aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades

administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin

embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización creo

nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos

problemas es las tendencias de muchas de las componentes de una organización a

convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas

de valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que encajan sus actividades y

objetivos con los de toda la organización. Lo que es mejor para una componente,

puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con

objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la

complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos

disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización

como un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de

resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la

Investigación Operativa o Investigación de Operaciones.

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).ii

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas,

cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la

administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada

investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares

prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos,

existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas

operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más

efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un

llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a

éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran

investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los

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primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del

nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A

través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones

antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria

de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla

de campaña en el pacífico.

Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades

bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la

explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la

complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a

primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo

a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO

durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que

los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la

década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de

operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta

disciplina se ha desarrollado con rapidez.

Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel

importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este período.

Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas

disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían

participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se

encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto

resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para

resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George

Dantzing. Muchas de las herramientas características de la investigación de

operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y

teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la

década de 1950.

Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento

de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas

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inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos.

Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de

la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos

aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue

una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en

la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más

rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de

IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día,

literalmente millones de individuos tiene acceso a estos paquetes. En consecuencia,

por rutina, se usa toda una gama de computadoras, desde las grandes hasta las

portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.

NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESiii

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer

investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se

aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o

actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es

esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado

de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la

construcción, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la

salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama

de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones

usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los

campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para

investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término

ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En

particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del

problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la

construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer

la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo

es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de

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la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas

también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos

adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente

verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.)

Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluye la investigación

científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin

embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la

administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también

proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando

las necesite.

Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de

vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista

organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las

componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la

organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba

considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los

objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella.

Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar

una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración.

(Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas

soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el

estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun

cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales

de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante

dentro de la investigación de operaciones.

Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente

que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples

aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se

estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y

habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de

operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el

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empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en

matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía,

administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas,

ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de

investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las

habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las

ramificaciones del problema a través de la organización.

CÓMO SE TRABAJA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

DEFINICION DEL

PROBLEMA

DESARROLLO

DE UN MODELO

MATEMATICO

RESOLUCION

DEL MODELO

PRUEBA DE LA

SOLUCION

¿ES VALIDA?

IMPLEMENTACION

MODIFICAR EL

MODELO

GRAFICO 1

METODOLOGIA DE INVESTIGACION OPERATIVAiv

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LAS PRINCIPALES HERRAMIENTAS DE LA INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONESv

Cuando hablamos de herramientas en IO, nos estamos refiriendo a los diferentes

modelos teóricos (como por ejemplo, modelos de transporte y teoría de colas), y a

otras disciplinas (como matemática, administración, economía, etcétera), que se

utilizan como instrumentos de trabajo habitual para el profesional de la Investigación

de Operaciones. Debe quedar claro, sin embargo, que cada día se agregan más

tipos de modelos y otras disciplinas imposibles de enumerar en este momento.

De la misma manera la Investigación de Operaciones es considerada, ella misma

como una herramienta al servicio de otras disciplinas (tal como reza el título de

nuestros artículos). Es bien conocido que la Administración de Negocios se ha

estado beneficiando grandemente de la Investigación de Operaciones ahora que se

ha iniciado toda una revolución con el uso de Planificación Estratégica, Reingeniería

y los programas de Calidad Total, para mencionar algunos.

A continuación presentamos una lista, no exhaustiva, de diferentes tipos de modelos

que se podrían considerar como herramientas de la Investigación de Operaciones,

sugerimos al lector revisarla y compararla con los contenidos de libros clásicos de

I.O:

1. Modelos gráficos de programación lineal.

2. Modelos algebraicos de programación lineal.

3. Redes y programación lineal para transporte.

4. Modelos de toma de decisión en condiciones de incertidumbre.

5. Modelos de toma de decisión en condiciones de certeza.

6. Modelos Bayesianos.

7. Procesos estocásticos con cadenas de Markov.

8. Líneas de espera (Teoría de colas).

9. Modelos de optimización con redes para la planeación, ejecución y control de

proyectos.

10. Cadenas de Markov para el reemplazo de activos fijos.

11. Modelos de inventarios determinísticos.

12. Modelos de inventarios probabilísticos.

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13. Modelos de programación dinámica y teoría de juegos.

14. Modelos de simulación para la obtención de información experta.

15. Modelos heurísticos de autoaprendizaje y autocorrección.

Los expertos Hillier y Lieberman dicen en su tratado (usado como texto durante

varias generaciones de estudiosos de la Investigación de Operaciones) con la

Revolución Industrial se inventó la división del trabajo y esto trajo como

consecuencia un crecimiento en la dimensión y complejidad de las organizaciones.

Como ya lo hemos comentado, la superespecialización de los individuos, los

departamentos de las industrias y aún las mismas industrias, produjo un efecto de

aparente desorden (a veces aparente y a veces real) dentro de las organizaciones,

ya que se intentaba armar rompecabezas con todas las piezas que producían los

especialistas. Sin las técnicas y modelos de la I.O. la situación hubiese devenido en

un caos, fue esta herramienta (o si lo queremos decir en términos más globales, las

herramientas) la que permitió organizar todos los cabos sueltos y al mismo tiempo la

situación hizo que la I.O. creciera.

Nosotros sabemos que la reingeniería propone olvidarnos de la división del trabajo y

regresar a una especie de todología ya que esto evita los pasos laterales que no

agregan valor a los procesos y nos da la opción de atender directamente al

beneficiario del proceso ¡el cliente!. Las técnicas de redes, teoría de colas, modelos

de inventarios, programación lineal, transporte, etcétera, aunado a la capacitación

del personal y a la tecnología cambiante y agresiva son, en esta era de la

Planificación Estratégica, los instrumentos indispensables para la Reingeniería y la

Calidad Total.

PROGRAMACION LINEALvi

Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los

avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es

una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas

compañías y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos países del

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mundo. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas

puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el

problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la

mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Este problema de asignación

puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por

recursos escasos para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede

aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de

instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos

nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación agrícola, hasta el

diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente común de todas

estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.

Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios

al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el

criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, integral u otro), costo y rebanado o sin

rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías:

restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer

una solución que está bajo consideración. Si más de una alternativa satisfacen todas

las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas

factibles. Cuando se elige una pieza de pan, pueden quererse 100 gr. de pan blanco

rebanado y hecho no antes de ayer. Si varias marcas satisfacen estas restricciones,

puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y escoger las más barata.

Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de

minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. un

corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los

fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las

políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes

satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad,

al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la

producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir

restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los

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inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado con éxito a

estos y otros problemas.

La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un

modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas

las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la

palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es

un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para

obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta

especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la

asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene

muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático

se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL.

Supuestos de la programación lineal.vii

Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de

un modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.

El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que

el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es proporcional

al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de producto producirá

dos veces más de ganancia, contratando el doble de páginas en las revistas doblará

el costo relacionado con las revistas. Es una Suposición de Proporción.

Además, la contribución de una variable a la función objetivo es

independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una

computadora Notebook es de $10,750.00, independientemente de cuantas

computadoras Desktop se producen. Este es un Supuesto de Adición.

Análogamente, ya que cada restricción es lineal, la contribución de cada

variable al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variable e

independiente de los valores de cualquier variable.

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Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser

claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar situaciones

que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.

El siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es posible tomar una

fracción de cualquier variable. Por ejemplo, en un problema de marketing, qué

significa comprar 2.67 avisos en la televisión?. Es posible que la suposición de ser

divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales unidades de 2.67

avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la

solución serían 2,667 minutos con una mínima duda que esté cercana a la solución

óptima. Si la suposición de divisible no es válida, entonces se usará la técnica de

Programación Lineal Entera.

La última suposición es el Supuesto de Certeza. La Programación Lineal no

permite incertidumbre en los valores.

Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera

exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede ser

aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los requerimientos más

estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones al interpretar los

resultados.

Existen limitaciones prácticas para el uso de la PL. Una se relaciona con los

cálculos. En general se necesita una computadora. Desafortunadamente, las

calculadoras, aun las programables, son poco útiles, puesto que la PL tiene

necesidad de gran cantidad de memoria o almacenamiento. Si no se tiene acceso a

una computadora, se estará limitado a problemas muy sencillos. La otra limitación se

refiere al costo de formular un problema de PL. En teoría, podría usarse PL, por

ejemplo, para hacer las compras semanales de abarrotes. Sin embargo, sería

necesario conocer todas las compras posibles que pueden realizarse (éstas serían

las variables), además de cada restricción como sabor, número de comidas,

vitaminas y proteínas. Es obvio que el costo de obtener todos estos datos excede lo

que se podría ahorrar si se hicieran las compras óptimas. Antes de emprender una

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aplicación de PL, debe considerarse la disponibilidad y el costo de los datos

necesarios.

Formulación de modelos de Programación Lineal.viii

Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo

ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa

parte, resolver el problema casi siempre es fácil.

Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse

afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven

“problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede

aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A

usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100

horas disponibles, la restricción será:

3A + 2B = 100

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio

que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la

limitación es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso,

la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad:

3A + 2B 100

Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de

variables con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son

aceptables, ni tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar para

una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante

positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los

términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble de

B, esto puede escribirse como:

A 2B ó A 2B 0

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Nótese que pueden moverse términos de un lado a otro de las desigualdades

como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por -1, el

sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que los

coeficientes del lado derecho sean positivos. Por ejemplo, si se quiere que A sea por

lo menos tan grande como B - 2, entonces:

A B 2

ó A B 2

por último B A 2

Una nota final sobre desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en

una ecuación. Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable

extra. Por ejemplo:

B A 2 es lo mismo que B A + S = 2

en donde S representa la diferencia, o la holgura, entre B -A y 2. S se llama variable

de holgura. Por otro lado, se restaría una variable de superávit en el caso siguiente:

A 2B 0 es lo mismo que A 2B S = 0

Algunos métodos de solución (como el Método Símplex) y la mayoría de los

programas de computadora (como el MathProg, que viene en el ORCourseware, que

acompaña al libro “Introducción a la Investigación de Operaciones” de los autores

Hillier y Lieberman) requieren que todas las desigualdades se conviertan en

igualdades.

La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero,

es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría

una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro

personas.

Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede

tener un problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del

objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar

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alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la

contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo,

el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es

evidente al observar el problema.

Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el

problema, se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces,

la forma:

Maximizar Z = 4A + 6Bó

Minimizar Z = 2x1 + 5x2

Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de Programación Lineal.

Planeación de la fuerza de trabajo.ix

El gerente de personal de “La Tortuga Veloz, S.A. de C.V.”, está

analizando la necesidad de mano de obra semi calificada durante los próximos

seis meses. Se lleva 1 mes adiestrar a una persona nueva. Durante este período

de entrenamiento un trabajador regular, junto con uno en adiestramiento

(aprendiz), producen el equivalente a lo que producen 1.2 trabajadores regulares.

Se paga $500.00 mensuales a quien está en entrenamiento, mientras que los

trabajadores regulares ganan $800.00 mensuales. La rotación de personal entre

los trabajadores regulares es bastante alta, del 10% mensual. El gerente de

personal debe decidir cuántas personas necesita contratar cada mes para

adiestramiento. En seguida se da el número de meses-hombre necesarios.

También se desea tener una fuerza de trabajo regular de 110 al principio de julio.

En cuanto al 1º de enero, hay 58 empleados regulares.

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Mes Meses-hombre requeridos Mes Meses-hombre requeridos

Enero 60 Abril 80

Febrero 50 Mayo 70

Marzo 60 Junio 100

Este problema tiene un aspecto dinámico, ya que la fuerza de trabajo en

cualquier mes depende de la fuerza de trabajo regular y en adiestramiento del mes

anterior. Para cualquier mes, el número total de meses-hombre disponibles se

puede expresar como sigue:

Meses-hombre disponibles: Ri + 0.2Ai

en donde: Ri = número de trabajadores regulares al principio del mes

Ai = número de aprendices contratados en el mes.

Entonces los requerimientos de cada mes pueden expresarse por las

restricciones:

Enero R1 + 0.2A1 60

Febrero R2 + 0.2A2 50

Marzo R3 + 0.2A3 60

Abril R4 + 0.2A4 80

Mayo R5 + 0.2A5 70

Junio R6 + 0.2A6 100

julio (principio) R7 110

Debido a la rotación, el 10% de los trabajadores regulares se van cada mes. Así,

el número de trabajadores regulares disponibles, por ejemplo, al principio de

febrero sería:

R2 = 0.9R1 + A1

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En la misma forma, pueden escribirse las ecuaciones para el número de

trabajadores disponibles al principio de cada mes:

Enero R1 = 58 (dado)

Febrero R2 = 0.9R1 + A1

Marzo R3 = 0.9R2 + A2

Abril R4 = 0.9R3 + A3

Mayo R5 = 0.9R4 + A4

Junio R6 = 0.9R5 + A5

Julio R7 = 0.9R6 + A6

El objetivo global del gerente de personal es minimizar el costo. La función

objetivo es:

Minimizar: Z = 800(R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6) + 500(A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6)

Ahora se tiene el problema en el formato general de PL con 13 variables y 14

restricciones.

Los tomadores de decisiones en las empresas establecen criterios que

debe cumplir una solución y, después, buscan esa solución. En PL, los criterios se

expresan como restricciones. Se exploran las soluciones posibles y se usa la

función objetivo para elegir la mejor de entre aquellas que cumplen con los

criterios. La PL se denomina técnica de optimización, pero optimiza sólo dentro de

los límites de las restricciones. En realidad es un método de satisfacción de

criterios.

Forma estándar de los modelos de Programación Lineal.x

Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados

de cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de

actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con números

(1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea xj (una variable de

decisión) el nivel de la actividad j, para j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de

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efectividad global seleccionada. Sea cj el incremento que resulta en Z por cada

incremento unitario en xj (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea bi la cantidad disponible

del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase aij como la cantidad de

recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2,

..., n). Se puede formular el modelo matemático para el problema general de

asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir

valores de x1, x2, ..., xn para:

Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

sujeto a las restricciones:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm y

x1 0, x2 0, ..., xn 0

Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto adoptan

otras formas) para el problema de PL. Cualquier situación cuya formulación

matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.

En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los

modelos de PL. La función que se desea maximizar, c1x1 + c2x2 + ... + cnxn, se

llama función objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como

restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo ai1x1

+ ai2x2 + ... + ainxn, que representa el consumo total del recurso i) reciben el

nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las restricciones xj 0

se llaman restricciones de no negatividad. Las variables xj son las variables de

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decisión. Las constantes de entrada, aij, bi, cj, reciben el nombre de parámetros del

modelo.

Solución Gráfica de Modelos Lineales con dos Variables.

Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se

tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las

desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones

Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo

(maximizar o minimizar) que será la solución del problema.

Ejemplo: Problema de mezcla de productos.

Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para

dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72

horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de

mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y

requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el

mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió

construir por lo menos dos mesas.

Paso 1: formulación del problema.

El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos

en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a

la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la

ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de

sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:

Maximizar Z = 5x1 + 5x2

en donde: x1 = número de mesas producidas

x2 = número de sillas producidas

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¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres

restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva

12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es,

entonces:

12x1 + 8x2 96

La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6

horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:

6x1 + 12x2 72

Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos

mesas. Esto puede expresarse como:

x1 2

Por último, las restricciones de no negatividad son:

x1 0, x2 0

Poniendo todo junto el modelo se tiene:

Maximizar Z = 5x1 + 5x2

Restricciones: 12x1 + 8x2 96

6x1 + 12x2 72

x1 2

x1 0, x2 0

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Paso 2: gráfica de las restricciones.

El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una

gráfica. Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará

con las restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:

En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x1

(mesas) y x2 (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada

artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región

Factible puesto que es el único cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los

otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la producción de

cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas.

La siguiente restricción es x1 2. La manera más sencilla de dibujar las

restricciones de recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una

ecuación y graficar la ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de

la línea que resulta en el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí

significa ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la restricción.

Así, en el ejemplo, x1 2 se convierte en x1 = 2. Esta ecuación está trazada en la

siguiente figura:

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Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la

restricción es más amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá. Esto

incluye todos los puntos que están a la derecha de la línea x1 = 2. Entonces, la

región factible incluye todos los valores de x1 que están sobre o a la derecha de la

línea x1 = 2.

La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como

antes, primero se convierte en una ecuación: 6x1 + 12x2 = 72. Puede graficarse

esta línea si se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos

de localizar son las intersecciones con los ejes X1 y X2. Para encontrar la

intersección con el eje X2 se hace x1 = 0. La ecuación se reduce, entonces, a:

12x2 = 72

x2 = 6

La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2 = 0. Así:

6x1 = 72

x1 = 12

Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:

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Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción.

Cualquier punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y

no es aceptable. En la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior.

En la región factible, ambas restricciones se cumplen.

La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior,

primero se encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x1 = 0, x2 =

12 y x1 = 8, x2 =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y

como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que está

abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:

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Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá

con todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar

la solución óptima.

Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.

Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma

gráfica de las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x1 + 5x2.

Como todavía no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el

óptimo de la función objetivo. No obstante, es posible suponer algunos valores

para Z y graficar las líneas resultantes. En la siguiente figura se muestran las

líneas para Z = 25 yZ = 50:

Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto

sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia

perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También,

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todas las líneas de indiferencia son paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas

pueden usarse para resolver el problema.

En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de

indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia

para Z = 50 está completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de

la línea cae dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x1

y x2 que satisface todas las restricciones y da una ganancia total de $25. Por

inspección, puede observarse que hay ganancias más altas que son factibles.

Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de

las propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo estará

sobre la línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región

factible. Esto se muestra en la siguiente figura:

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Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es

encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la

intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra.

Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de

ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera de los

métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las coordenadas de

este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función objetivo

da la ganancia máxima:

Z = 5(6) + 5(3) = $45

Resumen del método gráfico.

Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:

1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.

2. Grafíquese cada restricción.

3. Localícese la solución óptima.

Ejercicio:

Ejemplo: Problema de dieta.

Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos

alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los

requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50

unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada kilogramo del alimento

A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades

de vitamina Y; cada kilogramo del alimento B proporciona 10 unidades de W, 5

unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A cuesta 5 pesos/kilogramo y el

alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo.

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METODO SIMPLEX.

“El método símplex es un algoritmo. De hecho, cualquier procedimiento

iterativo de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un

proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra vez

hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el

procedimiento sistemático se realiza una iteración. En consecuencia, un algoritmo

sustituye un problema difícil por una serie de problemas fáciles.”xi

Vamos a resolver el siguiente problema:

Paso 1. Convertir las desigualdades en igualdades:

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso s1,

s2, s3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estandar.

Usando en simplex el siguiente criterio:

Signo: Introducir

≤ sn

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Paso 2. Igualar la función objetivo a cero y después agregar la variables de

holgura del sistema anterior:

Z - 3 x1 - 2 x2 = 0

Para este caso en particular la función objetivo ocupa la última fila del tablero, pero

de preferencia siempre se deberá de colocar como la primera fila.

Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo para convertirlo en negativo

y cuando maximizamos tomamos el valor (+) negativo de Fo para convertirlo en

positivo.

Paso 3. Escribir el tablero inicial simplex:

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los

coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila

con los coeficientes de la función objetivo:

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Paso 4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable

de holgura que sale de la base

Para escoger la variable de decisión que entra en la base, (FLECHA ROJA PARTE

SUPERIOR), observamos la última fila, la cual muestra los coeficientes de la función

objetivo y escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en valor absoluto).

En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior,

entonces se elige cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha

alcanzado la solución óptima.

Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del

simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color

azulado).

Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, (FLECHA ROJA

COSTADO IZQUIERDO) se divide cada término de la última columna (valores

solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos

últimos sean mayores que cero.

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el

caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces

tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

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El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente

positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la

base, S3. Esta fila se llama fila pivote (en color azulado).

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las

variables correspondientes puede salir de la base.

En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote

operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra y la variable de

holgura S3 sale.

Paso 5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex.

Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes

de la fila por el pivote operacional “3”, ya que este se debe convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes

términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las

otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

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Como en los elementos de la última fila hay un número negativo, -1, significa que no

hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que corresponde al

coeficiente -1

Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos de la

columna solución entre los términos de la nueva columna pivote:

y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de

holgura que sale es S1.

El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Y se opera de forma análoga a la anterior iteración:

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Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos

llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que corresponde al

coeficiente -1

Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre

los términos correspondientes de la nueva columna pivote:

6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]

y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale

es S2.

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El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla:

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Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos

llegado a la solución óptima.

Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores

solución, en nuestro caso: 33.

RESOLUCION POR Wat´s Best

RESOLUCION DE CASOS:

MATHUR Kamlesh, SOLOW Daniel, “Investigación de Operaciones”, Prentice Hall, 2001, Mexico-Mexico

EPPEN G.D., GOULD F.J., “Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa”, Prentice Hall, 2000, Mexico – Mexico.

HILLER, HILLIER, LIEBERMAN, “Métodos cuantitativos para Administración”, Mc Graw Hill, 2001, Mexico – Mexico.

TRANSPORTE Y ASIGNACIONxii

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.

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La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.

Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j,

entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:

Minimiza Z= i=1 m j=1

n C i j X i j

Sujeta a:

j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m

i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n

X i j >=0 para todas las i y j

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El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.

El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1 m ai debe ser

cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a

la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:

X i j = ai, i=1,2,..., m

X i j = bj, j=1,2,..., n

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o

mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse.

El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de

ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de

solución que explote completamente la estructura especial del modelo de

transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también

sus implicaciones prácticas.

Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)

MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y el centro de distribución son:

Denver Miami Los Angeles 1 000 1 690

Detroit 1 250 1 350 Nueva Orleans 1 275 850

Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida.

Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del

modelo original:

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Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32

Sujeto a:

X 11 X 12 = 1 000 X 21 X 22 = 1 500 X 31 X 32 = 1 200 X 11 X 21 X 31 = 2 300 X 12 X 22 X 32 = 1 400 X i j para todas las i y j

Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:

Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)

Denver Miami Los Ángeles 80 215

Detroit 100 108 Nueva Orleans 102 68

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En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución.

Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.

La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.

Denver Miami Los Ángeles 80 215 1 000 Detroit 100 108 1 300 Nueva Orleáns 102 68 1 200 Planta ficticia 0 0 200

De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.

Denver Miami Destino

Ficticio

Los Ángeles 80 215 0 1 000 Detroit 100 108 0 1 500 Nueva Orleans 102 68 0 1 200

Existen varios métodos de resolución de este tipo de problemas, pero se tratará por fines prácticos la resolución de los mismos usando What´s best.

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RESOLUCION DE CASOS

MATHUR Kamlesh, SOLOW Daniel, “Investigación de Operaciones”, Prentice Hall, 2001, Mexico-Mexico

EPPEN G.D., GOULD F.J., “Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa”, Prentice Hall, 2000, Mexico – Mexico.

BIERMAN, BONINI, HAUSMAN, “Análisis Cuantitativo para toma de decisiones”, Mc Graw Hill, 2007, Mexico – Mexico.

PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y TRANSBORDO

Ejemplo 1 Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de [kWh] respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programción lineal que permita minimizar los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.

Ejemplo 2 Una fábrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver. La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al día, la de Denver hasta 200 unidades al día. Los productos son enviados por avión a Los Angeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren 130 unidades diarias. Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos unitarios de cada tramo factible se ilustran en la siguiente tabla:

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La fábrica desea satisfacer la demanda minimizando el costo total de envío.

Ejercicio 2

Medical Technologies es una empresa fabricante y distribuidora internacional de equipos de rayos X de alta resolución que se utiliza en hospitales, su planta que se encuentra en Texas puede producir hasta 100 máquinas por año, la que se encuentra en Iowa produce hasta 200 y la que se encuentra en Oregón puede producir hasta 150 máquinas.

Para el año siguiente sus clientes en Japón han pedido 120 máquinas los de Corea del Sur 80 máquinas los de Nueva Zelanda 70 y los de Australia 110 máquinas.

Los equipos producido en Texas y en Iowa pueden ser enviados a los almacenes regionales en Hungría y/o en Hawai, los almacenes regionales a su vez pueden enviar a cualquiera de los almacenes en campo situados en Fiji y en las Filipinas. Ninguno de los almacenes regionales almacena máquinas en inventario, por consiguiente deben enviar todas las máquinas que reciben.

Los clientes de Corea del Sur y de Nueva Zelanda pueden recibir máquinas de cualquiera de los almacenes de campo. Sin embargo debido a los tratados de comercio internacionales, los clientes de Japón deben obtener sus máquinas directamente de las Filipinas y los de Australia deben recibir las suyas solo de Fiji. Los costos de envío por máquina desde las plantas a los almacenes regionales, a los almacenes de campo y finalmente a los clientes se dan en las siguientes tablas:

HUNGRIA HAWAI

TEXAS 200 400

IOWA 300 400

OREGON 500

FILIPINAS FIJI

HUNGRIA 800 600

HAWAI 700 400

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Ing. Nikolay Artieda

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JAPON COREA N

ZELANDA AUSTRALIA

FILIPINAS 700 600 800

FIJI 700 500 600

Como gerente de distribución, se le ha pedido que determine el plan de embarque con el mínimo costo total.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

i BELLINI Franco, “Investigación de Operaciones”, Universidad Santa María,

Caracas-Venezuela.

ii IBID

iii IBID

iv MATHUR K, SOLOW D; “Investigación de Operaciones”, Prentice Hall, 2001,

Mexico-Mexico

v BELLINI Franco, “Investigación de Operaciones”, Universidad Santa María,

Caracas-Venezuela.

vi IBID

vii IBID

viii IBID

ix IBID

x IBID

xi IBID

xii IBID