momento de torsion

5/21/2018 Momento de Torsion

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FUERZAS CENTRALES. COMPROBACINDE LA SEGUNDA LEY DE KEPLER

04

En esta Unidad vamos a comprobar que la Segunda Ley

de Kepler es una consecuencia de la conservacin delmomento angular de una partcula cuando est sometidaa una fuerza central.Estudiaremos los conceptos de fuerza central, momentoangular y momento de una fuerza respecto de un puntopara deducir la Ley de las reas de Kepler. Aunque no sea

objeto del estudio en esta Unidad, sino de la Uni

las consecuencias de esta ley son muy importanteGracias a los principios de conservacin que semediante las fuerzas centrales, podemos construircopios, que son aparatos capaces de controlar la pode los aviones, las naves espaciales y los misiles, anla existencia del GPS.

BLOQUE II


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92 FUERZAS CENTRALES. COMPROBACIN DE LA SEGUNDA LEY DE KEPLER04

j4.1 Fuerza central

Considera un planeta de masa m que se mueve alrededor del Sol en una rbita el(Fig. 4.1). La fuerza gravitatoria que acta sobre el planeta siempre se encuentra dihacia el Sol, y su valor depende solamente de la distancia r. Por tanto, se trata dfuerza conservativa y recibe el nombre de fuerza central porque est dirigida const

mente hacia un mismo punto, cualquiera que sea la posicin de la partcula sobre est actuando.

Se pueden citar como ejemplos de fuerza central:

La fuerza recuperadora del m.a.s.; cualquiera que sea la posicin de la partcula que la fuerza elstica siempre est dirigida hacia el punto O(Fig. 4.2).

La fuerza de atraccin que ejerce el Sol sobre la Tierra en su movimiento de traslaEn general, la fuerza gravitatoria es una fuerza central. Por tanto, el peso de los cual ser la atraccin gravitatoria de la Tierra sobre los cuerpos, es otro ejemplo de fcentral.

La fuerza que ejerce sobre el electrn el ncleo del tomo de hidrgeno. En genefuerza electrosttica de Coulomb es una fuerza central.

La fuerza centrpeta (Fig. 4.3) es otro ejemplo de fuerza central.

El caso que ms nos interesa es el sistema formado por varias partculas que interaccionuna fuerza de tipo central, donde una de ellas,M, est fija en el centro de fuerzas, y lasse mueven respecto de la primera bajo la accin de la fuerza central. Es el caso del SiSolar.

j4.2 Momento de torsin de una fuerzarespecto de un punto

Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rgido que puede girar alrededor de algn cuerpo tender a realizar dicha rotacin, siempre que dicha fuerza no se dirija o provendicho eje.

La capacidad de una fuerza para hacer girar a un cuerpo alrededor de algn eje se miduna magnitud conocida con el nombre de momento de torsin de la fuerzao simplemmomento de una fuerza (Fig. 4.4). Si sobre un mismo slido actan simultnemaente fuerzas, que le hacen girar alrededor de un eje, el momento total es igual a la suma vede los momentos de cada una de las fuerzas. El sentido de giro que toma el cuerpo depdel momento resultante.

A. De qu depende el momento de una fuerza?

Fjate en la Figura 4.5 de la pgina siguiente: se trata de girar una tuerca alrededor del ePara ello, aplicamos una fuerza F

en el extremo de la llave inglesa formando un nguloel eje Oy.Como puedes observar, solamente la componente Fztiene la capacidad de realgiro. En cambio, la fuerza Fytiene momento nulo.

La diferencia entre ambas fuerzas est en su distancia al punto O; Fzdista r, mientras distancia entre Fyy el origen Oes nula.

El momento de Fzviene dado por la expresin:

M = Fzr

Fig. 4.1.La fuerza que acta sobre unplaneta est dirigida siempre hacia el Sol.

Fig. 4.2.Una partcula que vibra estsometida a una fuerza central.

m F 0 F m

Fig. 4.3.La fuerza centrpeta es unafuerza central.

Fig. 4.4.La capacidad de la fuerza Fpara

hacer girar la llave recibe el nombre demomento de la fuerza.


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FUERZAS CENTRALES. COMPROBACIN DE LA SEGUNDA LEY DE KEPLER 04

Pero de la Figura 4.5 se deduce que:

Fz= F sen f

Luego el momento en funcin de la fuerza aplicada ser:

M = F r sen f= F d

La cantidad d = r sen f, conocida como brazo de la fuerza (o brazo de palanca), representa

la distancia (longitud de la perpendicular) desde el centro de rotacin hasta la lnea deaccin de la fuerza.

El momento de una fuerza es igual al producto del valor de la fuerza por su brazo de palanca.Observa cmo la componente Fy= F cos fpasa por O y no produce rotacin porque su brazoes nulo.

El momento de una fuerza solamente est definido cuando se especifica un punto de refe-rencia respecto del cual se halla el brazo de palanca.

A partir de la definicin de momento de torsin se ve cmo la capacidad de giro aumentaconforme se incrementa la fuerza, F, y tambin conforme aumenta su brazo de palanca, d.

El momento de una fuerza tambin se expresa como el producto vectorial de los vectoresr

y

F

:

M

= rF

donde res el vector de posicin respecto de O del punto de aplicacin de la fuerza F

.

El momento M

es un vector cuya direccin es perpendicular al plano definido por r

y F

. Elsentido viene determinado por el giro que debe darse al vector r

para hacerlo coincidir con ladireccin y sentido de F

, por el camino ms corto (Fig. 4.6).

Si el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj, tambin llamado Norte ( ), elmomento es positivo. El momento ser negativo si el giro se hace en el mismo sentido queel de las agujas del reloj, tambin llamado Sur ( ).

Para hallar el sentido del vector momento tambin se utilizan las reglas del producto vectorialde dos vectores cualesquiera, conocidas como regla del tornillo y regla de la mano derecha(Fig. 4.7). Si un tornillo se coloca perpendicularmente al plano definido por los vectores a

y b

en el punto Oy se hace girar de forma que tienda a llevar el primer factor (a) sobre el

segundo (b

) describiendo el menor ngulo, entonces el avance del tornillo coincide con el sen-tido del vector c

. Segn la regla del tornillo, el producto vectorial no es conmutativo, puestoque si a

b

= c, b

a= c

.

Fig. 4.5.Brazo de palanca.

z

r

d

O

x

Fig. 4.6.El vector M

es perpendicular al plano definidopor r

y F

.Fig. 4.7.Reglas del tornillo y de la mano derecha para el productovectorial de dos vectores: a

b

= c

.

La distancia entre un precta se mide sobre ldicular a la recta trazel punto.

Import

F

M

O r

c

a

b


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B. Momento de torsin de una fuerza central

Supongamos que una fuerza central de mdulo F acta sobre un planeta m (Fig. 4.8) quen torno al Sol. Si tomamos la posicin de este como referencia, el momento de torsiacta sobre este planeta debido a esta fuerza central es siempre cero, ya que cualque sea la posicin del planeta, la fuerza F

ser paralela a r. Es decir:

M = F r sen f= 0

Fjate que la fuerza pasa siempre por el punto respecto del cual se toma el momento. Por f= 0. El brazo de palanca es siempre cero.

1>La masa m de la Figura 4.10 describe una trayecto-ria circular situada en un plano horizontal. Cuntasfuerzas actan sobre m? Alguna de estas fuerzas escentral? Por qu? Calcula el momento de torsin de lasfuerzas indicadas respecto de la mano O de la persona.

2>Dibuja el vector momento de la fuerza representadala Figura 4.11. El giro que produce F

es positivonegativo?

ACTIVIDADES

Fig. 4.11.

z

y

x

o

r

F

Fig. 4.8.El momento de torsin de unafuerza central respecto del centro defuerzas es siempre cero.

Fig. 4.10.

EJEMPLO 1 (PAU)

El pndulo de la figura 4.9 puede oscilar alrededor del puntoO.Calcula el momento, respecto del puntoO,de la fueque hace oscilar el pndulo en funcin del ngulo que forma el hilo con la vertical. En qu posicin del pndulo dicmomento es nulo? Respecto de qu punto el peso del pndulo tendra momento nulo?

SolucinLa fuerza que acta sobre el pndulo es el peso de la masa que oscila. Habr movimiento de oscilacincuando el momento de esta fuerza no sea nulo. Segn la Figura 4.9, el brazo dem g, respecto de O,es:

d = lsen a, donde les la longitud del pndulo.

Por tanto, el momento de torsin que hace oscilar el pndulo es:

M = m g l sen a

Este momento ser nulo cuando sen a= 0. Esta condicin se cumple cuando el pndulo se encuentraen la posicinA.

El peso del pndulo es una fuerza central respecto del centro de la Tierra. Por tanto, respecto de estepunto, el peso tendra momento nulo.

Fig. 4.11.

O

A


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j4.3 Momento angular de una partcula

En cursos anteriores te has familiarizado con el momento lineal o cantidad de movimiento deuna partcula. Recuerda que se define como el producto de su masa por la velocidad instant-nea que posee:p= m v.

Esta magnitud determina la interaccin con otras partculas. Si una partcula est aislada, loque ocurre cuando no experimenta ninguna interaccin, su momento lineal permanece cons-tante.

Si el momento lineal es importante para definir el estado dinmico de una partcula, tambines importante otra magnitud con el nombre de momento angular, semejante a la anterior,para describir el movimiento circular.

Antes hemos definido el momento de una fuerza respecto de un punto. Pero dicha definicinno es exclusiva de las fuerzas. Se puede hallar el momento respecto de un punto de cualquiervector.

En la Figura 4.12 se representa una partcula de masam que se mueve describiendo una curvacon una velocidad v

. Poseer, por tanto, una cantidad de movimientop= m v

.

Al momento respecto del punto O del vectorp

se le conoce con el nombre de momento angu-lar de la partcula m y se representa por la letra L

:

L

= rp

= rmv

Fig. 4.15.En el movimientomomento angular es constanel valor mximo.

L0

p

x

O

90o

1. Tanto el valor comcin de L

dependenrespecto del cual smomento.

En cualquier circunque aparezca el momlar, debe estar clarcin del punto utilcalcularlo.

2. El momento angulvector perpendiculadefinido por r

y v

(e4.13 este plano esEl sentido viene dareglas del producto v

3. Un caso importante miento circular. En

y tomando como recentro de la circunfev

son perpendicular(Fig. 4.14), el momelar es mximo y vale

L0= m r v sen 90 = m r2v=I

DondeI = m r2recibede momento de inepartcula respecto de

Recu

Fig. 4.12.Momento respecto de unpunto de la cantidad de movimiento.

Fig. 4.13.Momento angular de unplaneta respecto del Sol.

A. Momento angular de un sistema

El momento angular de un sistema de partculas se obtiene sumando losmomentos angulares de todas y cada una de las partculas que componen

el sistema.Por ejemplo, cuando un slido rgido tiene movimiento de rotacin alrededorde un eje, cada una de sus partculas describe un movimiento circular. Elmomento angular del slido respecto del eje de rotacin ser la suma delos momentos angulares de todas sus partculas (Fig. 4.14).

L= m1r12v+ m2r22v+ m3r32v+ =

= v(m1r12+ m2r22+ ) =Iv,

siendoI= m1r12+ m2r22+ m3r32+ , el momento de inercia del sistema departculas que forman el slido rgido.

Fig. 4.14.Momento angularde un sistema de partculas.


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El momento de inercia representa en el movimiento de rotacin el mismo papel que lainerte en el movimiento de traslacin: mide la inercia o resistencia que ofrece el slido abiar su velocidad de giro (velocidad angular) cuando sobre l se aplica un momento de tde una fuerza.

El momento de inercia de un slido respecto de un eje es una magnitud que indica cmdistribuida la masa del slido respecto de ese eje. Al no encontrarse cada partcula del c

a la distancia R del eje (y dado que R es el valor mximo de esa posible distancia), el mode inercia de un cuerpo serI = a m R2, donde a es un nmero, con valor entre 0 y 1representa lo lejos del eje de rotacin que se encuentra la mayora de la masa del oEn un anillo, y con respecto a su eje central, a vale 1, ya que toda la masa se encuentrdistancia R.

El momento de inercia de una esfera homognea y maciza cuando gira alrededor de un dtro es:

I=25

M R 2

Donde M y R son, respectivamente, la masa y el radio de la esfera.

B. Momento angular terrestre

La Tierra posee dos momentos angulares debido a los dos movimientos que realiza.

1. Momento angular orbital, respecto del Sol, correspondiente a su movimiento circonsiderada la Tierra como una partcula:

L0= r Mv0= M r2v0

donde res el radio de la rbita yv0la velocidad angular orbital.

v0=2 p

1 ao=

2 p365,25 86 400

=2 p

3,15 107rad/s

L0= 6 1024kg (1,5 1011m)22 p

3,15 107= 2,7 1040kg m2/s

2. Momento angular intrnseco, correspondiente a su movimiento de rotacin en torneje, considerada la Tierra como un slido.

Le=I v

siendo vla velocidad angular de rotacin.

v=2 p1 da

=2 p

86 400rad/s

Le=25

6 1024kg (6,4 106m)22 p

86 400= 7,1 1033kg m2/s

El momento angular total ser:

LT= r M v0+I v

Momento angular de un electrn

En el caso del tomo, cada electrn tambin tiene dos momentos angulares. Uno debidmovimiento alrededor del ncleo: momento orbital (l) y otro intrnseco o spin (s) debsu movimiento de rotacin. Ambos momentos estn cuantizados. La cuantizacin del pdepende del radio de la rbita o nmero cuntico principal. La del segundo depende deldo de rotacin del electrn. La cuantizacin de los momentos angulares del electrn se econ ms detalle en la Unidad 12.

Un equipo de cientficos bajo ladireccin de Michael Brown, jefedel Departamento de Astronomadel Instituto Tecnolgico de

California, descubri en octubrede 2003 el dcimo planeta delSistema Solar: Eris.

Se trata de un planeta compuestode roca y hielo, y se encuentra ams de 14 000 millones de km delSol, al que da la vuelta una vezcada 560 aos.

Su tamao viene a ser 1,5 vecesmayor que el tamao de Plutn,y tiene un dimetro aproximadode 3 000 km.

Posteriormente, en 2006 y en

parte debido a la aparicin de esteobjeto, al reasignarse la categorade planetas y planetas enanos,dej de ser considerado planetapara pasar a ser el mayor plutoide(planetas enanos semejantes entamao a Plutn y ms lejanosque Neptuno).

El nuevo objeto recibi provisional-mente el nombre de 2003 UB313,hasta que se cambi el nombrepor el de Eris y es el objeto msalejado del Sistema Solar. Estsituado en la ltima frontera,una enorme regin en forma dedisco llena de fragmentos heladosde lo que pudo ser el material deconstruccin de los planetas y loscometas actuales.

Ms datos


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ACTIVIDAD

3>Si una partcula se mueve en lnea recta, puede sercero su momento lineal? Puede ser cero su momentoangular? En caso afirmativo, respecto de qu punto opuntos sera nulo?

4>Si la velocidad lineal de una partcula es constanteen el tiempo, puede variar su momento angular en eltiempo? Razona la respuesta.

5> Qu movimiento ha de tener una partcula para qmomento angular permanezca constante?

6>Una partcula de 0,5 kg se mueve a lo largo del econ una velocidad de 2 m/s.

a)Calcula el mdulo del momento angular de esttcula respecto de los puntos (0, 0), (4, 0) y (

b)Calcula el momento angular de la partcula respeestos puntos si su trayectoria es la bisectrizy =x.

S: a)L= 0,45 kgm2/s; b)L= 2,8 kg m2/s

EJEMPLO 2 (P

Una partcula de masa 0,50 kg se mueve en el plano Oxy con una velocidad de 4,0 m/s a lo largo de una rececuacin 2x y + 2 = 0 (Fig. 4.16). Si el mvil se encuentra en el punto (0, 2), calcula el mdulo, la direccinsentido del momento angular de la partcula.

a)Respecto del origen de coordenadas.

b)Respecto del punto O de la recta.Solucin

a)En primer lugar, hallamos las coordenadas de los puntos P y O. De la ecuacin dela recta se deduce: P (0, 2) y O (1, 0).

El ngulo formado por los vectores ry v tiene un valor:

tg f=|O O|| r|

=12

; f= 26,56 ) sen f= 0,447

El mdulo del momento angular ser:

|L

0| = r v m sen f= m v d = 2 m 0,5 kg 4,0 m/s 0,447 = 1,8 kg m2/s,

En la direccin perpendicular al planoOxy y dirigido hacia dentro del papel.

b)Respecto del punto O, el momento angular es nulo porque el ngulof= 0.Fig. 4.16.

O

y

v

rd

O

P

EJEMPLO 3 (PAU)

Un automvil de 1 500 kg se mueve en una pista circular de 50 m de radio conuna rapidez de 40 m/s. Calcula el momento angular del automvil respecto delcentro de la pista.

Solucin

En el movimiento circular, los vectores r

y vforman

un ngulo de 90. En este caso, el mdulo del mo-mento angular ser:

L0= m r v = 1 500 kg 50 m 40 m/s = 3 106kg m2s1

Direccin perpendicular al plano Oxy, y de sentidopositivo.

Fig. 4.17.

y

x

r

m

v

O


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j4.4 Relacin entre el momento de torsiny el momento angular

Hemos obtenido la expresin L

= r

ppara el momento angular de una partcula, y M=

para el momento de una fuerza.

Si derivamos la primera ecuacin respecto al tiempo tenemos:dL

dt=

ddt

(rp

) = r

dp

dt+

dr

dtp

El trminodp

dt=

ddt

(mv ) = m

dv

dt= ma

= F

es el valor de la fuerza, como nos indica

gunda Ley de Newton.

El trminodr

dtes la velocidad instantnea.

Por tanto, el productodr

dtp

= vmv

= 0, ya que los vectores vy mv

son paralelos.

Teniendo en cuenta estos resultados, la derivada del momento angular tomara la forma

dL

dt= rF

= M

A. Conservacin del momento angular

De la expresin anterior se deduce una consecuencia importante: si no acta ningn mode torsin sobre una partcula, el momento angular de esa partcula permanece constan

Es decir, si M

= 0 )dL

dt= 0 ) L

= cte. )Iv= cte.

Esto significa que si un sistema evoluciona de tal forma que el momento de las fuerzas exres es cero, el momento de inercia inicial por su velocidad angular inicial es igual al mode inercia final por su velocidad angular final:

I1v1=I2v2

7>Una partcula se mueve sobre una recta y se sabe queel momento de torsin que acta sobre ella es cero res-pecto de un punto no especificado. Implica esto quesobre la partcula no acta ninguna fuerza? Puedesconcluir que la velocidad de la partcula es constante?

8>La masa de la Luna es 7,35 1022kg y la distancia centro de la Tierra al centro de la Luna 3,84 108Calcula el momento angular de la Luna respecto aTierra. Dato: la Luna tarda 27,32 das en dar una vuealrededor de la Tierra.

S:L = 2,88 1034kg m2/s

ACTIVIDADES

La Ley de Conservacin delMomento Angular es una ley fun-damental de la Fsica que tieneel mismo nivel de importanciaque la Ley de Conservacin delMomento Lineal o que la Ley deConservacin de la Energa.

Importante

El momento de la fuerza con respecto a un puntoP (o a un eje) que actasobre una partcula es igual a la variacin que experimenta con el tiempo elmomento angular de esa partcula con respecto a ese mismo punto o eje:

M

=dL

dt

Casos en que el momento de lasfuerzas exteriores es cero:

a)Cuando en el sistema solamenteactan fuerzas internas, comoexplosiones, acoplamiento deun cuerpo con otro, etc.

b) Cuando la direccin de la fuerzaexterna coincide con el radio.Esto ocurre con las fuerzas cen-trales.

c) Cuando las fuerzas exterioresestn aplicadas en el eje degiro.

Ms datos


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B. Ecuacin fundamental de la dinmicadel movimiento de rotacin

La expresin M

=dL

dtrecibe el nombre de ecuacin fundamental de la dinmica de rotacin,

que aplicada a un slido rgido se puede expresar en funcin de la aceleracin angular:

M

=dL

dt=

d (I v)dt

= Idv

dt= I a

Observa la semejanza de esta expresin con la Ley Fundamental de la Dinmica de Traslacin:

F

=dp

dt=

ddt

(mv) = m

dv

dt= ma

El paralelismo entre el movimiento de rotacin y el movimiento de traslacin queda reflejadoen la Tabla 4.1.

MagnitudMovimientode traslacin

Movimientode rotacin

Relacin

Espacio s(en m) w(en rad) s= fR

Masa Inerte m(kg)Momento de inercia

(kg m2)I= a m R2

Velocidad media v=

s

t(m/s)

v=

w

t(rad/s) v= vR

Velocidadinstantnea

v=

ds

dt v=

dw

dtv= vR

Aceleracin media a=

vf v0

t (m/s2) a=

vf v0t

a= aR

Aceleracininstantnea

a=

dv

dt a=

dv

dta= aR

Momento Linealp

= mv AngularL

=Iv

L

= r

p

Ecuacinfundamental

F

=

dp

dt= ma

M

=

dL

dt=I a

M

= rF

Energa cintica E=

1

2mv2

E=

1

2I v2

Ecuaciones delmovimiento

s= v0t+

1

2at2

vf2 v02 = 2 a s

w= v0t+

1

2at2

vf2 v02 = 2 aw

Tabla 4.1.Relacin entre las magnitudes de rotacin y traslacin.

El Principio de la ConseMomento Angular es ven la Fsica cuntica cFsica del cosmos y en

clsica. La cuantizacin de

to angular de las atmicas desempeafundamental en la dde los sistemas anucleares.

La conservacin del

angular es clave en llo de las teoras sogen del Sistema Solla contraccin de lagigantes (como se la pgina 105). E

to angular tambin movimiento de losresuelve muchos otrmas de Astronoma.

Los acrbatas, los sa

trampoln, los patinahielo, etc., utilizan ede la conservacin dto angular. Cuando unquiere aumentar suangular encoge su mximo para que sude inercia sea mnimbio, cuando quiere di

velocidad extiende para que el momentcia sea mayor. Un garregla para caer siesus patas usando principio.

Recu

ACTIVIDAD

9>Una plataforma gira con una velocidad angular v. Enun momento dado se desprende una porcin de ella.El resto de la plataforma: a)no modifica la velocidad;b)gira ms deprisa; c)gira ms despacio.

10>Sobre un disco que gira con una velocidadv cae libre-mente un trozo de plastilina quedndose adherida a l.

El disco: a)disminuir su velocidad; b) aumentavelocidad; c)seguir girando con la misma veloc

11>Define el momento angular de una martcula demy velocidad vrespecto a un punto O. Pon un ejrazonado y de ley o fenmeno fsico que sea una cacin de la conservacin del momento angular.


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j4.5 Momento angular y movimientoplanetario. Segunda Ley de Kepler

Todos los planetas y satlites se mueven bajo fuerzas centrales, y por tanto, su momangular permanece constante. Una consecuencia de que el momento angular de un p

permanezca constante es la Ley de las reas de Kepler.Para deducir la Ley de las reas nos basamos en la siguiente propiedad: toda partcula mueve bajo la accin de una fuerza central tiene momento angular constante.

Efectivamente, ya hemos visto que el momento de la fuerza central respecto del cenfuerzas es siempre nulo. Tambin sabemos que:

M

=dL

dt

Por tanto, si M

= 0, se deduce que L

= cte. Esto implica que el momento angular ha dmanecer constante en mdulo, constante en direccin y constante en sentido, de dondeducen las siguientes consecuencias:

1. Por ser constante la direccin del momento angular, el movimiento de la partcula tlugar en un plano.

En efecto, si se tiene en cuenta que L

, por definicin, es perpendicular al plano defipor ry v, para que la direccin de L

no vare los vectores ry vhan de estar siemprel mismo plano (Fig. 4.18). Las cnicas son curvas que cumplen esta condicin.

2. Si L

mantiene constante su sentido, la partcula recorrer la trayectoria siempre emismo sentido, como se deduce de la regla del tornillo, que nos da el sentido del proto vectorial L

= r m v.

3. Si el mdulo de L

permanece constante, se cumple la Segunda Ley de Kepler: las barridas por el vector que une el centro de fuerzas con la partcula son proporcionalos tiempos empleados en barrerlas.

En efecto, supongamos que un planeta tarda un tiempo dt en pasar de M hasta M (Fig. El vector de posicin r

ha barrido en ese tiempo un rea dA. Esta rea es la mitad de|r dr

| del paralelogramo formado por los vectores r

y dr.

dA= 12

|r dr

| = 12

|r v

dt| = 12

|r v

| dt

Teniendo en cuenta que |L

| = |r mv

| = |r v

| m, se deduce:

dA= 12

|L

|m

dt , dAdt

= 12

|L

|m

Si L

es constante, se deduce que dA

dt

tambin lo es. El trmino dA

dt

recibe el nombre de

cidad areolar.

Fig. 4.18.Una partcula sometida auna fuerza central, tiene una trayectoriaplana.

L

r

m v

Fig. 4.19.Cuando un planeta pasa de Ma M,el vector de posicin barre el readA.

L

M

M

dAdr=vd t

r

La Ley de las reas tambin se puede enunciar diciendo que toda partcula quese mueva bajo una fuerza central lo hace con una velocidad areolar constante.

La Ley de las reas es aplicable a cualquier fuerza central, aunque no fuera proporcio

inverso del cuadrado de la distancia. Si la fuerza central vara con1r2

, entonces se puedmostrar que las rbitas descritas son elipses.


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En el caso de que un planeta se mueva en una rbita elptica alrededor del Sol, las posicionesms cercana y ms alejada del planeta respecto del Sol se conocen como perihelio y afeliorespectivamente (Fig. 4.20).

De la Ley de las reas se deduce una consecuencia importante: un planeta que gira alrede-dor del Sol va ms deprisa en perihelio que cuando se encuentra en afelio.

Como puedes ver en la Figura 4.21, si un planeta tarda el mismo tiempo en pasar de P1a P2(afelio) que en pasar de P3a P4(perihelio), segn la Ley de las reas se debe cumplir que

A1=A2.

Observando los tringulos mixtilneos vemos que se cumple:

A1=12

s1r1=12

v1tr1

A2=12

s2r2=12

v2tr2

) v1r1= v2r2

como r1> r2, se deduce que v1< v2.

Por tanto, a medida que un planeta describe su rbita en torno al Sol, su velocidad aumenta

conforme se aproxima a este, alcanzando su valor mximo en la posicin de perihelio, y dismi-nuye a medida que se aleja hasta alcanzar la mnima velocidad en el afelio.

El momento angular del planeta es constante en todos los puntos de su trayectoria. En peri-helio y en afelio, el vector de posicin es perpendicular al vector velocidad (Fig. 4.22). Enestas posiciones se cumple que:

r1m v1sen 90 = r2m v2sen 90

Es otra manera de obtener la propiedad:

rpvp= rava

Como la rbita no es perpendicular en todo momento al vector de posicin a lo largo del cualacta la fuerza central, se puede concluir que esta fuerza tiene una componente en la direc-

cin de la trayectoria que hace variar el mdulo de la velocidad.

Fig. 4.20.Posiciones de perde un planeta.

Sol

Perihelio Af

Fig. 4.21.Segn la Ley de las reas, lavelocidad de un planeta es mayor cuantoms prximo al Sol se encuentra.

Fig. 4.22.En el perihelio y en el afelio,el vector de posicin es perpendicular alvector velocidad.

Cuando el momento aun cuerpo permanece el eje de rotacin del cambiar su orientacique acte un momensin que lo altere. Ees de gran importanc

movimiento de la Tierradel Sol. La Tierra no exun momento significatsin, ya que la fuerzaque acta sobre ella, ladel Sol, es central. Podireccin del eje de rla Tierra permanece fijdel Universo. Este comto se pone de manifiFigura 4.23 de la pgina

Aunque la trayectoria des aproximadamente ceje de rotacin de la T

perpendicular al planpor su rbita, sino quengulo fijo con el plaa la conservacin delangular mantiene estcin al girar alrededor

Debido a esto, el polo NTierra se encuentra ennuo da durante el vela oscuridad en el inviepolo Sur ocurre lo con4.23).

Ms d

ACTIVIDAD

12>Un planeta sigue una rbita elptica alrededor de una estrella, cuando pasa por el periastroP,punto de su trayems prximo a la estrella, y por el apoastroA,punto ms alejado, explica y justifica las siguientes afirmaciones:

a)Su momento angular es igual en ambos puntos y su celeridad es diferente. b) Su energa mecnica es igual en ambos untos.


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Fig. 4.23.El eje de rotacin de la Tierra mantiene su orientacin porque el momento angular de la Tes constante.

EJEMPLO 4 (PAU)

Un planeta imaginario se mueve en una rbita elptica de mucha excentricidad alrededor del Sol (Fig. 4.24). Cuanest en perihelio su radio vector es ra= 4,0 10

7km, y cuando est en afelio, rb= 15 107km. Si la velocidad

perihelio es 1 000 km/s, calcula:

a)La velocidad en la posicin de afelio.b)La velocidad areolar del planeta.c)El semieje mayor de la rbita.

Solucin

a)Como el planeta est sometido a una fuerza central ejercida por el Sol, el momen-

to angular del planeta ha de ser constante. En las posiciones a y bla velocidades perpendicular a r. Por tanto, el mdulo del momento angular en dichas posi-ciones es:

La= ram vasen 90

Lb= rbm vbsen 90rava= rbvb

De donde se deduce que:

vb=ravarb

= 4 107km 103km/s

15 107km= 2,7 102km/s

Es decir, se cumple la consecuencia de la Ley de las reas, segn la cual el planeta que gira alrededor del Sol va ms depcuando se encuentra en perihelio que en afelio.

b)La velocidad areolar es:

dAdt

=|L

|2 m

= 103km/s 4 107km

2= 2 1010km2/s

c)El semieje mayor de la elipse es la semisuma de ray rb:

a= ra+ rb2

= 4 107km + 15 107km

2= 9,5 107km

Fig. 4.24.

a

v

rs

r b

v

a

b

a

b

Cuando una partcula se encuen-tra sometida a la accin de unafuerza central, esta partcula semueve siempre en el mismo sen-

tido, con una trayectoria plana ycon velocidad areolar constante.

Recuerda


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EJEMPLO 5 (P

Plutn describe una rbita elptica alrededor del Sol. Indica, para cada una de las siguientes magnitudes, si su es mayor, menor o igual en el afelio comparado con el perihelio:

a)Momento angular respecto de la posicin del Sol.b)Momento lineal.

c) Energa potencial.d)Energa mecnica.

Solucin

a)El Sol y Plutn estn ligados por una fuerza central y por tanto conservativa, de forma que se cumple la Ley de Concin del momento angular. De este modo, el momento angular L

permanece constante en afelio y perihelio.

b)Segn la Ley de Kepler de las reas, rv= constante, por tanto la velocidad lineal en el perihelio es mayor que en el (por ser el radio menor rp< ra), el momento lineal, es:p

= mv, y la velocidad es mayor en el perihelio que en el af

c)La energa potencial en un punto es Ep= GMm

r. As, en el perihelio es menor que en el afelio, al ser Epnegat

rp< ra.

d)La energa mecnica se mantiene constante al tratarse de una fuerza conservativa.

EJEMPLO 6 (PAU)

El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el peri-helio el cometa est a 8,75 107km del Sol, y en el afelio est a 5,26 109kmdel Sol.

a)En cul de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad? Y mayor ace-leracin?

b)En qu punto tiene mayor energa potencial? Y mayor energa mecnica?

Solucin

a)El momento angular se conserva, ya que el cometa est sometido a una fuerzacentral.

Por tanto, se verifica que: r

a mv

a= r

p mv

p.

En el perihelio y en el afelio los vectores de posicin y velocidad son perpendicu-lares entre s, por lo que se cumple que rpvp= rava.

Si ra> rp, se ha de cumplir que va< vp.

En las posiciones de perihelio y de afelio solamente existe la aceleracin centr-peta o normal:

ap= G M

r2p; aa=

G M

r2a ) ap

aa= r

2a

r2p

Por tanto, se cumple que ap> aa.

b)Energa potencial en el perihelio y en el afelio:

Ep= G M m

rp; Ea=

G M m

ra

Ep< Ea,al ser ms negativa en el perihelio que en el afelio.

Debido a que la fuerza que acta sobre el cometa es central, que es conservativa,la energa mecnica se conserva. Es la misma, pues, en el perihelio que en el afe-lio (ten en cuenta que la energa cintica en el perihelio es mayor que en el afelioy se compensa la menor energa potencial).

El cometa Halley tuvoaparicin peridica en vez la expectacin cieque fue recibido contramiedo supersticioso qu sus anteriores visita

De hecho, la aparicin cometa, siempre con lcaractersticas, estuvo rcon hechos ocurridos popoca (asesinato de Jinvasin de los hunos, Ludovico Po en triste gtra sus hijos, etctera).

El astrnomo ingls (1656-1742) estudi lde grandes cometas apalos aos 1456, 1531, 16llegando a la conclusise trataba del mismo coconocido con su nombrvisitaba peridicamentaos, y predijo en 1705

aparicin para 1769 verla por haber muerto

Hasta el presente se 31 apariciones del comrigurosamente comproms antigua es del asegn documentos chin

Kepler, en 1607, fue el calcular su rbita elpexcntrica (0,957).

Ms d


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EJEMPLO 7 (PAU)

Se lanza un satlite en una direccin paralela a la superficie de la Tier(Fig. 4.25) con una velocidad de 8 000 m/s desde una altitud de 500 km. Dtermina la velocidad del satlite cuando alcanza su mxima altitud de 4 500 kQu excentricidad tiene la rbita que describe? Datos: RT= 6,4 106m.

Solucin

Como el satlite est sometido a una fuerza centraldirigida hacia el centro de la Tierra, el momento an-gular del satlite es constante:

LA= LB; rAm vA= rBm vB

vB=rAvArB

= 6 900 km 8 000 m/s10 900 km

= 5 064 m/s

El centro de la Tierra coincide con uno de los focos dela elipse que describe el satlite. Por tanto, el semiejemayor ser:

a= 4 500 km + 12 800 km + 500 km

2= 8,9 106m (vase la Figura 4.26)

La distancia de uno de los focos al centro de la elipse viene dada por:

c = a F A = 8 900 km (RT+ 500 km) = 2 000 km (Fig. 4.28)

La excentricidad se define como:

e= ca

= 2 000 km8 900 km

= 0,22

13>Cmo puedes demostrar que un planeta en una rbitacircular se desplaza con movimiento circular uni-forme?

14>Hay algn instante en que un planeta con rbita elp-tica est exento de aceleracin?

15>Supn que repentinamente se duplica la atraccin Sol sobre la Tierra. Qu puedes decir en este casobre la velocidad orbital de la Tierra y de la rbque describe? Se modificar el momento angular la Tierra? Cambiar el plano de su rbita? Razona trespuestas.

ACTIVIDADES

Fig. 4.25.

Recibe el nombre de excentricidadde una elipse, la distancia quemedia entre el centro de la elipsey uno de sus focos. Su valor viene

dado por el cociente e= ca .

Importante

Al igual que para el Sol se diceafelio y perihelio, a la posicin deun satlite ms cercana a la Tierrase le llama perigeo, y a la msalejada, apogeo.

Importante

En el CD puedes encontrar msPruebas de Acceso a la Univer-sidad.

CD y CEO

Fig. 4.27.

c

F

a

A

Fig. 4.26.


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El efecto Doppler, que vimos en la Unidad 2, nos indica quelas estrellas tambin tienen movimiento de rotacin alrede-dor de un eje; porque mediante el espectro se comprueba

que un borde del Sol se aproxima de continuo a nosotros,mientras que el otro borde se aleja constantemente.

La velocidad de rotacin de las estrellas depende de su edad.As, las estrellas ms jvenes giran con una velocidad peque-a, mientras que las estrellas prximas a su muerte giran conuna velocidad angular muy alta. Esta evolucin se debe a laLey de la Conservacin del Momento Angular.

Las estrellas, al igual que los seres vivos, estn sometidas alas leyes evolutivas que suponen un principio, un periodo deactividad, otro de decadencia y un final. Por esto, podemoshablar de nacimiento y muerte de las estrellas.

Nacimiento de una estrella

Los glbulos galcticos, que no son otra cosa que nubesde gas y polvo interestelar, adquieren forma esfrica con eltiempo, y se contraen por gravitacin, dando lugar a unaelevacin de temperatura, del orden de 2 500 C en la super-ficie, con emisin de radiaciones infrarrojas, hasta iniciarsereacciones nucleares en su interior y alcanzar millones degrados de temperatura en el centro.

La estrella nace cuando la energa que emite se encuentra enel espectro visible. Se caracteriza por su baja densidad. Laedad de una estrella depende de su color: las estrellas jve-nes son de color rojo y las estrellas viejas son blancas.

En el proceso de formacin de una estrella se conserva el mo-mento angular L =I v, ya que la nica fuerza que ha interve-nido en la contraccin del glbulo galctico es la atraccingravitatoria, que es una fuerza central.

Las estrellas jvenes se caracterizan por su gran tamao y,por tanto, un momento de inercia muy grande (al ser propor-

cional a la masa de la estrella y al cuadrado del radiolo que la velocidad de rotacin ser muy pequea.

Periodo de actividad y decadencia

Cuando el hidrgeno se agota en el ncleo de la estrellconvierte en helio, la estrella roja se contrae y se conen pulsante mediante la combustin de helio, para requiere en su interior temperaturas del orden de 200 mide grados, hasta volverse azulada y convertirse en una eblanca,con una temperatura en superficie de 20 000 C

Una enana blanca se caracteriza por su pequeo tamaelevada densidad: puede ser ms pequea que la Tierraque su densidad es tan grande que un grano de arena tla masa de un rascacielos.

En estos casos, al disminuir el tamao, el momento decia tambin disminuye, aumentando drsticamente la vdad angular, para que el momento angular no vare.

Todas las estrellas, dependiendo de su masa inicial, acconvirtindose en:

Enanas: estrellas cuya masa es del orden del Sol. Estrellas de neutrones: estrellas de masa muy gra

dimetro de tan slo 10 a 20 km. Su densidad es tal qposibilita la existencia de protones y electrones aisla

Agujeros negros: estrellas supermasivas. Los agujerogros se forman cuando una estrella de gran masa sucolapso gravitatorio. Mientras la estrella est emitieny calor se equilibra a s misma: la fuerza gravitatoria e

trarrestada por la fuerza hacia el exterior debida a la ptrmica originada por las reacciones nucleares. Al consuel combustible, esta fuerza equilibradora cesa y la ese contrae de tal forma que se derrumba sobre s mismcampo gravitatorio es tan intenso, que la velocidad depe es superior a la de la luz. De un agujero negro no escapar ni la materia ni la radiacin de ningn tipo.

El momento angular y la evoluci de las estrel

1> El origen y evolucin de las estrellas se basa en el prin-cipio de conservacin:

a) De la energa; b) del momento angular; c) delmomento lineal.

2>Una gigante roja de radio R= 106km y de velocidadangular vevoluciona durante millones de aos hastaconvertirse en una enana blanca de R = 5 103 km.Seala la/s respuesta/s correcta/s:

a)Su densidad ha aumentado 8 000 veces; b)v seha multiplicado por 40 000; c) el momento angular seha dividido entre 19.

3> En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol: a)Se conserva el momento angular y el momento

b) se conserva el momento lineal y el momenla fuerza; c)vara el momento lineal y se consemomento angular.

4>Un satlite gira alrededor de un planeta describuna rbita elptica, cul de las siguientes magnpermanece constante?

a) El momento angular;b) el momento lineal;energa potencial.

Cuestiones


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1> Cunto vale el momento de torsin de una fuerza si ry F son paralelos? Cmo deben ser r y F para que elmomento de torsin de F sea mximo?

2>Una partcula se mueve en el eje Ox por la accin deuna fuerza constante que la aleja del origen de coorde-nadas. Cmo vara con el tiempo el momento angularde la partcula con respecto a dicho origen?

3>Una partcula con velocidad constante tiene momentoangular nulo respecto de un punto. Qu se deduce deesto?

4>Se est poniendo de moda entre los ciclistas usar rue-das lenticulares cuando realizan pruebas contrarre-loj. Tiene alguna explicacin fsica esta preferencia,suponiendo que estas ruedas tienen la misma masa y elmismo radio que las ruedas normales?

5> Cunto vale en m2/s la velocidad areolar de la Tierra?Datos: radio medio de la rbita terrestre 1,5 1011m.

S: va= 2,2 1015m2/s

6>En su afelio, el planeta Mercurio est a 6,99 1010kmdel Sol, y en su perihelio queda a 4,63 1010km delmismo. Su velocidad orbital es 3,88 104m/s en el afe-lio. Cul es su velocidad orbital en el perihelio? Quexcentricidad tiene la rbita de Mercurio?

S: v = 5,86 104m/s; e = 0,203

7>Calcula el momento angular orbital de la Tierra si des-cribe una rbita circular alrededor del Sol de radio

1,5 1011

m. Datos: MT= 6,0 1024

kg. S: LT= 2,7 1040kg m2/s

8>Demuestra que el periodo de un planeta de masa men funcin del rea S de la rbita que describe y delmomento angular viene dado por:

T=2 m S

L

9>Cuando un patinador sobre hielo se encoge, sumomento angular se conserva. Se conserva tambinsu energa cintica?

10>Si dos partculas tienen el mismo momento lineal ocantidad de movimiento, tendrn el mismo momento

angular respecto del mismo punto? Razona la res-puesta.

11>Un satlite gira en torno a la Tierra describiendo unarbita elptica, de forma que su perigeo se encuentraa una distancia del centro de la Tierra 1,02 RT, siendoRT= 6,4 106m, mientras que en el apogeo su separa-cin del centro de la Tierra es 1,06 RT. Calcula la longi-tud del semieje mayor de la elipse y su excentricidad.

S: a = 1,04 RT; e = 0,0192

12>Cmo influir en la duracin de un da el hecho de qtodos los habitantes de la Tierra se concentraran enEcuador? Y si lo hicieran en los polos?

13>Cunto tendra que reducirse RTpara que un da dur2 h menos?

14>Cmo explicas que un corcho que flota en el aguque est saliendo por un desage, de una baera ejemplo, gira cada vez ms deprisa a medida que seaproximando al agujero del desage?

15>Si una partcula tiene movimiento rectilneo, respede qu puntos su momento angular es nulo?

16>Es difcil equilibrarse sobre una bicicleta inmvil; cambio, es fcil hacerlo cuando est en movimienEs ms fcil mantener sobre la punta de un dedo u

pelota de baloncesto que gira sobre s misma quna pelota que no gira. Ambos fenmenos tienenmisma explicacin? Cul es?

17>Calcula el momento angular de Jpiter suponiendo qtiene una masa 315 veces la de la Tierra, que su radde rbita es 5,2 veces mayor que el radio de la rbterrestre y el periodo es 3,74 108s.Datos: MT= 6 1024kg; RT= 6 400 km.

S: LJ= 1,9 1043kg m2/s

18>Supongamos que por alguna razn la Tierra se contde modo que su radio se transforma en la mitad del qahora tiene. Cambiara su velocidad de traslacin a

dedor del Sol?19>La distancia mxima desde la Tierra hasta el

es 1,521 1011 m, y su mxima aproximacin 1,471 1011m. La velocidad orbital de la Tierra en pehelio es 3,027 104m/s (Fig. 4.28). Calcula:

a) La velocidad orbital en el afelio. b)La excentricidad de la rbita de la Tierra. S: a)v = 2,927 104m/s; b)e = 0,017

Fig. 4.28.rbita de la Tierra.

20>Es constante el mdulo de la velocidad de traslacde los planetas? Por qu? En qu caso este mdsera constante?

Custiones y problemas


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Cuestiones y problema

21>Un satlite de la Tierra describe una rbita elptica. Lasdistancias mxima y mnima a la superficie de la Tierrason 3 200 km y 400 km respectivamente. Si la velocidadmxima del satlite es 5 250 m/s, halla la velocidad delsatlite en los puntos de mximo y mnimo acerca-miento. Datos: RT= 6,4 106m.

S: 5 250 m/s; 3 719 m/s

22>Dibuja la rbita elptica de un planeta alrededor delSol y las fuerzas que intervienen en el movimiento deaqul, as como la velocidad del planeta en diversospuntos de su rbita.

23>Un planeta describe la rbita de la Figura 4.29. Esta-blece una comparacin en los puntosA y B de dicharbita entre las siguientes magnitudes del planeta:

a)Velocidad de traslacin. b)Momento angular respecto del Sol. c)Energa potencial. d)Energa mecnica.

Fig. 4.29.rbita alrededor de una estrella.

24>Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de unaestrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueveen una rbita circular de radio 1,00 1011m y periodo 2aos exactos. El planeta 2 se mueve en una rbita elp-tica, siendo su distancia en la posicin ms prxima ala estrella 1011m y en la ms alejada 1,8 1011m.

a)Cul es la masa de la estrella? b)Calcula el periodo de la rbita del planeta 2. c)Utilizando los Principios de Conservacin del Momento

Angular y de la Energa Mecnica, halla la velocidaddel planeta 2 cuando se encuentra en la posicinms cercana a la estrella.

S:a)m = 1,49 1029

kg; b)T = 3,4 aos;c)v = 1,16 104m/s

25>Se ha lanzado un satlite en una direccin paralelaa la superficie de la Tierra con una velocidad de36 900 km/h desde una altitud de 500 km para situarloen un apogeo de 66 700 km (medido desde el centro dela Tierra). Qu velocidad tiene el satlite en esa posi-cin? Datos: RT= 6,4 106m.

S: v= 3 817 km/h

26>Demuestra que el radio de la rbita de la Luna determinarse a partir del radio de la Tierra, la a

racin de la gravedad en la superficie terrestretiempo que tarda la Luna en dar una vuelta compla Tierra.

S: r= 3g R2T 24 p2

27>Qu puntos de la superficie terrestre tienen momangular cero respecto del centro de la Tierra en el

miento de rotacin de esta?

28>Suponiendo que la rbita de la Luna en torno a lrra tiene un radio de 3,84 105km con un perio27,3 das y que su masa es 0,012 veces la de la T

calcula el momento angular de la Luna respect

centro de la Tierra. Datos: MT= 6,0 1024kg. S: LL= 2,8 1034kg m2/s

29>Durante el vuelo Apolo XI, el astronauta M. Collinen torno a la Luna, en un mdulo de mando, sobrbita aproximadamente circular. Suponiendo qperiodo de este movimiento fuera de 90 minutostos y que su rbita estuviera a 100 km por encimasuperficie lunar, calcula:

a)La velocidad con que recorra la rbita. b)Su momento angular respecto del centro del

lite suponiendo que la masa del astronauta fu80,0 kg.

Datos: RL= 1,738 106m. S: a)v = 2,139 103m/s;b)L = 3,13 1011kg m2

30>Un satlite artificial dista del centro de la 6,8 106m en el perigeo y 7,2 106m en el apogeovelocidad mxima del satlite es 3,5 103m/s, cal

a)La velocidad mnima del satlite. b)El semieje mayor de la rbita elptica que desc c)La excentricidad de la elipse. d)La energa mecnica del satlite. e)A qu altura sobre la superficie terrestre se en

tra el satlite en su mxima aproximacin.

Datos: MT= 6 1024

kg; RT= 6,4 106

m; masa dellite = 2 500 kg. S:a)vmin= 3,3 103m/s;b)a = 7,0 106m;

c)e = 0,029; d) Em= 1,31 1011J; e)h = 4

31>Un satlite artificial gira en torno a la Tierra dbiendo una rbita elptica cuya excentricidad es 0en el perigeo dista del centro de la Tierra 7,2 1

a qu distancia estar en el apogeo? S: d= 1,08 107m


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Conceptos bsicos

Fuerza central es aquella fuerza que siempre est dirigidahacia el mismo punto, independientemente de la posicinde la partcula sobre la cual acta.

Momento de torsin de una fuerza con respecto a un pun-to, M

, es el producto vectorial del vector r

que une el puntocon el punto de aplicacin de la fuerza y el vector F

.

M

= rF

Su mdulo es igual a M = F r sen f, donde fes el nguloformado por ry F

.

El momento de torsin asociado a una fuerza central es siem-pre cero, puesto que lo es el ngulo formado por ry F

.

Momento angular de una partcula con respecto a punto, L

, es el producto vectorial del vector r(que une

punto con el punto de aplicacin dep) y el vectorp

.

L

= r

p

= m(r

v

)

Su mdulo es L = m v r sen b, donde bes el ngulo formdo por r

y v.

El momento de la fuerza que acta sobre una partces igual a la variacin del momento angular de dicha ptcula.

M

=dL

dt= d (r

p)

dt=

dr

dtp+ r

dp

dt=

= vmv+ rF

= 0 + rF

= rF

= M

En ausencia de momentos de torsin exteriores, el mome

angular de un sistema permanece constante.

Velocidad areolar es la cantidad de rea barrida por elradio vector de una partcula por la unidad de tiempo. Esigual a:

12

|rv| = 12

r vsen a

De la expresin de la velocidad areolar se deduce que:r1v1= r2v2

Segn la Segunda Ley de Kepler se cumple que L es cons-tante, por lo que toda partcula que se mueva bajo unafuerza central lo hace con una velocidad areolar constante.

dAdt

= 12

Lm

La posicin ms prxima de un planeta al Sol se llaperihelio y la ms alejada afelio.

Se llama excentricidad de una rbita, e, al cociente enla distancia focal y el radio mayor de la rbita:

e=f

RM=

R 2M R 2mRM

=

=Rafelio RperihelioRafelio+ Rperihelio

Fuerza central Momento de torsin M

= 0 Momento angular L= constante

Fuerza no central Momento de torsin M=F rsen f Momento angular L= m v rsen b

momento de torsion

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